1. No category

LINJÄRA AVBILDNINGAR
Xantcha
21 november 2015
1. Linjära avbildningar
§1. Definition.
Definition 1.
En avbildning T : R2 Ñ R2 (eller R3 Ñ R3 ) är linjär om
T pau ` bvq “ aT puq ` bT pvq
för alla vektorer u, v P R2 (eller u, v P R3 ) och alla skalärer a, b P R.
Övningar
1. Visa följande för en linjär avbildning T :
(a) T pu ` vq “ T puq ` T pvq för alla u, v;
(b) T pauq “ aT puq för alla u;
(c) T p~0q “ ~0.
2. Visa, att avbildningen
T px, yq “ px ` y2 , 2x ` yq
inte är linjär.
§2. Avbildningsmatriser. Vårt första mål är, att beskriva linjära avbildningar
med hjälp av matriser. Antag, att
˜ ¸
x1
u “ x1 e1 ` x2 e2 “ px1 , x2 q “
x2
1
är en godtycklig vektor i planet. För en linjär avbildning T är, enligt lineariteten,
T puq “ T px1 e1 ` x2 e2 q “ x1 T pe1 q ` x2 T pe2 q.
Den transformerade vektorn T puq beror alltså entydigt på bilderna T pe1 q och
T pe2 q av de två basvektorerna. Sätt T pe1 q “ pa, bq och T pe2 q “ pc, d q:
˜
¸ ˜
¸˜ ¸
ax1 ` cx2
a c
x1
T puq “ x1 pa, bq` x2 pc, d q “ pax1 ` cx2 , bx1 ` dx2 q “
“
.
bx1 ` dx2
b d
x2
Då vektorer skrivs som kolonnmatriser, betyder
˜ alltså
¸ avbildningen T helt
a c
, vars kolonner är bilb d
derna T pe1 q och T pe2 q. Motsvarande gäller för en avbildning i rummet.
enkelt multiplikation med avbildningsmatrisen
Sats 1.
Den linjära avbildningen T : R2 Ñ R2 (eller R3 Ñ R3 ) uttrycks med
formeln
Y “ AX ,
där kolonnmatrisen X ger koordinaterna för en vektor u, kolonnmatrisen Y ger
koordinaterna för T puq och kolonnerna i avbildningsmatrisen A är T pe1 q, T pe2 q
(och T pe3 q).
Två naturliga problem inställer sig nu.
1. Hur kan en given avbildningsmatris tolkas geometriskt?
2. Hur bestäms matrisen för en given geometrisk avbildning?
Dessa frågeställningar utredes i de kommande avsnitten.
Övningar
1. Betrakta avbildningen
˜
1
´1
T“
¸
´3
.
4
(a) Bestäm bilderna av basvektorerna under T .
(b) Bestäm bilden av vektorn p1, 1q.
(c) Vilka vektorer avbildas på p1, 0q?
2
2. Geometrisk tolkning av linjära avbildningar
§1. Lustiga huset. Här följer några enkla geometriska exempel på linjära avbildningar. Se Figur 1.
1. Identitetsavbildningen:
˜
¸
0
.
1
1
0
E“
Här är Epe1 q “ p1, 0q “ e1 och Epe2 q “ p0, 1q “ e2 . Alla vektorer (och
punkter) avbildas på sig själva.
2. Skalning med faktorn 2:
˜
¸
0
.
2
2
0
A“
Här är Ape1 q “ p2, 0q “ 2e1 och Ape2 q “ p0, 2q “ 2e2 . Alla vektorer sträcks
ut till dubbla sin längd.
3. Töjning med faktorn 2 i x-led:
˜
¸
0
.
1
2
0
B“
Här är Bpe1 q “ p2, 0q “ 2e1 och Bpe2 q “ p1, 0q “ e2 . Avbildningen töjer varje vektor horisontellt med faktorn 2. Den vertikala komponenten
påverkas inte.
4. Skjuvning med faktorn 2 i x-led:
˜
¸
2
.
1
1
0
C“
Här är C pe1 q “ p1, 0q och C pe2 q “ p2, 1q.
5. Vridning vinkeln θ moturs:
˜
¸
cos θ ´ sin θ
R“
.
sin θ cos θ
6. Spegling i x-axeln:
˜
S“
1
0
¸
0
.
´1
˜
¸
0
.
0
7. Projektion på x-axeln:
P“
3
1
0
Figur 1: Exempel på linjära avbildningar.
4
Övningar
1. Hur transformeras smileyn under avbildningen
˜
¸
0 1
?
1 0
2. Hur transformeras smileyn under avbildningen
˜
¸
2 ´1
?
1 ´1
3. Tolka geometriskt avbildningen
¨
1
˚
˝0
0
˛
0 0
‹
1 0‚.
0 0
§2. Basbyte. Vi beskriver nu evekterna av ett basbyte på matrisen för en linjär avbildning. Avbildningsmatrisen är nämligen inte fix i olika baser, utan
förändrar utseende då man byter bas. Metoden för att analysera en godtycklig
avbildning är då, att byta till någon bas, i vilken avbildningsmatrisen antager
en särskilt enkel form.
Vi påminner om principerna för basbyte. I planet arbetar vi ständigt med
koordinater givna relativt standardbasen e1 , e2 . Den förutsättes alltid ortonormerad (för att få enkla formler för skalär- och vektorprodukt). Införandet av
en ny bas enligt
#
e11 “ ae1 ` be2
e21 “ ce1 ` de2
kodas av basbytesmatrisen
˜
S“
¸
a c
.
b d
Observera följande. I matrisen för en linjär avbildning ges första kolonnen
av bilden av första basvektorn, &c. I basbytesmatrisen ges första kolonnen av
den nya första basvektorn, &c. Det är alltså väsentligen samma princip.
Koordinatbyte sker enligt formeln
X “ SX 1 ,
där X anger koordinaterna för en vektor i den gamla basen och X 1 anger
koordinaterna för samma vektor i den nya basen.
5
Antag nu, att avbildningen T : R2 Ñ R2 ges av matrisen A i standardbasen.
Om kolonnmatrisen X ger koordinaterna för vektorn u i standardbasen och
Y ger koordinaterna för T puq, så gäller att
Y “ AX .
Efter koordinatbytet har u koordinaterna X 1 och T puq koordinaterna Y 1 . Sambanden X “ SX 1 och Y “ SY 1 ger
SY 1 “ Y “ AX “ ASX 1
Y 1 “ S´1 ASX 1 .
ô
Vi har därmed bevisat:
Låt en avbildning ha matrisen A i någon bas. Avbildningsmatrisen i en
Sats 2.
ny bas, där basbytet kodas av basbytesmatrisen S, är
A1 “ S´1 AS.
Exempel 1.
Avbildningen T har matrisen
˜
¸
1 1 1
A“ ?
2 1 ´1
i standardbasen. För att analysera denna geometriskt, inför vi en ny bas enligt
$
?
1
1
’
? pp1 ` 2qe1 ` e2 q
&e1 “ a
4`2 2
?
’e1 “ a 1 ? p´e1 ` p1 ` 2qe2 q.
%
2
4`2 2
Basbytesmatrisen är
˜
?
1
1` 2
S“a
?
1
4`2 2
¸
´1
? ,
1` 2
vilken är ortogonal, ty
S
´1
˜
?
1
1` 2
“S “ a
?
´1
4`2 2
|
¸
1
? .
1` 2
Avbildningsmatrisen i den nya basen är
˜
1
´1
A “ S AS “
1
0
¸
0
.
´1
Av denna övernaturligt simpla form (givet det invecklade basbytet) sluter vi,
att T helt enkelt betyder spegling i e11 .
4
6
I exemplet var det väsentligt för den geometriska tolkningen, att den nya
basen var ortonormerad. Spegling sker nämligen alltid ortogonalt mot den linje
eller det plan, som speglas i. I en snedvinklig bas skulle matrisen A1 inte längre
betyda spegling, utan något mer komplicerat.
Läsaren ställer sig nu kanske med rätta frågan, hur man får sina avbildningsmatriser att antaga en så behaglig form, som i exemplet ovan. Hur finner
man den magiska basen? Det finns en systematisk metod (teorien för diagonalisering och egenvektorer ) för detta, som undervisas i mer avancerade kurser i
linjär algebra.
Övningar
1. Avbildningen T har matrisen
˜
1 1
A“
5 2
2
4
¸
i standardbasen.
(a) Visa, att en ny ortonormerad bas ges av
$
&e1 “ ?1 pe ` 2e q
2
1
5 1
%e1 “ ?1 p´2e1 ` e2 q.
2
5
(b) Bestäm matrisen A1 för T i denna nya bas.
(c) Tolka avbildningen geometriskt.
2. Avbildningen T har matrisen
¨
1 2
˚
˝3 ´1
1 1
˛
1
‹
2‚
´1
i standardbasen. Vad är matrisen för T i den bas, som ges av
$
1
’
’
&e1 “ e2 ´ e3
e21 “ e1 ´ e2 ` e3
’
’
%e1 “ ´e ` e
1
2
3
3. Givet är en linjär avbildning T , sådan att
$
’
’
&T p1, 0, 0q “ p1, 2, 3q
T p1, 1, 0q “ p0, 0, 1q
’
’
%T p1, 1, 1q “ p12, 3, 4q.
7
?
Bestäm matrisen för T i standardbasen.
4. Avbildningen T har matrisen
¨
15
˚
˝20
8
˛
´11 5
‹
´15 8 ‚
´7 6
i standardbasen. Vad är matrisen för T i den bas, som ges av
$
1
’
’
&e1 “ 2e1 ` 3e2 ` e3
e21 “ 3e1 ` 4e2 ` e3
’
’
%e1 “ e ` 2e ` 2e
3
1
2
?
3
Tolka avbildningen geometriskt.
3. Algebraisk framställning av linjära avbildningar
Vi beskriver nu, för tre typer av geometriska avbildningar, hur avbildningsmatrisen låter sig beräknas. Dessa är: projektion, spegling och rotation (vridning).
§1. Projektion. Ett oumbärligt verktyg vid geometrisk problemlösning är
Projektionsformeln
u¨v
projv u “
v,
|v|2
som ger projektionen av vektorn u på vektorn v.
Betrakta den linjära avbildning, som ges av projektion på linjen
Exempel 2.
px, yq “ tp1, 2q. En godtycklig vektor px, yq projiceras på
projp1,2q px, yq “
1
px, yq ¨ p1, 2q
x ` 2y
p1, 2q “
p1, 2q “ px ` 2y, 2x ` 4yq
|p1, 2q|2
5
5
˜
¸
˜
¸˜ ¸
1 x ` 2y
1 1 2
x
“
“
.
5 2x ` 4y
5 2 4
y
˜
1 1
Projektionsmatrisen är därför
5 2
¸
2
.
4
8
4
Övningar
1. Bestäm matrisen för projektion på y-axeln.
2. Bestäm matrisen för projektion på linjen x ` y “ 0.
3. Bestäm matrisen för projektion på linjen px, y, zq “ tp1, 1, 1q och finn därefter projektionen av vektorn p1, 2, 3q.
4. Bestäm matrisen för projektion på planet x ` 2y ` z “ 0.
§2. Spegling. För spegling används väsentligen samma metod som för projektion. Verktyget är återigen Projektionsformeln.
Betrakta den linjära avbildning, som ges av spegling i linjen
Exempel 3.
px, yq “ tp1, 2q. Projektionen av vektorn u “ px, yq på linjen är, enligt föregående
exempel,
1
u1 “ px ` 2y, 2x ` 4yq.
5
Projektionen på linjens normalvektor är
u2 “ u ´ u1 ,
varför speglingen av u “ px, yq i linjen är
2
u ´ 2u2 “ u ´ 2pu ´ u1 q “ 2u1 ´ u “ px ` 2y, 2x ` 4yq ´ px, yq
5
˜
¸
˜
¸˜ ¸
1
1 ´3x ` 4y
1 ´3 4
x
“ p´3x ` 4y, 4x ` 3yq “
“
.
5
5 4x ` 3y
5 4 3
y
˜
1 ´3
Speglingsmatrisen är därför
5 4
¸
4
.
3
4
Övningar
1. Bestäm matrisen för spegling i y-axeln.
2. Bestäm matrisen för spegling i linjen x ` y “ 0.
3. Bestäm matrisen för spegling i linjen px, y, zq “ tp1, 1, 1q och finn därefter
spegelbilden av vektorn p1, 2, 3q.
4. Bestäm matrisen för spegling i planet x ` 2y ` z “ 0.
9
§3. Rotation. Vridning i planet vinkeln θ moturs har, som vi tidgare sett,
matrisen
˜
¸
cos θ ´ sin θ
.
sin θ cos θ
Exempel 4.
Matrisen för vridning vinkeln 60˝ moturs är
˜
¸ ˜
? ¸
3
1
cos 60˝ ´ sin 60˝
´
2
2
?
“
. 4
3
1
sin 60˝
cos 60˝
2
2
För rotation kring en linje i rummet är det mer komplicerat. Vi betraktar
först det enklaste fallet, nämligen rotation kring z-axeln. Matrisen för vridning vinkeln θ moturs kring z-axeln (sett från spetsen av e3 ) är
¨
˛
cos θ ´ sin θ 0
˚
‹
˝ sin θ cos θ 0‚.
0
0
1
Basvektorerna e1 och e2 vrides på samma sätt som tidigare; deras z-koordinat
är 0 även efter rotationen. Basvektorn e3 påverkas inte av rotationen, utan
avbildas på sig själv.
Rotation kring en godtycklig linje kan nu behandlas genom att byta till en
ny positivt orienterad ortonormerad bas e11 , e21 , e31 , där e31 är parallell med linjen.
I denna nya bas är nämligen avbildningsmatrisen på ovanstående enkla form.
(Basen måste vara positivt orienterad för att inte få fel på tecken, då det är tal
om moturs och medurs.)
Exempel 5.
Låt oss finna matrisen för rotation kring linjen px, y, zq “ tp1, 1, 1q
vinkeln 90˝ moturs, sett från spetsen av p1, 1, 1q.
Som första steg inför vi en ny ortonormerad bas. Tredje basvektorn skall
vara parallell med p1, 1, 1q och ha längden 1, vilket ger e31 “ ?1 3 p1, 1, 1q. En vektor
som är vinkelrät mot denna är till exempel p1, ´1, 0q, vilken normeras till e11 “
?1 p1, ´1, 0q. Som andra basvektor måste vi då ta
2
1
e21 “ e31 ˆ e11 “ ? p1, 1, ´2q.
6
Nu blir nämligen e31 , e11 , e21 positivt orienterade, och därför också e11 , e21 , e31 . Vektorn e21 får automatiskt längden 1, ty om e31 och e11 är ortogonala med längden
1, spänner de upp en kvadrat med arean 1.
I denna nya bas är avbildningsmatrisen
¨
˛ ¨
˛
cos 90˝ ´ sin 90˝ 0
0 ´1 0
˚
‹ ˚
‹
A1 “ ˝ sin 90˝ cos 90˝ 0‚ “ ˝ 1 0 0‚.
0
0
1
0 0 1
10
Basbytesmatrisen är
¨
?1
?1
2
?1
˚
S“˚
˝´ 2
0
?1
˛
?1
‹
‹
3
6
?1
6
´ ?26
3 ‚,
?1
3
och eftersom basbytet skedde mellan ortonormerade baser, är denna matris
ortogonal, det vill säga
¨
?1
2
˚
S´1 “ S| “ ˝ ?16
?1
3
´ ?12
?1
6
?1
3
˛
0
´ ?26 ‹
‚.
?1
Avbildningsmatrisen i standardbasen är således
¨
1
1
?1
3
3 ´ 3
˚
1
1
?1
A “ SA1 S´1 “ ˚
3
˝3 ` 3
1
?1
?1
3 ´ 3
3
3
1
3
1
3
`
?1
´
?1
1
3
˛
3
‹
‹
3 ‚,
eftersom A1 “ S´1 AS.
4
Övningar
1. Bestäm matrisen för vridning i planet vinkeln 30˝ medurs och finn därefter vad vektorn p1, 2q vrides till.
2. Tolka geometriskt avbildningen
1
?
˜
1
2 ´1
¸
1
.
1
3. Finn matrisen för rotation vinkeln 90˝ moturs kring x-axeln (i rummet).
4. Finn matrisen för rotation vinkeln 90˝ moturs kring vektorn p1, 2, 2q.
5. Finn matrisen för rotation vinkeln 45˝ moturs kring vektorn p0, 1, 1q.
§4. Sammansättning och invers. Låt F vara en avbildning, som beskrivs av
multiplikation med matrisen A, och låt G beskrivas av multiplikation med
matrisen B. Detta betyder att
F
G
X ÞÑ AX ,
X ÞÑ BX .
11
Utförs först G och sedan F , uppnås följande evekt:
G
F
X ÞÑ BX ÞÑ ABX .
Denna avbildning kallas för den sammansatta avbildningen FG, som alltså har
matrisen AB.
Låt oss nu studera en enskild linjär avbildning F med matrisen A. Om A är
inverterbar, kan vi definiera inversen F ´1 som avbildningen med matris A´1 .
Applicerar vi först F och sedan F ´1 , fås
F
F ´1
X ÞÑ AX ÞÑ A´1 AX “ X .
Samma sak sker, om vi först applicerar F ´1 och sedan F :
F ´1
F
X ÞÑ A´1 X ÞÑ AA´1 X “ X .
Det gäller alltså att FF ´1 “ F ´1 F “ E, identitetsavbildningen. Avbildningen F
transformerar, och F ´1 transformerar tillbaka.
Övningar
1.
(a) Bestäm matrisen för avbildningen F ´1 , om F uppfyller
$
’
’
&F p1, 1, 0q “ p1, 0, 0q
F p0, 1, 1q “ p0, 1, 0q
’
’
%F p1, 0, 1q “ p0, 0, 1q.
(b) Bestäm matrisen för avbildningen F .
(c) Bestäm matrisen för G, som betyder spegling i planet x ` y ` 2z “ 0.
(d) Bestäm matrisen för avbildningen GF .
2. Låt Rθ vara vridning vinkeln θ moturs. Verifiera algebraiskt (genom att
multiplicera ihop matriserna), att
Rα`β “ Rα Rβ .
Tolka detta geometriskt.
3. Verifiera för någon speglingsmatris S (från ett exempel eller övning), att
S 2 “ E.
Tolka detta geometriskt.
4. Verifiera för någon projektionsmatris P , att
P2 “ P.
Tolka detta geometriskt.
12
Facit
1.1.1a Sätt a “ b “ 1 i definitionen.
1.1.1b Sätt v “ ~0 i definitionen.
1.1.1c Sätt a “ b “ 0 i definitionen.
1.1.2 Till exempel är T p0, 1q “ p1, 1q och T p0, 2q “ p4, 2q. För en linjär avbildning måste T p0, 2q “ 2T p0, 1q.
1.2.1a T p1, 0q “ p1, ´1q, T p0, 1q “ p´3, 4q
1.2.1b p´2, 3q
1.2.1c p4, 1q
2.1.1 Spegling i linjen x “ y.
2.1.2 (Rita figur.)
2.1.3 Projektion på xy-planet.
˜
¸
1
1 2
är ortogonal.
2.2.1a Basbytesmatrisen ?
5 ´2 1
˜
1
2.2.1b A “
1
0
0
0
¸
2.2.1c Projektion på vektorn e11 .
¨
˛
´2 6 ´3
˚
‹
2.2.2 ˝ 0 5 ´3 ‚
´1 5 ´4
¨
˛
1 ´1 12
˚
‹
2.2.3 ˝2 ´2 3 ‚
3 ´2 3
¨
˛
1 0 0
˚
‹
2.2.4 ˝0 2 0‚
0 0 3
Töjning med faktorn 2 längs e21 och töjning med faktorn 3 längs e31 .
13
˜
0
3.1.1
0
0
1
¸
˜
1 1
3.1.2
2 ´1
¨
1
1˚
3.1.3 ˝1
3
1
¸
´1
1
˛
1
‹
1‚, p2, 2, 2q
1
1
1
1
¨
5 ´2
1˚
3.1.4 ˝´2 2
6
´1 ´2
˜
´1
3.2.1
0
˜
3.2.2
0
´1
0
1
¸
¸
´1
0
¨
´1
1˚
3.2.3 ˝ 2
3
2
2
´1
2
¨
4
1˚
3.2.4 ˝´4
6
´2
˜ ?3
3.3.1
˛
´1
‹
´2‚
5
2
´ 21
´4
´2
´4
˛
2
‹
2 ‚, p3, 2, 1q
´1
˛
´2
‹
´4‚
4
¸ ˆ?
˙
3
1
?
`
1,
,
3
´
3
2
2
2
1
?2
¸ ˜
1 1
cosp´45˝ q
“
2 ´1 1
sinp´45˝ q
medurs.
¨
˛
1 0 0
˚
‹
3.3.3 ˝0 0 ´1‚
0 1 0
1
3.3.2 ?
˜
¨
1
1˚
3.3.4 ˝ 8
9
´4
´4
4
7
¸
´ sinp´45˝ q
betyder vridning vinkeln 45˝
cosp´45˝ q
˛
8
‹
1‚
4
14
¨
?1
2
˚
3.3.5 ˝ 21
´ 21
¨
1
˚
3.4.1a ˝ 1
0
1
2
1
2
´ 21
`
´
0
1
1
¨
1
1˚
3.4.1b ˝´1
2
1
1
?
2 2
1
?
2 2
¨
2
1˚
3.4.1d ˝´10
12
´2
2
1
2
´
`
˛
1 ‹
?
2 2‚
1
?
2 2
˛
1
‹
0‚
1
1
1
´1
¨
4
1˚
3.4.1c ˝ ´2
6
´4
?1
1
2
´2
4
´4
˛
´1
‹
1‚
1
˛
´4
‹
´4‚
´2
˛
6 ´10
‹
6
2 ‚
´6 ´2
3.4.2 Vridning först vinkeln β och sedan vinkeln α betyder totalt vridning
vinkeln α ` β.
3.4.3 Spegling två gånger i samma plan (eller linje) är ekvivalent med att inte
transformera alls.
3.4.4 Projektion två gånger ned i samma plan (eller linje) är ekvivalent med
att projicera en gång.
15