להורדת שקפים מן ההרצאה וחומר לקריאה נוספת
המרכז למדעים ,הרצלייה 30.12.2014 תמצית וחומר לקריאה נוספת בעקבות ההרצאה בנושא: המספר – הכי אי-רציונאלי שיכול להיות פרופ' נצה מובשוביץ-הדר [email protected] מה עשינו? • • • • • • 2000 עקבנו אחר ההתפתחות ההיסטורית בת אלפי שנה של קציבת ערכו המדויק של אותו יחס קבוע; היכרנו את השיטות של היוונים הקדמונים לקציבתו, ששרדו מעל 1,500שנה; נחשפנו אל התגליות המפתיעות על אופיו ,שהתבררו במאה ה- ;18ואל האתגרים שהיחס הזה עדיין מציב כיום. בדרך עמדנו על גדולתם של היוונים ,שלא הצליחו לפתור אך ורק בעיות שבדיעבד התברר שאין להן פתרון ! וגם על הקשר של לאנטישמיות במאה ה 20-מצד אחד, ולאמנויות היפות מאידך. עוד בררנו לעצמנו האם המחשב תורם להעמקת הידע על , או שמא להיפך -הוא זה שתורם לפיתוח המחשב ,ובכך לקידמה של שנות האלפיים. 2 נ .מובשוביץ-הדר ,על המספר פאי 1700 1500 1000 500 -200 -500 30.12.2014 בשביל מה זה טוב? • • • • לצרכים שימושיים ב π -במדעים המדויקים ואפילו בחקר החלל, לא נחוצות יותר מ 40-ספרות אחרי הנקודה. אולם ,שאלת התועלת השימושית איננה אופיינית למתמטיקאים. הם בדרך-כלל מּונעים על-ידי סקרנות אינטלקטואלית בלבד. מעבר לסקרנות ,המניע לחיפוש עוד ועוד ספרות של πהוא הצורך האנושי להתחרות עם עצמנו ,לשבור שיאים. אבל ,בשנים האחרונות התחלפו היוצרות .המטרה הפכה לאמצעי - החוקרים במדעי-המחשב בוחנים את מחשבי-העל על פי יכולתם לבצע את החישוב של πבדיוק גבוה ,של טריליון ספרות ויותר. כך הפך החישוב של πלאמצעי מחקר ,לאבן בוחן לגבולות היכולת של המחשב :לאחסן כמויות עצומות של נתונים ולעבד אותם בזמן קצר למדי. 3 נ .מובשוביץ-הדר ,על המספר פאי 30.12.2014 המאה ה :21-אתגר בלתי-פוסק למחשבי-על • באוגוסט ,2009מחשב-על באוניברסיטת טְ סּוקּובה ,יפן ,הכפיל ויותר את השיא הקודם וחישב מעל שני טריליון וחצי ספרות של π ( )2,576,980,377,524בכעשירית הזמן (כ 73-שעות). • באוגוסט 2010שנה לאחר מכן ,נשבר השיא והגיע ל 5-טריליון 5,000,000,000,000ספרות .הפעם על-ידי אלכסנדר יי (,)Yee דוקטורנט בן 23מאוניב .אילינוי ,עם מחשב שולחני אישי אחד, שנבנה ע"י שותפו היפני שיגרּו קונדו (בן .)56 • באוקטובר ,2011הם הגיעו ל 10-טריליון ספרות. ליתר דיוק .10,000,000,000,050 - אשתו של קונדו כעסה על חשבון החשמל שהגיע, יי התמסר ללימודים ,אבל הם לא יכלו לעמוד בפיתוי והשיא נכון לאוקטובר 2014הוא 13.3טריליון ספרות 4ויש גם אפליקציה לסמארטפון… 30.12.2014 נ .מובשוביץ-הדר ,על המספר פאי רציונאלי לעומת אי-ראציונאלי תמונה שווה אלף מילים זהו הייצוג הבינארי של 1600ספרות אחרי הנקודה (מוד )2 .של 22/7 3.142,857,142,857,...לעומת π = 3.141,592, 653,589,... לבן = זוגי ,שארית ; 0שחור = אי זוגי ,שארית 1 5 http://mathworld.wolfram.com/PiDigits.html נ .מובשוביץ-הדר ,על המספר פאי 30.12.2014 חלק מהשאלות על πשאין להן תשובה עדיין • • • • האם כל אחת מהספרות 9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1 ,0מופיעה באותה שכיחות בפיתוח העשרוני של ( πבאופן אסימפטוטי ,כמובן)? −בפיתוח העשרוני של ,πבמקום ה ,762-נמצאו 6ספרות עוקבות שכולן ( 9נקודת פיינמן) .האם זה אומר שהפיזור אינו אקראי? האם יש מקום שבו מופיעות 1000ספרות עוקבות שכולן שוות ? 0 (שאלתו של בראואר). האם ניתן למצוא שרשרת ספרות כלשהי שמופיעה פעמיים? – השרשרת הארוכה ביותר שנמצאה עד כה פעמיים בין 200 מיליון הספרות הראשונות היא .31415926 האם כל קבוצת ספרות באורך נתון מופיעה באותה שכיחות? −יסּומשה קנדה עשה מבחנים סטטיסטיים רבים על טריליוני הספרות שמצא ,ולא נמצאו בהן שום תבניות חריגות .אבל מי יודע? 6 נ .מובשוביץ-הדר ,על המספר פאי 30.12.2014 כמה מספרים כאלה יש? בשנת ,1874 רק 30שנה אחרי שהמתמטיקאי הצרפתי ג'וזף ִליּו ִ ביל הוכיח1882 1874 שקיימים בכלל מספרים טרנסנדנטיים (ב,)1844- ו 23-שנה אחרי שליוביל הצליח להצביע על מספר אחד כזה 1851 (ב,)1851- 1844 ו 8-שנים לפני שפון-לינדמן הוכיח שגם הוא טרנסנדנטי (ב,)1882- הוכיח גיאורג קנטור ,המתמטיקאי שהכניס 1800 מהפכה בחשיבה על מושג האינסוף, לא רק שיש אינסוף מספרים טרנסנדנטיים ! אלא שהם הרוב הגדול של המספרים הממשיים !! 1900 1845-1912 7 נ .מובשוביץ-הדר ,על המספר פאי 30.12.2014 ולסיום -אולי בכל זאת נצליח להוכיח ש? =2 - • • • • נצא מקטע שאורכו 2יחידות .מהו אורך הקשת של חצי המעגל? – ( כי ההיקף כולו הוא ) x d = 2 נחצה את הקטע ונבנה שתי קשתות .מהו סכום אורכי הקשתות? – כל אחת ( ½מדוע?) לכן שתיהן יחד . נחלק ל 4-רבעים ונחזור על הבנייה .מהו סכום אורכי 4הקשתות? – כל אחת ( ¼מדוע?) לכן ארבעתן יחד . הייתכן?!? מה יקרה לסדרת הקשתות אם נמשיך לחלק את הקטע עוד ועוד? מצד אחד ,הקשתות הולכות ומתקרבות אל הקטע ,שאורכו = , 2 מצד שני ,סכום אורכיהן בכל שלב הוא ובכן? האם לא הוכחנו בכך ש? =2 - 2 8 נ .מובשוביץ-הדר ,על המספר פאי 30.12.2014 מקורות והמלצות לקריאה נוספת ) מאמרים ואתרים,(ספרים • • • • • • • • "הכל" אודות פיי http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%90%D7%99 http://www.cecm.sfu.ca/~jborwein/pi_cover.html Johnny Ball (2009): Why Pi? DK CHILDREN ISBN-13: 978-0756651640 Arndt, Jörg; Haenel, Christoph Haene (2006). Pi Unleashed. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-66572-4. http://books.google.com/?id=QwwcmweJCDQC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false. English translation by Catriona and David Lischka. ISBN-13: 978-3540665724 Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2004). Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number. Prometheus Books. ISBN 978-1-59102-200-8. David Blatner (1999) The Joy of Pi, Walker & Company USA, ISBN 9780802775627. David Blatner webpage: http://www.joyofpi.com Petr Beckmann(1999) : A History of Pi Walker & Company ISBN-13: 978-0802775627 Lennart Berggren, Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein (Editors)( 1999): Pi: A Source Book . SpringerVerlag; 2nd edition. ISBN-13: 978-0387989464 30.12.2014 על המספר פאי,הדר- מובשוביץ.נ 9 • מקורות והמלצות לקריאה נוספת ) מאמרים ואתרים,(ספרים • על פיי במקורות של היהדות http://ymath.haifa.ac.il/images/stories/mispar_chazak_2000/issue3/boaz_tzvehan.pdf על שיטת ארכימדס לחישוב של פיי הוצאת ידיעות ספרים ספרי עליית הגג,)35 ' לאלף את האינסוף (עמ: )2012( איאן סטוארט Archimedes and the Computation of Pi http://www.math.utah.edu/~alfeld/Archimedes/Archimedes.html Barry Cipra Digits of Pi http://www.ams.org/samplings/math-history/hap-6-pi.pdf כולל צילום המצבה של לודולף ון קלן http://en.wikipedia.org/wiki/Ludolph_van_Ceulen )רציונלי והוכחות שהוא טרנסנדנטי (למתקדמים-פיי הוא אי-הוכחות ש http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_transcendental#Transcendence_of_e_and_.CF.80 Niven , I. (1947(: “A simple proof that π is irrational.” American Mathematical Monthly 53 , 509 30.12.2014 על המספר פאי,הדר- מובשוביץ.נ 10 • • • מקורות והמלצות לקריאה נוספת ) ואתרים מאמרים , ספרים ( ייצוגים שונים שלו ואלגוריתמים לחישובו ברמות דיוק מתקדמות,על חישוב הספרות של פיי • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Borwein J. M., and D. .h. Baily. “Ramanujan, Modular Equations, and Aproximations of Pi, or How to Compute One Billion Digits of Pi.” American Mathematical Monthly (March 1989) Barry Cipra: Digits of Pi . What's happening in the mathematical sciences Volume 6, pp. 28-39 http://www.ams.org/samplings/math-history/happening-series#vol6 http://www.gadial.net/2013/01/ " הבלוג של גדי אלכסנדרוביץ – "לא מדויק- בעברית http://www.numberworld.org/digits/Pi/ Alexander Yee האתר של http://www.numberworld.org/y-cruncher / ועוד באתר של אלכסנדר יי המתעדכן באופן מתמיד בחישוב הספרות של פא http://en.wikipedia.org/wiki/Approximations_of_%CF%80 the first ten thousand digits of pi One Million Digits from Project Gutenberg Up to Five Trillion digits of pi http://pi2.cc.u-tokyo.ac.jp/pi_current.html An analysis of the digits of pi from Wolfram Mathworld http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages.html http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Pi_chronology.html http://en.wikipedia.org/wiki/Palais_de_la_D%C3%A9couverte#Pi_room http://www.dmoz.org/Science/Math/Recreations/Specific_Numbers/Pi/Digits/ http://www.wolframalpha.com/input/?i=Representations+of+Pi http://en.wikipedia.org/wiki/William_Shanks http://en.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%E2%80%93Legendre_algorithm 30.12.2014 על המספר פאי,הדר- מובשוביץ.נ 11 http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-10t/details.html מקורות והמלצות לקריאה נוספת ) מאמרים ואתרים,(ספרים http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root_of_2 2 על המספר שורש • http://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number על מספרים טרנסנדנטיים • על בניות בסרגל ומחוגה בלבד ובעיות הבנייה הבלתי פתורות של העולם העתיק • בעברית http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%91%D7%A2%D7%99%D7%95%D7%AA_%D7%94%D7%92%D 7%90%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%AA_%D7%A9%D7%9C_%D7%99%D 7%9E%D7%99_%D7%A7%D7%93%D7%9D http://en.wikipedia.org/wiki/Compass_and_straightedge_constructions באנגלית http://wims.unice.fr/wims/en_tool~geometry~rulecomp.en.html http://www.malinc.se/math/geogebra/rulerandcompassen.php http://en.wikipedia.org/wiki/Squaring_the_circle חוק פיי של אינדיאנה • http://www.gadial.net/2007/10/13/pi_law/ בעברית.(צ)חוק פאי http://en.wikipedia.org/wiki/Indiana_Pi_Bill http://www.bbc.co.uk/radio4/science/5numbers2.shtml http://www.agecon.purdue.edu/crd/Localgov/Second%20Level%20pages/indiana_pi_bill.htm חיפוש בספרות של פיי • • http://www.facade.com/legacy/amiinpi/ • http://www.eveandersson.com/pi/digits/search • http://www.angio.net/pi/digits.html Paul Preuss (2001) : Are the digits of pi random? ?האם הפיזור של הספרות הוא אחיד? אקראי • http://www.lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html 30.12.2014 על המספר פאי,הדר- מובשוביץ.נ 12 מקורות והמלצות לקריאה נוספת )של פיימאמרים ואתרים,ספרים ( לחישוב הספרותipad- ולiphone-אפליקציה ל • • Alexander Plahr : Calculate Pi by iPad or iPhone https://itunes.apple.com/us/app/calculatepi/id385916387?mt=8 על קשר בין החישוב של פיי לבין סדרת פיבונאצ'י • • http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibpi.html תחרות על קירובים של פיי • • http://www.contestcen.com/pi.html בעיית המחט של בופון • • http://www.gadial.net/2014/03/14/buffon_needle/?utm_source=feedburner&utm_medium=email&utm_campai gn=Feed%3A+NotPrecise+%28Not+Precise%29 )בעברית (כולל קשר למשולש רולו • http://mathworld.wolfram.com/BuffonsNeedleProblem.html • http://mste.illinois.edu/reese/buffon/buffon.html כולל יישומון המאפשר ניסוי מקוון • http://www.angelfire.com/wa/hurben/buff.html כולל יישומון המאפשר ניסוי מקוון • Su, Francis E., et al. "Buffon Needle Problem." Math Fun Facts. <http://www.math.hmc.edu/funfacts>. • Schroeder, L. (1974). Buffon's needle problem: An exciting application of many mathematical concepts. Mathematics Teacher, 67 (2), 183-186. המתמטיקה של פיתולי נהרות • על"ה – כתב העת למורים למתמטיקה, על פיתולי נהרות והמודל המתמטי של תופעה זו:)1998( שמוקלר.הדר וא- מובשוביץ.נ http://kesher-cham.technion.ac.il/clickit_files/files/index/5526197 25 גיליון,בעל יסודי • http://en.wikipedia.org/wiki/Meander • Leopold, Luna B.; Langbein, W.B. (June 1966). "River Meanders". Scientific American: 60. • Stølum, H.-H. (1996) "River Meandering as a Self-Organization Process."Science 271, 1710-1713. 40-4130.12.2014 ספרי עליית הגג עמודים,הוצאת ידיעות אחרונות . שכטר מאנגלית. המשפט האחרון של פרמהנ: )1997( סיימון סינג • המספר פאי עודד על ,הדר-מובשוביץ 13 )(מצטט את סטולם הנ"ל מקורות והמלצות לקריאה נוספת )מאמרים ואתרים ,(ספרים זכרון לכך-על הדקלום של הספרות של פאי ויצירות שהן עזרי • • • • • • • • • • • • • • • • • • How to Memorize Pi - Guidance on how to remember this difficult number to several decimal places. Pi Memorize - A free Windows application used to help memorize the number Pi to 10000 digits. The 100-Club - Club for people who can memorize 100 or more digits of Pi. The 2 Club - Club for people that can memorize more than 2 digits of Pi. http://en.wikipedia.org/wiki/Piphilology http://britton.disted.camosun.bc.ca/jbpimem.htm Eve Andersson: http://www.eveandersson.com/pi/ including fun activities, poems, poetry, pi trivia game, pi memrozing trainer, http://en.wikipedia.org/wiki/Akira_Haraguchi http://pi-world-ranking-list.com/ http://pi-world-ranking-list.com/lists/memo/ http://www.youtube.com/watch?v=jQ8t8S3LNnA&list=UUVGqXetaElJAQtf_lQ87ybw&index=2&feature=plcp ) (למעלה2012- (למטה) ומ2014 "סרטון מתיכון "בליך http://www.youtube.com/watch?v=j5FJagFNAZg&list=LL_3fLipdBhA67QTXqI4qiyg&feature=share&index=2 http://en.wikipedia.org/wiki/Cadaeic_Cadenza יצירות ספרותיות שמילותיהן משקפות במספר האותיות שלהן אלפי ספרות של פיי Mike Keith (2010), Not A Wake: A Dream Embodying π's Digits Fully For 10000 Decimals. Vinculum Press . ISBN-13: 978-0963009715 . http://cadaeic.net/notawake.htm http://www.memoryelixir.com/pi_page.html http://www.eveandersson.com/pi/poetry/beauty? http://www.recordholders.org/en/list/memory.html#pi 30.12.2014 על המספר פאי,הדר- מובשוביץ.נ 14 מקורות והמלצות לקריאה נוספת ) מאמרים ואתרים,(ספרים • • • • • • • • • • • • • • • הספרות של פיי בשירה Kate Bush: Aerial (including the song Pi). http://www.amazon.com/gp/product/B003K4PXFA/ref=dm_att_alb1 http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/B000BHNLX0/ref=nosim/weisstein-20 Bill Crozier Science (including the song Pi). http://www.amazon.com/gp/product/B004NYLMP6/ref=as_li_ss_tl?ie=UTF8&tag=parallaxproducti&linkCode=as2&camp=17 89&creative=390957&creativeASIN=B004NYLMP6 הספרות של פיי במוסיקה • http://www.youtube.com/watch?v=OMq9he-5HUU נגינה בפסנתר עם ליווי מתאים http://www.stevenrochen.com/a-piece-of-pi.html http://www.ovationpress.com/p-389-a-piece-of-pi.aspx http://www.joyofpi.com/pilinks.html#music http://www.pisymphony.com/ האתר של לארס אריקסון http://www.youtube.com/watch?v=CGK2i2BaWW8 Lars Erickson: http://www.youtube.com/watch?v=SzNlaxpD0zY 1 סימפונית פיי חלק Lars Erickson http://www.youtube.com/watch?v=OeaOf_BTDis 2 סימפונית פיי חלק Michael John Blake: http://www.youtube.com/watch?v=YOQb_mtkEEE&feature=youtu.be A musical interpretation of pi http://www.newscientist.com/blogs/nstv/2011/03/a-musical-interpretation-of-pi.html http://avoision.com/experiments/pi10k אתר שבו כל אחד ואחת יכול להלחין את הספרות של פיי לפיה טעם האישי אריקסון נגד בלייק- על תביעת זכויות היוצרים על הספרות של פיי • http://the1709blog.blogspot.co.il/2012/03/no-copyright-in-mathematical-constant.html Vi Hart tells the story: http://www.youtube.com/watch?v=XJtLSLCJKHE&feature=player_embedded http://he.scribd.com/doc/52454324/Erickson-v-Blake http://www.newscientist.com/article/dn21597-us-judge-rules-that-you-cant-copyright-pi.html http://www.ted.com/talks/daniel_tammet_different_ways_of_knowing סרטון של דניאל טאמט • 30.12.2014 על המספר פאי,הדר- מובשוביץ.נ 15 מקורות והמלצות לקריאה נוספת ) מאמרים ואתרים,(ספרים למרץ וחגיגותיו14 יום פאי • פיי בסרטים הקטע ממלחמת הכוכבים מופיע ביו טיוב • • http://www.squidoo.com/PiDay http://www.piday.org/ http://en.wikipedia.org/wiki/Pi_Day http://www.exploratorium.edu/pi/ • • • • • • • • • • • • • http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&v=lRn7YOO3KL8&NR=1 http://www.thegreenasterisk.com/2012/05/star-trek-asterisk-wolf-in-fold.html http://en.wikipedia.org/wiki/Wolf_in_the_Fold סיפור העלילה המסתיים בפקודה לחשב את הספרה האחרונה של פיי Pi (a movie film) directed by Darren Aronofsky starring Sean Gullette: http://www.seattleweekly.com/1998-08-26/film/onefor-the-ages/ http://www.pithemovie.com/clips.html הגיבור הוא מתמטיקאי.פיי קלוש- הקשר ל,למרות שם הסרט http://www.thedailybeast.com/articles/2012/11/21/life-of-pi-comparing-ang-lee-s-film-with-yann-martel-s-novel.html הספר "חיי פיי" מאת יאן. – על נער הודי ומוצאותיו – אינם קשורים למספר פיי2013 זה סרט בשם "חיי פיי" – הספר והסרט שזכה באוסקר )מרטל תורגם לעברית ויצא בהוצאת כנרת (מומלץ אבל כאמור אינו קשור למספר פיי תכשיטים וחפצי חן אחרים – הכל פאי, בגדי תינוקות, עניבות,חולצות • http://www.cafepress.com/+pi+gifts?pid=5000171 http://bowtie.com/pi.html http://www.mathrecreation.com/2008/07/pi-color-map.html Tinkerplot יצירת תמונת הספרות של פיי בצבעים בעזרת שאלות על פיי שטרם נפתרו • Wagon, S. "Is pi Normal?" Math. Intel. 7, 65-67, 1985 http://mathworld.wolfram.com/PiDigits.html http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_number www.gadial.net/2008/12/08/bad_math_pi_undefinable http://en.wikipedia.org/wiki/Feynman_point על נקודת פיינמן 30.12.2014 על המספר פאי,הדר- מובשוביץ.נ 16 אשתו של ,גברת 4 מתנה צרותיה בפני היועץ: הוא לא רציונאלי והוא ממשיך וממשיך בלי סוף... Feb 8 2013 http://www.theargylesweater.com/ 17 נ .מובשוביץ-הדר ,על המספר פאי 30.12.2014
© Copyright 2024