1. No category

HYDRAULIK
Rörströmning I
Rolf Larsson, Tekn Vattenresurslära
För VVR145, 19 mars, 2014
NASA/ Astronaut Photography of Earth - Quick View
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 2
Innehåll
1. Introduktion; tillämpningar
2. Energiförluster i rör
3. Lokala energiförluster
4. Kontinuitetsekvationen
5. Exempel
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 3
1. Introduktion; tillämpningar
• Vatten,
• avloppsvatten,
• fjärrvärme, fjärrkyla,
• olja och
• gas
är exempel på fluider/media av enorm betydelse för samhället som
transporteras via rörledningssystem.
I Sverige:
• Förbrukning av vatten: ca 200 l/(person o dygn)
• Anskaffningsvärde vatten- och avloppsledningar: SEK 250 miljarder
• Sammanlagd längd vattenledningar: 67 000 km
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 4
Två aspekter viktiga vid projektering av ledningssystem
1) Hydraulisk kapacitet
I ett trycksatt system beror transportkapaciteten av tryckfallet
längs ledningen. Tryckfallet åtföljs av energiförluster:
- Sträckförluster/friktionsförluster. Energiförluster associerade
med friktion/skjuvspänningar vid rörväggar.
- Punktförluster/lokala förluster. Förluster som uppstår pga
oregelbunden strömning (och turbulens) vid rörkrökar, ventiler,
dimensionsövergångar m.m.
2) Erforderlig hållfasthet hos rörmaterial
Dimensionering oftast baserad på belastning i form av höga/låga
tryck i samband med flödesförändringar (t.ex. ventiler som
öppnas el stängs)
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 5
Rörledningssystem, exempel
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 6
2. Energiförluster i rör
Energiekvationen mellan två punkter i rörssystem:
z1
p1
ρg
Σh
h
V21
2g
z2
p2
ρg
V22
2g
Σ
L12 Σh
För praktiska beräkningar behöver vi samband
mellan förluster och medelhastighet:
hfriktion
hlokal
= funk (V)
= funk (V)
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 7
Friktionsförluster (eller sträckförluster)
Det finns olika ekvationer/modeller för att beräkna
friktionsförluster. Vi använder Darcy-Weisbachs ekvation
(Eq. 6.12)
hf
Där
hf
f
D
V
Q
LV2
f
D2g
or
hf
f
L16Q2
D5 2g
2
= friktionsförlust pga friktion över en rörsträcka (m)
= friktionskoefficient (-), t.ex. från Moody diagram
= rördiameter (m)
= medelhastighet (m/s)
= flöde (m3/s)
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 8
Moodydiagram, (även Fig. 6.10)
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 9
3. Lokala energiförluster
• Lokala förluster (punktförluster) uppstår vid rörkrökar, ventiler
övergångar i diameter, knutpunkter etc.
• I långa rörsystem är de lokala förlusterna ofta försumbara i
förhållande till friktionsförluster (sträckförluster)
• I korta ledningar kan lokala förluster dominera
• De lokala förlusterna orsakas av snabba förändringar i hastighet
(magnitud och/eller riktning) vilket ger turbulens och
energidissipation
• Typiskt ger accelererande flöden små förluster, medan
decelererande flöden ger stora förluster
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 10
Lokala energiförluster (forts)
Vanligen skrivs de lokala förlusterna på följande sätt
hlokal
Där
hlokal
KL
V2/2g
V2
KL
2g
= lokal energiförlust
= lokal förlustkoefficient (beroende på typ av förlust, geometri etc.)
= hastighetshöjd
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 11
Lokala energiförluster - sektionsökning
Förlustkoefficient, KL, vid abrupt sektionsökning (V = V1):
D2/D1
1.5
2.0
2.5
5
10
KL
0.31
0.56
0.71
0.92
0.98
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 12
Lokala energiförluster – utströmning till reservoar
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 13
Lokala energiförluster - sektionsminskning
Förlustkoefficient, KL, vid abrupt sektionsminskning (V = V2):
D2/D1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
KL
0.50
0.45
0.42
0.39
0.36
0.33
0.28
0.22
0.15
0.06
0.00
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 14
Lokala energiförluster – olika typer av rörinlopp
(V = V2)
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 15
Lokala energiförluster – rörkrökar
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 16
Lokala energiförluster – tvära rörkrökar
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 17
Lokala energiförluster – div. fall (Table 6.4)
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 18
4. Rörsystem (rör i serie)
Lösning
• Energiekvationen
 Total skillnad i energinivå , H motsvaras av totala e-förluster
H = hf1 + hf2 + hlocal
• Kontinuitetsekvationen Q = Q1 = Q2
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 19
4. Rörsystem (parallella ledningar)
Lösning
• Energiekvationen 
Total skillnad i energinivå , H motsvaras av totala e-förluster
oavsett flödesväg, dvs
hf1 + hlocal,1 = hf2 + hlocal,2
• Kontinuitetsekvationen  Q = Q1 + Q2
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 20
7. Exempel
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 21
J11:Calculate the smallest reliable flowrate that can be pumped through
this pipeline. D = 25 mm, f = 0.020, L = 2 x 45 m, Vertical distances are
7.5 m and 15 m respectively. Assume atmospheric pressure 101.3 kPa.
1
2
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 22
J12: Water is flowing. Calculate the gage reading when V300 is 2.4
m/s.
(NOTE El. = elevation)
2
1
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 23
J18 : A 0.6 m pipeline branches into a 0.3 m
and a 0.45 m pipe, each of which is 1.6 km
long, and they rejoin to form a 0.45 m pipe. If
0.85 m3/s flow in the main pipe, how will the
flow divide? Assume that f = 0.018 for both
branches.
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 24
Example – parallel pipes:
A 300 mm pipeline 1500 m long (f = 0.020) is laid
between two reservoirs having a difference of
surface elevation of 24 m. What is the maximum
obtainable flowrate through this line (with all the
valves wide open)?
When this pipe is looped with a 400 mm pipe 600 m
long (f = 0.025) laid parallel and connected to it, what
increase of maximum flowrate may be expected?
Assume that all local losses may be neglected.
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 25
TACK FÖR IDAG!
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning I 17 mar 2014 / 26
HYDRAULIK
Rörströmning II
Rolf Larsson, Tekn Vattenresurslära
För VVR145, 24 mars, 2014
NASA/ Astronaut Photography of Earth - Quick View
24 mar
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning II 24 mar 2014 / 2
Innehåll
1. Rörsystem – förgrenade system /
trereservoirproblemet
2. Icke-stationär rörströmning Utflöde från reservoir med
varierande tryck
3. Exempel
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning II 24 mar 2014 / 3
1. Rörsystem – förgrenade system / trereservoirproblemet
1
2
3
Lösning
3 möjliga flödessituationer:
1) Från reservoir 1 och 2 till reservoir 3
2) Från reservoir 1 till reservoir 2 och 3
3) Från reservoir 1 till 3 (Q2 = 0)
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning II 24 mar 2014 / 4
Eftersom HJ är okänd, :
För situation enl. Fig. :
1) Antag värde på HJ
Energiekvationen 
2/2g
HJ = zJ + pJ/(ρg) + VJ
hf1 + hlocal1 = z1 – HJ
hf2+ hlocal2 = z2 – HJ
hf3 + hlocal3 = HJ – z3
Kontinuitetsekvationen  Q3 = Q1+ Q2
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning II 24 mar 2014 / 5
2) Beräkna Q1, Q2, och Q3
3) Om Q1 + Q2 = Q3, OK
4) Om Q1 + Q2 ≠ Q3,
1)
2. Icke-stationär rörströmning Utflöde från reservoir med varierande tryck
• Eftersom trycket i ledningen
varierar med nivån i magasinet, så
kommer även utflödet att variera
• I figuren representerar V volymen i
magasinet vid en viss tidpunkt. Det
finns även ett inflöde, Qi, och ett
utflöde, Qo.
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning II 24 mar 2014 / 6
Icke-stationär rörströmning, forts.
• Volymförändringen i magasinet under ett litet tidsintervall dt, kan uttryckas
som
dV = (Qi – Qo) · dt och dV = As · dz →
As · dz = (Qi – Qo) · dt (kont.ekv.)
Där både in- och utflöde kan variera i tiden.
• Utflödet kan vanligtvis uttryckas som en funktion av z, med hjälp av
energiekvationen. Exempelvis utströmning genom en liten öppning:
Qo = Ahole · CD · (2gz)1/2
(Eqn. 5.12)
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning II 24 mar 2014 / 7
Icke-stationär rörströmning, forts.
• Om man söker den tid det tar för nivån att förändras från z1 till z2 så utgår
man från kontinuiteten omskriven som
dt = [As /(Qi – Qo)] dz
Uttrycket integreras 
t2
z2
t1∫ t dt = z1∫ [As /(Qi – Qo)] dz
Uttrycket kan beräknas om Qi = konstant och Qo kan skrivas som en
funktion av z.
Qo bestäms via energiekvationen under antagande om kvasi-stationaritet.
Om vattennivån förändras hastigt måste en accelerationsterm
inkluderas.
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning II 24 mar 2014 / 8
3. Exempel
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning II 24 mar 2014 / 9
J22 : A 900 mm pipe divides into three 450 mm pipes at elevation
120. The 450 mm pipes (length, see table) runs to reservoirs with
elevations according to table. When 1.4 m3/s flows in the big pipe,
how will the flow divide? Assume f = 0.017 in all pipes.
Reservoir
Elevation (m)
Pipe length (m)
A
90
3200
B
60
4800
C
30
6800
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning II 24 mar 2014 / 10
J23 : Three reservoirs are connected with pipes via a connection point
O at elevation 120. With the data according to the table calculate the
flowrates in the lines. Assume f = 0.020.
Reservoir
Elevation (m)
Pipe length
(m)
Diameter (mm)
A
150
1600
300
B
120
1600
200
C
90
2400
150
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning II 24 mar 2014 / 11
Example – unsteady pipe flow
The open wedge-shaped tank in the
figure has a length of 5 m perpendicular
to the sketch.
It is drained through a 75 mm diameter
pipe, 3.5 m long, whose discharge end
is at elevation zero. The coefficient of
loss at the pipe entrance is 0.5, the total
of the bend loss coefficients is 0.2, and
the friction factor is f = 0.018.
Find the time required to lower the
water surface in the tank from elevation
3 m to 1.5 m. Assume that the
acceleration effects in the pipe are
negligible.
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning II 24 mar 2014 / 12
1
2
TACK FÖR IDAG!
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning II 24 mar 2014 / 13
HYDRAULIK
Rörströmning III
Rolf Larsson, Tekn Vattenresurslära
För VVR145, 26 mars, 2014
NASA/ Astronaut Photography of Earth - Quick View
24 mar
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 2
Innehåll
1. Friktionsmotstånd i rör, allmänt
2. Friktionssamband för laminär
strömning
3. Friktionssamband för turbulent
strömning
4. Icke-cirkulära tvärsnitt –
hydraulisk radie
5. Exempel
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 3
1. Friktionsmotstånd i rör. Allmänt.
Reynold’s 2:a experiment – friktionsmotstånd
laminär/tubulent strömning
• Laminärt:
• Turbulent:
hfriction ~ dp/dx ~ V
hfriction ~ dp/dx ~ V2
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 4
b) Molekylärt utbyte av
rörelsemängd (laminärt) c) Makroskopiskt utbyte av
a) Hastighetsprofil och
skjuvspänning, generellt
rörelsemängd (turbulent)
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 5
Generella samband (både för laminär o turbulent strömning:
2 För att komma vidare behöver man ett samband
mellan skjuvspänning och hastighet
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 6
2. Friktionssamband för laminär strömning
För laminär strömning gäller
där
= kinematisk viskositet (m2/s)
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 7
Friktionssamband för laminär strömning (forts)
(Poiseuille’s ekvation 6.11)
32 Jfr Darcy-Weisbachs ekvation (Eq. 6.12)
h
LV
f
D2g
 f = 64/Re (gäller laminär rörströmning)
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 8
3. Friktionssamband för turbulent strömning
Turbulent
hastighetsprofil
Idealiserad bild
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 9
Modell för turbulent skjuvspänning τ
Boussinesq’s ansats
där
= virvelviskositet (eddy viscosity)
Prandtl’s modell
där = blandningslängd (mixing length)
=κy
κ = van Karmans konstant = 0.41
Sammantaget 
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 10
Nikuradse’s experiment
• Ett viktigt bidrag till hur man kan bestämma friktionskoefficienten (f) som
en funktion av Reynolds tal (Re) och rörväggens råhet (ks)
• En omfattande serie av experiment där f och hastighetsfördelning
mättes för varierande Re och ks
• I dessa experiment användes påklistrade enhetliga sandkorn (av skilda
storlekar) för att variera ks
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 11
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 12
Hur friktionskoefficienten (f) beror av
råhet (ks) jämförd med laminär skiktets tjocklek (δL)
a) L >> kS:
f = f(y0), y0 = y0(L), L = L(Re)  f = f(Re)
b) L ≈ kS:
f = f(y0), y0 = y0(L, kS),
 f = f(Re, kS/D)
c) L << kS:
f = f(y0), y0 = y0(kS)
 f = f(kS)
y0 = avstånd för vilken V=0 enligt log-profil
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 13
I praktiken: 4 olika strömningssituationer
ks/D = relativ råhet (relative roughness)
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 14
Moodydiagram, (även Fig. 6.10)
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 15
Det laminära underskiktet och friktionshastigheten
Det laminära (viskösa) delen av gränsskiktet har en tjocklek ( )
(från mätningar)
4
∗
där
= kinematisk viskositet
1/2 = friktionshastighet (definition)
∗ = ( )
Med Darcy-Weisbachs ekvation:
4 LV
f
D2g
Får vi nu:
∗
0
8
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 16
4. Icke-cirkulära tvärsnitt – hydraulisk radie
• Även om cirkulära tvärsnitt är vanligast så förekommer även andra
geometrier.
• Friktionsförluster för icke-cirkulära tvärsnitt beräknas m.h.a. begreppet
hydraulisk radie (Rh)
• Den hydrauliska radien definieras som
Rh = A/P (m)
där
A = tvärsnittets area (m2)
P = våta perimetern (m), dvs den sträcka där fluiden är i kontakt
med rörväggen
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 17
Icke-cirkulära tvärsnitt – hydraulisk radie (forts.)
För ett cirkulärt tvärsnitt gäller enligt definitionen
2
/4
4
Detta värde på diametern kan sättas in i Darcy-Weisbachs
ekvation, och uttrycken för Reynolds tal och relativ råhet:
h
f
LV
4 2g
4
/
4
OBS Ovanstående gäller turbulent strömning. Bör ej
tillämpas för laminära fall.
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 18
5. Exempel
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 19
J4:
If the turbulent velocity profile in a pipe 0.6 m in diameter may be
approximated by v = 3.56 y1/7 (v in m/s, y in m) and the shear
stress in the fluid 0.15 m from the pipe wall is 6.22 Pa, calculate
the eddy viscosity, mixing length, and turbulence constant k at
this point. The density of the fluid is 900 kg/m3.
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 20
Example – laminar sublayer
Water is flowing in a 100 mm pipe with an average velocity
of 1 m/s. Pipe friction factor is 0.02 and kinematic viscosity,
ν = 1·10-6 m2/s.
Calculate the thickness of the laminar sublayer
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 21
Example – turbulent pipe flow.
200 l/s of water is pumped through a straight 300 mm pipe. The
pipe has a roughness value of ks=0.3 mm and the water
temperature is 20C. Calculate the head loss for 1000 m of pipe
and required pump power assuming that the end points of the pipe
are at the same level.
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 22
J6:
A horizontal rough pipe of 150 mm diameter carries water at
20C. It is observed that the fall of pressure along this pipe is
184 kpa per 100 m when the flowrate is 60 l/s. What size of
smooth pipe would produce the same pressure drop for the
same flowrate?
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 23
Example – non-circular pipe.
Calculate the loss of head and the pressure drop when air at an
absolute pressure of 101.3 kpa flows through 600 m of a 450 mm
by 300 mm smooth rectangular horizontal duct (“ledning”) with a
mean velocity of 3 m/s. Air = 1.225 kg/m3, dynamic viscosity air =
1.78910-5 pas.
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 24
J7:
Water flows through a section of 300 mm pipeline 300 m long
running from elevation 90 to elevation 75. A pressure gage at
elevation 90 reads 275 kpa, and one at elevation 75 reads 345
kpa. Calculate head loss, direction of flow, and shear stress at the
pipe wall and 75 mm from the pipe wall. If the flowrate is 0.14
m3/s, calculate the friction factor and friction velocity
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 25
TACK FÖR IDAG!
VVR015 Hydraulik/ Rörströmning III 26 mar 2014 / 26