c Mikael Forsberg
10 mars 2011
Exempel :: Kvadratiska former
Ett 2-dimensionellt exempel
Exempel 1. 1. Translatera och rotera f¨or att skriva
Q(x, y) = 9x2 − 4xy + 6y 2 − 10x − 20y − 5 = 0
p˚
a standardform. Vilket k¨
agelsnitt definierar ekvationen?
L¨
osning: Id´en ¨
ar att skriva den kvadratiska ekvationen p˚
a matrisform, hitta en ortogonalt diagonaliserande matris P (som ger ett koordinatbyte som ¨ar den rotation som tar bort den
blandade xy-termen) och till sist utf¨ora en kvadratkomplettering (som inneb¨ar en translation).
Vi b¨
orjar med att skriva ekvationen p˚
a matrisform:
xT Ax + Bx − 5 = 0,
d¨
ar
9 −2
A=
,
−2 6
B = [−10, −20]
och
x
x=
y
Nu diagonaliserar vi den symmetriska matrisen A:
1. Egenv¨
arden: 0 = det A − λI = (9 − λ)(6 − λ) − 4 = λ2 − 15λ + 50, ger l¨osningarna λ = 5
och λ = 10.
2. Egenvektorer:
(a) (λ = 5): (A − 5I)x = 0 ger den normaliserade egenvektorn
1 1
e5 = √
5 2
(b) (λ = 10): (A − 10I)x = 0 ger den normaliserade egenvektorn
1 −2
e10 = √
5 1
3. Den ortogonalt diagonaliserande matrisen best˚
ar nu av dessa egenvektorer:
1 1 −2
P =√
5 2 1
4. Den diagonala matrisen blir
D=
5
0
0
10
Vi utf¨
or nu variabelbytet
ξ
d¨ar ξ =
η
x = P ξ,
och f˚
ar att xT Ax + Bx − 5 = ξ T P T AP ξ + BP ξ − 5 = 0. Utvecklar vi detta s˚
a f˚
ar vi f¨oljande
kvadratiska ekvation m.a.p variablerna ξ och η:
30
5ξ 2 + 10η 2 − √ ξ − 5 = 0.
5
Kvadratkomplettering m.a.p. variabeln ξ ger
√
5(ξ − 5)2 + 10η 2 − 10 = 0
√
H¨
ar utf¨
or vi nu translationen s = ξ − 5 och t = η och f˚
ar d˚
a
q(s, t) = 5s2 + 10t2 − 10,
som uppenbarligen ¨
ar en ellips. Ursprungsellipsen och slutellipsen visar vi i nedanst˚
aende
figur.
1
c Mikael Forsberg
10 mars 2011
1
4
0,5
3
0
-1
-0,5
0
0,5
1
x
y2
-0,5
1
-1
0
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
x
Figur 1: Ellipser till Q(x, y) = 0 och q(s, t) = 0.
Ett 3-dimensionellt exempel
L˚
at
Q(x, y, z) = 2x2 + 2y 2 + 5z 2 − 4xy − 2xz + 2yz + 10x − 26y − 2z
Rotera och translatera f¨
or att skriva uttrycket p˚
a s˚
a enkel form som m¨ojligt. Vilken sorts
kvadratisk yta ¨
ar Q(x, y, z) = 0?
L¨
osning: Vi b¨
orjar med att skriva Q p˚
a matris form:
Q = xT Ax + Bx,
d¨
ar

2 −2 −1
1
A = −2 2
−1 1
5

och
B = 10 −26 −2
och
 
x
x = y 
z
Nu diagonaliserar vi den symmetriska matrisen A. Vi ska hitta en ortogonal matris s˚
a att
P T AP ¨
ar en diagonalmatris.
1. Egenv¨
arden: Vi ser att rad 1 och 2 i A ¨ar parallella. Detta ger att 0 ¨ar ett egenv¨arde.
Det karakteristiska polynomet blir:
p(λ) = λ3 − 9λ2 + 18λ
som har nollst¨
allena , λ1 = 3 och λ2 = 6, λ3 = 0.
2. Vi ber¨
aknar nu egenrummen och egenvektorerna
λ1 = 3: H¨
ar f˚
ar vi att egenrummet ges av


1
E1 = {x = −1 t}
1
och en normaliserad egenvektor blir s˚
aledes
 
1
1  
−1
e1 = √
3
1
λ2 = 6: H¨
ar f˚
ar vi att egenrummet ges av


−1
E2 = {x =  1  t}
2
2
c Mikael Forsberg
10 mars 2011
och en normaliserad egenvektor ges ab
 
−1
1
e2 = √  1 
6
2
λ3 = 0: H¨
ar f˚
ar vi att egenrummet ges av
 
1
E3 = {x = 1 t}
0
och en normaliserad egenvektor blir d¨arf¨or
 
1
1  
1
e3 = √
2 0
3. Vi kan nu st¨
alla upp den ortonormalt diagonaliserande matrisen
√ 
√
2
−1
√3
1  √
P = √ −√ 2 1
3
6
2
2
0
√
√
√
Vi utf¨
or nu koordinatbytet x = P s, d¨ar sT = (s, t, u). Vi f˚
ar att BP = ( 343 3 , − 203 6 , −8 2).
Q blir d˚
a
√
√
√
34 3
20 6
2
2
Q(s, t, u) = 3s + 6t +
s−
t − 8 2u
3
3
Nu kvadratkompletterar vi detta uttryck m.a.p. variablerna s och t:
√
√
√
17 3 2
10 6 2
289 100
Q(s, t, u) = 3(s +
) + 6(t −
) − 8 2u −
−
9
18
9
9
Nu byter vi variabler (vilket i detta fall v¨asentligen inneb¨ar en translation) och s¨atter
√
17 3
x = s+
9
√
10 6
y = t−
18
√
389
z = 8 2u −
,
9
varp˚
a ekvationen Q = 0 blir
3x2 + 6y 2 − z = 0,
d.v.s
z = 3x2 + 6y 2
som ¨
ar en elliptisk paraboloid. Vi ritar denna och ursprungsytan i f¨oljande figurer:
3
(1)
(2)
(3)
c Mikael Forsberg
10 mars 2011
10
10
5
-10
-5
y
0
10
5
-2
0
0
z
z
1
-1
10
x
2
5
-10
5 -5
y
x
0 0
0
-5
-1
-2
1
2
-10
Figur 2: Kvadratiska ytan till den kvadratiska formen i a) originalkordinaterna (till v¨anster) och
b.) i de nya koordinaterna (till h¨
oger).
4