Symmetri och symmetriska transformationer i geometri och konst Teori ▪ Symmetri Du har säkert sett många regelbundna mönster och kanske även funderat över hur de bildats eller tillverkats som t ex tapetmönster. Det verkar finnas ett oändligt sätt att bilda vackra mönster. Mönstren bygger på symmetri dvs det finns delar som är lika i mönstret. Vi kanske säger att någon har ett symmetriskt ansikte om någons båda ögon sitter på samma höjd om båda ögonbrynen är formade på samma sätt. Det sätt vårt ansikte kan vara symmetriskt på skulle kallas reflektion i matematiken. På vilka olika sätt kan vi bilda symmetrier; tre av dem har du förmodlingen god kännedom om: translation, rotation och spegling (reflektion). Det finns ytterligare ett sätt som formen kan upprepas på; glidreflektion. Det finns 17 olika sätt att kombinera de fyra ovan nämnda symmetrierna på. Alla dess 17 sätt finns t ex i Alhamra, muslimernas borg från 1300-talet i Spanien. Vad är då translation, rotation, reflektion och glidreflektion? Mönster som bildas genom reflektion eller spegling har så kallade symmetrilinjer. Rektangeln nedan har två symmetrilinjer, S 1 och S 2 . Symmetrilinjen S 2 speglar den röda rektangeln ABCD till rektangeln EFCD, på liknande sätt speglar symmetrilinjen S 1 en rektangel till en annan. G1 Hur många symmetrilinjer a) b) c) d) e) f) g) har en kvadrat, en regelbunden sexhörning, en cirkel, ett kors, en liksidig triangel, en likbent triangel, den rätvinkliga triangeln med sidorna 3, 4 och 5 cm? G2 Man skulle kanske kunna säga att kotten nedan har 8 + 13 olika rotationssymmetrier, förklara detta? G3 Hur många symmetrilinjer finns i bilderna nedan? Bilden visar Taj Mahal som speglar sig i en damm. Byggnaden som ligger i Indien uppfördes under 1600-talet av en stormogul som mausoleum åt sin favorithustru. G4 Hur många symmetrilinjer har flaggorna nedan, förresten vilka flaggor är det? G5 Vilken sorts symmetri har figuren till höger. Ytterligare en rik källa för symmetrier är polyedrar: Det gyllene snittet är ett geometriskt förhållande som finns överallt omkring oss. Medvetet eller omedvetet används det av t ex arkitekter och konstnärer, men även i naturen finns skapelser med dessa proportioner. Det speciella med gyllene snittet är att det påstås vara estetiskt tilltalande för det mänskliga ögat. Den s k Fibonaccis spiral kan konstrueras utifrån Gyllene snittet, se applikationen Geometri-29 Fibonaccis spiral G6 Försök i ord förklara hur den gyllene spiralen konstruerats utifrån den gyllene rektangeln. Bilden nedan visar ett fossil av en pärlbåtssnäcka. Man kan se att dess tillväxt sker likformigt med Fibonaccis spiral. På liknande sätt kan man hitta det gyllene snittet på många ställen i naturen. Använd nätet för att hitta flera! Framför Göteborgsoperan hittar man denna skulptur inspirerad av Fibonaccis spiral. Det gyllene snittet har även hittats i många musikaliska verk. Foto: Lina Mattsson G7 Pietro Perugino (eg. Vannucci), Jungfru Maria med Jesusbarnet och helgonen Johannes döparen samt Sebastian. Denna tavla målades 1493 för kyrkan San Domenico i Fiesole, nära Florens. Denna tavla finns nu på konstmuseet Uffizierna i Florens (Galleria degli Uffizi). Markera gyllene snittets proportioner (1:0,618) nerifrån och uppifrån, från vänster och från höger. Markera dessa med linjer och se om några av dessa har en speciell relation till betydelsefulla delar av målningen. G8 Leta upp något gyllene snitt i målningen Franciskus talar med fåglarna av Giotto från internetadressen: http://www.christusrex.org/www1/francis/SSF-uccelli.jpg En oerhört rik källa för kunskap om gyllene snittet och Fibonacci talen är nedanstående webplats: Teori ▪ Symmetri är vanlig i arkitektur Hagia Sofia är ett mästerverk inom den bysantinska arkitekturen, uppfört under 500-talet av kejsar Justinianus. Dess ursprungsform är ganska väl bevarad. Byggnaden blev moské under den turkiska erövringen av Konstantinopel 1453. Minareterna lades då till. Byggnaden är nu museum. G9 (Symmetriska)kupoler ingår som element i en mängd klassiska byggnader. Kupoler kan befinna sig över polygona eller runda rum. Om rummet till exempel är fyrkantigt så förmedlas övergången mellan kupolen och rummet av ett pendentiv. Bilderna nedan visar två olika sorters pendentiv. a) Vilken är skillnaden mellan pendentiven i de två första bilderna ovan, beskriven med begreppen omskriven och inskriven cirkel till kvadraten? Det verkar som om den stora kupolen på Hagia Sophia vilar på ett kvadratiskt rum. Kan vi ana vilken typ av pendentiv som finns här? b) Gotiken På 1200-talet utvecklades en ny byggnadsstil. Vilken byggnadsstil föregick gotiken? Kyrkorna ska ha mycket ljus och rymd. De strävar uppåt mot himlen. Det blir möjligt genom att man lär sig slå valv och utvecklar spetsbågen. Den nya stilen, som vi kallar gotik, kom från norra Frankrike. Vid denna tid har byggnadskonsten nått sin höjdpunkt. I de stora katedralbyggena i Frankrike förfinar man skickligheten. Sten är byggnadsmaterialet och detaljer, dekor och inte minst fönster huggs ut i sten. Stenhuggeriarbetena är fantastiska. Väggarna är genombrutna med stora fönster med vackert glas. Spetsbågarna, rymden och ljuset kännetecknar gotiken. Linköpings domkyrka som är ett av Skandinaviens finaste byggnadsverk från gotiken har de för den stilen typiska gotiska fönster med sina smyckande motiv eller masverksformer. G10a) Beskriv de olika masverksformerna ovan med geometriska begrepp. b) Hur gör man för att konstruera en bild av ett gotiskt fönster med passare och linjal? c) Beskriv vilka symmetrier som de olika formerna har? Teori ▪ Tesselleringar m m Vi ser geometriska mönster överallt. Vi ser dem i våra klädesplagg, på golven i de byggnader som vi rör oss i, på tapeterna i våra hem och så vidare. I detta tema skall vi se på en speciell sorts mönster som kallas tesselleringar. Ordet kommer från det latinska tessella som var en liten fyrkantig sten som användes i romersk mosaik. Man kan ställa sig en mängd frågor rörande tesselleringar. Vilka former tessellerar, dvs kan täcka ett plan utan att ge gap eller överlappningar? Hur många tesselleringar kan skapas av regelbundna polygoner? Vilken typ av symmetri finns i tesselleringar? Vilken teknik kan användas för att skapa tesselleringar? Tessellering är en upprepning av mönsterbitar som passar in i varandra som t ex mosaikplattor. Även om grundidén är enkel så kan tesselleringar bli mycket komplexa. Tesselleringar kännetecknas av likformiga figurer som genom translationer, speglingar och rotationer ger det färdiga resultatet. Tesselleringar har gjorts i tusentals år i många kulturer och med stor variationsrikdom. Vilka sorts former och vilka färger som används skiftar från kultur till kultur. Eftersom den islamska religionen förbjöd avbildandet av levande varelser fick tesselleringen en storartad utveckling i islamska kulturer. Den nederländsk grafikern Maurits Cornelius Escher (18981972) har gjort många konstnärliga tesselleringar. Han har även gjort målningar där flockar av fåglar och stim av fiskar successivt övergår i andra djurarter. Hans Liberation, en litografi från 1955, är en konstruktion som visar hur en tesselering av fåglar bildas ur trianglar. Han är också känd för geometriska konstruktioner som inte har någon motsvarighet i verkligheten. Hur en målning av Escher kan ha uppstått ser du i applikationen: Geometri-39 Eschers reptiler En mycket omfångsrik plats om tesselleringar. Copyright © R F Barrow, 2001 - 2009. Litteratur: Ulin, B. (1988) Att finna ett spår. Motiv och metoder i matematikundervisningen − erfarenheter ur waldorfpedagogiken. Stockholm. Utbildningsförlaget.