אלגברה מתקדמת
אלגברה מתקדמת
עוזי וישנה
22באפריל 2015
אלגברה מתקדמת
מהדורה 1.936
הקדמה .חוברת זו מכסה ,בשני חלקיה ,את הקורסים "אלגברה קומוטטיבית" ו"אלגברה
לא קומוטטיבית".
הקורס הראשון )שמספרו (88-813מכסה נושאים מרכזיים באלגברה קומוטטיבית לתואר
שני .אנו מניחים שהקורא מכיר את החומר הסטנדרטי מקורסי תואר ראשון בתורת
החבורות ,תורת החוגים ותורת גלואה .כמה מהנושאים היותר אלמנטריים )אידיאלים
ראשוניים ומקסימליים ,משפט השאריות הסיני ,מיקום ,חוגים מקומיים ,מבוא למודולים(
מכוסים בחוברת שלי על תורת החוגים ,ולא ראיתי צורך לחזור על הפרטים כאן.
לאלגברה קומוטטיבית ,שהיא ביסודו של דבר תורת החוגים הקומוטטיביים ,יש שימושים
בתחומים מרכזיים במתמטיקה :גאומטריה אלגברית ותורת המספרים האלגברית .תנאי
הסופיות הנתרי מתקיים לעתים קרובות ,והופך את החוגים הנתריים לתחום מחקר מרכזי
גם באלגברה גופא .הקורס הזה עוסק בעיקר בחוגים )קומוטטיביים( נתריים.
הקורס השני )שמספרו (88-815כולל פרקים נבחרים בתורת המבנה של חוגים לא
קומוטטיביים ,ובמיוחד חוגים ארטיניים :משפט ודרברן־ארטין על אלגברות פשוטות
ארטיניות ,חוגים פרימיטיביים ,ומשפט הופקינס־לויצקי הקובע שכל חוג ארטיני הוא נתרי.
תכונות של אלגברות פשוטות למחצה בונות את התשתית לתורת ההצגות של חבורות סופיות,
שאותה מכסה החלק השני בקורס.
עוזי וישנה10.2012 ,
2
תוכן עניינים
I
אלגברה קומוטטיבית
1
מודולים נתריים וארטיניים
1.1מבוא לחוגים ומודולים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
חוגים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1
מודולים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2
מודולים ציקליים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3
1.2סדרות הרכב . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3תנאי השרשרת . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
תנאי השרשרת בחוגים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1
1.4מודולים נוצרים סופית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
9
9
10
11
13
14
14
2
אידיאלים ראשוניים
2.1אידיאלים ראשוניים ומקסימליים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2חוגים מקומיים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3מיקום . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1האידיאלים של . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S −1 R
2.3.2מיקום באידיאל ראשוני . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
17
18
19
20
21
3
אלגברות אפיניות
3.1חוגי פולינומים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2אלגבריות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1מימד טרנסצנדנטי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3הרחבות שלמות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1אידיאלים בהרחבות שלמות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4שדות אינם אפיניים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1פירוק ההרחבה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2המשכת הומומורפיזמים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
23
24
25
27
29
29
30
4
מבוא לגאומטריה אלגברית
4.1קבוצות אלגבריות ואידיאלים גאומטריים . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2רדיקלים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1חוג ראשוני למחצה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2הרדיקל הראשוני . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3משפט האפסים של הילברט . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4האידיאלים המקסימליים של חוג הפולינומים . . . . . . . . . . .
31
31
32
33
33
34
35
7
3
תוכן עניינים
4.3
4.4
תוכן עניינים
קבוצות אלגבריות אי־פריקות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
טופולוגיית זריצקי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1הספקטרום . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
מימד קרול של חוגים
5.1מימד קרול . . . . . . . . . .
5.2אידיאלים ניליים ונילפוטנטיים
5.3חוגים ממימד אפס . . . . . .
5.4גובה של אידיאלים . . . . . .
5.5אידיאלים ראשוניים בהרחבות
.
.
.
.
.
6
ערכים מוחלטים
6.1הגדרה ודוגמאות . . . . . .
6.2שקילות של ערכים מוחלטים
6.3ערכים לא ארכימדיים . . . .
6.4הערכות . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
II
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
אלגברה לא קומוטטיבית
36
37
37
39
39
40
41
42
45
49
49
50
51
51
55
7
מבנה של מודולים
7.1מושגי יסוד בתורת המודולים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
חוגי מטריצות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1
חוגי אנדומורפיזמים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2
7.1.3מטריצות ודרגה של מודול . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.4סכום וסכום ישר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2מודולים פריקים לחלוטין . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
מודולים פריקים לחלוטין . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1
7.2.2תת־מודולים גדולים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3משלימים של תת־מודול . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4חוגים פשוטים למחצה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3משפט הצפיפות הכללי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1בי־מודולים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2ההצגה הרגולרית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3חוגים צפופים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
59
59
60
61
62
63
63
64
64
66
66
66
67
68
8
המבנה של חוגים ארטיניים
8.1חוגים פשוטים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1אלגברות ציקליות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2מטריצות מעל חוג עם חילוק . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.3אלגברת וייל . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2חוגים פרימיטיביים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1מודולים נאמנים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2מודולים פשוטים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.3פרימיטיביות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.4דוגמאות לחוגים פרימיטיביים . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
71
72
73
74
75
75
76
76
78
4
תוכן עניינים
8.3
8.4
תוכן עניינים
חוגים ארטיניים ראשוניים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
חוגים ראשוניים למחצה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1הרדיקל הוא נילי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2ראשוני למחצה = אין אידיאלים נילפוטנטיים . . . . . . . . . . .
8.4.3חוג ראשוני למחצה ארטיני . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.4מהמקרה הכללי לחוג ראשוני למחצה . . . . . . . . . . . . . . .
משפט הופקינס־לויצקי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
הרדיקל של ג'ייקובסון . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.1המשפט העיקרי של ודרברן . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.2חוגים פרימיטיביים למחצה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
80
81
81
81
82
83
83
85
85
הצגות של חבורות
9.1אלגברת החבורה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2הצגות אי־פריקות ואי־פרידות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3משפט משקה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1אידיאל האוגמנטציה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.2המקרה המודולרי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.3משפט משקה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4ההצגות האי־פריקות של חבורה סופית . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.1מודולים מעל מכפלה ישרה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.2מספר ההצגות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.3הצגות חד־ממדיות והשראה מחבורת מנה . . . . . . . . . . . .
9.5קרקטרים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.1יחסי שור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.2קרקטרים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.3אורתוגונליות הקרקטרים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.4הערכים של קרקטר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.5הקרקטר הצמוד . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.6המכפלה הפנימית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.7בסיס הקרקטרים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.8פונקציות המחלקה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.9האידמפוטנטים האורתוגונליים . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.10טבלת הקרקטרים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.11דוגמאות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.12אלגברת מחלקות הצמידות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.13משפט ברנסייד . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
87
88
88
88
89
89
91
91
92
93
93
93
95
95
96
96
96
97
97
98
99
100
101
102
10המכפלה הטנזורית
10.1מכפלה טנזורית של מטריצות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2מכפלה טנזורית של מרחבים וקטוריים . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3מכפלה טנזורית של אלגברות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4מכפלה טנזורית של הצגות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5מכפלה טנזורית של מודולים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6ההצגה המושרית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6.1משפט האינדוקציה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
105
105
106
107
107
109
110
8.5
8.6
9
5
תוכן עניינים
תוכן עניינים
111
11שאלות חזרה
6
חלק I
אלגברה קומוטטיבית
7
פרק 1
מודולים נתריים וארטיניים
1.1
מבוא לחוגים ומודולים
1.1.1חוגים
לכל אורך הדרך נניח שחוג כולל איבר יחידה .בשלב זה לא נניח עדיין שהחוגים קומוטטיביים.
המושגים העיקריים שעל הקורא להכיר :תת־חוג )כולל את איבר היחידה(; אידיאל
)שמאלי ,ימני ,דו־צדדי(; הומומורפיזם )של חוגים ,כלומר -שומר על איבר היחידה(; חוג
מנה )ביחס לאידיאל דו־צדדי(.
∼
משפט האיזומורפיזם הראשון קובע שלכל הומומורפיזם .Im(φ) = R/Ker(φ) ,φ : R→S
משפט האיזומורפיזם השני מספק התאמה בין חוגי מנה של תת־חוג S ⊆ Rלבין תת־חוגים
∼ .(S + I)/Iמשפט האיזומורפיזם השלישי מתאר את
של חוג המנה = S/(I ∩ S) :R/I
∼
המנות של חוג מנה :אם I ⊆ Jאידיאלים של ,Rאז .(R/I)/(J/I) = R/Jיחד ,המשפטים
מספקים איזומורפיזם של סריגים בין סריג האידיאלים של R/Iלבין סריג האידיאלים של
Rהמכילים את .I
1.1.2מודולים
מודול הוא חבורה אבלית שהחוג פועל עליה )שמאלי(; במלים אחרות ,יש פעולת כפל בסקלר
המגדירה הומומורפיזם )של חוגים( ) ,R→Hom(M, Mכשבאגף ימין הפעולה היא הרכבה.
תרגיל 1.1.1תהי Mחבורה אבלית .יש התאמה בין פעולות הכפל בסקלר R×M →M
ההופכות את Mלמודול מעל ,Rלבין הומומורפיזמים ) ,φ : R→End(M, Mעל־פי
).a · x = φ(a)(x
תת־חבורה של Mהסגורה לכפל בסקלר היא תת־מודול; אוסף כל תת־המודולים של
Mהוא סריג ,כאשר החיתוך הוא חסם תחתון והסכום הוא חסם עליון .אם N ≤ M
מודולים ,מודול המנה הוא חבורת המנה } ,M/N = {x + N : x ∈ Mעם פעולת הכפל
בסקלר .a(x + N ) = ax + N
הומומורפיזם של מודולים הוא העתקה אדיטיבית φ : M →Nמקיים את האקסיומה
).φ(ax) = aφ(x
דוגמא 1.1.2
.1מודולים מעל חוג השלמים Zאינם אלא חבורות אבליות.
9
◦
פרק .1מודולים נתריים וארטיניים
.1.1מבוא לחוגים ומודולים
.2כל חוג הוא מודול מעל עצמו ,ותת־המודולים הם האידיאלים השמאליים.
.3מודולים מעל שדה Fהם המרחבים הוקטוריים מעליו.
.4מודולים מעל חוג הפולינומים ] F [xהם מרחבים וקטוריים מעל ,Fעם העתקה לינארית
T : V →Vכך ש־).x · v = T (v
.5המרחב הוקטורי F nהוא מודול מעל ) Mn (Fלפי הפעולה הטבעית של מטריצות.
נזכיר את שלושת משפטי האיזומורפיזם של מודולים:
טענה 1.1.3
∼ )) M/Ker(φכמודולים(;
.1לכל הומומורפיזם φ : M →Nמתקיים )= Im(φ
∼ ;(N + K)/K
= N/(N ∩ K) .2
∼ ).(M/K)/(N/K
= M/N .3
תרגיל 1.1.4יש התאמה חד־חד־ערכית ועל בין תת־המודולים של M/Nלבין תת־
המודולים של Mהמכילים את ;Nהתאמה זו שומרת על הכלה ומנות.
1.1.3
◦
מודולים ציקליים
מודול שיש לו יוצר אחד ,כלומר כל מודול מהצורה } ,Rx = {ax : a ∈ Rנקרא מודול
ציקלי.
תרגיל 1.1.5מודול ציקלי מעל Zהוא חבורה ציקלית.
בכל מודול כזה ,פעולת החיבור היא ax + bx = (a + b)xוהכפל בסקלר הוא = )a(bx
;(ab)xאבל ההתאמה בין הסקלר aלווקטור axאינה חד־ערכית ,ולא ברור א־פריורי מתי
שני אברים שונים זה מזה.
◦
הגדרה 1.1.6יהי Mמודול ,ו־ .x ∈ Mאז } Ann(x) = {a ∈ R : ax = 0נקרא המאפס של .x
תרגיל 1.1.7יהי M = Rxמודול ציקלי מעל .R
∼ ) Rxכמודולים(.
Ann(x) .1הוא אידיאל שמאלי של ,Rו־)= R/Ann(x
.2כל מודול ציקלי הוא מהצורה R/Lכאשר .L ≤ℓ R
בסעיף 8.2נגדיר את המאפס של המודול כולו ,שהוא אידיאל דו־צדדי של .R
◦
תרגיל 1.1.8
.1כל מודול מעל חוג מנה R/Iהוא גם מודול מעל החוג Rעצמו.
.2אם Mמודול מעל Rו־ ,IM = 0אז Mמודול מעל המנה R/Iלפי הפעולה
)(r + I)x = rxהשווה לתרגיל .(8.2.2
מודול שאין לו תת־מודולים הוא מודול פשוט.
תרגיל 1.1.9חבורה אבלית היא מודול פשוט )מעל (Zאם ורק אם היא חבורה ציקלית
מסדר ראשוני .מרחב וקטורי הוא מודול פשוט אם ורק אם הוא בעל ממד .1מרחב
העמודות F nהוא מודול פשוט מעל ) .Mn (F
10
פרק .1מודולים נתריים וארטיניים
◦
תרגיל 1.1.10
.1.2סדרות הרכב
.1כל מודול פשוט הוא ציקלי.
R/L .2הוא מודול פשוט אם ורק אם Lאידיאל שמאלי מקסימלי.
◦
∑
תרגיל 1.1.11יהי Dחוג עם חילוק .הראה שלכל ,jמודול העמודה Deij
תת־מודול של ) Mn (Dכמודול מעל עצמו .הראה שזהו תת־מודול פשוט.
i
= Ljהוא
תרגיל 1.1.12מודול Mמעל חוג Rהוא פשוט אם ורק אם Rפועל טרנזיטיבית על
קבוצת האברים השונים מאפס של .Mהדרכה M .פשוט אם ורק אם לכל ,0 ̸= v ∈ M
◦
;M = Rvאם ורק אם לכל 0 ̸= v, wקיים x ∈ Rכך ש־.xv = w
∑יוצרת את Mאם לכל x ∈ Mקיימים b1 , . . . , bn ∈ Bוסקלרים
הגדרה 1.1.13קבוצה B ⊆ M
= .xמודול נוצר סופית הוא מודול שיש לו קבוצת יוצרים סופית.
α1 , . . . , αn ∈ Rכך ש־ αi bi
תרגיל 1.1.14אם } B = {b1 , . . . , bnיוצרת מודול ,Mאז .M = Rb1 + · · · + Rbn
1.2
סדרות הרכב
הגדרה 1.2.1יהי Mמודול מעל חוג .Rסדרה
0 = Mt < · · · < M2 < M1 < M0 = M
נקראת סדרת הרכב אם כל המנות Mi /Mi+1הן מודולים פשוטים .המנות Mi /Mi+1נקראות גורמי
ההרכב.
תרגיל 1.2.2נסמן ,Mi = L1 + · · · + Liכאשר Ljהמודולים מתרגיל .1.1.11הראה
ש־ 0 = M0 < M1 < · · · < Mn−1 ≤ Mn = Mהיא סדרת הרכב של ).Mn (D
תרגיל 1.2.3ל־) Zכמודול מעל עצמו( אין סדרת הרכב.
תרגיל 1.2.4הוכח את המודולריות של סריג המודולים :אם A, B, C ≤ Mתת־מודולים
כך ש־ A ≤ Bאז ) ;(A + C) ∩ B = A + (C ∩ Bכלומר A + C ∩ B ,מוגדר היטב.
תרגיל 1.2.5אם N ∩ K = N ∩ K ′ ,K ⊆ K ′ו־ N + K = N + K ′אז .K = K ′הדרכה.
.K ′ = (K ′ + N ) ∩ K ′ = (K + N ) ∩ K ′ = K + (N ∩ K ′ ) = K + (N ∩ K) = K
טענה 1.2.6תהי
◦
◦
0 = Mt < · · · < M2 < M1 < M0 = M
סדרת הרכב ,ויהי N < Mתת־מודול כלשהו .אחרי ניכוי השוויונות,
0 ≤ · · · ≤ Mi ∩ N ≤ · · · ≤ N ≤ · · · ≤ Mi + N ≤ · · · ≤ M
היא סדרת הרכב ,מאותו אורך ועם מנות איזומורפיות למנות בסדרה המקורית.
11
)(1.1
פרק .1מודולים נתריים וארטיניים
.1.2סדרות הרכב
הוכחה .נסמן ,Ki = Mi ∩ N + Mi+1כך שתמיד ≤ Mi+1
.Ki ≤ Miמכיוון ש־ N ∩ M0 = N = N + Mtמשתתף בשני
חלקי הסדרה ,המנות בסדרה החדשה הן (Mi + N )/(Mi+1 +
∼ ) .(Mi ∩N )/(Mi+1 ∩Nלכל
∼ ) Nו־ = Ki /Mi+1
= Mi /Ki
,iבין אם Ki = Mi+1ובין אם ,Ki = Miאחת המנות האלה
היא ,Mi /Mi+1והשניה שווה לאפס.
Mi + NPP
PP
Mi+1 +EN
E
N
yyy
sss
Mi KKK
KKKKK
n
nnn
Ki PPP
PP
ssssss
Mi ∩ N
nnn
Mi+1 J
J
Mi+1 ∩ N
משפט ) 1.2.7משפט ז'ורדן־הולדר־שרייר( יהי Mמודול בעל סדרת הרכב ) .(1.1אז
.1כל סדרה של תת־מודולים 0 = Nℓ < · · · < N2 < N1 < Mאפשר לעדן לסדרת הרכב;
.2לכל שתי סדרות הרכב יש אותו אורך ,ואותם גורמי הרכב עד כדי סדר.
הוכחה .נאמר ששתי סדרות הרכב הן שקולות אם יש להן אותו אורך ואותם גורמי הרכב ,עד כדי סדר .לפי
טענה ,1.2.6לכל ,Nכל סדרת הרכב שקולה לסדרת הרכב העוברת דרך ,Nכך שרכיבי הסדרה המכילים
את Nאו מוכלים ב־ Nאינם משתנים .לכן סדרת ההרכב שקולה לסדרת הרכב העוברת דרך ,N1וזו
שקולה לסדרת הרכב העוברת דרך ,N2 < N1וכן הלאה עד לסדרת הרכב המעדנת את הסדרה הנתונה.
לכן אפשר להגדיר:
הגדרה 1.2.8אם יש למודול Mסדרת הרכב באורך nאומרים שהאורך שלו הוא ,nומסמנים .ℓ(M ) = n
◦
תרגיל 1.2.9יהי Mמודול בעל אורך סופי; אז לכל תת־מודול ,Nיש ל־ Nול־ M/N
סדרות הרכב ,ומתקיים ) .ℓ(M ) = ℓ(N ) + ℓ(M/Nהדרכה .אם נתונות סדרות הרכב
של Nושל M/Nאפשר להרים את האחרונה לסדרת הרכב מ־ Nל־ Mולקבל סדרת
הרכב של .Mבכיוון ההפוך יש לעדן את הסדרה 0 < N < Mכפי שמאפשר לעשות משפט
ז'ורדן־הולדר־שרייר.
תרגיל 1.2.10אם N, N ′הם תת־מודולים בעלי אורך סופי של ,Mאז ≤ ) ℓ(N + N ′
) .ℓ(N )+ ℓ(N ′הדרכהℓ(N + N ′ ) = ℓ((N +N ′ )/N ′ ) + ℓ(N ′ ) = ℓ(N/(N ∩N ′ ))+ℓ(N ′ ) = .
) .ℓ(N ) + ℓ(N ′ ) − ℓ(N ∩ N ′
תרגיל 1.2.11הראה שסדרת ההרכב המתקבלת בהוכחה של משפט ז'ורדן־הולדר־
שרייר היא
0 ≤ · · · ≤ Nj+2 + Mi ∩ Nj+1 ≤ · · · ≤ Nj+1 + Mi ∩ Nj ≤ · · · ≤ M,
עם סדר לקסיקוגרפי של האינדקסים )קודם jואחר־כך .(i
12
פרק .1מודולים נתריים וארטיניים
1.3
.1.3תנאי השרשרת
תנאי השרשרת
תרגיל 1.3.1אם · · · ≤ M1 ≤ M2מודולים )תת־מודולים של מודול ,(Mאז גם ∪Mi
הוא מודול )תת־מודול של .(M
תרגיל 1.3.2חיתוך משפחה כלשהי של תת־מודולים הוא תת־מודול.
הגדרה 1.3.3אומרים שמודול Mמקיים את תנאי השרשרת העולה אם כל שרשרת עולה של תת־מודולים
מוכרחה להסתיים :לא יתכן ש־ · · · < M0 < M1כשאלו תת־מודולים של .Mמודול כזה נקרא נתרי
)על־שם אמי נתר(.
אומרים ש־ Mמקיים את תנאי השרשרת היורדת אם כל שרשרת יורדת של תת־מודולים מוכרחה להסתיים:
לא יתכן ש־ · · · > .M0 > M1מודול כזה נקרא ארטיני )על־שם אמיל ארטין(.
תרגיל 1.3.4תנאי השרשרת העולה שקול לתנאי המקסימום ,שלפיו בכל משפחה של
תת־מודולים יש איבר מקסימלי .בדומה לזה ,תנאי השרשרת היורדת שקול לתנאי
המינימום )בכל משפחה של תת־מודולים יש איבר מינימלי(.
דוגמא 1.3.5כמודולים מעל :Z
Z .1הוא נתרי )כל מנה אמיתית שלו היא סופית( אבל לא ארטיני.· · · < 2n Z < · · · < Z :
Q/Z .2אינו נתרי )הסדרה 2−n Z/Zעולה( ואינו ארטיני )הסדרה ]Mp = Z[ 1q : q > p
יורדת(.
Z[ 51 ]/Z .3ארטיני )כל תת־מודול אמיתי הוא סופי( ואינו נתרי< :
· · ·.
1
Z/Z
25
< 0 < 51 Z/Z
ארטיני/נתרי מעל .Zהדרכה) .דוגמא )(1.3.5.(2
הוא מודול { n
תרגיל 1.3.6קבע האם } Q
האם הוא ארטיני/נתרי מעל : 2̸ | m
תרגיל 1.3.7
m
= ⟩?R = Z⟨2
.1אם Mאיזומורפי לתת־מודול אמיתי של ,Mאז Mאינו ארטיני.
.2אם Mאיזומורפי למודול מנה אמיתי של ,Mאז Mאינו נתרי.
טענה 1.3.8מודול הוא ארטיני וגם נתרי אם ורק אם יש לו סדרת הרכב.
◦
הוכחה .אם יש סדרת הרכב ,הטענה ברורה לפי משפט ז'ורדן־הולדר־שרייר .בכיוון ההפוך ,נניח ש־ M
מקיים את שני תנאי השרשרת .נבחר ,M0 = Mואחרי שבחרנו את ,Miאם ,Mi ̸= 0נבחר את Mi+1
להיות מקסימלי מבין התת־מודולים האמיתיים של ) Miזה אפשרי לפי תנאי המקסימום(; אבל כך מתקבלת
שרשרת יורדת של תת־מודולים ,בסתירה לתנאי השרשרת היורדת .מכאן שעבור iגדול מספיק,Mi = 0 ,
ובנינו סדרת הרכב.
תרגיל 1.3.9תת־מודול ומודול מנה של מודול נתרי )ארטיני( הם נתריים )ארטיניים(.
◦
טענה 1.3.10אם N ≤ Mו־ M/Nהם נתריים )ארטיניים( אז גם Mכזה.
◦
הוכחה .נוכיח עבור תנאי השרשרת העולה .נניח שיש ב־ Mשרשרת עולה · · · < .0 < M1 < M2
אז גם · · · < 0 < M1 ∩ N < M2 ∩ Nו־ · · · < 0 < (M1 + N )/N < (M2 + N )/N
שרשראות עולות ,והן מוכרחות לעצור לפי ההנחה .לכן קיים nשממנו והלאה Mi ∩ N = Mi+1 ∩ N
וגם ,Mi + N = Mi+1 + Nוסיימנו לפי תרגיל .1.2.5
13
פרק .1מודולים נתריים וארטיניים
.1.4מודולים נוצרים סופית
טענה ) 1.3.11אינדוקציה נתרית( יהי Mמודול נתרי .נניח שאם תכונה Pמתקיימת לכל תת־
מודול המכיל ממש את ,A ≤ Mאז היא מתקיימת גם ל־ .Aאז Pמתקיימת לכל תת־מודול
של .M
הוכחה .אחרת קח דוגמא נגדית מקסימלית :לפי ההנחה היא אינה דוגמא נגדית.
1.3.1
תנאי השרשרת בחוגים
הגדרה 1.3.12חוג נקרא ארטיני או נתרי אם הוא ארטיני או נתרי כמודול מעל עצמו.
דוגמא Z 1.3.13הוא חוג ארטיני שאינו נתרי.
◦
תרגיל 1.3.14חוג מנה של חוג נתרי )ארטיני( הוא נתרי )ארטיני(.
תרגיל 1.3.15הראה שתת־חוג של חוג נתרי )ארטיני( אינו בהכרח נתרי )ארטיני( .הצעה.
שדה הוא נתרי וארטיני ,אבל תחום שלמות לעולם אינו ארטיני )טענה 5.1.8לעיל( ,וגם אינו חייב
להיות נתרי.
1.4
מודולים נוצרים סופית
נתריות וארטיניות ,כמו תנאי המינימום ותנאי המקסימום ,הם קריטריונים לסופיות .למרות
הסימטריה המדומה ,יש מודולים נתריים שאינם ארטיניים ,ומודולים ארטיניים שאינם
נתריים .בסמסטר הבא נוכיח את משפט הופקינס־לויצקי )משפט :(8.5.4כל חוג ארטיני הוא
נתרי.
טענה 1.4.1אם Rארטיני או נתרי ,אז כל מודול נוצר סופית מעל Rגם הוא ארטיני או נתרי.
הוכחה .נניח ש־ .M = Rx1 + · · · + Rxnההוכחה באינדוקציה על .nאם n = 1אז
∼ ,Mוזהו מודול מנה של Rשהוא ארטיני או נתרי .במקרה הכללי נסמן = N
) = R/Ann(x1
∼ M/N
N/(N
∩
Rx
)
גם
אבל
האינדוקציה.
הנחת
לפי
)נתרי(
ארטיני
שהוא
,Rx
=
n
1 + · · · + Rxn−1
הוא ארטיני )נתרי( כתת־מודול של מודול ארטיני )נתרי(; סיימנו לפי טענה .1.3.10
תכונה נוספת שיש לבחון בהקשר זה היא קיומה של קבוצת יוצרים סופית .מתברר שכל
מודול נתרי הוא נוצר סופית ,אבל הכיוון ההפוך אינו נכון:
תרגיל 1.4.2התבונן בחוג ]) R = F [x, yשהוא נתרי ,כפי שמיד נוכיח( ,ובתת־החוג
.R0 = F +Ryהראה ש־ Ryאינו נוצר סופית כמודול מעל ) R0למרות ש־.(Ry ⊆ R0 ·1
הדרכה .ראשית R0 Ry = (F + Ry)Ry = Ry + Ry 2 = Ry ,ולכן I = Ryהוא אידיאל של .R0
∼ .R0 /I
נתבונן במודול המנה ,M = Ry/Ry 2ונבחין ש־ ,IM = 0כך ש־ Mמודול גם מעל = F
∑ n
= Mבעל מימד אינסופי
יוצרים של Mמעל R0יוצרים אותו גם מעל ,R/Iאלא ש־x y
כמרחב וקטורי.
טענה 1.4.3מודול הוא נתרי אם ורק אם כל תת־מודול שלו נוצר סופית.
14
.1.4מודולים נוצרים סופית
פרק .1מודולים נתריים וארטיניים
הוכחה .נניח ש־ Nאינו נוצר סופית .אז אפשר לבחור x0 = 0ולכל iלבחור = xi+1 ̸∈ Ni
;Rx0 + · · · + Rxiמתקבלת שרשרת עולה של תת־מודולים ,N1 < N2 < · · · ,כך ש־ Nאינו נתרי.
לכן כל מודול נתרי )וכל תת־מודול של מודול כזה ,שגם הוא נתרי לפי תרגיל (1.3.9הוא נוצר סופית.
בכיוון ההפוך ,נניח שכל תת־מודול של Nנוצר סופית ,ותהי · · · < N1 < N2שרשרת עולה של
Nהוא תת־מודול ,ולפי ההנחה אפשר לכתוב ¯ = Rx1 + · · · + Rxt
תת־מודולים; אז ¯ = ∪Ni
;Nיש n
גדול מספיק כך שכל ,xi ∈ Nnואז גם ,Nn+1 = Nnבסתירה להנחה.
תרגיל 1.4.4חוג הוא נתרי אם ורק אם כל אידיאל שמאלי שלו נוצר סופית.
ובפרט:
תרגיל 1.4.5כל תחום ראשי הוא נתרי.
משפט ) 1.4.6משפט הבסיס של הילברט( אם Rחוג נתרי אז גם חוג הפולינומים ] R[xהוא נתרי.
הוכחה .נניח ש־] R[xאינו נתרי .אז יש לו אידיאל שמאלי ] I ≤ℓ R[xשאינו נוצר סופית.
נבחר ,f0∑= 0ולכל j > 0יהי fj ∈ Iפולינום ממעלה ∑njשהיא מינימלית כך ש־
.fj ̸∈ i<jיהי ajהמקדם העליון של ∑.fjאם aj ∈ i<j Raiאז אפשר לכתוב
∑ R[x]fi
nj −ni
ואז fi
fj − i<j ri xבעל מעלה קטנה משל ,fjוהוא
aj = i<j ri aiעבור ∑ ,ri ∈ R
שייך ל־ Iאבל לא ל־ , i<j R[x]fiבסתירה .לכן · · · ⊂ Ra1 ⊂ Ra1 + Ra2שרשרת עולה
אינסופית ,וגם Rאינו נתרי.
הערה 1.4.7משפט הבסיס של הילברט תקף גם כאשר Rאינו קומוטטיבי ,ואפילו )בשינויים
קלים של ההוכחה( עבור חוג הפולינומים המעוות ] R[x; σ, δכאשר σ : R→Rאוטומורפיזם
ו־ δ : R→Rגזירת־) σכלומר ,העתקה המקיימת ;(δ(ab) = σ(a)δ(b) + δ(a)bהחוג מוגדר לפי
היחס ).xa = σ(a)x + δ(a
תרגיל 1.4.8כל חוג קומוטטיבי נוצר סופית מעל חוג נתרי הוא נתרי .הדרכה .משפט
הבסיס של הילברט ותרגיל .1.3.14
◦
תרגיל 1.4.9אם Rנתרי אז גם ]] R[[xנתרי .הדרכה .נסמן ב־) ν(fאת מעלת המונום
המוביל של ,fוב־¯ fאת המקדם של ) xν(fב־ .fיהי ]] .I▹R[[xנסמן ב־ Inאת האידיאל של
Rהכולל את המקדמים המובילים של כל אברי ]] .I ∩ xn R[[xכך · · · ,I0 ⊆ I1 ⊆ I2ולכן
השרשרת מתייצבת ב־ Inמתאים .בגלל הנתריות של ,Rכל Ijנוצר סופית; קבע קבוצות
יוצרים לכל .j ≤ n ,Ijלכל יוצר של ,Ijבחר fjk ∈ Iעם ערך ,jשזה המקדם המוביל שלו;
נסמן ב־ I ′את האידיאל של ]] R[[xהנוצר על־ידי כל היוצרים האלה .כעת יהי .f ∈ Iנבנה
באינדוקציה סדרת אברים fi ∈ I ′כך ש־ .ν(f − fi ) > iנבחר .f−1 = 0לכל i ≥ 0נציג
את המקדם של xiבהפרש f − fi−1כצירוף מעל Rשל יוצרי ,Iiונרים אותו לצירוף מעל R
של אברי Iהמתאימים; נבחר fiלהיות הסכום של fi−1עם הצירוף הזה .כך המקדם של xi
בהפרש f − fiשווה לאפס.
תרגיל 1.4.10יהי Fשדה ,אז ] F [xאינו ארטיני.
)ולכן אין גרסה אנלוגית למשפט הבסיס של הילברט עבור תכונת הארטיניות(.
תרגיל 1.4.11איחוד שרשרת של תת־מודולים שאינם נוצרים סופית ,גם הוא אינו נוצר
∪
סופית .הדרכה .אחרת , Mα = Rx1 + · · · + Rxnואז יש αכך ש־ ,x1 , . . . , xn ∈ Mα
בסתירה להנחה.
15
◦
פרק .1מודולים נתריים וארטיניים
.1.4מודולים נוצרים סופית
16
פרק 2
אידיאלים ראשוניים
אידיאל אמיתי של חוג הוא מקסימלי אם אינו מוכל באף אידיאל אמיתי אחר ,וראשוני אם
אינו מכיל מכפלה של אידיאלים אלא אם הוא מכיל אחד מהם .חוג פשוט הוא חוג שאין
לו אידיאלים שונים מאפס ,וחוג ראשוני הוא חוג שבו אפס אידיאל ראשוני .אידיאל הוא
מקסימלי אם ורק אם R/Iפשוט ,וראשוני אם ורק אם R/Iראשוני.
המושגים קשורים זה לזה באופן הדוק :כל אידיאל ראשוני הוא מקסימלי ,ואידיאל
מקסימלי ביחס לתכונה מסויימת הוא לעתים קרובות ראשוני.
2.1
אידיאלים ראשוניים ומקסימליים
תרגיל 2.1.1אידיאל Pבחוג קומוטטיבי Rהוא ראשוני אם ורק אם R/Pהוא תחום
שלמות.
תרגיל ) 2.1.2כאשר Rקומוטטיבי( P ▹Rראשוני אם ורק אם לכל ,a, b ∈ Rאם ab ∈ P
אז a ∈ Pאו .b ∈ P
תרגיל 2.1.3יהי Pאידיאל ראשוני .אם P = A ∩ Bאז A = Pאו .B = Pהדרכה.
.AB ⊆ A ∩ B
◦
תרגיל nZ 2.1.4הוא אידיאל ראשוני של Zאם ורק אם nראשוני.
תרגיל 2.1.5בתחום פריקות יחידה :האידיאל P = Rpהוא ראשוני אם ורק אם p
אי־פריק ,וכל אידיאל ראשוני ≠ 0כולל איבר אי־פריק.
◦
תרגיל 2.1.6יהי Rתחום שלמות נתרי )חוג נתרי הוא בפרט אטומי ,כלומר כל איבר
הוא מכפלה של איברים אי־פריקים( .הראה שכל אידיאל ראשוני של Rנוצר על־
ידי איברים אי־פריקים .הדרכה .נניח ש־⟩ ;P = ⟨aa′ , c1 , . . . , cnאז ⟩ A = ⟨a, c1 , . . . , cn
ו־} A′ = {a′ , c1 , . . . , cnמקיימים ,AA′ = ⟨aa′ , aci , a′ ci , ci cj ⟩ ⊆ Pולכן למשל ,A ⊆ Pוהרי
מצד שני .P ⊆ Aלכן P = Aואפשר להמשיך באינדוקציה על מספר הגורמים הכולל.
משפט ) 2.1.7משפט השאריות הסיני( יהיו I1 , . . . , Inאידיאלים קו־מקסימליים של חוג .R
∼ ) .R/(I1 ∩ · · · ∩ In
אז = R/I1 × · · · × R/In
הגדרה 2.1.8עבור ,I, I ′ ▹Rנגדיר } .I:I ′ = {x ∈ R : xI ′ ⊆ Iזהו האידיאל הגדול ביותר המקיים
.(I:I ′ )I ′ ⊆ I
17
◦
פרק .2אידיאלים ראשוניים
.2.2חוגים מקומיים
תרגיל 2.1.9אם Iאינו ראשוני ,אז יש a ̸∈ Iכך ש־ .I ⊂ I:aהדרכה .קח a, b ∈ Rכך
ש־ a, b ̸∈ Iו־ ,ab ∈ Iאז .b ∈ I:a
◦
תרגיל 2.1.10יהי ,J▹Rויהי .a ∈ Rאם I + Raו־ I:aנוצרים סופית ,אז גם Iנוצר
∑
∑
∑
= .I + Raלפי ההנחה , Rxi a = (I:a)a ⊆ I
= I:aו־ Ryj
סופית .הדרכה .כתוב Rxi
ולכל jיש tj ∈ Rכך ש־ .yj − tj a ∈ Iנראה שהאברים } {xi a, yj − tj aיוצרים את :Iלכל
∑
∑
∑
∑
= ,cואז ( sj tj )a ∈ Iולכן
= sj yj
,c ∈ Iיש sj ∈ Rכך ש־sj (yj − tj a) + ( sj tj )a
∑
שייך לאידיאל . Rxi a
המשפט הבא מדגים את העקרון שהוצג בתחילת הסעיף ,על כך שאידיאלים מקסימליים
ביחס לתכונה מסויימת נוטים להיות ראשוניים.
משפט 2.1.11חוג קומוטטיבי Rשבו כל אידיאל ראשוני נוצר סופית ,הוא נתרי.
הוכחה .אם כל האידיאלים נוצרים סופית ,סיימנו .נניח שלא ,אז לפי תרגיל ,1.4.11מכיוון
שהתנאי סגור לשרשראות ,אפשר להפעיל את הלמה של צורן ולקבל אידיאל Jשהוא
מקסימלי בין אלו שאינם נוצרים סופית.
אם Jאינו ראשוני אז לפי תרגיל 2.1.9יש a ∈ Rכך ש־ J ⊂ J:aו־ ,J ⊂ Ra + Jולפי
המקסימליות שני האידיאלים האלה נוצרים סופית .אבל אז ,לפי תרגיל ,2.1.10גם Jנוצר
סופית ,בסתירה להנחה .מכאן ש־ Jראשוני ,אבל אז הוא נוצר סופית לפי ההנחה.
2.2
חוגים מקומיים
מן הלמה של צורן נובע שכל אידיאל בחוג )עם יחידה( מוכל באידיאל מקסימלי.
הגדרה 2.2.1חוג קומוטטיבי הוא מקומי אם יש לו אידיאל מקסימלי יחיד.
טענה R 2.2.2מקומי אם ורק אם ) R − U (Rאידיאל ,אם ורק אם ) R − U (Rסגור לחיבור,
אם ורק אם לכל a ,a ∈ Rאו 1 − aהפיכים.
◦
משפט ) 2.2.3הלמה של נקיימה לחוגים מקומיים( יהי Rחוג מקומי .לכל אידיאל A▹Rולכל
מודול נוצר סופית ,Mמתקיים .AM < M
הוכחה .נכתוב M = Rx1 + · · · + Rxnעבור nמינימלי ,ונניח בשלילה ש־ .AM = Mבפרט
עבור ;ai ∈ Aואז
לכתוב את = AM
∑ xn ∈ Mבצורה ∑ xn = a1 x1 + · · · + an xn
אפשר ∑
.(1 − an )xn ∈ i<n Axi ⊆ i<n Rxiאבל 1 − anהפיך ,ולכן ,xn ∈ i<n Rxiבסתירה
להנחה.
מסקנה ) 2.2.4הלמה של נקיימה לחוגים קומוטטיביים( לכל מודול נוצר סופית Mמעל חוג
קומוטטיבי Rקיים אידיאל מקסימלי Aכך ש־ .AM ̸= M
18
◦
.2.3מיקום
פרק .2אידיאלים ראשוניים
2.3מיקום
תהי Sתת־קבוצה של חוג .Rהיינו רוצים לבנות חוג המכיל את ,Rשבו כל אברי Sהפיכים.
זה לא תמיד אפשרי )משום שמחלקי אפס אינם הפיכים בשום הרחבה של החוג(; בכל זאת,
נניח שלקבוצה Sיש התכונות הבאות:
S .1סגורה לכפל וכוללת את איבר היחידה.
S .2מוכלת במרכז של .R
נגדיר על S ×Rיחס שקילות (s, r) ≡ (s′ , r′ ) :אם קיים s0 ∈ Sכך ש־s0 (s′ r−sr′ ) = 0
)אם כל אברי Sרגולריים ,כלומר אינם מחלקי אפס ,אז ההגדרה פשוטה יותר(s, r) ≡ :
) (s′ , r′אם (.s′ r = sr′
תרגיל 2.3.1הראה שזהו אכן יחס שקילות) .היכן השתמשנו בהנחה ש־ Sמרכזית?(
{
}
את מחלקת השקילות של ) (s, rנסמן . rsנסמן גם .S −1 R = rs : s ∈ S, r ∈ Rעל
′
′
′
′
′
. rs + rs′ = s r+sr
, rs · rs′ = rr
הקבוצה הזו אפשר להגדיר פעולות:
ss′
ss′
תרגיל 2.3.2הראה שהפעולות מוגדרות היטב.
◦
תרגיל 2.3.3הראה ש־ ,S −1 Rעם הפעולות שהוגדרו לעיל ,הוא חוג ,שאיבר היחידה שלו
. 11
נגדיר העתקה ι : R→S −1 Rלפי
r
1
◦
◦
→.r 7
תרגיל 2.3.4הראה ש־} ,Ker(ι) = {r ∈ R : (∃s ∈ S)sr = 0והסק ש־ ιשיכון אם ורק
אברי Sרגולריים )במקרה זה אפשר לזהות את Rעם העותק האיזומורפי
אם כל
{
}
ιR = 1r : r ∈ Rשהוא תת־חוג של (.S −1 R
תרגיל 2.3.5הראה שאם 0 ∈ Sאז .S −1 R = 0
תרגיל 2.3.6תן דוגמא שבה 0 ̸∈ Sובכל־זאת ι : R→S −1 Rאינו שיכון.
}
{
תרגיל { 2.3.7הראה שאברי ιS = 1s : s ∈ Sהפיכים ב־ .S −1 Rלכן אפשר לכתוב
}
.S −1 = 1s : s ∈ S
תרגיל 2.3.8נניח שכל אברי Sרגולריים .הראה ש־ ι : R→S −1 Rהיא על ,אם ורק אם
כל אברי Sהפיכים כבר ב־.R
האוניברסליות של חוג השברים
נאמר שהומומורפיזם R→R′הוא ''הופך ''Sאם התמונה של כל איבר של Sהפיכה ב־ .R′
משפט 2.3.9יהי φ : R→Aהומומורפיזם הופך .Sאז קיים הומומורפיזם יחיד φ′ : S −1 R→Aכך
ש־.φ = φ′ ◦ ι
S −1O R
φ′
"
/A
ι
φ
19
R
◦
.2.3מיקום
2.3.1
פרק .2אידיאלים ראשוניים
האידיאלים של S −1 R
} הטבעית כעת היא{ מה קורה לאידיאלים של Rכשעוברים לחוג .S −1 Rאם ,A▹R
השאלה
a
−1
−1
−1
−1
נסמן .S A = s : a ∈ A, s ∈ Sכקבוצות ב־ ,S Rמתקיים ).S A = S · ι(A
תרגיל 2.3.10לכל S −1 A ,A▹Rהוא אידיאל של .S −1 R
}
{
בכיוון ההפוך ,לכל ,T ▹S −1 Rנתבונן ב־ .ι−1 (T ) = a ∈ R : a1 ∈ T
ι : R→S −1 Rשיכון ,אז (.ι−1 (T ) = T ∩ R
)אם
תרגיל 2.3.11לכל ι−1 (T ) ,T ▹S −1 Rהוא אידיאל של .R
◦
תרגיל 2.3.12
.1לכל ;T = S −1 ι−1 (T ) ,T ▹S −1 R
.2כל אידיאל של S −1 Rהוא מהצורה S −1 Aעבור A▹R
פתרון .יהי ,T ▹S −1 Rאז ) A = ι−1 (Tהוא אידיאל של ,R
.S −1 A = S −1 ι(A) ⊆ S −1 T = Tמאידך ,לכל T , xs ∈ T
; x1 ∈ ι(T ) = Aמכאן ש־ . xs = 1s x1 ∈ S −1 Aאם כך= S −1 ι−1 (T ) ,
מתאים.
ומכיוון ש־ ,A ⊆ Tמתקיים
= x1 = 1s xs ∈ STולכן
Tהוא מהצורה המבוקשת.
תרגיל זה מראה שההעתקות
}אידיאלים של / {R
−1 AA : Φ
oS
}אידיאלים של R
) Ψ : T 7→ι−1 (T
−1
{S
מוגדרות היטב ,וגם שההרכבה ) Φ ◦ Ψ : T 7→ S −1 ι−1 (Tהיא הזהות .מכאן ש־ Ψחד־חד־
ערכית ,וש־ Φעל .אינטואיטיבית ,פירושו של דבר של־ S −1 Rיש 'פחות' אידיאלים מאשר
ל־ .Rכל אידיאל של S −1 Rמוגדר על־ידי אידיאל של ,Rואידיאלים רבים של Rעשויים
להגדיר את אותו אידיאל של .S −1 R
−1
−1
החוג Rעצמו עובר תחת Φאל ,S Rבדיוק כפי ש־ Ψמעביר את S Rל־.R
תרגיל 2.3.13
.1יהי .A▹Rאז S −1 Aאידיאל אמיתי אם ורק אם ∅ = .S ∩ A
.2יהי .T ▹S −1 Rאז Tאמיתי אם ורק אם החיתוך של ) ι−1 (Tעם Sריק.
כלומר ,ההעתקות שהוגדרו קודם לכן פועלות גם על הקבוצות המצומצמות
}אידיאלים של Rהזרים ל־/ {S
S −1 AA : Φ
o
}אידיאלים אמיתיים של R
) Ψ : T 7→ι−1 (T
−1
{S
וגם כאן Φ ◦ Ψהיא הזהות ,כך ש־ Ψחד־חד־ערכית ,ו־ Φעל.
◦
◦
תרגיל 2.3.14קח R = Zו־} .S = {1, 3, 9, 27, . . .הראה שהאידיאלים השונים A = 6Z
ו־ A′ = 2Zשל Rמקיימים ,S −1 A = S −1 A′למרות ששניהם זרים ל־.S
תרגיל 2.3.15יהי P ▹Rראשוני זר ל־ ,Sאז .ι−1 (S −1 P ) = Pפתרון .ההכלה ⊆ P
) ι−1 (S −1 Pטריוויאלית .נניח ש־) , as = x1 ∈ ι−1 (S −1 Pכאשר a ∈ Pו־ .s ∈ Sמכיוון ש־ sמרכזי,
,(RsR)(RxR) = RsxR = RaR ⊆ Pאבל s ̸∈ Pולכן ,RsR ̸⊆ Pולפי הראשוניות נובע מכך
ש־ .x ∈ RxR ⊆ Pמכאן ש־ . x1 ∈ P
20
.2.3מיקום
פרק .2אידיאלים ראשוניים
תרגיל 2.3.16אם P ▹Rראשוני זר ל־ ,Sאז S −1 Pראשוני .פתרון .נניח ש־ T1 T2 ⊆ S −1 P
עבור .T1 , T2 ▹Rנכתוב Ti = S −1 Aעבור ,Ai ▹Rואז
A1 A2 ⊆ ι−1 (S −1 A1 · S −1 A2 ) = ι−1 (T1 T2 ) ⊆ ι−1 (S −1 P ) = P
לפי תרגיל .2.3.15מכיוון ש־ Pראשוני ,יש iשעבורו ,Ai ⊆ Pואז .Ti = S −1 Ai ⊆ S −1 P
תרגיל 2.3.17אם T ▹S −1 Rראשוני ,אז ) ι−1 (Tאידיאל ראשוני של .Rפתרון .נניח ש־
) A1 A2 ⊆ ι−1 (Tעבור .A1 , A2 ▹Rאז ⊆ ) S −1 A1 · S −1 A2 = S −1 (A1 A2 ) ⊆ S −1 ι−1 (T
,S −1 T = Tומכיוון ש־ Tראשוני נובע מכך ש־ S −1 Ai ⊆ Tל־ iמתאים .לכן ⊆ ) Ai ⊆ ι−1 (S −1 Ai
) .ι−1 (T
משני התרגילים האחרונים נובע שההתאמות
{
}
S −1 AA : Φ
o
R
של
ראשוניים
אידיאלים
}אידיאלים ראשוניים של {S −1 R
/
הזרים ל־S
) Ψ : T 7→ι−1 (T
מוגדרות היטב ,ולפי תרגילים 2.3.12ו־ ,2.3.15הן הפוכות זו לזו .אם כך ,הוכחנו:
משפט 2.3.18יש התאמה חד־חד־ערכית ועל בין אידיאלים ראשוניים של Rשאינם נחתכים עם ,Sלבין
אידיאלים ראשוניים של ,S −1 Rהמוגדרת על־ידי .T 7→ ι−1 (T ) ,S −1 P P
תרגיל 2.3.19יהי A▹Rאידיאל זר ל־ .Sהראה ש־ r + A 7→ 1r + S −1 Aהוא הומומורפיזם
מוגדר היטב ,R/A→S −1 R/S −1 Aשהגרעין שלו הוא .ι−1 (S −1 A)/Aלכן הוא מתפצל
להטלה ושיכון
−1
−1
−1
−1
R/A R/ι (S A) ,→ S R/S A.
◦
◦
לעומת זאת:
תרגיל 2.3.20יהי P ▹Rאידיאל ראשוני שהוא זר ל־.S
.R/P ,→ S −1 R/S −1 Pהדרכה .תרגילים 2.3.19ו־.2.3.15
2.3.2
הראה שקיים שיכון
מיקום באידיאל ראשוני
תרגיל 2.3.21יהי Pאידיאל של חוג קומוטטיבי .Rהראה שהמשלים S = R−Pסגור
לכפל אם ורק אם Pראשוני.
,Rאפשר לפי התרגיל להפעיל את הבניה
אם P ▹Rאידיאל ראשוני }של חוג קומוטטיבי {
של הסעיף הקודם ולקבל חוג ,(R − P )−1 R = xb : x ∈ R, b ̸∈ Pשבו כל איבר מחוץ
ל־ Pהוא הפיך .את החוג הזה מסמנים ב־ ,RPוהוא נקרא המיקום של Rב־ .Pלכל A▹R
המוכל ב־ ,Pמסמנים .AP = (R − P )−1 A
תרגיל 2.3.22יש התאמה חד־חד־ערכית ועל בין אידיאלים ראשוניים של Rהמוכלים
ב־ ,Pלבין אידיאלים ראשוניים של .RPהדרכה .זהו משפט 2.3.18עבור .S = R − P
תרגיל 2.3.23יהי Pאידיאל ראשוני של חוג קומוטטיבי .Rאז RPמקומי ,והאידיאל
המקסימלי שלו הוא .PP = (R − P )−1 Pהדרכה .תרגיל .2.3.22
21
◦
פרק .2אידיאלים ראשוניים
.2.3מיקום
התרגיל האחרון מציג את התועלת שיש במיקום באידיאל ראשוני :Pהתוצאה היא חוג
מקומי ,שבו 'נעלמו' כל האידיאלים שאינם מוכלים ב־ .Pמיקום כזה מאפשר ללמוד את P
ללא הפרעות חיצוניות.
תרגיל 2.3.24תאר את המיקום ⟩ .Z⟨7מצא איבר t ∈ Qכך ש־.Z⟨7⟩ [t] = Q
תרגיל 2.3.25אם Rתחום שלמות אז לכל אידיאל ראשוני P ▹Rיש שיכון ),RP ,→ q(R
כאשר ) q(Rהוא שדה השברים של .R
◦
משפט 2.3.26יהי Rתחום שלמות .אז חיתוך כל המיקומים ) ,RM ⊆ F = q(Rעל־פני האידיאלים
המקסימליים ,M ▹Rשווה ל־.R
הוכחה .יהי b−1 a ∈ Fאיבר השייך לכל המיקומים ;RPכלומר a ∈ bRP ,לכל אידיאל
מקסימלי .P ▹Rעלינו להראות ש־ ,a ∈ Rbואז .b−1 a ∈ R
יהי } ;J = b:a = {x ∈ R : xa ∈ Rbברור שזהו אידיאל של .Rאם J▹Rאידיאל
אמיתי אז הוא מוכל באידיאל מקסימלי ,J ⊆ Mואז מ־ b−1 a ∈ RMמסיקים ש־= b−1 a
b−1עבור a1 ∈ Rו־ .b1 ̸∈ Mאבל אז ,b1 a = a1 b ∈ Rbכך ש־ ,b1 ∈ J ⊆ Mבסתירה
1 a1
לבחירת .b1מכאן ש־ 1 ∈ Jולכן .a ∈ Rb
תרגיל 2.3.27יהי Rתחום שלמות .אז חיתוך כל המיקומים ) ,RP ⊆ F = q(Rעל־פני
האידיאלים הראשוניים ,P ▹Rשווה ל־.R
מסקנה ) 2.3.28ממשפט (2.3.26יהי Rתחום שלמות עם שדה שברים .Fאז חיתוך כל החוגים
המקומיים R ⊆ T ⊆ Fשווה ל־.R
22
פרק 3
אלגברות אפיניות
בפרק זה כל החוגים קומוטטיביים.
הגדרה 3.0.29תהי C ⊆ Rהרחבה של חוגים .אומרים ש־ Rאלגברה אפינית מעל Cאם Rנוצר סופית
כאלגברה מעל .C
3.1
חוגי פולינומים
תרגיל 3.1.1כל אלגברה אפינית מעל Cהיא חוג מנה של ] C[λ1 , . . . , λnעבור n
מתאים.
◦
טענה 3.1.2אם Cחוג נתרי ,כל אלגברה אפינית מעל Cהיא נתרית.
הוכחה) .זהו תרגיל .(1.4.8
תרגיל 3.1.3האוניברסליות של חוגי פולינומים :נניח ש־ φ : C→Rהומומורפיזם .לכל
β1 , . . . , βn ∈ Rיש הומומורפיזם φ¯ : C[λ1 , . . . , λn ]→Kיחיד הממשיך את ,φכך ש־
.φ(λ
¯ i ) = βi
תרגיל K 3.1.4שדה אינסופי .אם ] ,0 ̸= f ∈ K[λ1 , . . . , λnאז יש α1 , . . . , αn ∈ Kכך
ש־ .f (α1 , . . . , αn ) ̸= 0הדרכה .אינדוקציה על .n
תרגיל 3.1.5הראה שהטענה בתרגיל 3.1.4אינה נכונה עבור שדה סופי .K = Fq
3.2אלגבריות
הגדרה 3.2.1תהי C ⊆ Rהרחבה של חוגים .איבר a ∈ Rהוא אלגברי מעל Cאם יש פולינום
] 0 ̸= f ∈ C[λכך ש־ .f (a) = 0הרחבה היא אלגברית אם כל איבריה אלגבריים.
התוצאה המרכזית של הפרק הזה היא מסקנה ,3.4.4המראה שאם אלגברה אפינית היא
שדה אז היא מוכרחה להיות אלגברית )וממימד סופי מעל .(Fמכאן נובע שאם אלגברה
אפינית אינה אלגברית ,אז יש לה אידיאלים )וזה מאפשר להתחיל תהליכי אינדוקציה(.
תרגיל 3.2.2תהי F ⊆ Rהרחבה שבה Rתחום שלמות ו־ Fשדה.
23
◦
◦
פרק .3אלגברות אפיניות
.3.2אלגבריות
.1לכל F [a] ,a ∈ Rהוא שדה אם ורק אם aאלגברי מעל .F
.2אם a1 , . . . , an ∈ Rאלגבריים מעל Fאז ] F [a1 , . . . , anהוא שדה.
טענה 3.2.3תהי C ⊆ Rהרחבה אלגברית של תחומי שלמות .אז כל אידיאל 0 ̸= A▹R
נחתך עם .C
הוכחה .יהי .0 ∈ a ∈ Aאז קיימים c0 , · · · , cn ∈ Cכך ש־ ;cn an +· · ·+c1 a+c0 = 0אם c0 = 0
אפשר לצמצם ולקבל פולינום ממעלה נמוכה יותר .כך .0 ̸= c0 = −(cn an−1 +· · ·+c1 )a ∈ Ra ⊆ A
◦
תרגיל 3.2.4תחום שלמות אלגברי מעל שדה הוא שדה בעצמו .הדרכה .טענה .3.2.3
3.2.1
מימד טרנסצנדנטי
יחס בין תת־קבוצות ואברים של קבוצה ) Xכלומר ,לכל תת־קבוצה S ⊆ Xולכל
הגדרה 3.2.5יהי
Sאם לכל
(.Sעבור תת־קבוצה S ′נסמן S ′
איבר ,s ∈ Xיכול להתקיים או לא להתקיים היחס s
.Sהיחס נקרא תלות פורמלית אם
x ∈ S ′מתקיים x
.1אם s ∈ Sאז s
.2אם s
;S
Sאז קיימת S0 ⊆ Sסופית כך ש־s
S ′אז a
.3אם a
Sו־S
.4אם b
} S ∪ {aאבל b
;S ′
}") S ∪ {bלמת ההחלפה של שטייניץ"(.
̸ Sאז a
קבוצה Sנקראת בלתי תלויה אם לכל a ,a ̸∈ S
◦
;S0
̸ }.S−{a
תרגיל 3.2.6יהי Vמרחב וקטורי .היחס "s
הוא תלות פורמלית על .V
Sאם sהוא צירוף לינארי של אברי "S
תרגיל 3.2.7הסבר היכן נכשלת ההוכחה בתרגיל 3.2.6אם מחליפים את Vבמודול
כלשהו ,ותן דוגמא נגדית מתאימה.
תרגיל 3.2.8הראה שכל תלות פורמלית מקיימת את התנאי
.4′אם a
̸ Sו־ Sבלתי תלויה ,אז } S ∪ {aבלתי תלויה.
פתרון .אחרת יש s ∈ Sכך ש־s
בסתירה להנחה.
◦
} ,(S−{s}) ∪ {aאבל s
תרגיל 3.2.9אם Sבלתי תלויה מקסימלית אז לכל a ,a
המסקנה נובעת מתנאי .1אחרת } S ∪ {aבלתי תלויה לפי .4′
̸ } ,S−{sולפי תכונה a 4
,S
.Sהדרכה .אם a ∈ S
תלות פורמלית .אז כל תת־קבוצה בלתי תלויה אפשר
תרגיל 3.2.10נניח ש־
להרחיב לתת־קבוצה בלתי תלויה מקסימלית )ביחס להכלה( .הדרכה .הלמה של צורן.
◦
משפט 3.2.11נניח ש־
עוצמה.
תלות פורמלית .אז לכל הקבוצות הבלתי־תלויות המקסימליות יש אותה
24
◦
.3.3הרחבות שלמות
פרק .3אלגברות אפיניות
הוכחה) .נסתפק בהוכחה כאשר הקבוצות סופיות( .תהיינה B, B ′קבוצות בלתי תלויות מקסימליות.
נכתוב } ,B = {b1 , . . . , bnונראה שלכל k ≤ nקיימים b′1 , . . . , b′k ∈ B ′כך ש־
} {b′1 , . . . , b′k , bk+1 , . . . , bnבלתי תלויה .בפרט ,עבור ,k = nיוצא ש־| .n = |B| ≤ |B ′ההוכחה
אם ,bk ∈ B ′
באינדוקציה על .kעבור k = 0אין
מה להוכיח .נניח }שהטענה נכונה עבור { ′ ;k − 1 ′
′
;Bאבל Bk = b1 , . . . , bk−1 , bk+1 , . . . , bn ̸ bkלפי
גמרנו .אחרת ,לפי תרגיל bk ,3.2.9
′
′
′
הנחת האינדוקציה ,ומתכונה 3נובע שקיים bk ∈ Bכך ש־ .Bk ̸ bk
הגדרה 3.2.12אומרים ש־ a1 , . . . , an ∈ Rתלויים אלגברית אם קיים ] 0 ̸= f ∈ C[λ1 , . . . , λnכך
ש־.f (a1 , . . . , an ) = 0
הגדרה 3.2.13יהיו F ⊆ Rחוגים .עבור קבוצה S ⊆ Rו־ a ,a ∈ Rתלוי אלגברית ב־ Sאם aאלגברי
מעל ] .F [Sבמלים אחרות אם יש ] f ∈ F [λ1 , . . . , λn , λn+1שאינו שייך ל־] ,F [λ1 , . . . , λnואברים
,a1 , . . . , an ∈ Sכך ש־.f (a1 , . . . , an , a) = 0
תרגיל 3.2.14הראה שיחס התלות האלגברית היא יחס תלות פורמלית.
תרגיל C ⊆ R 3.2.15חוגים .תת־קבוצה בלתי תלויה מקסימלית נקראת בסיס
גודלה הוא המימד הטרנסצנדנטי או דרגת
טרנסצנדנטי של Rמעל .C
הטרנסצנדנטיות ).trdegC (R
תרגיל 3.2.16תהי C ⊆ Rהרחבה .האברים a1 , . . . , atבלתי תלויים אלגברית אם ורק
∼ ] C[a1 , . . . , atעל־ידי האיזומורפיזם .λi 7→ ai
אם ] = C[λ1 , . . . , λt
תרגיל 3.2.17אם ] R = C[a1 , . . . , anאז .trdegC (R) ≤ nמתקיים שוויון אם ורק אם
∼ Rהוא חוג הפולינומים ב־ nמשתנים.
] = F [λ1 , . . . , λn
∼ .R
הרחבה C ⊆ Rנקראת טרנסצנדנטית טהורה אם ] = C[λ1 , . . . , λn
תרגיל 3.2.18נסח את כל הנ"ל בשפה של מטרואידים .מטרואיד הוא אוסף לא ריק M
של תת־קבוצות ,הסגור כלפי מטה ומקיים את האקסיומה הבאה :לכל ,A, B ∈ Mאם
| |B| > |Aאז יש x ∈ B \ Aכך ש־ .A ∪ {x} ∈ M
3.3
הרחבות שלמות
אם C ⊆ Rהרחבה שבה Cאינו שדה ,יש צורך גם בהגדרה עדינה יותר מסתם אלגבריות.
פולינום הוא מתוקן אם המקדם העליון שלו הוא .1
הגדרה 3.3.1אומרים ש־ a ∈ Rהוא שלם מעל Cאם xהוא שורש לפולינום מתוקן ].f ∈ C[λ
טענה 3.3.2תהי C ⊆ Rהרחבה .התכונות הבאות שקולות:
a ∈ R .1שלם;
C[a] .2מודול נוצר סופית מעל ,C
.3קיים תת־מודול נוצר סופית של Rהכולל את 1וסגור לכפל ב־.a
25
◦
פרק .3אלגברות אפיניות
.3.3הרחבות שלמות
הוכחה .(2) ⇐= (1) .נניח ש־ aשלם .אז עבור nמתאים ,an ∈ C + Ca + · · · Can−1 ,ולכן
לכל jמתקיים ,aj ∈ C + · · · + Can−1ומכאן ש־ C[a] = C + · · · + Can−1הוא מודול נוצר
∑ x1 , . . . , xm
סופית C[a] .(3) ⇐=∑(2) .הוא המודול הדרוש .(1) ⇐= (3) .נבחר אברים
= ;axjכך
= Mהוא תת־מודול שעבורו .aM ⊆ Mלכל jנכתוב αij xi
כך ש־ Cxi
) .[a] = (αij ) ∈ Mm (Cלפי משפט קיילי־המילטון )שתקף מעל כל חוג קומוטטיבי( [a] ,מאפסת
∑ האופייני ] ,f (λ) = det(λI − [a]) ∈ C[λשהוא מתוקן .אינדוקציה מראה ש־
את הפולינום
ak xj = ([a]k )ij xiלכל ;k ≥ 1בפרט ,f (a)1 ∈ f (a)M = 0ולכן .f (a) = 0
◦
הערה 3.3.3יהיו ,a ∈ R ,C ⊆ Rו־ .J▹Cאם יש תת־מודול נוצר סופית M ≤ Rכך
1 ∈ Mו־ ,aM ⊆ JMאז aמקיים פולינום מוני שמקדמיו )פרט לראשון( ב־.J
∑
∑
= axiעבור ,αij ∈ Jומקדמי הפולינום האופייני
= ;Mלפי ההנחה αij xi
הוכחה .נכתוב Cxi
שייכים ל־ Jכמו בהוכחת ) (1) ⇐= (3של טענה .3.3.2
תרגיל 3.3.4מצא פולינום המאפס את a1/3 + b1/3מעל ,Fכאשר .a, b ∈ F
◦
טענה 3.3.5תהי C ⊆ Rהרחבה .נניח ש־ a1 , . . . , at ∈ Rשלמים מעל .Cאז כל איבר של
] C[a1 , . . . , atהוא שלם מעל .C
∑ k
= ] C[aiהוא נוצר סופית ,ולכן גם תת־החוג
טענה ,3.3.2כל אחד מתת־החוגים Cai
הוכחה.
לפי ∑
k1
= ] C[a1 , . . . , anהוא מודול נוצר סופית .שוב לפי הטענה ,כל איבר שלו הוא שלם
Ca1 · · · akt t
מעל .C
מסקנה 3.3.6תהי C ⊆ Rהרחבה ,ויהיו a, b ∈ Rשלמים מעל .Cאז גם a + bו־ abהם
שלמים.
הוכחה .לפי טענה ,3.3.5שהרי ].a + b, ab ∈ C[a, b
מסקנה 3.3.7אוסף האברים השלמים ב־ Rמעל Cסגור לחיבור ,כפל בסקלר וכפל; לכן זוהי
אלגברה ,הנקראת הסגור השלם של Cב־) Rנסמן אותה ב־).(IntC (R
◦
טענה 3.3.8אם Rשלם מעל R′ו־ R′שלם מעל Cאז Rשלם מעל .C
∑ i
= ;anלכן aשלם מעל
הוכחה .יהי .a ∈ Rלפי ההנחה יש b0 , . . . , bn−1 ∈ R′כך ש־ bi a
] ,C[b1 , . . . , bn−1ומכאן ש־] C[b1 , . . . , bn−1 ][aמודול סופי מעל ] C[b1 , . . . , bn−1שהוא מודול סופי
מעל .Cלפי הגרירה ) (1) ⇐= (3של טענה a ,3.3.2שלם מעל .C
הגדרה 3.3.9החוג Rנקרא הרחבה שלמה של Cאם ,IntC (R) = Rכלומר כל אברי Rשלמים מעל
.Cאומרים ש־ Cסגור בשלמות בתוך Rאם .IntC (R) = C
תרגיל 3.3.10הראה ש־ Zסגור בשלמות בתוך ,Qושכל חוג Cסגור בשלמות בתוך
חוג הפולינומים ].C[λ
טענה 3.3.11לכל הרחבה IntC (R) ,C ⊆ Rסגור בשלמות בתוך .R
הוכחה .כל איבר שלם מעל ) IntC (Rהוא שלם מעל Cלפי טענה .3.3.8
26
פרק .3אלגברות אפיניות
◦
.3.3הרחבות שלמות
תרגיל 3.3.12נניח ש־ aאלגברי ,כלומר מאפס פולינום ].f (λ) = c0 + · · · + cn λn ∈ C[λ
הראה שבמקרה זה cn aשלם.
תרגיל 3.3.13נניח ש־ Cתחום שלמות ,ו־ Fשדה השברים שלו .תהי Rהרחבה של
.Cאז כל האברים האלגבריים של Rנמצאים בתת־האלגברה ) F · IntC (Rשל
.F R = (C−{0})−1 R
∑
תרגיל 3.3.14אם aאלגברי והפיך ,אז גם a−1אלגברי .הדרכה .כתוב , ni=0 αi ai = 0
∑
אז . αi (a−1 )n−i = 0
תרגיל 3.3.15אם a ∈ Rהפיך ו־ a−1שלם ,אז ] .a−1 ∈ C[aהדרכה .כתוב = a−n
∑n−1
∑n−1
.a−1 = i=0
, i=0אז αi an−i−1
αi a−i
3.3.1
◦
אידיאלים בהרחבות שלמות
כאן נלמד את הקשר בין האידיאלים של Rו־.C
תרגיל 3.3.16תהי C ⊆ Rהרחבה .לכל אידיאל ,A▹Rיש שיכון .C/(C ∩ A) ,→ R/A
טענה 3.3.17תהי C ⊆ Rהרחבה כלשהי .לכל אידיאל ראשוני Q▹Rראשוני Q ∩ C ,אידיאל
ראשוני של .C
◦
◦
הוכחה .לפי תרגיל ;C/(Q ∩ C) ,→ R/Q ,3.3.16מכיוון ש־ R/Qתחום שלמות ,גם )C/(Q ∩ C
תחום שלמות.
תרגיל 3.3.18נניח ש־ Rשלם מעל .Cלכל אידיאל ,A▹Rגם R/Aהרחבה שלמה
של ).C/(C ∩ A
תרגיל 3.3.19יהי C ′הסגור השלם של Cבתוך .Rאז לכל מונויד S −1 C ′ ,S ⊆ Cהוא
הסגור השלם של S −1 Cבתוך .S −1 Rהדרכה .נניח ש־ s−1 a ∈ S −1 Rשלם מעל ;S −1 C
◦
◦
הוכח שקיים s′כך ש־ s′ aשלם מעל ;Cאז .s−1 a = (s′ s)−1 (s′ a) ∈ S −1 C ′
תרגיל 3.3.20נניח ש־ C ⊆ Rהרחבה שלמה ,אז לכל מונויד S −1 C ⊆ S −1 R ,S ⊆ C
הרחבה שלמה .הדרכה .מקרה פרטי של תרגיל .3.3.19
למה 3.3.21נניח ש־ Rתחום שלמות ,ושלם מעל .Cאז Rשדה אם ורק אם Cשדה.
הוכחה .נניח ש־ Rשדה .לכל ;c−1 ∈ R ,c ∈ Cמכיוון ש־ c−1שלם מעל Cלפי ההנחהc−1 ∈ ,
C[c] = Cלפי תרגיל .3.3.15הכיוון ההפוך הוא מקרה פרטי של תרגיל .3.2.4
תרגיל 3.3.22הוכח את הכיוון ההפוך של למה 3.3.21ישירות .הדרכה .נניח ש־ Cשדה,
∑
ויהי .r ∈ Rמכיוון ש־ rשלם אפשר לכתוב rn + i<n ci ri = 0עבור nמינימלי; אם c0 = 0
∑
אפשר היה לצמצם בסתירה למינימליות של ,nולכן r(rn−1 + 0<i<n ci ri ) = −c0הפיך.
תרגיל R = F [x : x2 = 0] 3.3.23היא דוגמא נגדית ללמה ,3.3.21כאשר מוותרים על
ההנחה ש־ Rתחום שלמות .אכן F ⊆ R ,היא הרחבה שלמה ,ו־ Rאינו שדה.
27
◦
◦
פרק .3אלגברות אפיניות
.3.4שדות אינם אפיניים
מסקנה 3.3.24נניח ש־ Rשלם מעל ,Cויהי M ▹Rאידיאל ראשוני .אז M ▹Rמקסימלי אם
ורק אם N = M ∩ C▹Cמקסימלי.
הוכחה .לפי תרגיל R/M ,3.3.18הרחבה שלמה של .C/Nלפי למה R/M ,3.3.21שדה אם ורק אם
C/Nשדה ,ולכן Mמקסימלי אם ורק אם Nמקסימלי.
תרגיל 3.3.25העזר בתרגיל 3.3.23כדי למצוא הרחבה שלמה C ⊆ Rעם אידיאל
שאינו ראשוני ,M ▹Rכך ש־ C ∩ M ▹Cמקסימלי )זוהי דוגמא נגדית למסקנה ,3.3.24
אם מוותרים על ההנחה ש־ Mראשוני( .הדרכה C .הוא שדה.M = 0 ,
טענה 3.3.17מראה שהחיתוך של אידיאל ראשוני של Rעם Cהוא לאידיאל ראשוני של
.Cנוכיח שכל אידיאל ראשוני של Cמתקבל באופן כזה.
◦
◦
תרגיל 3.3.26יהי S ⊆ Rמונויד כפלי שאינו כולל את אפס .כל אידיאל שאינו נחתך עם
Sמוכל באידיאל מקסימלי ביחס לאי־החתכות עם .Sבפרט יש אידיאלים מקסימליים
ביחס לכך שאינם נחתכים עם .Sהדרכה .הלמה של צורן.
טענה 3.3.27יהי S ⊆ Rמונויד כפלי שאינו כולל את אפס .אם P ▹Rמקסימלי ביחס לכך
ש־∅ = ,P ∩ Sאז Pראשוני.
הוכחה .נניח ש־ A, B▹Rהם אידיאלים המכילים ממש את .Pלפי המקסימליות של ,Pקיימים s ∈ S∩A
ו־ ;s′ ∈ S ∩ Bאבל אז ,ss′ ∈ S ∩ ABומכיוון ש־∅ = .AB ̸⊆ P ,S ∩ P
◦
הערה 3.3.28תהי C ⊆ Rהרחבה שלמה ,ויהי P ▹Cאידיאל ראשוני .אז לכל a ∈ P
מתקיים .Ra ∩ C ⊆ P
∑ i
= ,rnואז
.raלפי ההנחה יש c0 , . . . , cn−1 ∈ Cכך ש־ ci r
הוכחה .יהי r ∈ R
כך iש־∑ ∈ C
n
n−1−i
,(ra) = ( ci (ra) aומכיוון ש־ Pראשוני נובע מזה .ra ∈ P
)a ∈ Ca ⊆ P
תרגיל 3.3.29תן דוגמא נגדית לגרסה החזקה הבאה של הערה '' :3.3.28תהי C ⊆ R
הרחבה שלמה ,ויהי .a ∈ Cאז ) ''Ra ∩ C ⊆ Caשאפשר לנסח גם כך :אם a, b ∈ C
ו־ a | bבחוג ,Rאז a | bבחוג .(C
◦
משפט 3.3.30נניח ש־ Rשלם מעל .Cלכל P ▹Cראשוני קיים Q▹Rראשוני כך ש־ .Q ∩ C = P
הוכחה .נסמן .S = C−Pקח אידיאל מקסימלי S −1 Qשל .S −1 Rמכיוון ש־ S −1היא הרחבה שלמה
של החוג )המקומי( ,S −1 Cגם שדה המנה S −1 R/S −1 Qהוא הרחבה שלמה של ),S −1 C/S −1 (Q∩C
ולכן גם ) S −1 C/S −1 (Q ∩ Cהוא שדה )למה .(3.3.21מכאן ש־) S −1 (Q ∩ Cמקסימלי ב־,S −1 C
ולכן ) S −1 P = S −1 (Q ∩ Cו־ P = Q ∩ Cכי שניהם ראשוניים.
28
.3.4שדות אינם אפיניים
פרק .3אלגברות אפיניות
3.4
שדות אינם אפיניים
3.4.1
פירוק ההרחבה
יהיו Fשדה ,ו־] R = F [a1 , . . . , anאלגברה אפינית מעל .Fנסמן ),t = trdegF (R
אז יש בסיס טרנסצנדנטי בין היוצרים ,שאפשר לסמן .a1 , . . . , at ∈ Rנסמן = R0
;F [a1 , . . . , at ] ⊆ Rזהו חוג פולינומים ,ובפרט תחום שלמות .כעת F ⊆ R0 ⊆ Rכאשר
ההרחבה הראשונה טרנסצנדנטית טהורה והשניה אלגברית .אפשר לשפר את המצב:
◦
טענה 3.4.1תהי Rאלגברה אפינית מעל שדה ,Fשהיא תחום שלמות .אז יש תת־חוג R0 ⊆ R
ואיבר 0 ̸= s ∈ R0כך שעבור } ,S = {si : i ≥ 0בשרשרת
F ⊆ R0 ,→ S −1 R0 ⊆ S −1 R,
ההרחבה הראשונה טרנסצנדנטית ,השניה מיקום ,והשלישית היא הרחבה שלמה.
הוכחה .כמקודם נבחר קבוצה בלתי־תלויה אלגברית מקסימלית )שאחרי מספור מחדש אפשר להניח שהיא(
,a1 , . . . , atונסמן ] .R0 = F [a1 , . . . , atהאברים at+1 , . . . , anאלגבריים מעל .R0נסמן ב־ sאת
מכפלת המקדמים המובילים של הפולינומים המינימליים שלהם ,אז לאחר המיקום כל הפולינומים מתוקנים.
משפט הנורמליזציה של נתר משפר את המצב עוד יותר ,בכך שהוא מראה שאין צורך
במיקום.
משפט ) 3.4.2משפט הנורמליזציה של נתר( תהי ] R = F [a1 , . . . , anאלגברה אפינית מעל
שדה .Fאז קיימים b1 , . . . , bn ∈ Rכך ש־] ,R = F [b1 , . . . , bnו־ Rשלם מעל תת־החוג
] R0 = F [b1 , . . . , btשהוא איזומורפי לחוג הפולינומים ב־ tמשתנים מעל .F
◦
הוכחה .נסמן ב־ tאת גודל הקבוצה הבלתי־תלויה אלגברית המקסימלית בין היוצרים .a1 , . . . , anאפשר
להניח .t < nההוכחה באינדוקציה על .n
נראה שאפשר למצוא c1 , . . . , cn−1 ∈ Rכך שעבור ] R = R1 [an ] ,R1 = F [c1 , . . . , cn−1
שלם מעל ,R1ואז ,לפי הנחת האינדוקציה יש תת־חוג חופשי R0 ⊆ R1כך ש־ R1שלם מעל ,R0ואז R
שלם מעל R0לפי תרגיל .3.3.8
∑
מכיוון ש־ anאלגברי מעל ] ,F [a1 , . . . , an−1יש פולינום ∈ f (λ1 , . . . , λn ) = αi1 ...in λi11 · · · λinn
] ,F [λ1 , . . . , λnשאינו טריוויאלי במשתנה האחרון ,כך ש־ .f (a1 , . . . , an ) = 0נבחר mגדול
n−i
.ci = ai − amנתבונן בתת־החוג ] R1 = F [c1 , . . . , cn−1
מהמעלה של fלפי כל ,λiוניקח
n
n−1
m
,h(λ) = f (c1 + λשהוא סכום הפולינומים
ובפולינום ], . . . , cn−1 + λm , λ) ∈ R1 [λ
n−1
n−2
;αi1 ...in (c1 + λm )i1 (c2 + λm )i2 · · · (cn−1 + λm )in−1 λinכל אחד מאלו הוא הוא בעל
מקדם מוביל מ־ Fומעלה ,mn−1 i1 + mn−2 i2 + · · · + min−1 + inולכן המעלות שונות זו מזו.
לכן המונום המוביל של הפולינום בעל המעלה הגדולה ביותר הוא גם המונום המוביל של ,hשהוא לפיכך
פולינום מוני .מאידך ברור ש־ ,h(an ) = 0ולכן ] R1 [anשלם מעל .R1
טענה 3.4.3תהי ] R = F [a1 , . . . , anאלגברה אפינית שהיא שדה .אז Rאלגברי מעל .F
◦
הוכחה .לפי משפט R ,3.4.2הרחבה שלמה של חוג פולינומים ] ,R0 = F [a1 , . . . , atכאשר = t
) .trdeg(Rלפי משפט 3.3.30כל אידיאל ראשוני של R0מתקבל כחיתוך R0 ∩ Qעם אידיאל ,Q▹R
אבל Rשדה ,ומכאן שגם R0שדה .לכן ,t = 0ו־ Rאלגברי.
מסקנה ") 3.4.4משפט ("Aיהי Fשדה סגור אלגברית .אלגברה אפינית ] R = F [a1 , . . . , an
המכילה ממש את Fאינה יכולה להיות שדה.
הוכחה .אחרת Rאלגברי מעל Fלפי מסקנה ,3.4.3ואז R = Fשהרי Fסגור אלגברית.
29
◦
.3.4שדות אינם אפיניים
3.4.2
◦
פרק .3אלגברות אפיניות
המשכת הומומורפיזמים
משפט 3.4.5תהי C ⊆ Rהרחבה שלמה ,ויהי Kשדה .לכל הומומורפיזם φ : C→Kקיימת המשכה
φ¯ : R→Kכאשר ˆ
ˆ
Kהסגור האלגברי של .K
∼ C/Pולכן
הוכחה .נסמן ) ,P = Ker(φאז = φ(C) ⊆ K
Pראשוני .לפי משפט ,3.3.30יש אידיאל ראשוני Q▹Rכך
φ
¯
Rשלם מעל ˆ
/K
ש־ .Q ∩ C = Pלפי תרגיל ¯ = R/Q ,3.3.18
@ O
−1
¯
¯
0
} ,S = C−{0אז S R
∼ .C¯ = (C +Q)/Qנסמן
= C/P
ˆ¯ / F
/ S −1 R
−1
¯
¯
הרחבה שלמה של שדה השברים F = q(C) = S Cלפי
O
O
תרגיל ,3.3.20כלומר¯ ,
לפי
S −1 Rתחום שלמות אלגברי מעל .F
?
φ
/K
תרגיל 3.2.4נובע מכך ¯
ש־ S −1 Rשדה ,ומכיוון שהוא אלגברי
>~
?
~~~ ? /
מעל ,Fהוא משוכן בסגור האלגברי ˆ .Fאבל F ⊆ Kולכן יש
/F
F
שיכון ˆ
.Fˆ ,→ Kהרכבת החצים בפאה העליונה של הדיאגרמה
נותנת את ¯.φ
◦
= RO
¯
R
O
==
=
?
?? C
??
?
¯C
משפט F ⊆ K 3.4.6שדות .יהי ] R = F [a1 , . . . , anתחום שלמות אפיני .אז יש הומומורפיזם של
,R→Kכאשר ˆ
F־אלגברות ˆ
Kאלגברי מעל .K
הוכחה .לפי משפט הנורמליזציה של נתר ,יש תת־חוג ,R0 ⊆ Rאיזומורפי לחוג פולינומים ,כך ש־ Rשלם
מעל .R0לפי משפט ,3.4.5אפשר להמשיך ˆ
ל־ R→Kכל הומומורפיזם .R0 →K
◦
מסקנה 3.4.7יהי ] R = F [a1 , . . . , anתחום שלמות אפיני מעל השדה .Fאז יש הומומורפיזם
ˆ R→Fהממשיך את הזהות על .F
תרגיל 3.4.8השתמש במסקנה 3.4.7כדי לתת הוכחה אחרת למסקנה .3.4.3הדרכה.
לפי מסקנה 3.4.7יש הומומורפיזם מ־ Rלהרחבה אלגברית של ,Fוכל הומומורפיזם של שדות
הוא שיכון.
כעת נציג הוכחה של משפט ) Aמשפט (3.4.4שאינה זקוקה לנורמליזציה.
◦
תרגיל φ : R→K 3.4.9הומומורפיזם עם ,φ(s) ̸= 0אז יש φ : S −1 R→Kהממשיך את
ש־ φמוגדר היטב
¯
;φ(sקל לאשר
,φכאשר ⟩ .S = ⟨sהדרכה .הגדר )¯ −i r) = φ(s)−i φ(r
וממשיך את .φ
תרגיל 3.4.10תן הוכחה למשפט ,3.4.6בהנחה ש־ Kאינסופי ,שאינה משתמשת במשפט
הנורמליזציה של נתר .הדרכה .לפי טענה ,3.4.1יש תת־חוג R0 ⊆ Rואיבר 0 ̸= s ∈ R0כך
שבשרשרת
R,
−1
⟩R0 ⊆ ⟨s
−1
⟩F ⊆ R0 ,→ ⟨s
ההרחבה הראשונה טרנסצנדנטית ,השניה מיקום ,והשלישית היא הרחבה שלמה .לפי
תרגיל 3.1.4יש הומומורפיזם φ′ : R0 →Kכך ש־ .φ′ (s) ̸= 0לפי תרגיל 3.4.9יש המשכה
.φ′′ : ⟨s⟩−1 R0 →Kמסיימים בעזרת משפט .3.4.5
30
פרק 4
מבוא לגאומטריה אלגברית
בפרק זה נקבע שדה Fונתבונן בעיקר באידיאלים של חוג הפולינומים ] .F [λ1 , . . . , λnהחוג
הזה הוא חוג הפונקציות )הפולינומיות( של המרחב האפיני .F n
4.1
קבוצות אלגבריות ואידיאלים גאומטריים
הגדרה 4.1.1תהי ] A ⊆ F [λ1 , . . . , λnקבוצה של פולינומים .קבוצת האפסים ) Z(Aהיא קבוצת
הנקודות v ∈ F nכך ש־ f (v) = 0לכל .f ∈ A
תרגיל 4.1.2לכל קבוצה .Z(A) = Z(⟨A⟩) ,A
לכן אפשר לדבר על קבוצות האפסים של אידיאלים ב־ .Rקבוצה מהצורה )Z(A
נקראת קבוצה אלגברית .גאומטריה אלגברית לומדת את קבוצות האפסים האלה ,כלומר
את המקומות הגאומטריים שאפשר להגדיר על־ידי תנאים פולינומיים.
הגדרה 4.1.3לכל קבוצה - I(S) = {f ∈ R : (∀s ∈ S)f (s) = 0} ,S ⊆ F nקבוצת הפולינומים
המאפסים את כל אברי .S
תרגיל 4.1.4האופרטורים I, Zמקיימים את התכונות הבאות:
◦
.1אם A1 ⊆ A2אז ) .Z(A1 ) ⊇ Z(A2
.2אם S1 ⊆ S2אז ) .I(S1 ) ⊇ I(S2
.3לכל .A ⊆ I(Z(A)) ,A
.4לכל .S ⊆ Z(I(S)) ,S
תרגיל 4.1.5הוכח מן התכונות בתרגיל 4.1.4ש־ Sקבוצה אלגברית אם ורק אם = S
)) ,Z(I(Sו־ Aאידיאל מהצורה ) I(Sאם ורק אם )).A = I(Z(A
31
◦
פרק .4מבוא לגאומטריה אלגברית
.4.2רדיקלים
4.2רדיקלים
השאלה המדריכה אותנו בסעיף זה :אילו אידיאלים הם מהצורה )?I(S
הגדרה 4.2.1יהי A▹Rאידיאל בחוג קומוטטיבי .אז }A = {f ∈ A : (∃n)f n ∈ A
של .A
√
תרגיל A 4.2.2
√
הוא הרדיקל
הוא אידיאל )אמיתי( של ,Rהמכיל את .A
√
√
תרגיל 4.2.3אם A ⊆ A′אז . A ⊆ A′
√
הגדרה 4.2.4אידיאל Aנקרא רדיקלי אם . A = A
◦
√√
√
√
תרגיל 4.2.5כל רדיקל Aהוא אידיאל רדיקלי) .כלומר A = A
(.
√√
√
√
√
√
= . A + Bפתרון .ראשית A, B ⊆ A +√B ,ולכן√⊆ A + B
תרגיל A + B 4.2.6
√
√
√
√
√
√
√
⊆ A+B
⊆ A+ B
.√A + Bאבל ,A + B ⊆ A + B ,ולכן = A + B
A + Bלפי תרגיל .4.2.5
√
√
√
לטענה , A + B = ⟨ A + ⟩ Bעבור ] .A, B▹F [λ1 , λ2
תרגיל 4.2.7תן דוגמא ⟩נגדית
⟨ 2
2
הדרכה .קח ⟩ ;B = λ − λ1 ,A = ⟨λ1כך .A + B = λ1 , λ2
√
√
√
√
√
תרגיל . A ∩ B = A ∩ B 4.2.8פתרון .ההכלה ⊆ ברורה .נניח A ∩ B
′
′
nכך ש־ ,xn ∈ Aוקיים n′כך ש־ .xn ∈ Bלכן .xmax {n,n } ∈ A ∩ B
∈ ,xאז קיים
√
√
תרגיל 4.2.9נניח ש־ ,A ⊆ Bאז . B/A = B/A
תרגיל 4.2.10יהי Rתחום פריקות√ יחידה .נניח ש־ a = pn1 1 · · · pnk kכאשר piראשוניים
זרים .הראה ש־ . Ra = Rp1 · · · pk
√
√
תרגיל 4.2.11הראה ש־. An = A
√ √
√
תרגיל 4.2.12הראה ש־. A B ⊆ AB
√
√
√
תרגיל 4.2.13הראה שבתחום ראשי מתקיים . A + B = A + B
√ √
√
√
תרגיל 4.2.14אם Rתחום ראשי ,אז . A B = AB A + Bהאם השוויון הזה נכון
בכל חוג קומוטטיבי?
32
פרק .4מבוא לגאומטריה אלגברית
4.2.1
◦
.4.2רדיקלים
חוג ראשוני למחצה
הגדרה 4.2.15איבר a ∈ Rהוא נילפוטנטי אם am = 0ל־ mגדול מספיק .חוג )קומוטטיבי( Rנקרא
ראשוני למחצה אם אין בו איברים נילפוטנטים.
תרגיל 4.2.16הראה ש־ Rראשוני למחצה אם ורק אם 0▹Rאידיאל רדיקלי.
תרגיל 4.2.17החוג Rראשוני למחצה אם ורק אם x2 = 0גורר .x = 0הדרכה .אם
מ־ x2 = 0נובע ,x = 0אז לכל ,n ≥ 2אם xn = 0גם x2(n−1) = 0ולכן .xn−1 = 0
◦
טענה 4.2.18יהי Rחוג קומוטטיבי .אז A▹Rרדיקלי אם ורק אם R/Aראשוני למחצה.
m
√ rולכן
נניח ש־ Aרדיקלי ,ויהי ;r + A ∈ R/Aאם rm + A = (r + A)m = 0אז = A
הוכחה√ .
,r ∈ A = Aכלומר .r + A = ¯0 ∈ R/Aמאידך נניח ש־ R/Aראשוני למחצה ,ויהי ;r ∈ A
m
;(r + A)m = rm + A = ¯0 ∈ R/Aלפי ההנחה נובע מכאן
אז r ∈ Aעבור mמתאים ,ולכן √
,r + A = 0כלומר ,r ∈ Aוהוכחנו .A = A
◦
תרגיל 4.2.19כל תחום שלמות הוא ראשוני למחצה.
תרגיל 4.2.20החוג Z × Zהוא ראשוני למחצה ואינו תחום שלמות.
תרגיל 4.2.21מכפלה ישרה )לאו דווקא סופית( של שדות היא ראשונית למחצה.
◦
תרגיל 4.2.22אם A▹Rהוא ראשוני למחצה גם כאידיאל וגם כחוג )בלי יחידה( ,אז R
ראשוני למחצה .הדרכה .יהי I▹Rונניח ,I 2 = 0 ⊆ Aאז I ⊆ Aולכן .I▹A
תרגיל 4.2.23נניח ש־ Rראשוני למחצה כחוג ,ו־ A▹Rהוא אידיאל ראשוני למחצה .אז
גם Aראשוני למחצה כחוג .הדרכה .אם I▹Aו־ I 2 = 0אז = (AIA)2 = AIAIA ⊆ AI 2 A
0ולכן .AIA = 0
4.2.2
הרדיקל הראשוני
תרגיל 4.2.24כל אידיאל ראשוני הוא רדיקלי .הדרכה .טענה 4.2.18ותרגיל .4.2.19
◦
טענה 4.2.25החיתוך של אידיאלים ראשוניים הוא רדיקלי.
√
הוכחה .יהיו Piאידיאלים ראשוניים ) I ,i ∈ Iקבוצת אינדקסים כלשהי( ,ויהי .A = ∩Piאם r ∈ A
אז rm ∈ Aעבור mמתאים ,ואז rm ∈ Piלכל ,iו־ r ∈ Piלפי תרגיל .4.2.24לכן .r ∈ ∩Pi = A
מסקנה 4.2.26יהי Rחוג כלשהו .לכל a ∈ Rשאינו נילפוטנטי )הגדרה (5.2.1יש אידיאל
ראשוני Pכך ש־ .a ̸∈ P
◦
הוכחה .לפי ההנחה המונויד ⟩ S = ⟨aאינו כולל את .0קח Pמקסימלי ביחס לתכונה = S ∩ P
∅ )השקולה ל־ a ̸∈ Pאם Rקומוטטיבי(; אידיאל כזה קיים לפי תרגיל ,3.3.26והוא ראשוני לפי
טענה .3.3.27
מסקנה 4.2.27נניח ש־ Rראשוני למחצה.
ש־ .a ̸∈ P
לכל 0 ̸= a ∈ Rיש אידיאל ראשוני Pכך
33
◦
פרק .4מבוא לגאומטריה אלגברית
.4.2רדיקלים
הוכחה .זו מסקנה 4.2.26כי כאשר Rראשוני למחצה ,אם a ̸= 0אז an ̸= 0לכל .n
הגדרה 4.2.28חיתוך כל האידיאלים הראשוניים בחוג Rנקרא הרדיקל הראשוני של ,Rומסמנים אותו
ב־)) .rad(Rבאופן כללי יותר ,אם I▹Rאז חיתוך כל הראשוניים המכילים את Iנקרא הרדיקל של .(I
מסקנה 4.2.29הרדיקל של כל חוג הוא נילי )ולכן הרדיקל הראשוני נקרא גם הרדיקל הנילי
התחתון(.
◦
מסקנה 4.2.30בחוג )קומוטטיבי( ראשוני למחצה.rad(R) = 0 ,
◦
מסקנה 4.2.31אידיאל רדיקלי שווה לחיתוך כל האידיאלים הראשוניים המכילים אותו.
◦
הוכחה .יהי Aאידיאל רדיקלי ,ויהי A′חיתוך האידיאלים הראשוניים המכילים את .Aברור ש־ .A ⊆ A′
¯ .לפי מסקנה 4.2.27יש אידיאל
יהי .a ̸∈ Aנתבונן בחוג הראשוני למחצה ,R/Aשבו a = a + A ̸= 0
′
¯ ,אבל אז a ̸∈ Pומכיוון שגם Pראשוני .a ̸∈ A ,לכן
ראשוני P¯ = P/A▹R/Aכך ש־ ¯a ̸∈ P
,A′ = Aכדרוש.
√
מסקנה 4.2.32בכל חוג קומוטטיבי .rad(R) = 0 ,R
4.2.3
◦
◦
◦
משפט האפסים של הילברט
אידיאל מהצורה ) I(Sהוא רדיקלי .פתרון .נסמן ) .A = I(Sעלינו להוכיח
√ כל
תרגיל 4.2.33
√
k
k
ש־ . A = Aיהי ,f ∈ Aאז קיים kכך ש־ ,f ∈ Aכלומר f (a1 , . . . , an ) = 0לכל
;(a1 , . . . , an ) ∈ Sאבל Fשדה ולכן גם ,f (a1 , . . . , an ) = 0כך ש־.f ∈ I(S) = A
√
)) . A√⊆ I(Z(Aפתרון .ברור ש־⊆ A
תרגיל 4.2.34לכל ] A▹F [λ1 , . . . , λnמתקיים
√
)) ,I(Z(Aולפי תרגיל ,4.2.33גם )). A ⊆ I(Z(A)) = I(Z(A
√
√
√
תרגיל .Z( A) = Z(A) 4.2.35פתרון .מכיוון ש־ ,A ⊆ √Aברור ש־).Z( A) ⊆ Z(A
√ ,s = (s1ויהי .f ∈ Aאז קיים kכך ש־ ,f k ∈ Aכך
בכיוון ההפוך נניח ש־), . . . , sn ) ∈ Z(A
ש־ ;f (s)k = 0לכן גם ,f (s) = 0ו־).s ∈ Z( A
(Hilbert’s
משפט Nullstellensatz) 4.2.36
√
] A▹F [λ1 , . . . , λnמתקיים )). A = I(Z(A
√
להוכיח את ההכלה ההפוכהI(Z(A)) ⊆ ,
נותר
.4.2.34
תרגיל
הוא
הוכחה .הכיוון ))A ⊆ I(Z(A
√
√
, Aוזאת נעשה בדרך השלילה .נניח ש־)) ,f ∈ I(Z(Aו־ .f ̸∈ Aלפי מסקנה ,4.2.31יש אידיאל
ראשוני ] P ▹F [λ1 , . . . , λnכך ש־ .f ̸∈ Pנתבונן בתחום השלמות האפיני ,R = F [λ1 , . . . , λn ]/P
שבו .f¯ ̸= 0נסמן ב־ Kאת שדה השברים של ,Rונתבונן ב־ .R′ = R[f¯−1 ] ⊆ Kמכיוון
ש־ Fסגור אלגברית ,לפי מסקנה 3.4.7יש המשכה φ : R′ →Fשל הזהות .כך מתקבלת ההרכבה
′ φ
.ψ(f
)
=
φ(f
)
=
̸
0
המקיימת
,ψ
:
F
[λ
.
.
.
,
λ
]
R
→,
R
→F
1
n
∑
i1
n
in
= gמתקיים
נתבונן בוקטור .x = (ψ(λ1 ), . . . , ψ(λn )) ∈ Fלכל α⃗i λ1 . . . λn
∑
= )) g(ψ(λ1 ), . . . , ψ(λn
;)α⃗i ψ(λ1 )i1 . . . ψ(λn )in = ψ(g
נניח ש־ Fסגור אלגברית.
◦
לכל אידיאל
אם g ∈ Aאז g + A = ¯0 ∈ Rוממילא ,ψ(g) = 0ומכאן ש־) .x ∈ Z(Aאבל לפי ההנחה
)) ,f ∈ I(Z(Aולכן ,0 = f (x) = ψ(f ) ̸= 0וזו סתירה.
34
◦
.4.3קבוצות אלגבריות אי־פריקות
פרק .4מבוא לגאומטריה אלגברית
במלים אחרות ,אם נתונה מערכת משוואות ,אפשר לקבל את כל המסקנות ממנה על־ידי
פעולות חיבור וחיסור ,כפל בפולינום כלשהו ,והוצאת שורש.
)לגרסה מעל הממשיים ,ראה תרגיל 3.4.28בספר על Model Theoryשל David
(.Marker
כבר בתרגיל 4.1.5ראינו שיש התאמה חד־חד־ערכית בין קבוצות אלגבריות לאידיאלים
מהצורה ) ;I(Sאלא שתאור זה של האידיאלים אינו מספק ,משום שהוא אינו מתייחס ישירות
לאידיאל .משפט האפסים של הילברט משלים סוף־סוף את ההתאמה בין קבוצות אלגבריות
לאידיאלים רדיקליים:
מסקנה ) 4.2.37מעל שדה סגור אלגברית( אידיאל הוא מהצורה ) I(Sאם ורק אם הוא רדיקלי.
הוכחה .תרגיל 4.2.33ומשפט .4.2.36
√
√ ש־ Fסגור אלגברית .אם ) Z(A) ⊆ Z(fאז A
תרגיל 4.2.38נניח
משפט האפסים.f ∈ I(Z(f )) ⊆ I(Z(A)) = A ,
∈ .fפתרון .לפי
מסקנה 4.2.39נניח ש־ Fסגור אלגברית .אז לכל אידיאל ] .Z(A) ̸= ∅ ,A▹F [λ1 , . . . , λn
הוכחה .אחרת A
√
= )).1 ∈ F [λ1 , . . . , λn ] = I(∅) = I(Z(A
◦
תרגיל 4.2.40תן דוגמא נגדית למשפט האפסים של הילברט מעל שדה שאינו סגור
אלגברית .היכן בדיוק נכשלת ההוכחה?
4.2.4
האידיאלים המקסימליים של חוג הפולינומים
עבור ,a = (a1 , . . . , an ) ∈ F nנסמן ] .Pa = ⟨λ1 − a1 , . . . , λn − an ⟩▹R = F [λ1 , . . . , λn
טענה Pa 4.2.41הוא אידיאל מקסימלי ,ו־}.Z(Ps ) = {s
∼ F [λ1 , . . . , λn ]/Psעל־ידי ההצבה .λi 7→ siלכל נקודה ) ,s′ = (s′1 , . . . , s′n
הוכחה .המנה = F
′
הצבת λi 7→ s′iמאפסת את λi − siאם ורק אם .si = si
לכן כל נקודה היא קבוצה אלגברית.
טענה 4.2.42נניח ש־ Fסגור אלגברית .אז כל אידיאל מקסימלי הוא מהצורה .Ps
יהי Pאידיאל מקסימלי .אז ∅ ≠ ) S = Z(Pלפי מסקנה .4.2.39נבחר ,s ∈ Sאז
הוכחה√ .
Ps = I({s}) ⊆ I(S) = P = Pלפי משפט האפסים ,מש"ל.
תרגיל 4.2.43מצא אידיאל מקסימלי של ] R[λ1 , λ2שאינו מהצורה ⟩ .⟨λ1 − a1 , λ2 − a2
35
◦
.4.3קבוצות אלגבריות אי־פריקות
4.3
פרק .4מבוא לגאומטריה אלגברית
קבוצות אלגבריות אי־פריקות
טענה 4.2.42מראה שההתאמה בין אידיאלים רדיקליים לבין קבוצות אלגבריות משייכת
אידיאלים מקסימליים לנקודות ב־ .F nבסעיף זה נברר אילו קבוצות מתאימות לאידיאלים
ראשוניים.
הגדרה 4.3.1קבוצה אלגברית Sהיא אי־פריקה אם אי־אפשר לכתוב אותה בצורה S = S1 ∪ S2כאשר
S1 , S2 ⊂ Sקבוצות אלגבריות.
טענה 4.3.2לכל שני אידיאלים ] ,A1 , A2 ▹F [λ1 , . . . , λn
,Z(A1 ) ∪ Z(A2 ) = Z(A1 ∩ A2 ) .1
.Z(A1 ) ∩ Z(A2 ) = Z(A1 + A2 ) .2
.1מכיוון ש־ ,A1 ∩ A2 ⊆ A1 , A2ההכלה ) Z(A1 ) ∪ Z(A2 ) ⊆ Z(A1 ∩ A2ברורה.
הוכחה.
בכיוון ההפוך נניח ש־) ;v ̸∈ Z(A1 ), Z(A2אז יש fi ∈ Aiכך ש־ ,fi (v) ̸= 0וממילא
,(f1 f2 )(v) ̸= 0כך ש־)⟩ .v ̸∈ Z(⟨f1 f2אבל ,f1 f2 ∈ A1 ∩ A2ולכן ) .v ̸∈ Z(A1 ∩ A2
◦
◦
◦
.2ברור ש־) .Z(A1 ) ∩ Z(A2 ) ⊇ Z(A1 + A2נניח ש־) .v ∈ Z(A1 ) ∩ Z(A2לכל
f ∈ A1 + A2נכתוב f = f1 + f2עבור ,fi ∈ Aiאז ,f (v) = f1 (v) + f2 (v) = 0ולכן
) .v ∈ Z(A1 + A2
√
4.3.3אם BC ⊆ Aאז .B ∩ C ⊆ Aפתרון .אם d ∈ B ∩ Cאז d2 ∈ BC ⊆ A
תרגיל √
ולכן .d ∈ A
טענה 4.3.4נניח ש־ Aרדיקלי .אז Aאידיאל ראשוני אם ורק אם ) Z(Aאלגברית אי־פריקה.
הוכחה .נניח ש־ Aראשוני ,ובכל זאת Z(A) = S1 ∪ S2כאשר ) Si ⊂ Z(Aקבוצות אלגבריות .לפי
תרגיל √4.2.35כל קבוצה אלגברית היא מהצורה ) Si = Z(A1עבור Aiרדיקלי .לפי משפט√האפסים
√ A = A = I(Z(A)) = I(Z(A1 ) ∪ Z(A2 )) = I(Z(A1
= ∩ A2 )) √= A1 ∩ A2
, A1 ∩ A2 = A1 ∩ A2אבל מתרגיל 2.1.3נובע ש־ A = A1או ,A = A2בסתירה להנחה
).Z(Ai ) ⊂ Z(A
אי־פריקה .נניח ש־ Aאינו ראשוני ,אז יש אידיאלים A1 , A2 ⊃ Aכך
בכיוון ההפוך ,נניח ש־)Z(A
√
ש־ ,A1 A2 ⊆ Aולפי תרגיל .A1 ∩ A2 ⊆ A ,4.3.3לכן
√
Z(A) ⊇ Z(A1 ) ∪ Z(A2 ) = Z(A1 ∩ A2 ) ⊇ Z( A) = Z(A),
√
) Z(Aאלא אם ) Z(Ai ) = Z(Aלאיזשהו ;iאלא שאז = ))A = A = I(Z(A
וזה פירוק של √
,I(Z(Ai )) = Ai ⊇ Ai ⊃ Aוזו סתירה.
לסיכום ,יש התאמות כדלהלן ,שמהן הראשונה משרה את האחרות:
אידיאלים רדיקליים ⇒⇐ קבוצות אלגבריות
אידיאלים ראשוניים ⇒⇐ קבוצות אי־פריקות
נקודות
אידיאלים מקסימליים ⇒⇐
◦
∑
תרגיל 4.3.5הוכח את הגרסה החזקה של טענה ) ∩Z(Ai ) = Z( Ai ) :4.3.2.(2לכל
משפחה של אידיאלים .Ai
תרגיל ) 4.3.6דוגמא נגדית לכיוון ⇒= של טענה 4.3.4מעל שדה שאינו סגור
אלגברית( נניח ש־ .F = Rהראה ש־⟩) A = ⟨λ1 (λ22 + 1הוא אידיאל רדיקלי שאינו
ראשוני ,אבל ) Z(Aאי־פריקה.
36
◦
פרק .4מבוא לגאומטריה אלגברית
4.4
.4.4טופולוגיית זריצקי
טופולוגיית זריצקי
יהי Fשדה סגור אלגברית .טופולוגיית זריצקי על המרחב F nמוגדרת כך שהקבוצות
הסגורות הן הקבוצות מהצורה )) Z(Aעבור ] (.A▹F [λ1 , . . . , λn
טענה 4.4.1טופולוגיית זריצקי היא אכן טופולוגיה.
הוכחה .יש להוכיח שהקבוצה הריקה )⟩ ∅ = Z(⟨1והמרחב כולו ) F n = Z(0סגורים ,ושאיחוד של
שתי קבוצות סגורות או חיתוך כלשהו של קבוצות כאלה ,הם קבוצות סגורות .עובדות אלו נובעות מטענה
4.3.2ותרגיל .4.3.5
תרגיל 4.4.2טופולוגיית זריצקי של ) Fכלומר ,המקרה החד־מימדי( היא הטופולוגיה
הקו־סופית.
תרגיל 4.4.3טופולוגיית זריצקי על F nהיא הטופולוגיה הקטנה ביותר שעבורה כל
הפונקציות הפולינומיות f : F n →Fרציפות ,כאשר Fמצויידת בטופולוגיה הקו־סופית.
תרגיל 4.4.4כל תת־קבוצה סגורה של ) F nעם טופולוגיית זריצקי( היא קומפקטית.
הדרכה .כל אידיאל של ] F [λ1 , . . . , λnנוצר סופית.
תרגיל 4.4.5טופולוגיית זריצקי מקיימת את אקסיומת ההפרדה ) T1כל נקודה היא קבוצה
סגורה( ,אבל לא את אקסיומת ההפרדה ) T2כל שתי נקודות אפשר להפריד בקבוצות
פתוחות זרות(.
4.4.1
הספקטרום
יהי Rחוג קומוטטיבי .הספקטרום של Rהוא האוסף ) spec(Rשל אידיאלים ראשוניים של
.R
הגדרה 4.4.6לכל אידיאל ,I▹Rנסמן } .V(I) = {P ∈ spec(R) : I ⊆ P
√
תרגיל .V(I) = V( I) 4.4.7
תרגיל 4.4.8
;V(0) = spec(R) .1
◦
;V(R) = ∅ .2
∑
;∩V(Ii ) = V( Ii ) .3
.V(I1 ) ∪ V(I2 ) = V(I1 I2 ) .4
תרגיל 4.4.9הקבוצות ) (I▹R) V(Iמהוות אוסף הקבוצות הסגורות בטופולוגיה על
) .spec(Rהטופולוגיה נקראת טופולוגיית זריצקי של הספקטרום )בניגוד לטופולוגיית
זריצקי של המרחב האפיני ,מתת־הסעיף הקודם( .הדרכה .זהו תרגיל .4.4.8
תרגיל 4.4.10הקבוצות } Sa = {P ∈ spec(R) : a ̸∈ Pמהוות בסיס לטופולוגיה על
).spec(R
תרגיל 4.4.11אם ∅ = ) V(Aאז .A = R
37
פרק .4מבוא לגאומטריה אלגברית
.4.4טופולוגיית זריצקי
טענה 4.4.12הספקטרום קומפקטי תחת טופולוגיית זריצקי.
∑
c
∑ורק אם ) ,∅ = (∪V(Aα )c )c = ∩V(Aα ) = V( Aαאם
spec(R) = ∪V(Aאם
הוכחה∑ α ) .
∈ 1אז יש סכום סופי המכיל את .1
= .Rאבל אם Aα
ורק אם Aα
תרגיל 4.4.13טופולוגיית זריצקי של הספקטרום מקיימת את אקסיומת ההפרדה T0
)מכל שתי נקודות ,אפשר להפריד אחת מהן מן השניה על־ידי קבוצה פתוחה(.
תרגיל 4.4.14לכל אידיאל spec(R/I) ,I▹Rהומיאומורפי ל־).V(I
38
פרק 5
מימד קרול של חוגים
הממד של יריעה תלת־ממדית אי־פריקה הוא ,3משום שהיא מכילה יריעות דו־ממדיות,
המכילות עקומים המכילים נקודות .ההתאמה בין יריעות אי־פריקות לאידיאלים ארשוניים
מאפשרת להגדיר את ה'ממד' של אידיאל ראשוני לפי שרשראות יורדות של אידיאלים
שיורדים ממנו .האידיאל ⟩ I = ⟨λ1 − a1 , . . . , λt − atשל חוג הפולינומים ] F [λ1 , . . . , λn
מתאים לקבוצה ) ,Z(Iשהיא הזזה של מרחב וקטורי מממד .n − tבאופן כללי יותר ,אנו
מעוניינים לבנות התאמה בין המימד של קבוצה אלגברית ,Sלמימד של האלגברה האפינית
) .F [λ1 , . . . , λn ]/I(Sרעיון זה מוביל לפיתוח של מושג המימד עבור חוגים כלליים.
5.1
מימד קרול
הגדרה 5.1.1יהי Rחוג .מימד קרול של החוג הוא nהמקסימלי כך שקיימת שרשרת של אידיאלים
ראשוניים P0 ⊂ P1 ⊂ · · · ⊂ Pnב־.R
תרגיל 5.1.2נניח ש־ P ⊂ Qאידיאלים ראשוניים של .Rאפשר לעדן את השרשרת
P ⊂ Qאם ורק אם האידיאל Q/Pאינו אידיאל ראשוני מינימלי בחוג המנה .R/P
תרגיל dim(F [λ1 , . . . , λn ]) ≥ n 5.1.3כי ⟩ 0 ⊂ ⟨λ1 ⟩ ⊂ · · · ⊂ ⟨λ1 , . . . , λnשרשרת של
אידיאלים ראשוניים.
תרגיל 5.1.4לכל אידיאל .dim(R/I) ≤ dim(R) ,I▹Rהדרכה .כל שרשרת של אידיאלים
ראשוניים ב־ R/Iאפשר להרים לשרשרת ב־.R
◦
◦
תרגיל 5.1.5אם Fשדה אז .dim(F ) = 0
תרגיל dim(R) = 0 5.1.6אם ורק אם כל אידיאל ראשוני הוא מקסימלי.
תרגיל 5.1.7אם Rתחום שלמות ממימד אפס אז הוא שדה .הדרכה 0 .אידיאל ראשוני.
טענה 5.1.8כל תחום שלמות ארטיני הוא שדה.
◦
הוכחה .יהי Rתחום שלמות ארטיני ,ויהי .0 ̸= a ∈ Rאם aאינו הפיך אז ,an ̸∈ Ran+1ומכאן
ש־ ,Ran+1 ⊂ Ranוכך מתקבלת שרשרת ,· · · ⊂ Ra3 ⊂ Ra2 ⊂ Raבסתירה לארטיניות.
טענה 5.1.9לכל חוג ארטיני )קומוטטיבי( Rיש מימד .0
הוכחה .יהי P ▹Rאידיאל ראשוני ,אז R/Pתחום שלמות ארטיני )תרגיל ,(1.3.14ולפי טענה 5.1.8
הוא שדה ,ולכן Pמקסימלי.
39
◦
.5.2אידיאלים ניליים ונילפוטנטיים
5.2
◦
פרק .5מימד קרול של חוגים
אידיאלים ניליים ונילפוטנטיים
הגדרה 5.2.1איבר a ∈ Rהוא איבר נילפוטנטי אם יש n ≥ 1כך ש־ .an = 0אידיאל I▹Rהוא נילי
אם כל איבריו נילפוטנטיים .אידיאל הוא נילפוטנטי אם יש nכך ש־.I n = 0
תרגיל 5.2.2כל אידיאל נילפוטנטי הוא נילי.
תרגיל 5.2.3אידיאל נילי ראשי הוא נילפוטנטי.
◦
טענה 5.2.4יהיו A ⊆ Bאידיאלים של חוג .Rאם Aו־ B/Aניליים )נילפוטנטיים( ,אז B
נילי )נילפוטנטי(.
הוכחה .נניח ש־ A, B/Aניליים ,ויהי .b ∈ Bאז קיים nכך ש־,bn + A = (b + A)n = 0 + A
ולכן ,bn ∈ Aוקיים mכך ש־ .(bn )m = 0נניח ש־ A, B/Aנילפוטנטים .אז קיים nכך ש־
,(B n + A)/A = (B/A)n = 0ולכן ;B n ⊆ Aקיים mכך ש־ ,Am = 0ואז .B nm ⊆ Am = 0
◦
תרגיל 5.2.5אם A, Bניליים )נילפוטנטים( אז A+Bנילי )נילפוטנטי( .הדרכה .טענה .5.2.4
לטענה על נילפוטנטיות אפשר לתת גם הוכחה ישירה :נניח ש־ An = 0ו־ ,B m = 0אז
(A + B)n+m−1 = 0כי אפשר לפרק את החזקה לסכום של מכפלות שבכל אחת מהן יש
לפחות n − 1הופעות של ,Aאו לפחות m − 1הופעות של .B
◦
תרגיל 5.2.6כל אידיאל נילי נוצר סופית הוא נילפוטנטי .הדרכה .תרגיל .5.2.5
◦
תרגיל 5.2.7בחוג קומוטטיבי נתרי ,כל אידיאל נילי הוא נילפוטנטי .הדרכה .תרגיל 5.2.6
◦
תרגיל 5.2.8סכום של מספר כלשהו של אידיאלים ניליים הוא נילי .הדרכה .מספיק
להוכיח את הטענה עבור סכום סופי ,וזה תרגיל .5.2.5הערה .בתרגיל זה נשבר הדמיון בין
אידיאלים ניליים לנילפוטנטים :למרות שסכום של אידיאלים ניליים הוא נילי ,סכום של מספר
כלשהו של אידיאלים נילפוטנטיים הוא נילי ,אבל אינו בהכרח נילפוטנטי.
תרגיל 5.2.9תן דוגמא לחוג )קומוטטיבי( עם אידיאל נילי שאינו נילפוטנטי .הדרכה .למשל,
∑
קח ⟩ I = ⟨a1 , a2 , . . .בחוג .R = F [a1 , a2 , . . . ]/ ⟨a1 , . . . , an ⟩n
הגדרה 5.2.10סכום האידיאלים הניליים בחוג ,שהוא נילי לפי תרגיל ,5.2.8הוא כמובן האידיאל הנילי
הגדול ביותר של .Rאידיאל זה נקרא הרדיקל הנילי העליון ,ומסמנים אותו ב־).Nil(R
◦
√
טענה 5.2.11כאשר Rחוג קומוטטיבי0 ,
= )) Nil(Rהשווה ל־) rad(Rלפי מסקנה .(4.2.32
√
הוכחה .איבר הוא נילפוטנטי אם ורק אם הוא שייך ל־ , 0המהווה משום כך אידיאל נילי.
40
פרק .5מימד קרול של חוגים
5.3
◦
◦
.5.3חוגים ממימד אפס
חוגים ממימד אפס
√
√
למה N ▹R 5.3.1רדיקלי .AB ⊆ N ,N ⊂ A, B ,אז . A ∩ B = N
√
√
√
הוכחה .לפי תרגיל .N ⊆ A ∩ B ⊆ A ∩ B ⊆ N = N ,4.3.3
משפט 5.3.2נניח ש־ Rנתרי .כל אידיאל רדיקלי של Rהוא חיתוך מספר סופי של אידיאלים ראשוניים.
ראשוני,
הוכחה .יהי Nאידיאל רדיקלי מקסימלי שאינו חיתוך של מספר סופי של ראשוניים .בפרט √Nאינו √
המקסימליות של√ ,Nכל אחד מהאידיאלים A, Bהוא
ולכן יש A, B ⊃ Nכך ש־ .AB ⊆ Nלפי
√
חיתוך מספר סופי של אידיאלים ראשוניים ,ולכן גם , A ∩ Bהשווה ל־ Nלפי למה ,5.3.1הוא חיתוך
כזה.
◦
טענה 5.3.3לחוג ארטיני )קומוטטיבי( יש מספר סופי של אידיאלים ראשוניים.
הוכחה .אחרת ,יהיו P1 , P2 , . . .אידיאלים ראשוניים שונים בחוג הארטיני .Rנסמן ,In = P1 ∩· · ·∩Pn
אז · · · ⊆ I3 ⊆ I2 ⊆ I1היא שרשרת יורדת ,המוכרחה לעצור לפי הארטיניות .כלומר ,קיים nכך
ש־ ,In = In+1היינו .P1 · · · Pn ⊆ P1 ∩ · · · ∩ Pn ⊆ P1 ∩ · · · ∩ Pn ∩ Pn+1 ⊆ Pn+1מכיוון
ש־ Pn+1ראשוני ,יש i ≤ nכך ש־ ;Pi ⊆ Pn+1אבל לפי טענה Pi ,5.1.9מקסימלי ,כך ש־ ,Pi = Pn+1
בסתירה להנחה.
)בטענה 8.4.10נוכיח טענה זו עבור חוגים לא קומוטטיביים(.
טענה 5.3.4יהי Rחוג קומוטטיבי ראשוני למחצה .התנאים הבאים שקולים:
◦
R .1נתרי בעל מימד אפס.
R .2ארטיני.
R .3הוא מכפלה ישרה של מספר סופי של שדות.
√
הוכחה :(3) ⇐= (2,1) .אם Rנתרי יש בו מספר סופי של ראשוניים שחיתוכם√) 0משפט ,(5.3.2
ואם Rארטיני יש לו מספר סופי של ראשוניים√,לפי טענה ,5.3.3וחיתוכם הוא 0לפי מסקנה .4.2.32
בכל מקרה אפשר לכתוב 0 = 0 = P1 ∩ · · · ∩ Ptכאשר Pi ▹Rראשוניים .המימד של Rהוא אפס
לפי ההנחה עבור המקרה הנתרי ,ולפי טענה 5.1.9אם Rארטיני; לכן האידיאלים Piמקסימליים .לפי
∼ ) ,R = R/0 = R/(P1 ∩ · · · ∩ Ptכאשר R/Pi
משפט השאריות הסיני= R/P1 × · · · × R/Pt ,
הם שדות :(2,1) ⇐= (3) .החוג ארטיני ונתרי משום שלמכפלה של tשדות יש בדיוק 2tאידיאלים,
וראשוני למחצה לפי תרגיל .4.2.21
משפט 5.3.5יהי Rחוג נתרי ממימד .0אז Rארטיני.
√
הוכחה .נסמן .N = 0זהו אידיאל רדיקלי ,ולכן R/Nראשוני למחצה )טענה ,(4.2.18נתרי כחוג מנה
של ,Rובעל מימד אפס )תרגיל .(5.1.4לפי משפט R/N ,5.3.4ארטיני.
לפי טענה 5.2.11ותרגיל N ,5.2.7אידיאל נילפוטנטי ,ולכן קיים nכך ש־ .N n = 0לכל ,i < n
N i ▹Rנוצר סופית כאידיאל ,ולכן גם כמודול מעל .Rמכאן שגם המנה N i /N i+1נוצרת סופית כמודול
מעל ,Rו־ Nמאפס אותה .לפי תרגיל N i /N i+1 ,1.1.8מודול נוצר סופית מעל ,R/Nשהוא ארטיני
ונתרי ,ולכן גם N i /N i+1ארטיני ונתרי ,כלומר )טענה (1.3.8בעל סדרת הרכב .כך אפשר לעדן את
הסדרה 0 < N n−1 < N n−2 < · · · < N < Rלסדרת הרכב של ) Rכמודול מעל עצמו( ,ומכאן
ש־ Rבעל אורך סופי כמודול מעל עצמו .שוב לפי טענה R ,1.3.8ארטיני.
מסקנה 5.3.6יהי Rחוג אפיני .אז Rארטיני אם ורק אם יש לו מימד אפס .במקרה זה ,לכל
מודול נוצר סופית מעל Rיש סדרת הרכב )כי Rארטיני ונתרי(.
41
◦
.5.4גובה של אידיאלים
5.4
פרק .5מימד קרול של חוגים
גובה של אידיאלים
הגדרה 5.4.1יהי Rתחום שלמות .אידיאל ראשוני P ▹Rנקרא מינימלי אם הוא אינו מכיל אף אידיאל
ראשוני ≠ .0
יהי .0 ̸= I▹Rאידיאל ראשוני Pהמכיל את Iהוא מינימלי מעל Iאם אין ראשוני P0 ⊆ Pכך
ש־ .I ⊆ P0אם ,I = Raאומרים ש־ Pמינימלי מעל .a
תרגיל 5.4.2בכל חוג ,לכל I▹Rיש אידיאל ראשוני מינימלי המכיל את .IהדרכהI .
מוכל באידיאל מקסימלי ,שהוא ראשוני ,והאידיאלים הראשוניים המכילים את Iמקיימים את תנאי
המינימום.
◦
תרגיל 5.4.3לכל ,k ≥ 1ראשוני Pהוא מינימלי מעל aאם ורק אם הוא מינימלי מעל
.ak
תרגיל 5.4.4כל אידיאל ראשוני ראשי הוא מינימלי מעל איבר מתאים.
תרגיל 5.4.5נניח ש־ Rתחום פריקות יחידה .אידיאל ראשוני הוא מינימלי אם ורק אם
הוא ראשי .הדרכה .יהי Pאידיאל ראשוני מינימלי ,ויהי p ∈ Pאיבר אי־פריק )תרגיל .(2.1.5
אז ,0 ̸= Rp ⊆ Pומכאן ש־ P = Rpהוא אידיאל ראשי .בכיוון ההפוך ,יהי P = Rπאידיאל
ראשוני ראשי ,ונניח ש־ ;0 ̸= Q ⊆ Pשוב יש ב־ Qאיבר אי־פריק ;pמכיוון ש־ ,π | pבהכרח
P = Rπ = Rp ⊆ Qולכן .Q = P
◦
תרגיל 5.4.6יהי Rתחום שלמות ,ויהיו N < Mתת־מודולים של .Rאז לכל ,0 ̸= a ∈ R
∼ .M/Nהדרכה .הגרעין של ℓa : M →M a/N aהמוגדר על־ידי ℓa (x) = axכולל
= aM/aN
את האברים xכך ש־ ,ax ∈ aNועל־ידי צמצום ב־ aנובע שהגרעין הוא .N
◦
משפט ) 5.4.7משפט האידיאל הראשי( יהי Rתחום שלמות נתרי .אם Pמינימלי מעל aאז הוא מינימלי.
הוכחה .נניח שלא .אז קיים אידיאל ראשוני .0 ⊂ P1 ⊂ Pנבצע מיקום ב־ ,Pכלומר ,ניקח ,S = R−P
ונעבור לשרשרת ,0 ⊂ P1′ ⊂ P ′ ▹R′כאשר ,P ′ = S −1 P ,P1′ = S −1 P1ו־ .R′ = S −1 Rהאידאל
P ′עדיין מינימלי מעל ,aמשום שכל אידיאל ראשוני של R′מתאים לאידיאל של Rשהוא זר ל־) Sכלומר
מוכל ב־ .(Pאלא שכעת R′מקומי ,ו־ P ′אידיאל מקסימלי יחיד .נחזור לסימון המקורי ,תחת הנחות אלו.
נתבונן בחוג המנה ,R/Ra2שהוא נתרי .כל אידיאל ראשוני ב־ R/Ra2הוא מהצורה P˜ /Ra2כאשר
P˜ ▹Rראשוני המכיל את ,a2ולכן גם את .aבנוסף P˜ ⊆ P ,מכיוון ש־ Pמקסימלי יחיד .לא יתכן
ש־ ,P˜ ⊂ Pכי Pמינימלי מעל ,aומכאן ש־ .P˜ = Pהראינו שאין ב־ R/Ra2אידיאלים ראשוניים פרט
ל־ ,P/Ra2ולכן .dim(R/Ra2 ) = 0לפי משפט R/Ra2 ,5.3.5ארטיני.
יהי 0 ̸= b ∈ P1איבר כלשהו .נסמן } ;Ai = {x ∈ R : xai ∈ Rbזהו אידיאל של ,Rו־
· · · ⊆ .A1 ⊆ A2מכיוון ש־ Rנתרי ,השרשרת נעצרת ויש jכך ש־ · · · = .Aj = Aj+1נסמן
,a′ = ajונבחין שאם xa′2 = xa2j ∈ Rbאז x ∈ A2j = Ajולכן .xa′ = xaj ∈ Rbלפי
תרגיל P ,5.4.3מינימלי מעל ,a′ולכן אפשר להחליף aב־ a′ולקבל את התנאי
xa2 ∈ Rb ⇐= xa ∈ Rb.
)∗(
פירושו של התנאי הזה הוא שאם xa2 ∈ Rbאז ,xa2 ∈ Rabכלומר ,Ra2 ∩ Rb ⊆ Rabולכן
,Rb ∩ M a = Rb ∩ (Ra2 + Rab) = (Rb ∩ Ra2 ) + Rab = Rabכאשר .M = Ra + Rb
נסמן .N = Rb + M a = Ra2 + Rbלפי תרגיל ) 5.4.6פעמיים(,
∼ Ra/Ra2
∼ = R/Ra
∼ )= Rb/Rab = Rb/(Rb ∩ M a
= (Rb + M a)/M a = N/M a,
42
.5.4גובה של אידיאלים
פרק .5מימד קרול של חוגים
M = Ra + URb
U
UUUU
UU
N = Ra2 +
NN Rb
Rb
NNN
NNN
Ra RRR
RRRR
RR
2
Ra k∩ Rb + Ra
UU
UUUU
UUU
kk
kkk
kkk
M a SSS
SSS
SS
Ra ∩ Rb
iiii
i
i
i
ii
Ra2 NN
Rb ∩ M aUUUUU U
NNN
UUUUU U
N
*UUUU U
U
2
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_ _/ Rab
Ra ∩ Rb
S
S SSSSSS
S SS
)
2
Ra ∩ Rab
איור :5.1תת־מודולים של ,Rא־פריורי .החצים המקווקווים מתארים את התנאי )*(.
∼ .M/Raכעת M/Ra2 ,הוא מודול מעל ,R/Ra2שהוא ארטיני ונתרי ,ולכן יש
וגם = M a/Ra2
ל־ M/Ra2סדרות הרכב .לפי תרגיל ,1.2.9
ℓ(M/Ra) + ℓ(Ra/Ra2 ) = ℓ(M/Ra2 ) = ℓ(M/N ) + ℓ(N/M a) + ℓ(M a/Ra2 ),
ומאחר שהוכחנו ) ℓ(M/Ra) = ℓ(aM/Ra2ו־) ℓ(N/M a) = ℓ(Ra/Ra2נובע ש־,ℓ(M/N ) = 0
ובהכרח .M = Nאם כך ,a ∈ M = N = Ra2 + Rb ,ואפשר לכתוב ;a = xa2 + ybאבל R
מקומי ,ולכן ) (1 − xaהפיך ואפשר לכתוב ,a = (1 − xa)−1 yb ∈ Rb ⊆ P1בסתירה למינימליות של
.P
הערה .למשפט חשוב זה יש גרסה לא קומוטטיבית .ראה למשל Dimensions of Ring Theory,
.Nastasesecu and van Oyestaeyen, Sec. 6.6
הגדרה 5.4.8הגובה של אידיאל ראשוני Pהוא tהמקסימלי כך שקיימת שרשרת ⊂ P0 ⊂ · · · ⊂ Pt−1
Pt = Pשל אידיאלים ראשוניים .את הגובה מסמנים ב־.ht(P ) = t
אפשר לנסח מחדש את משפט האידיאל הראשי:
מסקנה 5.4.9יהי Rקומוטטיבי נתרי .לכל אידיאל ראשוני Pשהוא מינימלי מעל איבר ,a ̸= 0
מתקיים .ht(P ) ≤ 1
תרגיל 5.4.10המימד ) dim(Rשווה לסופרימום הגבהים של האידיאלים המקסימליים.
◦
הדרכה .כל שרשרת של אידיאלים ראשוניים אפשר להמשיך כך שהיא מסתיימת באידיאל
מקסימלי.
למה 5.4.11יהי Rחוג נתרי קומוטטיבי .תהי Pt ⊂ Pt−1 ⊂ · · · ⊂ P1 ⊂ P0 = Pשרשרת
′
של אידיאלים ראשוניים ,ויהי .b ∈ Pאז יש שרשרת ⊂ · · · ⊂ P1′ ⊂ P0 = P
,Pt′ ⊂ Pt−1כך
′
ש־
.b ∈ Pt−1
43
◦
פרק .5מימד קרול של חוגים
.5.4גובה של אידיאלים
הוכחה .באינדוקציה .נניח ש־ ,b ∈ Pkכאשר ,k ≤ t − 2ונתבונן ב־ .Pk+2 ⊂ Pk+1 ⊂ Pk
נעבור לחוג המנה ,R/Pk+2שם .0 ⊂ Pk+1 /Pk+2 ⊂ Pk /Pk+2מכיוון ש־ Pk /Pk+2אינו ראשוני
מינימלי ,לפי משפט האידיאל הראשי הוא אינו ראשוני מינימלי מעל ,b + Pk+2ולכן קיים אידיאל ראשוני
′
′
.b ∈ Pk+1
Pk+2 ⊂ Pk+1כך ש־
⊂ Pk
את מושג המינימליות מעל איבר אפשר לנסח גם כמינימליות מעל האידיאל שאותו איבר
יוצר .משפט האידיאל הראשי המוכלל עוסק במינימליות מעל כל אידיאל נוצר סופית.
◦
משפט ) 5.4.12משפט האידיאל הראשי המוכלל( יהי Rקומוטטיבי נתרי .אם ראשוני Pהוא מינימלי
מעל ,B = Ra1 + · · · + Ratאז .ht(P ) ≤ t
הוכחה .באינדוקציה על ,tכאשר המקרה t = 1הוא משפט האידיאל הראשי .5.4.7 ,נניח שקיימת שרשרת
ראשוניים .Pt+1 ⊂ Pt ⊂ · · · ⊂ P1 ⊂ P0 = Pלפי למה 5.4.11אפשר להניח ש־ .at ∈ Ptנעבור
,Rשבו P¯ = P/Ratמינימלי מעל ¯ = B/Rat = Ra1 + · · · + Rat−1
לחוג המנה ¯ = R/Rat
.B
¯
לפי הנחת האינדוקציה ,ht(P ) ≤ t − 1אבל Pt /Rat ⊂ · · · ⊂ P1 /Rat ⊂ P/Ratהיא שרשרת
של ראשוניים מאורך ,tוזו סתירה.
◦
מסקנה 5.4.13הגובה של כל אידיאל ראשוני Pבחוג קומוטטיבי נתרי הוא סופי.
הוכחה .מכיוון שהחוג נתרי אפשר לכתוב ,P = Ra1 + · · · + Ratומכיוון ש־ Pמינימלי מעל עצמו,
.ht(P ) ≤ t
מסקנה 5.4.14בחוג נתרי קומוטטיבי אין שרשרת יורדת אינסופית של אידיאלים ראשוניים.
הדרכה .מסקנה .5.4.13
מסקנה 5.4.15יהי Rחוג נתרי מקומי ,אז יש לו מימד סופי.
הוכחה .מימד החוג שווה לגובה של האידיאל המקסימלי שלו.
◦
מסקנה 5.4.16יהי Fשדה סגור אלגברית .אז .dim(F [λ1 , . . . , λn ]) = n
הוכחה .לפי טענה ,4.2.42האידיאלים המקסימליים של Rנוצרים על־ידי nאברים ,וממשפט 5.4.12נובע
שגובהם אינו עולה על .nמאידך בתרגיל 5.1.3בנינו שרשרת אידיאלים ראשוניים באורך .nהמסקנה
נובעת לפי תרגיל .5.4.10
הערה 5.4.17מסקנה 5.4.16נכונה לכל שדה .ראה הוכחה קצרה ב־A Short Proof for
Thierry Coquand and Henri ,the Krull Dimension of a Polynomial Ring
.Lombardi
הערה Nagata 5.4.18מצא ב־ 1962חוג נתרי ממימד אינסופי.
האידיאל
הערה ⟩5.4.19בדרך כלל אין קשר⟨בין מספר היוצרים למימד .למשל ,הראה שאת
√
] I = λn1 , λ1n−1 λ2 , . . . , λn2 ▹F [λ1 , λ2אי אפשר ליצור בפחות מ־ n + 1איברים .מהו ? I
מצא אידיאל ראשוני מינימלי מעל .I
44
פרק .5מימד קרול של חוגים
5.5
.5.5אידיאלים ראשוניים בהרחבות
אידיאלים ראשוניים בהרחבות
תהי C ⊆ Rהרחבה של שדות .אומרים שראשוני Q▹Rנמצא מעל P ▹Cאם .P = Q ∩ C
בטענה 3.3.17הראינו שבמקרה זה גם Pראשוני.
הגדרה 5.5.1ההרחבה C ⊆ Rמקיימת את התכונה (Lying Over) LOאם לכל אידיאל ראשוני
P ▹Cיש ראשוני Q▹Rהנמצא מעליו.
ההרחבה מקיימת את התכונה (Going Up) GUאם לכל ראשוני Qמעל Pולכל P ⊆ P1יש Q1מעל
P1המכיל את .Q
ההרחבה מקיימת את התכונה (Incomparable) INCאם אין Q ⊆ Q1הנמצאים שניהם מעל אותו
ראשוני .P
הערה 5.5.2כל הרחבה שלמה C ⊆ Rמקיימת את התכונה ) LOמשפט .(3.3.30
טענה 5.5.3כל הרחבה שלמה C ⊆ Rמקיימת את התכונה .GU
הוכחה .יהי Qראשוני מעל ,Pויהי .P ⊆ P1לפי תרגיל ¯ = R/Q ,3.3.18
Rהרחבה שלמה של
′
∼ ,C¯ = (C + Q)/Qולפי LOבהרחבה זו ,יש ראשוני Q′ ▹R/Qשנמצא מעל ;P1 = P1 /P
= C/P
′
′
נכתוב ,Q = Q1 /Qאז Q1ראשוני המכיל את ;Qאידיאל זה נמצא מעל P1משום ש־= P1 /Q = P1
,Q′ ∩ C¯ = Q1 /Q ∩ (C + Q)/Q = (Q1 ∩ C + Q)/Q = (Q1 ∩ C)/Qולכן .P1 = Q1 ∩ C
הערה 5.5.4אם C ⊆ Rתחומי שלמות ,אז מהתכונה GUנובע ) LOראה טענה .(5.5.5
הוכחה .יהי Pאידיאל ראשוני של ,Cאז הוא מכיל את 0▹Cשמעליו נמצא .0▹Rלפי GUיש אידיאל
) Q▹Rהמכיל את (0הנמצא מעל .P
טענה 5.5.5בכל הרחבה C ⊆ Rשל חוגים קומוטטיביים ,מהתכונה GUנובע .LO
◦
הוכחה .יהי .P ▹Cנסמן .S = C−Pניקח אידיאל מקסימלי ב־ ,S −1 Rאז הוא מהצורה S −1 Q0עבור
אידיל ראשוני Q0 ▹Rשאינו חותך את ;Sמכאן ש־ .P0 = Q0 ∩ C ⊆ Pלפי ,GUיש אידיאל ראשוני
Q ⊇ Q0הנמצא מעל .P
טענה 5.5.6אם C ⊆ Rקומוטטיביים וההרחבה מקיימת ,INCאז ) ht(Q) ≤ ht(Pלכל Q
שמעל .P
◦
הוכחה .נניח שיש שרשרת ראשוניים .Qt ⊂ · · · ⊂ Q1 ⊂ Q0 = Qנחתוך עם Cונקבל שרשרת
ראשוניים Pt ⊆ · · · ⊆ P1 ⊆ P0 = Pכאשר ,Pi = Qi ∩ Cאבל כל ההכלות אמיתיות לפי ,INC
ולכן .ht(P ) ≥ t
הערה 5.5.7יהי S ⊆ Rמונויד P ▹R ,אידיאל שאינו נחתך עם .Sאז ) .ht(S −1 P ) = ht(P
הוכחה .יש התאמה שומרת סדר בין האידיאלים הראשוניים של S −1 Rלאידיאלים הראשוניים של Rשאינם
חותכים את .S
הערה 5.5.8כל הרחבה שלמה C ⊆ Rמקיימת את התכונה .INC
45
◦
פרק .5מימד קרול של חוגים
.5.5אידיאלים ראשוניים בהרחבות
הוכחה .אחרת יש אידיאלים ראשוניים Q ⊂ Q′של Rהנמצאים מעל .P ▹Cלפי תרגיל R/Q ,3.3.18
∼ ,(C + Q)/Qולפי טענה 0 ̸= Q′ /Q▹R/Q ,3.2.3נחתך עם
שלם )ובפרט אלגברי( מעל = C/P
′
,(C + Q)/Qבסתירה להנחה ש־ .Q ∩ C = P
טענה 5.5.9בהרחבה C ⊆ Rהמקיימת LOו־ ,GUלכל P ▹Cיש Qמעליו כך ש־≤ ) ht(P
).ht(Q
הוכחה .נתונה שרשרת של ראשוניים .Pt ⊂ · · · ⊂ P1 ⊂ P0 = Pיש ראשוני Qt ▹Rהנמצא מעל
Ptלפי ,LOולכל i = t − 1, . . . , 1, 0יש ראשוני Qiמעל Piהמכיל את Qi+1לפי .GU
◦
טענה 5.5.10אם ההרחבה C ⊆ Rמקיימת LO ,GUו־ INCאז לכל P ▹Cיש Qמעליו כך
ש־).ht(P ) = ht(Q
הוכחה .טענות 5.5.6ו־.5.5.9
טענה 5.5.11אם ההרחבה C ⊆ Rמקיימת LO ,GUו־ INCאז ).dim(R) = dim(C
הוכחה dim(C) = sup ht(P ) ≤ sup ht(Q) = dim(R) .לפי טענה ,5.5.10והכיוון ההפוך נובע
מטענה .5.5.6
מסקנה 5.5.12אם C ⊆ Rהרחבה שלמה אז ).dim(R) = dim(C
מסקנה 5.5.13יהי Rתחום שלמות אפיני מעל .Fאז ).dim(R) = trdegF (R
הוכחה .לפי משפט הנורמליזציה של נתר ,משפט ,3.4.2יש תת־חוג R0 ⊆ Rש־ Rשלם מעליו ,וכך
∼ R0כאשר ) .t = trdeg(Rלפי טענה dim(R) = dim(R0 ) = ,5.4.16
ש־] = F [λ1 , . . . , λt
) ,trdegF (Rכשהשוויון האחרון הוא מסקנה .5.4.16
הגדרה 5.5.14תחום שלמות Cהוא נורמלי אם הוא שווה לסגור השלם של עצמו בשדה השברים.
הערה 5.5.15כל תחום פריקות יחידה הוא נורמלי .בפרט ,חוג פולינומים הוא נורמלי.
◦
טענה 5.5.16תהי C ⊆ Rהרחבה שלמה של תחומי שלמות ,כאשר Cנורמלי .אז הפולינום
מן המעלה המינימלית של a ∈ Rמעל Cמתחלק )מעל (Cבמקדם העליון שלו.
שדה השברים של K ,Cשדה השברים של ,Rו־ Eשדה
הוכחה .נסמן ב־ fאת הפולינום הנתון .יהיו ∏ F
פיצול של ,fמעל .Kאפשר לכתוב ) f (λ) = α (λ − aiכאשר α ∈ Cו־ aiמאפסים אותו פולינום
מוני מעל Cשאותו מאפס ,aולכן כולם שלמים אלגבריים .מכאן שגם מקדמי , α1 fהשייכים ל־ ,Fהם
שלמים אלגבריים ,ולפי ההנחה הם שייכים ל־.C
◦
למה ) 5.5.17הלמה של גאוס עבור תחומים נורמליים( יהי Cתחום שלמות נורמלי ו־ Fשדה
השברים שלו .אם ] f, g ∈ C[λמתוקנים ו־ f | gמעל ,Fאז f | gמעל .C
הוכחה .נניח ש־ g = f hעבור∏] ,h ∈ F [λונכתוב h = a−1 h0כאשר c ∈ Cו־] ;h0 ∈ C[λכך
.cg = f h0נפרק ) g(λ) = (λ − aiכאשר aiהם השורשים בשדה פיצול מעל .Fמכיוון ש־ h0
מחלק את gשם ,אפשר לכתוב h0 = c′ h′0כאשר h′0מכפלה של גורמים מהצורה ,λ − aiומקדמיו הם
שלמים אלגבריים השייכים ל־ ,Fולכן שייכים ל־ .Cלכן .g = f h′0
46
◦
.5.5אידיאלים ראשוניים בהרחבות
פרק .5מימד קרול של חוגים
תרגיל 5.5.18תן דוגמא נגדית לטענה 5.5.16כאשר Rאינו תחום שלמות ,כדלקמן.
מצא הרחבה שלמה C ⊆ Rשל חוגים קומוטטיביים ,שבה Cתחום שלמות נורמלי,
עם איבר a ∈ Rהמאפס פולינום ממעלה ראשונה ,אבל אינו מאפס אף פולינום מוני
ממעלה זו .הדרכה .למשל C = Zעם ].R = Z[a | a2 = 0, 2a = 0
הגדרה 5.5.19הרחבה C ⊆ Rמקיימת את התכונה (Going Down) GDאם לכל ראשוני Q1מעל
P1ולכל P ⊆ P1יש Qמעל Pהמוכל ב־ .Q1
משפט 5.5.20נניח ש־ Cתחום שלמות נורמלי .כל Rשלם מעל Cמקיים .GD
הוכחה .ניקח S1 = R−Q1 ,S ′ = C−Pו־ .S = S ′ S1מספיק להראות ש־∅ = ,S ∩ P Rמשום
שאז ,אם P R ⊆ Q▹Rהוא מקסימלי ביחס לכך שהוא זר ל־ ,Sאז Qראשוני לפי תרגיל ,3.3.27
ו־ .Q ∩ C = P
′
מתוקן = )f (λ
פולינום
יש
.r
∈
S
ו־
c
∈
S
עבור
s
=
cr
∈
P
ש־R
בשלילה,
נניח,
1
∑ℓ
∑
n
i
נכתוב s =∑ j=1 pj rjעבור
] ,λ + di λ ∈ C[λבעל מעלה מינימלית ,המאפס את .sמאידך אם ∑
⊆ sM
⊆ pj rj M
∑ pj M
pj ∈ Pו־ ,rj ∈ Rנוכל לבחור ] ,M = C[r1 , . . . , rℓואז ⊆
.P Mמכאן נובע ,לפי הערה ,3.3.3שיש פולינום מתוקן g(λ) = λm + ci λiהמאפס את ,sכך
ש־ .c0 , . . . , cm−1 ∈ Pמכיוון ש־ f | gמעל שדה השברים ,Fזה נכון גם ב־] C[λלפי למה ,5.5.17
ולכן גם בחוג המנה ,C/Pשם ,f¯ | g¯ = λmכלומר .f¯ = λnלפיכך.di ∈ P ,
שוות ,ולפי טענה r ,5.5.16מאפס פולינום
הפולינומים המינימליים של s, r
כעת,
מעל ∑F
מעלות ∑ ′
n n
i i
n
i
∑ .h(λ) = λ + i dאבל אז ,0 = f (s) = f (cr) = c r + di c rולכן r
מתוקן ]i λ ∈ C[λ
n
n n
מקבלים ש־ cn−i d′i = di ∈ P
מקדמים,
השוואת
על־ידי
.c
)h(λ
של
וגם
,c
λ
+
שורש של di ci λi
∑
לכל .i < nאבל ,c ̸∈ Pולכן ,d′i ∈ Pומכאן ש־ ,rn = − d′i ri ∈ P R ⊆ Q1בסתירה להנחה.
שרשרת של אידיאלים ראשוניים נקראת רוויה אם אי־אפשר לעדן אותה.
משפט ) 5.5.21קטנריות( יהי Rתחום שלמות אפיני .אז לכל שתי שרשראות רוויות שקצותיהן P ′ ⊂ P
יש אותו אורך .בפרט ,לכל שרשרת רוויה מ־ 0ל־ Pיש אורך ) ,ht(Pולכל האידיאלים המקסימליים אותו
גובה.
◦
הוכחה .על־ידי מעבר לחוג המנה אפשר להניח ש־ .P ′ = 0לפי משפט הנורמליזציה של נתר R ,הרחבה
שלמה של חוג פולינומים ,R0שהוא נורמלי ,ולכן ההרחבה מקיימת ;GDיחד עם GUו־ ,INCנובע שיש
התאמה בין שרשראות רוויות ב־ Rלשרשראות רוויות ב־ .R0כאן אפשר להוכיח את הטענה באינדוקציה,
בעזרת תרגיל .2.1.5
משפט 5.5.22לכל ראשוני P ▹Rמתקיים ) .dim(R) = dim(R/P ) + ht(P
◦
הוכחה .בחר אידיאל מקסימלי ,P ⊆ Mעדן את השרשרת 0 ⊂ P ⊂ Mעד לרוויה ,והפעל את
משפט .5.5.21
מסקנה 5.5.23תהי Rאלגברה אפינית .אז .dim(R[λ]) = dim(R) + 1
הוכחה .קח ⟩ P = ⟨λבמשפט .5.5.21
47
פרק .5מימד קרול של חוגים
.5.5אידיאלים ראשוניים בהרחבות
48
פרק 6
ערכים מוחלטים
6.1
הגדרה ודוגמאות
הגדרה 6.1.1ערך מוחלט על שדה Fהוא פונקציה ,a 7→ |a| ,F →[0, ∞] ⊆ Rהמקיימת
) |a| = 0 (1אם ורק אם ;a = 0
);|ab| = |a| · |b| (2
) (3קיים קבוע C ≥ 1כך ש־}|.|a + b| ≤ C · max {|a| , |b
)התנאי C ≥ 1בהגדרה -הכרחי :בחר (.b = 0 ,a = 1
תרגיל 6.1.2תנאי ) (3שקול לתנאי
◦
) (3′קיים קבוע C ≥ 1כך שאם |a| ≤ 1אז .|a + 1| ≤ C
הדרכה .בתנאי ) (3אפשר לקחת ;b = 1בתנאי ) (3′קח ab−1במקום .a
דוגמא 6.1.3הערך המוחלט הטריוויאלי |a| = 1לכל .a ̸= 0
תרגיל 6.1.4בכל ערך מוחלט מתקיים ;|1| = 1הערך המוחלט של כל שורש יחידה
הוא 1ולכן גם | |−a| = |aלכל .aהראה שכל ערך מוחלט על שדה סופי הוא טריוויאלי.
דוגמא 6.1.5הערכים המוחלטים הסטנדרטיים על Rועל Cהם אכן ערכים מוחלטים.
תרגיל 6.1.6אם ערך מוחלט מקיים }| ,|a + b| ≤ 2 · max {|a| , |bאז ≤ | |a1 + · · · + an
}| .2n max {|aiהדרכה .באינדוקציה ;|a1 + · · · + a2m+1 | ≤ 2m+1 · max {|ai |} ,אם ≤ 2m
n < 2m+1אז }| .|a1 + · · · + an | ≤ 2m+1 max {|ai |} ≤ 2 · n max {|aiהערה .אם ≤ ||a + b
)log(C
}| ,C · max {|a| , |bאז }| |a1 + · · · + an | ≤ C · n log(2) max {|aiלפי אותה הוכחה.
טענה 6.1.7תנאי ) (3עם C = 2שקול לאי־שוויון המשולש
) .|a + b| ≤ |a| + |b| (3′′
49
◦
פרק .6ערכים מוחלטים
.6.2שקילות של ערכים מוחלטים
הוכחה .אם מתקיים | |a + b| ≤ |a| + |bאז בוודאי }| .|a + b| ≤ 2 max {|a| , |bנניח ש־
}| ,|a + b| ≤ 2 max {|a| , |bאז לפי תרגיל ,6.1.6לכל nמתקיים
}
) ({
) ( n
∑
n i n−i
n
n
k n−k
= ||a + b
a b ≤ 2(n + 1) max
a b
k
i
k=0
) ( n
∑
n
)≤ 4(n + 1
|a|k |b|n−k = 4(n + 1)(|a| + |b|)n ,
k
k=0
√
ולכן )| .|a + b| ≤ n 4(n + 1)(|a| + |bהתוצאה נובעת ממעבר לגבול ∞→.n
6.2
שקילות של ערכים מוחלטים
הגדרה 6.2.1אם |·| ערך מוחלט ,אז לכל |a|′ = |a|α ,p > 0גם הוא ערך מוחלט ,עם הקבוע .C α
ערכים כאלה הם שקולים.
◦
תרגיל 6.2.2כל ערך מוחלט שקול לערך מוחלט המקיים את אי־שוויון המשולש.
הגדרה 6.2.3ערך מוחלט מגדיר טופולוגיה שבה הקבוצות } Ba (ϵ) = {b ∈ F : |a − b| < ϵמהוות
בסיס.
◦
הערה 6.2.4ערכים מוחלטים שקולים מגדירים את אותה טופולוגיה) .הדרכה .אם |·|′ = |·|αאז
) (.Ba′ (ϵ) = Ba (ϵαלפי תרגיל ,6.2.2זוהי טופולוגיה מטרית.
משפט 6.2.5התכונות הבאות שקולות עבור ערכים מוחלטים לא טריוויאליים :|·| , |·|′
.1הערכים המוחלטים שקולים זה לזה.
.2הערכים משרים את אותה טופולוגיה.
.3אם |a| < 1אז .|a|′ < 1
.4אם |a| ≤ 1אז .|a|′ ≤ 1
.5אם |a| < 1אז ,|a|′ < 1ואם |a| = 1אז .|a|′ = 1
|a| , |a|′ .6קטנים ,שווים או גדולים מ־ 1יחד.
הוכחה .נסמן ב־ τאת הטופולוגיה המושרית על־ידי |·| ,וב־ τ ′את זו המושרית על־ידי :(2) ⇐= (1) .|·|′
הערה :(3) ⇐= (2) .6.2.4נניח ש־ ,|a| < 1אז הסדרה anמתכנסת ל־ 0לפי ,τולפי ההנחה גם לפי
.τ ′לכן לא יתכן :(5) ⇐= (3) .|a|′ ≥ 1נבחר b ∈ Fכך ש־ ,|b| < 1ואז גם .|b|′ < 1נניח
ש־ .|a| = 1לכל nמתקיים ,|an b| < 1ולפי ההנחה גם .|an b|′ < 1מכאן ש־ ,|a|′ < |b|′−1/nולכן
.|a|′ ≤ 1אותו נימוק תקף גם ל־ ,a−1ולכן :(4) ⇐= (5) .|a|′ = 1טריוויאלי:(3) ⇐= (4) .
יש × c ∈ Fכך ש־ ,|c|′ < 1ואז לכל ,aאם |a| < 1אז |an c−1 | ≤ 1עבור nגדול מספיק ,ולפי
′
ההנחה גם ,|an c−1 | ≤ 1כך ש־ ,|a|′n ≤ |c|′ < 1ואז :(6) ⇐= (5) .|a|′ < 1אם |a| > 1
′
′
אז |a−1 | < 1ו־ ,|a−1 | < 1כך ש־ :(1) ⇐= (6) .|a| > 1יהי b ∈ Fכך ש־;|b| > 1
אז גם ,|b|′ > 1וקיים α > 0כך ש־ .|b|′ = |b|αלכל aעם ,|a| > 1כתוב |a| = |b|sו־
mמתקיים > s
.|a|′ = |b|′tלכל ∈ Q
mאם ורק אם ,|a−n bm | = |a|−n |b|m = |b|m−sn > 1
n
n
′
. mלכן s = t
אם ורק אם ,|b|′m−tn = |a|′−n |b|′m = |a−n bm | > 1אם ורק אם > t
n
′
′s
ו־ .|a| = |b| = |b|αs = |a|α
50
פרק .6ערכים מוחלטים
6.3
.6.3ערכים לא ארכימדיים
ערכים לא ארכימדיים
ערך מוחלט נקרא לא ארכימדי אם }| ,|a + b| ≤ max {|a| , |bוארכימדי אחרת .ערכים
שקולים זה לזה הם ארכימדיים או לא ארכימדיים יחדיו.
תרגיל 6.3.1אם |·| ערך מוחלט לא ארכימדי אז | |a + b| = |aלכל |.|b| < |a
טענה 6.3.2התנאים הבאים שקולים:
◦
|·| .1לא ארכימדי ;
|n| ≤ 1 .2לכל ;n
.3הקבוצה }| {|n| = |1 + · · · + 1חסומה.
הוכחה .ברור ש־) .(1) ⇐= (2) ⇐= (3נניח שקיים Mכך ש־ |n| ≤ Cלכל .nלכל ,a, b
) (
∑ n k n−k
n
n
= | )|a + b| = |(a + b
a b
k
}
) ({
n k n−k
a b
≤ 2(n + 1) max
k
{
}
≤ 2(n + 1)M max |a|k |b|n−k
; ≤ 2(n + 1)M max {|a| , |b|}n
על־ידי הוצאת שורש n־י מתקבל התנאי ).(1
משפט ) 6.3.3אוסטרובסקי( כל ערך מוחלט ארכימדי של Qשקול לערך המוחלט הסטנדרטי.
הוכחה .יהי |·| ערך מוחלט ארכימדי; נניח ,על־ידי העלאה בחזקה מתאימה ,שהוא מקיים את אי־שוויון
∑בבסיס :n
המשולש .לפי טענה ,6.3.2יש m ∈ Nכך ש־ .|m| > 1נקבע ,n ∈ Nונכתוב את m
,m = ak nk + · · · + {a1 n + a}0כאשר ,0 ≤ ai < n − 1ו־ .ak ̸= 0כך ≤ | |m| = | ai ni
∑
. ai |n|i ≤ n(k + 1) max 1, |n|kמכיוון ש־ k ≤ logn m ,nk ≤ mולכן ≤ ||m
{
}
.n(1 + logn m) max 1, |n|logn mאפשר להציב (r > 0) mrבמקום ,mולקבל |m|r ≤ n(1 +
{
}
{
}
logn m
r logn m
1/r
1/r
|.|m| ≤ n (1 + r logn m) max 1, |n
| ,r logn m) max 1, |nכלומר
כאשר ∞→ rמקבלים ,|m| ≤ |n|logn mכלומר
עבור γקבוע.
6.4
|log|n
log n
|log|m
≤ , log mולכן |m| = mγלכל m ∈ N
הערכות
הגדרה 6.4.1חבורה אבלית סדורה היא חבורה אבלית עם יחס סדר < ,כך שאם α < βאז .α+γ < β+γ
הגדרה 6.4.2תהי Γחבורה אבלית סדורה .פונקציה }∞ ν : F →Γ ∪ {−נקראת הערכה של השדה F
אם:
) ν(a) = −∞ (1אם ורק אם ;a = 0
51
פרק .6ערכים מוחלטים
.6.4הערכות
);ν(ab) = ν(a) + ν(b) (2
) (3קיים קבוע c ≥ 0כך ש־}).ν(a + b) ≥ −c + min {ν(a), ν(b
נאמר שההערכה לא ארכימדית אם אפשר לבחור ,c = 0כלומר }).ν(a + b) ≥ min {ν(a), ν(b
מושג ההערכה מכליל את מושג הערך המוחלט ,באופן הבא:
תרגיל 6.4.3לכל ערך מוחלט לא ארכימדי |·| ν(a) = − log(|a|) ,היא הערכה של
אותו שדה )המקבלת ערכים ממשיים( .בכיוון ההפוך ,אם νהערכה המקבלת ערכים
ממשיים ,אז ) |a| = e−ν(aהוא ערך מוחלט) .הדרכה .העזר בתרגיל 6.1.2ובטענה אנלוגית
עבור הערכות(.
יתרה מזו ,הערך המוחלט הצמוד להערכה הוא ארכימדי אם ורק אם ההערכה
ארכימדית.
◦
תרגיל 6.4.4תהי νהערכה לא ארכימדית .אם ) ν(a1 ), . . . , ν(anשונים זה מזה אז
}) .ν(a1 + · · · + an ) = min {ν(a1 ), . . . , ν(an
הגדרה 6.4.5תחום שלמות Rנקרא חוג הערכה אם לכל a ̸= 0בשדה השברים ) a ∈ R ,F = q(Fאו
.a−1 ∈ R
◦
טענה 6.4.6תהי }∞ ν : F →Γ ∪ {−הערכה לא ארכימדית .אז }Oν = {a ∈ F : ν(a) ≥ 0
הוא תת־חוג של ,Fשהוא חוג הערכה.
חוג זה נקרא חוג ההערכה )או חוג השלמים( של ההערכה ,והאידיאל המקסימלי היחיד שלו,
} ,Mν = {a ∈ F : ν(a) > 0נקרא אידיאל ההערכה .המנה Oν /Mνהיא שדה השאריות
של ההערכה.
הוכחה Oν .סגור לחיבור ולכפל לפי ההנחות על ההערכה .לכל ν(a) ≥ 0 ,0 ̸= a ∈ Fאו ש־
,ν(a−1 ) ≥ 0ו־ a ∈ Oνאו a−1 ∈ Rבהתאמה .כל איבר מחוץ ל־ Mνהוא בעל ν(a) = 0ולכן הפיך
ב־.R
תחום שלמות מקיים את תכונת בזו אם כל אידיאל נוצר סופית הוא ראשי.
◦
◦
◦
◦
◦
◦
משפט 6.4.7התכונות הבאות של תחום שלמות Rשקולות זו לזו:
R .1הוא חוג הערכה.
.2קבוצת האידיאלים הראשיים של Rסדורה לינארית ביחס להכלה.
.3קבוצת האידיאלים של Rסדורה ביחס להכלה.
R .4מקומי ומקיים את תכונת בזו.
.5יש הערכה לא ארכימדית νשל שדה השברים ) ,F = q(Rכך ש־ .R = Oν
52
.6.4הערכות
פרק .6ערכים מוחלטים
הוכחה :((2)) ⇐= ((1)) .לכל ,0 ̸= a, b ∈ Rאו ש־∈ R
.Rb ⊆ Ra
)) :((3)) ⇐= ((2יהיו I, J▹Rאידאלים כך ש־ .I ̸⊆ Jאז יש a ∈ Iכך ש־ .a ̸∈ Jלכל
a ̸∈ Rb ,b ∈ Jכי ,a ̸∈ Jולכן .Rb ⊆ Ra ⊆ Iמכאן ש־.J ⊆ I
)) :((4)) ⇐= ((3לפי ההנחה יש אידיאל מקסימלי יחיד .מבין כל קבוצה סופית אידיאלים ראשיים,
אחד מהם מכיל את כל האחרים ,ולכן סכומם שווה לו.
)) :((1)) ⇐= ((4יהיו ,a, b ∈ Rויהי .M ▹Rנסמן .I = Ra + Rbמכיוון ש־I
ראשי I/M I ,הוא מרחב וקטורי חד־ממדי מעל השדה ¯ = R/M
,Rולכן התמונות של a, bתלויות
לינארית .לכן יש ,u, v ∈ Rלא שניהם ב־ ,Mכך ש־ .ua + vb ∈ M I = M a + M bנכתוב
ua + vb = xa + ybעבור ,x, y ∈ Mאז ) .a(u − x) = b(y − vאם למשל uהפיך ,גם u − x
הפיך ולכן . ab = (u − x)−1 (y − v) ∈ R
)) :((5)) ⇐= ((1זו טענה .6.4.6
×
×
)) :((2)) ⇐= ((5נסמן × ,Γ = F × /Rונסדר את החבורה כך ש־ aR > bRאם .a ∈ Rb
לפי ההנחה Γ ,היא חבורה אבלית סדורה לינארית .הפונקציה × ν(a) = aRמהווה הערכה לא ארכימדית
של ,Fשעבורה חוג ההערכה הוא .{a : aR× ⊇ R× } = R
a
b
ואז ,Ra ⊆ Rbאו ש־∈ R
b
a
ואז
n
דוגמא 6.4.8ההערכה ה־p־אדית על Qמוגדרת לפי ) = i
νp (pi mכאשר n, mזרים ל־.p
◦
אפשר להגדיר שקילות של הערכות באותו אופן שבו הגדרנו שקילות של ערכים מוחלטים;
למשל אם ,Γ ⊆ Rאז ) ν ′ (a) = t · ν(aהיא הערכה שקולה ל־ ,νלכל .t > 0
משפט ) 6.4.9אוסטרובסקי( כל הערכה לא ארכימדית על Qשקולה להערכה p־אדית עבור ראשוני .p
הוכחה .תהי νהערכה לא ארכימדית של .Qנתבונן בחיתוך } P = {n ∈ Z : ν(n) > 0של אידיאל
ההערכה עם חוג השלמים; לפי טענה P ▹Z ,3.3.17ראשוני .אם P = 0אז ν(n) = 0לכל ,n ∈ Z
וההערכה טריוויאלית .לכן יש מספר ראשוני pכך ש־ .P = pZנסמן ) ,κ = ν(pאז לכל n, mזרים
n
,ν(pi mכלומר )·( .ν(·) ∼ νp
ל־ pמתקיים ν(n) = ν(m) = 0משום ש־ ,n, m ̸∈ Pו־) = κi
מסקנה 6.4.10שדה המספרים הרציונליים מקיים∏את נוסחת המכפלה :אפשר לבחור ערך
∏
i
| i pni i | p = p−n
לכל .a ∈ Qהדרכה.
מוחלט אחד מכל מחלקת שקילות ,כך ש־|a| = 1
i
אם .p = pi
שדה המקיים תכונה זו נקרא שדה גלובלי.
תרגיל 6.4.11הוכח את ההכללה הבאה של משפט אוסטרובסקי :יהי Rתחום ראשי.
כל הערכה לא־ארכימדית של ) F = q(Rשעבורה ,R ⊆ Oνהיא הערכה p־אדית
עבור ראשוני ) p ∈ Rהמוגדרת בדומה לדוגמא .(6.4.8
תרגיל 6.4.12יהי Fשדה .הראה שכל הערכה לא ארכימדית של ) ,F (tהמשרה את
ההערכה הטריוויאלית על ,Fהיא או הערכה p־אדית עבור פולינום אי־פריק ],p ∈ F [λ
או שקולה להערכה ∞ νהמוגדרת על ] F [tלפי ) .ν∞ (f ) = − deg(fהדרכה .אם ≥ )ν(t
0אז ,F [t] ⊆ Oνוהתוצאה נובעת מתרגיל ;6.4.11אחרת ) ν(tn ) = nν(tו־) ν(f ) = ν(t) deg(f
לפי תרגיל .6.4.4
53
◦
פרק .6ערכים מוחלטים
.6.4הערכות
54
חלק II
אלגברה לא קומוטטיבית
55
החלק הזה מכסה את יסודות תורת המבנה של חוגים לא קומוטטיביים ,בהיקף הנדרש
לפיתוח מלא של תורת ההצגות לחבורות סופיות .נפתח תורה של מודולים פריקים לחלוטין
באופן שיאפשר להוכיח את משפט הצפיפות הכללי .משפט זה מאפשר לשכן חוג שיש לו
מודול פריק לחלוטין ,באופן צפוף ,בחוג אנדומורפיזמים של המודול .מכאן נוכל להוכיח
שחוג ארטיני פרימיטיבי הוא חוג מטריצות מעל חוג חילוק .בין החוגים הארטיניים )בפרט,
בין האלגברות ממימד סופי( ,כל חוג ראשוני הוא פשוט ,וכך מתקבל משפט המבנה של
ודרברן־ארטין :חוג ארטיני ראשוני הוא חוג מטריצות על מחוג עם חילוק.
לחוג ארטיני יש מספר סופי של אידיאלים ראשוניים ,החיתוך שלהם )שהוא הרדיקל של
החוג( הוא נילפוטנטי ,והמנה ביחס אליו היא חוג פשוט למחצה .תכונות אלו מאפשרות
להוכיח את משפט הופקינס־לויצקי :כל חוג ארטיני הוא נתרי ,ולכן למודולים מעליו יש אורך
סופי .כעת תהי Gחבורה סופית ,ויהי Fשדה ממאפיין זר ל־| .|Gאז אלגברת החבורה
] F [Gהיא פשוטה למחצה וארטינית ,ולכן מתפרקת לסכום ישר של חוגי מטריצות .הפירוק
הזה מתניע את תורת ההצגות ,ומאפשר להוכיח למשל את המשפט של ברנסייד ,שלסדר של
חבורה פשוטה יש לפחות שלושה גורמים ראשוניים.
57
58
פרק 7
מבנה של מודולים
7.1
מושגי יסוד בתורת המודולים
7.1.1
חוגי מטריצות
במהלך הקורס נראה שאלגברות פשוטות מסויימות אפשר להציג כאלגברות מטריצות מעל
חוגים עם חילוק .משום כך חשוב להכיר את התכונות של אלגברת המטריצות באופן כללי.
המר ָכז של ) Mn (Rהוא אוסף המטריצות הסקלריות עם מקדמים
ְ
טענה 7.1.1יהי Rחוג.
ב־).Z(R
טענה 7.1.2יש התאמה בין אידיאלים של ) Mn (Rלבין אידיאלים של :Rלכל ,A▹R
) ,Mn (A)▹Mn (Rוכל אידיאל של ) Mn (Rהוא מהצורה ) Mn (Aעבור A▹Rמתאים.
מסקנה 7.1.3כל חוג מטריצות מעל חוג פשוט ,הוא פשוט בעצמו.
)
Z Q
0 Z
(
תרגיל 7.1.4קבע לגבי החוג
(
)
Q
Q
′
ימני .כך גם עבור ) S = 0 Zראה גם תרגיל .(7.3.2
= Sהאם הוא ארטיני שמאלי; האם הוא ארטיני
איך מזהים חוג מטריצות ,באופן כללי? יהי Tחוג .אברים (i, j = 1, . . . , n) eij ∈ T
נקראים מערכת של יחידות מטריצות אם ,eij ekℓ = δjk eiℓו־ .e11 + · · · + enn = 1יחידות
הסטנדרטיות בחוג ) T = Mn (Rהן אכן מערכת כזו ,ושם אפשר לכתוב = T
המטריצות
∑
∑
. Reij = eij R
טענה 7.1.5יהי Tחוג שיש בו מערכת של יחידות מטריצות .{ϵij } ,אז R = ϵ11 T ϵ11הוא
∼ .T
תת־חוג ,ו־)= Mn (R
הוכחה R .סגור לכפל משום ש־ .R2 = (ϵ11 T ϵ11 )2 = ϵ11 T∑ϵ211 T ϵ11 ⊆∑ϵ11 T ϵ11נסמן ב־ eijאת
= ) ,Mn (Rונגדיר העתקה )ψ : T →Mn (R
= Reij
יחידות המטריצות הסטנדרטיות של eij R
59
◦
.7.1מושגי יסוד בתורת המודולים
לפי
ij (ϵ1i tϵj1 )eij
∑
פרק .7מבנה של מודולים
→ .t 7זו פונקציה כפלית כי
∑
(ϵ1i′ sϵj ′ 1 )ei′ j ′
i′ j ′
)
eik
· (ϵ1i tϵj1 )eij
∑
= )ψ(t)ψ(s
ij
ϵ1i tϵj1 ϵ1j sϵk1
(
∑ ∑
j
(ϵ1i tsϵk1 ) eik = ψ(ts).
=
i,k
∑
=
i,k
כעת ,לכל קבוצת איברים ,tij ∈ T
∑
(ϵ11 tij ϵ11 )eij ,
=
(ϵ1i′ ϵi1 tij ϵ1j ϵj ′ 1 )ei′ j ′
∑
i,j,i′ ,j ′
i,j
= ) ϵi1 tij ϵ1j
∑
(ψ
ij
לבסוף ,אם ψ(t) = 0אז ϵi1 tϵ1j = 0לכל ,i, j
∑ לכן
וזהו האיבר הכללי של ).Mn (R
הפונקציה על∑ .
∑
ואז גם .t = ( i ϵii )t( j ϵjj ) = ij ϵi1 (ϵ1i tϵj1 )ϵ1j = 0לכן ) ψ : T →Mn (Rאיזומורפיזם.
תרגיל 7.1.6נניח ש־ a, b ∈ Rמקיימים ab = 1אבל ) e = ba ̸= 1חוג שאין בו זוג
כזה נקרא דדקינד־סופי ,בשל ההגדרה של דדקינד לקבוצות סופיות (.הראה ש־
eij = bi (1 − e)ajהיא מערכת אינסופית של יחידות מטריצות ושכולם שונים מאפס.
בפרט R ,מכיל סכום ישר אינסופי של אידיאלים שמאליים.⊕Reii ,
7.1.2
חוגי אנדומורפיזמים
בחלק הקודם של הקורס הגדרנו מודול כחבורה אבלית שהחוג פועל עליה על־ידי כפל
.r : x 7→ rxכלומר ,הפעולה (r, x) 7→ rxאדיטיבית בשני הרכיבים ,ובנוסף 1x = x
ו־) .(rr′ )x = r(r′ xמכיוון שהחוגים היו בדרך כלל קומוטטיביים ,לא הרגשנו שזו למעשה
ההגדרה של מודול שמאלי .אפשר להגדיר מודול ימני באותו אופן ,אלא שהפעם הפעולה
היא ,r : x 7→ xrוהתנאי הוא ,x(rr′ ) = (xr)r′במקום ) .(rr′ )x = r(r′ xכדי להבדיל בין
שתי ההגדרות ,נסמן ב־ R Mמודול שמאלי ,וב־ MRמודול ימני.
הגדרה 7.1.7יהיו R M, R Nמודולים מעל חוג .Rאז ) HomR (M, Nהוא אוסף ההומומורפיזמים
,f : M →Nכלומר פונקציות אדיטיביות המקיימות ) f (rx) = rf (xלכל r ∈ Rו־ .x ∈ Mזוהי
חבורה אבלית עם הפעולה ).(f + g)(x) = f (x) + g(x
אותה הגדרה תקפה גם עבור מודולים ימניים :MR , NRאז ) HomR (M, Nהוא אוסף
ההומומורפיזמים ,f : M →Nכלומר פונקציות אדיטיביות המקיימות f (xr) = f (x)rלכל r ∈ R
ו־ .x ∈ M
נעיר שכאשר Rאינו קומוטטיבי ,אין דרך טבעית להפוך את ) Hom(M, Nלמודול מעל
,Rמשום ש־) x 7→ af (xאינו הומומורפיזם של מודולים )ו־ f (x)aאינו מוגדר(.
◦
הגדרה 7.1.8יהי R Mמודול שמאלי מעל ,Rמסמנים ) .End(R M ) = HomR (M, Mזהו חוג ,כאשר
f g = g ◦ fהיא פעולת ההרכבה ההפוכה.
בדומה לזה ,אם MRמודול ימני ,אז ) .End(MR ) = HomR (M, Mכאן פעולת הכפל היא ההרכבה
הרגילה .f g = f ◦ g
60
.7.1מושגי יסוד בתורת המודולים
פרק .7מבנה של מודולים
הסיבה להגדרת הכפל דווקא באופן הזה תתברר בתת־סעיף .7.3.1
תרגיל 7.1.9בדוק ש־) End(Mסגור לכפל כאשר Mמודול שמאלי או ימני.
∼ ).End(R R
∼ ) = End(RR
תרגיל 7.1.10לכל חוג )עם יחידה( = R ,R
הגדרה 7.1.11יהי Rחוג .החוג המנוגד Ropהוא החוג עם אותה קבוצת אברים ואותה פעולת חיבור ,וכפל
בסדר הפוך.xop y op = (yx)op :
קומוטטיבי אז( .R = Ropאבל בדרך כלל החוגים ,R
הערה ,(Rop )op = R 7.1.12ואם R
)
Q
op
.R = Qלכל איבר נילפוטנטי ,tהאידיאל
Rאינם איזומורפיים .למשל ,נתבונן בחוג 0 Z
השמאלי Rtאיזומורפי ,כחבורה חיבורית ,ל־ ,Qואילו האידיאל הימני tRאיזומורפי ל־.Z
∼ .R
ב־ Ropהמצב הפוך ,כמובן ,ולכן ̸= Rop
החוג המנוגד מספק דרך טכנית לעבור בין מודולים שמאליים וימניים ומראה שהתאוריות
סימטריות זו לזו ,משום שכל מודול ימני מעל Rאפשר לראות כמודול שמאלי מעל ) Ropעל־
ידי הפעולה ,x · r = rop xשהרי ,(x(rr′ ) = (rr′ )op x = r′op (rop x) = r′op (xr) = (xr)r′
ולהיפך.
תרגיל 7.1.13יהי Mמודול שמאלי מעל החוג .Rאז ) .End(R M )op = End(MRop
7.1.3
מטריצות ודרגה של מודול
אחד הכלים היסודיים באלגברה לינארית ,שאינה אלא תורת המודולים מעל שדה כללי ,הוא
קיומו של בסיס לכל מרחב וקטורי .קבוצה X ⊆ Mהיא בסיס אם לכל איבר v ∈ Mיש
הצגה יחידה כסכום α1 x1 + · · · + αn xnעבור αi ∈ Rו־ .xi ∈ Xמודול שיש לו בסיס
נקרא מודול חופשי ,והדרגה שלו היא גודל הבסיס )הדרגה לא תמיד מוגדרת היטב(.
∼ ) .EndR (M
טענה 7.1.14אם R Mמודול חופשי מדרגה ,nאז )= Mn (R
טענה 7.1.15מעל חוג עם חילוק ,כל מודול הוא חופשי.
תרגיל 7.1.16הוכח את הטענה ,בעזרת תלות מופשטת )שהגדרנו בקורס הקודם(.
∼ Rn
לחוג יש התכונה ,Invariant Base Number) IBNמספר בסיס קבוע( אם = Rm
רק כאשר .n = m
טענה 7.1.17לחוג יש IBNאם ורק אם עבור ) A ∈ Mn×m (Rו־) ,B ∈ Mm×n (Rמהתכונות
AB = Inו־ BA = Imנובע .m = n
טענה 7.1.18הדרגה מוגדרת היטב מעל חוג קומוטטיבי )העזר בקיום הדטרמיננטה הכפלית(.
טענה 7.1.19הדרגה מוגדרת היטב מעל כל חוג עם חילוק) .לכל קבוצה בלתי תלויה מקסימלית
יש אותו גודל ,לפי משפט 3.2.11על גודלה של קבוצה בלתי תלויה מקסימלית לגבי תלות
פורמלית(.
תרגיל 7.1.20נניח ש־) R = EndF (Vכאשר Vמרחב וקטורי ממימד אינסופי מעל .F
∼ Rכמודולים ,ולכן Rאינו בעל .IBN
הראה ש־= R ⊕ R
61
.7.1מושגי יסוד בתורת המודולים
7.1.4
פרק .7מבנה של מודולים
סכום וסכום ישר
תהי Nαמשפחה )לאו דווקא סופית( של מודולים כלשהם .הסכום הישר )החיצוני( של
המשפחה הוא המודול ⊕Nαשאבריו הם וקטורים ) (xαהשווים לאפס כמעט בכל רכיב,
עם הפעולה ) .r(xα ) = (rxαבמקביל להגדרה זו ,אנו זקוקים גם לסכום הישר הפנימי של
תת־מודולים .ראשית נזכיר כיצד מגדירים סכום של תת־מודולים∑ .
′
יהי Mמודול ,ותהי Nαמשפחה של תת־מודולים .הסכום M = α Nαכולל ,בהגדרה,
את כל הסכומים הסופיים x1 + · · · + xnכאשר .xi ∈ Nαiזהו תמיד תת־מודול של .M
כל וקטור ב־ M ′אפשר להציג כסכום שבו כל מחובר מגיע מתת־מודול אחר )משום שאפשר
בסכומם( .יש אפימורפיזם מן
לקבץ מחוברים השייכים לאותו
תת־מודול ולהחליף אותם ∑
∑
= )) ) π((xαבכל וקטור
הסכום הישר החיצוני אל הפנימי ,π : ⊕Nα → Nα ,לפי xα
של הסכום הישר יש מספר סופי של רכיבים שונים מאפס(.
הסכום הוא סכום ישר )פנימי( אם ההצגה של כל וקטור ב־ M ′באופן הזה היא יחידה.
טענה 7.1.21התנאים הבאים שקולים:
∑
הוא סכום ישר;
.1הסכום Nα
.2אם x1 + · · · + xn = 0כאשר α1 , . . . , αn ,xi ∈ Nαiשונים ,אז xi = 0לכל ;i
∑
.3לכל ;Nα0 ∩ α̸=α0 Nα = 0 ,α0
∑
.4הפונקציה π : ⊕Nα → Nαשהוגדרה לעיל היא איזומורפיזם.
הוכחה (2) ⇐= (1) .משום שהצגת הוקטור 0היא יחידה :(3) ⇐= (2) .אם x0 = x1 + · · · + xn
כאשר x0 ∈ Nα0ו־ xi ∈ Nαiעבור αi ̸= α0שונים ,אז −x0 + x1 + · · · + xn = 0ו־ x0 = 0לפי
ההנחה :(1) ⇐= (3) .אם ,x1 + · · · + xn = y1 + · · · + ynאפשר למחוק מחוברים השווים לאפס
ולצמצם מחוברים עד שכל מחובר מגיע מתת־מודול אחר; נניח שהסכומים עדיין אינם אפס אז מתקבלת הצגה
של ,x1 ∈ Nα1ל־ α1מתאים ,כסכום של מחוברים מתת־מודולים אחרים ,ולכן ,x1 = 0בסתירה להנחה.
) (4) ⇐⇒ (1משום שהסכום הפנימי ישר אם ורק אם πחד־חד־ערכית.
כעת נוכיח שחוג אנדומורפיזמים מסויים הוא חוג מטריצות .התוצאה הבאה תאפשר לנו
לעבור בין מודול נתון לסכום ישר של כמה עותקים שלו .יהי Mמודול מעל חוג .Rנסמן
ב־ M (n) = M ⊕ · · · ⊕ Mאת הסכום הישר של nעותקים של ;Mלשם נוחות נכתוב את
אברי ) M (nכעמודות בגובה nשרכיביהן ב־ ;Mגם זה מודול מעל .R
◦
∼ ) ).Tn = End(R M (n
טענה 7.1.22נסמן ) ,T = End(R Mאז ) = Mn (T
בקואורדינטה ה־ ,iו־
הוכחה .נגדיר הומומורפיזמים ) µi : M →M (nעל־ידי מיקום האיבר הנתון
∑
πi : M (n) →Mלפי שליפת הרכיב בקואורדינטה ה־ .iכך ,πi µj = δij idMו־ i µi πiהיא הזהות
∼ Tnכאשר
של ) .M (nמכאן ש־ eij = µi πj ∈ Tnהן יחידות מטריצות .לפי טענה = Mn (T ′ ) ,7.1.5
.T ′ = e11 Tn e11 = µ1 π1 Tn µ1 π1
′
′
′
′
נגדיר Ψ : T →T ′לפי ,Ψ(φ) = µ1 φπ1 = e11 µ1 φπ1 e11ו־ Ψ : T →Tלפי = ) Ψ (e11 φ e11
;π1 e11 φ′ e11 µ1 = π1 φ′ µ1אלו הומומורפיזמים של חוגים ,המקיימים = ) ΨΨ′ (e11 φ′ e11
µ1 π1 e11 φ′ e11 µ1 π1 = e11 φ′ e11ו־ ;Ψ′ Ψ(φ) = π1 µ1 φπ1 µ1 = φכלומר Ψ ,ו־ Ψ′הופכים זה
∼ .T
את זה ,ו־ = T ′
62
פרק .7מבנה של מודולים
7.2
.7.2מודולים פריקים לחלוטין
מודולים פריקים לחלוטין
בסעיף זה נעסוק במודולים שאפשר לתאר באמצעות תת־המודולים הפשוטים שלהם ,ונאסוף
כמה הגדרות שקולות למשפחה החשובה של חוגים פשוטים למחצה.
7.2.1
מודולים פריקים לחלוטין
נזכיר שמודול פשוט הוא מודול שאין לו תת־מודולים .בתרגיל 1.1.10ראינו שכל מודול פשוט
מעל Rאיזומורפי למנה R/Lכאשר Lאידיאל שמאלי מקסימלי .תת־מודול פשוט נקרא
גם תת־מודול מינימלי.
הגדרה 7.2.1יהי Mמודול מעל חוג .Rהתשתית ) soc(Mמוגדרת כסכום כל תת־המודולים הפשוטים
של .Mאם אין תת־מודולים פשוטים ,אז .soc(M ) = 0
הגדרה 7.2.2מודול Mנקרא פריק לחלוטין אם ) .M = soc(M
דוגמא Mn (F ) 7.2.3פריק לחלוטין )כמודול מעל עצמו( .עם זאת ,לא כל איבר של ) Mn (F
שייך למודול פשוט ,ולכן ) soc(Mאינו בהכרח איחוד של תת־מודולים פשוטים.
הערה 7.2.4לכל מודול .soc(soc(M )) = soc(M ) ,Mלכן התשתית של כל מודול היא מודול
פריק לחלוטין.
דוגמא 7.2.5כל מרחב וקטורי הוא פריק לחלוטין )כסכום של תת־המרחבים החד־ממדיים(.
הערה 7.2.6
.1סכום ישר של מודולים פריקים לחלוטין הוא פריק לחלוטין.
◦
.2סכום של תת־מודולים פריקים לחלוטין הוא תת־מודול פריק לחלוטין.
.3תמונה הומומורפית של מודול פריק לחלוטין היא פריקה לחלוטין.
תרגיל 7.2.7יהיו K ≤ Mמודול ותת־מודול .הראה ש־),(soc(M )+K)/K ≤ soc(M/K
ותן דוגמא לכך שההכלה אמיתית.
∑
)המושג מוגדר בתת־סעיף ,(7.1.4ו־
למה 7.2.8נניח שהסכום Ni ≤ M
הוא סכום ישר ∑
S ≤ Mתת־מודול פשוט שאינו מוכל בו .אז גם הסכום S + Niהוא ישר.
∑
טריוויאלי המסתכם לאפס .הרכיב של Sאינו אפס משום ש־ Niסכום ישר,
הוכחה .אחרת יש סכום לא ∑
אבל אז הרכיב הזה שייך ל־ ,S ∩ Niשהוא תת־מודול אמיתי של Sולכן אפס.
טענה 7.2.9לכל מודול soc(M ) ,Mהוא סכום ישר של תת־מודולים פשוטים ) לא בהכרח
כולם!(.
∑
∑ = Nהוא סכום
הוכחה .לפי הלמה של צורן∑יש מערכת מקסימלית של תת־מודולים Niכך ש־ Ni
= Nאז קיים S ≤ Mפשוט שאינו מוכל ב־ , Niואז לפי למה 7.2.8
ישר∑.אם ) Ni < soc(M
S + Niהוא סכום ישר ,בסתירה למקסימליות של } .{Ni
תרגיל 7.2.10הוכח בעזרת טענה 7.2.9את משפט הבסיס של האמל :לכל מרחב
וקטורי יש בסיס .הדרכה .מרחב וקטורי מעל השדה Fהוא מודול פריק לחלוטין ,ואם Vהוא
סכום ישר של תת־המודולים הפשוטים F bλאז } {bλהוא בסיס של .V
63
◦
◦
.7.2מודולים פריקים לחלוטין
7.2.2
פרק .7מבנה של מודולים
תת־מודולים גדולים
הגדרה 7.2.11יהי Mמודול .תת־מודול N ≤ Mהוא תת־מודול גדול אם N ∩ K ̸= 0לכל תת־מודול
.K ̸= 0
תרגיל 7.2.12בתחום שלמות ,כל אידיאל הוא תת־מודול גדול.
◦
הערה 7.2.13כל תת־מודול גדול Nמכיל כל תת־מודול פשוט .S
הוכחה .לפי ההנחה 0 ̸= N ∩ S ≤ Sולכן .N ∩ S = S
◦
מסקנה 7.2.14למודול פריק לחלוטין Mאין תת־מודולים גדולים פרט ל־ .M
הגדרה 7.2.15יהי N < Mתת־מודול N ′ ≤ M .נקרא משלים עקרונית אם N ′ ∩ N = 0ו־ N + N ′
תת־מודול גדול של .M
◦
תרגיל 7.2.16לכל שלושה תת־מודולים :A, B, C ≤ M
.1אם A ∩ (B + C) = 0אז .B ∩ (A + C) = B ∩ Cהדרכה .אם b = a + cאז
,B + C ∋ b − c = a ∈ Aולכן ,a = b − c ∈ A ∩ (B + C) = 0ואז .b = c
.2אם A ∩ (B + C) = B ∩ C = 0אז .B ∩ (A + C) = 0הדרכה .לפי הסעיף הקודם
.B ∩ (A + C) = B ∩ C = 0
∑
תרגיל 7.2.17הוכח את למה 7.2.8בעזרת תרגיל .7.2.16הדרכה ;S ∩ Ni = 0 .ולכל
∑
∑
∑
,Nj ∩ (S + i̸=j Ni ) = 0 ,jכי S ∩ Ni = Nj ∩ i̸=j Ni = 0לפי מתרגיל .7.2.16
◦
טענה 7.2.18לכל תת־מודול N < Mיש משלים עקרונית.
הוכחה .ניקח תת־מודול N ′ < Mשהוא מקסימלי ביחס לתנאי ) N ′ ∩ N = 0קיים לפי הלמה של צורן(.
יהי K ≤ Mתת־מודול כלשהו; אם K ∩(N ′ +N ) = 0אז גם (K +N ′ )∩N = 0לפי תרגיל ,7.2.16
ולפי המקסימליות של N ′בהכרח ,K ⊆ N ′אבל אז K ⊆ N + N ′ו־.K = K ∩ (N + N ′ ) = 0
7.2.3
משלימים של תת־מודול
הגדרה 7.2.19יהי N < Mתת־מודול .תת־מודול K ≤ Mנקרא משלים של Nאם M = N ⊕ K
)כלומר K + N = Mו־.(K ∩ N = 0
◦
הערה 7.2.20יהי Mמודול מעל חוג .Rלתת־מודול N < Mיש משלים אם ורק אם יש
אידמפוטנט ) e ∈ End(R Mכך ש־).N = Im(e
הוכחה .אם יש לתת־המודול משלים ,אפשר לכתוב M = N ⊕ N ′ולקחת ).e(x, x′ ) = (x, 0
בכיוון ההפוך אם ) N = Im(eניקח ) ,N ′ = Im(1 − eאז מ־) e(x) = (1 − e)(yנובע
e(x) = e2 (x) = e(1 − e)(y) = 0ולכן ,N ∩ N ′ = 0וכל x ∈ Mאפשר לכתוב בצורה
) ,x = e(x) + (1 − e)(xכך ש־).M = Im(e) + Im(1 − e
מודול הוא בעל משלימים אם לכל תת־מודול יש משלים.
64
פרק .7מבנה של מודולים
◦
.7.2מודולים פריקים לחלוטין
למה 7.2.21יהיו .K ≤ N ≤ Mאם K ′משלים של Kבתוך ,Mאז K ′′ = K ′ ∩ Nמשלים
של Kבתוך .N
הוכחה K ′′ = K ′ ∩ N ≤ N .מקיים K ′′ ∩ K ⊆ K ′ ∩ K = 0ו־= K ′′ + K = (N ∩ K ′ ) + K
N ∩ (K ′ + K) = N ∩ M = Nלפי המודולריות.
◦
טענה ) 7.2.22תורשתיות קיום המשלימים( נניח ש־ Mבעל משלימים; אז כל תת־מודול < N
Mגם הוא בעל משלימים.
הוכחה .יהי .K ≤ Nלפי ההנחה יש לו משלים K ′בתוך ,Mואז K ′′ = K ′ ∩ Nמשלים שלו בתוך
Nלפי למה .7.2.21
למה 7.2.23לכל מודול M ̸= 0בעל משלימים יש תת־מודול פשוט.
◦
הוכחה .נבחר .0 ̸= x ∈ Mנתבונן בתת־מודול N < Mשהוא מקסימלי ביחס לתכונה .x ̸∈ N
לפי ההנחה יש משלים N ′של Nבתוך .Mנניח ש־ ,0 < K < N ′אז לפי התורשתיות יש משלים
0 < K ′ < N ′בתוך ,N ′ואז .N < N + K, N + K ′לפי המקסימליות של Nנובע מכאן ש־
) .x ∈ (N + K) ∩ (N + K ′נכתוב x = n + k = n′ + k ′עבור k ∈ K ,n, n′ ∈ Nו־ ;k ′ ∈ K ′
אז ,n − n′ = k ′ − k ∈ N ∩ (K + K ′ ) = N ∩ N ′ = 0כלומר ,k ′ = k ∈ K ′ ∩ K = 0אבל
אז ,x ∈ Nבסתירה להנחה ש־ Kתת־מודול אמיתי של .N ′מכאן ש־ N ′פשוט.
משפט 7.2.24התנאים הבאים שקולים עבור מודול :M
M .1פריק לחלוטין.
.2אין ל־ Mתת־מודול גדול אמיתי.
M .3הוא בעל משלימים.
הוכחה .הוכחנו ) (2) ⇐= (1במסקנה .7.2.14
) :(3) ⇐= (2יהי Mמודול שאין בו תת־מודולים גדולים פרט לעצמו ,ויהי N ≤ Mתת־מודול.
לפי טענה 7.2.18קיים N ′כך ש־ N ∩ N ′ = 0ו־ N + N ′ ≤ Mגדול ,ולפי ההנחה N + N ′ = M
ולכן N ′משלים של .N
′
נותר אם כך להוכיח ) .(1) ⇐= (3יהי Mמודול בעל משלימים .נסמן ) .S = soc(Mיהי S
משלים של ,Sונניח בשלילה ש־ .S ′ ̸= 0התורשתיות מאפשרת להפעיל את למה 7.2.23ולהסיק שיש
תת־מודול פשוט .N ′ ≤ S ′אבל אז N ′ ≤ Sלפי ההגדרה ,ולכן ,N ′ ≤ S ∩ S ′ = 0וזו סתירה להנחה
ש־ .S ′ ̸= 0מכאן ש־ M = Sפריק לחלוטין.
משפט soc(M ) 7.2.25שווה לחיתוך תת־המודולים הגדולים של .M
הוכחה .נסמן ב־) S = soc(Mונסמן ב־ Jאת חיתוך תת־המודולים הגדולים .לפי הערה .S ≤ J ,7.2.13
נוכיח ש־ Jהוא בעל משלימים .יהי .N < Jלפי טענה ,7.2.18יש ל־ Nמשלים עקרונית N ′בתוך ;M
לכן N + N ′תת־מודול גדול והוא מכיל את Jלפי ההגדרה .אבל N ′משלים של Nב־ ,N + N ′ולפי
למה N ′ ∩ J ,7.2.21משלים של Nבתוך .J
כעת Jפריק לחלוטין לפי משפט ,7.2.24ולכן שווה לסכום תת־המודולים הפשוטים שלו ,שכולם
תת־מודולים פשוטים של ,Mולכן סכומם מוכל ב־ ;Sכלומר J ≤ Sומכאן נובע השוויון הדרוש.
65
◦
.7.3משפט הצפיפות הכללי
7.2.4
פרק .7מבנה של מודולים
חוגים פשוטים למחצה
הגדרה 7.2.26חוג Rהוא חוג פשוט למחצה אם הוא פריק לחלוטין כמודול מעל עצמו )כלומר ,הוא שווה
לסכום של אידיאלים שמאליים מינימליים(.
הערה 7.2.27נניח ש־ Rפשוט למחצה .אז הוא שווה לסכום של מספר סופי של אידיאלים
מינימליים.
∑
= 1עבור ai ∈ Aiכאשר Aiאידיאלים מינימליים; אז לכל
את ∑1 ∈ Rבתור סכום ai
הוכחה .כתוב∑
= .r
rai ∈ Ai ,r ∈ R
◦
טענה 7.2.28כל מודול מעל חוג פשוט למחצה Rהוא פריק לחלוטין.
∑
אידיאלים שמאליים מינימליים .יהי Mמודול מעל .Rאפשר
L
כאשר
R
=
i
הוכחה .כתוב i
∑
∑∑ L
לכתוב ,M = x∈M Rx = x∈M i Li xאבל לכל iולכל ,xאם Li x ̸= 0אז הוא מינימלי כי
∼ .Li
= Li x
תרגיל 7.2.29חוג Rפשוט למחצה אם ורק אם כל מודול מעליו הוא פריק לחלוטין.
טענה 7.2.30כל אידיאל שמאלי A ≤ℓ Rבחוג פשוט למחצה הוא מהצורה L = Reכאשר e
אידמפוטנט.
הוכחה .לפי ההגדרה יש מודול משלים ,כלומר .R =: ⊕L′נפרק 1 = e + e′עבור ,e ∈ Aאז
,e = e2 + ee′ומצד שני .e = e + 0לכן e2 = eו־ .ee′ = 0לכל ,a + 0 = a = ae + ae′ ,a ∈ L
ושוב מהשוואת רכיבים מקבלים ;a = ae ∈ Reלכן .L = Re
7.3
משפט הצפיפות הכללי
7.3.1בי־מודולים
הגדרה 7.3.1יהיו R, Tחוגים .נניח ש־ Mהוא מודול שמאלי מעל ,Rוגם מודול ימני מעל .Tאומרים
שהוא בי־מודול מעל R, Tאם r(xt) = (rx)tלכל t ∈ T ,r ∈ Rולכל .x ∈ Mמציינים ש־ M
הוא בי־מודול בסימון .R MT
לדוגמא ,כל מודול R Mמעל חוג קומוטטיבי הוא גם מודול ימני לפי ,x · a = axולמעשה
הוא בימודול ,R MRמכיוון ש־).(ax)b = b(ax) = (ba)x = (ab)x = a(bx) = a(xb
כעת נוכל להסביר את הגדרה .7.1.8יהיו Rחוג ו־ R Mמודול שמאלי מעל .Rנסמן
) .T = End(R Mהפעולה ) x · f = f (xהופכת את Mלמודול ימני מעל ) Tאכן,
x · (f g) = (f g)(x) = g(f (x)) = g(x · f ) = (x · f ) · gלפי הגדרת הכפל ב־ .(Tלו היינו
מגדירים את הכפל על־ידי שינוי הסדר ,כלומר לו היינו מתבוננים ב־ T opבמקום ב־ M ,T
היה מודול שמאלי במקום ימני .היתרון בחילופי הצדדים הוא ש־ Mהוא בימודול:R MT ,
) .(rx)f = f (rx) = rf (x) = r(xf
דוגמא נוספת :כל חוג Rמהווה מודול שמאלי וגם ימני מעל עצמו ,לפי הפעולה המושרית
מן הכפל של החוג )כלומר .(x · a = xa ,a · x = ax ,ביחס לפעולות אלו R ,הוא בימודול
מעל ,R, Rמשום ש־) (ax)b = a(xbבחוג.
תרגיל 7.3.2יהיו R, R′חוגים.
66
◦
.7.3משפט הצפיפות הכללי
פרק .7מבנה של מודולים
(
)
R
M
.1הראה ש־ S = 0 R′הוא חוג )אסוציאטיבי( ביחס לפעולת הכפל הרגילה
של מטריצות ,אם ורק אם R MR′הוא בי־מודול .נניח שזה אכן כך.
(
)
0
N
0 0הוא אידיאל שמאלי אם ;N ≤ R Mואידיאל ימני אם .N ≤ MR′הראה
.2
שאם החוג Sנתרי/ארטיני משמאל ,אז Mנתרי/ארטיני כמודול שמאלי מעל ,R
ואם Sנתרי/ארטיני מימין ,אז Mנתרי/ארטיני כמודול ימני מעל .R′
.3נניח ש־ M = R′ = Kכאשר Kשדה ,ו־.R ⊆ K
נתרי/ארטיני .הדרכה .האידיאלים הימניים
אם R
({
)
ורק (
)א( Sנתרי/ארטיני ימני}אם )
של Sהם מהצורה 0 v1 : v1 ∈ V
עבור תת־מרחבים וקטוריים ⊆ V
0 v2
v2
(
)
2
I0 Kכאשר .I▹R
,Kאו מהצורה K
)ב( Sנתרי/ארטיני שמאלי אם ורק אם Rחוג נתרי/ארטיני ,וגם Kנתרי/ארטיני
האידיאלים השמאליים של Sהם מהצורה
הדרכה.
}
כמודול מעל ){( .R
a v
0 0
: (a, v) ∈ N
)
(
I
K
0 Kכאשר .I▹R
)
)ג(
)
)ד(
7.3.2
Z Q
0 Q
Q R
0 R
עבור תת־מודולים N ≤ R × Kמעל ,Rאו מהצורה
(
נתרי ימני אבל לא נתרי שמאלי.
(
ארטיני ימני אבל לא ארטיני שמאלי.
ההצגה הרגולרית
הצגה של חוג היא הומומורפיזם ממנו אל אובייקט קונקרטי ,כמו חוג אנדומורפיזמים .תהי
Mחבורה אבלית .כידוע ,כל חבורה אבלית היא מודול ימני מעל חוג השלמים ,Zולכן יש
לה חוג אנדומורפיזמים ) ) End(M Zראה תרגיל .(1.1.1
מתברר שהצגה של Rלתוך החוג ) End(M Zאינה אלא שכלול של Mלכדי מודול
שמאלי מעל .R
טענה 7.3.3לכל הומומורפיזם של חוגים ) ψ : R→End(MZאפשר לראות את Mכמודול מעל
Rלפי הפעולה ).r · x = ψ(r)(x
בכיוון ההפוך ,אם Mמודול שמאלי מעל ,Rאז לכל r ∈ Rהפונקציה ψ(r) : x 7→ rx
היא אנדומורפיזם של ,Mוהפונקציה ) r 7→ ψ(rהיא הומומורפיזם של חוגים.R→End(MZ ) ,
הוכחה .בכיוון הראשון ,מכיוון ש־) ,ψ(rr′ ) = ψ(r)ψ(r′לכל xמתקיים
(rr′ ) · x = ψ(rr′ )(x) = (ψ(r) ◦ ψ(r′ ))(x) = r · (r′ · x).
67
◦
פרק .7מבנה של מודולים
.7.3משפט הצפיפות הכללי
כדי לשפר את ההצגה ,נניח ש־ Mהוא כבר מודול שמאלי מעל ,Rויש לו בנוסף לזה
מבנה של מודול ימני מעל חוג ,Sההופך את Mלבימודול .נסמן ) ˆ = End(MS
.Rזהו
תת־חוג ) ˆ ⊆ End(MZ
,Rשהוא קטן יותר ככל ש־ Sגדול יותר.
המבנה של Mכמודול מעל Rהופך את Mלמודול שמאלי מעל ˆ
,Rעל־ידי הפעולה
) .f · x = f (xלמעשה Mהוא בי־מודול מעל ˆ S
,R,משום ש־
)(f · x)t = f (x)t = f (xt) = f · (xt
לפי הגדרת ˆ
.R
אם מעוניינים בהצגה של Rלתוך חוג קונקרטי ,כדאי שזה יהיה חוג קטן ככל האפשר.
Rמאפשר להגדיר הומומורפיזם ˆ
המבנה של Mכמודול מעל ˆ
R→Rלפי ˆ ,ψ : r 7→ rכאשר
ˆ.
r · x = rx
כעת נניח רק ש־ Mמודול שמאלי מעל חוג .Rכדי להגדיר על Mמבנה של בימודול,
ניקח ) ,T = End(R Mונגדיר ) .x · f = f (xכפי שראינו לפני כן M ,הוא אכן בימודול מעל
,R, Tואפשר לקחת ) ˆ = End(MT
T = End(R M )) .Rהוא החוג הגדול ביותר כך ש־ M
הוא R, T־בימודול ,ולכן ˆ
Rהזה הוא החוג הקטן ביותר האפשרי מהצורה ) (.End(MS
◦
.Rאז ˆ
טענה 7.3.4יהיו Mמודול שמאלי מעל חוג ,T = End(R M ) ,Rו־) ˆ = End(MT
R
המרכז של T opבחוג האנדומורפיזמים הכללי ) .End(MZ
ֵּ
הוא
הוכחה .נחשב .כדי ש־) φ ∈ End(MZיהיה שייך ˆ
ל־ Rנדרש שלכל f ∈ Tולכל ,x ∈ M
)) ,φ(f (x)) = φ(x · f ) = φ(x) · f = f (φ(xכלומר .φ ◦ f = f ◦ φ
M, R, Rכמו בטענה ˆ ∩ T = Z(T ) ,7.3.4
מסקנה 7.3.5עם ˆ
.R
במקרה המיוחד שבו Rקומוטטיבי המבנה הדוק עוד יותר.
הערה 7.3.6אם Rקומוטטיבי ,אז ) .Im(ψ) ⊆ Z(Tנוכיח ש־) .Im(ψ) ⊆ T = End(R M
ˆ.
ˆr(ax) = r(ax) = (ra)x = (ar)x = a(rx) = a
ˆ ,שהרי rx
אכן ,לכל ,r ∈ Rמתקיים r ∈ T
הטענה נובעת ממסקנה .7.3.5
7.3.3
חוגים צפופים
שוב יהי R Mמודול מעל החוג .Rכמקודם ,נבחר ) ,T = End(R Mונגדיר ) ˆ = End(MT
.R
R0 ⊆ Rהוא n־צפוף אם לכל ˆ
הגדרה 7.3.7תת־חוג ˆ
f ∈ Rולכל x1 , . . . , xn ∈ Mקיים
f0 ∈ R0כך ש־) ;f (x) = f0 (xתת־החוג צפוף אם הוא n־צפוף לכל .n
)יכולנו להגדיר צפיפות ב־) End(MTלכל Tשעבורו R MTהוא בימודול .אפשר גם להגדיר
צפיפות ב־) End(R Mבדיוק כפי שהגדרנו צפיפות ב־) ;End(MTאין לנו צורך בהכללות
האלה(.
מה נדרש על־מנת ש־ Rיהיה 1־צפוף? נאמר ש־ fשומר על תת־מודול Nאם ⊆ ) f (N
R ⊆ Rהוא 1־צפוף אם לכל ˆ
.Nלפי ההגדרהˆ ,
f ∈ Rולכל ;f (Rx) ⊆ Rx ,x ∈ Mכלומר,
אם כל ˆ
f ∈ Rשומר על כל תת־מודול ציקלי.
תרגיל 7.3.8אנדומורפיזם ) f ∈ End(MTשומר על כל תת־מודול ציקלי ,אם ורק אם
הוא שומר על כל תת־מודול.
68
.7.3משפט הצפיפות הכללי
פרק .7מבנה של מודולים
ומתי מובטח שתת־מודול Nנשמר?
◦
למה 7.3.9נניח של־ N < Mיש משלים .אז לכל ) f ∈ End(MTמתקיים .f (N ) ⊆ N
הוכחה .לפי הערה 7.2.20יש אידמפוטנט π ∈ Tהמקיים ) ,N = π(Mואז לכל x ∈ Mמתקיים
,f (π(x)) = f (x · π) = f (x) · π = π(f (x)) ∈ Nולכן .f (N ) ⊆ N
משפט ) 7.3.10משפט הצפיפות הכללי( יהי Mמודול פריק לחלוטין מעל חוג .Rאז תמונת ˆ R
ב־R
צפופה שם.
הוכחת משפט הצפיפות .ראשית נוכיח שהתמונה היא 1־צפופה :יהיו ˆ
f ∈ Rו־ .x1 ∈ M
ניקח .N = Rx1 ≤ Mמכיוון שיש ל־ Nמשלים ב־ ,Mלמה 7.3.9קובעת ש־ ,f (x1 ) ∈ N
ולכן קיים r ∈ Rכך ש־ .f (x1 ) = rx1
נעבור למקרה הכללי .נחליף את Mבמודול )˜ = M (n
,Mשגם הוא פריק לחלוטין
לפי הערה .7.2.6בהתאם לזה יש להחליף את Tב־) ˜ ) = Mn (T
T˜ = End(R Mלפי
∑
t
טענה ,7.1.22את x1 , . . . , xn ∈ Mהנתונים בוקטור ˜
˜,
= ) x = (x1 , . . . , xn
νi (xi ) ∈ M
)(n
ואת ) ˆ = End(MT
.Mכפעולה
f ∈ Rבאנדומורפיזם ˜ fהפועל אלכסונית על רכיבי
אלכסונית˜ ˜ ) ,
f˜ ∈ End(Mלפי משפט .7.3.4
T
˜
כפי שהוכחנו לעיל ,תמונת 1 R־צפופה ב־) ˜ ,End(MTולכן קיים r ∈ Rכך ש־
˜ ,(rx1 , . . . , rxn )t = rכלומר f (xi ) = rxiלכל
˜(˜x = f
x) = (f (x1 ), . . . , f (xn ))t
.i = 1, . . . , n
מסקנה 7.3.11יהי R Mמודול פריק לחלוטין ,ונניח ש־ Mנוצר סופית מעל ) .T = End(R M
R→Rהוא על) .משום שאיבר ˆ
אז ההומומורפיזם ˆ
ב־ Rנקבע לפי פעולתו על קבוצה פורשת(.
המשפט נקרא כך בשל הפירוש הטופולוגי שלו .נגדיר טופולוגיה על ) ˆ = End(MT
,R
שהבסיס שלה הוא הקבוצות }.Uf ;x1 ,...,xn = {g ∈ End(MT ) : g(xi ) = f (xi ), i = 1, . . . , n
תרגיל 7.3.12הראה שזה אכן בסיס לטופולוגיה )משפחה של קבוצות היא בסיס
לטופולוגיה אם לכל A, Bבמשפחה ולכל x ∈ A ∩ Bיש Cבמשפחה כך ש־
;x ∈ C ⊆ A ∩ Bהטופולוגיה הנוצרת על־ידי הבסיס כוללת את כל האיחודים של
קבוצות ממנו(.
משפט הצפיפות טוען שתמונת ˆ R
ב־ Rתחת השיכון הרגולרי ,צפופה שם במובן הטופולוגי.
תרגיל 7.3.13תת־מודול Nשל R Mנקרא צפוף אם לכל x, y ∈ Mכך ש־ ,x ̸= 0יש
a ∈ Rכך ש־ ax ̸= 0ו־ .ay ∈ N
.1כל תת־מודול צפוף הוא גדול.
.2אם תת־מודול הוא צפוף ,אז כל תת־מודול המכיל אותו הוא צפוף.
.3חיתוך של תת־מודולים צפופים הוא צפוף.
.4בחוג קומוטטיבי ,אידיאל הוא צפוף )בחוג כמודול מעל עצמו( אם ורק אם הוא
נאמן )כמודול(.
.5הראה ש־ Nצפוף ב־ Mאם ורק אם Hom(N ′ /N, M ) ̸= 0לכל .N ≤ N ′ ≤ M
69
פרק .7מבנה של מודולים
.7.3משפט הצפיפות הכללי
70
פרק 8
המבנה של חוגים ארטיניים
8.1
חוגים פשוטים
בסעיף הראשון נתן כמה דוגמאות לחוגים פשוטים ,ארטיניים ולא ארטיניים .חוג פשוט הוא
חוג )עם יחידה( שאין לו אידיאלים אמיתיים .נתחיל בדוגמא קיצונית לחוגים פשוטים.
הערה 8.1.1התכונות הבאות של חוג Dשקולות זו לזו:
D .1חוג עם חילוק )כלומר ,כל האברים השונים מאפס הפיכים(,
.2כל האברים השונים מאפס ב־ Dהפיכים משמאל.
.3אין ל־ Dאידיאלים שמאליים לא־טריוויאליים.
D .4פשוט כמודול מעל עצמו.
הוכחה .ברור שהתכונה הראשונה גוררת את השניה ,ושתכונות 3 ,2שקולות זו לזו .ברור גם שתכונות 4,3
שקולות זו לזו .כדי להוכיח ש־ 2גורר את ,1נניח שב־ Dכל האברים הפיכים משמאל; יהי ,0 ̸= a ∈ D
אז יש b ∈ Dכך ש־ ,ba = 1ויש c ∈ Dכך ש־ .cb = 1לכן ,c = cba = aכלומר ab = ba = 1
ו־ aהפיך.
בפרט ,כל חוג עם חילוק הוא פשוט ,אבל ההיפך אינו נכון :לפי טענה ,7.1.2חוג מטריצות
מעל חוג פשוט גם הוא חוג פשוט .כלומר ,כל החוגים מהצורה ) ,Mn (Dכאשר Dחוג עם
חילוק ,הם פשוטים .בדוגמאות האלה נעסוק בתת־סעיף .8.1.2חוג פשוט מהצורה )Mn (D
שהוא תחום )ללא מחלקי אפס( ,הוא בהכרח חוג עם חילוק .בסעיף 8.1.3נציג דוגמא לחוג
פשוט שהוא תחום ,אבל אינו חוג עם חילוק.
בין החוגים הקומוטטיביים ,חוגים פשוטים אינם אלא שדות .יתרה מזו:
טענה 8.1.2המרכז של חוג פשוט הוא שדה.
הוכחה .יהי ) ,0 ̸= aZ(Rכאשר Rחוג שפוט .אז Raהוא אידיאל )דו־צדדי( ,השונה ואפס ,ולכן
שווה לכל החוג .בפרט ,1 ∈ aR = Raולכן aהפיך בחוג .אבל לכל ,x ∈ Rמ־ xa = axנובע
a−1 x = xa−1ו־.a−1 ∈ R
בעקבות טענה זו ,כל חוג פשוט הוא אלגברה מעל שדה כלשהו .אחת הגישות בתאוריה
של אלגברות פשוטות היא למיין את כל האלגברות הפשוטות )ממימד סופי( שהמרכז שלהן
הוא שדה נתון.
71
פרק .8המבנה של חוגים ארטיניים
.8.1חוגים פשוטים
הערה 8.1.3יהי Fשדה סגור אלגברית .אין אלגברת חילוק ממימד סופי מעל ) Fפרט כמובן
ל־ Fעצמו(.
הוכחה .נניח ש־ Dאלגברת חילוק שהמרכז שלה Kמכיל את ,Fוכך ש־∞ < ] .[D : Fאז ∞ < ] [K : F
ולכן .K = Fבנוסף ,לכל F [d] ,d ∈ Dהוא תת־חוג אלגברי של ,Dולכן הוא חוג עם חילוק ,ומכיוון
ש־] F [dקומוטטיבי ,הוא שדה .לכן F [d] = Fו־ .d ∈ F
אלגברת החילוק היחידה שהמרכז שלה הוא Rהיא אלגברת הקווטרניונים.
8.1.1
אלגברות ציקליות
נציג בניה מעניינת וכללית למדי לחוגים פשוטים.
∼ ⟩ .⟨σיהי
Z/nZ
ציקלית
גלואה
חבורת
תהי K/Fהרחבת גלואה של שדות ,עם
=
× .b ∈ Fנתבונן בחוג
n−1
A = K ⊕ Kz ⊕ · · · ⊕ Kz ,
′
′
עם פעולת הכפל המוגדרת לפי ,(az i )(a′ z i ) = aσ i (a′ )z i+iו־ .z n = bבפרט zהפיך,
ו־) zkz −1 = σ(kלכל .k ∈ Kהיחס z n = bנשמר תחת ההצמדה ב־ ,zמכיוון ש־
.zbz −1 = σ(b) = b = z n = (zzz −1 )n = z nאת האלגברה הזו ,שהממד שלה מעל Fהוא
,n2מסמנים ב־) .(K/F, σ, bאלגברה מצורה זו נקראת אלגברה ציקלית.
טענה 8.1.4האלגברה ) (K/F, σ, bפשוטה.
∑
הוכחה .כל איבר של Aאפשר להציג באופן יחיד בצורה , ai z iכאשר .ai ∈ Kה'אורך' של האיבר
השונים מאפס בסכום הזה .נניח ש־ ,0 ̸= I▹Aויהי 0 ̸= f ∈ Iאיבר בעל אורך
הוא מספר
המונומים ∑
i
= .fעל־ידי כפל מימין בחזקה מתאימה של ,zאפשר להניח ש־ .a0 ̸= 0אם
מינימלי .נכתוב ai z
i
∑ iכך ש־ .ai0 ̸= 0נבחר k ̸∈ K σ 0כלשהו .אז הקומוטטור
=
̸
0
יש
אחרת,
וסיימנו.
,f ∈ Kהוא הפיך
0
∑
i
i
= ] [f, kשייך ל־ ,Iוהוא קצר מ־ ,fבסתירה להנחה .
= ]ai [z , k
החיבורי )ai (σ (k) − k
טענה 8.1.5המרכז של ) (K/F, σ, bהוא .F
∑
∑ i
= ],0 = [f, k
= fשייך למרכז .לכל k ∈ Kמתקיים )ai (σ i (k) − k
הוכחה .נניח ש־ ai z
ולכן לכל i ̸= 0בהכרח .ai = 0כלומר .f ∈ K ,אבל כעת ,[z, f ] = σ(a0 ) − a0ולכן
.a0 ∈ K σ = F
אלגברה ציקלית מממד n2 = 4נקראת אלגברת קווטרניונים .לשם פשטות ,נתאר את
האלגברות האלה בהנחה ש־.charF ̸= 2
דוגמא ) 8.1.6אלגברת קווטרניונים במאפיין שונה מ־ (2תהי K/Fהרחבה ריבועית .כידוע,
הרחבה כזו היא תמיד מהצורה ] K = F [xכאשר .x2 = aהאוטומופריזם σ : K→Kמוגדר
על־ידי ,σ(x) = −xולכן אפשר לתאר את האלגברה ) (a, b)2,F = (F [a]/F, σ, bכמרחב
וקטורי
Q = K ⊕ Kz = F ⊕ F x ⊕ F z ⊕ F xz,
עם הכפל המוגדר לפי היחסים .zx = −xz ,z 2 = b ,x2 = a
על Qמוגדרת אינוולוציה )כלומר אנטי־אוטומורפיזם מסדר ,(2לפי
α + βx + γz + δxz = α − βx − γz − δxz.
72
◦
.8.1חוגים פשוטים
פרק .8המבנה של חוגים ארטיניים
האינוולוציה מאפשרת להגדיר העתקה אדיטיבית t : Q→Fלפי ¯ ,t(w) = w + wוהעתקה
,n(w) = ww¯ = wwכך שמתקיים w2 − t(w)w + n(w) = 0לכל
כפלית n : Q→Fלפי ¯
.w ∈ Qאפשר לחשב ש־
n(α + βx + γz + δxz) = α2 − aβ 2 − bγ 2 + abδ 2 .
כעת יש שתי אפשרויות .נאמר שהתבנית הריבועית ) n(wהיא איזוטרופית אם יש פתרון
שונה מאפס למשוואה ,n(w) = 0ואנאיזוטרופית אחרת.
.1אם תבנית הנורמה אנאיזוטרופית w−1 = n(w)−1 w¯ ,לכל .w ̸= 0במקרה זה Qהיא
אלגברת חילוק.
∼ .Q
.2אם התבנית איזוטרופית= M2 (F ) ,
הדרכה.
הראה שאפשר להציג את bבצורה
;b = α2 − β 2 aהעזר באברים .z − α ± βx
דוגמא 8.1.7אלגברת הקווטרניונים של המילטון היא האלגברה
H = R ⊕ Ri ⊕ Rj ⊕ Rij
עם פעולת הכפל המוגדרת לפי ,ji = −ij ,i2 = j 2 = −1המתקבלת מן הדוגמא הקודמת
כשנבחר a = b = −1מעל השדה .F = Rמכיוון שתבנית הנורמה = )n(a + bi + cj + dij
a2 + b2 + c2 + d2היא חיובית לחלוטין ,זו אלגברת חילוק.
התרגיל הבא מכליל את הבניה של אלגברות ציקליות ,מהרחבת שדות ציקלית להרחבת
גלואה כלשהי.
תרגיל 8.1.8נניח ש־ Dהיא אלגברה עם חילוק מעל המרכז ) .F = Z(Dנניח ש־
K ⊆ Dהוא תת־שדה מקסימלי ,וש־ K/Fהיא הרחבת גלואה ,עם חבורת גלואה .G
אלגברת חילוק כזו נקראת מכפלה משולבת .הראה ש־ Dהוא מודול שמאלי מעל
,Kושיש לו בסיס } {zg : g ∈ Gכך ש־ zg k = g(k)zgלכל g ∈ Gו־ .k ∈ Kהראה
−1
cg,h = zg zh zghשייכים ל־ × ,Kומקיימים את הזהות .cpq,r cp,q = p(cq,r )cp,qr
שהסקלרים
8.1.2
מטריצות מעל חוג עם חילוק
כידוע ,חוג ארטיני )שמאלי( הוא חוג המקיים את תנאי השרשרת היורדת על אידיאלים
שמאליים ,ובאופן שקול לזה ,בכל קבוצת אידיאלים שמאליים שלו יש איבר מינימלי.
אלגברה לינארית היא התאוריה של מרחבים וקטוריים מעל שדה .אפשר לפתח תורה
דומה גם מעל חוגים עם חילוק ,אם מקפידים לקבוע את הצד שבו פועלים הסקלרים .כך
למשל ,כל אלגברה המכילה חוג עם חילוק Dמהווה מודול )שמאלי( מעליו .כל מודול מעל
חוג עם חילוק הוא חופשי ,ולכן קיים לו מימד )שמאלי(.
תרגיל 8.1.9אם לאלגברה יש ממד סופי מעל חוג עם חילוק ,אז היא ארטינית) .כל
אידיאל שמאלי הוא תת־מודול ,והממד חוסם את האורך של שרשראות(.
תרגיל 8.1.10יהי Dחוג עם חילוק .נסמן ,Lv = Mn (D)vכאשר .v ∈ Dnזהו אידיאל
שמאלי של ) .Mn (Dהראה שכל אידיאל שמאלי הוא סכום של אידיאלים מהצורה .Lv
73
◦
פרק .8המבנה של חוגים ארטיניים
.8.1חוגים פשוטים
טענה 8.1.11האורך של ) ,Mn (Dכמודול מעל עצמו ,הוא .n
הוכחה .אפשר להציג את החוג כסכום ישר של אידיאלים שמאליים,
Mn (D) = Mn (D)e11 ⊕ · · · ⊕ Mn (D)e1n .
בפרט ,לכל חוג עם חילוק ,Dחוג המטריצות ) Mn (Dהוא פשוט וארטיני .המשפט
המרכזי שנוכיח בהמשך )משפט (8.2.16קובע שגם ההיפך נכון :כל חוג פשוט ארטיני הוא
חוג מטריצות מעל חוג עם חילוק.
◦
טענה 8.1.12כל חוג מהצורה ) ,R = Mn1 (D1 )⊕· · ·⊕Mnt (Dtכאשר D1 , . . . , Dtהם חוגים
עם חילוק ,הוא פשוט למחצה.
הוכחה .כל חוג עם חילוק הוא פשוט למחצה )כי האידיאל השמאלי המינימלי היחיד הוא החוג עצמו( .חוג
המטריצות ) Mn (Dפשוט למחצה לפי תרגיל .8.1.10אם R1 , . . . , Rnפשוטים למחצה אז Riפריק
לחלוטין כמודול מעל עצמו ,ולכן גם מעל הסכום הישר ,R = R1 ⊕ · · · ⊕ Rnהפועלת על Riלפי
הרכיב ה־ .iזה מספק הצגה של Rכסכום ישר של מודולים פריקים לחלוטין מעל עצמו.
את הכיוון ההפוך )כל חוג פשוט למחצה הוא מכפלה של חוגי מטריצות מעל חוגים עם
חילוק( נראה במשפט .8.4.11
8.1.3
אלגברת וייל
אלגברת וייל ,שנבנה בתת־הסעיף הזה ,היא אלגברה פשוטה שאינה ארטינית.
דוגמא 8.1.13נגדיר את אלגברת וייל A1כחוג הנוצר על ידי היוצרים x, yעם יחס אחד:
;⟩A1 = F ⟨x, y | yx − xy = 1
לכן F [x]y j
∑
תרגיל 8.1.14
= F xi y j
.1
d
f
dx
∑
= .A1
= ] [y, fלכל
מדובר בנגזרת הפורמלית
nxn−1
= ] [g, xלכל ] .g ∈ F [yהדרכה.
d
] ,f ∈ F [xו־g
dy
d n
n
= x
[y, x ] = nxn−1 ; dx
באינדוקציה.
A1 .2הוא תחום )היינו ,אין בו מחלקי אפס( .הדרכה .נסמן = fn
המקדם העליון ביחס ל־ ;yאז .f g = f g
i
i=0,...,n fi y
∑
,כלומר
A1 .3אינו ארטיני .הדרכה .הראה ש־ · · · ⊃ .A1 ⊃ A1 y ⊃ A1 y 2
.4ל־ A1אין אידיאלים שמאליים מינימליים.
∑ i
≠ ,0אז
.5אם charF = 0אז A1אלגברה פשוטה .הדרכה .אם fi y ∈ I▹A1
גזירה חוזרת לפי xמספקת ערך ] ,0 ̸= g ∈ I ∩ F [yוגזירה לפי yמספקת סקלר שונה
מאפס ב־ .Iהערה .במאפיין ⟨xp − x − a, y p − b⟩▹A1 ,pלכל .a, b ∈ F
.6אין שיכון של A1לאלגברת מטריצות מעל חוג קומוטטיבי ממאפיין אפס .הדרכה.
העקבה.
74
.8.2חוגים פרימיטיביים
פרק .8המבנה של חוגים ארטיניים
תרגיל 8.1.15יהי Rחוג כלשהו .יהי σ : R→Rאוטומורפיזם .העתקה אדיטיבית δ : R→R
המקיימת ) δ(ab) = σ(a)b + aδ(bנקראת σ־גזירה )כאשר σ ,σ = idR־גזירה נקראת
סתם גזירה( .נסמן ב־] R[x; σ, δאת חוג הפולינומים ב־] R[xעם החיבור הרגיל והכפל
) xa = σ(a)x + δ(aלכל .a ∈ Rחוג זה נקרא הרחבת Oreשל .R
.1הצג את אלגברת וייל כמקרה פרטי של הבניה הזו.
.2הראה שאם הגזירה אינה פנימית )גזירה מהצורה (δ(a) = ba − abו־ Rשדה אז
] R[x; σ, δפשוט )למעשה די להניח ש־ Rפשוט(.
.3נניח ש־ Rחוג עם חילוק .הראה שעל־ידי החלפת משתנים מתאימה אפשר
להניח ש־ σ = idאו ש־ .δ = 0הדרכה .נסמן ) .F = Z(Rאם יש a ∈ Fכך
∼ ] .R[x; σ, δאחרת
ש־ ,σ(a) ̸= aכך ) x′ = x + (a − σ(a))−1 δ(aוהראה ש־]= R[x′ ; σ, 0
−1
σהוא הזהות על ;Fלפי משפט סקולם־נתר )תרגיל ,(8.3.9יש uכך ש־ σ(c) = ucu
∼ ].R[x; σ, δ
לכל ,c ∈ Rואז ]= R[u−1 x; 1; u−1 δ
8.2
חוגים פרימיטיביים
בסעיף זה נעסוק בחוגים פרימיטיביים ,שהם החוגים המתאימים ביותר להפעלת משפט
הצפיפות.
8.2.1
◦
מודולים נאמנים
הגדרה 8.2.1יהי Mמודול מעל חוג .R
.{a : aM = 0} ⊆ R
המאפס של Mהוא אוסף האברים = ) Ann(M
תרגיל 8.2.2יהי Mמודול מעל חוג .R
◦
;Ann(M )▹R .1זהו אידיאל אמיתי אלא אם .M = 0
M .2הוא מודול מעל חוג המנה ,R/Iביחס לפעולה ,(a + I)x = axאם ורק אם
) .I ⊆ Ann(M
R/Ann(M ) .3היא המנה המינימלית של Rש־ Mמודול מעליה.
הגדרה 8.2.3מודול Mמעל חוג Rהוא נאמן אם .Ann(M ) = 0
)כל מודול מעל חוג מנה של Rאפשר לראות גם כמודול מעל החוג ,אבל רק מודולים
נאמנים משקפים את המבנה האמיתי של החוג עצמו ,ולא של חוגי המנה שלו(.
את המאפס של מודול יש להשוות למאפס של איבר במודול :אם Mמודול מעל ,R
אז לכל ;Ann(x) = {a ∈ R : ax = 0} ,x ∈ Mזהו אידיאל שמאלי של ,Rשאינו בהכרח
דו־צדדי.
ˆ
במשפט הצפיפות הכללי עסקנו בתמונה של Rבתוך ) ,R = End(MTכאשר R Mמודול
שמאלי מעל Rו־) .T = End(R M
טענה 8.2.4הגרעין של ˆ
R→Rהוא המאפס }.Ann(M ) = {a ∈ R : aM = 0
ˆ
R ,→ Rאם ורק אם R Mנאמן.
75
בפרט,
.8.2חוגים פרימיטיביים
8.2.2
פרק .8המבנה של חוגים ארטיניים
מודולים פשוטים
לפני שנפעיל את משפט הצפיפות עבור מודולים פשוטים ,נציין כמה תכונות של מודולים
כאלה.
תרגיל 8.2.5
.1כל מודול פשוט הוא ציקלי.
.2מודול ציקלי איזומורפי למודול מהצורה R/Lכאשר Lאידיאל שמאלי של .R
.3מודול המנה R/Lהוא פשוט אם ורק אם Lאידיאל שמאלי מקסימלי.
תרגיל ) 8.2.6חוג האנדומורפיזמים של מודול ציקלי( יהי L ≤ℓ Rאידיאל שמאלי .נסמן
} .L∗ = {a ∈ R : La ⊆ Lהוכח ש־ ∗ Lהוא תת־החוג המקסימלי של Rשבו Lהוא
אידיאל דו־צדדי.
הראה שכל אנדומורפיזם של המודול הציקלי M = R/Lהוא מהצורה ra : x +
L 7→ xa + Lעבור ∗ ,x ∈ Lוהסק ש־ .End(R M ) = (L∗ /L)opנסמן = La−1
} ;{x ∈ R : xa ∈ Lזהו אידיאל שמאלי ,המכיל את Lאם ∗ .a ∈ Lהאנדומורפיזם
(a ∈ L∗ ) raהוא חד־חד־ערכי אם ורק אם ;La−1 = Lו־ raעל אם ורק אם Ra
קו־מקסימלי ביחס ל־.L
∗
מצא קשר בין האידיאלים השמאליים של L /Lלבין האידיאלים השמאליים של R/L
)לפי הלמה של שור ,8.2.12 ,אם ב־ R/Lאין אידיאלים מקסימליים אז גם ב־ L∗ /Lאין
אידיאלים מקסימליים(.
8.2.3
פרימיטיביות
הגדרה 8.2.7חוג שיש לו מודול פשוט נאמן נקרא חוג פרימיטיבי.
תרגיל 8.2.8המאפס של מודול פשוט ,R/Lהיינו } ,Ann(R/L) = {a : aR ⊆ Lהוא
האידיאל הדו־צדדי המקסימלי המוכל ב־.L
בפרט ,מודול מהצורה R/Lהוא נאמן אם ורק אם Lאינו מכיל אף אידיאל דו־צדדי
)שונה מאפס(.
מסקנה 8.2.9חוג הוא פרימיטיבי אם ורק אם יש לו אידיאל שמאלי מקסימלי שאינו מכיל אף
אידיאל דו־צדדי.
◦
טענה 8.2.10כל חוג פשוט הוא פרימיטיבי.
הוכחה .יהי Lאידיאל שמאלי מקסימלי )קיים לפי הלמה של צורן(; המנה R/Lהיא מודול פשוט ,שהוא
נאמן כי המאפס שלו ,שהוא אידיאל ,מוכרח להיות שווה לאפס.
טענה 8.2.11חוג פרימיטיבי קומוטטיבי הוא שדה.
הוכחה .לפי מסקנה .8.2.9
משפט הצפיפות הכללי חל כאשר Mמודול פריק לחלוטין; כלומר ,סכום של תת־מודולים
פשוטים .אם נניח ש־ Mפשוט ,נקבל במשפט הצפיפות תכונות נוספות ובלתי צפויות .המפתח
לכך הוא הלמה הבאה.
76
.8.2חוגים פרימיטיביים
פרק .8המבנה של חוגים ארטיניים
למה ) 8.2.12הלמה של שור( יהי R Mמודול פשוט .אז ) T = End(R Mהוא חוג עם חילוק.
הוכחה .יהי ) ,0 ̸= f ∈ End(R Mכלומר f : M →Mהומומורפיזם שאינו אפס .לכן ≤ ) 0 ̸= Im(f
Mומכיוון ש־ Mפשוט f ,על; ו־ ,Ker(f ) < Mומאותה סיבה ,Ker(f ) = 0כך ש־ fחד־חד־ערכי.
מכאן ש־ fהפיך.
מסקנה 8.2.13כל חוג פרימיטיבי אפשר לשכן בחוג אנדומורפיזמים של מרחב וקטורי מעל חוג
עם חילוק.
הוכחה .יהי Mמודול פשוט ונאמן מעל .Rלפי טענה ˆ = End(MD ) ,8.2.4
R ,→ Rכאשר = D
) End(R Mהוא חוג עם חילוק לפי הלמה של שור.
משפט ) 8.2.14משפט הצפיפות של ג'ייקובסון( יהי R Mמודול פשוט ונאמן מעל חוג .Rיהיו
x1 , . . . , xn ∈ Mבלתי תלויים מעל ) ,D = End(R Mו־ ;y1 , . . . , yn ∈ Mאז קיים r ∈ Rכך
ש־ .rxi = yi
◦
הוכחה .נתונים x1 , . . . , xn ∈ Mבלתי תלויים מעל ,Dשהוא חוג עם חילוק לפי הלמה של
שור .לכן אפשר להשלים את הקבוצה לבסיס של Mמעל ,Tולהגדיר ) f ∈ End(MDלפי
f (xi ) = yiו־ f (x) = 0לשאר אברי הבסיס .מכיוון ש־ Mפשוט ,הוא פריק לחלוטין .לפי
משפט הצפיפות הכללי ,יש r ∈ Rכך ש־ ,rxi = f (xi ) = yiכדרוש.
להלן גרסה חזקה של משפט :8.2.14
מסקנה 8.2.15יהי R Mמודול פשוט ונאמן מעל חוג .D = End(R M ) ,Rאם ,[M : D] = n
∼ˆ
∼ .R
=R
אז )= Mn (D
◦
הוכחה .יהי x1 , . . . , xnבסיס של Mמעל ,Dויהי ˆ
.h ∈ Rנבחר ) ,yi = h(xiאז לפי משפט הצפיפות
יש r ∈ Rכך ש־) rˆ(xi ) = rxi = yi = h(xiלכל .iלכן rˆ = hעל אברי הבסיס ,ומכאן ש־ˆ.h = r
∼ .R
משפט ) 8.2.16משפט ודרברן־ארטין( יהי Rחוג פרימיטיבי ארטיני .אז )= Mn (D
הוכחה .לפי טענה R ,8.2.10פרימיטיבי ,ולכן יש לו מודול פשוט נאמן .לפי הלמה של שור = D
) End(R Mהוא חוג עם חילוק ,ו־ ) ˆ = End(MD
;R ⊆ Rלפי משפט הצפיפות R ,צפוף שם .כדי
ליישם את המסקנה ,מספיק להראות ש־∞ < ] .[M : Dאחרת ,יש קבוצה בלתי תלויה x1 , x2 , . . .ב־ M
מעל ,Dואם ניקח )} Lm = Ann({x1 , . . . , xmנקבל שרשרת יורדת .· · · ⊆ L2 ⊆ L1לכל mיש
r ∈ Rכך ש־ rx1 = · · · = rxm = 0ו־ ,rxm+1 = xm+1 ̸= 0ובפרט .r ̸∈ Lm+1 ,r ∈ Lmלכן
השרשרת יורדת ממש ,וזו סתירה לארטיניות של .R
המקרה הכללי אינו רחוק ממשפט :8.2.16
משפט 8.2.17יהי Rחוג פרימיטיבי שמרכזו השדה .Fאו שקיים חוג עם חילוק ) Dעם אותו מרכז( כך
ש־) ,R = Mn (Dאו שלכל nיש ל־ Rתת־חוג ש־) Mn (Fהוא תמונה הומומורפית שלו.
הוכחה .כמו במשפט ,8.2.16יש ל־ Rמודול פשוט ונאמן ,Mו־) D = End(R Mהוא חוג עם חילוק,
מכיוון ש־ Mאינו סופי
ש־ Mהוא מודול ימני מעליו .אם Mסופי מעל ,Dסיימנו .יהי nכלשהו∑ .
= .Mnנתבונן ב־
מעל ,Dיש קבוצה בלתי תלויה .x1 , . . . , xn ∈ MDנסמן xi D ⊆ M
} .Rn = {r ∈ R : rMn ⊆ Mnזה תת־חוג של ,Rו־ Mnמודול מעליו .לכן מוגדר הומומורפיזם
) .R→End((Mn )D ) = Mn (Dההומומורפיזם הזה הוא על ,משום שכל פעולה על Mnאפשר לממש
על־ידי איבר של ,Rהשייך ל־ Rnלפי ההגדרה .כדי לסיים אפשר לקחת את התמונה ההפוכה של ) Mn (F
ב־) ,Mn (Dשהיא תת־חוג של .Rn
77
◦
.8.2חוגים פרימיטיביים
8.2.4
פרק .8המבנה של חוגים ארטיניים
דוגמאות לחוגים פרימיטיביים
היפוך של משפט הצפיפות ,על־ידי זיהוי תת־חוגים צפופים של חוג אנדומורפיזמים ,מספק
דרך קלה לבנות חוגים פרימיטיביים .יהיו Fשדה F V ,מרחב וקטורי .נקבע טרנספורמציות
,ri : V →Vונגדיר } ,R = F {r1 , . . . , rnכלומר תת־האלגברה של ) End(VFהנוצרת על־ידי
האברים .riהפעולה היא זו המושרית מפעולת ) ,End(VFהיינו הרכבה בסדר הרגיל.
◦
טענה 8.2.18אם ) R ⊆ End(Vפועל טרנזיטיבית על } V −{0אז Rפרימיטיבי.
הוכחה .מכיוון ש־) ,R ⊆ End(Vהמודול Vנאמן כעניין של הגדרה; אם הפעולה טרנזיטיבית אז המודול
פשוט לפי תרגיל .1.1.12
תרגיל 8.2.19יהי Vמרחב וקטורי ממימד אינסופי .α
.1הראה ש־ Vמודול פשוט ונאמן מעל ) ,End(Vולכן ) End(Vפרימיטיבי.
.2הראה ש־) End(Vאינו פשוט .הדרכה .תהי β < αעוצמה אינסופית כלשהי; הראה
ש־} Iβ = {x ∈ End(V ) : dim Im(x) < βהוא אידיאל אמיתי.
.3ל־) End(Vיש אידיאל שמאלי מינימלי .הדרכה .לכל תת־מרחב LV0 = ,V0 ≤ V
} {x ∈ End(V ) : x(V0 ) = 0הוא אידיאל שמאלי .אם ,dim(V /V0 ) = 1זהו אידיאל
שמאלי מינימלי.
End(V ) .4אינו נתרי ואינו ארטיני.
כדי לראות את אלגברת וייל A1מתת־סעיף 8.1.3בהקשר של הבניה הכללית ,נסמן
d
.Y f = dxהעתקות
] V = F [xונגדיר את ההעתקות ) X, Y ∈ End(Vלפי Xf = xfו־ f
אלו מקיימות ,(Y X − XY )f = (xf )′ − xf ′ = fכלומר .Y X − XY = 1
∼ .A1הדרכה .ההעתקה y 7→ Y ,x 7→ Xמראה
תרגיל = F [X, Y ] ⊆ End(F [x]) 8.2.20
ש־] F [X, Yהיא מנה של .A1נראה שזהו למעשה איזומורפיזם .במאפיין אפס אין מה להוכיח
∑
∑
אז
→αij xi y j 7
)כי הגרעין מוכרח להיות אפס( .מעל כל שדה ,אם αij X i Y j = 0
∑
∑ ∑
d j
j ( i αij xi )( dxלכל ] ;g ∈ F [xבחר g = xjעבור jהמינימלי עם , αij xi ̸= 0
) g=0
וקבל סתירה.
תרגיל 8.2.21הוכח שבמאפיין אפס F [X, Y ] ,פועלת טרנזיטיבית על ] ,F [xוהיא
פרימיטיבית לפי טענה .8.2.18הערה .הראה שבמאפיין pהפעולה אינה טרנזיטיבית.
תרגיל 8.2.22נגדיר ] An (F ) = F [x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ynלהיות האלגברה הכפופה
ליחסים [yi , xi ] = 1כאשר כל שני יוצרים אחרים מתחלפים )זוהי אלגברת וייל ה־
n־ית( .הראה ש־ Anפשוטה.
78
פרק .8המבנה של חוגים ארטיניים
8.3
.8.3חוגים ארטיניים ראשוניים
חוגים ארטיניים ראשוניים
הגדרה 8.3.1חוג Rהוא ראשוני אם לכל שני אידיאלים ,A, B ̸= 0גם .AB ̸= 0
טענה 8.3.2כל חוג פרימיטיבי הוא ראשוני.
הוכחה .יהי Mמודול פשוט ונאמן מעל ,Rויהיו A, B ̸= 0אידיאלים של .Rיש ,0 ̸= b ∈ Bומכיוון
ש־ Mנאמן ,0 ̸= bM ⊆ BM ,ולכן ;0 ̸= BM ≤ Mאבל Mפשוט ,ולכן .BM = Mבאותו
אופן גם ,ABM = AM ̸= 0ולכן .AB ̸= 0
מתברר שלאידיאלים שמאליים מינימליים יש תפקיד חשוב ביותר ,אם הם קיימים.
נזכיר ש־) soc(R Rהוא סכום תת־המודולים הפשוטים ,כלומר סכום האידיאלים השמאליים
המינימליים; לכן יש לחוג Rאידיאל שמאלי מינימלי ,אם ורק אם .soc(R) ̸= 0
תרגיל 8.3.3לכל אידיאל שמאלי מינימלי Lולכל ,a ∈ Rאו ש־ La = 0או ש־La
מינימלי .הדרכה .יש הומומורפיזם של מודולים L→Laהמוגדר לפי ,x 7→ xaשהוא או אפס או
איזומורפיזם.
טענה 8.3.4יהי Rחוג ראשוני שיש לו אידיאל שמאלי מינימלי .L ̸= 0
◦
R .1פרימיטיבי.
L .2הוא המודול הפשוט והנאמן היחיד של .R
הוכחה .לפי המינימליות L ,מודול פשוט .נסמן ) ,A = Ann(Lאז A(LR) = (AL)R = 0ולכן
,A = 0כלומר Lנאמן .מכאן ש־ Rפרימיטיבי .כעת יהי Mמודול פשוט ונאמן כלשהו .אז LM ̸= 0
∼ .M
כי Mנאמן ,ולכן קיים x ∈ Mכך ש־ ,Lx = Mשהרי Mפשוט .לפי תרגיל = L ,8.3.3
∼ .Rבפרט ,בין החוגים הארטיניים,
מסקנה 8.3.5יהי Rחוג ראשוני ארטיני .אז )= Mn (D
ראשוני = פרימיטיבי = פשוט.
הוכחה .מכיוון ש־ Rארטיני יש לו אידיאל שמאלי מינימלי .לפי טענה R 8.3.4פרימיטיבי ,ולכן חל
משפט .8.2.16
מסקנה 8.3.6יהי Rחוג ארטיני .כל אידיאל ראשוני של Rהוא מקסימלי) .השווה לטענה 5.1.9
מהקורס הקומוטטיבי(.
טענה 8.3.7לכל חוג soc(R) ,Rהוא אידיאל דו־צדדי )או Rכולו(.
שמאלי מינימלי Lולכל ,a ∈ Rאם La ̸= 0אז הוא מינימלי ,ולכן
אידיאל ∑
הוכחה .לפי תרגיל ,8.3.3לכל∑
= ,soc(R)aכאשר הסכום על־פני האידיאלים השמאליים
= La
לכל L = soc(R) ,a ∈ R
המינימליים .לכן .soc(R)▹R
טענה 8.3.8כל חוג פשוט עם אידיאל שמאלי מינימלי הוא ארטיני.
הוכחה .לפי טענה soc(R) ̸= 0 ,8.3.7ולכן soc(R) = Rו־ Rפשוט למחצה.
79
◦
פרק .8המבנה של חוגים ארטיניים
.8.4חוגים ראשוניים למחצה
אם לסכם ,קיבלנו את ההיררכיה הבאה למחלקות של חוגים:
) = Mn (Dפשוט ארטיני
פשוט
פרימיטיבי
hhh
hhhh
h
h
h
hhhh
ow hhh
ראשוני Wעם שמאלי מינימלי
WWWWW
WWWWWW
WWWW
WWW '/
ראשוני
דוגמאות נגדיות לגרירות בכיוון ההפוך End(V ) :מתרגיל 8.2.19הוא פרימיטיבי עם אידיאל
שמאלי מינימלי ,אבל אינו פשוט ואינו ארטיני .אלגברת וייל היא פשוטה אבל לא ארטינית
)ואף אין לה אידיאל שמאלי מינימלי(.
תרגיל 8.3.9הוכח את משפט סקולם־נתר :כל אוטומורפיזם של חוג פשוט ארטיני,
המשרה את אוטומורפיזם הזהות על המרכז ,הוא פנימי )כלומר מהווה הצמדה באיבר
קבוע( .הדרכה .טענה 8.3.4והעובדה שחוג עם חילוק פשוט כמודול מעל עצמו.
תרגיל 8.3.10הוכח את הלמה של בראוור :יהי Lאידיאל שמאלי מינימלי בחוג Rכך
ש־ .L2 ̸= 0אז קיים אידמפוטנט eכך ש־ ;L = Reואז eReהוא חוג עם חילוק.
הדרכה .לפי ההנחה קיים a ∈ Lכך ש־ ,La ̸= 0ואז ,0 ̸= La ⊆ L2 ⊆ Lולפי המינימליות
.L = Laלכן a ∈ L = Laויש e ∈ Lכך ש־ .a = eaנתבונן ב־}.Q = {x ∈ L : xa = 0
ברור ש־ Q ⊆ Lהוא אידיאל שמאלי ,אבל e ̸∈ Qולכן ,Q ⊂ Lולפי המינימליות .Q = 0אבל
,(e2 − e)a = 0ומכאן ש־ ,e2 − e ∈ Q = 0כלומר eאידמפוטנט .כעת ,0 ̸= e = e2 ∈ Re ⊆ L
ושוב לפי המינימליות ,L = Reכפי שרצינו.
יהי 0 ̸= ebe ∈ eReאיבר כלשהו .אם Lb = 0אז ,ebe ∈ Lbe = 0בסתירה להנחה ,ולכן
.Lb = Lכעת ,eRe · ebe = eRebe = eLbe = eLe = e(Re)e = eReכלומר ,ל־ eReאין
אידיאלים שמאליים אמיתיים ,ולכן כל איבר הפיך משמאל .מכאן ש־ eReחוג עם חילוק.
8.4
חוגים ראשוניים למחצה
נזכיר שהרדיקל הראשוני ) rad(Rשל חוג Rשווה לחיתוך כל האידיאלים הראשוניים שלו.
בהגדרה 4.2.15קראנו לחוג קומוטטיבי ''ראשוני למחצה'' אם אין בו איברים נילפוטנטיים,
ואז ראינו שהרדיקל הראשוני של חוג כזה הוא אפס .נאמץ תכונה זו כהגדרה למקרה הכללי.
הגדרה 8.4.1חוג Rנקרא ראשוני למחצה אם .rad(R) = 0
ברור שכל חוג ראשוני הוא∏ראשוני למחצה .אומרים שחוג Rהוא מכפלה תת־ישרה של
החוגים Sλאם יש שיכון ,R ,→ λ Sλכך שהטלת התמונה על כל רכיב בנפרד היא על.
הערה R 8.4.2הוא ראשוני למחצה אם ורק אם הוא מכפלה תת־ישרה של המנות הראשוניות
שלו.
80
פרק .8המבנה של חוגים ארטיניים
8.4.1
◦
.8.4חוגים ראשוניים למחצה
הרדיקל הוא נילי
למה 8.4.3בכל חוג rad(R) ,Rהוא אידיאל נילי.
הוכחה .זוהי מסקנה ,4.2.29הנכונה גם כשהחוג לא קומוטטיבי) .תמצית ההוכחה :אם aאינו נילפוטנטי,
קח Pמקסימלי ביחס לכך ש־ an ̸∈ Pלכל ;nאידיאל כזה הוא ראשוני משום שאם A, B ⊃ Pאז AB
נחתך עם Sולכן אינו מוכל ב־ .Pמכיוון ש־ a ̸∈ Pכאשר Pראשוני(.a ̸∈ rad(R) ,
בפרט ,חוג שאין לו אידיאלים ניליים הוא ראשוני למחצה.
8.4.2
ראשוני למחצה = אין אידיאלים נילפוטנטיים
תרגיל 8.4.4בחוג אין אידיאלים נילפוטנטיים אם ורק אם A2 = 0גורר ,A = 0אם ורק
אם xRx ̸= 0לכל .x ̸= 0הדרכה .אם xRx = 0אז .(RxR)2 = RxRxR = 0
למה 8.4.5תהי x1 , x2 , . . .סדרת אברים בחוג ,Rכך ש־ 0 ̸= xn+1 ∈ (Rxn R)2לכל .nאז
יש אידיאל ראשוני שאינו מכיל אף .xn
◦
הוכחה .כמו במסקנה :4.2.26יהי Pאידיאל מקסימלי ביחס לתכונה xi ̸∈ Pלכל ) iיש אידיאל כזה
כי 0מקיים את התנאי(; נניח ש־ ,A, B ⊃ Pאז מכיוון ש־ Rxi+1 R ⊆ Rxi Rלכל ,iקיים nכך
ש־ ,xn ∈ A, Bואז ,xn+1 ∈ xn Rxn ⊆ ARB = AB ⊆ Pבסתירה להנחה .לכן Pראשוני .
משפט 8.4.6חוג הוא ראשוני למחצה אם ורק אם אין לו אידיאלים נילפוטנטיים.
◦
הוכחה .ברור שכל אידיאל נילפוטנטי מוכל בכל אידיאל ראשוני ,ולכן ב־ .rad(A) = 0מצד שני נניח
שלכל x ̸= 0גם ,xRx ̸= 0ונראה שהחוג ראשוני למחצה .יהי .x0 ̸= 0נניח שבחרנו את ;xi ̸= 0לפי
ההנחה יש .0 ̸= xi+1 ∈ xi Rxiלפי למה ,8.4.5יש ראשוני Pכך ש־ ,x0 ̸∈ Pואז ).x0 ̸∈ rad(A
לכן .rad(R) = 0
תרגיל 8.4.7חוג הוא ראשוני למחצה אם ורק אם L2 ̸= 0לכל אידיאל שמאלי ≤ 0 ̸= L
.Rהדרכה .אם (Rx)2 = 0אז .(RxR)2 = RxRxR = (Rx)2 R = 0
תרגיל 8.4.8בחוג ראשוני למחצה ,אם ) AB = 0כאשר (B ≤ℓ R ,A ≤r Rאז .BA = 0
פתרון (BA)2 = BABA = 0 .לפי ההנחה ,ולכן .BA = 0
תרגיל 8.4.9בהמשך לתרגיל ,8.3.10נניח ש־ Rראשוני למחצה ,ויהי L = Reאידיאל
שמאלי מינימלי )כאשר eאידמפוטנט( .אז eRאידיאל ימני מינימלי.
8.4.3
חוג ראשוני למחצה ארטיני
הערה 8.4.10בטענה 5.3.3הראינו שלחוג ארטיני קומוטטיבי יש מספר סופי של אידיאלים
ראשוניים .טענה זו נכונה גם עבור חוגים לא קומוטטיביים .ההוכחה חלה במקרה הזה מלה
במלה ,פרט להחלפת טענה 5.1.9במסקנה :8.3.6
אחרת ,יהיו P1 , P2 , . . .אידיאלים ראשוניים שונים בחוג הארטיני .Rנסמן ∩ In = P1
,· · ·∩Pnאז · · · ⊆ I3 ⊆ I2 ⊆ I1היא שרשרת יורדת ,המוכרחה לעצור לפי הארטיניות .כלומר,
קיים nכך ש־ ,In = In+1היינו .P1 · · · Pn ⊆ P1 ∩· · ·∩Pn ⊆ P1 ∩· · ·∩Pn ∩Pn+1 ⊆ Pn+1
מכיוון ש־ Pn+1ראשוני ,יש i ≤ nכך ש־ ;Pi ⊆ Pn+1אבל לפי מסקנה Pi ,8.3.6מקסימלי ,כך
ש־ ,Pi = Pn+1בסתירה להנחה.
81
◦
פרק .8המבנה של חוגים ארטיניים
.8.5משפט הופקינס־לויצקי
המשפט החשוב הבא הוא גרסה לא קומוטטיבית של טענה .5.3.4
משפט 8.4.11התנאים הבאים שקולים:
◦
) R (1פשוט למחצה.
) R (2ראשוני למחצה ארטיני )שמאלי(.
) R (3הוא מכפלה ישרה של מספר סופי של חוגי מטריצות מעל חוגים עם חילוק.
הוכחה :(2) ⇐= (1) .נניח ש־ Rפשוט למחצה; לפי הערה ,7.2.27יש אידיאלים שמאליים מינימליים
L1 , . . . , Lnכך ש־ .R = L1 +· · ·+Lnמכאן ש־ ,ℓ(R) ≤ ℓ(L1 )+· · ·+ℓ(Lt ) = tכלומר Rבעל
אורך סופי ולכן ארטיני .נסמן ) ,Pi = Ann(Liאז Liהוא מודול פשוט ונאמן מעל .R/Piמכאן ש־ R/Pi
פרימיטיבי ,ולכן ראשוני .מאידך אם ) a ∈ ∩Pi = ∩Ann(Liאז ,a ∈ aR ⊆ aL1 + · · · + aLn = 0
ולכן :(3) ⇐= (2) .∩Pi = 0לפי טענה 8.4.10יש לחוג מספר סופי של אידיאלים ראשוניים .לכל
אידיאל ראשוני R/Pi ,Piהוא ארטיני ראשוני ,ולכן איזומורפי לחוג מטריצות מעל חוג עם חילוק ,ובפרט
∼ ,Rכנדרש.
הוא פשוט; כלומר Piמקסימלי .לפי משפט השאריות הסיני= R/P1 × · · · × R/Pt ,
טענה 8.1.12מוכיחה את ).(1) ⇐= (3
הערה 8.4.12תנאי ) (3במשפט 8.4.11הוא סימטרי להחלפת ימין־שמאל ,ולכן התנאים
המופיעים בו שקולים גם ל־
) R (1′הוא סכום האידיאלים הימניים המינימליים שלו.
) R (2′ארטיני ימני וראשוני למחצה.
בפרט ,עבור חוגים ראשוניים למחצה ,ארטיניות שמאלית שקולה לארטיניות ימנית .זה לא נכון
בדרך כלל ,ראה תרגיל .7.3.2
הערה 8.4.13בספרים אחדים מוגדר חוג פשוט למחצה כחוג שחיתוך האידיאלים המקסימליים
שלו הוא אפס; נאמר שזה "המובן החלש" של המונח .חוג הוא פשוט למחצה במובן שלנו ,אם
ורק אם הוא פשוט למחצה במובן החלש ,וארטיני.
8.4.4
◦
מהמקרה הכללי לחוג ראשוני למחצה
טענה 8.4.14לכל חוג ,Rהמנה ) R/rad(Rראשונית למחצה )כלומר .(rad(R/rad(R)) = 0
הוכחה .נסמן ) .N = rad(Rלכל אידיאל ראשוני P ▹Rמתקיים N ⊆ Pולכן P/N ▹R/Nהוא
ראשוני .לכן חיתוך כל האידיאלים הראשוניים של R/Nשווה לחיתוך כל האידיאלים הראשוניים של ,R
מודולו ,Nוהמנה הזו היא אפס.
◦
מסקנה 8.4.15יהי Rחוג ארטיני .אז ) R/rad(Rפשוט למחצה.
הוכחה .לפי טענה R/rad(R) 8.4.14ראשוני למחצה ,ולפי משפט ) 8.4.11ותרגיל R/rad(R) ,(1.3.14
פשוט למחצה.
82
פרק .8המבנה של חוגים ארטיניים
8.5
◦
.8.5משפט הופקינס־לויצקי
משפט הופקינס־לויצקי
טענה 8.5.1בחוג ארטיני ,Rכל אידיאל שמאלי נילי הוא נילפוטנטי) .השווה לטענה (.5.2.7
הוכחה .יהי Nאידיאל שמאלי נילי .מכיוון שהחוג ארטיני ,השרשרת היורדת · · · ⊇ N ⊇ N 2 ⊇ N 3
נעצרת ,וקיים tכך ש־ .N t+1 = N tנסמן ,N ′ = N tאז .N ′2 = N ′נניח בשלילה ש־ .N ′ ̸= 0לפי
הארטיניות קיים אידיאל שמאלי 0 ̸= L ⊆ Nשהוא מינימלי ביחס לתכונה .N ′ L = Lלכל a ∈ L
מתקיים ,N ′ (N ′ a) = N ′2 a = N ′ aאבל ;N ′ a ⊆ Lאם N ′ a ̸= 0אז לפי המינימליות ,L = N ′ a
ולכן .a ∈ L = N ′ aמכאן שקיים x ∈ N ′כך ש־ ,a = xaאבל xנילי ,ולכן 1 − xהפיך ו־,a = 0
בסתירה להנחה ש־ .N ′ a ̸= 0מכאן ש־ ,N ′ L = 0ואז ,L = 0בסתירה להנחה ש־.L ̸= 0
)גם בחוג נתרי ,כל אידיאל חד־צדדי נילי הוא נילפוטנטי .לא נוכיח זאת כאן(.
תרגיל 8.5.2מודול ארטיני אינו יכול להכיל סכום ישר אינסופי של תת־מודולים .הדרכה.
∑
∑
∑
אחרת · · · > i≥1 Ni > i≥2 Ni > i≥3 Niהיא שרשרת יורדת אינסופית.
מסקנה 8.5.3יהי Mמודול ארטיני פריק לחלוטין .אז ∞ < ) .ℓ(M
הוכחה .כתוב את ) M = soc(Mכסכום ישר של תת־מודולים פשוטים ,לפי טענה .7.2.9הסכום מוכרח
להיות סופי לפי תרגיל ,8.5.2ואז .ℓ(M ) = ℓ(N1 ) + · · · + ℓ(Nt ) = t
משפט ) 8.5.4משפט הופקינס־לויצקי( כל חוג ארטיני הוא נתרי.
הוכחה .יהי Rחוג ארטיני .נסמן ) .N = rad(Rלפי למה N ,8.4.3נילי ,ומכאן שהוא נילפוטנטי לפי
טענה .8.5.1נניח ש־ .N n = 0נסמן .N 0 = Rלכל N ,i ≥ 0מאפס את מודול המנה ,N i /N i+1
ולכן N i /N i+1הוא מודול מעל ,R/Nשהוא חוג פשוט למחצה לפי מסקנה .8.4.15לפי טענה 7.2.28
)כל מודול מעל חוג פשוט למחצה Rהוא פריק לחלוטין( ,נובע מכך שכל N i /N i+1הוא פריק לחלוטין .מכיוון ש־ N iארטיני
)כתת־מודול של ,(Rגם N i /N i+1ארטיני ולפי מסקנה 8.5.3האורך של N i /N i+1סופי .מכאן נובע
שגם ∞ < ) .ℓ(R) = ℓ(R/N ) + ℓ(N/N 2 ) + · · · + ℓ(N n−1 /N nמכיוון שהאורך של Rסופי,
הוא נתרי לפי טענה .1.3.8
8.6
הרדיקל של ג'ייקובסון
יהי Rחוג כלשהו .מגדירים את רדיקל ג'ייקובסון של החוג ,Jac(R) ,להיות החיתוך של כל
האידיאלים השמאליים המקסימליים .הרדיקל הזה מכיל את הרדיקל הראשוני ) ,rad(Rולא
מובטח שהוא נילי .עם זאת ,בכמה מקרים חשובים ) Jac(Rנילי ,ואף נילפוטנטי.
טענה 8.6.1התכונות הבאות שקולות )ומגדירות את Pכאידיאל פרימיטיבי(:
.1חוג המנה R/Pפרימיטיבי.
P .2מאפס מודול פשוט .R M
P .3הוא האידיאל הדו־צדדי המקסימלי המוכל באידיאל מקסימלי .L
83
◦
◦
פרק .8המבנה של חוגים ארטיניים
.8.6הרדיקל של ג'ייקובסון
הוכחה .אם Pמאפס מודול פשוט ,R Mאז Mמודול פשוט ונאמן מעל .R/Pבכיוון ההפוך ,נניח
ש־ R/Pפרימיטיבי ,אז יש מודול פשוט ונאמן .R/P Mלפי ההנחה ,המאפס של Mמעל R/Pהוא אפס,
ולכן המאפס שלו כמודול מעל Rשווה ל־ .Pאם N < Mתת־מודול ,אז ,P N ⊆ P M = 0ולכן N
מודול מעל ,R/Pאבל מכיוון ש־ Mפשוט כמודול מעל ,R/Pבהכרח .N = 0לכן Mפשוט מעל ,R
ו־ Pהמאפס שלו .השקילות של ) (2ו־) (3נובעת מתרגיל :8.2.8המאפס של מודול פשוט ,R/Lכאשר
L ≤ℓ Rאידיאל שמאלי מקסימלי ,הוא האידיאל הדו־צדדי המקסימלי המוכל ב־.L
מסקנה 8.6.2כל אידיאל מקסימלי הוא פרימיטיבי וכל אידיאל פרימיטיבי הוא ראשוני )בגלל
הטענה המקבילה על חוג המנה(.
טענה Jac(R) 8.6.3שווה לחיתוך האידיאלים הפרימיטיביים של .R
הוכחה .מחד ,כל אידיאל פרימיטיבי מוכל באיזשהו אידיאל שמאלי מקסימלי לפי טענה .8.6.1מאידך ,יהי
Pאידיאל פרימיטיבי ,אז הוא המאפס של איזשהו מודול M = R/Lעבור Lשמאלי מקסימלי ,ולכן
,Jac(R)M ⊆ LM = 0ומכאן ש־ .Jac(R) ⊆ Ann(M ) = P
מסקנה 8.6.4לכל חוג ,rad(R) ⊆ Jac(R) ,Rכי כל האידיאלים הפרימיטיביים משתתפים
בחיתוך היוצר את הרדיקל.
מסקנה 8.6.5בחוג ארטיני ,Jac(R) = rad(R) ,משום שכל אידיאל ראשוני הוא פרימיטיבי
לפי מסקנה .8.3.6
תרגיל 8.6.6לכל חוג .Jac(R/Jac(R)) = 0 ,R
כדי ללמוד את הסדרה היורדת של החזקות של ) ,Jac(Rנצטרך את הגרסה הבאה ללמה
של נקיימה )משפט .(2.2.3
תרגיל 8.6.7למודול נוצר סופית יש תת־מודול מקסימלי .הדרכה .נכתוב M = Rx1 +
· · ·+Rxnעבור nמינימלי .לפי הלמה של צורן קיים תת־מודול ,N ⊇ Rx1 +· · ·+Rxn−1שהוא
מקסימלי ביחס ל־ .xn ̸∈ Nברור ש־ N < Mתת־מודול מקסימלי .הערה .אם איננו יודעים
ש־ Mנוצר סופית ,ההוכחה נכשלת משום שאין דרך למנוע מהאיחוד של שרשרת תת־מודולים
אמיתיים להיות המודול כולו.
הגרסה הקומוטטיבית של הלמה של נקיימה )מסקנה (2.2.4קבעה שלכל מודול נוצר
סופית Mמעל חוג קומוטטיבי ,Rקיים אידיאל מקסימלי Aכך ש־ .AM ⊂ Mמכיוון
שבמקרה הקומוטטיבי אין הבדל בין אידיאל קומוטטיבי למקסימלי ,טענה זו שקולה לכך
ש־ .J(R)M ⊂ M
◦
למה ) 8.6.8הלמה של נקיימה ,המקרה הכללי( לכל מודול נוצר סופית ̸= 0
.J(R)M ⊂ M
RM
מתקיים
הוכחה .יהי N < Mתת־מודול מקסימלי )תרגיל ,(8.6.7אז M/Nפשוט ,ו־) P = Ann(M/N
פרימיטיבי .אבל P M ⊆ N ̸= Mלפי הגדרת ,Pולכן .J(R)M ⊆ P M ̸= M
טענה 8.6.9יהי Rחוג נתרי .אם השרשרת
)· · · ⊆ J(R)3 ⊆ J(R)2 ⊆ J(R
עוצרת ,אז היא עוצרת באפס ו־) J(Rנילפוטנטי.
הוכחה .נסמן ) .J = J(Rנניח ש־ .J n = J n+1לפי הנתריות Jנוצר סופית כמודול מעל ,Rולכן גם
J nנוצר סופית; אם J n ̸= 0אז ,J n+1 = JJ n < J n+1בסתירה להנחה .מכאן ש־.J n = 0
∩
השערת ג'ייקובסון ,שאם Rנתרי ימני ושמאלי אז , J(R)n = 0עודנה פתוחה.
84
.8.6הרדיקל של ג'ייקובסון
פרק .8המבנה של חוגים ארטיניים
8.6.1
המשפט העיקרי של ודרברן
8.6.2
חוגים פרימיטיביים למחצה
הגדרה 8.6.10חוג Rהוא פרימיטיבי למחצה אם .Jac(R) = 0
הערה 8.6.11חוג Rהוא פרימיטיבי למחצה אם ורק אם הוא מכפלה תת־ישרה של המנות
הפרימיטיביות שלו )השווה להערה :8.4.2חוג הוא ראשוני למחצה אם ורק אם הוא מכפלה
תת־ישרה של המנות הראשוניות שלו(.
טענה 8.6.12
.1כל חוג פרימיטיבי הוא פרימיטיבי למחצה.
.2כל חוג פשוט למחצה )אפילו במובן החלש של הערה (8.4.13הוא פרימיטיבי למחצה.
.3כל חוג פרימיטיבי למחצה הוא ראשוני למחצה.
הוכחה.
.1אידיאל האפס משתתף בחיתוך היוצר את ).Jac(R
.2לפי ההנחה חיתוך האידיאלים המקסימליים הוא אפס ,וכל אידיאל פרימיטיבי הוא מקסימלי.
.rad(R) ⊆ Jac(R) .3
כעת נוכל להרחיב את הדיאגרמה שהצגנו קודם לכן:
) = MUn (Dפשוט ארטיני
U UU UU
lll
U UUU U
lll
l
l
U UUU U
ll
l
l
&.
rz ll
∏
ארטיני
למחצה
) = ti=1 Mni (Diפשוט
עם שמאלי מינימלי
ראשוני
פשוט
UUUUU
RR R
UUUU
R RR
UUUUU
R RR R
UUUUU
R RR R
U &.
R %
פשוט למחצה )במובן החלש(
VVVפרימיטיבי
VVVV V
V VVV
VVVV V
V &.
VVVVראשוני
פרימיטיבי למחצה
VVVV V
V VVV
VVVV
V &.
ראשוני למחצה
תרגיל 8.6.13יהי Fשדה .הראה ש־] F [xראשוני ופרימיטיבי למחצה ,אבל לא פרימיטיבי.
תרגיל 8.6.14הצג בדיאגרמה את המחלקות המופיעות לעיל ,במקרה הקומוטטיבי.
85
פרק .8המבנה של חוגים ארטיניים
.8.6הרדיקל של ג'ייקובסון
86
פרק 9
הצגות של חבורות
9.1
אלגברת החבורה
הגדרה 9.1.1תהי Gחבורה ,ויהי Vמרחב וקטורי מעל שדה .Fהצגה של Gעל Vהיא הומומורפיזם
×) .G→Aut(V ) = End(Vהממד של Vנקרה ממד ההצגה .בחירת בסיס של Vמאפשרת לזהות
) ,Aut(V ) = GLn (Fואז מתקבלת הצגה באמצעות מטריצות .הצגה נאמנה אם היא חד־חד־ערכית.
כדי לחקור הצגות של חבורה נתונה ,נפרש אותן כמודולים מעל חוג מתאים.
פעולת
הגדרה 9.1.2אלגברת החבורה ] F [Gהיא המרחב הוקטורי ש־ Gהוא בסיס שלו מעל
∑ ,Fעם ∑
′
α
g
·
המומשכת על־ידי אסוציאטיביות.
הכפל של החבורה,
g∈G g
כלומרg ′ ∈G bg ′ g = ,
∑
∑
. g′′ ∈G ( gg′ =g′′ αg bg′ )g ′′
תרגיל 9.1.3הסק ממשפט קיילי שלכל חבורה סופית יש הצגה נאמנה מממד סופי.
)ההצגה המתקבלת ρ : G→End(F [G]) ,לפי ,ρ(g)(x) = gxנקראת ההצגה הרגולרית
של (.G
תרגיל 9.1.4הראה שאלגברת החבורה ] F [Zהיא חוג הפולינומים ] .F [t, t−1
אפשר להמשיך להומומורפיזם של אלגברות
∑ ρ : G→GL
הערה 9.1.5כל הצגה ) ∑ n (F
ˆ .גם להיפך ,כל הומומורפיזם של אלגברות
= )ρ( αg g
ˆ ,לפי )αg ρ(g
) ρ : F [G]→Mn (F
ˆ,
ˆ)ρ(g
) F [G]→Mn (Fמשרה הומומורפיזם של חבורות ) ρ(g −1 ) = ρˆ(1) = 1) G→GLn (F
ולכן ) ρˆ(gהיא מטריצה הפיכה לכל .(g ∈ G
טענה 9.1.6יש התאמה בין הצגות של Gעל המרחב הוקטורי ,F nהומומורפיזמים של חוגים
) ,F [G]→End(F nומודולים מעל ] F [Gבעלי ממד nכמרחבים וקטוריים מעל ) Fזוהי חזרה
על טענה (.7.3.3
הערה 9.1.7מודול מעל ] F [Gשהוא נוצר סופית מעל ,Fנוצר סופית גם מעל ]) F [Gעל־ידי
אותו בסיס( .לחבורה אינסופית יכולות להיות הצגות נוצרות סופית מממד אינסופי ,אבל כאשר
Gסופית כל הצגה נוצרת סופית היא מממד סופי.
הגדרה 9.1.8נניח ש־) ρ : G→GLn (Fהצגה ,ו־) a ∈ GLn (Fאיבר קבוע .אז ) γa ◦ρ : G→GLn (F
המוגדרת לפי (γa ◦ ρ)(g) = aρ(g)a−1היא הצגה צמודה ל־ .ρשתי הצגות ρ, ρ′נקראות צמודות אם
ρ′ = γa ◦ ρלאיזשהו ) ) a ∈ GLn (Fזהו יחס שקילות(.
87
פרק .9הצגות של חבורות
.9.2הצגות אי־פריקות ואי־פרידות
תרגיל 9.1.9שתי הצגות הן שקולות אם ורק אם המודולים המתאימים להן איזומורפיים
זה לזה.
לחבורה הדיהדרלית ⟩ ⟨x, y | x2 = y 2 = (xy)4 = 1יש ההצגה →x 7
(
)9.1.10
תרגיל (
)
0
1
0
i
−i 0ו־ .y 7→ 1 0הראה שהצגה זו צמודה להצגה המוגדרת מעל .Q
9.2
הצגות אי־פריקות ואי־פרידות
משתי הצגות אפשר לבנות בקלות הצגה חדשה:
הגדרה 9.2.1נניח ש־) ρ1 : G→Aut(V1ו־) ρ2 : G→Aut(V2הן שתי הצגות של חבורה .Gהסכום
,g 7→ Aut(Vהמוגדרת לפי ) ;ρ(g)(v1 , v2 ) = (ρ1 (g)v1 , ρ2 (g)v2
הישר ρ1 ⊕ρ2הוא)ההצגה ) ( 1 ⊕V2
בכתיב מטריצות.g 7→ ρ10(g) ρ 0(g) ,
2
הסכום הישר של ההצגות ,ρ1 ⊕ ρ2 ,מתאים לסכום הישר של המודולים .V1 ⊕ V2מודול
שאפשר לפרק לסכום ישר של תת־מודולים נקרא מודול פריד ) .(decomposableההצגה
המתאימה למודול כזה נקראת הצגה פרידה.
נתבונן כעת במקרה כללי יותר .נניח שמודול ההצגה Vאינו פשוט ,ויש לו תת־מודול
.U ≤ Vבמקרה זה V /Uגם הוא מודול ,ולכן ההצגה ) ρG→Aut(Vמגדירה הצגות
( בסיס של Uוהשלמתו לבסיס של Vמאפשרת
.G→Aut(Vבחירת
) G→Aut(Uו־) /U
)
לכתוב בכתיב מטריצות .g 7→ ρ10(g) ρ ∗(g) ,במקרה כזה ההצגה פריקה ).(reducible
2
הגדרה 9.2.2הצגה נקראת אי־פריקה אם היא אינה פריקה )המודול המתאים הוא פשוט(; ואי־פרידה אם
היא אינה פרידה )המודול המתאים אינו ניתן להפרדה לסכום ישר של תת־מודולים(.
כל מודול פריד הוא פריק ,כלומר ,כל מודול אי־פריק הוא אי־פריד .ההיפך אינו בהכרח
נכון :יתכן שמודול יהיה פריק אבל אי־פריד.
כל מודול של הצגה מממד סופי הוא נוצר סופית ,ולכן בעל אורך סופי וסדרת הרכב
מתאימה .במלים אחרות ,כל הצגה ניתן לפירוק עם מרכיבים אי־פריקים .הבעיה היא
שממרכיבים אי־פריקים קשה לבנות את ההצגה בחזרה )משום שמתת־המודול ומודול המנה
אי אפשר לשחזר את המודול עצמו( :חסר המידע על המרכיב הנוסף שמעל לאלכסון ,המסומן
לעיל ב־∗ .למרבה המזל ,לפעמים הבעיה הזו נפתרת מעצמה:
◦
הערה 9.2.3מעל חוג פשוט למחצה ,כל מודול אי־פריד הוא אי־פריק )כך שהמושגים מתלכדים(:
אם U ≤ Vאז יש משלים ,V = U ⊕ U ′והמודול פריד.
בסעיף הבא נראה שבמקרים רבים הערה 9.2.3חלה על אלגברת החבורה ].F [G
9.3
משפט משקה
9.3.1
אידיאל האוגמנטציה
הגדרה 9.3.1ההצגה הטריוויאלית של חבורה Gהיא ההומומורפיזם × .g 7→ 1 ∈ GL1 (F ) = F
88
.9.3משפט משקה
פרק .9הצגות של חבורות
הגדרה 9.3.2אידיאל האוגמנטציה של אלגברת חבורה ] F [Gהוא הגרעין IGשל ההטלה F [G]→F
שמשרה ההצגה הטריוויאלית.
∑
∑
טענה 9.3.3האיבר ] g αg g ∈ F [Gשייך ל־ IGאם ורק אם . αg = 0
∑
תרגיל ) IG = g∈G F (g − 1) 9.3.4ובפרט .(dim(IG ) = |G| − 1אם ⟩ G = ⟨g1 , . . . , gt
אז IGנוצר ,כאידיאל ,על־ידי .g1 − 1, . . . , gt − 1
תרגיל 9.3.5תהי N ▹Gתת־חבורה נורמלית; אז יש הטלה ] θN : F [G]→F [G/N
המוגדרת לפי .g 7→ gNהראה ש־ ,Ker(θ) = INכאשר ] IN ▹F [Gהוא האידיאל
∑
הנוצר על־ידי האברים .n ∈ N ,n − 1הדרכה .התנאי לכך ש־ θ( αg g) = 0הוא שלכל
◦
∑
. x∈N αg′ x x = 0 ,g ′ ∈ G
9.3.2
המקרה המודולרי
לפני שנציג את המשפט הבסיסי של תורת ההצגות ,נתבונן במקרה המודולרי ,שבו Gהיא
חבורת־ pו־.charF = p
טענה 9.3.6אם Gחבורת־ pסופית ומאפיין השדה הוא ,pאז אידיאל האוגמנטציה נילפוטנטי.
הוכחה .אם G = 1אין מה להוכיח כי .IG = 0נניח ש־ Gאינה טריוויאלית ,ויהי xאיבר מסדר pבמרכז
∼ ⟩ ,F [G]/⟨x − 1כאשר ⟩ IG /⟨x − 1עובר
של ;Gנסמן ⟩ .Z = ⟨xלפי תרגיל = F [G/Z] ,9.3.5
n
n
n
אל .IG/Zעל־פי הנחת האינדוקציה יש nכך ש־ ,(IG /⟨x − 1⟩) = IG/Z = 0ואז ⟩.IG ⊆ ⟨x − 1
אבל ,(x − 1)p = xp − 1 = 0ולכן .IGnp ⊆ ⟨x − 1⟩p = 0
תרגיל 9.3.7תהי Gחבורת־ pאבלית כלשהי )לאו דווקא סופית( .הראה ש־ IGנילי.
∑
הדרכה .כל x ∈ IGאפשר לכתוב כסכום סופי ) , αg (g − 1וקיים qכך ש־ g q = 1לכל
gהמשתתף בסכום .מכיוון ש־ Gאבלית אפשר להפעיל את אוטומורפיזם פרובניוס ולקבל
∑
∑ q q
= .xq = αgq (g − 1)q
αg (g − 1) = 0
9.3.3
משפט משקה
משפט ) 9.3.8משפט משקה( תהי Gחבורה סופית מסדר זר למאפיין של ,Fאז ] F [Gפשוט למחצה.
מודול Mיש משלים .נבחר הטלה כלשהי
הוכחה .לפי משפט ,7.2.24די להוכיח שלכל תת־מודול
N −1של∑
1
′
π : M →Nשל מרחבים וקטוריים ,ונגדיר ) .π (x) = |G| g∈G g π(gxזהו הומומורפיזם של
G־מודולים לפי חישוב; תמונתו היא Nוהוא שווה לזהות על .Nלכן ) .M = N ⊕ ker(π ′
הערה 9.3.9הגרסה הבאה של משפט משקה נכונה גם כאשר Gאינסופית :אם charF = 0
אז ל־] F [Gאין אידיאלים ניליים.
מסקנה מכרעת אחת היא שעכשיו אפשר ליישם את טענה :7.2.28בתנאי משפט משקה,
כל מודול מעל ] F [Gהוא פריק לחלוטין .הוכחנו מסקנה חשובה:
מסקנה ) 9.3.10במאפיין זר ל־| (|Gכל הצגה של Gמתפרקת באופן יחיד לסכום של הצגות
אי־פריקות.
לפי משפט ,8.4.11הוכחנו:
89
◦
פרק .9הצגות של חבורות
.9.4ההצגות האי־פריקות של חבורה סופית
מסקנה 9.3.11תהי Gחבורה סופית ,ו־ Fשדה ממאפיין זר ל־| .|Gאז יש פירוק
∼ ] ,F [Gכאשר Diהן אלגברות עם חילוק שהמרכז שלהן מכיל
) = Mn1 (D1 ) ⊕ · · · ⊕ Mnt (Dt
את .F
הגדרה 9.3.12אם ] F [Gאיזומורפי לסכום ישר של אלגברות מטריצות מעל ,Fאומרים ש־ Fמפצל את
) Gאו ש־ Gמתפצלת מעל .(F
אם שדה Fמפצל את ,Gאז כל שדה המכיל את Fמפצל גם הוא .לפי הערה C ,8.1.3
מפצל כל חבורה סופית .אחת התוצאות הראשונות בקומבינטוריקה אלגברית קובעת ש־ Sn
מתפצלת כבר מעל ,Qולכן מעל כל שדה ממאפיין אפס.
גרסה חלשה ,ללא מודולים משלימים
נוכיח גרסה חלשה למשפט משקה ,ללא צורך במשפט 7.2.24על מודולים פריקים לחלוטין.
הגדרה 9.3.13יהי Rחוג .אינוולוציה של Rהיא פונקציה אדיטיבית ∗ x 7→ xהמקיימת x∗∗ = x
ו־ ∗.(xy)∗ = y ∗ x
תרגיל 9.3.14אינוולוציה היא איזומורפיזם .R→Rop
תהי Gחבורה כלשהי.
∑
∑
∗
−1
על אלגברת החבורה ] C[Gמוגדרת אינוולוציה לפי .( αg g) = α¯g g
◦
למה 9.3.15אם ] a ∈ C[Gמקיים aa∗ = 0אז .a = 0
∑
∑
∑ ∑
= ,aונחשב:
הוכחה .נכתוב αg g
= ∗ ,aaולכן המקדם
∑ αg g α¯h h−1 = x ( h αxh α¯h )x
של 1במכפלה ∗ aaשווה ל־ ; |αh |2אם זה שווה לאפס אז כל αh = 0ולכן .a = 0
◦
טענה 9.3.16לכל חבורה C[G] ,Gראשוני למחצה.
הוכחה .לפי טענה 8.4.6מספיק להראות שאם ] A▹C[Gמקיים ,A2 = 0אז .A = 0יהי ,a ∈ Aאז
;(aa∗ )(aa∗ )∗ = (aa∗ )2 ∈ A2 = 0לפי למה ,aa∗ = 0 9.3.15ומאותה סיבה .a = 0
משפט ) 9.3.17גרסה חלשה של משפט משקה( יהי F ⊆ Cתת־שדה כלשהו ,אז לכל חבורה F [G] ,G
ראשוני למחצה.
הוכחה .כמו בטענה ,9.3.16נניח ש־] A▹F [Gמקיים ,A2 = 0אז ] CA▹C[Gומקיים = (CA)2
;CA2 = 0לפי הטענה נובע מזה ש־.A ⊆ CA = 0
מסקנה 9.3.18יהי F ⊆ Cתת־שדה כלשהו .לכל חבורה סופית F [G] ,Gפשוט למחצה.
הוכחה .לפי משפט ,8.4.11משום ש־] F [Gארטיני.
90
.9.4ההצגות האי־פריקות של חבורה סופית
פרק .9הצגות של חבורות
9.4
ההצגות האי־פריקות של חבורה סופית
9.4.1
מודולים מעל מכפלה ישרה
הלמה הבאה מתארת את תורת המודולים של חוג שהוא מכפלה ישרה של חוגים.
◦
למה 9.4.1יהי R = R1 ×· · ·×Rtמכפלה של חוגים .Riנכתוב )ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0
∼ .Ri
ו־ ,Ri′ = ei R = Reiכך ש־ ei ej = δij ei ,e1 + · · · + et = 1ו־ = Ri′
.1יהי Mמודול מעל .Rאז Mi = ei Mהם תת־מודולים ,ו־ .M = ⊕Mi
.2תת־קבוצה של Mjהיא תת־מודול מעל Rאם ורק אם היא תת־מודול מעל .Rj′
.3תת־מודול של Mהוא פשוט אם ורק אם הוא תת־מודול פשוט של אחד ה־ .Mj
soc(Mi ) .4
∑
= ) .soc(M
.5כל הומומורפיזם φ : M →Nשל מודולים מעל Rמשרה הומומורפיזמים φi : Mi →Ni
לפי ) φ ;φi (ei x) = ei φ(xחד־חד־ערכי אם ורק אם כל φiהוא חד־חד־ערכי ,ועל אם
ורק אם כל φiהוא על.
∼ Miלכל .i
∼ Mאם ורק אם = Ni
= N .6
∑
∑
∑ישר ,נניח
שמדובר בסכום
להראות
כדי
.M
=
(
e
)M
⊆
∑ש־ (ei M ) ⊆ M
.1ברור
הוכחה.
i
∑
ש־ xi = 0כאשר ;xi ∈ ei Mאז ej xi = δij xiולכן לכל 0 = ej i xi = ej xi = ,j
.ej xj = xj
⊆ ,ej N∑= ej RNובכיוון ההפוך אם
.2אם N ⊆ ej Mו־ RN ⊆ Nאז בוודאי גם ∑ ej N
ej N ⊆ Nאז .RN = i Rei N = i Rei ej N = Rej N = ej N ⊆ N
∑
.3אם N ≤ Mפשוט אז N = ei Nורק אחד המרכיבים שונה מאפס ,לכן N = ej Nלאיזשהו
,jוהוא פשוט כי כל תת־מודול הוא גם תת־מודול של .N
.4לפי סעיף .3
φi .5הומומורפיזם כי = )φi (xei v) = φi (ei xv) = ei φ(xv) = ei xφ(v) = xei φ(v
) .xφi (vאם φחד־חד־ערכי ו־ φi (ei v) = 0אז ) 0 = φi (ei v) = ei φ(v) = φ(ei vולכן
;ei v = 0הכיוון ההפוך מיידי .באותו אופן φעל אם ורק אם כל φiכזה.
.6לפי סעיף .5
תרגיל 9.4.2הוכח ,ישירות ,שהאידיאלים F × 0ו־ 0 × Fשל F × Fאינם איזומורפיים
כמודולים.
91
.9.4ההצגות האי־פריקות של חבורה סופית
9.4.2
פרק .9הצגות של חבורות
מספר ההצגות
תהי Gחבורה סופית ,ויהי Fשדה המפצל את .Gנכתוב ) ,F [G] = Mn1 (F )×· · ·×Mnt (F
ונסמן ב־) Si = Mni (Fאת המרכיב ה־.i
הערה 9.4.3מהשוואת מימדים מקבלים מיד .|G| = n21 + · · · + n2t
תרגיל 9.4.4ל־) Mn (Fיש מודול פשוט אחד עד כדי איזומורפיים ,והוא המרחב הוקטורי
F nעם הפעולה הטבעית .חוג המטריצות ,כמודול מעל עצמו ,איזומורפי לסכום ישר
של nעותקים של המודול הפשוט.
לפי למה ,9.4.1המודולים של ] F [Gמתוארים על־ידי המודולים של המרכיבים .Siנסמן
ב־ Vi = F niאת המודול הפשוט של ) ;Si = Mni (Fפעולת Siעל המודול היא לפי כפל
מטריצה בווקטור .ההטלה ρi : F [G]→Siשולחת כל איבר g ∈ Gלמטריצה בגודל ,ni × ni
והיא ההצגה המאתימה למודול .Vi
מסקנה 9.4.5ל־] F [Gיש בדיוק tמודולים עד־כדי איזומורפיזם.
מסקנה 9.4.6כל מודול מעל ] F [Gאפשר לפרק לסכום ישר )לאו דווקא סופי( של מרכיבים
שכל אחד מהם איזומורפי לאחד ה־ .Vi
) (n1
) (nt
V1 ⊕ · · · ⊕ Vtכאשר niסופיים.
מודול נוצר סופית איזומורפי למודול מהצורה
הערה ,F [G] 9.4.7כמודול מעל עצמו ,איזומורפי לסכום ישר של niעותקים של i = ,Vi
.1, . . . , tבפרט ,כל מודול אי־פריק הוא תת־מודול של ].F [G
תרגיל t ,Z(F [G]) = F × · · · × F 9.4.8עותקים ,ולכן מספר ההצגות האי־פריקות של
Gהוא המימד ] .[Z(F [G]) : Fהדרכה .המרכז של מכפלה ישרה של חוגים שווה למכפלת
המרכזים ,והמרכז של אלגברת מטריצות מעל שדה שווה לשדה עצמו.
מאידך ,את המרכז של ] F [Gאפשר לחשב ישירות .לכל מחלקת צמידות ,C ⊆ Gנסמן
∑
.Cˆ = g∈C g
◦
טענה 9.4.9המרכז של ] F [Gנפרש ,כמרחב וקטורי ,על־ידי האברים ˆ.C
∑
אם ורק אם αg = αg′לכל g, g ′צמודים בחבורה .אכן,
הוכחה .ראשיתαg g ∈ Z(F [G]) ,
∑ עם כל ,x ∈ Gוזה קורה אם ורק אם
החבורה אם ורק אם הוא מתחלף
איבר aהוא
∑מרכזי−1באלגברת ∑
−1
−1
= αg g = a = xaxלכל ,xאם ורק אם αg = αx gxלכל
= ) αg (xgx
αx−1 gx g
.x, g ∈ Gלכן ˆ Cהם מרכזיים ,וכל איבר מרכזי הוא צירוף לינארי שלהם.
מסקנה 9.4.10מכיוון שהאברים ˆ ,Cעל־פני מחלקות הצמידות השונות ,הם בלתי תלויים מעל
[Z(F [G]) : F ] ,Fשווה למספר מחלקות הצמידות של .G
◦
מסקנה 9.4.11מספר המרכיבים tבפירוק של ] F [Gלרכיבי מטריצות שווה למספר ההצגות
האי־פריקות השונות של ,Gושווה למספר מחלקות הצמידות של החבורה.
92
◦
פרק .9הצגות של חבורות
9.4.3
.9.5קרקטרים
הצגות חד־ממדיות והשראה מחבורת מנה
מסקנה ,9.4.11יחד עם הערה ,9.4.3מאפשרות למצוא את ממדי ההצגות האי־פריקות של
חבורות קטנות.
דוגמא 9.4.12תהי Gחבורה אבלית .אז יש לה | |Gמחלקות צמידות ,ולכן גם | |Gהצגות
אי־פריקות ,שכולן חד־ממדיות .אכן F [G] = F × · · · × F ,כי רכיבי מטריצות גדולים יותר
אינם אבליים.
◦
תרגיל 9.4.13תהי Gחבורה עם תת־חבורה נורמלית .N ▹Gכל הצגה של G/N
משרה הצגה של ,Gעל־ידי הרכבה עם פונקציית ההטלה .אומרים שהצגה כזו
מתפצלת דרך .G/Nהצגה אי־פריקה של G/Nמשרה הצגה אי־פריקה של .G
טענה 9.4.14מספר ההצגות מממד 1של Gשווה לסדר של האבליניזציה .G/G′
דוגמא 9.4.15לחבורה הסימטרית S3יש שלוש מחלקות צמידות ,ולכן ממדי ההצגות האי־
פריקות הם ;6 = 12 + 12 + 22כלומר ,יש לחבורה שתי הצגות חד־ממדיות ,ועוד הצגה
( לנחש :זו
החד־ממדיות קל
דו־ממדית )וכל הצגה אי־פריקה היא סכום של אלו( .את ההצגות
)
1
,(12) 7→ −1
ההצגה הטריוויאלית ) ,g 7→ (1והצגת הסימן )) .g 7→ (sgn(gהוכח ש־ 0 1
(
)
1
0
(23) 7→ 1 −1מגדיר הצגה דו־ממדית אי־פריקה.
◦
תרגיל 9.4.16הראה שלחבורה הסימטרית S4יש חמש הצגות אי־פריקות :שתיים ממד
∼ .S4 /K
,1שתיים מממד ,3ושתיים מממד .2הדרכה .העזר במנה = S3
הערה 9.4.17חבורת האוטומורפיזמים של Gפועלת על ההצגות האי־פריקות :אם ∈ π
) ,Aut(Gאז לכל הצגה ρגם ρ ◦ πהיא הצגה .אבל אם πאוטומורפיזם פנימי אז ההצגות
צמודות ,ולכן חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים ) Out(G) = Aut(G)/Inn(Gפועלת על
מחלקות האיזומורפיזם של ההצגות האי־פריקות.
◦
9.5קרקטרים
9.5.1
יחסי שור
∼ ] F [Gהפירוק של אלגברת החבורה של חבורה סופית Gמעל שדה
יהי = S1 × · · · × St
המפצל אותו ,F ,למכפלה ישרה של מרכיבים פשוטים ) .Si = Mni (Fההצגות האי־פריקות
של Gמושרות על־ידי ההטלות ) ,ρi : F [G]→Mni (Fומתאימות למודולים האי־פריקים
) .Vi = F (niכל Viהוא מודול מעל ] F [Gלפי .g · v = ρi (g)vאפשר להניח שההצגה
הראשונה היא ההצגה הטריוויאלית ρ1 (g) = 1 ,לכל .g
למה 9.5.1תהי ) A ∈ Mnv ×nu (Fמטריצה כלשהי .אז ) ρv (g)Aρu (g −1
הומומורפיזם של מודולים .η(A) : Vu →Vv
93
∑
g
= ) η(Aמגדיר
◦
פרק .9הצגות של חבורות
.9.5קרקטרים
הוכחה .נבחין ש־) ρv (g) ∈ Mnv (Fו־) ,ρu (g) ∈ Mnu (Fכך ש־) .η(A) ∈ Mnv ×nu (Fלכל
h ∈ Gולכל x ∈ Vuמתקיים
∑
= η(A)(h · x) = η(A)ρu (h)x
ρv (g)Aρu (g −1 h)x
g
ρv (hg)Aρu (g −1 )x = ρv (h)η(A)x = h · η(A)x.
∑
=
g
◦
מסקנה 9.5.2לכל מטריצה ,Aאם u ̸= vאז ,η(A) = 0ואם u = vאז ) η(Aסקלרית.
הוכחה .כאשר η(A) : Vu →Vv ,u ̸= vהוא הומומורפיזם של מודולים פשוטים שאינם איזומורפיים.
כאשר η(A) : Vu →Vu ,u = vהומומורפיזם ,כלומר לכל ) s ∈ Mnu (Fולכל x ∈ Vuמתקיים
,η(A)(sx) = sη(A)xכלומר ) η(A)s = sη(Aו־)) .η(A) ∈ Z(Mnu (F
כדי שלא לסרבל את הסימון עבור רכיבים של מטריצות ההצגה ,נסמן ) ρ(uבמקום .ρu
משפט ) 9.5.3שור( לכל u, v = 1, . . . , tולכל 1 ≤ i, j ≤ nuו־ 1 ≤ k, ℓ ≤ nvמתקיים
)∑ (u
||G
)(v
ρij (g)ρkℓ (g −1 ) = δuv δjk δiℓ
.
nu
g∈G
הוכחה .נתבונן במטריצה ) ,A = ejk ∈ Mnu ×nv (Fונחשב:
∑
= ) η(A) = η(ejk
) ρ(u) (g)ejk ρ(v) (g −1
g
) ρij ′ (g)eij ′ ejk ek′ ℓ ρk′ ℓ (g −1
)(u
)(v
∑ ∑
i,j ′ ,k′ ,ℓ
)
ρij (g)ρkℓ (g −1 ) eiℓ ,
)(v
)(u
g
(
∑ ∑
g
=
=
i,ℓ
)∑ (u
)(v
כלומר ) .η(A)iℓ = g ρij (g)ρkℓ (g −1כאשר η(A) = 0 ,u ̸= vלפי מסקנה ,9.5.2ואז מתקבלת
הזהות המבוקשת מהשוואת מקדמים .כאשר ,u = vלפי המסקנה יש קבוע γ ∈ Fכך ש־,η(A)iℓ = δiℓ γ
וסיימנו כמקודם אם .i ̸= ℓנשאר המקרה .i = ℓנסכם את אברי האלכסון של ):η(A
∑
= ))nu γ = tr(η(A
η(A)ii
i
)(u
)(u
) ρij (g)ρki (g −1
∑∑
g
)ρki (g −1 )ρij (g
)(u
)(u
i
∑∑
i
∑
)
= ρ(u) (g −1 )ρ(u) (g) kj
δkj = δkj |G|,
=
=
g
(∑
=
g
g
| ,η(A)ii = δkj |Gכדרוש.
כלומר
nu
94
.9.5קרקטרים
פרק .9הצגות של חבורות
9.5.2קרקטרים
תהי ) ρ : G→GLn (Fהצגה .נסמן )) ;χ(g) = tr(ρ(gזוהי פונקציה χ : G→Cהנקראת
הקרקטר של ההצגה ) .(character of the representationלמרות שהיא אינה כפלית )אין
קשר פשוט בין העקבה של ABלעקבות של ,(A, Bהקרקטר נושא אינפורמציה חשובה על
ההצגה ,וכפי שנראה בהמשך ,אפשר לפתח את תורת ההצגות במידה רבה דרך הקרקטרים,
בלי להתייחס להצגות באופן ישיר.
תפקידם המרכזי של הקרקטרים נעוץ בהבחנה הבאה:
הערה 9.5.4אם ρ, ρ′הצגות שקולות ,אז יש להן אותו קרקטר )משום שהעקבה אינה משתנה
בהצמדה(.
הערה ) χρ⊕ρ′ = χρ + χρ′ 9.5.5משום שעקבה של מטריצת בלוקים היא סכום העקבות של
הבלוקים(.
אומרים שקרקטר הוא אי־פריק אם הוא מתאים להצגה אי־פריקה .ממד ההצגה נקרא
גם הממד של הקרקטר.
טענה 9.5.6יש tקרקטרים אי־פריקים ,וכל קרקטר הוא צירוף לינארי שלהם ,עם מקדמים
טבעיים.
הוכחה .הקרקטרים האי־פריקים הם אלו המתאימים להצגות האי־פריקות .כל הצגה ρאפשר לפרק לסכום
ישר של הצגות אי־פריקות לפי מסקנה ,9.3.10ואז χρהוא סכום הקרקטרים המתאימים.
9.5.3
אורתוגונליות הקרקטרים
מיחסי שור אפשר להסיק יחסים שימושיים ביותר ,המנוסחים בשפה של הקרקטרים .נזכיר
)∑ (u
ש־) .χu (g) = i ρii (gאם ניקח j = iו־ ℓ = kביחסי שור )משפט ,(9.5.3נקבל
||G
,
nu
ρii (g)ρkk (g −1 ) = δuv δik
)(v
)(u
∑
g∈G
ואם נסכם לכל iולכל kנקבל
(
()
)
)∑ ∑ (u
)∑ (v
∑
= ) χu (g)χv (g −1
)ρii (g
) ρkk (g −1
k
i
||G
= δuv |G|.
nu
g∈G
δuv
∑
g∈G
=
i
מסקנה 9.5.7לכל שני קרקטרים אי־פריקים ,χu , χvמתקיים יחס שור הראשון
)(9.1
∑ 1
χu (g)χv (g −1 ) = δuv .
|G| g∈G
95
◦
.9.5קרקטרים
9.5.4
פרק .9הצגות של חבורות
הערכים של קרקטר
הערה 9.5.8יהי χקרקטר המתאים להצגה .ρלכל ρ(g)N = ρ(g N ) = 1 ,g ∈ Gכאשר
| ,N = |Gולכן הערכים העצמיים של ) ρ(gהם שורשי יחידה .הערך ) χ(gהוא סכום הערכים
העצמיים של ) ,ρ(gולכן הוא שלם אלגברי ,השייך לחוג ] ,Z[ωNכאשר ωNהוא שורש יחידה
פרימיטיבי מסדר .N
◦
תרגיל 9.5.9כל מטריצה ) A ∈ Mn (Cהמקיימת שוויון מהצורה AN = 1היא לכסינה.
הדרכה .התבונן בצורת ז'ורדן של .A
◦
הערה 9.5.10לכל קרקטר ממימד ,|χ(g)| ≤ n ,nעם שוויון אם ורק אם ) ρ(gסקלרית.
הוכחה .הטענה הראשונה נובעת מכך ש־) χ(gהוא סכום של nשורשי יחידה; אם יש שוויון אז כל המחוברים
האלה שווים לשורש יחידה ,ωוזהו הערך העצמי היחיד של ) .ρ(gלפי תרגיל .ρ(g) = ωI ,9.5.9
9.5.5
הקרקטר הצמוד
יהי χקרקטר המתאים להצגה .ρ
טענה 9.5.11לכל .χ(g −1 ) = χ(g) ,g ∈ G
הוכחה χρ (g) .הוא סכום הערכים העצמיים של ) ,ρ(gשהם הפוכים לערכים העצמיים של = ) ρ(g −1
,ω −1 = ωולכן )).tr(ρ(g −1 )) = tr(ρ(g
;ρ(g)−1אלא ששורשי יחידה מקיימים ¯
הגדרה 9.5.12תהי ) ρ : G→GLn (Fהצגה .ההצגה הצמודה היא ההצגה מאותו ממד המוגדרת לפי
t
).χ(g
¯
) .ρ∗ (g) = ρ(g −1את העקבה שלה מסמנים ))= tr(ρ∗ (g
).χ(g
¯
טענה 9.5.13לכל = χ(g) ,g ∈ G
).χ(g
¯
הוכחה= tr(ρ∗ (g)) = tr(ρ(g −1 )) = χ(g −1 ) = χ(g) .
שוויון זה מאפשר לנסח מחדש את יחס שור הראשון:
∑ 1
χu (g)χv (g) = δuv .
)(9.2
|G| g∈G
◦
הערה 9.5.14ההצמדה פועלת על קבוצת ההצגות האי־פריקות ,בדומה לפעולה של )Out(G
מהערה .9.5.14
9.5.6
המכפלה הפנימית
1
δ
|G| gh
כעת מתבקש להגדיר מכפלה פנימית על ] ,F [Gלפי
⟩
∑
∑ 1
ag g,
= bh h
ag bg .
||G
g
h
= ⟩ ,⟨g, hכלומר
⟨
∑
g
עד כדי כפל בסקלר ,זוהי המכפלה הפנימית הסטנדרטית של המרחב הוקטורי
∼ ] F [Gהמוכל ב־ | .C|Gנזכיר שהמכפלה הפנימית היא תבנית
∼ } = {f : G→F
|= F |G
סמי־ליניארית ,כלומר ⟨b, a⟩ = ⟨a, b⟩ ,ולכל α ∈ Fמתקיים ⟩ ⟨αa, b⟩ = α⟨a, bו־
.⟨a, αb⟩ = α
⟩¯ ⟨a, b
96
פרק .9הצגות של חבורות
9.5.7
.9.5קרקטרים
בסיס הקרקטרים
∑
לכל קרקטר אי־פריק ,χנסמן χ(g)g
מיחס שור הראשון מתקבל השוויון
⟨
∑∑ ⟩
∑ 1
= ⟩χ(g)χ′ (h)⟨g, h
χ,
= ˆ χˆ′
χ(g)χ′ (g) = δχ,χ′ .
||G
g
g
h
g∈G
מסקנה 9.5.15האברים χ(g)g
אורתונורמלית.
∑
g
= ˆ.χ
= ˆ ,χעבור הקרקטרים האי־פריקים ,מהווים קבוצה
בפרט,
מסקנה 9.5.16האברים ˆ χהשייכים להצגות אי־פריקות שונות הם שונים זה מזה.
כלומר ,כפי שההצגה מגדירה את הקרקטר ,הקרקטר )בינתיים ,האי־פריק( קובע את ההצגה.
χשייך למרכז של אלגברת החבורה .הדרכה.
תרגיל 9.5.17לכל קרקטר ,χהאיבר ˆ
טענה :9.4.9אם g, g ′אברים צמודים ,אז ) ρ(g), ρ(g ′הן מטריצות צמודות ,ולכן יש להן אותה
עקבה.
כלומר ,אלו tוקטורים אורתוגונליים במרחב מממד .t
מסקנה 9.5.18האברים ˆ χמהווים בסיס למרכז של אלגברת החבורה.
ביתר פירוט ,לכל איבר מרכזי )] f ∈ Z(F [Gיש הצגה יחידה בצורה
כאשר הסכום הוא על הקרקטרים האי־פריקים ,ולכל χ′מתקיים
⟨
⟩
⟨
⟩
⟩
∑
⟨ ∑
′
′
′
ˆ
ˆ
ˆ
= f, χ
tχ χ,
= ˆ χ
tχ χ,
ˆ χ = tχ′ ,
ˆ
χ tχ χ
∑
= ,f
χ
כלומר ,לכל )],f ∈ Z(F [G
⟩⟨f, χ
ˆ χ.
ˆ
∑
=f
)(9.3
χ
9.5.8
פונקציות המחלקה
∑
כל פונקציה f : G→Fאפשר לראות כאיבר g f (g)gבאלגברת החבורה ,ולהיפך .למשל,
הקרקטר ,χכפונקציה ,G→Fמתאים לאיבר ˆ χשל אלגברת החבורה .פונקציה f : G→F
המקבלת אותו ערך בכל האברים של אותה מחלקת צמידות נקראת פונקציית מחלקה .כעת
אפשר לפרש את מסקנה :9.5.18
מסקנה 9.5.19הקרקטרים האי־פריקים מהווים בסיס למרחב של פונקציות המחלקה.
מספקת
לאור הפירוש של איברי המרכז כפונקציות מחלקה ,נוסחת המקדמים )∑ (9.3
= ,ρ
מסקנה מבנית חשובה .תהי ρהצגה כלשהי .כפי שראינו כבר ,אפשר לפרק mu ρu
אי־פריקות ,עם מקדמים .mu ∈ Nלפי הערה 9.5.5הקרקטרים
סכום ישר של הצגות
∑
= .χρלפי החישוב לעיל ,הקרקטר χקובע את מקדמי
מתפרקים באותו אופןmu χu :
הפירוק של .mu = ⟨χρ , χ⟩ ,ρ
97
◦
פרק .9הצגות של חבורות
.9.5קרקטרים
מסקנה 9.5.20הקרקטר קובע את ההצגה :אם לשתי הצגות יש אותם קרקטרים ,אז הן
איזומורפיות.
∑ 2
= ⟩ ,⟨χρ , χρובפרט:
ועוד מסקנה שימושיתmu :
מסקנה 9.5.21הצגה ρהיא אי־פריקה אם ורק אם הקרקטר שלה הוא בעל נורמה .1
האידמפוטנטים האורתוגונליים
9.5.9
∑
= ˆ ,χנכליל את החישוב שבתת־סעיף
כדי להעמיק את תפקידם של אברי המרכז χ(g)g
)(v
.9.5.3ניקח ביחסי שור ,j = iונכפיל את היחס בסקלר ) ,ρℓk (hכאשר h ∈ Gקבוע:
)|G| (v
ρ (h).
nu ℓk
ρii (g)ρkℓ (g −1 )ρℓk (h) = δuv δik δiℓ
)(v
)(u
)(v
∑
g∈G
סיכום על כל הערכים של i, k, ℓנותן
)ρkk (g −1 h
)(v
∑
)χu (g
g∈G
k
(ρ(v) (g −1 )ρ(v) (h))kk
))
)ρkℓ (g −1 )ρℓk (h
)(v
)(v
(
∑ ∑
ℓ
)δik δiℓ ρℓk (h
)(u
)ρii (g
i
k
)(v
ρii (h) = δuv
לכל קרקטר אי־פריק ,χנסמן
(
∑ ∑
i
nv
∑ ||G
i
)χ(1
ˆχ
||G
=
=
g∈G
∑ ∑ ∑ ||G
ℓ
||G
χv (h).
nv
)χu (g
∑
g∈G
g∈G
k
()
k
)(v
∑
∑
= )χu (g)χv (g −1 h
∑
nv
= δuv
= δuv
= .eχ
טענה 9.5.22האברים eχהם אידמפוטנטים )מרכזיים(.
הוכחה.
(
)
∑ ∑ nu nv
=
χu (g)χv (g −1 h) h
|G|2 h∈G
g
∑ nv
χv (h)h
= δuv
|G| h∈G
eχu eχv
= δuv eχv
98
.9.5קרקטרים
פרק .9הצגות של חבורות
∏t
יש רק מערכת אחת של אידמפוטנטים מרכזיים
אבל באלגברה ) i=1 Mni (F
המערכת של המטריצות הסקלריות ברכיבים השונים .מכאן
אורתוגונליים ,הלוא היא ∏t
שהאיזומורפיזם ) F [G]→ u=1 Mnu (Fשולח את האידמפוטנטים eχלמטריצות היחידה
∼ .F [G]→F [G]eχu
ברכיבים השונים .למעשה ,כפל ב־ eχuמשרה אפימורפיזם ) = Mnu (F
כדי לחשב את ההצגה במרכיב המתאים ל־ ,eχuבחר איבר גנרי ] ;a ∈ F [Gבהסתברות
ערכים עצמיים שונים ,λ1 , . . . , λnuועל־ידי הצבה בפולינומי
,1המטריצה eχu aבעלת nu
∏
האינטרפולציה ) , (λ−λi )/(λj −λiמקבלים אידמפטונטים eiiהשייכים למרכיב .F [G]eχu
פתור את המשוואות eii x = xejj = xכדי למצוא את יחידות המטריצות עד כדי סקלרים.
קבע את ;x1iמכאן קבל את xi1ככפולות של ei1כך ש־ ;x1i xi1 = e11ואז קבע ;xij = xi1 x1j
יחד ,זו מערכת של יחידות מטריצות ,וההצגה ρמתקבלת במפורש כך :לכל ,g ∈ Gהבע
את geχכצירוף לינארי של ה־ ;xijהמקדמים מרכיבים את המטריצה ).ρ(g
9.5.10
טבלת הקרקטרים
לפי תרגיל ,9.5.17לכן אפשר לקודד את כל הערכים של הקרקטרים על אברי החבורה
באמצעות הערכים שלהם על נציגים ממחלקות הצמידות.
הגדרה 9.5.23המטריצה ) ,Xij = χi (gjכאשר gj ∈ Cjאיברים כלשהם )הערכים אינם תלויים בבחירת
הנציגים( נקראת מטריצת הקרקטרים של .Gזוהי מטריצה ריבועית.X ∈ Mt (C) :
נוסף לסימונים בראש תת־סעיף ,9.5.1נסמן ב־| hi = |Ciאת הגדלים של מחלקות
הצמידות .אפשר להניח שהמחלקות של אברים במרכז מופיעות ראשונות ,כשהמחלקה של
איבר היחידה בראש .בפרט ,h1 = 1ו־ .Xi1 = χi (1) = tr(ρi (1)) = niנסמן גם
) .H = diag(h1 , h2 , . . . , htנפרש את היחס ) (9.1בשפה החדשה:
χu (g)χv (g) = δuv |G|,
∑
= ) χu (gi )χv (gi
g∈G
∑∑
g∈Ci
ולכן
hj Xuj Xvj = δuv |G|.
t
∑
= ) hi χu (gi )χv (gi
i
∑
)(9.4
i
= (XHX t )uv
j=1
כלומר ,XHX t = |G| · I ,כאשר Iהיא מטריצת היחידה.
∏
.|det(X)|2 = |G|t j h−1בפרט X ,הפיכה.
תרגיל 9.5.24הראה ש־ j
תרגיל 9.5.25תהי Xטבלת הקרקטרים של חבורה אבלית .Gהראה ש־= |)|det(X
.|G||G|/2
תרגיל 9.5.26תהי ) A ∈ Mn (Cהמטריצה הסיבובית המוגדרת לפי Aij = ρijכאשר ρ
שורש יחידה מסדר .nחשב את ).det(A
∑
|. u χu (gi )χu (gj ) = δij |G
טענה ) 9.5.27יחס שור השני( לכל ,i, j
hi
הוכחה .הוכחנו ש־ .XHX t = |G| · Iנצמיד ב־ Xונקבל .X t X = |G| · H −1מהשוואת רכיבים
∑
∑
|. u χu (gi )χu (gj ) = u X t iu Xuj = (X t X)ij = |G|(H −1 )ij = δij |G
מתקבל
hi
כלומר ,כאשר מתבוננים בשתי עמודות u ̸= vשל טבלת הקרקטרים ,הן אורתוגונליות
|. |G
כווקטורים במרחב ;Ctואילו הנורמה־בריבוע של העמודה ה־ uשווה ל־
hu
99
.9.5קרקטרים
9.5.11
פרק .9הצגות של חבורות
דוגמאות
נציג את טבלאות הקרקטרים של כמה חבורות .לצד כל שורה נכתוב את שם הקרקטר,
ומעל לעמודה נכתוב את שם מחלקת השקילות ומספר האברים במחלקה )לפעמים שימושי
גם לדעת מיהם האברים במחלקה ,ומה הסדר שלהם(.
דוגמא .G = Z/3Z = {0, 1, 2} 9.5.28זוהי חבורה אבלית ,ולכן כל ההצגות חד־ממדיות:
}{0} {1} {2
1
1
1
1
ω ω −1
1 ω −1 ω
χ1
χ2
χ3
דוגמא .G = Z/2Z × Z/2Z = ⟨x, y | x2 = y 2 = [x, y] = 1⟩ 9.5.29גם כאן כל ההצגות
חד־ממדיות:
1 x
y xy
χ0 1 1
1
1
χ1 1 1 −1 −1
χ2 1 −1 1 −1
χ3 1 −1 −1 1
דוגמא .G = S3 9.5.30יש שלוש מחלקות צמידות ולכן שלוש הצגות ,שמצאנו בתרגיל .9.4.15
נראה כיצד למצוא את הטבלה ישירות .את ההצגות הלינאריות קל לחשב ,והן מותירות הצגה
דו־ממדית אחת ,עם ערכים a, bשאותם נמצא בעזרת חוקי האורתוגונליות:
)· · ·( )··( 1
χ1 1 1
1
sgn 1 −1
1
χ 2 a
b
מחישוב המכפלות הפנימיות מקבלים 0 = ⟨χ1 , χ⟩ = 2 + 3a + 2bו־= ⟩0 = ⟨sgn, χ
,2 − 3a + 2bולכן a = 0ו־.b = −1
∼ .G/G′הרמת ההצגות מספקת
דוגמא :G = D4 9.5.31חמש מחלקות צמידות ,עם = Z2 ×Z2
את ארבע השורות הראשונות ,והאורתוגונליות את השורה החמישית .הראה שהאוטומורפיזם
החיצוני τ 7→ στ ,σ 7→ σמחליף )בפעולה של הערה (9.5.14את ,χ3 , χ4ומשאיר את שאר
ההצגות במקומן.
1 1
2
2
2
1 σ 2 τ στ σ
χ1 1 1
1
1
1
χ2 1 1 −1 −1 1
χ3 1 1
1 −1 −1
χ4 1 1 −1 1 −1
0
0
χ 2 −2 0
100
.9.5קרקטרים
פרק .9הצגות של חבורות
דוגמא .G = S4 9.5.32לחבורה הזו יש חמש מחלקות צמידות ,וחבורת הקומוטטורים שווה
∼ ) S4 /K4כאשר = K4
ל־ ,A4כך שיש לה שתי הצגות לינאריות .למעשה ,מכיוון ש־ = S3
⟩) ,⟨(12)(34), (13)(24לפי הפעולה על חלוקות של } {1, 2, 3, 4לזוגות( ,אפשר להרים את
ההצגות של ,S3וזה משאיר עוד שתי הצגות .אם נסמן את הממדים ב־ ,n4 , n5נקבל 12 + 12 +
,22 + n24 + n25 = 24ולכן .n4 = n5 = 3כך מגיעים לטבלה הבאה:
1 6
8
6
3
)··()··( )· · · ·( )· · ·( )··( 1
χ1 1 1
1
1
1
sgn 1 −1
1
−1
1
χ 2 0
−1
0
−1
χ3 3 a
b
c
d
′
′
′
χ3′ 3 a
b
c
d′
מחישוב המכפלות הפנימיות מקבלים 0 = ⟨χ1 , χ3 ⟩ = 3 + 6a + 8b + 6c + 3dו־= 0
,⟨sgn, χ3 ⟩ = 3 − 6a + 8b − 6c + 3dכך ש־ a + c = 0ו־ .3 + 8b + 3d = 0לזה אפשר
להוסיף את העובדה שכל אחד מן הערכים a, b, c, dהוא סכום של שלושה שורשי יחידה מהסדר
המתאים למחלקה ) ,4 ,3 ,2ו־ 2בהתאמה( .לכן } ,d, c = −a ∈ {±1, ±3ולפי המשוואות גם
,b = − 38 (1 + d) ∈ Qוכסכום של שורשי יחידה מסדר שלוש נובע ש־} .b ∈ {3, 0אבל b = 3
בלתי אפשרי ,ולכן b = 0ו־ .d = −1הנימוקים האלו חלים על השורה .χ3′יחס שור השני על
המחלקות )··( 1,נותן את המשוואה ,0 = 1 − 1 + 0 + 3a + 3a′כך ש־ .a′ = −aאותו יחס
, 24כך ש־ .a2 = 1לכן הטבלה היא
על המחלקה )··( מול עצמה נותן = 1 + 1 + a2 + a2
6
1 6
8
6
3
)··()··( )· · · ·( )· · ·( )··( 1
χ1 1 1
1
1
1
sgn 1 −1
1
−1
1
χ 2 0
−1
0
−1
χ3 3 1
0
−1
−1
χ3′ 3 −1
0
1
−1
9.5.12
אלגברת מחלקות הצמידות
∑
לכל מחלקת צמידות C ⊆ Gסימנּו ,Cˆ = g∈C gוראינו שאברים אלו מהווים בסיס למרכז
של אלגברת החבורה .מכיוון ש־ Cˆiבמרכז של אלגברת החבורה ,הפעלת ההצגה ה־ uנותנת
מטריצה סקלרית ,שהעקבה שלה ) .χu (Cˆi ) = hi χu (giלכן ) .ρ(u) (Cˆi ) = nhui χu (gi
לכל שלוש מחלקות ,Ci , Cj , Ckולכל ,xk ∈ Ckנסמן ב־ mkij ∈ Zאת מספר הפתרונות
למשוואה ,xi xj = xkעם .xj ∈ Cj ,xi ∈ Ciעל־ידי הצמדה רואים שהמספר אינו תלוי
בבחירת .xk ∈ Ckהשוואת מקדמים מראה ש־
∑
mkij Cˆk .
= Cˆi Cˆj
k
נפעיל את ההצגה ה־ ,uונקבל
∑
hj
hk
hi
= ) χu (gi ) χu (gj
mkij χu (gk ),
nu
nu
nu
k
101
פרק .9הצגות של חבורות
.9.5קרקטרים
כלומר ,המודול ) ,Z nhu1 χu (g1 ) + · · · + Z nhut χu (gtשהוא נוצר סופית ,סגור לכפל .לכן כל
איבר שלו הוא שלם אלגברי:
טענה 9.5.33לכל ,u, i
hi
) χ (g
nu u i
הוא שלם אלגברי.
משפט 9.5.34הממד של הצגה אי־פריקה מחלק את סדר החבורה.
הוכחה .לפי ),(9.4
χu (gi ),
) ∑ hi χu (gi
nu
i
||G
=
nu
וזהו סכום של מכפלות של שלמים אלגבריים .לכן המספר הרציונלי
9.5.13
◦
◦
||G
nu
הוא שלם אלגברי ,ולכן שלם .
משפט ברנסייד
תרגיל 9.5.35תהי ) A ∈ Mn (Fמטריצה המקיימת Ad = 1כאשר dזר ל־ .charFהראה
שאם הפולינום האופייני של Aמתפצל ב־ Fוכל הערכים העצמיים של Aשווים ,אז A
סקלרית.
למה 9.5.36אם (nu , hi ) = 1אז או ש־ χu (gi ) = 0או ש־) ρu (giסקלרית.
הוכחה .נכתוב snu + s′ hi = 1עבור .s, s′ ∈ Zנתבונן בערך ) ,α = χun(gu iאז α = sχu (gi ) +
′ hi
צירוף שלם של שלמים אלגבריים ,ולכן שלם אלגברי בעצמו .לכן גם כל ) σ(αהוא שלם
) s nu χu (giהוא ∏
אלגברי ,וגם ) N(α) = NQ[ωN ]/Q (α) = σ σ(αשלם אלגברי.
נסמן ב־ Nאת הסדר של ,giוב־ ωNשורש יחידה פרימיטיבי מסדר ,Nכך ש־] .α ∈ Q[ωNלפי
הערה ,|α| ≤ 1 ,9.5.10ואותו נימוק חל על ) σ(αלכל ) .σ ∈ Gal(Q[ωN ]/Qלכן גם N(α) ∈ Q
הוא בעל ערך מוחלט קטן או שווה ל־ ,1ומכאן ש־ .N(α) = 0, ±1לכן גם α = 0או ;|α| = 1
χu (gi ) = 0במקרה הראשון ,ו־) ρu (giסקלרית בשני לפי תרגיל .9.5.35
◦
מסקנה 9.5.37נניח ש־ Gפשוטה לא אבלית.
(dim(ρ), hi ) = 1אז .χρ (gi ) = 0
אם ρהצגה אי־פריקה לא־טריוויאלית ו־
הוכחה .מכיוון ש־ Gפשוטה וההצגה לא טריוויאלית .K = Ker(ρ(u) ) = 1 ,נתבונן בתמונה ההפוכה של
המטריצות הסקלריות ;N = (ρ(u) )−1 (Z(GLnu (F ))) ,גם זו תת־חבורה נורמלית של ,Gולכן N = 1
או .N = Gבמקרה השני ρמשכן את Gבתוך חבורת המטריצות הסקלריות ,בסתירה להנחה ש־ Gלא
אבלית .לכן ,N = 1כלומר ) ρ(gאינה סקלרית ,ולכן χu (gi ) = 0לפי למה .9.5.36
◦
למה 9.5.38תהי Gחבורה פשוטה .אז אין ב־ Gמחלקת צמידות מסדר חזקה של ראשוני.
מחלקת הצמידות Ciהוא∑חזקה של הראשוני
הוכחה .אפשר להניח ש־ Gלא אבלית .נניח שהגודל hiשל ∑
,pונקבע .gi ∈ Ciלפי יחס שור השני . u nu χu (gi ) = u χu (gi )χu (1) = 0 ,בסכום משמאל
משתתפים שלושה מרכיבים χ1 (gi ) = 1 :עבור ההצגה הטריוויאלית ,הסכום עבור ההצגות ממימד זר ל־p
שהוא אפס לפי מסקנה ,9.5.37והסכום עבור הצגות שממימדן מתחלק ב־ .pמכיוון שהסכום הוא אפס יוצא
ש־ p1שלם אלגברי ,בסתירה.
משפט ) 9.5.39משפט ברנסייד( חבורה מסדר pi q jאינה פשוטה.
102
.9.5קרקטרים
פרק .9הצגות של חבורות
במר ָכז ) ,Z = Z(Pשאינו טריוויאלי כי Pחבורת־.p
הוכחה .תהי Pתת־חבורת p־סילו של .Gנתבונן ְ
במרכז ) ,H = CG (zהמכיל את .Pלכן ] [G : Hהוא חזקה של ;qאבל זהו
ֵּ
נבחר ,1 ̸= z ∈ Zונתבונן
מספר האברים במחלקת הצמידות של ,zשאינו יכול להיות חזקת ראשוני לפי למה ,9.5.38ולכן הוא שווה
ל־ .1כלומר ,z ∈ Z(G) ,בסתירה להנחה ש־ Gפשוטה.
מסקנה 9.5.40כל חבורה Gמסדר pi q jהיא פתירה.
הוכחה .לפי המשפט יש לחבורה כזו תת־חבורה נורמלית ,Nולפי הנחת האינדוקציה N, G/Nפתירות.
103
פרק .9הצגות של חבורות
.9.5קרקטרים
104
פרק 10
המכפלה הטנזורית
10.1
מכפלה טנזורית של מטריצות
כאשר מבצעים חישובים במטריצות בלוקים ,נוח להגדיר את הסכום הישר A ⊕ Bכמטריצה
שממדיה הם סכום הממדים של Aו־ ,Bעם שני הבלוקים A, Bבאלכסון.
תהיינה ) A ∈ Mn (Fו־) .B ∈ Mm (Fמגדירים ) A⊗B ∈ Mnm (Fכמטריצה של n × n
בלוקים ,שרכיביה הם .aij Bמכפלה זו )שאפשר להגדיר בדיוק באותו אופן גם למטריצות
לא ריבועיות( מקיימת את התכונות:
; A⊗(B ⊕ B ′ ) = A⊗B ⊕ A⊗B ′
; A⊗(B + B ′ ) = A⊗B + A⊗B ′
(A⊗B)(A′ ⊗B ′ ) = AA′ ⊗BB ′ .
תרגיל .tr(A⊗B) = tr(A)tr(B) 10.1.1
תרגיל 10.1.2חשב את הדטרמיננטה ) det(A⊗Bכפונקציה של ) det(B) ,det(Aוממדי
המטריצות.
10.2
מכפלה טנזורית של מרחבים וקטוריים
סכום ישר של מרחבים וקטוריים מוגדר לפי .F n ⊕ F m = F n+mאת המכפלה נגדיר באותו
אופן .F n ⊗F m = F nm ,נניח ש־) A ∈ Mn (Fו־) .A′ ∈ Mn′ (Fהסכום הישר A ⊕ A′
מגדיר העתקה לינארית על הסכום הישר של המרחבים ,לפי .(A ⊕ A′ )(v ⊕ v ′ ) = Av ⊕ A′ v ′
בדומה לזה ,נרצה שהמכפלה הטנזורית A⊗A′תהיה העתקה .F n ⊗F m →F n ⊗F m
במקום להגביל}את{ התאור לבסיסים הסטנדרטיים ,נתבונן במקרה הכללי .נבחר בסיסים
} B = {biו־ B ′ = b′jשל מרחבים וקטוריים ,V, V ′בהתאמה ,ונגדיר את V ⊗V ′
}
{
′
′
הסמלים
כמרחב הוקטורי
.B⊗Bברור ש־
=
b
⊗b
i
j
∑ ′ ′
שנפרש ,פורמלית ,על־ידי קבוצת ∑
′
′
′
= vנסמן
= vו־ αi′ bi′ ∈ V
.dim(V ⊗V ) = dim(Vלכל αi bi ∈ V
) ) dim(V ′
∑
′
.v⊗v = i,i′ αi αi′ ′ bi ⊗b′i′
105
פרק .10המכפלה הטנזורית
.10.3מכפלה טנזורית של אלגברות
תרגיל 10.2.1הוכח את התכונות ,u⊗(v+w) = u⊗v+u⊗w ,(u+v)⊗w = u⊗w+v⊗w
).(αu)⊗w = u⊗(αw) = α(u⊗w
נגדיר את
תרגיל 10.2.2תהיינה T : V →Vו־ T ′ : V ′ →V ′העתקות לינאריות.
המכפלה T ⊗T ′ : V ⊗V ′ →V ⊗V ′לפי ) .(T ⊗T ′ )(bi ⊗b′i′ ) = T (bi )⊗T ′ (b′i′הראה ש־
.[T ⊗T ′ ]B⊗B ′ = [T ]B ⊗[T ′ ]B ′
10.3
מכפלה טנזורית של אלגברות
בהמשך לסעיף הקודם ,נניח ש־ A, A′אלגברות מעל שדה .Fעל המכפלה הטנזורית A⊗A′
אפשר להגדיר כפל לפי .(a⊗a′ )(b⊗b′ ) = ab⊗a′ b′
תרגיל 10.3.1בהנחה ש־ A, A′אלגברות אסוציאטיביות ,גם A⊗A′אסוציאטיבית) .זו
תכונה קלה ,אבל לא טריוויאלית :מכפלה טנזורית של אלגברות לי ,למשל ,אינה
אלגברת לי .אבל אם Cאלגברה קומוטטיבית אסוציאטיבית ו־ Lאלגברת לי ,אז
C⊗Lהיא אלגברת לי(.
תת־האלגברות A⊗Fו־ F ⊗A′של A⊗A′איזומורפיות ל־ Aול־ A′בהתאמה ,ומתחלפות
איבר איבר) .המכפלה הטנזורית היא האלגברה הקטנה ביותר המכילה עותקים מתחלפים
של שתי האלגברות(.
∼ .F ⊗A
תרגיל = A 10.3.2
∼ ).A⊗(B⊗C
∼ = (A⊗B)⊗C ;A⊗B
תרגיל = B⊗A 10.3.3
תרגיל 10.3.4הראה ש־) .Z(A⊗A′ ) = Z(A)⊗Z(A′
דוגמא 10.3.5נניח ש־ Aאלגברה מעל שדה ,Fו־ K ⊇ Fהרחבה .אז K⊗F Aהיא אלגברה
מעל ,K⊗F F = Kעם ).dimK (K⊗F A) = dimF (A
∼ ) .Mn (F )⊗Mm (F
תרגיל = Mnm (F ) 10.3.6
∼ .F [λ]⊗A
תרגיל 10.3.7תהי Aאלגברה מעל ,Fאז ]= A[λ
√
√
√ √
∼ ].Q[ 2]⊗ Q Q[ 7
תרגיל = Q[ 2, 7] 10.3.8
∼ .K⊗ F Kלמשל,
תרגיל 10.3.9לכל הרחבה ריבועית )במאפיין שונה מ־= K × K ,(2
∼ .C⊗ R C
=C×C
106
פרק .10המכפלה הטנזורית
10.4
.10.4מכפלה טנזורית של הצגות
מכפלה טנזורית של הצגות
סכום ישר של המטריצות מוביל להגדרת סכום ישר של הצגות(ψ ⊕ ψ ′ )(g) = ψ(g) ⊕ :
) .ψ ′ (gבאותו אופן ,מכפלה טנזורית של מטריצות מאפשרת להגדיר מכפלה טנזורית של
הצגות ,שהיא הצגה של המכפלה הקרטזית של שתי חבורות :בהנתן ) ψ : F [G]→Mn (F
ו־) ,ψ ′ : F [G′ ]→Mn′ (Fמגדירים
) ψ⊗ψ ′ : G × G′ →Mnn′ (F
לפי ) .(ψ⊗ψ ′ )(g, g ′ ) = ψ(g)⊗ψ ′ (g ′
תרגיל 10.4.1הראה ש־ ψ⊗ψ ′היא אכן הצגה של .G × G′
תרגיל 10.4.2הקרקטר של הצגה כזו הוא מכפלת הקרקטרים.χψ⊗ψ′ = χψ χψ′ :
∼ ].F [G × H
טענה 10.4.3לכל שתי חבורות = F [G] ⊗F F [H] ,G, H
מסקנה 10.4.4נסמן ב־ XGאת טבלת הקרקטרים של החבורה .Gאז בסידור מתאים של
מחלקות הצמידות וההצגות.XG×H = XG ⊗XH ,
10.5
מכפלה טנזורית של מודולים
עד כאן יכולנו להעזר בבסיס מעל שדה .מאד לא נוח לעבוד עם הגדרה כזו ,משום שבכל
צעד צריך להוכיח שהתוצאה אינה תלויה בבסיס .יתרה מזו ,אנו רוצים הגדרה שתפעל גם
כאשר אין בסיס כלל.
הגדרה 10.5.1יהי Rחוג ,ויהיו MRמודול ימני ו־ R Nמודול שמאלי .אז המכפלה הטנזורית N ⊗ R M
היא החבורה האבלית הנוצרת על־ידי הסמלים ,(m ∈ M, n ∈ N ) m⊗nבכפוף ליחסים הבאים:
) (m, m′ ∈ M, n ∈ N
(m + m′ )⊗n = m⊗n + m′ ⊗n,
) (m ∈ M, n, n′ ∈ N
m⊗(n + n′ ) = m⊗n + m⊗n′ ,
(m ∈ M, n ∈ N, α ∈ R).
mα⊗n = m⊗αn
בניגוד למכפלה טנזורית של אלגברות ,המכילה עותק של שני הגורמים ,מכפלה טנזורית
מעל חוג כללי אינה "שטוחה" ,ומידע עלול ללכת לאיבוד.
תרגיל .(Z/4Z)⊗(Z/3Z) = 0 10.5.2
כדי להוכיח תכונות של המכפלה הטנזורית ,בהעדר שדה בסיס שמעליו אפשר להפעיל
אלגברה לינארית ,נגדיר את המושג הטכני הבא:
107
פרק .10המכפלה הטנזורית
.10.5מכפלה טנזורית של מודולים
הגדרה 10.5.3יהיו M, Nמודולים כבהגדרה הקודמת ,ותהי Cחבורה אבלית .העתקה מאוזנת היא
פונקציה f : M × N →Cהמקיימת את שלוש התכונות ),f (m + m′ , n) = f (m, n) + f (m′ , n
) ,f (m, n + n′ ) = f (m, n) + f (m, n′ו־)) f (mα, n) = f (m, αnזהו אינו הומומורפיזם של
חבורות; המבנה של M × Nכחבורה חיבורית ,שבה ) ,(m, n) + (m′ , n′ ) = (m + m′ , n + n′אינו
בא כאן לידי ביטוי כלל(.
הגדרה 10.5.4נאמר שחבורה Tעם פונקציה θ : M × N →Tהיא אוניברסלית ביחס למכפלות מאוזנות
מ־ M × Nאם לכל העתקה מאוזנת f : M × N →Cקיים הומומורפיזם יחיד של חבורות ,f¯ : T →C
כך ש־ .f¯ ◦ θ = f
טענה 10.5.5לכל ,M, Nמודול ימני ומודול שמאלי מעל ,Rהמכפלה הטנזורית M ⊗ R Nהיא
אוניברסלית ביחס למכפלות מאוזנות )כלומר לכל f : M × N →Cמאוזנת קיים הומומורפיזם
יחיד f¯ : M ⊗ R N →Cכך ש־)(.f¯(a⊗b) = f (a, b
הוכחה .לפי משפט האיזומורפיזם הראשון.
תרגיל 10.5.6גישה קטגורית להגדרה :נתונים מודולים .M, Nנניח שקיימת חבורה
אבלית Tעם פונקציה ,θ : M × N →Tשהיא אוניברסלית ביחס להעתקות מאוזנות .אז
Tיחידה עד־כדי איזומורפיזם.
על־פי ההגדרה הזו ,המכפלה הטנזורית היא חבורה אבלית ,בלי הגדרה טבעית של כפל
בסקלרים מ־ .Rהפקדנו שני מודולים ,וקיבלנו רק חבורה חיבורית .כדי להתגבר על החסרון
הזה נטפל בבי־מודולים ,ונזכיר שאם Rחוג קומוטטיבי אז כל מודול הוא אוטומטית בימודול
מעל ;R, Rכמו כן ,כל מודול שמאלי הוא בימודול מעל ,R, Zוכל מודול ימני הוא בימודול
מעל .Z, R
הגדרה 10.5.7יהיו R, S, Tחוגים ,ויהיו R MSו־ S MTבימודולים .אז ,N ⊗ S Mשהוגדר לעיל ,הוא
R, T־בימודול לפי פעולות הכפל בסקלר
r(x⊗y) = (rx)⊗y,
(x⊗y)t = x⊗(yt).
תרגיל 10.5.8כל חוג Rאפשר לראות כמודול מעל ,Re = R⊗C Ropלפי הפעולה
.(a⊗b)(x) = axbהראה ש־ Rמודול פשוט מעל Reאם ורק אם Rחוג פשוט.
תרגיל 10.5.9יהיו C ⊆ Rחוגים ,כאשר Cקומוטטיבי.
) R⊗C Rop →EndC (Rעל־ידי (a⊗bop )x = axbהיא הומומורפיזם.
108
הראה שההעתקה
פרק .10המכפלה הטנזורית
10.6
.10.6ההצגה המושרית
ההצגה המושרית
תהיינה H ≤ Gחבורה ותת־חבורה .כל הצגה ) ρ : H→End(Vשל Hמשרה הצגה של .G
נציג כאן שלוש דרכים להגדיר את ההצגה המושרית ,מן המופשטת למוחשית ביותר.
ראשית ,דרך המכפלה הטנזורית.
הגדרה 10.6.1תהי Gחבורה עם תת־חבורה ,Hותהי Vהצגה של ,Hכלומר מודול מעל
] .F [Hאז V˜ = F [G]⊗ F [H] Vנקראת ההצגה המושרית מ־ Hל־ .Gאם ) ρ : F [H]→End(V
היא ההצגה המקורית ,מסמנים את ההצגה המושרית ב־ .ρG
תרגיל 10.6.2תהיינה K < H < Gחבורות ,ותהי ρהצגה של .Kהראה ש־= ρG
.(ρH )G
הגדרה שניה ,כמרחב וקטורי:
הגדרה 10.6.3תהי Gחבורה עם תת־חבורה ,Hותהי ) ρ : H→End(Vהצגה של .Hההצגה
IndGעם
המושרית היא המודול })H (ρ) = {f : G→V : ∀g ∈ G, h ∈ H : f (gh) = ρ(h)f (g
הפעולה ).(Ind(g) · f )(x) = f (g −1 x
∼
IndGכמודולים מעל ] ,F [Gכאשר Vהוא
תרגיל 10.6.4הוכח ש־ H (ρ) = F [G]⊗F [H] V
המודול המושרה על־ידי .ρ
תרגיל 10.6.5הראה ,על־פי ההגדרה השניה ,שההצגה המושרית מן המודול הטריוויאלי
V = Fהיא המודול של מרחב המנה ].F [G/H
כדי לחשב את ההצגה המושרית F [G]⊗F [H] Vבאופן מפורש ,נפעל באופן הבא .נכתוב
,G = ∪ai Hאז לכל g ∈ Gולכל iיש jיחיד כך ש־) gai ∈ aj Hהפונקציה g : i 7→ j
היא הפעולה מוכרת מהעידון של משפט קיילי( .כעת אם Hפועלת על מודול ) Vכאשר
ההצגה היא ) ,(ρ : F [H]→End(Vנכתוב את V nכסכום פורמלי ,⊕xi Vונגדיר = gxi v
.xj (x−1זוהי ההצגה המושרית.ρG ,
j gxi )v
תרגיל 10.6.6חשב את ρGבמקרה המיוחד .H▹G
טענה 10.6.7תהיינה H < Gחבורות ρ, ρ′ ,הצגות של .Hאז .(ρ ⊕ ρ′ )G = ρG ⊕ ρ′ G
טענה 10.6.8תהיינה H < Gחבורות ρ ,הצגה של σ ,Hהצגה של .Gאז = σ G ⊗ρ
.(σ⊗ρ|H )Gבפרט.(ρ|H )G = 1G ⊗ρ ,
את הקרקטר המושרה ,כלומר הקרקטר של ההצגה המושרית ,אפשר לחשב בעזרת
הנוסחה הבאה:
∑
.χG (g) = a−1 gai ∈H χ(a−1
טענה i gai ) 10.6.9
i
טענה 10.6.10יהיו χקרקטר של Gו־ ψקרקטר של תת־חבורה .Hאז = (ψ, χH )H
.(ψ G , χ)G
109
פרק .10המכפלה הטנזורית
.10.6ההצגה המושרית
הוכחה .נפרק לקוסטים xi H
∪m
i=1
= ,Gונחשב:
1 ∑ G
)ψ (g)χ(g
|G| g
∑ ∑ 1
=
ψ(a−1
)i gai )χ(g
|G| g −1
= (ψ G , χ)G
ai gai ∈H
−1
ψ(a−1
) i gai )χ(ai gai
∑
g∈ai Ha−1
i
∑ 1
=
|G| i
∑∑ 1
)ψ(h)χ(h
|G| i h∈H
=
|m|H
(ψ, χH )H = (ψ, χH )H .
||G
=
כדי לחשב את פעולות הצמצום וההשראה ,די להכיר אותן עבור קרקטרים אי־פריקים.
לפי נוסחת הדואליות ,ידיעת הפירוק של ההצגות המושרות מן ההצגות האי־פריקות של ,H
שקולה לידיעת הפירוק של ההצגות המצומצמות מן ההצגות האי־פריקות של .G
תרגיל 10.6.11נקבע G = S4ו־ H = D4עם השיכון הטבעי .H ,→ Gחשב את פעולות
הצמצום וההשראה בין ההצגות האי־פריקות של שתי החבורות.
10.6.1
משפט האינדוקציה
נאמר שתת־חבורה היא p־אלמנטרית אם היא מכפלה של חבורת־ pבחבורה ציקלית מסדר
זר ל־ .pאחת התוצאות היסודיות בתורת ההצגות היא משפט האינדוקציה של בראוור ,שלפיו
חוג הקרקטרים של חבורה סופית Gנוצר ,כחוג מעל השלמים ,על־ידי הקרקטרים המושרים
מתת־חבורות אלמנטריות )היינו p־אלמנטריות לאיזשהו .(pנובע מכך למשל ש־] Q[ρeהוא
שדה פיצול של החבורה כאשר ).e = exp(G
110
פרק 11
שאלות חזרה
.1רשום את הקרקטרים של חבורה מסדר .5
.2הוכח שכל חוג ארטיני שמאלי הוא נתרי שמאלי.
.3תן דוגמא לחוג פרימיטיבי שאין לו אידיאל שמאלי מינימלי ≠ .0
.4תן דוגמא לחוג פרימיטיבי שאינו פשוט.
.5הוכח :אם Rראשוני ארטיני אז הוא מטריצות מעל חוג עם חילוק )העזר רק במשפט
הצפיפות ובלמה של שור(.
.6הוכח ש־] C[Gאינו יכול להיות חוג ראשוני עבור חבורה סופית ) G ̸= 1זה לא נכון
עבור חבורה מסדר אינסופי(.
.7הוכח שמספר הקרקטרים האי־פריקים של Gשווה למספר מחלקות הצמידות של .G
.8מצאו את כל ההצגות האי־פריקות של .Z2 × Z2
.9תנו דוגמא לחוג פרימיטיבי שאינו פשוט ארטיני ,אבל עם .soc(R) = 0
.10הגדר את הרדיקל של ג'ייקובסון .מהו הרדיקל של ,Znכאשר ?n ∈ N
.11הוכח את משפט הצפיפות.
.12הוכח :כל חוג פרימיטיבי הוא ראשוני; אם Rחוג ראשוני עם אידיאל שמאלי מינימלי
,Lאז כל מודול נאמן מעל Rאיזומורפי ל־.L
.13הגדר חוג ראשוני למחצה .הגדר אינוולוציה .הוכח שאם Rחוג ארטיני עם אינוולוציה
אנאיזוטרופית )כלומר aa∗ ̸= 0לכל ,(a ̸= 0אז Rראשוני למחצה.
∼ ].F [G × H
.14תהיינה G, Hחבורות סופיות .הוכח ש־]= F [G]⊗F [H
.15תן דוגמא לאלגברות פשוטות A, Bמעל שדה ,Fכך ש־ A⊗F Bאינו פשוטה.
.16הוכח :אם Mמודול בעל משלימים ,אז הוא פשוט למחצה.
.17הוכח :חוג פרימיטיבי קומוטטיבי הוא שדה.
111
פרק .11שאלות חזרה
.18בנה את טבלת הקרקטרים של .S4
.19יהי ) .R = M2 (Z4 ) ⊕ M2 (Z6חשב את ).J(R
.20יהי Rחוג .הוכח ש־) J(J(R)) = J(Rוש־.J(R/J(R)) = 0
.21יהי Rחוג קומוטטיבי ארטיני בלי אברים נילפוטנטיים .הוכח ש־ Rהוא סכום ישר
של שדות.
.22הראה שאלגברת החבורה ] R[Zאינה ארטינית.
.23תאר את האידיאלים הראשוניים־למחצה של .Z
.24הגדר חוג ראשוני; חוג פרימיטיבי .הוכח שכל חוג פרימיטיבי הוא ראשוני .תן דוגמא
לחוג ראשוני שאינו פרימיטיבי.
.25הגדר ) ,soc(Mוהוכח ש־) soc(Mשווה לחיתוך כל תת־המודולים הגדולים של .M
.26הוכח שחבורת התמורות הזוגיות A4בעל 4מחלקות צמידות .בנה את לוח הקרקטרים
של .A4
.27הוכח :אם Gחבורה סופית ,אז יש ל־] C[Gמספר סופי של מודולים פשוטים ,עד כדי
איזומורפיזם.
.28הוכח :אם Rפשוט למחצה ארטיני ,אז ) M2 (Rפשוט למחצה ארטיני.
112
© Copyright 2024