1. No category

¨ B, 2011-05-26
Tentamen KFK090 for
Tillåtna hj¨alpmedel: Minir¨aknare (med tillhorande
handbok), utdelat for¨
melblad med tabellsamling.
Slutsatser skall motiveras och ber¨akningar redovisas.
For
¨ godk¨ant kr¨avs att totala po¨angantalet på tentamen a¨ r minst 30.
1. Ett protein har diffusionskonstanten 1 · 10−6 cm2 s−1 vid 298 K. I en cell
a¨ r avståndet a¨ r 10 µm mellan cellk¨arna och cellmembran.
(a) Hur lång tid tar det i genomsnitt for
¨ proteinmolekylerna att diffundera från cellk¨arnan till cellmembranet vid 298 K?
(b) Hur lång tid skulle det ta for
¨ proteinet i (a) att diffundera denna
str¨acka vid temperaturen 37◦ C? Viskositeten for
¨ vatten a¨ r ca 1.3
◦
◦
gånger hogre
vid 25 C a¨ n vid 37 C.
¨
(6p)
2. En okatalyserad hastighetskonstant a¨ r k0 = 4 · 103 M−1 s−1 vid T =
300 K. I n¨arvaro av ett enzym okar
hastighetskonstanten till kcat =
¨
7 · 109 M−1 s−1 vid T = 300 K.
(a) Hur mycket s¨anker enzymet ∆G‡ ?
(b) Du a¨ r inte riktigt nojd
¨ med ditt enzym utan funderar (tillsammans med en duktig kvantkemist) ut hur du skall mutera det
aktiva s¨atet så transition state binder lite starkare till enzymet
(l¨agre ∆U‡ ). N¨ar du m¨ater katalyshastigheten visar det sig att
hastighetskonstanten tyv¨arr minskat ist¨allet. Vad kan ha gått fel?
(6p)
25◦ C
3. Ber¨akna medelaktivitetsfaktorn vid
for
som
¨ AlCl3 i en losning
¨
forutom
1 mM AlCl3 också innehåller 5 mM NaCl. Losningens
die¨
¨
lektricitetskonstant a¨ r 78.5 och minsta avståndet mellan Al3+ och Cl−
kan s¨attas till 3 Å.
(6p)
4. Ber¨akna den elektrostatiska interaktionsenergin mellan de två laddningsfordelningarna
B och C. Koordinaterna for
¨
¨ de olika laddningarna i fordelningarna
B och C a¨ r:
¨
B1
B2
q
+e
+e
(x, y, z)
(−2Å, 0, 2Å)
(−2Å, 0, 0)
C1
C2
q
−e
−e
(x, y, z)
(2Å, 0, 0)
(2Å, 0, −2Å)
!
%"
#"
$"
!"
&"
(6p)
1
5.
(a) Hur går en Monte Carlosimulering till och vilka samband anv¨ands
vid denna typ av simulering? (Du behover
inte skriva upp ekva¨
tionerna utan bara n¨amna de samband som behovs
¨ och hur de
anv¨ands.)
(4p)
(b) N¨ar a¨ r det l¨ampligt att anv¨anda en molekyldynamiksimulering
ist¨allet for
(2p)
¨ en Monte Carlosimulering?
6. En kromatografikolonn a¨ r 20 cm lång med
en radie av 8 mm. Insidan av kolonnen a¨ r
t¨ackt med ett 2 mm tjockt lager station¨ar
fas (se bild till hoger).
¨
Den mobila fasens hastighet a¨ r 1 mm s−1 .
En analyt passerar kolonnen efter 304 s.
Vad a¨ r fordelningskoefficienten
mellan den station¨ara fasen och den
¨
mobila fasen for
(6p)
¨ analyten?
7. Nedanstående figur visar fasdiagrammet for
¨ systemet vatten−2-metylpiperidin.
T (° C)
1 Phase
240
180
2 Phases
120
0.05
0.15
0.25
x 2-methyl-piperidine
0.35
(a) Vad a¨ r halten 2-metylpiperidin i de båda faserna vid j¨amvikt då
T = 180◦ C och totalsammans¨attningen x2−metylpiperidin = 0.25?
(b) Hur stor del av systemet (i mol%) befinner sig i fasen med
l¨agst halt 2-metylpiperidin vid denna temperatur och totalsammans¨attning?
(c) Vilka egenskaper (minst två) hos fasdiagrammet gor
¨ att man
direkt ser att detta system inte kan beskrivas s¨arskilt v¨al med vår
vanliga Bragg-Williamsmodell?
(6p)
8. Ett protein har en nettoladdning på q = −5e och en radie på 10 Å.
50 mmol (millimol!) av proteinet placeras i ett tvåfassystem bestående
av en 1 mol vatten (εr = 80) och 1 mol hexan (εr ≈ 2).
(a) Uppskatta med hj¨alp av Bornekvationen hur många mol av proteinet kan man forv¨
¨ anta sig hamnar i vattenfasen vid 298 K.
Du får anta att proteinets struktur a¨ r lika i b¨agge faserna.
(b) For
vi ett ganska
¨ ett så stor molekyl som ett protein forsummar
¨
stort bidrag till skillnaden i den fria solvatiseringsenergin mellan
de b¨agge faserna i uppgift (a).
Vilket a¨ r det bidraget? Skulle vattenfasen losa
¨ mer eller mindre
protein om vi tog med detta bidrag i ber¨akningen?
2
(6p)
9. Forklara
foljande
två experimentella observationer om proteinstabili¨
¨
tet!
(a) Proteiner med hog
¨ ytladdning tenderar att bli instabila om salthalten a¨ r for
¨ låg.
(b) Vi vet att proteiner denaturerar vid hoga
¨ temperaturer (typiskt
mellan 40◦ C och 90◦ C). Men proteiner denaturerar a¨ ven vid låga
temperaturer (< 0◦ C), så kallad kalldenaturering. Varfor?
¨
Ledning: ∆Cp a¨ r mycket stor for
¨ proteindenaturering, typiskt flera
−1
−1
kJ K mol .
(6p)
10. g(r) for
minimum då r =
¨ flytande vatten vid 25◦ C har sitt forsta
¨
3.325 Å. Den forsta
toppen i g(r) (i intervallet 0 < r < 3.325 Å) for
¨
¨
vatten vid 25◦ C approximeras ganska v¨al av funktionen


då 0 ≤ r < 2

 0
2
g(r) ≈ 
(r−2.8665)

+ 0.2601 · (r − 1.6103)2 då 2 ≤ r ≤ 3.325
 2.6462 · exp − 0.0341
d¨ar r skall anges i Å.
(a) Ber¨akna antalet n¨armaste grannar som varje vattenmolekyl har
i flytande vatten vid 25◦ C. Vattens densitet a¨ r 997 kg m−3 vid
denna temperatur.
Ledning: For
¨ att losa
¨ den integral du får a¨ r det nodv¨
¨ andigt att
anv¨anda r¨aknarens integrationsfunktion.
(b) J¨amfor
¨ resultatet i (a) med vad du forv¨
¨ antar dig for
¨ is.
3
(6p)
Losningar
¨
KFK090 for
¨ B, 2011-05-16
1.
(a) Medelkvadratiska forflyttningen
a¨ r hr2 i = 6Dt, så att t = 167 ms.
¨
(b) Enligt Stoke-Einsteins ekvation a¨ r D proportionell mot T/η. Alltså a¨ r tiden proportionell mot η/T. Diffusionstiden vid 37◦ C a¨ r
1 310
alltså 167 · 1.3
/ 298 = 123 ms.
2.
(a) Enligt Eyringekvationen a¨ r hastighetskonstanten proportionell
‡
mot e−∆G /(RT) . Kvoten mellan hastighetskonstanterna a¨ r alltså
‡
‡
‡
kkat
= e−(∆Gkat −∆G0 )/(RT) = e−∆∆G /(RT) = 1.73 · 106
k0
så att ∆∆G‡ = −36 kJ mol−1 .
(b) En rimlig forklaring
a¨ r att den starkare interaktionen till transi¨
tionstate också gor
¨ bindingen “tajtare”, så att entropin minskar
mer a¨ n entalpin minskar. Då okar
∆G‡ ist¨allet for
¨
¨ att minska.
3. Vi anv¨ander
ln γA = −KDH ·
z2A
1/κ + b
Eftersom
√ temperaturen a¨ r 298 K kan vi anv¨anda genv¨agarna 1/κ =
a¨ r
3.044/ I/1M Å och KDH = 3.57 Å. Jonstyrkan i losningen
¨
I=
1
1 · (+3)2 + 3 · (−1)2 + 5 · (+1)2 + 5 · (−1)2
2
1
= (9 + 3 + 5 + 5) = 11 mM = 11 · 10−3 M
2
så att Debyel¨angden a¨ r
1
= 29.02 Å
κ
Detta ger
ln γAl3+ = −1.0033
⇔
γAl3+ = 0.367
ln γCl− = −0.112
⇔
γCl− = 0.895
Medelaktivitetsfaktorn a¨ r
γ± = (γ1Al3+ γ3Cl− )1/4 = 0.72
4. Man kan gora
¨ på två s¨att. Man kan ber¨akna elektriska potentialen från
den ena laddningsfordelningen
på var och en av laddningarna i den
¨
andra, multiplicerar med laddningarnas storlek och adderar. Man kan
också direkt summera de Coulumbinteraktionerna. Vi tar det forsta
¨
alternativet.
Vi behover
forst
avstånden:
¨
¨
p
rB1 C1 = (2 − (−2))2 + (0 − 0)2 + (0 − 2)2 = 4.47 Å
rB1 C2 = 5.66 Å
rB2 C1 = 4 Å
4
rB2 C2 = 4.47 Å
Detta ger potentialen från laddningsfordelning
B på de två laddning¨
arna i C
!
1
e
1
·
= 6.82 V
ψC1 =
+
4πε0 rB1 C1 rB2 C1
!
e
1
1
ψC2 =
·
+
= 5.77 V
4πε0 rB1 C2 rB2 C2
Interaktionsenergin a¨ r nu
u = −eψC1 − eψC2 = −2.02 · 10−18 J = −1214 kJ mol−1
5. Se sista forel¨
¨ asningen och simuleringslaborationen.
6. Vi behover
faskvoten, kvoten mellan station¨ara och mobila fasens
¨
volymer (L a¨ r kolonnens l¨angd):
φ=
(π(8mm)2 − π(6mm)2 ) · L (8mm)2 − (6mm)2
Vs
=
=
= 0.778
Vm
π(6mm)2 · L
(6mm)2
Medelhastigheten for
¨ analyten a¨ r hvi = 200/304 = 0.658 mm/s. Medelhastigheten for
en
analyt i en kromatografisk kolonn ges av
¨
vm
1 + Kφ
hvi =
7.
⇔
K=
vm − hvi
= 0.669
hvi · φ
(a) Ur diagrammet avl¨aser vi x0 = 0.014 och x00 = 0.31. Fasen ’ a¨ r den
med l¨agst halt 2-metylpiperidin.
(b) H¨avstångsregeln ger
n0
0.31 − 0.25
=
= 0.24
00
n
0.25 − 0.014
vilket ger
n0
1
1
=
= 19%
00 =
0
00
n
n +n
1 + 1/0.24
1 + n0
(c) Systemet uppvisar ytterligare en kritisk punkt (vid låg temperatur). I BW upptr¨ader bara en kritisk punkt (vid hog
¨ temperatur).
Fasdiagrammet a¨ r a¨ ven kraftigt osymmetriskt. I BW upptr¨ader
den kritiska punkten vid x = 0.5.
8.
(a) Bornekvationen ger
∆el G =
NA (5e)2
1
1
·
−
= −847 kJ mol−1
8πε0 · 10 · 10−10 80 2
Detta a¨ r alltså en mycket gynnsam process. Vi kan forv¨
¨ anta oss
att halten i hexanfasen blir mycket låg. Om detta a¨ r enda bidraget
till den fria energin har vi
ln K = ln
xaq
xhexan
=−
∆el G
= 342
RT
så att K = e342 , vilket a¨ r ett fantastiskt stort tal. Vi kan alltså
forv¨
¨ anta oss att hela m¨angden (50 mmol) hamnar i vattenfasen.
5
(b) Det vi forsummar
a¨ r kostnaden i fri energi att oppna
en kavitet i
¨
¨
vattenfasen (vi får a¨ ven tillbaks lite genom att st¨anga kaviteten i
hexanfasen). Eftersom ytsp¨anningen i vatten a¨ r hogre
a¨ n hexan
¨
kan vi forv¨
¨ anta oss att detta minskar halten i vattnet.
Om man vill, kan man uppskatta denna kostnad från a¨ mnenas
ytsp¨anning
∆Gγ ≈ NA ·4πa2 ·(γH2 O −γhexan ) ≈ NA ·4πa2 ·(25−73)·10−3 = 363 kJ mol−1
Detta a¨ r n¨astan h¨alften av den elektrostatiska delen av solvatiseringsenergin, fast med omv¨ant tecken. Detta gor
¨ att vattenfasen
skulle losa
¨ lite mindre av proteinet (totala ∆solv G a¨ r dock fortsatt
starkt negativ).
9.
(a) Vid hog
¨ salthalt sk¨armar saltet laddningarna på ytan så att deras inbordes
repulsion inte blir så stor (se PB’s ekvation). Vid
¨
låg salthalt minskar denna sk¨armning och repulsionen mellan
ytladdningarna destabiliserar proteinet.
(b) Detta a¨ r den hydrofoba effekten! Det stora ∆Cp gor
¨ att losligheten
¨
av de hydrofoba inre delarna av proteinet i vatten har ett minimum (runt fysiologisk temperatur). D¨ar a¨ r proteinet veckat.
Vid hogre
temperaturer “loser”
vatten de inre delarna b¨attre och
¨
¨
proteinet denaturerar. D¨ar a¨ r effekten entropiskt driven. Vid låga
temperaturer denaturerar proteinet också, men d¨ar a¨ r processen
entalpiskt driven.
10.
(a) Antalet n¨armaste grannar a¨ r
Z
n = 4πhρi
3.325·10−10 m
g(r)r2 dr
0
d¨ar hρi = NA · 997/18.015 · 10−3 = 3.333 · 1028 m−3 .
Om man vill integrera med Å som enhet (och det vill man eftersom Å a¨ r enheten for
¨ r i g(r)!) måste man antingen gora
¨ om
densiteten till Å−3 eller skala om integralen med en faktor 10−30 .
Vi får alltså (i båda fallen)
3.325
Z
n = 10−30 · 4πhρi
g(r)r2 dr = 4.52
0
(b) I is a¨ r antalet n¨armaste grannar 4. Flytande vatten a¨ r alltså något
t¨atare a¨ n is. Ofta tolkar man detta som att en femte vattenmolekyl
delvis penetrerar det tetraedriska n¨atverket. Det a¨ r denna femte
vattenmolekyl som t.ex. gor
¨ att dynamiken a¨ r så v¨aldigt snabb
trots den hoga
¨ graden av v¨atebidningar.
6