1. No category

Rapport LUTFD2/TFHF-3090/1-17/(2013)
Ledningar till ¨
ovningsuppgifter
i Teknisk mekanik
H˚
akan Hallberg
Avd. f¨or H˚
allfasthetsl¨ara
Lunds Universitet
December 2014
Kapitel 1
1.1
Bilda f¨orst vektorn mellan punkterna A och B: rAB = r B − r A . Normera, det vill s¨aga
dividera vektorn r AB med vektorns l¨angd |rAB |, vilket ger enhetsvektorn rˆAB = Fˆ (d¨ar
F = 2.5 kN inf¨orts f¨or att beteckna kraftens belopp). Kraftvektorn ges nu genom att
multiplicera kraftens belopp med enhetsvektorn i kraftens riktning: F = F Fˆ = 2.5 kN.
1.2
Dela upp de tv˚
a krafterna i x- och y-komposanter. Addera sedan x-komposanterna f¨or sig
och y-komposanterna f¨or sig.
1.3
Alternativ 1 : Dela upp kraften i tv˚
a vinkelr¨ata komposanter och multiplicera med respektive vinkelr¨at h¨avarm. Summera bidragen till momentet kring punkten c. T¨ank p˚
a vilken
riktning de tv˚
a delmomenten har! Alternativ 2 : Best¨am direkt det vinkelr¨ata avst˚
andet
mellan kraftens verkningslinje och punkten c. Detta ¨ar kraftens vinkelr¨ata h¨avarm. Multiplicera kraften med h¨avarmens l¨angd. OBS : B˚
ada alternativen ger samma resultat!
1.4
Kraften som skall l¨aggas i tyngdpunkten ¨ar resultanten till, det vill s¨aga summan av, de
fyra krafterna. Momentet ¨ar i sin tur summan av de fyra krafternas moment med avseende
p˚
a tyngdpunkten. T¨ank p˚
a riktningarna f¨or respektive delmoment!
1.5
Teckna vektorn som utg¨or diagonalen i parallellepipeden: l¨agesvektorn f¨or nedre, fr¨amre,
h¨ornet minus l¨agesvektorn f¨or ¨ovre, bakre, h¨ornet. Normera riktningsvektorn och multiplicera den resulterande enhetsvektorn med kraftens belopp.
1.6
Best¨am f¨orst riktnings(enhets)vektorn f¨or kraften, rˆBC = BC/|BC|, och skriv kraften som
en vektor p˚
a komposantform: F = Fx eˆx + Fy eˆy + Fz eˆz . Best¨am d¨arefter riktningsvektorn
as genom
l¨angs kranarmen: rˆAB = AB/|AB|. Linkraftens komposant i kranarmens riktning f˚
skal¨armultiplikation mellan kraften och riktningsvektorn l¨angs kranarmen. Komposanten
vinkelr¨at mot kranarmen ges genom att utnyttja Pythagoras sats: Fn2 +Fv2 = F 2 ⇒ Fv = ...
1.7
Teckna f¨orst kraften F som ligger i riktningen rˆAB d¨ar rAB = rB − r A . Teckna d¨arefter
komposanten i f¨ardriktningen sˆ som m˚
aste vara 90 N: Fs = F · sˆ = 90 N. Ur detta kan
storleken p˚
a F best¨ammas.
1
1.8
Momentet med avseende p˚
a punkten A ¨ar kryssprodukten mellan vektorn fr˚
an momentpunkten till kraftens angreppspunkt och kraftvektorn sj¨alv. Teckna vektorn och kraften p˚
a
komposantform och ber¨akna kryssprodukten.
1.10
Momentet med avseende p˚
a origo a¨r kryssprodukten mellan vektorn mellan momentpunkten, origo, och kraftens angreppspunkt A samt kraftvektorn P som g˚
ar i riktningen mellan
a komposantform. Utf¨or
punkterna A och B. Best¨am riktningsvektorn rˆAB och skriv P p˚
kryssprodukten. Det ¨ar momentets z-komponent som ¨ar 50 Nm (z-axeln sammanfaller med
g˚
angj¨arnsaxeln). Beloppet P av vektorn P kan nu l¨osas ut.
1.11
Alternativ 1 : Teckna tv˚
a kryssprodukter och summera bidragen. Alternativ 2 : Tag en
komposant i taget och utnyttja kraft g˚
anger h¨avarm. Momentets storlek ges i b˚
ada l¨osningsalternativen med hj¨alp av Pythagoras sats.
Kapitel 2
2.1
Fril¨agg anordningen ABC. Inf¨or (ok¨anda) krafter vid B och C, totalt 3 stycken. St¨all upp
j¨amviktsekvationerna (3 stycken) och l¨os ut krafterna. Delsvar : Krafterna i punkten C ¨ar
20 N i horisontalled och 50 N i vertikalled.
2.2
Fril¨agg l˚
adan och s¨att ut krafterna, en normalkraft vid varje hjul och en kraft fr˚
an mannens
h¨ander. St¨all upp tre j¨amviktsekvationer (tag l¨ampligen momentet kring l˚
adans h¨orn d¨ar
mannens h¨ander ¨ar). Vi har nu tre obekanta krafter men ocks˚
a tre ekvationer som g¨or det
m¨ojligt att best¨amma krafterna.
2.5
Bultsaxen best˚
ar av fyra delar. Fril¨agg f¨orst den ¨ovre h¨ogra delen (handtaget). S¨att ut
krafter p˚
a de st¨allen d¨ar delen skurits loss fr˚
an resten av bultsaxen. Totalt tv˚
a st¨allen
och tre krafter. St¨all upp j¨amviktsekvationerna inklusive moment kring den v¨anstra leden.
Fril¨agg ¨ovre v¨anstra delen och s¨att ut samtliga krafter. Momentj¨amvikt kring leden som
ligger p˚
a saxens symmetrilinje ger kraften.
2
2.7
Fril¨agg vagnen och s¨att ut samtliga krafter. Notera att det ¨ar ett plant problem med tre obekanta: linkraften, massan och b. St¨all upp tre j¨amviktsekvationer, inklusive momentj¨amvikt
kring tyngdpunkten, och l¨os ut b.
2.8
Kapa de b˚
ada linorna strax under taket och fril¨agg systemet som best˚
ar av mannen st˚
aende
p˚
a plankan, pressande mot st˚
angen. S¨att ut krafter d¨ar systemet skurits loss (i linorna)
samt p˚
a grund av tyngdkraften. En j¨amviktsber¨akning i vertikalled ger kraften i linorna.
Fril¨agg st˚
angen och s¨att ut krafterna som verkar p˚
a st˚
angen. Ber¨akna tryckkraften.
2.9
Fril¨agg locket inklusive h¨avarmen. S¨att ut krafterna: tyngdkraften, kraften i g˚
angj¨arnet
och kraften i linan. St¨all upp momentj¨amvikt kring g˚
angj¨arnet och ber¨akna linkraften
(=531 N). Fril¨agg trumman och ber¨akna vridmomentet Mv .
2.12
Fril¨agg stenen och s¨att ut krafterna S 1 , S 2 och S 3 samt tyngdkraften. Notera att det ¨ar ett
tredimensionellt problem. Skriv samtliga krafter p˚
a vektorform och utnyttja att linkrafternas riktningar ¨ar k¨anda (bilda respektive riktningsvektor). St¨all upp j¨amviktsekvationer i
x-, y- och z-led och ber¨akna krafterna S1 , S2 och S3 .
Kapitel 3
3.1
Sp¨anningen ges av kraften dividerad med tv¨arsnittsarean.
3.2
L¨agg en x-axel i st˚
angens l¨angdriktning, det vill s¨aga i kraftens riktning. F¨orl¨angningen
ges av t¨ojningen i x-led multiplicerad med ursprungsl¨angden. T¨ojningen ges av Hookes lag
(i x-led g¨aller σx = Eεx ) och sp¨anningen ges av kraften dividerad med tv¨arsnittsarean.
Tv¨arkontraktionen ges med hj¨alp av Poissons tal ν. Delsvar : εy = εz = −0.000176.
3.4
Rita ett diagram med kraften p˚
a den vertikala axeln och f¨orl¨angningen p˚
a den horisontella
axeln. Best¨am elasticitetsmodulen E genom att best¨amma sp¨anning och t¨ojning f¨or tv˚
a
punkter p˚
a den elastiska (linj¨ara) delen av dragprovkurvan. Best¨am till sist ett medelv¨arde.
3
3.6
F¨orl¨angningen ges av t¨ojningen multiplicerad med ursprungsl¨angden. T¨ojningen ges av
Hookes lag (sp¨anningen dividerad med elasticitetsmodulen). L¨os ut ursprunglig l¨angd d˚
a
den maximala sp¨anningen ¨ar lika med halva str¨ackgr¨ansen.
3.9
Fril¨agg halva wiren och s¨att ut linkrafterna som verkar i a¨ndarna av den halva wiren. T¨ank
p˚
a att wirekrafterna alltid ¨ar dragkrafter i wirens tangentriktning. Dela upp den wirekraft
(vid inf¨astningen) som inte ¨ar horisontell i en horisontell och en vertikal komposant. S¨att
ut tyngdkraften. Med hj¨alp av tre j¨amviktsekvationer kan de b˚
ada linkrafterna best¨ammas.
2
St˚
alets str¨ackgr¨ans ¨ar σs = 600 N/mm och med s¨akerhetsfaktorn n = 5 blir den till˚
at2
na sp¨anningen 120 N/mm . Anv¨and den st¨orsta linkraften f¨or att best¨amma den minsta
till˚
atna tv¨arsnittsarea p˚
a wiren.
3.11
St¨all de tre pelarna ovanp˚
a varandra. Den ¨oversta pelaren belastas med kraften F , n¨asta
med 2F och den understa med 3F . Ber¨akna kompressionen av varje pelare och addera
resultaten.
Kapitel 4
4.1
Skjuvsp¨anningen a¨r kraften dividerad med den sp¨anningsupptagande ytan, det vill s¨aga
fogytan.
4.2
T¨ank p˚
a hur m˚
anga skjuvytor som kraften ¨overf¨ors genom (tv˚
a skruvar med tv˚
a skjuvytor
vardera) och ber¨akna skjuvsp¨anningen. Maximalt till˚
aten skjuvsp¨anning ¨ar τs dividerad
med s¨akerhetsfaktorn. Detta ger den till˚
atna kraften.
4.3
Vid stansning skjuvas h˚
alet ut (t¨ank h˚
alslagare f¨or papper). Arean som tryckkraften f¨ordelas ¨over ¨ar h˚
alets cylindriska inneryta.
4.5
Varje sprint tar upp sp¨anning i tv˚
a skjuvytor. Vridmomentet som skall tas upp av en
sprint blir d˚
a tv˚
a g˚
angen skjuvsp¨anningen som en sprint b¨ar multiplicerad med sprintens
tv¨arsnittsarea (detta ger kraften) och sedan multiplicerad med halva handtagsdiametern
(detta ger h¨avarmen). Kraft g˚
anger h¨avarm ger moment.
4
Kapitel 5
5.1
Ber¨akna t¨ojningarna i x-, y- och z-led: εx = 0.8 × 10−3 , εy = 1 × 10−3 och εz = 0.5 ×
10−3 . Ber¨akna d¨arefter sp¨anningarna i x-, y- och z-led med hj¨alp av Hookes generaliserade
lag: σx = −43.4 N/mm2 , σy = 240 N/mm2 och σz = 162 N/mm2 . Multiplicera d¨arefter
sp¨anningarna med respektive area f¨or att f˚
a lasterna (krafterna).
5.3
Plan sp¨anning r˚
ader eftersom vi betraktar en fri yta. Materialdata f¨or duraluminium: G =
3
27 × 10 N/mm2 , E = 72 × 103 N/mm2 och ν = 0.32. Best¨am t¨ojningarna med hj¨alp av
Hookes generaliserade lag.
5.5
σx = 50 N/mm2 medan σy = 0 och τxy = 0 eftersom vi har enaxlig belastning. Med ϕ = 20◦
ges σξ = σϕ=20◦ = 44 N/mm2 och τξη = τϕ=20◦ = −16 N/mm2 , se figur. Multiplicera
sp¨anningarna med respektive area f¨or att f˚
a lasterna (krafterna).
ση
σy
τ ξη
τxy
σξ
ϕ + 90◦
ϕ
σx
σx
τxy
σξ
τ ξη
σy
ση
5.6
Plan sp¨anning r˚
ader. Hookes generaliserade lag ger: σx = 162 N/mm2 och σy = −90 N/mm2 .
Transformera sp¨anningarna med ϕ = 45◦ vilket ger σξ och τξη samt med ϕ = 45◦ + 90◦ =
135◦ vilket ger ση , se figur i ledningen till uppgift 5.5.
5.8
Utnyttja uttrycken f¨or huvudsp¨anningar i den kompletterande formelsamlingen vilket ger
huvudsp¨anningarna σ1 och σ2 samt huvudsp¨anningsriktningarna α1 och α2 . Maximala
skjuvsp¨anningen f˚
as fr˚
an motsvarande uttryck i den kompletterande formelsamlingen.
5
5.17
Materialdata f¨or rostfritt st˚
al: E = 220 N/mm2 och ν = 0.3. Med ε45◦ kan γxy best¨ammas
ur εϕ = ε45◦ . D¨arefter best¨ams huvudt¨ojningarna ε1 och ε2 med hj¨alp av motsvarande
formel i den kompletterande formelsamlingen. Huvudsp¨anningarna ges av Hookes lag: σ1 =
E
(ε1 + νε2 ) = 280 N/mm2 och σ2 = ... = 223 N/mm2 .
1−ν 2
Kapitel 6
6.1
Plan sp¨anning r˚
ader. Anv¨and uttryck i den kompletterande formelsamlingen f¨or att ber¨akna effektivsp¨anningen enligt von Mises d˚
a σx = σy = 0 och τxy = 100 N/mm2 . Effektivsp¨anningen enligt Trescas hypotes kan best¨ammas n¨ar huvudsp¨anningarna best¨amts:
σ1 = 100 N/mm2 och σ2 = −100 N/mm2 .
6.3
Plan sp¨anning r˚
ader. Best¨am effektivsp¨anningen enligt von Mises: σe,M ises = 434 N/mm2 .
Best¨am sedan n.
Kapitel 7
7.1
Dela upp paraplyet i tre delar: en halvcirkelb˚
age, en rak del och en kon. Best¨am tyngdpunktens l¨age i respektive del i ett x-/y-koordinatsystem och addera resultaten till hela
paraplyets tyngdpunkt enligt uttryck 7.7 i l¨aroboken (se a¨ven den kompletterande formelsamlingen). J¨amf¨or ¨aven med exempel 7.1 i l¨aroboken.
7.2
Dela upp 5:an i tv˚
a raka delar, en halvcirkul¨ar skiva med radien 45 mm och ett halvcirkul¨art
h˚
al med radien 30 mm. Se ¨aven exempel 7.1 i l¨aroboken.
7.3
Dela upp markisen i tre delar: 2 kvartscirkelskivor med radien R och en skiva med l¨angden
L och bredden 2Rπ/4 = πR/2 (en fj¨ardedel av mantelytan hos en cylinder med radien R
och l¨angden L). Best¨am tyngdpunktens l¨age i respektive del och l¨agg samman resultaten
f¨or att f˚
a den gemensamma tyngdpunkten med hj¨alp av ekvation 7.9 i l¨aroboken. Se ¨aven
den kompletterande formelsamlingen.
6
7.5
Fril¨agg armen ACB inklusive massan m. Kraften p˚
a kolven vid punkten C ¨ar trycket multiplicerat med kolvens tv¨arsnittsarea. Massan m kan nu ber¨aknas genom en momentj¨amvikt
kring punkten A.
7.10
Fril¨agg bojen inklusive tyngden m1 . S¨att ut tyngdkraften och lyftkraften p˚
a r¨oret och p˚
a
tyngden. T¨ank p˚
a att m = ρV n¨ar respektive lyftkraft formuleras, se ¨aven den kompletterande formelsamlingen. Massan m1 kan nu ber¨aknas ur en vertikal j¨amvikt f¨or systemet.
7.11
Fril¨agg isflaket inklusive mannen. S¨att ut tyngdkrafter och lyftkraften. T¨ank p˚
a att lyftkraftens storlek beror p˚
a hur mycket av isflaket som ligger under vattenytan. Inf¨or x f¨or
att beteckna isflakets h¨ojd ovanf¨or vattenytan. St¨all upp en vertikal j¨amvikt f¨or systemet
och anv¨and x = 0 respektive x = 0.005 m f¨or att best¨amma isflakets area.
Kapitel 8
8.1
Fril¨agg l˚
adan och st¨all upp tv˚
a j¨amviktekvationer: en parallellt med det lutande planet och
en normalt mot planet. a) S¨att F = μs N. b) Nu a¨r tan ϕ = tan 15◦ = 0.27 > 0.25. L˚
adan
glider och μ = μk samt F = μk N. c) P = 50 N. Antag att l˚
adan ¨ar i vila och kontrollera
antagandet. d) P = 200 N. Antag att l˚
adan ¨ar i vila och kontrollera antagandet.
8.2
Fril¨agg v¨askan och notera att friktion mot underlaget endast upptr¨ader vid klacken, inte vid
hjulet. St¨all upp j¨amviktsekvationer parallellt med, och normalt mot, det lutande planet.
St¨all upp momentj¨amvikt, exempelvis runt klacken. Kontrollera gr¨ansl¨aget d˚
a F = μk N.
8.3
Fril¨agg cementplattan. St¨all upp j¨amviktsevationer, inklusive momentj¨amvikt, kring cementplattans tyngdpunkt. Fril¨agg h¨ogra halvan av lyftanordningen och st¨all upp momentet
kring leden i punkten A. Best¨am friktionskoefficienten.
8.4
Fril¨agg bilen och best¨am i vilken vinkel normalkraften ¨ar riktad mot framhjulet. Anv¨and
l¨aget d˚
a framhjulet precis lyfter fr˚
an den horisontella ytan och normalkraften endast utg˚
ar fr˚
an trottoarkantens h¨orn. St¨all upp j¨amviktekvationen i horisontalled som inneh˚
aller
friktionskraften F och normalkraften N mot framhjulet som ok¨anda kvantiteter. Unders¨ok
gr¨ansl¨aget d˚
a F = μs N och best¨am μs .
7
8.7
Fril¨agg tunnan och spettet var f¨or sig. T¨ank p˚
a riktningen hos friktionskrafterna: friktionen
motverkar r¨orelsen. Normalkrafterna ¨ar vinkelr¨ata mot respektive kontaktyta. St¨all upp tre
j¨amviktsekvationer kring tunnans centrum. F¨or spettet r¨acker det med en momentj¨amvikt
kring punkten d¨ar spettet a¨r i kontakt med underlaget.
8.8
Antag f¨orst att den ¨oversta l˚
adan b¨orjar glida. Fril¨agg ¨oversta l˚
adan och st¨all upp j¨amviktsekvationerna (tre stycken). Kontrollera att normalkraften ligger innanf¨or l˚
adans h¨orn.
¨
Ar detta uppfyllt kommer l˚
adan att glida och inte tippa. Villkoret ¨ar uppfyllt om mannen
trycker med en kraft P1 = 314 N. Antag h¨arn¨ast att hela stapeln tippar. St¨all upp j¨amviktsekvationer f¨or hela stapeln (tre stycken) och kontrollera att friktionskraften F < μ2 N.
Detta a¨r uppfyllt och stapeln tippar vid kraften P2 = 283 N. Efterson P2 < P1 kommer
l˚
adstapeln att i f¨orsta hand v¨alta d˚
a kraften ¨okar fr˚
an noll.
8.12
Fril¨agg kilarna tillsammans och st¨all upp en j¨amviktekvation i vertikalled. Normalkraften
mot underlaget kan best¨ammas till 1500 N. Fril¨agg endast den undre kilen och st¨all upp
j¨amviktsekvationer i vertikalled och i horisontalled. Friktionskraften mot underlaget ¨ar
300 N och normalkraften mellan kilarna ¨ar 1559 N. Fr˚
an ekvationerna kan kraften P l¨osas
ut.
Kapitel 9
9.2
Antag d > 63 mm, d˚
a ger materialdata f¨or SS1550-01 flytsp¨anningen σs = 240 N/mm2 .
Best¨am effektivsp¨anningen enligt Trescas hypotes (se den kompletterande formelsamlingen)
och anv¨and s¨akerhetsfaktorn n = 2. Till˚
aten vridskjuvsp¨anning blir d˚
a: τv = σs /(2n).
Notera att vridmomentet ges av Mv = P/ω, d¨ar P = 330 kW ¨ar effekten och ω ¨ar varvtalet
(i rad/s, notera enhetsomvandlingen). Best¨am l¨amplig axeldiameter fr˚
an vridmotst˚
andet
Wv genom att utnyttja τv = Mv /Wv .
9.5
F¨or materialet SS1312-00 ges flytsp¨anningen σs = 220 N/mm2 . Enligt Tresca g¨aller τs =
ada skall
σs /2 = 110 N/mm2 . Best¨am Wv och K f¨or axel respektive r¨or. Eftersom b˚
deformeras lika f¨or samma vridmoment ges relationen Kaxel = Kror ur vilken tjockleken t kan best¨ammas. R¨orets str¨ackgr¨ans kan best¨ammas via τs,ror = 148N/mm2 och
σs,ror = 2τs,ror = 296 N/mm2 .
8
9.9
Ren vridning r˚
ader varigenom sp¨anningskomponenterna ges som σx = σy = 0 och τxy = τv
samt t¨ojningskomponenterna som εx = εy = 0 och γxy = τv /G. F¨or koppar ges G = 46 ×
103 N/mm2 . Huvudt¨ojningarna ges av ε1,2 = ±γxy /2 vilket ger γxy = ε1 − ε2 = 540 × 10−6 .
Nu kan f¨orst τv ber¨aknas, sedan Mv och till sist ϕ. Kom ih˚
ag att f¨orvridningen ϕ r¨aknas i
radianer och att en enhetsomvandling till grader kan kr¨avas.
9.12
F¨or materialet SS2090-04 ges str¨ackgr¨ansen σs = 1300 N/mm2 . F¨orvridningsvinkeln ges
av ϕ = Mv L/(GK) med fj¨aderkonstanten k = Mv /ϕ = GK/L. Med Mv,max = kϕmax
(ϕmax = 30◦ ) och τv,max = Mv,max /W
√ v ges τv,max = kϕmax /Wv . Deviationsarbetshypotesen
ger effektivsp¨
anningen σe = τv,max 3 och med s¨akerhetsfaktorn n = 1.1 erh˚
alls τv,max =
√
2
3
σs /(n 3) = 682 N/mm . Wv = 207 mm ber¨aknas med hj¨alp av den kompletterande
formelsamlingen varigenom a kan best¨ammas. Fr˚
an k = GK/L ges L.
9.18
F¨or det slutna tv¨arsnittet g¨aller: Wv,s = 2a2 t. F¨or det ¨oppna tv¨arsnittet g¨aller Wv,o =
4at2 /3.
9.19
Ber¨akna vridmotst˚
andet f¨or axeln: Wv,a = 8418 mm3 och f¨or h˚
alprofilen: Wv,h = 8a2 .
Belastningen, det vill s¨aga vridmomentet, ¨ar lika f¨or b˚
ada tv¨arsnitten. Villkoret om samma
maximala vridskjuvsp¨anning ger d˚
a Wv,a = Wv,h varur a kan best¨ammas. Viktminskningen
per meter ges genom att j¨amf¨ora tv¨arsnittsareorna.
Kapitel 10
10.1
Ber¨akna Alshammars medelhastighet och anta att hon h˚
aller denna hastighet genom hela
loppet.
10.2
a y-axeln och tiden t p˚
a x-axeln. B¨orja
Rita ett diagram med hastigheten i vertikalled, vy , p˚
vid origo och rita in hur hastigheten varierar med tiden. T¨ank p˚
a att:
• En positiv, konstant, acceleration ger en linj¨art ¨okande hastighet.
• D˚
a raketen n˚
ar sin h¨ogsta position H har hastigheten f¨orst ¨okat och sedan minskat
till noll. Det vill s¨aga arean under kurvan motsvarar H.
• Lutningen p˚
a hastighetskurvan d˚
a hastigheten minskar ¨ar −g.
9
• Str¨ackan som raketen tar sig upp˚
at a¨r densamma som str¨ackan tillbaka ned.
10.3
ds
= dv
= v dv
. Ber¨akna
Utnyttja att a = dv
dt
ds dt
ds
accelerationen ges d˚
a s = 0.
dv
ds
d¨ar v(s) ¨ar det givna uttrycket. Den initiella
10.4
Rita diagram ¨over hastighetens variation i x-led respektive y-led som funktioner av tiden.
I x-led r¨or sig bilen str¨ackan L och i y-led lika l˚
angt upp som ned. Accelerationen i yled ¨ar −g. Eftersom luftmotst˚
andet kan f¨orsummas ¨ar hastigheten i x-led konstant och
accelerationen i x-led a¨r d¨arf¨or noll.
10.5
Komposantuppdela hastigheten i en horisontaldel vx = v0 cos α och en vertikaldel vy =
v0 sin α + gt d¨ar t a¨r tiden. Integrera uttrycken o¨ver tid och notera att sn¨on r¨or sig x = L
i horisontalled och y = H i vertikalled under totaltiden T = 1.17 s. Ber¨akna L.
10.7
St¨all upp uttryck f¨or accelerationen i normalled an och i tangentialled aθ . Ber¨akna radien
an jordaxeln till Lund, d¨ar R a¨r den givna jordmedelradien. Eftersom
r = R cos (55.7◦ ) fr˚
jordaxeln betraktas som fix i rymden ¨ar at = 0. Ber¨akna den totala accelerationen genom
att ber¨akna an .
10.8
v
⇒ vA dv =
Betrakta den tangentiella accelerationen at och utnyttja sambandet at = dv
dt
t
a dt f¨or att best¨amma v som en funktion av tiden t. Hastigheten i punkten A betecknas
0 t
s
t
⇒
ds
=
v(t)dt ⇒ s(t) och best¨am hur l˚
ang tid det kr¨avs
h¨ar vA . Utnyttja att v = ds
0
0
dt
innan bilen n˚
ar position B (=5.05 s). Best¨am bilens hastighet i punkten B: vB = 9.91 m/s.
Ber¨akna bilens normal- och tangentialacceleration i punkten B. Totala accelerationen ges
med hj¨alp av Pythagoras sats.
10.10
˙ eθ . Med b˚
˙ er + r θˆ
ade r˙ och θ˙
Utnyttja pol¨ara koordinater och hastighetsvektorn v = rˆ
2
˙
˙
¨ eθ . Total
r − r θ )ˆ
er + (2r˙ θ + r θ)ˆ
givna kan v ber¨aknas. Accelerationsvektorn ges av: a = (¨
acceleration, respektive total hastighet, ges med hj¨alp av Pythagoras sats.
10.11
Teckna utg˚
angshastigheten i horisontalled och st¨all upp ett uttryck f¨or str¨ackan s i horisontalled som funktion av tiden: s(t) = v0 cos αt + r cos θ. Best¨am v0 vid tiden t = 0.5 s.
10
Kapitel 11
11.2
Fril¨agg loket f¨or sig och alla vagnarna tilsammans som en kropp. Skissa kinematikfigurer
f¨or loket respektive f¨or vagnarna. St¨all upp r¨orelseekvationerna f¨or loket och f¨or vagnarna, var f¨or sig. Antag fullt utbildad friktion mellan hjulen och r¨alsen. Best¨am vagnarnas
sammanlagda massa och dividera med 15 ton f¨or att ber¨akna maximala antalet vagnar
(avrunda ned˚
at till n¨armaste heltal).
11.3
Fril¨agg apan p˚
a v¨ag upp f¨or repet och massan p˚
a v¨ag upp, var f¨or sig. Rita kinematikfigur f¨or
respektive fril¨aggningsfigur. St¨all upp r¨orelseekvationerna f¨or apan, respektive f¨or massan.
Anv¨and apans k¨anda acceleration (0.5 m/s2 ) och best¨am kraften i repet (=113.4 N). Best¨am
massans acceleration (=1.53 m/s2 ). Best¨am apans hastighet (vapa = 1.5 m/s) och massans
hastighet (vmassa = 4.59 m/s). Apans hastighet relativt repet ges av vapa − vmassa .
11.4
Fril¨agg kartongen och rita a¨ven en kinematikfigur. Notera att under t˚
agets retardation a¨r
kartongens acceleration riktad fram˚
at, i t˚
agets f¨ardriktning. St¨all upp r¨orelseekvationer och
antag fullt utbildad friktion: F = μs N. Best¨am den maximalt till˚
atna retardationen.
11.5
Fril¨agg skid˚
akaren och rita ¨aven en kinematikbild. Gl¨om inte tryckkrafterna i stavarna i
fril¨aggningen. St¨all upp r¨orelseekvationerna parallellt med det lutande planet och normalt
mot det. Antag att friktionskraften ¨ar F = μk N mellan skidorna och sn¨on. Ur r¨orelseekvationerna kan nu normalkraften mot skidorna, N = 490.1 N och friktionskraften,
F = 73.5 N, l¨osas ut. Best¨am till sist accelerationen.
11.7
Fril¨agg bilen och rita en kinematikfigur. Anv¨and l¨ampligtvis n-/t-koordinater. St¨all upp
r¨orelsekvationerna i n- och t-riktningarna. Notera att ”konstant fart” inneb¨ar att tangentialaccelerationen ¨ar noll. utnyttja att normalaccelerationen ges av an = v 2 /ρ och best¨am
v¨agbanans kr¨okning ρ.
11.8
Fril¨agg bilen respektive pl˚
anboken, var f¨or sig. Rita kinematikfigur (notera att kinematikfiguren blir densamma f¨or bil och pl˚
anbok). Anv¨and l¨ampligen n-/t-koordinater d¨ar
h¨ansyn ¨aven tas till den vertikala koordinatriktningen. St¨all upp r¨orelseekvationen f¨or bilen i tangentriktningen och f¨or pl˚
anboken i alla tre koordinatriktningarna. T¨ank p˚
a att
11
friktionskraften mellan pl˚
anboken och bilens tak har komposanter i b˚
ade normal- och tan2
2
gentriktningen. Delresultat: at = −1.25 m/s och an = 1.51 m/s .
11.10
Fril¨agg satelliten och rita en kinematikfigur. Anv¨and l¨ampligtvis n-/t-koordinater. T¨ank
p˚
a att tangentriktningen sammanfaller med hastighetsvektorns riktning och att jordens
dragningskraft ¨ar riktad 100◦ − 90◦ = 10◦ fr˚
an normalriktningen. Utnyttja definitionerna
2
at = v˙ och an = v /ρ f¨or att best¨amma fart¨andringen och bankurvans kr¨okningsradie ρ.
11.11
Fril¨agg accelerometern och rita en kinematikfigur. Utnyttja Cartesiska koordinater eftersom
krafterna a¨r givna som x-, y- och z-komposanter. Eftersom az = 0 sker r¨orelsen endast i
(d¨ar x sammanfaller med tangentriktningen och d¨ar
horisontalplanet. Utnyttja att ax = dv
dt
ax ¨ar fart¨andningen) och ay = an .
Kapitel 12
12.1
Betrakta skopan i tv˚
a l¨agen: dels rakt ned och dels i skopans v¨andl¨age. Ingen energi tillf¨ors
mellan dessa tv˚
a l¨agen och energiprincipen kan utnyttjas f¨or att j¨amf¨ora l¨agesenergi och
potentiell energi mellan de tv˚
a l¨agena.
12.3
Alternativ 1 : Fril¨agg pennan och rita kinematikbild. St¨all upp r¨orelseekvationer parallellt
med det lutande planet och normalt mot det. S¨ok gr¨ansl¨aget d˚
a friktionskraften ges av
F = μN d¨ar μ = 0.3 ¨ar givet. Best¨am om pennan n˚
ar b¨ankkanten genom att best¨amma
var pennans hastighet ¨ar noll. R¨orelsestr¨ackan blir 0.11 m. Alternativ 2 : Utnyttja energiprincipen och tag h¨ansyn till friktionsarbetet som utf¨ors medan pennan glider l¨angs b¨anken.
Detta m¨ojligg¨or ber¨akning av glidstr¨ackan.
12.4
a positionen h¨ogst upp i loopen. Fril¨agg vagnen
L˚
at l¨age 1 beteckna startl¨aget och l¨age tv˚
och rita en kinematikbild d˚
a vagnen befinner sig l¨age 2. Detta g¨or att hastigheten i l¨age
2 kan uttryckas: v22 = 5/2gR. Utnyttja energiprincipen mellan l¨age 1 och 2 med h¨ansyn
tagen till bromsarbetet som utf¨ors l¨angs str¨ackan s f¨or att ber¨akna den maximalt till˚
atna
bromskraften.
12.7
Fril¨agg l˚
adan och st¨all upp j¨amviktsuttryck i vertikalled. L˚
adan st˚
ar stilla s˚
a l¨ange P ≤ μs N
ang tid det tar innan l˚
adan b¨orjar r¨ora sig (=2.45 s). D¨arefter
¨ar uppfyllt. Best¨am hur l˚
12
ges friktionskraften av F = μk N = 196.2 N. Utnyttja nu impulslagen f¨or att ber¨akna
hastigheten vid tiden t = 6 s.
12.9
Fril¨agg k¨arran med mj¨ols¨acken ovanf¨or i en figur. St¨all upp impulslagen i horisontal- och
vertikalled. L˚
at l¨age 1 vara precis innan s¨acken har landat p˚
a k¨arran och l¨age 2 efter 0.1 s.
T¨ank p˚
a att inga krafter verkar i horisontalled under denna tid medan tyngdkraft och
normalkraft verkar i vertikalled. Delresultat: Hastigheten i l¨age 2 ¨ar v2 = 0.4 m/s.
12.10
St¨all upp imuplslagen genom att j¨amf¨ora l¨agena f¨ore och efter det att kanonen avfyrats.
Notera att kanon och kula r¨or sig ˚
at olika h˚
all.
12.11
Inga yttre krafter verkar p˚
a vagnarna, det vill s¨aga r¨orelsem¨angden ¨ar konstant. Uttryck
r¨orelsem¨angden innan och efter krocken. Var noga med riktningar och tecken! Utnyttja definitionen av studskoefficienten f¨or att ber¨akna vagnarnas hastigheter (och r¨orelseriktningar)
efter krocken.
12.14
Under st¨oten g¨aller det att r¨orelsem¨angden a¨r bevarad och definitionen av studskoefficienten ger hastigheten u1 f¨or bil 1, efter st¨oten, som u1 = 22/70v0 samt f¨or bil 2: u2 = 3.6/7v0 .
Efter st¨oten g¨aller energiprincipen, med h¨ansyn tagen till friktionen mot underlaget, f¨or
respektive bil vilket g¨or att r¨orelsestr¨ackorna s1 och s2 f¨or bilarna kan ber¨aknas. Utnyttja
att s2 − s1 = 1.5 m ¨ar givet i uppgiften. Med given st¨otkoefficient kan v0 ber¨aknas.
Kapitel 13
13.1
Fril¨agg balken och ber¨akna st¨odreaktionerna, det vill s¨aga krafterna i st¨oden, genom att
studera vertikal j¨amvikt och momentj¨amvikt (st¨odkrafterna blir 4 kN respektive 8 kN).
G¨or ett snitt mitt i balken och betrakta v¨anstra balkhalvan. St¨all upp en j¨amviktsekvation
i vertikalled och en momentj¨amvikt kring snittpunkten.
13.3
Fril¨agg f¨orst hela balken och utnyttja j¨amviktsekvationer f¨or att best¨amma st¨odkrafterna
(5 kN respektive 1 kN). L¨agg en x-koordinat l¨angs med balken och g¨or tre snitt: ett f¨or
0 < x < 1 m, ett f¨or 1 < x < 2 m och ett f¨or 2 < x < 3 m. St¨all upp j¨amviktsekvationer i
respektive snitt och rita sedan T- och M-diagram. Notera att diagrammen i detta fall ¨aven
kan ritas direkt, s˚
a snart st¨odkrafterna best¨amts.
13
13.4
Anv¨and motsvarande metod som i uppgift 13.3 med ett snitt f¨or 0 < x < 600 mm och
ett f¨or 600 < x < 1200 mm. Gl¨om inte reaktionsmomentet i den fasta insp¨anningen i
v¨aggen. Notera att T- och M-diagrammen ¨aven kan ritas direkt utan att f¨orst ber¨akna
snittj¨amvikter.
13.8
Last per l¨angdenhet ges av q = Q/(5L). Fril¨agg f¨orst hela balken och ber¨akna st¨odkrafterna
(5Q/8 respektive 3Q/8). G¨or ett snitt f¨or 0 < x < 4L och ett f¨or 4L < x < 5L och st¨all
upp snittj¨amvikter.
13.11
Materialdata f¨or rostfritt st˚
al SS2331-43 ger: σs = 1050 N/mm2 , E = 220 × 103 N/mm2 .
Med s¨akerhetsfaktorn n = 1.5 blir den maximalt till˚
atna sp¨anningen σmax = σs /n. Vid
b¨ojning g¨aller σ = Ez/ρ varifr˚
an kr¨okningsradien ρ kan best¨ammas d˚
a σ ≤ σmax .
13.13
Maximalt moment ges fr˚
an uppgift 13.3. F¨or balk HE120A g¨aller Wb = Wx = 106×103 mm3
d˚
a balken utnyttjas ”p˚
a b¨asta s¨att”, se figur. F¨or materialet SS1412 ges σs = 260 N/mm2 .
S¨akerhetsfaktorn n ges genom att j¨amf¨ora flytsp¨anningen σs med den maximala b¨ojsp¨anningen σb,max och ber¨akna n = σs /σb,max .
y
x
13.16
Fril¨agg balken och st¨all upp momentj¨amvikt f¨or att f˚
a b¨ojmomentets variation: Mb (x) =
F x, d¨ar koordinaten x utg˚
ar fr˚
an balkens fria ¨ande. St¨all upp ett uttryck f¨or hur balkens
bredd b varierar med koordinaten x: b(x) = Bx/L. Best¨am b¨ojmotst˚
andet Wb (x) och
ber¨akna b¨ojsp¨anningen σb (x) = Mb (x)/Wb (x). Notera att b¨ojsp¨anningen blir oberoende av
koordinaten x! Ber¨akna b¨ojsp¨anningen.
14
13.20
Fril¨agg varje planka f¨or sig. G¨or snitt och ber¨akna snittmoment f¨or att sedan kunna ber¨akna
och j¨amf¨ora b¨ojsp¨anningar.
13.35
ada balkarna
”Given last och geometri” inneb¨ar att produkten EIy kan j¨amf¨oras f¨or de b˚
eftersom ρ = EIy /Mb . Ber¨akna (EIy )Al /(EIy )ek .
13.36
Dela upp problemet i tv˚
a elementarfall: fall 5 och fall 6. Summera nedb¨ojningarna mitt p˚
a
4
4
balken fr˚
an respektive elementarfall och ber¨akna Iy = 1250 × 10 mm . V¨alj l¨amplig balk.
13.40
G¨or snitt och st¨all upp snittj¨amvikter. Rita momentdiagram och best¨am maxmomentet f¨or
de b˚
ada lastfallen. I fall a) best¨ams nedb¨ojningen med elementarfall 5 och β = 1/4.
13.41
Fr˚
an uppgift 8 ges att snittmomentet vid det h¨ogra st¨odet ¨ar QL/10. G¨or ett snitt vid
h¨ogra st¨odet och analysera den v¨anstra balkdelen genom att kombinera elementarfallen
6 och 8. Addera elementarfallens bidrag till nedb¨ojningen mitt p˚
a den v¨anstra balkdelen.
T¨ank p˚
a att utb¨ojningen r¨aknas som positiv ned˚
at!
Kapitel 14
14.1
Fril¨agg balken och st¨all upp j¨amviktsekvationer f¨or att ber¨akna st¨odkrafterna. Anv¨and
exempelvis snittmetoden f¨or att ber¨akna hur b¨ojmomentet varierar i balken och best¨am
det maximala b¨ojande momentet. Ber¨akna den totala normalsp¨anningen i det mest utsatta
snittet. Kontrollera sp¨anningarna i snittet b˚
ade vid balkens ovansida och vid dess undersida.
Kapitel 15
15.1
Ber¨akna f¨orst vinkelhastigheten genom att utnyttja att remhastigheten kring den lilla skivan ¨ar k¨and: v = rω = 10 s−1 . Ber¨akna sedan vinkelaccelerationen genom att utnyttja att
den tangentiella accelerationen f¨or den stora skivan ¨ar k¨and: α = a2 /R = 75 s−2 . Totala
accelerationen i punkten A ges med hj¨alp av Pythagoras sats.
15
15.5
Utg˚
a fr˚
an kinematikskisser f¨or ett bilhjul enligt figur.
Hastighet
Acceleration
v
a
a2
ω
=
a+
a
a1 = 0
ω, α
Rω 2
Rα
Kapitel 16
16.1
Fril¨agg mannen och rita en kinematikfigur (ren translation). St¨all upp r¨orelseekvationerna
i vertikalled, horisontalled och kring tyngdpunkten. S¨ok gr¨ansl¨aget precis d˚
a kraften mot
mannens h¨ander ¨ar noll.
16.4
Fril¨agg l˚
adan och rita en kinematikfigur (ren translation). I fril¨aggningsfiguren s¨atts normalkraften mot l˚
adans botten en bit x fr˚
an mitten vid B/2. St¨all upp r¨orelseekvationerna
f¨or l˚
adan i vertikalled, horisontalled och kring tyngdpunkten. Kontrollera tv˚
a fall: 1) L˚
adan
tippar, visa att F < μs N, x = B/2. Men F > μs N, allts˚
a var antagandet fel. Fall 2): L˚
adan
glider, visa att f¨or x < B/2 s˚
a ¨ar F = μs N vilket ger x = 0.455 m < 0.5 m. Antagandet
a¨r korrekt. Ber¨akna normalkraften N = 0.8396mg och d¨arefter accelerationen a.
16.5
Fril¨agg r¨oret och rita en kinematikfigur (ren translation). St¨all upp r¨orelseekvationerna i
vertikalled, horisontalled och kring tyngdpunkten. Accelerationen av r¨orets tyngdpunkt kan
ber¨aknas som −0.75g. Med k¨and acceleration kan bromsstr¨ackan s ber¨aknas enligt figur.
v
v0
Lutning: −0.75g
s
T t
16
16.7
Fril¨agg plankan och rita kinematikfigur (rotation kring fix punkt: b˚
atens akter, plankans
3
a rotationen b¨orjar ¨ar vinkel¨ande). Plankans tr¨oghetsmoment ¨ar J = mL /3. Precis d˚
hastigheten ω = 0. St¨all upp momentekvation kring plankans v¨anstra ¨ande och utnytja
normal-/tangentkoordinater i plankans fria ¨ande f¨or att ber¨akna accelerationskomponenterna: an = 0 och at = 3/2g cos ϕ. Ber¨akna den vertikala accelerationen.
an
ω
ϕ
17
at