Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen Sal (1) 2012-10-20 TER1,TER2 (Om tentan går i flera salar ska du bifoga ett försättsblad till varje sal och ringa in vilken sal som avses) Tid Kurskod Provkod Kursnamn/benämning Institution Antal uppgifter som ingår i tentamen Jour/kursansvarig 14:00–19:00 TSRT19 TEN1 Reglerteknik ISY 5 Svante Gunnarsson (Ange vem som besöker salen) Telefon under skrivtiden Besöker salen cirka kl. Kursadministratör/ kontaktperson 013-281747,070-3994847 15:00 och 17:00 Ninna Stensgård, 013-282225, [email protected] (Namn, telefonnummer, mejladress) Tillåtna hjälpmedel 1. T. Glad & L. Ljung: ”Reglerteknik. Grundläggande teori” 2. Tabeller och formelsamlingar, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: ”Mathematics handbook”, C. Nordling & J. Österman: ”Physics handbook”, S. Söderkvist: ”Formler & tabeller” 3. Miniräknare utan färdiga program Normala inläsningsanteckningar får finnas i böckerna. Övrigt — Vilken typ av papper Rutigt ska användas, rutigt eller linjerat Antal exemplar i påsen TENTAMEN I TSRT19 REGLERTEKNIK SAL: TER1,TER2 TID: 2012-10-20 kl. 14:00–19:00 KURS: TSRT19 Reglerteknik PROVKOD: TEN1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Svante Gunnarsson, tel. 013-281747,070-3994847 BESÖKER SALEN: cirka kl. 15:00 och 17:00 KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, 013-282225, [email protected] TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: 1. T. Glad & L. Ljung: ”Reglerteknik. Grundläggande teori” 2. Tabeller och formelsamlingar, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: ”Mathematics handbook”, C. Nordling & J. Österman: ”Physics handbook”, S. Söderkvist: ”Formler & tabeller” 3. Miniräknare utan färdiga program Normala inläsningsanteckningar får finnas i böckerna. LÖSNINGSFÖRSLAG: Finns på kursens websida efter skrivningens slut. VISNING av tentan äger rum 2012-11-14, kl. 12.30–13.00 i Ljungeln, Bhuset, ingång 27, A-korridoren till höger. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 betyg 4 betyg 5 23 poäng 33 poäng 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till! 1. (a) Två f d LiTH-studenter är på semester en solig sommardag på Östersjön i sin nyinköpta 50-fots daycruiser med siktet inställt på Visby. Över en kopp kaffe på soldäck funderar de över funktionen hos båtens autopilot (vars uppgift är att automatiskt hålla båten på rätt kurs) och vad som är styrsignal u(t), utsignal y(t) och störsignal v(t) i detta reglersystem. Vad är dina egna förslag? (3p) (b) Ett system har överföringsfunktionen as + b cs + d G(s) = I figuren nedan visas Bodediagrammet för systemet för följande fyra kombinationer av koefficientvärden. Kombinera figurerna och koefficienterna. (i) a = 2, b = c = d = 1 (ii) (iii) a = b = d = 2, c = 4 (iv) a = 0, b = c = 1, d = 0 a = 4, b = 2, c = d = 1 (4p) A B Magnitude (abs) Magnitude (abs) 2 0 10 10 0 10 −2 10 −89 Phase (deg) Phase (deg) 20 10 0 −2 10 −1 0 10 10 Frequency (rad/s) −90 −91 −2 10 1 10 −1 C Magnitude (abs) Magnitude (abs) 0.3 10 −0.3 10 10 0 10 20 Phase (deg) 0 Phase (deg) 1 10 D 0.3 −10 −20 −2 10 0 10 10 Frequency (rad/s) −1 0 10 10 Frequency (rad/s) 10 0 −2 10 1 10 −1 Figur 1: Bodediagram till uppgift 1b. 2 0 10 10 Frequency (rad/s) 1 10 (c) Ett systemet antas kunna beskrivas av modellen y(t) ˙ + ay(t) = bu(t) När insignalen är ett steg med amplituden u0 fås stegsvaret i figur 2 nedan. Bestäm koefficienterna a och b. Ange också modellens statiska förstärkning. (3p) Step Response 5 4.5 4 3.5 Amplitude 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 2 4 6 Time (seconds) 8 10 Figur 2: Stegsvar till uppgift 1c. 3 12 2. Ett system beskrivs med modellen Y (s) = G(s)U (s) där G(s) = 1 (s + 1)2 Systemet styrs med PID-återkoppling enligt figur 3 där F (s) = KP + KI 1 + KD s s Figur 3: Reglersystem (a) I figur 4 visas det återkopplade systemets amplitudkurva, d v s | GC (iω) | för några olika kombinationer på PID-koefficienter. Kombinera koefficienterna och figurerna. KP = 2, KI = 0, KD = 0 (2) KP = 5, KI = 0, KD = 0 (3) KP = 2, KI = 2, KD = 0 (4) KP = 2, KI = 10, KD = 0 (1) (4p) (b) Betrakta åter modellen och återkopplingen ovan. Ange det återkopplade systemets karakteristiska ekvation. Kan man med lämpliga val av KP , KI och KD placera det återkopplade systemets poler godtyckligt? (3p) (c) Bestäm koefficienterna KP , KI och KD så att följande krav uppfylls. • S(0) = 0 • Det återkopplade systemets poler uppfyller Re(s) ≤ −1. (3p) 4 A B 1 1 10 Magnitude (abs) Magnitude (abs) 10 0 10 −1 10 −2 10 0 10 −1 10 −2 −1 10 0 10 1 10 Frequency (rad/s) 10 −1 10 C 1 10 Magnitude (abs) Magnitude (abs) 1 10 D 0 10 −1 10 −2 10 0 10 Frequency (rad/s) 0 10 −1 10 −2 −2 10 −1 0 10 10 Frequency (rad/s) 10 1 10 −1 10 0 10 Frequency (rad/s) Figur 4: Bodediagram till uppgift 2a. 5 1 10 3. I artikeln [1] nedan studeras problemet att reglera rotationshastigheten hos ett vindkraftverk när vindens hastighet varierar. Enligt [1] kan sambandet mellan insignalen till den mekanism som ändrar rotorbladens vinkel och rotationshastigheten förenklat beskrivas med modellen Y (s) = G(s)U (s) där G(s) = 1 Kωn2 · 2 τ s + 1 s + 2ζωn s + ωn2 där τ = 5, K = 7, ζ = 0.05 och ωn = 20. Bodediagrammet för modellen visas på nästa sida. (a) Antag att systemet skall styras med återkoppling enligt figur 5 Figur 5: Reglersystem Bestäm en regulator F (s) sådan att följande specifikationer uppfylls: • Det stationära reglerfelet skall vara noll då referenssignalen är ett steg. • ωc = 0.4 rad/s • φm ≥ 60◦ (6p) (b) Anta att systemet styrs med den återkoppling som bestämdes i uppgift a) ovan. Ange | S(iω) | för vinkelfrekvenserna ω = 0 rad/s och ω = 20 rad/s. (4p) [1] L.Y. Pao och K.E. Johnson, “A Tutorial on the Dynamics and Control of Wind Turbines and Wind Farms”. Proceedings of the American Control Conference, 2009. 6 Bode Diagram 1 10 0 10 Magnitude (abs) −1 10 −2 10 −3 10 −4 10 −2 10 −1 10 0 10 Frequency (rad/s) 1 10 2 10 Bode Diagram 0 −45 Phase (deg) −90 −135 −180 −225 −270 −2 10 −1 10 0 10 Frequency (rad/s) 1 10 Figur 6: Bodediagram för system i uppgift 3 7 2 10 4. Betrakta en dubbeltankprocess av det slag som studerades i två av labbarna i kursen. Processen kan beskrivas på tillståndsform med modellen ! x(t) ˙ = ! −1 0 1 x(t) + u(t) 1 −1 0 y(t) = (0 1)x(t) där tillståndsvariablerna x1 (t) och x2 (t) betecknar avvikelserna i vattennivå från en stationär nivå (jämviktspunkt) i övre respektive undre tanken, u(t) betecknar inflödet i övre tanken och y(t) betecknar nivå i den undre tanken. (a) Antag att båda nivåerna kan mätas. Bestäm en tillståndsåterkoppling på formen u(t) = −Lx(t) + r(t) sådan att det återkopplade systemets poler placeras i −α. (3p) (b) Hur stor översläng fås i utsignalen y(t) vid ett steg i referenssignalen när återkopplingen som beräknades i a) används på tankprocessen? Ange hur stegsvarets stigtid principiellt beror av valet av α. Vad är det som i praktiken begränsar hur α kan väljas? (3p) (c) Antag att man av kostnadsskäl endast vill mäta nivån i den undre tanken, men ändå uppnå samma prestanda som fås med återkopplingen i a). En (inte så reglertekniskt välutbildad) konsult föreslår att man, med utgångspunkt från ekvationen för nivån i den undre tanken, kan skatta nivå i den övre tanken med hjälp av ekvationen x ˆ1 = x2 + x˙ 2 Förklara varför detta inte är någon bra idé. (1p) (c) Förslå ett bättre alternativ, jämfört med förslaget i c), för att skapa ett reglersystem för tanken under förutsättning att endast nivån i den undre tanken kan mätas. Några räkningar behöver ej utföras, utan det räcker att ange vilka beräkningar som måste utföras. (3p) 8 5. Isabella och Ivar åker söderut på Autobahn i sin Audi R8 för att tillbringa en skidvecka i Alperna. Medan Bruce Springsteens “Thunder Road” hörs från bilens ljudanläggning funderar de över funktionen och robustheten hos bilens farthållare. Sambandet mellan gaspådrag och hastighet kan förenklat (bl a linjäriserat) beskrivas med sambandet Y (s) = G(s)U (s) där 1 m·s + c där m är massan och c beror av bilens luftmotstånd. Vi antar här för enkelhets skull att båda koefficienterna är ett, d v s vi antar att systemet kan beskrivas med modellen G(s) = G(s) = 1 s+1 I verkligheten varierar dock bilens massa beroende på antalet passagerare, mängden bagage och bränsle. Antag därför att det verkliga systemet beskrivs av 1 G0 (s) = (1 + δ)s + 1 där δ representerar avvikelsen i massa jämfört med modellen G(s), och δ = 0 motsvarar bil utan passagerare m m. (a) Verifiera att det relativa modellfelet ges av ∆G(s) = −δs (1 + δ)s + 1 (2p) (b) Antag att bilens farthållare, som är av PI-typ, beräknats utgående från modellen G(s) och ges av F (s) = 1 + 4 · 1 s Detta ger ett återkopplat system, vars absolutbelopp | Gc (iω) | visas i figur 7 nedan. Gör en principiell skiss av absolutbeloppet av inversen av det relativa modellfelet i det bifogade diagrammet. (Tag loss sidan och bifoga till dina lösningar.) Antag att avvikelsen i massa som högst är 50 procent, d v s 0 < δ < 0.5. Har Isabella och Ivar någon anledning att vara oroliga över stabiliteten hos farthållaren? (4p) 9 (c) Antag (hypotetiskt) att massan skulle kunna ändras ännu mera än vad som antogs i uppgift b. Rita rotort med avseende på δ för det återkopplade systemets karakteristiska ekvation då F (s) används på G0 (s). Kan det återkopplade systemet bli instabilt för något δ? (4p) 10 Bode Diagram 0 Magnitude (abs) 10 −1 10 −1 0 10 10 Frequency (rad/sec) Figur 7: Figur till uppgift 5. 11