1. No category

1
INSTITUTT FOR GEOMATIKK
NTNU
..\fag\g2\geo-ø4f-00.doc/201100ts
SIB6020 GEODESI. Høsten 2002
Eksempeløving (4):
GPS-vektorer. Nøyaktighetsmål og vektor-transformasjon
Løsningsforslag
Oppgave 1. Nøyaktighetsmål på målte GPS-vektorer
Beregner bare for den ene vektoren: Ladehammeren-Kuhaugen. Tilsvarende beregninger også for
den andre vektoren.
Holsens GPS kompendium brukes.
(a)
Varians/kovariansmatrisa for avstand/retningsvinkel/senitvinkel for den dekomponerte GPSvektor.
GPS-vektoren Ladehammeren-Kuhaugen: Av datautskriften finnes korrelasjonsmatrisa K,
variansene på ∆X, ∆Y, ∆Z i det geosentriske koordinatsystemet, løsning på vektoren (∆X, ∆Y, ∆Z)
eller også ∆Bredde =Delta lat og ∆Lengde=Delta lon.
 1,0000000 0,1041172 0,2904743 


K =  0,1041172 1,0000000 0,2569390 
 0,2904743 0,2569390 1,0000000 


σ∆X = 0,361 mm
σ∆Y = 0,283 mm
σ∆Z = 0,829 mm
NB: Urealistiske lave verdier (?)
(Bruker mm, ikke m, som benevning for å få håndterlige tall i beregningene)
Beregner varians/kovariansmatrisa, Σ, etter ligning 1.2 i kompendiet.
(1) I det geosentriske koordinatsystemet:
Σ CTRS
2
 σ XX
σ XY σ XZ   0,130321 0,01063693 0,08692995 

 

2
=  σ XY σ YY
σ YZ  =  0,01063693 0,080089
0,0602797  benevning mm2
2 
σ

0,687241 
 XZ σ YZ σ ZZ   0,08692995 0,0602797
Videre til det lokalhorisonterte koordinatsystemet med origo i startpunktet Ladehammeren. Bruker
feilforplantningsloven på ligning 1.15 (transformasjonsformelen), får ligning 12 på side 18 i
kompendiet
2
Trenger bredde og lengde for Ladehammeren. Transformerer de oppgitte NGO1948-verdiene med
Holsenprogrammet BLXY.
NB: Ikke bruk navigasjonsløsningen, da den er for unøyaktig ved vektortransformasjoner (men
kanskje nøyaktig nok for beregninger av nøyaktighetsmål).
Ladehammeren:
B = 63,446788294°
L = 10,431930414°
(NGO1948-ellipsoiden)
Transformasjonsmatrisa i ligning 12:
TLADE
 − 0,879733815 − 0,1619682033 0,4470287635 


=  − 0,1810672526 0,9834707164
0,0000000 
 0,4396396983
0,0809422700 0,8945195831 

(2) I det lokalhorisonterte koordinatsystemet med origo i startpunktet Ladehammeren (x, y, z)LG.
Vi ser at det også her blir svært lave verdier på elementene i varians/kovariansmatrisa:
Σ LG
 σ xx2 σ xy σ xz   0,16622 0,01858 0,16397 

 

2
= T ⋅ Σ CTRS ⋅ T T =  σ xy σ yy
σ yz  =  0,01858 0,07795 0,03939  benevning mm2
2 
σ


 xz σ yz σ zz   0,16397 0,03939 0,65348 
(3) Til slutt en transformasjon/dekomponering til avstand, senitvinkel og retningsvinkel:
Beregner avstand, senitvinkel og retningsvinkel etter formlene i 1.18 side 11.
 x
 ∆X 
 − 1723,7639 
 




=  286,4016 
 y  = T ⋅  ∆Y 
z
 ∆Z 


  LG

 CTRS  50,9067 
Kontroll av skråavstanden: Pytagoras gir: SLG = 1748,1360 og SCTRS = 1748,1360, ser OK
ut.
NB: Denne kontrollen er ikke gjennomgripende, for eksempel gir feile verdier på bredde og
lengde en OK kontroll, men likevel feile koordinater.
Beregner horisontal-avstand, asimut og senitvinkel ved bruk av ligningene 1.18:
SHOR = 1747,3946 m
α = 170,56654026°
z = 88,33127879°
Beregner F-matrisa ved ligning 2.13 side 19, benevningen er mm og mgon. I ligning 2.13 gis den
matematiske sammenhengen mellom størrelsene i det lokalgeodetiske systemet og de avledede
størrelsene horisontal-avstand, asimut og senitvinkel. Transformasjonsmatrisa F er den vi trenger
for å bruke feilforplantningsloven (varians/kovariansforplantning):
0
 − 0,005971365 − 0,035939822



F =  − 0,986477
0,163902
0


0
0
0,036417063 

3
Beregner varians/kovariansmatrisa (Σ-matrisa) for retningsvinkel, avstand og senitvinkel ved
ligning 2.14.
 1,1458 ⋅ 10 −4
1,1604 ⋅ 10 −3 − 8,7217 ⋅ 10 −5 


Σα ,S ,Z = F ⋅ Σ LG ⋅ F T =  1,1604 ⋅ 10 −3
− 5,6553 ⋅ 10 −3 
0,1578
 − 8,7217 ⋅ 10 −5 − 5,6553 ⋅ 10 −3 8,6665 ⋅ 10 −4 


Av matrisa får vi blant annet ut standardavvikene på retningsvinkel, avstand og senitvinkel.
Fremdeles har vi ganske lave verdier på nøyaktighetsmålene:
σα = 0,0107 mgon
(b)
σS = 0,40 mm
σz = 0,0294 mgon
Empiriske verdier
(1) Beregn variansene for avstand/retningsvinkel/senitvinkel.
NB: Bruker (5 mm + 1 mm/km) for horisontalavstand og (10 mm + 1 mm/km) for høyde i stedet
for verdiene på side 19. De er mer realistiske verdier i dag.
Side 16 i Holsens GPS-kap.III gir en mulig oppskrift:
Utgangspunkt er standardavvik for horisontalavstand og høydeforskjell.
Feilforplantningsloven gir formlene for varians for retningsvinkel, avstand og senitvinkel
Tallverdier ved å bruke formlene i kapittel 2.4.2. NB: Bruk helst ikke bruksformlene, bruk
originalformlene uten innsatte verdier!
σS = (52 + (1 ⋅ 1,747)2 )0,5 = 5,30 mm
σHØYDE = (102 + (1 ⋅ 1,747)2 )0,5 = 10,15 mm
σα = 0,193 mgon
σz = 0,370 mgon
Vi ser at vi nå får mer realistiske verdier på nøyaktighetsmålene
(2) Angi med formler hvordan den fullstendige varians/kovariansmatrisa kan beregnes.
Må beregne/simulere ei korrelasjonsmatrise, K, som tar vare på korrelasjonene mellom de
tre komponentene. Beregnes av korrelasjonsmatrisa for ∆X, ∆Y, ∆Z i det geosentriske
koordinatsystemet, se (a).
I Gemini finnes K-matrisa ved å velge Q-filen i Sat.obs-gardina. Ved simulering kan det
antas verdier i K-matrisa (for eksempel standardverdier), se mer om dette i GPSprogrammene i Gemini og V/G.
Beregner kovariansene, tilsvarende som i (a).
(c)
Vurdering av resultatene av de to beregningene.
Har: Lave beregnede verdier i (a) og realistiske verdier i (b).
Ulempen i (b) er at vi der ikke tar hensyn til at forskjellige forhold under målingene
(geometri, støy osv) kan gi vektorer av ulik kvalitet. Dette tas det hensyn til i (a).
Hvordan ville du ha fastsatt nøyaktighetsmålene på de målte vektorene?
4
En vanlig måte nå, er å skalere opp nøyaktighetsmålene i (a) med en faktor på 8-10,
avhengig også av utstyrsmerke. Vi tar da vare på at vektorene kan ha en ulik kvalitet og vi
får realistiske nøyaktighetsmål.
Se også øving 5b: Omdanning av vektorer (i V/G-Land), det forutsettes at vi gjør et valg om
metode for beregning av nøyaktighetsmålene.
(d)
Frivillig. Sjekk om tallsvarene i løsningsforslaget er OK. (V/G-Land og
GeminiNETT/GPS)
Er (dessverre) ikke utført enda, hadde vært en grei kontroll på de manuelle beregningene.
Oppgave 2. Transformasjoner av satellittvektorer
Blir en del av de samme beregningene som i oppgave 1…. Viser framgangsmåten for vektoren
Solemsvåttan-Holtermannsveien. Tilsvarende beregninger for Ladehammeren- Holtermannsveien.
(a)
Lokal geodetiske koordinater for GPS-vektorene fra Solemsvåttan til Holtermannsveien og
fra Ladehammeren til Holtermannsveien. (Transformasjon til et lokalhorisontert system.)
GPS-vektorene er i WGS-84. Regner om GPS-vektoren Solemsvåttan-Holtermannsveien fra et
geosentrisk til et lokalhorisontert koordinatsystem med origo i Solemsvåttan.
Problem: Vi har ikke bredde og lengde i WGS-84 for Solemsvåttan.
Løsning: Bruker ϕ og λ beregnet av de oppgitte NGO1948-koordinatene. Dette er ca riktig, da
både NGO1948- og WGS84-ellipsoidene et orientert på tilnærmet lik måte, se bl.a. landmålingsmanualene om omdanning av vektorer.
Bruker programmet BLXY og får for Solemsvåttan (på NGO1948-ellipsoiden)
ϕ = B = 63,40876658°
λ = L = 10,58841577°
(Kunne også ha brukt WSKTRANS, en offisiell transformasjon, men akkurat denne
transformasjonen utføres ikke i WSKTRANS.)
Transformasjonsformel 1.15 på side 11 (se også oppgave 1) gir koordinatene:
 x
 521,400 
 


Lokale koordinater for Holt. med origo i Sol.:  y  =  − 9255,411
z


  LG  − 358,706 
En enkel kontroll kan gjøres for å kontrollere at transformasjonen er blitt riktig, er å beregne
vektorens lengde (skråavstand) både fra de lokale koordinatene og fra GPS-vektorens
komponenter.
NB: Denne kontrollen er ikke gjennomgripende, for eksempel gir feile verdier på bredde og lengde
en OK kontroll, men likevel feile koordinater.
Disse kårdeavstandene (skråavstandene) skal være helt like: Sskrå = 9277,0234 m.
(b)
Beregn avstand og retningsvinkel fra Solemsvåttan til Holtermannsveien i kartplanet.
Kontroller med verdier beregnet av NGO-koordinatene.
Beregn asimut og senitvinkel for retningen Sol-Holt av de lokale koordinatene (LG) i (a):
1.18-formlene:α = invtan (y / x) = 273,224328° = 303,582587 gon
5
zv = invcos (z / Sskrå) = 92,215955°
Trenger en god verdi på krumningsradiusen. Program KRRAD (Holsen) gir krumningsradius i
retningen Sol-Holt: RS-H = 6394549,7 m
Bruker formler i kapittel 2 i kompendiet.
(1) Avstand i kartplanet. Se figur 5 side 12 i kompendiet.
Beregner først vinkelen γ, der ShB er horisontal avstand i høyde HB for Holtermannsveien, HA er
høyden i Solemsvåttan (bruker oppgitt ortometrisk høyde først, se senere om geoidehøyde) og z er
koordinat i LG-systemet:


S hB
9270,0859


−3
 = inv tan
γ = inv tan
 = 1,449669985 ⋅ 10 rad
 6394549,7 + 422,630 − 358,706 
 R + HA + z 
Får avstand i H = 0 ved formel (3), men i høyde med geoiden, siden ortometriske høyder er brukt:
S0G = 9269,9868 m
Må korrigere videre ned til ellipsoiden (kunne ha gjort det direkte ved å bruke ellipsoidisk høyde i
γ-formelen). Se at for NGO1948 er geoidehøyden ca 10 m i måleområdet (eksakte verdier beregnes
i (b).
S0ELL = 9269,9723 m (er ellipsoidisk avstand)
Bergn kartprojeksjonskorreksjon for avstand ved å bruke formelen 4.60 i Geodesi del 2. Kan sløyfe
siste leddet (bruke kuleformel), da kort avstand, altså formel (2.5) kan brukes.
Korreksjon fra ellipsoiden til kartplanet:
∆D = +0,0154 m.
Avstand i kartplanet: DK = SELL + ∆D = 9269,9723 + 0,0154 = 9269,988 m
Avstand beregnet av NGO-koordinatene:
DKOO = 9269,901 m ,
en differanse på 0,085 m …. Tja….er det koordinatene eller målingene som gir en
noe stor forskjell?
(2) Retningsvinkel i kartplanet
Beregn meridiankonvergensen i Solemsvåttan, c, bruker programmet KONVERG av Holsen:
c = -0,133638 gon. NB: Husk på at det er lengdeforskjellen mellom Hovedmeridianen og
punktets lengdegrad som skal inn i formelen! NGO-akse 3 er nord-aksen.
Beregn kartprojeksjonskorreksjon fra ellipsoide til kart, δ, formel i Holsens Geodesi del 2, eller
formel (2.8), kuleformel er OK da korte avstander. δ = -0,000 0041 gon. (lav verdi, da siktet er ca
øst-vest)
Skal ikke korrigere for loddavvik, da beregningsflaten i grunnriss er ellipsoiden og ellipsoidisk
avbildning.
Retningsvinkel i planet: ϕ = t = α + |δ |+| c| =
303,71623 gon
Retningsvinkel beregnet av NGO-koordinatene: ϕ = 303,71567 gon
Kontrollen ga en differanse på 0,56 mgon …..OK?….Ja
(c)
Beregn senitvinkelen fra Solemsvåttan til Holtermannsveien fra gitte høyder og
koordinater. Sammenlign med senitvinkelen beregnet av GPS-målingene.
Velger å beregne ∆H ortometrisk fra GPS-målingene og deretter sammenlikne ∆H-verdiene fra de
oppgitte ortometriske høydene.
6
Beregner ZELL fra de lokalhorisonterte koordinatene i (a), formel 1.18 i kompendiet, er
refraksjonsfri.
ZELL = 92,215955° = 102,462172 gon
Må korrigere for jordkrumning. Velger å korrigere senitvinkelen (kunne også ha beregnet
korreksjonen i meter), formel fra boka ”Grunnleggende landmåling”:
D ⋅ sin z
∆ZJORD = skrå
⋅ ρ = -0,046144 gon
2R
Må korrigere for loddavvik, da ortometriske høyder, formel side 24:
∆ZLODD = ∆ZV = 0,141 + 0,480 =+0,621 mgon
Ortometrisk senitvinkel beregnet av GPS-målingene (er du i tvil om fortegnene, så tegn figur!!):
ZORT = ZELL + ∆ZJORD - ∆ZLODD = 102,415407 gon
Ortometrisk høydeforskjell beregnet av GPS-målingene, formel fra Grunnleggende landmåling,
setter DKART = DH=0 da y-verdiene er forholdsvis små.:
∆H = DH=0 ⋅ (1 + HMIDDEL / R) ⋅ (1 / tan ZORT ) = -351,896 m
Ortometrisk høydeforskjell beregnet av oppgitte verdier (NN54): ∆H = -351,851 m
En differanse på 0,045 m …. Det må da være svært OK….da ortometrisk bestemte høyder bestemt
ved klassiske målinger kan være såpass usikre.
(d)
Beregn geoidehøydene og de ellipsoidiske høydene i Holtermannsveien og Solemsvåttan,
ved å bruke den geoidehøydemodellen som er beskrevet.
Bruker geoidehøydemodellen på side 28, der det lokale origo (sentralpunktet) er i Ladehammeren
som har geoidehøyde N = 10,000 m (ellipsoide-plassering i datum NGO1948). Husk å gjøre om de
oppgitte loddavikskomponentene fra mgon til radianer i formelen!
N = -ξ ⋅ ∆x - η ⋅ ∆y + NLADEH = -3,93327 ⋅ 10-5 ⋅ ∆x + 7,55553 ⋅ 10-6 ⋅ ∆y + 10,000
Bergner geoidehøydene i Holtermannsveien og Solemsvåttan:
NLADEH = -ξ ⋅ 0 - η ⋅ 0 + 10,000 =
=
NHOLT = -3,93327 ⋅ 10-5 ⋅ (-3722,963) + 7,55553 ⋅ 10-6 ⋅ (-1455,776) + 10,000 =
NSOL = -3,93327 ⋅ 10-5 ⋅ (-4263,699) + 7,55553 ⋅ 10-6 ⋅ 7798,340 + 10,000 =
Ellipsoidiske høyder:
10,000 m
10,135 m
10,227 m
Lade = 79,510 m
Holt = 80,914 m
Sol = 432,857 m
Som kontroll kan det regnes med N-formelen fra Holt til Sol, denne gang med lokalt origo i Holt:
=> OK
NSOL = -3,93327 ⋅ 10-5 ⋅ (540,736) + 7,55553 ⋅ 10-6 ⋅ 9254,116 + 10,135 = 10,226 m