Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss
sum/max/min V¨
antev¨
arde Varians
Summa av tv˚
a oberoende, Z = X + Y
pZ (k) =
fZ (z) =
X
i+j=k
Z ∞
pX (i) · pY (j) =
k
X
pX (i)pY (k − i)
i=0
fX (x)fY (z − x) dx
−∞
Maximum/Minimum av fler oberoende
Z = max(X1 , . . . , Xn )
FZ (z) =
n
Y
FXi (z)
i=1
Z = min(X1 , . . . , Xn )
n
Y
[1 − FXi (z)]
FZ (z) = 1 −
i=1
1/18
Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss
sum/max/min V¨
antev¨
arde Varians
V¨antev¨arde
V¨antev¨ardet anger tyngdpunkten f¨or f¨ordelningen och kan
anga loppet”.
tolkas som det v¨arde man f˚
ar i ”medeltal i l˚
(R ∞
−∞ xfX (x) dx Kont.
E(X) = P
Diskr.
k kpX (k)
Det betingade v¨antev¨ardet f¨or X givet att Y = y blir (inget
nytt)
Z ∞
xfX|Y (x | y) dx
E(X | Y = y) =
−∞
Observera att
E(X | Y = y) ¨
ar en funktion av y
ar samma funktion av Y
E(X | Y) ¨
2/18
Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss
sum/max/min V¨
antev¨
arde Varians
Satsen om total sannolikhet f¨or v¨antev¨arde
E(E(X | Y)) = E(X), dvs
Z
 E(X | Y = y)f (y) dy
Y
E(X) = X

E(X | Y = y) p (k)
Y
3/18
Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss
sum/max/min V¨
antev¨
arde Varians
Varians
Variansen anger hur utspridd X ¨
ar kring sitt v¨antev¨arde.
h
i2 V(X) = E X − E(X)
= E(X2 ) − E(X)2
Variansen ¨ar alltid positiv.
Standardavvikelse, D(X), σ, σX
D(X) =
p
V(X)
4/18
Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss
Linj¨
arkombination Oberoende Exempel
Beroendem˚
att
Kovarians, C(X, Y)
C(X, Y) = E{[X − E(X)][Y − E(Y)]} = E(XY) − E(X)E(Y)
◮
Kovariansen anger hur mycket linj¨art beroende som finns
mellan X och Y.
◮
Ur definitionen f˚
as C(X, X) = V(X)
◮
X och Y oberoende
◮
Obs. C(X, Y) = 0
=⇒
6=⇒
C(X, Y) = 0
X och Y oberoende
Korrellationskoefficient, ρ, ρX,Y
ρX,Y =
◮
C(X, Y)
D(X)D(Y)
−1 ≤ ρX,Y ≤ 1
5/18
Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss
Linj¨
arkombination Oberoende Exempel
Korrellation
6/18
Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss
Linj¨
arkombination Oberoende Exempel
Linj¨arkombination
◮
E(aX + b) = aE(X) + b
◮
V(aX + b) = a2 V(X)
◮
◮
D(aX + b) = |a|D(X)
!
n
n
X
X
ai E(Xi )
ai Xi =
E
i=1
i=1
◮
V
n
X
i=1
ai Xi
!
=
n
X
i=1
a2i V(Xi ) + 2
X
ai aj C(Xi , Xj )
i<j
|
=0
{z
}
om oberoende
7/18
Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss
Linj¨
arkombination Oberoende Exempel
Kovariansen ¨ar bilinj¨ar
dvs linj¨ar i b˚
ada argumenten (jfr polynommultiplikation)


X
X
XX
C
aj Xj ,
bk Yk  =
aj bk C(Xj , Yk )
j
k
j
k
Exempel:
1. R¨
akna ut C(X1 + 2X2 , 3Y1 − 4Y2 )
C(X1 + 2X2 , 3Y1 − 4Y2 ) =1 · 3C(X1 , Y1 ) − 1 · 4C(X1 , Y2 )+
+ 2 · 3C(X2 , Y1 ) − 2 · 4C(X2 , Y2 )
2. Y = 2X1 − X2 . Uttryck V(Y) i V(X1 ), V(X2 ) och
C(X1 , X2 ).
V(Y) =C(Y, Y) = C(2X1 − X2 , 2X1 − X2 ) =
=4C(X1 , X1 ) − 2C(X1 , X2 ) − 2C(X2 , X1 ) + C(X2 , X2 ) =
=4V(X1 ) − 4C(X1 , X2 ) + V(X2 )
8/18
Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss
Linj¨
arkombination Oberoende Exempel
Specialfall av oberoende och likaf¨ordelade s.v.
L˚
at E(Xi ) = μ,P V(Xi ) = σ2
Summa: Y = ni=1 Xi
◮
E(Y) = E
n
X
Xi
i=1
◮
V(Y) = V
n
X
=
!
=
Xi
i=1
Medelv¨
arde: Xn =
!
1
n
n
X
E(Xi ) =
i=1
n
X
n
X
n
X
μ = nμ
i=1
12 V(Xi ) =
n
X
σ2 = nσ2
i=1
i=1
Xi
i=1
◮
n
n
X
1X
1
1
E(Xn ) =
E(Xi ) =
μ = nμ = μ
n
n
n
i=1
◮
i=1
n
n
X
1 X 2
σ2
1
1 2
V(X
)
=
nσ
=
V(Xn ) =
σ
=
i
n2
n2
n2
n
i=1
i=1
9/18
Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss
Linj¨
arkombination Oberoende Exempel
Exempel: Br¨ador
Kapa br¨
ador med oberoende l¨
angder Xi . E(Xi ) = 1 m och
V(Xi ) = 0.1 m. Best¨am E(Y) och V(Y) om Y ges av
a) Sammanlagda l¨angden av 10 stycken.
b) Tag en br¨
ada, kapa nio till exakt lika l˚
anga.
L¨
osning:
P
a) Y = 10
i=1 Xi
E(Y) = 10 · 1 = 10 m
V(Y) = 10 · V(Xi ) = 1 m2
b) Y = 10X1
E(Y) = E(10X1 ) = 10E(X1 ) = 10 m
V(Y) = V(10X1 ) = 102 V(X1 ) = 10 m2
10/18
Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss
Stora talens lag
Om X1 , X2 , . . . , Xn ¨ar oberoende och likaf¨ordelade med
E(Xi ) = μ s˚
a g¨aller
¯ n − μ| > ε) → 0, n → ∞
P(|X
f¨or alla ε > 0.
Det vill s¨
aga medelv¨ardet konvergerar i sannolikhet mot
v¨antev¨ardet d˚
a n v¨axer mot o¨
andligheten!
Vi har till och med att:
n
o
¯ n existerar och ¨
P
lim X
ar lika med μ
=1
n→∞
11/18
Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss
Exempel n variabler Exempel
Gauss approximationsformler i en variabel
Y = g(X). Taylorutveckla funktionen g kring μ = E(X)
g(X) ≈ g(μ) + (X − μ)g′ (μ)
◮
E(Y) ≈ g(E(X))
◮
V(Y) ≈ g′ [E(X)]2 V(X)
=⇒
12/18
Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss
Exempel n variabler Exempel
Exempel
L˚
at E(X) = μ och V(X) = σ2 .
a) Best¨am approximativt v¨antev¨arde och varians f¨or
Y = g(X) = πX2 .
E(Y) ≈ g(E(X)) = πμ2
V(Y) ≈ [g′ (E(X))]2 V(X) = [g′ (X) = 2πX] = (2πμ)2 σ2
b) Best¨am v¨antev¨ardet f¨or Y utan approximation.
Eftersom V(X) = E(X2 ) − E(X)2 f˚
as
2
2
E(X ) = V(X) + E(X) och det s¨
okta v¨antev¨ardet blir
E(Y) = E(πX2 ) = πE(X2 ) = π(V(X) + E(X)2 ) = πσ2 + πμ2
Vi ser att approximationen av v¨antev¨ardet alltid ¨ar f¨or liten
men st¨
ammer bra om σ ¨
ar liten i f¨orh˚
allande till μ.
13/18
Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss
Exempel n variabler Exempel
Feluppskattning v¨antev¨arde
◮
◮
Om |g′ (x)| ≤ c1 f¨or alla v¨arden x som X kan anta har vi att
E
g(X)
−
g(μ)
≤ c1 σ
Om |g′′ (x)| ≤ c2 f¨or alla v¨arden x som X kan anta har vi
att
σ2
E g(X)] − g(μ) ≤ c2
2
14/18
Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss
Exempel n variabler Exempel
Gauss approximationsformler i n variabler
F¨or en funktion av n variabler f˚
as p˚
a samma s¨
att
Y = g(X1 , . . . , Xn )
E(Y) ≈g(E(X1 ), . . . , E(Xn ))
n
X
X
c2i V(Xi ) + 2
ci cj C(Xi , Xj )
V(Y) ≈
i=1
d¨
ar ci =
i<j
∂g
(E(X1 ), . . . , E(Xn ))
∂xi
15/18
Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss
Exempel n variabler Exempel
Gaussaproximation f¨or tv˚
a variabler
F¨or en funktion av tv˚
a variabler g(X, Y) blir Gauss
approximationsformler (med E(X) = μX , E(Y) = μY )
E g(X, Y) ≈g(μX , μy )
′
2
′
2
(μX , μY ) V(Y)
V g(X, Y) ≈ gX
(μX , μY ) V(X) + gY
′
′
+ 2 gX
(μX , μY ) gY
(μX , μY ) C(X, Y)
d¨
ar sista termen ¨ar noll d˚
a X och Y ¨
ar (tex) oberoende.
′
′
gX och gY ¨ar partiell derivata map X resp. Y. J¨
amf¨or detta
med det generella uttrycket f¨or en funktion av n variabler.
16/18
Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss
Exempel n variabler Exempel
Exempel
Best¨am approximativa v¨arden p˚
a variansen f¨or X · Y och X/Y
om X och Y ¨ar oberoende av varandra. Uttryck svaren i μX , μY ,
V(X) och V(Y).
1. g(X, Y) = X · Y.
′ (X, Y) = Y och g′ (X, Y) = X.
gX
Y
′
2
′
2
V(X · Y) ≈ gX (μX , μY ) V(X) + gY
(μX , μY ) V(Y) =
= μ2Y V(X) + μ2X V(Y)
X
2. Antag Y > c > 0 och g(X, Y) = Y
.
1
X
′
′
gX (X, Y) = Y och gY (X, Y) = − Y2 .
X
μ2
1
V
≈ 2 V(X) + 4X V(Y)
Y
μY
μY
17/18