Moment och normalkraft
Betong
Konstruktionsteknik LTH
1
Pelare
Främsta uppgift är att bära normalkraft.
Konstruktionsteknik LTH
2
Pelare
Typer
Korta ”stubbiga” pelare:
Bärförmågan beror av hållfasthet och
tvärsnitt.
Långa ”slanka” pelare:
Bärförmågan beror av hållfasthet, tvärsnitt
och slankhet (knäckning).
Konstruktionsteknik LTH
3
Töjnings- och spänningsfördelning
M
h
d
N
A´s
As
b
Tvärsnittet
x
s
Töjning
 ´s
s
Spänning
Konstruktionsteknik LTH
´s
fcd
0.8x
 cu
d´
´s
s
Förenklad
spänningsfördelning
4
Jämviktsekvationer och töjningsfördelning
cu
d´
A's
's
M Sd
Fs' =  's A's
x
Fc = fcd b 0 . 8 x
0.8x
d
As
N Sd
s
Konstruktionsteknik LTH
Fs =  s As
5
Limiting the strain in the concrete
When the stresses in the whole cross section are
compressive the strain in the concrete is limited to c2
Konstruktionsteknik LTH
6
Columns
Example: determine the limit function for the cross section below:
Concrete C30
Reinforcement B500B
500 mm
As=As’=4f25
500 mm
d’=60 mm
Konstruktionsteknik LTH
7
Columns
Limit function :
N, Force
7
6
Balanced
reinforcement s = sy
5
4
3
2
1
0
0
-1
-2
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
M, Moment
-3
Konstruktionsteknik LTH
8
Interaktionssamband
N Sd
M Sd
Rent
tryck
N Sd
A
Balanserat
brott
B
Ren
böjning
C
Konstruktionsteknik LTH
M Sd
9
Konstruktionsteknik LTH
10
Beteende hos betongpelare
N
N
Kort pelare, materialbrott
Slank pe lare, materialbrott
e

N 1
Ne
Ne
N 2
Slank pelare,
instabilitetsbrott
M
N
Konstruktionsteknik LTH
11
Imperfektioner
2  h  1
3
initiallutning
initialkrokighet
Konstruktionsteknik LTH
12
Imperfektioner
Oavsiktlig initiallutning
i = 0  h  m
0 = 0 .005
h = 2
2  1
h
3
l

 m = 0.5 1  1 m

Konstruktionsteknik LTH
13
Imperfektioner
För enskilda bärverksdelar får inverkan av imperfektioner
beaktas som en excentricitet ei
ei =  i l0 / 2
där
i = lutning
l0 = effektiv längd
För väggar och enstaka pelare i avstyvade system får
användas.
Konstruktionsteknik LTH
ei = l0 / 400
14
Effektiva längder,
knäcklängder betong
Konstruktionsteknik LTH
15
Slankhet
 = l0 i
l0 = knäcklängd
i = tröghetsradien för det ospruckna
betongtvärsnittet
Konstruktionsteknik LTH
16
Andra ordningens effekter
N
M Sd 0
c
Brottlast och moment
bestäms med första
ordningens teori
Brottlast och
moment bestäms
på elementnivå
(pelaren)
M Sd 0
Nu
M
Konstruktionsteknik LTH
17
Andra ordningens effekter
Andra ordningens effekter kan försummas
om slankhetstalet är mindre än
lim = 20  A  B  C / n
Konstruktionsteknik LTH
18
Parametrar
Konstruktionsteknik LTH
19
FALL: ej ta hänsyn till andra
ordningens moment
• Bestäm första ordningens moment
med hänsyn till yttre laster och
imperfektioner.
• Kontrollera tvärsnittets bärförmåga.
Konstruktionsteknik LTH
20
FALL: ta hänsyn till andra
ordningens effekter
• Bestäm andra ordningens moment
M Ed


b
= M 0 Ed 1 

 N B N Ed   1
M0Ed = första ordningens moment med hänsyn till yttre laster och
imperfektioner
NEd = normalkraft av yttre laster
b = faktor som beror på fördelningen av första och andra
ordningens moment
Konstruktionsteknik LTH
21
Knäcklasten NB
• Bestäms för enskild pelare av
NB =
 2 EI
l0
2
Konstruktionsteknik LTH
22
Styvheten EI
EI = K c E cd I c  K s Es I s
•
•
•
•
•
•
Ecd dimensioneringsvärdet för betongens elasticitetsmodul
Ic
tröghetsmomentet för betongtvärsnittet
Es dimensioneringsvärdet för armeringens elasticitetsmodul
Is
armeringens tröghetsmoment kring betongareans
tyngdpunkt
Kc faktor för inverkan av sprickbildning, krypning etc.
Ks faktor för armeringens bidrag
Konstruktionsteknik LTH
23
Dimensionering av betongpelare
1. Bestäm NEd
2. Bestäm moment M0Ed av yttre laster och imperfektioner
3. Beräkna slankheten  och lim
a. om  < lim dimensionerande moment MEd = M0Ed
b. om  > lim bestäm andra ordningens moment


b
M Ed = M 0 Ed 1 

 N B N Ed   1
4. Krav MEd > NEd * oavsiktlig lastexcentricitet
5. Kontrollera att tvärsnittet klarar NEd och MEd samtidigt
mha diagram.
Konstruktionsteknik LTH
24
Oavsiktlig lastexcentricitet
e
N
h / 30
e = det största av 
20 mm
h
Konstruktionsteknik LTH
25
Moment av lastexcentricitet
Konstruktionsteknik LTH
26
Dimensionering av betongpelare
Vid bestämning av lim och NB behöver man veta tvärsnitt
och armeringsmängd.
Detta görs genom att
•
bestämma vilka yttermått på betongtvärsnittet som ska
gälla (konstruktörens beslut).
•
sätt MEd = 1,5 M0Ed dvs anta att andra ordningens
moment är 50% större än första ordningens moment.
Detta ger utgångsvärden för armeringsmängden som
sedan används för att kontrollera om pelaren håller
med denna armeringsmängd.
Konstruktionsteknik LTH
27
Arrangement of reinforcement
Eurocode 2
Longitudinal reinforcement in column:
• As,lmin = 0,002Ac
• f>8 mm
Every longitudinal bar or bundle of bars placed in a corner should be held
by transverse reinforcement
Transverse reinforcement, stirrups:
The spacing of the transverse reinforcement along the column should not
exceed the least of the following three distances
- 20 times the minimum diameter of the longitudinal bars
- the lesser dimension of the column
- 400 mm
• f> 6 mm or (ø longitudinal reinforcement)/4
Konstruktionsteknik LTH
28
Exempel
Kontrollera pelarens bärförmåga
BTG C30
Arm B500B 2Ø16 var sida
NEd=100 kN
Säkerhetsklass 3
Effektivt Kryptal 2
HEd=3 kN
5m
250
2m
250
Konstruktionsteknik LTH
29
Pelare
Exempel: bestäm gränsfunktionen för tvärsnittet nedan:
Förutsättningar:
Btg C30
500 mm
As=As’=4f25
Arm B500B
Sk. 3
500 mm
d’=60 mm
8
Btg C30
Arm B500B
C30 fck = 30 MPa, fcd = 20 MPa
B500B fyk = 500 MPa
fyd = 435 MPa
Es = 200 GPa
fcd
d’
Fs’
As’
N
d
As
Fs
500
d = 500 - 60mm
d´ = 60 mm
As = A’s = 4··12,52·10-6 m2 = 1964·10-6 m2
Kraftjämvikt
-N + 's ·As’ - s ·As + fcd·0.8x·b = 0
(
Momentjämvikt
M
)
(
)
(
(
)
(
)
)
Balanserat brott: s = sy
’s = 2,7‰ > sy
s = fyd
’s = fyd
N = 2,1 MN
M = 0,63 MNm
Fall 2: s > sy
s = fyd
Sätt x = 0,1 m
N = 0,5 MN
M = 0,43 MNm
Fall 3: s < sy
Sätt s = 0 s = 0
x = 0,44 m
N = 4,4 MN
M = 0,42 MNm
Fall 4: Rent tryck M = 0
N = fyd ·As’ + fyd ·As + fcd·h·b = 5,85 MN
Fall 5: N =0
Antag att plasticering gäller i dragen armering och ej plasticering i tryckt kant
s = fyd
’s < fyd
(
)
√
Kontroll av antaganden:
Dvs antagandena var korrekta. Räkna ut momentkapaciteten.
M = 0,34 MNm
Fall 6 Drag, M = 0
N = 2Asfyd = 1,71 MN
Pelare
Gränsfunktionen för tvärsnittet nedan:
Normalkraft
7
6
5
4
3
Balanserad
2
1
0
0
-1
-2
-3
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
Moment
0,7