1. No category

K-uppgifter
K–1 Best¨am resultanten till de b˚
ada krafterna. Ange storlek och vinkel i f¨orh˚
allande
till x-axeln.
y
4N
x
7N
K–2 Best¨am kraftens komposanter l¨angs x- och y-axeln.
y
P = 25 kN
30°
x
K–3 Best¨am resultanten till de b˚
ada krafterna. Ange storlek och vinkel i f¨orh˚
allande
till x-axeln.
y
16 kN
12 kN
50°
x
K–4 En balk belastas med en j¨amnt utbredd last. Ers¨att den utbredda lasten med en
statiskt ekvivalent punktlast. Storlek, riktning och angreppspunkt skall anges.
q0 = 5 kN/m
2.5 m
K–5 En balk belastas med en utbredd last som varierar linj¨art mellan 0 och 5 kN/m
l¨angs balken. Ers¨att den utbredda lasten med en statiskt ekvivalent punktlast.
Storlek, riktning och angreppspunkt skall anges.
5 kN/m
2.5 m
K–6 En balk belastas med en j¨amnt utbredd last l¨angs en del av l¨angden. Ers¨att
den utbredda lasten med en statiskt ekvivalent punktlast. Storlek, riktning och
angreppspunkt skall anges.
q0
0.4 L
L
K–7 Best¨am momentet av lasten P = 50 N kring punkten A f¨or de tv˚
a fallen nedan.
50 N
a)
50 N
b)
60°
A
A
200 mm
200 mm
K–8 Tv˚
a klot med massorna m1 = 3 kg och m2 = 5 kg h¨anger i tv˚
a linor varav den
¨oversta ¨ar f¨ast i taket.
(a) Fril¨agg det undre klotet.
(b) Best¨am kraften i den undre linan.
(c) Fril¨agg de b˚
ada kloten inklusive linan mellan dem.
(d) Best¨am kraften i den ¨ovre linan.
m1
m2
K–9 En l˚
ada h¨anger i tv˚
a linor som ¨ar f¨asta i taket
(a) Fril¨agg l˚
adan och best¨am kraften i linan CD.
(b) Fril¨agg punkten C.
(c) Best¨am kraften i linorna AC och BC.
0.8 m
1.6 m
A
B
0.8 m
C
D
m = 20 kg
K–10 Tv˚
a personer sitter p˚
a en gungbr¨ada. De har placerat sig s˚
a att gungbr¨adan
st˚
ar stilla i horisontellt l¨age enligt figuren. Personen till h¨oger v¨ager 45 kg. Hur
mycket v¨ager personen till v¨anster?
m = 45 kg
A
1.5 m
1.2 m
K–11 En balk belastas med en j¨amnt utbredd last l¨angs en del av sin l¨angd samt
med en punktlast med riktning enligt figur.
(a) Fril¨agg balken. Upplaget i A ¨ar en led som kan ¨overf¨ora kraft i horisontalled och vertikalled (fixlager). I B kan balken glida fritt i horisontalled
s˚
a h¨ar kan endast kraft o¨verf¨oras i vertikalled (rullager).
(b) Ber¨akna den horisontella upplagskraften i A genom att st¨alla upp en
horisontell j¨amviktsekvation.
(c) Ber¨akna den vertikala upplagskraften i A genom att st¨alla upp en momentj¨amvikt kring punkten B.
(d) Ber¨akna den vertikala upplagskraften i B genom att st¨alla upp en momentj¨amvikt kring punkten A.
(e) Kontrollera tidigare resultat genom att st¨alla upp en vertikal j¨amviktsekvation och verifiera att vertikal j¨amvikt r˚
ader.
10 kN/m
30°
50 kN
A
B
4m
2m
2m
K–12 En tr¨aregel med tv¨arsnittsm˚
atten 45 mm × 70 mm ¨ar belastad med en normalkraft p˚
a 28 kN som angriper i tv¨arsnittets tyngdpunkt. Best¨am normalsp¨anningen i regeln och illustrera sp¨anningen i en figur.
N = 28 kN
K–13 En st˚
alprofil HEA 200 a¨r utsatt f¨or en konstant normalsp¨anning p˚
a 180 MPa
¨over hela tv¨arsnittsytan . Hur stor ¨ar normalkraften i tv¨arsnittet? Se Appendix
C f¨or tv¨arsnittsdata.
K–14 Figuren visar ett fundament till en pelare i en byggnad. Fundamentet ¨ar
kvadratiskt med sidl¨angden 2 m och belastas med 280 kN fr˚
an pelaren. Fundamentets egentyngd a¨r 35 kN. Best¨am trycksp¨anningen mellan fundament och
markyta. Antag att sp¨anningen ¨ar j¨amnt f¨ordelad.
280 kN
fundament
35 kN
2m
markyta
K–15 Figuren visar en ber¨akningsmodell f¨or en konsol till en tr¨ahylla. St¨angerna
i konsolen skall ha kvadratiskt tv¨arsnitt och alla skall ha samma dimension.
Best¨am minsta m¨ojliga dimension om trycksp¨anningen i tr¨aet h¨ogst f˚
ar uppg˚
a
till 21 MPa och dragsp¨anningen h¨ogst f˚
ar uppg˚
a till 14 MPa.
0.35 m
A
B
10 kN
0.35 m
C
K–16 Ett stag av aluminium belastas av en dragkraft enligt figuren. Staget ¨ar 3.8 m
l˚
angt och har en diameter p˚
a 2 mm. Elasticitetsmodulen ¨ar 75 GPa. Om sp¨anningen inte f˚
ar ¨overskrida 60 MPa och st¨orsta till˚
atna f¨orl¨angning av staget ¨ar
3 mm, hur stor kan d˚
a lasten P vara?
P
P
K–17 En 14 m l˚
ang balk i en bro har tv¨arsnittsarean A = 17800 mm2 , l¨angdutvidgningskoefficienten α = 12 · 10−6 ◦ C−1 och elasticitetsmodulen E = 210
GPa. Bron a¨r utf¨ord med r¨orelsefogar f¨or att kunna ta upp l¨angd¨andringar
p.g.a. temperatur¨andringar. Detta betyder att bron kan l¨angd¨andras helt fritt.
Antag att balken har monterats vid en temperatur p˚
a +5 ◦ C .
(a) Best¨am t¨ojningen i balken om temperaturen minskar till −25 ◦ C .
(b) Best¨am t¨ojningen i balken om temperaturen o¨kar till 40 ◦ C .
(c) Best¨am balkens l¨angd¨andring vid en temperatur¨andring fr˚
an 5 till 40 ◦ C
(d) Om balken hade monterats med perfekt passning och r¨orelsefogar inte
hade funnits (d.v.s. antag att balken ¨ar fullst¨andigt f¨orhindrad att r¨ora
sig), vilken sp¨anning hade d˚
a uppst˚
att i balken vid 40 ◦ C ?
(e) Vilken normalkraft motsvarar detta?
K–18 En r¨al har tv¨arsnittsarean A = 63.7 cm2 , l¨angdutvidgningskoefficienten α =
12 · 10−6 ◦ C−1 och elasticitetsmodulen E = 210 GPa. Antag att r¨alen ¨ar f¨orhindrad att r¨ora sig p.g.a. att den sitter fast i slipers samt att den ¨ar sp¨anningsfri vid en temperatur p˚
a +5 ◦ C.
(a) Best¨am sp¨anningen i r¨alen om temperaturen minskar till −25 ◦ C .
(b) Best¨am sp¨anningen i r¨alen om temperaturen ¨okar till 40 ◦ C.
(c) Best¨am normalkraften i r¨alen vid 40 ◦ C.
(d) Vilken l¨angd¨andring skulle en temperatur¨andring fr˚
an 5 till 40 ◦ C ge f¨or
1 km r¨al som var fri att r¨ora sig?
K–19 Figuren visar en sliper som belastas av ett t˚
ags hjulaxel. Antag att trycket q
fr˚
an ballasten mot slipern ¨ar j¨amnt f¨ordelat.
(a) Best¨am genom j¨amvikt hur stort trycket fr˚
an ballasten p˚
a slipern ¨ar uttryckt i N/m.
(b) Best¨am tv¨arkrafts- och momentdiagram f¨or slipern.
110 kN
110 kN
q
498
1504
2500
498
[mm]
K–20 I figuren visas tv˚
a fall d¨ar en balk uts¨atts f¨or en last som ger upphov till
b¨ojning.
(a) Skissa hur balkarna kommer att deformeras.
(b) Ange neutrala lagrets l¨age. Vad g¨aller f¨or sp¨anningen i neutrala lagret?
(c) Blir det drag- eller trycksp¨anning vid balkens ¨ovre yta? (hitre yta i b)
Illustrera sp¨anningens riktning i en figur.
(d) Blir det drag- eller trycksp¨anning vid balkens undre yta? (bortre yta i b)
Illustrera sp¨anningens riktning i en figur.
(e) Skissa balkens momentdiagram och best¨am maxmomentet f¨or fall a) med
hj¨alp av appendix B
(f) I de undre figurerna har balkarna snittats omedelbart f¨ore lasten och
frilagts. Upplagskraft och tv¨arkraft har ritats in i den riktning de verkar.
Rita in det obekanta momentet i snittet i positiv riktning, anv¨and h¨ogerhandsregeln. Kring vilken axel b¨ojer momentet? Vilket index skall momentet
ha?
(g) Best¨am momentet genom momentj¨amvikt kring z-axeln respektive yaxeln.
a)
b)
P
P
y
L
z
y
L
x
P/2
y
z
y
P/2
L/2
z
P/2
x
L/2
z
x
P/2
x
K–21 En fritt upplagd balk belastas med j¨amnt utbredd last enligt figuren. Vilken
HEA-profil kr¨avs om normalsp¨anningen h¨ogst f˚
ar vara 235 MPa? Balken b¨ar
i styva riktningen.
15 kN/m
3.6 m
K–22 En fast insp¨and tv˚
av˚
aningspelare i betong ¨ar belastad med en centrisk last p˚
a
400 kN i pelartopp samt med en excentrisk last p˚
a 300 kN vid f¨orsta bj¨alklaget.
Pelarens tv¨arsnitt ¨ar rektangul¨art med m˚
atten 0.3 m × 0.5 m.
(a) Best¨am normalkraft och b¨ojmoment i pelarens insp¨anningssnitt.
(b) Best¨am normalsp¨anningens f¨ordelning vid insp¨anningssnittet och visa resultatet i figur.
400 kN
3m
300 kN
0.5 m
0.5 m
3m
K–23 En betongmur uts¨atts f¨or vattentryck p˚
a ena sidan. Betongen har densitet
3
2400 kg/m och vattnet har densitet 1000 kg/m3 .
(a) Best¨am st¨orsta drag- och trycksp¨anning vid murens insp¨anningssnitt d˚
a
vattnet n˚
ar till ovankanten av muren, d.v.s. d = 1.8 m.
(b) Vilket vattendjup d kan till˚
atas utan att det uppst˚
ar dragsp¨anning i insp¨anningssnittet?
0.3 m
1.8 m
d
K–24 Ett balktv¨arsnitt med m˚
atten 45 mm × 145 mm uts¨atts f¨or en tv¨arkraft Vy = 5
kN. Best¨am skjuvsp¨anningen vid snitt 1, 2 och 3.
y
1
36.25
2
36.25
z
3
145
45
mm
K–25 En fritt upplagd balk belastas med en j¨amnt utbredd last p˚
a 10 kN/m. Balken
atten 95 mm × 315 mm. Hur stor kan
¨ar utf¨ord i limtr¨a med tv¨arsnittsm˚
sp¨annvidden L maximalt vara om normalsp¨anningen h¨ogst f˚
ar uppg˚
a till 15
MPa och skjuvsp¨anningen h¨ogst f˚
ar uppg˚
a till 1.7 MPa.
10 kN/m
L
K–26 Ett balktv¨arsnitt enligt figuren uts¨atts f¨or en tv¨arkraft p˚
a 300 kN.
(a) F¨or att best¨amma skjuvsp¨anningen vid neutrala lagret beh¨ovs det statiska
momentet. Ber¨akna det statiska momentet p˚
a tv˚
a s¨att: 1) Betrakta ¨ovre
halvan av tv¨arsnittet som avskjuvad area och best¨amm tyngdpunktens
l¨age f¨or denna yta. 2) Best¨am ist¨allet statiska momentet genom att l¨agga
ihop det statiska momentet f¨or tv˚
a enkla delytor; o¨vre fl¨ansen samt o¨vre
halvan av livet.
(b) F¨or att best¨amma skjuvsp¨anningen beh¨ovs tv¨arsnittets yttr¨oghetsmoment. Best¨am a¨ven detta p˚
a tv˚
a s¨att. 1) Dela upp tv¨arsnittet i enkla delytor och anv¨and Steiners sats. 2) Ber¨akna tr¨oghetsmomentet genom att ta
tr¨oghetsmomentet f¨or ett rektangul¨art tv¨arsnitt med m˚
atten 250×400 och
dra ifr˚
an tr¨oghetsmomentet f¨or de tv˚
a rektanglar som best˚
ar av ”‘luft”.
(c) Best¨am den maximala skjuvsp¨anningen i tv¨arsnittet.
(d) Best¨am ett approximativt v¨arde p˚
a maximala skjuvsp¨anningen genom
att anv¨anda τ = V /Aliv .
15
10
200
15
200
mm
K–27 En HEA 220-balk ¨ar upplagd och belastad enligt figuren. Materialet ¨ar elastisktidealplastiskt med flytsp¨anning σs = 355 MPa.
(a) Best¨am hur stor lasten P kan vara om ingen plasticering till˚
ats i balken.
Utnyttja appendix B.
(b) Best¨am hur stor lasten P kan vara om flytleder accepteras. Antag h¨ar ett
moment-kr¨okningssamband enligt figur 7-10.
P
2.75 m
5m
K–28 En konsolbalk ¨ar belastad med en punktlast i konsolspetsen enligt figuren.
Balken a¨r en HEA300-profil med elasticitetsmodul 210 GPa. Best¨am med hj¨alp
av appendix B utb¨ojningen i konsolspetsen samt 1.0 m fr˚
an inf¨astningen.
50 kN
2.5 m
K–29 En fritt upplagd balk belastas med en j¨amnt utbredd last samt ett punktmoment i vardera balk¨anden enligt figuren. Balken har I = 234 · 10−6 m4 och
E = 13 GPa.
(a) Best¨am balkens momentdiagram.
(b) Best¨am balkens mittnedb¨ojning.
13 kN/m
5 kNm
10 kNm
4.8 m
Svar till K-uppgifter
K–1 8.06 N
29.7◦
K–2 Px = 21.65 N
Py = 12.50 N
K–3 12.38 kN
98.0◦
K–4 12.5 kN, riktad ned˚
at, 1.25 m fr˚
an v¨anster ¨ande.
K–5 6.25 kN, riktad ned˚
at, 1.67 m fr˚
an v¨anster ¨ande.
K–6 0.4q0 L, riktad ned˚
at, 0.2L fr˚
an v¨anster ¨ande.
K–7 (a) M = 10.0 Nm
(b) M = 8.67 Nm
K–8
F2
m1
m1
F1
m1 g
m2
m2
m2 g
m2 g
F1 = 49.05 N
F2 = 78.48 N
K–9
FCD
b)
FBC
FAC
a)
20 g
FCD = 196.2 N
FAC = 146.2 N
FBC = 185.0 N
FCD
K–10 36 kg
K–11 (a)
10 kN/m
30°
50 kN
A
10 kN/m
B
30°
50 kN
RAx
RAy
RBy
4m
(b) RAx = 25 kN
(c) RAy = 40.83 kN
(d) RBy = 42.48 kN
K–12
s = 8.9 MPa
(A = 5383 mm2 )
K–13 N = 969 kN
K–14 σ = −78.7 kPa
K–15 27 mm
(NAB = NAC = 10 kN, NBC = −14.1 kN
drag: 26.7 mm, tryck: 25.9 mm)
K–16 P ≤ 186 N
(σ: P ≤ 188 N, δ: P ≤ 186 N)
K–17 (a) ǫ = −0.00036 ( <0 krympning)
(b) ǫ = 0.00042 ( >0 utvidgning)
(c) δ = 5.9 mm
(d) σ = −88.2 MPa
(e) N = −1570 kN (tryck)
K–18 (a) σ = 75.6 MPa
(b) σ = −88.2 MPa
(c) N = −562 kN (tryck)
2m
2m
(d) δ = 0.42 m
K–19 (a) q = 88 kN/m
(b)
-13.97 kNm
-10
x [m]
0
0.5
1.0
1.5
2.0
10
10.91 kNm
10.91 kNm
M(x) [kNm]
K–20 (a)
Neutrala lagret
tryck
drag
tryck
drag
(b) σ = 0 i neutrala lagret
(c) Trycksp¨anning i balkens l¨angsriktning
(d) Dragsp¨anning i balkens l¨angsriktning
(e)
x
M
PL
4
(f)
P/2
y
y
P/2
Mz =
z
PL
4
K–21 HEA 120
z
x
L/2
(g) Mz =
My = -
PL
4
My = −
L/2
PL
4
x
PL
4
(Wel ≥ 103.4 · 10−6 m3 )
K–22 (a) N = −700 kN, M = 150 kNm, drag till v¨anster
(b)
0.5 m
-16.67 MPa
7.33 MPa
K–23 (a) σdrag = 593 kPa (p˚
a vattensidan)
σtryck = −678 kPa
(b) d = 0.73 m
K–24 (a) τ = 0
(b) τ = 0.86 MPa
(c) τ = 1.15 MPa
K–25 L ≤ 4.22 m
Skjuvsp¨anning: L ≤ 6.42 m
K–26 (a) A¯
y = 0.3136 · 106 mm3
(b) I = 55.54 · 106 mm4
(c) τ = 169 MPa
(d) τ ≈ 176 MPa
K–27 (a) P ≤ 190.6 kN
(b) P ≤ 252.5 kN
MA = 0.96P , MB = 0.71P , Me = 182.8kNm
Mp = 201.6 kNm, f¨orsta flytled vid P = 210.3 kN
K–28 vB = −6.8 mm (vB < 0 ⇒ utb¨ojning ned˚
at)
v1 = −1.4 mm
K–29 (a)
-10
0
10
20
30
x [m]
1
2
3
4
5
Mmitt = 29.9 kNm
M(x) [kNm]
(b) vmitt = −0.0224 m