Kap23
27.01.2015
Kap. 23
Elektrisk potensial
Gravitasjon (punktmasser):
 
mm
F (r ) = -G 1 2 2 r
r

mm
U (r ) = -G 1 2
r
Kraft:
Skal definere på grunnlag av elektrisk felt E:
• Elektrisk potensiell energi, U
• Elektrisk potensial, V
– (Kretsteknikk: El. potensialforskjell = spenning)
• Ekvipotensialflater
• Potensialgradient og elektrisk felt.
Pot.energi:
(alltid negativ)
(alltid negativ)
Elektrisitet (punktladninger):
Kraft:
 
1 q1q2 
F (r ) =
r
4pe 0 r 2
Pot.energi:

1 q1q2
U (r ) =
4pe 0 r
(Coul)
(pos/neg)
(pos/neg)
Skal utlede U(r)
Eks. 1, forts. av:
Hvor stor er 1 coulomb ?
Kap. 23. Elektrisk potensial
•
• Elektrisk potensiell energi, U
•
 
-U a = -Wab = -q0 ò E ⋅ dl
b
Definisjon: U
b
(23.2)
•
•
Du og din kamerat/vennine holder hver ei kule med ladning +1,0 C. Dere
beveger dere mot hverandre fra uendelig i et ellers elektrisk nøytralt rom
a) Hvor nærme kan dere komme hverandre?
Anta dere kan trykke med F = 500 N hver. (Svar: 4,2 km)
b) Hvor stort er det elektriske feltet i avstand 4,2 km? (Svar: 500 N/C)
c) Hvor mye arbeid for å føre dere sammen fra a=∞ til b=4,2 km? (anta en
av dere står i ro)
F
a
Rundt pkt.ladning:
q q æ1 1ö
U b -U a = 0 çç - ÷÷÷
4pe 0 çè rb ra ÷ø
q0 q 1
4pe0 r
Rundt pkt.ladning, relativt ra = ∞:
U (r ) =
a = b: E-feltet er konservativt:
 
E
ò ⋅ dl = 0
(arbeid uavhengig vegen)
(23.8)
 
dr
W = ò q1 E ⋅ d r = q1kq2 ò 2 = -9·109 Nm 2 /C2 · (1C) 2
r
¥
¥
b
(23.9)
F
Arbeid av elektrisk kraft F:
b
r
æ 1
1ö
çç
- ÷÷ = -2,1 MJ
çè 4,2 km ¥ø÷
eller enklere fra
1
1
W = -U (b) = -k q0 q = -9 ⋅109 Nm 2 /C 2 ⋅ (1C) 2 ⋅
= - 2,1 MJ
b
4,2 km
«Vårt» arbeid
= arbeid av F
=
- W = 2,1 MJ
(som å løfte 100 kg 2,2 km opp, eller ca. ¼ av kroppens energibruk per dag)
1
Kap23
27.01.2015
Eks. 2 ≈ Y&F Ex. 23.2
To og tre punktladninger
Elektrisk potensial V ( = U/q0 ) :
Relativt potensial, fra def. av pot.en:
Vb -Va =
b
 
U b -U a
= -ò E ⋅ d l
q0
a
(23.17)
Absolutt potensial (relativt ∞):


U (r )
1 q
V (r ) =
=
q0
4pe 0 r
rundt én punktladning:
a) Finn potensiell energi til q1 og q2 (relativt ∞)
b) Finn nødvendig arbeid for å plassere q3
rundt mange punktladninger:

1
q
V (r ) =
å i
4pe0 i ri
rundt kontinuerlig ladninger:

1
V (r) =
4pe0
= potensiell energi for q3 (i naboskap av q1 og q2)
c) Finn total potensiell energi
Eks. 3, forts. av:
Hvor stor er 1 coulomb ?
• Du og din kamerat/vennine holder hver ei kule med ladning +1,0 C.
Dere beveger dere mot hverandre fra uendelig i et ellers elektrisk
nøytralt rom
• a) Hvor nærme kan dere komme hverandre?
Anta dere kan trykke med F = 500 N hver. (Svar: 4,2 km)
• b) Hvor stort er det elektriske feltet i avstand 4,2 km? (Sv: 500 N/C)
• c) Hvor mye arbeid for å føre dere sammen fra a=∞ til b=4,2 km?
(anta en av dere står i ro) (Sv: 2,1 MJ)
• d) Hva er potensialforskjellen mellom dere (ved b=4,2 km) ?
Enklest, fra utregnet arbeid i pkt c):
V = W/q2 = 2,1 MJ / 1,0 C = 2,1 MV
Eller fra potensial V(r) rundt punktladning:
V(r) = k q1 / r
= 9,0·109 Nm2/C2 · 1,0 C / 4,24 km = 2,12 MV = 2,1 MV
òòò
(23.14)
(23.15)
dq
r
(23.16)
Beregning av potensial:
Metode 1, Superposisjon av punktladninger (V rel. ∞):

1
qi
V (r ) =
(23.15)
diskrete ladninger:
å
4pe0 i ri

kontinuerlig ladninger: V ( r ) =
1
4pe0
òòò
dq
r
(23.16)


Vb -Va = V ( r b ) -V ( r a )
Metode 2: Fra definisjonen, når E er kjent:
b
 
Vb -Va = -ò E ⋅ d l
(23.17)
a
2
Kap23
27.01.2015
Eks. 4: V rundt dipol
Eks.5: V mellom to (uendelige) parallellplater
(Y&F Ex. 23.9)
(mer i øving 4)
Metode 1:
Finn potensial V (relativt uendelig) rundt dipol
z
Metode 1:

1
V (r ) =
4pe0

1
V (r) =
4pe 0
x
E fra
tidligere:
q
åi ri
i
òòò
dq
r
Metode 2:

1
V (r ) =
4pe0
z

1
V (r) =
4pe 0
qi
år
i
i
òòò
dq
r
Metode 2:
E = σ/ε0
b
 
Vb -Va = -ò E ⋅ d l
a
b
 
Vb -Va = -ò E ⋅ d l
a
(Y&F Fig 23.18)
Eks 5B: Flateladning
E = σ/2ε0
z
Øving 3, opg. 1
Coronautladning ved > 30 kV/cm
Metode 1:

1
V (r ) =
4pe0

1
V (r) =
4pe 0
qi
år
i
i
òòò
dq
r
Metode 2:
+σ
V0
b
 
Vb -Va = -ò E ⋅ d l
a
V(z)
høyest V(z) på plata,
avtar på begge sider
Fra http://en.wikipedia.org/wiki/Corona_discharge
Corona discharge on insulator string of a 500 kV overhead power line.
Corona discharges represent a significant power loss for electric utilities.
3
Kap23
27.01.2015
Eks.6: V inni og utenfor ladet lederkule
(Y&F Ex. 23.8)
Eks.7: V på aksen til tynn ring
(Y&F Ex. 23.11)
dq
Metode 1:
E fra
Eks.3 i
kap 22
(Ex. 22.5):

V (r ) =

V (r) =
1
q
å i
4pe 0 i ri
1
4pe 0
òòò
dq
r
Metode 2:
b
 
Vb -Va = -ò E ⋅ d l
a
Metode 1
fordi:
Vanskeligere å finne
E(x) (Eks. 4 kap 21)
enn å finne V(x)
Metode 1:

1
q
V (r) =
å i
4pe0 i ri

1
dq
V (r) =
4pe0 òòò r
Resultat:
V(x) = k Q x / r (21.8)
(Y&F Fig 23.21)
Eks. 4 kap 21:
Ex = k Q x / r3 (21.8)
(Y&F Fig 23.17)
a
Eks.9: V rundt uendelig lang linjeladning (Y&F Ex 23.10)
Eks.8: V inni og utenfor uniformt ladd kule
Metode 1:

1
q
V (r) =
å i
4pe0 i ri

1
dq
V (r ) =
4pe0 òòò r
Metode 2
Metode 2:
b
 
Vb -Va = -ò E ⋅ d l
Metode 2:
 
Vb -Va = -ò E ⋅ d l
l 1
E fra Eks.5,kap.22
Er =
(Ex.22.6):
2pe0 r
Metode 2
Metode 2:
b
a
E fra Eks.1
i kap 22
(Ex. 22.9):
= -ò Er dr = r0
(Y&F Fig 22.22)
b
 
Vb -Va = -ò E ⋅ d l
V (r ) -V (r0 )
r
Metode 1:

1
q
V (r) =
å i
4pe0 i ri

1
dq
V (r) =
4pe0 òòò r
a
l
r
ln
2pe 0 r0
Referansepunkt r0:
∞ og 0 er begge
ubrukelige.
4
Kap23
27.01.2015
Eksempler
i forelesning (Eks…), Y&F Ed13 (Ex…), og Lillestøl (L…)
Kap 21. E-felt
Kap 22. Gauss lov
Kap 23. Potensial
Dipol
Eks. 2
Ex. 21.8+21.14
L19.6
Eks. 4
Ex. 23.4
Linjeladning endelig
Eks. 3
Ex. 21.10
Ex. 23.12
Linjeladning uendelig
(Eks. 3)
L19.7
Tynn ring
Eks. 4
Ex. 21.9
Eks. 5
Ex. 22.6, L19.13
Met 1
Eks. 9
Ex. 23.10
Met 2
Eks. 7
Ex. 23.11
Met 1
Eks.6: V inni og utenfor ladet lederkule
(Y&F Ex. 23.8)
Met 2: Eks. 7B
Sirkulær plate
Eks. 5
Ex. 21.11
Uendelig plate
Eks. 6
Ex. 21.11
L19.9
Eks. 2
Ex. 22.7
L19.14
Eks. 5B
L19.15
Met 2
Parallellplater
Ex. 21.12
Eks. 7
Ex. 22.8
Eks. 5
Ex. 23.9
Met 2
Kule med homogen
ladning
Eks. 1
Ex. 22.9,
Eks. 8
Met 2
L19.19 Met 1: Eks. 8B
Lederkule
Eks. 3
Ex. 22.5
L19.12
- derivert
- integrert
V ( r ) -V ( r0 ) = -ò Er dr
Eks. 6
Met 2
Ex. 23.8 Met 1: Eks. 6B
(Y&F Fig 23.17)
Gradienten til en skalar er en vektor:
(fra formelsamling s. 2):
Ekvipotensialflater
= flater med innbyrdes konstant potensial
Kartesiske koord:
Sylinderkoord:
Kulekoord:
5
Kap23
27.01.2015
Gravitasjonen har også ekvipotensialflater.
Dipol
Høydekoter på kart er skjæring mellom epf. og terrenget:
Høyest
1
3
2
Lavest
Matlab-graf +
fra øving 6:
Pkt. 3
Pkt. 2
Pkt. 1
Pkt. 3
Pkt. 1
Pkt. 2
-
Kap. 23: Oppsummering 1
Elektrisk potensial
To positive ladninger
Enhet: [V] = J / C = volt = V
Energienheter:
1 CV = tilleggsenergi for 1C ved å flytte 1 V høyere = 1 J
1 eV = tilleggsenergi for 1e ved å flytte 1 V høyere = 0,16 aJ
(Y&F Fig 23.24)
Absolutt potensial definert relativt r = ∞
6
Kap23
27.01.2015
E og V
rundt ulike
ladningssamlinger
E og V
rundt ulike
ladningssamlinger
dV
dr
dV
E( z) = dz
E(r) = -
For alle:
Kap. 23: Oppsummering 2
Elektrisk potensial
• Løsningsmetodikk for E og V:
Hvis E enkel å finne (eks. fra Gauss' lov): Bestem E, deretter V fra Metode 2.
Hvis V enkel å finne (fra metode 1):
Bestem V, deretter E fra E = −grad V
 
 
E ( r ) = -V ( r )
Lederflater er alltid
ekvipotensialflater
For pkt.ladning nær
lederflate er E-feltet
som mellom +Q og –Q
(speilmetoden)
• Ladninger kan flyttes uten arbeid på ekvipotensialflater.
• E er normal til ekvipotensialflater.
• Elektrisk leder er på en og samme potensialflate.
(Y&F Fig 23.25)
7