Likformig och accelererad rörelse - Fysik A för NV09FMT
under perioden vecka 5 - 10, 2010
Lektion 1 och 2, Rörelse, 1 och 3 februari
Tema: Likformig rörelse och medelhastighet
Stroboskopfoto av likformig- och accelererad rörelse på luftkuddebana
Diskussion om rörelse på banan (ändras hastigheten, behövs någon ”kraft” för att upprätthålla
hastigheten, spelar massan på skytteln någon roll?)
Videoquiz: http://web.ics.purdue.edu/~mjcarlso/ST/STb02.Brainteaser_A_Straight_Line.mp4
Sidor i boken Nexus A: 25 – 31.
Uppgifter: Separat uppgift med lösning rörande läge av boll.
Uppgifterna 301, 302, 303, 304, 305, 308, 309, 311, 312
Lektion 3, 4 och 5, Rörelse, 10, 15 och 22 februari
Tema: Accelererad rörelse
Begreppet acceleration (speciellt likformig sådan)
Tyngdacceleration
s-t-, v-t- och a-t-grafer samt innebörd av lutning och area på och under dessa
Beräkning av läge och hastighet vid likformig acceleration
Sambandet mellan medelhastighet och sluthastighet vid likformig acceleration
Sidor i boken Nexus A: 33 - 42
Uppgifter: 315, 316, 317, 318, 319, 320, 322, 325, 326, 328, 331, 332, 334, 336, 338, 340,
344, 345, 347, 349.
Lektion 6 och 7, 24 februari och 8 mars
Reserv- och repetitionstid inför prov, som omfattar Kapitel 2 och 3 (10 mars kl. 8.20 - 9.40)
Likformig rörelse och s-t-grafer
s-t-grafen (sträcka-tid): En likformig rörelse (detta innebär en rörelse som inte ändrar vare sig
fart eller riktning) representeras i en s-t-graf , t ex så här
s (meter)
t (sekunder)
Fig. 1
eller så här:
s (meter)
t (sekunder)
Fig. 2
Nedanstående graf exemplifierar en rörelse som inte är likformig:
s (meter)
t (sekunder)
Fig. 3
Lutningen på s-t-grafen innebär hastigheten:
s (meter)
�s
�t
Fig. 4
t (sekunder)
Hastigheten brukar betecknas v, och beräknas på likformiga rörelser enligt: v �
�s
�t
Är rörelsen inte likformig kan medelhastigheten beräknas som lutningen på den räta linje på
grafen mellan de båda tidpunkterna medelhastigheten beräknas över. Medelhastigheten
beräknas enligt vmedel �
�s
�t
linje i nedanstående figur):
på den räta linje som förbinder två punkter på grafen (streckad
s (meter)
Fig. 5
t (sekunder)
Att beskriva: Vilken skillnad är det mellan rörelserna i Fig. 1, 2 och 3?
Hastighet och fart
I Fig. 1 ser vi att grafens lutning är positiv, medan den i Fig. 2 är negativ. Det innebär att
hastigheten har olika riktning, dvs föremålen, vars rörelse beskrivs beskrivs med dessa grafer,
färdas i olika håll (180° i förhållande till varandra). I begreppet hastighet ligger såväl hur fort
något färdas som i vilken rikting något färdas. Därför är det viktigt att ange tecken på
hastigheten (+ eller -). Storheter som är riktningsberoende kallas för vektorer.
Begreppet fart innebär enbart hur fort något färdas. Denna storhet omfattar alltså inte någon
riktningsinformation. Sådana storheter kallas för skalärer.
Likformig acceleration och v-t-grafer
En accelererad rörelse innebär en hastighetsändring per tidsenhet. Eftersom hastighetsändring
ha enheten 1m/s. och tiden har enheten 1s., så får accelerationen enheten 1 m � s2 . Likformig
acceleration innebär en konstant hastighetsförändring per tidsenhet. Ett överskådligt stt att
visa acceleration och hastighet är en s.k v-t-graf (hastighet-tid).
I nedanstående figurer visas konstant hastighet i vt-grafer. I ena fallet är hastigheten riktad
framåt (positiv hastighet) och i andra fallet är den riktad bakåt (negativ hastighet).
v (m/s)
v (m/s)
t (s)
Fig. 6a
t (s)
Fig. 6b
I nedanstående figurer förändras hastigheten. I ena fallet ökar den och i andra fallet minskar
den.
v (m/s)
v (m/s)
t (s)
Fig. 7a
t (s)
Fig. 7b
Notera i Fig. 7b att hastigheten övergår från positiv till negativ. Detta innebär en inbromsning
till noll följt av en riktningsändring.
Lutningen i v-t-graferna som motsvarar accelerationen (på samma sätt som lutningen i s-tgrafer motsvarar hastigheten).
Accelerationen brukar betecknas a och beräknas enligt a �
vslut � v0
tslut � t0
�
�v
�t
Om grafen utgörs av en rät linje i ett vt-t-diagram är accelerationen likformig. Vid likformig
acceleration gäller att vmedel �
vslut � v0
� v0 �
�v
� v0 .
2
2
vslut innebär ett föremåls sluthastighet och v0 dess begynnelsehastighet. Observera att
sluthastigheten såväl kan vara högre än begynnelsehastigheten (t ex enligt Fig. 7a) som lägre
jämfört med begynnelsehastigheten (t ex Fig. 7b).
Att beskriva: Hur ser motsvarande s-t-grafer ut för ovanstående v-t-grafer?
Lägesbeskrivning vid likformigt accelererad rörelse
I Fig. 7b ser vi att under en stor del av tiden är hastigheten positiv och att lutningen är
negativ. Det innebär att hastighet och acceleration har olika tecken. Nedan härleds ett
samband mellan sträcka, tid och acceleration. Det brukar skrivas enligt
at2
s � v0 t �
2
Här betyder v 0 begynnelsehastigheten, a innebär accelerationen och t är den tid under vilken
accelerationen sker. Om v 0 och a har olika tecken, som de t ex får när ett föremål kastas
uppåt, kommer sambandet att lyda
at2
s � v0 t �
2
En negativ acceleration benämns ofta som en retardation.
Vi utgår från ett föremål med begynnelsehastigheten v0 , sluthastigheten v f och en likformig
acceleration enligt nedanstående vt-graf.
v
vf
A1
v0
A2
tf
t
Fig. 8
a�
�v v f � v0 v f � v0
�
�
�notera att v f � v0 � at �
t
�t
t f � t0
Arean under en vt-graf motsvarar sträckan. A1 beräknas:
A1 �
�t f � t0 � � �v f � v0 �
2
�
t � �v f � v0 �
2
�
t � at at2
�
2
2
A2 beräknas:
A2 � v 0 � t f � v 0 t
Den sammanlagda arean (A1+A2) under en v-t-graf representerar sträckan, varför uttrycket
2
s = v 0 t + at erhålls som den tillryggalagda sträckan under en konstant acceleration (minns
2
också att tecknet på accelerationen blir negativt om begynnelsehastighet och acceleration har
olika riktning).
Hastighetsbeskrivning vid likformigt accelererad rörelse
Vid likformig rörelse så finns det ju bara en hastighet; den beräknas enligt v �
�s
. Vid accel�t
ererad rörelse ändras ju hastigheten över tiden, varför det behövs ett samband mellan dessa
båda storheter. Under en a-t-graf, som visar en accelerationen som funktion av tiden, gäller
att arean under grafen motsvarar hastighetsförändringen. Nedanstående graf visar likformig
acceleration.
a
v-v0
t
Fig. 9
v-v0 innebär hastighetsförändringen. Orsaken till att just är hastighetsförändringen som
beskrivs är att accelerationen inte bär med sig någon informmation om den absoluta
hastigheten. Minns att acceleration innebär hastighetsförändring per tidsenhet. Arean under
grafen i ett a-t-diagram vid likformig acceleration är en rektangel med basen t (motsvarar den
tid som accelerationen äger rum)och höjden a (motsvarar accelerationen). Arean blir alltså at.
Sambandet mellan hastighetsförändring och acceleration lyder alltså:
v � v0 � at , eller v � v0 � at
Denna hastighet kallas för momentanhastighet.
Grafisk innebörd av medel- respekive momentanhastighet
s (meter)
s (meter)
T1
T2
t (sekunder)
Fig. 10a
t (sekunder)
Fig. 10b
Lutningen på den streckade linjen (sekanten) i Fig. 10a utgör medelhastigheten på den av
grafen beskrivna accelererade rörelsen mellan tidpunkterna 0 och T1. Lutningen på den
streckade linje (tangenten) i Fig. 10b utgör momentanhastigheten vid tidpunkten T2.
Sammanfattning av samband
Formler
Sträcka
Likformig rörelse
Accelererad rörelse
Hastighet
s � vt
s � v0 t �
v�
�s
2
vmedel �
Gäller då a likformig.
0
�t
v � v0 � at och
at2
Acceleration
�s
�t
a�
�v
�t
amedel �
(likformig a)
�v
�t
(ej likf. a)
Samband mellan start-, medel- och sluthastighet vid likformig acceleration:
vslut � v0
vmedel �
� v0
2
Tolkning av grafer
Lutningens innebörd
Areans (mellan graf och taxel) innebörd
s-t-graf
Hastighet
-
v-t-graf
Acceleration
Tillryggalagd sträcka
a-t-graf
-
Hastighetsförändring
Tyngdaccelerationen
Släpper man en boll från ett högt torn så kan man mäta läget för bollen varje sekund till
följande positioner (om man bortser från luftmotståndet):
A
0m
0s
B
5m
1s
C
20 m
2s
D
45 m
3s
E
80 m
4s
Fig. 11
Vi beräknar hastighet och acceleration hos bollen mellan intervallen:
Läge s,
Tidpunkt
(uppmätt i
(sekunder)
meter)
v = v0 + at
(momentanhastighet,
beräknat i respektive
punkt)
v=
Ds
Dt
a=
Dv
Dt
(medelhastighet,
beräknat mellan
punkterna)
(acceleration,
beräknad mellan
punkterna)
0
0 (A)
vA = 0 m/s
1
5 (B)
vB = 10 $ 1 = 10 m/s
5
vAB = 1 = 5 m/s
10 - 0
aAB = 1 - 0 = 10 m/s 2
2
20 (C)
vC = 10 $ 2 = 20 m/s
20
vAC = 2 = 10 m/s
20 - 10
aBC = 2 - 1 = 10 m/s 2
3
45 (D)
vD = 10 $ 3 = 30 m/s
45
vAD = 3 = 15 m/s
30 - 20
aCD = 3 - 2 = 10 m/s 2
4
80 (E)
vE = 10 $ 4 = 40 m/s
80
vAE = 4 = 20 m/s
40 - 30
aDE = 4 - 3 = 10 m/s 2
Ur denna tabell kan man t ex se att momentanhastigheten vid punkten B är 10 m/s högre än
vid punkten A. Faktum är att vid alla punkter är hastigheten 10 m/s högre än vid närmast
föregående punkt. Detta gör att accelerationen är konstant, 10 m/s2 enligt tabellen som
åskådliggör fallrörelsen.
Att accelerationen är 10 m/s2 i denna situation är heller ingen slump. Det är
tyngdaccelerationen som i princip är lika stor på hela Jorden. Denna betecknas med g, och
har i Stockholm värdet g = 9,82 m/s2 (jag har här förenklat läsningen lite genom att sätta g
=10 m/s2 , men oftast används g = 9,82 m/s2). Notera även att sluthastigheten är dubbla
medelhastigheten i varje intervall.