T - KTH
Exponentialfunktionen Exponentiella förlopp med tidkonstanter är mycket vanliga inom så gott som alla fysikaliska tillämpningar. I stället för att formellt lösa de bakomliggande differentialekvationerna brukar ingenjörer använda ”snabbformler” och ”tumregler”. Här följer de vanligaste … William Sandqvist [email protected] exponentialfunktionen Stigande kurva x(t ) = 1 − e − Fallande kurva t τ x(t ) = e − t τ Man kan använda detta ”normerade” diagram för att avläsa en uppskattning av vad som händer vid ett exponentiellt förlopp med en tidkonstant. Normerat diagram 0…100% och 0…5 τ William Sandqvist [email protected] exponentialfunktionen Tumregel för 1τ och för 5 τ. Stigande kurva x(t ) = 1 − e − Fallande kurva t τ x(t ) = e − Vid tiden t = τ har 1-e-1, 63% av slutvärdet uppnåtts. t τ Vid tiden t = 5⋅τ har 1-e-5, av slutvärdet uppnåtts. Mindre än 1 promille återstår då till slutvärdet. 37% återstår till slutvärdet. • Man brukar därför anse att slutvärdet uppnåtts efter 5 tidkonstanter. William Sandqvist [email protected] exponentialfunktionen Stigande kurva x(t ) = 1 − e − Fallande kurva t τ x(t ) = e − Vid tiden t = τ återstår det e-1, 37%, av slut-värdet. t τ Vid tiden t = 5⋅τ är det e-5, dvs. mindre än 1 promille, kvar till slutvärdet. 67% av slutvärdet har då uppnåtts. • Man brukar därför anse att slutvärdet uppnåtts efter 5 tidkonstanter. William Sandqvist [email protected] William Sandqvist [email protected] Ex. Snabb uppskattning av tidkonstanten Figuren visar ”stegsvaret” för två processer med ”en tidkonstant”. Hur stor är tidkonstanten T för de båda processerna? Testsignal: stegändring ( = slå på strömbrytaren) y y y William Sandqvist [email protected] Ex. Snabb uppskattning av tidkonstanten 100% 100% 63% 63% T ≈ 25 [ms] T ≈ 1 [s] Tidkonstanten där tangenten skär asymtoten, eller vid 63% av slutvärdet. William Sandqvist [email protected] William Sandqvist [email protected] Differentialekvationer beskriver kurvskaror slut x∞ Tidkonstanten anger kurvans branthet. Differentialekvationer beskriver kurvskaror. Vet vi att kurvan är en exponential- start x0 funktion behöver vi också veta startvärdet x0 och slutvärdet x∞ för att kunna ”välja” rätt kurva. William Sandqvist [email protected] Snabbformel för exponentialfunktioner Typ. Stigande kurva x(t ) = 1 − e − t τ Typ. Fallande kurva x(t ) = e − t τ Snabbformel (ger direkt funktionen för en stigande/fallande kurva): x0 = storhetens startvärde t − x∞ = storhetens slutvärde x(t ) = x∞ − ( x∞ − x0 )e τ τ = förloppets tidkonstant William Sandqvist [email protected] William Sandqvist [email protected] ”Hela swinget genom resten” Stigande kurva. En vanlig frågeställning vid exponentiella förlopp är: Hur lång tid t tar det att nå till x ? William Sandqvist [email protected] ”Hela swinget genom resten” • Stigande kurva. − t t − x τ x = X (1 − e ) ⇒ = 1− e τ X " hela" X = τ ⋅ ln t = τ ⋅ ln " resten" X −x x t ⇒ ln1 − = − τ X William Sandqvist [email protected] ⇒ t = −τ ⋅ ln X −x X ”Hela swinget genom resten” • Fallande kurva. − t t − x x t ⇒ = e τ ⇒ ln = − x = X ⋅e τ X X X " hela" t = τ ⋅ ln = τ ⋅ ln x " resten" τ ⇒ t = −τ ⋅ ln William Sandqvist [email protected] x X ”Hela swinget genom resten” • Del av kurva. " hela" t = τ ⋅ ln " resten" Gäller alltid vid exponentiella förlopp med tidkonstant! William Sandqvist [email protected] William Sandqvist [email protected] Ex. Uppmätning, tidtagning, av tidkonstanten a) För en viss process med ”en tidkonstant” mätte man att det tog 12 sekunder för utsignalen att nå 50% av sitt slutvärde vid en stegformad signaländring. Hur stor är processens tidkonstant? b) För en annan process tog det 10 minuter att nå 90% av slutvärdet. Hur stor var processens tidkonstant? William Sandqvist [email protected] Ex. Uppmätning, tidtagning, av tidkonstanten a) 12 sekunder för 50% T = ? t = T ⋅ ln " hela" 100 − 0 ⇒ 12 = T ⋅ ln " resten" 100 − 50 ⇒ T= 12 = 17,3 [s] ln 2 b) 10 minuter för 90% T = ? t = T ⋅ ln 100 − 0 " hela" ⇒ 10 = T ⋅ ln " resten" 100 − 90 ⇒ T= William Sandqvist [email protected] 10 = 4,34 [min ] ln 10 William Sandqvist [email protected]
© Copyright 2024