Kontrollskrivning i logaritmer.
December 5, 2011
1
Kursm˚al som ber¨ors av provet
Eleven skall
• kunna formulera, analysera och l¨osa matematiska problem av betydelse f¨or till¨ampningar
och vald studieinriktning med f¨ordjupad kunskap om s˚adana begrepp och metoder
som ing˚ar i tidigare kurser
• kunna tolka och anv¨anda logaritmer och potenser med reella exponenter samt
kunna till¨ampa dessa vid probleml¨osning
• k¨anna till hur datorer och grafiska r¨aknare kan utnyttjas som hj¨alpmedel vid
studier av matematiska modeller i olika till¨ampade sammanhang
2
Fr˚agor
Svara p˚a f¨oljade fr˚agor med fullst¨andiga och tydliga svar och alla ber¨akningar ska
redovisas.
1. Skriv p˚a ”matematiska”: Vad ska a upph¨ojas med f¨or att bli b?
2. Hur g¨or du f¨or att ber¨akna lg(0, 001) ifall du inte f˚ar anv¨anda minir¨aknaren?
3. Varf¨or kan du inte skriva s˚ah¨ar: lg(−b) = 13 om b > 0?
4. L¨os ekvationen
150 · 1, 5x = 250 · 2, 5x
5. Givet funktionen f (x) = 42x−5 best¨am x s˚a att f (x) = 16
6. Formulera och beskriv ett problem som kan skrivas upp
2000 · 1, 05x = 10000 · 1, 025x
och ber¨akna sedan x och beskriv vad v¨ardet p˚a x inneb¨ar just ditt problem.
1
3
L¨osningsf¨orslag
1. Skriv p˚a ”matematiska”: Vad ska a upph¨ojas med f¨or att bli b?
Svar:
a ska upph¨ojas med ett ok¨ant tal x s˚a att ax = b. F¨or att detta ska st¨amma
s˚a m˚aste x vara a-logaritmen f¨or b, dvs x = loga b.
2. Hur g¨or du f¨or att ber¨akna lg(0, 001) ifall du inte f˚ar anv¨anda minir¨aknaren?
Svar:
Jag kommer ih˚ag att lg(100) = 2 och lg(10) = 1. Utifr˚an detta kan jag stega
mig ner till svaret. lg(1) = 0 och lg(0.1) = −1 o.s.v. Till slut kommer jag
fram till att lg(0.001) = −3 .
Alternativt svar:
Eftersom talet inom parenteserna a¨ r mindre a¨ n 1 s˚a vet jag att vi s¨oker ett
negativt tal.
10x = 0, 001
x<0
F¨or att ber¨akna x skriver jag om 0,001 till basen 10.
0.001 =
1
1
= 3 = 10−3
1000
10
10x = 0.001 = 10−3
Exponenterna m˚aste vara lika, ty lika bas! x = −3
Alternativt svar:
Eftersom vi har basen 10 och f˚ar ut ett tal mindre a¨ n 1 s˚a m˚aste x vara
negativt. N¨ar det kommer till just basen 10, dvs r¨akning med lg, kan vi
anv¨anda ett knep! R¨akna antalet nollor innan ettan, och voila - det x vi
s¨oker m˚aste vara minus -3!
3. Varf¨or kan du inte skriva s˚ah¨ar: lg(−b) = 13 om b > 0?
Svar:
lg(−b) = 13 a¨ r ekvivalent med att 1013 = −b vilket ger att b = −1013 och
d˚a st¨ammer det inte att b a¨ r st¨orre a¨ n noll.
4. L¨os ekvationen
150 · 1, 5x = 250 · 2, 5x
Svar:
Skriver upp talet:
150 · 1, 5x = 250 · 2, 5x
2
Jag vill nu f˚a alla x ensamt p˚a ena sidan s˚a jag b¨orjar med att dividera b˚ada
sidor med 150. Vilket ger:
1, 5x =
250 · 2, 5x
150
N¨asta steg jag g¨or a¨ r att dividera med 2, 5x s˚a att x bara finns kvar p˚a ena
sidan av likhetstecknet.
250
1, 5x
=
x
2, 5
150
Nu a¨ r x som en potens problematisk s˚a jag t¨anker att jag vill ha ner x och
kommer att t¨anka p˚a logaritmreglerna, s˚a jag logaritmerar i b˚ada led.
250
1, 5x
=
lg
lg
2, 5x
150
Nu inser jag att jag inte kan anv¨anda potensregeln direkt utan f¨or att den
ska st¨amma s˚a m˚aste jag ha talet p˚a formen lg(Ay ) men jag a¨ r ju n¨astan
d¨ar. En av potenslagarna s¨aer att ax · bx = (a · b)x detta inneb¨ar att det g˚ar
att skriva om
x
1, 5x
1, 5
=
2, 5x
2, 5
Om jag d˚a utnyttar detta p˚a min ekvation s˚a blir det
lg
1, 5
2, 5
x = lg
250
150
Nu kan jag f˚a ner x genom att anv¨anda tredje logaritmlagen.
250
1, 5
= lg
x · lg
2, 5
150
N¨astan framme! En enkel division kvar s˚a a¨ r jag framme. S˚a svaret blir:
lg 250
150 x=
lg 1,5
2,5
Alternativt svar:
B¨orja med att logaritmera b˚ada sidorna.
lg(150 · 1, 5x ) = lg(250 · 2, 5x )
Nu anv¨ander jag mig av denna lag:
lg(A · B) = lg(A) + lg(B)
och f˚ar
lg(150) + lg(1, 5x ) = lg(250) + lg(2, 5x )
3
utvecklar med:
lg(Ax ) = x · lg(A)
vilket get
lg(150) + x · lg(1, 5) = lg(250) + x · lg(2, 5)
Flyttar o¨ ver s˚a att allt som inneh˚aller x a¨ r i VL
x · lg(1, 5) − x · lg(2, 5) = lg(250) − lg(150)
Bryter ut x i VL
x(lg(1, 5) − lg(2, 5)) = lg(250) − lg(150)
Dividerar med lg(1, 5) − lg(2, 5) i b˚ada leden
x=
lg(250) − lg(150)
= −1
lg(1, 5) − lg(2, 5)
5. Givet funktionen f (x) = 42x−5 best¨am x s˚a att f (x) = 16
Svar:
Jag b¨orjar med att studera uppgiften och kommer fram till att jag kan
skriva om det som s˚adant:
16 = 42x−5
Sedan a¨ r min vanliga taktik n¨ar jag vill f˚a ner en variabel ifr˚an ”potensl¨aget”
att logaritmera s˚a att jag senare kan anv¨anda logaritmlagarna f¨or att manipulera ekvationen.
lg(16) = lg(42x−5 )
lg(16) = (2x − 5) · lg(4)
lg(16) = 2x · lg(4) − 5 · lg(4)
Flyttar om s˚a att jag f˚ar x separat:
lg(16) + 5 · lg(4) = 2x · lg(4)
lg(16) + 5 · lg(4)
=x
2 · lg(4)
Detta a¨ r svaret. Men eftersom jag tycker om att f¨ortydliga s˚a kollar jag ett
tag p˚a talet och inser att lg(16) = lg(42 ) = 2 · lg(4). S˚a d˚a f˚ar jag:
2 · lg(4) + 5 · lg(4)
=x
2 · lg(4)
H¨ar ser jag att jag kan dividera bort lg(4) vilket l¨amnar kvar:
2+5
=x
2
4
7
2
Nu k¨anner jag mig mer n¨ojd med svaret!
x=
Alternativt svar:
f (x) = 42x−5
f (x) = 16
Detta kan ses som ett ekvationssystem som vi f¨orenklar m.h.a. subst. metoden. Detta ger 42x−5 = 16.
16 kan skrivas om till 42
42x−5 = 42
Eftersom att vi har samma bas m˚aste exponenterna vara lika.
2x − 5 = 2
2x = 2 + 5
2x = 7
7
x=
2
6. Formulera och beskriv ett problem som kan skrivas upp
2000 · 1, 05x = 10000 · 1, 025x
och ber¨akna sedan x och beskriv vad v¨ardet p˚a x inneb¨ar just ditt problem.
Svar:
D˚a b˚ada sidor av ekvationen ser ut som en exponentialfunktion s˚a drar jag
slutsatsen att det har att g¨ora med n˚agonting d¨ar ena sidan har begynnelsev¨ardet 2000 och v¨axer med 5% och andra sidan har 10000 som begynnelsev¨arde och v¨axer med 2.5%. S˚a det problem jag ska formulera ska st¨amma
ganska bra o¨ verens med detta och eftersom jag har l¨ast p˚a en massa om kaniner p˚a senare tid s˚a blir mitt problem: ”Tv˚a kaninstammar med olika
f¨oruts¨attningar f¨or¨okar sig olika fort och jag vill veta n¨ar dessa tv˚a stammar blir lika stora. Den ena stammen best˚ar av 2000 kaniner och f¨or¨okar
sig med 5% per m˚anad och den andra stammen best˚ar av 10000 kaniner
och f¨or¨okar sig med 2.5% per m˚anad. N¨ar kommer b˚ada stammarna vara
lika stora?”
F¨or att sedan l¨osa uppgiften s˚a g¨or jag p˚a exakt samma s¨att som p˚a fyrans
uppgift.
2000 · 1, 05x = 10000 · 1, 025x
1, 05x =
10000 · 1, 025x
2000
5
1, 05x
10000
=
x
1, 025
2000
x
1, 05
= lg (5)
lg
1, 025x
x 1, 05
lg
= lg (5)
1, 025
1, 05
x · lg
= lg (5)
1, 025
x=
lg
lg (5)
1,05
1,025
Stoppar jag in detta i minir¨aknaren s˚a f˚ar jag att x ≈ 67 vilket inneb¨ar att
efter 67 m˚anader s˚a skulle kaninpopulationerna vara lika stora.
Alternativt svar:
Jag har st¨allt upp ett problem d¨ar jag s¨oker ett x som a¨ r gemensamt f¨or 2
”fr˚agor”.
Jag kan till exempel s¨oka ”efter hur m˚anga a˚ r a¨ r v¨ardet p˚a mina funktioner
lika stort?”. Jag t¨anker mig att jag har satt in 2000 kronor p˚a ett sparkonto
med en r¨anta p˚a 5% och 10000 kronor p˚a ett konto med 2.5% r¨anta. Efter
hur m˚anga a˚ r har jag lika mycket pengar p˚a b˚ada mina konton?
Ber¨aknas p˚a samma s¨att som f¨or fr˚aga fyra och svaret blir: x = 67
Kommentar: Det tar ett helt vuxet liv f¨or att f˚a lika mycket pengar p˚a b˚ada
mina konton. D˚a har jag dock 52 567 kronor p˚a kontot, s˚a visst l¨onar det
sig att spara med r¨anta p˚a r¨anta!
6