‫שבוע ‪ – I‬מספרים מרוכבים‬
‫‪2‬‬
‫אלגברה ליניארית להנדסה ‪102-2-1352‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫מספרים מרוכבים‬
‫בפרק זה נדון בשדה הרחבה של שדה הממשיים‪ ,‬הכולל את כל הפתרונות של המשוואות‬
‫מהצורה ‪ x 2  a‬לכל‬
‫‪.a‬‬
‫הגדרה‬
‫המספרים המרוכבים ‪‬‬
‫הפעולות ב‬
‫לכל‬
‫‪ (a, b) a, b ‬‬
‫מוגדרות באופן הבא‪:‬‬
‫‪, z1  (a1 , b1 ) , z2  (a2 , b2 ) , z1 , z2 ‬‬
‫) ‪z1  z2  (a1 , b1 )  (a2 , b2 )  (a1  a2 , b1  b2‬‬
‫) ‪z1 z2  (a1a2  b1b2 , a1b2  a2b1‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫‪ z  (0,1) ‬הוא פתרון של המשוואה )‪. z 2  ( 1,0‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫‪i  ( 1,0) ‬‬
‫מכאן אפשר להגדיר את‬
‫באופן לא פורמאלי כשדה הרחבה של הממשיים ‪:‬‬
‫‪ a  bi a, b  , i 2  1‬‬
‫והפעולות מוגדרות בדיוק כמו בממשיים‪.‬‬
‫‪z1  z2   a1  b1i    a2  b2i   (a1  a2 )  (b1  b2 )i‬‬
‫‪z1 z2   a1  b1i   a2  b2i   (a1a2  b1b2 )  (a1b2  a2b1 )i‬‬
‫‪1‬‬
‫ – מספרים מרוכבים‬I ‫שבוע‬
1
102-2-1352 ‫אלגברה ליניארית להנדסה‬
[email protected]
‫מושגים‬
:‫ אזי‬z  a  b· i
a  Re( z )
b  Im( z )
‫מדומה‬/‫ חלק ממשי‬.‫א‬
z  a - b·i ‫ צמוד‬.‫ב‬
z  a 2  b2 ‫ מודול‬.‫ג‬
:)‫הגדרה (שוויון של מספרים מרוכבים‬
zw
a  b&c  d
‫ אזי‬z  a  b·i ,
zw
Re( z )  Re( w) & Im( z)  Im( w)
w  c  d·i
‫או‬
:‫תרגול‬
‫ לחשב‬, z1  2  3·i ,
z2  1  4·i
(1) z1 , z2
(2) z1  z2 , z1  z2 , z1·z2 ,
2
(3) z1 ,
1 z1
,
,
z1 z2
z1  z2 , z1  z 2 , z1·z2
1 z1
z12 ,
,
z1 z2
(4) z1  z2 , z1  z2 , z1·z2
2
(5) z1 ,
1 z1
,
z1 z2
(6)
(7)
2
z 2 , z , z1·z 2 ,
z1 ·z 2
:)‫את המסקנות נסכם במשפט (ההוכחות עשויות להיות במבחן‬
)‫משפט (תכונות הצמוד הקומפלקסי והמודול‬
z1  z2  z1  z2 , z1  z2  z1  z2 , z1  z2  z1  z2
)1(
z  z  2Re( z ) , z  z  2i  Im( z )
)2(
z  z2 ,
)3(
2
z
2
z1·z 2  z1 ·z 2
 zz
)4(
‫שבוע ‪ – I‬מספרים מרוכבים‬
‫‪5‬‬
‫אלגברה ליניארית להנדסה ‪102-2-1352‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫תרגול‬
‫‪(1) z  5  12i‬‬
‫‪(2) x 2  3x  6.25  0‬‬
‫‪(3) x 2  (2  i ) x  2  4i  0‬‬
‫את המסקנות נסכם במשפט (ההוכחות עשויות להיות במבחן)‪:‬‬
‫משפט (תכונות הצמוד הקומפלקסי והמודול)‬
‫אם ‪ z‬הוא שורש של פולינום עם מקדמים ממשיים‪ ,‬אזי גם ‪ z‬הוא שורש של הפולינום‪.‬‬
‫בניסוח אחר‪:‬‬
‫‪ p( z )  a0 + a1 z  a2 z 2 + a2 z 2 +···an z n‬פולינום עם מקדמים ממשיים‪,‬‬
‫אזי ‪ z‬הינו פתרון של המשוואה ‪ p( z )  0‬אםם ‪ z‬הינו פתרון של המשוואה‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫שבוע ‪ – I‬מספרים מרוכבים‬
‫‪4‬‬
‫אלגברה ליניארית להנדסה ‪102-2-1352‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫המישור הקומפלקסי – פרשנות גיאומטרית של המספרים המרוכבים‬
‫מושגים‬
‫‪ z  a  b· i‬אזי‪:‬‬
‫א‪ z .‬מזוהה עם נקודה במישור הקומפלקסי‪ ,‬בו‬
‫הציר האופקי מציין את ) ‪ a  Re( z‬והציר האנכי את ) ‪b  Im( z‬‬
‫ב‪ z  a - b·i .‬מזוהה עם שיקוף סביב הציר הממשי‪.‬‬
‫איור ‪1‬‬
‫ג‪ .‬המודול ‪ z  a 2  b2‬מזוהה עם מרחק הנקודה מהראשית‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪Im ( z‬‬
‫) ‪Re ( z‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Argument ( z )  ArcTan‬הזווית שנוצרת בין‬
‫הציר הממשי לקטע המחבר את הראשית לנקודה‪.‬‬
‫הזווית נמדדת בכיוון החיובי – כנגד כיוון השעון‪.‬‬
‫איור ‪2‬‬
‫שימו לב‪:‬‬
‫‪z1  2  2i , z2  2  2i  Tan 1   Tan 2   1‬‬
‫איור ‪5‬‬
‫אך‬
‫‪Argument  z1   1  14    43   2  Argument  z2 ‬‬
‫המקום הגיאומטרי של המספרים המרוכבים בעלי אותו מודול‬
‫???‬
‫מספרי יחידה‪ :‬המספרים המרוכבים עבורם ‪. z  1‬‬
‫המקום הגיאומטרי של המספרים המרוכבים בעלי אותו ארגומנט‬
‫???‬
‫הגדרה (מספר מרוכב מנורמל)‪:‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ uz ‬הוא המספר המרוכב המנורמל של‬
‫‪.z‬‬
‫‪4‬‬
‫שבוע ‪ – I‬מספרים מרוכבים‬
‫‪3‬‬
‫אלגברה ליניארית להנדסה ‪102-2-1352‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫פרשנות גיאומטרית של חיבור וחיסור מספרים מרוכבים‬
‫ חיבור ווקטורי‪ ,‬מקבילית ה"כוחות"‬‫הוכחה‪:‬‬
‫צריך להוכיח שהנקודה המתאימה לקצה האלכסון הראשי במקבילית שנוצרת על ידי הקטעים‬
‫‪ oz‬ו ‪ow‬‬
‫היא‬
‫) ‪z  w  (a  b, c  d‬‬
‫איור‪4‬‬
‫שרטוט עזר‪:‬‬
‫א‪ .‬נבנה את המקבילית שצלעותיה הם הקטעים‬
‫ב‪ .‬נוריד אנכים לצירים ( איור ‪)4‬‬
‫‪ oz‬ו ‪ow‬‬
‫נראה שהמשולשים ‪ T1 , T2‬חופפים‪.‬‬
‫ומכאן‪ ,‬התוצאה מתקבלת‬
‫באופן מידי‪ .‬מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬
‫איור ‪5‬‬
‫‪ -‬את החיסור נגדיר כנ"ל עבור ) ‪: z  w  z  (w)  (a  b, c  d‬‬
‫תרגול‪:‬‬
‫‪z2  1  (2  3)·i‬‬
‫‪z1  2  2 3·i ,‬‬
‫איור ‪6‬‬
‫משפט (אי שוויון המשולש)‪:‬‬
‫‪zw‬‬
‫‪zw‬‬
‫‪‬‬
‫‪z , w‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫מידית מתוך אי‪-‬שוויון המשולש הגיאומטרי‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫ – מספרים מרוכבים‬I ‫שבוע‬
6
102-2-1352 ‫אלגברה ליניארית להנדסה‬
[email protected]
.‫פרשנות גיאומטרית של מכפלה של מספרים מרוכבים‬
zw  ? , z  a  bi ,
w  c  di , a, b, c, d 
b  0 .‫א‬
Scaling - "‫ "ניפוח‬: zw  a  w
a 1
‫ לא משתנה‬Argument ( w) ,‫ גדל‬module( w)
0  a 1
‫ לא משתנה‬Argument ( w) ,‫ קטן‬module( w)
1  a  0
Argument (aw)    Argument ( w) ,‫ קטן‬module( w)
a  1
Argument (aw)    Argument ( w) ,‫ גדל‬module( w)
a  0 , b  1 .‫ב‬
‫(איור‬

2
‫ סיבוב ב‬: zw  i  w
z  w  (a  bi )  w  aw  i(bw) .‫ג‬
‫הרכב וסכום טרנספורמציות‬
7 ‫איור‬
8 ‫איור‬
:)‫משפט (מודול המכפלה‬
z, w 

z·w  z  w
‫הוכחה‬
. zw  aw  bw
2
2
2
‫ומפיתגורס‬
i  bw  aw , z  a  bi  zw  aw  ibw .


‫ל‬.‫ש‬.‫ מ‬. zw  aw  bw  a 2  b2 w  z
2
6
2
2
2
2
2
w , ‫מכאן‬
‫שבוע ‪ – I‬מספרים מרוכבים‬
‫‪7‬‬
‫אלגברה ליניארית להנדסה ‪102-2-1352‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫משפט (ארגומנט המכפלה)‪:‬‬
‫)‪ Argument ( z·w)  Argument ( z )  Argument ( w‬‬
‫‪z, w ‬‬
‫הוכחה‬
‫‪Argument ( z )  ‬‬
‫‪Argument ( w)  ‬‬
‫‪Argument ( z·w)    ‬‬
‫צ‪.‬ל ‪  ‬‬
‫במלבן שאלכסונו מייצג את ‪ zw‬מתקיים‪:‬‬
‫‪biw b i w b 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ tan  ‬‬
‫‪aw‬‬
‫‪a w‬‬
‫‪a‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪tan   (   )  ‬‬
‫‪   (   )  ‬‬
‫השתמשנו בעובדה שמדובר בזוויות במשולש ולכן אם ה ‪ tan‬שלהן שווה‬
‫‪ ,‬אז גם הן שוות (אחרת יכול להיות שהן נבדלות זו מזו ב ‪.) k‬‬
‫איור ‪1‬‬
‫עבור מספרים ברביעים האחרים‪ ,‬ההוכחה דומה‪ .‬מ‪.‬ש‪.‬ל‬
‫מסקנה‪:‬‬
‫כפל מספר מרוכב ‪ w‬במספר מרוכב אחר ‪ z‬שקול להרכב שתי טרנספורמציות על ‪: w‬‬
‫א‪ .‬סיבוב ב ) ‪Argument ( z‬‬
‫ב‪ Scaling .‬ב ‪z‬‬
‫‪7‬‬
‫שבוע ‪ – I‬מספרים מרוכבים‬
‫‪8‬‬
‫אלגברה ליניארית להנדסה ‪102-2-1352‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫פרשנות גיאומטרית של חילוק של מספרים מרוכבים‪.‬‬
‫‪w  c  di , a, b, c, d ‬‬
‫‪z  a  bi ,‬‬
‫א‪a  0 , b  0 .‬‬
‫‪w w 1‬‬
‫‪ aw‬‬
‫‪z a‬‬
‫‪a 1‬‬
‫)‪ module( w‬קטן‪ Argument ( w) ,‬לא משתנה‬
‫‪" :‬ניפוח" ‪ Scaling -‬ב‬
‫‪0  a 1‬‬
‫‪1  a  0‬‬
‫‪a  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪ module( w‬גדל‪ Argument ( w) ,‬לא משתנה‬
‫)‪ module( w‬גדל‪Argument (aw)    Argument (w ) ,‬‬
‫)‪ module( w‬קטן‪Argument (aw)    Argument (w ) ,‬‬
‫ב‪a  0 , b  1 .‬‬
‫‪w w‬‬
‫‪  i  w‬‬
‫‪z i‬‬
‫מכאן‪ ,‬חלוקה ב ‪ i‬שקולה לסיבוב ב‬
‫‪:‬‬
‫‪(  2‬איור ‪.)9‬‬
‫ג‪c  1, d  0 .‬‬
‫‪z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪w 1 z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪z z zz z‬‬
‫איור ‪20‬‬
‫מכאן‪ ,‬ההופכי של מספר מרוכב ניתן להצגה כהרכב של טרנספורמציית שיקוף סביב‬
‫‪1‬‬
‫הציר הממשי‪ ,‬ושל טרנספורמציית ‪ Scaling‬ב ‪2‬‬
‫‪z‬‬
‫ד‪ .‬המקרה הכללי‬
‫‪z zw‬‬
‫‪‬‬
‫‪ w12 zw‬‬
‫‪w ww‬‬
‫חלוקה במספר מרוכב ניתנת להצגה כמכפלה בצמוד של המחלק‪ ,‬ו ‪ Scaling‬בהופכי‬
‫של ריבוע המודול שלו‬
‫משפט (מודול המנה)‪:‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪w w‬‬
‫‪z, w ‬‬
‫‪‬‬
‫הוכחה‬
‫‪z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 2 zw‬‬
‫‪w w‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 2 zw  2 z w  2 z w ‬‬
‫‪ , module( w)  module( w)  w , z, w ‬ומכאן‬
‫‪w‬‬
‫‪w‬‬
‫‪w‬‬
‫‪w‬‬
‫‪w‬‬
‫‪,‬‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‬
‫‪8‬‬
‫ – מספרים מרוכבים‬I ‫שבוע‬
1
102-2-1352 ‫אלגברה ליניארית להנדסה‬
[email protected]
:)‫משפט (ארגומנט המנה‬
z, w 
z
 Argument    Argument ( z )  Argument ( w)
 w
‫הוכחה‬
z, w 

z
1
 2 zw
w w
:‫ ומהמשפט למכפלה נקבל‬,‫ לא משנה את הארגומנט של מספר‬Scaling ‫מהעובדה ש‬
 1

z
Argument    Argument  2 zw   Argument  zw   Argument  z   Argument  w 
w

 w


‫ולכן‬
‫ל‬.‫ש‬.‫מ‬
, Argument(w)   Argument(w)
‫אך‬
z
Argument    Argument  z   Argument  w   Argument  z   Argument  w 
 w
‫חזקות של מספרים מרוכבים‬
i ‫חזקות של‬
i 0  1, i1  i , i 2  1, i 3  i , i 4  1 .‫א‬
i 4 k 0  1, i 4 k 1  i , i 4 k 2  1, i 4 k 3  i ‫ מכאן‬.‫ב‬
z 0  1, z1  z , z 2  z  z,... , z n  z  z
z
.‫ג‬
n times
1
1
, z  n  n , .‫ד‬
z
z
‫ כמו במספרים ממשיים‬,‫ כל חוקי החזקות נשמרים‬.‫ה‬
z 1 
module( z n )   module  z   ; Argument ( z n )  n·Argument ( z ) .‫ו‬
n
:‫מסקנה‬
: w ‫ שקולה להרכב טרנספורמציות על‬z ‫העלאה בחזקה (טבעית) של מספר מרוכב‬
) ‫( סיבובים‬n  1) ‫( (או הרכב של‬n  1)  Argument ( z) ‫ סיבוב ב‬.‫א‬
z
9
n 1
‫ ב‬Scaling .‫ב‬
‫שבוע ‪ – I‬מספרים מרוכבים‬
‫‪20‬‬
‫אלגברה ליניארית להנדסה ‪102-2-1352‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫המשפט היסודי של האלגברה‬
‫לכל פולינום ממעלה ‪ n‬עם מקדמים מרוכבים‪ ,‬יש בדיוק ‪ n‬שורשים מעל‬
‫נספרים עם הריבוי האלגברי‪ 2‬שלהם‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ,‬כאשר הם‬
‫נקודה למחשבה‪:‬‬
‫מהו הקשר בין הריבוי האלגברי של ‪ a‬בפולינום ) ‪ , f ( x‬לבין אפסי הנגזרות של הפולינום?‬
‫המישור הקומפלקסי – פרשנות טריגומומטרית של המספרים המרוכבים‬
‫הצגה טריגונומטרית של מספר מרוכב‬
‫‪z  r·Cos( )  r·Sin( )·i ,‬‬
‫‪z  r·Cos( )  r·Sin(  )·i  r·Cos( )  r·Sin( )·i‬‬
‫איור ‪22‬‬
‫נוסחאות המעבר בין ההצגה האלגברית לטריגונומטרית (פולרית)‬
‫‪a  r·Cos( ) , b  r·Sin( )·i‬‬
‫‪b‬‬
‫‪r  module( z )  a 2  b2 ,   Argument ( z )  ArcTan  ‬‬
‫‪a‬‬
‫שוויון בין מספרים מרוכבים‬
‫‪ z  rz ·Cos( z )  rz ·Sin( z )·i, w  rw·Cos(w )  rw·Sin(w )·i‬אזי‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫‪&  z  w  2 n‬‬
‫‪rz  rz‬‬
‫‪zw‬‬
‫‪1‬‬
‫הכוונה בביטוי "שורשים מעל " היא שהשורשים הם מספרים מרוכבים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫נאמר שהריבוי האלגברי של ‪ a‬בפולינום ) ‪ f ( x‬הוא ‪ , k‬אם ‪ k‬היא החזקה הגבוהה ביותר עבורה מתקיים‬
‫)‪ , f ( x)  ( x  a)k g ( x‬עבור פולינום ) ‪ g ( x‬ממעלה ‪n  k‬‬
‫‪11‬‬
‫ – מספרים מרוכבים‬I ‫שבוע‬
22
102-2-1352 ‫אלגברה ליניארית להנדסה‬
[email protected]
‫חיבור מספרים מרוכבים‬
z  w  rzw  Cos  z w   Sin  z w  i 
)‫ (ממשפט הקוסינוסים‬rzw  rz2  rw2  2rz rwCos  z   w  ‫כאשר‬
 z  w  ArcTan
Im( z )  Im( w)
Re( z )  Re( w)
‫ו‬
‫מכפלת מספרים מרוכבים‬
z  w  rz rw  Cos  z   w   Sin  z   w  i 
rzw  rz rw ,
r
zw
  z  w
‫העלאה בחזקה של מספרים מרוכבים‬
‫ ומכאן‬, module( z n )   module  z   ; Argument ( z n )  n·Argument( z) ‫ראינו‬
n
z n  r n   Cos  n   Sin  n  i 
z 1  1r   Cos     Sin    i   1r   Cos    Sin   i 
z  r  Cos    Sin   i 
1
z
11

1
r2
z ‫מכאן גם רואים ש‬
‫שבוע ‪ – I‬מספרים מרוכבים‬
‫‪21‬‬
‫אלגברה ליניארית להנדסה ‪102-2-1352‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫תרגול‬
‫(‪ z  1  i )1‬הציגו בהצגה פולרית‪:‬‬
‫(‪z2  1  (2  3)·i )2‬‬
‫‪1 z1‬‬
‫‪.a‬‬
‫‪,‬‬
‫‪z1 z2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪i‬‬
‫‪z 3 , z 5 , iz , 2 z ,‬‬
‫‪ z1  2  2 3·i ,‬חשבו‪:‬‬
‫‪z1  z2 , z1  z2 , z1  z2 , z12 , z13 , z17 ,‬‬
‫‪1 z ‬‬
‫‪,   ,  1  .b‬‬
‫‪ z1   z2 ‬‬
‫(‪ )3‬פתרו את המשוואות באופן אנליטי (נוסחתי)‪ ,‬גיאומטרי‪ ,‬ואם רלוונטי גם פולרי‪:‬‬
‫‪(1) z  i  z  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪z1‬‬
‫‪z1 , z2 , z1  z2 , z1  z2 , z1  z1 ,‬‬
‫‪z  i  z 1 ‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪iz‬‬
‫‪z  z  1  i , z2  z , z  2  z‬‬
‫)‪(3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נקודה למחשבה‬
‫יתרונות‪/‬חסרונות של כל הצגה ביחס לכל בעיה‪.‬‬
‫שורשים של מספרים מרוכבים‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪z  1 i‬‬
‫הגדרה (שורשי היחידה)‪:‬‬
‫נאמר ש ‪ z‬הינו שורש יחידה מסדר ‪ n‬אם ‪. z n  1‬‬
‫‪12‬‬