1. No category

Elektromagnetisme
Johannes Skaar
6. november 2013
2
Innhold
1 Vektoranalyse
1.1 Koordinatsystemer . . . . . . .
1.2 Skalare funksjoner og vektorfelt
1.3 Integraler og notasjon . . . . .
1.4 Gradient . . . . . . . . . . . . .
1.5 Divergens . . . . . . . . . . . .
1.6 Divergensteoremet . . . . . . .
1.7 Curl . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Stokes’ teorem . . . . . . . . .
1.9 Laplace-operatoren ∇2 . . . . .
1.10 Helmholtz’ teorem . . . . . . .
1.11 Vektorformler . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
8
9
10
11
12
13
14
14
15
16
2 Elektrostatikk
2.1 Coulombs lov . . . . . . . . .
2.2 Skalarpotensialet . . . . . . .
2.3 Gauss’ lov . . . . . . . . . . .
2.4 Dielektriske medier . . . . . .
2.5 Poissons og Laplace’ ligning .
2.6 Grensebetingelser for E og D
2.7 Ideelle ledere . . . . . . . . .
2.8 Kapasitans . . . . . . . . . .
2.9 Energi i elektriske felt . . . .
2.10 Strømtetthet og resistans . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
17
21
25
29
33
35
35
39
42
44
3 Magnetostatikk
3.1 Biot–Savarts lov . . . . . . .
3.2 Magnetiske krefter . . . . . .
3.3 Vektorpotensialet . . . . . . .
3.4 Amperes lov . . . . . . . . . .
3.5 Magnetiske felt i materialer .
3.6 Magnetiske materialer . . . .
3.7 Grensebetingelser for B og H
3.8 Magnetiske kretser . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
51
51
54
58
61
66
69
73
74
4 Elektrodynamikk
4.1 Emf . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Faradays induksjonslov . . . .
4.3 Krets . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Induktans . . . . . . . . . . .
4.5 Energi og krefter i magnetiske
4.6 Forskyvingsstrøm . . . . . . .
4.7 Maxwells ligninger . . . . . .
4.8 Lorentzpotensialene . . . . .
4.9 Poyntings vektor . . . . . . .
4.10 Veien videre . . . . . . . . . .
. . .
. . .
. . .
. . .
felt
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
77
. 77
. 78
. 79
. 84
. 88
. 96
. 98
. 99
. 102
. 103
3
INNHOLD
INNHOLD
4
Forord
I denne lille læreboka i elektromagnetisme legges det vekt p˚
a den logiske flyten i utviklingen av
Maxwells ligninger. I elektrostatikken starter vi med Coulombs lov som angir kraften mellom to
ladninger. Ut fra Coulombs lov viser vi Gauss’ lov og at statiske elektriske felt er konservative.
Deretter vises det hva disse lovene impliserer i en ideell leder, og hvordan de kan reformuleres i et
dielektrikum. Vi definerer kapasitans og finner energien i et elektrisk felt. Til slutt i elektrostatikken diskuteres strøm, strømtetthet og resistans. I magnetostatikken starter vi med Biot–Savarts
lov som angir kraften mellom to strømførende ledninger. Ut fra Biot–Savarts lov viser vi Amp`eres
lov og at fluksen gjennom en vilk˚
arlig, lukket flate er null. Disse lovene reformuleres slik at de
er praktiske ˚
a bruke for magnetiserbare materialer. I elektrodynamikken modifiseres lovene fra
elektro- og magnetostatikken ved hjelp av Faradays induksjonslov og ladningsbevarelse, og gir de
endelige Maxwells ligninger. Vi definerer induktans og finner energien som er lagret i et magnetisk felt. Til slutt definerer vi Lorentzpotensialene og viser sammenhengen med de elektriske og
magnetiske feltene. Dermed ender vi opp med uttrykk som beskriver hvordan elektromagnetiske
bølger oppst˚
ar og forplanter seg.
Boka egner seg til et ett-semesters kurs i Elektromagnetisme. I motsetning til mange andre
enkle fremstillinger, er de avledede feltene D og H, samt vektorpotensialet A, tatt med. Det legges
vekt p˚
a at det aller meste som kan bevises, skal bevises, men p˚
a en s˚
a enkel m˚
ate som mulig.
Samtidig er det med praktiske eksempler for ˚
a belyse teorien. Et kort kapittel om vektoranalyse
oppsummerer den viktigste matematikken som trengs for ˚
a forst˚
a elektromagnetisme, med fokus
p˚
a intuisjon.
INNHOLD
INNHOLD
6
Kapittel 1
Vektoranalyse
1.1
Koordinatsystemer
Enhetsvektorene i et kartesisk koordinatsystem peker langs henholdsvis x-, y- og z-aksen. Vi kaller
ˆ, y
ˆ og z
ˆ.
dem x
Et sylindrisk koordinatsystem angis med koordinatene r, φ og z, se figuren nedenfor. Her er r
avstanden fra z-aksen. Det er hensiktsmessig ˚
a innføre enhetsvektorer ogs˚
a her – disse er definert
slik at de har retning den veien den tilsvarende koordinaten øker raskest. F.eks. er enhetsvektoren
ˆ i den retningen hvor φ øker, og ˆr
ˆ, i den retningen hvor z øker. Tilsvarende er φ
i z-retning, z
ˆ og ˆr ikke har samme retning overalt – de er avhengige av hvor
radielt utover. Vi merker oss at φ
vi befinner oss:
z
ˆ
z
ˆ
φ
ˆr
y
x
φ
Et sfærisk koordinatsystem har koordinatene r, φ og θ. Her er r avstanden fra origo, φ er
lengdegraden, mens θ er vinkelen ned fra nordpolen (jfr. koordinater p˚
a jordkloden). Merk at φ
og θ er ombyttet i noen matematikkbøker. Konvensjonen som er valgt her er standard i s˚
a og si
ˆ
ˆ
all fysikklitteratur. Enhetsvektorene er ˆr, φ og θ:
z
ˆr
θ
ˆ
φ
θˆ
y
φ
x
7
1.2. SKALARE FUNKSJONER OG VEKTORFELT
1.2
KAPITTEL 1. VEKTORANALYSE
Skalare funksjoner f (x, y, z) og vektorfelt A(x, y, z)
Her er noen eksempler p˚
a skalare funksjoner fra dagliglivet:
• T (x, y, z): Temperaturen som funksjon av posisjon i rommet.
• T (x, y, z, t): Temperaturen i rommet som funksjon av tiden t.
• h(x, y): høyden over havet p˚
a kartet eller i terrenget.
• V (x, y, z): potensialet i rommet.
Her er noen eksempler p˚
a vektorfelt:
• Strøm som funksjon av posisjon i rommet (f.eks. vannstrøm eller elektrisk strøm):
• E(x, y, z): Elektrisk felt i rommet.
Vektorfelt kan være konstant, strømme utover og sirkulere:
konstant
utstrømning/divergens
8
sirkulasjon/curl
KAPITTEL 1. VEKTORANALYSE
1.3
1.3. INTEGRALER OG NOTASJON
Integraler og notasjon
Linjeintegral
R
Et linjeintegral av et vektorfelt AH over en kurve C skriver
vi C A · dl. N˚
ar kurven er lukket tegner
R
vi en ring rundt
integraltegnet:
A
·
dl.
Integralet
A
·
dl
er
det
samme
som i matematikken
C
C
R
R
ofte skrives C A · tdl, der t er en enhets-tangentvektor til kurven, evt. C Ax dx + Ay dy + Az dz.
Vektoren dl kalles et linjeelement.
Hvis A er en kraft p˚
a et
R legeme, og legemet flyttes dl, er A · dl arbeidet som utføres av kraften
A. Da vil alts˚
a integralet C A · dl være det arbeidet som A utfører n˚
ar legemet flyttes langs C.
C
A
dl
Flateintegral
R
For enkelhets skyld skriver vi et flateintegral med kun ett integraltegn: S A · dS. Dette integralet
gir strømmen (eller
fluksen) av A gjennom flaten S. I matematikken kan man ha sett den alternatiR
ˆ dS, der n
ˆ er en enhets-flatenormalvektor,
ve notasjonen S A · n
og dS er arealet til flateelementet.
H
Dersom flaten S er lukket, f˚
ar integraltegnet en ring: . I dette tilfellet defineres flatenormalen til
˚
a peke ut av flaten.
A
dS
S
Volumintegral
R
Vi skriver ogs˚
a volumintegraler med ett enkelt integraltegn: v ρdv. RHer er dv et volumelement, og
vi integrerer ρ over volumet v. Hvis f.eks. ρ er massetettheten, vil v ρdv være den totale massen
i v.
dv
v
9
1.4. GRADIENT
KAPITTEL 1. VEKTORANALYSE
P
2
11
00
00
11
∇h
1
0
0
1
P1
1.4
Gradient
Et kart angir høyden h(x, y) vha. koter, se figuren p˚
a toppen av siden. Vi beveger oss fra punktet
P1 = (x, y) til P2 = (x + dx, y + dy). Da endrer høyden seg med:
∂h
∂h
∂h ∂h
dh =
· (dx, dy) = ∇h · dl = |∇h||dl| cos θ,
(1.1)
dx +
dy =
,
∂x
∂y
∂x ∂y
der θ er vinkelen mellom vektorene ∇h og dl. Gradienten ∇h er alts˚
a definert som
∂h ∂h
∇h =
,
,
∂x ∂y
(1.2)
og lengdeelementet er dl = (dx, dy). Vi har brukt notasjonen at (dx, dy) er en vektor med xkomponent dx og y-komponent dy. Dette kan ogs˚
a skrives
dl = (dx, dy) = dxˆ
x + dyˆ
y,
(1.3)
ˆ og y
ˆ er enhetsvektorer i henholdsvis x- og y-retning.
der x
Retningsfaktoren cos θ i (1.1) viser at høyden endrer seg mest dersom dl er i samme retning
som gradienten ∇h. N˚
ar vi har g˚
att horisontalt 1 meter i denne retningen, har høyden steget med
|∇h| meter.
Noen viktige ting ˚
a merke seg:
• I 3 dimensjoner definerer vi tilsvarende:
∇V =
∂V ∂V ∂V
,
,
∂x ∂y ∂z
=
∂V
∂V
∂V
ˆ+
ˆ+
ˆ.
x
y
z
∂x
∂y
∂z
• ∇V er gradienten til en (skalar) funksjon V .
• ∇V er en vektor!
• ∇V st˚
ar normalt p˚
a flatene V = konstant (vis dette!).
• ∇V kan regnes ut i sylinderkoordinater og sfæriske koordinater. Uttrykkene st˚
ar p˚
a formelarket (kap. 1.11).
∂
∂
∂
Huskeregelen ∇ = ∂x
, ∂y
, ∂z
er nyttig b˚
ade for gradient, divergens, curl og laplace-operator.
10
KAPITTEL 1. VEKTORANALYSE
1.5. DIVERGENS
dx
z
dz
11
00
00
11
P
Boks med volum ∆v = dxdydz og overflate S.
P = (x0 , y0 , z0 ) er i midten av boksen.
dy
y
x
1.5
Divergens
Hvor mye strømmer et vektorfelt A = (Ax , Ay , Az ) ut av punktet P = (x0 , y0 , z0 )? Svaret finnes
fra divA, divergensen til A. Vi omslutter punktet P med en infinitesimal boks med volum ∆v og
overflate S. Divergensen er definert som netto utstrømning (fluks) av A ut av boksen, dividert p˚
a
volumet til boksen:
H
A · dS
divA = lim S
(1.4)
.
∆v→0
∆v
For ˚
a finne ut hva divA er, dvs. hvor mye A strømmer utover, lar vi boksen ha infinitesimale
sidekanter dx, dy og dz, se figuren p˚
a toppen av siden. Integralet i telleren av (1.4) er
I
I
ˆ dS,
A · dS =
A·n
(1.5)
S
S
ˆ er normalvektoren til flaten S. Vi husker at normalvektoren alltid er definert til ˚
der n
a peke ut
ˆ peker ut av boksen.
av en lukket flate, s˚
an
Vi ønsker n˚
a˚
a regne ut høyre side av (1.5). Vi m˚
a da huske p˚
a at komponentene Ax , Ay og
Az er avhengige av posisjon (x, y og z), s˚
a de kan avhenge av hvor p˚
a boksen vi befinner oss.
Integralet er en sum av integralene over de 6 sidene til boksen:
I
Z
Z
A · dS =
Ax (foran)dydz −
Ax (bak)dydz
(1.6)
S
foran
bak
Z
Z
−
Ay (venstre)dxdz +
Ay (høyre)dxdz
venstre
høyre
Z
Z
+
Az (topp)dxdy −
Az (bunn)dxdy.
topp
bunn
x
F.eks. er Ax (foran) − Ax (bak) = Ax (x0 + dx/2, y0 , z0 ) − Ax (x0 − dx/2, y0 , z0 ) = ∂A
∂x dx, der siste
likhet kommer fra definisjonen av den deriverte. Tilsvarende kan man finne ut at −Ay (venstre) +
∂A
z
Ay (høyre) = ∂yy dy og Az (topp) − Az (bunn) = ∂A
a jakt
∂z dz. Dette betyr at integralet vi er p˚
etter, kan skrives
I
∂Ay
∂Az
∂Ax
dxdydz +
dxdydz +
dxdydz.
(1.7)
A · dS =
∂x
∂y
∂z
S
Fra definisjonen (1.4) f˚
ar vi dermed at divergensen kan uttrykkes
divA =
∂Ax ∂Ay
∂Az
+
+
= ∇ · A.
∂x
∂y
∂z
(1.8)
Pga. denne sammenhengen skriver vi divergensen til et vektorfelt A heretter som ∇ · A.
• En tilsvarende regneøvelse kan gjøres i sylindriske og sfæriske koordinatsystemer, og man
f˚
ar da formlene for ∇ · A som du finner i kap. 1.11.
• Merk at ∇ · A er en skalar (et tall), ikke en vektor!
• Regneregel: ∇ · (aA + bB) = a∇ · A + b∇ · B.
11
1.6. DIVERGENSTEOREMET
1.6
KAPITTEL 1. VEKTORANALYSE
Divergensteoremet
Gitt en lukket flate S som omslutter et areal v. Divergensteoremet sier at
I
S
A · dS =
Z
v
∇ · Adv.
(1.9)
Med andre ord kan strømmen (fluksen) av A ut av flaten S finnes ved ˚
a summere opp divergensen
av A i alle punkt innenfor S. Et flateintegral kan dermed uttrykkes som et volumintegral, eller
omvendt.
Divergensteoremet er et lite mirakel, men likevel ikke s˚
a vanskelig ˚
a forst˚
a. S˚
a fort man har
forst˚
att hva venstre og høyre side av (1.9) betyr, kan man bevise teoremet med nærmest bare
en skisse. Figuren nedenfor viser tverrsnittet av et volum v som omsluttes av en lukket flate S.
Volumet er delt opp i infinitesimale volumelementer. Flatenormalene til elementene 1 og 2 er angitt
med piler. Legg merke til at flatenormalen til ett element er motsatt rettet av flatenormalen til
naboelementet – flatenormalen peker alltid ut av en lukket flate.
v
en del av S
1
2
For det infinitesimale volumelementet 1 gir definisjonen av divergens (1.4) at
I
∇ · Adv =
A · dS.
(1.10)
S1
Her er dv volumet til elementet, og S1 overflaten som omslutter elementet. Summerer vi over alle
volumelementer, f˚
ar vi
Z
XI
∇ · Adv =
A · dS,
(1.11)
v
i
Si
der Si er overflaten
som omslutter element i. Se n˚
a p˚
a grenseflaten mellom element 1 og 2.
R
Integralet A · dS over denne flaten vil være like stort, men med motsatt fortegn, for leddene
med i = 1 og i = 2. Dette er fordi de respektive flatenormalene peker motsatt vei. Dermed
kansellerer alle bidrag over de indre grenseflatene. HBare p˚
a randen, dvs. p˚
a selve S, vil vi f˚
a et
bidrag. Med andre ord blir høyre side av (1.11) lik S A · dS, hvilket gir divergensteoremet.
12
KAPITTEL 1. VEKTORANALYSE
1.7
1.7. CURL
Curl
Hvor mye (og i hvilken retning) sirkulerer et vektorfelt A = (Ax , Ay , Az ) rundt punktet P =
(x0 , y0 , z0 )? Svaret finnes fra curl A, som defineres som sirkulasjonen rundt de tre koordinataksene.
F.eks. defineres x-komponenten av curl A som
H
A · dl
(curl A)x = lim C
(1.12)
,
∆S→0
∆S
der ∆S er et flateelement som inneholder P , og som er normalt p˚
a x-aksen, og C er den lukkede
kurven som omslutter dette flateelementet.
Vi kan regne ut høyre side av (1.12) vha. følgende figur:
z
dz
11
00
00
11
P
Kvadrat med areal ∆S = dydz,
omsluttes av en lukket kurve C.
dy
y
Integralet blir
I
A · dl
CZ
=
nede
Ay (nede)dy −
(1.13)
Z
oppe
Ay (oppe)dy −
Z
Z
Az (venstre)dz +
venstre
Az (høyre)dz
høyre
Vi har at
∂Ay
dz,
∂z
∂Az
Az (høyre) − Az (venstre) = Az (x0 , y0 + dy/2, z0 ) − Az (x0 , y0 − dy/2, z0 ) =
dy,
∂y
der vi igjen har brukt definisjonen p˚
a de partiellderiverte. Dette gir
I
∂Ay
∂Az
A · dl =
−
dydz,
(1.14)
∂y
∂z
C
Ay (nede) − Ay (oppe) = Ay (x0 , y0 , z0 − dz/2) − Ay (x0 , y0 , z0 + dz/2) = −
og derfor
∂Ay
∂Az
−
.
(1.15)
∂y
∂z
Vi kan finne de andre komponentene av curl A p˚
a tilsvarende vis. Man finner da curl A uttrykt
som
x
ˆ
ˆ y
z
ˆ∂
∂
∂ curl A = ∂x ∂y
(1.16)
∂z = ∇ × A,
A A A x
y
z
(curl A)x =
alts˚
a kryssproduktet av nabla-operatoren og A. Pga. denne relasjonen vil vi heretter bruke notasjonen ∇ × A for curl.
• Vi kan ogs˚
a regne ut ∇ × A i sylinderkoordinater og sfæriske koordinater. Resultatet finnes
i kap. 1.11.
• Merk at ∇ × A er en vektor!
• Regneregel: ∇ × (aA + bB) = a∇ × A + b∇ × B.
• Merk at ∇ × (∇V ) = 0 og ∇ · (∇ × A) = 0 for alle V og A. (Sjekkes enkelt ved utregning.)
13
1.8. STOKES’ TEOREM
1.8
KAPITTEL 1. VEKTORANALYSE
Stokes’ teorem
Stokes’ teorem stadfester at sirkulasjonen av A rundt en lukket kurve C er summen av alle sm˚
a
sirkulasjoner inne i et areal S som kurven omslutter:
I
Z
A · dl =
∇ × A · dS.
(1.17)
C
S
Vi beviser (1.17) helt tilsvarende som divergensteoremet. Først deler vi opp arealet S inn i
infinitesimale arealelementer dS:
S
en del av C
1
2
Vha. definisjonen p˚
a curl, ser vi at f.eks. for kurve C1 rundt elementet 1 gjelder
I
∇ × A · dS =
A · dl.
(1.18)
C1
Her er |dS| arealet til elementet 1, og retningen til dS er normalt p˚
a flaten, i henhold til følgende
høyreh˚
andsregel: Legg høyre h˚
and rundt C1 ; da peker tommelen og dermed dS ut av papirplanet.
Summerer vi over alle flateelementer, f˚
ar vi
Z
XI
∇ × A · dS =
A · dl.
(1.19)
S
i
Ci
Se n˚
a p˚
a høyre side av (1.19). Siden vi integrerer i motsatt retning for kurvene mellom naboelementer, vil bidraget fra alle slike kurver til sammen
bli null. Vi f˚
ar kun bidrag fra integralet langs
H
randen, dvs. C. Dermed blir høyre side lik C A · dl, og Stokes’ teorem følger.
For et konservativt
vektorfelt, dvs. et vektorfelt A som tilfredsstiller ∇ × A = 0,
a ser vi
H
R bs˚
fra (1.17) at C A · dl = 0 for enhver lukket kurve C. Dette impliserer at integralet a A · dl er
uavhengig av veien vi m˚
atte velge mellom punktene a og b. (Vis dette! Hint: Se p˚
a to forskjellige
veier fra a til b. Disse utgjør til sammen en lukket kurve C.)
1.9
Laplace-operatoren ∇2
Laplaceoperatoren til en skalar funksjon V er gitt av
2
∂
∂2
∂2
2
∇ V = ∇ · ∇V =
+
+
V.
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
(1.20)
Laplaceoperatoren til et vektorfelt er definert som
∇2 A = ∇(∇ · A) − ∇ × ∇ × A.
F.eks. er x-komponenten av ∇2 A lik ∇2 Ax . Merk at ∇2 A og ∇(∇ · A) ikke er det samme.
14
(1.21)
KAPITTEL 1. VEKTORANALYSE
1.10
1.10. HELMHOLTZ’ TEOREM
Helmholtz’ teorem
Litt løselig forteller Helmholtz’ teorem oss at et vektorfelt som g˚
ar mot null i uendeligheten er
entydig gitt av dets divergens og curl (bevises ikke her). Et relatert resultat er at et vilk˚
arlig
vektorfelt F kan skrives som en gradient + en curl:
F = ∇f + ∇ × A.
(1.22)
Siden curl til en gradient og divergensen til en curl begge er null, kan alts˚
a et vilk˚
arlig vektorfelt
dekomponeres i en curlfri del og en divergensfri del:
Vektorfelt
=
curlfri del
(som divergerer)
15
+
divergensfri del
(som sirkulerer)
1.11. VEKTORFORMLER
1.11
KAPITTEL 1. VEKTORANALYSE
Vektorformler
Kartesisk koordinatsystem:
∇V =
Differensielle vektoridentiteter:
∂Ax
∂Ay
∂Az
+
+
∂x
∂y
∂z
∂Az
∂Ay
ˆ
∇×A=x
−
∂y
∂z
∂Ax
∂Az
∂Ay
∂Ax
ˆ
ˆ
+y
−
+z
−
∂z
∂x
∂x
∂y
∇·A =
∂V
ˆ · ∇V =
x
(x vilk˚
arlig akse)
∂x
∇(V + W ) = ∇V + ∇W
∇(V W ) = V ∇W + W ∇V
∇f (V ) = f 0 (V )∇V
∇(A · B) = (A · ∇)B + (B · ∇)A
+ A × (∇ × B) + B × (∇ × A)
∇2 V =
∇ · (A + B) = ∇ · A + ∇ · B
∇ · (V A) = V ∇ · A + A · ∇V
∇ × (V A) = (∇V ) × A + V ∇ × A
Sylindrisk koordinatsystem:
∇ · (∇ × A) = 0
∇V =
∇ · (∇V ) = ∇2 V
∇ × (∇V ) = 0
∂Az
1 ∂(rAr ) 1 ∂Aφ
+
+
r ∂r
r ∂φ
∂z
1 ∂Az
∂Aφ
∇ × A = ˆr
−
r ∂φ
∂z
ˆ ∂(rAφ ) ∂Ar
∂A
∂A
z
r
z
ˆ
+φ
−
+
−
∂z
∂r
r
∂r
∂φ
1 ∂
∂V
1 ∂2V
∂2V
r
+ 2
+
∇2 V =
r ∂r
∂r
r ∂φ2
∂z 2
Integralidentiteter:
v
Z
v
∇ · Adv =
Z
v
Z
S
∇V dv =
I
S
I
V dS
S
A · dS (Divergensteoremet)
∇ × Adv =
∇ × A · dS =
I
C
I
S
Sfærisk koordinatsystem:
∇V =
dS × A
1 ∂V ˆ
1 ∂V ˆ
∂V
ˆr +
θ+
φ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
1 ∂(r2 Ar )
r2 ∂r
1 ∂(sin θAθ )
1 ∂Aφ
+
+
r sin θ
∂θ
r sin θ ∂φ
ˆr
∂(sin θAφ ) ∂Aθ
∇×A=
−
r sin θ
∂θ
∂φ
ˆ
θ
1 ∂Ar
∂(rAφ )
+
−
r sin θ ∂φ
∂r
ˆ
φ ∂(rAθ ) ∂Ar
+
−
r
∂r
∂θ
1 ∂
∂V
∇2 V = 2
r2
r ∂r
∂r
1
∂
∂V
+ 2
sin θ
r sin θ ∂θ
∂θ
1
∂2V
+ 2 2
r sin θ ∂φ2
∇·A =
A · dl
∂V
1 ∂V ˆ ∂V
ˆr +
ˆ
φ+
z
∂r
r ∂φ
∂z
∇·A =
2
∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇ A
Z
∂2V
∂2V
∂2V
+
+
2
2
∂x
∂y
∂z 2
∇2 A = (∇2 Ax )ˆ
x + (∇2 Ay )ˆ
y + (∇2 Az )ˆ
z
∇ · (A × B) = B · ∇ × A − A · ∇ × B
∇ × (A + B) = ∇ × A + ∇ × B
∂V
∂V
∂V
ˆ+
ˆ+
ˆ
x
y
z
∂x
∂y
∂z
(Stokes’ teorem)
16
Kapittel 2
Elektrostatikk
2.1
Coulombs lov
Elektrostatikken bygger p˚
a Coulombs lov, som angir kraften som virker p˚
a en test-punktladning
q fra en punktladning Q (i vakuum):
F=
Qq ˆ
R,
4π0 R2
R > 0.
(2.1)
ˆ = R/R en enhetsvektor som peker fra Q til
Her er R avstanden mellom de to ladningene, og R
q, se fig. 2.1(a). Proporsjonalitetskonstanten i (2.1) kalles 1/4π0 og kan finnes fra eksperimenter;
dette kan alts˚
a sees p˚
a som definisjonen av permittiviteten i vakuum, 0 .
Permittiviteten i vakuum viser seg ˚
a være
0 ≈ 8.85 · 10−12 C2 N−1 m−2 .
(2.2)
Her st˚
ar C for coulomb, enheten for ladning. For eksempel har elektronet ladningen 1.6 · 10−19 C.
Senere vil vi se at enheten for 0 kan ogs˚
a skrives F/m, der F st˚
ar for farad – enheten for kapasitans.
Coulombs lov forteller oss at kraften mellom to ladninger er omvendt proporsjonal med R2 .
Dette er p˚
a ingen m˚
ate opplagt og har blir undersøkt grundig eksperimentelt. Nyere eksperimenter
viser at dersom eksponenten i Coulombs lov ikke skulle være eksakt 2, s˚
a er det relative avviket i
−15
hvert fall mindre enn 10 (!). Vi ser derfor p˚
a Coulombs lov som et eksperimentelt faktum.
Ut fra superposisjonsprinsippet for krefter, f˚
ar vi f.eks. at to punktladninger Q1 og Q2 gir
følgende kraft p˚
a q (se fig. 2.1(b)):
F=
11111
00000
F
00000
11111
q
00000
11111
000000000
111111111
1
0
00000
11111
000000000
111111111
000000000
111111111
R
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
1
0
Q111111111
000000000
ˆ1
ˆ2
Q1 q R
Q2 q R
+
.
4π0 R12 4π0 R22
(2.3)
00000
11111
F2 111111
000000
0000
1111
R1
0
1
00000
11111
000000
111111
q
00000000
11111111
Q1 111111111
0000F
1111
0
1
00000
11111
00000000
11111111
000000000
Q2
(a)
0000
1111
00000
11111
1
0
00000000
11111111
111111111
000000000
111111
000000
0000
1111
000000000
111111111
F
1
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
R2
000000000
111111111
000000000
111111111
1
0
(b)
Figur 2.1: (a) Kraften fra punktladning Q p˚
a testladning q. (b) Kreftene fra to punktladninger
Q1 og Q2 p˚
a testladningen q.
17
2.1. COULOMBS LOV
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
Legg merke til at kreftene m˚
a adderes vektorielt. N˚
ar det er n punktladninger (i tillegg til q), blir
kraften
n
X
ˆi
Qi q R
.
(2.4)
F=
4π0 Ri2
i=1
ˆ i = Ri /Ri .
Her er Ri avstandsvektoren fra Qi til q, og som vanlig er Ri = |Ri | og R
Eksempel 2.1
Tre like punktladninger Q er plassert p˚
a hjørnene til en likesidet trekant med sidekant a, se
fig. 2.2. Vi ønsker ˚
a finne kraften som virker p˚
a den høyre ladningen. Denne kraften er en
superposisjon av to krefter, nemlig kreftene som virker fra de to andre punktladningene. Vi
bruker (2.3) og finner vektorsummen vha. geometri. Vinkelen i en likesidet trekant er π/3
(dvs. 60◦ ), s˚
a vinkelen mellom F og kraften fra en av punktladningene er α = π/6. Resultatet
blir alts˚
a
√ 2
Q2
3Q
Q2
cos α +
cos α =
,
(2.5)
F =
2
2
4π0 a
4π0 a
4π0 a2
med retning mot høyre.
Q1
0
0
1
Q
1
0
0
1
Q2
4πǫ0 a2
0000
1111
000
111
0000
1111
000
111
Q1
α11111
0
0000
1111
000
111
00000000
11111111
00000
0
1
0000
1111
000 F
111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
Figur 2.2: Regneeksempel med tre punktladninger.
Hvis ladningen er kontinuerlig fordelt, f˚
ar vi et integral i stedet for (2.4). La ρ være romladningstettheten, dvs. ladning per volumenhet. Ved ˚
a superponere kreftene som virker p˚
a q fra hver
punktladning ρdv, f˚
ar vi
Z
ˆ ρdvq .
F= R
(2.6)
4π0 R2
v
Her er v volumet som inneholder ladning. N˚
a er R avstanden fra romladningselementet ρdv til
ˆ = R/R er en enhetsvektor som peker fra elementet ρdv til observasjonspunktet der q
q, og R
befinner seg, se fig. 2.3.
I alle tilfeller vil alts˚
a en testladning q føle en kraft som er proporsjonal med sin egen ladning.
Det er derfor hensiktsmessig ˚
a definere det elektriske feltet i observasjonspunktet som
E=
18
F
,
q
(2.7)
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
2.1. COULOMBS LOV
slik at kraften blir
F = qE.
(2.8)
I definisjonen (2.7) er det vanlig ˚
a føye til “lim ” for ˚
a f˚
a fram at testladningen ikke skal p˚
avirke
q→0
og forandre det den skal m˚
ale.
For en punktladning Q f˚
as
E=
Q ˆ
R.
4π0 R2
(2.9)
Superposisjon av krefter gir via (2.7) superposisjon av elektrisk felt. For en romladning f˚
as
Z
E=
v
ˆ
Rρdv
.
4π0 R2
(2.10)
Feltet er alts˚
a en superposisjon av bidragene fra de forskjellige ladningselementene ρdv. For en
flateladning, dvs. ladning fordelt utover en flate S, f˚
ar vi
Z
E=
S
ˆ s dS
Rρ
.
4π0 R2
(2.11)
Her er ρs flateladningstettheten, dvs. ladning per arealenhet. For en linjeladning, dvs. ladning
fordelt utover en linje C, blir
Z ˆ 0
RQ dl
E=
.
(2.12)
2
C 4π0 R
Her er Q0 linjeladningstettheten, dvs. ladning per lengdeenhet. Ladningselementene, avstandene R
ˆ er angitt i fig. 2.3. Legg merke til at enhetsvektoren R
ˆ varierer under integralet,
og retningene R
s˚
a den kan ikke tas ut av integralet.
dv
S
dS
v
C
dl
R
R
R
q
q
q
dF
dF
dF
Figur 2.3: Romladning, flateladning og linjeladning. Ladningselementene bidrar til en kraft dF
p˚
a q, og dermed et elektrisk felt dE = dF/q i observasjonspunktet.
19
2.1. COULOMBS LOV
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
Eksempel 2.2
Vi vil finne det elektriske feltet p˚
a aksen til en sirkulær linjeladning med radius a og konstant
linjeladningstetthet Q0 = Q/(2πa). Her er Q den totale ladningen til ringen. Vi ser p˚
a et
vilk˚
arlig observasjonspunkt langs aksen til ringen (z-aksen), se fig. 2.4. Pga. symmetri m˚
a det
elektriske feltet i dette punktet være rettet langs z-aksen: Roter ringen 180◦ rundt z-aksen.
En slik rotasjon er en symmetrioperasjon, dvs. den endrer ikke ringen i det hele tatt. Dermed
skal rotasjonen heller ikke endre E. Med andre ord m˚
a E = Eˆ
z. Vi trenger alts˚
a ikke regne ut
ˆ = R/R kan (2.12)
ˆ - og y
ˆ -komponentene av feltet, de er jo uansett null.1 Ved ˚
x
a bruke at R
skrives
Z
Z
Q0
RQ0 dl
1
=
Rdl,
(2.13)
E=
4π0 C R3
4π0 R3 C
der vi i siste overgang har brukt at Q0 og lengden R er konstant under integralet. Vi var enige
ˆ-komponenten; det gjør vi ved ˚
ˆ-komponenten
i at det bare var vits i ˚
a regne ut z
a bruke at z
til R er høyden z til observasjonspunktet. Dette gir
E=
Q0 z
4π0 R3
Z
dl =
C
Qz
Q0 z
2πa =
,
3
2
4π0 R
4π0 (z + a2 )3/2
(2.14)
med retningen gitt av E = Eˆ
z. Vi merker oss at feltet i origo er null (slik vi m˚
a ha av
symmetrigrunner), og at feltet for store z g˚
ar mot feltet fra en punktladning:
E → Q/(4π0 z 2 ).
z
E
dE
z
R
a
dl
Figur 2.4: Sirkulær linjeladning med konstant linjeladningstetthet Q0 . Linjeelementet Q0 dl kan
sees p˚
a som en punktladning som gir et elektrisk felt dE i observasjonspunktet.
1
Merk at bidraget dERtil feltet fra en enkelt punktladning Q0 dl langs ringen ikke er rettet langs z-aksen, det er
summen (integralet E = C dE) av alle disse bidragene som tilfredsstiller E = Eˆ
z.
20
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
2.2
2.2. SKALARPOTENSIALET
Statiske elektriske felt er konservative – skalarpotensial
N˚
ar en punktladning q befinner seg i et elektrisk felt, virker det en elektrisk kraft F = qE p˚
a
ladningen. Hvis vi flytter ladningen fra et punkt A til et gitt referansepunkt ref., utfører denne
kraften et arbeid gitt av kraft · forskyving, summert over alle sm˚
a forskyvinger dl:
Z ref.
Z ref.
arbeid =
F · dl = q
E · dl,
(2.15)
A
A
per definisjon av arbeid. Vi definerer n˚
a skalarpotensialet i punktet A, med ref. som referanse:
arbeid
VA =
=
q
Z
ref.
A
E · dl.
(2.16)
Potensialet har enhet V (volt), som er det samme som J/C (joule/coloumb). Definisjonen (2.16)
R ref.
viser seg ˚
a være fornuftig av tre ulike ˚
arsaker: (i) integralet A E · dl er uavhengig av veien vi
m˚
atte velge fra A til referansepunktet, (ii) potensialet viser seg ˚
a gjøre de elektrostatiske lovene
enklere og (iii) potensialet er vanligvis praktisk ˚
a m˚
ale. Vi skal starte med ˚
a vise (i). Vi vil merke
(ii) allerede i eksemplene i dette kapittelet og ogs˚
a seinere. At potensialet kan m˚
ales, vil vi ogs˚
a
se seinere: En potensialforskjell vil kunne gi opphav til elektrisk strøm, og strømmen kan m˚
ales
bl.a. fordi den gir magnetiske krefter.
Vi skal alts˚
a vise at i et statisk elektrisk felt er integralet
Z B
VAB =
E · dl
(2.17)
A
uavhengig av integrasjonsvei mellom punktene A og B. En annen m˚
ate ˚
a formulere dette p˚
a er at
I
C
E · dl = 0
(2.18)
for enhver lukket integrasjonskurve C. At disse utsagnene er ekvivalente, følger av at to ulike veier
danner en lukket kurve (se fig. 2.5b):
Z
Z
I
+
= ,
(2.19)
fra A til B via vei 1
fra B til A via vei 2
C
der C n˚
a best˚
ar av vei 1 etterfulgt av vei 2. Alternativt kan vi skrive
Z
Z
I
−
= ,
fra A til B via vei 1
fra A til B via vei 2
(2.20)
C
der vi alts˚
a har snudd vei 2 slik at den g˚
ar fra A til B. Det at integralet p˚
a høyre side er null er
alts˚
a ekvivalent med at integralet fra A til B er uavhengig av vei.
Vi viser (2.18) og dermed veiuavhengigheten av (2.17) ut fra Coulombs lov. Ideen i dette
beviset er først ˚
a vise at “sirkulasjonen” i alle punkt er lik null, dvs. ∇ × E = 0, og deretter
utvide resultatet til en sirkulasjon rundt en endelig sløyfe vha. Stokes teorem. Vi ser først p˚
a en
punktladning Q plassert i origo. Feltet er gitt av (2.9), der R n˚
a kan byttes ut med avstanden r
fra origo. Uttrykket gjelder bare for r > 0. Vi bruker uttrykket for curl i sfæriske koordinater:
ˆ
ˆ
∂(sin θEφ ) ∂Eθ
∂(rEφ )
ˆr
θ
1 ∂Er
φ ∂(rEθ ) ∂Er
−
−
−
∇×E≡
+
+
(2.21)
r sin θ
∂θ
∂φ
r sin θ ∂φ
∂r
r
∂r
∂θ
Siden E bare har en ˆr-komponent, og denne komponenten bare avhenger av r, gir vektorformelen
ovenfor at
∇×E=0
(2.22)
21
2.2. SKALARPOTENSIALET
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
E
ref.
B
vei 2
vei 1
dl
A
A
(a)
(b)
Figur 2.5: (a) N˚
ar en punktladning q flyttes fra A til ref. utfører den elektriske kraften et
arbeid. (b) To veier mellom A og B danner en lukket sløyfe.
for alle r > 0. I origo r = 0, dvs. akkurat der punktladningen befinner seg, kan vi bruke definisjonen
av curl (1.12) til ˚
a vise at (2.22) ogs˚
a gjelder der. Vi velger oss et sirkulært flateelement med
sentrum i origo, og finner at linjeintegralet blir null siden E ⊥ dl langs hele sirkelen.
Stokes’ teorem gir n˚
a at
I
Z
C
E · dl =
S
∇ × E · dS = 0.
(2.23)
Her har vi definert flaten S slik at den omsluttes av C. Siden feltet fra en vilk˚
arlig ladningsansamling er summen av bidragene fra hver enkel punktladning ρdv, er det klart at (2.22) og (2.23)
gjelder for et vilk˚
arlig, statisk elektrisk felt.
Vi ser n˚
a nærmere p˚
a potensialet. For en punktladning Q i vakuum f˚
ar vi følgende potensial
en avstand R fra ladningen:
Z ∞
Z ∞
Qdr
Q
V =
E · dl =
=
.
(2.24)
2
4π
r
4π
0
0R
R
R
Her har vi valgt referansepunktet til ˚
a være uendelig langt unna Q. Det er forøvrig vanlig ˚
a velge
referansepunktet i uendeligheten forutsatt at ladningsfordelingen har endelig utstrekning i alle
retninger. For en vilk˚
arlig ladningsfordeling i rommet (med endelig utstrekning) blir potensialet
en superposisjon av bidrag fra punktladninger ρdv, der ρ er romladningstettheten:
Z
ρdv
V =
.
(2.25)
4π
0R
v
Tilsvarende f˚
as hhv. potensialet fra en flateladning og linjeladning:
Z
ρs dS
V =
.
S 4π0 R
Z
V =
C
(2.26)
Q0 dl
.
4π0 R
(2.27)
Potensialforskjellen eller spenningen mellom to punkter A og B defineres som
Z ref.
Z ref.
Z ref.
Z B
Z B
VAB = VA − VB =
E · dl −
E · dl =
E · dl +
E · dl =
E · dl.
A
B
A
ref.
(2.28)
A
Vi merker oss at potensialforskjellen ikke er avhengig av valgt referanse. Legg ogs˚
a merke til den
litt uvante rekkefølgen av integrasjonsgrensene A og B i det siste integralet; denne rekkefølgen er
et resultat av fortegnet i definisjonen av potensial (2.16).
22
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
2.2. SKALARPOTENSIALET
B
C
A
Figur 2.6: Krets med tre punkter A, B og C.
Fra (2.18) f˚
ar vi Kirchhoffs spenningslov , nemlig at summen av alle potensialdifferanser rundt
en lukket krets er null. F.eks. i fig. 2.6 f˚
ar vi
Z B Z C Z A I
E · dl = 0.
(2.29)
E · dl =
+
VAB + VBC + VCA =
+
B
A
C
rundt kretsen
Kirchhoffs spenningslov gjelder alts˚
a eksakt i elektrostatikken. N˚
ar vi har tidsvariasjon gjelder den
ikke alltid, selv om den kan være tilnærmet gyldig i mange tilfeller. Som vi skal se seinere, gjelder
Kirchhoffs spenningslov n˚
ar det ikke er noen tidsvarierende magnetisk fluks gjennom kretsen.
Relasjonen (2.16) kan inverteres ved ˚
a regne ut VB − VA for punktet B infinitesimalt unna A.
Hvis A har koordinatene (x, y, z) og B har koordinatene (x + dx, y + dy, z + dz) f˚
ar vi
dV ≡ VB − VA = −
og dermed
Ex = −
Z
∂V
,
∂x
B
A
E · dl = −(Ex dx + Ey dy + Ez dz),
Ey = −
∂V
,
∂y
Ez = −
∂V
.
∂z
(2.30)
(2.31)
Dette kan skrives mer kompakt p˚
a vektorform:
E = −∇V.
(2.32)
Med (2.16) og (2.32) har vi f˚
att formler for ˚
a g˚
a fra E-felt til potensial, og motsatt vei. Sammenhengen (2.32) er praktisk ˚
a bruke til ˚
a finne det elektriske feltet: Først kan man finne potensialet
vha. superposisjon av bidrag fra punktladninger (f.eks. (2.25)), og deretter finne E vha. (2.32).
Dette er ofte en enklere metode enn ˚
a regne ut det elektriske feltet direkte fra f.eks. (2.10), siden
man slipper ˚
a ta hensyn til en varierende enhetsvektor i integralet.
Som en kuriositet kan det nevnes at (2.32) viser at de tre komponentene av et statisk elektrisk
felt kan representeres ved hjelp av en skalar funksjon V . Dette kanskje litt overraskende resultatet
m˚
a sees i sammenheng med at E-feltet har betydelig innskrenket frihet pga. (2.22). Legg ogs˚
a
merke til at n˚
ar vi representerer det elektriske feltet som gradienten til en skalar funksjon V , er
(2.22) automatisk oppfylt fordi curl til en gradient er identisk lik null, ∇ × (∇V ) ≡ 0.
En ekvipotensialflate er en flate med V = konst. For en punktladning viser (2.24) at ekvipotensialflatene er kuleflater med sentrum i ladningen, se fig. 2.7.
Det elektriske feltet vil alltid være normalt p˚
a ekvipotensialflatene (se kapittel 1.4 om gradient),
og peke den veien V minker raskest. P˚
a akkurat samme m˚
ate vil kotene p˚
a et kart vise kurvene
der høyden = konst., og bekkene renner normalt p˚
a kotene og den veien høyden minker raskest.
23
2.2. SKALARPOTENSIALET
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
E
1
0
0
1
V = konst.
Figur 2.7: En punktladning med tilhørende ekvipotensialflater og elektrisk felt.
Eksempel 2.3
Hva er potensialet langs aksen til den sirkulære linjeladningen i fig. 2.4, dersom referansen
settes i uendeligheten? P˚
a samme m˚
ate som i (2.25) gir en superposisjon av bidrag fra
linjeladningselementer (punktladninger) langs ringen at
Z
Q0 dl
V =
(2.33)
ring 4π0 R
for et observasjonspunkt en høyde z over ringen. Siden alt er konstant inne i integralet, blir
dette
Q
2πaQ0
=
,
(2.34)
V =
4π0 R
4π0 R
der Q er den totale ladningen til ringen, og R2 = a2 + z 2 . Vi f˚
ar alts˚
a samme resultat som om
all ladningen var samlet i et punkt R nedenfor observasjonspunktet.
ˆ-retning. Vi kan alts˚
Det elektriske feltet m˚
a av symmetrigrunner være i z
a finne feltet fra
(2.32):
dV
Q 1 dR
Qz
ˆ=
ˆ=
ˆ,
E=−
z
z
z
(2.35)
dz
4π0 R2 dz
4π0 R3
som er det samme som (2.14).
Eksempel 2.4
Vi ønsker ˚
a finne potensialet og det elektriske feltet fra en dipol , dvs. en negativ punktladning
−Q og en positiv punktladning +Q som er d unna hverandre, se fig. 2.8. For enkelhets skyld
antar vi at observasjonspunktet er mye lenger unna ladningene enn d, dvs. r d, og bruker
uendeligheten som referanse. Vha. superposisjon av bidrag fra punktladninger (2.24) f˚
ar vi:
Q
−Q
Q
1
1
Q r− − r+
V =
+
=
−
=
(2.36)
4π0 r+
4π0 r−
4π0 r+
r−
4π0 r+ r−
Siden r d, setter vi r+ r− ≈ r2 i nevneren, og bruker at r− − r+ ≈ d cos θ (se fig. 2.8):
V =
Q d cos θ
p · ˆr
=
,
2
4π0 r
4π0 r2
(2.37)
der vi har definert dipolmoment p:
p = Qd.
(2.38)
Vi kan n˚
a finne det elektriske feltet vha. (2.32) og uttrykket for gradient i sfæriske
koordinater (se formelsamlingen i kap. 1.11):
∂V
1 ∂V ˆ
Qd ˆ .
ˆr −
E=−
θ=
2
cos
θˆ
r
+
sin
θ
θ
(2.39)
∂r
r ∂θ
4π0 r3
24
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
2.3. GAUSS’ LOV
ˆ og derfor sin θθ
ˆ = cos θˆr − z
ˆ = cos θˆr − sin θθ
ˆ kan dette omskrives til
Ved ˚
a bruke at z
E=
3(p · ˆr)ˆr − p
,
4π0 r3
(2.40)
s˚
a feltet avhenger ikke av avstanden d eller ladningen Q separat, bare gjennom
dipolmomentet p.
0000000000000000000
1111111111111111111
obs.pkt.
000000000000000000
111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
r+
000000000000000000
111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
r−
0000000000000000000
1111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
r
0000000000000000000
1111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
0000000000000000000
1111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
0
1
0
1
Q1111111111111111111
0000000000000000000
000000000000000000
111111111111111111
0
1
00
11
0
1
0000000000000000000
1111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
00
11
0
1
0000000000000000000
1111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
00
11
0
1
0000000000000000000
1111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
00
11
0
1
0000000000000000000
1111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
00
11
d
0
1
0000000000000000000
1111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
00
11
0
1
0000000000000000000
1111111111111111111
00
11
0
1
0000000000000000000
1111111111111111111
θ
0
1
0000000000000000000
1111111111111111111
0
1
−Q1111111111111111111
0d cos θ
1
0000000000000000000
0
1
Figur 2.8: En dipol best˚
ar av to punktladninger −Q og Q. Avstandsvektoren fra −Q til Q er
d.
2.3
Gauss’ lov
For problemer med høy grad av symmetri er ofte Gauss’ lov mer praktisk ˚
a bruke enn Coulombs
lov. Gauss’ lov sier at fluksen av det elektriske feltet ut av en lukket flate S er proporsjonal med
den totale ladningen som er omsluttet av flaten,
I
0
S
E · dS = Qtotal i S .
(2.41)
Volumet v er definert som det volumet som omsluttes av S. Vi vil n˚
a vise Gauss’ lov ut fra
Coulombs lov. Det er tilstrekkelig ˚
a vise Gauss’ lov for feltet fra en punktladning Q siden feltet fra
en vilk˚
arlig ladningsansamling kan skrives som en superposisjon av feltene fra mange infinitesimale
punktladninger ρdv.
Anta først en punktladning Q inne i v. Vi bruker divergensteoremet:
I
Z
E · dS = ∇ · Edv.
(2.42)
S
v
Vi plasserer koordinatsystemet slik at punktladningen er i origo. Det elektriske feltet er da gitt
av Coulombs lov (2.9) for R = r > 0, og vi kan regne ut divergensen til E-feltet vha. uttrykket
for divergens i sfæriske koordinater:
∇·E ≡
1 ∂(r2 Er )
1 ∂(sin θEθ )
1 ∂Eφ
+
+
2
r
∂r
r sin θ
∂θ
r sin θ ∂φ
25
(2.43)
2.3. GAUSS’ LOV
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
S
a
Sa
Figur 2.9: Skisse til bevis av Gauss’ lov. S er en vilk˚
arlig, lukket flate som omslutter punktladningen. Sa er en kuleflate sentrert rundt punktladningen. Radius a er s˚
a liten at kuleflaten
ligger helt inne i S.
Vi f˚
ar
2
Q
1 ∂(r2 Er )
1 ∂(r 4π0 r2 )
∇·E = 2
= 2
= 0.
r
∂r
r
∂r
(2.44)
For r = 0 kan vi ikke regne ut ∇ · E p˚
a denne m˚
aten, fordi Er ikke er kontinuerlig. Men siden
∇ · E = 0 for r > 0 kan vi skrive (2.42):
I
Z
Z
∇ · Edv,
(2.45)
E · dS = ∇ · Edv =
S
v
va
der va er en liten kule med radius a sentrert rundt ladningen, s˚
a liten at den er helt innesluttet i
flaten S, se fig. 2.9. Divergensteoremet anvendt p˚
a denne kula gir
Z
I
Q
Q
∇ · Edv =
E · dS =
· 4πa2 = ,
(2.46)
2
4π0 a
0
va
Sa
fordi |E| er konstant og E radielt rettet p˚
a kuleoverflaten Sa (gitt av (2.9) med R = a). Ved ˚
a
kombinere (2.45) og (2.46) f˚
ar vi Gauss’ lov.
H
Hvis Q hadde vært utenfor S, ville ∇ · E = 0 i hele v, og dermed S E · dS = 0. Superposisjon
av bidrag fra ladninger innenfor og utenfor S gir til slutt at
I
0 E · dS = Qtotal i S .
(2.47)
S
Eksempel 2.5
En koaksialkabel best˚
ar av en sylindrisk innerleder med radius a og et sylindrisk
ytterleder-skall med indre radius b, se fig. 2.10. Vi ønsker ˚
a finne det elektriske feltet overalt
n˚
ar innerlederen har potensial V0 i forhold til ytterlederen. Kabelen antas ˚
a være netto uladd
og uendelig lang.2
2
Vi vil fra tid til annen bruke eksempler som har ladninger og/eller strømmer helt ut til uendeligheten. I praksis
er dette selvsagt fysisk umulig, og enkelte av sammenhengene vi har funnet er ikke en gang nødvendigvis gyldige
(f.eks. kan det tenkes at integralet i (2.25) divergerer). Dette løses ved ˚
a se p˚
a kabelen som endelig, men likevel s˚
a
lang at omr˚
adet som observeres er langt unna endene.
26
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
2.3. GAUSS’ LOV
Vi antar at innerlederen har ladning per lengdeenhet Q0 . Pga. symmetri m˚
a denne
ladningen være jevnt fordelt over overflaten til kabelen.3 Videre m˚
a det elektriske feltet være
ˆ og/eller en z
ˆ-komponent. Vi snur n˚
radielt rettet: Anta at det elektriske feltet hadde en φa
kabelen (slik at den peker mot −z isf. z). Dette er en symmetrioperasjon; den endrer ikke p˚
a
ˆ
ˆ
noen ting. Men eventuelle φ- og z-komponenter ville blitt snudd av operasjonen. Denne
selvmotsigelsen viser at antagelsen er gal, s˚
a E = Eˆr overalt. Videre m˚
a E = E(r) være
uavhengig av φ (pga. rotasjonssymmetri) og z (fordi kabelen er uendelig lang).
l
V =0
111111111111
000000000000
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
V =V
000000000000
111111111111
0000
1111
ǫ
000000000000
111111111111
0000
1111
a
000000000000
111111111111
0000
1111
000000000000
111111111111
0000
1111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
b
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
111111
000000
000000
111111
000000
111111
000000
111111
a
00
11
000000
111111
00
11
000000
111111
00
11
000000
111111
00
11
000000
111111
000000
111111
b
000000
111111
000000
111111
000000
111111
0
0
S
r
z
Figur 2.10: En koaksialkabel.
Vi bruker n˚
a Gauss’ lov p˚
a en sylinderflate med senter i z-aksen, radius r og lengde l. P˚
a
lokkene av sylinderen st˚
ar E ⊥ dS, s˚
a vi f˚
ar bare bidrag fra den krumme flaten med radius r.
P˚
a denne flaten er E i samme retning som flatenormalen dS, s˚
a E · dS = EdS. Siden E er
konstant p˚
a flaten kan vi ta den utenfor integralet:
I
I
I
0
E · dS = 0
EdS = 0 E
dS = 0 2πrlE.
(2.48)
S
S
S
Dette gjelder for alle r siden vi bare har brukt symmetrien s˚
a langt. For r større enn
ytterradiusen til kabelen m˚
a høyresiden i Gauss’ lov settes til null, for kabelen skulle være
netto uladd (dvs. det er like stor negativ ladning p˚
a ytterlederen som det er positiv ladning p˚
a
innerlederen). Der f˚
as alts˚
a 0 2πrlE = 0, dvs. E = 0. I innerlederen og ytterlederen er feltet
null siden lederne antas ˚
a være ideelle. (Dette kan tas for god fisk n˚
a siden ledere blir diskutert
i detalj i kap. 2.7.) For a < r < b, blir høyresiden i Gauss’ lov Q0 l, dvs. 0 2πrlE = Q0 l. Alts˚
a
( 0
Q
ˆr, for a < r < b
E = 2π0 r
(2.49)
0,
ellers.
Det er sjelden det er ladningen vi har kontroll p˚
a eller kan m˚
ale, det er heller
potensialforskjellen. Hvis potensialforskjellen er V0 , hva er da Q0 ? For ˚
a svare p˚
a dette bruker
vi definisjonen av potensialforskjell:
Z
V0 =
a
b
E · dl =
Z
b
Edr =
a
Q0
2π0
Z
a
b
dr
Q0
b
=
ln .
r
2π0 a
Ved hjelp av denne sammenhengen kan vi eliminere Q0 fra (2.49):
(
V0
r, for a < r < b
b ˆ
E = r ln a
0,
ellers.
3
(2.50)
(2.51)
Det vil si at flateladningstettheten ρs p˚
a overflaten av innerlederen tilfredsstiller ρs 2πal = Q0 l = Q, der Q er
ladningen til en lengde l av kabelen.
27
2.3. GAUSS’ LOV
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
Eksempel 2.6
Hva er det elektriske feltet utenfor en kule med ladning Q (fig. 2.11)? Ladningen antas jevnt
fordelt over volumet av kula. Symmetrien tilsier at det elektriske feltet er radielt rettet, dvs.
E = Eˆr. Anta at den ikke var det. Dersom vi roterte kula 180◦ rundt en akse som g˚
ar
igjennom kulesentrum, ville det elektriske feltet peke en annen vei. Men en slik rotasjon
endrer jo ingenting p˚
a kula, s˚
a dette m˚
a være en selvmotsigelse. Alts˚
a var antagelsen gal.
Videre betyr symmetrien at E bare kan avhenge av r, ikke av φ og θ. Vi tar n˚
a i bruk Gauss’
lov p˚
a en kuleflate S med radius r og sentrum i kulesentrum:
I
I
0
E · dS = 0
EdS = 0 4πr2 E = Q.
(2.52)
S
S
Her har vi brukt at EkdS i første likhet, at E er uavhengig av hvor vi er p˚
a S i andre likhet,
og Gauss’ lov i siste likhet. Vi f˚
ar
E=
Q
ˆr, for r > a.
4π0 r2
1111111111111
0000000000000
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000 r
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
a
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
(2.53)
E
S
Figur 2.11: En kule.
Eksempel 2.7
Et uendelig plan i z = 0 har konstant flateladningstetthet ρs , se fig. 2.12. Vi ønsker ˚
a finne E
overalt (men z 6= 0). Siden planet er uendelig, vil ikke feltet kunne avhenge av x og y. Videre
ˆ - eller y
ˆ -komponenter, s˚
tilsier symmetrien at feltet ikke kan ha x
a E er i ±z-retning. Hvis
ρs > 0 peker E bort fra planet, mens hvis ρs < 0 peker E mot planet. Vi skriver E = Eˆ
z for
z > 0. Vi bruker n˚
a Gauss’ lov p˚
a sylinderen p˚
a figuren, og f˚
ar bare bidrag fra topplokket og
bunnen (begge med areal ∆S), siden E er vertikal. Disse to bidragene blir like store pga.
speilsymmetri om planet z = 0. Alts˚
a
I
0
E · dS = 20 E∆S = ρs ∆S,
(2.54)
S
s˚
a
(
E=
ρs
ˆ
20 z
ρs
ˆ
− 20 z
for z > 0,
for z < 0.
(2.55)
Fra eksemplene skjønner vi at selv om Gauss’ lov alltid er gyldig, er den bare praktisk ˚
a bruke
n˚
ar det er høy grad av symmetri, slik at vi kan forenkle integralet. Gaussflaten S velges slik at
28
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
2.4. DIELEKTRISKE MEDIER
E
z
sylinder S
z
ρs
−z
∆S
Figur 2.12: Et uendelig plan med konstant flateladningstetthet er plassert i z = 0.
den g˚
ar igjennom observasjonspunktet der man vil finne E, og slik at den ikke bryter symmetrien
til problemet.
Til slutt merker vi oss følgende resultat, som følger direkte av Gauss’ lov:
E = 0 overalt p˚
a en lukket flate S ⇒ Qtotal, i S = 0.
(2.56)
Men motsatt implikasjon er ikke gyldig! Dersom netto ladning innenfor flaten er null, er ikke
nødvendigvis E = 0 p˚
a flaten!
R 2π Det at et integral er null, betyr ikke nødvendigvis at det som
integreres er null. F.eks. er 0 f (x)dx = 0 selv om f (x) = sin x 6= 0. Bare i tilfeller med høy grad
av symmetri der man kan forenkle Gauss-integralet til E multiplisert med arealet av S, vil man
automatisk kunne slutte at E = 0 n˚
ar netto ladning inni S er null.
2.4
Elektriske felt i dielektriske medier
S˚
a langt har vi beskrevet felt og potensial fra ladninger i vakuum. Denne beskrivelsen er ogs˚
a
gyldig i hvilket som helst medium, s˚
a lenge vi tar alle ladningene i mediet med i betraktning.
Dette er imidlertid en tungvinn og upraktisk beskrivelse – i praksis ville det være bedre om
vi kunne behandle selve mediet som en slags “bakgrunn” hvor vi ikke trenger ˚
a ta hensyn til
hver enkelt ladning. Det er dette vi skal gjøre n˚
a, vi deler ladningene inn i to kategorier, bundne
ladninger , dvs. ladninger i mediet som er bundet sammen i dipoler, og frie ladninger , dvs. alle
andre ladninger. M˚
alet er ˚
a modifisere Gauss’ lov slik at vi bare har fri ladning p˚
a høyresiden –
det er nemlig den frie ladningen som er enklest ˚
a ha kontroll p˚
a.
Vi ser p˚
a et materiale hvor alle ladningene er bundne. Et slikt materiale kalles et rent dielektrisk
medium. N˚
ar et materiale utsettes for et elektrisk felt, vil eventuelle dipoler i mediet til en viss
grad rettes inn etter feltet. Dette kalles polarisering. Hvis feltet er homogent, dvs. likt overalt, vil
polariseringen effektivt føre til en flateladning p˚
a kanten av materialet, se fig. 2.13. Denne bundne
flateladningen vil motvirke det elektriske feltet inne i materialet slik at det blir mindre.
Vi ønsker n˚
a˚
a se nærmere p˚
a denne skjermingen og vise hvordan Gauss’ lov modifiseres inne
i det dielektriske materialet. Vi starter med ˚
a friske opp definisjonen av dipolmoment:
p = Qd.
(2.57)
Her er d posisjonsvektoren fra den negative ladningen til den positive. I mediet vil det generelt
finnes enormt mange dipoler som godt kan ha forskjellige p, b˚
ade i størrelse og retning. Siden de
er s˚
a mange og s˚
a sm˚
a, vil hver enkelt av dem ikke ha noen praktisk betydning; det er summen
av dipolene i hvert volumelement som har betydning fra et makroskopisk synspunkt. Vi definerer
derfor en polariseringsvektor P som summen av dipolmoment i volumelementet dv dividert p˚
a
29
2.4. DIELEKTRISKE MEDIER
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
+
+
+
+
+
+
_+_+_+_+_+_+
_
+
+
_+_
_ _ _
+ + +
_+_+_+_+_+_+
_
_
_
_
_
_
Figur 2.13: Et medium med homogen polarisering. Legg merke til at vi f˚
ar en netto positiv,
bunden flateladning p˚
a toppen og negativ ladning p˚
a b˚
ann, mens inne i mediet vil de positive
og negative ladningene være omtrent p˚
a samme sted slik at netto romladning blir null.
volumet til elementet:
P
i dv
p
.
(2.58)
dv
Størrelsen Pdv blir da det totale dipolmoment i volumelementet dv. Dersom alle dipolene er
identiske, gir (2.58) at
P = N p,
(2.59)
P=
der N er antall dipoler per volumenhet og p er dipolmomentet til hver dipol. Selv om dipolene
selvsagt ikke nødvendigvis er identiske i et virkelig medium, kan vi representere dipolmomentet i
et volumelement som en slik mengde av identiske dipoler4 .
For ˚
a finne ut hvordan det totale elektriske feltet p˚
avirkes av det dielektriske materialet m˚
a
vi først regne ut hvor stor netto ladning som er innesluttet i en lukket flate S. Vi antar at
polariseringen er gitt ved P. Det er klart at bare dipolene langs S kan bidra til netto ladning siden
dipolene som har b˚
ade sin positive og negative del inne i omr˚
adet vil bidra med null netto ladning.
Langs et flateelement dS p˚
a S vil vi f˚
a et bidrag fra dipolmomentet P dv = P dSd cos α = P · dSd,
se fig. 2.14. Dette gir et ladningsbidrag −(P · dSd)/d = −P · dS. Total ladning omsluttet av S blir
alts˚
a
I
Qbundet pol.ladning i S = − P · dS.
(2.60)
S
Siden vi n˚
a vet polariseringsbidraget til den totale ladningen i S, kan vi finne det totale
elektriske feltet vha. Gauss’ lov:
I
I
0 E · dS = Qtotal i S = Qfri i S + Qbundet pol.ladning i S = Qfri i S −
P · dS,
S
eller
S
I
S
(0 E + P) · dS = Qfri i S .
(2.61)
Det er derfor naturlig ˚
a definere en ny feltstørrelse, elektriske flukstetthet eller forskyvning
D = 0 E + P.
(2.62)
D · dS = Qfri i S .
(2.63)
Gauss’ lov i et medium blir dermed
I
S
4
Det er ikke helt opplagt at dette er mulig. Se p˚
a situasjonen der vi har to typer dipoler, s˚
a P = N1 p1 + N2 p2 ,
der N1 og N2 er antall dipoler per volumenhet med hhv. dipolmoment p1 = Q1 d1 og p2 = Q2 d2 . Vi kan n˚
a definere
P1 = N1 p1 og P2 = N2 p2 og følge utledningen som leder fram til (2.60) for hver av disse,
a bytte
H ved ˚
H ut P med
hhv.
H P1 eller P2 . Total bunden ladning i S blir da summen av disse to bidragene, dvs. − S P1 · dS − S P2 · dS =
− S P · dS. Dette argumentet generaliseres rett fram til et vilk˚
arlig antall forskjellige dipoler.
30
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
2.4. DIELEKTRISKE MEDIER
dS
P
a
+
+
+ _
+
_
d
d cos a
_
_
S
Figur 2.14: Skisse for ˚
a beregne total bunden ladning i en lukket flate S. De eneste dipolene som
bidrar til netto ladning i S er de som har den ene “enden” utenfor flaten S. Langs flateelementet
dS svarer dette kun til dipoler som er sentrert innenfor en lengde d cos α parallelt med dS, der
α er vinkelen mellom P og dS.
Legg merke til at bare den frie ladningen inng˚
ar i (2.63). Vi kan alts˚
a finne forskyvningen D ut
fra kjennskap til de frie ladninger alene, uten kjennskap til polariseringen i mediet. Det elektriske
feltet blir E = (D − P)/0 . Polariseringen vil være relatert til det totale elektriske feltet. For
mange materialer er sammenhengen lineær,
P = 0 χe E,
(2.64)
der proposjonalitetskonstanten χe er en materialparameter som kalles elektrisk susceptibilitet. For
et slikt lineært medium f˚
as alts˚
a
D = 0 E + P = 0 E + 0 χe E = 0 (1 + χe )E = r 0 E = E.
(2.65)
Her har vi definert relativ permittivitet r = 1 + χe og absolutt permittivitet = r 0 . Vi merker
oss at det elektriske feltet blir redusert med en faktor 1 + χe i forhold til situasjonen med vakuum.
Et lineært medium kjennetegnes alts˚
a ved at sammenhengen mellom P og E er lineær. Hvis
mediet i tillegg er isotropt, er sammenhengen uavhengig av retningen p˚
a E, dvs. χe og dermed r
blir skalare størrelser. Typiske eksempler p˚
a isotrope medier er vann, luft og glass, mens krystaller
ofte er anisotrope. Dersom χe og dermed r er uavhengig av posisjon, er mediet homogent. Den
relative permittiviteten til et gitt stoff kan finnes fra fysiske tabeller, se f.eks. tabell 2.1.
Materiale
vakuum
luft
papir
tre
olje
glass
kvarts
Rel. permittivitet
1
1.0005
1.3 til 3
2 til 5
2.3
4 til 10
5
Materiale
NaCl
silisium
germanium
vann
TiO2
BaTiO3
Rel. permittivitet
5.9
12
16
81
∼ 100
∼ 1200
Tabell 2.1: Den relative permittiviteten til noen ulike stoffer ved romtemperatur.
Siden de bundne ladningene n˚
a er bakt inn i r , vil vi heretter for det meste bare trenge ˚
a ha
kontroll p˚
a de frie ladningene. Vi lar derfor størrelsene Q (ladning), Q0 (linjeladningstetthet), ρs
(flateladningstetthet) og ρ (romladningstetthet) st˚
a for den frie ladningen. Hvis vi er interessert
i bunden ladning eller bunden ladningstetthet, vil det uttrykkes eksplisitt.
31
2.4. DIELEKTRISKE MEDIER
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
Gauss’ lov (2.63) kan skrives om til differensialform ved hjelp av divergensteoremet:
Z
I
Z
D · dS = ∇ · Ddv.
Qfri i S = ρdv =
(2.66)
v
S
v
Her er v det volumet som begrenses av flaten S. Siden S og dermed v er vilk˚
arlig, m˚
a vi ha
∇·D = ρ
(2.67)
Dette er Gauss’ lov p˚
a differensialform, ogs˚
a kjent som en av Maxwells fire ligninger. Den andre
loven som beskriver statiske elektriske felt er loven om at statiske elektriske felt er konservative,
∇ × E = 0.
(2.68)
Siden vi fant i 2.2 at dette gjelder for en vilk˚
arlig ladningsfordeling, er det klart at det ogs˚
a gjelder
i et materiale.
Eksempel 2.8
En punktladning Q er plassert i origo. Det er et dielektrisk medium med permittivitet
= r 0 overalt, se fig. 2.15. Hva er det elektriske feltet? Ved ˚
a bruke Gauss’ lov p˚
a den
stiplede flaten p˚
a figuren, har vi full kulesymmetri. Vi f˚
ar dermed
I
D · dS = D4πr2 = Q,
(2.69)
S
og dermed at
E=
D
Q
Q
ˆr =
ˆr.
=
2
4πr
4πr 0 r2
(2.70)
.
.
.
+
−
+
−
+
Q
ǫ
−
−
+
−
+
−
+
.
.
.
Figur 2.15: En punktladning i et dielektrisk medium med permittivitet . Noen av dipolene er
vist over og under punktladningen.
Vi ser at E har blitt en faktor r mindre i forhold til situasjonen med vakuum. Dette kan
tolkes fysisk p˚
a følgende m˚
ate: Dipolene i det dielektriske mediet stiller seg inn som sm˚
a
kompass, slik at den negative enden rettes mot den positive ladningen Q. Overalt i mediet vil
da den negative enden av en dipol være kompensert av den positive enden til den neste
dipolen, med unntak av rett rundt punktladningen. Her blir det en liten kuleflate med
bunden, negativ ladning fra dipolene, som motvirker eller skjermer det elektriske feltet fra Q.
32
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
2.5
2.5. POISSONS OG LAPLACE’ LIGNING
Poissons og Laplace’ ligning
Det elektriske feltet har tre komponenter og er derfor mer komplisert ˚
a arbeide med enn skalarpotensialet V . De tre komponentene av det statiske elektriske feltet er imidlertid bundet tett
sammen, slik at feltet kan representeres som −∇V . Ligningen som det elektrostatiske potensialet
V m˚
a tilfredsstille f˚
as ved ˚
a kombinere E = −∇V og (2.67):
ρ = ∇ · D = ∇ · E = ∇ · (−∇V ).
(2.71)
Her har vi antatt et lineært dielektrikum, D = E. Hvis mediet i tillegg er isotropt og homogent,
dvs. er skalar og uavhengig av posisjon, f˚
as
ρ
∇2 V = − ,
(2.72)
som er Poissons ligning. I ladningsfrie deler av rommet blir høyresiden lik null, dvs. potensialet
tilfredsstiller Laplace’ ligning
∇2 V = 0.
(2.73)
Disse ligningene kan brukes for ˚
a bestemme potensialet og dermed det elektriske feltet i et gitt
omr˚
ade. En løsning av et elektrostatisk problem er alts˚
a løsningen av Poissons (evt. Laplace’)
ligning som tilfredsstiller et passende sett grensebetingelser, f.eks. at V = 0 i uendeligheten,
V = 0 p˚
a en metallflate e.l.
Eksempel 2.9
En ledende kule har potensial V0 , radius a og sentrum i origo, se fig. 2.16. Vi skal finne
1111111111111
0000000000000
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
V0
r
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
a
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
ǫ
Figur 2.16: En ledende kule med potensial V0 .
potensialet overalt n˚
ar referansen settes i uendeligheten. Anta at mediet overalt rundt kula
har konstant permittivitet . Symmetrien tilsier at potensialet V (r) er kun avhengig av r,
ikke φ og θ. Vi uttrykker ∇2 i sfæriske koordinater (se formelsamlingen i kap. 1.11), og f˚
ar at
Laplace’ ligning blir
1 ∂
2 ∂V
r
= 0.
(2.74)
r2 ∂r
∂r
Ved ˚
a multiplisere med r2 og deretter integrere, f˚
ar vi
r2
∂V
= k1 ,
∂r
(2.75)
der k1 er en konstant. Vi deler n˚
a p˚
a r2 og integrerer en gang til:
V (r) = −
k1
+ k2 .
r
33
(2.76)
2.5. POISSONS OG LAPLACE’ LIGNING
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
Siden V = 0 i uendeligheten, m˚
a k2 = 0. Ved ˚
a sette r = a finner vi den siste konstanten:
V0 = V (a) = −k1 /a gir k1 = −V0 a. Med andre ord:
a
V = V0 .
r
(2.77)
Til slutt er det lurt ˚
a sette prøve p˚
a svaret: Sjekk at V (a) = V0 , V (∞) = 0 og at (2.74) er
tilfredsstilt.
Eksempel 2.10
Anta at potensialet tilfredsstiller Laplace’ ligning i omr˚
adet v, dvs. veldefinert og konstant,
og ρ = 0 her. Dette er det samme som ˚
a si at mediet er lineært, isotropt, homogent og uten fri
ladning. Vi kaller randen til v (den lukkede flaten som omslutter v) for S. Vi skal n˚
a vise et
kjent matematisk resultat, nemlig at V ikke har lokale maksima eller minima i omr˚
adet v; alle
ekstremalpunkt er p˚
a randen S.
Anta hypotetisk at V har et lokalt maksimum i et punkt inne i v. Da vil V minke n˚
ar man
beveger seg bort fra punktet, uansett hvilken vei man g˚
ar. Det m˚
a bety at ∇V er rettet inn
mot punktet, og dermed at E = −∇V er rettet utover. Dette m˚
a da ogs˚
a gjelde D = E, s˚
a
Gauss’ lov forteller oss at det m˚
a være fri ladning i punktet. Denne selvmotsigelsen viser at V
ikke har lokale maksima inne i v. Helt tilsvarende f˚
ar vi at V heller ikke kan ha lokale minima
her. Intuitivt kan vi se for oss hvordan potensialet inne i v er glatt og et “gjennomsnitt” av
potensialet rundt randen.
v
E
S
(a)
(b)
Figur 2.17: (a) Et volum v er omsluttet av en lukket flate S. (b) Dersom V har et (lokalt)
maksimum, vil det elektriske feltet være rettet utover fra punktet. De stiplede linjene er ekvipotensialflater.
Poissons ligning har entydig løsning n˚
ar det er spesifisert tilstrekkelige grensebetingelser: Anta
at V1 og V2 er to løsninger som tilfredsstiller Poissons ligning i v, og har samme grensebetingelse
p˚
a en lukket grenseflate S som omslutter v, dvs. V1 = V2 p˚
a S. Da er V1 = V2 i v. Beviset er
forholdsvis enkelt: Definer V = V2 − V1 . Da vil ∇2 V = 0 i v og V = 0 p˚
a S. Fra eksempelet ovenfor
vet vi at løsninger av Laplace’ ligning ikke kan ha lokale maksima eller minima i v. Dermed m˚
a
V = 0 i hele v, s˚
a V1 = V2 .
Dette entydighetsteoremet har viktige konsekvenser: Det spiller ingen rolle hvordan vi kommer
fram til en løsning; s˚
a lenge den tilfredsstiller Poissons ligning i et omr˚
ade v og er det den skal være
p˚
a randen S, er det den rette løsningen i v. Dette skal vi bruke i den s˚
akalte speilladningsmetoden
(kap. 2.7).
34
2.6. GRENSEBETINGELSER FOR E OG D
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
2.6
Grensebetingelser for E og D
Hvis vi kjenner det elektriske feltet E og den elektriske flukstettheten D p˚
a den ene siden av en
grenseflate mellom to medier, kan vi da finne feltene p˚
a den andre siden? For ˚
a svare p˚
a dette
spørsm˚
alet, ser vi p˚
a en grenseflate mellom et medium 1 og et medium 2, se fig. 2.18.
D1n
E1
ˆ
n
E2
dl
∆h → 0
D1
∆S
E1t
D2n
D2
∆h → 0
E2t
−dl
Figur 2.18: Grenseflate mellom medium 1 og medium 2. Integrasjonssløyfa C er en rektangulær
sløyfe med lengde dl og neglisjerbar høyde ∆h. Integrasjonssylinderen S har neglisjerbar høyde
∆h, og arealet til topplokket/bunnen er ∆S. Grenseflaten har flateladningstetthet ρs .
Vi definerer oss en integrasjonssløyfe C og en integrasjonssylinder S som begge har neglisjerbar
høyde ∆h → 0. Grenseflaten inneholder en flateladningstetthet ρs . Vi bruker n˚
a først (2.18)
p˚
a integrasjonssløyfen C. Dette gir E1 · dl + E2 · (−dl) = 0. Siden dl er en tangentvektor til
grenseflaten f˚
ar vi
E1t = E2t .
(2.78)
Her st˚
ar “t” for tangensialkomponenten av vektoren, dvs. den komponenten som er tangensiell
ˆ ∆S + D2 · (−ˆ
til grenseflaten. Tilsvarende gir Gauss’ lov (2.41) at D1 · n
n)∆S = ρs ∆S, forutsatt
at ∆S er s˚
a liten at feltet kan antas ˚
a være konstant p˚
a topplokket og konstant p˚
a bunnen til
sylinderen. Dette betyr at
D1n − D2n = ρs .
(2.79)
ˆ . Et
Her st˚
ar “n” for normalkomponenten til grenseflaten, her definert som komponenten langs n
nyttig spesialtilfelle er tilfellet der begge mediene er rent dielektriske. Da vil det ikke være noen
flateladningstetthet, slik at D1n = D2n .
ˆ være definert slik at den er rettet inn i medium 2 i
I noen lærebøker kan normalvektoren n
stedet for inn i medium 1. Dette ville gitt D2n − D1n p˚
a venstre side av (2.79). Det at fortegnskonvensjoner kan være forskjellig gjør det ekstra viktig ˚
a bruke andre (gjerne intuitive) metoder
for ˚
a kontrollere fortegn.
2.7
Ideelle ledere
I en ideell leder kan ladningene bevege seg helt fritt rundt omkring. Dette fører til følgende
egenskaper.
• E = 0 inne i en ideell leder. Hvis det ikke var tilfelle, ville det elektriske feltet ta tak i
ladninger og bevege p˚
a dem helt til de har falt til ro. Da vil det elektriske feltet fra disse
ladningene kompensere for det p˚
atrykte feltet. Dette kalles elektrostatisk induksjon.
• ρ = 0 inne i en ideell leder. All overskuddsladning m˚
a være p˚
a overflaten. Dette sees fra
Gauss’ lov: ρ = ∇ · D = ∇ · (0 E + P) = ∇ · (0 + 0) = 0. Overflateladningstettheten kalles
ofte for indusert flateladningstetthet, fordi den ofte kan være et motsvar til et p˚
atrykt felt,
se eksempelet om Faradaybur nedenfor.
• Lederen er en ekvipotensialflate/volum. Dette fordi en potensialforskjell mellom to punkter
RB
RB
i lederen kan skrives VAB = A E · dl = A 0dl = 0.
35
2.7. IDEELLE LEDERE
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
• Et = 0 rett utenfor lederen. Dette følger fra grensebetingelsen (2.78) og det at det elektriske
feltet inne i lederen er null.
• Den elektriske flukstettheten rett utenfor lederen tilfredsstiller Dn = ρs , der ρs er flateladningstettheten p˚
a overflaten til den ideelle lederen. Dette f˚
as fra grensebetingelsen (2.79)
og at D-feltet inne i lederen er null. (Husk at D = 0 E + P, og at det ikke er elektrisk felt
eller polarisering i ideelle ledere.)
De fem egenskapene ovenfor er oppsummert i fig. 2.19.
E
ρs < 0
−
−
−
−
−
ρ=0
E=0
V = konst.
+
+
ρs > 0
Figur 2.19: Egenskapene til en ideell leder.
I praksis finnes det ingen ideelle ledere, men teorien ovenfor kan likevel sies ˚
a være en god
tilnærmelse for mange metaller. Superledere er ideelle ledere i elektro- og magnetostatikken, s˚
a
lenge strømmen (eller magnetfeltet) ikke blir for stor.
Eksempel 2.11
Er netto ladning for lederen i fig. 2.19 positiv, null eller negativ? For ˚
a svare p˚
a dette bruker
vi Gauss’ lov p˚
a en flate som akkurat omslutter lederen. Vi ser fra figuren at det da g˚
ar 5
flukslinjer inn i flaten, og 2 flukslinjer ut av flaten. Dermed er det en netto fluks inn i flaten,
s˚
a netto ladning inne i omr˚
adet (dvs. p˚
a lederen) m˚
a være negativ.
Eksempel 2.12
Vi ser n˚
a p˚
a den ledende kula i fig. 2.16 igjen, og regner ut det elektriske feltet, den totale
ladningen og flateladningstettheten. Det elektriske feltet inne i kula er null. For r > a f˚
ar vi
fra (2.77) at
V0 a
(2.80)
E = −∇V = 2 ˆr.
r
Om vi bruker Gauss’ lov p˚
a en kuleflate S med radius r > a, f˚
ar vi at den totale ladningen Q
til kula er
I
Q=
D · dS = D4πr2 = E4πr2 = 4πaV0 ,
(2.81)
S
36
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
2.7. IDEELLE LEDERE
der vi har satt inn (2.80) i siste likhet. Siden Q fordeler seg jevnt utover overflaten til kula, er
flateladningstettheten
V0
Q
=
ρs =
.
(2.82)
4πa2
a
Lign. (2.81) gir sammenhengen mellom Q og V0 for kula:
V0 =
Q
.
4πa
(2.83)
Ved ˚
a eliminere V0 i (2.80) kan vi alts˚
a ogs˚
a uttrykke (2.80) som
E=
Q
ˆr,
4πr2
(2.84)
som forventet.
Ifølge (2.80) har det elektriske feltet rett utenfor kula størrelsen |E| = V0 /a. Dvs. for et
gitt potensial, vil det elektriske feltet rett utenfor kula være stort dersom radius er liten, og
motsatt. Dette er grunnen til at en lynavleder bør være spiss: Det at en leder er spiss gjør at
det elektriske feltet rett utenfor lederen blir stort, slik at man f˚
ar overslag der før enn man f˚
ar
andre steder.
Eksempel 2.13
Faradaybur. Vi ser n˚
a p˚
a en leder med et hull, se fig. 2.20. Fordi lederen har konstant
potensial, har alts˚
a randen til hullet konstant potensial. Siden det ikke kan være noen
maksima eller minima for potensialet inne i hullet, m˚
a alts˚
a hele hullet ha det samme,
konstante potensialet. Det følger dermed av E = −∇V at det elektriske feltet inne i hullet er
null. Vi har ikke antatt noe som helst om hva som befinner seg utenfor lederen for ˚
a komme
fram til dette. Dvs. det som befinner seg inne i hullet, er elektrisk sett helt isolert fra det som
skjer p˚
a utsiden.
E
−
−
−
−
V = konst.
E=0
+
+
+
+
Figur 2.20: Et Faradaybur, dvs. en ideell leder som omslutter et hulrom. Om man p˚
atrykker
et elektrisk felt fra utsiden, vil ladningene i lederen omfordele seg slik at de produserer et
elektrisk felt som kansellererer det p˚
atrykte feltet inne i lederen og dermed ogs˚
a i hulrommet.
Hulrommet “ser” dermed ikke det som skjer p˚
a utsiden.
37
2.7. IDEELLE LEDERE
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
Eksempel 2.14
Speilladningsmetoden. En punktladning befinner seg en høyde h over et ledende plan, se fig.
2.21. Vi ønsker ˚
a finne den induserte flateladningstettheten p˚
a planet. For enkelhets skyld
spør vi bare etter flateladningstettheten i origo, dvs. rett under ladningen.
En fornuftig framgangsm˚
ate er ˚
a bruke den siste egenskapen til ideelle ledere, listet opp
ovenfor, nemlig at flateladningstettheten er gitt av D rett utenfor lederen:
ρs = Dn (z = 0+ ) = E(z = 0+ ).
(2.85)
Vi har droppet indeksen “n” i E siden E uansett er ⊥ overflaten.
Det ˚
a finne det elektriske feltet i z = 0+ er ikke i utgangspunktet rett fram. Feltet er et
resultat av punktladningen, men ogs˚
a av all indusert flateladningstetthet p˚
a planet. Et triks
er ˚
a bruke speilladningsmetoden, se fig. 2.21. Situasjonene (a) og (b) i figuren er ekvivalente
for z > 0, fordi ladningsfordelingen i dette omr˚
adet er den samme, og fordi omr˚
adet avgrenses
av et plan i z = 0 med V = 0 (og en uendelig stor halvkule over planet, med V = 0).
Entydighetsteoremet forsikrer oss om at løsningen for (a) og (b) er den samme for z > 0. Vi
kan derfor regne p˚
a situasjon (b) i stedet for situasjon (a), s˚
a lenge vi ser p˚
a omr˚
adet z > 0.
Vi finner det elektriske feltet i origo til ˚
a være superposisjonen av feltet fra ladningen Q og
speilladningen −Q:
E = −2
Q
ˆ,
z
4πh2
(2.86)
Q
.
2πh2
(2.87)
hvilket gir
ρs = −
z=h
(a)
(b)
z
z
z=h
+Q
+Q
ǫ
ǫ
11111111111111111111
00000000000000000000
V =0
ǫ
z = −h
−Q
Figur 2.21: (a) En punktladning Q befinner seg en høyde h over et ledende plan. (b) Vi tar
bort det ledende planet og setter inn en speilladning, dvs. en ladning −Q plassert i z = −h.
Da er situasjonene (a) og (b) helt ekvivalente i omr˚
adet z > 0: Det er lik ladningsfordeling
der, og omr˚
adet avgrenses av et plan z = 0 med V = 0.
38
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
2.8
2.8. KAPASITANS
Kapasitans
Vi ser n˚
a p˚
a to ideelle ledere som er adskilt av et lineært og isotropt medium med permittivitet
, se fig. 2.22. Mediet trenger ikke være homogent (dvs. kan godt avhenge av posisjon). En
spenningskilde har sørget for at den øvre lederen har f˚
att potensial V mens den nedre har potensial
0. Dette har kilden f˚
att til ved ˚
a flytte ladning fra den nedre lederen til den øvre. Dermed har den
nedre lederen f˚
att netto ladning −Q mens den øvre har Q. Vi definerer kapasitans C som følger:5
C=
Q
V
(2.88)
Enheten til kapasitans kalles F (farad), og er alts˚
a det samme som C/V (dvs. coulomb/volt)6 .
Definisjonen av kapasitans er fornuftig, fordi det viser seg at C bare blir avhengig av geometriske størrelser og , ikke av Q eller V . Dette vil vi se helt tydelig i eksemplene nedenfor. Generelt er
det et resultat av følgende kjede av proporsjonaliteter (her betyr ∝ at størrelsene er proporsjonale):
V
def. potensial
∝
E
lin. medium
∝
Gauss
D ∝ Q.
(2.89)
Vi kan bruke definisjonen til ˚
a finne kretsligningen for en kondensator. Strøm defineres som
ladning per tidsenhet som g˚
ar mot den øvre lederen, og vi f˚
ar dermed
I=
dQ
d(CV )
dV
=
=C
.
dt
dt
dt
(2.90)
Vi skal n˚
a bruke definisjonen til ˚
a finne kapasitansen ti1 noen forskjellige kondensatorer.
E
V
+Q
ǫ
V =0
−Q
Figur 2.22: En kondensator, dvs. to ledere adskilt av et dielektrisk medium med permittivitet
.
5
Det er naturlig ˚
a spørre seg hva som skjer hvis det er en ubalanse, f.eks. at den nedre lederen har −Q mens
den øvre har +2Q. Hvis s˚
a var tilfelle, m˚
atte det vært en ladning −Q et annet sted i verden i tillegg. Da f˚
ar vi en
kapasitiv virkning ikke bare mellom de to lederene som vi ser p˚
a, men ogs˚
a til det stedet hvor den ekstra −Q’en
befinner seg.
6
Her hersker det full forvirring, siden bokstaven C brukes om b˚
ade kapasitans og coulomb, og V om b˚
ade potensial
og volt. Om man ser nøye etter, er det imidlertid en forskjell; størrelser (slik som potensial og kapasitans) skrives i
kursiv, mens enheter (slik som volt og coulomb) skrives med vanlig tekstfont.
39
2.8. KAPASITANS
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
Eksempel 2.15
En parallellplatekondensator best˚
ar av to parallelle, like, ledende plan, hvert med areal S, se
fig. 2.23. Planene er adskilt av en isolator – et rent dielektrisk medium med permittivitet .
Hva er kapasitansen C?
Vi antar at avstanden d mellom planene er mye mindre enn dimensjonene til planene.
Dermed kan vi se bort fra kanteffekter (spredning av feltlinjer ved venstre og høyre ende av
platene). Dvs. potensialet V (z) mellom platene er kun avhengig av z, ikke x og y. Poissons
ligning gir dermed at ∇2 V = d2 V /dz 2 = 0 for 0 < z < d, siden det ikke er noen fri
romladning mellom platene (ρ = 0). Ved ˚
a integrere denne diffligningen to ganger f˚
ar vi
V (z) = k1 z + k2 , der konstantene k1 og k2 finnes vha. grensebetingelsene V (0) = k2 = 0 og
V (d) = k1 d = V . Vi f˚
ar dermed
V
(2.91)
V (z) = z.
d
Det elektriske feltet blir
V
ˆ.
E = −∇V = − z
(2.92)
d
For ˚
a finne C m˚
a det elektriske feltet relateres til ladningen Q. Dette gjøres vha. den siste
egenskapen for en ideell leder (se kap. 2.7): Dn = ρs . I v˚
art tilfelle er D = E rettet normalt
p˚
a platene, s˚
a vi f˚
ar ρs = E og dermed
Z
Z
SV
.
(2.93)
Q=
ρs dS =
EdS = ES =
d
øvre plate
øvre plate
Kapasitansen blir
C=
Q
S
=
.
V
d
(2.94)
z
z=d
+Q
V
ǫ
−Q
V =0
Figur 2.23: En parallellplatekondensator.
Eksempel 2.16
Parallellkobling av kondensatorer, se fig. 2.24a. En parallellkobling av kondensatorer kan sees
p˚
a som en enkelt kondensator, der alle de sammenkoblede nedre platene utgjør den ene
lederen, mens de sammenkoblede øvre platene utgjør den andre. Den ene lederen har alts˚
a
total ladning −Q1 − Q2 − . . . − Qn , mens den øvre har ladningen Q1 + Q2 + . . . + Qn .
Potensialene er hhv. 0 og V ogs˚
a for denne ekvivalentkondensatoren. Dermed f˚
ar vi
C=
Q1
Q2
Qn
Q1 + Q2 + . . . + Qn
=
+
+ ... +
= C1 + C2 + . . . + Cn .
V
V
V
V
40
(2.95)
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
2.8. KAPASITANS
V
+Q1
−Q1
C1
(b)
V
+Q2
+Qn
−Q2
−Qn
C2
C1
(a)
+Q
Cn
C2
−Q +Q
Cn
+Q
−Q
−Q
S
Figur 2.24: (a) Parallellkobling og (b) seriekobling av kondensatorer med kapasitans C1 , C2 ,
... og Cn .
Eksempel 2.17
Seriekobling av kondensatorer, se fig. 2.24b. For ˚
a finne ekvivalentkapasitansen til en
seriekobling, trenger vi en ekstra antagelse, nemlig at ingen feltlinjer g˚
ar fra en kondensator
til en annen. Med andre ord, alle feltlinjer som starter p˚
a en kondensatorplate, ender opp p˚
a
motst˚
aende kondensatorplate i den samme kondensatoren. Vi kan da bruke Gauss’ lov p˚
a
flaten S: Integralet blir null, som viser at netto ladning inne i S er null. Dermed, hvis venstre
plate har ladningen +Q, har høyre −Q. Dette gir +Q p˚
a den tredje plata, osv. Fra ladningene
og kapasitansene f˚
ar vi spenningene over kondensatorene:
VC1 =
Q
Q
Q
, VC2 =
, . . . , VCn =
.
C1
C2
Cn
(2.96)
Vi er ute etter kapasitansen m˚
alt mellom platen helt til venstre og helt til høyre:
C=
Q
Q
=
=
V
VC1 + VC2 + . . . + VCn
1
C1
+
1
C2
1
+ ... +
1
Cn
.
(2.97)
Vi merker oss at denne formelen bare gjelder dersom det ikke g˚
ar feltlinjer mellom de ulike
kondensatorene.
Eksempel 2.18
Kapasitans per lengdeenhet for en koaksialkabel. En koaksialkabel best˚
ar av en innerleder og
en ytterleder, se fig. 2.10. Den har derfor en kapasitans. Kapasitansen per lengdeenhet blir
C0 =
Q0
,
V0
(2.98)
der Q0 er ladning per lengdeenhet av innerlederen, og V0 er potensialet til innerlederen med
ytterlederen som referanse. Vi lar permittiviteten mellom lederne n˚
a være . Ved ˚
a gjenta
utregningen som ledet fram til (2.50), f˚
ar vi samme lign. som (2.50), bare med isf. 0 :
b
Q0
ln .
2π a
(2.99)
Q0
2π
=
.
V0
ln ab
(2.100)
V0 =
Dette gir
C0 =
41
2.9. ENERGI I ELEKTRISKE FELT
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
Legg merke til at enheten for kapasitans per lengdeenhet er den samme som for 0 , s˚
a enheten
til 0 er F/m.
2.9
Energi i elektriske felt
Vi ønsker n˚
a˚
a finne ut hvor mye energi som er lagret i en kondensator. Vi antar et lineært medium
rundt lederne. Først er det null potensialforskjell og ladning. S˚
a flytter vi (positiv) ladning fra
den nedre platen til den øvre, helt til vi f˚
ar ladningen +Q og potensialet V p˚
a den øvre platen.
Til ˚
a begynne med er det lett ˚
a flytte ladningene, men etter hvert m˚
a vi jobbe mot det elektriske
feltet – det peker jo rett mot oss n˚
ar vi flytter ladningen oppover. Vi m˚
a alts˚
a utføre et arbeid.
Underveis i dette arbeidet, hvis ladningen p˚
a øvre plate er q, s˚
a er potensialet V (q) = q/C.
Arbeidet som kreves for ˚
a flytte dq fra nedre til øvre plate, er dAe = V (q)dq. (Husk at potensial
er arbeid/ladning.) Dette gir totalarbeidet
Z Q
Z Q
Q2
qdq/C =
V (q)dq =
Ae =
.
(2.101)
2C
0
0
Dette m˚
a være den elektriske energien We som ligger lagret i kondensatoren. Ved ˚
a bruke Q = CV
kan uttrykket omskrives til
1
We = CV 2 .
(2.102)
2
I en kondensator er det elektrisk felt og alts˚
a ogs˚
a energi. Det kan være praktisk ˚
a tenke p˚
a
energien som knyttet til selve det elektriske feltet. Noen ganger er nemlig det elektriske feltet
nærmest “frikoplet” fra det som skapte det (jfr. elektromagnetiske bølger som vi kommer til
seinere). Som et eksempel ser vi n˚
a p˚
a en parallellplatekondensator for ˚
a finne sammenhengen
mellom det elektriske feltet og energien. Energien kan uttrykkes
1
1 S
1
We = CV 2 =
(Ed)2 = E 2 Sd
2
2 d
2
for et lineært, isotropt og homogent medium. Ved ˚
a identifisere
(2.103)
1
we = E 2
(2.104)
2
som energitettheten i det elektriske feltet, dvs. energi per volumenhet, s˚
a ser vi at vi f˚
ar totalenergien We = we · (volumet mellom platene). Vi har argumentert for (2.104) for en parallellplatekondensator som et spesialtilfelle. Imidlertid gjelder uttrykket generelt for et lineært, isotropt
medium: Tegn opp omr˚
adet der det finnes elektrisk felt med tette ekvipotensialflater. Om det
plasseres ledere langs ekvipotensialflatene endres ingenting. Siden det er kort avstand mellom
lederne, vil man kunne se p˚
a dem som en mengde parallellplatekondensatorer.
Uttrykket (2.104) gjelder i et lineært og isotropt medium. Vha. D = E kan vi skrive det om
til
1
we = D · E.
(2.105)
2
Denne versjonen viser seg ˚
a være gyldig ogs˚
a i et anisotropt medium (men det vises ikke her). I
et ikke-lineært medium kan man ikke finne et uttrykk som bare avhenger av feltene; da vil ogs˚
a
historikken ha betydning.
42
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
2.9. ENERGI I ELEKTRISKE FELT
Eksempel 2.19
Vi skal finne energien per lengdeenhet som er lagret i en koaksialkabel, fig. 2.10. Vi bytter ut
permittiviteten 0 med en generell permittivitet . Siden det elektriske feltet bare er ulik null
mellom lederne, f˚
ar vi følgende energi for hele kabelen:
Z
Z b
2πrdrl
2πV02
V02
1
=
l,
(2.106)
E 2 dv =
We =
2
2
2 mellom lederne
r
2 ln ab
a
2 ln ab
der l er lengden til kabelen. Alts˚
a er energien per lengdeenhet
We0 =
We
π 2
=
V0 .
l
ln ab
(2.107)
Dette kunne vi ogs˚
a funnet ved ˚
a bruke uttrykket for kapasitans per lengdeenhet av kabelen
(2.100):
1
π 2
V0 .
(2.108)
We0 = C 0 V02 =
2
ln ab
Eksempel 2.20
Ikke-lineær kondensator. Vi ser p˚
a parallellplatekondensatoren i fig. 2.23, men lar n˚
a mediet
mellom platene f˚
a være ikke-lineært. Vi antar at platene er sirkulære med radius mye større
enn d, og at det er full sylindersymmetri til alle tider. Gauss’ lov p˚
a differensialform gir da at
dD
= 0, der D = −Dˆ
z.
dz
Dermed er D konstant mellom platene. Denne konstanten m˚
a som før være gitt av
(2.109)
Q
,
(2.110)
S
der ρs og Q er hhv. flateladningstettheten og ladningen p˚
a øvre plate. Samtidig har vi, som
før, at
Z nedre plate
V =
E · dl = Ed.
(2.111)
D = ρs =
øvre plate
Siden det ikke lenger er en lineær sammenheng mellom D og E, blir det heller ikke en
lineær sammenheng mellom Q og V . Det er derfor vanlig ˚
a definere kapasitans
C=
dQ
,
dV
(2.112)
dvs. som stigningstallet til sammenhengen Q(V ) ved det aktuelle “arbeidspunktet” V .
Kapasitansen (2.112) blir da en slags effektiv kapasitans rundt den spenningen som
kondensatoren er ladet opp til. Dette ser vi ved ˚
a bruke kjerneregelen:
I=
dQ
dQ dV
dV
=
=C
,
dt
dV dt
dt
(2.113)
som er den samme kretsligningen som vi hadde før (2.90).
For en parallellplatekondensator f˚
ar vi
C=
dQ
d(DS)
S dD
=
=
,
dV
d(Ed)
d dE
(2.114)
s˚
a kapasitansen blir avhengig av stigningstallet til kurven D(E).
Kondensatoren har ladning Q p˚
a øvre plate og −Q p˚
a nedre, og potensialforskjellen er V .
Hvis vi ønsker ˚
a lade opp kondensatoren ytterligere med dQ, hvor mye energi m˚
a vi tilføre?
Dette blir gitt av arbeidet
dAe = V dQ = (Ed)(SdD) = (Sd)EdD = volum · EdD.
43
(2.115)
2.10. STRØMTETTHET OG RESISTANS
2.10
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
Strøm, strømtetthet, tap, resistans og ladningsbevarelse
Et elektrisk felt E gir en kraft qE p˚
a en ladning q. Dersom et medium har ladninger som er
frie til ˚
a bevege p˚
a seg, vil det dannes en strøm. F.eks. i metaller er det elektroner som kan
bevege p˚
a seg, mens gitteret av ioner st˚
ar stille7 . Ladningene som bidrar til strømmen, kaller
vi ladningsbærere. Strømmen vil være et resultat av hvor mange ladningsbærere som fins, deres
ladning og gjennomsnittshastighet. For ladningsbærere med ladning q definerer vi strømtettheten
til ˚
a være
J = N qv,
(2.116)
der N er antall ladningsbærere per volumenhet, og v er ladningsbærernes gjennomsnittlige hastighet, s˚
akalt driftshastighet. Driftshastighet er alts˚
a den hastigheten ladningsbærerne har etter at
man har midlet bort de tilfeldige, termiske bevegelsene. Om det er n forskjellige typer ladningsbærere som bidrar til strømmen (f.eks. positive og negative ioner i en saltløsning), blir strømtettheten
en sum av bidragene fra hver av dem:
J=
n
X
Ni qi vi .
(2.117)
i=1
J
vdt
α
dS
dS
Figur 2.25: Sammenheng mellom strøm og strømtetthet. Vi ser p˚
a strømmen som g˚
ar igjennom
et flateelement dS. I løpet av tiden dt fyller ladningene opp en skjev sylinder (stiplet) med
grunnflate dS og lengde vdt. Volumet av denne sylinderen finner vi ved ˚
a rette den opp
(prikket): dS(vdt cos α).
Strømmen I gjennom et tverrsnitt S defineres til ˚
a være ladning dQ som passerer tverrsnittet
i løpet av tiden dt, dividert p˚
a dt:
dQ
I=
.
(2.118)
dt
Vi skal n˚
a finne sammenhengen mellom strømtetthet og strøm. Anta at strømtettheten er
gitt av (2.116). Vi ser p˚
a strømmen som g˚
ar igjennom et flatelement dS. I løpet av tiden dt har
ladningene g˚
att vdt, og fyller dermed opp en skjev sylinder med lengde vdt, se fig. 2.25. Volumet
av denne sylinderen er dSvdt cos α. Dermed inneholder den ladningen dQ = N qdSvdt cos α. Alts˚
a
er strømmen igjennom dS gitt av dQ/dt = N qdSv cos α = N qv · dS = J · dS. Strømmen igjennom
et vilk˚
arlig tverrsnitt S er derfor gitt av
Z
I=
S
J · dS.
(2.119)
Dette resultatet m˚
a ogs˚
a gjelde i det generelle tilfellet med ulike ladningsbærere (2.117), fordi det
gjelder for bidraget til hver type ladningsbærere separat.
7
I praksis vil ionene i gitteret bevege tilfeldig p˚
a seg pga. termiske bevegelser. De tilfeldige, termiske bevegelsene
til elektronene er ogs˚
a betydelige; som vi skal se i eksempelet nedenfor kan de være ekstremt mye raskere enn
driftshastigheten til elektronene.
44
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
2.10. STRØMTETTHET OG RESISTANS
Enheten til strøm kalles A (ampere), som er en grunnenhet i det s˚
akalte SI-systemet. I tillegg
har vi bruk for grunnenhetene kg, meter og sekund. Alle størrelser vi bruker i elektromagnetisme,
har enheter som kan avledes fra disse fire. Enheten til strømtetthet er ifølge (2.119) A/m2 .
Eksempel 2.21
For en kurs med I = 10 A brukes kobberkabler med tverrsnitt 1.5 mm2 . Hva er
driftshastigheten v til elektronene ved full belastning? Svar:
v=
J
I
=
≈ 0.49 mm/s,
Ne
SN e
(2.120)
der e = 1.6 · 10−19 C er absoluttverdien til elektronladningen. Vi har brukt at konsentrasjonen
av ladningsbærere i kobber er N = 8.45 · 1028 m−3 . Til sammenligning er den termiske
hastigheten til elektronene i størrelsesorden 105 m/s ved romtemperatur, og signalhastigheten
kan nærme seg lyshastigheten 3 · 108 m/s.
Det finnes gode og d˚
arligere ledere. I en god leder trengs det lite elektrisk felt for ˚
a opprettholde
en strøm, mens i en d˚
arlig leder m˚
a et stort elektrisk felt til for ˚
a opprettholde en strøm. En
sammenheng som gjelder for mange materialer, er Ohms lov , her p˚
a lokal form8 :
J = σE.
(2.121)
Her er σ konduktiviteten til mediet, som forteller oss hvor godt mediet leder strøm. For en ideell
isolator er σ = 0, mens en ideell leder har σ = ∞. Konduktiviteten for ulike materialer kan finnes
i fysiske tabeller, se tabell 2.2.
Materiale
YBa2 Cu3 O7 ved < 80 K
sølv
kobber
gull
aluminium
jern
germanium
σ [Ω−1 m−1 ]
∞
6.2 · 107
5.8 · 107
4.1 · 107
3.5 · 107
1.0 · 107
2.2
Materiale
silisium
sjøvann
drikkevann
destillert vann
glass
luft
vakuum
σ [Ω−1 m−1 ]
4.4 · 10−4
∼5
∼ 10−2
2 · 10−4
∼ 10−12
∼ 10−14
0
Tabell 2.2: Konduktivitet σ for noen materialer ved romtemperatur (hvis det ikke st˚
ar spesifisert noe annet). Konduktiviteten til halvledere slik som silisium og germanium kan øke sterkt
med eventuell doping/forurensninger. Konduktiviteten til vann er avhengig av konsentrasjonen
av ioner/salter. Enheten for konduktivitet er [Ω−1 m−1 ], der Ω (ohm) er enheten for resistans,
Ω = V/A.
N˚
ar elektronene beveger seg pga. et elektrisk felt f.eks. i et metall, vil de rett som det er kollidere
med atomene. Dermed vil de miste energi. Vi skal n˚
a regne ut effekttapet per volumenhet, pJ ,
8
Noen foretrekker ˚
a skrive (2.121) invertert som E = ρJ, der ρ = 1/σ kalles resistivitet (merk at denne ρ’en ikke
er den samme som romladningstettheten fra kap. 2.1).
45
2.10. STRØMTETTHET OG RESISTANS
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
det s˚
akalte Joulske eller ohmske tapet. Se p˚
a en ladning q med hastighet v i et elektrisk felt E.
Arbeidet som utføres av den elektriske kraften i løpet av dt, er gitt av kraft · vei, dvs. qE · vdt.
Dersom det er N slike ladninger per volumenhet, er det N dv ladninger i volumelementet dv.
Arbeidet som den elektriske kraften utfører i volumelementet er alts˚
a9
W = N dvqE · vdt = N qv · Edvdt = J · Edvdt.
(2.122)
Med andre ord er effekttapet per volumenhet
pJ = J · E.
(2.123)
Totalt f˚
ar vi følgende effekttap i volumet v:
Z
PJ =
v
J · Edv.
(2.124)
Effekttapet gir økt termisk energi.
Det kan se ut som vi har funnet effekttapet uten ˚
a beskrive kollisjonene som er ˚
arsak til
tapene. Kollisjonene er imidlertid med i beskrivelsen ovenfor; vi har antatt en konstant strøm J
som opprettholdes av et elektrisk felt E. Hadde det ikke vært for kollisjonene kunne strømmen
opprettholdes uten noe elektrisk felt i det hele tatt.
Eksempel 2.22
Vi skal finne resistansen til en motstandstr˚
ad med konduktivitet σ og konstant
tverrsnittsareal S, se fig. 2.26. Resistans er definert som
R=
V
.
I
(2.125)
Vi antar en tidsuavhengig strømtetthet J = I/S som er jevnt fordelt over tverrsnittet. At den
er jevnt fordelt, er intuitivt rett og kan vises formelt vha. et entydighetsteorem i
elektrostatikken. Siden tverrsnittet er det samme overalt langs tr˚
aden, og strømmen m˚
a være
den samme hele veien, er J uavhengig av z ogs˚
a. Det elektriske feltet er E = J/σ, s˚
a
Rl
Rl
V = 0 Edz = 0 (J/σ)dz = Jl/σ. Vi f˚
ar derfor
R=
l
Jl
=
.
σJS
σS
(2.126)
Hva er effekttapet i motstanden? Volumet til motstanden er Sl, s˚
a fra (2.124) f˚
ar vi
PJ = J · ESl = σE 2 Sl =
J2
I2
Sl =
l = RI 2 .
σ
σS
(2.127)
Ved ˚
a sette inn for definisjonen av R ser vi at vi f˚
ar PJ = V I, som forventet10 .
P
Dersom det er n ulike typer ladninger, slik som i (2.117), f˚
ar vi W = n
i=1 Ni dvqi E · vi dt = J · Edvdt, dvs.
samme resultat.
10
Formelen for effekttap PJ = V I er forøvrig gyldig selv om Ohms lov J = σE ikke gjelder. Den kan vises som
følger: Potensialforskjell V mellom to punkter er definert som arbeid per ladning som utføres av det elektriske feltet,
n˚
ar ladningen flyttes fra det ene til det andre punktet. Om ladningen dQ flyttes, utføres arbeidet W = V dQ. For
konstant V og I vil dette arbeidet tapes, s˚
a effekttapet blir PJ = V dQ/dt = V I.
9
46
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
2.10. STRØMTETTHET OG RESISTANS
S
z
l
Figur 2.26: Motstandstr˚
ad med konstant tverrsnittsareal S og lengde l.
Eksempel 2.23
Kulemotstand og jording. En ledende kule med radius a er omgitt av et medium med
konduktivitet σ og et ledende kuleskall med radius b, se fig. 2.27. Vi ønsker ˚
a finne resistansen
mellom den ledende kula og kuleskallet. Vi starter med ˚
a anta at det g˚
ar en tidsuavhengig
strøm I fra kula til kuleskallet11 . Fra symmetri finner vi at strømtettheten m˚
a være jevnt
fordelt, s˚
a
I
ˆr, for a < r < b.
(2.128)
J=
4πr2
Siden E = J/σ = Iˆr/(4πσr2 ) blir potensialforskjellen mellom kula og kuleskallet
Z
V =
b
Z
Edr =
a
a
Resistansen blir derfor
R=
b
I
I
dr =
4πσr2
4πσ
V
1
=
I
4πσ
1 1
−
a b
1 1
− +
b a
.
(2.129)
.
(2.130)
Om vi ser p˚
a en ledende kule som er gravd langt ned i jorda, vil jordingsresistansen være gitt
av (2.130) med b = ∞. F.eks. for a = 0.5 m og σ = 10−2 m−1 Ω−1 f˚
ar vi jordingsresistansen
R ≈ 16 Ω.
1111111111111111111111
0000000000000000000000
0000000000000000000000
1111111111111111111111
σ
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
r
0000000000000
1111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000
b 1111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
a
0000000000000
1111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000
1111111111111
S
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
0000000000000000000000
1111111111111111111111
Figur 2.27: En ledende kule med radius a, et ledende kuleskall med radius b, og et delvis
ledende medium med konduktivitet σ for a < r < b.
11
Dette virker problematisk i praksis siden vi m˚
a jo ha en mulighet til ˚
a fˆ
ore den indre kula med ladning. Løsningen
er ˚
a lage en liten, isolert kanal igjennom ytterlederskallet og det delvis ledende mediet, som tilførselsledningen kan
g˚
a igjennom.
47
2.10. STRØMTETTHET OG RESISTANS
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
S
I1
I2
v
I3
Figur 2.28: Ladningsbevarelse og Kirchhoffs strømlov for et knutepunkt best˚
aende av tre ledninger.
Til slutt i dette kapittelet skal vi se hva prinsippet om bevaring av ladning betyr. Prinsippet
betyr alts˚
a at ladning verken kan oppst˚
a eller forsvinne. F.eks. kan et negativt ladet elektron og
et positivt ladet positron g˚
a sammen og danne nøytrale fotoner, men i denne prosessen forsvinner
det ingen ladning: e + (−e) = 0. Ladning kan ogs˚
a flytte p˚
a seg (strøm), men alts˚
a ikke forsvinne.
Matematisk kan vi beskrive dette som følger. Se p˚
a etRvolum v som omsluttes av en lukket flate
S, f.eks.
ar ut av S er
H slik som i fig. 2.28. Ladningen i v er Q = v ρdv, og strømmen som g˚
a bety at en eventuell strøm
IS = S J · dS (i fig. 2.28 er IS = I1 + I2 + I3 ). Ladningsbevarelse m˚
ut av S g˚
ar p˚
a bekostning av Q:
dQ
IS = −
,
(2.131)
dt
eller
I
Z
d
J · dS = −
ρdv.
(2.132)
dt v
S
Minustegnet p˚
a høyresiden i de to ligningene ovenfor er et resultat av at en positiv strøm ut
av omr˚
adet fører til en minkning av Q. De to ligningene er gyldige generelt, dvs. ogs˚
a i elektrodynamikken, siden ladningsbevarelse er et generelt prinsipp.
I statikken der alle strømmer er uavhengige av tiden, m˚
a
I
J · dS = 0.
(2.133)
S
Dette er fordi vi kan ikke ha en konstant strøm ut av S i evig tid; da m˚
atte det jo ha vært
uendelig mye ladning i v ˚
a ta av. Lign. (2.133) kalles Kirchhoffs strømlov . For et knutepunkt med
n ledninger (se fig. 2.28), kan (2.133) skrives
n
X
Ii = 0.
(2.134)
i=1
Merk at Kirchhoffs strømlov bare er gyldig for konstante strømmer. N˚
ar strømmene er tidsavhengige er det ingenting i veien for ˚
a ha opphopning av ladning i omr˚
adet v, jfr. opphopning av
ladning p˚
a kondensatorplater (se kap. 4.6).
For senere bruk skriver vi om loven
(2.132) til differensialform. Dette
H om ladningsbevarelse
R
gjør vi ved ˚
a bruke divergensteoremet S J · dS = v ∇ · Jdv:
Z
Z
d
∇ · Jdv = −
ρdv.
(2.135)
dt v
v
Dette skal gjelde for ethvert volum v, s˚
a vi velger v til ˚
a være ett eneste volumelement dv som
∂ρ
ikke flytter seg sfa. tiden. Dermed f˚
as ∇ · Jdv = − ∂t dv, dvs.
∇·J = −
48
∂ρ
.
∂t
(2.136)
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
2.10. STRØMTETTHET OG RESISTANS
For konstante strømmer gir en tilsvarende omskrivning av (2.133) at
∇ · J = 0.
49
(2.137)
2.10. STRØMTETTHET OG RESISTANS
KAPITTEL 2. ELEKTROSTATIKK
50
Kapittel 3
Magnetostatikk
3.1
Magnetisk kraft, strømelement og Biot–Savarts lov
P˚
a samme m˚
ate som vi bygget elektrostatikken p˚
a Coulombs lov, skal vi n˚
a bygge magnetostatikken p˚
a følgende kraftlov, mellom to punktladninger som beveger seg i vakuum (fig 3.1):
F = Q2 v 2 ×
ˆ
µ0 Q1 v1 × R
2
4π
R
!
.
(3.1)
Lign. (3.1) angir den magnetiske kraften som virker p˚
a ladning 2 pga. ladning 1 og dens hastigˆ peker fra ladning 1 til ladning 2. For
het, n˚
ar avstanden mellom dem er R. Enhetsvektoren R
spesialtilfellet der ladningene beveger seg i samme retning gir (3.1) en tiltrekkende kraft,
F =
µ0 (Q2 v2 )(Q1 v1 )
.
4π
R2
(3.2)
Kraftloven (3.1) kan verifiseres eksperimentelt ved ˚
a se p˚
a kraftvirkningen mellom to strømførende
ledere. Proporsjonalitetskonstanten i (3.1) er µ0 /4π, der permeabiliteten i vakuum µ0 er definert
lik 4π · 10−7 Ns2 /C2 . Dette kan virke litt merkelig siden (3.1) er et eksperimentelt faktum. Forklaringen ligger i at enheten som ladning er gitt i, dvs. coulomb, er gitt av C = As, der A, ampere, er
en grunnenhet som simpelthen er definert ut fra kraftvirkningen mellom to strømførende ledere.
Forøvrig skrives enheten for µ0 oftest H/m (henry/meter), der henry er enheten for induktans, og
defineres seinere.
Lign. (3.1) beskriver en “magisk” kraft som virker selv om ladningene ikke er i kontakt, helt
tilsvarende Coulombs lov. For tilfellet med Coloumbs lov fant vi det praktisk ˚
a definere et elektrisk felt for ˚
a beskrive kraften p˚
a en testladning. Helt tilsvarende definerer vi n˚
a en magnetisk
flukstetthet B pga. en ladning Q1 og dens hastighet v1 :
B=
ˆ
µ0 Q1 v1 × R
,
4π
R2
Q2
111111111
000000000
F
1
0
111111
000000
000000000
0
1
v1 111111111
000000000
111111111
R
0
1
000
111
000000000
111111111
0
1
000
111
000000000
111111111
0
1
000
111
000000000
111111111
0
1
000
111
1
0
000000000
111111111
0
1
0
1
Q1
v2
Figur 3.1: To punktladninger Q1 og Q2 med hhv. hastighet v1 og v2 .
51
(3.3)
3.1. BIOT–SAVARTS LOV
KAPITTEL 3. MAGNETOSTATIKK
ˆ er hhv. avstanden og retningen fra ladningen til observasjonspunktet. Kraften p˚
der R og R
a en
testladning Q2 med hastighet v2 i et magnetfelt med flukstetthet B blir da ifølge (3.1):
F = Q2 v2 × B.
(3.4)
Enheten til B kalles T (tesla), og kan uttrykkes ved grunnenhetene via (3.4). Tesla er en stor
enhet, f.eks. er feltet fra jorda ca. 50 µT.
Om vi skulle ha m punktladninger som beveger seg, ville kraften p˚
a en testladning bli en
superposisjon av kreftene fra hver av de m ladningene. Superposisjon m˚
a derfor ogs˚
a gjelde for
den magnetiske flukstettheten fra de m ladningene:
µ0
B=
4π
Pm
i=1 Qi vi
Ri2
ˆi
×R
.
(3.5)
ˆ i hhv. avstanden og retningen fra ladning i til observasjonspunktet. Ladning i har
Her er Ri og R
ladning Qi og hastighet vi .
Det er upraktisk ˚
a m˚
atte vite hastigheten til de ulike ladningene, det er i stedet strømmen
vi ofte kjenner. Vi ser derfor p˚
a et volumelement dv med strømtetthet J. Ifølge definisjonen av
strømtetthet (2.117) har vi at
n
X
Jdv =
(Ni dv)Qi vi ,
(3.6)
i=1
for n ulike typer ladningsbærere. Her er faktoren Ni dv antall ladninger med ladning Qi . Denne
faktoren kan droppes forutsatt at vi i stedet lar summen løpe over hver eneste av de m ladningene
i dv, og lar Qi og vi være ladningen og hastigheten til hver av dem:
Jdv =
m
X
Qi vi .
(3.7)
i=1
Siden alle m ladninger i dv har omtrent samme avstand til observasjonspunktet, kan vi skrive
(3.5)
P
ˆ
ˆ
µ0 m
µ0 Jdv × R
i=1 Qi vi × R
B=
=
.
(3.8)
4π
R2
4π
R2
Størrelsen Jdv kalles strømelement, s˚
a dette gir den magnetiske flukstettheten fra et strømelement.
For en mengde strømelementer i et volum v f˚
as via superposisjon den magnetiske flukstettheten
µ0
B=
4π
Z
v
ˆ
Jdv × R
.
R2
(3.9)
Noen ganger er strømmen tilnærmet fordelt p˚
a en linje (tynn ledning). Strømelementet i dette
tilfellet blir
Jdv = JdSdl = JdSdl = Idl,
(3.10)
se fig. 3.2a. Andre ganger kan strømmen være tilnærmet fordelt p˚
a en flate, som en flatestrømtetthet Js , definert som strøm per tverrsnittslengde (se fig. 3.2b). Da blir strømelementet
Idl = Js dxdl = Js dS.
(3.11)
Ved ˚
a substituere det aktuelle strømelementet inn i (3.9), f˚
ar vi den magnetiske flukstettheten.
For en strømsløyfe C blir
I
ˆ
µ0
Idl × R
B=
,
(3.12)
4π C
R2
52
KAPITTEL 3. MAGNETOSTATIKK
3.1. BIOT–SAVARTS LOV
(a)
(b)
dl
dl
J
dS
Js
dx
Figur 3.2: (a) Et strømelement Jdv kan noen ganger tilnærmet sees p˚
a som fordelt p˚
a en
linje. Her er dv = dSdl, s˚
a Jdv = JdSdl = Idl. (b) For en flatestrøm blir strømelementet
Js dxdl = Js dS, der dS = dxdl.
C
dv
S
J
dS
dl
Js
I
v
R
R
R
dB
dB
dB
(a)
(b)
(c)
Figur 3.3: Magnetisk flukstetthet fra (a) et volum med strømtetthet, (b) en flate med
flatestrømtetthet og (c) en linje med strøm.
og for en flatestrøm
µ0
B=
4π
Z
S
ˆ
Js dS × R
.
2
R
(3.13)
Ligningene (3.9), (3.12) og (3.13) er tre versjoner av Biot–Savarts lov , se fig. 3.3.
Eksempel 3.1
Vi ønsker ˚
a finne den magnetiske flukstettheten fra en sirkulær strømsløyfe som fører
ˆ-komponent. Derimot vil
strømmen I, se fig. 3.4. Symmetrien tilsier at B bare har en z
bidraget dB fra et enkelt strømelement Idl ha andre komponenter ogs˚
a, men siden resultatet
ˆ-retning kan vi se bort fra de andre
etter at vi har summert opp alle bidrag peker i z
ˆ-komponenten:
komponentene. Vi projiserer derfor dB inn p˚
a z-aksen for ˚
a finne z
ˆ = dB cos β = dB sin α,
dB · z
53
(3.14)
3.2. MAGNETISKE KREFTER
KAPITTEL 3. MAGNETOSTATIKK
der vi har brukt at α = π − β − π/2 = π/2 − β, se figuren. Den magnetiske flukstettheten B
er gitt av (3.12), s˚
a dB er
ˆ
µ0 Idl × R
.
(3.15)
dB =
2
4π R
ˆ = dl|R|
ˆ sin(π/2) = dl f˚
Ved ˚
a bruke at |dl × R|
ar vi at
µ0 Idl
.
4π R2
dB =
(3.16)
ˆ-komponenten av B-feltet
Dermed blir z
I
I
µ0 I sin α(2πa)
µ0 Ia2
µ0 I sin α
B=
dl
=
=
,
dB sin α =
4πR2
4πR2
2R3
ring
(3.17)
der vi har brukt at b˚
ade R og α er konstante under integrasjonen. Vi har allerede stadfestet
ˆ-komponent, s˚
at B bare har en z
a
B=
µ0 Ia2
µ0 Ia2
ˆ
ˆ.
z
=
z
2R3
2(z 2 + a2 )3/2
(3.18)
Legg merke til at retningen til B blir i henhold til følgende høyreh˚
andsregel: Legg fingrene
rundt strømretningen. Da peker tommelen langs B.
z
B
dB cos β
dB
{β
α
z
R
a
dl
ˆ-retning
Figur 3.4: Magnetisk flukstetthet fra en strømførende ring. Totalfeltet m˚
a være i z
pga. symmetri, mens bidraget fra strømelementet Idl er angitt som dB.
3.2
Magnetiske krefter og moment
I et B-felt har vi sett at en punktladning Q opplever kraften Qv × B. Om det b˚
ade er et E- og
B-felt, opplever alts˚
a punktladningen en kraft
F = QE + Qv × B.
54
(3.19)
KAPITTEL 3. MAGNETOSTATIKK
3.2. MAGNETISKE KREFTER
Dette kalles Lorentz-kraften.
Den magnetiske kraften p˚
a et strømelement Jdv med m ladninger finnes som følger:
dF =
m
X
i=1
Qi vi × B = Jdv × B,
(3.20)
der vi har brukt (3.7). Vi kan evt. bytte ut strømelementet i ligningen ovenfor med strømelementet
for en linjestrøm:
dF = Idl × B.
(3.21)
Hvis vi har en hel strømsløyfe C blir netto kraft p˚
a sløyfa
I
F=
Idl × B.
(3.22)
C
z
B
B
b
a
F3
F4
F4
F2
F1
S
I
F2
I
(a)
(b)
Figur 3.5: En rektangulær strømsløyfe. (a) B st˚
ar normalt p˚
a sløyfeplanet, (b) B ligger i
sløyfeplanet.
Hva er netto kraft og moment p˚
a en strømsløyfe C i et uniformt B-felt? Siden B er konstant
under integralet i (3.22), f˚
ar vi
I
F=
Idl × B = 0 × B = 0,
(3.23)
C
s˚
a denne netto kraften er null. Det kan likevel finnes krefter som prøver ˚
a komprimere, strekke ut,
eller rotere sløyfa, men disse kreftene summeres alts˚
a til null. For ˚
a se nærmere p˚
a kreftene som
virker internt i sløyfa, velger vi oss en enkel, rektangulær form p˚
a sløyfa. Først ser vi p˚
a tilfellet
der B st˚
ar normalt p˚
a sløyfeplanet (fig. 3.5a). Ved ˚
a bruke dF = Idl × B p˚
a linjeelementer i
hhv. de fire sidene av rektangelet, ser vi at det virker krefter som prøver ˚
a presse sidene inn mot
midten. Hvis B eller I hadde vært motsatt vei, ville kreftene vært utover. N˚
ar B ⊥ sløyfeplanet,
virker det alts˚
a ikke noe moment. S˚
a ser vi p˚
a tilfellet der B ligger i sløyfeplanet (fig. 3.5b). Det
virker ikke krefter p˚
a sidene som er parallelle med B. P˚
a de andre to sidene blir det hhv. en
kraft inn og ut av sløyfeplanet. Disse to kreftene vil alts˚
a prøve ˚
a rotere sløyfa. Det mekaniske
momentet regner vi ut ved ˚
a bruke formelen arm × kraft, der “arm” og “kraft” er vektorer. Vi
velger referanseaksen til ˚
a sammenfalle med z-aksen p˚
a figuren, slik at armen til venstre siden av
sløyfa er null, og armen ut til høyre siden kalles r2 , med lengde b:
ˆ.
T = 0 × F4 + r2 × F2 = bF2 z
(3.24)
Her er kraften F2 gitt av
Z
F2 = linjen p˚
a høyre side
55
Idl × B = IaB,
(3.25)
3.2. MAGNETISKE KREFTER
KAPITTEL 3. MAGNETOSTATIKK
slik at
T = IabBˆ
z = IS × B,
(3.26)
ˆ , der S = ab er arealet til sløyfa, og enhetsvektoren y
ˆ peker ut av
der vi har definert S = S y
papirplanet p˚
a figuren. Vi definerer det magnetiske momentet eller dipolmomentet
m = IS,
(3.27)
der S er arealet til sløyfa, og retningen er gitt av høyreh˚
andsregelen: Legg fingerne rundt positiv omløpsretning for sløyfa, da peker tommelen i retningen til S. Dermed kan vi uttrykke det
mekaniske momentet til sløyfa
T = m × B.
(3.28)
Legg merke til at (3.28) ogs˚
a gjelder n˚
ar B har en komponent normalt til sløyfa, siden formelen
gir null for bidraget fra denne komponenten. Faktisk gjelder formelen for en vilk˚
arlig sløyfe i et
uniformt B-felt: Hvis sløyfen har en ikke-rektangulær form, kan vi dekomponere den i en mengde
infinitesimale, rektangulære strømsløyfer, slik som i figuren i kap. 1.8. Siden formelen gjelder for
hver av de rektangulære strømsløyfene, gjelder den ogs˚
a for summen av dem:
!
X
X
X
T=
mi × B =
ISi × B = I
(3.29)
Si × B = m × B,
i
i
i
P
der m = I i Si .
Det at man f˚
ar et moment p˚
a en strømsløyfe i et B-felt er prinsippet for en elektromotor:
Dersom man plasserer en strømførende spole i et B-felt fra en permanentmagnet, vil man f˚
a
et moment som roterer spolen. Hvis man passer p˚
a˚
a endre strømretningen underveis vha. en
kommutator (se eksempel om generator i kap. 4.2), kan rotasjonen fortsette i det evige.
Eksempel 3.2
I et omr˚
ade med uniformt B-felt blir et elektron med masse m og ladning −q skutt av g˚
arde
med starthastighet v(0) normalt p˚
a B, se fig. 3.6. Hva blir banen til elektronet? For ˚
a svare
p˚
a dette, finner vi først kraften −qv × B. Denne har størrelse qvB og retning hele tiden
normalt p˚
a v. Banen blir alts˚
a en sirkel, med radius r gitt av at sentripetalkraften er lik den
magnetiske kraften, mv 2 /r = qvB. Hva blir banen dersom det er et uniformt elektrisk felt i
tillegg til, og i samme retning som B?
B
v(0)
−q
Figur 3.6: Et elektron g˚
ar i bane i et omr˚
ade med uniformt B-felt.
56
KAPITTEL 3. MAGNETOSTATIKK
3.2. MAGNETISKE KREFTER
Eksempel 3.3
Kraft p˚
a en magnetisk dipol. Vi har vist at kraften p˚
a en liten strømsløyfe (evt. en magnetisk
dipol m) er null i et uniformt B-felt, (3.23). N˚
ar vi opplever en netto kraft p˚
a en liten
permanentmagnet, s˚
a er det alts˚
a pga. et ikke-uniformt felt. Vi skal n˚
a se hvor stor denne
kraften er. Vi lar dipolen være kvadratisk og plassert ved origo, se fig. 3.7. Hvis den ikke var
kvadratisk, kunne vi delt den inn i mange sm˚
a kvadratiske biter og summert kreftene p˚
a hver
av dem. Dipolen er liten, s˚
a det er naturlig ˚
a tilnærme feltet i det aktuelle omr˚
adet med en
Taylor-rekke. Hvor mange ledd skal vi da ta med? Vi ønsker ikke ta med flere enn nødvendig,
men siden ett ledd er for lite (konstant B-felt gir jo null netto kraft), prøver vi med to ledd og
ser om vi f˚
ar et ikke-trivielt resultat. F.eks. ved den rette, høyre delen av sløyfa har vi feltet
B(r) = B0 + a
∂B
.
∂x
(3.30)
Her er B0 og ∂B
∂x henholdsvis lik feltet og dets deriverte i x-retning, evaluert i origo. Ved den
øverste rette delen har vi
∂B
.
(3.31)
B(r) = B0 + a
∂y
Dette gir kraften
I
F = I dl × B
(3.32)
∂B
∂B
) + I(−2aˆ
x) × (B0 + a
)
∂x
∂y
∂B
∂B
) + I(2aˆ
x) × (B0 − a
)
+ I(−2aˆ
y) × (B0 − a
∂x
∂y
∂Bz
∂Bx
∂Bz
∂By
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
= I4a2 x
−z
+y
−z
∂x
∂x
∂y
∂y
∂Bz
∂Bz
∂Bz
ˆ
ˆ
ˆ
=m x
+y
+z
= m∇Bz ,
∂x
∂y
∂z
= I(2aˆ
y) × (B0 + a
der vi i overgangen til siste linje har brukt at m = I4a2 og at ∇ · B = 0. Siden strømsløyfa
ligger i xy-planet, er m = mˆ
z, s˚
a kraften p˚
a en dipol i et B-felt kan skrives som
F = ∇(m · B).
(3.33)
I uttrykket (3.33) skal m behandles som en konstant, gitt av strømmen eller magnetiseringen
n˚
ar sløyfa er fiksert.
y
I
2a
x
2a
Figur 3.7: En magnetisk dipol i form av en liten kvadratisk strømsløyfe med sidekanter 2a.
Eksempel 3.4
Hall-effekt. Vi ser p˚
a et stykke av et ledende materiale, se fig. 3.8. Vi sender en strøm oppover
langs stykket, og setter p˚
a et B-felt, normalt p˚
a strømmen. Først antar vi at det er positive
57
3.3. VEKTORPOTENSIALET
KAPITTEL 3. MAGNETOSTATIKK
ladningsbærere som gir strømmen. Da er deres driftshastighet i samme retning som
strømtettheten J, og den magnetiske kraften Fm = Qv × B blir mot høyre. Dette fører til at
ladningene til en viss grad avbøyes mot høyre og ender opp p˚
a høyre side av stykket. Den
høyre siden blir alts˚
a positivt ladd mens den venstre blir negativt ladd. Dette gir et elektrisk
felt som peker mot venstre. Dette feltet gir en elektrisk kraft Fe p˚
a ladningene mot venstre.
Etter at strøm- og ladningsfordelingen har etablert seg og blitt konstante, vil den elektriske
kraften akkurat kompenserer den magnetiske kraften Fm . Vi har alts˚
a at det elektriske feltet
tilfredsstiller QE = QvB, dvs.
E = vB.
(3.34)
Det at det er et elektrisk felt mot venstre betyr at det er en potensialforskjell VH mellom
høyre og venstre side. Denne blir
VH = Ea = vBa.
(3.35)
Dersom det i stedet er negative ladningsbærere, vil driftshastigheten være motsatt rettet av
J. Dermed blir v × B i motsatt retning som over, mens Qv × B blir som før. De negative
ladningene bøyer dermed av mot høyre. Vi f˚
ar derfor motsatte ladninger p˚
a sidene i forhold
til ovenfor, og et motsatt rettet elektrisk felt. Med fortegnskonvensjonen ovenfor blir
potensialforskjellen
VH = −vBa.
(3.36)
Dette er alts˚
a en metode for ˚
a finne ladningsbærernes fortegn, siden fortegnet til
potensialforskjellen kan m˚
ales enkelt vha. et voltmeter.
a
−
−
−
−
−
−
−
−
Fe
−
−
+
+
+
+
v
+
+
B
+
+
+
+
+
Fm
B
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Fe
Fm
v
−
+
J
J
(a)
(b)
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Figur 3.8: En strøm sendes igjennom et stykke ledende materiale. (a) viser situasjonen med
positive ladningsbærerne, mens (b) er situasjonen med negative ladningsbærere.
3.3
Magnetisk fluks ut av en lukket flate er null – vektorpotensial
Magnetisk fluks gjennom en flate S defineres som
Z
ΦS =
B · dS.
(3.37)
S
Dersom flaten S er lukket, er fluksen alltid lik null,
I
B · dS = 0.
S
58
(3.38)
KAPITTEL 3. MAGNETOSTATIKK
3.3. VEKTORPOTENSIALET
J
ˆ
φ
ˆr
ˆ
ˆ, har vi at J × ˆr er i φ-retning.
Figur 3.9: Dersom J = J z
S
Figur 3.10: Hvis en flukslinje ikke biter seg selv i halen, m˚
a den starte et sted. Det kan den
ikke, for da blir det en netto fluks ut av den lukkede flaten S.
Vi kan vise (3.38) ut fra Biot–Savarts lov som følger: Se p˚
a flukstettheten fra et enkelt strømelement
Jdv. Feltet fra hele sløyfer er en superposisjon av slike bidrag, s˚
a det er naturlig ˚
a starte her. Først
legger vi inn et koordinatsystem slik at strømelementet er i origo og J er rettet langs z-aksen. Vi
kan dermed bytte ut R med r i (3.8):
B=
µ0 Jdv × ˆr
.
4π r2
(3.39)
ˆ
Vi noterer oss at vektoren J׈r og dermed B er i φ-retning
(se fig. 3.9), og B er dessuten uavhengig
av φ. Vha. uttrykket for divergens i kulekoordinater (se formelsamlingen kap. 1.11), er det da klart
at ∇ · B = 0 for r > 0. For r = 0, dvs. akkurat der strømelementet befinner seg, kan vi bruke
definisjonen av divergens (1.4), og velge oss en mikroskopisk kuleflate S med senter i origo. Siden
B ⊥ dS f˚
as ∇ · B = 0 ogs˚
a der. For hele strømsløyfer gir superposisjon
∇ · B = 0.
(3.40)
Divergensteoremet gir:
I
S
B · dS =
Z
v
∇ · Bdv = 0.
(3.41)
Vi har alts˚
a vist at den magnetiske fluksen fra strømsløyfer tilfredsstiller (3.38). Feltet fra en
permanentmagnet kan behandles som om den kom fra makroskopiske strømmer (se kap. 3.5), og
følgelig gjelder (3.38) ogs˚
a for slike magnetfelt. Det har enn˚
a ikke blitt p˚
avist magnetiske kilder
som ikke tilfredsstiller (3.38), dvs. magnetiske monopoler (magnetisk ”ladning”) ser ikke ut til ˚
a
eksistere.
Vi har kommet til at B ikke kan strømme netto ut av en lukket flate. Dette kan reformuleres
p˚
a følgende m˚
ate: B-flukslinjer biter seg selv i halen! Nemlig, hvis en flukslinje ikke bet seg selv i
halen, m˚
atten den startet et sted. Det kan den ikke, for da ville fluksen ut av en lukket flate rundt
dette punktet vært ulik null, se fig. 3.10. (Om en flukslinje starter og stopper i uendeligheten sier
vi at den biter seg selv i halen der.)
Det at divergensen til den magnetiske flukstettheten er null, gjør at vi kan representere B som
curl til et vektorpotensial A:
B = ∇ × A.
(3.42)
Da blir nemlig ligningen (3.40) automatisk oppfylt siden divergensen til en curl er identisk lik null,
∇ · (∇ × A) ≡ 0. Det at det er mulig ˚
a representere B vha. (3.42), kan vises ved ˚
a ta utgangspunkt
59
3.3. VEKTORPOTENSIALET
KAPITTEL 3. MAGNETOSTATIKK
i følgende form for Biot–Savarts lov, uttrykt med A:
A=
µ0 Jdv
.
4π r
(3.43)
At (3.43) er konsistent med Biot–Savarts lov for den magnetiske flukstettheten kan vises ved ˚
a
substituere (3.43) i (3.42) og bruke vektoridentiteten ∇ × (Φa) ≡ ∇Φ × a + Φ∇ × a. I denne
sammenhengen er J en konstant vektor, s˚
a vi f˚
ar
µ0 (−1)
µ0
1
µ0 Jdv × ˆr
ˆr × (Jdv) =
× (Jdv) =
B=∇×A=
∇
.
(3.44)
2
4π
r
4π r
4π r2
Med andre ord: Vi kan representere B vha. (3.42) forutsatt at A fra et strømelement uttrykkes
med (3.43). Vektorpotensialet fra en strøm rundt omkring i rommet v, eller i en strømsløyfe C,
blir vha. superposisjon:
µ0
A=
4π
Z
v
Jdv
,
r
µ0
eller A =
4π
I
C
Idl
,
r
(3.45)
der r er avstanden mellom strømelementet og observasjonspunktet.
Fordelen med ˚
a bruke vektorpotensialet A i stedet for B er at uttrykkene og enkelte beregninger
blir enklere. Som vi ser, er Biot–Savarts lov for A mye enklere enn den tilsvarende loven for B.
Eksempel 3.5
For ethvert felt B som tilfredsstiller ∇ · B = 0, er det mulig ˚
a skrive B = ∇ × A for en
passende A? Svaret er ja, som vi kan se fra følgende konstruksjon: La Ax = 0. Betingelsen
∇ × A = B blir da p˚
a komponentform:
∂Az
∂Ay
−
= Bx ,
∂y
∂z
∂Az
= −By ,
∂x
∂Ay
= Bz .
∂x
(3.46a)
(3.46b)
(3.46c)
Integrasjon av de to siste ligningene fra 0 til x gir:
Z x
Az (x, y, z) − Az (0, y, z) = −
By dx,
Z x0
Ay (x, y, z) − Ay (0, y, z) =
Bz dx.
(3.47a)
(3.47b)
0
Om vi setter disse to inn i (3.46a), og bruker at ∇ · B =
(3.46a) blir tilfredsstilt dersom
Bx (0, y, z) =
∂Bx
∂x
+
∂By
∂y
∂Az (0, y, z) ∂Ay (0, y, z)
−
.
∂y
∂z
Dette f˚
ar vi til f.eks. ved ˚
a velge Ay (0, y, z) = 0, og
Z y
Az (0, y, z) =
Bx (0, y 0 , z)dy 0 .
0
60
+
∂Bz
∂z
= 0, finner vi at
(3.48)
(3.49)
KAPITTEL 3. MAGNETOSTATIKK
3.4
3.4. AMPERES LOV
Amp`
eres lov for konstante strømmer
Amp`eres lov sier at sirkulasjonen av den magnetiske flukstettheten rundt en lukket sløyfe C er
proporsjonal med den totale strømmen som g˚
ar igjennom en flate S begrenset av sløyfa,
I
C
B · dl = µ0 Itotal gjennom S = µ0
Z
S
J · dS.
(3.50)
Her er J strømtettheten, dvs. elektrisk strøm per arealenhet. Amp`eres lov er et resultat av Biot–
Savarts lov. Beviset blir enklest hvis vi representerer den magnetiske flukstettheten med et vekˆ -komponenten av (3.45):
torpotensial, dvs. vi tar utgangspunkt i (3.45). F.eks. blir x
Z
Jx dv
Ax = µ0
.
(3.51)
v 4πr
Siden vi skal beregne sirkulasjonen til den magnetiske flukstettheten er det naturlig ˚
a se nærmere p˚
a ∇ × B:
∇ × B = ∇ × ∇ × A = ∇(∇ · A) − ∇2 A.
(3.52)
Den siste overgangen er en matematisk vektoridentitet. Vi trenger alts˚
a ∇2 A. Hver komponent
2
av ∇ A kan finnes ved ˚
a bruke en analogi fra elektrostatikken: I kap. 2.2 s˚
a vi atRdet elektrostatiske potensialet (i vakuum) fra en ladningsfordeling i rommet kan skrives V = v ρdv/(4π0 r).
Samtidig vet vi fra kap. 2.5 at dette potensialet tilfredsstiller Poissons ligning, ∇2 V = −ρ/0 . Ved
˚
a sammenligne med (3.51) er det tydelig at
∇2 Ax = −µ0 Jx ,
(3.53)
og tilsvarende for de andre komponentene av A. Vi f˚
ar derfor
∇2 A = −µ0 J.
(3.54)
∇ × B = ∇(∇ · A) + µ0 J.
(3.55)
Dette resultatet setter vi inn i (3.52):
Hvis vi tar divergensen til ligningen ovenfor, og bruker at divergensen til en curl er null, og
dessuten at ∇ · J = 0 for konstante strømmer (jfr. (2.137)), f˚
ar vi ∇2 (∇ · A) = 0. Denne ligningen
skal gjelde overalt, og da m˚
a ∇ · A = konst. Dette kan innses ved ˚
a tenke p˚
a analogien til Poissons
(Laplace) ligning; dersom ∇2 V = 0 overalt betyr det at hele universet var ladningsfritt, og da
m˚
atte potensialet V være konstant. Siden ∇ · A = konst., og A ifølge (3.45) g˚
ar glatt mot null i
uendeligheten der det ikke fins strømmer, m˚
a vi ha ∇ · A = 0 overalt. Lign. (3.55) gir derfor at
∇ × B = µ0 J,
(3.56)
som er Amp`eres lov p˚
a differensialform. Vha. Stokes’ teorem kan vi til slutt skrive om til integralform
I
Z
Z
B · dl =
∇ × B · dS = µ0 J · dS.
(3.57)
C
S
S
Eksempel 3.6
Hva er B-feltet utenfor en uendelig lang, sylindrisk leder som fører en strøm I? Vi antar at
strømmen er fordelt slik at den ikke bryter sylindersymmetrien i problemet. F.eks. kan den
61
3.4. AMPERES LOV
KAPITTEL 3. MAGNETOSTATIKK
være jevnt fordelt over tverrsnittet eller overflaten til lederen. For ˚
a finne feltet kunne vi ha
benyttet Biot–Savarts lov, men denne gangen ønsker vi ˚
a bruke Amp`eres lov siden det er
enklere.
Selv om vi ikke skal bruke Biot–Savarts lov (3.9) til ˚
a regne ut feltet i detalj, kan vi bruke
ˆ-komponent. Siden J = J z
ˆ overalt, er
den til ˚
a argumentere for at B ikke har noen z
ˆ ⊥z
ˆ, s˚
ˆ. Neste spørsm˚
(J × R)
aB⊥z
al er om B kan ha en ˆr-komponent. Hvis detH hadde vært
en slik komponent, m˚
atte den vært uavhengig av φ pga. symmetri. Dermed ville S B · dS 6= 0
p˚
a en sylinderflate S, se fig. 3.11a. Dette er umulig ifølge (3.38), s˚
a ˆr-komponenten m˚
a være
ˆ
null. Det gjenst˚
ar n˚
a bare en φ-komponent, og den m˚
a pga. symmetri være uavhengig av φ.
Amp`eres lov p˚
a integrasjonssløyfa C gir
I
I
B · dl =
Bdl = B2πr = µ0 I,
(3.58)
C
C
s˚
a
µ0 I ˆ
φ, utenfor ledningen.
(3.59)
2πr
Vi har i dette eksempelet antatt at kabelen er uendelig lang og dermed sett bort fra
returstrømmen. At dette er ok, kan vises fra Biot–Savarts lov. Vi lar returstrømmen g˚
a i en
stor halvsirkel med radius b, se fig. 3.11b. Biot–Savarts lov gir da at feltet Bretur fra denne i
observasjonspunktet tilfredsstiller
B=
|Bretur | ≤
µ0
4π
Z
halvsirkel
Z
ˆ
I|dl × R|
µ0
Idl
µ0 Iπb
≤
≤
.
R2
4π halvsirkel R2
4π (b − r)2
(3.60)
Som vi ser g˚
ar dette mot null n˚
ar b → ∞.
S
I
(a)
z
a
C
r
(b)
r
obs.pkt.
b
R
Figur 3.11: (a) En sylindrisk leder som fører strømmen I. (b) Returstrømmen kan antas ˚
a g˚
a
i en stor halvsirkel med radius b.
62
KAPITTEL 3. MAGNETOSTATIKK
3.4. AMPERES LOV
Eksempel 3.7
Magnetisk flukstetthet fra kabler. I forrige eksempel s˚
a vi at B-feltet fra en enkelt ledning er
µ0 I/2πr, dvs. reduseres med avstanden som 1/r. Vi skal n˚
a se at dersom returstrømmen g˚
ar i
en kabel i nærheten av den første, kompenseres feltet fra den første kabelen slik at feltet avtar
raskere, som 1/r2 . Feltet i observasjonspunktet er en superposisjon av feltene fra hver av
kablene. Summen av de to vektorene finner vi fra fig. 3.12 og forrige eksempel til ˚
a ha lengden
|B| = 2 ·
µ0 I
µ0 I d/2
µ0 Id
µ0 I
.
cos θ = 2
sin α = 2
=
2πr
2πr
2πr r
2πr2
(3.61)
d
I
I
r
α
obs.pkt.
θ
Figur 3.12: To kabler med den samme strømmen I i motsatte retninger. Legg merke til at
α + π/2 + θ = π, s˚
a α + θ = π/2.
Eksempel 3.8
I dette eksempelet ser vi p˚
a en solenoide, dvs. en sylinder-spole med N viklinger, se fig. 3.13a.
Solenoiden antas ˚
a være tettviklet, med samme tetthet av viklinger langs hele lengden. Siden
den er tettviklet, kan vi tilnærme den med fig. 3.13b, som er lik fig. 3.13c (se foreløpig bort
fra de stiplede integrasjonskurvene). Dermed har vi redusert problemet til ˚
a finne B fra en
mengde sirkulære strømsløyfer. Det er to metoder ˚
a finne B i en slik spole: Biot–Savarts lov
og Amp`eres lov.
Først bruker vi Biot–Savarts lov. Fordelen med Biot–Savarts lov er at vi ikke trenger ˚
a
begrense oss til en lang og tynn solenoide; ulempen er at det blir fort komplisert ˚
a finne B
bortsettfra p˚
a solenoidens akse (z-aksen). Vi begrenser oss derfor til ˚
a finne B p˚
a z-aksen.
Dermed kan vi bruke (3.18), som angir feltet fra en enkelt strømsløyfe. La ∆ = l/N være
avstanden mellom to strømsløyfer/viklinger. Siden det er N viklinger, med sentrum for z lik
henholdsvis z1 = −l/2 + ∆, z2 = −l/2 + 2∆, z3 = −l/2 + 3∆, osv., f˚
ar vi
B(z) =
N
X
i=1
µ0 Ia2
ˆ.
z
2((z − zi )2 + a2 )3/2
(3.62)
Solenoiden er tettviklet, s˚
a summen tilnærmes med et integral, der dz 0 /∆ er antall viklinger
0
0
0
mellom z og z + dz :
Z
l/2
B(z) =
−l/2
ˆ
µ0 Ia2
dz 0
µ0 Ia2 z
ˆ
z
=
0
2
2
3/2
∆
2∆
2((z − z ) + a )
63
Z
z+l/2
z−l/2
du
.
(u2 + a2 )3/2
(3.63)
3.4. AMPERES LOV
KAPITTEL 3. MAGNETOSTATIKK
I siste integralet har vi substituert u = z − z 0 . Det gjenst˚
ar n˚
a bare ˚
a utføre integralet. I dette
tilfellet er ikke dette helt rett fram, men vha. en integraltabell (eller web-integrator) finner vi
at
Z
u
du
= √
,
(3.64)
2
2
3/2
2
(u + a )
a u2 + a2
s˚
a
µ0 Iˆ
z
B(z) =
2∆
z − l/2
z + l/2
!
p
−p
(z + l/2)2 + a2
(z − l/2)2 + a2
.
(3.65)
I midten av solenoiden, z = 0, f˚
ar vi
B(z) =
µ0 Iˆ
z
l
p
.
2∆
l2 /4 + a2
(3.66)
Hvis vi lar solenoidens lengde l g˚
a mot uendelig, mens vi holder avstanden ∆ mellom
viklingene konstant (dvs. vi lar ogs˚
a N = l/∆ → ∞), f˚
ar vi at B er endelig, og gitt av
B=
µ0 I
µ0 N I
ˆ=
ˆ.
z
z
∆
l
(3.67)
l
z
≈
I
(b)
(a)
C ′′
l′
≈
z
C
(c)
r=a
C′
r=b
r
Figur 3.13: (a) En tettviklet solenoide med N viklinger og lengde l. (b) Ved ˚
a deformere
viklingene ser vi at solenoiden kan tilnærmes som en mengde sirkulære strømsløyfer pluss en
ledning mot høyre og en mot venstre. (c) Dersom ledningene mot høyre og venstre er p˚
a samme
sted, kan de sees bort fra: En strøm + en sammenfallende returstrøm er det samme som ingen
strøm.
64
KAPITTEL 3. MAGNETOSTATIKK
3.4. AMPERES LOV
Vi skal n˚
a prøve ˚
a finne B vha. Amp`eres lov i stedet. Fordelen er at vi da kan finne B
overalt, ikke bare p˚
a z-aksen. Ulempen er at vi m˚
a anta at solenoiden er uendelig lang, for ˚
a
f˚
a en situasjon vi greier ˚
a h˚
andtere. Alternativt kan solenoiden ha endelig lengde, men da m˚
a
observasjonspunktet være langt unna endene til solenoiden. Vi starter med ˚
a argumentere for
ˆ
at B ikke kan ha noen φ-komponent
Bφ . Hvis den hadde det, m˚
atte komponenten vært
uavhengig av φ pga. symmetri. Dermed kunne vi brukt Amp`eres lov p˚
a en integrasjonssløyfe
C 00 med radius r00 (se fig. 3.13c) og f˚
att
I
I
B · dl =
Bφ dl = 2πr00 Bφ = 0,
(3.68)
C 00
C 00
siden det ikke g˚
ar noen strøm gjennom C 00 . Med andre ord er Bφ = 0. At det ikke er en
ˆr-komponent følger n˚
a av et helt tilsvarende argument Hsom det vi brukte for eksempelet med
den sylindriske lederen: For en lukket sylinderflate m˚
a S B · dS = 0. Det gjenst˚
ar da bare en
ˆ-komponent, s˚
z
a vi skriver
B = B(r)ˆ
z.
(3.69)
Merk at B(r) er uavhengig av φ pga. symmtri, og ogs˚
a uavhengig av z s˚
a lenge vi er langt
unna endene til solenoiden.
Vi skal n˚
a vise at inne i solenoiden er B(r) konstant, og utenfor er den null. Amp`eres lov
p˚
a integrasjonssløyfen C 0 (se fig. 3.13c) gir:
I
B · dl = B(a)l0 − B(b)l0 = 0,
(3.70)
C0
s˚
a B(b) = B(a), dvs. B(r) er konstant utenfor solenoiden. Vi kan flytte C 0 (og gjøre den
mindre) slik at den er helt inne i solenoiden. Siden den heller ikke da omslutter noe strøm, vil
vi p˚
a tilsvarende vis f˚
a at B(r) er konstant inne i solenoiden. Denne konstanten vet vi allerede
hva er, den m˚
a være gitt av (3.67). Vi later imidlertid som vi ikke visste dette, vi nøyer oss
med ˚
a huske at feltet p˚
a aksen er endelig. Siden fluksen som g˚
ar igjennom solenoiden da er
endelig, m˚
a (“retur”-)fluksen som g˚
ar p˚
a utsiden ogs˚
a være det. (Husk at B-feltslinjene biter
seg selv i halen.) Men siden vi har funnet at B(r) skal være konstant utenfor solenoiden, og
fluksen skal være endelig, m˚
a B(r) = 0 utenfor solenoiden. Sagt p˚
a en annen m˚
ate:
Returfluksen p˚
a utsiden av solenoiden fordeler seg over et uendelig stort omr˚
ade, s˚
a
flukstettheten blir derfor uendelig liten.
Det gjenst˚
ar ˚
a finne B inne i solenoiden. Det gjør vi ved ˚
a bruke Amp`eres lov p˚
a
integrasjonssløyfen C, og huske p˚
a at B = Bˆ
z er konstant sfa. z:
I
B · dl = Bl0 = µ0 (N l0 /l)I.
(3.71)
C
0
Her har vi brukt at N l /l viklinger g˚
ar igjennom C. Vi f˚
ar alts˚
a
(
µ0 N I
ˆ
inne i solenoiden
l z,
B=
0,
utenfor.
(3.72)
Eksempel 3.9
Hva er det magnetiske feltet i og utenfor en toroide, dvs. en tettviklet spole med form som en
smultring, se fig. 3.14. Vi tilnærmer viklingene med N sirkulære strømsløyfer, slik vi gjorde
for solenoiden. S˚
a bruker vi symmetri til ˚
a argumentere for retningen til B. Anta at B hadde
en ˆr-komponent. Pga. symmetri m˚
atte da denne ˆr-komponenten vært uavhengig av φ. Siden
flukslinjene skal bite seg selv i halen, m˚
atte de da bøye av slik at man ogs˚
a f˚
ar en
ˆ-komponent.
z
Vi bruker n˚
a Amp`eres lov langs en slik tenkt flukslinje:
I
I
B · dl =
Bdl = µ0 Igjennom flukslinje .
(3.73)
flukslinje
flukslinje
Her kunne vi utelate vektornotasjonen siden B og dl har samme retning overalt p˚
a en
flukslinje. Av samme grunn er integralet positivt overalt, s˚
a strømmen gjennom den lukkede
65
3.5. MAGNETISKE FELT I MATERIALER
KAPITTEL 3. MAGNETOSTATIKK
z
r
I
tenkt flukslinje
ˆ
φ
C
Figur 3.14: En tettviklet toroide med N viklinger. Tettheten av viklingene er den samme rundt
hele toroiden.
flukslinjen m˚
a være ulik null. Dette strider mot det faktum at vi ikke har strøm gjennom
flukslinjen, s˚
a antagelsen var gal; B har ingen ˆr-komponent. Et tilsvarende argument betyr at
ˆ
ˆ der
ˆ-komponent. Dermed gjenst˚
B ikke har noen z
ar bare φ-komponenten,
dvs. B = B(r)φ,
B(r) er uavhengig av φ pga. symmetri. Vi kan n˚
a bruke Amp`eres lov p˚
a integrasjonssløyfa C
p˚
a figuren:
I
I
B · dl =
Bdl = B2πr = µ0 N I, inne i toroiden,
(3.74)
C
C
siden det g˚
ar en strøm N I gjennom C. Hvis C hadde vært utenfor toroiden ville det ikke g˚
att
netto strøm gjennom den. Med andre ord,
(
µ0 N I ˆ
inne i toroiden,
2πr φ,
(3.75)
B=
0,
utenfor.
Hvis vi lar r → ∞ mens avstanden mellom viklingene holdes konstant, burde vi f˚
a samme
svar som for en solenoide. Med avstand mellom viklingene lik 2πr/N = l/N ser vi at vi f˚
ar
(3.72) i denne grensen.
3.5
Magnetiske felt i materialer
Et materiale inneholder mikroskopiske strømsløyfer (spinn av elementærpartikler, elektroner i
bane) som virker som sm˚
a magnetiske dipoler. Disse dipolene vil til en viss grad orientere seg
etter den magnetiske flukstettheten, akkurat som en kompassn˚
al retter seg etter magnetfeltet fra
jorda. Dette kan føre til en endring av det totale feltet, siden de mikroskopiske strømsløyfene selv
produserer B-felt. Vi skal n˚
a se nærmere p˚
a hvordan de magnetostatiske lovene kan modifiseres i
et materiale.
Merk at lovene vi har sett s˚
a langt i magnetostatikken, gjerne kan brukes i et medium ogs˚
a,
forutsatt at alle typer strømmer (ogs˚
a de mikroskopiske strømsløyfene) tas med. Dette er ofte
upraktisk, s˚
a vi ønsker ˚
a modifisere lovene slik vi gjorde det i elektrostatikken. M˚
alet er alts˚
a˚
a bake
de mikroskopiske strømsløyfene inn i en magnetisering M, slik de bundne ladningene ble tatt h˚
and
om av polariseringen P. Vi vil heretter la J og Js st˚
a for den frie delen av totalstrømtettheten, dvs.
den delen vi kan m˚
ale med et Amperemeter, ikke strømmen pga. de mikroskopiske strømsløyfene.
66
KAPITTEL 3. MAGNETOSTATIKK
3.5. MAGNETISKE FELT I MATERIALER
En plan, mikroskopisk strømsløyfe kjennetegnes ved sitt dipolmoment
m = ISm ,
(3.76)
der Sm n˚
a er navnet p˚
a den plane flaten som omsluttes av sløyfa. Retningen Sm /Sm er flatenormalen. I et lite volumelement av materialet vil det være en stor mengde slike sløyfer. Det er derfor
praktisk ˚
a definere en ny vektor magnetisering, som er summen av det magnetiske momentet i et
volumelement dividert p˚
a volumet:
P
m
M = i dv .
(3.77)
dv
Magnetiseringen M beskriver alts˚
a i hvor stor grad og i hvilken retning dipolene i materialet er
orientert. Størrelsen Mdv blir summen av magnetisk dipolmoment i volumelementet dv. Hvis alle
de magnetiske strømsløyfene er identiske, gir (3.77) at
M = N m,
(3.78)
der N er antall dipoler per volumenhet og m er det magnetiske momentet til hver dipol. Selv
om dette selvsagt ikke er tilfelle for virkelige materialer, kan vi representere dipolmomentet i et
volumelement som en sum av mange sm˚
a, identiske dipoler m.
For ˚
a regne ut endringen i B pga. de sm˚
a strømsløyfene (dipolene) i materialet, bruker vi
Amp`eres lov p˚
a en lukket integrasjonsløyfe C i materialet:
Z
I
B · dl = µ0 Itotal gjennom S = µ0
J · dS + Igjennom S pga. magn. dipoler .
(3.79)
C
S
Det siste strøm-leddet m˚
a finnes ved ˚
a telle opp antall magnetiseringsstrømsløyfer som gir en netto
strøm gjennom flaten S, se fig. 3.15. Legg merke til at dette kun gjelder de strømsløyfene som g˚
ar
rundt C; alle andre strømsløyfer vil enten ikke g˚
a igjennom S, eller g˚
a igjennom S “begge veier”
slik at nettostrømmen gjennom S blir null. Vi lar sløyfene ha areal Sm = πa2 og strømmen I.
Langs et lengdeelement dl av C f˚
ar vi strømmen
antall sløyfer sentrert i skjev sylinder
z
}|
{
dIlangs dl = I · N · volum av skjev sylinder = IN Sm dl cos α = M dl cos α = M · dl,
(3.80)
der α er vinkelen mellom M og lengdeelementet dl, se fig. 3.15.
C
M
a dl
S
a
Figur 3.15: Det eneste bidraget til strømmen gjennom flaten S er strømsløyfene som g˚
ar rundt
C. Figuren viser bidraget til denne strømmen fra sløyfer langs lengdelementet dl.
Den totale strømmen gjennom S pga. materialdipolene blir alts˚
a
I
Z
I
B · dl = µ0
J · dS +
M · dl ,
C
eller
S
I
C
H
C
M · dl, dvs. (3.79) gir oss
(3.81)
C
(B/µ0 − M) · dl =
67
Z
S
J · dS.
(3.82)
3.5. MAGNETISKE FELT I MATERIALER
Vi definerer derfor H-feltet som
H=
KAPITTEL 3. MAGNETOSTATIKK
B
− M,
µ0
(3.83)
slik at (3.82) gir
I
C
H · dl =
Z
S
J · dS.
(3.84)
Lign. (3.84) er Amp`eres lov for et medium. Legg merke til at bare den frie, faktiske strømmen bidrar
til sirkulasjonen av H, uansett materiale. Den magnetiske flukstettheten B blir ogs˚
a p˚
avirket av
en evt. magnetisering, og er gitt av ligningen
B = µ0 (H + M).
(3.85)
Her kan H finnes fra de frie strømmene vha. versjonen (3.84) av Amp`eres lov, og M er relatert til den magnetiske flukstettheten B. For mange magnetiske materialer, er magnetiseringen
proporsjonal med H:
M = χm H.
(3.86)
Proporsjonalitetsfaktoren χm kalles magnetisk susceptibilitet. For slike lineære materialer blir den
magnetiske flukstettheten proporsjonal med H:
B = µ0 (H + M) = µ0 (1 + χm )H = µr µ0 H = µH.
(3.87)
Her har vi definert relativ permeabilitet µr = 1 + χm og absolutt permeabilitet µ = µr µ0 . For
vakuum f˚
as µ = µ0 og B = µ0 H. Den relative permeabiliteten for ulike materialer kan finnes i
fysiske tabeller, se tabell 3.1.
Materiale
gull
sølv
kobber
vann
tre
vakuum
Rel. permeabilitet
0.99996
0.99997
0.999991
0.999991
0.9999995
1
Materiale
luft
aluminium
jern + 4% silisium
rent jern (0.04% forurensn.)
supermalloy
Rel. permeabilitet
1.0000004
1.00002
7000
2 · 105
∼ 106
Tabell 3.1: Permeabiliteten til noen ulike stoffer ved romtemperatur. De ferromagnetiske materialene er strengt tatt ulineære, s˚
a permeabiliteten for disse er ˚
a anse som et gjennomsnittlig
stigningstall for hysteresekurven B(H), se kap. 3.6.
P˚
a samme m˚
ate som lovene i elektrostatikk kunne skrives p˚
a differensialform, kan vi omskrive
Amp`eres lov vha. Stokes teorem:
Z
I
Z
J · dS =
H · dl =
∇ × H · dS.
(3.88)
S
C
S
Siden den lukkede kurven C og dermed flaten S er vilk˚
arlig, m˚
a vi ha
∇ × H = J.
(3.89)
Dette er en av Maxwells ligninger for statiske magnetfelt. Den andre ligningen er
∇ · B = 0,
(3.90)
som vi fant var tilfredsstilt for en vilk˚
arlig strømfordeling i kap. 3.3. Det er derfor klart at den
ogs˚
a m˚
a gjelde for et materiale siden magnetisering kan beskrives som en mengde sirkulerende
strømmer.
68
KAPITTEL 3. MAGNETOSTATIKK
3.6. MAGNETISKE MATERIALER
Eksempel 3.10
Finn B overalt for en koaksialkabel n˚
ar permeabiliteten mellom lederne er µ, se fig. 3.16.
Anta at strømmen er jevnt fordelt over overflaten av innerlederen, og den indre overflaten av
ytterlederen. Vi bruker det samme symmetriargumentet som vi brukte for eksempelet i fig.
ˆ der H er uavhengig av φ og z. Amp`eres lov gir da
3.11, og f˚
ar dermed at H = H(r)φ,
I
I
H · dl =
Hdl = H2πr = I,
(3.91)
C
C
for a < r < b. For r < a og r > b blir høyresiden i Amp`eres lov null siden det da g˚
ar null
(netto) strøm igjennom C. Dette betyr at
(
I ˆ
φ, a < r < b,
(3.92)
H = 2πr
0,
ellers.
Til slutt bruker vi at B = µH:
(
B=
µI ˆ
2πr φ,
0,
111111
000000
000000
111111
µ
000000
111111
000000
111111
a
000
111
000000
111111
000
111
000000
111111
000
111
000000
111111
000
111
000000
111111
000000
111111
b
000000
111111
000000
111111
000000
111111
a < r < b,
ellers.
(3.93)
r
z
I
C
Figur 3.16: En koaksialkabel.
3.6
Magnetiske materialer
De fleste materialene hører til en av følgende tre kategorier: Diamagnetiske materialer, paramagnetiske materialer og ferromagnetiske materialer . Et diamagnetisk materiale kjennetegnes
ved at µr < 1, mens et paramagnetisk materiale har µr > 1. Eksempler p˚
a diamagnetiske materialer er sølv og vann, mens luft og aluminium er paramagnetiske, se tabell 3.1. Begge disse
typene er lineære materialer med µr ∼ 1. Den tredje kategorien, ferromagnetiske materialer, er
ikke-lineære. Likevel vil man ofte definere en effektiv, relativ permeabilitet µr for dem, som et
gjennomsnittlig stigningstall for sammenhengen B(H). Denne effektive µr er meget stor; f.eks. for
rent jern kan man oppn˚
a µr i størrelsesorden 105 . Mikroskopisk sett har ferromagnetiske materialer
s˚
akalte Weiss-domener, dvs. omr˚
ader med gitte magnetiseringsretninger. Magnetiseringen M er et
gjennomsnitt over mange slike sm˚
a domener. I mange tilfeller har disse mikroskopiske domenene
69
3.6. MAGNETISKE MATERIALER
KAPITTEL 3. MAGNETOSTATIKK
helt tilfeldig magnetiseringsretning, slik at den makroskopiske magnetiseringen M er null. Dersom
man p˚
atrykker et felt, vil domenenes magnetisering, og dermed ogs˚
a M, rette seg langs feltet. Vi
skal ikke g˚
a videre inn p˚
a modeller for magnetiske medier, siden en skikkelig beskrivelse uansett
krever kvantemekanikk.
Magnetiseringen M i ferromagnetiske materialer avhenger ikke bare av p˚
atrykt felt, men ogs˚
a
historikken til det p˚
atrykte feltet. Dersom det p˚
atrykte feltet varierer periodisk, vil magnetiseringen sfa. H følge en lukket kurve, en s˚
akalt hysteresekurve, se fig. 3.17: Anta at p˚
atrykt felt H
og magnetiseringen M er begge null til ˚
a begynne med. Vi p˚
atrykker n˚
a en periodisk variasjon
av H (f.eks. ved ˚
a endre strømmen i en spole periodisk). Til ˚
a begynne med, n˚
ar H øker, øker
ogs˚
a magnetiseringen M . Etter hvert som H blir stor, blir alle domenene rettet inn etter feltet.
Dermed kan ikke M vokse noe særlig mer. Vi f˚
ar metning – kurven flater ut. S˚
a begynner vi ˚
a
redusere H. Da reduseres ogs˚
a M , men magnetiseringen henger litt igjen. N˚
ar H = 0 har vi f˚
att
en gjenværende magnetisering, en permanent magnetisering. N˚
ar H blir negativ (dvs. H blir i
motsatt retning som før) reduseres M inntil den blir null og videre negativ. Vi f˚
ar etter hvert
metning motsatt vei, før vi igjen øker H.
M
H
Figur 3.17: En hysteresekurve. Til ˚
a begynne med er p˚
atrykt felt og magnetisering antatt ˚
a
være null. N˚
ar p˚
atrykt felt varierer harmonisk, vil magnetiseringen sfa. p˚
atrykt felt danne en
lukket kurve.
At eksempelet nedenfor viser at H og B kan være i forskjellig eller motsatt retning, er kanskje
litt overraskende. Man skal imidlertid ikke bekymre seg for mye over den fysiske tolkningen av H:
Det er en hjelpestørrelse som oppsto fordi vi ønsket ˚
a separere feltbidragene fra to ulike strømmer,
de vanlige strømmene som kan m˚
ales med et amperemeter, og “strømmene” pga. magnetiske
dipoler. Vi beskrev Amp`eres lov for H slik at bare den vanlige strømmen var med som kilde p˚
a
høyresiden. I prinsippet kunne vi ha delt opp annerledes. F.eks. n˚
ar man beskriver et kunstig
materiale (s˚
akalt metamateriale) med mikroskopiske strukturer laget av metaller, ser man p˚
a
strømmene i disse metallene som “materialdipoler” og baker ogs˚
a dem inn i M; dermed blir det
bare eventuelle andre ledningsstrømmer som blir igjen og bidrar til sirkulasjonen av H.
70
KAPITTEL 3. MAGNETOSTATIKK
3.6. MAGNETISKE MATERIALER
Eksempel 3.11
H-felt og B-felt fra en permanentmagnet i vakuum (eller luft). Vi ser her p˚
a en sylindrisk
ˆ langs aksen til sylinderen. De
permanentmagnet, se fig. 3.18a, med magnetisering M = M z
magnetiske dipolene kan sees p˚
a som sm˚
a strømsløyfer; summen av alle disse er ekvivalent
med en flatestrøm p˚
a overflaten til sylinderen, evt. en tettviklet solenoide (fig. 3.18b). Dermed
blir B-feltet som vist i fig. 3.18c: Inne i sylinderen blir B-feltet nesten uniform og rettet langs
ˆ-aksen, mens ved endene spres flukslinjene utover i rommet slik at de kan bite seg selv i
z
halen. Om vi lar sylinderen bli uendelig lang, blir feltet det samme som for solenoiden i kap.
3.4.
For H-feltet blir bildet et helt annet. Først noterer vi oss at H = B/µ0 − M, og siden
ˆ-retning inni magneten (bortsettfra nær Htoppen eller bunnen), m˚
b˚
ade B og M er i z
a ogs˚
aH
være det. Det er ingen frie strømmer, s˚
a Amp`eres lov gir at C H · dl = 0. Vi lar n˚
a C være en
av de lukkede flukslinjene fra fig. 3.18c. Utenfor permanentmagneten er H = B/µ0 , s˚
a H f˚
ar
samme oppførsel (og retning) som B. For at integralet skal bli null m˚
a det derfor bli et
negativt bidrag fra den delen av integrasjonsveien som er inni magneten. Alts˚
a m˚
a H være
motsatt rettet av B der.
71
3.6. MAGNETISKE MATERIALER
KAPITTEL 3. MAGNETOSTATIKK
z
M
=
(a)
(b)
z
z
(c)
(d)
Figur 3.18: (a) En sylindrisk permanentmagnet. (b) Tverrsnittet til magneten, inklusive noen
av de magnetiske materialdipolene (mikroskopiske strømsløyfer). (c) B-felt. (d) H-felt.
72
3.7. GRENSEBETINGELSER FOR B OG H
KAPITTEL 3. MAGNETOSTATIKK
3.7
Grensebetingelser for B og H
Hva er B og H p˚
a en side av en grenseflate mellom to materialer, dersom Hde tilsvarende feltene p˚
a
andre siden er gitt? Vi tar utgangspunkt i fig. 3.19 og bruker først loven S B · dS = 0 p˚
a integraˆ ∆S + B2 · (−ˆ
sjonssylinderen S til høyre. Siden høyden ∆h er neglisjerbar, f˚
ar vi B1 · n
n)∆S = 0,
hvilket gir
B1n = B2n .
(3.94)
z
B1n
H1
x
y
H2
dl
∆h → 0
−dl
B2
∆S
H1t
H2t
B2n
ˆ
n
B1
∆h → 0
Js
Figur 3.19: Grenseflate mellom medium 1 og medium 2. Integrasjonssløyfa C er en rektangulær
sløyfe med lengde dl og neglisjerbar høyde ∆h. Integrasjonssylinderen S har neglisjerbar høyde
∆h, og arealet til topplokket/bunnen er ∆S. Dette arealet er s˚
a lite at vi kan anta at feltene
er konstante der. Grenseflaten kan ha en flatestrøm Js .
S˚
a bruker vi Amp`eres lov p˚
a integrasjonskurven C: H1 · dl + H2 · (−dl) = Js dl, der Js er flatestrømtettheten normalt p˚
a integrasjonssløyfa. Om vi lar x-aksen peke langs dl, og y-aksen peke
ˆ ), f˚
inn i papiret (dvs. dl = dlˆ
x og Js = Js y
ar vi
ˆ − H2 · x
ˆ = Js .
H1 · x
(3.95)
ˆ -retning, ville vi f˚
Hvis vi hadde lagt integrasjonssløyfa slik at dl var i y
att
ˆ − H2 · y
ˆ = 0,
H1 · y
(3.96)
ˆ -retning. Vi kan sammenfatte (3.95) og (3.96) som følger:
siden det ikke g˚
ar noen flatestrøm i x
ˆ.
H1t − H2t = Js × n
(3.97)
Her st˚
ar indeksen t for tangensialkomponent; f.eks. er H1t summen av x- og y-vektorkomponentene
til H1 . I det vanlige tilfellet der det ikke er noen flatestrøm, ser vi at tangensialkomponenten til
H er kontinuerlig over grenseflaten:
H1t = H2t .
(3.98)
73
3.8. MAGNETISKE KRETSER
KAPITTEL 3. MAGNETOSTATIKK
Eksempel 3.12
Vi ser n˚
a p˚
a en grenseflate mellom et lineært medium 2 med µr 1, og vakuum (medium 1).
Vi antar at det ikke g˚
ar noen flatestrøm p˚
a grenseflaten. Hvor stor er |B1 | i medium 1 n˚
ar B2
i medium 2 er gitt? Vi har at B1 = µ0 H1 og B2 = µr µ0 H2 , s˚
a
2
2
2
2
2
2
|B1 |2 = B1n
+ B1t
= B1n
+ µ20 H1t
= B2n
+ µ20 H2t
.
(3.99)
Til sammenligning er
2
2
|B2 |2 = B2n
+ µ20 µ2r H2t
.
(3.100)
Vi ser at |B1 | |B2 | s˚
a lenge normalkomponentene er sm˚
a. Med andre ord: Hvis B2 -feltet er
nesten tangensielt til grenseflaten, vil feltet inne i materialet være mye større enn feltet p˚
a
utsiden. I kap. 3.8 skal vi se nærmere p˚
a hvordan den magnetiske flukstettheten holdes inne i
materialer med høy µr .
3.8
Magnetiske kretser
Det forrige eksempelet viste hvordan B i noen tilfeller er mye større i et materiale enn utenfor.
Dette er helt tilsvarende hvordan J holdes inne i omr˚
ader med høy konduktivitet σ; strømmen
g˚
ar der den har minst motstand. Vi kan stadfeste denne analogien mer presist i form av tabell
3.2. Siden ligningene som beskriver B er analoge til de som beskriver J, kan vi bruke resultater
fra elektriske kretser til analysere s˚
akalte magnetiske kretser , dvs. kretser der det g˚
ar magnetisk
fluks. En vesentlig forskjell er det likevel n˚
ar det gjelder konduktiviteten. For elektriske kretser er
konduktiviteten null i vakuum (eller ekstremt liten i luft) utenfor kretsen, mens for en magnetisk
krets er den tilsvarende “konduktiviteten” µ forskjellig fra null overalt. Men n˚
ar µ er mye større
i kretsen enn utenfor, blir oppførselen analog i de to tilfellene. Da vil B-feltet følge rundt den
magnetiske kretsen uten ˚
a stikke av til omgivelsene.
Elektrisk krets
R J
I=
H tverrsn J · dS
S J · dS = 0
J = σE
σ
H
E
·
dl
= emf
C
Resistans R
Magnetisk krets
RB
Φtverrsn
H = tverrsn B · dS
S B · dS = 0
B = µH
µ
H
H
·
dl
= NI
C
Reluktans Rm
Tabell 3.2: Analogi mellom elektriske og magnetiske kretser. Strømmen I g˚
ar rundt i den
elektriske kretsen, mens fluksen Φtverrsn g˚
ar rundt i den magnetiske kretsen. Spenningskilden
emf driver strømmen i den elektriske kretsen, mens i den magnetiske kretsen er det N I som
er kilden til den magnetiske fluksen. For en rett elektrisk leder med konstant tverrsnittsareal
S og konduktivitet σ, er resistansen R = l/(σS), jfr. (2.126). Fra analogien i tabellen ovenfor
er det da klart at reluktansen til et stykke materiale med konstant tverrsnittsareal og stor µ
er Rm = l/(µS).
74
KAPITTEL 3. MAGNETOSTATIKK
3.8. MAGNETISKE KRETSER
Eksempel 3.13
Vi ønsker ˚
a finne fluksen som g˚
ar rundt i en tynn toroide (b a) med luftgap d, se fig. 3.20.
Det er en spole med N viklinger som fører strømmen I. Permeabiliteteten µ er s˚
a stor at vi
antar at fluksen følger rundt toroiden. Luftgapet er s˚
a lite at vi kan se bort fra spredning av
flukslinjer (d b). Dermed er det den samme fluksen Φtverrsn for alle tverrsnitt rundt kretsen:
Z
Φtverrsn =
B · dS ≈ BS,
(3.101)
tverrsn
2
der S = πb er tverrsnittsarealet. Tilnærmelsen gjelder fordi toroiden er tynn, slik at B
varierer lite over tverrsnittet. Amp`eres lov kan n˚
a brukes til ˚
a finne B. Vi lager oss en
integrasjonssløyfe rundt den magnetiske kretsen, hele tiden i samme retning som H. Siden
H = B/µ0 i luftgapet og H = B/(µr µ0 ) ellers, f˚
ar vi
I
B
B
d+
(2πa − d) = N I,
(3.102)
H · dl =
µ
µ
0
r µ0
krets
og dermed
Φtverrsn = BS =
d
µ0 S
NI
.
+ 2πa−d
µr µ0 S
Vi kunne faktisk ha sagt dette med en gang: Fra analogien til elektriske kretser er
NI
Φtverrsn =
,
Rm,luftgap + Rm,toroide
(3.103)
(3.104)
og reluktansene er gitt av
d
,
µ0 S
2πa − d
,
=
µr µ0 S
Rm,luftgap =
(3.105a)
Rm,toroide
(3.105b)
i analogi med (2.126).
En vanlig tilnærmelse som gjøres i forbindelse med magnetiske kretser, er ˚
a anta at
µr = ∞ i kjernen. Da f˚
ar vi
NI
Φtverrsn =
,
(3.106)
Rm,luftgap
dvs. fluksen blir gitt av reluktansen til luftgapet alene.
d
I
a
N
ˆ
φ
2b
µr
Figur 3.20: En magnetisk krets med to deler: toroide med luftgap.
75
3.8. MAGNETISKE KRETSER
KAPITTEL 3. MAGNETOSTATIKK
76
Kapittel 4
Elektrodynamikk
Hittil har vi sett p˚
a statiske felt, dvs. felt som er konstante med hensyn p˚
a tiden. Vi skal n˚
a se
hvordan de fire Maxwells ligninger, dvs. ligningene (2.67), (2.68), (3.89) og (3.90), modifiseres for
tidsavhengige felt.
4.1
Emf
Før vi starter med den egentlige elektrodynamikken trenger vi ˚
a definere en sentral størrelse,
elektromotorisk spenning, emf . Vi tenker oss n˚
a at det er en ekstern kraft som virker p˚
a ladninger.
Et eksempel kan f.eks. være kjemiske krefter i et batteri. En slik kraft kan virke som en kilde i en
krets, se fig. 4.1. Vi kaller kraften per ladning f . I elektrostatikken er emf’en definert som
I
e=
krets
f · dl,
(4.1)
med enhet volt. For en lokalisert kilde slik som et batteri (fig. 4.1), kunne
H vi ha nøyd oss med
˚
a integrere fra den nedre til den øvre polen, men vi bruker notasjonen for ˚
a f˚
a med bidraget
fra eventuelle andre kilder rundt kretsen. Inne i et ideelt batteri, m˚
a den eksterne kraften bare
motvirke den elektriske motkraften, det er ingen andre motkrefter. Alts˚
a er f = −E der. Se f.eks.
p˚
a “batteriet” i fig. 4.1. Potensialforskjellen mellom øvre og nedre plate er per definisjon:
Z
nedre
V =
øvre
E · dl = −
Z
nedre
øvre
f · dl =
Z
øvre
nedre
f · dl =
I
krets
f · dl = e.
I
+
V
R
+
−
V =0
Figur 4.1: En kilde virker ved at en ekstern kraft (i et batteri er det en kjemisk kraft) flytter
ladning fra et sted til et annet.
77
(4.2)
4.2. FARADAYS INDUKSJONSLOV
I elektrostatikken er
H
KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK
E · dl = 0, s˚
a vi kan like godt skrive emf’en:
I
e=
krets
(f + E) · dl.
(4.3)
Dette lar vi være definisjonen p˚
a emf i elektrodynamikken.
Vi f˚
ar da med bidraget til eksterne
H
kilder som batterier, men ogs˚
a en evt. kilde pga. at E · dl ikke nødvendigvis er null. Det er
nettopp det vi skal se blir tilfelle i Faradays lov.
4.2
Faradays induksjonslov
Vi g˚
ar først tilbake til elektro- og magnetostatikken igjen, og ser p˚
a hva som skjer om vi flytter
(og evt. deformerer) en sløyfe C i et B-felt som ikke varierer med tiden. Vi antar at det ikke er
noen andre kilder til emf (slik som batterier). Vi ser først p˚
a et linjeelement dl, med hastighet
v = dr/dt, der dr alts˚
a er forskyvingen til elementet i løpet av tiden dt. Hvis en ladning Q befinner
seg p˚
a linjeelementet, opplever den en kraft Qv × B. Kraften per ladning er alts˚
a
f = v × B.
(4.4)
Den induserte emf’en blir
I
I
I I
dr
1
e=
f · dl = (v × B) · dl =
× B · dl =
(dr × B) · dl.
dt
dt C
C
C
C
Fra vektorformelen (a × b) · c = b · (c × a) f˚
ar vi
I
I
1
1
e=
B · (dl × dr) = −
B · (dr × dl).
dt C
dt C
(4.5)
(4.6)
Vektoren dr × dl er et flateelement som angir endringen av flaten som omsluttes av C i løpet av
tiden dt (se fig. 4.2). Det siste integralet i (4.6) er derfor endringen av fluksen gjennom flaten. Vi
f˚
ar:
Z
d
e=−
B · dS,
(4.7)
dt S
der S er en flate som til enhver tid omsluttes av C.
dl
dr
tid t
tid t + dt
Figur 4.2: Integrasjonssløyfa C ved tiden t og tiden t + dt. Husk at arealet av et parallellogram
med sidekanter dr og dl er gitt av drdl sin α, der α er vinkelen mellom de to vektorene. Det
skraverte arealet kan alts˚
a uttrykkes |dr × dl|.
Spørsm˚
alet er n˚
a hva emf’en blir dersom B er tidsavhengig. Siden vi da snakker elektrodynamikk, bruker vi definisjonen (4.3) p˚
a emf, der f = v × B. Det viser seg fra eksperimenter
78
KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK
4.3. KRETS
at emf’en ikke bryr seg om fluksendringen er pga. bevegelse/deformering av sløyfa, eller pga.
tidsvariasjon av B; emf’en er den samme uansett:
I
Z
d
e = (f + E) · dl = −
B · dS.
(4.8)
dt S
C
Dette er Faradays lov. Den forteller oss at i en sløyfe induseres det en elektromotorisk spenning
lik minus den tidsderiverte av fluksen. Man kan se p˚
a Faradays lov som et eksperimentelt faktum,
eller man kan argumentere ut fra statikken og relativitetsteori: Vi har vist fra statikken at (4.8)
gjelder for en sløyfe som beveges i forhold til en magnet. Det m˚
a være det samme om sløyfa holdes
i ro og magneten beveges i stedet1 .
Hvordan blir Faradays lov i en spole med N viklinger? Dersom fluksen i vikling i kalles Φi ,
vil emf’en som induseres i den viklingen være −dΦi /dt. Total emf som induseres i hele spolen er
derfor
N
X
dΦi
e=−
.
(4.9)
dt
i=1
Hvis vi definerer total fluks som
Φ=
N
X
Φi ,
(4.10)
i=1
f˚
ar vi samme form p˚
a Faradays lov som før:
e=−
dΦ
.
dt
(4.11)
Dersom den samme fluksen Φ1 g˚
ar igjennom alle viklingene, f˚
ar vi total fluks Φ = N Φ1 og derfor
e = −N
dΦ1
.
dt
(4.12)
Til slutt noterer vi oss at Faradays lov ogs˚
a kan skrives p˚
a differensialform. Vi ser n˚
a p˚
a en
integrasjonskurve C som omslutter et areal S som er i ro. I (4.8) er alts˚
a f = 0. Ved ˚
a bruke
Stokes’ teorem p˚
a det første integralet i (4.8), f˚
ar vi:
I
Z
Z
Z
d
∂B
E · dl =
∇ × E · dS = −
B · dS = −
· dS.
(4.13)
dt S
C
S
S ∂t
Flaten S er vilk˚
arlig, og vi m˚
a derfor ha
∇×E=−
∂B
.
∂t
(4.14)
Dette er Faradays lov p˚
a differensialform, ogs˚
a kjent som en av Maxwells ligninger. Under statiske
forhold blir høyresiden null, og vi blir st˚
aende igjen med ∇ × E = 0 som vi hadde i kap. 2.2.
4.3
Krets
Vi skal n˚
a se hva emf’en gjør med en krets. Kretsen best˚
ar av en eller flere spenningskilder eller
batterier med samlet emf lik Vb , og en resistans R, se fig. 4.3. Summen av emf i kretsen er
1
Her er det p˚
a sin plass ˚
a gi en liten forsmak p˚
a relativitetsteori: La observatør 1 være i ro i sin lab. Han
sørger for at det er et B-felt der, som er uavhengig av tiden. En partikkel med ladning Q som beveger seg med
hastighet v i forhold til observatør 1, opplever da kraften Qv × B. Anta at en annen observatør 2 beveger seg med
samme hastighet som Q. Siden ladningen er i ro sett fra observatør 2, vil han alts˚
a konkludere med at kraften
p˚
a partikkelen m˚
a være elektrisk. Dette elektriske feltet E er gitt av ligningen QE = F = Qv × B, der B er den
magnetiske flukstettheten sett fra observatør 1. Dette er fordi kraften p˚
a partiklen m˚
a være den samme sett fra
de to observatørene. Et magnetisk felt i ett referansesystem, gir alts˚
a et elektrisk felt i et annet. Det er ikke noe
absolutt med oppdelingen i elektriske- og magnetiske felt, den er avhengig av øynene som ser!
79
4.3. KRETS
KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK
I
+
Φ
Vb
R
−
Figur 4.3: En krets som best˚
ar av et batteri Vb og en resistans R. Det g˚
ar en fluks Φ igjennom
kretsen.
X
I
emf =
krets
(f b + f m + E) · dl,
(4.15)
der f b er kraften per ladning i kildene, og f m = v × B er den magnetiske kraften Hper ladning pga.
en eventuell deformasjon eller bevegelse
H av sløyfa. Fra forrige avsnitt har vi at (f m + E) · dl =
−dΦ/dt, og fra avsnitt 4.1 har vi at f b · dl = Vb . Vi kan alts˚
a skrive
X
dΦ
emf = Vb + −
.
(4.16)
dt
Se n˚
a nærmere p˚
a integralet p˚
a høyre side av (4.15). Bortsettfra i resistansen er f b + f m = −E,
siden de eksterne kreftene
bare
jobber mot det elektriske feltet. Igjennom selve resistansen f˚
ar
R
vi at integralet blir lik E · dl = RI, per definisjon av resistans (2.125). Her har vi antatt at
kildekreftene er neglisjerbare inne i resistansen, sammenlignet med det elektriske feltet. Vi har
alts˚
a
I
X
emf =
(f b + f m + E) · dl = RI.
(4.17)
krets
Ved ˚
a sette sammen (4.16) og (4.17) f˚
ar vi at
X
dΦ
emf = Vb + −
= RI.
dt
(4.18)
Vi kan tolke dette som at summen av emf’ene driver strømmen igjennom resistansen.
Eksempel 4.1
En krets best˚
ar av en resistans R, to parallelle metallskinner, og en metallstang.
Metallstangen dras bortover med en mekanisk kraft slik at den holder konstant hastighet v
mot høyre. Det er et uniformt B-felt inn i papirplanet. Vi ønsker ˚
a finne indusert emf og
strøm. I tillegg vil vi vite den mekaniske kraften Fmek og effekten som dissiperes i R.
Arealet som omsluttes av kretsen kan uttrykkes S = S0 + lvt, der S0 er arealet ved tiden
t = 0. Positiv retning for flatenormalen m˚
a være konsistent med positiv omløpsretning, dvs.
n˚
ar vi holder høyre h˚
and med fingrene i omløpsretningen angitt med positiv strømretning,
peker tommelen i retningen til flatenormalen. Vi skriver derfor
S = (S0 + lvt)ˆ
z.
(4.19)
Emf’en blir
dΦ
d
e=−
=−
dt
dt
d
B · dS = −
dt
S
Z
d
d
B·
dS = − B · S = BS = Blv,
dt
dt
S
Z
80
(4.20)
KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK
4.3. KRETS
og strømmen
I=
e
Blv
=
.
R
R
(4.21)
Dette betyr at det brennes av en effekt
B 2 l2 v 2
(4.22)
R
i motstanden R. Hvor kommer denne energien fra? Den magnetiske kraften som virker p˚
a
metallstangen er
Z
Z
Fm = I
dl × B = −ˆ
xI
dlB = −ˆ
xIlB,
(4.23)
P = RI 2 =
stang
stang
s˚
a den mekaniske kraften m˚
a være
B 2 l2 v
ˆ
x
(4.24)
R
for at stangen skal ha konstant hastighet. Vedkommende som drar i stangen utfører alts˚
a
arbeidet kraft · vei = Fmek (vdt) i løpet av tiden dt. Dvs. vedkommende tilfører effekten
ˆ=
Fmek = IlB x
B 2 l2 v 2
arbeid
= Fmek v =
= P.
dt
R
(4.25)
I
l
B
R
Fmek
x
z
Figur 4.4: En metallstang dras bortover langs to metallskinner. Det er et uniformt B-felt inn
i papirplanet.
Eksempel 4.2
Vi skal her se prinsippet for en generator, se fig. 4.5(a). En ledersløyfe roteres i et uniformt og
tidsuavhengig B-felt, slik at vinkelen mellom flatenormalen og B er
ϕ = ωt.
Fluksen gjennom sløyfa er dermed
Z
Φ=
B · dS = B · S = BS cos ωt.
(4.26)
(4.27)
S
Den induserte emf’en blir
dΦ
= BSω sin ωt.
(4.28)
dt
Det er praktisk ˚
a bruke en kommutator (se fig. 4.5(a)). Da blir i s˚
a fall spenningen etter
kommutatoren gitt av
e = BSω| sin ωt|.
(4.29)
e=−
Emf’en, og spenningen etter kommutatoren er plottet i fig. 4.5(b) og (c).
81
4.3. KRETS
KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK
ω
(a)
B
(b)
emf
BSω
ωt
(c)
emf
BSω
ωt
Figur 4.5: (a) Prinsippet for en generator: En plan ledersløyfe roteres i et uniformt B-felt.
Den roterende sløyfa kobles til verden utenfor via en s˚
akalt kommutator , der de to lederne til
sløyfa er formet som to halvsirkler. To børster holdes inntil de to halvsirklene. (b) Emf’en og
(c) spenningen etter kommutatoren som funksjon av ωt.
82
KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK
4.3. KRETS
Eksempel 4.3
Lenz’ lov : En ledersløyfe har resistans R. Til ˚
a begynne med antar vi at strømmen er null. S˚
a
beveger vi en magnet mot sløyfa, for ˚
a prøve ˚
a endre fluksen Φ igjennom sløyfa, se fig. 4.6. En
fluksendring gir en indusert emf, som igjen gir en strøm:
RI = e = −
dΦ
.
dt
(4.30)
Dersom fluksendringen er positiv, blir alts˚
a strømmen negativ. Dvs. strømmen settes opp i
motsatt retning av positiv omløpsretning p˚
a figuren. Denne strømmen produserer et eget
B-felt, med retning gitt av høyreh˚
andsregelen (jfr. eksempelet i kap. 3.1), dvs. motsatt av den
p˚
atrykte B-feltsendringen. Dette kalles Lenz’ lov, og er en nyttig huskeregel: Hvis man prøver
˚
a endre fluksen igjennom en ledersløyfe, vil det induseres en strøm i sløyfa som prøver ˚
a
motvirke den p˚
atrykte fluksendringen. Resistansen R avgjør i hvor stor grad sløyfa greier ˚
a
motsette seg endringen. Dersom R = ∞ (˚
apen sløyfe) blir strømmen null, men dersom R = 0
blir strømmen slik at Φ holdes konstant.
I det siste tilfellet greier alts˚
a sløyfa ˚
a kansellere enhver p˚
atrykt fluksendring, slik at den
totale fluksen er konstant. Dette vil være tilfelle for en superledende ring: Dersom fluksen var
Φ idet ringen ble nedkjølt og superledende, vil den være det s˚
a lenge ringen er superledende2 .
M
I
z
Figur 4.6: Illustrasjon av Lenz’ lov, se teksten for forklaring. Den totale fluksen Φ gjennom
sløyfa har to bidrag, fra p˚
atrykt B-felt og fra strømmen i sløyfa selv. Hvis vi definerer positiv
retning for fluksen mot høyre (ˆ
z-retning), m˚
a vi ifølge høyreh˚
andsregelen definere positiv
omløpsretning som vist p˚
a sløyfa (den tykkeste delen av sløyfa er nærmest oss).
Eksempel 4.4
Vi ønsker ˚
a finne emf’en som induseres i den tettviklede, spiralformede spolen i fig. 4.7, med
indre radius a, ytre radius b og N viklinger. Avstanden mellom to naboviklinger er alts˚
a
d=
b−a
.
N
(4.31)
Det er et uniformt B-felt normalt p˚
a viklingene, som varierer harmonisk:
B = B0 cos ωt,
(4.32)
der B0 er en konstant amplitude. Siden spolen er tettviklet, tilnærmer vi hver vikling som
sirkulær. Den totale fluksen blir
N
X
Φ=
Bπri2 ,
(4.33)
i=1
2
P˚
a mange m˚
ater kan man si at en superleder er en ideell leder. Det er imidlertid noen vesentlige forskjeller
mellom en superleder og en ideell leder: I selve superlederen vil alltid B = 0, selv om B 6= 0 idet materialet ble
nedkjølt. Videre har en superleder bare null resistans for temperaturer under den s˚
akalte kritiske temperatur, og
for strømmer/magnetfelt under en gitt terskel. Dessuten er resistansen bare null for null frekvens.
83
4.4. INDUKTANS
KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK
der ri er radius til vikling i. Igjen, siden spolen er tettviklet, endrer ikke radius seg mye fra en
vikling til den neste. Vi kan dermed tilnærme (4.33) med et integral:
Z
Φ = πB
b
r2
a
dr
,
d
(4.34)
der dr/d er antall viklinger med radius i intervallet [r, r + dr]. Dette gir
Φ=
πB 3
πBN b3 − a3
πBN 2
(b − a3 ) =
=
(a + ab + b2 ).
3d
3
b−a
3
(4.35)
dΦ
πωB0 N 2
=
(a + ab + b2 ) sin ωt.
dt
3
(4.36)
Emf’en blir
e=−
B
2a
2b
Figur 4.7: En spiralspole med N viklinger. Det er et tidsavhengig, uniformt B-felt normalt p˚
a
viklingene.
4.4
Selvinduktans og gjensidig induktans
Vi ser n˚
a p˚
a en strømsløyfe eller spole. Alle omgivelsene antas ˚
a inneholde kun lineære medier.
Hvis det g˚
ar en strøm i en spole, gir spolen et B-felt. Hvis strømmen i en spole endrer seg, vil alts˚
a
B-feltet og dermed fluksen gjennom spolen endre seg. Dette gir en indusert emf, som igjen kan
endre strømmen. Denne p˚
avirkningen av seg selv kalles selvinduktans. Selvinduktansen defineres
som
Φ
L= ,
(4.37)
I
der Φ er den totale fluksen igjennom spolen (gitt av (4.10), dvs. summen av fluksene i hver vikling)
pga. strømmen I i den samme spolen. I (4.37) er det alts˚
a bare fluksen pga. I som skal være med.
Hvis det ogs˚
a er andre bidrag til fluksen, f.eks. fra en permanentmagnet eller en annen spole i
nærheten, skal ikke disse være med.
Fra Amp`eres lov vet vi at H er proporsjonal med I; hvis vi fordobler I fordobles ogs˚
a H. For
lineære medier er B proporsjonal med H. Fluksen Φ er igjen proporsjonal med B. Med andre ord
har vi følgende kjede av proporsjonaliteter:
Φ
def. fluks
∝
B
lin. medium
∝
H
Amp`
ere
∝
I.
(4.38)
Dette sikrer at selvinduktansen L ikke blir avhengig av strømmen I eller fluksen Φ; den blir bare
avhengig av geometri og materialparametre µ.
84
KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK
4.4. INDUKTANS
Tilsvarende kan vi definere gjensidig induktans. Vi lar Φij bety den totale fluksen igjennom
spole j pga. strømmen Ii i spole i. Da er gjensidig induktans definert ved
Φij
.
Ii
(4.39)
Lij = Lji .
(4.40)
Lij =
Spesialtilfellet j = i svarer til selvinduktans.
En nyttig, men ikke opplagt sammenheng er
Beviset overlates til en øvingsoppgave. Sammenhengen er i mange tilfeller praktisk fordi det kan
være mye enklere ˚
a beregne f.eks. Lji enn Lij , se eksempelet nedenfor.
Selvinduktans og gjensidig induktans er nyttige størrelser fordi de forteller oss hvor mye
emf som induseres av en gitt variasjon i strømmen. Emf’en som induseres i spole j pga. en
strømvariasjon i spole i er ifølge Faradays lov:
eij = −
dΦij
dIi
= −Lij
,
dt
dt
(4.41)
der vi har satt inn definisjonen (4.39) i siste overgang. Vi har antatt at spolene er faste og
stillest˚
aende, slik at Lij er uavhengig av tiden. Som vi ser, er enheten til induktansene Lij gitt av
Vs/A, som oftest kalt H (henry).
Enkelte vil kanskje stusse ved fortegnet i (4.41). Se for enkelhets skyld p˚
a tilfellet med en
enkelt spole (vi dropper derfor indeksene ij). Dersom spolen kobles til en spenningskilde V , vil
det være to kilder i kretsen, dvs. til sammen V + e, der e = −LdI/dt. Hvis kretsen har resistansen
R f˚
ar vi
V + e = RI.
(4.42)
I grensen R → 0 er alts˚
a
V = −e = L
dI
.
dt
(4.43)
Eksempel 4.5
Vi vil finne selvinduktansen til en toroide med rektangulært tverrsnitt og kjernemateriale
med permeabilitet µ. Vi ser p˚
a spole 1 (med strømmen I1 ) i fig. 4.8, som antas ˚
a ha N1
viklinger. Anta at spolen er tettviklet slik at vi kan bruke symmetriargumentene fra
ˆ Amp`eres lov p˚
toroide-eksempelet i kap. 3.4, dvs. H = H(r)φ.
a en sirkulær integrasjonssløyfe
C med radius r fra toroidens akse gir
I
H · dl = H2πr = N1 I1
(4.44)
C
for C inne i toroiden. Dvs.
B = µH =
µN1 I1
,
2πr
(4.45)
inne i toroiden, mens B = 0 utenfor. Selvinduktansen er
L=
Φ
,
I1
85
(4.46)
4.4. INDUKTANS
KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK
der Φ er den totale fluksen gjennom spole 1. Vi har alts˚
a Φ = N1 · Φtverrsn , der Φtverrsn er
fluksen gjennom et tverrsnitt av toroiden:
Z
Φ = N1 · Φtverrsn = N1
B · dS
b
Z
= N1 h
Bdr =
a
tverrsn
µhN12 I1
2π
b
ln .
a
(4.47)
Dette gir selvinduktansen
L=
µhN12
b
ln .
2π
a
(4.48)
Legg merke til faktoren N12 : Hvis vi fordobler antall viklinger, s˚
a firedobles selvinduktansen.
Dette er fordi dobbelt s˚
a mange viklinger gir dobbelt s˚
a stort felt og dermed tverrsnittsfluks,
som g˚
ar igjennom dobbelt s˚
a mange viklinger. Dermed blir den totale fluksen fire ganger s˚
a
stor.
b
r
I2
a
C
h
I1
Figur 4.8: En toroide med to spoler: En tettviklet spole 1 med N1 viklinger rundt hele toroiden,
og en spole 2 med en enkelt vikling.
Eksempel 4.6
Hva er den gjensidige induktansen L21 for de to spolene i fig. 4.8? Per definisjon er denne gitt
av Φ21 /I2 , dvs. man antar en strøm i spole/sløyfe 2, og finner fluksen pga. denne i spole 1.
Fordi det er vanskelig ˚
a finne feltet fra spole 2, benytter vi oss av sammenhengen L21 = L12 .
Dermed antar vi i stedet en strøm i spole 1, og finner den resulterende fluksen i spole 2. Fra
forrige eksempel vet vi at tverrsnittsfluksen gjennom toroiden pga. I1 er
Φtverrsn =
Vi f˚
ar dermed
L21 = L12 =
µhN1 I1
b
ln .
2π
a
Φ12
Φtverrsn
µhN1
b
=
=
ln .
I1
I1
2π
a
(4.49)
(4.50)
Hvis spole 2 hadde hatt N2 viklinger, ville vi i stedet hatt Φ12 = N2 Φtverrsn , og
L21 =
µhN1 N2
b
ln ,
2π
a
(4.51)
Generelt er alts˚
a den gjensidige induktansen proporsjonal med b˚
ade N1 og N2 .
Eksempel 4.7
I kap. 2.8 fant vi kapasitansen per lengdeenhet for en koaksialkabel. N˚
a skal vi finne
selvinduktansen per lengdeenhet for kabelen. Vi antar at strømmen g˚
ar p˚
a overflaten av
86
KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK
4.4. INDUKTANS
innerlederen og den indre overflaten av ytterlederen. Vi ser p˚
a de to lederne til kabelen som
deler av en lukket krets, se fig. 4.9. Fra koaksialkabel-eksempelet i kap. 3.5 vet vi at
(
µI ˆ
φ, a < r < b,
(4.52)
B = 2πr
0,
ellers,
der µ er permeabiliteten til materialet mellom lederne. Dette gir
Φ
1
L=
=
I
I
l
B · dS =
I
S
Z
Z
b
Bdr =
a
b
µl
ln .
2π a
(4.53)
ˆ
Her har vi brukt at B er i samme retning som dS (nemlig i φ-retning).
Selvinduktansen per
lengdeenhet blir
b
µ
ln .
(4.54)
L0 =
2π a
Vi legger forøvrig merke til at enheten for L0 er den samme som enheten for µ eller µ0 , dvs.
H/m.
l
b
I
+
111
000
a
000
111
000
111
000
111
z
R
S
−
Figur 4.9: Selvinduktansen per lengdeenhet for en koakskabel regnes ut ved ˚
a se p˚
a fluksen
gjennom et areal som omsluttes av kretsen, f.eks. det gr˚
a arealet S.
Eksempel 4.8
En transformator best˚
ar av to spoler med henholdsvis N1 og N2 viklinger, se fig. 4.10. I det
generelle tilfellet kan vi uttrykke forholdet mellom emf’ene som følger:
12
1
− dΦ
L12 dI
e12
L12
dt
dt
= dΦ
=
=
.
dI
11
e11
L11
− dt
L11 dt1
(4.55)
Anta n˚
a at R = ∞ slik at det ikke g˚
ar strøm i spole 2. Da har vi at V1 = −e11 (jfr. (4.43)) og
V2 = e12 , og dermed
L12
V2
=−
.
(4.56)
V1
L11
Vi lar n˚
a R være vilk˚
arlig, men antar at transformatoren er ideell, dvs. spolene er viklet
rundt en kjerne med høy permeabilitet (µr 1). Dermed kan vi anta at fluksen følger rundt
kjernen. Tverrsnittsfluksen Φtverrsn er alts˚
a den samme overalt, og totalfluksen i spole 1 og
spole 2 er henholdsvis N1 Φtverrsn og −N2 Φtverrsn . Her er det brukt at positiv retning for
Φtverrsn er i samme retning som C, se fig. 4.10. Totalemf’en i spole 1 og 2 kaller vi henholdsvis
e1 og e2 . Vi merker oss at V1 = −e1 og V2 = e2 . Faradays lov gir
V2
e2
=
=
V1
−e1
d(N2 Φtverrsn )
dt
d(N1 Φtverrsn )
dt
87
=
N2
.
N1
(4.57)
4.5. ENERGI OG KREFTER I MAGNETISKE FELT KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK
For ˚
a finne forholdet mellom strømmene antar vi µr = ∞ i kjernen. Da m˚
a vi ha H = 0;
som vi skal se i neste kapittel er energitettheten i et magnetisk felt gitt av µH 2 /2, og den m˚
a
være endelig. Amp`eres lov rundt kjernen gir dermed
I
H · dl = 0 = N1 I1 − N2 I2 ,
(4.58)
C
der fortegnene er konsistent med definert, positiv strømretning p˚
a figuren. Vi f˚
ar alts˚
a3
N1
I2
=
.
I1
N2
(4.59)
Inngangsmotstanden i spole 1 blir
R1 =
N1
V2 N
N2
V1
2
= R 12 .
= N
2
I1
N2
I2 N1
(4.60)
Det er interessant ˚
a se at belastningen p˚
a sekundærspolen (spole 2) merkes p˚
a primærsiden
(spole 1), selv om det ikke g˚
ar noen elektrisk strøm mellom de to kretsene.
Φtverrsn
+
V1
I2
I1
N2
N1
R
+
V2
−
−
C
µr
Figur 4.10: En transformator.
4.5
Energi og krefter i magnetiske felt
Fra Faradays lov / Lenz’ lov vet vi at en spole motsetter seg endring av strømmen. N˚
ar strømmen
i en spole først er etablert, vil den fortsette ˚
a g˚
a en stund selv om vi erstatter kilden med en
motstand. Med andre ord er det energi lagret i spolen. Vi skal n˚
a finne energien som er lagret i et
system av spoler. Denne finner vi ved ˚
a regne ut hvor stort arbeid som m˚
a utføres for ˚
a etablere
strømmene. Vi ser p˚
a n kretser, hver med en spole eller sløyfe, og en kilde med emf ej , se fig.
4.11. Hver krets’ totale resistans er gitt av Rj . Her er j = 1, 2, . . . , n. I krets j er det to bidrag til
emf’en, fra kilden og fra en evt. fluksendring via Faradays lov:
dΦj
ej + −
= Rj Ij ,
(4.61)
dt
3
Fra analysen kan det se ut som dette resultatet gjelder til og med for konstant strøm I1 . Men praksis viser at
transformatorer ikke virker for konstante strømmer. Problemet ligger i at vi urealistisk antok µr = ∞ til og begynne
med. Hvis man nøyer seg med ˚
a anta µr 1, kan det vises at (4.59) bare gjelder i grensen ωµr → ∞, der ω er
frekvensen.
88
KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK 4.5. ENERGI OG KREFTER I MAGNETISKE FELT
I1
+
e1
−
+
e2
−
+
en
−
I2
In
spole n
spole 2
spole 1
Figur 4.11: Et system av n spoler eller strømsløyfer, hver med en kilde ej . Krets j har til
sammen resistansen Rj .
der Ij er strømmen i spole j. Kilde j leverer effekten ej Ij , og utfører dermed følgende arbeid i
løpet av tiden dt:
dΦj
dAj = ej Ij dt = Rj Ij +
Ij dt = Rj Ij2 dt + Ij dΦj .
(4.62)
dt
Summen av arbeid som utføres av kildene blir
dA =
n
X
Rj Ij2 dt +
j=1
n
X
Ij dΦj .
(4.63)
j=1
Det første leddet her kjenner vi igjen – det er det Joulske tapet i resistansene. Resten av arbeidet
m˚
a da ha g˚
att med til ˚
a endre systemets lagrede energi (og evt. mekanisk arbeid i tilfellet der
kretsene beveger p˚
a seg eller deformeres). Vi kaller denne størrelsen dAm :
dAm =
n
X
(4.64)
Ij dΦj .
j=1
S˚
a langt har vi funnet ut hvor mye energi som skal til for ˚
a endre fluksene med dΦj . Uttrykket
(4.64) er helt generelt, dvs. til og med gyldig for ikke-lineære medier rundt spolene. For ˚
a finne
et uttrykk for den lagrede magnetiske energien, antar vi n˚
a at kretsene er stillest˚
aende og faste,
s˚
a de ikke utfører mekanisk arbeid. Videre antar vi at mediet overalt er lineært. Definisjonen av
gjensidig induktans kan dermed brukes til ˚
a uttrykke fluksen i spole j som en sum av fluksene fra
de n spolene:
Φj = Φ1j + Φ2j + . . . + Φnj = L1j I1 + L2j I2 + . . . + Lnj In =
n
X
Lkj Ik ,
(4.65)
k=1
Setter vi inn dette i (4.64), f˚
ar vi
dAm =
n
X
j=1
Ij
n
X
Lkj dIk =
k=1
n
X
k=1


n
X

Lkj Ij  dIk .
(4.66)
j=1
Vi definerer n˚
a følgende størrelse:
n
Wm =
n
1 XX
Lij Ii Ij ,
2
i=1 j=1
89
(4.67)
4.5. ENERGI OG KREFTER I MAGNETISKE FELT KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK
og legger merke til at
∂Wm
∂Ik


n
n
n
X
X
X
1
= 
Lkj Ij +
Lik Ii  =
Lkj Ij .
2
j=1
i=1
(4.68)
j=1
Her har vi brukt derivasjonsregelen for et produkt, og at Lik = Lki . I lys av (4.68) kan vi n˚
a skrive
(4.66):
n
X
∂Wm
dIk ,
(4.69)
dAm =
∂Ik
k=1
Ved tiden t = 0 antas spolene ˚
a ha null strøm. S˚
a setter vi p˚
a kildene slik at strømmene etter
hvert øker. Den magnetiske energien som har blitt tilført systemet i løpet av tiden fra t = 0 til
t = T , er
Z T
Z TX
n
dAm
∂Wm dIk
Am =
dt =
dt.
(4.70)
dt
∂Ik dt
0
0
k=1
Kjerneregelen sier at
n
dWm X ∂Wm dIk
=
,
dt
∂Ik dt
(4.71)
k=1
s˚
a (4.70) kan forenkles til
Z
Am =
0
T
n
n
1 XX
dWm
dt = Wm (T ) − Wm (0) =
Lij Ii Ij .
dt
2
(4.72)
i=1 j=1
I det siste uttrykket er Ii strømmen i spole i ved tiden t = T . Arbeidet Am er det som har blitt
utført av kildene for ˚
a endre strømmene fra null og til Ii . Dette m˚
a tilsvare den lagrede magnetiske
energien ved t = T , s˚
a størrelsen vi definerte i (4.67) var alts˚
a den lagrede magnetiske energien.
90
KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK 4.5. ENERGI OG KREFTER I MAGNETISKE FELT
Eksempel 4.9
Hva er energien til en toroide (se fig. 4.12)? Vi antar at toroiden er tynn, slik at B-feltet
varierer lite over tverrsnittet. Først finner vi selvinduktansen. Symmetriargumentet fra kap.
ˆ Amperes lov gir dermed
3.4 viser at H = H φ.
I
H · dl = 2πaH = N I,
(4.73)
C
inne i toroiden, s˚
a
H=
NI
.
2πa
(4.74)
Den magnetiske flukstettheten blir
B = µH =
µN I ˆ
φ.
2πa
(4.75)
Siden toroiden er tynn, blir tverrsnittsfluksen tilnærmet lik BS, s˚
a vi f˚
ar selvinduktansen
L=
µN 2 S
N BS
=
.
I
2πa
(4.76)
Energien blir ifølge (4.67)
Wm =
1 µN 2 SI 2
1 µN 2 I 2
1 2
1
LI =
=
2πaS = µH 2 2πaS.
2
2 2πa
2 (2πa)2
2
(4.77)
Vi ser at energien kan skrives
Wm = wm · volumet til toroiden,
(4.78)
der
wm =
1
1
µH 2 = B · H
2
2
(4.79)
alts˚
a kan tolkes som energien per volumenhet i et magnetisk felt. Denne tolkningen av
uttrykket (4.79) kan vises ˚
a være riktig uansett geometri, ikke bare i en toroide, fordi vi kan
tenke oss at enhver flukslinje blir generert av et ørlite, tettviklet rør rundt flukslinjen. Men
alts˚
a, husk at uttrykkene (4.67) og (4.79) for henholdsvis energi og energitetthet bare er
gyldige for lineære medier: Vi m˚
atte anta et lineært medium for ˚
a komme videre fra den
generelt gyldige sammenhengen (4.64).
µ
a
I
ˆ
φ
C
Figur 4.12: En toroide av et materiale med permeabilitet µ. Toroiden er tettviklet med samme
tetthet av viklinger rundt hele, og har N viklinger. Tverrenittsarealet til toroiden er S.
91
4.5. ENERGI OG KREFTER I MAGNETISKE FELT KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK
Eksempel 4.10
Vi ser p˚
a den samme toroiden som i forrige eksempel, men lar n˚
a mediet være ikke-lineært.
Dermed kan vi ikke bruke (4.67), men m˚
a g˚
a tilbake til (4.64), som beskriver tilført magnetisk
energi n˚
ar den totale fluksen endres med dΦ:
dAm = IdΦ.
(4.80)
Vi antar at det har vært full sylindersymmetri til alle tider, slik at vi kan skrive
ˆ
H = H φ,
ˆ
B = B φ.
(4.81a)
(4.81b)
Her trenger ikke H og B nødvendigvis ha samme fortegn. Pga. symmetri er fluksen gjennom
alle viklinger den samme, s˚
a den totale fluksen er
Φ = N BS.
(4.82)
Amp`eres lov gir fortsatt at H = N I/(2πa), s˚
a vi kan n˚
a uttrykke dAm :
dAm =
H2πa
N SdB = HdB · 2πaS.
N
(4.83)
Dette betyr at
tilført magnetisk energi
= HdB,
volum
(4.84)
for ˚
a endre feltet med dB.
Et typisk ikke-lineært medium gir opphav til hysterese, slik vi s˚
a i fig. 3.17. Vi skal n˚
a se
at for harmoniske strømmer og felt, vil vi f˚
a et energitap per volumenhet og per periode som
er lik arealet innenfor hysteresekurven. For ˚
a se dette regner vi ut
Z
tilført energi i løpet av en periode
=
HdB.
(4.85)
volum
periode
I løpet av en periode av feltene, er vi tilbake i samme situasjon, dvs. feltene er som de var en
periode tidligere. All tilført energi m˚
a dermed ha g˚
att over til varme, s˚
a vi kan skrive
Z
tap i løpet av en periode
=
HdB
(4.86)
volum
periode
Vi ser n˚
a p˚
a hysteresekurven i fig. 4.13, som tilsvarer fig. 3.17, bortsettfra at vi plotter B i
stedet for M sfa. H. Fra figuren finner vi at (4.86) blir lik arealet inne i hysteresekurven.
Dette kan ogs˚
a skrives
effekttap
= areal inni hysteresekurven · f,
volum
(4.87)
der f = 1/(periode) er frekvensen. For transformatorkjerner kan vi alts˚
a konkludere med at vi
bør velge et materiale med s˚
a liten ˚
apning i hysteresekurven som mulig. For den motsatte
situasjonen der vi ønsker stort hysteresetap (slik som i kokekarene p˚
a en induksjonsovn) bør
vi velge et materiale med stor ˚
apning. Vi bør dessuten sørge for høy frekvens f .
Eksempel 4.11
Som vi s˚
a i forrige kapittel, karakteriseres en transformator ved hjelp av selvinduktansene L11
og L22 , og den gjensidige induktansen L12 . Energien i en transformator som er laget av et
lineært medium kan vi ifølge (4.67) skrive
1
1
1
1
L11 I12 + L12 I1 I2 + L21 I2 I1 + L22 I22
2
2
2
2
1
1
2
2
= L11 I1 + L22 I2 + L12 I1 I2 .
(4.88)
2
2
Det siste leddet her representerer vekselvirkningen mellom de to spolene. Dette leddet kan
være b˚
ade positivt og negativt.
Wm =
92
KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK 4.5. ENERGI OG KREFTER I MAGNETISKE FELT
B
B
dB
H
H
(a)
(b)
Figur 4.13: (a) Tilført energi/volum n˚
ar vi endrer B til B + dB er arealet til et rektangel med
høyde dB og lengde H. N˚
ar vi integrerer langs hysteresekurven f˚
ar vi arealet mellom B-aksen
og kurven. N˚
ar vi har n˚
add toppen av kurven, snur dB, s˚
a HdB blir negativ. Derfor f˚
ar vi
det svakt gr˚
ae arealet trukket fra. (b) Etter en hel periode blir integralet lik arealet inne i
hysteresekurven.
Eksempel 4.12
Vi ser igjen p˚
a koaksialkabelen. Hvis vi antar at strømmen er jevnt fordelt over overflaten av
innerlederen og den indre overflaten av ytterlederen, har vi funnet ut at feltet er
I ˆ
φ,
2πr
H=
(4.89)
for a < r < b, og H = 0 ellers. Energien kan vi finne ved ˚
a integrere energitettheten overalt
hvor det finnes felt (her ser vi p˚
a en lengde l av kabelen):
Z
Z
1 b
I2
1 µl
b
1
µH 2 dv =
µ
2πrdrl
=
ln
I 2,
(4.90)
Wm =
2 a (2πr)2
2 2π a
mellom lederne 2
dvs. energien per lengdeenhet er
0
Wm
=
1
2
µ
b
ln
2π a
I 2.
(4.91)
Legg merke til at vi kan bruke dette til ˚
a finne selvinduktansen per lengdeenhet, fordi vi
0
ogs˚
a m˚
a være lik 12 L0 I 2 :
vet jo at Wm
1 0 2
1 µ
b
LI =
ln
I 2,
(4.92)
2
2 2π a
s˚
a
L0 =
µ
b
ln ,
2π a
(4.93)
akkurat slik vi har funnet tidligere (4.54).
Til slutt i dette kapittelet skal vi se hvordan vi kan finne magnetiske krefter ved hjelp av
uttrykket for total magnetisk energi. Vi ser p˚
a et system der en del er bevegelig i forhold til
93
4.5. ENERGI OG KREFTER I MAGNETISKE FELT KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK
en annen. Systemet kan best˚
a av elektromagneter/spoler og/eller permanentmagneter. Systemet
antas ˚
a være tapsfritt og isolert fra omgivelsene, dvs. det er verken tap eller tilførsel av energi.
ˆ -retning, og den
F.eks. tillates ikke strømkilder som leverer energi. Om den ene delen flyttes dx i x
magnetiske kraften F dermed utfører arbeid, m˚
a energien tas fra den lagrede magnetiske energien.
Alts˚
a
F · (dxˆ
x) = −dWm ,
(4.94)
ˆ -komponenten av F er
der dWm er endringen i den lagrede magnetiske energien. Dette betyr at x
Fx = −
∂Wm
.
∂x
(4.95)
Tilsvarende kan vi gjøre for de andre to retningene, slik at
F = −∇Wm ,
for isolert, tapsfritt system.
(4.96)
Dersom vi har en ekstern kilde som sørger for at strømmene holder seg konstante, uavhengig
av bevegelsen til delene i systemet, blir situasjonen en helt annen. For ˚
a finne kraften mellom to
deler, antar vi fortsatt at den ene delen flyttes dxˆ
x i forhold til den andre. La dWm være den
resulterende endringen i magnetisk energi, og dAm arbeidet som utføres av kilden. Da har vi
dWm = dAm − F · dxˆ
x,
(4.97)
dvs. endringen i magnetisk energi er gitt av arbeidet som utføres av kilden minus det som g˚
ar med
til mekanisk arbeid pga. forflytningen. Vi trenger ˚
a vite hvor mye arbeid som utføres av kilden.
Dette er gitt av (4.64):
X
XX
dAm =
Ij dΦj =
Ii Ij dLij .
(4.98)
j
i
j
I den siste overgangen har vi brukt (4.65) og at strømmene Ii er konstante, dvs. fluksendringene
er pga. forflytning og dermed endring av de gjensidige induktansene. Samtidig viser (4.67) at
dWm =
1 XX
Ii Ij dLij ,
2
i
(4.99)
j
s˚
a dAm = 2dWm . Innsatt i (4.97) f˚
ar vi dWm = F · dxˆ
x, dvs.
Fx = +
∂Wm
.
∂x
(4.100)
Dette betyr alts˚
a at
F = +∇Wm ,
dersom strømmene holdes konstant.
(4.101)
Eksempel 4.13
En elektromagnet løfter en jernstang, se fig. 4.14. Vi antar at spolen er laget av en ideell leder,
slik at tverrsnittsfluksen m˚
a være konstant. Denne konstanten kaller vi Φtverrsn . Vi antar at
b˚
ade elektromagneten og jernstangen har uendelig permeabilitet µ. S˚
a lenge gapet x er lite,
kan vi se bort fra spredning av flukslinjer. Da vil tverrsnittsfluksen Φtverrsn = BS være den
samme overalt. Siden µ = ∞ er H = 0 i kjernen – ellers ville energitettheten blitt uendelig.
Videre, siden energitettheten i luftgapet ogs˚
a m˚
a være endelig, er B og dermed Φtverrsn
94
KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK 4.5. ENERGI OG KREFTER I MAGNETISKE FELT
endelig. Vi kan alts˚
a stadfeste at ogs˚
a i kjernen er B endelig, og energitettheten B 2 /(2µ) blir
null der. Den magnetiske energien til systemet er derfor gitt av energien i luftgapene:
Z
Wm =
luftgapene
1
1
2
µ0 Hluftgap
dv = µ0
2
2
Kraften blir alts˚
a
F =−
Φtverrsn
µ0 S
2
2Sx =
Φ2tverrsn
x
µ0 S
∂Wm
Φ2
= − tverrsn ,
∂x
µ0 S
(4.102)
(4.103)
i retningen der x øker. Pga. minustegnet betyr dette at kraften virker i retning av minkende
x, dvs. tiltrekkende kraft. Trykket, eller kraft per flateenhet, er
Φ2
|F |
.
= tverrsn
2S
2µ0 S 2
(4.104)
N
µ
x
µ
Figur 4.14: Kraft fra en elektromagnet. Anta at tverrsnittsarealet til b˚
ade elektromagneten og
stangen er S.
Eksempel 4.14
Hva hadde kraften blitt dersom det var en strømkilde i kretsen til spolen i forrige eksempel,
som holdt strømmen konstant lik I? Amp`eres lov rundt den magnetiske kretsen gir
2Hluftgap x = N I,
(4.105)
siden H = 0 i kjernen. Vi f˚
ar
Z
Wm =
luftgapene
1
1
2
µ0 Hluftgap
dv = µ0
2
2
s˚
a
F =+
NI
2x
2
∂Wm
N 2I 2
= −µ0
S,
∂x
4x2
dvs. fortsatt tiltrekkende.
95
2Sx = µ0
N 2I 2
S,
4x
(4.106)
(4.107)
4.6. FORSKYVINGSSTRØM
4.6
KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK
Forskyvingsstrøm
I magnetostatikken hadde vi (3.89):
∇ × H = J,
(4.108)
som er Amp`eres lov p˚
a differensialform. Vi skal n˚
a se hvordan Amp`eres lov m˚
a modifiseres for ˚
a
være gyldig for dynamiske felt. Til dette trenger vi loven om at ladning m˚
a være bevart, dvs.
I
Z
d
J · dS = −
ρdv.
(4.109)
dt v
S
Her er S en vilk˚
arlig, lukket flate som omslutter et volum v. Venstre side av (4.109) svarer til netto
strøm ut av S, mens høyresiden bortsettfra minustegnet er lik endringen av ladning innenfor S
per tidsenhet. Det er derfor klart at ligningen uttrykker ladningsbevarelse innenfor flaten. Lign.
(4.109) kan uttrykkes p˚
a differensialform ved ˚
a bruke divergensteoremet p˚
a venstre side:
I
Z
Z
Z
d
∂ρ
J · dS = −
∇ · Jdv =
ρdv = −
dv.
(4.110)
dt v
S
v
v ∂t
I den siste overgangen antok vi at volumet v ikke endres med tiden. Siden volumet ellers er
vilk˚
arlig, m˚
a vi ha
∂ρ
∇·J = − .
(4.111)
∂t
Vi ønsker n˚
a˚
a se om betingelsen om ladningsbevarelse er konsistent med Amp`eres lov. Vi setter
derfor (4.108) inn i (4.111) og f˚
ar −∂ρ/∂t = ∇ · (∇ × H). Siden divergensen til en curl er identisk
lik null, f˚
ar vi alts˚
a at ∂ρ/∂t m˚
a være null! Dette er ikke nødvendigvis tilfelle i elektrodynamikken; ladningene kan godt flytte p˚
a seg slik at ladningstettheten endres. Amp`eres lov m˚
a derfor
modifiseres slik at den blir konsistent med ladningsbevarelse. Siden divergensen til en curl er null
f˚
ar vi
∂ρ
∇ · (∇ × H) = 0 = ∇ · J +
,
(4.112)
∂t
der den siste likheten er en omskrivning av (4.111). Vi bruker n˚
a Gauss’ lov ∇ · D = ρ:
∂D
∂∇ · D
= ∇· J +
.
(4.113)
∇ · (∇ × H) = ∇ · J +
∂t
∂t
Lign. (4.113) blir tilfredsstilt dersom
∇×H=J+
∂D
.
∂t
(4.114)
Dette er den modifiserte Amp`eres lov. Det ekstra leddet ∂D/∂t kalles forskyvningsstrømtetthet, og
er alts˚
a kilde til det magnetiske feltet p˚
a lik linje med vanlig strømtetthet. Lign. (4.114) kalles ofte
for Amp`ere–Maxwells lov , siden det var Maxwell som foreslo ˚
a ha med det ekstra leddet ∂D/∂t.
Man kan tenke seg andre muligheter4 for ˚
a tilfredsstille (4.113), men eksperimenter støtter klart
(4.114). Slik vi vil se seinere, er alle bølgefenomener avhengig av det ekstra leddet ∂D/∂t. Dessuten
gir leddet en etterlengtet symmetri i de elektromagnetiske lovene: Et varierende magnetfelt gir
opphav til et elektrisk felt, og et varierende elektrisk felt gir opphav til et magnetfelt.
Vi kan skrive (4.114) om til integralform vha. Stokes’ teorem:
I
Z
Z ∂D
· dS.
(4.115)
H · dl =
∇ × H · dS =
J+
∂t
C
S
S
Her er S et areal som omsluttes av C.
4
Lign. (4.113) tilfredsstilles dersom ∇ × H = J +
versjonen har ogs˚
a riktig statisk grense ∇ × H = J.
∂D
∂t
+ ∇ × (∂C/∂t), der C er et vilk˚
arlig vektorfelt. Denne
96
KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK
4.6. FORSKYVINGSSTRØM
Eksempel 4.15
For ˚
a illustrere nødvendigheten av forskyvingsstrømmen som kilde til H i Amp`eres lov, ser vi
p˚
a en parallellplatekondensator med sirkulære plater og et materiale mellom platene, se fig.
4.15. En strøm I g˚
ar inn mot venstre kondensatorplate. Denne strømmen lader alts˚
a opp
kondensatoren, slik at ladningen Q p˚
a venstre plate tilfredsstiller
dQ
= I.
dt
(4.116)
obs.pkt.
S2
S1
r
−Q
+Q
z
I
areal S
C
Figur 4.15: En parallellplatekondensator med sirkulære plater. Vi ønsker ˚
a regne ut H i et
observasjonspunkt utenfor kondensatoren ved hjelp av Amp`eres lov p˚
a en sirkulær kurve C
med sentrum i z-aksen. Denne kurven omslutter b˚
ade sirkelarealet S1 og halvkulearealet S2 .
Sett n˚
a at vi ønsker ˚
a finne H utenfor kondensatoren. Hvis vi bruker Amp`eres lov fra
magnetostatikken p˚
a den sirkulære sløyfen C rundt kondensatoren, f˚
ar vi
I
Z
H · dl = H2πr =
J · dS = 0,
(4.117)
C
S1
dersom vi regner ut strømmen som g˚
ar igjennom arealet S1 . Hvis vi derimot bruker S2 , blir
høyresiden I. Siden b˚
ade S1 og S2 omsluttes av kurven C, burde begge kunne brukes. Som vi
skal se n˚
a, forsvinner denne selvmotsigelsen dersom vi tar i bruk Amp`ere–Maxwells lov
(4.115) i stedet for Amp`eres lov.
Kondensatorplatene er laget av ideelle ledere, s˚
a D rett utenfor platene er gitt av D = ρs
(se den siste egenskapen til ideelle ledere, liste i kap. 2.7). Siden vi ikke har fri ladning i det
dielektriske mediet, har vi at
dD
= 0,
(4.118)
∇·D =
dx
s˚
a D er alts˚
a konstant lik ρs mellom platene. Vi har
D = ρs =
og derfor
Q
,
S
∂D
1 dQ
I
=
= .
∂t
S dt
S
97
(4.119)
(4.120)
4.7. MAXWELLS LIGNINGER
KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK
Utenfor kondensatoren er D = 0. N˚
ar forskyvingsstrømtettheten integreres over S1 , f˚
ar vi
alts˚
a I. Forskyvingsstrømmen mellom platene er akkurat lik strømmen mot venstre plate.
Med andre ord blir høyresiden i Amp`ere–Maxwells lov I enten vi bruker S1 eller S2 .
4.7
Maxwells ligninger – oppsummering
Vi kan n˚
a summere opp de fire Maxwells ligningene p˚
a differensialform:
∂B
∂t
∂D
∇×H=J+
∂t
∇·D = ρ
∇×E=−
∇·B = 0
(4.121a)
(4.121b)
(4.121c)
(4.121d)
og s˚
a p˚
a integralform:
∂B
· dS
E · dl = −
∂t
Z S
IC
∂D
H · dl = (J +
) · dS
∂t
IC
ZS
D · dS = ρdv
v
I
B · dS = 0
I
Z
(4.122a)
(4.122b)
(4.122c)
(4.122d)
I tillegg har vi Lorentz-kraften, som viser virkningen av feltene p˚
a en punktladning:
F = Q(E + v × B).
Faradays lov (4.122a) kan ogs˚
a skrives
I
Z
d
e = (E + f ) · dl = −
B · dS,
dt S
C
(4.123)
(4.124)
der C og dermed S godt kan være tidsavhengige. Her er f = v × B den magnetiske kraften per
ladning pga. bevegelsen til C.
Til de fire Maxwells ligninger hører ogs˚
a relasjonene
D = 0 E + P
(4.125a)
B = µ0 (H + M),
(4.125b)
der polariseringen P er en funksjon av det elektriske feltet E, og magnetiseringen M er en funksjon
av B. For lineære medier er disse funksjonene lineære, og da kan vi skrive
D = E
(4.126a)
B = µH.
(4.126b)
Selv om vi har argumentert for Maxwells ligninger ut fra Coulombs lov og Biot–Savarts lov,
er den virkelige rettferdiggjørelsen at de stemmer med alle eksperimenter som har blitt utført
98
KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK
4.8. LORENTZPOTENSIALENE
fram til i dag.5 I videreg˚
aende kurs og bøker postuleres vanligvis Maxwells ligninger direkte, og
s˚
a utleder man det man trenger ut fra dem.
Grensebetingelsene for de fire feltene E, D, B og H som vi viste i elektroog magnetostatikken
R ∂B
R
gjelder fortsatt. Dette er fordi tilleggsleddene i elektrodynamikken, dvs. − S ∂t · dS og S ∂D
∂t · dS,
blir null for integrasjonssylinderen med neglisjerbar høyde, jfr. bevisene i kap. 2.6 og 3.7.
4.8
Lorentzpotensialene – retarderte potensialer
I kap. 3.3 representerte vi B-feltet som curl til et vektorpotensial A:
B = ∇ × A.
(4.127)
Dette kan vi gjøre fortsatt siden ∇ · B = 0 ogs˚
a gjelder i elektrodynamikken, jfr. eksempelet i kap.
3.3. Den ene Maxwells ligning, ∇ · B = 0, blir n˚
a automatisk oppfylt. Hvis vi setter (4.127) inn i
(4.121a) f˚
ar vi
∂∇ × A
∂A
∇×E=−
= −∇ ×
(4.128)
∂t
∂t
eller
∂A
= 0.
∇× E+
∂t
(4.129)
I elektrostatikken hadde vi at ∇ × E = 0, og det brukte vi til ˚
a argumentere for at E kunne
representeres vha. et skalarpotensial: E = −∇V . N˚
a er det E + ∂A/∂t som har curl lik null, s˚
a vi
f˚
ar i stedet
∂A
E+
= −∇V,
(4.130)
∂t
der V er et skalarpotensial. For statiske felt reduseres dette til E = −∇V slik vi hadde i kap.
2.2, s˚
a funksjonen V som vi har introdusert her er en naturlig generalisering av det statiske
skalarpotensialet. Det elektriske feltet er alts˚
a gitt fra potensialene som
E = −∇V −
∂A
.
∂t
(4.131)
Ligningene (4.127) og (4.131) er definisjonene p˚
a potensialene i elektrodynamikken. Med disse
definisjonene er de to Maxwell-ligningene (4.121a) og (4.121d) automatisk oppfylt. Legg merke
til at potensialene ikke defineres entydig ut fra disse relasjonene. Hvis vi lager oss et nytt sett
potensialer
A0 = A + ∇f,
∂f
V0 =V −
,
∂t
(4.132a)
(4.132b)
der f = f (x, y, z, t) er en vilk˚
arlig funksjon, ser vi at de merkede potensialene gir opphav til de
samme feltene B og E som de umerkede: Curl til en gradient er lik null, s˚
a (4.132a) gir at ∇ × A =
0
∇ × A . Ved ˚
a bruke at rekkefølgen til partiellderiverte kan byttes om, ser vi videre at (4.131)
gir opphav til det samme E-feltet. Transformasjonene (4.132) kalles justeringstransformasjoner
(engelsk: gauge transformations). Disse transformasjonene kan brukes til ˚
a f˚
a et hensiktsmessig
sett med potensialer. Vi skal bruke friheten i (4.132) til ˚
a oppn˚
a den s˚
akalte Lorentz-justeringen
eller Lorentz-betingelsen. Vi forutsetter at mediet er lineært, isotropt og homogent, slik at D = E
5
I kvantemekanikken m˚
a riktignok feltene behandles som kvantemekaniske operatorer og i den generelle relativitetsteorien skrives ligningene p˚
a en litt annen form.
99
4.8. LORENTZPOTENSIALENE
KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK
og B = µH, der og µ er skalare konstanter. Lorentz-betingelsen lyder6
∇ · A = −µ
∂V
.
∂t
(4.135)
S˚
a langt har vi automatisk tilfredsstilt de to Maxwell-ligningene (4.121a) og (4.121d) vha.
definisjonene av potensialene. De to siste Maxwell-ligningene, (4.121b) og (4.121c), m˚
a ogs˚
a være
tilfredsstilt. Vi starter med (4.121c) og ser hva den f˚
ar ˚
a si for potensialene. Vi f˚
ar da
∂∇ · A
ρ
∇·D
∂A
∂2V
= −∇2 V −
(4.136)
=
= ∇ · −∇V −
= −∇2 V + µ 2 ,
∂t
∂t
∂t
dvs.
∂2V
ρ
=− .
∂t2
(4.137)
∂2A
= −µJ.
∂t2
(4.138)
∇2 V − µ
P˚
a tilsvarende vis gir (4.121b)
∇2 A − µ
For ˚
a vise (4.138) trengs i tillegg vektorformelen ∇ × ∇ × A = ∇(∇ · A) − ∇2 A. Ligningene
(4.137) og (4.138) er bølgeligninger for potensialene, med høyresidene som kildeledd. Vi skal n˚
a
løse disse ligningene, først lign. (4.137). Vi starter med ˚
a anta at det kun er en punktladning
til stede, dvs. ladningstettheten er null overalt bortsettfra i origo hvor det er en punktladning
ρ(t)dv 7 . Siden bølgeligningen er lineær, kan vi senere summere mange slike bidrag for ˚
a finne den
generelle løsningen. Bortsettfra i origo tilfredsstiller alts˚
a V følgende partielle differensialligning:
∇2 V − µ
∂2V
=0
∂t2
(4.139)
Siden problemet har kulesymmetri, er det hensiktsmessig ˚
a introdusere sfæriske koordinater. Fra
den matematiske formelsamlingen finner vi at leddet ∇2 V har følgende form
1 ∂
1
∂
∂V
1
∂2V
2
2 ∂V
∇ V = 2
r
+ 2
sin θ
+ 2 2
.
(4.140)
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂φ2
Pga. symmetri avhenger i dette tilfellet V bare av r, slik at
1 ∂
∂2V
2 ∂V
r
− µ 2 = 0.
2
r ∂r
∂r
∂t
Vi introduserer en ny variabel U
V =
U
,
r
(4.141)
(4.142)
6
At det er tilstrekkelig frihet til ˚
a oppn˚
a Lorentz-betingelsen, sees fra følgende argument: Anta at A og V ikke
tilfredsstiller Lorentzbetingelsen. Vi krever at A0 og V 0 , gitt av (4.132), tilfredsstiller Lorentzbetingelsen. Med andre
ord:
∂V 0
∂V
∂2f
0 = ∇ · A0 + µ
= ∇ · A + µ
+ ∇2 f − µ 2 .
(4.133)
∂t
∂t
∂t
Dersom vi greier ˚
a finne en f slik at
∂2f
∂V
∇2 f − µ 2 = − ∇ · A + µ
,
(4.134)
∂t
∂t
s˚
a er vi i m˚
al. Det er heller ingen problem, for (4.134) er en bølgeligning for f , med høyresiden som kildeledd. Som
vi skal se nedenfor, er slike ligninger mulig ˚
a løse.
7
I virkeligheten kan det ikke finnes en enkelt, tidsavhengig punktladning. Om ladningen i et punkt endrer seg, s˚
a
m˚
a ladningen endre seg ogs˚
a et annet sted (ladningsbevarelse). Men vi kan glemme elektromagnetisme et øyeblikk,
og bare løse (4.137) som en matematisk ligning. Da f˚
ar vi løsningen (4.145). S˚
a kan vi superponere slike bidrag for ˚
a
f˚
a løsningen for flere tidsavhengige punktladninger. Da har vi en fysisk situasjon og kan dermed argumentere for at
leddene med g(t + r/c) er ufysiske, og at leddene med f (t − r/c) kan finnes fra den elektrostatiske grensen, akkurat
slik vi gjør nedenfor.
100
KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK
4.8. LORENTZPOTENSIALENE
f (t − r/c), for t = r0 /c
f (t − r/c), for t = 0
r0
r
Figur 4.16: Fysisk tolkning av bølgen f (t − r/c).
som innsatt i (4.141) gir (etter litt regning)
∂2U
∂2U
−
µ
= 0.
∂r2
∂t2
(4.143)
Dette er den endimensjonale bølgeligningen slik vi kjenner den fra matematikken. Den generelle
løsningen er en sum av en utoverg˚
aende bølge og en innoverg˚
aende bølge:
U (r, t) = f (t − r/c) + g(t + r/c),
√
der f og g er vilk˚
arlige funksjoner, og c = 1/ µ. Vi f˚
ar dermed potensialet
V (r, t) =
1
1
f (t − r/c) + g(t + r/c),
r
r
(4.144)
(4.145)
Den fysiske tolkningen av det første leddet er en bølge som beveger seg i positiv r-retning
n˚
ar tiden øker, se fig. 4.16. Anta for eksempel at funksjonen f er en puls ved argumentet lik
null, dvs. t − r/c = 0. Pulsen befinner seg da i rommet ved r = ct, dvs. den beveger seg utover
med hastigheten c. Tilsvarende finner vi at det andre leddet i (4.145) representerer en bølge som
beveger seg innover mot origo. Det siste leddet gir derfor ikke mening siden bølgens kilde er i
origo8 . Løsningen er derfor p˚
a formen
V (r, t) =
1
f (t − r/c).
r
(4.146)
For ˚
a finne funksjonen f sammenligner vi med det statiske tilfellet hvor løsningen ifølge (2.24) er
V =
ρ(t)dv
.
4πr
(4.147)
Det statiske tilfellet m˚
a i (4.146) svare til at observasjonpunktet er s˚
a nær origo at potensialet
fra punktladningen ρ(t)dv har rukket ˚
a forplante seg dit. Ved ˚
a sammenligne med (4.147) i denne
grensen, f˚
ar vi at f = ρdv/4π, og dermed løsningen
V (r, t) =
ρ(t − r/c)dv
.
4πr
(4.148)
Vi ser at potensialet er lik det det var i det statiske tilfellet, men det tar en viss tid, r/c, før
potensialet fra ladningen har n˚
att observasjonspunktet r. Potensialet forplantes alts˚
a som en
√
elektromagnetisk bølge med hastighet c = 1/ µ.
N˚
ar vi har en vilk˚
arlig, tidsavhengig ladningsansamling ρ(r0 , t), m˚
a vi integrere opp alle potensialbidragene, og f˚
ar dermed
Z
1
ρ(r0 , t − R/c)dv 0
V (r, t) =
.
(4.149)
4π v
R
8
Vi har alts˚
a funnet at Maxwells ligninger i prinsippet har to løsninger: En kausal løsning, dvs. en løsning der
virkningen (bølgen) kommer etter ˚
arsaken, og en anti-kausal løsning der ˚
arsaken kommer etter virkningen. Verden
slik vi kjenner den er kausal, s˚
a vi bruker kausalitet som et tilleggsprinsipp til ˚
a velge bort løsningen g(t + r/c).
101
4.9. POYNTINGS VEKTOR
KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK
bølge
dv
v
r′
R
origo
obs.pkt.
r
V
Figur 4.17: Potensialet forplantes som en bølge – potensialet i observasjonspunktet er avhengig
av hva ladningstettheten var en tid R/c tidligere.
Her er r observasjonspunktets posisjon, r0 kildepunktets posisjon (r0 er integrasjonsvariabel) og
R = r − r0 er avstanden mellom observasjonspunkt og kildepunkt, se fig. 4.17. Siden hver komponent av lign. (4.138) er helt analog med (4.137), kan vi skrive opp løsningen for A direkte:
µ
A(r, t) =
4π
Z
v
J(r0 , t − R/c)dv 0
.
R
(4.150)
De generelle løsningene (4.149) og (4.150) kalles de retarderte potensialene. Siden E og B kan
regnes ut fra V og A, beskriver disse uttrykkene den elektromagnetiske bølgen som sendes ut
fra en gitt strøm- og ladningsvariasjon. Vi f˚
ar bruk for uttrykkene i senere kurs som omhandler
elektromagnetiske bølger og antenner.
4.9
Poyntings vektor
La oss, nærmest for moro skyld, se nærmere p˚
a størrelsen −∇ · (E × H). En vektoridentitet fra
kap. 1.11 og substitusjon vha. Maxwells ligninger gir
−∇ · (E × H) = E · ∇ × H − H · ∇ × E = J · E + E ·
∂D
∂B
+ H·
.
∂t
∂t
(4.151)
Vi integrerer dette over et volum v som omsluttes av flaten S. Venstre side skrives deretter om
vha. divergensteoremet:
I
Z ∂D
∂B
− (E × H) · dS =
J·E + E·
+ H·
dv.
(4.152)
∂t
∂t
S
v
Det første leddet p˚
a høyresiden er ifølge (2.123) det joulske effekttapet. De to andre leddene
er arbeidet som m˚
a utføres per tidsenhet for ˚
a endre hhv. det elektriske og magnetiske feltet,
jfr. (2.115) og (4.84). Høyre side av ligningen er derfor effekten som tilføres volumet v. Denne
effekten m˚
a selvfølgelig ogs˚
a være lik venstre side, som ogs˚
a kan sees p˚
a som strømmen inn
gjennom S av vektoren E × H. Vi kan derfor tolke vektoren E × H som en elektromagnetisk
effektstrømtetthet, s˚
akalt intensitet (m˚
alt i W/m2 ) med retning langs effektstrømmen. Vektoren
E × H kalles Poyntings vektor , og (4.152) kalles Poyntings teorem. Poyntings vektor er spesielt
viktig i beskrivelsen av energiforplantning i elektromagnetiske bølger.
102
KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK
4.10
4.10. VEIEN VIDERE
Veien videre
Vi har stort sett fulgt den historiske utviklingen av elektromagnetisk teori. Vi startet med de
eksperimentelle lovene som beskriver kraftvirkning mellom ladninger i ro og mellom ladninger
i bevegelse. De elektro- og magnetostatiske lovene ble deretter utvidet ved hjelp av induksjon
og ladningsbevarelse og ga de endelige Maxwells ligninger. Til slutt s˚
a vi hvordan løsningene
√
av Maxwells ligninger er elektromagnetiske bølger med en helt bestemt hastighet c = 1/ µ. I
√
vakuum f˚
as hastigheten c0 = 1/ 0 µ0 = 299792458 m/s. P˚
a den tiden Maxwell levde hadde man
8
m˚
alt lyshastigheten til ˚
a være ca. 3 · 10 m/s, og Maxwell mente derfor at lys m˚
atte være elektromagnetiske bølger. Dette representerte et stort klimaks i utviklingen av elektromagnetisme: Ut
fra lovene som opprinnelig ble utviklet for ˚
a beskrive lavfrekvente elektromagnetiske fenomener,
som f.eks. induksjon og krefter p˚
a ladninger, kan man alts˚
a beskrive tilsynelatende noe helt annet,
nemlig lys!
Det er naturlig ˚
a spørre seg hva den helt bestemte hastigheten c er i forhold til. Er den i
forhold til en “eter” – et elektromagnetisk medium som finnes overalt (ogs˚
a i vakuum), eller
er den den samme uansett hvilket referansesystem man m˚
aler den fra? P˚
a Maxwells tid hadde
eter-teorien mange tilhengere. Det berømte Michelson–Morley-eksperimentet viste imidlertid at
lyshastigheten var den samme uansett om den m˚
ales langs bevegelsen til jorda eller langs en annen
retning. Den gjeldende teorien for dette i dag er relativitetsteori: Lyshastigheten c er uavhengig
av kildens og observatørens bevegelse. I videreg˚
aende elektromagnetisme finner man ut at den
spesielle relativitetsteorien er innebygd i Maxwells ligninger.
Vi har holdt oss til tidsdomenet i v˚
ar beskrivelse av elektromagnetisme. Det er i tidsdomenet
fysikken skjer. Det er imidlertid ogs˚
a mulig ˚
a formulere elektromagnetisme i frekvensdomenet,
ved ˚
a Fouriertransformere de tidsavhengige feltene og ligningene. De resulterende feltene blir da
avhengig av vinkelfrekvens ω, og er generelt komplekse. En beskrivelse i frekvensdomenet gjør
mange analyser enklere, siden ∂/∂t for en harmonisk variasjon exp(−iωt) blir til multiplikasjon
med −iω. Dermed forenkles Maxwells ligninger. Videre analyser av elektromagnetiske bølger og
forplantning gjøres derfor enklest i frekvensdomenet. Man m˚
a imidlertid ha i bakhodet at de
fysiske feltene f˚
as først etter ˚
a ha transformert tilbake til tidsdomenet.
Som regel har vi antatt at polariseringen er proporsjonal med det elektriske feltet, P = 0 χe E
og dermed D = E. Strengt tatt er det imidlertid en viss dynamikk i alle medier (unntatt vakuum):
Det tar litt tid for dipolene ˚
a stille seg inn etter feltet. Derfor er ikke P bare avhengig av E ved
den aktuelle tiden, men ogs˚
a avhengig av E ved tidligere tider. Sammenhengen kan skrives
Z ∞
P(t) = 0
f (τ )E(t − τ )dτ,
(4.153)
0
dvs. P(t) er en vektet sum av E ved tidligere tidspunkt t − τ , med 0 f (τ ) som vekt. Denne sammenhengen er fortsatt lineær, s˚
a mediet er lineært. Sammenhengen er, som vi ser, en konvolusjon,
slik at i frekvensdomenet blir den til en multiplikasjon, men med en frekvensavhengig susceptibilitet. Det at susceptibiliteten er frekvensavhengig kalles dispersjon. For mange medier kan vi se
bort fra dispersjonen s˚
a lenge feltene ikke har for stor b˚
andbredde. Men strengt tatt er den der for
alle medier unntatt vakuum. N˚
ar frekvensen g˚
ar mot uendelig, vil susceptibiliteten nødvendigvis
g˚
a mot null. Dette er fordi elektronene i mediet ikke lenger greier ˚
a henge med n˚
ar feltene varierer
tilstrekkelig raskt.
Elektromagnetisme har stor relevans i alt fra teoretisk fysikk til v˚
ar praktiske hverdag. Elektromagnetisme er en fundamental teori: All materie best˚
ar av ladning, og lys/elektromagnetiske
bølger har en helt sentral plass i klassisk fysikk, relativitetsteori og kvantefysikk. I den andre,
praktiske enden av skalaen, er elektromagnetisme nødvendig for ˚
a beskrive elektrisk overføring
av energi, elektroniske komponenter og systemer, fiberoptikk og elektronisk kommunikasjon, osv.,
men ogs˚
a fenomener i naturen slik som regnbuer, hvorfor himmelen er bl˚
a og solnedgangen rød,
speiling, brytning, lyn og nordlys.
103
4.10. VEIEN VIDERE
KAPITTEL 4. ELEKTRODYNAMIKK
104
Register
Amp`ere–Maxwells lov, 96
Amp`eres lov, 61
Amp`eres lov p˚
a differensialform, 68
Amp`eres lov, modifisert, 96
ampere, 45
anisotropt medium, 31
arbeid, 21, 46
B-felt, 51
bølge, elektromagnetisk, 101
bølgeligning, 100, 101
batteri, 77
Biot–Savarts lov, 53
bunden ladning, 29
coulomb, 17, 39
Coulombs lov, 17
curl, 13
D-felt, 30
diamagnetiske materialer, 69
dielektrisk medium, 29
dielektrisk skjerming, 29
dielektriske medier, 29
dipol, elektrisk, 24, 29, 32
dipol, magnetisk, 66
dipolmoment, elektrisk, 24, 29
dipolmoment, magnetisk, 56, 67
dispersjon, 103
divergens, 11, 25
divergensteoremet, 12, 25
driftshastighet, 44
E-felt, 18
effekttap, 46
ekvipotensialflater, 23, 34, 42
elektrisk felt, 18
elektrisk flukstetthet, 30
elektrisk susceptibilitet, 31
elektrodynamikk, 77
elektromagnet, 94, 95
elektromagnetisk bølge, 101
elektromotor, 56
elektromotorisk spenning, emf, 77
elektron, bane, 56, 66
elektrostatisk problem, 33
emf, 74, 77, 79
energi, elektrisk, 42
energi, kondensator, 42
energi, magnetisk, 88, 91
energitetthet, elektrisk, 42
energitetthet, magnetisk, 91
enhet, 45
enheter, 39
entydighetsteorem, 34, 38
farad, 17, 39, 42
Faradaybur, 37
Faradays lov, 78, 79
Faradays lov p˚
a differensialform, 79
ferromagnetiske materialer, 69
flateelement, 9
flateintegral, 9
flateladning, 19
flateladningstetthet, 19
flatenormalvektor, 9
flatestrømtetthet, 52
fluks, 11, 12
fluks, elektrisk, 25, 36
fluks, magnetisk, 58, 78
fluks, total, 79, 84, 86
fluks, tverrsnitt, 86
fluksendring, magnetisk, 83
flukstetthet, elektrisk, 30
flukstetthet, magnetisk, 51
forskyvingsstrømmen, 98
forskyvning, 30
forskyvningsstrømtetthet, 96
forskyvningsstrøm, 96
frekvensdomenet, 103
fri ladning, 29
gauge transformations, 99
Gauss’ lov, 25
Gauss’ lov p˚
a differensialform, 32
generator, 81
gjensidig induktans, 84, 86
gradient, 10
grensebetingelser, elektriske, 35
105
REGISTER
grensebetingelser, elektrodynamikken, 99
grensebetingelser, magnetiske, 73
grunnenhet, 45
H-felt, 68
høyreh˚
andsregel, 14, 54, 80, 83
hale, bite seg i, 59
Hall-effekt, 57
Helmholtz’ teorem, 15
henry, 51, 85
homogen polarisering, 29
homogent medium, 31, 33
hysterese, 70, 92
hysteresekurve, 70
hysteresetap, 92
ideelle ledere, 35
induksjon, 78
induksjon, elektrostatisk, 35
indusert flateladningstetthet, 35
integraler, 9
isotropt medium, 31
jording, 47
jordingsresistans, 47
Joulsk tap, 46
justeringstransformasjoner, 99
kabler, magnetisk felt fra, 63
kapasitans, 39
kausalitet, 101
Kirchhoffs spenningslov, 23
Kirchhoffs strømlov, 48
koaksialkabel, 26, 69
koaksialkabel, energi, 43, 93
koaksialkabel, induktans, 86
koaksialkabel, kapasitans, 41
kollisjoner, 46
kommutator, 56, 82
kondensator, 39
kondensator, ikke-lineær, 43
kondensator, kretsligning, 39
konduktivitet, 45
konservativt vektorfelt, 14, 21
koordinatsystem, kartesisk, 7
koordinatsystem, sfærisk, 7
koordinatsystem, sylindrisk, 7
koordinatsystemer, 7
kraft, magnetisk, 93
kraft, magnetisk dipol, 57
kraftlov, ladninger i bevegelse, 51
kraftlov, magnetisk, 51
krefter, elektrostatiske, 17
REGISTER
krefter, magnetiske, 54
krets, elektrisk, 80
kule, ladet, 28
kulemotstand, 47
ladning, 17
ladning, bunden, 29
ladning, fri, 29
ladning, opphopning, 48
ladningsbærere, 44
ladningsbevarelse, 48, 96
Laplace’ ligning, 33
Laplace-operatoren, 14
ledende kule, 33, 36
leder, ideell, 35
leder, uendelig, 62
ledere, egenskaper, 35
Lenz’ lov, 83
lineært medium, 31
linjeelement, 9
linjeintegral, 9
linjeladning, 19
linjeladning, sirkulær, 20
linjeladningstetthet, 19
lokalt maksimum, 34
Lorentz-betingelsen, -justeringen, 99
Lorentz-kraften, 55
Lorentzpotensialer, 99
lynavleder, 37
lys, 103
magnet, permanent, 71
magnetisering, 67
magnetisk flukstetthet, 51
magnetisk moment, 56, 67
magnetisk susceptibilitet, 68
magnetiske kretser, 74, 75
magnetiske monopoler, - “ladning”, 59
Maxwells ligninger, 98
metaller, 36, 44
metallskinner, 80
metamateriale, 70
moment, elektrisk dipol-, 24, 29
moment, magnetisk, 56, 67
moment, mekanisk, 55, 56
motstand, 46
nabla-operator ∇, 10
normalkomponent, 35
normalvektor, 11
observasjonspunkt, 18
ohm, 45
106
REGISTER
Ohms lov, 45
paramagnetiske materialer, 69
parallellkobling, kondensator, 40
parallellplatekondensator, 40
permanent magnetisering, 70
permanentmagnet, 71
permeabilitet, 68
permeabilitet, i vakuum, 51
permeabilitet, relativ, 68
permittivitet, 31
permittivitet, i vakuum, 17
permittivitet, relativ, 31
plan, uendelig, 28
Poissons ligning, 33
Poissons ligning, entyding løsning, 34
polarisering, 29
polariseringsvektor, 29
potensial, 21
potensialer, retarderte, 99
potensialforskjell, 21, 22
Poyntings teorem, 102
Poyntings vektor, 102
punktladning, 17
rand, 34
relativ permeabilitet, 68
relativ permittivitet, 31
reluktans, 75
resistans, 46
resistivitet, 45
romladning, 18, 19
romladningstetthet, 18, 19
selvinduktans, 84, 85
seriekobling, kondensator, 41
SI-systemet, 45
sirkulær strømsløyfe, 53
sirkulasjon, 13, 61
skalare funksjoner, 8
skalarpotensial, 21
skjerming, dielektrisk, 29
smultring, 65
solenoide, 63
speilladningsmetoden, 38
speilsymmetri, 28
spenning, 22
spinn, 66
spole, spiralformet, 83
Stokes’ teorem, 14, 22
strøm, 44
strøm, fri, 68
strømelement, 52
REGISTER
strømførende ring, 53
strømsløyfe, sirkulær, 53
strømsløyfer, mikroskopiske, 66
strømtetthet, 44
superleder, 36, 83
superposisjon, 17, 19, 22, 52, 59
susceptibilitet, elektrisk, 31
susceptibilitet, magnetisk, 68
sylindrisk leder, 62
symmetri, 20, 27, 28, 32, 33, 47, 53, 54, 61, 62,
65, 96, 100
symmetrioperasjon, 20, 27
tangensialkomponent, 35
tangentvektor, 9
tap, joulsk/ohmsk, 46, 89
termiske bevegelser, 44
tesla, 52
tidsdomenet, 103
toroide, 65, 85, 91
toroide, med luftgap, 75
total fluks, 84, 86
transformator, 87
transformator, energi, 92
tverrsnittsfluks, 86
utstrømning, 11
veiuavhengighet, 14, 21
vektoranalyse, 7
vektorfelt, 8
vektorformler, 16
vektorpotensial, 59
volt, 21, 77
volumelement, 9
volumintegral, 9
Weiss-domener, 69
107