STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematik, Examinator: M. Tamm, (P. Alexandersson) Tentamen i Linj¨ar algebra II 1 november 2013 kl 0900 − 1400 Hj¨ alpmedel: enbart penna och radergummi. Alla svar skall motiveras! Varje uppgift ger max tio po¨ ang. 1. Best¨ am en QR-uppdelning till var och en av matriserna     1 i 0 1 i A =  i 0 2 och B =  i 0 . 0 0 i 0 0 2. L˚ at U vara en unit¨ ar n × n-matris, och l˚ at In beteckna enhetsmatrisen av storlek n × n. Betrakta blockmatriserna H In U U In A= , B = . U H −In In 0 (a) Ber¨ akna BA och anv¨ and detta f¨or att best¨amma det(A). (b) Ber¨ akna A2 och utnyttja resultatet f¨or att best¨amma inversen till A. 3. En linj¨ ar avbildning, T : P3 (R) → P2 (R) definieras av T (p(x)) = p0 (1 − x) + x · p00 (x). Best¨am avbildningsmatrisen f¨ or T med avseende p˚ a respektive rums standardbaser. Best¨am baser f¨or T :s nollrum och bildrum, samt rangen f¨ or T . H¨ ar betecknar Pk (R) rummet av polynom av grad max k med reella koefficienter, och p0 (x), p00 (x) beteckar f¨ orsta respektive andraderivatan. 4. Best¨ am en unit¨ ar matris U och en diagonalmatris D s˚ a att A = U DU H , d¨ar A ¨ar den hermitiska matrisen 6 4 − 3i A= . 4 + 3i 6 Best¨ am ocks˚ a det st¨ orsta och minsta v¨arde som den hermitiska formen f (x) = xH Ax kan anta, under bivillkoret kxk = 4. 5. L˚ at V vara rummet av polynom med reella koefficienter. P˚ a V definieras funktioner V × V → R enligt Z 1 Z 1 hp|qi2 := p(x)q(x)x2 dx och mer generellt hp|qin := p(x)q(x)xn dx. −1 −1 (a) Visa att h·|·i2 utg¨ or en skal¨ arprodukt p˚ a V. (b) Anv¨ and normen som definieras av h·|·i2 f¨or att best¨amma k1 + 2xk, och avg¨or om polynomen x2 och x3 ¨ ar ortogonala med avseende p˚ a h·|·i2 . (c) Avg¨ or f¨ or vilka positiva heltal n som funktionen h·|·in definierar en skal¨arprodukt. 6. (a) Definiera begreppet egenv¨ arde och egenvektor till en kvadratisk matris. (b) L˚ at A vara en kvadratisk matris s˚ a att Ak = I f¨or n˚ agot heltal k ≥ 1. Visa att om λ ¨ar ett k egenv¨ arde till A s˚ a¨ ar λ = 1. (c) Visa att om A ¨ ar en hermitisk matris som uppfyller att Ak = I f¨or n˚ agot heltal k ≥ 1, s˚ a¨ ar 2 A = I. Information om tentamens˚ aterl¨ amning finns p˚ a kurshemsidan. Lycka till!