אלגברה מתקדמת

‫אלגברה מתקדמת‬
‫עוזי וישנה‬
‫‪ 22‬באפריל ‪2015‬‬
‫אלגברה מתקדמת‬
‫מהדורה ‪1.936‬‬
‫הקדמה‪ .‬חוברת זו מכסה‪ ,‬בשני חלקיה‪ ,‬את הקורסים "אלגברה קומוטטיבית" ו"אלגברה‬
‫לא קומוטטיבית"‪.‬‬
‫הקורס הראשון )שמספרו ‪ (88-813‬מכסה נושאים מרכזיים באלגברה קומוטטיבית לתואר‬
‫שני‪ .‬אנו מניחים שהקורא מכיר את החומר הסטנדרטי מקורסי תואר ראשון בתורת‬
‫החבורות‪ ,‬תורת החוגים ותורת גלואה‪ .‬כמה מהנושאים היותר אלמנטריים )אידיאלים‬
‫ראשוניים ומקסימליים‪ ,‬משפט השאריות הסיני‪ ,‬מיקום‪ ,‬חוגים מקומיים‪ ,‬מבוא למודולים(‬
‫מכוסים בחוברת שלי על תורת החוגים‪ ,‬ולא ראיתי צורך לחזור על הפרטים כאן‪.‬‬
‫לאלגברה קומוטטיבית‪ ,‬שהיא ביסודו של דבר תורת החוגים הקומוטטיביים‪ ,‬יש שימושים‬
‫בתחומים מרכזיים במתמטיקה‪ :‬גאומטריה אלגברית ותורת המספרים האלגברית‪ .‬תנאי‬
‫הסופיות הנתרי מתקיים לעתים קרובות‪ ,‬והופך את החוגים הנתריים לתחום מחקר מרכזי‬
‫גם באלגברה גופא‪ .‬הקורס הזה עוסק בעיקר בחוגים )קומוטטיביים( נתריים‪.‬‬
‫הקורס השני )שמספרו ‪ (88-815‬כולל פרקים נבחרים בתורת המבנה של חוגים לא‬
‫קומוטטיביים‪ ,‬ובמיוחד חוגים ארטיניים‪ :‬משפט ודרברן־ארטין על אלגברות פשוטות‬
‫ארטיניות‪ ,‬חוגים פרימיטיביים‪ ,‬ומשפט הופקינס־לויצקי הקובע שכל חוג ארטיני הוא נתרי‪.‬‬
‫תכונות של אלגברות פשוטות למחצה בונות את התשתית לתורת ההצגות של חבורות סופיות‪,‬‬
‫שאותה מכסה החלק השני בקורס‪.‬‬
‫עוזי וישנה‪10.2012 ,‬‬
‫‪2‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪I‬‬
‫אלגברה קומוטטיבית‬
‫‪1‬‬
‫מודולים נתריים וארטיניים‬
‫‪ 1.1‬מבוא לחוגים ומודולים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫חוגים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪1.1.1‬‬
‫מודולים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪1.1.2‬‬
‫מודולים ציקליים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪1.1.3‬‬
‫‪ 1.2‬סדרות הרכב ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 1.3‬תנאי השרשרת ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫תנאי השרשרת בחוגים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪1.3.1‬‬
‫‪ 1.4‬מודולים נוצרים סופית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪13‬‬
‫‪14‬‬
‫‪14‬‬
‫‪2‬‬
‫אידיאלים ראשוניים‬
‫‪ 2.1‬אידיאלים ראשוניים ומקסימליים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.2‬חוגים מקומיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.3‬מיקום ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.3.1‬האידיאלים של ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S −1 R‬‬
‫‪ 2.3.2‬מיקום באידיאל ראשוני ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪17‬‬
‫‪17‬‬
‫‪18‬‬
‫‪19‬‬
‫‪20‬‬
‫‪21‬‬
‫‪3‬‬
‫אלגברות אפיניות‬
‫‪ 3.1‬חוגי פולינומים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.2‬אלגבריות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.2.1‬מימד טרנסצנדנטי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.3‬הרחבות שלמות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.3.1‬אידיאלים בהרחבות שלמות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.4‬שדות אינם אפיניים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.4.1‬פירוק ההרחבה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 3.4.2‬המשכת הומומורפיזמים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪23‬‬
‫‪23‬‬
‫‪23‬‬
‫‪24‬‬
‫‪25‬‬
‫‪27‬‬
‫‪29‬‬
‫‪29‬‬
‫‪30‬‬
‫‪4‬‬
‫מבוא לגאומטריה אלגברית‬
‫‪ 4.1‬קבוצות אלגבריות ואידיאלים גאומטריים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 4.2‬רדיקלים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 4.2.1‬חוג ראשוני למחצה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 4.2.2‬הרדיקל הראשוני ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 4.2.3‬משפט האפסים של הילברט ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 4.2.4‬האידיאלים המקסימליים של חוג הפולינומים ‪. . . . . . . . . . .‬‬
‫‪31‬‬
‫‪31‬‬
‫‪32‬‬
‫‪33‬‬
‫‪33‬‬
‫‪34‬‬
‫‪35‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪4.3‬‬
‫‪4.4‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫קבוצות אלגבריות אי־פריקות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫טופולוגיית זריצקי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 4.4.1‬הספקטרום ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪5‬‬
‫מימד קרול של חוגים‬
‫‪ 5.1‬מימד קרול ‪. . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 5.2‬אידיאלים ניליים ונילפוטנטיים‬
‫‪ 5.3‬חוגים ממימד אפס ‪. . . . . .‬‬
‫‪ 5.4‬גובה של אידיאלים ‪. . . . . .‬‬
‫‪ 5.5‬אידיאלים ראשוניים בהרחבות‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫ערכים מוחלטים‬
‫‪ 6.1‬הגדרה ודוגמאות ‪. . . . . .‬‬
‫‪ 6.2‬שקילות של ערכים מוחלטים‬
‫‪ 6.3‬ערכים לא ארכימדיים ‪. . . .‬‬
‫‪ 6.4‬הערכות ‪. . . . . . . . . . .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪II‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫אלגברה לא קומוטטיבית‬
‫‪36‬‬
‫‪37‬‬
‫‪37‬‬
‫‪39‬‬
‫‪39‬‬
‫‪40‬‬
‫‪41‬‬
‫‪42‬‬
‫‪45‬‬
‫‪49‬‬
‫‪49‬‬
‫‪50‬‬
‫‪51‬‬
‫‪51‬‬
‫‪55‬‬
‫‪7‬‬
‫מבנה של מודולים‬
‫‪ 7.1‬מושגי יסוד בתורת המודולים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫חוגי מטריצות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪7.1.1‬‬
‫חוגי אנדומורפיזמים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪7.1.2‬‬
‫‪ 7.1.3‬מטריצות ודרגה של מודול ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 7.1.4‬סכום וסכום ישר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 7.2‬מודולים פריקים לחלוטין ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫מודולים פריקים לחלוטין ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪7.2.1‬‬
‫‪ 7.2.2‬תת־מודולים גדולים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 7.2.3‬משלימים של תת־מודול ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 7.2.4‬חוגים פשוטים למחצה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 7.3‬משפט הצפיפות הכללי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 7.3.1‬בי־מודולים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 7.3.2‬ההצגה הרגולרית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 7.3.3‬חוגים צפופים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪59‬‬
‫‪59‬‬
‫‪59‬‬
‫‪60‬‬
‫‪61‬‬
‫‪62‬‬
‫‪63‬‬
‫‪63‬‬
‫‪64‬‬
‫‪64‬‬
‫‪66‬‬
‫‪66‬‬
‫‪66‬‬
‫‪67‬‬
‫‪68‬‬
‫‪8‬‬
‫המבנה של חוגים ארטיניים‬
‫‪ 8.1‬חוגים פשוטים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.1.1‬אלגברות ציקליות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.1.2‬מטריצות מעל חוג עם חילוק ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.1.3‬אלגברת וייל ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.2‬חוגים פרימיטיביים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.2.1‬מודולים נאמנים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.2.2‬מודולים פשוטים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.2.3‬פרימיטיביות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.2.4‬דוגמאות לחוגים פרימיטיביים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪71‬‬
‫‪71‬‬
‫‪72‬‬
‫‪73‬‬
‫‪74‬‬
‫‪75‬‬
‫‪75‬‬
‫‪76‬‬
‫‪76‬‬
‫‪78‬‬
‫‪4‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪8.3‬‬
‫‪8.4‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫חוגים ארטיניים ראשוניים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫חוגים ראשוניים למחצה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.4.1‬הרדיקל הוא נילי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.4.2‬ראשוני למחצה = אין אידיאלים נילפוטנטיים ‪. . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.4.3‬חוג ראשוני למחצה ארטיני ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.4.4‬מהמקרה הכללי לחוג ראשוני למחצה ‪. . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫משפט הופקינס־לויצקי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫הרדיקל של ג'ייקובסון ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.6.1‬המשפט העיקרי של ודרברן ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 8.6.2‬חוגים פרימיטיביים למחצה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪79‬‬
‫‪80‬‬
‫‪81‬‬
‫‪81‬‬
‫‪81‬‬
‫‪82‬‬
‫‪83‬‬
‫‪83‬‬
‫‪85‬‬
‫‪85‬‬
‫הצגות של חבורות‬
‫‪ 9.1‬אלגברת החבורה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.2‬הצגות אי־פריקות ואי־פרידות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.3‬משפט משקה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.3.1‬אידיאל האוגמנטציה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.3.2‬המקרה המודולרי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.3.3‬משפט משקה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.4‬ההצגות האי־פריקות של חבורה סופית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.4.1‬מודולים מעל מכפלה ישרה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.4.2‬מספר ההצגות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.4.3‬הצגות חד־ממדיות והשראה מחבורת מנה ‪. . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.5‬קרקטרים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.5.1‬יחסי שור ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.5.2‬קרקטרים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.5.3‬אורתוגונליות הקרקטרים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.5.4‬הערכים של קרקטר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.5.5‬הקרקטר הצמוד ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.5.6‬המכפלה הפנימית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.5.7‬בסיס הקרקטרים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.5.8‬פונקציות המחלקה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.5.9‬האידמפוטנטים האורתוגונליים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.5.10‬טבלת הקרקטרים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.5.11‬דוגמאות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.5.12‬אלגברת מחלקות הצמידות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 9.5.13‬משפט ברנסייד ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪87‬‬
‫‪87‬‬
‫‪88‬‬
‫‪88‬‬
‫‪88‬‬
‫‪89‬‬
‫‪89‬‬
‫‪91‬‬
‫‪91‬‬
‫‪92‬‬
‫‪93‬‬
‫‪93‬‬
‫‪93‬‬
‫‪95‬‬
‫‪95‬‬
‫‪96‬‬
‫‪96‬‬
‫‪96‬‬
‫‪97‬‬
‫‪97‬‬
‫‪98‬‬
‫‪99‬‬
‫‪100‬‬
‫‪101‬‬
‫‪102‬‬
‫‪ 10‬המכפלה הטנזורית‬
‫‪ 10.1‬מכפלה טנזורית של מטריצות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 10.2‬מכפלה טנזורית של מרחבים וקטוריים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 10.3‬מכפלה טנזורית של אלגברות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 10.4‬מכפלה טנזורית של הצגות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 10.5‬מכפלה טנזורית של מודולים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 10.6‬ההצגה המושרית ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 10.6.1‬משפט האינדוקציה ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪105‬‬
‫‪105‬‬
‫‪105‬‬
‫‪106‬‬
‫‪107‬‬
‫‪107‬‬
‫‪109‬‬
‫‪110‬‬
‫‪8.5‬‬
‫‪8.6‬‬
‫‪9‬‬
‫‪5‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪111‬‬
‫‪ 11‬שאלות חזרה‬
‫‪6‬‬
‫חלק ‪I‬‬
‫אלגברה קומוטטיבית‬
‫‪7‬‬
‫פרק ‪1‬‬
‫מודולים נתריים וארטיניים‬
‫‪1.1‬‬
‫מבוא לחוגים ומודולים‬
‫‪ 1.1.1‬חוגים‬
‫לכל אורך הדרך נניח שחוג כולל איבר יחידה‪ .‬בשלב זה לא נניח עדיין שהחוגים קומוטטיביים‪.‬‬
‫המושגים העיקריים שעל הקורא להכיר‪ :‬תת־חוג )כולל את איבר היחידה(; אידיאל‬
‫)שמאלי‪ ,‬ימני‪ ,‬דו־צדדי(; הומומורפיזם )של חוגים‪ ,‬כלומר ‪ -‬שומר על איבר היחידה(; חוג‬
‫מנה )ביחס לאידיאל דו־צדדי(‪.‬‬
‫∼‬
‫משפט האיזומורפיזם הראשון קובע שלכל הומומורפיזם ‪.Im(φ) = R/Ker(φ) ,φ : R→S‬‬
‫משפט האיזומורפיזם השני מספק התאמה בין חוגי מנה של תת־חוג ‪ S ⊆ R‬לבין תת־חוגים‬
‫∼ ‪ .(S + I)/I‬משפט האיזומורפיזם השלישי מתאר את‬
‫של חוג המנה ‪= S/(I ∩ S) :R/I‬‬
‫∼‬
‫המנות של חוג מנה‪ :‬אם ‪ I ⊆ J‬אידיאלים של ‪ ,R‬אז ‪ .(R/I)/(J/I) = R/J‬יחד‪ ,‬המשפטים‬
‫מספקים איזומורפיזם של סריגים בין סריג האידיאלים של ‪ R/I‬לבין סריג האידיאלים של‬
‫‪ R‬המכילים את ‪.I‬‬
‫‪ 1.1.2‬מודולים‬
‫מודול הוא חבורה אבלית שהחוג פועל עליה )שמאלי(; במלים אחרות‪ ,‬יש פעולת כפל בסקלר‬
‫המגדירה הומומורפיזם )של חוגים( ) ‪ ,R→Hom(M, M‬כשבאגף ימין הפעולה היא הרכבה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 1.1.1‬תהי ‪ M‬חבורה אבלית‪ .‬יש התאמה בין פעולות הכפל בסקלר ‪R×M →M‬‬
‫ההופכות את ‪ M‬למודול מעל ‪ ,R‬לבין הומומורפיזמים ) ‪ ,φ : R→End(M, M‬על־פי‬
‫)‪.a · x = φ(a)(x‬‬
‫תת־חבורה של ‪ M‬הסגורה לכפל בסקלר היא תת־מודול; אוסף כל תת־המודולים של‬
‫‪ M‬הוא סריג‪ ,‬כאשר החיתוך הוא חסם תחתון והסכום הוא חסם עליון‪ .‬אם ‪N ≤ M‬‬
‫מודולים‪ ,‬מודול המנה הוא חבורת המנה } ‪ ,M/N = {x + N : x ∈ M‬עם פעולת הכפל‬
‫בסקלר ‪.a(x + N ) = ax + N‬‬
‫הומומורפיזם של מודולים הוא העתקה אדיטיבית ‪ φ : M →N‬מקיים את האקסיומה‬
‫)‪.φ(ax) = aφ(x‬‬
‫דוגמא ‪1.1.2‬‬
‫‪ .1‬מודולים מעל חוג השלמים ‪ Z‬אינם אלא חבורות אבליות‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫◦‬
‫פרק ‪ .1‬מודולים נתריים וארטיניים‬
‫‪ .1.1‬מבוא לחוגים ומודולים‬
‫‪ .2‬כל חוג הוא מודול מעל עצמו‪ ,‬ותת־המודולים הם האידיאלים השמאליים‪.‬‬
‫‪ .3‬מודולים מעל שדה ‪ F‬הם המרחבים הוקטוריים מעליו‪.‬‬
‫‪ .4‬מודולים מעל חוג הפולינומים ]‪ F [x‬הם מרחבים וקטוריים מעל ‪ ,F‬עם העתקה לינארית‬
‫‪ T : V →V‬כך ש־)‪.x · v = T (v‬‬
‫‪ .5‬המרחב הוקטורי ‪ F n‬הוא מודול מעל ) ‪ Mn (F‬לפי הפעולה הטבעית של מטריצות‪.‬‬
‫נזכיר את שלושת משפטי האיזומורפיזם של מודולים‪:‬‬
‫טענה ‪1.1.3‬‬
‫∼ )‪) M/Ker(φ‬כמודולים(;‬
‫‪ .1‬לכל הומומורפיזם ‪ φ : M →N‬מתקיים )‪= Im(φ‬‬
‫∼ ‪;(N + K)/K‬‬
‫‪= N/(N ∩ K) .2‬‬
‫∼ )‪.(M/K)/(N/K‬‬
‫‪= M/N .3‬‬
‫תרגיל ‪ 1.1.4‬יש התאמה חד־חד־ערכית ועל בין תת־המודולים של ‪ M/N‬לבין תת־‬
‫המודולים של ‪ M‬המכילים את ‪ ;N‬התאמה זו שומרת על הכלה ומנות‪.‬‬
‫‪1.1.3‬‬
‫◦‬
‫מודולים ציקליים‬
‫מודול שיש לו יוצר אחד‪ ,‬כלומר כל מודול מהצורה }‪ ,Rx = {ax : a ∈ R‬נקרא מודול‬
‫ציקלי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 1.1.5‬מודול ציקלי מעל ‪ Z‬הוא חבורה ציקלית‪.‬‬
‫בכל מודול כזה‪ ,‬פעולת החיבור היא ‪ ax + bx = (a + b)x‬והכפל בסקלר הוא = )‪a(bx‬‬
‫‪ ;(ab)x‬אבל ההתאמה בין הסקלר ‪ a‬לווקטור ‪ ax‬אינה חד־ערכית‪ ,‬ולא ברור א־פריורי מתי‬
‫שני אברים שונים זה מזה‪.‬‬
‫◦‬
‫הגדרה ‪ 1.1.6‬יהי ‪ M‬מודול‪ ,‬ו־ ‪ .x ∈ M‬אז }‪ Ann(x) = {a ∈ R : ax = 0‬נקרא המאפס של ‪.x‬‬
‫תרגיל ‪ 1.1.7‬יהי ‪ M = Rx‬מודול ציקלי מעל ‪.R‬‬
‫∼ ‪) Rx‬כמודולים(‪.‬‬
‫‪ Ann(x) .1‬הוא אידיאל שמאלי של ‪ ,R‬ו־)‪= R/Ann(x‬‬
‫‪ .2‬כל מודול ציקלי הוא מהצורה ‪ R/L‬כאשר ‪.L ≤ℓ R‬‬
‫בסעיף ‪ 8.2‬נגדיר את המאפס של המודול כולו‪ ,‬שהוא אידיאל דו־צדדי של ‪.R‬‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪1.1.8‬‬
‫‪ .1‬כל מודול מעל חוג מנה ‪ R/I‬הוא גם מודול מעל החוג ‪ R‬עצמו‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ M‬מודול מעל ‪ R‬ו־‪ ,IM = 0‬אז ‪ M‬מודול מעל המנה ‪ R/I‬לפי הפעולה‬
‫‪)(r + I)x = rx‬השווה לתרגיל ‪.(8.2.2‬‬
‫מודול שאין לו תת־מודולים הוא מודול פשוט‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 1.1.9‬חבורה אבלית היא מודול פשוט )מעל ‪ (Z‬אם ורק אם היא חבורה ציקלית‬
‫מסדר ראשוני‪ .‬מרחב וקטורי הוא מודול פשוט אם ורק אם הוא בעל ממד ‪ .1‬מרחב‬
‫העמודות ‪ F n‬הוא מודול פשוט מעל ) ‪.Mn (F‬‬
‫‪10‬‬
‫פרק ‪ .1‬מודולים נתריים וארטיניים‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪1.1.10‬‬
‫‪ .1.2‬סדרות הרכב‬
‫‪ .1‬כל מודול פשוט הוא ציקלי‪.‬‬
‫‪ R/L .2‬הוא מודול פשוט אם ורק אם ‪ L‬אידיאל שמאלי מקסימלי‪.‬‬
‫◦‬
‫∑‬
‫תרגיל ‪ 1.1.11‬יהי ‪ D‬חוג עם חילוק‪ .‬הראה שלכל ‪ ,j‬מודול העמודה ‪Deij‬‬
‫תת־מודול של )‪ Mn (D‬כמודול מעל עצמו‪ .‬הראה שזהו תת־מודול פשוט‪.‬‬
‫‪i‬‬
‫= ‪ Lj‬הוא‬
‫תרגיל ‪ 1.1.12‬מודול ‪ M‬מעל חוג ‪ R‬הוא פשוט אם ורק אם ‪ R‬פועל טרנזיטיבית על‬
‫קבוצת האברים השונים מאפס של ‪ .M‬הדרכה‪ M .‬פשוט אם ורק אם לכל ‪,0 ̸= v ∈ M‬‬
‫◦‬
‫‪ ;M = Rv‬אם ורק אם לכל ‪ 0 ̸= v, w‬קיים ‪ x ∈ R‬כך ש־‪.xv = w‬‬
‫∑יוצרת את ‪ M‬אם לכל ‪ x ∈ M‬קיימים ‪ b1 , . . . , bn ∈ B‬וסקלרים‬
‫הגדרה ‪ 1.1.13‬קבוצה ‪B ⊆ M‬‬
‫= ‪ .x‬מודול נוצר סופית הוא מודול שיש לו קבוצת יוצרים סופית‪.‬‬
‫‪ α1 , . . . , αn ∈ R‬כך ש־ ‪αi bi‬‬
‫תרגיל ‪ 1.1.14‬אם } ‪ B = {b1 , . . . , bn‬יוצרת מודול ‪ ,M‬אז ‪.M = Rb1 + · · · + Rbn‬‬
‫‪1.2‬‬
‫סדרות הרכב‬
‫הגדרה ‪ 1.2.1‬יהי ‪ M‬מודול מעל חוג ‪ .R‬סדרה‬
‫‪0 = Mt < · · · < M2 < M1 < M0 = M‬‬
‫נקראת סדרת הרכב אם כל המנות ‪ Mi /Mi+1‬הן מודולים פשוטים‪ .‬המנות ‪ Mi /Mi+1‬נקראות גורמי‬
‫ההרכב‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 1.2.2‬נסמן ‪ ,Mi = L1 + · · · + Li‬כאשר ‪ Lj‬המודולים מתרגיל ‪ .1.1.11‬הראה‬
‫ש־ ‪ 0 = M0 < M1 < · · · < Mn−1 ≤ Mn = M‬היא סדרת הרכב של )‪.Mn (D‬‬
‫תרגיל ‪ 1.2.3‬ל־‪) Z‬כמודול מעל עצמו( אין סדרת הרכב‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 1.2.4‬הוכח את המודולריות של סריג המודולים‪ :‬אם ‪ A, B, C ≤ M‬תת־מודולים‬
‫כך ש־‪ A ≤ B‬אז )‪ ;(A + C) ∩ B = A + (C ∩ B‬כלומר‪ A + C ∩ B ,‬מוגדר היטב‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 1.2.5‬אם ‪ N ∩ K = N ∩ K ′ ,K ⊆ K ′‬ו־ ‪ N + K = N + K ′‬אז ‪ .K = K ′‬הדרכה‪.‬‬
‫‪.K ′ = (K ′ + N ) ∩ K ′ = (K + N ) ∩ K ′ = K + (N ∩ K ′ ) = K + (N ∩ K) = K‬‬
‫טענה ‪ 1.2.6‬תהי‬
‫◦‬
‫◦‬
‫‪0 = Mt < · · · < M2 < M1 < M0 = M‬‬
‫סדרת הרכב‪ ,‬ויהי ‪ N < M‬תת־מודול כלשהו‪ .‬אחרי ניכוי השוויונות‪,‬‬
‫‪0 ≤ · · · ≤ Mi ∩ N ≤ · · · ≤ N ≤ · · · ≤ Mi + N ≤ · · · ≤ M‬‬
‫היא סדרת הרכב‪ ,‬מאותו אורך ועם מנות איזומורפיות למנות בסדרה המקורית‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫)‪(1.1‬‬
‫פרק ‪ .1‬מודולים נתריים וארטיניים‬
‫‪ .1.2‬סדרות הרכב‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן ‪ ,Ki = Mi ∩ N + Mi+1‬כך שתמיד ≤ ‪Mi+1‬‬
‫‪ .Ki ≤ Mi‬מכיוון ש־ ‪ N ∩ M0 = N = N + Mt‬משתתף בשני‬
‫חלקי הסדרה‪ ,‬המנות בסדרה החדשה הן ‪(Mi + N )/(Mi+1 +‬‬
‫∼ ) ‪ .(Mi ∩N )/(Mi+1 ∩N‬לכל‬
‫∼ ) ‪ N‬ו־ ‪= Ki /Mi+1‬‬
‫‪= Mi /Ki‬‬
‫‪ ,i‬בין אם ‪ Ki = Mi+1‬ובין אם ‪ ,Ki = Mi‬אחת המנות האלה‬
‫‬
‫היא ‪ ,Mi /Mi+1‬והשניה שווה לאפס‪.‬‬
‫‪Mi + NPP‬‬
‫‪PP‬‬
‫‪Mi+1 +EN‬‬
‫‪E‬‬
‫‪N‬‬
‫‪yyy‬‬
‫‪sss‬‬
‫‪Mi KKK‬‬
‫‪KKKKK‬‬
‫‪n‬‬
‫‪nnn‬‬
‫‪Ki PPP‬‬
‫‪PP‬‬
‫‪ssssss‬‬
‫‪Mi ∩ N‬‬
‫‪nnn‬‬
‫‪Mi+1 J‬‬
‫‪J‬‬
‫‪Mi+1 ∩ N‬‬
‫משפט ‪) 1.2.7‬משפט ז'ורדן־הולדר־שרייר( יהי ‪ M‬מודול בעל סדרת הרכב )‪ .(1.1‬אז‬
‫‪ .1‬כל סדרה של תת־מודולים ‪ 0 = Nℓ < · · · < N2 < N1 < M‬אפשר לעדן לסדרת הרכב;‬
‫‪ .2‬לכל שתי סדרות הרכב יש אותו אורך‪ ,‬ואותם גורמי הרכב עד כדי סדר‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נאמר ששתי סדרות הרכב הן שקולות אם יש להן אותו אורך ואותם גורמי הרכב‪ ,‬עד כדי סדר‪ .‬לפי‬
‫טענה ‪ ,1.2.6‬לכל ‪ ,N‬כל סדרת הרכב שקולה לסדרת הרכב העוברת דרך ‪ ,N‬כך שרכיבי הסדרה המכילים‬
‫את ‪ N‬או מוכלים ב־ ‪ N‬אינם משתנים‪ .‬לכן סדרת ההרכב שקולה לסדרת הרכב העוברת דרך ‪ ,N1‬וזו‬
‫שקולה לסדרת הרכב העוברת דרך ‪ ,N2 < N1‬וכן הלאה עד לסדרת הרכב המעדנת את הסדרה הנתונה‪.‬‬
‫‬
‫לכן אפשר להגדיר‪:‬‬
‫הגדרה ‪ 1.2.8‬אם יש למודול ‪ M‬סדרת הרכב באורך ‪ n‬אומרים שהאורך שלו הוא ‪ ,n‬ומסמנים ‪.ℓ(M ) = n‬‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ 1.2.9‬יהי ‪ M‬מודול בעל אורך סופי; אז לכל תת־מודול ‪ ,N‬יש ל־ ‪ N‬ול־ ‪M/N‬‬
‫סדרות הרכב‪ ,‬ומתקיים ) ‪ .ℓ(M ) = ℓ(N ) + ℓ(M/N‬הדרכה‪ .‬אם נתונות סדרות הרכב‬
‫של ‪ N‬ושל ‪ M/N‬אפשר להרים את האחרונה לסדרת הרכב מ־ ‪ N‬ל־ ‪ M‬ולקבל סדרת‬
‫הרכב של ‪ .M‬בכיוון ההפוך יש לעדן את הסדרה ‪ 0 < N < M‬כפי שמאפשר לעשות משפט‬
‫ז'ורדן־הולדר־שרייר‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 1.2.10‬אם ‪ N, N ′‬הם תת־מודולים בעלי אורך סופי של ‪ ,M‬אז ≤ ) ‪ℓ(N + N ′‬‬
‫) ‪ .ℓ(N )+ ℓ(N ′‬הדרכה‪ℓ(N + N ′ ) = ℓ((N +N ′ )/N ′ ) + ℓ(N ′ ) = ℓ(N/(N ∩N ′ ))+ℓ(N ′ ) = .‬‬
‫) ‪.ℓ(N ) + ℓ(N ′ ) − ℓ(N ∩ N ′‬‬
‫תרגיל ‪ 1.2.11‬הראה שסדרת ההרכב המתקבלת בהוכחה של משפט ז'ורדן־הולדר־‬
‫שרייר היא‬
‫‪0 ≤ · · · ≤ Nj+2 + Mi ∩ Nj+1 ≤ · · · ≤ Nj+1 + Mi ∩ Nj ≤ · · · ≤ M,‬‬
‫עם סדר לקסיקוגרפי של האינדקסים )קודם ‪ j‬ואחר־כך ‪.(i‬‬
‫‪12‬‬
‫פרק ‪ .1‬מודולים נתריים וארטיניים‬
‫‪1.3‬‬
‫‪ .1.3‬תנאי השרשרת‬
‫תנאי השרשרת‬
‫תרגיל ‪ 1.3.1‬אם · · · ≤ ‪ M1 ≤ M2‬מודולים )תת־מודולים של מודול ‪ ,(M‬אז גם ‪∪Mi‬‬
‫הוא מודול )תת־מודול של ‪.(M‬‬
‫תרגיל ‪ 1.3.2‬חיתוך משפחה כלשהי של תת־מודולים הוא תת־מודול‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 1.3.3‬אומרים שמודול ‪ M‬מקיים את תנאי השרשרת העולה אם כל שרשרת עולה של תת־מודולים‬
‫מוכרחה להסתיים‪ :‬לא יתכן ש־ · · · < ‪ M0 < M1‬כשאלו תת־מודולים של ‪ .M‬מודול כזה נקרא נתרי‬
‫)על־שם אמי נתר(‪.‬‬
‫אומרים ש־ ‪ M‬מקיים את תנאי השרשרת היורדת אם כל שרשרת יורדת של תת־מודולים מוכרחה להסתיים‪:‬‬
‫לא יתכן ש־ · · · > ‪ .M0 > M1‬מודול כזה נקרא ארטיני )על־שם אמיל ארטין(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 1.3.4‬תנאי השרשרת העולה שקול לתנאי המקסימום‪ ,‬שלפיו בכל משפחה של‬
‫תת־מודולים יש איבר מקסימלי‪ .‬בדומה לזה‪ ,‬תנאי השרשרת היורדת שקול לתנאי‬
‫המינימום )בכל משפחה של תת־מודולים יש איבר מינימלי(‪.‬‬
‫דוגמא ‪ 1.3.5‬כמודולים מעל ‪:Z‬‬
‫‪ Z .1‬הוא נתרי )כל מנה אמיתית שלו היא סופית( אבל לא ארטיני‪.· · · < 2n Z < · · · < Z :‬‬
‫‪ Q/Z .2‬אינו נתרי )הסדרה ‪ 2−n Z/Z‬עולה( ואינו ארטיני )הסדרה ]‪Mp = Z[ 1q : q > p‬‬
‫יורדת(‪.‬‬
‫‪ Z[ 51 ]/Z .3‬ארטיני )כל תת־מודול אמיתי הוא סופי( ואינו נתרי‪< :‬‬
‫· · ·‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Z/Z‬‬
‫‪25‬‬
‫< ‪0 < 51 Z/Z‬‬
‫ארטיני‪/‬נתרי מעל ‪ .Z‬הדרכה‪) .‬דוגמא )‪(1.3.5.(2‬‬
‫הוא מודול ‪{ n‬‬
‫תרגיל ‪ 1.3.6‬קבע האם ‪} Q‬‬
‫האם הוא ארטיני‪/‬נתרי מעל ‪: 2̸ | m‬‬
‫תרגיל ‪1.3.7‬‬
‫‪m‬‬
‫= ⟩‪?R = Z⟨2‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ M‬איזומורפי לתת־מודול אמיתי של ‪ ,M‬אז ‪ M‬אינו ארטיני‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ M‬איזומורפי למודול מנה אמיתי של ‪ ,M‬אז ‪ M‬אינו נתרי‪.‬‬
‫טענה ‪ 1.3.8‬מודול הוא ארטיני וגם נתרי אם ורק אם יש לו סדרת הרכב‪.‬‬
‫◦‬
‫הוכחה‪ .‬אם יש סדרת הרכב‪ ,‬הטענה ברורה לפי משפט ז'ורדן־הולדר־שרייר‪ .‬בכיוון ההפוך‪ ,‬נניח ש־ ‪M‬‬
‫מקיים את שני תנאי השרשרת‪ .‬נבחר ‪ ,M0 = M‬ואחרי שבחרנו את ‪ ,Mi‬אם ‪ ,Mi ̸= 0‬נבחר את ‪Mi+1‬‬
‫להיות מקסימלי מבין התת־מודולים האמיתיים של ‪) Mi‬זה אפשרי לפי תנאי המקסימום(; אבל כך מתקבלת‬
‫שרשרת יורדת של תת־מודולים‪ ,‬בסתירה לתנאי השרשרת היורדת‪ .‬מכאן שעבור ‪ i‬גדול מספיק‪,Mi = 0 ,‬‬
‫‬
‫ובנינו סדרת הרכב‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 1.3.9‬תת־מודול ומודול מנה של מודול נתרי )ארטיני( הם נתריים )ארטיניים(‪.‬‬
‫◦‬
‫טענה ‪ 1.3.10‬אם ‪ N ≤ M‬ו־ ‪ M/N‬הם נתריים )ארטיניים( אז גם ‪ M‬כזה‪.‬‬
‫◦‬
‫הוכחה‪ .‬נוכיח עבור תנאי השרשרת העולה‪ .‬נניח שיש ב־ ‪ M‬שרשרת עולה · · · < ‪.0 < M1 < M2‬‬
‫אז גם · · · < ‪ 0 < M1 ∩ N < M2 ∩ N‬ו־ · · · < ‪0 < (M1 + N )/N < (M2 + N )/N‬‬
‫שרשראות עולות‪ ,‬והן מוכרחות לעצור לפי ההנחה‪ .‬לכן קיים ‪ n‬שממנו והלאה ‪Mi ∩ N = Mi+1 ∩ N‬‬
‫‬
‫וגם ‪ ,Mi + N = Mi+1 + N‬וסיימנו לפי תרגיל ‪.1.2.5‬‬
‫‪13‬‬
‫פרק ‪ .1‬מודולים נתריים וארטיניים‬
‫‪ .1.4‬מודולים נוצרים סופית‬
‫טענה ‪) 1.3.11‬אינדוקציה נתרית( יהי ‪ M‬מודול נתרי‪ .‬נניח שאם תכונה ‪ P‬מתקיימת לכל תת־‬
‫מודול המכיל ממש את ‪ ,A ≤ M‬אז היא מתקיימת גם ל־‪ .A‬אז ‪ P‬מתקיימת לכל תת־מודול‬
‫של ‪.M‬‬
‫הוכחה‪ .‬אחרת קח דוגמא נגדית מקסימלית‪ :‬לפי ההנחה היא אינה דוגמא נגדית‪.‬‬
‫‪1.3.1‬‬
‫‬
‫תנאי השרשרת בחוגים‬
‫הגדרה ‪ 1.3.12‬חוג נקרא ארטיני או נתרי אם הוא ארטיני או נתרי כמודול מעל עצמו‪.‬‬
‫דוגמא ‪ Z 1.3.13‬הוא חוג ארטיני שאינו נתרי‪.‬‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ 1.3.14‬חוג מנה של חוג נתרי )ארטיני( הוא נתרי )ארטיני(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 1.3.15‬הראה שתת־חוג של חוג נתרי )ארטיני( אינו בהכרח נתרי )ארטיני(‪ .‬הצעה‪.‬‬
‫שדה הוא נתרי וארטיני‪ ,‬אבל תחום שלמות לעולם אינו ארטיני )טענה ‪ 5.1.8‬לעיל(‪ ,‬וגם אינו חייב‬
‫להיות נתרי‪.‬‬
‫‪1.4‬‬
‫מודולים נוצרים סופית‬
‫נתריות וארטיניות‪ ,‬כמו תנאי המינימום ותנאי המקסימום‪ ,‬הם קריטריונים לסופיות‪ .‬למרות‬
‫הסימטריה המדומה‪ ,‬יש מודולים נתריים שאינם ארטיניים‪ ,‬ומודולים ארטיניים שאינם‬
‫נתריים‪ .‬בסמסטר הבא נוכיח את משפט הופקינס־לויצקי )משפט ‪ :(8.5.4‬כל חוג ארטיני הוא‬
‫נתרי‪.‬‬
‫טענה ‪ 1.4.1‬אם ‪ R‬ארטיני או נתרי‪ ,‬אז כל מודול נוצר סופית מעל ‪ R‬גם הוא ארטיני או נתרי‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ש־ ‪ .M = Rx1 + · · · + Rxn‬ההוכחה באינדוקציה על ‪ .n‬אם ‪ n = 1‬אז‬
‫∼ ‪ ,M‬וזהו מודול מנה של ‪ R‬שהוא ארטיני או נתרי‪ .‬במקרה הכללי נסמן = ‪N‬‬
‫) ‪= R/Ann(x1‬‬
‫∼ ‪M/N‬‬
‫‪N/(N‬‬
‫∩‬
‫‪Rx‬‬
‫)‬
‫גם‬
‫אבל‬
‫האינדוקציה‪.‬‬
‫הנחת‬
‫לפי‬
‫)נתרי(‬
‫ארטיני‬
‫שהוא‬
‫‪,Rx‬‬
‫=‬
‫‪n‬‬
‫‪1 + · · · + Rxn−1‬‬
‫‬
‫הוא ארטיני )נתרי( כתת־מודול של מודול ארטיני )נתרי(; סיימנו לפי טענה ‪.1.3.10‬‬
‫תכונה נוספת שיש לבחון בהקשר זה היא קיומה של קבוצת יוצרים סופית‪ .‬מתברר שכל‬
‫מודול נתרי הוא נוצר סופית‪ ,‬אבל הכיוון ההפוך אינו נכון‪:‬‬
‫תרגיל ‪ 1.4.2‬התבונן בחוג ]‪) R = F [x, y‬שהוא נתרי‪ ,‬כפי שמיד נוכיח(‪ ,‬ובתת־החוג‬
‫‪ .R0 = F +Ry‬הראה ש־‪ Ry‬אינו נוצר סופית כמודול מעל ‪) R0‬למרות ש־‪.(Ry ⊆ R0 ·1‬‬
‫הדרכה‪ .‬ראשית‪ R0 Ry = (F + Ry)Ry = Ry + Ry 2 = Ry ,‬ולכן ‪ I = Ry‬הוא אידיאל של ‪.R0‬‬
‫∼ ‪.R0 /I‬‬
‫נתבונן במודול המנה ‪ ,M = Ry/Ry 2‬ונבחין ש־‪ ,IM = 0‬כך ש־ ‪ M‬מודול גם מעל ‪= F‬‬
‫‪∑ n‬‬
‫= ‪ M‬בעל מימד אינסופי‬
‫יוצרים של ‪ M‬מעל ‪ R0‬יוצרים אותו גם מעל ‪ ,R/I‬אלא ש־‪x y‬‬
‫כמרחב וקטורי‪.‬‬
‫טענה ‪ 1.4.3‬מודול הוא נתרי אם ורק אם כל תת־מודול שלו נוצר סופית‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫‪ .1.4‬מודולים נוצרים סופית‬
‫פרק ‪ .1‬מודולים נתריים וארטיניים‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ש־ ‪ N‬אינו נוצר סופית‪ .‬אז אפשר לבחור ‪ x0 = 0‬ולכל ‪ i‬לבחור = ‪xi+1 ̸∈ Ni‬‬
‫‪ ;Rx0 + · · · + Rxi‬מתקבלת שרשרת עולה של תת־מודולים‪ ,N1 < N2 < · · · ,‬כך ש־ ‪ N‬אינו נתרי‪.‬‬
‫לכן כל מודול נתרי )וכל תת־מודול של מודול כזה‪ ,‬שגם הוא נתרי לפי תרגיל ‪ (1.3.9‬הוא נוצר סופית‪.‬‬
‫בכיוון ההפוך‪ ,‬נניח שכל תת־מודול של ‪ N‬נוצר סופית‪ ,‬ותהי · · · < ‪ N1 < N2‬שרשרת עולה של‬
‫‪ N‬הוא תת־מודול‪ ,‬ולפי ההנחה אפשר לכתוב ‪¯ = Rx1 + · · · + Rxt‬‬
‫תת־מודולים; אז ‪¯ = ∪Ni‬‬
‫‪ ;N‬יש ‪n‬‬
‫‬
‫גדול מספיק כך שכל ‪ ,xi ∈ Nn‬ואז גם ‪ ,Nn+1 = Nn‬בסתירה להנחה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 1.4.4‬חוג הוא נתרי אם ורק אם כל אידיאל שמאלי שלו נוצר סופית‪.‬‬
‫ובפרט‪:‬‬
‫תרגיל ‪ 1.4.5‬כל תחום ראשי הוא נתרי‪.‬‬
‫משפט ‪) 1.4.6‬משפט הבסיס של הילברט( אם ‪ R‬חוג נתרי אז גם חוג הפולינומים ]‪ R[x‬הוא נתרי‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ש־]‪ R[x‬אינו נתרי‪ .‬אז יש לו אידיאל שמאלי ]‪ I ≤ℓ R[x‬שאינו נוצר סופית‪.‬‬
‫נבחר ‪ ,f0∑= 0‬ולכל ‪ j > 0‬יהי ‪ fj ∈ I‬פולינום ממעלה ‪∑nj‬שהיא מינימלית כך ש־‬
‫‪ .fj ̸∈ i<j‬יהי ‪ aj‬המקדם העליון של ‪∑.fj‬אם ‪ aj ∈ i<j Rai‬אז אפשר לכתוב‬
‫‪∑ R[x]fi‬‬
‫‪nj −ni‬‬
‫ואז ‪fi‬‬
‫‪ fj − i<j ri x‬בעל מעלה קטנה משל ‪ ,fj‬והוא‬
‫‪ aj = i<j ri ai‬עבור ‪∑ ,ri ∈ R‬‬
‫שייך ל־‪ I‬אבל לא ל־ ‪ , i<j R[x]fi‬בסתירה‪ .‬לכן · · · ⊂ ‪ Ra1 ⊂ Ra1 + Ra2‬שרשרת עולה‬
‫‬
‫אינסופית‪ ,‬וגם ‪ R‬אינו נתרי‪.‬‬
‫הערה ‪ 1.4.7‬משפט הבסיס של הילברט תקף גם כאשר ‪ R‬אינו קומוטטיבי‪ ,‬ואפילו )בשינויים‬
‫קלים של ההוכחה( עבור חוג הפולינומים המעוות ]‪ R[x; σ, δ‬כאשר ‪ σ : R→R‬אוטומורפיזם‬
‫ו־‪ δ : R→R‬גזירת־‪) σ‬כלומר‪ ,‬העתקה המקיימת ‪ ;(δ(ab) = σ(a)δ(b) + δ(a)b‬החוג מוגדר לפי‬
‫היחס )‪.xa = σ(a)x + δ(a‬‬
‫תרגיל ‪ 1.4.8‬כל חוג קומוטטיבי נוצר סופית מעל חוג נתרי הוא נתרי‪ .‬הדרכה‪ .‬משפט‬
‫הבסיס של הילברט ותרגיל ‪.1.3.14‬‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ 1.4.9‬אם ‪ R‬נתרי אז גם ]]‪ R[[x‬נתרי‪ .‬הדרכה‪ .‬נסמן ב־) ‪ ν(f‬את מעלת המונום‬
‫המוביל של ‪ ,f‬וב־¯‪ f‬את המקדם של ) ‪ xν(f‬ב־ ‪ .f‬יהי ]]‪ .I▹R[[x‬נסמן ב־ ‪ In‬את האידיאל של‬
‫‪ R‬הכולל את המקדמים המובילים של כל אברי ]]‪ .I ∩ xn R[[x‬כך · · · ‪ ,I0 ⊆ I1 ⊆ I2‬ולכן‬
‫השרשרת מתייצבת ב־ ‪ In‬מתאים‪ .‬בגלל הנתריות של ‪ ,R‬כל ‪ Ij‬נוצר סופית; קבע קבוצות‬
‫יוצרים לכל ‪ .j ≤ n ,Ij‬לכל יוצר של ‪ ,Ij‬בחר ‪ fjk ∈ I‬עם ערך ‪ ,j‬שזה המקדם המוביל שלו;‬
‫נסמן ב־ ‪ I ′‬את האידיאל של ]]‪ R[[x‬הנוצר על־ידי כל היוצרים האלה‪ .‬כעת יהי ‪ .f ∈ I‬נבנה‬
‫באינדוקציה סדרת אברים ‪ fi ∈ I ′‬כך ש־‪ .ν(f − fi ) > i‬נבחר ‪ .f−1 = 0‬לכל ‪ i ≥ 0‬נציג‬
‫את המקדם של ‪ xi‬בהפרש ‪ f − fi−1‬כצירוף מעל ‪ R‬של יוצרי ‪ ,Ii‬ונרים אותו לצירוף מעל ‪R‬‬
‫של אברי ‪ I‬המתאימים; נבחר ‪ fi‬להיות הסכום של ‪ fi−1‬עם הצירוף הזה‪ .‬כך המקדם של ‪xi‬‬
‫בהפרש ‪ f − fi‬שווה לאפס‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 1.4.10‬יהי ‪ F‬שדה‪ ,‬אז ]‪ F [x‬אינו ארטיני‪.‬‬
‫)ולכן אין גרסה אנלוגית למשפט הבסיס של הילברט עבור תכונת הארטיניות‪(.‬‬
‫תרגיל ‪ 1.4.11‬איחוד שרשרת של תת־מודולים שאינם נוצרים סופית‪ ,‬גם הוא אינו נוצר‬
‫∪‬
‫סופית‪ .‬הדרכה‪ .‬אחרת ‪ , Mα = Rx1 + · · · + Rxn‬ואז יש ‪ α‬כך ש־ ‪,x1 , . . . , xn ∈ Mα‬‬
‫בסתירה להנחה‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫◦‬
‫פרק ‪ .1‬מודולים נתריים וארטיניים‬
‫‪ .1.4‬מודולים נוצרים סופית‬
‫‪16‬‬
‫פרק ‪2‬‬
‫אידיאלים ראשוניים‬
‫אידיאל אמיתי של חוג הוא מקסימלי אם אינו מוכל באף אידיאל אמיתי אחר‪ ,‬וראשוני אם‬
‫אינו מכיל מכפלה של אידיאלים אלא אם הוא מכיל אחד מהם‪ .‬חוג פשוט הוא חוג שאין‬
‫לו אידיאלים שונים מאפס‪ ,‬וחוג ראשוני הוא חוג שבו אפס אידיאל ראשוני‪ .‬אידיאל הוא‬
‫מקסימלי אם ורק אם ‪ R/I‬פשוט‪ ,‬וראשוני אם ורק אם ‪ R/I‬ראשוני‪.‬‬
‫המושגים קשורים זה לזה באופן הדוק‪ :‬כל אידיאל ראשוני הוא מקסימלי‪ ,‬ואידיאל‬
‫מקסימלי ביחס לתכונה מסויימת הוא לעתים קרובות ראשוני‪.‬‬
‫‪2.1‬‬
‫אידיאלים ראשוניים ומקסימליים‬
‫תרגיל ‪ 2.1.1‬אידיאל ‪ P‬בחוג קומוטטיבי ‪ R‬הוא ראשוני אם ורק אם ‪ R/P‬הוא תחום‬
‫שלמות‪.‬‬
‫תרגיל ‪) 2.1.2‬כאשר ‪ R‬קומוטטיבי( ‪ P ▹R‬ראשוני אם ורק אם לכל ‪ ,a, b ∈ R‬אם ‪ab ∈ P‬‬
‫אז ‪ a ∈ P‬או ‪.b ∈ P‬‬
‫תרגיל ‪ 2.1.3‬יהי ‪ P‬אידיאל ראשוני‪ .‬אם ‪ P = A ∩ B‬אז ‪ A = P‬או ‪ .B = P‬הדרכה‪.‬‬
‫‪.AB ⊆ A ∩ B‬‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ nZ 2.1.4‬הוא אידיאל ראשוני של ‪ Z‬אם ורק אם ‪ n‬ראשוני‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 2.1.5‬בתחום פריקות יחידה‪ :‬האידיאל ‪ P = Rp‬הוא ראשוני אם ורק אם ‪p‬‬
‫אי־פריק‪ ,‬וכל אידיאל ראשוני ≠ ‪ 0‬כולל איבר אי־פריק‪.‬‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ 2.1.6‬יהי ‪ R‬תחום שלמות נתרי )חוג נתרי הוא בפרט אטומי‪ ,‬כלומר כל איבר‬
‫הוא מכפלה של איברים אי־פריקים(‪ .‬הראה שכל אידיאל ראשוני של ‪ R‬נוצר על־‬
‫ידי איברים אי־פריקים‪ .‬הדרכה‪ .‬נניח ש־⟩ ‪ ;P = ⟨aa′ , c1 , . . . , cn‬אז ⟩ ‪A = ⟨a, c1 , . . . , cn‬‬
‫ו־} ‪ A′ = {a′ , c1 , . . . , cn‬מקיימים ‪ ,AA′ = ⟨aa′ , aci , a′ ci , ci cj ⟩ ⊆ P‬ולכן למשל ‪ ,A ⊆ P‬והרי‬
‫מצד שני ‪ .P ⊆ A‬לכן ‪ P = A‬ואפשר להמשיך באינדוקציה על מספר הגורמים הכולל‪.‬‬
‫משפט ‪) 2.1.7‬משפט השאריות הסיני( יהיו ‪ I1 , . . . , In‬אידיאלים קו־מקסימליים של חוג ‪.R‬‬
‫∼ ) ‪.R/(I1 ∩ · · · ∩ In‬‬
‫אז ‪= R/I1 × · · · × R/In‬‬
‫הגדרה ‪ 2.1.8‬עבור ‪ ,I, I ′ ▹R‬נגדיר }‪ .I:I ′ = {x ∈ R : xI ′ ⊆ I‬זהו האידיאל הגדול ביותר המקיים‬
‫‪.(I:I ′ )I ′ ⊆ I‬‬
‫‪17‬‬
‫◦‬
‫פרק ‪ .2‬אידיאלים ראשוניים‬
‫‪ .2.2‬חוגים מקומיים‬
‫תרגיל ‪ 2.1.9‬אם ‪ I‬אינו ראשוני‪ ,‬אז יש ‪ a ̸∈ I‬כך ש־‪ .I ⊂ I:a‬הדרכה‪ .‬קח ‪ a, b ∈ R‬כך‬
‫ש־‪ a, b ̸∈ I‬ו־‪ ,ab ∈ I‬אז ‪.b ∈ I:a‬‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ 2.1.10‬יהי ‪ ,J▹R‬ויהי ‪ .a ∈ R‬אם ‪ I + Ra‬ו־‪ I:a‬נוצרים סופית‪ ,‬אז גם ‪ I‬נוצר‬
‫∑‬
‫∑‬
‫∑‬
‫= ‪ .I + Ra‬לפי ההנחה ‪, Rxi a = (I:a)a ⊆ I‬‬
‫= ‪ I:a‬ו־ ‪Ryj‬‬
‫סופית‪ .‬הדרכה‪ .‬כתוב ‪Rxi‬‬
‫ולכל ‪ j‬יש ‪ tj ∈ R‬כך ש־‪ .yj − tj a ∈ I‬נראה שהאברים }‪ {xi a, yj − tj a‬יוצרים את ‪ :I‬לכל‬
‫∑‬
‫∑‬
‫∑‬
‫∑‬
‫= ‪ ,c‬ואז ‪ ( sj tj )a ∈ I‬ולכן‬
‫= ‪sj yj‬‬
‫‪ ,c ∈ I‬יש ‪ sj ∈ R‬כך ש־‪sj (yj − tj a) + ( sj tj )a‬‬
‫∑‬
‫שייך לאידיאל ‪. Rxi a‬‬
‫המשפט הבא מדגים את העקרון שהוצג בתחילת הסעיף‪ ,‬על כך שאידיאלים מקסימליים‬
‫ביחס לתכונה מסויימת נוטים להיות ראשוניים‪.‬‬
‫משפט ‪ 2.1.11‬חוג קומוטטיבי ‪ R‬שבו כל אידיאל ראשוני נוצר סופית‪ ,‬הוא נתרי‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬אם כל האידיאלים נוצרים סופית‪ ,‬סיימנו‪ .‬נניח שלא‪ ,‬אז לפי תרגיל ‪ ,1.4.11‬מכיוון‬
‫שהתנאי סגור לשרשראות‪ ,‬אפשר להפעיל את הלמה של צורן ולקבל אידיאל ‪ J‬שהוא‬
‫מקסימלי בין אלו שאינם נוצרים סופית‪.‬‬
‫אם ‪ J‬אינו ראשוני אז לפי תרגיל ‪ 2.1.9‬יש ‪ a ∈ R‬כך ש־‪ J ⊂ J:a‬ו־‪ ,J ⊂ Ra + J‬ולפי‬
‫המקסימליות שני האידיאלים האלה נוצרים סופית‪ .‬אבל אז‪ ,‬לפי תרגיל ‪ ,2.1.10‬גם ‪ J‬נוצר‬
‫‬
‫סופית‪ ,‬בסתירה להנחה‪ .‬מכאן ש־‪ J‬ראשוני‪ ,‬אבל אז הוא נוצר סופית לפי ההנחה‪.‬‬
‫‪2.2‬‬
‫חוגים מקומיים‬
‫מן הלמה של צורן נובע שכל אידיאל בחוג )עם יחידה( מוכל באידיאל מקסימלי‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 2.2.1‬חוג קומוטטיבי הוא מקומי אם יש לו אידיאל מקסימלי יחיד‪.‬‬
‫טענה ‪ R 2.2.2‬מקומי אם ורק אם )‪ R − U (R‬אידיאל‪ ,‬אם ורק אם )‪ R − U (R‬סגור לחיבור‪,‬‬
‫אם ורק אם לכל ‪ a ,a ∈ R‬או ‪ 1 − a‬הפיכים‪.‬‬
‫◦‬
‫משפט ‪) 2.2.3‬הלמה של נקיימה לחוגים מקומיים( יהי ‪ R‬חוג מקומי‪ .‬לכל אידיאל ‪ A▹R‬ולכל‬
‫מודול נוצר סופית ‪ ,M‬מתקיים ‪.AM < M‬‬
‫הוכחה‪ .‬נכתוב ‪ M = Rx1 + · · · + Rxn‬עבור ‪ n‬מינימלי‪ ,‬ונניח בשלילה ש־ ‪ .AM = M‬בפרט‬
‫עבור ‪ ;ai ∈ A‬ואז‬
‫לכתוב את ‪= AM‬‬
‫∑ ‪ xn ∈ M‬בצורה ‪∑ xn = a1 x1 + · · · + an xn‬‬
‫אפשר ∑‬
‫‪ .(1 − an )xn ∈ i<n Axi ⊆ i<n Rxi‬אבל ‪ 1 − an‬הפיך‪ ,‬ולכן ‪ ,xn ∈ i<n Rxi‬בסתירה‬
‫‬
‫להנחה‪.‬‬
‫מסקנה ‪) 2.2.4‬הלמה של נקיימה לחוגים קומוטטיביים( לכל מודול נוצר סופית ‪ M‬מעל חוג‬
‫קומוטטיבי ‪ R‬קיים אידיאל מקסימלי ‪ A‬כך ש־ ‪.AM ̸= M‬‬
‫‪18‬‬
‫◦‬
‫‪ .2.3‬מיקום‬
‫פרק ‪ .2‬אידיאלים ראשוניים‬
‫‪ 2.3‬מיקום‬
‫תהי ‪ S‬תת־קבוצה של חוג ‪ .R‬היינו רוצים לבנות חוג המכיל את ‪ ,R‬שבו כל אברי ‪ S‬הפיכים‪.‬‬
‫זה לא תמיד אפשרי )משום שמחלקי אפס אינם הפיכים בשום הרחבה של החוג(; בכל זאת‪,‬‬
‫נניח שלקבוצה ‪ S‬יש התכונות הבאות‪:‬‬
‫‪ S .1‬סגורה לכפל וכוללת את איבר היחידה‪.‬‬
‫‪ S .2‬מוכלת במרכז של ‪.R‬‬
‫נגדיר על ‪ S ×R‬יחס שקילות‪ (s, r) ≡ (s′ , r′ ) :‬אם קיים ‪ s0 ∈ S‬כך ש־‪s0 (s′ r−sr′ ) = 0‬‬
‫)אם כל אברי ‪ S‬רגולריים‪ ,‬כלומר אינם מחלקי אפס‪ ,‬אז ההגדרה פשוטה יותר‪(s, r) ≡ :‬‬
‫) ‪ (s′ , r′‬אם ‪(.s′ r = sr′‬‬
‫תרגיל ‪ 2.3.1‬הראה שזהו אכן יחס שקילות‪) .‬היכן השתמשנו בהנחה ש־‪ S‬מרכזית?(‬
‫{‬
‫}‬
‫את מחלקת השקילות של )‪ (s, r‬נסמן ‪ . rs‬נסמן גם ‪ .S −1 R = rs : s ∈ S, r ∈ R‬על‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪. rs + rs′ = s r+sr‬‬
‫‪, rs · rs′ = rr‬‬
‫הקבוצה הזו אפשר להגדיר פעולות‪:‬‬
‫‪ss′‬‬
‫‪ss′‬‬
‫תרגיל ‪ 2.3.2‬הראה שהפעולות מוגדרות היטב‪.‬‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ 2.3.3‬הראה ש־‪ ,S −1 R‬עם הפעולות שהוגדרו לעיל‪ ,‬הוא חוג‪ ,‬שאיבר היחידה שלו‬
‫‪. 11‬‬
‫נגדיר העתקה ‪ ι : R→S −1 R‬לפי‬
‫‪r‬‬
‫‪1‬‬
‫◦‬
‫◦‬
‫→‪.r 7‬‬
‫תרגיל ‪ 2.3.4‬הראה ש־}‪ ,Ker(ι) = {r ∈ R : (∃s ∈ S)sr = 0‬והסק ש־‪ ι‬שיכון אם ורק‬
‫אברי ‪ S‬רגולריים )במקרה זה אפשר לזהות את ‪ R‬עם העותק האיזומורפי‬
‫אם כל‬
‫{‬
‫}‬
‫‪ ιR = 1r : r ∈ R‬שהוא תת־חוג של ‪(.S −1 R‬‬
‫תרגיל ‪ 2.3.5‬הראה שאם ‪ 0 ∈ S‬אז ‪.S −1 R = 0‬‬
‫תרגיל ‪ 2.3.6‬תן דוגמא שבה ‪ 0 ̸∈ S‬ובכל־זאת ‪ ι : R→S −1 R‬אינו שיכון‪.‬‬
‫}‬
‫{‬
‫תרגיל ‪{ 2.3.7‬הראה שאברי ‪ ιS = 1s : s ∈ S‬הפיכים ב־‪ .S −1 R‬לכן אפשר לכתוב‬
‫}‬
‫‪.S −1 = 1s : s ∈ S‬‬
‫תרגיל ‪ 2.3.8‬נניח שכל אברי ‪ S‬רגולריים‪ .‬הראה ש־‪ ι : R→S −1 R‬היא על‪ ,‬אם ורק אם‬
‫כל אברי ‪ S‬הפיכים כבר ב־‪.R‬‬
‫האוניברסליות של חוג השברים‬
‫נאמר שהומומורפיזם ‪ R→R′‬הוא ''הופך ‪ ''S‬אם התמונה של כל איבר של ‪ S‬הפיכה ב־ ‪.R′‬‬
‫משפט ‪ 2.3.9‬יהי ‪ φ : R→A‬הומומורפיזם הופך ‪ .S‬אז קיים הומומורפיזם יחיד ‪ φ′ : S −1 R→A‬כך‬
‫ש־‪.φ = φ′ ◦ ι‬‬
‫‪S −1O R‬‬
‫‪φ′‬‬
‫"‬
‫‪/A‬‬
‫‪ι‬‬
‫‪φ‬‬
‫‪19‬‬
‫‪R‬‬
‫◦‬
‫‪ .2.3‬מיקום‬
‫‪2.3.1‬‬
‫פרק ‪ .2‬אידיאלים ראשוניים‬
‫האידיאלים של ‪S −1 R‬‬
‫} הטבעית כעת היא{ מה קורה לאידיאלים של ‪ R‬כשעוברים לחוג ‪ .S −1 R‬אם ‪,A▹R‬‬
‫השאלה‬
‫‪a‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫נסמן ‪ .S A = s : a ∈ A, s ∈ S‬כקבוצות ב־‪ ,S R‬מתקיים )‪.S A = S · ι(A‬‬
‫תרגיל ‪ 2.3.10‬לכל ‪ S −1 A ,A▹R‬הוא אידיאל של ‪.S −1 R‬‬
‫}‬
‫{‬
‫בכיוון ההפוך‪ ,‬לכל ‪ ,T ▹S −1 R‬נתבונן ב־ ‪.ι−1 (T ) = a ∈ R : a1 ∈ T‬‬
‫‪ ι : R→S −1 R‬שיכון‪ ,‬אז ‪(.ι−1 (T ) = T ∩ R‬‬
‫)אם‬
‫תרגיל ‪ 2.3.11‬לכל ‪ ι−1 (T ) ,T ▹S −1 R‬הוא אידיאל של ‪.R‬‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪2.3.12‬‬
‫‪ .1‬לכל ‪;T = S −1 ι−1 (T ) ,T ▹S −1 R‬‬
‫‪ .2‬כל אידיאל של ‪ S −1 R‬הוא מהצורה ‪ S −1 A‬עבור ‪A▹R‬‬
‫פתרון‪ .‬יהי ‪ ,T ▹S −1 R‬אז ) ‪ A = ι−1 (T‬הוא אידיאל של ‪,R‬‬
‫‪ .S −1 A = S −1 ι(A) ⊆ S −1 T = T‬מאידך‪ ,‬לכל ‪T , xs ∈ T‬‬
‫‪ ; x1 ∈ ι(T ) = A‬מכאן ש־‪ . xs = 1s x1 ∈ S −1 A‬אם כך‪= S −1 ι−1 (T ) ,‬‬
‫מתאים‪.‬‬
‫ומכיוון ש־ ‪ ,A ⊆ T‬מתקיים‬
‫= ‪ x1 = 1s xs ∈ ST‬ולכן‬
‫‪ T‬הוא מהצורה המבוקשת‪.‬‬
‫תרגיל זה מראה שההעתקות‬
‫}אידיאלים של ‪/ {R‬‬
‫‪−1 AA : Φ‬‬
‫‪oS‬‬
‫}אידיאלים של ‪R‬‬
‫) ‪Ψ : T 7→ι−1 (T‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪{S‬‬
‫מוגדרות היטב‪ ,‬וגם שההרכבה ) ‪ Φ ◦ Ψ : T 7→ S −1 ι−1 (T‬היא הזהות‪ .‬מכאן ש־‪ Ψ‬חד־חד־‬
‫ערכית‪ ,‬וש־‪ Φ‬על‪ .‬אינטואיטיבית‪ ,‬פירושו של דבר של־‪ S −1 R‬יש 'פחות' אידיאלים מאשר‬
‫ל־‪ .R‬כל אידיאל של ‪ S −1 R‬מוגדר על־ידי אידיאל של ‪ ,R‬ואידיאלים רבים של ‪ R‬עשויים‬
‫להגדיר את אותו אידיאל של ‪.S −1 R‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫החוג ‪ R‬עצמו עובר תחת ‪ Φ‬אל ‪ ,S R‬בדיוק כפי ש־‪ Ψ‬מעביר את ‪ S R‬ל־‪.R‬‬
‫תרגיל ‪2.3.13‬‬
‫‪ .1‬יהי ‪ .A▹R‬אז ‪ S −1 A‬אידיאל אמיתי אם ורק אם ∅ = ‪.S ∩ A‬‬
‫‪ .2‬יהי ‪ .T ▹S −1 R‬אז ‪ T‬אמיתי אם ורק אם החיתוך של ) ‪ ι−1 (T‬עם ‪ S‬ריק‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬ההעתקות שהוגדרו קודם לכן פועלות גם על הקבוצות המצומצמות‬
‫}אידיאלים של ‪ R‬הזרים ל־‪/ {S‬‬
‫‪S −1 AA : Φ‬‬
‫‪o‬‬
‫}אידיאלים אמיתיים של ‪R‬‬
‫) ‪Ψ : T 7→ι−1 (T‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪{S‬‬
‫וגם כאן ‪ Φ ◦ Ψ‬היא הזהות‪ ,‬כך ש־‪ Ψ‬חד־חד־ערכית‪ ,‬ו־‪ Φ‬על‪.‬‬
‫◦‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ 2.3.14‬קח ‪ R = Z‬ו־} ‪ .S = {1, 3, 9, 27, . . .‬הראה שהאידיאלים השונים ‪A = 6Z‬‬
‫ו־‪ A′ = 2Z‬של ‪ R‬מקיימים ‪ ,S −1 A = S −1 A′‬למרות ששניהם זרים ל־‪.S‬‬
‫תרגיל ‪ 2.3.15‬יהי ‪ P ▹R‬ראשוני זר ל־‪ ,S‬אז ‪ .ι−1 (S −1 P ) = P‬פתרון‪ .‬ההכלה ⊆ ‪P‬‬
‫) ‪ ι−1 (S −1 P‬טריוויאלית‪ .‬נניח ש־) ‪ , as = x1 ∈ ι−1 (S −1 P‬כאשר ‪ a ∈ P‬ו־‪ .s ∈ S‬מכיוון ש־‪ s‬מרכזי‪,‬‬
‫‪ ,(RsR)(RxR) = RsxR = RaR ⊆ P‬אבל ‪ s ̸∈ P‬ולכן ‪ ,RsR ̸⊆ P‬ולפי הראשוניות נובע מכך‬
‫ש־ ‪ .x ∈ RxR ⊆ P‬מכאן ש־ ‪. x1 ∈ P‬‬
‫‪20‬‬
‫‪ .2.3‬מיקום‬
‫פרק ‪ .2‬אידיאלים ראשוניים‬
‫תרגיל ‪ 2.3.16‬אם ‪ P ▹R‬ראשוני זר ל־‪ ,S‬אז ‪ S −1 P‬ראשוני‪ .‬פתרון‪ .‬נניח ש־ ‪T1 T2 ⊆ S −1 P‬‬
‫עבור ‪ .T1 , T2 ▹R‬נכתוב ‪ Ti = S −1 A‬עבור ‪ ,Ai ▹R‬ואז‬
‫‪A1 A2 ⊆ ι−1 (S −1 A1 · S −1 A2 ) = ι−1 (T1 T2 ) ⊆ ι−1 (S −1 P ) = P‬‬
‫לפי תרגיל ‪ .2.3.15‬מכיוון ש־ ‪ P‬ראשוני‪ ,‬יש ‪ i‬שעבורו ‪ ,Ai ⊆ P‬ואז ‪.Ti = S −1 Ai ⊆ S −1 P‬‬
‫תרגיל ‪ 2.3.17‬אם ‪ T ▹S −1 R‬ראשוני‪ ,‬אז ) ‪ ι−1 (T‬אידיאל ראשוני של ‪ .R‬פתרון‪ .‬נניח ש־‬
‫) ‪ A1 A2 ⊆ ι−1 (T‬עבור ‪ .A1 , A2 ▹R‬אז ⊆ ) ‪S −1 A1 · S −1 A2 = S −1 (A1 A2 ) ⊆ S −1 ι−1 (T‬‬
‫‪ ,S −1 T = T‬ומכיוון ש־ ‪ T‬ראשוני נובע מכך ש־ ‪ S −1 Ai ⊆ T‬ל־‪ i‬מתאים‪ .‬לכן ⊆ ) ‪Ai ⊆ ι−1 (S −1 Ai‬‬
‫) ‪.ι−1 (T‬‬
‫משני התרגילים האחרונים נובע שההתאמות‬
‫{‬
‫}‬
‫‪S −1 AA : Φ‬‬
‫‪o‬‬
‫‪R‬‬
‫של‬
‫ראשוניים‬
‫אידיאלים‬
‫}אידיאלים ראשוניים של ‪{S −1 R‬‬
‫‪/‬‬
‫הזרים ל־‪S‬‬
‫) ‪Ψ : T 7→ι−1 (T‬‬
‫מוגדרות היטב‪ ,‬ולפי תרגילים ‪ 2.3.12‬ו־‪ ,2.3.15‬הן הפוכות זו לזו‪ .‬אם כך‪ ,‬הוכחנו‪:‬‬
‫משפט ‪ 2.3.18‬יש התאמה חד־חד־ערכית ועל בין אידיאלים ראשוניים של ‪ R‬שאינם נחתכים עם ‪ ,S‬לבין‬
‫אידיאלים ראשוניים של ‪ ,S −1 R‬המוגדרת על־ידי ‪.T 7→ ι−1 (T ) ,S −1 P P‬‬
‫תרגיל ‪ 2.3.19‬יהי ‪ A▹R‬אידיאל זר ל־‪ .S‬הראה ש־‪ r + A 7→ 1r + S −1 A‬הוא הומומורפיזם‬
‫מוגדר היטב ‪ ,R/A→S −1 R/S −1 A‬שהגרעין שלו הוא ‪ .ι−1 (S −1 A)/A‬לכן הוא מתפצל‬
‫להטלה ושיכון‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪R/A R/ι (S A) ,→ S R/S A.‬‬
‫◦‬
‫◦‬
‫לעומת זאת‪:‬‬
‫תרגיל ‪ 2.3.20‬יהי ‪ P ▹R‬אידיאל ראשוני שהוא זר ל־‪.S‬‬
‫‪ .R/P ,→ S −1 R/S −1 P‬הדרכה‪ .‬תרגילים ‪ 2.3.19‬ו־‪.2.3.15‬‬
‫‪2.3.2‬‬
‫הראה שקיים שיכון‬
‫מיקום באידיאל ראשוני‬
‫תרגיל ‪ 2.3.21‬יהי ‪ P‬אידיאל של חוג קומוטטיבי ‪ .R‬הראה שהמשלים ‪ S = R−P‬סגור‬
‫לכפל אם ורק אם ‪ P‬ראשוני‪.‬‬
‫‪ ,R‬אפשר לפי התרגיל להפעיל את הבניה‬
‫אם ‪ P ▹R‬אידיאל ראשוני }של חוג קומוטטיבי {‬
‫של הסעיף הקודם ולקבל חוג ‪ ,(R − P )−1 R = xb : x ∈ R, b ̸∈ P‬שבו כל איבר מחוץ‬
‫ל־ ‪ P‬הוא הפיך‪ .‬את החוג הזה מסמנים ב־ ‪ ,RP‬והוא נקרא המיקום של ‪ R‬ב־ ‪ .P‬לכל ‪A▹R‬‬
‫המוכל ב־ ‪ ,P‬מסמנים ‪.AP = (R − P )−1 A‬‬
‫תרגיל ‪ 2.3.22‬יש התאמה חד־חד־ערכית ועל בין אידיאלים ראשוניים של ‪ R‬המוכלים‬
‫ב־ ‪ ,P‬לבין אידיאלים ראשוניים של ‪ .RP‬הדרכה‪ .‬זהו משפט ‪ 2.3.18‬עבור ‪.S = R − P‬‬
‫תרגיל ‪ 2.3.23‬יהי ‪ P‬אידיאל ראשוני של חוג קומוטטיבי ‪ .R‬אז ‪ RP‬מקומי‪ ,‬והאידיאל‬
‫המקסימלי שלו הוא ‪ .PP = (R − P )−1 P‬הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.2.3.22‬‬
‫‪21‬‬
‫◦‬
‫פרק ‪ .2‬אידיאלים ראשוניים‬
‫‪ .2.3‬מיקום‬
‫התרגיל האחרון מציג את התועלת שיש במיקום באידיאל ראשוני ‪ :P‬התוצאה היא חוג‬
‫מקומי‪ ,‬שבו 'נעלמו' כל האידיאלים שאינם מוכלים ב־ ‪ .P‬מיקום כזה מאפשר ללמוד את ‪P‬‬
‫ללא הפרעות חיצוניות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 2.3.24‬תאר את המיקום ⟩‪ .Z⟨7‬מצא איבר ‪ t ∈ Q‬כך ש־‪.Z⟨7⟩ [t] = Q‬‬
‫תרגיל ‪ 2.3.25‬אם ‪ R‬תחום שלמות אז לכל אידיאל ראשוני ‪ P ▹R‬יש שיכון )‪,RP ,→ q(R‬‬
‫כאשר )‪ q(R‬הוא שדה השברים של ‪.R‬‬
‫◦‬
‫משפט ‪ 2.3.26‬יהי ‪ R‬תחום שלמות‪ .‬אז חיתוך כל המיקומים )‪ ,RM ⊆ F = q(R‬על־פני האידיאלים‬
‫המקסימליים ‪ ,M ▹R‬שווה ל־‪.R‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ b−1 a ∈ F‬איבר השייך לכל המיקומים ‪ ;RP‬כלומר‪ a ∈ bRP ,‬לכל אידיאל‬
‫מקסימלי ‪ .P ▹R‬עלינו להראות ש־‪ ,a ∈ Rb‬ואז ‪.b−1 a ∈ R‬‬
‫יהי }‪ ;J = b:a = {x ∈ R : xa ∈ Rb‬ברור שזהו אידיאל של ‪ .R‬אם ‪ J▹R‬אידיאל‬
‫אמיתי אז הוא מוכל באידיאל מקסימלי ‪ ,J ⊆ M‬ואז מ־ ‪ b−1 a ∈ RM‬מסיקים ש־= ‪b−1 a‬‬
‫‪ b−1‬עבור ‪ a1 ∈ R‬ו־ ‪ .b1 ̸∈ M‬אבל אז ‪ ,b1 a = a1 b ∈ Rb‬כך ש־ ‪ ,b1 ∈ J ⊆ M‬בסתירה‬
‫‪1 a1‬‬
‫‬
‫לבחירת ‪ .b1‬מכאן ש־‪ 1 ∈ J‬ולכן ‪.a ∈ Rb‬‬
‫תרגיל ‪ 2.3.27‬יהי ‪ R‬תחום שלמות‪ .‬אז חיתוך כל המיקומים )‪ ,RP ⊆ F = q(R‬על־פני‬
‫האידיאלים הראשוניים ‪ ,P ▹R‬שווה ל־‪.R‬‬
‫מסקנה ‪) 2.3.28‬ממשפט ‪ (2.3.26‬יהי ‪ R‬תחום שלמות עם שדה שברים ‪ .F‬אז חיתוך כל החוגים‬
‫המקומיים ‪ R ⊆ T ⊆ F‬שווה ל־‪.R‬‬
‫‪22‬‬
‫פרק ‪3‬‬
‫אלגברות אפיניות‬
‫בפרק זה כל החוגים קומוטטיביים‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 3.0.29‬תהי ‪ C ⊆ R‬הרחבה של חוגים‪ .‬אומרים ש־‪ R‬אלגברה אפינית מעל ‪ C‬אם ‪ R‬נוצר סופית‬
‫כאלגברה מעל ‪.C‬‬
‫‪3.1‬‬
‫חוגי פולינומים‬
‫תרגיל ‪ 3.1.1‬כל אלגברה אפינית מעל ‪ C‬היא חוג מנה של ] ‪ C[λ1 , . . . , λn‬עבור ‪n‬‬
‫מתאים‪.‬‬
‫◦‬
‫טענה ‪ 3.1.2‬אם ‪ C‬חוג נתרי‪ ,‬כל אלגברה אפינית מעל ‪ C‬היא נתרית‪.‬‬
‫‬
‫הוכחה‪) .‬זהו תרגיל ‪.(1.4.8‬‬
‫תרגיל ‪ 3.1.3‬האוניברסליות של חוגי פולינומים‪ :‬נניח ש־‪ φ : C→R‬הומומורפיזם‪ .‬לכל‬
‫‪ β1 , . . . , βn ∈ R‬יש הומומורפיזם ‪ φ¯ : C[λ1 , . . . , λn ]→K‬יחיד הממשיך את ‪ ,φ‬כך ש־‬
‫‪.φ(λ‬‬
‫‪¯ i ) = βi‬‬
‫תרגיל ‪ K 3.1.4‬שדה אינסופי‪ .‬אם ] ‪ ,0 ̸= f ∈ K[λ1 , . . . , λn‬אז יש ‪ α1 , . . . , αn ∈ K‬כך‬
‫ש־‪ .f (α1 , . . . , αn ) ̸= 0‬הדרכה‪ .‬אינדוקציה על ‪.n‬‬
‫תרגיל ‪ 3.1.5‬הראה שהטענה בתרגיל ‪ 3.1.4‬אינה נכונה עבור שדה סופי ‪.K = Fq‬‬
‫‪ 3.2‬אלגבריות‬
‫הגדרה ‪ 3.2.1‬תהי ‪ C ⊆ R‬הרחבה של חוגים‪ .‬איבר ‪ a ∈ R‬הוא אלגברי מעל ‪ C‬אם יש פולינום‬
‫]‪ 0 ̸= f ∈ C[λ‬כך ש־‪ .f (a) = 0‬הרחבה היא אלגברית אם כל איבריה אלגבריים‪.‬‬
‫התוצאה המרכזית של הפרק הזה היא מסקנה ‪ ,3.4.4‬המראה שאם אלגברה אפינית היא‬
‫שדה אז היא מוכרחה להיות אלגברית )וממימד סופי מעל ‪ .(F‬מכאן נובע שאם אלגברה‬
‫אפינית אינה אלגברית‪ ,‬אז יש לה אידיאלים )וזה מאפשר להתחיל תהליכי אינדוקציה(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 3.2.2‬תהי ‪ F ⊆ R‬הרחבה שבה ‪ R‬תחום שלמות ו־ ‪ F‬שדה‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫◦‬
‫◦‬
‫פרק ‪ .3‬אלגברות אפיניות‬
‫‪ .3.2‬אלגבריות‬
‫‪ .1‬לכל ‪ F [a] ,a ∈ R‬הוא שדה אם ורק אם ‪ a‬אלגברי מעל ‪.F‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ a1 , . . . , an ∈ R‬אלגבריים מעל ‪ F‬אז ] ‪ F [a1 , . . . , an‬הוא שדה‪.‬‬
‫טענה ‪ 3.2.3‬תהי ‪ C ⊆ R‬הרחבה אלגברית של תחומי שלמות‪ .‬אז כל אידיאל ‪0 ̸= A▹R‬‬
‫נחתך עם ‪.C‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ .0 ∈ a ∈ A‬אז קיימים ‪ c0 , · · · , cn ∈ C‬כך ש־‪ ;cn an +· · ·+c1 a+c0 = 0‬אם ‪c0 = 0‬‬
‫אפשר לצמצם ולקבל פולינום ממעלה נמוכה יותר‪ .‬כך ‪.0 ̸= c0 = −(cn an−1 +· · ·+c1 )a ∈ Ra ⊆ A‬‬
‫‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ 3.2.4‬תחום שלמות אלגברי מעל שדה הוא שדה בעצמו‪ .‬הדרכה‪ .‬טענה ‪.3.2.3‬‬
‫‪3.2.1‬‬
‫מימד טרנסצנדנטי‬
‫יחס בין תת־קבוצות ואברים של קבוצה ‪) X‬כלומר‪ ,‬לכל תת־קבוצה ‪ S ⊆ X‬ולכל‬
‫הגדרה ‪ 3.2.5‬יהי‬
‫‪ S‬אם לכל‬
‫‪ (.S‬עבור תת־קבוצה ‪ S ′‬נסמן ‪S ′‬‬
‫איבר ‪ ,s ∈ X‬יכול להתקיים או לא להתקיים היחס ‪s‬‬
‫‪ .S‬היחס נקרא תלות פורמלית אם‬
‫‪ x ∈ S ′‬מתקיים ‪x‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ s ∈ S‬אז ‪s‬‬
‫‪ .2‬אם ‪s‬‬
‫‪;S‬‬
‫‪ S‬אז קיימת ‪ S0 ⊆ S‬סופית כך ש־‪s‬‬
‫‪ S ′‬אז ‪a‬‬
‫‪ .3‬אם ‪a‬‬
‫‪ S‬ו־‪S‬‬
‫‪ .4‬אם ‪b‬‬
‫}‪ S ∪ {a‬אבל ‪b‬‬
‫‪;S ′‬‬
‫}‪") S ∪ {b‬למת ההחלפה של שטייניץ"(‪.‬‬
‫̸ ‪ S‬אז ‪a‬‬
‫קבוצה ‪ S‬נקראת בלתי תלויה אם לכל ‪a ,a ̸∈ S‬‬
‫◦‬
‫‪;S0‬‬
‫̸ }‪.S−{a‬‬
‫תרגיל ‪ 3.2.6‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי‪ .‬היחס "‪s‬‬
‫הוא תלות פורמלית על ‪.V‬‬
‫‪ S‬אם ‪ s‬הוא צירוף לינארי של אברי ‪"S‬‬
‫תרגיל ‪ 3.2.7‬הסבר היכן נכשלת ההוכחה בתרגיל ‪ 3.2.6‬אם מחליפים את ‪ V‬במודול‬
‫כלשהו‪ ,‬ותן דוגמא נגדית מתאימה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 3.2.8‬הראה שכל תלות פורמלית מקיימת את התנאי‬
‫‪ .4′‬אם ‪a‬‬
‫̸ ‪ S‬ו־‪ S‬בלתי תלויה‪ ,‬אז }‪ S ∪ {a‬בלתי תלויה‪.‬‬
‫פתרון‪ .‬אחרת יש ‪ s ∈ S‬כך ש־‪s‬‬
‫בסתירה להנחה‪.‬‬
‫◦‬
‫}‪ ,(S−{s}) ∪ {a‬אבל ‪s‬‬
‫תרגיל ‪ 3.2.9‬אם ‪ S‬בלתי תלויה מקסימלית אז לכל ‪a ,a‬‬
‫המסקנה נובעת מתנאי ‪ .1‬אחרת }‪ S ∪ {a‬בלתי תלויה לפי ‪.4′‬‬
‫̸ }‪ ,S−{s‬ולפי תכונה ‪a 4‬‬
‫‪,S‬‬
‫‪ .S‬הדרכה‪ .‬אם ‪a ∈ S‬‬
‫תלות פורמלית‪ .‬אז כל תת־קבוצה בלתי תלויה אפשר‬
‫תרגיל ‪ 3.2.10‬נניח ש־‬
‫להרחיב לתת־קבוצה בלתי תלויה מקסימלית )ביחס להכלה(‪ .‬הדרכה‪ .‬הלמה של צורן‪.‬‬
‫◦‬
‫משפט ‪ 3.2.11‬נניח ש־‬
‫עוצמה‪.‬‬
‫תלות פורמלית‪ .‬אז לכל הקבוצות הבלתי־תלויות המקסימליות יש אותה‬
‫‪24‬‬
‫◦‬
‫‪ .3.3‬הרחבות שלמות‬
‫פרק ‪ .3‬אלגברות אפיניות‬
‫הוכחה‪) .‬נסתפק בהוכחה כאשר הקבוצות סופיות(‪ .‬תהיינה ‪ B, B ′‬קבוצות בלתי תלויות מקסימליות‪.‬‬
‫נכתוב } ‪ ,B = {b1 , . . . , bn‬ונראה שלכל ‪ k ≤ n‬קיימים ‪ b′1 , . . . , b′k ∈ B ′‬כך ש־‬
‫} ‪ {b′1 , . . . , b′k , bk+1 , . . . , bn‬בלתי תלויה‪ .‬בפרט‪ ,‬עבור ‪ ,k = n‬יוצא ש־| ‪ .n = |B| ≤ |B ′‬ההוכחה‬
‫אם ‪,bk ∈ B ′‬‬
‫באינדוקציה על ‪ .k‬עבור ‪ k = 0‬אין‬
‫מה להוכיח‪ .‬נניח }שהטענה נכונה עבור ‪{ ′ ;k − 1 ′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪ ;B‬אבל ‪ Bk = b1 , . . . , bk−1 , bk+1 , . . . , bn ̸ bk‬לפי‬
‫גמרנו‪ .‬אחרת‪ ,‬לפי תרגיל ‪bk ,3.2.9‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‬
‫הנחת האינדוקציה‪ ,‬ומתכונה ‪ 3‬נובע שקיים ‪ bk ∈ B‬כך ש־ ‪.Bk ̸ bk‬‬
‫הגדרה ‪ 3.2.12‬אומרים ש־‪ a1 , . . . , an ∈ R‬תלויים אלגברית אם קיים ] ‪ 0 ̸= f ∈ C[λ1 , . . . , λn‬כך‬
‫ש־‪.f (a1 , . . . , an ) = 0‬‬
‫הגדרה ‪ 3.2.13‬יהיו ‪ F ⊆ R‬חוגים‪ .‬עבור קבוצה ‪ S ⊆ R‬ו־‪ a ,a ∈ R‬תלוי אלגברית ב־‪ S‬אם ‪ a‬אלגברי‬
‫מעל ]‪ .F [S‬במלים אחרות אם יש ] ‪ f ∈ F [λ1 , . . . , λn , λn+1‬שאינו שייך ל־] ‪ ,F [λ1 , . . . , λn‬ואברים‬
‫‪ ,a1 , . . . , an ∈ S‬כך ש־‪.f (a1 , . . . , an , a) = 0‬‬
‫תרגיל ‪ 3.2.14‬הראה שיחס התלות האלגברית היא יחס תלות פורמלית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ C ⊆ R 3.2.15‬חוגים‪ .‬תת־קבוצה בלתי תלויה מקסימלית נקראת בסיס‬
‫גודלה הוא המימד הטרנסצנדנטי או דרגת‬
‫טרנסצנדנטי של ‪ R‬מעל ‪.C‬‬
‫הטרנסצנדנטיות )‪.trdegC (R‬‬
‫תרגיל ‪ 3.2.16‬תהי ‪ C ⊆ R‬הרחבה‪ .‬האברים ‪ a1 , . . . , at‬בלתי תלויים אלגברית אם ורק‬
‫∼ ] ‪ C[a1 , . . . , at‬על־ידי האיזומורפיזם ‪.λi 7→ ai‬‬
‫אם ] ‪= C[λ1 , . . . , λt‬‬
‫תרגיל ‪ 3.2.17‬אם ] ‪ R = C[a1 , . . . , an‬אז ‪ .trdegC (R) ≤ n‬מתקיים שוויון אם ורק אם‬
‫∼ ‪ R‬הוא חוג הפולינומים ב־‪ n‬משתנים‪.‬‬
‫] ‪= F [λ1 , . . . , λn‬‬
‫∼ ‪.R‬‬
‫הרחבה ‪ C ⊆ R‬נקראת טרנסצנדנטית טהורה אם ] ‪= C[λ1 , . . . , λn‬‬
‫תרגיל ‪ 3.2.18‬נסח את כל הנ"ל בשפה של מטרואידים‪ .‬מטרואיד הוא אוסף לא ריק ‪M‬‬
‫של תת־קבוצות‪ ,‬הסגור כלפי מטה ומקיים את האקסיומה הבאה‪ :‬לכל ‪ ,A, B ∈ M‬אם‬
‫|‪ |B| > |A‬אז יש ‪ x ∈ B \ A‬כך ש־ ‪.A ∪ {x} ∈ M‬‬
‫‪3.3‬‬
‫הרחבות שלמות‬
‫אם ‪ C ⊆ R‬הרחבה שבה ‪ C‬אינו שדה‪ ,‬יש צורך גם בהגדרה עדינה יותר מסתם אלגבריות‪.‬‬
‫פולינום הוא מתוקן אם המקדם העליון שלו הוא ‪.1‬‬
‫הגדרה ‪ 3.3.1‬אומרים ש־‪ a ∈ R‬הוא שלם מעל ‪ C‬אם ‪ x‬הוא שורש לפולינום מתוקן ]‪.f ∈ C[λ‬‬
‫טענה ‪ 3.3.2‬תהי ‪ C ⊆ R‬הרחבה‪ .‬התכונות הבאות שקולות‪:‬‬
‫‪ a ∈ R .1‬שלם;‬
‫‪ C[a] .2‬מודול נוצר סופית מעל ‪,C‬‬
‫‪ .3‬קיים תת־מודול נוצר סופית של ‪ R‬הכולל את ‪ 1‬וסגור לכפל ב־‪.a‬‬
‫‪25‬‬
‫◦‬
‫פרק ‪ .3‬אלגברות אפיניות‬
‫‪ .3.3‬הרחבות שלמות‬
‫הוכחה‪ .(2) ⇐= (1) .‬נניח ש־‪ a‬שלם‪ .‬אז עבור ‪ n‬מתאים‪ ,an ∈ C + Ca + · · · Can−1 ,‬ולכן‬
‫לכל ‪ j‬מתקיים ‪ ,aj ∈ C + · · · + Can−1‬ומכאן ש־ ‪ C[a] = C + · · · + Can−1‬הוא מודול נוצר‬
‫∑ ‪x1 , . . . , xm‬‬
‫סופית‪ C[a] .(3) ⇐=∑(2) .‬הוא המודול הדרוש‪ .(1) ⇐= (3) .‬נבחר אברים‬
‫= ‪ ;axj‬כך‬
‫= ‪ M‬הוא תת־מודול שעבורו ‪ .aM ⊆ M‬לכל ‪ j‬נכתוב ‪αij xi‬‬
‫כך ש־ ‪Cxi‬‬
‫)‪ .[a] = (αij ) ∈ Mm (C‬לפי משפט קיילי־המילטון )שתקף מעל כל חוג קומוטטיבי(‪ [a] ,‬מאפסת‬
‫∑ האופייני ]‪ ,f (λ) = det(λI − [a]) ∈ C[λ‬שהוא מתוקן‪ .‬אינדוקציה מראה ש־‬
‫את הפולינום‬
‫‬
‫‪ ak xj = ([a]k )ij xi‬לכל ‪ ;k ≥ 1‬בפרט ‪ ,f (a)1 ∈ f (a)M = 0‬ולכן ‪.f (a) = 0‬‬
‫◦‬
‫הערה ‪ 3.3.3‬יהיו ‪ ,a ∈ R ,C ⊆ R‬ו־‪ .J▹C‬אם יש תת־מודול נוצר סופית ‪ M ≤ R‬כך‬
‫‪ 1 ∈ M‬ו־ ‪ ,aM ⊆ JM‬אז ‪ a‬מקיים פולינום מוני שמקדמיו )פרט לראשון( ב־‪.J‬‬
‫∑‬
‫∑‬
‫= ‪ axi‬עבור ‪ ,αij ∈ J‬ומקדמי הפולינום האופייני‬
‫= ‪ ;M‬לפי ההנחה ‪αij xi‬‬
‫הוכחה‪ .‬נכתוב ‪Cxi‬‬
‫‬
‫שייכים ל־‪ J‬כמו בהוכחת )‪ (1) ⇐= (3‬של טענה ‪.3.3.2‬‬
‫תרגיל ‪ 3.3.4‬מצא פולינום המאפס את ‪ a1/3 + b1/3‬מעל ‪ ,F‬כאשר ‪.a, b ∈ F‬‬
‫◦‬
‫טענה ‪ 3.3.5‬תהי ‪ C ⊆ R‬הרחבה‪ .‬נניח ש־‪ a1 , . . . , at ∈ R‬שלמים מעל ‪ .C‬אז כל איבר של‬
‫] ‪ C[a1 , . . . , at‬הוא שלם מעל ‪.C‬‬
‫‪∑ k‬‬
‫= ] ‪ C[ai‬הוא נוצר סופית‪ ,‬ולכן גם תת־החוג‬
‫טענה ‪ ,3.3.2‬כל אחד מתת־החוגים ‪Cai‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫לפי ∑‬
‫‪k1‬‬
‫= ] ‪ C[a1 , . . . , an‬הוא מודול נוצר סופית‪ .‬שוב לפי הטענה‪ ,‬כל איבר שלו הוא שלם‬
‫‪Ca1 · · · akt t‬‬
‫‬
‫מעל ‪.C‬‬
‫מסקנה ‪ 3.3.6‬תהי ‪ C ⊆ R‬הרחבה‪ ,‬ויהיו ‪ a, b ∈ R‬שלמים מעל ‪ .C‬אז גם ‪ a + b‬ו־‪ ab‬הם‬
‫שלמים‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי טענה ‪ ,3.3.5‬שהרי ]‪.a + b, ab ∈ C[a, b‬‬
‫‬
‫מסקנה ‪ 3.3.7‬אוסף האברים השלמים ב־‪ R‬מעל ‪ C‬סגור לחיבור‪ ,‬כפל בסקלר וכפל; לכן זוהי‬
‫אלגברה‪ ,‬הנקראת הסגור השלם של ‪ C‬ב־‪) R‬נסמן אותה ב־)‪.(IntC (R‬‬
‫◦‬
‫טענה ‪ 3.3.8‬אם ‪ R‬שלם מעל ‪ R′‬ו־ ‪ R′‬שלם מעל ‪ C‬אז ‪ R‬שלם מעל ‪.C‬‬
‫‪∑ i‬‬
‫= ‪ ;an‬לכן ‪ a‬שלם מעל‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ .a ∈ R‬לפי ההנחה יש ‪ b0 , . . . , bn−1 ∈ R′‬כך ש־ ‪bi a‬‬
‫] ‪ ,C[b1 , . . . , bn−1‬ומכאן ש־]‪ C[b1 , . . . , bn−1 ][a‬מודול סופי מעל ] ‪ C[b1 , . . . , bn−1‬שהוא מודול סופי‬
‫‬
‫מעל ‪ .C‬לפי הגרירה )‪ (1) ⇐= (3‬של טענה ‪ a ,3.3.2‬שלם מעל ‪.C‬‬
‫הגדרה ‪ 3.3.9‬החוג ‪ R‬נקרא הרחבה שלמה של ‪ C‬אם ‪ ,IntC (R) = R‬כלומר כל אברי ‪ R‬שלמים מעל‬
‫‪ .C‬אומרים ש־‪ C‬סגור בשלמות בתוך ‪ R‬אם ‪.IntC (R) = C‬‬
‫תרגיל ‪ 3.3.10‬הראה ש־‪ Z‬סגור בשלמות בתוך ‪ ,Q‬ושכל חוג ‪ C‬סגור בשלמות בתוך‬
‫חוג הפולינומים ]‪.C[λ‬‬
‫טענה ‪ 3.3.11‬לכל הרחבה ‪ IntC (R) ,C ⊆ R‬סגור בשלמות בתוך ‪.R‬‬
‫הוכחה‪ .‬כל איבר שלם מעל )‪ IntC (R‬הוא שלם מעל ‪ C‬לפי טענה ‪.3.3.8‬‬
‫‪26‬‬
‫‬
‫פרק ‪ .3‬אלגברות אפיניות‬
‫◦‬
‫‪ .3.3‬הרחבות שלמות‬
‫תרגיל ‪ 3.3.12‬נניח ש־‪ a‬אלגברי‪ ,‬כלומר מאפס פולינום ]‪.f (λ) = c0 + · · · + cn λn ∈ C[λ‬‬
‫הראה שבמקרה זה ‪ cn a‬שלם‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 3.3.13‬נניח ש־‪ C‬תחום שלמות‪ ,‬ו־ ‪ F‬שדה השברים שלו‪ .‬תהי ‪ R‬הרחבה של‬
‫‪ .C‬אז כל האברים האלגבריים של ‪ R‬נמצאים בתת־האלגברה )‪ F · IntC (R‬של‬
‫‪.F R = (C−{0})−1 R‬‬
‫∑‬
‫תרגיל ‪ 3.3.14‬אם ‪ a‬אלגברי והפיך‪ ,‬אז גם ‪ a−1‬אלגברי‪ .‬הדרכה‪ .‬כתוב ‪, ni=0 αi ai = 0‬‬
‫∑‬
‫אז ‪. αi (a−1 )n−i = 0‬‬
‫תרגיל ‪ 3.3.15‬אם ‪ a ∈ R‬הפיך ו־ ‪ a−1‬שלם‪ ,‬אז ]‪ .a−1 ∈ C[a‬הדרכה‪ .‬כתוב = ‪a−n‬‬
‫‪∑n−1‬‬
‫‪∑n−1‬‬
‫‪.a−1 = i=0‬‬
‫‪ , i=0‬אז ‪αi an−i−1‬‬
‫‪αi a−i‬‬
‫‪3.3.1‬‬
‫◦‬
‫אידיאלים בהרחבות שלמות‬
‫כאן נלמד את הקשר בין האידיאלים של ‪ R‬ו־‪.C‬‬
‫תרגיל ‪ 3.3.16‬תהי ‪ C ⊆ R‬הרחבה‪ .‬לכל אידיאל ‪ ,A▹R‬יש שיכון ‪.C/(C ∩ A) ,→ R/A‬‬
‫טענה ‪ 3.3.17‬תהי ‪ C ⊆ R‬הרחבה כלשהי‪ .‬לכל אידיאל ראשוני ‪ Q▹R‬ראשוני‪ Q ∩ C ,‬אידיאל‬
‫ראשוני של ‪.C‬‬
‫◦‬
‫◦‬
‫הוכחה‪ .‬לפי תרגיל ‪ ;C/(Q ∩ C) ,→ R/Q ,3.3.16‬מכיוון ש־‪ R/Q‬תחום שלמות‪ ,‬גם )‪C/(Q ∩ C‬‬
‫‬
‫תחום שלמות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 3.3.18‬נניח ש־‪ R‬שלם מעל ‪ .C‬לכל אידיאל ‪ ,A▹R‬גם ‪ R/A‬הרחבה שלמה‬
‫של )‪.C/(C ∩ A‬‬
‫תרגיל ‪ 3.3.19‬יהי ‪ C ′‬הסגור השלם של ‪ C‬בתוך ‪ .R‬אז לכל מונויד ‪ S −1 C ′ ,S ⊆ C‬הוא‬
‫הסגור השלם של ‪ S −1 C‬בתוך ‪ .S −1 R‬הדרכה‪ .‬נניח ש־‪ s−1 a ∈ S −1 R‬שלם מעל ‪;S −1 C‬‬
‫◦‬
‫◦‬
‫הוכח שקיים ‪ s′‬כך ש־‪ s′ a‬שלם מעל ‪ ;C‬אז ‪.s−1 a = (s′ s)−1 (s′ a) ∈ S −1 C ′‬‬
‫תרגיל ‪ 3.3.20‬נניח ש־‪ C ⊆ R‬הרחבה שלמה‪ ,‬אז לכל מונויד ‪S −1 C ⊆ S −1 R ,S ⊆ C‬‬
‫הרחבה שלמה‪ .‬הדרכה‪ .‬מקרה פרטי של תרגיל ‪.3.3.19‬‬
‫למה ‪ 3.3.21‬נניח ש־‪ R‬תחום שלמות‪ ,‬ושלם מעל ‪ .C‬אז ‪ R‬שדה אם ורק אם ‪ C‬שדה‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ש־‪ R‬שדה‪ .‬לכל ‪ ;c−1 ∈ R ,c ∈ C‬מכיוון ש־ ‪ c−1‬שלם מעל ‪ C‬לפי ההנחה‪c−1 ∈ ,‬‬
‫‬
‫‪ C[c] = C‬לפי תרגיל ‪ .3.3.15‬הכיוון ההפוך הוא מקרה פרטי של תרגיל ‪.3.2.4‬‬
‫תרגיל ‪ 3.3.22‬הוכח את הכיוון ההפוך של למה ‪ 3.3.21‬ישירות‪ .‬הדרכה‪ .‬נניח ש־‪ C‬שדה‪,‬‬
‫∑‬
‫ויהי ‪ .r ∈ R‬מכיוון ש־‪ r‬שלם אפשר לכתוב ‪ rn + i<n ci ri = 0‬עבור ‪ n‬מינימלי; אם ‪c0 = 0‬‬
‫∑‬
‫אפשר היה לצמצם בסתירה למינימליות של ‪ ,n‬ולכן ‪ r(rn−1 + 0<i<n ci ri ) = −c0‬הפיך‪.‬‬
‫תרגיל ‪ R = F [x : x2 = 0] 3.3.23‬היא דוגמא נגדית ללמה ‪ ,3.3.21‬כאשר מוותרים על‬
‫ההנחה ש־‪ R‬תחום שלמות‪ .‬אכן‪ F ⊆ R ,‬היא הרחבה שלמה‪ ,‬ו־‪ R‬אינו שדה‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫◦‬
‫◦‬
‫פרק ‪ .3‬אלגברות אפיניות‬
‫‪ .3.4‬שדות אינם אפיניים‬
‫מסקנה ‪ 3.3.24‬נניח ש־‪ R‬שלם מעל ‪ ,C‬ויהי ‪ M ▹R‬אידיאל ראשוני‪ .‬אז ‪ M ▹R‬מקסימלי אם‬
‫ורק אם ‪ N = M ∩ C▹C‬מקסימלי‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי תרגיל ‪ R/M ,3.3.18‬הרחבה שלמה של ‪ .C/N‬לפי למה ‪ R/M ,3.3.21‬שדה אם ורק אם‬
‫‬
‫‪ C/N‬שדה‪ ,‬ולכן ‪ M‬מקסימלי אם ורק אם ‪ N‬מקסימלי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 3.3.25‬העזר בתרגיל ‪ 3.3.23‬כדי למצוא הרחבה שלמה ‪ C ⊆ R‬עם אידיאל‬
‫שאינו ראשוני ‪ ,M ▹R‬כך ש־‪ C ∩ M ▹C‬מקסימלי )זוהי דוגמא נגדית למסקנה ‪,3.3.24‬‬
‫אם מוותרים על ההנחה ש־ ‪ M‬ראשוני(‪ .‬הדרכה‪ C .‬הוא שדה‪.M = 0 ,‬‬
‫טענה ‪ 3.3.17‬מראה שהחיתוך של אידיאל ראשוני של ‪ R‬עם ‪ C‬הוא לאידיאל ראשוני של‬
‫‪ .C‬נוכיח שכל אידיאל ראשוני של ‪ C‬מתקבל באופן כזה‪.‬‬
‫◦‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ 3.3.26‬יהי ‪ S ⊆ R‬מונויד כפלי שאינו כולל את אפס‪ .‬כל אידיאל שאינו נחתך עם‬
‫‪ S‬מוכל באידיאל מקסימלי ביחס לאי־החתכות עם ‪ .S‬בפרט יש אידיאלים מקסימליים‬
‫ביחס לכך שאינם נחתכים עם ‪ .S‬הדרכה‪ .‬הלמה של צורן‪.‬‬
‫טענה ‪ 3.3.27‬יהי ‪ S ⊆ R‬מונויד כפלי שאינו כולל את אפס‪ .‬אם ‪ P ▹R‬מקסימלי ביחס לכך‬
‫ש־∅ = ‪ ,P ∩ S‬אז ‪ P‬ראשוני‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ש־‪ A, B▹R‬הם אידיאלים המכילים ממש את ‪ .P‬לפי המקסימליות של ‪ ,P‬קיימים ‪s ∈ S∩A‬‬
‫‬
‫ו־‪ ;s′ ∈ S ∩ B‬אבל אז ‪ ,ss′ ∈ S ∩ AB‬ומכיוון ש־∅ = ‪.AB ̸⊆ P ,S ∩ P‬‬
‫◦‬
‫הערה ‪ 3.3.28‬תהי ‪ C ⊆ R‬הרחבה שלמה‪ ,‬ויהי ‪ P ▹C‬אידיאל ראשוני‪ .‬אז לכל ‪a ∈ P‬‬
‫מתקיים ‪.Ra ∩ C ⊆ P‬‬
‫‪∑ i‬‬
‫= ‪ ,rn‬ואז‬
‫‪ .ra‬לפי ההנחה יש ‪ c0 , . . . , cn−1 ∈ C‬כך ש־ ‪ci r‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪r ∈ R‬‬
‫כך ‪i‬ש־‪∑ ∈ C‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n−1−i‬‬
‫‬
‫‪ ,(ra) = ( ci (ra) a‬ומכיוון ש־ ‪ P‬ראשוני נובע מזה ‪.ra ∈ P‬‬
‫‪)a ∈ Ca ⊆ P‬‬
‫תרגיל ‪ 3.3.29‬תן דוגמא נגדית לגרסה החזקה הבאה של הערה ‪'' :3.3.28‬תהי ‪C ⊆ R‬‬
‫הרחבה שלמה‪ ,‬ויהי ‪ .a ∈ C‬אז ‪) ''Ra ∩ C ⊆ Ca‬שאפשר לנסח גם כך‪ :‬אם ‪a, b ∈ C‬‬
‫ו־‪ a | b‬בחוג ‪ ,R‬אז ‪ a | b‬בחוג ‪.(C‬‬
‫◦‬
‫משפט ‪ 3.3.30‬נניח ש־‪ R‬שלם מעל ‪ .C‬לכל ‪ P ▹C‬ראשוני קיים ‪ Q▹R‬ראשוני כך ש־ ‪.Q ∩ C = P‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן ‪ .S = C−P‬קח אידיאל מקסימלי ‪ S −1 Q‬של ‪ .S −1 R‬מכיוון ש־ ‪ S −1‬היא הרחבה שלמה‬
‫של החוג )המקומי( ‪ ,S −1 C‬גם שדה המנה ‪ S −1 R/S −1 Q‬הוא הרחבה שלמה של )‪,S −1 C/S −1 (Q∩C‬‬
‫ולכן גם )‪ S −1 C/S −1 (Q ∩ C‬הוא שדה )למה ‪ .(3.3.21‬מכאן ש־)‪ S −1 (Q ∩ C‬מקסימלי ב־‪,S −1 C‬‬
‫ולכן )‪ S −1 P = S −1 (Q ∩ C‬ו־‪ P = Q ∩ C‬כי שניהם ראשוניים‪.‬‬
‫‬
‫‪28‬‬
‫‪ .3.4‬שדות אינם אפיניים‬
‫פרק ‪ .3‬אלגברות אפיניות‬
‫‪3.4‬‬
‫שדות אינם אפיניים‬
‫‪3.4.1‬‬
‫פירוק ההרחבה‬
‫יהיו ‪ F‬שדה‪ ,‬ו־] ‪ R = F [a1 , . . . , an‬אלגברה אפינית מעל ‪ .F‬נסמן )‪,t = trdegF (R‬‬
‫אז יש בסיס טרנסצנדנטי בין היוצרים‪ ,‬שאפשר לסמן ‪ .a1 , . . . , at ∈ R‬נסמן = ‪R0‬‬
‫‪ ;F [a1 , . . . , at ] ⊆ R‬זהו חוג פולינומים‪ ,‬ובפרט תחום שלמות‪ .‬כעת ‪ F ⊆ R0 ⊆ R‬כאשר‬
‫ההרחבה הראשונה טרנסצנדנטית טהורה והשניה אלגברית‪ .‬אפשר לשפר את המצב‪:‬‬
‫◦‬
‫טענה ‪ 3.4.1‬תהי ‪ R‬אלגברה אפינית מעל שדה ‪ ,F‬שהיא תחום שלמות‪ .‬אז יש תת־חוג ‪R0 ⊆ R‬‬
‫ואיבר ‪ 0 ̸= s ∈ R0‬כך שעבור }‪ ,S = {si : i ≥ 0‬בשרשרת‬
‫‪F ⊆ R0 ,→ S −1 R0 ⊆ S −1 R,‬‬
‫ההרחבה הראשונה טרנסצנדנטית‪ ,‬השניה מיקום‪ ,‬והשלישית היא הרחבה שלמה‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬כמקודם נבחר קבוצה בלתי־תלויה אלגברית מקסימלית )שאחרי מספור מחדש אפשר להניח שהיא(‬
‫‪ ,a1 , . . . , at‬ונסמן ] ‪ .R0 = F [a1 , . . . , at‬האברים ‪ at+1 , . . . , an‬אלגבריים מעל ‪ .R0‬נסמן ב־‪ s‬את‬
‫מכפלת המקדמים המובילים של הפולינומים המינימליים שלהם‪ ,‬אז לאחר המיקום כל הפולינומים מתוקנים‪.‬‬
‫‬
‫משפט הנורמליזציה של נתר משפר את המצב עוד יותר‪ ,‬בכך שהוא מראה שאין צורך‬
‫במיקום‪.‬‬
‫משפט ‪) 3.4.2‬משפט הנורמליזציה של נתר( תהי ] ‪ R = F [a1 , . . . , an‬אלגברה אפינית מעל‬
‫שדה ‪ .F‬אז קיימים ‪ b1 , . . . , bn ∈ R‬כך ש־] ‪ ,R = F [b1 , . . . , bn‬ו־‪ R‬שלם מעל תת־החוג‬
‫] ‪ R0 = F [b1 , . . . , bt‬שהוא איזומורפי לחוג הפולינומים ב־‪ t‬משתנים מעל ‪.F‬‬
‫◦‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן ב־‪ t‬את גודל הקבוצה הבלתי־תלויה אלגברית המקסימלית בין היוצרים ‪ .a1 , . . . , an‬אפשר‬
‫להניח ‪ .t < n‬ההוכחה באינדוקציה על ‪.n‬‬
‫נראה שאפשר למצוא ‪ c1 , . . . , cn−1 ∈ R‬כך שעבור ] ‪R = R1 [an ] ,R1 = F [c1 , . . . , cn−1‬‬
‫שלם מעל ‪ ,R1‬ואז‪ ,‬לפי הנחת האינדוקציה יש תת־חוג חופשי ‪ R0 ⊆ R1‬כך ש־ ‪ R1‬שלם מעל ‪ ,R0‬ואז ‪R‬‬
‫שלם מעל ‪ R0‬לפי תרגיל ‪.3.3.8‬‬
‫∑‬
‫מכיוון ש־ ‪ an‬אלגברי מעל ] ‪ ,F [a1 , . . . , an−1‬יש פולינום ∈ ‪f (λ1 , . . . , λn ) = αi1 ...in λi11 · · · λinn‬‬
‫] ‪ ,F [λ1 , . . . , λn‬שאינו טריוויאלי במשתנה האחרון‪ ,‬כך ש־‪ .f (a1 , . . . , an ) = 0‬נבחר ‪ m‬גדול‬
‫‪n−i‬‬
‫‪ .ci = ai − am‬נתבונן בתת־החוג ] ‪R1 = F [c1 , . . . , cn−1‬‬
‫מהמעלה של ‪ f‬לפי כל ‪ ,λi‬וניקח‬
‫‪n‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ ,h(λ) = f (c1 + λ‬שהוא סכום הפולינומים‬
‫ובפולינום ]‪, . . . , cn−1 + λm , λ) ∈ R1 [λ‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪n−2‬‬
‫‪ ;αi1 ...in (c1 + λm )i1 (c2 + λm )i2 · · · (cn−1 + λm )in−1 λin‬כל אחד מאלו הוא הוא בעל‬
‫מקדם מוביל מ־ ‪ F‬ומעלה ‪ ,mn−1 i1 + mn−2 i2 + · · · + min−1 + in‬ולכן המעלות שונות זו מזו‪.‬‬
‫לכן המונום המוביל של הפולינום בעל המעלה הגדולה ביותר הוא גם המונום המוביל של ‪ ,h‬שהוא לפיכך‬
‫‬
‫פולינום מוני‪ .‬מאידך ברור ש־‪ ,h(an ) = 0‬ולכן ] ‪ R1 [an‬שלם מעל ‪.R1‬‬
‫טענה ‪ 3.4.3‬תהי ] ‪ R = F [a1 , . . . , an‬אלגברה אפינית שהיא שדה‪ .‬אז ‪ R‬אלגברי מעל ‪.F‬‬
‫◦‬
‫הוכחה‪ .‬לפי משפט ‪ R ,3.4.2‬הרחבה שלמה של חוג פולינומים ] ‪ ,R0 = F [a1 , . . . , at‬כאשר = ‪t‬‬
‫)‪ .trdeg(R‬לפי משפט ‪ 3.3.30‬כל אידיאל ראשוני של ‪ R0‬מתקבל כחיתוך ‪ R0 ∩ Q‬עם אידיאל ‪,Q▹R‬‬
‫‬
‫אבל ‪ R‬שדה‪ ,‬ומכאן שגם ‪ R0‬שדה‪ .‬לכן ‪ ,t = 0‬ו־‪ R‬אלגברי‪.‬‬
‫מסקנה ‪") 3.4.4‬משפט ‪ ("A‬יהי ‪ F‬שדה סגור אלגברית‪ .‬אלגברה אפינית ] ‪R = F [a1 , . . . , an‬‬
‫המכילה ממש את ‪ F‬אינה יכולה להיות שדה‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬אחרת ‪ R‬אלגברי מעל ‪ F‬לפי מסקנה ‪ ,3.4.3‬ואז ‪ R = F‬שהרי ‪ F‬סגור אלגברית‪.‬‬
‫‪29‬‬
‫‬
‫◦‬
‫‪ .3.4‬שדות אינם אפיניים‬
‫‪3.4.2‬‬
‫◦‬
‫פרק ‪ .3‬אלגברות אפיניות‬
‫המשכת הומומורפיזמים‬
‫משפט ‪ 3.4.5‬תהי ‪ C ⊆ R‬הרחבה שלמה‪ ,‬ויהי ‪ K‬שדה‪ .‬לכל הומומורפיזם ‪ φ : C→K‬קיימת המשכה‬
‫‪ φ¯ : R→K‬כאשר ˆ‬
‫ˆ‬
‫‪ K‬הסגור האלגברי של ‪.K‬‬
‫∼ ‪ C/P‬ולכן‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן )‪ ,P = Ker(φ‬אז ‪= φ(C) ⊆ K‬‬
‫‪ P‬ראשוני‪ .‬לפי משפט ‪ ,3.3.30‬יש אידיאל ראשוני ‪ Q▹R‬כך‬
‫‪φ‬‬
‫¯‬
‫‪ R‬שלם מעל ˆ‬
‫‪/K‬‬
‫ש־ ‪ .Q ∩ C = P‬לפי תרגיל ‪¯ = R/Q ,3.3.18‬‬
‫‪@ O‬‬
‫‬
‫‪−1‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫ ‪0‬‬
‫}‪ ,S = C−{0‬אז ‪S R‬‬
‫∼ ‪ .C¯ = (C +Q)/Q‬נסמן‬
‫‪= C/P‬‬
‫ˆ‪¯  / F‬‬
‫‪/ S −1 R‬‬
‫‪−1‬‬
‫¯‬
‫¯‬
‫הרחבה שלמה של שדה השברים ‪ F = q(C) = S C‬לפי‬
‫‪O‬‬
‫‪O‬‬
‫תרגיל ‪ ,3.3.20‬כלומר‪¯ ,‬‬
‫‬
‫לפי‬
‫‪ S −1 R‬תחום שלמות אלגברי מעל ‪.F‬‬
‫?‬
‫‪φ‬‬
‫‪/K‬‬
‫תרגיל ‪ 3.2.4‬נובע מכך ¯‬
‫ש־‪ S −1 R‬שדה‪ ,‬ומכיוון שהוא אלגברי‬
‫>~‬
‫?‬
‫~~~ ‪ ? /‬‬
‫מעל ‪ ,F‬הוא משוכן בסגור האלגברי ˆ‪ .F‬אבל ‪ F ⊆ K‬ולכן יש‬
‫‪/F‬‬
‫‪F‬‬
‫שיכון ˆ‬
‫‪ .Fˆ ,→ K‬הרכבת החצים בפאה העליונה של הדיאגרמה‬
‫‬
‫נותנת את ¯‪.φ‬‬
‫◦‬
‫= ‪RO‬‬
‫ ¯‬
‫‪R‬‬
‫‪O‬‬
‫==‬
‫ =‬
‫?‬
‫?? ‪C‬‬
‫ ??‬
‫? ‬
‫‬
‫ ¯‪C‬‬
‫משפט ‪ F ⊆ K 3.4.6‬שדות‪ .‬יהי ] ‪ R = F [a1 , . . . , an‬תחום שלמות אפיני‪ .‬אז יש הומומורפיזם של‬
‫‪ ,R→K‬כאשר ˆ‬
‫‪F‬־אלגברות ˆ‬
‫‪ K‬אלגברי מעל ‪.K‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי משפט הנורמליזציה של נתר‪ ,‬יש תת־חוג ‪ ,R0 ⊆ R‬איזומורפי לחוג פולינומים‪ ,‬כך ש־‪ R‬שלם‬
‫מעל ‪ .R0‬לפי משפט ‪ ,3.4.5‬אפשר להמשיך ˆ‬
‫‬
‫ל־‪ R→K‬כל הומומורפיזם ‪.R0 →K‬‬
‫◦‬
‫מסקנה ‪ 3.4.7‬יהי ] ‪ R = F [a1 , . . . , an‬תחום שלמות אפיני מעל השדה ‪ .F‬אז יש הומומורפיזם‬
‫ˆ‪ R→F‬הממשיך את הזהות על ‪.F‬‬
‫תרגיל ‪ 3.4.8‬השתמש במסקנה ‪ 3.4.7‬כדי לתת הוכחה אחרת למסקנה ‪ .3.4.3‬הדרכה‪.‬‬
‫לפי מסקנה ‪ 3.4.7‬יש הומומורפיזם מ־‪ R‬להרחבה אלגברית של ‪ ,F‬וכל הומומורפיזם של שדות‬
‫הוא שיכון‪.‬‬
‫כעת נציג הוכחה של משפט ‪) A‬משפט ‪ (3.4.4‬שאינה זקוקה לנורמליזציה‪.‬‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ φ : R→K 3.4.9‬הומומורפיזם עם ‪ ,φ(s) ̸= 0‬אז יש ‪ φ : S −1 R→K‬הממשיך את‬
‫ש־‪ φ‬מוגדר היטב‬
‫¯‬
‫‪ ;φ(s‬קל לאשר‬
‫‪ ,φ‬כאשר ⟩‪ .S = ⟨s‬הדרכה‪ .‬הגדר )‪¯ −i r) = φ(s)−i φ(r‬‬
‫וממשיך את ‪.φ‬‬
‫תרגיל ‪ 3.4.10‬תן הוכחה למשפט ‪ ,3.4.6‬בהנחה ש־‪ K‬אינסופי‪ ,‬שאינה משתמשת במשפט‬
‫הנורמליזציה של נתר‪ .‬הדרכה‪ .‬לפי טענה ‪ ,3.4.1‬יש תת־חוג ‪ R0 ⊆ R‬ואיבר ‪ 0 ̸= s ∈ R0‬כך‬
‫שבשרשרת‬
‫‪R,‬‬
‫‪−1‬‬
‫⟩‪R0 ⊆ ⟨s‬‬
‫‪−1‬‬
‫⟩‪F ⊆ R0 ,→ ⟨s‬‬
‫ההרחבה הראשונה טרנסצנדנטית‪ ,‬השניה מיקום‪ ,‬והשלישית היא הרחבה שלמה‪ .‬לפי‬
‫תרגיל ‪ 3.1.4‬יש הומומורפיזם ‪ φ′ : R0 →K‬כך ש־‪ .φ′ (s) ̸= 0‬לפי תרגיל ‪ 3.4.9‬יש המשכה‬
‫‪ .φ′′ : ⟨s⟩−1 R0 →K‬מסיימים בעזרת משפט ‪.3.4.5‬‬
‫‪30‬‬
‫פרק ‪4‬‬
‫מבוא לגאומטריה אלגברית‬
‫בפרק זה נקבע שדה ‪ F‬ונתבונן בעיקר באידיאלים של חוג הפולינומים ] ‪ .F [λ1 , . . . , λn‬החוג‬
‫הזה הוא חוג הפונקציות )הפולינומיות( של המרחב האפיני ‪.F n‬‬
‫‪4.1‬‬
‫קבוצות אלגבריות ואידיאלים גאומטריים‬
‫הגדרה ‪ 4.1.1‬תהי ] ‪ A ⊆ F [λ1 , . . . , λn‬קבוצה של פולינומים‪ .‬קבוצת האפסים )‪ Z(A‬היא קבוצת‬
‫הנקודות ‪ v ∈ F n‬כך ש־‪ f (v) = 0‬לכל ‪.f ∈ A‬‬
‫תרגיל ‪ 4.1.2‬לכל קבוצה ‪.Z(A) = Z(⟨A⟩) ,A‬‬
‫לכן אפשר לדבר על קבוצות האפסים של אידיאלים ב־‪ .R‬קבוצה מהצורה )‪Z(A‬‬
‫נקראת קבוצה אלגברית‪ .‬גאומטריה אלגברית לומדת את קבוצות האפסים האלה‪ ,‬כלומר‬
‫את המקומות הגאומטריים שאפשר להגדיר על־ידי תנאים פולינומיים‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 4.1.3‬לכל קבוצה ‪ - I(S) = {f ∈ R : (∀s ∈ S)f (s) = 0} ,S ⊆ F n‬קבוצת הפולינומים‬
‫המאפסים את כל אברי ‪.S‬‬
‫תרגיל ‪ 4.1.4‬האופרטורים ‪ I, Z‬מקיימים את התכונות הבאות‪:‬‬
‫◦‬
‫‪ .1‬אם ‪ A1 ⊆ A2‬אז ) ‪.Z(A1 ) ⊇ Z(A2‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ S1 ⊆ S2‬אז ) ‪.I(S1 ) ⊇ I(S2‬‬
‫‪ .3‬לכל ‪.A ⊆ I(Z(A)) ,A‬‬
‫‪ .4‬לכל ‪.S ⊆ Z(I(S)) ,S‬‬
‫תרגיל ‪ 4.1.5‬הוכח מן התכונות בתרגיל ‪ 4.1.4‬ש־‪ S‬קבוצה אלגברית אם ורק אם = ‪S‬‬
‫))‪ ,Z(I(S‬ו־‪ A‬אידיאל מהצורה )‪ I(S‬אם ורק אם ))‪.A = I(Z(A‬‬
‫‪31‬‬
‫◦‬
‫פרק ‪ .4‬מבוא לגאומטריה אלגברית‬
‫‪ .4.2‬רדיקלים‬
‫‪ 4.2‬רדיקלים‬
‫השאלה המדריכה אותנו בסעיף זה‪ :‬אילו אידיאלים הם מהצורה )‪?I(S‬‬
‫הגדרה ‪ 4.2.1‬יהי ‪ A▹R‬אידיאל בחוג קומוטטיבי‪ .‬אז }‪A = {f ∈ A : (∃n)f n ∈ A‬‬
‫של ‪.A‬‬
‫√‬
‫תרגיל ‪A 4.2.2‬‬
‫√‬
‫הוא הרדיקל‬
‫הוא אידיאל )אמיתי( של ‪ ,R‬המכיל את ‪.A‬‬
‫√‬
‫√‬
‫תרגיל ‪ 4.2.3‬אם ‪ A ⊆ A′‬אז ‪. A ⊆ A′‬‬
‫√‬
‫הגדרה ‪ 4.2.4‬אידיאל ‪ A‬נקרא רדיקלי אם ‪. A = A‬‬
‫◦‬
‫√√‬
‫√‬
‫√‬
‫תרגיל ‪ 4.2.5‬כל רדיקל ‪ A‬הוא אידיאל רדיקלי‪) .‬כלומר ‪A = A‬‬
‫‪(.‬‬
‫√√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫= ‪ . A + B‬פתרון‪ .‬ראשית‪ A, B ⊆ A +√B ,‬ולכן√⊆ ‪A + B‬‬
‫תרגיל ‪A + B 4.2.6‬‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫⊆ ‪A+B‬‬
‫⊆ ‪A+ B‬‬
‫‪ .√A + B‬אבל‪ ,A + B ⊆ A + B ,‬ולכן = ‪A + B‬‬
‫‪ A + B‬לפי תרגיל ‪.4.2.5‬‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫לטענה ‪ , A + B = ⟨ A + ⟩ B‬עבור ] ‪.A, B▹F [λ1 , λ2‬‬
‫תרגיל ‪ 4.2.7‬תן דוגמא ⟩נגדית‬
‫‪⟨ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫הדרכה‪ .‬קח ⟩ ‪ ;B = λ − λ1 ,A = ⟨λ1‬כך ‪.A + B = λ1 , λ2‬‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫תרגיל ‪ . A ∩ B = A ∩ B 4.2.8‬פתרון‪ .‬ההכלה ⊆ ברורה‪ .‬נניח ‪A ∩ B‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪ n‬כך ש־‪ ,xn ∈ A‬וקיים ‪ n′‬כך ש־‪ .xn ∈ B‬לכן ‪.xmax {n,n } ∈ A ∩ B‬‬
‫∈ ‪ ,x‬אז קיים‬
‫√‬
‫√‬
‫תרגיל ‪ 4.2.9‬נניח ש־‪ ,A ⊆ B‬אז ‪. B/A = B/A‬‬
‫תרגיל ‪ 4.2.10‬יהי ‪ R‬תחום פריקות√ יחידה‪ .‬נניח ש־ ‪ a = pn1 1 · · · pnk k‬כאשר ‪ pi‬ראשוניים‬
‫זרים‪ .‬הראה ש־ ‪. Ra = Rp1 · · · pk‬‬
‫√‬
‫√‬
‫תרגיל ‪ 4.2.11‬הראה ש־‪. An = A‬‬
‫√ √‬
‫√‬
‫תרגיל ‪ 4.2.12‬הראה ש־‪. A B ⊆ AB‬‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫תרגיל ‪ 4.2.13‬הראה שבתחום ראשי מתקיים ‪. A + B = A + B‬‬
‫√ √‬
‫√‬
‫√‬
‫תרגיל ‪ 4.2.14‬אם ‪ R‬תחום ראשי‪ ,‬אז ‪ . A B = AB A + B‬האם השוויון הזה נכון‬
‫בכל חוג קומוטטיבי?‬
‫‪32‬‬
‫פרק ‪ .4‬מבוא לגאומטריה אלגברית‬
‫‪4.2.1‬‬
‫◦‬
‫‪ .4.2‬רדיקלים‬
‫חוג ראשוני למחצה‬
‫הגדרה ‪ 4.2.15‬איבר ‪ a ∈ R‬הוא נילפוטנטי אם ‪ am = 0‬ל־‪ m‬גדול מספיק‪ .‬חוג )קומוטטיבי( ‪ R‬נקרא‬
‫ראשוני למחצה אם אין בו איברים נילפוטנטים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 4.2.16‬הראה ש־‪ R‬ראשוני למחצה אם ורק אם ‪ 0▹R‬אידיאל רדיקלי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 4.2.17‬החוג ‪ R‬ראשוני למחצה אם ורק אם ‪ x2 = 0‬גורר ‪ .x = 0‬הדרכה‪ .‬אם‬
‫מ־‪ x2 = 0‬נובע ‪ ,x = 0‬אז לכל ‪ ,n ≥ 2‬אם ‪ xn = 0‬גם ‪ x2(n−1) = 0‬ולכן ‪.xn−1 = 0‬‬
‫◦‬
‫טענה ‪ 4.2.18‬יהי ‪ R‬חוג קומוטטיבי‪ .‬אז ‪ A▹R‬רדיקלי אם ורק אם ‪ R/A‬ראשוני למחצה‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫√‪ r‬ולכן‬
‫נניח ש־‪ A‬רדיקלי‪ ,‬ויהי ‪ ;r + A ∈ R/A‬אם ‪ rm + A = (r + A)m = 0‬אז ‪= A‬‬
‫הוכחה‪√ .‬‬
‫‪ ,r ∈ A = A‬כלומר ‪ .r + A = ¯0 ∈ R/A‬מאידך נניח ש־‪ R/A‬ראשוני למחצה‪ ,‬ויהי ‪;r ∈ A‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ ;(r + A)m = rm + A = ¯0 ∈ R/A‬לפי ההנחה נובע מכאן‬
‫אז ‪ r ∈ A‬עבור ‪ m‬מתאים‪ ,‬ולכן √‬
‫‬
‫‪ ,r + A = 0‬כלומר ‪ ,r ∈ A‬והוכחנו ‪.A = A‬‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ 4.2.19‬כל תחום שלמות הוא ראשוני למחצה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 4.2.20‬החוג ‪ Z × Z‬הוא ראשוני למחצה ואינו תחום שלמות‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 4.2.21‬מכפלה ישרה )לאו דווקא סופית( של שדות היא ראשונית למחצה‪.‬‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ 4.2.22‬אם ‪ A▹R‬הוא ראשוני למחצה גם כאידיאל וגם כחוג )בלי יחידה(‪ ,‬אז ‪R‬‬
‫ראשוני למחצה‪ .‬הדרכה‪ .‬יהי ‪ I▹R‬ונניח ‪ ,I 2 = 0 ⊆ A‬אז ‪ I ⊆ A‬ולכן ‪.I▹A‬‬
‫תרגיל ‪ 4.2.23‬נניח ש־‪ R‬ראשוני למחצה כחוג‪ ,‬ו־‪ A▹R‬הוא אידיאל ראשוני למחצה‪ .‬אז‬
‫גם ‪ A‬ראשוני למחצה כחוג‪ .‬הדרכה‪ .‬אם ‪ I▹A‬ו־‪ I 2 = 0‬אז = ‪(AIA)2 = AIAIA ⊆ AI 2 A‬‬
‫‪ 0‬ולכן ‪.AIA = 0‬‬
‫‪4.2.2‬‬
‫הרדיקל הראשוני‬
‫תרגיל ‪ 4.2.24‬כל אידיאל ראשוני הוא רדיקלי‪ .‬הדרכה‪ .‬טענה ‪ 4.2.18‬ותרגיל ‪.4.2.19‬‬
‫◦‬
‫טענה ‪ 4.2.25‬החיתוך של אידיאלים ראשוניים הוא רדיקלי‪.‬‬
‫√‬
‫הוכחה‪ .‬יהיו ‪ Pi‬אידיאלים ראשוניים )‪ I ,i ∈ I‬קבוצת אינדקסים כלשהי(‪ ,‬ויהי ‪ .A = ∩Pi‬אם ‪r ∈ A‬‬
‫אז ‪ rm ∈ A‬עבור ‪ m‬מתאים‪ ,‬ואז ‪ rm ∈ Pi‬לכל ‪ ,i‬ו־ ‪ r ∈ Pi‬לפי תרגיל ‪ .4.2.24‬לכן ‪.r ∈ ∩Pi = A‬‬
‫‬
‫מסקנה ‪ 4.2.26‬יהי ‪ R‬חוג כלשהו‪ .‬לכל ‪ a ∈ R‬שאינו נילפוטנטי )הגדרה ‪ (5.2.1‬יש אידיאל‬
‫ראשוני ‪ P‬כך ש־ ‪.a ̸∈ P‬‬
‫◦‬
‫הוכחה‪ .‬לפי ההנחה המונויד ⟩‪ S = ⟨a‬אינו כולל את ‪ .0‬קח ‪ P‬מקסימלי ביחס לתכונה = ‪S ∩ P‬‬
‫∅ )השקולה ל־ ‪ a ̸∈ P‬אם ‪ R‬קומוטטיבי(; אידיאל כזה קיים לפי תרגיל ‪ ,3.3.26‬והוא ראשוני לפי‬
‫‬
‫טענה ‪.3.3.27‬‬
‫מסקנה ‪ 4.2.27‬נניח ש־‪ R‬ראשוני למחצה‪.‬‬
‫ש־ ‪.a ̸∈ P‬‬
‫לכל ‪ 0 ̸= a ∈ R‬יש אידיאל ראשוני ‪ P‬כך‬
‫‪33‬‬
‫◦‬
‫פרק ‪ .4‬מבוא לגאומטריה אלגברית‬
‫‪ .4.2‬רדיקלים‬
‫‬
‫הוכחה‪ .‬זו מסקנה ‪ 4.2.26‬כי כאשר ‪ R‬ראשוני למחצה‪ ,‬אם ‪ a ̸= 0‬אז ‪ an ̸= 0‬לכל ‪.n‬‬
‫הגדרה ‪ 4.2.28‬חיתוך כל האידיאלים הראשוניים בחוג ‪ R‬נקרא הרדיקל הראשוני של ‪ ,R‬ומסמנים אותו‬
‫ב־)‪) .rad(R‬באופן כללי יותר‪ ,‬אם ‪ I▹R‬אז חיתוך כל הראשוניים המכילים את ‪ I‬נקרא הרדיקל של ‪.(I‬‬
‫מסקנה ‪ 4.2.29‬הרדיקל של כל חוג הוא נילי )ולכן הרדיקל הראשוני נקרא גם הרדיקל הנילי‬
‫התחתון(‪.‬‬
‫◦‬
‫מסקנה ‪ 4.2.30‬בחוג )קומוטטיבי( ראשוני למחצה‪.rad(R) = 0 ,‬‬
‫◦‬
‫מסקנה ‪ 4.2.31‬אידיאל רדיקלי שווה לחיתוך כל האידיאלים הראשוניים המכילים אותו‪.‬‬
‫◦‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ A‬אידיאל רדיקלי‪ ,‬ויהי ‪ A′‬חיתוך האידיאלים הראשוניים המכילים את ‪ .A‬ברור ש־ ‪.A ⊆ A′‬‬
‫¯‪ .‬לפי מסקנה ‪ 4.2.27‬יש אידיאל‬
‫יהי ‪ .a ̸∈ A‬נתבונן בחוג הראשוני למחצה ‪ ,R/A‬שבו ‪a = a + A ̸= 0‬‬
‫‪′‬‬
‫¯‪ ,‬אבל אז ‪ a ̸∈ P‬ומכיוון שגם ‪ P‬ראשוני‪ .a ̸∈ A ,‬לכן‬
‫ראשוני ‪ P¯ = P/A▹R/A‬כך ש־ ¯‪a ̸∈ P‬‬
‫‬
‫‪ ,A′ = A‬כדרוש‪.‬‬
‫√‬
‫מסקנה ‪ 4.2.32‬בכל חוג קומוטטיבי ‪.rad(R) = 0 ,R‬‬
‫‪4.2.3‬‬
‫◦‬
‫◦‬
‫◦‬
‫משפט האפסים של הילברט‬
‫אידיאל מהצורה )‪ I(S‬הוא רדיקלי‪ .‬פתרון‪ .‬נסמן )‪ .A = I(S‬עלינו להוכיח‬
‫√ כל‬
‫תרגיל ‪4.2.33‬‬
‫√‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫ש־‪ . A = A‬יהי ‪ ,f ∈ A‬אז קיים ‪ k‬כך ש־‪ ,f ∈ A‬כלומר ‪ f (a1 , . . . , an ) = 0‬לכל‬
‫‪ ;(a1 , . . . , an ) ∈ S‬אבל ‪ F‬שדה ולכן גם ‪ ,f (a1 , . . . , an ) = 0‬כך ש־‪.f ∈ I(S) = A‬‬
‫√‬
‫))‪ . A√⊆ I(Z(A‬פתרון‪ .‬ברור ש־⊆ ‪A‬‬
‫תרגיל ‪ 4.2.34‬לכל ] ‪ A▹F [λ1 , . . . , λn‬מתקיים‬
‫√‬
‫))‪ ,I(Z(A‬ולפי תרגיל ‪ ,4.2.33‬גם ))‪. A ⊆ I(Z(A)) = I(Z(A‬‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫תרגיל ‪ .Z( A) = Z(A) 4.2.35‬פתרון‪ .‬מכיוון ש־‪ ,A ⊆ √A‬ברור ש־)‪.Z( A) ⊆ Z(A‬‬
‫√‪ ,s = (s1‬ויהי ‪ .f ∈ A‬אז קיים ‪ k‬כך ש־‪ ,f k ∈ A‬כך‬
‫בכיוון ההפוך נניח ש־)‪, . . . , sn ) ∈ Z(A‬‬
‫ש־‪ ;f (s)k = 0‬לכן גם ‪ ,f (s) = 0‬ו־)‪.s ∈ Z( A‬‬
‫‪(Hilbert’s‬‬
‫משפט ‪Nullstellensatz) 4.2.36‬‬
‫√‬
‫] ‪ A▹F [λ1 , . . . , λn‬מתקיים ))‪. A = I(Z(A‬‬
‫√‬
‫להוכיח את ההכלה ההפוכה‪I(Z(A)) ⊆ ,‬‬
‫נותר‬
‫‪.4.2.34‬‬
‫תרגיל‬
‫הוא‬
‫הוכחה‪ .‬הכיוון ))‪A ⊆ I(Z(A‬‬
‫√‬
‫√‬
‫‪ , A‬וזאת נעשה בדרך השלילה‪ .‬נניח ש־))‪ ,f ∈ I(Z(A‬ו־‪ .f ̸∈ A‬לפי מסקנה ‪ ,4.2.31‬יש אידיאל‬
‫ראשוני ] ‪ P ▹F [λ1 , . . . , λn‬כך ש־ ‪ .f ̸∈ P‬נתבונן בתחום השלמות האפיני ‪,R = F [λ1 , . . . , λn ]/P‬‬
‫שבו ‪ .f¯ ̸= 0‬נסמן ב־‪ K‬את שדה השברים של ‪ ,R‬ונתבונן ב־‪ .R′ = R[f¯−1 ] ⊆ K‬מכיוון‬
‫ש־ ‪ F‬סגור אלגברית‪ ,‬לפי מסקנה ‪ 3.4.7‬יש המשכה ‪ φ : R′ →F‬של הזהות‪ .‬כך מתקבלת ההרכבה‬
‫‪′ φ‬‬
‫‪.ψ(f‬‬
‫)‬
‫=‬
‫‪φ(f‬‬
‫)‬
‫=‬
‫̸‬
‫‪0‬‬
‫המקיימת‬
‫‪,ψ‬‬
‫‪:‬‬
‫‪F‬‬
‫‪[λ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪λ‬‬
‫]‬
‫‬
‫‪R‬‬
‫→‪,‬‬
‫‪R‬‬
‫‪→F‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫∑‬
‫‪i1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪in‬‬
‫= ‪ g‬מתקיים‬
‫נתבונן בוקטור ‪ .x = (ψ(λ1 ), . . . , ψ(λn )) ∈ F‬לכל ‪α⃗i λ1 . . . λn‬‬
‫∑‬
‫= )) ‪g(ψ(λ1 ), . . . , ψ(λn‬‬
‫;)‪α⃗i ψ(λ1 )i1 . . . ψ(λn )in = ψ(g‬‬
‫נניח ש־ ‪ F‬סגור אלגברית‪.‬‬
‫◦‬
‫לכל אידיאל‬
‫אם ‪ g ∈ A‬אז ‪ g + A = ¯0 ∈ R‬וממילא ‪ ,ψ(g) = 0‬ומכאן ש־)‪ .x ∈ Z(A‬אבל לפי ההנחה‬
‫‬
‫))‪ ,f ∈ I(Z(A‬ולכן ‪ ,0 = f (x) = ψ(f ) ̸= 0‬וזו סתירה‪.‬‬
‫‪34‬‬
‫◦‬
‫‪ .4.3‬קבוצות אלגבריות אי־פריקות‬
‫פרק ‪ .4‬מבוא לגאומטריה אלגברית‬
‫במלים אחרות‪ ,‬אם נתונה מערכת משוואות‪ ,‬אפשר לקבל את כל המסקנות ממנה על־ידי‬
‫פעולות חיבור וחיסור‪ ,‬כפל בפולינום כלשהו‪ ,‬והוצאת שורש‪.‬‬
‫)לגרסה מעל הממשיים‪ ,‬ראה תרגיל ‪ 3.4.28‬בספר על ‪ Model Theory‬של ‪David‬‬
‫‪(.Marker‬‬
‫כבר בתרגיל ‪ 4.1.5‬ראינו שיש התאמה חד־חד־ערכית בין קבוצות אלגבריות לאידיאלים‬
‫מהצורה )‪ ;I(S‬אלא שתאור זה של האידיאלים אינו מספק‪ ,‬משום שהוא אינו מתייחס ישירות‬
‫לאידיאל‪ .‬משפט האפסים של הילברט משלים סוף־סוף את ההתאמה בין קבוצות אלגבריות‬
‫לאידיאלים רדיקליים‪:‬‬
‫מסקנה ‪) 4.2.37‬מעל שדה סגור אלגברית( אידיאל הוא מהצורה )‪ I(S‬אם ורק אם הוא רדיקלי‪.‬‬
‫‬
‫הוכחה‪ .‬תרגיל ‪ 4.2.33‬ומשפט ‪.4.2.36‬‬
‫√‬
‫√ ש־ ‪ F‬סגור אלגברית‪ .‬אם ) ‪ Z(A) ⊆ Z(f‬אז ‪A‬‬
‫תרגיל ‪ 4.2.38‬נניח‬
‫משפט האפסים‪.f ∈ I(Z(f )) ⊆ I(Z(A)) = A ,‬‬
‫∈ ‪ .f‬פתרון‪ .‬לפי‬
‫מסקנה ‪ 4.2.39‬נניח ש־ ‪ F‬סגור אלגברית‪ .‬אז לכל אידיאל ] ‪.Z(A) ̸= ∅ ,A▹F [λ1 , . . . , λn‬‬
‫הוכחה‪ .‬אחרת ‪A‬‬
‫√‬
‫= ))‪.1 ∈ F [λ1 , . . . , λn ] = I(∅) = I(Z(A‬‬
‫◦‬
‫‬
‫תרגיל ‪ 4.2.40‬תן דוגמא נגדית למשפט האפסים של הילברט מעל שדה שאינו סגור‬
‫אלגברית‪ .‬היכן בדיוק נכשלת ההוכחה?‬
‫‪4.2.4‬‬
‫האידיאלים המקסימליים של חוג הפולינומים‬
‫עבור ‪ ,a = (a1 , . . . , an ) ∈ F n‬נסמן ] ‪.Pa = ⟨λ1 − a1 , . . . , λn − an ⟩▹R = F [λ1 , . . . , λn‬‬
‫טענה ‪ Pa 4.2.41‬הוא אידיאל מקסימלי‪ ,‬ו־}‪.Z(Ps ) = {s‬‬
‫∼ ‪ F [λ1 , . . . , λn ]/Ps‬על־ידי ההצבה ‪ .λi 7→ si‬לכל נקודה ) ‪,s′ = (s′1 , . . . , s′n‬‬
‫הוכחה‪ .‬המנה ‪= F‬‬
‫‪′‬‬
‫‬
‫הצבת ‪ λi 7→ s′i‬מאפסת את ‪ λi − si‬אם ורק אם ‪.si = si‬‬
‫לכן כל נקודה היא קבוצה אלגברית‪.‬‬
‫טענה ‪ 4.2.42‬נניח ש־ ‪ F‬סגור אלגברית‪ .‬אז כל אידיאל מקסימלי הוא מהצורה ‪.Ps‬‬
‫יהי ‪ P‬אידיאל מקסימלי‪ .‬אז ∅ ≠ ) ‪ S = Z(P‬לפי מסקנה ‪ .4.2.39‬נבחר ‪ ,s ∈ S‬אז‬
‫הוכחה‪√ .‬‬
‫‬
‫‪ Ps = I({s}) ⊆ I(S) = P = P‬לפי משפט האפסים‪ ,‬מש"ל‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 4.2.43‬מצא אידיאל מקסימלי של ] ‪ R[λ1 , λ2‬שאינו מהצורה ⟩ ‪.⟨λ1 − a1 , λ2 − a2‬‬
‫‪35‬‬
‫◦‬
‫‪ .4.3‬קבוצות אלגבריות אי־פריקות‬
‫‪4.3‬‬
‫פרק ‪ .4‬מבוא לגאומטריה אלגברית‬
‫קבוצות אלגבריות אי־פריקות‬
‫טענה ‪ 4.2.42‬מראה שההתאמה בין אידיאלים רדיקליים לבין קבוצות אלגבריות משייכת‬
‫אידיאלים מקסימליים לנקודות ב־ ‪ .F n‬בסעיף זה נברר אילו קבוצות מתאימות לאידיאלים‬
‫ראשוניים‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 4.3.1‬קבוצה אלגברית ‪ S‬היא אי־פריקה אם אי־אפשר לכתוב אותה בצורה ‪ S = S1 ∪ S2‬כאשר‬
‫‪ S1 , S2 ⊂ S‬קבוצות אלגבריות‪.‬‬
‫טענה ‪ 4.3.2‬לכל שני אידיאלים ] ‪,A1 , A2 ▹F [λ1 , . . . , λn‬‬
‫‪,Z(A1 ) ∪ Z(A2 ) = Z(A1 ∩ A2 ) .1‬‬
‫‪.Z(A1 ) ∩ Z(A2 ) = Z(A1 + A2 ) .2‬‬
‫‪ .1‬מכיוון ש־ ‪ ,A1 ∩ A2 ⊆ A1 , A2‬ההכלה ) ‪ Z(A1 ) ∪ Z(A2 ) ⊆ Z(A1 ∩ A2‬ברורה‪.‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫בכיוון ההפוך נניח ש־) ‪ ;v ̸∈ Z(A1 ), Z(A2‬אז יש ‪ fi ∈ Ai‬כך ש־‪ ,fi (v) ̸= 0‬וממילא‬
‫‪ ,(f1 f2 )(v) ̸= 0‬כך ש־)⟩ ‪ .v ̸∈ Z(⟨f1 f2‬אבל ‪ ,f1 f2 ∈ A1 ∩ A2‬ולכן ) ‪.v ̸∈ Z(A1 ∩ A2‬‬
‫◦‬
‫◦‬
‫◦‬
‫‪ .2‬ברור ש־) ‪ .Z(A1 ) ∩ Z(A2 ) ⊇ Z(A1 + A2‬נניח ש־) ‪ .v ∈ Z(A1 ) ∩ Z(A2‬לכל‬
‫‪ f ∈ A1 + A2‬נכתוב ‪ f = f1 + f2‬עבור ‪ ,fi ∈ Ai‬אז ‪ ,f (v) = f1 (v) + f2 (v) = 0‬ולכן‬
‫) ‪.v ∈ Z(A1 + A2‬‬
‫‬
‫√‬
‫‪ 4.3.3‬אם ‪ BC ⊆ A‬אז ‪ .B ∩ C ⊆ A‬פתרון‪ .‬אם ‪ d ∈ B ∩ C‬אז ‪d2 ∈ BC ⊆ A‬‬
‫תרגיל √‬
‫ולכן ‪.d ∈ A‬‬
‫טענה ‪ 4.3.4‬נניח ש־‪ A‬רדיקלי‪ .‬אז ‪ A‬אידיאל ראשוני אם ורק אם )‪ Z(A‬אלגברית אי־פריקה‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ש־‪ A‬ראשוני‪ ,‬ובכל זאת ‪ Z(A) = S1 ∪ S2‬כאשר )‪ Si ⊂ Z(A‬קבוצות אלגבריות‪ .‬לפי‬
‫תרגיל ‪√4.2.35‬כל קבוצה אלגברית היא מהצורה ) ‪ Si = Z(A1‬עבור ‪ Ai‬רדיקלי‪ .‬לפי משפט√האפסים‬
‫√ ‪A = A = I(Z(A)) = I(Z(A1 ) ∪ Z(A2 )) = I(Z(A1‬‬
‫= ‪∩ A2 )) √= A1 ∩ A2‬‬
‫‪ , A1 ∩ A2 = A1 ∩ A2‬אבל מתרגיל ‪ 2.1.3‬נובע ש־ ‪ A = A1‬או ‪ ,A = A2‬בסתירה להנחה‬
‫)‪.Z(Ai ) ⊂ Z(A‬‬
‫אי־פריקה‪ .‬נניח ש־‪ A‬אינו ראשוני‪ ,‬אז יש אידיאלים ‪ A1 , A2 ⊃ A‬כך‬
‫בכיוון ההפוך‪ ,‬נניח ש־)‪Z(A‬‬
‫√‬
‫ש־‪ ,A1 A2 ⊆ A‬ולפי תרגיל ‪ .A1 ∩ A2 ⊆ A ,4.3.3‬לכן‬
‫√‬
‫‪Z(A) ⊇ Z(A1 ) ∪ Z(A2 ) = Z(A1 ∩ A2 ) ⊇ Z( A) = Z(A),‬‬
‫√‬
‫)‪ Z(A‬אלא אם )‪ Z(Ai ) = Z(A‬לאיזשהו ‪ ;i‬אלא שאז = ))‪A = A = I(Z(A‬‬
‫וזה פירוק של √‬
‫‬
‫‪ ,I(Z(Ai )) = Ai ⊇ Ai ⊃ A‬וזו סתירה‪.‬‬
‫לסיכום‪ ,‬יש התאמות כדלהלן‪ ,‬שמהן הראשונה משרה את האחרות‪:‬‬
‫אידיאלים רדיקליים ⇒⇐ קבוצות אלגבריות‬
‫אידיאלים ראשוניים ⇒⇐ קבוצות אי־פריקות‬
‫נקודות‬
‫אידיאלים מקסימליים ⇒⇐‬
‫◦‬
‫∑‬
‫תרגיל ‪ 4.3.5‬הוכח את הגרסה החזקה של טענה )‪ ∩Z(Ai ) = Z( Ai ) :4.3.2.(2‬לכל‬
‫משפחה של אידיאלים ‪.Ai‬‬
‫תרגיל ‪) 4.3.6‬דוגמא נגדית לכיוון ⇒= של טענה ‪ 4.3.4‬מעל שדה שאינו סגור‬
‫אלגברית( נניח ש־‪ .F = R‬הראה ש־⟩)‪ A = ⟨λ1 (λ22 + 1‬הוא אידיאל רדיקלי שאינו‬
‫ראשוני‪ ,‬אבל )‪ Z(A‬אי־פריקה‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫◦‬
‫פרק ‪ .4‬מבוא לגאומטריה אלגברית‬
‫‪4.4‬‬
‫‪ .4.4‬טופולוגיית זריצקי‬
‫טופולוגיית זריצקי‬
‫יהי ‪ F‬שדה סגור אלגברית‪ .‬טופולוגיית זריצקי על המרחב ‪ F n‬מוגדרת כך שהקבוצות‬
‫הסגורות הן הקבוצות מהצורה )‪) Z(A‬עבור ] ‪(.A▹F [λ1 , . . . , λn‬‬
‫טענה ‪ 4.4.1‬טופולוגיית זריצקי היא אכן טופולוגיה‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬יש להוכיח שהקבוצה הריקה )⟩‪ ∅ = Z(⟨1‬והמרחב כולו )‪ F n = Z(0‬סגורים‪ ,‬ושאיחוד של‬
‫שתי קבוצות סגורות או חיתוך כלשהו של קבוצות כאלה‪ ,‬הם קבוצות סגורות‪ .‬עובדות אלו נובעות מטענה‬
‫‬
‫‪ 4.3.2‬ותרגיל ‪.4.3.5‬‬
‫תרגיל ‪ 4.4.2‬טופולוגיית זריצקי של ‪) F‬כלומר‪ ,‬המקרה החד־מימדי( היא הטופולוגיה‬
‫הקו־סופית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 4.4.3‬טופולוגיית זריצקי על ‪ F n‬היא הטופולוגיה הקטנה ביותר שעבורה כל‬
‫הפונקציות הפולינומיות ‪ f : F n →F‬רציפות‪ ,‬כאשר ‪ F‬מצויידת בטופולוגיה הקו־סופית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 4.4.4‬כל תת־קבוצה סגורה של ‪) F n‬עם טופולוגיית זריצקי( היא קומפקטית‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬כל אידיאל של ] ‪ F [λ1 , . . . , λn‬נוצר סופית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 4.4.5‬טופולוגיית זריצקי מקיימת את אקסיומת ההפרדה ‪) T1‬כל נקודה היא קבוצה‬
‫סגורה(‪ ,‬אבל לא את אקסיומת ההפרדה ‪) T2‬כל שתי נקודות אפשר להפריד בקבוצות‬
‫פתוחות זרות(‪.‬‬
‫‪4.4.1‬‬
‫הספקטרום‬
‫יהי ‪ R‬חוג קומוטטיבי‪ .‬הספקטרום של ‪ R‬הוא האוסף )‪ spec(R‬של אידיאלים ראשוניים של‬
‫‪.R‬‬
‫הגדרה ‪ 4.4.6‬לכל אידיאל ‪ ,I▹R‬נסמן } ‪.V(I) = {P ∈ spec(R) : I ⊆ P‬‬
‫√‬
‫תרגיל ‪.V(I) = V( I) 4.4.7‬‬
‫תרגיל ‪4.4.8‬‬
‫‪;V(0) = spec(R) .1‬‬
‫◦‬
‫‪;V(R) = ∅ .2‬‬
‫∑‬
‫‪;∩V(Ii ) = V( Ii ) .3‬‬
‫‪.V(I1 ) ∪ V(I2 ) = V(I1 I2 ) .4‬‬
‫תרגיל ‪ 4.4.9‬הקבוצות )‪ (I▹R) V(I‬מהוות אוסף הקבוצות הסגורות בטופולוגיה על‬
‫)‪ .spec(R‬הטופולוגיה נקראת טופולוגיית זריצקי של הספקטרום )בניגוד לטופולוגיית‬
‫זריצקי של המרחב האפיני‪ ,‬מתת־הסעיף הקודם(‪ .‬הדרכה‪ .‬זהו תרגיל ‪.4.4.8‬‬
‫תרגיל ‪ 4.4.10‬הקבוצות } ‪ Sa = {P ∈ spec(R) : a ̸∈ P‬מהוות בסיס לטופולוגיה על‬
‫)‪.spec(R‬‬
‫תרגיל ‪ 4.4.11‬אם ∅ = )‪ V(A‬אז ‪.A = R‬‬
‫‪37‬‬
‫פרק ‪ .4‬מבוא לגאומטריה אלגברית‬
‫‪ .4.4‬טופולוגיית זריצקי‬
‫טענה ‪ 4.4.12‬הספקטרום קומפקטי תחת טופולוגיית זריצקי‪.‬‬
‫∑‬
‫‪c‬‬
‫∑ורק אם ) ‪ ,∅ = (∪V(Aα )c )c = ∩V(Aα ) = V( Aα‬אם‬
‫‪ spec(R) = ∪V(A‬אם‬
‫הוכחה‪∑ α ) .‬‬
‫‬
‫∈ ‪ 1‬אז יש סכום סופי המכיל את ‪.1‬‬
‫= ‪ .R‬אבל אם ‪Aα‬‬
‫ורק אם ‪Aα‬‬
‫תרגיל ‪ 4.4.13‬טופולוגיית זריצקי של הספקטרום מקיימת את אקסיומת ההפרדה ‪T0‬‬
‫)מכל שתי נקודות‪ ,‬אפשר להפריד אחת מהן מן השניה על־ידי קבוצה פתוחה(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 4.4.14‬לכל אידיאל ‪ spec(R/I) ,I▹R‬הומיאומורפי ל־)‪.V(I‬‬
‫‪38‬‬
‫פרק ‪5‬‬
‫מימד קרול של חוגים‬
‫הממד של יריעה תלת־ממדית אי־פריקה הוא ‪ ,3‬משום שהיא מכילה יריעות דו־ממדיות‪,‬‬
‫המכילות עקומים המכילים נקודות‪ .‬ההתאמה בין יריעות אי־פריקות לאידיאלים ארשוניים‬
‫מאפשרת להגדיר את ה'ממד' של אידיאל ראשוני לפי שרשראות יורדות של אידיאלים‬
‫שיורדים ממנו‪ .‬האידיאל ⟩ ‪ I = ⟨λ1 − a1 , . . . , λt − at‬של חוג הפולינומים ] ‪F [λ1 , . . . , λn‬‬
‫מתאים לקבוצה )‪ ,Z(I‬שהיא הזזה של מרחב וקטורי מממד ‪ .n − t‬באופן כללי יותר‪ ,‬אנו‬
‫מעוניינים לבנות התאמה בין המימד של קבוצה אלגברית ‪ ,S‬למימד של האלגברה האפינית‬
‫)‪ .F [λ1 , . . . , λn ]/I(S‬רעיון זה מוביל לפיתוח של מושג המימד עבור חוגים כלליים‪.‬‬
‫‪5.1‬‬
‫מימד קרול‬
‫הגדרה ‪ 5.1.1‬יהי ‪ R‬חוג‪ .‬מימד קרול של החוג הוא ‪ n‬המקסימלי כך שקיימת שרשרת של אידיאלים‬
‫ראשוניים ‪ P0 ⊂ P1 ⊂ · · · ⊂ Pn‬ב־‪.R‬‬
‫תרגיל ‪ 5.1.2‬נניח ש־‪ P ⊂ Q‬אידיאלים ראשוניים של ‪ .R‬אפשר לעדן את השרשרת‬
‫‪ P ⊂ Q‬אם ורק אם האידיאל ‪ Q/P‬אינו אידיאל ראשוני מינימלי בחוג המנה ‪.R/P‬‬
‫תרגיל ‪ dim(F [λ1 , . . . , λn ]) ≥ n 5.1.3‬כי ⟩ ‪ 0 ⊂ ⟨λ1 ⟩ ⊂ · · · ⊂ ⟨λ1 , . . . , λn‬שרשרת של‬
‫אידיאלים ראשוניים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 5.1.4‬לכל אידיאל ‪ .dim(R/I) ≤ dim(R) ,I▹R‬הדרכה‪ .‬כל שרשרת של אידיאלים‬
‫ראשוניים ב־‪ R/I‬אפשר להרים לשרשרת ב־‪.R‬‬
‫◦‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ 5.1.5‬אם ‪ F‬שדה אז ‪.dim(F ) = 0‬‬
‫תרגיל ‪ dim(R) = 0 5.1.6‬אם ורק אם כל אידיאל ראשוני הוא מקסימלי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 5.1.7‬אם ‪ R‬תחום שלמות ממימד אפס אז הוא שדה‪ .‬הדרכה‪ 0 .‬אידיאל ראשוני‪.‬‬
‫טענה ‪ 5.1.8‬כל תחום שלמות ארטיני הוא שדה‪.‬‬
‫◦‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ R‬תחום שלמות ארטיני‪ ,‬ויהי ‪ .0 ̸= a ∈ R‬אם ‪ a‬אינו הפיך אז ‪ ,an ̸∈ Ran+1‬ומכאן‬
‫‬
‫ש־ ‪ ,Ran+1 ⊂ Ran‬וכך מתקבלת שרשרת ‪ ,· · · ⊂ Ra3 ⊂ Ra2 ⊂ Ra‬בסתירה לארטיניות‪.‬‬
‫טענה ‪ 5.1.9‬לכל חוג ארטיני )קומוטטיבי( ‪ R‬יש מימד ‪.0‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ P ▹R‬אידיאל ראשוני‪ ,‬אז ‪ R/P‬תחום שלמות ארטיני )תרגיל ‪ ,(1.3.14‬ולפי טענה ‪5.1.8‬‬
‫‬
‫הוא שדה‪ ,‬ולכן ‪ P‬מקסימלי‪.‬‬
‫‪39‬‬
‫◦‬
‫‪ .5.2‬אידיאלים ניליים ונילפוטנטיים‬
‫‪5.2‬‬
‫◦‬
‫פרק ‪ .5‬מימד קרול של חוגים‬
‫אידיאלים ניליים ונילפוטנטיים‬
‫הגדרה ‪ 5.2.1‬איבר ‪ a ∈ R‬הוא איבר נילפוטנטי אם יש ‪ n ≥ 1‬כך ש־‪ .an = 0‬אידיאל ‪ I▹R‬הוא נילי‬
‫אם כל איבריו נילפוטנטיים‪ .‬אידיאל הוא נילפוטנטי אם יש ‪ n‬כך ש־‪.I n = 0‬‬
‫תרגיל ‪ 5.2.2‬כל אידיאל נילפוטנטי הוא נילי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 5.2.3‬אידיאל נילי ראשי הוא נילפוטנטי‪.‬‬
‫◦‬
‫טענה ‪ 5.2.4‬יהיו ‪ A ⊆ B‬אידיאלים של חוג ‪ .R‬אם ‪ A‬ו־‪ B/A‬ניליים )נילפוטנטיים(‪ ,‬אז ‪B‬‬
‫נילי )נילפוטנטי(‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ש־‪ A, B/A‬ניליים‪ ,‬ויהי ‪ .b ∈ B‬אז קיים ‪ n‬כך ש־‪,bn + A = (b + A)n = 0 + A‬‬
‫ולכן ‪ ,bn ∈ A‬וקיים ‪ m‬כך ש־‪ .(bn )m = 0‬נניח ש־‪ A, B/A‬נילפוטנטים‪ .‬אז קיים ‪ n‬כך ש־‬
‫‪ ,(B n + A)/A = (B/A)n = 0‬ולכן ‪ ;B n ⊆ A‬קיים ‪ m‬כך ש־‪ ,Am = 0‬ואז ‪.B nm ⊆ Am = 0‬‬
‫‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ 5.2.5‬אם ‪ A, B‬ניליים )נילפוטנטים( אז ‪ A+B‬נילי )נילפוטנטי(‪ .‬הדרכה‪ .‬טענה ‪.5.2.4‬‬
‫לטענה על נילפוטנטיות אפשר לתת גם הוכחה ישירה‪ :‬נניח ש־‪ An = 0‬ו־‪ ,B m = 0‬אז‬
‫‪ (A + B)n+m−1 = 0‬כי אפשר לפרק את החזקה לסכום של מכפלות שבכל אחת מהן יש‬
‫לפחות ‪ n − 1‬הופעות של ‪ ,A‬או לפחות ‪ m − 1‬הופעות של ‪.B‬‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ 5.2.6‬כל אידיאל נילי נוצר סופית הוא נילפוטנטי‪ .‬הדרכה‪ .‬תרגיל ‪.5.2.5‬‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ 5.2.7‬בחוג קומוטטיבי נתרי‪ ,‬כל אידיאל נילי הוא נילפוטנטי‪ .‬הדרכה‪ .‬תרגיל ‪5.2.6‬‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ 5.2.8‬סכום של מספר כלשהו של אידיאלים ניליים הוא נילי‪ .‬הדרכה‪ .‬מספיק‬
‫להוכיח את הטענה עבור סכום סופי‪ ,‬וזה תרגיל ‪ .5.2.5‬הערה‪ .‬בתרגיל זה נשבר הדמיון בין‬
‫אידיאלים ניליים לנילפוטנטים‪ :‬למרות שסכום של אידיאלים ניליים הוא נילי‪ ,‬סכום של מספר‬
‫כלשהו של אידיאלים נילפוטנטיים הוא נילי‪ ,‬אבל אינו בהכרח נילפוטנטי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 5.2.9‬תן דוגמא לחוג )קומוטטיבי( עם אידיאל נילי שאינו נילפוטנטי‪ .‬הדרכה‪ .‬למשל‪,‬‬
‫∑‬
‫קח ⟩‪ I = ⟨a1 , a2 , . . .‬בחוג ‪.R = F [a1 , a2 , . . . ]/ ⟨a1 , . . . , an ⟩n‬‬
‫הגדרה ‪ 5.2.10‬סכום האידיאלים הניליים בחוג‪ ,‬שהוא נילי לפי תרגיל ‪ ,5.2.8‬הוא כמובן האידיאל הנילי‬
‫הגדול ביותר של ‪ .R‬אידיאל זה נקרא הרדיקל הנילי העליון‪ ,‬ומסמנים אותו ב־)‪.Nil(R‬‬
‫◦‬
‫√‬
‫טענה ‪ 5.2.11‬כאשר ‪ R‬חוג קומוטטיבי‪0 ,‬‬
‫= )‪) Nil(R‬השווה ל־)‪ rad(R‬לפי מסקנה ‪.(4.2.32‬‬
‫√‬
‫הוכחה‪ .‬איבר הוא נילפוטנטי אם ורק אם הוא שייך ל־‪ , 0‬המהווה משום כך אידיאל נילי‪.‬‬
‫‪40‬‬
‫‬
‫פרק ‪ .5‬מימד קרול של חוגים‬
‫‪5.3‬‬
‫◦‬
‫◦‬
‫‪ .5.3‬חוגים ממימד אפס‬
‫חוגים ממימד אפס‬
‫√‬
‫√‬
‫למה ‪ N ▹R 5.3.1‬רדיקלי‪ .AB ⊆ N ,N ⊂ A, B ,‬אז ‪. A ∩ B = N‬‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫הוכחה‪ .‬לפי תרגיל ‪.N ⊆ A ∩ B ⊆ A ∩ B ⊆ N = N ,4.3.3‬‬
‫‬
‫משפט ‪ 5.3.2‬נניח ש־‪ R‬נתרי‪ .‬כל אידיאל רדיקלי של ‪ R‬הוא חיתוך מספר סופי של אידיאלים ראשוניים‪.‬‬
‫ראשוני‪,‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ N‬אידיאל רדיקלי מקסימלי שאינו חיתוך של מספר סופי של ראשוניים‪ .‬בפרט ‪√N‬אינו √‬
‫המקסימליות של√‪ ,N‬כל אחד מהאידיאלים ‪ A, B‬הוא‬
‫ולכן יש ‪ A, B ⊃ N‬כך ש־ ‪ .AB ⊆ N‬לפי‬
‫√‬
‫חיתוך מספר סופי של אידיאלים ראשוניים‪ ,‬ולכן גם ‪ , A ∩ B‬השווה ל־ ‪ N‬לפי למה ‪ ,5.3.1‬הוא חיתוך‬
‫‬
‫כזה‪.‬‬
‫◦‬
‫טענה ‪ 5.3.3‬לחוג ארטיני )קומוטטיבי( יש מספר סופי של אידיאלים ראשוניים‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬אחרת‪ ,‬יהיו ‪ P1 , P2 , . . .‬אידיאלים ראשוניים שונים בחוג הארטיני ‪ .R‬נסמן ‪,In = P1 ∩· · ·∩Pn‬‬
‫אז ‪ · · · ⊆ I3 ⊆ I2 ⊆ I1‬היא שרשרת יורדת‪ ,‬המוכרחה לעצור לפי הארטיניות‪ .‬כלומר‪ ,‬קיים ‪ n‬כך‬
‫ש־ ‪ ,In = In+1‬היינו ‪ .P1 · · · Pn ⊆ P1 ∩ · · · ∩ Pn ⊆ P1 ∩ · · · ∩ Pn ∩ Pn+1 ⊆ Pn+1‬מכיוון‬
‫ש־ ‪ Pn+1‬ראשוני‪ ,‬יש ‪ i ≤ n‬כך ש־ ‪ ;Pi ⊆ Pn+1‬אבל לפי טענה ‪ Pi ,5.1.9‬מקסימלי‪ ,‬כך ש־ ‪,Pi = Pn+1‬‬
‫בסתירה להנחה‪.‬‬
‫‬
‫)בטענה ‪ 8.4.10‬נוכיח טענה זו עבור חוגים לא קומוטטיביים‪(.‬‬
‫טענה ‪ 5.3.4‬יהי ‪ R‬חוג קומוטטיבי ראשוני למחצה‪ .‬התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫◦‬
‫‪ R .1‬נתרי בעל מימד אפס‪.‬‬
‫‪ R .2‬ארטיני‪.‬‬
‫‪ R .3‬הוא מכפלה ישרה של מספר סופי של שדות‪.‬‬
‫√‬
‫הוכחה‪ :(3) ⇐= (2,1) .‬אם ‪ R‬נתרי יש בו מספר סופי של ראשוניים שחיתוכם√‪) 0‬משפט ‪,(5.3.2‬‬
‫ואם ‪ R‬ארטיני יש לו מספר סופי של ראשוניים‪√,‬לפי טענה ‪ ,5.3.3‬וחיתוכם הוא ‪ 0‬לפי מסקנה ‪.4.2.32‬‬
‫בכל מקרה אפשר לכתוב ‪ 0 = 0 = P1 ∩ · · · ∩ Pt‬כאשר ‪ Pi ▹R‬ראשוניים‪ .‬המימד של ‪ R‬הוא אפס‬
‫לפי ההנחה עבור המקרה הנתרי‪ ,‬ולפי טענה ‪ 5.1.9‬אם ‪ R‬ארטיני; לכן האידיאלים ‪ Pi‬מקסימליים‪ .‬לפי‬
‫∼ ) ‪ ,R = R/0 = R/(P1 ∩ · · · ∩ Pt‬כאשר ‪R/Pi‬‬
‫משפט השאריות הסיני‪= R/P1 × · · · × R/Pt ,‬‬
‫הם שדות‪ :(2,1) ⇐= (3) .‬החוג ארטיני ונתרי משום שלמכפלה של ‪ t‬שדות יש בדיוק ‪ 2t‬אידיאלים‪,‬‬
‫‬
‫וראשוני למחצה לפי תרגיל ‪.4.2.21‬‬
‫משפט ‪ 5.3.5‬יהי ‪ R‬חוג נתרי ממימד ‪ .0‬אז ‪ R‬ארטיני‪.‬‬
‫√‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן ‪ .N = 0‬זהו אידיאל רדיקלי‪ ,‬ולכן ‪ R/N‬ראשוני למחצה )טענה ‪ ,(4.2.18‬נתרי כחוג מנה‬
‫של ‪ ,R‬ובעל מימד אפס )תרגיל ‪ .(5.1.4‬לפי משפט ‪ R/N ,5.3.4‬ארטיני‪.‬‬
‫לפי טענה ‪ 5.2.11‬ותרגיל ‪ N ,5.2.7‬אידיאל נילפוטנטי‪ ,‬ולכן קיים ‪ n‬כך ש־‪ .N n = 0‬לכל ‪,i < n‬‬
‫‪ N i ▹R‬נוצר סופית כאידיאל‪ ,‬ולכן גם כמודול מעל ‪ .R‬מכאן שגם המנה ‪ N i /N i+1‬נוצרת סופית כמודול‬
‫מעל ‪ ,R‬ו־ ‪ N‬מאפס אותה‪ .‬לפי תרגיל ‪ N i /N i+1 ,1.1.8‬מודול נוצר סופית מעל ‪ ,R/N‬שהוא ארטיני‬
‫ונתרי‪ ,‬ולכן גם ‪ N i /N i+1‬ארטיני ונתרי‪ ,‬כלומר )טענה ‪ (1.3.8‬בעל סדרת הרכב‪ .‬כך אפשר לעדן את‬
‫הסדרה ‪ 0 < N n−1 < N n−2 < · · · < N < R‬לסדרת הרכב של ‪) R‬כמודול מעל עצמו(‪ ,‬ומכאן‬
‫‬
‫ש־‪ R‬בעל אורך סופי כמודול מעל עצמו‪ .‬שוב לפי טענה ‪ R ,1.3.8‬ארטיני‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 5.3.6‬יהי ‪ R‬חוג אפיני‪ .‬אז ‪ R‬ארטיני אם ורק אם יש לו מימד אפס‪ .‬במקרה זה‪ ,‬לכל‬
‫מודול נוצר סופית מעל ‪ R‬יש סדרת הרכב )כי ‪ R‬ארטיני ונתרי(‪.‬‬
‫‪41‬‬
‫◦‬
‫‪ .5.4‬גובה של אידיאלים‬
‫‪5.4‬‬
‫פרק ‪ .5‬מימד קרול של חוגים‬
‫גובה של אידיאלים‬
‫הגדרה ‪ 5.4.1‬יהי ‪ R‬תחום שלמות‪ .‬אידיאל ראשוני ‪ P ▹R‬נקרא מינימלי אם הוא אינו מכיל אף אידיאל‬
‫ראשוני ≠ ‪.0‬‬
‫יהי ‪ .0 ̸= I▹R‬אידיאל ראשוני ‪ P‬המכיל את ‪ I‬הוא מינימלי מעל ‪ I‬אם אין ראשוני ‪ P0 ⊆ P‬כך‬
‫ש־ ‪ .I ⊆ P0‬אם ‪ ,I = Ra‬אומרים ש־ ‪ P‬מינימלי מעל ‪.a‬‬
‫תרגיל ‪ 5.4.2‬בכל חוג‪ ,‬לכל ‪ I▹R‬יש אידיאל ראשוני מינימלי המכיל את ‪ .I‬הדרכה‪I .‬‬
‫מוכל באידיאל מקסימלי‪ ,‬שהוא ראשוני‪ ,‬והאידיאלים הראשוניים המכילים את ‪ I‬מקיימים את תנאי‬
‫המינימום‪.‬‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ 5.4.3‬לכל ‪ ,k ≥ 1‬ראשוני ‪ P‬הוא מינימלי מעל ‪ a‬אם ורק אם הוא מינימלי מעל‬
‫‪.ak‬‬
‫תרגיל ‪ 5.4.4‬כל אידיאל ראשוני ראשי הוא מינימלי מעל איבר מתאים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 5.4.5‬נניח ש־‪ R‬תחום פריקות יחידה‪ .‬אידיאל ראשוני הוא מינימלי אם ורק אם‬
‫הוא ראשי‪ .‬הדרכה‪ .‬יהי ‪ P‬אידיאל ראשוני מינימלי‪ ,‬ויהי ‪ p ∈ P‬איבר אי־פריק )תרגיל ‪.(2.1.5‬‬
‫אז ‪ ,0 ̸= Rp ⊆ P‬ומכאן ש־‪ P = Rp‬הוא אידיאל ראשי‪ .‬בכיוון ההפוך‪ ,‬יהי ‪ P = Rπ‬אידיאל‬
‫ראשוני ראשי‪ ,‬ונניח ש־ ‪ ;0 ̸= Q ⊆ P‬שוב יש ב־‪ Q‬איבר אי־פריק ‪ ;p‬מכיוון ש־‪ ,π | p‬בהכרח‬
‫‪ P = Rπ = Rp ⊆ Q‬ולכן ‪.Q = P‬‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ 5.4.6‬יהי ‪ R‬תחום שלמות‪ ,‬ויהיו ‪ N < M‬תת־מודולים של ‪ .R‬אז לכל ‪,0 ̸= a ∈ R‬‬
‫∼ ‪ .M/N‬הדרכה‪ .‬הגרעין של ‪ ℓa : M →M a/N a‬המוגדר על־ידי ‪ ℓa (x) = ax‬כולל‬
‫‪= aM/aN‬‬
‫את האברים ‪ x‬כך ש־ ‪ ,ax ∈ aN‬ועל־ידי צמצום ב־‪ a‬נובע שהגרעין הוא ‪.N‬‬
‫◦‬
‫משפט ‪) 5.4.7‬משפט האידיאל הראשי( יהי ‪ R‬תחום שלמות נתרי‪ .‬אם ‪ P‬מינימלי מעל ‪ a‬אז הוא מינימלי‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח שלא‪ .‬אז קיים אידיאל ראשוני ‪ .0 ⊂ P1 ⊂ P‬נבצע מיקום ב־ ‪ ,P‬כלומר‪ ,‬ניקח ‪,S = R−P‬‬
‫ונעבור לשרשרת ‪ ,0 ⊂ P1′ ⊂ P ′ ▹R′‬כאשר ‪ ,P ′ = S −1 P ,P1′ = S −1 P1‬ו־‪ .R′ = S −1 R‬האידאל‬
‫‪ P ′‬עדיין מינימלי מעל ‪ ,a‬משום שכל אידיאל ראשוני של ‪ R′‬מתאים לאידיאל של ‪ R‬שהוא זר ל־‪) S‬כלומר‬
‫מוכל ב־ ‪ .(P‬אלא שכעת ‪ R′‬מקומי‪ ,‬ו־ ‪ P ′‬אידיאל מקסימלי יחיד‪ .‬נחזור לסימון המקורי‪ ,‬תחת הנחות אלו‪.‬‬
‫נתבונן בחוג המנה ‪ ,R/Ra2‬שהוא נתרי‪ .‬כל אידיאל ראשוני ב־ ‪ R/Ra2‬הוא מהצורה ‪ P˜ /Ra2‬כאשר‬
‫‪ P˜ ▹R‬ראשוני המכיל את ‪ ,a2‬ולכן גם את ‪ .a‬בנוסף‪ P˜ ⊆ P ,‬מכיוון ש־ ‪ P‬מקסימלי יחיד‪ .‬לא יתכן‬
‫ש־ ‪ ,P˜ ⊂ P‬כי ‪ P‬מינימלי מעל ‪ ,a‬ומכאן ש־ ‪ .P˜ = P‬הראינו שאין ב־ ‪ R/Ra2‬אידיאלים ראשוניים פרט‬
‫ל־ ‪ ,P/Ra2‬ולכן ‪ .dim(R/Ra2 ) = 0‬לפי משפט ‪ R/Ra2 ,5.3.5‬ארטיני‪.‬‬
‫יהי ‪ 0 ̸= b ∈ P1‬איבר כלשהו‪ .‬נסמן }‪ ;Ai = {x ∈ R : xai ∈ Rb‬זהו אידיאל של ‪ ,R‬ו־‬
‫· · · ⊆ ‪ .A1 ⊆ A2‬מכיוון ש־‪ R‬נתרי‪ ,‬השרשרת נעצרת ויש ‪ j‬כך ש־ · · · = ‪ .Aj = Aj+1‬נסמן‬
‫‪ ,a′ = aj‬ונבחין שאם ‪ xa′2 = xa2j ∈ Rb‬אז ‪ x ∈ A2j = Aj‬ולכן ‪ .xa′ = xaj ∈ Rb‬לפי‬
‫תרגיל ‪ P ,5.4.3‬מינימלי מעל ‪ ,a′‬ולכן אפשר להחליף ‪ a‬ב־ ‪ a′‬ולקבל את התנאי‬
‫‪xa2 ∈ Rb ⇐= xa ∈ Rb.‬‬
‫)∗(‬
‫פירושו של התנאי הזה הוא שאם ‪ xa2 ∈ Rb‬אז ‪ ,xa2 ∈ Rab‬כלומר ‪ ,Ra2 ∩ Rb ⊆ Rab‬ולכן‬
‫‪ ,Rb ∩ M a = Rb ∩ (Ra2 + Rab) = (Rb ∩ Ra2 ) + Rab = Rab‬כאשר ‪.M = Ra + Rb‬‬
‫נסמן ‪ .N = Rb + M a = Ra2 + Rb‬לפי תרגיל ‪) 5.4.6‬פעמיים(‪,‬‬
‫∼ ‪Ra/Ra2‬‬
‫∼ ‪= R/Ra‬‬
‫∼ )‪= Rb/Rab = Rb/(Rb ∩ M a‬‬
‫‪= (Rb + M a)/M a = N/M a,‬‬
‫‪42‬‬
‫‪ .5.4‬גובה של אידיאלים‬
‫פרק ‪ .5‬מימד קרול של חוגים‬
‫‪M = Ra + URb‬‬
‫‪U‬‬
‫‪UUUU‬‬
‫‪UU‬‬
‫‪N = Ra2 +‬‬
‫‪NN Rb‬‬
‫‪Rb‬‬
‫‪NNN‬‬
‫‪NNN‬‬
‫‪Ra RRR‬‬
‫‪RRRR‬‬
‫‪RR‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Ra k∩ Rb + Ra‬‬
‫‪UU‬‬
‫‪UUUU‬‬
‫‪UUU‬‬
‫‪kk‬‬
‫‪kkk‬‬
‫‪kkk‬‬
‫‪M a SSS‬‬
‫‪SSS‬‬
‫‪SS‬‬
‫‪Ra ∩ Rb‬‬
‫‪iiii‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ii‬‬
‫‪Ra2 NN‬‬
‫‪Rb ∩ M aUUUUU U‬‬
‫‪NNN‬‬
‫‪UUUUU U‬‬
‫‪N‬‬
‫*‪UUUU U‬‬
‫‪U‬‬
‫‪2‬‬
‫_‬
‫_‬
‫_‬
‫_‬
‫_‬
‫_‬
‫_‬
‫_‬
‫_‬
‫_‬
‫‪_ _/ Rab‬‬
‫‪Ra ∩ Rb‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S SSSSSS‬‬
‫‪S SS‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪Ra ∩ Rab‬‬
‫איור ‪ :5.1‬תת־מודולים של ‪ ,R‬א־פריורי‪ .‬החצים המקווקווים מתארים את התנאי )*(‪.‬‬
‫∼ ‪ .M/Ra‬כעת‪ M/Ra2 ,‬הוא מודול מעל ‪ ,R/Ra2‬שהוא ארטיני ונתרי‪ ,‬ולכן יש‬
‫וגם ‪= M a/Ra2‬‬
‫ל־ ‪ M/Ra2‬סדרות הרכב‪ .‬לפי תרגיל ‪,1.2.9‬‬
‫‪ℓ(M/Ra) + ℓ(Ra/Ra2 ) = ℓ(M/Ra2 ) = ℓ(M/N ) + ℓ(N/M a) + ℓ(M a/Ra2 ),‬‬
‫ומאחר שהוכחנו ) ‪ ℓ(M/Ra) = ℓ(aM/Ra2‬ו־) ‪ ℓ(N/M a) = ℓ(Ra/Ra2‬נובע ש־‪,ℓ(M/N ) = 0‬‬
‫ובהכרח ‪ .M = N‬אם כך‪ ,a ∈ M = N = Ra2 + Rb ,‬ואפשר לכתוב ‪ ;a = xa2 + yb‬אבל ‪R‬‬
‫מקומי‪ ,‬ולכן )‪ (1 − xa‬הפיך ואפשר לכתוב ‪ ,a = (1 − xa)−1 yb ∈ Rb ⊆ P1‬בסתירה למינימליות של‬
‫‬
‫‪.P‬‬
‫הערה‪ .‬למשפט חשוב זה יש גרסה לא קומוטטיבית‪ .‬ראה למשל ‪Dimensions of Ring Theory,‬‬
‫‪.Nastasesecu and van Oyestaeyen, Sec. 6.6‬‬
‫הגדרה ‪ 5.4.8‬הגובה של אידיאל ראשוני ‪ P‬הוא ‪ t‬המקסימלי כך שקיימת שרשרת ⊂ ‪P0 ⊂ · · · ⊂ Pt−1‬‬
‫‪ Pt = P‬של אידיאלים ראשוניים‪ .‬את הגובה מסמנים ב־‪.ht(P ) = t‬‬
‫אפשר לנסח מחדש את משפט האידיאל הראשי‪:‬‬
‫מסקנה ‪ 5.4.9‬יהי ‪ R‬קומוטטיבי נתרי‪ .‬לכל אידיאל ראשוני ‪ P‬שהוא מינימלי מעל איבר ‪,a ̸= 0‬‬
‫מתקיים ‪.ht(P ) ≤ 1‬‬
‫תרגיל ‪ 5.4.10‬המימד )‪ dim(R‬שווה לסופרימום הגבהים של האידיאלים המקסימליים‪.‬‬
‫◦‬
‫הדרכה‪ .‬כל שרשרת של אידיאלים ראשוניים אפשר להמשיך כך שהיא מסתיימת באידיאל‬
‫מקסימלי‪.‬‬
‫למה ‪ 5.4.11‬יהי ‪ R‬חוג נתרי קומוטטיבי‪ .‬תהי ‪ Pt ⊂ Pt−1 ⊂ · · · ⊂ P1 ⊂ P0 = P‬שרשרת‬
‫‪′‬‬
‫של אידיאלים ראשוניים‪ ,‬ויהי ‪ .b ∈ P‬אז יש שרשרת ‪⊂ · · · ⊂ P1′ ⊂ P0 = P‬‬
‫‪ ,Pt′ ⊂ Pt−1‬כך‬
‫‪′‬‬
‫ש־‬
‫‪.b ∈ Pt−1‬‬
‫‪43‬‬
‫◦‬
‫פרק ‪ .5‬מימד קרול של חוגים‬
‫‪ .5.4‬גובה של אידיאלים‬
‫הוכחה‪ .‬באינדוקציה‪ .‬נניח ש־ ‪ ,b ∈ Pk‬כאשר ‪ ,k ≤ t − 2‬ונתבונן ב־ ‪.Pk+2 ⊂ Pk+1 ⊂ Pk‬‬
‫נעבור לחוג המנה ‪ ,R/Pk+2‬שם ‪ .0 ⊂ Pk+1 /Pk+2 ⊂ Pk /Pk+2‬מכיוון ש־ ‪ Pk /Pk+2‬אינו ראשוני‬
‫מינימלי‪ ,‬לפי משפט האידיאל הראשי הוא אינו ראשוני מינימלי מעל ‪ ,b + Pk+2‬ולכן קיים אידיאל ראשוני‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‬
‫‪.b ∈ Pk+1‬‬
‫‪ Pk+2 ⊂ Pk+1‬כך ש־‬
‫‪⊂ Pk‬‬
‫את מושג המינימליות מעל איבר אפשר לנסח גם כמינימליות מעל האידיאל שאותו איבר‬
‫יוצר‪ .‬משפט האידיאל הראשי המוכלל עוסק במינימליות מעל כל אידיאל נוצר סופית‪.‬‬
‫◦‬
‫משפט ‪) 5.4.12‬משפט האידיאל הראשי המוכלל( יהי ‪ R‬קומוטטיבי נתרי‪ .‬אם ראשוני ‪ P‬הוא מינימלי‬
‫מעל ‪ ,B = Ra1 + · · · + Rat‬אז ‪.ht(P ) ≤ t‬‬
‫הוכחה‪ .‬באינדוקציה על ‪ ,t‬כאשר המקרה ‪ t = 1‬הוא משפט האידיאל הראשי‪ .5.4.7 ,‬נניח שקיימת שרשרת‬
‫ראשוניים ‪ .Pt+1 ⊂ Pt ⊂ · · · ⊂ P1 ⊂ P0 = P‬לפי למה ‪ 5.4.11‬אפשר להניח ש־ ‪ .at ∈ Pt‬נעבור‬
‫‪ ,R‬שבו ‪ P¯ = P/Rat‬מינימלי מעל ‪¯ = B/Rat = Ra1 + · · · + Rat−1‬‬
‫לחוג המנה ‪¯ = R/Rat‬‬
‫‪.B‬‬
‫¯‬
‫לפי הנחת האינדוקציה ‪ ,ht(P ) ≤ t − 1‬אבל ‪ Pt /Rat ⊂ · · · ⊂ P1 /Rat ⊂ P/Rat‬היא שרשרת‬
‫‬
‫של ראשוניים מאורך ‪ ,t‬וזו סתירה‪.‬‬
‫◦‬
‫מסקנה ‪ 5.4.13‬הגובה של כל אידיאל ראשוני ‪ P‬בחוג קומוטטיבי נתרי הוא סופי‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬מכיוון שהחוג נתרי אפשר לכתוב ‪ ,P = Ra1 + · · · + Rat‬ומכיוון ש־ ‪ P‬מינימלי מעל עצמו‪,‬‬
‫‬
‫‪.ht(P ) ≤ t‬‬
‫מסקנה ‪ 5.4.14‬בחוג נתרי קומוטטיבי אין שרשרת יורדת אינסופית של אידיאלים ראשוניים‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬מסקנה ‪.5.4.13‬‬
‫מסקנה ‪ 5.4.15‬יהי ‪ R‬חוג נתרי מקומי‪ ,‬אז יש לו מימד סופי‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬מימד החוג שווה לגובה של האידיאל המקסימלי שלו‪.‬‬
‫◦‬
‫‬
‫מסקנה ‪ 5.4.16‬יהי ‪ F‬שדה סגור אלגברית‪ .‬אז ‪.dim(F [λ1 , . . . , λn ]) = n‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי טענה ‪ ,4.2.42‬האידיאלים המקסימליים של ‪ R‬נוצרים על־ידי ‪ n‬אברים‪ ,‬וממשפט ‪ 5.4.12‬נובע‬
‫שגובהם אינו עולה על ‪ .n‬מאידך בתרגיל ‪ 5.1.3‬בנינו שרשרת אידיאלים ראשוניים באורך ‪ .n‬המסקנה‬
‫‬
‫נובעת לפי תרגיל ‪.5.4.10‬‬
‫הערה ‪ 5.4.17‬מסקנה ‪ 5.4.16‬נכונה לכל שדה‪ .‬ראה הוכחה קצרה ב־‪A Short Proof for‬‬
‫‪Thierry Coquand and Henri ,the Krull Dimension of a Polynomial Ring‬‬
‫‪.Lombardi‬‬
‫הערה ‪ Nagata 5.4.18‬מצא ב־‪ 1962‬חוג נתרי ממימד אינסופי‪.‬‬
‫האידיאל‬
‫הערה ‪ ⟩5.4.19‬בדרך כלל אין קשר⟨בין מספר היוצרים למימד‪ .‬למשל‪ ,‬הראה שאת‬
‫√‬
‫] ‪ I = λn1 , λ1n−1 λ2 , . . . , λn2 ▹F [λ1 , λ2‬אי אפשר ליצור בפחות מ־‪ n + 1‬איברים‪ .‬מהו ‪? I‬‬
‫מצא אידיאל ראשוני מינימלי מעל ‪.I‬‬
‫‪44‬‬
‫פרק ‪ .5‬מימד קרול של חוגים‬
‫‪5.5‬‬
‫‪ .5.5‬אידיאלים ראשוניים בהרחבות‬
‫אידיאלים ראשוניים בהרחבות‬
‫תהי ‪ C ⊆ R‬הרחבה של שדות‪ .‬אומרים שראשוני ‪ Q▹R‬נמצא מעל ‪ P ▹C‬אם ‪.P = Q ∩ C‬‬
‫בטענה ‪ 3.3.17‬הראינו שבמקרה זה גם ‪ P‬ראשוני‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 5.5.1‬ההרחבה ‪ C ⊆ R‬מקיימת את התכונה ‪ (Lying Over) LO‬אם לכל אידיאל ראשוני‬
‫‪ P ▹C‬יש ראשוני ‪ Q▹R‬הנמצא מעליו‪.‬‬
‫ההרחבה מקיימת את התכונה ‪ (Going Up) GU‬אם לכל ראשוני ‪ Q‬מעל ‪ P‬ולכל ‪ P ⊆ P1‬יש ‪ Q1‬מעל‬
‫‪ P1‬המכיל את ‪.Q‬‬
‫ההרחבה מקיימת את התכונה ‪ (Incomparable) INC‬אם אין ‪ Q ⊆ Q1‬הנמצאים שניהם מעל אותו‬
‫ראשוני ‪.P‬‬
‫הערה ‪ 5.5.2‬כל הרחבה שלמה ‪ C ⊆ R‬מקיימת את התכונה ‪) LO‬משפט ‪.(3.3.30‬‬
‫טענה ‪ 5.5.3‬כל הרחבה שלמה ‪ C ⊆ R‬מקיימת את התכונה ‪.GU‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ Q‬ראשוני מעל ‪ ,P‬ויהי ‪ .P ⊆ P1‬לפי תרגיל ‪¯ = R/Q ,3.3.18‬‬
‫‪ R‬הרחבה שלמה של‬
‫‪′‬‬
‫∼ ‪ ,C¯ = (C + Q)/Q‬ולפי ‪ LO‬בהרחבה זו‪ ,‬יש ראשוני ‪ Q′ ▹R/Q‬שנמצא מעל ‪;P1 = P1 /P‬‬
‫‪= C/P‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫נכתוב ‪ ,Q = Q1 /Q‬אז ‪ Q1‬ראשוני המכיל את ‪ ;Q‬אידיאל זה נמצא מעל ‪ P1‬משום ש־= ‪P1 /Q = P1‬‬
‫‪ ,Q′ ∩ C¯ = Q1 /Q ∩ (C + Q)/Q = (Q1 ∩ C + Q)/Q = (Q1 ∩ C)/Q‬ולכן ‪.P1 = Q1 ∩ C‬‬
‫‬
‫הערה ‪ 5.5.4‬אם ‪ C ⊆ R‬תחומי שלמות‪ ,‬אז מהתכונה ‪ GU‬נובע ‪) LO‬ראה טענה ‪.(5.5.5‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ P‬אידיאל ראשוני של ‪ ,C‬אז הוא מכיל את ‪ 0▹C‬שמעליו נמצא ‪ .0▹R‬לפי ‪ GU‬יש אידיאל‬
‫‬
‫‪) Q▹R‬המכיל את ‪ (0‬הנמצא מעל ‪.P‬‬
‫טענה ‪ 5.5.5‬בכל הרחבה ‪ C ⊆ R‬של חוגים קומוטטיביים‪ ,‬מהתכונה ‪ GU‬נובע ‪.LO‬‬
‫◦‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ .P ▹C‬נסמן ‪ .S = C−P‬ניקח אידיאל מקסימלי ב־‪ ,S −1 R‬אז הוא מהצורה ‪ S −1 Q0‬עבור‬
‫אידיל ראשוני ‪ Q0 ▹R‬שאינו חותך את ‪ ;S‬מכאן ש־ ‪ .P0 = Q0 ∩ C ⊆ P‬לפי ‪ ,GU‬יש אידיאל ראשוני‬
‫‬
‫‪ Q ⊇ Q0‬הנמצא מעל ‪.P‬‬
‫טענה ‪ 5.5.6‬אם ‪ C ⊆ R‬קומוטטיביים וההרחבה מקיימת ‪ ,INC‬אז ) ‪ ht(Q) ≤ ht(P‬לכל ‪Q‬‬
‫שמעל ‪.P‬‬
‫◦‬
‫הוכחה‪ .‬נניח שיש שרשרת ראשוניים ‪ .Qt ⊂ · · · ⊂ Q1 ⊂ Q0 = Q‬נחתוך עם ‪ C‬ונקבל שרשרת‬
‫ראשוניים ‪ Pt ⊆ · · · ⊆ P1 ⊆ P0 = P‬כאשר ‪ ,Pi = Qi ∩ C‬אבל כל ההכלות אמיתיות לפי ‪,INC‬‬
‫‬
‫ולכן ‪.ht(P ) ≥ t‬‬
‫הערה ‪ 5.5.7‬יהי ‪ S ⊆ R‬מונויד‪ P ▹R ,‬אידיאל שאינו נחתך עם ‪ .S‬אז ) ‪.ht(S −1 P ) = ht(P‬‬
‫הוכחה‪ .‬יש התאמה שומרת סדר בין האידיאלים הראשוניים של ‪ S −1 R‬לאידיאלים הראשוניים של ‪ R‬שאינם‬
‫‬
‫חותכים את ‪.S‬‬
‫הערה ‪ 5.5.8‬כל הרחבה שלמה ‪ C ⊆ R‬מקיימת את התכונה ‪.INC‬‬
‫‪45‬‬
‫◦‬
‫פרק ‪ .5‬מימד קרול של חוגים‬
‫‪ .5.5‬אידיאלים ראשוניים בהרחבות‬
‫הוכחה‪ .‬אחרת יש אידיאלים ראשוניים ‪ Q ⊂ Q′‬של ‪ R‬הנמצאים מעל ‪ .P ▹C‬לפי תרגיל ‪R/Q ,3.3.18‬‬
‫∼ ‪ ,(C + Q)/Q‬ולפי טענה ‪ 0 ̸= Q′ /Q▹R/Q ,3.2.3‬נחתך עם‬
‫שלם )ובפרט אלגברי( מעל ‪= C/P‬‬
‫‪′‬‬
‫‬
‫‪ ,(C + Q)/Q‬בסתירה להנחה ש־ ‪.Q ∩ C = P‬‬
‫טענה ‪ 5.5.9‬בהרחבה ‪ C ⊆ R‬המקיימת ‪ LO‬ו־‪ ,GU‬לכל ‪ P ▹C‬יש ‪ Q‬מעליו כך ש־≤ ) ‪ht(P‬‬
‫)‪.ht(Q‬‬
‫הוכחה‪ .‬נתונה שרשרת של ראשוניים ‪ .Pt ⊂ · · · ⊂ P1 ⊂ P0 = P‬יש ראשוני ‪ Qt ▹R‬הנמצא מעל‬
‫‬
‫‪ Pt‬לפי ‪ ,LO‬ולכל ‪ i = t − 1, . . . , 1, 0‬יש ראשוני ‪ Qi‬מעל ‪ Pi‬המכיל את ‪ Qi+1‬לפי ‪.GU‬‬
‫◦‬
‫טענה ‪ 5.5.10‬אם ההרחבה ‪ C ⊆ R‬מקיימת ‪ LO ,GU‬ו־‪ INC‬אז לכל ‪ P ▹C‬יש ‪ Q‬מעליו כך‬
‫ש־)‪.ht(P ) = ht(Q‬‬
‫‬
‫הוכחה‪ .‬טענות ‪ 5.5.6‬ו־‪.5.5.9‬‬
‫טענה ‪ 5.5.11‬אם ההרחבה ‪ C ⊆ R‬מקיימת ‪ LO ,GU‬ו־‪ INC‬אז )‪.dim(R) = dim(C‬‬
‫הוכחה‪ dim(C) = sup ht(P ) ≤ sup ht(Q) = dim(R) .‬לפי טענה ‪ ,5.5.10‬והכיוון ההפוך נובע‬
‫‬
‫מטענה ‪.5.5.6‬‬
‫מסקנה ‪ 5.5.12‬אם ‪ C ⊆ R‬הרחבה שלמה אז )‪.dim(R) = dim(C‬‬
‫מסקנה ‪ 5.5.13‬יהי ‪ R‬תחום שלמות אפיני מעל ‪ .F‬אז )‪.dim(R) = trdegF (R‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי משפט הנורמליזציה של נתר‪ ,‬משפט ‪ ,3.4.2‬יש תת־חוג ‪ R0 ⊆ R‬ש־‪ R‬שלם מעליו‪ ,‬וכך‬
‫∼ ‪ R0‬כאשר )‪ .t = trdeg(R‬לפי טענה ‪dim(R) = dim(R0 ) = ,5.4.16‬‬
‫ש־] ‪= F [λ1 , . . . , λt‬‬
‫‬
‫)‪ ,trdegF (R‬כשהשוויון האחרון הוא מסקנה ‪.5.4.16‬‬
‫הגדרה ‪ 5.5.14‬תחום שלמות ‪ C‬הוא נורמלי אם הוא שווה לסגור השלם של עצמו בשדה השברים‪.‬‬
‫הערה ‪ 5.5.15‬כל תחום פריקות יחידה הוא נורמלי‪ .‬בפרט‪ ,‬חוג פולינומים הוא נורמלי‪.‬‬
‫◦‬
‫טענה ‪ 5.5.16‬תהי ‪ C ⊆ R‬הרחבה שלמה של תחומי שלמות‪ ,‬כאשר ‪ C‬נורמלי‪ .‬אז הפולינום‬
‫מן המעלה המינימלית של ‪ a ∈ R‬מעל ‪ C‬מתחלק )מעל ‪ (C‬במקדם העליון שלו‪.‬‬
‫שדה השברים של ‪ K ,C‬שדה השברים של ‪ ,R‬ו־‪ E‬שדה‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן ב־ ‪ f‬את הפולינום הנתון‪ .‬יהיו ‪∏ F‬‬
‫פיצול של ‪ ,f‬מעל ‪ .K‬אפשר לכתוב ) ‪ f (λ) = α (λ − ai‬כאשר ‪ α ∈ C‬ו־ ‪ ai‬מאפסים אותו פולינום‬
‫מוני מעל ‪ C‬שאותו מאפס ‪ ,a‬ולכן כולם שלמים אלגבריים‪ .‬מכאן שגם מקדמי ‪ , α1 f‬השייכים ל־ ‪ ,F‬הם‬
‫‬
‫שלמים אלגבריים‪ ,‬ולפי ההנחה הם שייכים ל־‪.C‬‬
‫◦‬
‫למה ‪) 5.5.17‬הלמה של גאוס עבור תחומים נורמליים( יהי ‪ C‬תחום שלמות נורמלי ו־ ‪ F‬שדה‬
‫השברים שלו‪ .‬אם ]‪ f, g ∈ C[λ‬מתוקנים ו־‪ f | g‬מעל ‪ ,F‬אז ‪ f | g‬מעל ‪.C‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ש־‪ g = f h‬עבור∏]‪ ,h ∈ F [λ‬ונכתוב ‪ h = a−1 h0‬כאשר ‪ c ∈ C‬ו־]‪ ;h0 ∈ C[λ‬כך‬
‫‪ .cg = f h0‬נפרק ) ‪ g(λ) = (λ − ai‬כאשר ‪ ai‬הם השורשים בשדה פיצול מעל ‪ .F‬מכיוון ש־ ‪h0‬‬
‫מחלק את ‪ g‬שם‪ ,‬אפשר לכתוב ‪ h0 = c′ h′0‬כאשר ‪ h′0‬מכפלה של גורמים מהצורה ‪ ,λ − ai‬ומקדמיו הם‬
‫‬
‫שלמים אלגבריים השייכים ל־ ‪ ,F‬ולכן שייכים ל־‪ .C‬לכן ‪.g = f h′0‬‬
‫‪46‬‬
‫◦‬
‫‪ .5.5‬אידיאלים ראשוניים בהרחבות‬
‫פרק ‪ .5‬מימד קרול של חוגים‬
‫תרגיל ‪ 5.5.18‬תן דוגמא נגדית לטענה ‪ 5.5.16‬כאשר ‪ R‬אינו תחום שלמות‪ ,‬כדלקמן‪.‬‬
‫מצא הרחבה שלמה ‪ C ⊆ R‬של חוגים קומוטטיביים‪ ,‬שבה ‪ C‬תחום שלמות נורמלי‪,‬‬
‫עם איבר ‪ a ∈ R‬המאפס פולינום ממעלה ראשונה‪ ,‬אבל אינו מאפס אף פולינום מוני‬
‫ממעלה זו‪ .‬הדרכה‪ .‬למשל ‪ C = Z‬עם ]‪.R = Z[a | a2 = 0, 2a = 0‬‬
‫הגדרה ‪ 5.5.19‬הרחבה ‪ C ⊆ R‬מקיימת את התכונה ‪ (Going Down) GD‬אם לכל ראשוני ‪ Q1‬מעל‬
‫‪ P1‬ולכל ‪ P ⊆ P1‬יש ‪ Q‬מעל ‪ P‬המוכל ב־ ‪.Q1‬‬
‫משפט ‪ 5.5.20‬נניח ש־‪ C‬תחום שלמות נורמלי‪ .‬כל ‪ R‬שלם מעל ‪ C‬מקיים ‪.GD‬‬
‫הוכחה‪ .‬ניקח ‪ S1 = R−Q1 ,S ′ = C−P‬ו־ ‪ .S = S ′ S1‬מספיק להראות ש־∅ = ‪ ,S ∩ P R‬משום‬
‫שאז‪ ,‬אם ‪ P R ⊆ Q▹R‬הוא מקסימלי ביחס לכך שהוא זר ל־‪ ,S‬אז ‪ Q‬ראשוני לפי תרגיל ‪,3.3.27‬‬
‫ו־ ‪.Q ∩ C = P‬‬
‫‪′‬‬
‫מתוקן = )‪f (λ‬‬
‫פולינום‬
‫יש‬
‫‪.r‬‬
‫∈‬
‫‪S‬‬
‫ו־‬
‫‪c‬‬
‫∈‬
‫‪S‬‬
‫עבור‬
‫‪s‬‬
‫=‬
‫‪cr‬‬
‫∈‬
‫‪P‬‬
‫ש־‪R‬‬
‫בשלילה‪,‬‬
‫נניח‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪∑ℓ‬‬
‫∑‬
‫‪n‬‬
‫‪i‬‬
‫נכתוב ‪ s =∑ j=1 pj rj‬עבור‬
‫]‪ ,λ + di λ ∈ C[λ‬בעל מעלה מינימלית‪ ,‬המאפס את ‪ .s‬מאידך אם ∑‬
‫⊆ ‪sM‬‬
‫⊆ ‪pj rj M‬‬
‫∑ ‪pj M‬‬
‫‪ pj ∈ P‬ו־‪ ,rj ∈ R‬נוכל לבחור ] ‪ ,M = C[r1 , . . . , rℓ‬ואז ⊆‬
‫‪ .P M‬מכאן נובע‪ ,‬לפי הערה ‪ ,3.3.3‬שיש פולינום מתוקן ‪ g(λ) = λm + ci λi‬המאפס את ‪ ,s‬כך‬
‫ש־ ‪ .c0 , . . . , cm−1 ∈ P‬מכיוון ש־‪ f | g‬מעל שדה השברים ‪ ,F‬זה נכון גם ב־]‪ C[λ‬לפי למה ‪,5.5.17‬‬
‫ולכן גם בחוג המנה ‪ ,C/P‬שם ‪ ,f¯ | g¯ = λm‬כלומר ‪ .f¯ = λn‬לפיכך‪.di ∈ P ,‬‬
‫שוות‪ ,‬ולפי טענה ‪ r ,5.5.16‬מאפס פולינום‬
‫הפולינומים המינימליים של ‪s, r‬‬
‫כעת‪,‬‬
‫מעל ‪∑F‬‬
‫מעלות ‪∑ ′‬‬
‫‪n n‬‬
‫‪i i‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i‬‬
‫∑‪ .h(λ) = λ + i d‬אבל אז ‪ ,0 = f (s) = f (cr) = c r + di c r‬ולכן ‪r‬‬
‫מתוקן ]‪i λ ∈ C[λ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n n‬‬
‫מקבלים ש־ ‪cn−i d′i = di ∈ P‬‬
‫מקדמים‪,‬‬
‫השוואת‬
‫על־ידי‬
‫‪.c‬‬
‫)‪h(λ‬‬
‫של‬
‫וגם‬
‫‪,c‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪+‬‬
‫שורש של ‪di ci λi‬‬
‫∑‬
‫לכל ‪ .i < n‬אבל ‪ ,c ̸∈ P‬ולכן ‪ ,d′i ∈ P‬ומכאן ש־ ‪ ,rn = − d′i ri ∈ P R ⊆ Q1‬בסתירה להנחה‪.‬‬
‫‬
‫שרשרת של אידיאלים ראשוניים נקראת רוויה אם אי־אפשר לעדן אותה‪.‬‬
‫משפט ‪) 5.5.21‬קטנריות( יהי ‪ R‬תחום שלמות אפיני‪ .‬אז לכל שתי שרשראות רוויות שקצותיהן ‪P ′ ⊂ P‬‬
‫יש אותו אורך‪ .‬בפרט‪ ,‬לכל שרשרת רוויה מ־‪ 0‬ל־ ‪ P‬יש אורך ) ‪ ,ht(P‬ולכל האידיאלים המקסימליים אותו‬
‫גובה‪.‬‬
‫◦‬
‫הוכחה‪ .‬על־ידי מעבר לחוג המנה אפשר להניח ש־‪ .P ′ = 0‬לפי משפט הנורמליזציה של נתר‪ R ,‬הרחבה‬
‫שלמה של חוג פולינומים ‪ ,R0‬שהוא נורמלי‪ ,‬ולכן ההרחבה מקיימת ‪ ;GD‬יחד עם ‪ GU‬ו־‪ ,INC‬נובע שיש‬
‫התאמה בין שרשראות רוויות ב־‪ R‬לשרשראות רוויות ב־ ‪ .R0‬כאן אפשר להוכיח את הטענה באינדוקציה‪,‬‬
‫‬
‫בעזרת תרגיל ‪.2.1.5‬‬
‫משפט ‪ 5.5.22‬לכל ראשוני ‪ P ▹R‬מתקיים ) ‪.dim(R) = dim(R/P ) + ht(P‬‬
‫◦‬
‫הוכחה‪ .‬בחר אידיאל מקסימלי ‪ ,P ⊆ M‬עדן את השרשרת ‪ 0 ⊂ P ⊂ M‬עד לרוויה‪ ,‬והפעל את‬
‫‬
‫משפט ‪.5.5.21‬‬
‫מסקנה ‪ 5.5.23‬תהי ‪ R‬אלגברה אפינית‪ .‬אז ‪.dim(R[λ]) = dim(R) + 1‬‬
‫‬
‫הוכחה‪ .‬קח ⟩‪ P = ⟨λ‬במשפט ‪.5.5.21‬‬
‫‪47‬‬
‫פרק ‪ .5‬מימד קרול של חוגים‬
‫‪ .5.5‬אידיאלים ראשוניים בהרחבות‬
‫‪48‬‬
‫פרק ‪6‬‬
‫ערכים מוחלטים‬
‫‪6.1‬‬
‫הגדרה ודוגמאות‬
‫הגדרה ‪ 6.1.1‬ערך מוחלט על שדה ‪ F‬הוא פונקציה ‪ ,a 7→ |a| ,F →[0, ∞] ⊆ R‬המקיימת‬
‫)‪ |a| = 0 (1‬אם ורק אם ‪;a = 0‬‬
‫)‪;|ab| = |a| · |b| (2‬‬
‫)‪ (3‬קיים קבוע ‪ C ≥ 1‬כך ש־}|‪.|a + b| ≤ C · max {|a| , |b‬‬
‫)התנאי ‪ C ≥ 1‬בהגדרה ‪ -‬הכרחי‪ :‬בחר ‪(.b = 0 ,a = 1‬‬
‫תרגיל ‪ 6.1.2‬תנאי )‪ (3‬שקול לתנאי‬
‫◦‬
‫) ‪ (3′‬קיים קבוע ‪ C ≥ 1‬כך שאם ‪ |a| ≤ 1‬אז ‪.|a + 1| ≤ C‬‬
‫הדרכה‪ .‬בתנאי )‪ (3‬אפשר לקחת ‪ ;b = 1‬בתנאי ) ‪ (3′‬קח ‪ ab−1‬במקום ‪.a‬‬
‫דוגמא ‪ 6.1.3‬הערך המוחלט הטריוויאלי ‪ |a| = 1‬לכל ‪.a ̸= 0‬‬
‫תרגיל ‪ 6.1.4‬בכל ערך מוחלט מתקיים ‪ ;|1| = 1‬הערך המוחלט של כל שורש יחידה‬
‫הוא ‪ 1‬ולכן גם |‪ |−a| = |a‬לכל ‪ .a‬הראה שכל ערך מוחלט על שדה סופי הוא טריוויאלי‪.‬‬
‫דוגמא ‪ 6.1.5‬הערכים המוחלטים הסטנדרטיים על ‪ R‬ועל ‪ C‬הם אכן ערכים מוחלטים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 6.1.6‬אם ערך מוחלט מקיים }|‪ ,|a + b| ≤ 2 · max {|a| , |b‬אז ≤ | ‪|a1 + · · · + an‬‬
‫}| ‪ .2n max {|ai‬הדרכה‪ .‬באינדוקציה‪ ;|a1 + · · · + a2m+1 | ≤ 2m+1 · max {|ai |} ,‬אם ≤ ‪2m‬‬
‫‪ n < 2m+1‬אז }| ‪ .|a1 + · · · + an | ≤ 2m+1 max {|ai |} ≤ 2 · n max {|ai‬הערה‪ .‬אם ≤ |‪|a + b‬‬
‫)‪log(C‬‬
‫}|‪ ,C · max {|a| , |b‬אז }| ‪ |a1 + · · · + an | ≤ C · n log(2) max {|ai‬לפי אותה הוכחה‪.‬‬
‫טענה ‪ 6.1.7‬תנאי )‪ (3‬עם ‪ C = 2‬שקול לאי־שוויון המשולש‬
‫) ‪.|a + b| ≤ |a| + |b| (3′′‬‬
‫‪49‬‬
‫◦‬
‫פרק ‪ .6‬ערכים מוחלטים‬
‫‪ .6.2‬שקילות של ערכים מוחלטים‬
‫הוכחה‪ .‬אם מתקיים |‪ |a + b| ≤ |a| + |b‬אז בוודאי }|‪ .|a + b| ≤ 2 max {|a| , |b‬נניח ש־‬
‫}|‪ ,|a + b| ≤ 2 max {|a| , |b‬אז לפי תרגיל ‪ ,6.1.6‬לכל ‪ n‬מתקיים‬
‫‬
‫‬
‫}‬
‫) ({‬
‫) ( ‪n‬‬
‫‬
‫∑‬
‫ ‪ n i n−i‬‬
‫‪n‬‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫ ‪k n−k‬‬
‫ = |‪|a + b‬‬
‫ ‪a b ≤ 2(n + 1) max‬‬
‫ ‪a b‬‬
‫‬
‫‬
‫‪k‬‬
‫‪i‬‬
‫‪k=0‬‬
‫) ( ‪n‬‬
‫∑‬
‫‪n‬‬
‫)‪≤ 4(n + 1‬‬
‫‪|a|k |b|n−k = 4(n + 1)(|a| + |b|)n ,‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k=0‬‬
‫√‬
‫‬
‫ולכן )|‪ .|a + b| ≤ n 4(n + 1)(|a| + |b‬התוצאה נובעת ממעבר לגבול ∞→‪.n‬‬
‫‪6.2‬‬
‫שקילות של ערכים מוחלטים‬
‫הגדרה ‪ 6.2.1‬אם |·| ערך מוחלט‪ ,‬אז לכל ‪ |a|′ = |a|α ,p > 0‬גם הוא ערך מוחלט‪ ,‬עם הקבוע ‪.C α‬‬
‫ערכים כאלה הם שקולים‪.‬‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ 6.2.2‬כל ערך מוחלט שקול לערך מוחלט המקיים את אי־שוויון המשולש‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 6.2.3‬ערך מוחלט מגדיר טופולוגיה שבה הקבוצות }‪ Ba (ϵ) = {b ∈ F : |a − b| < ϵ‬מהוות‬
‫בסיס‪.‬‬
‫◦‬
‫הערה ‪ 6.2.4‬ערכים מוחלטים שקולים מגדירים את אותה טופולוגיה‪) .‬הדרכה‪ .‬אם ‪ |·|′ = |·|α‬אז‬
‫) ‪ (.Ba′ (ϵ) = Ba (ϵα‬לפי תרגיל ‪ ,6.2.2‬זוהי טופולוגיה מטרית‪.‬‬
‫משפט ‪ 6.2.5‬התכונות הבאות שקולות עבור ערכים מוחלטים לא טריוויאליים ‪:|·| , |·|′‬‬
‫‪ .1‬הערכים המוחלטים שקולים זה לזה‪.‬‬
‫‪ .2‬הערכים משרים את אותה טופולוגיה‪.‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ |a| < 1‬אז ‪.|a|′ < 1‬‬
‫‪ .4‬אם ‪ |a| ≤ 1‬אז ‪.|a|′ ≤ 1‬‬
‫‪ .5‬אם ‪ |a| < 1‬אז ‪ ,|a|′ < 1‬ואם ‪ |a| = 1‬אז ‪.|a|′ = 1‬‬
‫‪ |a| , |a|′ .6‬קטנים‪ ,‬שווים או גדולים מ־‪ 1‬יחד‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן ב־ ‪ τ‬את הטופולוגיה המושרית על־ידי |·|‪ ,‬וב־ ‪ τ ′‬את זו המושרית על־ידי ‪:(2) ⇐= (1) .|·|′‬‬
‫הערה ‪ :(3) ⇐= (2) .6.2.4‬נניח ש־‪ ,|a| < 1‬אז הסדרה ‪ an‬מתכנסת ל־‪ 0‬לפי ‪ ,τ‬ולפי ההנחה גם לפי‬
‫‪ .τ ′‬לכן לא יתכן ‪ :(5) ⇐= (3) .|a|′ ≥ 1‬נבחר ‪ b ∈ F‬כך ש־‪ ,|b| < 1‬ואז גם ‪ .|b|′ < 1‬נניח‬
‫ש־‪ .|a| = 1‬לכל ‪ n‬מתקיים ‪ ,|an b| < 1‬ולפי ההנחה גם ‪ .|an b|′ < 1‬מכאן ש־ ‪ ,|a|′ < |b|′−1/n‬ולכן‬
‫‪ .|a|′ ≤ 1‬אותו נימוק תקף גם ל־ ‪ ,a−1‬ולכן ‪ :(4) ⇐= (5) .|a|′ = 1‬טריוויאלי‪:(3) ⇐= (4) .‬‬
‫יש × ‪ c ∈ F‬כך ש־‪ ,|c|′ < 1‬ואז לכל ‪ ,a‬אם ‪ |a| < 1‬אז ‪ |an c−1 | ≤ 1‬עבור ‪ n‬גדול מספיק‪ ,‬ולפי‬
‫‪′‬‬
‫ההנחה גם ‪ ,|an c−1 | ≤ 1‬כך ש־‪ ,|a|′n ≤ |c|′ < 1‬ואז ‪ :(6) ⇐= (5) .|a|′ < 1‬אם ‪|a| > 1‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫אז ‪ |a−1 | < 1‬ו־‪ ,|a−1 | < 1‬כך ש־‪ :(1) ⇐= (6) .|a| > 1‬יהי ‪ b ∈ F‬כך ש־‪;|b| > 1‬‬
‫אז גם ‪ ,|b|′ > 1‬וקיים ‪ α > 0‬כך ש־ ‪ .|b|′ = |b|α‬לכל ‪ a‬עם ‪ ,|a| > 1‬כתוב ‪ |a| = |b|s‬ו־‬
‫‪ m‬מתקיים ‪> s‬‬
‫‪ .|a|′ = |b|′t‬לכל ‪∈ Q‬‬
‫‪ m‬אם ורק אם ‪,|a−n bm | = |a|−n |b|m = |b|m−sn > 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪′‬‬
‫‪ . m‬לכן ‪s = t‬‬
‫אם ורק אם ‪ ,|b|′m−tn = |a|′−n |b|′m = |a−n bm | > 1‬אם ורק אם ‪> t‬‬
‫‪n‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′s‬‬
‫‬
‫ו־ ‪.|a| = |b| = |b|αs = |a|α‬‬
‫‪50‬‬
‫פרק ‪ .6‬ערכים מוחלטים‬
‫‪6.3‬‬
‫‪ .6.3‬ערכים לא ארכימדיים‬
‫ערכים לא ארכימדיים‬
‫ערך מוחלט נקרא לא ארכימדי אם }|‪ ,|a + b| ≤ max {|a| , |b‬וארכימדי אחרת‪ .‬ערכים‬
‫שקולים זה לזה הם ארכימדיים או לא ארכימדיים יחדיו‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 6.3.1‬אם |·| ערך מוחלט לא ארכימדי אז |‪ |a + b| = |a‬לכל |‪.|b| < |a‬‬
‫טענה ‪ 6.3.2‬התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫◦‬
‫‪ |·| .1‬לא ארכימדי ;‬
‫‪ |n| ≤ 1 .2‬לכל ‪;n‬‬
‫‪ .3‬הקבוצה }|‪ {|n| = |1 + · · · + 1‬חסומה‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬ברור ש־)‪ .(1) ⇐= (2) ⇐= (3‬נניח שקיים ‪ M‬כך ש־‪ |n| ≤ C‬לכל ‪ .n‬לכל ‪,a, b‬‬
‫‬
‫‬
‫) (‬
‫ ‪∑ n k n−k‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‬
‫ = | )‪|a + b| = |(a + b‬‬
‫ ‪a b‬‬
‫‪k‬‬
‫}‬
‫) ({‬
‫ ‪ n k n−k‬‬
‫ ‪a b‬‬
‫ ‪≤ 2(n + 1) max‬‬
‫‪k‬‬
‫{‬
‫}‬
‫‪≤ 2(n + 1)M max |a|k |b|n−k‬‬
‫; ‪≤ 2(n + 1)M max {|a| , |b|}n‬‬
‫‬
‫על־ידי הוצאת שורש ‪n‬־י מתקבל התנאי )‪.(1‬‬
‫משפט ‪) 6.3.3‬אוסטרובסקי( כל ערך מוחלט ארכימדי של ‪ Q‬שקול לערך המוחלט הסטנדרטי‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי |·| ערך מוחלט ארכימדי; נניח‪ ,‬על־ידי העלאה בחזקה מתאימה‪ ,‬שהוא מקיים את אי־שוויון‬
‫∑בבסיס ‪:n‬‬
‫המשולש‪ .‬לפי טענה ‪ ,6.3.2‬יש ‪ m ∈ N‬כך ש־‪ .|m| > 1‬נקבע ‪ ,n ∈ N‬ונכתוב את ‪m‬‬
‫‪ ,m = ak nk + · · · + {a1 n + a}0‬כאשר ‪ ,0 ≤ ai < n − 1‬ו־‪ .ak ̸= 0‬כך ≤ | ‪|m| = | ai ni‬‬
‫∑‬
‫‪ . ai |n|i ≤ n(k + 1) max 1, |n|k‬מכיוון ש־‪ k ≤ logn m ,nk ≤ m‬ולכן ≤ |‪|m‬‬
‫{‬
‫}‬
‫‪ .n(1 + logn m) max 1, |n|logn m‬אפשר להציב ‪ (r > 0) mr‬במקום ‪ ,m‬ולקבל ‪|m|r ≤ n(1 +‬‬
‫{‬
‫}‬
‫{‬
‫}‬
‫‪logn m‬‬
‫‪r logn m‬‬
‫‪1/r‬‬
‫‪1/r‬‬
‫|‪.|m| ≤ n (1 + r logn m) max 1, |n‬‬
‫|‪ ,r logn m) max 1, |n‬כלומר‬
‫כאשר ∞→‪ r‬מקבלים ‪ ,|m| ≤ |n|logn m‬כלומר‬
‫עבור ‪ γ‬קבוע‪.‬‬
‫‪6.4‬‬
‫|‪log|n‬‬
‫‪log n‬‬
‫|‪log|m‬‬
‫≤ ‪ , log m‬ולכן ‪ |m| = mγ‬לכל ‪m ∈ N‬‬
‫‬
‫הערכות‬
‫הגדרה ‪ 6.4.1‬חבורה אבלית סדורה היא חבורה אבלית עם יחס סדר <‪ ,‬כך שאם ‪ α < β‬אז ‪.α+γ < β+γ‬‬
‫הגדרה ‪ 6.4.2‬תהי ‪ Γ‬חבורה אבלית סדורה‪ .‬פונקציה }∞‪ ν : F →Γ ∪ {−‬נקראת הערכה של השדה ‪F‬‬
‫אם‪:‬‬
‫)‪ ν(a) = −∞ (1‬אם ורק אם ‪;a = 0‬‬
‫‪51‬‬
‫פרק ‪ .6‬ערכים מוחלטים‬
‫‪ .6.4‬הערכות‬
‫)‪;ν(ab) = ν(a) + ν(b) (2‬‬
‫)‪ (3‬קיים קבוע ‪ c ≥ 0‬כך ש־})‪.ν(a + b) ≥ −c + min {ν(a), ν(b‬‬
‫נאמר שההערכה לא ארכימדית אם אפשר לבחור ‪ ,c = 0‬כלומר })‪.ν(a + b) ≥ min {ν(a), ν(b‬‬
‫מושג ההערכה מכליל את מושג הערך המוחלט‪ ,‬באופן הבא‪:‬‬
‫תרגיל ‪ 6.4.3‬לכל ערך מוחלט לא ארכימדי |·|‪ ν(a) = − log(|a|) ,‬היא הערכה של‬
‫אותו שדה )המקבלת ערכים ממשיים(‪ .‬בכיוון ההפוך‪ ,‬אם ‪ ν‬הערכה המקבלת ערכים‬
‫ממשיים‪ ,‬אז )‪ |a| = e−ν(a‬הוא ערך מוחלט‪) .‬הדרכה‪ .‬העזר בתרגיל ‪ 6.1.2‬ובטענה אנלוגית‬
‫עבור הערכות‪(.‬‬
‫יתרה מזו‪ ,‬הערך המוחלט הצמוד להערכה הוא ארכימדי אם ורק אם ההערכה‬
‫ארכימדית‪.‬‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ 6.4.4‬תהי ‪ ν‬הערכה לא ארכימדית‪ .‬אם ) ‪ ν(a1 ), . . . , ν(an‬שונים זה מזה אז‬
‫}) ‪.ν(a1 + · · · + an ) = min {ν(a1 ), . . . , ν(an‬‬
‫הגדרה ‪ 6.4.5‬תחום שלמות ‪ R‬נקרא חוג הערכה אם לכל ‪ a ̸= 0‬בשדה השברים ) ‪ a ∈ R ,F = q(F‬או‬
‫‪.a−1 ∈ R‬‬
‫◦‬
‫טענה ‪ 6.4.6‬תהי }∞‪ ν : F →Γ ∪ {−‬הערכה לא ארכימדית‪ .‬אז }‪Oν = {a ∈ F : ν(a) ≥ 0‬‬
‫הוא תת־חוג של ‪ ,F‬שהוא חוג הערכה‪.‬‬
‫חוג זה נקרא חוג ההערכה )או חוג השלמים( של ההערכה‪ ,‬והאידיאל המקסימלי היחיד שלו‪,‬‬
‫}‪ ,Mν = {a ∈ F : ν(a) > 0‬נקרא אידיאל ההערכה‪ .‬המנה ‪ Oν /Mν‬היא שדה השאריות‬
‫של ההערכה‪.‬‬
‫הוכחה‪ Oν .‬סגור לחיבור ולכפל לפי ההנחות על ההערכה‪ .‬לכל ‪ ν(a) ≥ 0 ,0 ̸= a ∈ F‬או ש־‬
‫‪ ,ν(a−1 ) ≥ 0‬ו־ ‪ a ∈ Oν‬או ‪ a−1 ∈ R‬בהתאמה‪ .‬כל איבר מחוץ ל־ ‪ Mν‬הוא בעל ‪ ν(a) = 0‬ולכן הפיך‬
‫‬
‫ב־‪.R‬‬
‫תחום שלמות מקיים את תכונת בזו אם כל אידיאל נוצר סופית הוא ראשי‪.‬‬
‫◦‬
‫◦‬
‫◦‬
‫◦‬
‫◦‬
‫◦‬
‫משפט ‪ 6.4.7‬התכונות הבאות של תחום שלמות ‪ R‬שקולות זו לזו‪:‬‬
‫‪ R .1‬הוא חוג הערכה‪.‬‬
‫‪ .2‬קבוצת האידיאלים הראשיים של ‪ R‬סדורה לינארית ביחס להכלה‪.‬‬
‫‪ .3‬קבוצת האידיאלים של ‪ R‬סדורה ביחס להכלה‪.‬‬
‫‪ R .4‬מקומי ומקיים את תכונת בזו‪.‬‬
‫‪ .5‬יש הערכה לא ארכימדית ‪ ν‬של שדה השברים )‪ ,F = q(R‬כך ש־ ‪.R = Oν‬‬
‫‪52‬‬
‫‪ .6.4‬הערכות‬
‫פרק ‪ .6‬ערכים מוחלטים‬
‫הוכחה‪ :((2)) ⇐= ((1)) .‬לכל ‪ ,0 ̸= a, b ∈ R‬או ש־‪∈ R‬‬
‫‪.Rb ⊆ Ra‬‬
‫))‪ :((3)) ⇐= ((2‬יהיו ‪ I, J▹R‬אידאלים כך ש־‪ .I ̸⊆ J‬אז יש ‪ a ∈ I‬כך ש־‪ .a ̸∈ J‬לכל‬
‫‪ a ̸∈ Rb ,b ∈ J‬כי ‪ ,a ̸∈ J‬ולכן ‪ .Rb ⊆ Ra ⊆ I‬מכאן ש־‪.J ⊆ I‬‬
‫))‪ :((4)) ⇐= ((3‬לפי ההנחה יש אידיאל מקסימלי יחיד‪ .‬מבין כל קבוצה סופית אידיאלים ראשיים‪,‬‬
‫אחד מהם מכיל את כל האחרים‪ ,‬ולכן סכומם שווה לו‪.‬‬
‫))‪ :((1)) ⇐= ((4‬יהיו ‪ ,a, b ∈ R‬ויהי ‪ .M ▹R‬נסמן ‪ .I = Ra + Rb‬מכיוון ש־‪I‬‬
‫ראשי‪ I/M I ,‬הוא מרחב וקטורי חד־ממדי מעל השדה ‪¯ = R/M‬‬
‫‪ ,R‬ולכן התמונות של ‪ a, b‬תלויות‬
‫לינארית‪ .‬לכן יש ‪ ,u, v ∈ R‬לא שניהם ב־ ‪ ,M‬כך ש־‪ .ua + vb ∈ M I = M a + M b‬נכתוב‬
‫‪ ua + vb = xa + yb‬עבור ‪ ,x, y ∈ M‬אז )‪ .a(u − x) = b(y − v‬אם למשל ‪ u‬הפיך‪ ,‬גם ‪u − x‬‬
‫הפיך ולכן ‪. ab = (u − x)−1 (y − v) ∈ R‬‬
‫))‪ :((5)) ⇐= ((1‬זו טענה ‪.6.4.6‬‬
‫×‬
‫×‬
‫))‪ :((2)) ⇐= ((5‬נסמן ×‪ ,Γ = F × /R‬ונסדר את החבורה כך ש־ ‪ aR > bR‬אם ‪.a ∈ Rb‬‬
‫לפי ההנחה‪ Γ ,‬היא חבורה אבלית סדורה לינארית‪ .‬הפונקציה ×‪ ν(a) = aR‬מהווה הערכה לא ארכימדית‬
‫‬
‫של ‪ ,F‬שעבורה חוג ההערכה הוא ‪.{a : aR× ⊇ R× } = R‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫ואז ‪ ,Ra ⊆ Rb‬או ש־‪∈ R‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫ואז‬
‫‪n‬‬
‫דוגמא ‪ 6.4.8‬ההערכה ה־‪p‬־אדית על ‪ Q‬מוגדרת לפי ‪) = i‬‬
‫‪ νp (pi m‬כאשר ‪ n, m‬זרים ל־‪.p‬‬
‫◦‬
‫אפשר להגדיר שקילות של הערכות באותו אופן שבו הגדרנו שקילות של ערכים מוחלטים;‬
‫למשל אם ‪ ,Γ ⊆ R‬אז )‪ ν ′ (a) = t · ν(a‬היא הערכה שקולה ל־‪ ,ν‬לכל ‪.t > 0‬‬
‫משפט ‪) 6.4.9‬אוסטרובסקי( כל הערכה לא ארכימדית על ‪ Q‬שקולה להערכה ‪p‬־אדית עבור ראשוני ‪.p‬‬
‫הוכחה‪ .‬תהי ‪ ν‬הערכה לא ארכימדית של ‪ .Q‬נתבונן בחיתוך }‪ P = {n ∈ Z : ν(n) > 0‬של אידיאל‬
‫ההערכה עם חוג השלמים; לפי טענה ‪ P ▹Z ,3.3.17‬ראשוני‪ .‬אם ‪ P = 0‬אז ‪ ν(n) = 0‬לכל ‪,n ∈ Z‬‬
‫וההערכה טריוויאלית‪ .‬לכן יש מספר ראשוני ‪ p‬כך ש־‪ .P = pZ‬נסמן )‪ ,κ = ν(p‬אז לכל ‪ n, m‬זרים‬
‫‪n‬‬
‫‪ ,ν(pi m‬כלומר )·( ‪ .ν(·) ∼ νp‬‬
‫ל־‪ p‬מתקיים ‪ ν(n) = ν(m) = 0‬משום ש־ ‪ ,n, m ̸∈ P‬ו־‪) = κi‬‬
‫מסקנה ‪ 6.4.10‬שדה המספרים הרציונליים מקיים∏את נוסחת המכפלה‪ :‬אפשר לבחור ערך‬
‫∏‬
‫‪i‬‬
‫‪| i pni i | p = p−n‬‬
‫לכל ‪ .a ∈ Q‬הדרכה‪.‬‬
‫מוחלט אחד מכל מחלקת שקילות‪ ,‬כך ש־‪|a| = 1‬‬
‫‪i‬‬
‫אם ‪.p = pi‬‬
‫שדה המקיים תכונה זו נקרא שדה גלובלי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 6.4.11‬הוכח את ההכללה הבאה של משפט אוסטרובסקי‪ :‬יהי ‪ R‬תחום ראשי‪.‬‬
‫כל הערכה לא־ארכימדית של )‪ F = q(R‬שעבורה ‪ ,R ⊆ Oν‬היא הערכה ‪p‬־אדית‬
‫עבור ראשוני ‪) p ∈ R‬המוגדרת בדומה לדוגמא ‪.(6.4.8‬‬
‫תרגיל ‪ 6.4.12‬יהי ‪ F‬שדה‪ .‬הראה שכל הערכה לא ארכימדית של )‪ ,F (t‬המשרה את‬
‫ההערכה הטריוויאלית על ‪ ,F‬היא או הערכה ‪p‬־אדית עבור פולינום אי־פריק ]‪,p ∈ F [λ‬‬
‫או שקולה להערכה ∞‪ ν‬המוגדרת על ]‪ F [t‬לפי ) ‪ .ν∞ (f ) = − deg(f‬הדרכה‪ .‬אם ≥ )‪ν(t‬‬
‫‪ 0‬אז ‪ ,F [t] ⊆ Oν‬והתוצאה נובעת מתרגיל ‪ ;6.4.11‬אחרת )‪ ν(tn ) = nν(t‬ו־) ‪ν(f ) = ν(t) deg(f‬‬
‫לפי תרגיל ‪.6.4.4‬‬
‫‪53‬‬
‫◦‬
‫פרק ‪ .6‬ערכים מוחלטים‬
‫‪ .6.4‬הערכות‬
‫‪54‬‬
‫חלק ‪II‬‬
‫אלגברה לא קומוטטיבית‬
‫‪55‬‬
‫החלק הזה מכסה את יסודות תורת המבנה של חוגים לא קומוטטיביים‪ ,‬בהיקף הנדרש‬
‫לפיתוח מלא של תורת ההצגות לחבורות סופיות‪ .‬נפתח תורה של מודולים פריקים לחלוטין‬
‫באופן שיאפשר להוכיח את משפט הצפיפות הכללי‪ .‬משפט זה מאפשר לשכן חוג שיש לו‬
‫מודול פריק לחלוטין‪ ,‬באופן צפוף‪ ,‬בחוג אנדומורפיזמים של המודול‪ .‬מכאן נוכל להוכיח‬
‫שחוג ארטיני פרימיטיבי הוא חוג מטריצות מעל חוג חילוק‪ .‬בין החוגים הארטיניים )בפרט‪,‬‬
‫בין האלגברות ממימד סופי(‪ ,‬כל חוג ראשוני הוא פשוט‪ ,‬וכך מתקבל משפט המבנה של‬
‫ודרברן־ארטין‪ :‬חוג ארטיני ראשוני הוא חוג מטריצות על מחוג עם חילוק‪.‬‬
‫לחוג ארטיני יש מספר סופי של אידיאלים ראשוניים‪ ,‬החיתוך שלהם )שהוא הרדיקל של‬
‫החוג( הוא נילפוטנטי‪ ,‬והמנה ביחס אליו היא חוג פשוט למחצה‪ .‬תכונות אלו מאפשרות‬
‫להוכיח את משפט הופקינס־לויצקי‪ :‬כל חוג ארטיני הוא נתרי‪ ,‬ולכן למודולים מעליו יש אורך‬
‫סופי‪ .‬כעת תהי ‪ G‬חבורה סופית‪ ,‬ויהי ‪ F‬שדה ממאפיין זר ל־|‪ .|G‬אז אלגברת החבורה‬
‫]‪ F [G‬היא פשוטה למחצה וארטינית‪ ,‬ולכן מתפרקת לסכום ישר של חוגי מטריצות‪ .‬הפירוק‬
‫הזה מתניע את תורת ההצגות‪ ,‬ומאפשר להוכיח למשל את המשפט של ברנסייד‪ ,‬שלסדר של‬
‫חבורה פשוטה יש לפחות שלושה גורמים ראשוניים‪.‬‬
‫‪57‬‬
58
‫פרק ‪7‬‬
‫מבנה של מודולים‬
‫‪7.1‬‬
‫מושגי יסוד בתורת המודולים‬
‫‪7.1.1‬‬
‫חוגי מטריצות‬
‫במהלך הקורס נראה שאלגברות פשוטות מסויימות אפשר להציג כאלגברות מטריצות מעל‬
‫חוגים עם חילוק‪ .‬משום כך חשוב להכיר את התכונות של אלגברת המטריצות באופן כללי‪.‬‬
‫המר ָכז של )‪ Mn (R‬הוא אוסף המטריצות הסקלריות עם מקדמים‬
‫ְ‬
‫טענה ‪ 7.1.1‬יהי ‪ R‬חוג‪.‬‬
‫ב־)‪.Z(R‬‬
‫טענה ‪ 7.1.2‬יש התאמה בין אידיאלים של )‪ Mn (R‬לבין אידיאלים של ‪ :R‬לכל ‪,A▹R‬‬
‫)‪ ,Mn (A)▹Mn (R‬וכל אידיאל של )‪ Mn (R‬הוא מהצורה )‪ Mn (A‬עבור ‪ A▹R‬מתאים‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 7.1.3‬כל חוג מטריצות מעל חוג פשוט‪ ,‬הוא פשוט בעצמו‪.‬‬
‫)‬
‫‪Z Q‬‬
‫‪0 Z‬‬
‫(‬
‫תרגיל ‪ 7.1.4‬קבע לגבי החוג‬
‫(‬
‫)‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪′‬‬
‫ימני‪ .‬כך גם עבור ‪) S = 0 Z‬ראה גם תרגיל ‪.(7.3.2‬‬
‫= ‪ S‬האם הוא ארטיני שמאלי; האם הוא ארטיני‬
‫איך מזהים חוג מטריצות‪ ,‬באופן כללי? יהי ‪ T‬חוג‪ .‬אברים ‪(i, j = 1, . . . , n) eij ∈ T‬‬
‫נקראים מערכת של יחידות מטריצות אם ‪ ,eij ekℓ = δjk eiℓ‬ו־‪ .e11 + · · · + enn = 1‬יחידות‬
‫הסטנדרטיות בחוג )‪ T = Mn (R‬הן אכן מערכת כזו‪ ,‬ושם אפשר לכתוב = ‪T‬‬
‫המטריצות‬
‫∑‬
‫∑‬
‫‪. Reij = eij R‬‬
‫טענה ‪ 7.1.5‬יהי ‪ T‬חוג שיש בו מערכת של יחידות מטריצות‪ .{ϵij } ,‬אז ‪ R = ϵ11 T ϵ11‬הוא‬
‫∼ ‪.T‬‬
‫תת־חוג‪ ,‬ו־)‪= Mn (R‬‬
‫הוכחה‪ R .‬סגור לכפל משום ש־ ‪ .R2 = (ϵ11 T ϵ11 )2 = ϵ11 T∑ϵ211 T ϵ11 ⊆∑ϵ11 T ϵ11‬נסמן ב־ ‪ eij‬את‬
‫= )‪ ,Mn (R‬ונגדיר העתקה )‪ψ : T →Mn (R‬‬
‫= ‪Reij‬‬
‫יחידות המטריצות הסטנדרטיות של ‪eij R‬‬
‫‪59‬‬
‫◦‬
‫‪ .7.1‬מושגי יסוד בתורת המודולים‬
‫לפי‬
‫‪ij (ϵ1i tϵj1 )eij‬‬
‫∑‬
‫פרק ‪ .7‬מבנה של מודולים‬
‫→‪ .t 7‬זו פונקציה כפלית כי‬
‫∑‬
‫‪(ϵ1i′ sϵj ′ 1 )ei′ j ′‬‬
‫‪i′ j ′‬‬
‫)‬
‫‪eik‬‬
‫· ‪(ϵ1i tϵj1 )eij‬‬
‫∑‬
‫= )‪ψ(t)ψ(s‬‬
‫‪ij‬‬
‫‪ϵ1i tϵj1 ϵ1j sϵk1‬‬
‫(‬
‫∑ ∑‬
‫‪j‬‬
‫‪(ϵ1i tsϵk1 ) eik = ψ(ts).‬‬
‫=‬
‫‪i,k‬‬
‫∑‬
‫=‬
‫‪i,k‬‬
‫כעת‪ ,‬לכל קבוצת איברים ‪,tij ∈ T‬‬
‫∑‬
‫‪(ϵ11 tij ϵ11 )eij ,‬‬
‫=‬
‫‪(ϵ1i′ ϵi1 tij ϵ1j ϵj ′ 1 )ei′ j ′‬‬
‫∑‬
‫‪i,j,i′ ,j ′‬‬
‫‪i,j‬‬
‫= ) ‪ϵi1 tij ϵ1j‬‬
‫∑‬
‫(‪ψ‬‬
‫‪ij‬‬
‫לבסוף‪ ,‬אם ‪ ψ(t) = 0‬אז ‪ ϵi1 tϵ1j = 0‬לכל ‪,i, j‬‬
‫∑ לכן‬
‫וזהו האיבר הכללי של )‪.Mn (R‬‬
‫הפונקציה על‪∑ .‬‬
‫∑‬
‫ואז גם ‪ .t = ( i ϵii )t( j ϵjj ) = ij ϵi1 (ϵ1i tϵj1 )ϵ1j = 0‬לכן )‪ ψ : T →Mn (R‬איזומורפיזם‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 7.1.6‬נניח ש־‪ a, b ∈ R‬מקיימים ‪ ab = 1‬אבל ‪) e = ba ̸= 1‬חוג שאין בו זוג‬
‫כזה נקרא דדקינד־סופי‪ ,‬בשל ההגדרה של דדקינד לקבוצות סופיות‪ (.‬הראה ש־‬
‫‪ eij = bi (1 − e)aj‬היא מערכת אינסופית של יחידות מטריצות ושכולם שונים מאפס‪.‬‬
‫בפרט‪ R ,‬מכיל סכום ישר אינסופי של אידיאלים שמאליים‪.⊕Reii ,‬‬
‫‪7.1.2‬‬
‫חוגי אנדומורפיזמים‬
‫בחלק הקודם של הקורס הגדרנו מודול כחבורה אבלית שהחוג פועל עליה על־ידי כפל‬
‫‪ .r : x 7→ rx‬כלומר‪ ,‬הפעולה ‪ (r, x) 7→ rx‬אדיטיבית בשני הרכיבים‪ ,‬ובנוסף ‪1x = x‬‬
‫ו־)‪ .(rr′ )x = r(r′ x‬מכיוון שהחוגים היו בדרך כלל קומוטטיביים‪ ,‬לא הרגשנו שזו למעשה‬
‫ההגדרה של מודול שמאלי‪ .‬אפשר להגדיר מודול ימני באותו אופן‪ ,‬אלא שהפעם הפעולה‬
‫היא ‪ ,r : x 7→ xr‬והתנאי הוא ‪ ,x(rr′ ) = (xr)r′‬במקום )‪ .(rr′ )x = r(r′ x‬כדי להבדיל בין‬
‫שתי ההגדרות‪ ,‬נסמן ב־ ‪ R M‬מודול שמאלי‪ ,‬וב־ ‪ MR‬מודול ימני‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 7.1.7‬יהיו ‪ R M, R N‬מודולים מעל חוג ‪ .R‬אז ) ‪ HomR (M, N‬הוא אוסף ההומומורפיזמים‬
‫‪ ,f : M →N‬כלומר פונקציות אדיטיביות המקיימות )‪ f (rx) = rf (x‬לכל ‪ r ∈ R‬ו־ ‪ .x ∈ M‬זוהי‬
‫חבורה אבלית עם הפעולה )‪.(f + g)(x) = f (x) + g(x‬‬
‫אותה הגדרה תקפה גם עבור מודולים ימניים ‪ :MR , NR‬אז ) ‪ HomR (M, N‬הוא אוסף‬
‫ההומומורפיזמים ‪ ,f : M →N‬כלומר פונקציות אדיטיביות המקיימות ‪ f (xr) = f (x)r‬לכל ‪r ∈ R‬‬
‫ו־ ‪.x ∈ M‬‬
‫נעיר שכאשר ‪ R‬אינו קומוטטיבי‪ ,‬אין דרך טבעית להפוך את ) ‪ Hom(M, N‬למודול מעל‬
‫‪ ,R‬משום ש־)‪ x 7→ af (x‬אינו הומומורפיזם של מודולים )ו־‪ f (x)a‬אינו מוגדר(‪.‬‬
‫◦‬
‫הגדרה ‪ 7.1.8‬יהי ‪ R M‬מודול שמאלי מעל ‪ ,R‬מסמנים ) ‪ .End(R M ) = HomR (M, M‬זהו חוג‪ ,‬כאשר‬
‫‪ f g = g ◦ f‬היא פעולת ההרכבה ההפוכה‪.‬‬
‫בדומה לזה‪ ,‬אם ‪ MR‬מודול ימני‪ ,‬אז ) ‪ .End(MR ) = HomR (M, M‬כאן פעולת הכפל היא ההרכבה‬
‫הרגילה ‪.f g = f ◦ g‬‬
‫‪60‬‬
‫‪ .7.1‬מושגי יסוד בתורת המודולים‬
‫פרק ‪ .7‬מבנה של מודולים‬
‫הסיבה להגדרת הכפל דווקא באופן הזה תתברר בתת־סעיף ‪.7.3.1‬‬
‫תרגיל ‪ 7.1.9‬בדוק ש־) ‪ End(M‬סגור לכפל כאשר ‪ M‬מודול שמאלי או ימני‪.‬‬
‫∼ )‪.End(R R‬‬
‫∼ ) ‪= End(RR‬‬
‫תרגיל ‪ 7.1.10‬לכל חוג )עם יחידה( ‪= R ,R‬‬
‫הגדרה ‪ 7.1.11‬יהי ‪ R‬חוג‪ .‬החוג המנוגד ‪ Rop‬הוא החוג עם אותה קבוצת אברים ואותה פעולת חיבור‪ ,‬וכפל‬
‫בסדר הפוך‪.xop y op = (yx)op :‬‬
‫קומוטטיבי אז( ‪ .R = Rop‬אבל בדרך כלל החוגים ‪,R‬‬
‫הערה ‪ ,(Rop )op = R 7.1.12‬ואם ‪R‬‬
‫)‬
‫‪Q‬‬
‫‪op‬‬
‫‪ .R = Q‬לכל איבר נילפוטנטי ‪ ,t‬האידיאל‬
‫‪ R‬אינם איזומורפיים‪ .‬למשל‪ ,‬נתבונן בחוג ‪0 Z‬‬
‫השמאלי ‪ Rt‬איזומורפי‪ ,‬כחבורה חיבורית‪ ,‬ל־‪ ,Q‬ואילו האידיאל הימני ‪ tR‬איזומורפי ל־‪.Z‬‬
‫∼ ‪.R‬‬
‫ב־ ‪ Rop‬המצב הפוך‪ ,‬כמובן‪ ,‬ולכן ‪̸= Rop‬‬
‫החוג המנוגד מספק דרך טכנית לעבור בין מודולים שמאליים וימניים ומראה שהתאוריות‬
‫סימטריות זו לזו‪ ,‬משום שכל מודול ימני מעל ‪ R‬אפשר לראות כמודול שמאלי מעל ‪) Rop‬על־‬
‫ידי הפעולה ‪ ,x · r = rop x‬שהרי ‪,(x(rr′ ) = (rr′ )op x = r′op (rop x) = r′op (xr) = (xr)r′‬‬
‫ולהיפך‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 7.1.13‬יהי ‪ M‬מודול שמאלי מעל החוג ‪ .R‬אז ) ‪.End(R M )op = End(MRop‬‬
‫‪7.1.3‬‬
‫מטריצות ודרגה של מודול‬
‫אחד הכלים היסודיים באלגברה לינארית‪ ,‬שאינה אלא תורת המודולים מעל שדה כללי‪ ,‬הוא‬
‫קיומו של בסיס לכל מרחב וקטורי‪ .‬קבוצה ‪ X ⊆ M‬היא בסיס אם לכל איבר ‪ v ∈ M‬יש‬
‫הצגה יחידה כסכום ‪ α1 x1 + · · · + αn xn‬עבור ‪ αi ∈ R‬ו־‪ .xi ∈ X‬מודול שיש לו בסיס‬
‫נקרא מודול חופשי‪ ,‬והדרגה שלו היא גודל הבסיס )הדרגה לא תמיד מוגדרת היטב(‪.‬‬
‫∼ ) ‪.EndR (M‬‬
‫טענה ‪ 7.1.14‬אם ‪ R M‬מודול חופשי מדרגה ‪ ,n‬אז )‪= Mn (R‬‬
‫טענה ‪ 7.1.15‬מעל חוג עם חילוק‪ ,‬כל מודול הוא חופשי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 7.1.16‬הוכח את הטענה‪ ,‬בעזרת תלות מופשטת )שהגדרנו בקורס הקודם(‪.‬‬
‫∼ ‪Rn‬‬
‫לחוג יש התכונה ‪ ,Invariant Base Number) IBN‬מספר בסיס קבוע( אם ‪= Rm‬‬
‫רק כאשר ‪.n = m‬‬
‫טענה ‪ 7.1.17‬לחוג יש ‪ IBN‬אם ורק אם עבור )‪ A ∈ Mn×m (R‬ו־)‪ ,B ∈ Mm×n (R‬מהתכונות‬
‫‪ AB = In‬ו־ ‪ BA = Im‬נובע ‪.m = n‬‬
‫טענה ‪ 7.1.18‬הדרגה מוגדרת היטב מעל חוג קומוטטיבי )העזר בקיום הדטרמיננטה הכפלית(‪.‬‬
‫טענה ‪ 7.1.19‬הדרגה מוגדרת היטב מעל כל חוג עם חילוק‪) .‬לכל קבוצה בלתי תלויה מקסימלית‬
‫יש אותו גודל‪ ,‬לפי משפט ‪ 3.2.11‬על גודלה של קבוצה בלתי תלויה מקסימלית לגבי תלות‬
‫פורמלית(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 7.1.20‬נניח ש־) ‪ R = EndF (V‬כאשר ‪ V‬מרחב וקטורי ממימד אינסופי מעל ‪.F‬‬
‫∼ ‪ R‬כמודולים‪ ,‬ולכן ‪ R‬אינו בעל ‪.IBN‬‬
‫הראה ש־‪= R ⊕ R‬‬
‫‪61‬‬
‫‪ .7.1‬מושגי יסוד בתורת המודולים‬
‫‪7.1.4‬‬
‫פרק ‪ .7‬מבנה של מודולים‬
‫סכום וסכום ישר‬
‫תהי ‪ Nα‬משפחה )לאו דווקא סופית( של מודולים כלשהם‪ .‬הסכום הישר )החיצוני( של‬
‫המשפחה הוא המודול ‪ ⊕Nα‬שאבריו הם וקטורים ) ‪ (xα‬השווים לאפס כמעט בכל רכיב‪,‬‬
‫עם הפעולה ) ‪ .r(xα ) = (rxα‬במקביל להגדרה זו‪ ,‬אנו זקוקים גם לסכום הישר הפנימי של‬
‫תת־מודולים‪ .‬ראשית נזכיר כיצד מגדירים סכום של תת־מודולים‪∑ .‬‬
‫‪′‬‬
‫יהי ‪ M‬מודול‪ ,‬ותהי ‪ Nα‬משפחה של תת־מודולים‪ .‬הסכום ‪ M = α Nα‬כולל‪ ,‬בהגדרה‪,‬‬
‫את כל הסכומים הסופיים ‪ x1 + · · · + xn‬כאשר ‪ .xi ∈ Nαi‬זהו תמיד תת־מודול של ‪.M‬‬
‫כל וקטור ב־ ‪ M ′‬אפשר להציג כסכום שבו כל מחובר מגיע מתת־מודול אחר )משום שאפשר‬
‫בסכומם(‪ .‬יש אפימורפיזם מן‬
‫לקבץ מחוברים השייכים לאותו‬
‫תת־מודול ולהחליף אותם ∑‬
‫∑‬
‫= )) ‪) π((xα‬בכל וקטור‬
‫הסכום הישר החיצוני אל הפנימי‪ ,π : ⊕Nα → Nα ,‬לפי ‪xα‬‬
‫של הסכום הישר יש מספר סופי של רכיבים שונים מאפס(‪.‬‬
‫הסכום הוא סכום ישר )פנימי( אם ההצגה של כל וקטור ב־ ‪ M ′‬באופן הזה היא יחידה‪.‬‬
‫טענה ‪ 7.1.21‬התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫∑‬
‫הוא סכום ישר;‬
‫‪ .1‬הסכום ‪Nα‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ x1 + · · · + xn = 0‬כאשר ‪ α1 , . . . , αn ,xi ∈ Nαi‬שונים‪ ,‬אז ‪ xi = 0‬לכל ‪;i‬‬
‫∑‬
‫‪ .3‬לכל ‪;Nα0 ∩ α̸=α0 Nα = 0 ,α0‬‬
‫∑‬
‫‪ .4‬הפונקציה ‪ π : ⊕Nα → Nα‬שהוגדרה לעיל היא איזומורפיזם‪.‬‬
‫הוכחה‪ (2) ⇐= (1) .‬משום שהצגת הוקטור ‪ 0‬היא יחידה‪ :(3) ⇐= (2) .‬אם ‪x0 = x1 + · · · + xn‬‬
‫כאשר ‪ x0 ∈ Nα0‬ו־ ‪ xi ∈ Nαi‬עבור ‪ αi ̸= α0‬שונים‪ ,‬אז ‪ −x0 + x1 + · · · + xn = 0‬ו־‪ x0 = 0‬לפי‬
‫ההנחה‪ :(1) ⇐= (3) .‬אם ‪ ,x1 + · · · + xn = y1 + · · · + yn‬אפשר למחוק מחוברים השווים לאפס‬
‫ולצמצם מחוברים עד שכל מחובר מגיע מתת־מודול אחר; נניח שהסכומים עדיין אינם אפס אז מתקבלת הצגה‬
‫של ‪ ,x1 ∈ Nα1‬ל־ ‪ α1‬מתאים‪ ,‬כסכום של מחוברים מתת־מודולים אחרים‪ ,‬ולכן ‪ ,x1 = 0‬בסתירה להנחה‪.‬‬
‫‬
‫)‪ (4) ⇐⇒ (1‬משום שהסכום הפנימי ישר אם ורק אם ‪ π‬חד־חד־ערכית‪.‬‬
‫כעת נוכיח שחוג אנדומורפיזמים מסויים הוא חוג מטריצות‪ .‬התוצאה הבאה תאפשר לנו‬
‫לעבור בין מודול נתון לסכום ישר של כמה עותקים שלו‪ .‬יהי ‪ M‬מודול מעל חוג ‪ .R‬נסמן‬
‫ב־ ‪ M (n) = M ⊕ · · · ⊕ M‬את הסכום הישר של ‪ n‬עותקים של ‪ ;M‬לשם נוחות נכתוב את‬
‫אברי )‪ M (n‬כעמודות בגובה ‪ n‬שרכיביהן ב־ ‪ ;M‬גם זה מודול מעל ‪.R‬‬
‫◦‬
‫∼ ) )‪.Tn = End(R M (n‬‬
‫טענה ‪ 7.1.22‬נסמן ) ‪ ,T = End(R M‬אז ) ‪= Mn (T‬‬
‫בקואורדינטה ה־‪ ,i‬ו־‬
‫הוכחה‪ .‬נגדיר הומומורפיזמים )‪ µi : M →M (n‬על־ידי מיקום האיבר הנתון‬
‫∑‬
‫‪ πi : M (n) →M‬לפי שליפת הרכיב בקואורדינטה ה־‪ .i‬כך ‪ ,πi µj = δij idM‬ו־ ‪ i µi πi‬היא הזהות‬
‫∼ ‪ Tn‬כאשר‬
‫של )‪ .M (n‬מכאן ש־ ‪ eij = µi πj ∈ Tn‬הן יחידות מטריצות‪ .‬לפי טענה ‪= Mn (T ′ ) ,7.1.5‬‬
‫‪.T ′ = e11 Tn e11 = µ1 π1 Tn µ1 π1‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫נגדיר ‪ Ψ : T →T ′‬לפי ‪ ,Ψ(φ) = µ1 φπ1 = e11 µ1 φπ1 e11‬ו־ ‪ Ψ : T →T‬לפי = ) ‪Ψ (e11 φ e11‬‬
‫‪ ;π1 e11 φ′ e11 µ1 = π1 φ′ µ1‬אלו הומומורפיזמים של חוגים‪ ,‬המקיימים = ) ‪ΨΨ′ (e11 φ′ e11‬‬
‫‪ µ1 π1 e11 φ′ e11 µ1 π1 = e11 φ′ e11‬ו־‪ ;Ψ′ Ψ(φ) = π1 µ1 φπ1 µ1 = φ‬כלומר‪ Ψ ,‬ו־ ‪ Ψ′‬הופכים זה‬
‫‬
‫∼ ‪.T‬‬
‫את זה‪ ,‬ו־ ‪= T ′‬‬
‫‪62‬‬
‫פרק ‪ .7‬מבנה של מודולים‬
‫‪7.2‬‬
‫‪ .7.2‬מודולים פריקים לחלוטין‬
‫מודולים פריקים לחלוטין‬
‫בסעיף זה נעסוק במודולים שאפשר לתאר באמצעות תת־המודולים הפשוטים שלהם‪ ,‬ונאסוף‬
‫כמה הגדרות שקולות למשפחה החשובה של חוגים פשוטים למחצה‪.‬‬
‫‪7.2.1‬‬
‫מודולים פריקים לחלוטין‬
‫נזכיר שמודול פשוט הוא מודול שאין לו תת־מודולים‪ .‬בתרגיל ‪ 1.1.10‬ראינו שכל מודול פשוט‬
‫מעל ‪ R‬איזומורפי למנה ‪ R/L‬כאשר ‪ L‬אידיאל שמאלי מקסימלי‪ .‬תת־מודול פשוט נקרא‬
‫גם תת־מודול מינימלי‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 7.2.1‬יהי ‪ M‬מודול מעל חוג ‪ .R‬התשתית ) ‪ soc(M‬מוגדרת כסכום כל תת־המודולים הפשוטים‬
‫של ‪ .M‬אם אין תת־מודולים פשוטים‪ ,‬אז ‪.soc(M ) = 0‬‬
‫הגדרה ‪ 7.2.2‬מודול ‪ M‬נקרא פריק לחלוטין אם ) ‪.M = soc(M‬‬
‫דוגמא ‪ Mn (F ) 7.2.3‬פריק לחלוטין )כמודול מעל עצמו(‪ .‬עם זאת‪ ,‬לא כל איבר של ) ‪Mn (F‬‬
‫שייך למודול פשוט‪ ,‬ולכן ) ‪ soc(M‬אינו בהכרח איחוד של תת־מודולים פשוטים‪.‬‬
‫הערה ‪ 7.2.4‬לכל מודול ‪ .soc(soc(M )) = soc(M ) ,M‬לכן התשתית של כל מודול היא מודול‬
‫פריק לחלוטין‪.‬‬
‫דוגמא ‪ 7.2.5‬כל מרחב וקטורי הוא פריק לחלוטין )כסכום של תת־המרחבים החד־ממדיים(‪.‬‬
‫הערה ‪7.2.6‬‬
‫‪ .1‬סכום ישר של מודולים פריקים לחלוטין הוא פריק לחלוטין‪.‬‬
‫◦‬
‫‪ .2‬סכום של תת־מודולים פריקים לחלוטין הוא תת־מודול פריק לחלוטין‪.‬‬
‫‪ .3‬תמונה הומומורפית של מודול פריק לחלוטין היא פריקה לחלוטין‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 7.2.7‬יהיו ‪ K ≤ M‬מודול ותת־מודול‪ .‬הראה ש־)‪,(soc(M )+K)/K ≤ soc(M/K‬‬
‫ותן דוגמא לכך שההכלה אמיתית‪.‬‬
‫∑‬
‫)המושג מוגדר בתת־סעיף ‪ ,(7.1.4‬ו־‬
‫למה ‪ 7.2.8‬נניח שהסכום ‪Ni ≤ M‬‬
‫הוא סכום ישר ∑‬
‫‪ S ≤ M‬תת־מודול פשוט שאינו מוכל בו‪ .‬אז גם הסכום ‪ S + Ni‬הוא ישר‪.‬‬
‫∑‬
‫טריוויאלי המסתכם לאפס‪ .‬הרכיב של ‪ S‬אינו אפס משום ש־ ‪ Ni‬סכום ישר‪,‬‬
‫הוכחה‪ .‬אחרת יש סכום לא ∑‬
‫‬
‫אבל אז הרכיב הזה שייך ל־ ‪ ,S ∩ Ni‬שהוא תת־מודול אמיתי של ‪ S‬ולכן אפס‪.‬‬
‫טענה ‪ 7.2.9‬לכל מודול ‪ soc(M ) ,M‬הוא סכום ישר של תת־מודולים פשוטים ) לא בהכרח‬
‫כולם!(‪.‬‬
‫∑‬
‫∑ = ‪ N‬הוא סכום‬
‫הוכחה‪ .‬לפי הלמה של צורן∑יש מערכת מקסימלית של תת־מודולים ‪ Ni‬כך ש־ ‪Ni‬‬
‫= ‪ N‬אז קיים ‪ S ≤ M‬פשוט שאינו מוכל ב־ ‪ , Ni‬ואז לפי למה ‪7.2.8‬‬
‫ישר‪∑.‬אם ) ‪Ni < soc(M‬‬
‫‬
‫‪ S + Ni‬הוא סכום ישר‪ ,‬בסתירה למקסימליות של } ‪.{Ni‬‬
‫תרגיל ‪ 7.2.10‬הוכח בעזרת טענה ‪ 7.2.9‬את משפט הבסיס של האמל‪ :‬לכל מרחב‬
‫וקטורי יש בסיס‪ .‬הדרכה‪ .‬מרחב וקטורי מעל השדה ‪ F‬הוא מודול פריק לחלוטין‪ ,‬ואם ‪ V‬הוא‬
‫סכום ישר של תת־המודולים הפשוטים ‪ F bλ‬אז } ‪ {bλ‬הוא בסיס של ‪.V‬‬
‫‪63‬‬
‫◦‬
‫◦‬
‫‪ .7.2‬מודולים פריקים לחלוטין‬
‫‪7.2.2‬‬
‫פרק ‪ .7‬מבנה של מודולים‬
‫תת־מודולים גדולים‬
‫הגדרה ‪ 7.2.11‬יהי ‪ M‬מודול‪ .‬תת־מודול ‪ N ≤ M‬הוא תת־מודול גדול אם ‪ N ∩ K ̸= 0‬לכל תת־מודול‬
‫‪.K ̸= 0‬‬
‫תרגיל ‪ 7.2.12‬בתחום שלמות‪ ,‬כל אידיאל הוא תת־מודול גדול‪.‬‬
‫◦‬
‫הערה ‪ 7.2.13‬כל תת־מודול גדול ‪ N‬מכיל כל תת־מודול פשוט ‪.S‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי ההנחה ‪ 0 ̸= N ∩ S ≤ S‬ולכן ‪.N ∩ S = S‬‬
‫◦‬
‫‬
‫מסקנה ‪ 7.2.14‬למודול פריק לחלוטין ‪ M‬אין תת־מודולים גדולים פרט ל־ ‪.M‬‬
‫הגדרה ‪ 7.2.15‬יהי ‪ N < M‬תת־מודול‪ N ′ ≤ M .‬נקרא משלים עקרונית אם ‪ N ′ ∩ N = 0‬ו־ ‪N + N ′‬‬
‫תת־מודול גדול של ‪.M‬‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ 7.2.16‬לכל שלושה תת־מודולים ‪:A, B, C ≤ M‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ A ∩ (B + C) = 0‬אז ‪ .B ∩ (A + C) = B ∩ C‬הדרכה‪ .‬אם ‪ b = a + c‬אז‬
‫‪ ,B + C ∋ b − c = a ∈ A‬ולכן ‪ ,a = b − c ∈ A ∩ (B + C) = 0‬ואז ‪.b = c‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ A ∩ (B + C) = B ∩ C = 0‬אז ‪ .B ∩ (A + C) = 0‬הדרכה‪ .‬לפי הסעיף הקודם‬
‫‪.B ∩ (A + C) = B ∩ C = 0‬‬
‫∑‬
‫תרגיל ‪ 7.2.17‬הוכח את למה ‪ 7.2.8‬בעזרת תרגיל ‪ .7.2.16‬הדרכה‪ ;S ∩ Ni = 0 .‬ולכל‬
‫∑‬
‫∑‬
‫∑‬
‫‪ ,Nj ∩ (S + i̸=j Ni ) = 0 ,j‬כי ‪ S ∩ Ni = Nj ∩ i̸=j Ni = 0‬לפי מתרגיל ‪.7.2.16‬‬
‫◦‬
‫טענה ‪ 7.2.18‬לכל תת־מודול ‪ N < M‬יש משלים עקרונית‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬ניקח תת־מודול ‪ N ′ < M‬שהוא מקסימלי ביחס לתנאי ‪) N ′ ∩ N = 0‬קיים לפי הלמה של צורן(‪.‬‬
‫יהי ‪ K ≤ M‬תת־מודול כלשהו; אם ‪ K ∩(N ′ +N ) = 0‬אז גם ‪ (K +N ′ )∩N = 0‬לפי תרגיל ‪,7.2.16‬‬
‫ולפי המקסימליות של ‪ N ′‬בהכרח ‪ ,K ⊆ N ′‬אבל אז ‪ K ⊆ N + N ′‬ו־‪.K = K ∩ (N + N ′ ) = 0‬‬
‫‪7.2.3‬‬
‫משלימים של תת־מודול‬
‫הגדרה ‪ 7.2.19‬יהי ‪ N < M‬תת־מודול‪ .‬תת־מודול ‪ K ≤ M‬נקרא משלים של ‪ N‬אם ‪M = N ⊕ K‬‬
‫)כלומר ‪ K + N = M‬ו־‪.(K ∩ N = 0‬‬
‫◦‬
‫הערה ‪ 7.2.20‬יהי ‪ M‬מודול מעל חוג ‪ .R‬לתת־מודול ‪ N < M‬יש משלים אם ורק אם יש‬
‫אידמפוטנט ) ‪ e ∈ End(R M‬כך ש־)‪.N = Im(e‬‬
‫הוכחה‪ .‬אם יש לתת־המודול משלים‪ ,‬אפשר לכתוב ‪ M = N ⊕ N ′‬ולקחת )‪.e(x, x′ ) = (x, 0‬‬
‫בכיוון ההפוך אם )‪ N = Im(e‬ניקח )‪ ,N ′ = Im(1 − e‬אז מ־)‪ e(x) = (1 − e)(y‬נובע‬
‫‪ e(x) = e2 (x) = e(1 − e)(y) = 0‬ולכן ‪ ,N ∩ N ′ = 0‬וכל ‪ x ∈ M‬אפשר לכתוב בצורה‬
‫‬
‫)‪ ,x = e(x) + (1 − e)(x‬כך ש־)‪.M = Im(e) + Im(1 − e‬‬
‫מודול הוא בעל משלימים אם לכל תת־מודול יש משלים‪.‬‬
‫‪64‬‬
‫פרק ‪ .7‬מבנה של מודולים‬
‫◦‬
‫‪ .7.2‬מודולים פריקים לחלוטין‬
‫למה ‪ 7.2.21‬יהיו ‪ .K ≤ N ≤ M‬אם ‪ K ′‬משלים של ‪ K‬בתוך ‪ ,M‬אז ‪ K ′′ = K ′ ∩ N‬משלים‬
‫של ‪ K‬בתוך ‪.N‬‬
‫הוכחה‪ K ′′ = K ′ ∩ N ≤ N .‬מקיים ‪ K ′′ ∩ K ⊆ K ′ ∩ K = 0‬ו־= ‪K ′′ + K = (N ∩ K ′ ) + K‬‬
‫‬
‫‪ N ∩ (K ′ + K) = N ∩ M = N‬לפי המודולריות‪.‬‬
‫◦‬
‫טענה ‪) 7.2.22‬תורשתיות קיום המשלימים( נניח ש־ ‪ M‬בעל משלימים; אז כל תת־מודול < ‪N‬‬
‫‪ M‬גם הוא בעל משלימים‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ .K ≤ N‬לפי ההנחה יש לו משלים ‪ K ′‬בתוך ‪ ,M‬ואז ‪ K ′′ = K ′ ∩ N‬משלים שלו בתוך‬
‫‬
‫‪ N‬לפי למה ‪.7.2.21‬‬
‫למה ‪ 7.2.23‬לכל מודול ‪ M ̸= 0‬בעל משלימים יש תת־מודול פשוט‪.‬‬
‫◦‬
‫הוכחה‪ .‬נבחר ‪ .0 ̸= x ∈ M‬נתבונן בתת־מודול ‪ N < M‬שהוא מקסימלי ביחס לתכונה ‪.x ̸∈ N‬‬
‫לפי ההנחה יש משלים ‪ N ′‬של ‪ N‬בתוך ‪ .M‬נניח ש־ ‪ ,0 < K < N ′‬אז לפי התורשתיות יש משלים‬
‫‪ 0 < K ′ < N ′‬בתוך ‪ ,N ′‬ואז ‪ .N < N + K, N + K ′‬לפי המקסימליות של ‪ N‬נובע מכאן ש־‬
‫) ‪ .x ∈ (N + K) ∩ (N + K ′‬נכתוב ‪ x = n + k = n′ + k ′‬עבור ‪ k ∈ K ,n, n′ ∈ N‬ו־ ‪;k ′ ∈ K ′‬‬
‫אז ‪ ,n − n′ = k ′ − k ∈ N ∩ (K + K ′ ) = N ∩ N ′ = 0‬כלומר ‪ ,k ′ = k ∈ K ′ ∩ K = 0‬אבל‬
‫‬
‫אז ‪ ,x ∈ N‬בסתירה להנחה ש־‪ K‬תת־מודול אמיתי של ‪ .N ′‬מכאן ש־ ‪ N ′‬פשוט‪.‬‬
‫משפט ‪ 7.2.24‬התנאים הבאים שקולים עבור מודול ‪:M‬‬
‫‪ M .1‬פריק לחלוטין‪.‬‬
‫‪ .2‬אין ל־ ‪ M‬תת־מודול גדול אמיתי‪.‬‬
‫‪ M .3‬הוא בעל משלימים‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬הוכחנו )‪ (2) ⇐= (1‬במסקנה ‪.7.2.14‬‬
‫)‪ :(3) ⇐= (2‬יהי ‪ M‬מודול שאין בו תת־מודולים גדולים פרט לעצמו‪ ,‬ויהי ‪ N ≤ M‬תת־מודול‪.‬‬
‫לפי טענה ‪ 7.2.18‬קיים ‪ N ′‬כך ש־‪ N ∩ N ′ = 0‬ו־ ‪ N + N ′ ≤ M‬גדול‪ ,‬ולפי ההנחה ‪N + N ′ = M‬‬
‫ולכן ‪ N ′‬משלים של ‪.N‬‬
‫‪′‬‬
‫נותר אם כך להוכיח )‪ .(1) ⇐= (3‬יהי ‪ M‬מודול בעל משלימים‪ .‬נסמן ) ‪ .S = soc(M‬יהי ‪S‬‬
‫משלים של ‪ ,S‬ונניח בשלילה ש־‪ .S ′ ̸= 0‬התורשתיות מאפשרת להפעיל את למה ‪ 7.2.23‬ולהסיק שיש‬
‫תת־מודול פשוט ‪ .N ′ ≤ S ′‬אבל אז ‪ N ′ ≤ S‬לפי ההגדרה‪ ,‬ולכן ‪ ,N ′ ≤ S ∩ S ′ = 0‬וזו סתירה להנחה‬
‫‬
‫ש־‪ .S ′ ̸= 0‬מכאן ש־‪ M = S‬פריק לחלוטין‪.‬‬
‫משפט ‪ soc(M ) 7.2.25‬שווה לחיתוך תת־המודולים הגדולים של ‪.M‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן ב־) ‪ S = soc(M‬ונסמן ב־‪ J‬את חיתוך תת־המודולים הגדולים‪ .‬לפי הערה ‪.S ≤ J ,7.2.13‬‬
‫נוכיח ש־‪ J‬הוא בעל משלימים‪ .‬יהי ‪ .N < J‬לפי טענה ‪ ,7.2.18‬יש ל־ ‪ N‬משלים עקרונית ‪ N ′‬בתוך ‪;M‬‬
‫לכן ‪ N + N ′‬תת־מודול גדול והוא מכיל את ‪ J‬לפי ההגדרה‪ .‬אבל ‪ N ′‬משלים של ‪ N‬ב־ ‪ ,N + N ′‬ולפי‬
‫למה ‪ N ′ ∩ J ,7.2.21‬משלים של ‪ N‬בתוך ‪.J‬‬
‫כעת ‪ J‬פריק לחלוטין לפי משפט ‪ ,7.2.24‬ולכן שווה לסכום תת־המודולים הפשוטים שלו‪ ,‬שכולם‬
‫‬
‫תת־מודולים פשוטים של ‪ ,M‬ולכן סכומם מוכל ב־‪ ;S‬כלומר ‪ J ≤ S‬ומכאן נובע השוויון הדרוש‪.‬‬
‫‪65‬‬
‫◦‬
‫‪ .7.3‬משפט הצפיפות הכללי‬
‫‪7.2.4‬‬
‫פרק ‪ .7‬מבנה של מודולים‬
‫חוגים פשוטים למחצה‬
‫הגדרה ‪ 7.2.26‬חוג ‪ R‬הוא חוג פשוט למחצה אם הוא פריק לחלוטין כמודול מעל עצמו )כלומר‪ ,‬הוא שווה‬
‫לסכום של אידיאלים שמאליים מינימליים‪(.‬‬
‫הערה ‪ 7.2.27‬נניח ש־‪ R‬פשוט למחצה‪ .‬אז הוא שווה לסכום של מספר סופי של אידיאלים‬
‫מינימליים‪.‬‬
‫∑‬
‫= ‪ 1‬עבור ‪ ai ∈ Ai‬כאשר ‪ Ai‬אידיאלים מינימליים; אז לכל‬
‫את ‪∑1 ∈ R‬בתור סכום ‪ai‬‬
‫הוכחה‪ .‬כתוב∑‬
‫‬
‫= ‪.r‬‬
‫‪rai ∈ Ai ,r ∈ R‬‬
‫◦‬
‫טענה ‪ 7.2.28‬כל מודול מעל חוג פשוט למחצה ‪ R‬הוא פריק לחלוטין‪.‬‬
‫∑‬
‫אידיאלים שמאליים מינימליים‪ .‬יהי ‪ M‬מודול מעל ‪ .R‬אפשר‬
‫‪L‬‬
‫כאשר‬
‫‪R‬‬
‫=‬
‫‪i‬‬
‫הוכחה‪ .‬כתוב ‪i‬‬
‫∑‬
‫∑‪∑ L‬‬
‫לכתוב ‪ ,M = x∈M Rx = x∈M i Li x‬אבל לכל ‪ i‬ולכל ‪ ,x‬אם ‪ Li x ̸= 0‬אז הוא מינימלי כי‬
‫‬
‫∼ ‪.Li‬‬
‫‪= Li x‬‬
‫תרגיל ‪ 7.2.29‬חוג ‪ R‬פשוט למחצה אם ורק אם כל מודול מעליו הוא פריק לחלוטין‪.‬‬
‫טענה ‪ 7.2.30‬כל אידיאל שמאלי ‪ A ≤ℓ R‬בחוג פשוט למחצה הוא מהצורה ‪ L = Re‬כאשר ‪e‬‬
‫אידמפוטנט‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי ההגדרה יש מודול משלים‪ ,‬כלומר ‪ .R =: ⊕L′‬נפרק ‪ 1 = e + e′‬עבור ‪ ,e ∈ A‬אז‬
‫‪ ,e = e2 + ee′‬ומצד שני ‪ .e = e + 0‬לכן ‪ e2 = e‬ו־‪ .ee′ = 0‬לכל ‪,a + 0 = a = ae + ae′ ,a ∈ L‬‬
‫‬
‫ושוב מהשוואת רכיבים מקבלים ‪ ;a = ae ∈ Re‬לכן ‪.L = Re‬‬
‫‪7.3‬‬
‫משפט הצפיפות הכללי‬
‫‪ 7.3.1‬בי־מודולים‬
‫הגדרה ‪ 7.3.1‬יהיו ‪ R, T‬חוגים‪ .‬נניח ש־ ‪ M‬הוא מודול שמאלי מעל ‪ ,R‬וגם מודול ימני מעל ‪ .T‬אומרים‬
‫שהוא בי־מודול מעל ‪ R, T‬אם ‪ r(xt) = (rx)t‬לכל ‪ t ∈ T ,r ∈ R‬ולכל ‪ .x ∈ M‬מציינים ש־ ‪M‬‬
‫הוא בי־מודול בסימון ‪.R MT‬‬
‫לדוגמא‪ ,‬כל מודול ‪ R M‬מעל חוג קומוטטיבי הוא גם מודול ימני לפי ‪ ,x · a = ax‬ולמעשה‬
‫הוא בימודול ‪ ,R MR‬מכיוון ש־)‪.(ax)b = b(ax) = (ba)x = (ab)x = a(bx) = a(xb‬‬
‫כעת נוכל להסביר את הגדרה ‪ .7.1.8‬יהיו ‪ R‬חוג ו־ ‪ R M‬מודול שמאלי מעל ‪ .R‬נסמן‬
‫) ‪ .T = End(R M‬הפעולה )‪ x · f = f (x‬הופכת את ‪ M‬למודול ימני מעל ‪) T‬אכן‪,‬‬
‫‪ x · (f g) = (f g)(x) = g(f (x)) = g(x · f ) = (x · f ) · g‬לפי הגדרת הכפל ב־ ‪ .(T‬לו היינו‬
‫מגדירים את הכפל על־ידי שינוי הסדר‪ ,‬כלומר לו היינו מתבוננים ב־ ‪ T op‬במקום ב־ ‪M ,T‬‬
‫היה מודול שמאלי במקום ימני‪ .‬היתרון בחילופי הצדדים הוא ש־ ‪ M‬הוא בימודול‪:R MT ,‬‬
‫) ‪.(rx)f = f (rx) = rf (x) = r(xf‬‬
‫דוגמא נוספת‪ :‬כל חוג ‪ R‬מהווה מודול שמאלי וגם ימני מעל עצמו‪ ,‬לפי הפעולה המושרית‬
‫מן הכפל של החוג )כלומר‪ .(x · a = xa ,a · x = ax ,‬ביחס לפעולות אלו‪ R ,‬הוא בימודול‬
‫מעל ‪ ,R, R‬משום ש־)‪ (ax)b = a(xb‬בחוג‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 7.3.2‬יהיו ‪ R, R′‬חוגים‪.‬‬
‫‪66‬‬
‫◦‬
‫‪ .7.3‬משפט הצפיפות הכללי‬
‫פרק ‪ .7‬מבנה של מודולים‬
‫(‬
‫)‬
‫‪R‬‬
‫‪M‬‬
‫‪ .1‬הראה ש־ ‪ S = 0 R′‬הוא חוג )אסוציאטיבי( ביחס לפעולת הכפל הרגילה‬
‫של מטריצות‪ ,‬אם ורק אם ‪ R MR′‬הוא בי־מודול‪ .‬נניח שזה אכן כך‪.‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪0‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ 0 0‬הוא אידיאל שמאלי אם ‪ ;N ≤ R M‬ואידיאל ימני אם ‪ .N ≤ MR′‬הראה‬
‫‪.2‬‬
‫שאם החוג ‪ S‬נתרי‪/‬ארטיני משמאל‪ ,‬אז ‪ M‬נתרי‪/‬ארטיני כמודול שמאלי מעל ‪,R‬‬
‫ואם ‪ S‬נתרי‪/‬ארטיני מימין‪ ,‬אז ‪ M‬נתרי‪/‬ארטיני כמודול ימני מעל ‪.R′‬‬
‫‪ .3‬נניח ש־‪ M = R′ = K‬כאשר ‪ K‬שדה‪ ,‬ו־‪.R ⊆ K‬‬
‫נתרי‪/‬ארטיני‪ .‬הדרכה‪ .‬האידיאלים הימניים‬
‫אם ‪R‬‬
‫({‬
‫)‬
‫ורק (‬
‫)א( ‪ S‬נתרי‪/‬ארטיני ימני}אם )‬
‫של ‪ S‬הם מהצורה ‪0 v1 : v1 ∈ V‬‬
‫עבור תת־מרחבים וקטוריים ⊆ ‪V‬‬
‫‪0 v2‬‬
‫‪v2‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪ I0 K‬כאשר ‪.I▹R‬‬
‫‪ ,K‬או מהצורה ‪K‬‬
‫)ב( ‪ S‬נתרי‪/‬ארטיני שמאלי אם ורק אם ‪ R‬חוג נתרי‪/‬ארטיני‪ ,‬וגם ‪ K‬נתרי‪/‬ארטיני‬
‫האידיאלים השמאליים של ‪ S‬הם מהצורה‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫}‬
‫כמודול מעל )‪{( .R‬‬
‫‪a v‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪: (a, v) ∈ N‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪I‬‬
‫‪K‬‬
‫‪ 0 K‬כאשר ‪.I▹R‬‬
‫)‬
‫)ג(‬
‫)‬
‫)ד(‬
‫‪7.3.2‬‬
‫‪Z Q‬‬
‫‪0 Q‬‬
‫‪Q R‬‬
‫‪0 R‬‬
‫עבור תת־מודולים ‪ N ≤ R × K‬מעל ‪ ,R‬או מהצורה‬
‫(‬
‫נתרי ימני אבל לא נתרי שמאלי‪.‬‬
‫(‬
‫ארטיני ימני אבל לא ארטיני שמאלי‪.‬‬
‫ההצגה הרגולרית‬
‫הצגה של חוג היא הומומורפיזם ממנו אל אובייקט קונקרטי‪ ,‬כמו חוג אנדומורפיזמים‪ .‬תהי‬
‫‪ M‬חבורה אבלית‪ .‬כידוע‪ ,‬כל חבורה אבלית היא מודול ימני מעל חוג השלמים ‪ ,Z‬ולכן יש‬
‫לה חוג אנדומורפיזמים ) ‪) End(M Z‬ראה תרגיל ‪.(1.1.1‬‬
‫מתברר שהצגה של ‪ R‬לתוך החוג ) ‪ End(M Z‬אינה אלא שכלול של ‪ M‬לכדי מודול‬
‫שמאלי מעל ‪.R‬‬
‫טענה ‪ 7.3.3‬לכל הומומורפיזם של חוגים ) ‪ ψ : R→End(MZ‬אפשר לראות את ‪ M‬כמודול מעל‬
‫‪ R‬לפי הפעולה )‪.r · x = ψ(r)(x‬‬
‫בכיוון ההפוך‪ ,‬אם ‪ M‬מודול שמאלי מעל ‪ ,R‬אז לכל ‪ r ∈ R‬הפונקציה ‪ψ(r) : x 7→ rx‬‬
‫היא אנדומורפיזם של ‪ ,M‬והפונקציה )‪ r 7→ ψ(r‬היא הומומורפיזם של חוגים‪.R→End(MZ ) ,‬‬
‫הוכחה‪ .‬בכיוון הראשון‪ ,‬מכיוון ש־) ‪ ,ψ(rr′ ) = ψ(r)ψ(r′‬לכל ‪ x‬מתקיים‬
‫‪(rr′ ) · x = ψ(rr′ )(x) = (ψ(r) ◦ ψ(r′ ))(x) = r · (r′ · x).‬‬
‫‬
‫‪67‬‬
‫◦‬
‫פרק ‪ .7‬מבנה של מודולים‬
‫‪ .7.3‬משפט הצפיפות הכללי‬
‫כדי לשפר את ההצגה‪ ,‬נניח ש־ ‪ M‬הוא כבר מודול שמאלי מעל ‪ ,R‬ויש לו בנוסף לזה‬
‫מבנה של מודול ימני מעל חוג ‪ ,S‬ההופך את ‪ M‬לבימודול‪ .‬נסמן ) ‪ˆ = End(MS‬‬
‫‪ .R‬זהו‬
‫תת־חוג ) ‪ˆ ⊆ End(MZ‬‬
‫‪ ,R‬שהוא קטן יותר ככל ש־‪ S‬גדול יותר‪.‬‬
‫המבנה של ‪ M‬כמודול מעל ‪ R‬הופך את ‪ M‬למודול שמאלי מעל ˆ‬
‫‪ ,R‬על־ידי הפעולה‬
‫)‪ .f · x = f (x‬למעשה ‪ M‬הוא בי־מודול מעל ‪ˆ S‬‬
‫‪ ,R,‬משום ש־‬
‫)‪(f · x)t = f (x)t = f (xt) = f · (xt‬‬
‫לפי הגדרת ˆ‬
‫‪.R‬‬
‫אם מעוניינים בהצגה של ‪ R‬לתוך חוג קונקרטי‪ ,‬כדאי שזה יהיה חוג קטן ככל האפשר‪.‬‬
‫‪ R‬מאפשר להגדיר הומומורפיזם ˆ‬
‫המבנה של ‪ M‬כמודול מעל ˆ‬
‫‪ R→R‬לפי ˆ‪ ,ψ : r 7→ r‬כאשר‬
‫ˆ‪.‬‬
‫‪r · x = rx‬‬
‫כעת נניח רק ש־ ‪ M‬מודול שמאלי מעל חוג ‪ .R‬כדי להגדיר על ‪ M‬מבנה של בימודול‪,‬‬
‫ניקח ) ‪ ,T = End(R M‬ונגדיר )‪ .x · f = f (x‬כפי שראינו לפני כן‪ M ,‬הוא אכן בימודול מעל‬
‫‪ ,R, T‬ואפשר לקחת ) ‪ˆ = End(MT‬‬
‫‪ T = End(R M )) .R‬הוא החוג הגדול ביותר כך ש־ ‪M‬‬
‫הוא ‪R, T‬־בימודול‪ ,‬ולכן ˆ‬
‫‪ R‬הזה הוא החוג הקטן ביותר האפשרי מהצורה ) ‪(.End(MS‬‬
‫◦‬
‫‪ .R‬אז ˆ‬
‫טענה ‪ 7.3.4‬יהיו ‪ M‬מודול שמאלי מעל חוג ‪ ,T = End(R M ) ,R‬ו־) ‪ˆ = End(MT‬‬
‫‪R‬‬
‫המרכז של ‪ T op‬בחוג האנדומורפיזמים הכללי ) ‪.End(MZ‬‬
‫ֵּ‬
‫הוא‬
‫הוכחה‪ .‬נחשב‪ .‬כדי ש־) ‪ φ ∈ End(MZ‬יהיה שייך ˆ‬
‫ל־‪ R‬נדרש שלכל ‪ f ∈ T‬ולכל ‪,x ∈ M‬‬
‫‬
‫))‪ ,φ(f (x)) = φ(x · f ) = φ(x) · f = f (φ(x‬כלומר ‪.φ ◦ f = f ◦ φ‬‬
‫‪ M, R, R‬כמו בטענה ‪ˆ ∩ T = Z(T ) ,7.3.4‬‬
‫מסקנה ‪ 7.3.5‬עם ˆ‬
‫‪.R‬‬
‫במקרה המיוחד שבו ‪ R‬קומוטטיבי המבנה הדוק עוד יותר‪.‬‬
‫הערה ‪ 7.3.6‬אם ‪ R‬קומוטטיבי‪ ,‬אז ) ‪ .Im(ψ) ⊆ Z(T‬נוכיח ש־) ‪.Im(ψ) ⊆ T = End(R M‬‬
‫ˆ‪.‬‬
‫ˆ‪r(ax) = r(ax) = (ra)x = (ar)x = a(rx) = a‬‬
‫ˆ‪ ,‬שהרי ‪rx‬‬
‫אכן‪ ,‬לכל ‪ ,r ∈ R‬מתקיים ‪r ∈ T‬‬
‫הטענה נובעת ממסקנה ‪.7.3.5‬‬
‫‪7.3.3‬‬
‫חוגים צפופים‬
‫שוב יהי ‪ R M‬מודול מעל החוג ‪ .R‬כמקודם‪ ,‬נבחר ) ‪ ,T = End(R M‬ונגדיר ) ‪ˆ = End(MT‬‬
‫‪.R‬‬
‫‪ R0 ⊆ R‬הוא ‪n‬־צפוף אם לכל ˆ‬
‫הגדרה ‪ 7.3.7‬תת־חוג ˆ‬
‫‪ f ∈ R‬ולכל ‪ x1 , . . . , xn ∈ M‬קיים‬
‫‪ f0 ∈ R0‬כך ש־)‪ ;f (x) = f0 (x‬תת־החוג צפוף אם הוא ‪n‬־צפוף לכל ‪.n‬‬
‫)יכולנו להגדיר צפיפות ב־) ‪ End(MT‬לכל ‪ T‬שעבורו ‪ R MT‬הוא בימודול‪ .‬אפשר גם להגדיר‬
‫צפיפות ב־) ‪ End(R M‬בדיוק כפי שהגדרנו צפיפות ב־) ‪ ;End(MT‬אין לנו צורך בהכללות‬
‫האלה‪(.‬‬
‫מה נדרש על־מנת ש־‪ R‬יהיה ‪1‬־צפוף? נאמר ש־ ‪ f‬שומר על תת־מודול ‪ N‬אם ⊆ ) ‪f (N‬‬
‫‪ R ⊆ R‬הוא ‪1‬־צפוף אם לכל ˆ‬
‫‪ .N‬לפי ההגדרה‪ˆ ,‬‬
‫‪ f ∈ R‬ולכל ‪ ;f (Rx) ⊆ Rx ,x ∈ M‬כלומר‪,‬‬
‫אם כל ˆ‬
‫‪ f ∈ R‬שומר על כל תת־מודול ציקלי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 7.3.8‬אנדומורפיזם ) ‪ f ∈ End(MT‬שומר על כל תת־מודול ציקלי‪ ,‬אם ורק אם‬
‫הוא שומר על כל תת־מודול‪.‬‬
‫‪68‬‬
‫‪ .7.3‬משפט הצפיפות הכללי‬
‫פרק ‪ .7‬מבנה של מודולים‬
‫ומתי מובטח שתת־מודול ‪ N‬נשמר?‬
‫◦‬
‫למה ‪ 7.3.9‬נניח של־ ‪ N < M‬יש משלים‪ .‬אז לכל ) ‪ f ∈ End(MT‬מתקיים ‪.f (N ) ⊆ N‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי הערה ‪ 7.2.20‬יש אידמפוטנט ‪ π ∈ T‬המקיים ) ‪ ,N = π(M‬ואז לכל ‪ x ∈ M‬מתקיים‬
‫‬
‫‪ ,f (π(x)) = f (x · π) = f (x) · π = π(f (x)) ∈ N‬ולכן ‪.f (N ) ⊆ N‬‬
‫משפט ‪) 7.3.10‬משפט הצפיפות הכללי( יהי ‪ M‬מודול פריק לחלוטין מעל חוג ‪ .R‬אז תמונת ‪ˆ R‬‬
‫ב־‪R‬‬
‫צפופה שם‪.‬‬
‫הוכחת משפט הצפיפות‪ .‬ראשית נוכיח שהתמונה היא ‪1‬־צפופה‪ :‬יהיו ˆ‬
‫‪ f ∈ R‬ו־ ‪.x1 ∈ M‬‬
‫ניקח ‪ .N = Rx1 ≤ M‬מכיוון שיש ל־ ‪ N‬משלים ב־ ‪ ,M‬למה ‪ 7.3.9‬קובעת ש־ ‪,f (x1 ) ∈ N‬‬
‫ולכן קיים ‪ r ∈ R‬כך ש־ ‪.f (x1 ) = rx1‬‬
‫נעבור למקרה הכללי‪ .‬נחליף את ‪ M‬במודול )‪˜ = M (n‬‬
‫‪ ,M‬שגם הוא פריק לחלוטין‬
‫לפי הערה ‪ .7.2.6‬בהתאם לזה יש להחליף את ‪ T‬ב־) ‪˜ ) = Mn (T‬‬
‫‪ T˜ = End(R M‬לפי‬
‫∑‬
‫‪t‬‬
‫טענה ‪ ,7.1.22‬את ‪ x1 , . . . , xn ∈ M‬הנתונים בוקטור ˜‬
‫˜‪,‬‬
‫= ) ‪x = (x1 , . . . , xn‬‬
‫‪νi (xi ) ∈ M‬‬
‫)‪(n‬‬
‫ואת ) ‪ˆ = End(MT‬‬
‫‪ .M‬כפעולה‬
‫‪ f ∈ R‬באנדומורפיזם ˜‪ f‬הפועל אלכסונית על רכיבי‬
‫אלכסונית‪˜ ˜ ) ,‬‬
‫‪ f˜ ∈ End(M‬לפי משפט ‪.7.3.4‬‬
‫‪T‬‬
‫˜‬
‫כפי שהוכחנו לעיל‪ ,‬תמונת ‪1 R‬־צפופה ב־) ˜‪ ,End(MT‬ולכן קיים ‪ r ∈ R‬כך ש־‬
‫˜‪ ,(rx1 , . . . , rxn )t = r‬כלומר ‪ f (xi ) = rxi‬לכל‬
‫˜(˜‪x = f‬‬
‫‪x) = (f (x1 ), . . . , f (xn ))t‬‬
‫‬
‫‪.i = 1, . . . , n‬‬
‫מסקנה ‪ 7.3.11‬יהי ‪ R M‬מודול פריק לחלוטין‪ ,‬ונניח ש־ ‪ M‬נוצר סופית מעל ) ‪.T = End(R M‬‬
‫‪ R→R‬הוא על‪) .‬משום שאיבר ˆ‬
‫אז ההומומורפיזם ˆ‬
‫ב־‪ R‬נקבע לפי פעולתו על קבוצה פורשת‪(.‬‬
‫המשפט נקרא כך בשל הפירוש הטופולוגי שלו‪ .‬נגדיר טופולוגיה על ) ‪ˆ = End(MT‬‬
‫‪,R‬‬
‫שהבסיס שלה הוא הקבוצות }‪.Uf ;x1 ,...,xn = {g ∈ End(MT ) : g(xi ) = f (xi ), i = 1, . . . , n‬‬
‫תרגיל ‪ 7.3.12‬הראה שזה אכן בסיס לטופולוגיה )משפחה של קבוצות היא בסיס‬
‫לטופולוגיה אם לכל ‪ A, B‬במשפחה ולכל ‪ x ∈ A ∩ B‬יש ‪ C‬במשפחה כך ש־‬
‫‪ ;x ∈ C ⊆ A ∩ B‬הטופולוגיה הנוצרת על־ידי הבסיס כוללת את כל האיחודים של‬
‫קבוצות ממנו‪(.‬‬
‫משפט הצפיפות טוען שתמונת ‪ˆ R‬‬
‫ב־‪ R‬תחת השיכון הרגולרי‪ ,‬צפופה שם במובן הטופולוגי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 7.3.13‬תת־מודול ‪ N‬של ‪ R M‬נקרא צפוף אם לכל ‪ x, y ∈ M‬כך ש־‪ ,x ̸= 0‬יש‬
‫‪ a ∈ R‬כך ש־‪ ax ̸= 0‬ו־ ‪.ay ∈ N‬‬
‫‪ .1‬כל תת־מודול צפוף הוא גדול‪.‬‬
‫‪ .2‬אם תת־מודול הוא צפוף‪ ,‬אז כל תת־מודול המכיל אותו הוא צפוף‪.‬‬
‫‪ .3‬חיתוך של תת־מודולים צפופים הוא צפוף‪.‬‬
‫‪ .4‬בחוג קומוטטיבי‪ ,‬אידיאל הוא צפוף )בחוג כמודול מעל עצמו( אם ורק אם הוא‬
‫נאמן )כמודול(‪.‬‬
‫‪ .5‬הראה ש־ ‪ N‬צפוף ב־ ‪ M‬אם ורק אם ‪ Hom(N ′ /N, M ) ̸= 0‬לכל ‪.N ≤ N ′ ≤ M‬‬
‫‪69‬‬
‫פרק ‪ .7‬מבנה של מודולים‬
‫‪ .7.3‬משפט הצפיפות הכללי‬
‫‪70‬‬
‫פרק ‪8‬‬
‫המבנה של חוגים ארטיניים‬
‫‪8.1‬‬
‫חוגים פשוטים‬
‫בסעיף הראשון נתן כמה דוגמאות לחוגים פשוטים‪ ,‬ארטיניים ולא ארטיניים‪ .‬חוג פשוט הוא‬
‫חוג )עם יחידה( שאין לו אידיאלים אמיתיים‪ .‬נתחיל בדוגמא קיצונית לחוגים פשוטים‪.‬‬
‫הערה ‪ 8.1.1‬התכונות הבאות של חוג ‪ D‬שקולות זו לזו‪:‬‬
‫‪ D .1‬חוג עם חילוק )כלומר‪ ,‬כל האברים השונים מאפס הפיכים(‪,‬‬
‫‪ .2‬כל האברים השונים מאפס ב־‪ D‬הפיכים משמאל‪.‬‬
‫‪ .3‬אין ל־‪ D‬אידיאלים שמאליים לא־טריוויאליים‪.‬‬
‫‪ D .4‬פשוט כמודול מעל עצמו‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬ברור שהתכונה הראשונה גוררת את השניה‪ ,‬ושתכונות ‪ 3 ,2‬שקולות זו לזו‪ .‬ברור גם שתכונות ‪4,3‬‬
‫שקולות זו לזו‪ .‬כדי להוכיח ש־‪ 2‬גורר את ‪ ,1‬נניח שב־‪ D‬כל האברים הפיכים משמאל; יהי ‪,0 ̸= a ∈ D‬‬
‫אז יש ‪ b ∈ D‬כך ש־‪ ,ba = 1‬ויש ‪ c ∈ D‬כך ש־‪ .cb = 1‬לכן ‪ ,c = cba = a‬כלומר ‪ab = ba = 1‬‬
‫‬
‫ו־‪ a‬הפיך‪.‬‬
‫בפרט‪ ,‬כל חוג עם חילוק הוא פשוט‪ ,‬אבל ההיפך אינו נכון‪ :‬לפי טענה ‪ ,7.1.2‬חוג מטריצות‬
‫מעל חוג פשוט גם הוא חוג פשוט‪ .‬כלומר‪ ,‬כל החוגים מהצורה )‪ ,Mn (D‬כאשר ‪ D‬חוג עם‬
‫חילוק‪ ,‬הם פשוטים‪ .‬בדוגמאות האלה נעסוק בתת־סעיף ‪ .8.1.2‬חוג פשוט מהצורה )‪Mn (D‬‬
‫שהוא תחום )ללא מחלקי אפס(‪ ,‬הוא בהכרח חוג עם חילוק‪ .‬בסעיף ‪ 8.1.3‬נציג דוגמא לחוג‬
‫פשוט שהוא תחום‪ ,‬אבל אינו חוג עם חילוק‪.‬‬
‫בין החוגים הקומוטטיביים‪ ,‬חוגים פשוטים אינם אלא שדות‪ .‬יתרה מזו‪:‬‬
‫טענה ‪ 8.1.2‬המרכז של חוג פשוט הוא שדה‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי )‪ ,0 ̸= aZ(R‬כאשר ‪ R‬חוג שפוט‪ .‬אז ‪ Ra‬הוא אידיאל )דו־צדדי(‪ ,‬השונה ואפס‪ ,‬ולכן‬
‫שווה לכל החוג‪ .‬בפרט ‪ ,1 ∈ aR = Ra‬ולכן ‪ a‬הפיך בחוג‪ .‬אבל לכל ‪ ,x ∈ R‬מ־ ‪ xa = ax‬נובע‬
‫‬
‫‪ a−1 x = xa−1‬ו־‪.a−1 ∈ R‬‬
‫בעקבות טענה זו‪ ,‬כל חוג פשוט הוא אלגברה מעל שדה כלשהו‪ .‬אחת הגישות בתאוריה‬
‫של אלגברות פשוטות היא למיין את כל האלגברות הפשוטות )ממימד סופי( שהמרכז שלהן‬
‫הוא שדה נתון‪.‬‬
‫‪71‬‬
‫פרק ‪ .8‬המבנה של חוגים ארטיניים‬
‫‪ .8.1‬חוגים פשוטים‬
‫הערה ‪ 8.1.3‬יהי ‪ F‬שדה סגור אלגברית‪ .‬אין אלגברת חילוק ממימד סופי מעל ‪) F‬פרט כמובן‬
‫ל־ ‪ F‬עצמו(‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ש־‪ D‬אלגברת חילוק שהמרכז שלה ‪ K‬מכיל את ‪ ,F‬וכך ש־∞ < ] ‪ .[D : F‬אז ∞ < ] ‪[K : F‬‬
‫ולכן ‪ .K = F‬בנוסף‪ ,‬לכל ‪ F [d] ,d ∈ D‬הוא תת־חוג אלגברי של ‪ ,D‬ולכן הוא חוג עם חילוק‪ ,‬ומכיוון‬
‫‬
‫ש־]‪ F [d‬קומוטטיבי‪ ,‬הוא שדה‪ .‬לכן ‪ F [d] = F‬ו־ ‪.d ∈ F‬‬
‫אלגברת החילוק היחידה שהמרכז שלה הוא ‪ R‬היא אלגברת הקווטרניונים‪.‬‬
‫‪8.1.1‬‬
‫אלגברות ציקליות‬
‫נציג בניה מעניינת וכללית למדי לחוגים פשוטים‪.‬‬
‫∼ ⟩‪ .⟨σ‬יהי‬
‫‪Z/nZ‬‬
‫ציקלית‬
‫גלואה‬
‫חבורת‬
‫תהי ‪ K/F‬הרחבת גלואה של שדות‪ ,‬עם‬
‫=‬
‫× ‪ .b ∈ F‬נתבונן בחוג‬
‫‪n−1‬‬
‫‪A = K ⊕ Kz ⊕ · · · ⊕ Kz ,‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫עם פעולת הכפל המוגדרת לפי ‪ ,(az i )(a′ z i ) = aσ i (a′ )z i+i‬ו־‪ .z n = b‬בפרט ‪ z‬הפיך‪,‬‬
‫ו־)‪ zkz −1 = σ(k‬לכל ‪ .k ∈ K‬היחס ‪ z n = b‬נשמר תחת ההצמדה ב־‪ ,z‬מכיוון ש־‬
‫‪ .zbz −1 = σ(b) = b = z n = (zzz −1 )n = z n‬את האלגברה הזו‪ ,‬שהממד שלה מעל ‪ F‬הוא‬
‫‪ ,n2‬מסמנים ב־)‪ .(K/F, σ, b‬אלגברה מצורה זו נקראת אלגברה ציקלית‪.‬‬
‫טענה ‪ 8.1.4‬האלגברה )‪ (K/F, σ, b‬פשוטה‪.‬‬
‫∑‬
‫הוכחה‪ .‬כל איבר של ‪ A‬אפשר להציג באופן יחיד בצורה ‪ , ai z i‬כאשר ‪ .ai ∈ K‬ה'אורך' של האיבר‬
‫השונים מאפס בסכום הזה‪ .‬נניח ש־‪ ,0 ̸= I▹A‬ויהי ‪ 0 ̸= f ∈ I‬איבר בעל אורך‬
‫הוא מספר‬
‫המונומים ∑‬
‫‪i‬‬
‫= ‪ .f‬על־ידי כפל מימין בחזקה מתאימה של ‪ ,z‬אפשר להניח ש־‪ .a0 ̸= 0‬אם‬
‫מינימלי‪ .‬נכתוב ‪ai z‬‬
‫‪i‬‬
‫∑‪ i‬כך ש־‪ .ai0 ̸= 0‬נבחר ‪ k ̸∈ K σ 0‬כלשהו‪ .‬אז הקומוטטור‬
‫=‬
‫̸‬
‫‪0‬‬
‫יש‬
‫אחרת‪,‬‬
‫וסיימנו‪.‬‬
‫‪ ,f ∈ K‬הוא הפיך‬
‫‪0‬‬
‫∑‬
‫‪i‬‬
‫‪i‬‬
‫= ]‪ [f, k‬שייך ל־‪ ,I‬והוא קצר מ־ ‪ ,f‬בסתירה להנחה‪ .‬‬
‫= ]‪ai [z , k‬‬
‫החיבורי )‪ai (σ (k) − k‬‬
‫טענה ‪ 8.1.5‬המרכז של )‪ (K/F, σ, b‬הוא ‪.F‬‬
‫∑‬
‫‪∑ i‬‬
‫= ]‪,0 = [f, k‬‬
‫= ‪ f‬שייך למרכז‪ .‬לכל ‪ k ∈ K‬מתקיים )‪ai (σ i (k) − k‬‬
‫הוכחה‪ .‬נניח ש־ ‪ai z‬‬
‫ולכן לכל ‪ i ̸= 0‬בהכרח ‪ .ai = 0‬כלומר‪ .f ∈ K ,‬אבל כעת ‪ ,[z, f ] = σ(a0 ) − a0‬ולכן‬
‫‬
‫‪.a0 ∈ K σ = F‬‬
‫אלגברה ציקלית מממד ‪ n2 = 4‬נקראת אלגברת קווטרניונים‪ .‬לשם פשטות‪ ,‬נתאר את‬
‫האלגברות האלה בהנחה ש־‪.charF ̸= 2‬‬
‫דוגמא ‪) 8.1.6‬אלגברת קווטרניונים במאפיין שונה מ־‪ (2‬תהי ‪ K/F‬הרחבה ריבועית‪ .‬כידוע‪,‬‬
‫הרחבה כזו היא תמיד מהצורה ]‪ K = F [x‬כאשר ‪ .x2 = a‬האוטומופריזם ‪ σ : K→K‬מוגדר‬
‫על־ידי ‪ ,σ(x) = −x‬ולכן אפשר לתאר את האלגברה )‪ (a, b)2,F = (F [a]/F, σ, b‬כמרחב‬
‫וקטורי‬
‫‪Q = K ⊕ Kz = F ⊕ F x ⊕ F z ⊕ F xz,‬‬
‫עם הכפל המוגדר לפי היחסים ‪.zx = −xz ,z 2 = b ,x2 = a‬‬
‫על ‪ Q‬מוגדרת אינוולוציה )כלומר אנטי־אוטומורפיזם מסדר ‪ ,(2‬לפי‬
‫‪α + βx + γz + δxz = α − βx − γz − δxz.‬‬
‫‪72‬‬
‫◦‬
‫‪ .8.1‬חוגים פשוטים‬
‫פרק ‪ .8‬המבנה של חוגים ארטיניים‬
‫האינוולוציה מאפשרת להגדיר העתקה אדיטיבית ‪ t : Q→F‬לפי ¯‪ ,t(w) = w + w‬והעתקה‬
‫‪ ,n(w) = ww¯ = ww‬כך שמתקיים ‪ w2 − t(w)w + n(w) = 0‬לכל‬
‫כפלית ‪ n : Q→F‬לפי ¯‬
‫‪ .w ∈ Q‬אפשר לחשב ש־‬
‫‪n(α + βx + γz + δxz) = α2 − aβ 2 − bγ 2 + abδ 2 .‬‬
‫כעת יש שתי אפשרויות‪ .‬נאמר שהתבנית הריבועית )‪ n(w‬היא איזוטרופית אם יש פתרון‬
‫שונה מאפס למשוואה ‪ ,n(w) = 0‬ואנאיזוטרופית אחרת‪.‬‬
‫‪ .1‬אם תבנית הנורמה אנאיזוטרופית‪ w−1 = n(w)−1 w¯ ,‬לכל ‪ .w ̸= 0‬במקרה זה ‪ Q‬היא‬
‫אלגברת חילוק‪.‬‬
‫∼ ‪.Q‬‬
‫‪ .2‬אם התבנית איזוטרופית‪= M2 (F ) ,‬‬
‫הדרכה‪.‬‬
‫הראה שאפשר להציג את ‪ b‬בצורה‬
‫‪ ;b = α2 − β 2 a‬העזר באברים ‪.z − α ± βx‬‬
‫דוגמא ‪ 8.1.7‬אלגברת הקווטרניונים של המילטון היא האלגברה‬
‫‪H = R ⊕ Ri ⊕ Rj ⊕ Rij‬‬
‫עם פעולת הכפל המוגדרת לפי ‪ ,ji = −ij ,i2 = j 2 = −1‬המתקבלת מן הדוגמא הקודמת‬
‫כשנבחר ‪ a = b = −1‬מעל השדה ‪ .F = R‬מכיוון שתבנית הנורמה = )‪n(a + bi + cj + dij‬‬
‫‪ a2 + b2 + c2 + d2‬היא חיובית לחלוטין‪ ,‬זו אלגברת חילוק‪.‬‬
‫התרגיל הבא מכליל את הבניה של אלגברות ציקליות‪ ,‬מהרחבת שדות ציקלית להרחבת‬
‫גלואה כלשהי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 8.1.8‬נניח ש־‪ D‬היא אלגברה עם חילוק מעל המרכז )‪ .F = Z(D‬נניח ש־‬
‫‪ K ⊆ D‬הוא תת־שדה מקסימלי‪ ,‬וש־ ‪ K/F‬היא הרחבת גלואה‪ ,‬עם חבורת גלואה ‪.G‬‬
‫אלגברת חילוק כזו נקראת מכפלה משולבת‪ .‬הראה ש־‪ D‬הוא מודול שמאלי מעל‬
‫‪ ,K‬ושיש לו בסיס }‪ {zg : g ∈ G‬כך ש־ ‪ zg k = g(k)zg‬לכל ‪ g ∈ G‬ו־‪ .k ∈ K‬הראה‬
‫‪−1‬‬
‫‪ cg,h = zg zh zgh‬שייכים ל־ × ‪ ,K‬ומקיימים את הזהות ‪.cpq,r cp,q = p(cq,r )cp,qr‬‬
‫שהסקלרים‬
‫‪8.1.2‬‬
‫מטריצות מעל חוג עם חילוק‬
‫כידוע‪ ,‬חוג ארטיני )שמאלי( הוא חוג המקיים את תנאי השרשרת היורדת על אידיאלים‬
‫שמאליים‪ ,‬ובאופן שקול לזה‪ ,‬בכל קבוצת אידיאלים שמאליים שלו יש איבר מינימלי‪.‬‬
‫אלגברה לינארית היא התאוריה של מרחבים וקטוריים מעל שדה‪ .‬אפשר לפתח תורה‬
‫דומה גם מעל חוגים עם חילוק‪ ,‬אם מקפידים לקבוע את הצד שבו פועלים הסקלרים‪ .‬כך‬
‫למשל‪ ,‬כל אלגברה המכילה חוג עם חילוק ‪ D‬מהווה מודול )שמאלי( מעליו‪ .‬כל מודול מעל‬
‫חוג עם חילוק הוא חופשי‪ ,‬ולכן קיים לו מימד )שמאלי(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 8.1.9‬אם לאלגברה יש ממד סופי מעל חוג עם חילוק‪ ,‬אז היא ארטינית‪) .‬כל‬
‫אידיאל שמאלי הוא תת־מודול‪ ,‬והממד חוסם את האורך של שרשראות‪(.‬‬
‫תרגיל ‪ 8.1.10‬יהי ‪ D‬חוג עם חילוק‪ .‬נסמן ‪ ,Lv = Mn (D)v‬כאשר ‪ .v ∈ Dn‬זהו אידיאל‬
‫שמאלי של )‪ .Mn (D‬הראה שכל אידיאל שמאלי הוא סכום של אידיאלים מהצורה ‪.Lv‬‬
‫‪73‬‬
‫◦‬
‫פרק ‪ .8‬המבנה של חוגים ארטיניים‬
‫‪ .8.1‬חוגים פשוטים‬
‫טענה ‪ 8.1.11‬האורך של )‪ ,Mn (D‬כמודול מעל עצמו‪ ,‬הוא ‪.n‬‬
‫הוכחה‪ .‬אפשר להציג את החוג כסכום ישר של אידיאלים שמאליים‪,‬‬
‫‪Mn (D) = Mn (D)e11 ⊕ · · · ⊕ Mn (D)e1n .‬‬
‫‬
‫בפרט‪ ,‬לכל חוג עם חילוק ‪ ,D‬חוג המטריצות )‪ Mn (D‬הוא פשוט וארטיני‪ .‬המשפט‬
‫המרכזי שנוכיח בהמשך )משפט ‪ (8.2.16‬קובע שגם ההיפך נכון‪ :‬כל חוג פשוט ארטיני הוא‬
‫חוג מטריצות מעל חוג עם חילוק‪.‬‬
‫◦‬
‫טענה ‪ 8.1.12‬כל חוג מהצורה ) ‪ ,R = Mn1 (D1 )⊕· · ·⊕Mnt (Dt‬כאשר ‪ D1 , . . . , Dt‬הם חוגים‬
‫עם חילוק‪ ,‬הוא פשוט למחצה‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬כל חוג עם חילוק הוא פשוט למחצה )כי האידיאל השמאלי המינימלי היחיד הוא החוג עצמו(‪ .‬חוג‬
‫המטריצות )‪ Mn (D‬פשוט למחצה לפי תרגיל ‪ .8.1.10‬אם ‪ R1 , . . . , Rn‬פשוטים למחצה אז ‪ Ri‬פריק‬
‫לחלוטין כמודול מעל עצמו‪ ,‬ולכן גם מעל הסכום הישר ‪ ,R = R1 ⊕ · · · ⊕ Rn‬הפועלת על ‪ Ri‬לפי‬
‫‬
‫הרכיב ה־‪ .i‬זה מספק הצגה של ‪ R‬כסכום ישר של מודולים פריקים לחלוטין מעל עצמו‪.‬‬
‫את הכיוון ההפוך )כל חוג פשוט למחצה הוא מכפלה של חוגי מטריצות מעל חוגים עם‬
‫חילוק( נראה במשפט ‪.8.4.11‬‬
‫‪8.1.3‬‬
‫אלגברת וייל‬
‫אלגברת וייל‪ ,‬שנבנה בתת־הסעיף הזה‪ ,‬היא אלגברה פשוטה שאינה ארטינית‪.‬‬
‫דוגמא ‪ 8.1.13‬נגדיר את אלגברת וייל ‪ A1‬כחוג הנוצר על ידי היוצרים ‪ x, y‬עם יחס אחד‪:‬‬
‫;⟩‪A1 = F ⟨x, y | yx − xy = 1‬‬
‫לכן ‪F [x]y j‬‬
‫∑‬
‫תרגיל ‪8.1.14‬‬
‫= ‪F xi y j‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪d‬‬
‫‪f‬‬
‫‪dx‬‬
‫∑‬
‫= ‪.A1‬‬
‫= ] ‪ [y, f‬לכל‬
‫מדובר בנגזרת הפורמלית‬
‫‪nxn−1‬‬
‫= ]‪ [g, x‬לכל ]‪ .g ∈ F [y‬הדרכה‪.‬‬
‫‪d‬‬
‫]‪ ,f ∈ F [x‬ו־‪g‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪d n‬‬
‫‪n‬‬
‫= ‪x‬‬
‫‪[y, x ] = nxn−1 ; dx‬‬
‫באינדוקציה‪.‬‬
‫‪ A1 .2‬הוא תחום )היינו‪ ,‬אין בו מחלקי אפס(‪ .‬הדרכה‪ .‬נסמן ‪= fn‬‬
‫המקדם העליון ביחס ל־‪ ;y‬אז ‪.f g = f g‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i=0,...,n fi y‬‬
‫∑‬
‫‪ ,‬כלומר‬
‫‪ A1 .3‬אינו ארטיני‪ .‬הדרכה‪ .‬הראה ש־ · · · ⊃ ‪.A1 ⊃ A1 y ⊃ A1 y 2‬‬
‫‪ .4‬ל־ ‪ A1‬אין אידיאלים שמאליים מינימליים‪.‬‬
‫‪∑ i‬‬
‫≠ ‪ ,0‬אז‬
‫‪ .5‬אם ‪ charF = 0‬אז ‪ A1‬אלגברה פשוטה‪ .‬הדרכה‪ .‬אם ‪fi y ∈ I▹A1‬‬
‫גזירה חוזרת לפי ‪ x‬מספקת ערך ]‪ ,0 ̸= g ∈ I ∩ F [y‬וגזירה לפי ‪ y‬מספקת סקלר שונה‬
‫מאפס ב־‪ .I‬הערה‪ .‬במאפיין ‪ ⟨xp − x − a, y p − b⟩▹A1 ,p‬לכל ‪.a, b ∈ F‬‬
‫‪ .6‬אין שיכון של ‪ A1‬לאלגברת מטריצות מעל חוג קומוטטיבי ממאפיין אפס‪ .‬הדרכה‪.‬‬
‫העקבה‪.‬‬
‫‪74‬‬
‫‪ .8.2‬חוגים פרימיטיביים‬
‫פרק ‪ .8‬המבנה של חוגים ארטיניים‬
‫תרגיל ‪ 8.1.15‬יהי ‪ R‬חוג כלשהו‪ .‬יהי ‪ σ : R→R‬אוטומורפיזם‪ .‬העתקה אדיטיבית ‪δ : R→R‬‬
‫המקיימת )‪ δ(ab) = σ(a)b + aδ(b‬נקראת ‪σ‬־גזירה )כאשר ‪σ ,σ = idR‬־גזירה נקראת‬
‫סתם גזירה(‪ .‬נסמן ב־]‪ R[x; σ, δ‬את חוג הפולינומים ב־]‪ R[x‬עם החיבור הרגיל והכפל‬
‫)‪ xa = σ(a)x + δ(a‬לכל ‪ .a ∈ R‬חוג זה נקרא הרחבת ‪ Ore‬של ‪.R‬‬
‫‪ .1‬הצג את אלגברת וייל כמקרה פרטי של הבניה הזו‪.‬‬
‫‪ .2‬הראה שאם הגזירה אינה פנימית )גזירה מהצורה ‪ (δ(a) = ba − ab‬ו־‪ R‬שדה אז‬
‫]‪ R[x; σ, δ‬פשוט )למעשה די להניח ש־‪ R‬פשוט(‪.‬‬
‫‪ .3‬נניח ש־‪ R‬חוג עם חילוק‪ .‬הראה שעל־ידי החלפת משתנים מתאימה אפשר‬
‫להניח ש־‪ σ = id‬או ש־‪ .δ = 0‬הדרכה‪ .‬נסמן )‪ .F = Z(R‬אם יש ‪ a ∈ F‬כך‬
‫∼ ]‪ .R[x; σ, δ‬אחרת‬
‫ש־‪ ,σ(a) ̸= a‬כך )‪ x′ = x + (a − σ(a))−1 δ(a‬והראה ש־]‪= R[x′ ; σ, 0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ σ‬הוא הזהות על ‪ ;F‬לפי משפט סקולם־נתר )תרגיל ‪ ,(8.3.9‬יש ‪ u‬כך ש־ ‪σ(c) = ucu‬‬
‫∼ ]‪.R[x; σ, δ‬‬
‫לכל ‪ ,c ∈ R‬ואז ]‪= R[u−1 x; 1; u−1 δ‬‬
‫‪8.2‬‬
‫חוגים פרימיטיביים‬
‫בסעיף זה נעסוק בחוגים פרימיטיביים‪ ,‬שהם החוגים המתאימים ביותר להפעלת משפט‬
‫הצפיפות‪.‬‬
‫‪8.2.1‬‬
‫◦‬
‫מודולים נאמנים‬
‫הגדרה ‪ 8.2.1‬יהי ‪ M‬מודול מעל חוג ‪.R‬‬
‫‪.{a : aM = 0} ⊆ R‬‬
‫המאפס של ‪ M‬הוא אוסף האברים = ) ‪Ann(M‬‬
‫תרגיל ‪ 8.2.2‬יהי ‪ M‬מודול מעל חוג ‪.R‬‬
‫◦‬
‫‪ ;Ann(M )▹R .1‬זהו אידיאל אמיתי אלא אם ‪.M = 0‬‬
‫‪ M .2‬הוא מודול מעל חוג המנה ‪ ,R/I‬ביחס לפעולה ‪ ,(a + I)x = ax‬אם ורק אם‬
‫) ‪.I ⊆ Ann(M‬‬
‫‪ R/Ann(M ) .3‬היא המנה המינימלית של ‪ R‬ש־ ‪ M‬מודול מעליה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 8.2.3‬מודול ‪ M‬מעל חוג ‪ R‬הוא נאמן אם ‪.Ann(M ) = 0‬‬
‫)כל מודול מעל חוג מנה של ‪ R‬אפשר לראות גם כמודול מעל החוג‪ ,‬אבל רק מודולים‬
‫נאמנים משקפים את המבנה האמיתי של החוג עצמו‪ ,‬ולא של חוגי המנה שלו‪(.‬‬
‫את המאפס של מודול יש להשוות למאפס של איבר במודול‪ :‬אם ‪ M‬מודול מעל ‪,R‬‬
‫אז לכל ‪ ;Ann(x) = {a ∈ R : ax = 0} ,x ∈ M‬זהו אידיאל שמאלי של ‪ ,R‬שאינו בהכרח‬
‫דו־צדדי‪.‬‬
‫ˆ‬
‫במשפט הצפיפות הכללי עסקנו בתמונה של ‪ R‬בתוך ) ‪ ,R = End(MT‬כאשר ‪ R M‬מודול‬
‫שמאלי מעל ‪ R‬ו־) ‪.T = End(R M‬‬
‫טענה ‪ 8.2.4‬הגרעין של ˆ‬
‫‪ R→R‬הוא המאפס }‪.Ann(M ) = {a ∈ R : aM = 0‬‬
‫ˆ‬
‫‪ R ,→ R‬אם ורק אם ‪ R M‬נאמן‪.‬‬
‫‪75‬‬
‫בפרט‪,‬‬
‫‪ .8.2‬חוגים פרימיטיביים‬
‫‪8.2.2‬‬
‫פרק ‪ .8‬המבנה של חוגים ארטיניים‬
‫מודולים פשוטים‬
‫לפני שנפעיל את משפט הצפיפות עבור מודולים פשוטים‪ ,‬נציין כמה תכונות של מודולים‬
‫כאלה‪.‬‬
‫תרגיל ‪8.2.5‬‬
‫‪ .1‬כל מודול פשוט הוא ציקלי‪.‬‬
‫‪ .2‬מודול ציקלי איזומורפי למודול מהצורה ‪ R/L‬כאשר ‪ L‬אידיאל שמאלי של ‪.R‬‬
‫‪ .3‬מודול המנה ‪ R/L‬הוא פשוט אם ורק אם ‪ L‬אידיאל שמאלי מקסימלי‪.‬‬
‫תרגיל ‪) 8.2.6‬חוג האנדומורפיזמים של מודול ציקלי( יהי ‪ L ≤ℓ R‬אידיאל שמאלי‪ .‬נסמן‬
‫}‪ .L∗ = {a ∈ R : La ⊆ L‬הוכח ש־ ∗‪ L‬הוא תת־החוג המקסימלי של ‪ R‬שבו ‪ L‬הוא‬
‫אידיאל דו־צדדי‪.‬‬
‫הראה שכל אנדומורפיזם של המודול הציקלי ‪ M = R/L‬הוא מהצורה ‪ra : x +‬‬
‫‪ L 7→ xa + L‬עבור ∗‪ ,x ∈ L‬והסק ש־ ‪ .End(R M ) = (L∗ /L)op‬נסמן = ‪La−1‬‬
‫}‪ ;{x ∈ R : xa ∈ L‬זהו אידיאל שמאלי‪ ,‬המכיל את ‪ L‬אם ∗‪ .a ∈ L‬האנדומורפיזם‬
‫‪ (a ∈ L∗ ) ra‬הוא חד־חד־ערכי אם ורק אם ‪ ;La−1 = L‬ו־ ‪ ra‬על אם ורק אם ‪Ra‬‬
‫קו־מקסימלי ביחס ל־‪.L‬‬
‫∗‬
‫מצא קשר בין האידיאלים השמאליים של ‪ L /L‬לבין האידיאלים השמאליים של ‪R/L‬‬
‫)לפי הלמה של שור‪ ,8.2.12 ,‬אם ב־‪ R/L‬אין אידיאלים מקסימליים אז גם ב־‪ L∗ /L‬אין‬
‫אידיאלים מקסימליים(‪.‬‬
‫‪8.2.3‬‬
‫פרימיטיביות‬
‫הגדרה ‪ 8.2.7‬חוג שיש לו מודול פשוט נאמן נקרא חוג פרימיטיבי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 8.2.8‬המאפס של מודול פשוט ‪ ,R/L‬היינו }‪ ,Ann(R/L) = {a : aR ⊆ L‬הוא‬
‫האידיאל הדו־צדדי המקסימלי המוכל ב־‪.L‬‬
‫בפרט‪ ,‬מודול מהצורה ‪ R/L‬הוא נאמן אם ורק אם ‪ L‬אינו מכיל אף אידיאל דו־צדדי‬
‫)שונה מאפס(‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 8.2.9‬חוג הוא פרימיטיבי אם ורק אם יש לו אידיאל שמאלי מקסימלי שאינו מכיל אף‬
‫אידיאל דו־צדדי‪.‬‬
‫◦‬
‫טענה ‪ 8.2.10‬כל חוג פשוט הוא פרימיטיבי‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ L‬אידיאל שמאלי מקסימלי )קיים לפי הלמה של צורן(; המנה ‪ R/L‬היא מודול פשוט‪ ,‬שהוא‬
‫‬
‫נאמן כי המאפס שלו‪ ,‬שהוא אידיאל‪ ,‬מוכרח להיות שווה לאפס‪.‬‬
‫טענה ‪ 8.2.11‬חוג פרימיטיבי קומוטטיבי הוא שדה‪.‬‬
‫‬
‫הוכחה‪ .‬לפי מסקנה ‪.8.2.9‬‬
‫משפט הצפיפות הכללי חל כאשר ‪ M‬מודול פריק לחלוטין; כלומר‪ ,‬סכום של תת־מודולים‬
‫פשוטים‪ .‬אם נניח ש־ ‪ M‬פשוט‪ ,‬נקבל במשפט הצפיפות תכונות נוספות ובלתי צפויות‪ .‬המפתח‬
‫לכך הוא הלמה הבאה‪.‬‬
‫‪76‬‬
‫‪ .8.2‬חוגים פרימיטיביים‬
‫פרק ‪ .8‬המבנה של חוגים ארטיניים‬
‫למה ‪) 8.2.12‬הלמה של שור( יהי ‪ R M‬מודול פשוט‪ .‬אז ) ‪ T = End(R M‬הוא חוג עם חילוק‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ) ‪ ,0 ̸= f ∈ End(R M‬כלומר ‪ f : M →M‬הומומורפיזם שאינו אפס‪ .‬לכן ≤ ) ‪0 ̸= Im(f‬‬
‫‪ M‬ומכיוון ש־ ‪ M‬פשוט‪ f ,‬על; ו־ ‪ ,Ker(f ) < M‬ומאותה סיבה ‪ ,Ker(f ) = 0‬כך ש־ ‪ f‬חד־חד־ערכי‪.‬‬
‫‬
‫מכאן ש־ ‪ f‬הפיך‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 8.2.13‬כל חוג פרימיטיבי אפשר לשכן בחוג אנדומורפיזמים של מרחב וקטורי מעל חוג‬
‫עם חילוק‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ M‬מודול פשוט ונאמן מעל ‪ .R‬לפי טענה ‪ˆ = End(MD ) ,8.2.4‬‬
‫‪ R ,→ R‬כאשר = ‪D‬‬
‫‬
‫) ‪ End(R M‬הוא חוג עם חילוק לפי הלמה של שור‪.‬‬
‫משפט ‪) 8.2.14‬משפט הצפיפות של ג'ייקובסון( יהי ‪ R M‬מודול פשוט ונאמן מעל חוג ‪ .R‬יהיו‬
‫‪ x1 , . . . , xn ∈ M‬בלתי תלויים מעל ) ‪ ,D = End(R M‬ו־ ‪ ;y1 , . . . , yn ∈ M‬אז קיים ‪ r ∈ R‬כך‬
‫ש־ ‪.rxi = yi‬‬
‫◦‬
‫הוכחה‪ .‬נתונים ‪ x1 , . . . , xn ∈ M‬בלתי תלויים מעל ‪ ,D‬שהוא חוג עם חילוק לפי הלמה של‬
‫שור‪ .‬לכן אפשר להשלים את הקבוצה לבסיס של ‪ M‬מעל ‪ ,T‬ולהגדיר ) ‪ f ∈ End(MD‬לפי‬
‫‪ f (xi ) = yi‬ו־‪ f (x) = 0‬לשאר אברי הבסיס‪ .‬מכיוון ש־ ‪ M‬פשוט‪ ,‬הוא פריק לחלוטין‪ .‬לפי‬
‫‬
‫משפט הצפיפות הכללי‪ ,‬יש ‪ r ∈ R‬כך ש־ ‪ ,rxi = f (xi ) = yi‬כדרוש‪.‬‬
‫להלן גרסה חזקה של משפט ‪:8.2.14‬‬
‫מסקנה ‪ 8.2.15‬יהי ‪ R M‬מודול פשוט ונאמן מעל חוג ‪ .D = End(R M ) ,R‬אם ‪,[M : D] = n‬‬
‫∼ˆ‬
‫∼ ‪.R‬‬
‫‪=R‬‬
‫אז )‪= Mn (D‬‬
‫◦‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ x1 , . . . , xn‬בסיס של ‪ M‬מעל ‪ ,D‬ויהי ˆ‬
‫‪ .h ∈ R‬נבחר ) ‪ ,yi = h(xi‬אז לפי משפט הצפיפות‬
‫יש ‪ r ∈ R‬כך ש־) ‪ rˆ(xi ) = rxi = yi = h(xi‬לכל ‪ .i‬לכן ‪ rˆ = h‬על אברי הבסיס‪ ,‬ומכאן ש־ˆ‪.h = r‬‬
‫‬
‫∼ ‪.R‬‬
‫משפט ‪) 8.2.16‬משפט ודרברן־ארטין( יהי ‪ R‬חוג פרימיטיבי ארטיני‪ .‬אז )‪= Mn (D‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי טענה ‪ R ,8.2.10‬פרימיטיבי‪ ,‬ולכן יש לו מודול פשוט נאמן‪ .‬לפי הלמה של שור = ‪D‬‬
‫) ‪ End(R M‬הוא חוג עם חילוק‪ ,‬ו־ ) ‪ˆ = End(MD‬‬
‫‪ ;R ⊆ R‬לפי משפט הצפיפות‪ R ,‬צפוף שם‪ .‬כדי‬
‫ליישם את המסקנה‪ ,‬מספיק להראות ש־∞ < ]‪ .[M : D‬אחרת‪ ,‬יש קבוצה בלתי תלויה ‪ x1 , x2 , . . .‬ב־ ‪M‬‬
‫מעל ‪ ,D‬ואם ניקח )} ‪ Lm = Ann({x1 , . . . , xm‬נקבל שרשרת יורדת ‪ .· · · ⊆ L2 ⊆ L1‬לכל ‪ m‬יש‬
‫‪ r ∈ R‬כך ש־‪ rx1 = · · · = rxm = 0‬ו־‪ ,rxm+1 = xm+1 ̸= 0‬ובפרט ‪ .r ̸∈ Lm+1 ,r ∈ Lm‬לכן‬
‫‬
‫השרשרת יורדת ממש‪ ,‬וזו סתירה לארטיניות של ‪.R‬‬
‫המקרה הכללי אינו רחוק ממשפט ‪:8.2.16‬‬
‫משפט ‪ 8.2.17‬יהי ‪ R‬חוג פרימיטיבי שמרכזו השדה ‪ .F‬או שקיים חוג עם חילוק ‪) D‬עם אותו מרכז( כך‬
‫ש־)‪ ,R = Mn (D‬או שלכל ‪ n‬יש ל־‪ R‬תת־חוג ש־) ‪ Mn (F‬הוא תמונה הומומורפית שלו‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬כמו במשפט ‪ ,8.2.16‬יש ל־‪ R‬מודול פשוט ונאמן ‪ ,M‬ו־) ‪ D = End(R M‬הוא חוג עם חילוק‪,‬‬
‫מכיוון ש־ ‪ M‬אינו סופי‬
‫ש־ ‪ M‬הוא מודול ימני מעליו‪ .‬אם ‪ M‬סופי מעל ‪ ,D‬סיימנו‪ .‬יהי ‪ n‬כלשהו‪∑ .‬‬
‫= ‪ .Mn‬נתבונן ב־‬
‫מעל ‪ ,D‬יש קבוצה בלתי תלויה ‪ .x1 , . . . , xn ∈ MD‬נסמן ‪xi D ⊆ M‬‬
‫} ‪ .Rn = {r ∈ R : rMn ⊆ Mn‬זה תת־חוג של ‪ ,R‬ו־ ‪ Mn‬מודול מעליו‪ .‬לכן מוגדר הומומורפיזם‬
‫)‪ .R→End((Mn )D ) = Mn (D‬ההומומורפיזם הזה הוא על‪ ,‬משום שכל פעולה על ‪ Mn‬אפשר לממש‬
‫על־ידי איבר של ‪ ,R‬השייך ל־ ‪ Rn‬לפי ההגדרה‪ .‬כדי לסיים אפשר לקחת את התמונה ההפוכה של ) ‪Mn (F‬‬
‫‬
‫ב־)‪ ,Mn (D‬שהיא תת־חוג של ‪.Rn‬‬
‫‪77‬‬
‫◦‬
‫‪ .8.2‬חוגים פרימיטיביים‬
‫‪8.2.4‬‬
‫פרק ‪ .8‬המבנה של חוגים ארטיניים‬
‫דוגמאות לחוגים פרימיטיביים‬
‫היפוך של משפט הצפיפות‪ ,‬על־ידי זיהוי תת־חוגים צפופים של חוג אנדומורפיזמים‪ ,‬מספק‬
‫דרך קלה לבנות חוגים פרימיטיביים‪ .‬יהיו ‪ F‬שדה‪ F V ,‬מרחב וקטורי‪ .‬נקבע טרנספורמציות‬
‫‪ ,ri : V →V‬ונגדיר } ‪ ,R = F {r1 , . . . , rn‬כלומר תת־האלגברה של ) ‪ End(VF‬הנוצרת על־ידי‬
‫האברים ‪ .ri‬הפעולה היא זו המושרית מפעולת ) ‪ ,End(VF‬היינו הרכבה בסדר הרגיל‪.‬‬
‫◦‬
‫טענה ‪ 8.2.18‬אם ) ‪ R ⊆ End(V‬פועל טרנזיטיבית על }‪ V −{0‬אז ‪ R‬פרימיטיבי‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬מכיוון ש־) ‪ ,R ⊆ End(V‬המודול ‪ V‬נאמן כעניין של הגדרה; אם הפעולה טרנזיטיבית אז המודול‬
‫‬
‫פשוט לפי תרגיל ‪.1.1.12‬‬
‫תרגיל ‪ 8.2.19‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי ממימד אינסופי ‪.α‬‬
‫‪ .1‬הראה ש־ ‪ V‬מודול פשוט ונאמן מעל ) ‪ ,End(V‬ולכן ) ‪ End(V‬פרימיטיבי‪.‬‬
‫‪ .2‬הראה ש־) ‪ End(V‬אינו פשוט‪ .‬הדרכה‪ .‬תהי ‪ β < α‬עוצמה אינסופית כלשהי; הראה‬
‫ש־}‪ Iβ = {x ∈ End(V ) : dim Im(x) < β‬הוא אידיאל אמיתי‪.‬‬
‫‪ .3‬ל־) ‪ End(V‬יש אידיאל שמאלי מינימלי‪ .‬הדרכה‪ .‬לכל תת־מרחב ‪LV0 = ,V0 ≤ V‬‬
‫}‪ {x ∈ End(V ) : x(V0 ) = 0‬הוא אידיאל שמאלי‪ .‬אם ‪ ,dim(V /V0 ) = 1‬זהו אידיאל‬
‫שמאלי מינימלי‪.‬‬
‫‪ End(V ) .4‬אינו נתרי ואינו ארטיני‪.‬‬
‫כדי לראות את אלגברת וייל ‪ A1‬מתת־סעיף ‪ 8.1.3‬בהקשר של הבניה הכללית‪ ,‬נסמן‬
‫‪d‬‬
‫‪ .Y f = dx‬העתקות‬
‫]‪ V = F [x‬ונגדיר את ההעתקות ) ‪ X, Y ∈ End(V‬לפי ‪ Xf = xf‬ו־ ‪f‬‬
‫אלו מקיימות ‪ ,(Y X − XY )f = (xf )′ − xf ′ = f‬כלומר ‪.Y X − XY = 1‬‬
‫∼ ‪ .A1‬הדרכה‪ .‬ההעתקה ‪ y 7→ Y ,x 7→ X‬מראה‬
‫תרגיל ‪= F [X, Y ] ⊆ End(F [x]) 8.2.20‬‬
‫ש־] ‪ F [X, Y‬היא מנה של ‪ .A1‬נראה שזהו למעשה איזומורפיזם‪ .‬במאפיין אפס אין מה להוכיח‬
‫∑‬
‫∑‬
‫אז‬
‫→‪αij xi y j 7‬‬
‫)כי הגרעין מוכרח להיות אפס(‪ .‬מעל כל שדה‪ ,‬אם ‪αij X i Y j = 0‬‬
‫∑‬
‫∑ ∑‬
‫‪d j‬‬
‫‪ j ( i αij xi )( dx‬לכל ]‪ ;g ∈ F [x‬בחר ‪ g = xj‬עבור ‪ j‬המינימלי עם ‪, αij xi ̸= 0‬‬
‫‪) g=0‬‬
‫וקבל סתירה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 8.2.21‬הוכח שבמאפיין אפס‪ F [X, Y ] ,‬פועלת טרנזיטיבית על ]‪ ,F [x‬והיא‬
‫פרימיטיבית לפי טענה ‪ .8.2.18‬הערה‪ .‬הראה שבמאפיין ‪ p‬הפעולה אינה טרנזיטיבית‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 8.2.22‬נגדיר ] ‪ An (F ) = F [x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn‬להיות האלגברה הכפופה‬
‫ליחסים ‪ [yi , xi ] = 1‬כאשר כל שני יוצרים אחרים מתחלפים )זוהי אלגברת וייל ה־‬
‫‪n‬־ית(‪ .‬הראה ש־ ‪ An‬פשוטה‪.‬‬
‫‪78‬‬
‫פרק ‪ .8‬המבנה של חוגים ארטיניים‬
‫‪8.3‬‬
‫‪ .8.3‬חוגים ארטיניים ראשוניים‬
‫חוגים ארטיניים ראשוניים‬
‫הגדרה ‪ 8.3.1‬חוג ‪ R‬הוא ראשוני אם לכל שני אידיאלים ‪ ,A, B ̸= 0‬גם ‪.AB ̸= 0‬‬
‫טענה ‪ 8.3.2‬כל חוג פרימיטיבי הוא ראשוני‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ M‬מודול פשוט ונאמן מעל ‪ ,R‬ויהיו ‪ A, B ̸= 0‬אידיאלים של ‪ .R‬יש ‪ ,0 ̸= b ∈ B‬ומכיוון‬
‫ש־ ‪ M‬נאמן‪ ,0 ̸= bM ⊆ BM ,‬ולכן ‪ ;0 ̸= BM ≤ M‬אבל ‪ M‬פשוט‪ ,‬ולכן ‪ .BM = M‬באותו‬
‫‬
‫אופן גם ‪ ,ABM = AM ̸= 0‬ולכן ‪.AB ̸= 0‬‬
‫מתברר שלאידיאלים שמאליים מינימליים יש תפקיד חשוב ביותר‪ ,‬אם הם קיימים‪.‬‬
‫נזכיר ש־)‪ soc(R R‬הוא סכום תת־המודולים הפשוטים‪ ,‬כלומר סכום האידיאלים השמאליים‬
‫המינימליים; לכן יש לחוג ‪ R‬אידיאל שמאלי מינימלי‪ ,‬אם ורק אם ‪.soc(R) ̸= 0‬‬
‫תרגיל ‪ 8.3.3‬לכל אידיאל שמאלי מינימלי ‪ L‬ולכל ‪ ,a ∈ R‬או ש־‪ La = 0‬או ש־‪La‬‬
‫מינימלי‪ .‬הדרכה‪ .‬יש הומומורפיזם של מודולים ‪ L→La‬המוגדר לפי ‪ ,x 7→ xa‬שהוא או אפס או‬
‫איזומורפיזם‪.‬‬
‫טענה ‪ 8.3.4‬יהי ‪ R‬חוג ראשוני שיש לו אידיאל שמאלי מינימלי ‪.L ̸= 0‬‬
‫◦‬
‫‪ R .1‬פרימיטיבי‪.‬‬
‫‪ L .2‬הוא המודול הפשוט והנאמן היחיד של ‪.R‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי המינימליות‪ L ,‬מודול פשוט‪ .‬נסמן )‪ ,A = Ann(L‬אז ‪ A(LR) = (AL)R = 0‬ולכן‬
‫‪ ,A = 0‬כלומר ‪ L‬נאמן‪ .‬מכאן ש־‪ R‬פרימיטיבי‪ .‬כעת יהי ‪ M‬מודול פשוט ונאמן כלשהו‪ .‬אז ‪LM ̸= 0‬‬
‫‬
‫∼ ‪.M‬‬
‫כי ‪ M‬נאמן‪ ,‬ולכן קיים ‪ x ∈ M‬כך ש־ ‪ ,Lx = M‬שהרי ‪ M‬פשוט‪ .‬לפי תרגיל ‪= L ,8.3.3‬‬
‫∼ ‪ .R‬בפרט‪ ,‬בין החוגים הארטיניים‪,‬‬
‫מסקנה ‪ 8.3.5‬יהי ‪ R‬חוג ראשוני ארטיני‪ .‬אז )‪= Mn (D‬‬
‫ראשוני = פרימיטיבי = פשוט‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬מכיוון ש־‪ R‬ארטיני יש לו אידיאל שמאלי מינימלי‪ .‬לפי טענה ‪ R 8.3.4‬פרימיטיבי‪ ,‬ולכן חל‬
‫‬
‫משפט ‪.8.2.16‬‬
‫מסקנה ‪ 8.3.6‬יהי ‪ R‬חוג ארטיני‪ .‬כל אידיאל ראשוני של ‪ R‬הוא מקסימלי‪) .‬השווה לטענה ‪5.1.9‬‬
‫מהקורס הקומוטטיבי‪(.‬‬
‫טענה ‪ 8.3.7‬לכל חוג ‪ soc(R) ,R‬הוא אידיאל דו־צדדי )או ‪ R‬כולו(‪.‬‬
‫שמאלי מינימלי ‪ L‬ולכל ‪ ,a ∈ R‬אם ‪ La ̸= 0‬אז הוא מינימלי‪ ,‬ולכן‬
‫אידיאל ∑‬
‫הוכחה‪ .‬לפי תרגיל ‪ ,8.3.3‬לכל∑‬
‫= ‪ ,soc(R)a‬כאשר הסכום על־פני האידיאלים השמאליים‬
‫= ‪La‬‬
‫לכל ‪L = soc(R) ,a ∈ R‬‬
‫‬
‫המינימליים‪ .‬לכן ‪.soc(R)▹R‬‬
‫טענה ‪ 8.3.8‬כל חוג פשוט עם אידיאל שמאלי מינימלי הוא ארטיני‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי טענה ‪ soc(R) ̸= 0 ,8.3.7‬ולכן ‪ soc(R) = R‬ו־‪ R‬פשוט למחצה‪.‬‬
‫‪79‬‬
‫‬
‫◦‬
‫פרק ‪ .8‬המבנה של חוגים ארטיניים‬
‫‪ .8.4‬חוגים ראשוניים למחצה‬
‫אם לסכם‪ ,‬קיבלנו את ההיררכיה הבאה למחלקות של חוגים‪:‬‬
‫)‪ = Mn (D‬פשוט ארטיני‬
‫‬
‫פשוט‬
‫‬
‫פרימיטיבי‬
‫‪hhh‬‬
‫‪hhhh‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪hhhh‬‬
‫‪ow hhh‬‬
‫ראשוני‪ W‬עם שמאלי מינימלי‬
‫‪WWWWW‬‬
‫‪WWWWWW‬‬
‫‪WWWW‬‬
‫‪WWW '/‬‬
‫‬
‫ראשוני‬
‫דוגמאות נגדיות לגרירות בכיוון ההפוך‪ End(V ) :‬מתרגיל ‪ 8.2.19‬הוא פרימיטיבי עם אידיאל‬
‫שמאלי מינימלי‪ ,‬אבל אינו פשוט ואינו ארטיני‪ .‬אלגברת וייל היא פשוטה אבל לא ארטינית‬
‫)ואף אין לה אידיאל שמאלי מינימלי(‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 8.3.9‬הוכח את משפט סקולם־נתר‪ :‬כל אוטומורפיזם של חוג פשוט ארטיני‪,‬‬
‫המשרה את אוטומורפיזם הזהות על המרכז‪ ,‬הוא פנימי )כלומר מהווה הצמדה באיבר‬
‫קבוע(‪ .‬הדרכה‪ .‬טענה ‪ 8.3.4‬והעובדה שחוג עם חילוק פשוט כמודול מעל עצמו‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 8.3.10‬הוכח את הלמה של בראוור‪ :‬יהי ‪ L‬אידיאל שמאלי מינימלי בחוג ‪ R‬כך‬
‫ש־‪ .L2 ̸= 0‬אז קיים אידמפוטנט ‪ e‬כך ש־‪ ;L = Re‬ואז ‪ eRe‬הוא חוג עם חילוק‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬לפי ההנחה קיים ‪ a ∈ L‬כך ש־‪ ,La ̸= 0‬ואז ‪ ,0 ̸= La ⊆ L2 ⊆ L‬ולפי המינימליות‬
‫‪ .L = La‬לכן ‪ a ∈ L = La‬ויש ‪ e ∈ L‬כך ש־‪ .a = ea‬נתבונן ב־}‪.Q = {x ∈ L : xa = 0‬‬
‫ברור ש־‪ Q ⊆ L‬הוא אידיאל שמאלי‪ ,‬אבל ‪ e ̸∈ Q‬ולכן ‪ ,Q ⊂ L‬ולפי המינימליות ‪ .Q = 0‬אבל‬
‫‪ ,(e2 − e)a = 0‬ומכאן ש־‪ ,e2 − e ∈ Q = 0‬כלומר ‪ e‬אידמפוטנט‪ .‬כעת ‪,0 ̸= e = e2 ∈ Re ⊆ L‬‬
‫ושוב לפי המינימליות ‪ ,L = Re‬כפי שרצינו‪.‬‬
‫יהי ‪ 0 ̸= ebe ∈ eRe‬איבר כלשהו‪ .‬אם ‪ Lb = 0‬אז ‪ ,ebe ∈ Lbe = 0‬בסתירה להנחה‪ ,‬ולכן‬
‫‪ .Lb = L‬כעת ‪ ,eRe · ebe = eRebe = eLbe = eLe = e(Re)e = eRe‬כלומר‪ ,‬ל־‪ eRe‬אין‬
‫אידיאלים שמאליים אמיתיים‪ ,‬ולכן כל איבר הפיך משמאל‪ .‬מכאן ש־‪ eRe‬חוג עם חילוק‪.‬‬
‫‪8.4‬‬
‫חוגים ראשוניים למחצה‬
‫נזכיר שהרדיקל הראשוני )‪ rad(R‬של חוג ‪ R‬שווה לחיתוך כל האידיאלים הראשוניים שלו‪.‬‬
‫בהגדרה ‪ 4.2.15‬קראנו לחוג קומוטטיבי ''ראשוני למחצה'' אם אין בו איברים נילפוטנטיים‪,‬‬
‫ואז ראינו שהרדיקל הראשוני של חוג כזה הוא אפס‪ .‬נאמץ תכונה זו כהגדרה למקרה הכללי‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 8.4.1‬חוג ‪ R‬נקרא ראשוני למחצה אם ‪.rad(R) = 0‬‬
‫ברור שכל חוג ראשוני הוא∏ראשוני למחצה‪ .‬אומרים שחוג ‪ R‬הוא מכפלה תת־ישרה של‬
‫החוגים ‪ Sλ‬אם יש שיכון ‪ ,R ,→ λ Sλ‬כך שהטלת התמונה על כל רכיב בנפרד היא על‪.‬‬
‫הערה ‪ R 8.4.2‬הוא ראשוני למחצה אם ורק אם הוא מכפלה תת־ישרה של המנות הראשוניות‬
‫שלו‪.‬‬
‫‪80‬‬
‫פרק ‪ .8‬המבנה של חוגים ארטיניים‬
‫‪8.4.1‬‬
‫◦‬
‫‪ .8.4‬חוגים ראשוניים למחצה‬
‫הרדיקל הוא נילי‬
‫למה ‪ 8.4.3‬בכל חוג ‪ rad(R) ,R‬הוא אידיאל נילי‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬זוהי מסקנה ‪ ,4.2.29‬הנכונה גם כשהחוג לא קומוטטיבי‪) .‬תמצית ההוכחה‪ :‬אם ‪ a‬אינו נילפוטנטי‪,‬‬
‫קח ‪ P‬מקסימלי ביחס לכך ש־ ‪ an ̸∈ P‬לכל ‪ ;n‬אידיאל כזה הוא ראשוני משום שאם ‪ A, B ⊃ P‬אז ‪AB‬‬
‫‬
‫נחתך עם ‪ S‬ולכן אינו מוכל ב־ ‪ .P‬מכיוון ש־ ‪ a ̸∈ P‬כאשר ‪ P‬ראשוני‪(.a ̸∈ rad(R) ,‬‬
‫בפרט‪ ,‬חוג שאין לו אידיאלים ניליים הוא ראשוני למחצה‪.‬‬
‫‪8.4.2‬‬
‫ראשוני למחצה = אין אידיאלים נילפוטנטיים‬
‫תרגיל ‪ 8.4.4‬בחוג אין אידיאלים נילפוטנטיים אם ורק אם ‪ A2 = 0‬גורר ‪ ,A = 0‬אם ורק‬
‫אם ‪ xRx ̸= 0‬לכל ‪ .x ̸= 0‬הדרכה‪ .‬אם ‪ xRx = 0‬אז ‪.(RxR)2 = RxRxR = 0‬‬
‫למה ‪ 8.4.5‬תהי ‪ x1 , x2 , . . .‬סדרת אברים בחוג ‪ ,R‬כך ש־ ‪ 0 ̸= xn+1 ∈ (Rxn R)2‬לכל ‪ .n‬אז‬
‫יש אידיאל ראשוני שאינו מכיל אף ‪.xn‬‬
‫◦‬
‫הוכחה‪ .‬כמו במסקנה ‪ :4.2.26‬יהי ‪ P‬אידיאל מקסימלי ביחס לתכונה ‪ xi ̸∈ P‬לכל ‪) i‬יש אידיאל כזה‬
‫כי ‪ 0‬מקיים את התנאי(; נניח ש־ ‪ ,A, B ⊃ P‬אז מכיוון ש־‪ Rxi+1 R ⊆ Rxi R‬לכל ‪ ,i‬קיים ‪ n‬כך‬
‫ש־‪ ,xn ∈ A, B‬ואז ‪ ,xn+1 ∈ xn Rxn ⊆ ARB = AB ⊆ P‬בסתירה להנחה‪ .‬לכן ‪ P‬ראשוני‪ .‬‬
‫משפט ‪ 8.4.6‬חוג הוא ראשוני למחצה אם ורק אם אין לו אידיאלים נילפוטנטיים‪.‬‬
‫◦‬
‫הוכחה‪ .‬ברור שכל אידיאל נילפוטנטי מוכל בכל אידיאל ראשוני‪ ,‬ולכן ב־‪ .rad(A) = 0‬מצד שני נניח‬
‫שלכל ‪ x ̸= 0‬גם ‪ ,xRx ̸= 0‬ונראה שהחוג ראשוני למחצה‪ .‬יהי ‪ .x0 ̸= 0‬נניח שבחרנו את ‪ ;xi ̸= 0‬לפי‬
‫ההנחה יש ‪ .0 ̸= xi+1 ∈ xi Rxi‬לפי למה ‪ ,8.4.5‬יש ראשוני ‪ P‬כך ש־ ‪ ,x0 ̸∈ P‬ואז )‪.x0 ̸∈ rad(A‬‬
‫‬
‫לכן ‪.rad(R) = 0‬‬
‫תרגיל ‪ 8.4.7‬חוג הוא ראשוני למחצה אם ורק אם ‪ L2 ̸= 0‬לכל אידיאל שמאלי ≤ ‪0 ̸= L‬‬
‫‪ .R‬הדרכה‪ .‬אם ‪ (Rx)2 = 0‬אז ‪.(RxR)2 = RxRxR = (Rx)2 R = 0‬‬
‫תרגיל ‪ 8.4.8‬בחוג ראשוני למחצה‪ ,‬אם ‪) AB = 0‬כאשר ‪ (B ≤ℓ R ,A ≤r R‬אז ‪.BA = 0‬‬
‫פתרון‪ (BA)2 = BABA = 0 .‬לפי ההנחה‪ ,‬ולכן ‪.BA = 0‬‬
‫תרגיל ‪ 8.4.9‬בהמשך לתרגיל ‪ ,8.3.10‬נניח ש־‪ R‬ראשוני למחצה‪ ,‬ויהי ‪ L = Re‬אידיאל‬
‫שמאלי מינימלי )כאשר ‪ e‬אידמפוטנט(‪ .‬אז ‪ eR‬אידיאל ימני מינימלי‪.‬‬
‫‪8.4.3‬‬
‫חוג ראשוני למחצה ארטיני‬
‫הערה ‪ 8.4.10‬בטענה ‪ 5.3.3‬הראינו שלחוג ארטיני קומוטטיבי יש מספר סופי של אידיאלים‬
‫ראשוניים‪ .‬טענה זו נכונה גם עבור חוגים לא קומוטטיביים‪ .‬ההוכחה חלה במקרה הזה מלה‬
‫במלה‪ ,‬פרט להחלפת טענה ‪ 5.1.9‬במסקנה ‪:8.3.6‬‬
‫אחרת‪ ,‬יהיו ‪ P1 , P2 , . . .‬אידיאלים ראשוניים שונים בחוג הארטיני ‪ .R‬נסמן ∩ ‪In = P1‬‬
‫‪ ,· · ·∩Pn‬אז ‪ · · · ⊆ I3 ⊆ I2 ⊆ I1‬היא שרשרת יורדת‪ ,‬המוכרחה לעצור לפי הארטיניות‪ .‬כלומר‪,‬‬
‫קיים ‪ n‬כך ש־ ‪ ,In = In+1‬היינו ‪.P1 · · · Pn ⊆ P1 ∩· · ·∩Pn ⊆ P1 ∩· · ·∩Pn ∩Pn+1 ⊆ Pn+1‬‬
‫מכיוון ש־ ‪ Pn+1‬ראשוני‪ ,‬יש ‪ i ≤ n‬כך ש־ ‪ ;Pi ⊆ Pn+1‬אבל לפי מסקנה ‪ Pi ,8.3.6‬מקסימלי‪ ,‬כך‬
‫ש־ ‪ ,Pi = Pn+1‬בסתירה להנחה‪.‬‬
‫‪81‬‬
‫◦‬
‫פרק ‪ .8‬המבנה של חוגים ארטיניים‬
‫‪ .8.5‬משפט הופקינס־לויצקי‬
‫המשפט החשוב הבא הוא גרסה לא קומוטטיבית של טענה ‪.5.3.4‬‬
‫משפט ‪ 8.4.11‬התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫◦‬
‫)‪ R (1‬פשוט למחצה‪.‬‬
‫)‪ R (2‬ראשוני למחצה ארטיני )שמאלי(‪.‬‬
‫)‪ R (3‬הוא מכפלה ישרה של מספר סופי של חוגי מטריצות מעל חוגים עם חילוק‪.‬‬
‫הוכחה‪ :(2) ⇐= (1) .‬נניח ש־‪ R‬פשוט למחצה; לפי הערה ‪ ,7.2.27‬יש אידיאלים שמאליים מינימליים‬
‫‪ L1 , . . . , Ln‬כך ש־ ‪ .R = L1 +· · ·+Ln‬מכאן ש־‪ ,ℓ(R) ≤ ℓ(L1 )+· · ·+ℓ(Lt ) = t‬כלומר ‪ R‬בעל‬
‫אורך סופי ולכן ארטיני‪ .‬נסמן ) ‪ ,Pi = Ann(Li‬אז ‪ Li‬הוא מודול פשוט ונאמן מעל ‪ .R/Pi‬מכאן ש־ ‪R/Pi‬‬
‫פרימיטיבי‪ ,‬ולכן ראשוני‪ .‬מאידך אם ) ‪ a ∈ ∩Pi = ∩Ann(Li‬אז ‪,a ∈ aR ⊆ aL1 + · · · + aLn = 0‬‬
‫ולכן ‪ :(3) ⇐= (2) .∩Pi = 0‬לפי טענה ‪ 8.4.10‬יש לחוג מספר סופי של אידיאלים ראשוניים‪ .‬לכל‬
‫אידיאל ראשוני ‪ R/Pi ,Pi‬הוא ארטיני ראשוני‪ ,‬ולכן איזומורפי לחוג מטריצות מעל חוג עם חילוק‪ ,‬ובפרט‬
‫∼ ‪ ,R‬כנדרש‪.‬‬
‫הוא פשוט; כלומר ‪ Pi‬מקסימלי‪ .‬לפי משפט השאריות הסיני‪= R/P1 × · · · × R/Pt ,‬‬
‫‬
‫טענה ‪ 8.1.12‬מוכיחה את )‪.(1) ⇐= (3‬‬
‫הערה ‪ 8.4.12‬תנאי )‪ (3‬במשפט ‪ 8.4.11‬הוא סימטרי להחלפת ימין־שמאל‪ ,‬ולכן התנאים‬
‫המופיעים בו שקולים גם ל־‬
‫) ‪ R (1′‬הוא סכום האידיאלים הימניים המינימליים שלו‪.‬‬
‫) ‪ R (2′‬ארטיני ימני וראשוני למחצה‪.‬‬
‫בפרט‪ ,‬עבור חוגים ראשוניים למחצה‪ ,‬ארטיניות שמאלית שקולה לארטיניות ימנית‪ .‬זה לא נכון‬
‫בדרך כלל‪ ,‬ראה תרגיל ‪.7.3.2‬‬
‫הערה ‪ 8.4.13‬בספרים אחדים מוגדר חוג פשוט למחצה כחוג שחיתוך האידיאלים המקסימליים‬
‫שלו הוא אפס; נאמר שזה "המובן החלש" של המונח‪ .‬חוג הוא פשוט למחצה במובן שלנו‪ ,‬אם‬
‫ורק אם הוא פשוט למחצה במובן החלש‪ ,‬וארטיני‪.‬‬
‫‪8.4.4‬‬
‫◦‬
‫מהמקרה הכללי לחוג ראשוני למחצה‬
‫טענה ‪ 8.4.14‬לכל חוג ‪ ,R‬המנה )‪ R/rad(R‬ראשונית למחצה )כלומר ‪.(rad(R/rad(R)) = 0‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן )‪ .N = rad(R‬לכל אידיאל ראשוני ‪ P ▹R‬מתקיים ‪ N ⊆ P‬ולכן ‪ P/N ▹R/N‬הוא‬
‫ראשוני‪ .‬לכן חיתוך כל האידיאלים הראשוניים של ‪ R/N‬שווה לחיתוך כל האידיאלים הראשוניים של ‪,R‬‬
‫‬
‫מודולו ‪ ,N‬והמנה הזו היא אפס‪.‬‬
‫◦‬
‫מסקנה ‪ 8.4.15‬יהי ‪ R‬חוג ארטיני‪ .‬אז )‪ R/rad(R‬פשוט למחצה‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי טענה ‪ R/rad(R) 8.4.14‬ראשוני למחצה‪ ,‬ולפי משפט ‪) 8.4.11‬ותרגיל ‪R/rad(R) ,(1.3.14‬‬
‫‬
‫פשוט למחצה‪.‬‬
‫‪82‬‬
‫פרק ‪ .8‬המבנה של חוגים ארטיניים‬
‫‪8.5‬‬
‫◦‬
‫‪ .8.5‬משפט הופקינס־לויצקי‬
‫משפט הופקינס־לויצקי‬
‫טענה ‪ 8.5.1‬בחוג ארטיני ‪ ,R‬כל אידיאל שמאלי נילי הוא נילפוטנטי‪) .‬השווה לטענה ‪(.5.2.7‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ N‬אידיאל שמאלי נילי‪ .‬מכיוון שהחוג ארטיני‪ ,‬השרשרת היורדת · · · ⊇ ‪N ⊇ N 2 ⊇ N 3‬‬
‫נעצרת‪ ,‬וקיים ‪ t‬כך ש־ ‪ .N t+1 = N t‬נסמן ‪ ,N ′ = N t‬אז ‪ .N ′2 = N ′‬נניח בשלילה ש־‪ .N ′ ̸= 0‬לפי‬
‫הארטיניות קיים אידיאל שמאלי ‪ 0 ̸= L ⊆ N‬שהוא מינימלי ביחס לתכונה ‪ .N ′ L = L‬לכל ‪a ∈ L‬‬
‫מתקיים ‪ ,N ′ (N ′ a) = N ′2 a = N ′ a‬אבל ‪ ;N ′ a ⊆ L‬אם ‪ N ′ a ̸= 0‬אז לפי המינימליות ‪,L = N ′ a‬‬
‫ולכן ‪ .a ∈ L = N ′ a‬מכאן שקיים ‪ x ∈ N ′‬כך ש־‪ ,a = xa‬אבל ‪ x‬נילי‪ ,‬ולכן ‪ 1 − x‬הפיך ו־‪,a = 0‬‬
‫‬
‫בסתירה להנחה ש־‪ .N ′ a ̸= 0‬מכאן ש־‪ ,N ′ L = 0‬ואז ‪ ,L = 0‬בסתירה להנחה ש־‪.L ̸= 0‬‬
‫)גם בחוג נתרי‪ ,‬כל אידיאל חד־צדדי נילי הוא נילפוטנטי‪ .‬לא נוכיח זאת כאן‪(.‬‬
‫תרגיל ‪ 8.5.2‬מודול ארטיני אינו יכול להכיל סכום ישר אינסופי של תת־מודולים‪ .‬הדרכה‪.‬‬
‫∑‬
‫∑‬
‫∑‬
‫אחרת · · · > ‪ i≥1 Ni > i≥2 Ni > i≥3 Ni‬היא שרשרת יורדת אינסופית‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 8.5.3‬יהי ‪ M‬מודול ארטיני פריק לחלוטין‪ .‬אז ∞ < ) ‪.ℓ(M‬‬
‫הוכחה‪ .‬כתוב את ) ‪ M = soc(M‬כסכום ישר של תת־מודולים פשוטים‪ ,‬לפי טענה ‪ .7.2.9‬הסכום מוכרח‬
‫‬
‫להיות סופי לפי תרגיל ‪ ,8.5.2‬ואז ‪.ℓ(M ) = ℓ(N1 ) + · · · + ℓ(Nt ) = t‬‬
‫משפט ‪) 8.5.4‬משפט הופקינס־לויצקי( כל חוג ארטיני הוא נתרי‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ R‬חוג ארטיני‪ .‬נסמן )‪ .N = rad(R‬לפי למה ‪ N ,8.4.3‬נילי‪ ,‬ומכאן שהוא נילפוטנטי לפי‬
‫טענה ‪ .8.5.1‬נניח ש־‪ .N n = 0‬נסמן ‪ .N 0 = R‬לכל ‪ N ,i ≥ 0‬מאפס את מודול המנה ‪,N i /N i+1‬‬
‫ולכן ‪ N i /N i+1‬הוא מודול מעל ‪ ,R/N‬שהוא חוג פשוט למחצה לפי מסקנה ‪ .8.4.15‬לפי טענה ‪7.2.28‬‬
‫)כל מודול מעל חוג פשוט למחצה ‪ R‬הוא פריק לחלוטין(‪ ,‬נובע מכך שכל ‪ N i /N i+1‬הוא פריק לחלוטין‪ .‬מכיוון ש־ ‪ N i‬ארטיני‬
‫)כתת־מודול של ‪ ,(R‬גם ‪ N i /N i+1‬ארטיני ולפי מסקנה ‪ 8.5.3‬האורך של ‪ N i /N i+1‬סופי‪ .‬מכאן נובע‬
‫שגם ∞ < ) ‪ .ℓ(R) = ℓ(R/N ) + ℓ(N/N 2 ) + · · · + ℓ(N n−1 /N n‬מכיוון שהאורך של ‪ R‬סופי‪,‬‬
‫‬
‫הוא נתרי לפי טענה ‪.1.3.8‬‬
‫‪8.6‬‬
‫הרדיקל של ג'ייקובסון‬
‫יהי ‪ R‬חוג כלשהו‪ .‬מגדירים את רדיקל ג'ייקובסון של החוג‪ ,Jac(R) ,‬להיות החיתוך של כל‬
‫האידיאלים השמאליים המקסימליים‪ .‬הרדיקל הזה מכיל את הרדיקל הראשוני )‪ ,rad(R‬ולא‬
‫מובטח שהוא נילי‪ .‬עם זאת‪ ,‬בכמה מקרים חשובים )‪ Jac(R‬נילי‪ ,‬ואף נילפוטנטי‪.‬‬
‫טענה ‪ 8.6.1‬התכונות הבאות שקולות )ומגדירות את ‪ P‬כאידיאל פרימיטיבי(‪:‬‬
‫‪ .1‬חוג המנה ‪ R/P‬פרימיטיבי‪.‬‬
‫‪ P .2‬מאפס מודול פשוט ‪.R M‬‬
‫‪ P .3‬הוא האידיאל הדו־צדדי המקסימלי המוכל באידיאל מקסימלי ‪.L‬‬
‫‪83‬‬
‫◦‬
‫◦‬
‫פרק ‪ .8‬המבנה של חוגים ארטיניים‬
‫‪ .8.6‬הרדיקל של ג'ייקובסון‬
‫הוכחה‪ .‬אם ‪ P‬מאפס מודול פשוט ‪ ,R M‬אז ‪ M‬מודול פשוט ונאמן מעל ‪ .R/P‬בכיוון ההפוך‪ ,‬נניח‬
‫ש־ ‪ R/P‬פרימיטיבי‪ ,‬אז יש מודול פשוט ונאמן ‪ .R/P M‬לפי ההנחה‪ ,‬המאפס של ‪ M‬מעל ‪ R/P‬הוא אפס‪,‬‬
‫ולכן המאפס שלו כמודול מעל ‪ R‬שווה ל־ ‪ .P‬אם ‪ N < M‬תת־מודול‪ ,‬אז ‪ ,P N ⊆ P M = 0‬ולכן ‪N‬‬
‫מודול מעל ‪ ,R/P‬אבל מכיוון ש־ ‪ M‬פשוט כמודול מעל ‪ ,R/P‬בהכרח ‪ .N = 0‬לכן ‪ M‬פשוט מעל ‪,R‬‬
‫ו־ ‪ P‬המאפס שלו‪ .‬השקילות של )‪ (2‬ו־)‪ (3‬נובעת מתרגיל ‪ :8.2.8‬המאפס של מודול פשוט ‪ ,R/L‬כאשר‬
‫‬
‫‪ L ≤ℓ R‬אידיאל שמאלי מקסימלי‪ ,‬הוא האידיאל הדו־צדדי המקסימלי המוכל ב־‪.L‬‬
‫מסקנה ‪ 8.6.2‬כל אידיאל מקסימלי הוא פרימיטיבי וכל אידיאל פרימיטיבי הוא ראשוני )בגלל‬
‫הטענה המקבילה על חוג המנה(‪.‬‬
‫טענה ‪ Jac(R) 8.6.3‬שווה לחיתוך האידיאלים הפרימיטיביים של ‪.R‬‬
‫הוכחה‪ .‬מחד‪ ,‬כל אידיאל פרימיטיבי מוכל באיזשהו אידיאל שמאלי מקסימלי לפי טענה ‪ .8.6.1‬מאידך‪ ,‬יהי‬
‫‪ P‬אידיאל פרימיטיבי‪ ,‬אז הוא המאפס של איזשהו מודול ‪ M = R/L‬עבור ‪ L‬שמאלי מקסימלי‪ ,‬ולכן‬
‫‬
‫‪ ,Jac(R)M ⊆ LM = 0‬ומכאן ש־ ‪.Jac(R) ⊆ Ann(M ) = P‬‬
‫מסקנה ‪ 8.6.4‬לכל חוג ‪ ,rad(R) ⊆ Jac(R) ,R‬כי כל האידיאלים הפרימיטיביים משתתפים‬
‫בחיתוך היוצר את הרדיקל‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 8.6.5‬בחוג ארטיני‪ ,Jac(R) = rad(R) ,‬משום שכל אידיאל ראשוני הוא פרימיטיבי‬
‫לפי מסקנה ‪.8.3.6‬‬
‫תרגיל ‪ 8.6.6‬לכל חוג ‪.Jac(R/Jac(R)) = 0 ,R‬‬
‫כדי ללמוד את הסדרה היורדת של החזקות של )‪ ,Jac(R‬נצטרך את הגרסה הבאה ללמה‬
‫של נקיימה )משפט ‪.(2.2.3‬‬
‫תרגיל ‪ 8.6.7‬למודול נוצר סופית יש תת־מודול מקסימלי‪ .‬הדרכה‪ .‬נכתוב ‪M = Rx1 +‬‬
‫‪ · · ·+Rxn‬עבור ‪ n‬מינימלי‪ .‬לפי הלמה של צורן קיים תת־מודול ‪ ,N ⊇ Rx1 +· · ·+Rxn−1‬שהוא‬
‫מקסימלי ביחס ל־ ‪ .xn ̸∈ N‬ברור ש־ ‪ N < M‬תת־מודול מקסימלי‪ .‬הערה‪ .‬אם איננו יודעים‬
‫ש־ ‪ M‬נוצר סופית‪ ,‬ההוכחה נכשלת משום שאין דרך למנוע מהאיחוד של שרשרת תת־מודולים‬
‫אמיתיים להיות המודול כולו‪.‬‬
‫הגרסה הקומוטטיבית של הלמה של נקיימה )מסקנה ‪ (2.2.4‬קבעה שלכל מודול נוצר‬
‫סופית ‪ M‬מעל חוג קומוטטיבי ‪ ,R‬קיים אידיאל מקסימלי ‪ A‬כך ש־ ‪ .AM ⊂ M‬מכיוון‬
‫שבמקרה הקומוטטיבי אין הבדל בין אידיאל קומוטטיבי למקסימלי‪ ,‬טענה זו שקולה לכך‬
‫ש־ ‪.J(R)M ⊂ M‬‬
‫◦‬
‫למה ‪) 8.6.8‬הלמה של נקיימה‪ ,‬המקרה הכללי( לכל מודול נוצר סופית ‪̸= 0‬‬
‫‪.J(R)M ⊂ M‬‬
‫‪RM‬‬
‫מתקיים‬
‫הוכחה‪ .‬יהי ‪ N < M‬תת־מודול מקסימלי )תרגיל ‪ ,(8.6.7‬אז ‪ M/N‬פשוט‪ ,‬ו־) ‪P = Ann(M/N‬‬
‫‬
‫פרימיטיבי‪ .‬אבל ‪ P M ⊆ N ̸= M‬לפי הגדרת ‪ ,P‬ולכן ‪.J(R)M ⊆ P M ̸= M‬‬
‫טענה ‪ 8.6.9‬יהי ‪ R‬חוג נתרי‪ .‬אם השרשרת‬
‫)‪· · · ⊆ J(R)3 ⊆ J(R)2 ⊆ J(R‬‬
‫עוצרת‪ ,‬אז היא עוצרת באפס ו־)‪ J(R‬נילפוטנטי‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נסמן )‪ .J = J(R‬נניח ש־ ‪ .J n = J n+1‬לפי הנתריות ‪ J‬נוצר סופית כמודול מעל ‪ ,R‬ולכן גם‬
‫‬
‫‪ J n‬נוצר סופית; אם ‪ J n ̸= 0‬אז ‪ ,J n+1 = JJ n < J n+1‬בסתירה להנחה‪ .‬מכאן ש־‪.J n = 0‬‬
‫∩‬
‫השערת ג'ייקובסון‪ ,‬שאם ‪ R‬נתרי ימני ושמאלי אז ‪ , J(R)n = 0‬עודנה פתוחה‪.‬‬
‫‪84‬‬
‫‪ .8.6‬הרדיקל של ג'ייקובסון‬
‫פרק ‪ .8‬המבנה של חוגים ארטיניים‬
‫‪8.6.1‬‬
‫המשפט העיקרי של ודרברן‬
‫‪8.6.2‬‬
‫חוגים פרימיטיביים למחצה‬
‫הגדרה ‪ 8.6.10‬חוג ‪ R‬הוא פרימיטיבי למחצה אם ‪.Jac(R) = 0‬‬
‫הערה ‪ 8.6.11‬חוג ‪ R‬הוא פרימיטיבי למחצה אם ורק אם הוא מכפלה תת־ישרה של המנות‬
‫הפרימיטיביות שלו )השווה להערה ‪ :8.4.2‬חוג הוא ראשוני למחצה אם ורק אם הוא מכפלה‬
‫תת־ישרה של המנות הראשוניות שלו(‪.‬‬
‫טענה ‪8.6.12‬‬
‫‪ .1‬כל חוג פרימיטיבי הוא פרימיטיבי למחצה‪.‬‬
‫‪ .2‬כל חוג פשוט למחצה )אפילו במובן החלש של הערה ‪ (8.4.13‬הוא פרימיטיבי למחצה‪.‬‬
‫‪ .3‬כל חוג פרימיטיבי למחצה הוא ראשוני למחצה‪.‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫‪ .1‬אידיאל האפס משתתף בחיתוך היוצר את )‪.Jac(R‬‬
‫‪ .2‬לפי ההנחה חיתוך האידיאלים המקסימליים הוא אפס‪ ,‬וכל אידיאל פרימיטיבי הוא מקסימלי‪.‬‬
‫‪.rad(R) ⊆ Jac(R) .3‬‬
‫‬
‫כעת נוכל להרחיב את הדיאגרמה שהצגנו קודם לכן‪:‬‬
‫)‪ = MUn (D‬פשוט ארטיני‬
‫‪U UU UU‬‬
‫‪lll‬‬
‫‪U UUU U‬‬
‫‪lll‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪U UUU U‬‬
‫‪ll‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫‪&.‬‬
‫‪rz ll‬‬
‫‬
‫∏‬
‫ארטיני‬
‫למחצה‬
‫) ‪ = ti=1 Mni (Di‬פשוט‬
‫עם שמאלי מינימלי‬
‫ראשוני‬
‫פשוט‬
‫‪UUUUU‬‬
‫‪RR R‬‬
‫‪UUUU‬‬
‫‪R RR‬‬
‫‪UUUUU‬‬
‫‪R RR R‬‬
‫‪UUUUU‬‬
‫‪R RR R‬‬
‫‪U &.‬‬
‫‪R %‬‬‫‬
‫‬
‫פשוט למחצה )במובן החלש(‬
‫‪VVV‬פרימיטיבי‬
‫‪VVVV V‬‬
‫‪V VVV‬‬
‫‪VVVV V‬‬
‫‪V &.‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ VVVV‬ראשוני‬
‫פרימיטיבי למחצה‬
‫‪VVVV V‬‬
‫‪V VVV‬‬
‫‪VVVV‬‬
‫‪V &.‬‬
‫‬
‫ראשוני למחצה‬
‫תרגיל ‪ 8.6.13‬יהי ‪ F‬שדה‪ .‬הראה ש־]‪ F [x‬ראשוני ופרימיטיבי למחצה‪ ,‬אבל לא פרימיטיבי‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 8.6.14‬הצג בדיאגרמה את המחלקות המופיעות לעיל‪ ,‬במקרה הקומוטטיבי‪.‬‬
‫‪85‬‬
‫פרק ‪ .8‬המבנה של חוגים ארטיניים‬
‫‪ .8.6‬הרדיקל של ג'ייקובסון‬
‫‪86‬‬
‫פרק ‪9‬‬
‫הצגות של חבורות‬
‫‪9.1‬‬
‫אלגברת החבורה‬
‫הגדרה ‪ 9.1.1‬תהי ‪ G‬חבורה‪ ,‬ויהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל שדה ‪ .F‬הצגה של ‪ G‬על ‪ V‬היא הומומורפיזם‬
‫×) ‪ .G→Aut(V ) = End(V‬הממד של ‪ V‬נקרה ממד ההצגה‪ .‬בחירת בסיס של ‪ V‬מאפשרת לזהות‬
‫) ‪ ,Aut(V ) = GLn (F‬ואז מתקבלת הצגה באמצעות מטריצות‪ .‬הצגה נאמנה אם היא חד־חד־ערכית‪.‬‬
‫כדי לחקור הצגות של חבורה נתונה‪ ,‬נפרש אותן כמודולים מעל חוג מתאים‪.‬‬
‫פעולת‬
‫הגדרה ‪ 9.1.2‬אלגברת החבורה ]‪ F [G‬היא המרחב הוקטורי ש־‪ G‬הוא בסיס שלו מעל‬
‫∑ ‪ ,F‬עם ∑‬
‫‪′‬‬
‫‪α‬‬
‫‪g‬‬
‫·‬
‫המומשכת על־ידי אסוציאטיביות‪.‬‬
‫הכפל של החבורה‪,‬‬
‫‪g∈G g‬‬
‫כלומר‪g ′ ∈G bg ′ g = ,‬‬
‫∑‬
‫∑‬
‫‪. g′′ ∈G ( gg′ =g′′ αg bg′ )g ′′‬‬
‫תרגיל ‪ 9.1.3‬הסק ממשפט קיילי שלכל חבורה סופית יש הצגה נאמנה מממד סופי‪.‬‬
‫)ההצגה המתקבלת‪ ρ : G→End(F [G]) ,‬לפי ‪ ,ρ(g)(x) = gx‬נקראת ההצגה הרגולרית‬
‫של ‪(.G‬‬
‫תרגיל ‪ 9.1.4‬הראה שאלגברת החבורה ]‪ F [Z‬היא חוג הפולינומים ] ‪.F [t, t−1‬‬
‫אפשר להמשיך להומומורפיזם של אלגברות‬
‫‪∑ ρ : G→GL‬‬
‫הערה ‪ 9.1.5‬כל הצגה ) ‪∑ n (F‬‬
‫ˆ‪ .‬גם להיפך‪ ,‬כל הומומורפיזם של אלגברות‬
‫= )‪ρ( αg g‬‬
‫ˆ‪ ,‬לפי )‪αg ρ(g‬‬
‫) ‪ρ : F [G]→Mn (F‬‬
‫ˆ‪,‬‬
‫ˆ)‪ρ(g‬‬
‫) ‪ F [G]→Mn (F‬משרה הומומורפיזם של חבורות ) ‪ρ(g −1 ) = ρˆ(1) = 1) G→GLn (F‬‬
‫ולכן )‪ ρˆ(g‬היא מטריצה הפיכה לכל ‪.(g ∈ G‬‬
‫טענה ‪ 9.1.6‬יש התאמה בין הצגות של ‪ G‬על המרחב הוקטורי ‪ ,F n‬הומומורפיזמים של חוגים‬
‫) ‪ ,F [G]→End(F n‬ומודולים מעל ]‪ F [G‬בעלי ממד ‪ n‬כמרחבים וקטוריים מעל ‪) F‬זוהי חזרה‬
‫על טענה ‪(.7.3.3‬‬
‫הערה ‪ 9.1.7‬מודול מעל ]‪ F [G‬שהוא נוצר סופית מעל ‪ ,F‬נוצר סופית גם מעל ]‪) F [G‬על־ידי‬
‫אותו בסיס(‪ .‬לחבורה אינסופית יכולות להיות הצגות נוצרות סופית מממד אינסופי‪ ,‬אבל כאשר‬
‫‪ G‬סופית כל הצגה נוצרת סופית היא מממד סופי‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 9.1.8‬נניח ש־) ‪ ρ : G→GLn (F‬הצגה‪ ,‬ו־) ‪ a ∈ GLn (F‬איבר קבוע‪ .‬אז ) ‪γa ◦ρ : G→GLn (F‬‬
‫המוגדרת לפי ‪ (γa ◦ ρ)(g) = aρ(g)a−1‬היא הצגה צמודה ל־‪ .ρ‬שתי הצגות ‪ ρ, ρ′‬נקראות צמודות אם‬
‫‪ ρ′ = γa ◦ ρ‬לאיזשהו ) ‪) a ∈ GLn (F‬זהו יחס שקילות(‪.‬‬
‫‪87‬‬
‫פרק ‪ .9‬הצגות של חבורות‬
‫‪ .9.2‬הצגות אי־פריקות ואי־פרידות‬
‫תרגיל ‪ 9.1.9‬שתי הצגות הן שקולות אם ורק אם המודולים המתאימים להן איזומורפיים‬
‫זה לזה‪.‬‬
‫לחבורה הדיהדרלית ⟩‪ ⟨x, y | x2 = y 2 = (xy)4 = 1‬יש ההצגה →‪x 7‬‬
‫(‬
‫‪)9.1.10‬‬
‫תרגיל (‬
‫)‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ −i 0‬ו־ ‪ .y 7→ 1 0‬הראה שהצגה זו צמודה להצגה המוגדרת מעל ‪.Q‬‬
‫‪9.2‬‬
‫הצגות אי־פריקות ואי־פרידות‬
‫משתי הצגות אפשר לבנות בקלות הצגה חדשה‪:‬‬
‫הגדרה ‪ 9.2.1‬נניח ש־) ‪ ρ1 : G→Aut(V1‬ו־) ‪ ρ2 : G→Aut(V2‬הן שתי הצגות של חבורה ‪ .G‬הסכום‬
‫‪ ,g 7→ Aut(V‬המוגדרת לפי ) ‪;ρ(g)(v1 , v2 ) = (ρ1 (g)v1 , ρ2 (g)v2‬‬
‫הישר ‪ ρ1 ⊕ρ2‬הוא)ההצגה ) ‪( 1 ⊕V2‬‬
‫בכתיב מטריצות‪.g 7→ ρ10(g) ρ 0(g) ,‬‬
‫‪2‬‬
‫הסכום הישר של ההצגות‪ ,ρ1 ⊕ ρ2 ,‬מתאים לסכום הישר של המודולים ‪ .V1 ⊕ V2‬מודול‬
‫שאפשר לפרק לסכום ישר של תת־מודולים נקרא מודול פריד )‪ .(decomposable‬ההצגה‬
‫המתאימה למודול כזה נקראת הצגה פרידה‪.‬‬
‫נתבונן כעת במקרה כללי יותר‪ .‬נניח שמודול ההצגה ‪ V‬אינו פשוט‪ ,‬ויש לו תת־מודול‬
‫‪ .U ≤ V‬במקרה זה ‪ V /U‬גם הוא מודול‪ ,‬ולכן ההצגה ) ‪ ρG→Aut(V‬מגדירה הצגות‬
‫( בסיס של ‪ U‬והשלמתו לבסיס של ‪ V‬מאפשרת‬
‫‪ .G→Aut(V‬בחירת‬
‫) ‪ G→Aut(U‬ו־) ‪/U‬‬
‫)‬
‫לכתוב בכתיב מטריצות‪ .g 7→ ρ10(g) ρ ∗(g) ,‬במקרה כזה ההצגה פריקה )‪.(reducible‬‬
‫‪2‬‬
‫הגדרה ‪ 9.2.2‬הצגה נקראת אי־פריקה אם היא אינה פריקה )המודול המתאים הוא פשוט(; ואי־פרידה אם‬
‫היא אינה פרידה )המודול המתאים אינו ניתן להפרדה לסכום ישר של תת־מודולים(‪.‬‬
‫כל מודול פריד הוא פריק‪ ,‬כלומר‪ ,‬כל מודול אי־פריק הוא אי־פריד‪ .‬ההיפך אינו בהכרח‬
‫נכון‪ :‬יתכן שמודול יהיה פריק אבל אי־פריד‪.‬‬
‫כל מודול של הצגה מממד סופי הוא נוצר סופית‪ ,‬ולכן בעל אורך סופי וסדרת הרכב‬
‫מתאימה‪ .‬במלים אחרות‪ ,‬כל הצגה ניתן לפירוק עם מרכיבים אי־פריקים‪ .‬הבעיה היא‬
‫שממרכיבים אי־פריקים קשה לבנות את ההצגה בחזרה )משום שמתת־המודול ומודול המנה‬
‫אי אפשר לשחזר את המודול עצמו(‪ :‬חסר המידע על המרכיב הנוסף שמעל לאלכסון‪ ,‬המסומן‬
‫לעיל ב־∗‪ .‬למרבה המזל‪ ,‬לפעמים הבעיה הזו נפתרת מעצמה‪:‬‬
‫◦‬
‫הערה ‪ 9.2.3‬מעל חוג פשוט למחצה‪ ,‬כל מודול אי־פריד הוא אי־פריק )כך שהמושגים מתלכדים(‪:‬‬
‫אם ‪ U ≤ V‬אז יש משלים ‪ ,V = U ⊕ U ′‬והמודול פריד‪.‬‬
‫בסעיף הבא נראה שבמקרים רבים הערה ‪ 9.2.3‬חלה על אלגברת החבורה ]‪.F [G‬‬
‫‪9.3‬‬
‫משפט משקה‬
‫‪9.3.1‬‬
‫אידיאל האוגמנטציה‬
‫הגדרה ‪ 9.3.1‬ההצגה הטריוויאלית של חבורה ‪ G‬היא ההומומורפיזם × ‪.g 7→ 1 ∈ GL1 (F ) = F‬‬
‫‪88‬‬
‫‪ .9.3‬משפט משקה‬
‫פרק ‪ .9‬הצגות של חבורות‬
‫הגדרה ‪ 9.3.2‬אידיאל האוגמנטציה של אלגברת חבורה ]‪ F [G‬הוא הגרעין ‪ IG‬של ההטלה ‪F [G]→F‬‬
‫שמשרה ההצגה הטריוויאלית‪.‬‬
‫∑‬
‫∑‬
‫טענה ‪ 9.3.3‬האיבר ]‪ g αg g ∈ F [G‬שייך ל־ ‪ IG‬אם ורק אם ‪. αg = 0‬‬
‫∑‬
‫תרגיל ‪) IG = g∈G F (g − 1) 9.3.4‬ובפרט ‪ .(dim(IG ) = |G| − 1‬אם ⟩ ‪G = ⟨g1 , . . . , gt‬‬
‫אז ‪ IG‬נוצר‪ ,‬כאידיאל‪ ,‬על־ידי ‪.g1 − 1, . . . , gt − 1‬‬
‫תרגיל ‪ 9.3.5‬תהי ‪ N ▹G‬תת־חבורה נורמלית; אז יש הטלה ] ‪θN : F [G]→F [G/N‬‬
‫המוגדרת לפי ‪ .g 7→ gN‬הראה ש־ ‪ ,Ker(θ) = IN‬כאשר ]‪ IN ▹F [G‬הוא האידיאל‬
‫∑‬
‫הנוצר על־ידי האברים ‪ .n ∈ N ,n − 1‬הדרכה‪ .‬התנאי לכך ש־‪ θ( αg g) = 0‬הוא שלכל‬
‫◦‬
‫∑‬
‫‪. x∈N αg′ x x = 0 ,g ′ ∈ G‬‬
‫‪9.3.2‬‬
‫המקרה המודולרי‬
‫לפני שנציג את המשפט הבסיסי של תורת ההצגות‪ ,‬נתבונן במקרה המודולרי‪ ,‬שבו ‪ G‬היא‬
‫חבורת־‪ p‬ו־‪.charF = p‬‬
‫טענה ‪ 9.3.6‬אם ‪ G‬חבורת־‪ p‬סופית ומאפיין השדה הוא ‪ ,p‬אז אידיאל האוגמנטציה נילפוטנטי‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬אם ‪ G = 1‬אין מה להוכיח כי ‪ .IG = 0‬נניח ש־‪ G‬אינה טריוויאלית‪ ,‬ויהי ‪ x‬איבר מסדר ‪ p‬במרכז‬
‫∼ ⟩‪ ,F [G]/⟨x − 1‬כאשר ⟩‪ IG /⟨x − 1‬עובר‬
‫של ‪ ;G‬נסמן ⟩‪ .Z = ⟨x‬לפי תרגיל ‪= F [G/Z] ,9.3.5‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫אל ‪ .IG/Z‬על־פי הנחת האינדוקציה יש ‪ n‬כך ש־‪ ,(IG /⟨x − 1⟩) = IG/Z = 0‬ואז ⟩‪.IG ⊆ ⟨x − 1‬‬
‫‬
‫אבל ‪ ,(x − 1)p = xp − 1 = 0‬ולכן ‪.IGnp ⊆ ⟨x − 1⟩p = 0‬‬
‫תרגיל ‪ 9.3.7‬תהי ‪ G‬חבורת־‪ p‬אבלית כלשהי )לאו דווקא סופית(‪ .‬הראה ש־ ‪ IG‬נילי‪.‬‬
‫∑‬
‫הדרכה‪ .‬כל ‪ x ∈ IG‬אפשר לכתוב כסכום סופי )‪ , αg (g − 1‬וקיים ‪ q‬כך ש־‪ g q = 1‬לכל‬
‫‪ g‬המשתתף בסכום‪ .‬מכיוון ש־‪ G‬אבלית אפשר להפעיל את אוטומורפיזם פרובניוס ולקבל‬
‫∑‬
‫‪∑ q q‬‬
‫= ‪.xq = αgq (g − 1)q‬‬
‫‪αg (g − 1) = 0‬‬
‫‪9.3.3‬‬
‫משפט משקה‬
‫משפט ‪) 9.3.8‬משפט משקה( תהי ‪ G‬חבורה סופית מסדר זר למאפיין של ‪ ,F‬אז ]‪ F [G‬פשוט למחצה‪.‬‬
‫מודול ‪ M‬יש משלים‪ .‬נבחר הטלה כלשהי‬
‫הוכחה‪ .‬לפי משפט ‪ ,7.2.24‬די להוכיח שלכל תת־מודול‬
‫‪ N −1‬של∑‬
‫‪1‬‬
‫‪′‬‬
‫‪ π : M →N‬של מרחבים וקטוריים‪ ,‬ונגדיר )‪ .π (x) = |G| g∈G g π(gx‬זהו הומומורפיזם של‬
‫‬
‫‪G‬־מודולים לפי חישוב; תמונתו היא ‪ N‬והוא שווה לזהות על ‪ .N‬לכן ) ‪.M = N ⊕ ker(π ′‬‬
‫הערה ‪ 9.3.9‬הגרסה הבאה של משפט משקה נכונה גם כאשר ‪ G‬אינסופית‪ :‬אם ‪charF = 0‬‬
‫אז ל־]‪ F [G‬אין אידיאלים ניליים‪.‬‬
‫מסקנה מכרעת אחת היא שעכשיו אפשר ליישם את טענה ‪ :7.2.28‬בתנאי משפט משקה‪,‬‬
‫כל מודול מעל ]‪ F [G‬הוא פריק לחלוטין‪ .‬הוכחנו מסקנה חשובה‪:‬‬
‫מסקנה ‪) 9.3.10‬במאפיין זר ל־|‪ (|G‬כל הצגה של ‪ G‬מתפרקת באופן יחיד לסכום של הצגות‬
‫אי־פריקות‪.‬‬
‫לפי משפט ‪ ,8.4.11‬הוכחנו‪:‬‬
‫‪89‬‬
‫◦‬
‫פרק ‪ .9‬הצגות של חבורות‬
‫‪ .9.4‬ההצגות האי־פריקות של חבורה סופית‬
‫מסקנה ‪ 9.3.11‬תהי ‪ G‬חבורה סופית‪ ,‬ו־ ‪ F‬שדה ממאפיין זר ל־|‪ .|G‬אז יש פירוק‬
‫∼ ]‪ ,F [G‬כאשר ‪ Di‬הן אלגברות עם חילוק שהמרכז שלהן מכיל‬
‫) ‪= Mn1 (D1 ) ⊕ · · · ⊕ Mnt (Dt‬‬
‫את ‪.F‬‬
‫הגדרה ‪ 9.3.12‬אם ]‪ F [G‬איזומורפי לסכום ישר של אלגברות מטריצות מעל ‪ ,F‬אומרים ש־ ‪ F‬מפצל את‬
‫‪) G‬או ש־‪ G‬מתפצלת מעל ‪.(F‬‬
‫אם שדה ‪ F‬מפצל את ‪ ,G‬אז כל שדה המכיל את ‪ F‬מפצל גם הוא‪ .‬לפי הערה ‪C ,8.1.3‬‬
‫מפצל כל חבורה סופית‪ .‬אחת התוצאות הראשונות בקומבינטוריקה אלגברית קובעת ש־ ‪Sn‬‬
‫מתפצלת כבר מעל ‪ ,Q‬ולכן מעל כל שדה ממאפיין אפס‪.‬‬
‫גרסה חלשה‪ ,‬ללא מודולים משלימים‬
‫נוכיח גרסה חלשה למשפט משקה‪ ,‬ללא צורך במשפט ‪ 7.2.24‬על מודולים פריקים לחלוטין‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 9.3.13‬יהי ‪ R‬חוג‪ .‬אינוולוציה של ‪ R‬היא פונקציה אדיטיבית ∗‪ x 7→ x‬המקיימת ‪x∗∗ = x‬‬
‫ו־ ∗‪.(xy)∗ = y ∗ x‬‬
‫תרגיל ‪ 9.3.14‬אינוולוציה היא איזומורפיזם ‪.R→Rop‬‬
‫תהי ‪ G‬חבורה כלשהי‪.‬‬
‫∑‬
‫∑‬
‫∗‬
‫‪−1‬‬
‫על אלגברת החבורה ]‪ C[G‬מוגדרת אינוולוציה לפי ‪.( αg g) = α¯g g‬‬
‫◦‬
‫למה ‪ 9.3.15‬אם ]‪ a ∈ C[G‬מקיים ‪ aa∗ = 0‬אז ‪.a = 0‬‬
‫∑‬
‫∑‬
‫∑ ∑‬
‫= ‪ ,a‬ונחשב‪:‬‬
‫הוכחה‪ .‬נכתוב ‪αg g‬‬
‫= ∗‪ ,aa‬ולכן המקדם‬
‫∑ ‪αg g α¯h h−1 = x ( h αxh α¯h )x‬‬
‫‬
‫של ‪ 1‬במכפלה ∗‪ aa‬שווה ל־ ‪ ; |αh |2‬אם זה שווה לאפס אז כל ‪ αh = 0‬ולכן ‪.a = 0‬‬
‫◦‬
‫טענה ‪ 9.3.16‬לכל חבורה ‪ C[G] ,G‬ראשוני למחצה‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי טענה ‪ 8.4.6‬מספיק להראות שאם ]‪ A▹C[G‬מקיים ‪ ,A2 = 0‬אז ‪ .A = 0‬יהי ‪ ,a ∈ A‬אז‬
‫‬
‫‪ ;(aa∗ )(aa∗ )∗ = (aa∗ )2 ∈ A2 = 0‬לפי למה ‪ ,aa∗ = 0 9.3.15‬ומאותה סיבה ‪.a = 0‬‬
‫משפט ‪) 9.3.17‬גרסה חלשה של משפט משקה( יהי ‪ F ⊆ C‬תת־שדה כלשהו‪ ,‬אז לכל חבורה ‪F [G] ,G‬‬
‫ראשוני למחצה‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬כמו בטענה ‪ ,9.3.16‬נניח ש־]‪ A▹F [G‬מקיים ‪ ,A2 = 0‬אז ]‪ CA▹C[G‬ומקיים = ‪(CA)2‬‬
‫‬
‫‪ ;CA2 = 0‬לפי הטענה נובע מזה ש־‪.A ⊆ CA = 0‬‬
‫מסקנה ‪ 9.3.18‬יהי ‪ F ⊆ C‬תת־שדה כלשהו‪ .‬לכל חבורה סופית ‪ F [G] ,G‬פשוט למחצה‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי משפט ‪ ,8.4.11‬משום ש־]‪ F [G‬ארטיני‪.‬‬
‫‪90‬‬
‫‬
‫‪ .9.4‬ההצגות האי־פריקות של חבורה סופית‬
‫פרק ‪ .9‬הצגות של חבורות‬
‫‪9.4‬‬
‫ההצגות האי־פריקות של חבורה סופית‬
‫‪9.4.1‬‬
‫מודולים מעל מכפלה ישרה‬
‫הלמה הבאה מתארת את תורת המודולים של חוג שהוא מכפלה ישרה של חוגים‪.‬‬
‫◦‬
‫למה ‪ 9.4.1‬יהי ‪ R = R1 ×· · ·×Rt‬מכפלה של חוגים ‪ .Ri‬נכתוב )‪ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0‬‬
‫∼ ‪.Ri‬‬
‫ו־ ‪ ,Ri′ = ei R = Rei‬כך ש־‪ ei ej = δij ei ,e1 + · · · + et = 1‬ו־ ‪= Ri′‬‬
‫‪ .1‬יהי ‪ M‬מודול מעל ‪ .R‬אז ‪ Mi = ei M‬הם תת־מודולים‪ ,‬ו־ ‪.M = ⊕Mi‬‬
‫‪ .2‬תת־קבוצה של ‪ Mj‬היא תת־מודול מעל ‪ R‬אם ורק אם היא תת־מודול מעל ‪.Rj′‬‬
‫‪ .3‬תת־מודול של ‪ M‬הוא פשוט אם ורק אם הוא תת־מודול פשוט של אחד ה־ ‪.Mj‬‬
‫‪soc(Mi ) .4‬‬
‫∑‬
‫= ) ‪.soc(M‬‬
‫‪ .5‬כל הומומורפיזם ‪ φ : M →N‬של מודולים מעל ‪ R‬משרה הומומורפיזמים ‪φi : Mi →Ni‬‬
‫לפי )‪ φ ;φi (ei x) = ei φ(x‬חד־חד־ערכי אם ורק אם כל ‪ φi‬הוא חד־חד־ערכי‪ ,‬ועל אם‬
‫ורק אם כל ‪ φi‬הוא על‪.‬‬
‫∼ ‪ Mi‬לכל ‪.i‬‬
‫∼ ‪ M‬אם ורק אם ‪= Ni‬‬
‫‪= N .6‬‬
‫∑‬
‫∑‬
‫∑ישר‪ ,‬נניח‬
‫שמדובר בסכום‬
‫להראות‬
‫כדי‬
‫‪.M‬‬
‫=‬
‫(‬
‫‪e‬‬
‫‪)M‬‬
‫⊆‬
‫∑ש־ ‪(ei M ) ⊆ M‬‬
‫‪ .1‬ברור‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫‪i‬‬
‫∑‬
‫ש־‪ xi = 0‬כאשר ‪ ;xi ∈ ei M‬אז ‪ ej xi = δij xi‬ולכן לכל ‪0 = ej i xi = ej xi = ,j‬‬
‫‪.ej xj = xj‬‬
‫⊆ ‪ ,ej N∑= ej RN‬ובכיוון ההפוך אם‬
‫‪ .2‬אם ‪ N ⊆ ej M‬ו־ ‪ RN ⊆ N‬אז בוודאי גם ‪∑ ej N‬‬
‫‪ ej N ⊆ N‬אז ‪.RN = i Rei N = i Rei ej N = Rej N = ej N ⊆ N‬‬
‫∑‬
‫‪ .3‬אם ‪ N ≤ M‬פשוט אז ‪ N = ei N‬ורק אחד המרכיבים שונה מאפס‪ ,‬לכן ‪ N = ej N‬לאיזשהו‬
‫‪ ,j‬והוא פשוט כי כל תת־מודול הוא גם תת־מודול של ‪.N‬‬
‫‪ .4‬לפי סעיף ‪.3‬‬
‫‪ φi .5‬הומומורפיזם כי = )‪φi (xei v) = φi (ei xv) = ei φ(xv) = ei xφ(v) = xei φ(v‬‬
‫)‪ .xφi (v‬אם ‪ φ‬חד־חד־ערכי ו־‪ φi (ei v) = 0‬אז )‪ 0 = φi (ei v) = ei φ(v) = φ(ei v‬ולכן‬
‫‪ ;ei v = 0‬הכיוון ההפוך מיידי‪ .‬באותו אופן ‪ φ‬על אם ורק אם כל ‪ φi‬כזה‪.‬‬
‫‪ .6‬לפי סעיף ‪.5‬‬
‫‬
‫תרגיל ‪ 9.4.2‬הוכח‪ ,‬ישירות‪ ,‬שהאידיאלים ‪ F × 0‬ו־ ‪ 0 × F‬של ‪ F × F‬אינם איזומורפיים‬
‫כמודולים‪.‬‬
‫‪91‬‬
‫‪ .9.4‬ההצגות האי־פריקות של חבורה סופית‬
‫‪9.4.2‬‬
‫פרק ‪ .9‬הצגות של חבורות‬
‫מספר ההצגות‬
‫תהי ‪ G‬חבורה סופית‪ ,‬ויהי ‪ F‬שדה המפצל את ‪ .G‬נכתוב ) ‪,F [G] = Mn1 (F )×· · ·×Mnt (F‬‬
‫ונסמן ב־) ‪ Si = Mni (F‬את המרכיב ה־‪.i‬‬
‫הערה ‪ 9.4.3‬מהשוואת מימדים מקבלים מיד ‪.|G| = n21 + · · · + n2t‬‬
‫תרגיל ‪ 9.4.4‬ל־) ‪ Mn (F‬יש מודול פשוט אחד עד כדי איזומורפיים‪ ,‬והוא המרחב הוקטורי‬
‫‪ F n‬עם הפעולה הטבעית‪ .‬חוג המטריצות‪ ,‬כמודול מעל עצמו‪ ,‬איזומורפי לסכום ישר‬
‫של ‪ n‬עותקים של המודול הפשוט‪.‬‬
‫לפי למה ‪ ,9.4.1‬המודולים של ]‪ F [G‬מתוארים על־ידי המודולים של המרכיבים ‪ .Si‬נסמן‬
‫ב־ ‪ Vi = F ni‬את המודול הפשוט של ) ‪ ;Si = Mni (F‬פעולת ‪ Si‬על המודול היא לפי כפל‬
‫מטריצה בווקטור‪ .‬ההטלה ‪ ρi : F [G]→Si‬שולחת כל איבר ‪ g ∈ G‬למטריצה בגודל ‪,ni × ni‬‬
‫והיא ההצגה המאתימה למודול ‪.Vi‬‬
‫מסקנה ‪ 9.4.5‬ל־]‪ F [G‬יש בדיוק ‪ t‬מודולים עד־כדי איזומורפיזם‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 9.4.6‬כל מודול מעל ]‪ F [G‬אפשר לפרק לסכום ישר )לאו דווקא סופי( של מרכיבים‬
‫שכל אחד מהם איזומורפי לאחד ה־ ‪.Vi‬‬
‫) ‪(n1‬‬
‫) ‪(nt‬‬
‫‪ V1 ⊕ · · · ⊕ Vt‬כאשר ‪ ni‬סופיים‪.‬‬
‫מודול נוצר סופית איזומורפי למודול מהצורה‬
‫הערה ‪ ,F [G] 9.4.7‬כמודול מעל עצמו‪ ,‬איזומורפי לסכום ישר של ‪ ni‬עותקים של ‪i = ,Vi‬‬
‫‪ .1, . . . , t‬בפרט‪ ,‬כל מודול אי־פריק הוא תת־מודול של ]‪.F [G‬‬
‫תרגיל ‪ t ,Z(F [G]) = F × · · · × F 9.4.8‬עותקים‪ ,‬ולכן מספר ההצגות האי־פריקות של‬
‫‪ G‬הוא המימד ] ‪ .[Z(F [G]) : F‬הדרכה‪ .‬המרכז של מכפלה ישרה של חוגים שווה למכפלת‬
‫המרכזים‪ ,‬והמרכז של אלגברת מטריצות מעל שדה שווה לשדה עצמו‪.‬‬
‫מאידך‪ ,‬את המרכז של ]‪ F [G‬אפשר לחשב ישירות‪ .‬לכל מחלקת צמידות ‪ ,C ⊆ G‬נסמן‬
‫∑‬
‫‪.Cˆ = g∈C g‬‬
‫◦‬
‫טענה ‪ 9.4.9‬המרכז של ]‪ F [G‬נפרש‪ ,‬כמרחב וקטורי‪ ,‬על־ידי האברים ˆ‪.C‬‬
‫∑‬
‫אם ורק אם ‪ αg = αg′‬לכל ‪ g, g ′‬צמודים בחבורה‪ .‬אכן‪,‬‬
‫הוכחה‪ .‬ראשית‪αg g ∈ Z(F [G]) ,‬‬
‫∑ עם כל ‪ ,x ∈ G‬וזה קורה אם ורק אם‬
‫החבורה אם ורק אם הוא מתחלף‬
‫איבר ‪ a‬הוא‬
‫∑מרכזי‪−1‬באלגברת ∑‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫= ‪ αg g = a = xax‬לכל ‪ ,x‬אם ורק אם ‪ αg = αx gx‬לכל‬
‫= ) ‪αg (xgx‬‬
‫‪αx−1 gx g‬‬
‫‬
‫‪ .x, g ∈ G‬לכן ˆ‪ C‬הם מרכזיים‪ ,‬וכל איבר מרכזי הוא צירוף לינארי שלהם‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 9.4.10‬מכיוון שהאברים ˆ‪ ,C‬על־פני מחלקות הצמידות השונות‪ ,‬הם בלתי תלויים מעל‬
‫‪ [Z(F [G]) : F ] ,F‬שווה למספר מחלקות הצמידות של ‪.G‬‬
‫◦‬
‫מסקנה ‪ 9.4.11‬מספר המרכיבים ‪ t‬בפירוק של ]‪ F [G‬לרכיבי מטריצות שווה למספר ההצגות‬
‫האי־פריקות השונות של ‪ ,G‬ושווה למספר מחלקות הצמידות של החבורה‪.‬‬
‫‪92‬‬
‫◦‬
‫פרק ‪ .9‬הצגות של חבורות‬
‫‪9.4.3‬‬
‫‪ .9.5‬קרקטרים‬
‫הצגות חד־ממדיות והשראה מחבורת מנה‬
‫מסקנה ‪ ,9.4.11‬יחד עם הערה ‪ ,9.4.3‬מאפשרות למצוא את ממדי ההצגות האי־פריקות של‬
‫חבורות קטנות‪.‬‬
‫דוגמא ‪ 9.4.12‬תהי ‪ G‬חבורה אבלית‪ .‬אז יש לה |‪ |G‬מחלקות צמידות‪ ,‬ולכן גם |‪ |G‬הצגות‬
‫אי־פריקות‪ ,‬שכולן חד־ממדיות‪ .‬אכן‪ F [G] = F × · · · × F ,‬כי רכיבי מטריצות גדולים יותר‬
‫אינם אבליים‪.‬‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ 9.4.13‬תהי ‪ G‬חבורה עם תת־חבורה נורמלית ‪ .N ▹G‬כל הצגה של ‪G/N‬‬
‫משרה הצגה של ‪ ,G‬על־ידי הרכבה עם פונקציית ההטלה‪ .‬אומרים שהצגה כזו‬
‫מתפצלת דרך ‪ .G/N‬הצגה אי־פריקה של ‪ G/N‬משרה הצגה אי־פריקה של ‪.G‬‬
‫טענה ‪ 9.4.14‬מספר ההצגות מממד ‪ 1‬של ‪ G‬שווה לסדר של האבליניזציה ‪.G/G′‬‬
‫דוגמא ‪ 9.4.15‬לחבורה הסימטרית ‪ S3‬יש שלוש מחלקות צמידות‪ ,‬ולכן ממדי ההצגות האי־‬
‫פריקות הם ‪ ;6 = 12 + 12 + 22‬כלומר‪ ,‬יש לחבורה שתי הצגות חד־ממדיות‪ ,‬ועוד הצגה‬
‫( לנחש‪ :‬זו‬
‫החד־ממדיות קל‬
‫דו־ממדית )וכל הצגה אי־פריקה היא סכום של אלו(‪ .‬את ההצגות‬
‫)‬
‫‪1‬‬
‫‪,(12) 7→ −1‬‬
‫ההצגה הטריוויאלית )‪ ,g 7→ (1‬והצגת הסימן ))‪ .g 7→ (sgn(g‬הוכח ש־ ‪0 1‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ (23) 7→ 1 −1‬מגדיר הצגה דו־ממדית אי־פריקה‪.‬‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ 9.4.16‬הראה שלחבורה הסימטרית ‪ S4‬יש חמש הצגות אי־פריקות‪ :‬שתיים ממד‬
‫∼ ‪.S4 /K‬‬
‫‪ ,1‬שתיים מממד ‪ ,3‬ושתיים מממד ‪ .2‬הדרכה‪ .‬העזר במנה ‪= S3‬‬
‫הערה ‪ 9.4.17‬חבורת האוטומורפיזמים של ‪ G‬פועלת על ההצגות האי־פריקות‪ :‬אם ∈ ‪π‬‬
‫)‪ ,Aut(G‬אז לכל הצגה ‪ ρ‬גם ‪ ρ ◦ π‬היא הצגה‪ .‬אבל אם ‪ π‬אוטומורפיזם פנימי אז ההצגות‬
‫צמודות‪ ,‬ולכן חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים )‪ Out(G) = Aut(G)/Inn(G‬פועלת על‬
‫מחלקות האיזומורפיזם של ההצגות האי־פריקות‪.‬‬
‫◦‬
‫‪ 9.5‬קרקטרים‬
‫‪9.5.1‬‬
‫יחסי שור‬
‫∼ ]‪ F [G‬הפירוק של אלגברת החבורה של חבורה סופית ‪ G‬מעל שדה‬
‫יהי ‪= S1 × · · · × St‬‬
‫המפצל אותו‪ ,F ,‬למכפלה ישרה של מרכיבים פשוטים ) ‪ .Si = Mni (F‬ההצגות האי־פריקות‬
‫של ‪ G‬מושרות על־ידי ההטלות ) ‪ ,ρi : F [G]→Mni (F‬ומתאימות למודולים האי־פריקים‬
‫) ‪ .Vi = F (ni‬כל ‪ Vi‬הוא מודול מעל ]‪ F [G‬לפי ‪ .g · v = ρi (g)v‬אפשר להניח שההצגה‬
‫הראשונה היא ההצגה הטריוויאלית‪ ρ1 (g) = 1 ,‬לכל ‪.g‬‬
‫למה ‪ 9.5.1‬תהי ) ‪ A ∈ Mnv ×nu (F‬מטריצה כלשהי‪ .‬אז ) ‪ρv (g)Aρu (g −1‬‬
‫הומומורפיזם של מודולים ‪.η(A) : Vu →Vv‬‬
‫‪93‬‬
‫∑‬
‫‪g‬‬
‫= )‪ η(A‬מגדיר‬
‫◦‬
‫פרק ‪ .9‬הצגות של חבורות‬
‫‪ .9.5‬קרקטרים‬
‫הוכחה‪ .‬נבחין ש־) ‪ ρv (g) ∈ Mnv (F‬ו־) ‪ ,ρu (g) ∈ Mnu (F‬כך ש־) ‪ .η(A) ∈ Mnv ×nu (F‬לכל‬
‫‪ h ∈ G‬ולכל ‪ x ∈ Vu‬מתקיים‬
‫∑‬
‫= ‪η(A)(h · x) = η(A)ρu (h)x‬‬
‫‪ρv (g)Aρu (g −1 h)x‬‬
‫‪g‬‬
‫‪ρv (hg)Aρu (g −1 )x = ρv (h)η(A)x = h · η(A)x.‬‬
‫∑‬
‫=‬
‫‪g‬‬
‫‬
‫◦‬
‫מסקנה ‪ 9.5.2‬לכל מטריצה ‪ ,A‬אם ‪ u ̸= v‬אז ‪ ,η(A) = 0‬ואם ‪ u = v‬אז )‪ η(A‬סקלרית‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬כאשר ‪ η(A) : Vu →Vv ,u ̸= v‬הוא הומומורפיזם של מודולים פשוטים שאינם איזומורפיים‪.‬‬
‫כאשר ‪ η(A) : Vu →Vu ,u = v‬הומומורפיזם‪ ,‬כלומר לכל ) ‪ s ∈ Mnu (F‬ולכל ‪ x ∈ Vu‬מתקיים‬
‫‬
‫‪ ,η(A)(sx) = sη(A)x‬כלומר )‪ η(A)s = sη(A‬ו־)) ‪.η(A) ∈ Z(Mnu (F‬‬
‫כדי שלא לסרבל את הסימון עבור רכיבים של מטריצות ההצגה‪ ,‬נסמן )‪ ρ(u‬במקום ‪.ρu‬‬
‫משפט ‪) 9.5.3‬שור( לכל ‪ u, v = 1, . . . , t‬ולכל ‪ 1 ≤ i, j ≤ nu‬ו־ ‪ 1 ≤ k, ℓ ≤ nv‬מתקיים‬
‫)‪∑ (u‬‬
‫|‪|G‬‬
‫)‪(v‬‬
‫‪ρij (g)ρkℓ (g −1 ) = δuv δjk δiℓ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪nu‬‬
‫‪g∈G‬‬
‫הוכחה‪ .‬נתבונן במטריצה ) ‪ ,A = ejk ∈ Mnu ×nv (F‬ונחשב‪:‬‬
‫∑‬
‫= ) ‪η(A) = η(ejk‬‬
‫) ‪ρ(u) (g)ejk ρ(v) (g −1‬‬
‫‪g‬‬
‫) ‪ρij ′ (g)eij ′ ejk ek′ ℓ ρk′ ℓ (g −1‬‬
‫)‪(u‬‬
‫)‪(v‬‬
‫∑ ∑‬
‫‪i,j ′ ,k′ ,ℓ‬‬
‫)‬
‫‪ρij (g)ρkℓ (g −1 ) eiℓ ,‬‬
‫)‪(v‬‬
‫)‪(u‬‬
‫‪g‬‬
‫(‬
‫∑ ∑‬
‫‪g‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪i,ℓ‬‬
‫)‪∑ (u‬‬
‫)‪(v‬‬
‫כלומר ) ‪ .η(A)iℓ = g ρij (g)ρkℓ (g −1‬כאשר ‪ η(A) = 0 ,u ̸= v‬לפי מסקנה ‪ ,9.5.2‬ואז מתקבלת‬
‫הזהות המבוקשת מהשוואת מקדמים‪ .‬כאשר ‪ ,u = v‬לפי המסקנה יש קבוע ‪ γ ∈ F‬כך ש־‪,η(A)iℓ = δiℓ γ‬‬
‫וסיימנו כמקודם אם ‪ .i ̸= ℓ‬נשאר המקרה ‪ .i = ℓ‬נסכם את אברי האלכסון של )‪:η(A‬‬
‫∑‬
‫= ))‪nu γ = tr(η(A‬‬
‫‪η(A)ii‬‬
‫‪i‬‬
‫)‪(u‬‬
‫)‪(u‬‬
‫) ‪ρij (g)ρki (g −1‬‬
‫∑∑‬
‫‪g‬‬
‫)‪ρki (g −1 )ρij (g‬‬
‫)‪(u‬‬
‫)‪(u‬‬
‫‪i‬‬
‫∑∑‬
‫‪i‬‬
‫∑‬
‫)‬
‫= ‪ρ(u) (g −1 )ρ(u) (g) kj‬‬
‫‪δkj = δkj |G|,‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪g‬‬
‫(∑‬
‫=‬
‫‪g‬‬
‫‪g‬‬
‫|‪ ,η(A)ii = δkj |G‬כדרוש‪.‬‬
‫כלומר‬
‫‪nu‬‬
‫‬
‫‪94‬‬
‫‪ .9.5‬קרקטרים‬
‫פרק ‪ .9‬הצגות של חבורות‬
‫‪ 9.5.2‬קרקטרים‬
‫תהי ) ‪ ρ : G→GLn (F‬הצגה‪ .‬נסמן ))‪ ;χ(g) = tr(ρ(g‬זוהי פונקציה ‪ χ : G→C‬הנקראת‬
‫הקרקטר של ההצגה )‪ .(character of the representation‬למרות שהיא אינה כפלית )אין‬
‫קשר פשוט בין העקבה של ‪ AB‬לעקבות של ‪ ,(A, B‬הקרקטר נושא אינפורמציה חשובה על‬
‫ההצגה‪ ,‬וכפי שנראה בהמשך‪ ,‬אפשר לפתח את תורת ההצגות במידה רבה דרך הקרקטרים‪,‬‬
‫בלי להתייחס להצגות באופן ישיר‪.‬‬
‫תפקידם המרכזי של הקרקטרים נעוץ בהבחנה הבאה‪:‬‬
‫הערה ‪ 9.5.4‬אם ‪ ρ, ρ′‬הצגות שקולות‪ ,‬אז יש להן אותו קרקטר )משום שהעקבה אינה משתנה‬
‫בהצמדה(‪.‬‬
‫הערה ‪) χρ⊕ρ′ = χρ + χρ′ 9.5.5‬משום שעקבה של מטריצת בלוקים היא סכום העקבות של‬
‫הבלוקים(‪.‬‬
‫אומרים שקרקטר הוא אי־פריק אם הוא מתאים להצגה אי־פריקה‪ .‬ממד ההצגה נקרא‬
‫גם הממד של הקרקטר‪.‬‬
‫טענה ‪ 9.5.6‬יש ‪ t‬קרקטרים אי־פריקים‪ ,‬וכל קרקטר הוא צירוף לינארי שלהם‪ ,‬עם מקדמים‬
‫טבעיים‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬הקרקטרים האי־פריקים הם אלו המתאימים להצגות האי־פריקות‪ .‬כל הצגה ‪ ρ‬אפשר לפרק לסכום‬
‫‬
‫ישר של הצגות אי־פריקות לפי מסקנה ‪ ,9.3.10‬ואז ‪ χρ‬הוא סכום הקרקטרים המתאימים‪.‬‬
‫‪9.5.3‬‬
‫אורתוגונליות הקרקטרים‬
‫מיחסי שור אפשר להסיק יחסים שימושיים ביותר‪ ,‬המנוסחים בשפה של הקרקטרים‪ .‬נזכיר‬
‫)‪∑ (u‬‬
‫ש־)‪ .χu (g) = i ρii (g‬אם ניקח ‪ j = i‬ו־‪ ℓ = k‬ביחסי שור )משפט ‪ ,(9.5.3‬נקבל‬
‫|‪|G‬‬
‫‪,‬‬
‫‪nu‬‬
‫‪ρii (g)ρkk (g −1 ) = δuv δik‬‬
‫)‪(v‬‬
‫)‪(u‬‬
‫∑‬
‫‪g∈G‬‬
‫ואם נסכם לכל ‪ i‬ולכל ‪ k‬נקבל‬
‫(‬
‫()‬
‫)‬
‫)‪∑ ∑ (u‬‬
‫)‪∑ (v‬‬
‫∑‬
‫= ) ‪χu (g)χv (g −1‬‬
‫)‪ρii (g‬‬
‫) ‪ρkk (g −1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪i‬‬
‫|‪|G‬‬
‫‪= δuv |G|.‬‬
‫‪nu‬‬
‫‪g∈G‬‬
‫‪δuv‬‬
‫∑‬
‫‪g∈G‬‬
‫=‬
‫‪i‬‬
‫מסקנה ‪ 9.5.7‬לכל שני קרקטרים אי־פריקים ‪ ,χu , χv‬מתקיים יחס שור הראשון‬
‫)‪(9.1‬‬
‫∑ ‪1‬‬
‫‪χu (g)χv (g −1 ) = δuv .‬‬
‫‪|G| g∈G‬‬
‫‪95‬‬
‫◦‬
‫‪ .9.5‬קרקטרים‬
‫‪9.5.4‬‬
‫פרק ‪ .9‬הצגות של חבורות‬
‫הערכים של קרקטר‬
‫הערה ‪ 9.5.8‬יהי ‪ χ‬קרקטר המתאים להצגה ‪ .ρ‬לכל ‪ ρ(g)N = ρ(g N ) = 1 ,g ∈ G‬כאשר‬
‫|‪ ,N = |G‬ולכן הערכים העצמיים של )‪ ρ(g‬הם שורשי יחידה‪ .‬הערך )‪ χ(g‬הוא סכום הערכים‬
‫העצמיים של )‪ ,ρ(g‬ולכן הוא שלם אלגברי‪ ,‬השייך לחוג ] ‪ ,Z[ωN‬כאשר ‪ ωN‬הוא שורש יחידה‬
‫פרימיטיבי מסדר ‪.N‬‬
‫◦‬
‫תרגיל ‪ 9.5.9‬כל מטריצה )‪ A ∈ Mn (C‬המקיימת שוויון מהצורה ‪ AN = 1‬היא לכסינה‪.‬‬
‫הדרכה‪ .‬התבונן בצורת ז'ורדן של ‪.A‬‬
‫◦‬
‫הערה ‪ 9.5.10‬לכל קרקטר ממימד ‪ ,|χ(g)| ≤ n ,n‬עם שוויון אם ורק אם )‪ ρ(g‬סקלרית‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬הטענה הראשונה נובעת מכך ש־)‪ χ(g‬הוא סכום של ‪ n‬שורשי יחידה; אם יש שוויון אז כל המחוברים‬
‫האלה שווים לשורש יחידה ‪ ,ω‬וזהו הערך העצמי היחיד של )‪ .ρ(g‬לפי תרגיל ‪ .ρ(g) = ωI ,9.5.9‬‬
‫‪9.5.5‬‬
‫הקרקטר הצמוד‬
‫יהי ‪ χ‬קרקטר המתאים להצגה ‪.ρ‬‬
‫טענה ‪ 9.5.11‬לכל ‪.χ(g −1 ) = χ(g) ,g ∈ G‬‬
‫הוכחה‪ χρ (g) .‬הוא סכום הערכים העצמיים של )‪ ,ρ(g‬שהם הפוכים לערכים העצמיים של = ) ‪ρ(g −1‬‬
‫‬
‫‪ ,ω −1 = ω‬ולכן ))‪.tr(ρ(g −1 )) = tr(ρ(g‬‬
‫‪ ;ρ(g)−1‬אלא ששורשי יחידה מקיימים ¯‬
‫הגדרה ‪ 9.5.12‬תהי ) ‪ ρ : G→GLn (F‬הצגה‪ .‬ההצגה הצמודה היא ההצגה מאותו ממד המוגדרת לפי‬
‫‪t‬‬
‫)‪.χ(g‬‬
‫¯‬
‫) ‪ .ρ∗ (g) = ρ(g −1‬את העקבה שלה מסמנים ))‪= tr(ρ∗ (g‬‬
‫)‪.χ(g‬‬
‫¯‬
‫טענה ‪ 9.5.13‬לכל ‪= χ(g) ,g ∈ G‬‬
‫)‪.χ(g‬‬
‫¯‬
‫הוכחה‪= tr(ρ∗ (g)) = tr(ρ(g −1 )) = χ(g −1 ) = χ(g) .‬‬
‫‬
‫שוויון זה מאפשר לנסח מחדש את יחס שור הראשון‪:‬‬
‫∑ ‪1‬‬
‫‪χu (g)χv (g) = δuv .‬‬
‫)‪(9.2‬‬
‫‪|G| g∈G‬‬
‫◦‬
‫הערה ‪ 9.5.14‬ההצמדה פועלת על קבוצת ההצגות האי־פריקות‪ ,‬בדומה לפעולה של )‪Out(G‬‬
‫מהערה ‪.9.5.14‬‬
‫‪9.5.6‬‬
‫המכפלה הפנימית‬
‫‪1‬‬
‫‪δ‬‬
‫‪|G| gh‬‬
‫כעת מתבקש להגדיר מכפלה פנימית על ]‪ ,F [G‬לפי‬
‫⟩‬
‫∑‬
‫∑ ‪1‬‬
‫‪ag g,‬‬
‫= ‪bh h‬‬
‫‪ag bg .‬‬
‫|‪|G‬‬
‫‪g‬‬
‫‪h‬‬
‫= ⟩‪ ,⟨g, h‬כלומר‬
‫⟨‬
‫∑‬
‫‪g‬‬
‫עד כדי כפל בסקלר‪ ,‬זוהי המכפלה הפנימית הסטנדרטית של המרחב הוקטורי‬
‫∼ ]‪ F [G‬המוכל ב־ |‪ .C|G‬נזכיר שהמכפלה הפנימית היא תבנית‬
‫∼ } ‪= {f : G→F‬‬
‫|‪= F |G‬‬
‫סמי־ליניארית‪ ,‬כלומר‪ ⟨b, a⟩ = ⟨a, b⟩ ,‬ולכל ‪ α ∈ F‬מתקיים ⟩‪ ⟨αa, b⟩ = α⟨a, b‬ו־‬
‫‪.⟨a, αb⟩ = α‬‬
‫⟩‪¯ ⟨a, b‬‬
‫‪96‬‬
‫פרק ‪ .9‬הצגות של חבורות‬
‫‪9.5.7‬‬
‫‪ .9.5‬קרקטרים‬
‫בסיס הקרקטרים‬
‫∑‬
‫לכל קרקטר אי־פריק ‪ ,χ‬נסמן ‪χ(g)g‬‬
‫מיחס שור הראשון מתקבל השוויון‬
‫⟨‬
‫∑∑ ⟩‬
‫∑ ‪1‬‬
‫= ⟩‪χ(g)χ′ (h)⟨g, h‬‬
‫‪χ,‬‬
‫= ‪ˆ χˆ′‬‬
‫‪χ(g)χ′ (g) = δχ,χ′ .‬‬
‫|‪|G‬‬
‫‪g‬‬
‫‪g‬‬
‫‪h‬‬
‫‪g∈G‬‬
‫מסקנה ‪ 9.5.15‬האברים ‪χ(g)g‬‬
‫אורתונורמלית‪.‬‬
‫∑‬
‫‪g‬‬
‫= ˆ‪.χ‬‬
‫= ˆ‪ ,χ‬עבור הקרקטרים האי־פריקים‪ ,‬מהווים קבוצה‬
‫בפרט‪,‬‬
‫מסקנה ‪ 9.5.16‬האברים ˆ‪ χ‬השייכים להצגות אי־פריקות שונות הם שונים זה מזה‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬כפי שההצגה מגדירה את הקרקטר‪ ,‬הקרקטר )בינתיים‪ ,‬האי־פריק( קובע את ההצגה‪.‬‬
‫‪ χ‬שייך למרכז של אלגברת החבורה‪ .‬הדרכה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 9.5.17‬לכל קרקטר ‪ ,χ‬האיבר ˆ‬
‫טענה ‪ :9.4.9‬אם ‪ g, g ′‬אברים צמודים‪ ,‬אז ) ‪ ρ(g), ρ(g ′‬הן מטריצות צמודות‪ ,‬ולכן יש להן אותה‬
‫עקבה‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬אלו ‪ t‬וקטורים אורתוגונליים במרחב מממד ‪.t‬‬
‫מסקנה ‪ 9.5.18‬האברים ˆ‪ χ‬מהווים בסיס למרכז של אלגברת החבורה‪.‬‬
‫ביתר פירוט‪ ,‬לכל איבר מרכזי )]‪ f ∈ Z(F [G‬יש הצגה יחידה בצורה‬
‫כאשר הסכום הוא על הקרקטרים האי־פריקים‪ ,‬ולכל ‪ χ′‬מתקיים‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫⟨‬
‫⟩‬
‫⟩‬
‫∑‬
‫⟨ ∑‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫= ‪f, χ‬‬
‫‪tχ χ,‬‬
‫= ‪ˆ χ‬‬
‫‪tχ χ,‬‬
‫‪ˆ χ = tχ′ ,‬‬
‫ˆ‬
‫‪χ tχ χ‬‬
‫∑‬
‫= ‪,f‬‬
‫‪χ‬‬
‫כלומר‪ ,‬לכל )]‪,f ∈ Z(F [G‬‬
‫⟩‪⟨f, χ‬‬
‫‪ˆ χ.‬‬
‫ˆ‬
‫∑‬
‫=‪f‬‬
‫)‪(9.3‬‬
‫‪χ‬‬
‫‪9.5.8‬‬
‫פונקציות המחלקה‬
‫∑‬
‫כל פונקציה ‪ f : G→F‬אפשר לראות כאיבר ‪ g f (g)g‬באלגברת החבורה‪ ,‬ולהיפך‪ .‬למשל‪,‬‬
‫הקרקטר ‪ ,χ‬כפונקציה ‪ ,G→F‬מתאים לאיבר ˆ‪ χ‬של אלגברת החבורה‪ .‬פונקציה ‪f : G→F‬‬
‫המקבלת אותו ערך בכל האברים של אותה מחלקת צמידות נקראת פונקציית מחלקה‪ .‬כעת‬
‫אפשר לפרש את מסקנה ‪:9.5.18‬‬
‫מסקנה ‪ 9.5.19‬הקרקטרים האי־פריקים מהווים בסיס למרחב של פונקציות המחלקה‪.‬‬
‫מספקת‬
‫לאור הפירוש של איברי המרכז כפונקציות מחלקה‪ ,‬נוסחת המקדמים )‪∑ (9.3‬‬
‫= ‪,ρ‬‬
‫מסקנה מבנית חשובה‪ .‬תהי ‪ ρ‬הצגה כלשהי‪ .‬כפי שראינו כבר‪ ,‬אפשר לפרק ‪mu ρu‬‬
‫אי־פריקות‪ ,‬עם מקדמים ‪ .mu ∈ N‬לפי הערה ‪ 9.5.5‬הקרקטרים‬
‫סכום ישר של הצגות‬
‫∑‬
‫= ‪ .χρ‬לפי החישוב לעיל‪ ,‬הקרקטר ‪ χ‬קובע את מקדמי‬
‫מתפרקים באותו אופן‪mu χu :‬‬
‫הפירוק של ‪.mu = ⟨χρ , χ⟩ ,ρ‬‬
‫‪97‬‬
‫◦‬
‫פרק ‪ .9‬הצגות של חבורות‬
‫‪ .9.5‬קרקטרים‬
‫מסקנה ‪ 9.5.20‬הקרקטר קובע את ההצגה‪ :‬אם לשתי הצגות יש אותם קרקטרים‪ ,‬אז הן‬
‫איזומורפיות‪.‬‬
‫‪∑ 2‬‬
‫= ⟩ ‪ ,⟨χρ , χρ‬ובפרט‪:‬‬
‫ועוד מסקנה שימושית‪mu :‬‬
‫מסקנה ‪ 9.5.21‬הצגה ‪ ρ‬היא אי־פריקה אם ורק אם הקרקטר שלה הוא בעל נורמה ‪.1‬‬
‫האידמפוטנטים האורתוגונליים‬
‫‪9.5.9‬‬
‫∑‬
‫= ˆ‪ ,χ‬נכליל את החישוב שבתת־סעיף‬
‫כדי להעמיק את תפקידם של אברי המרכז ‪χ(g)g‬‬
‫)‪(v‬‬
‫‪ .9.5.3‬ניקח ביחסי שור ‪ ,j = i‬ונכפיל את היחס בסקלר )‪ ,ρℓk (h‬כאשר ‪ h ∈ G‬קבוע‪:‬‬
‫)‪|G| (v‬‬
‫‪ρ (h).‬‬
‫‪nu ℓk‬‬
‫‪ρii (g)ρkℓ (g −1 )ρℓk (h) = δuv δik δiℓ‬‬
‫)‪(v‬‬
‫)‪(u‬‬
‫)‪(v‬‬
‫∑‬
‫‪g∈G‬‬
‫סיכום על כל הערכים של ‪ i, k, ℓ‬נותן‬
‫)‪ρkk (g −1 h‬‬
‫)‪(v‬‬
‫∑‬
‫)‪χu (g‬‬
‫‪g∈G‬‬
‫‪k‬‬
‫‪(ρ(v) (g −1 )ρ(v) (h))kk‬‬
‫))‬
‫)‪ρkℓ (g −1 )ρℓk (h‬‬
‫)‪(v‬‬
‫)‪(v‬‬
‫(‬
‫∑ ∑‬
‫‪ℓ‬‬
‫)‪δik δiℓ ρℓk (h‬‬
‫)‪(u‬‬
‫)‪ρii (g‬‬
‫‪i‬‬
‫‪k‬‬
‫)‪(v‬‬
‫‪ρii (h) = δuv‬‬
‫לכל קרקטר אי־פריק ‪ ,χ‬נסמן‬
‫(‬
‫∑ ∑‬
‫‪i‬‬
‫‪nv‬‬
‫∑ |‪|G‬‬
‫‪i‬‬
‫)‪χ(1‬‬
‫ˆ‪χ‬‬
‫|‪|G‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪g∈G‬‬
‫∑ ∑ ∑ |‪|G‬‬
‫‪ℓ‬‬
‫|‪|G‬‬
‫‪χv (h).‬‬
‫‪nv‬‬
‫)‪χu (g‬‬
‫∑‬
‫‪g∈G‬‬
‫‪g∈G‬‬
‫‪k‬‬
‫()‬
‫‪k‬‬
‫)‪(v‬‬
‫∑‬
‫∑‬
‫= )‪χu (g)χv (g −1 h‬‬
‫∑‬
‫‪nv‬‬
‫‪= δuv‬‬
‫‪= δuv‬‬
‫= ‪.eχ‬‬
‫טענה ‪ 9.5.22‬האברים ‪ eχ‬הם אידמפוטנטים )מרכזיים(‪.‬‬
‫הוכחה‪.‬‬
‫(‬
‫)‬
‫∑ ∑ ‪nu nv‬‬
‫=‬
‫‪χu (g)χv (g −1 h) h‬‬
‫‪|G|2 h∈G‬‬
‫‪g‬‬
‫∑ ‪nv‬‬
‫‪χv (h)h‬‬
‫‪= δuv‬‬
‫‪|G| h∈G‬‬
‫‪eχu eχv‬‬
‫‪= δuv eχv‬‬
‫‬
‫‪98‬‬
‫‪ .9.5‬קרקטרים‬
‫פרק ‪ .9‬הצגות של חבורות‬
‫‪∏t‬‬
‫יש רק מערכת אחת של אידמפוטנטים מרכזיים‬
‫אבל באלגברה ) ‪i=1 Mni (F‬‬
‫המערכת של המטריצות הסקלריות ברכיבים השונים‪ .‬מכאן‬
‫אורתוגונליים‪ ,‬הלוא היא ‪∏t‬‬
‫שהאיזומורפיזם ) ‪ F [G]→ u=1 Mnu (F‬שולח את האידמפוטנטים ‪ eχ‬למטריצות היחידה‬
‫∼ ‪.F [G]→F [G]eχu‬‬
‫ברכיבים השונים‪ .‬למעשה‪ ,‬כפל ב־ ‪ eχu‬משרה אפימורפיזם ) ‪= Mnu (F‬‬
‫כדי לחשב את ההצגה במרכיב המתאים ל־ ‪ ,eχu‬בחר איבר גנרי ]‪ ;a ∈ F [G‬בהסתברות‬
‫ערכים עצמיים שונים ‪ ,λ1 , . . . , λnu‬ועל־ידי הצבה בפולינומי‬
‫‪ ,1‬המטריצה ‪ eχu a‬בעלת ‪nu‬‬
‫∏‬
‫האינטרפולציה ) ‪ , (λ−λi )/(λj −λi‬מקבלים אידמפטונטים ‪ eii‬השייכים למרכיב ‪.F [G]eχu‬‬
‫פתור את המשוואות ‪ eii x = xejj = x‬כדי למצוא את יחידות המטריצות עד כדי סקלרים‪.‬‬
‫קבע את ‪ ;x1i‬מכאן קבל את ‪ xi1‬ככפולות של ‪ ei1‬כך ש־ ‪ ;x1i xi1 = e11‬ואז קבע ‪;xij = xi1 x1j‬‬
‫יחד‪ ,‬זו מערכת של יחידות מטריצות‪ ,‬וההצגה ‪ ρ‬מתקבלת במפורש כך‪ :‬לכל ‪ ,g ∈ G‬הבע‬
‫את ‪ geχ‬כצירוף לינארי של ה־ ‪ ;xij‬המקדמים מרכיבים את המטריצה )‪.ρ(g‬‬
‫‪9.5.10‬‬
‫טבלת הקרקטרים‬
‫לפי תרגיל ‪ ,9.5.17‬לכן אפשר לקודד את כל הערכים של הקרקטרים על אברי החבורה‬
‫באמצעות הערכים שלהם על נציגים ממחלקות הצמידות‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 9.5.23‬המטריצה ) ‪ ,Xij = χi (gj‬כאשר ‪ gj ∈ Cj‬איברים כלשהם )הערכים אינם תלויים בבחירת‬
‫הנציגים( נקראת מטריצת הקרקטרים של ‪ .G‬זוהי מטריצה ריבועית‪.X ∈ Mt (C) :‬‬
‫נוסף לסימונים בראש תת־סעיף ‪ ,9.5.1‬נסמן ב־| ‪ hi = |Ci‬את הגדלים של מחלקות‬
‫הצמידות‪ .‬אפשר להניח שהמחלקות של אברים במרכז מופיעות ראשונות‪ ,‬כשהמחלקה של‬
‫איבר היחידה בראש‪ .‬בפרט ‪ ,h1 = 1‬ו־ ‪ .Xi1 = χi (1) = tr(ρi (1)) = ni‬נסמן גם‬
‫) ‪ .H = diag(h1 , h2 , . . . , ht‬נפרש את היחס )‪ (9.1‬בשפה החדשה‪:‬‬
‫‪χu (g)χv (g) = δuv |G|,‬‬
‫∑‬
‫= ) ‪χu (gi )χv (gi‬‬
‫‪g∈G‬‬
‫∑∑‬
‫‪g∈Ci‬‬
‫ולכן‬
‫‪hj Xuj Xvj = δuv |G|.‬‬
‫‪t‬‬
‫∑‬
‫= ) ‪hi χu (gi )χv (gi‬‬
‫‪i‬‬
‫∑‬
‫)‪(9.4‬‬
‫‪i‬‬
‫= ‪(XHX t )uv‬‬
‫‪j=1‬‬
‫כלומר‪ ,XHX t = |G| · I ,‬כאשר ‪ I‬היא מטריצת היחידה‪.‬‬
‫∏‬
‫‪ .|det(X)|2 = |G|t j h−1‬בפרט‪ X ,‬הפיכה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 9.5.24‬הראה ש־ ‪j‬‬
‫תרגיל ‪ 9.5.25‬תהי ‪ X‬טבלת הקרקטרים של חבורה אבלית ‪ .G‬הראה ש־= |)‪|det(X‬‬
‫‪.|G||G|/2‬‬
‫תרגיל ‪ 9.5.26‬תהי )‪ A ∈ Mn (C‬המטריצה הסיבובית המוגדרת לפי ‪ Aij = ρij‬כאשר ‪ρ‬‬
‫שורש יחידה מסדר ‪ .n‬חשב את )‪.det(A‬‬
‫∑‬
‫|‪. u χu (gi )χu (gj ) = δij |G‬‬
‫טענה ‪) 9.5.27‬יחס שור השני( לכל ‪,i, j‬‬
‫‪hi‬‬
‫הוכחה‪ .‬הוכחנו ש־‪ .XHX t = |G| · I‬נצמיד ב־‪ X‬ונקבל ‪ .X t X = |G| · H −1‬מהשוואת רכיבים‬
‫∑‬
‫∑‬
‫‬
‫|‪. u χu (gi )χu (gj ) = u X t iu Xuj = (X t X)ij = |G|(H −1 )ij = δij |G‬‬
‫מתקבל‬
‫‪hi‬‬
‫כלומר‪ ,‬כאשר מתבוננים בשתי עמודות ‪ u ̸= v‬של טבלת הקרקטרים‪ ,‬הן אורתוגונליות‬
‫|‪. |G‬‬
‫כווקטורים במרחב ‪ ;Ct‬ואילו הנורמה־בריבוע של העמודה ה־‪ u‬שווה ל־‬
‫‪hu‬‬
‫‪99‬‬
‫‪ .9.5‬קרקטרים‬
‫‪9.5.11‬‬
‫פרק ‪ .9‬הצגות של חבורות‬
‫דוגמאות‬
‫נציג את טבלאות הקרקטרים של כמה חבורות‪ .‬לצד כל שורה נכתוב את שם הקרקטר‪,‬‬
‫ומעל לעמודה נכתוב את שם מחלקת השקילות ומספר האברים במחלקה )לפעמים שימושי‬
‫גם לדעת מיהם האברים במחלקה‪ ,‬ומה הסדר שלהם(‪.‬‬
‫דוגמא ‪ .G = Z/3Z = {0, 1, 2} 9.5.28‬זוהי חבורה אבלית‪ ,‬ולכן כל ההצגות חד־ממדיות‪:‬‬
‫}‪{0} {1} {2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ω ω −1‬‬
‫‪1 ω −1 ω‬‬
‫‪χ1‬‬
‫‪χ2‬‬
‫‪χ3‬‬
‫דוגמא ‪ .G = Z/2Z × Z/2Z = ⟨x, y | x2 = y 2 = [x, y] = 1⟩ 9.5.29‬גם כאן כל ההצגות‬
‫חד־ממדיות‪:‬‬
‫‪1 x‬‬
‫‪y xy‬‬
‫‪χ0 1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪χ1 1 1 −1 −1‬‬
‫‪χ2 1 −1 1 −1‬‬
‫‪χ3 1 −1 −1 1‬‬
‫דוגמא ‪ .G = S3 9.5.30‬יש שלוש מחלקות צמידות ולכן שלוש הצגות‪ ,‬שמצאנו בתרגיל ‪.9.4.15‬‬
‫נראה כיצד למצוא את הטבלה ישירות‪ .‬את ההצגות הלינאריות קל לחשב‪ ,‬והן מותירות הצגה‬
‫דו־ממדית אחת‪ ,‬עם ערכים ‪ a, b‬שאותם נמצא בעזרת חוקי האורתוגונליות‪:‬‬
‫)· · ·( )··( ‪1‬‬
‫‪χ1 1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪sgn 1 −1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪χ 2 a‬‬
‫‪b‬‬
‫מחישוב המכפלות הפנימיות מקבלים ‪ 0 = ⟨χ1 , χ⟩ = 2 + 3a + 2b‬ו־= ⟩‪0 = ⟨sgn, χ‬‬
‫‪ ,2 − 3a + 2b‬ולכן ‪ a = 0‬ו־‪.b = −1‬‬
‫∼ ‪ .G/G′‬הרמת ההצגות מספקת‬
‫דוגמא ‪ :G = D4 9.5.31‬חמש מחלקות צמידות‪ ,‬עם ‪= Z2 ×Z2‬‬
‫את ארבע השורות הראשונות‪ ,‬והאורתוגונליות את השורה החמישית‪ .‬הראה שהאוטומורפיזם‬
‫החיצוני ‪ τ 7→ στ ,σ 7→ σ‬מחליף )בפעולה של הערה ‪ (9.5.14‬את ‪ ,χ3 , χ4‬ומשאיר את שאר‬
‫ההצגות במקומן‪.‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 σ 2 τ στ σ‬‬
‫‪χ1 1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪χ2 1 1 −1 −1 1‬‬
‫‪χ3 1 1‬‬
‫‪1 −1 −1‬‬
‫‪χ4 1 1 −1 1 −1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪χ 2 −2 0‬‬
‫‪100‬‬
‫‪ .9.5‬קרקטרים‬
‫פרק ‪ .9‬הצגות של חבורות‬
‫דוגמא ‪ .G = S4 9.5.32‬לחבורה הזו יש חמש מחלקות צמידות‪ ,‬וחבורת הקומוטטורים שווה‬
‫∼ ‪) S4 /K4‬כאשר = ‪K4‬‬
‫ל־ ‪ ,A4‬כך שיש לה שתי הצגות לינאריות‪ .‬למעשה‪ ,‬מכיוון ש־ ‪= S3‬‬
‫⟩)‪ ,⟨(12)(34), (13)(24‬לפי הפעולה על חלוקות של }‪ {1, 2, 3, 4‬לזוגות(‪ ,‬אפשר להרים את‬
‫ההצגות של ‪ ,S3‬וזה משאיר עוד שתי הצגות‪ .‬אם נסמן את הממדים ב־ ‪ ,n4 , n5‬נקבל ‪12 + 12 +‬‬
‫‪ ,22 + n24 + n25 = 24‬ולכן ‪ .n4 = n5 = 3‬כך מגיעים לטבלה הבאה‪:‬‬
‫‪1 6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫)··()··( )· · · ·( )· · ·( )··( ‪1‬‬
‫‪χ1 1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪sgn 1 −1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪χ 2 0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪χ3 3 a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪d‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪χ3′ 3 a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪d′‬‬
‫מחישוב המכפלות הפנימיות מקבלים ‪ 0 = ⟨χ1 , χ3 ⟩ = 3 + 6a + 8b + 6c + 3d‬ו־= ‪0‬‬
‫‪ ,⟨sgn, χ3 ⟩ = 3 − 6a + 8b − 6c + 3d‬כך ש־‪ a + c = 0‬ו־‪ .3 + 8b + 3d = 0‬לזה אפשר‬
‫להוסיף את העובדה שכל אחד מן הערכים ‪ a, b, c, d‬הוא סכום של שלושה שורשי יחידה מהסדר‬
‫המתאים למחלקה )‪ ,4 ,3 ,2‬ו־‪ 2‬בהתאמה(‪ .‬לכן }‪ ,d, c = −a ∈ {±1, ±3‬ולפי המשוואות גם‬
‫‪ ,b = − 38 (1 + d) ∈ Q‬וכסכום של שורשי יחידה מסדר שלוש נובע ש־}‪ .b ∈ {3, 0‬אבל ‪b = 3‬‬
‫בלתי אפשרי‪ ,‬ולכן ‪ b = 0‬ו־‪ .d = −1‬הנימוקים האלו חלים על השורה ‪ .χ3′‬יחס שור השני על‬
‫המחלקות )··( ‪ 1,‬נותן את המשוואה ‪ ,0 = 1 − 1 + 0 + 3a + 3a′‬כך ש־‪ .a′ = −a‬אותו יחס‬
‫‪ , 24‬כך ש־‪ .a2 = 1‬לכן הטבלה היא‬
‫על המחלקה )··( מול עצמה נותן ‪= 1 + 1 + a2 + a2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1 6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫)··()··( )· · · ·( )· · ·( )··( ‪1‬‬
‫‪χ1 1 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪sgn 1 −1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪χ 2 0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪χ3 3 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪χ3′ 3 −1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪9.5.12‬‬
‫אלגברת מחלקות הצמידות‬
‫∑‬
‫לכל מחלקת צמידות ‪ C ⊆ G‬סימנּו ‪ ,Cˆ = g∈C g‬וראינו שאברים אלו מהווים בסיס למרכז‬
‫של אלגברת החבורה‪ .‬מכיוון ש־ ‪ Cˆi‬במרכז של אלגברת החבורה‪ ,‬הפעלת ההצגה ה־‪ u‬נותנת‬
‫מטריצה סקלרית‪ ,‬שהעקבה שלה ) ‪ .χu (Cˆi ) = hi χu (gi‬לכן ) ‪.ρ(u) (Cˆi ) = nhui χu (gi‬‬
‫לכל שלוש מחלקות ‪ ,Ci , Cj , Ck‬ולכל ‪ ,xk ∈ Ck‬נסמן ב־‪ mkij ∈ Z‬את מספר הפתרונות‬
‫למשוואה ‪ ,xi xj = xk‬עם ‪ .xj ∈ Cj ,xi ∈ Ci‬על־ידי הצמדה רואים שהמספר אינו תלוי‬
‫בבחירת ‪ .xk ∈ Ck‬השוואת מקדמים מראה ש־‬
‫∑‬
‫‪mkij Cˆk .‬‬
‫= ‪Cˆi Cˆj‬‬
‫‪k‬‬
‫נפעיל את ההצגה ה־‪ ,u‬ונקבל‬
‫∑‬
‫‪hj‬‬
‫‪hk‬‬
‫‪hi‬‬
‫= ) ‪χu (gi ) χu (gj‬‬
‫‪mkij χu (gk ),‬‬
‫‪nu‬‬
‫‪nu‬‬
‫‪nu‬‬
‫‪k‬‬
‫‪101‬‬
‫פרק ‪ .9‬הצגות של חבורות‬
‫‪ .9.5‬קרקטרים‬
‫כלומר‪ ,‬המודול ) ‪ ,Z nhu1 χu (g1 ) + · · · + Z nhut χu (gt‬שהוא נוצר סופית‪ ,‬סגור לכפל‪ .‬לכן כל‬
‫איבר שלו הוא שלם אלגברי‪:‬‬
‫טענה ‪ 9.5.33‬לכל ‪,u, i‬‬
‫‪hi‬‬
‫) ‪χ (g‬‬
‫‪nu u i‬‬
‫הוא שלם אלגברי‪.‬‬
‫משפט ‪ 9.5.34‬הממד של הצגה אי־פריקה מחלק את סדר החבורה‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי )‪,(9.4‬‬
‫‪χu (gi ),‬‬
‫) ‪∑ hi χu (gi‬‬
‫‪nu‬‬
‫‪i‬‬
‫|‪|G‬‬
‫=‬
‫‪nu‬‬
‫וזהו סכום של מכפלות של שלמים אלגבריים‪ .‬לכן המספר הרציונלי‬
‫‪9.5.13‬‬
‫◦‬
‫◦‬
‫|‪|G‬‬
‫‪nu‬‬
‫הוא שלם אלגברי‪ ,‬ולכן שלם‪ .‬‬
‫משפט ברנסייד‬
‫תרגיל ‪ 9.5.35‬תהי ) ‪ A ∈ Mn (F‬מטריצה המקיימת ‪ Ad = 1‬כאשר ‪ d‬זר ל־ ‪ .charF‬הראה‬
‫שאם הפולינום האופייני של ‪ A‬מתפצל ב־ ‪ F‬וכל הערכים העצמיים של ‪ A‬שווים‪ ,‬אז ‪A‬‬
‫סקלרית‪.‬‬
‫למה ‪ 9.5.36‬אם ‪ (nu , hi ) = 1‬אז או ש־‪ χu (gi ) = 0‬או ש־) ‪ ρu (gi‬סקלרית‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬נכתוב ‪ snu + s′ hi = 1‬עבור ‪ .s, s′ ∈ Z‬נתבונן בערך ) ‪ ,α = χun(gu i‬אז ‪α = sχu (gi ) +‬‬
‫‪′ hi‬‬
‫צירוף שלם של שלמים אלגבריים‪ ,‬ולכן שלם אלגברי בעצמו‪ .‬לכן גם כל )‪ σ(α‬הוא שלם‬
‫) ‪ s nu χu (gi‬הוא ∏‬
‫אלגברי‪ ,‬וגם )‪ N(α) = NQ[ωN ]/Q (α) = σ σ(α‬שלם אלגברי‪.‬‬
‫נסמן ב־ ‪ N‬את הסדר של ‪ ,gi‬וב־ ‪ ωN‬שורש יחידה פרימיטיבי מסדר ‪ ,N‬כך ש־] ‪ .α ∈ Q[ωN‬לפי‬
‫הערה ‪ ,|α| ≤ 1 ,9.5.10‬ואותו נימוק חל על )‪ σ(α‬לכל )‪ .σ ∈ Gal(Q[ωN ]/Q‬לכן גם ‪N(α) ∈ Q‬‬
‫הוא בעל ערך מוחלט קטן או שווה ל־‪ ,1‬ומכאן ש־‪ .N(α) = 0, ±1‬לכן גם ‪ α = 0‬או ‪;|α| = 1‬‬
‫‬
‫‪ χu (gi ) = 0‬במקרה הראשון‪ ,‬ו־) ‪ ρu (gi‬סקלרית בשני לפי תרגיל ‪.9.5.35‬‬
‫◦‬
‫מסקנה ‪ 9.5.37‬נניח ש־‪ G‬פשוטה לא אבלית‪.‬‬
‫‪ (dim(ρ), hi ) = 1‬אז ‪.χρ (gi ) = 0‬‬
‫אם ‪ ρ‬הצגה אי־פריקה לא־טריוויאלית ו־‬
‫הוכחה‪ .‬מכיוון ש־‪ G‬פשוטה וההצגה לא טריוויאלית‪ .K = Ker(ρ(u) ) = 1 ,‬נתבונן בתמונה ההפוכה של‬
‫המטריצות הסקלריות‪ ;N = (ρ(u) )−1 (Z(GLnu (F ))) ,‬גם זו תת־חבורה נורמלית של ‪ ,G‬ולכן ‪N = 1‬‬
‫או ‪ .N = G‬במקרה השני ‪ ρ‬משכן את ‪ G‬בתוך חבורת המטריצות הסקלריות‪ ,‬בסתירה להנחה ש־‪ G‬לא‬
‫‬
‫אבלית‪ .‬לכן ‪ ,N = 1‬כלומר )‪ ρ(g‬אינה סקלרית‪ ,‬ולכן ‪ χu (gi ) = 0‬לפי למה ‪.9.5.36‬‬
‫◦‬
‫למה ‪ 9.5.38‬תהי ‪ G‬חבורה פשוטה‪ .‬אז אין ב־‪ G‬מחלקת צמידות מסדר חזקה של ראשוני‪.‬‬
‫מחלקת הצמידות ‪ Ci‬הוא∑חזקה של הראשוני‬
‫הוכחה‪ .‬אפשר להניח ש־‪ G‬לא אבלית‪ .‬נניח שהגודל ‪ hi‬של ∑‬
‫‪ ,p‬ונקבע ‪ .gi ∈ Ci‬לפי יחס שור השני‪ . u nu χu (gi ) = u χu (gi )χu (1) = 0 ,‬בסכום משמאל‬
‫משתתפים שלושה מרכיבים‪ χ1 (gi ) = 1 :‬עבור ההצגה הטריוויאלית‪ ,‬הסכום עבור ההצגות ממימד זר ל־‪p‬‬
‫שהוא אפס לפי מסקנה ‪ ,9.5.37‬והסכום עבור הצגות שממימדן מתחלק ב־‪ .p‬מכיוון שהסכום הוא אפס יוצא‬
‫‬
‫ש־ ‪ p1‬שלם אלגברי‪ ,‬בסתירה‪.‬‬
‫משפט ‪) 9.5.39‬משפט ברנסייד( חבורה מסדר ‪ pi q j‬אינה פשוטה‪.‬‬
‫‪102‬‬
‫‪ .9.5‬קרקטרים‬
‫פרק ‪ .9‬הצגות של חבורות‬
‫במר ָכז ) ‪ ,Z = Z(P‬שאינו טריוויאלי כי ‪ P‬חבורת־‪.p‬‬
‫הוכחה‪ .‬תהי ‪ P‬תת־חבורת ‪p‬־סילו של ‪ .G‬נתבונן ְ‬
‫במרכז )‪ ,H = CG (z‬המכיל את ‪ .P‬לכן ]‪ [G : H‬הוא חזקה של ‪ ;q‬אבל זהו‬
‫ֵּ‬
‫נבחר ‪ ,1 ̸= z ∈ Z‬ונתבונן‬
‫מספר האברים במחלקת הצמידות של ‪ ,z‬שאינו יכול להיות חזקת ראשוני לפי למה ‪ ,9.5.38‬ולכן הוא שווה‬
‫‬
‫ל־‪ .1‬כלומר‪ ,z ∈ Z(G) ,‬בסתירה להנחה ש־‪ G‬פשוטה‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 9.5.40‬כל חבורה ‪ G‬מסדר ‪ pi q j‬היא פתירה‪.‬‬
‫הוכחה‪ .‬לפי המשפט יש לחבורה כזו תת־חבורה נורמלית ‪ ,N‬ולפי הנחת האינדוקציה ‪ N, G/N‬פתירות‪.‬‬
‫‪103‬‬
‫פרק ‪ .9‬הצגות של חבורות‬
‫‪ .9.5‬קרקטרים‬
‫‪104‬‬
‫פרק ‪10‬‬
‫המכפלה הטנזורית‬
‫‪10.1‬‬
‫מכפלה טנזורית של מטריצות‬
‫כאשר מבצעים חישובים במטריצות בלוקים‪ ,‬נוח להגדיר את הסכום הישר ‪ A ⊕ B‬כמטריצה‬
‫שממדיה הם סכום הממדים של ‪ A‬ו־‪ ,B‬עם שני הבלוקים ‪ A, B‬באלכסון‪.‬‬
‫תהיינה ) ‪ A ∈ Mn (F‬ו־) ‪ .B ∈ Mm (F‬מגדירים ) ‪ A⊗B ∈ Mnm (F‬כמטריצה של ‪n × n‬‬
‫בלוקים‪ ,‬שרכיביה הם ‪ .aij B‬מכפלה זו )שאפשר להגדיר בדיוק באותו אופן גם למטריצות‬
‫לא ריבועיות( מקיימת את התכונות‪:‬‬
‫; ‪A⊗(B ⊕ B ′ ) = A⊗B ⊕ A⊗B ′‬‬
‫; ‪A⊗(B + B ′ ) = A⊗B + A⊗B ′‬‬
‫‪(A⊗B)(A′ ⊗B ′ ) = AA′ ⊗BB ′ .‬‬
‫תרגיל ‪.tr(A⊗B) = tr(A)tr(B) 10.1.1‬‬
‫תרגיל ‪ 10.1.2‬חשב את הדטרמיננטה )‪ det(A⊗B‬כפונקציה של )‪ det(B) ,det(A‬וממדי‬
‫המטריצות‪.‬‬
‫‪10.2‬‬
‫מכפלה טנזורית של מרחבים וקטוריים‬
‫סכום ישר של מרחבים וקטוריים מוגדר לפי ‪ .F n ⊕ F m = F n+m‬את המכפלה נגדיר באותו‬
‫אופן‪ .F n ⊗F m = F nm ,‬נניח ש־) ‪ A ∈ Mn (F‬ו־) ‪ .A′ ∈ Mn′ (F‬הסכום הישר ‪A ⊕ A′‬‬
‫מגדיר העתקה לינארית על הסכום הישר של המרחבים‪ ,‬לפי ‪.(A ⊕ A′ )(v ⊕ v ′ ) = Av ⊕ A′ v ′‬‬
‫בדומה לזה‪ ,‬נרצה שהמכפלה הטנזורית ‪ A⊗A′‬תהיה העתקה ‪.F n ⊗F m →F n ⊗F m‬‬
‫במקום להגביל}את{ התאור לבסיסים הסטנדרטיים‪ ,‬נתבונן במקרה הכללי‪ .‬נבחר בסיסים‬
‫} ‪ B = {bi‬ו־ ‪ B ′ = b′j‬של מרחבים וקטוריים ‪ ,V, V ′‬בהתאמה‪ ,‬ונגדיר את ‪V ⊗V ′‬‬
‫}‬
‫{‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫הסמלים‬
‫כמרחב הוקטורי‬
‫‪ .B⊗B‬ברור ש־‬
‫=‬
‫‪b‬‬
‫‪⊗b‬‬
‫‪i‬‬
‫‪j‬‬
‫‪∑ ′ ′‬‬
‫שנפרש‪ ,‬פורמלית‪ ,‬על־ידי קבוצת ∑‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫= ‪ v‬נסמן‬
‫= ‪ v‬ו־ ‪αi′ bi′ ∈ V‬‬
‫‪ .dim(V ⊗V ) = dim(V‬לכל ‪αi bi ∈ V‬‬
‫) ‪) dim(V ′‬‬
‫∑‬
‫‪′‬‬
‫‪.v⊗v = i,i′ αi αi′ ′ bi ⊗b′i′‬‬
‫‪105‬‬
‫פרק ‪ .10‬המכפלה הטנזורית‬
‫‪ .10.3‬מכפלה טנזורית של אלגברות‬
‫תרגיל ‪ 10.2.1‬הוכח את התכונות ‪,u⊗(v+w) = u⊗v+u⊗w ,(u+v)⊗w = u⊗w+v⊗w‬‬
‫)‪.(αu)⊗w = u⊗(αw) = α(u⊗w‬‬
‫נגדיר את‬
‫תרגיל ‪ 10.2.2‬תהיינה ‪ T : V →V‬ו־ ‪ T ′ : V ′ →V ′‬העתקות לינאריות‪.‬‬
‫המכפלה ‪ T ⊗T ′ : V ⊗V ′ →V ⊗V ′‬לפי ) ‪ .(T ⊗T ′ )(bi ⊗b′i′ ) = T (bi )⊗T ′ (b′i′‬הראה ש־‬
‫‪.[T ⊗T ′ ]B⊗B ′ = [T ]B ⊗[T ′ ]B ′‬‬
‫‪10.3‬‬
‫מכפלה טנזורית של אלגברות‬
‫בהמשך לסעיף הקודם‪ ,‬נניח ש־ ‪ A, A′‬אלגברות מעל שדה ‪ .F‬על המכפלה הטנזורית ‪A⊗A′‬‬
‫אפשר להגדיר כפל לפי ‪.(a⊗a′ )(b⊗b′ ) = ab⊗a′ b′‬‬
‫תרגיל ‪ 10.3.1‬בהנחה ש־ ‪ A, A′‬אלגברות אסוציאטיביות‪ ,‬גם ‪ A⊗A′‬אסוציאטיבית‪) .‬זו‬
‫תכונה קלה‪ ,‬אבל לא טריוויאלית‪ :‬מכפלה טנזורית של אלגברות לי‪ ,‬למשל‪ ,‬אינה‬
‫אלגברת לי‪ .‬אבל אם ‪ C‬אלגברה קומוטטיבית אסוציאטיבית ו־‪ L‬אלגברת לי‪ ,‬אז‬
‫‪ C⊗L‬היא אלגברת לי‪(.‬‬
‫תת־האלגברות ‪ A⊗F‬ו־ ‪ F ⊗A′‬של ‪ A⊗A′‬איזומורפיות ל־‪ A‬ול־ ‪ A′‬בהתאמה‪ ,‬ומתחלפות‬
‫איבר איבר‪) .‬המכפלה הטנזורית היא האלגברה הקטנה ביותר המכילה עותקים מתחלפים‬
‫של שתי האלגברות‪(.‬‬
‫∼ ‪.F ⊗A‬‬
‫תרגיל ‪= A 10.3.2‬‬
‫∼ )‪.A⊗(B⊗C‬‬
‫∼ ‪= (A⊗B)⊗C ;A⊗B‬‬
‫תרגיל ‪= B⊗A 10.3.3‬‬
‫תרגיל ‪ 10.3.4‬הראה ש־) ‪.Z(A⊗A′ ) = Z(A)⊗Z(A′‬‬
‫דוגמא ‪ 10.3.5‬נניח ש־‪ A‬אלגברה מעל שדה ‪ ,F‬ו־ ‪ K ⊇ F‬הרחבה‪ .‬אז ‪ K⊗F A‬היא אלגברה‬
‫מעל ‪ ,K⊗F F = K‬עם )‪.dimK (K⊗F A) = dimF (A‬‬
‫∼ ) ‪.Mn (F )⊗Mm (F‬‬
‫תרגיל ‪= Mnm (F ) 10.3.6‬‬
‫∼ ‪.F [λ]⊗A‬‬
‫תרגיל ‪ 10.3.7‬תהי ‪ A‬אלגברה מעל ‪ ,F‬אז ]‪= A[λ‬‬
‫√‬
‫√‬
‫√ √‬
‫∼ ]‪.Q[ 2]⊗ Q Q[ 7‬‬
‫תרגיל ‪= Q[ 2, 7] 10.3.8‬‬
‫∼ ‪ .K⊗ F K‬למשל‪,‬‬
‫תרגיל ‪ 10.3.9‬לכל הרחבה ריבועית )במאפיין שונה מ־‪= K × K ,(2‬‬
‫∼ ‪.C⊗ R C‬‬
‫‪=C×C‬‬
‫‪106‬‬
‫פרק ‪ .10‬המכפלה הטנזורית‬
‫‪10.4‬‬
‫‪ .10.4‬מכפלה טנזורית של הצגות‬
‫מכפלה טנזורית של הצגות‬
‫סכום ישר של המטריצות מוביל להגדרת סכום ישר של הצגות‪(ψ ⊕ ψ ′ )(g) = ψ(g) ⊕ :‬‬
‫)‪ .ψ ′ (g‬באותו אופן‪ ,‬מכפלה טנזורית של מטריצות מאפשרת להגדיר מכפלה טנזורית של‬
‫הצגות‪ ,‬שהיא הצגה של המכפלה הקרטזית של שתי חבורות‪ :‬בהנתן ) ‪ψ : F [G]→Mn (F‬‬
‫ו־) ‪ ,ψ ′ : F [G′ ]→Mn′ (F‬מגדירים‬
‫) ‪ψ⊗ψ ′ : G × G′ →Mnn′ (F‬‬
‫לפי ) ‪.(ψ⊗ψ ′ )(g, g ′ ) = ψ(g)⊗ψ ′ (g ′‬‬
‫תרגיל ‪ 10.4.1‬הראה ש־ ‪ ψ⊗ψ ′‬היא אכן הצגה של ‪.G × G′‬‬
‫תרגיל ‪ 10.4.2‬הקרקטר של הצגה כזו הוא מכפלת הקרקטרים‪.χψ⊗ψ′ = χψ χψ′ :‬‬
‫∼ ]‪.F [G × H‬‬
‫טענה ‪ 10.4.3‬לכל שתי חבורות ‪= F [G] ⊗F F [H] ,G, H‬‬
‫מסקנה ‪ 10.4.4‬נסמן ב־ ‪ XG‬את טבלת הקרקטרים של החבורה ‪ .G‬אז בסידור מתאים של‬
‫מחלקות הצמידות וההצגות‪.XG×H = XG ⊗XH ,‬‬
‫‪10.5‬‬
‫מכפלה טנזורית של מודולים‬
‫עד כאן יכולנו להעזר בבסיס מעל שדה‪ .‬מאד לא נוח לעבוד עם הגדרה כזו‪ ,‬משום שבכל‬
‫צעד צריך להוכיח שהתוצאה אינה תלויה בבסיס‪ .‬יתרה מזו‪ ,‬אנו רוצים הגדרה שתפעל גם‬
‫כאשר אין בסיס כלל‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 10.5.1‬יהי ‪ R‬חוג‪ ,‬ויהיו ‪ MR‬מודול ימני ו־ ‪ R N‬מודול שמאלי‪ .‬אז המכפלה הטנזורית ‪N ⊗ R M‬‬
‫היא החבורה האבלית הנוצרת על־ידי הסמלים ‪ ,(m ∈ M, n ∈ N ) m⊗n‬בכפוף ליחסים הבאים‪:‬‬
‫) ‪(m, m′ ∈ M, n ∈ N‬‬
‫‪(m + m′ )⊗n = m⊗n + m′ ⊗n,‬‬
‫) ‪(m ∈ M, n, n′ ∈ N‬‬
‫‪m⊗(n + n′ ) = m⊗n + m⊗n′ ,‬‬
‫‪(m ∈ M, n ∈ N, α ∈ R).‬‬
‫‪mα⊗n = m⊗αn‬‬
‫בניגוד למכפלה טנזורית של אלגברות‪ ,‬המכילה עותק של שני הגורמים‪ ,‬מכפלה טנזורית‬
‫מעל חוג כללי אינה "שטוחה"‪ ,‬ומידע עלול ללכת לאיבוד‪.‬‬
‫תרגיל ‪.(Z/4Z)⊗(Z/3Z) = 0 10.5.2‬‬
‫כדי להוכיח תכונות של המכפלה הטנזורית‪ ,‬בהעדר שדה בסיס שמעליו אפשר להפעיל‬
‫אלגברה לינארית‪ ,‬נגדיר את המושג הטכני הבא‪:‬‬
‫‪107‬‬
‫פרק ‪ .10‬המכפלה הטנזורית‬
‫‪ .10.5‬מכפלה טנזורית של מודולים‬
‫הגדרה ‪ 10.5.3‬יהיו ‪ M, N‬מודולים כבהגדרה הקודמת‪ ,‬ותהי ‪ C‬חבורה אבלית‪ .‬העתקה מאוזנת היא‬
‫פונקציה ‪ f : M × N →C‬המקיימת את שלוש התכונות )‪,f (m + m′ , n) = f (m, n) + f (m′ , n‬‬
‫) ‪ ,f (m, n + n′ ) = f (m, n) + f (m, n′‬ו־)‪) f (mα, n) = f (m, αn‬זהו אינו הומומורפיזם של‬
‫חבורות; המבנה של ‪ M × N‬כחבורה חיבורית‪ ,‬שבה ) ‪ ,(m, n) + (m′ , n′ ) = (m + m′ , n + n′‬אינו‬
‫בא כאן לידי ביטוי כלל(‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 10.5.4‬נאמר שחבורה ‪ T‬עם פונקציה ‪ θ : M × N →T‬היא אוניברסלית ביחס למכפלות מאוזנות‬
‫מ־ ‪ M × N‬אם לכל העתקה מאוזנת ‪ f : M × N →C‬קיים הומומורפיזם יחיד של חבורות ‪,f¯ : T →C‬‬
‫כך ש־ ‪.f¯ ◦ θ = f‬‬
‫טענה ‪ 10.5.5‬לכל ‪ ,M, N‬מודול ימני ומודול שמאלי מעל ‪ ,R‬המכפלה הטנזורית ‪ M ⊗ R N‬היא‬
‫אוניברסלית ביחס למכפלות מאוזנות )כלומר לכל ‪ f : M × N →C‬מאוזנת קיים הומומורפיזם‬
‫יחיד ‪ f¯ : M ⊗ R N →C‬כך ש־)‪(.f¯(a⊗b) = f (a, b‬‬
‫‬
‫הוכחה‪ .‬לפי משפט האיזומורפיזם הראשון‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 10.5.6‬גישה קטגורית להגדרה‪ :‬נתונים מודולים ‪ .M, N‬נניח שקיימת חבורה‬
‫אבלית ‪ T‬עם פונקציה ‪ ,θ : M × N →T‬שהיא אוניברסלית ביחס להעתקות מאוזנות‪ .‬אז‬
‫‪ T‬יחידה עד־כדי איזומורפיזם‪.‬‬
‫על־פי ההגדרה הזו‪ ,‬המכפלה הטנזורית היא חבורה אבלית‪ ,‬בלי הגדרה טבעית של כפל‬
‫בסקלרים מ־‪ .R‬הפקדנו שני מודולים‪ ,‬וקיבלנו רק חבורה חיבורית‪ .‬כדי להתגבר על החסרון‬
‫הזה נטפל בבי־מודולים‪ ,‬ונזכיר שאם ‪ R‬חוג קומוטטיבי אז כל מודול הוא אוטומטית בימודול‬
‫מעל ‪ ;R, R‬כמו כן‪ ,‬כל מודול שמאלי הוא בימודול מעל ‪ ,R, Z‬וכל מודול ימני הוא בימודול‬
‫מעל ‪.Z, R‬‬
‫הגדרה ‪ 10.5.7‬יהיו ‪ R, S, T‬חוגים‪ ,‬ויהיו ‪ R MS‬ו־ ‪ S MT‬בימודולים‪ .‬אז ‪ ,N ⊗ S M‬שהוגדר לעיל‪ ,‬הוא‬
‫‪R, T‬־בימודול לפי פעולות הכפל בסקלר‬
‫‪r(x⊗y) = (rx)⊗y,‬‬
‫‪(x⊗y)t = x⊗(yt).‬‬
‫תרגיל ‪ 10.5.8‬כל חוג ‪ R‬אפשר לראות כמודול מעל ‪ ,Re = R⊗C Rop‬לפי הפעולה‬
‫‪ .(a⊗b)(x) = axb‬הראה ש־‪ R‬מודול פשוט מעל ‪ Re‬אם ורק אם ‪ R‬חוג פשוט‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 10.5.9‬יהיו ‪ C ⊆ R‬חוגים‪ ,‬כאשר ‪ C‬קומוטטיבי‪.‬‬
‫)‪ R⊗C Rop →EndC (R‬על־ידי ‪ (a⊗bop )x = axb‬היא הומומורפיזם‪.‬‬
‫‪108‬‬
‫הראה שההעתקה‬
‫פרק ‪ .10‬המכפלה הטנזורית‬
‫‪10.6‬‬
‫‪ .10.6‬ההצגה המושרית‬
‫ההצגה המושרית‬
‫תהיינה ‪ H ≤ G‬חבורה ותת־חבורה‪ .‬כל הצגה ) ‪ ρ : H→End(V‬של ‪ H‬משרה הצגה של ‪.G‬‬
‫נציג כאן שלוש דרכים להגדיר את ההצגה המושרית‪ ,‬מן המופשטת למוחשית ביותר‪.‬‬
‫ראשית‪ ,‬דרך המכפלה הטנזורית‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 10.6.1‬תהי ‪ G‬חבורה עם תת־חבורה ‪ ,H‬ותהי ‪ V‬הצגה של ‪ ,H‬כלומר מודול מעל‬
‫]‪ .F [H‬אז ‪ V˜ = F [G]⊗ F [H] V‬נקראת ההצגה המושרית מ־‪ H‬ל־‪ .G‬אם ) ‪ρ : F [H]→End(V‬‬
‫היא ההצגה המקורית‪ ,‬מסמנים את ההצגה המושרית ב־ ‪.ρG‬‬
‫תרגיל ‪ 10.6.2‬תהיינה ‪ K < H < G‬חבורות‪ ,‬ותהי ‪ ρ‬הצגה של ‪ .K‬הראה ש־= ‪ρG‬‬
‫‪.(ρH )G‬‬
‫הגדרה שניה‪ ,‬כמרחב וקטורי‪:‬‬
‫הגדרה ‪ 10.6.3‬תהי ‪ G‬חבורה עם תת־חבורה ‪ ,H‬ותהי ) ‪ ρ : H→End(V‬הצגה של ‪ .H‬ההצגה‬
‫‪ IndG‬עם‬
‫המושרית היא המודול })‪H (ρ) = {f : G→V : ∀g ∈ G, h ∈ H : f (gh) = ρ(h)f (g‬‬
‫הפעולה )‪.(Ind(g) · f )(x) = f (g −1 x‬‬
‫∼‬
‫‪ IndG‬כמודולים מעל ]‪ ,F [G‬כאשר ‪ V‬הוא‬
‫תרגיל ‪ 10.6.4‬הוכח ש־ ‪H (ρ) = F [G]⊗F [H] V‬‬
‫המודול המושרה על־ידי ‪.ρ‬‬
‫תרגיל ‪ 10.6.5‬הראה‪ ,‬על־פי ההגדרה השניה‪ ,‬שההצגה המושרית מן המודול הטריוויאלי‬
‫‪ V = F‬היא המודול של מרחב המנה ]‪.F [G/H‬‬
‫כדי לחשב את ההצגה המושרית ‪ F [G]⊗F [H] V‬באופן מפורש‪ ,‬נפעל באופן הבא‪ .‬נכתוב‬
‫‪ ,G = ∪ai H‬אז לכל ‪ g ∈ G‬ולכל ‪ i‬יש ‪ j‬יחיד כך ש־‪) gai ∈ aj H‬הפונקציה ‪g : i 7→ j‬‬
‫היא הפעולה מוכרת מהעידון של משפט קיילי(‪ .‬כעת אם ‪ H‬פועלת על מודול ‪) V‬כאשר‬
‫ההצגה היא ) ‪ ,(ρ : F [H]→End(V‬נכתוב את ‪ V n‬כסכום פורמלי ‪ ,⊕xi V‬ונגדיר = ‪gxi v‬‬
‫‪ .xj (x−1‬זוהי ההצגה המושרית‪.ρG ,‬‬
‫‪j gxi )v‬‬
‫תרגיל ‪ 10.6.6‬חשב את ‪ ρG‬במקרה המיוחד ‪.H▹G‬‬
‫טענה ‪ 10.6.7‬תהיינה ‪ H < G‬חבורות‪ ρ, ρ′ ,‬הצגות של ‪ .H‬אז ‪.(ρ ⊕ ρ′ )G = ρG ⊕ ρ′ G‬‬
‫טענה ‪ 10.6.8‬תהיינה ‪ H < G‬חבורות‪ ρ ,‬הצגה של ‪ σ ,H‬הצגה של ‪ .G‬אז = ‪σ G ⊗ρ‬‬
‫‪ .(σ⊗ρ|H )G‬בפרט‪.(ρ|H )G = 1G ⊗ρ ,‬‬
‫את הקרקטר המושרה‪ ,‬כלומר הקרקטר של ההצגה המושרית‪ ,‬אפשר לחשב בעזרת‬
‫הנוסחה הבאה‪:‬‬
‫∑‬
‫‪.χG (g) = a−1 gai ∈H χ(a−1‬‬
‫טענה ‪i gai ) 10.6.9‬‬
‫‪i‬‬
‫טענה ‪ 10.6.10‬יהיו ‪ χ‬קרקטר של ‪ G‬ו־‪ ψ‬קרקטר של תת־חבורה ‪ .H‬אז = ‪(ψ, χH )H‬‬
‫‪.(ψ G , χ)G‬‬
‫‪109‬‬
‫פרק ‪ .10‬המכפלה הטנזורית‬
‫‪ .10.6‬ההצגה המושרית‬
‫הוכחה‪ .‬נפרק לקוסטים ‪xi H‬‬
‫‪∪m‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ‪ ,G‬ונחשב‪:‬‬
‫‪1 ∑ G‬‬
‫)‪ψ (g)χ(g‬‬
‫‪|G| g‬‬
‫∑ ∑ ‪1‬‬
‫=‬
‫‪ψ(a−1‬‬
‫)‪i gai )χ(g‬‬
‫‪|G| g −1‬‬
‫= ‪(ψ G , χ)G‬‬
‫‪ai gai ∈H‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ψ(a−1‬‬
‫) ‪i gai )χ(ai gai‬‬
‫∑‬
‫‪g∈ai Ha−1‬‬
‫‪i‬‬
‫∑ ‪1‬‬
‫=‬
‫‪|G| i‬‬
‫∑∑ ‪1‬‬
‫)‪ψ(h)χ(h‬‬
‫‪|G| i h∈H‬‬
‫=‬
‫|‪m|H‬‬
‫‪(ψ, χH )H = (ψ, χH )H .‬‬
‫|‪|G‬‬
‫=‬
‫‬
‫כדי לחשב את פעולות הצמצום וההשראה‪ ,‬די להכיר אותן עבור קרקטרים אי־פריקים‪.‬‬
‫לפי נוסחת הדואליות‪ ,‬ידיעת הפירוק של ההצגות המושרות מן ההצגות האי־פריקות של ‪,H‬‬
‫שקולה לידיעת הפירוק של ההצגות המצומצמות מן ההצגות האי־פריקות של ‪.G‬‬
‫תרגיל ‪ 10.6.11‬נקבע ‪ G = S4‬ו־ ‪ H = D4‬עם השיכון הטבעי ‪ .H ,→ G‬חשב את פעולות‬
‫הצמצום וההשראה בין ההצגות האי־פריקות של שתי החבורות‪.‬‬
‫‪10.6.1‬‬
‫משפט האינדוקציה‬
‫נאמר שתת־חבורה היא ‪p‬־אלמנטרית אם היא מכפלה של חבורת־‪ p‬בחבורה ציקלית מסדר‬
‫זר ל־‪ .p‬אחת התוצאות היסודיות בתורת ההצגות היא משפט האינדוקציה של בראוור‪ ,‬שלפיו‬
‫חוג הקרקטרים של חבורה סופית ‪ G‬נוצר‪ ,‬כחוג מעל השלמים‪ ,‬על־ידי הקרקטרים המושרים‬
‫מתת־חבורות אלמנטריות )היינו ‪p‬־אלמנטריות לאיזשהו ‪ .(p‬נובע מכך למשל ש־] ‪ Q[ρe‬הוא‬
‫שדה פיצול של החבורה כאשר )‪.e = exp(G‬‬
‫‪110‬‬
‫פרק ‪11‬‬
‫שאלות חזרה‬
‫‪ .1‬רשום את הקרקטרים של חבורה מסדר ‪.5‬‬
‫‪ .2‬הוכח שכל חוג ארטיני שמאלי הוא נתרי שמאלי‪.‬‬
‫‪ .3‬תן דוגמא לחוג פרימיטיבי שאין לו אידיאל שמאלי מינימלי ≠ ‪.0‬‬
‫‪ .4‬תן דוגמא לחוג פרימיטיבי שאינו פשוט‪.‬‬
‫‪ .5‬הוכח‪ :‬אם ‪ R‬ראשוני ארטיני אז הוא מטריצות מעל חוג עם חילוק )העזר רק במשפט‬
‫הצפיפות ובלמה של שור(‪.‬‬
‫‪ .6‬הוכח ש־]‪ C[G‬אינו יכול להיות חוג ראשוני עבור חבורה סופית ‪) G ̸= 1‬זה לא נכון‬
‫עבור חבורה מסדר אינסופי(‪.‬‬
‫‪ .7‬הוכח שמספר הקרקטרים האי־פריקים של ‪ G‬שווה למספר מחלקות הצמידות של ‪.G‬‬
‫‪ .8‬מצאו את כל ההצגות האי־פריקות של ‪.Z2 × Z2‬‬
‫‪ .9‬תנו דוגמא לחוג פרימיטיבי שאינו פשוט ארטיני‪ ,‬אבל עם ‪.soc(R) = 0‬‬
‫‪ .10‬הגדר את הרדיקל של ג'ייקובסון‪ .‬מהו הרדיקל של ‪ ,Zn‬כאשר ‪?n ∈ N‬‬
‫‪ .11‬הוכח את משפט הצפיפות‪.‬‬
‫‪ .12‬הוכח‪ :‬כל חוג פרימיטיבי הוא ראשוני; אם ‪ R‬חוג ראשוני עם אידיאל שמאלי מינימלי‬
‫‪ ,L‬אז כל מודול נאמן מעל ‪ R‬איזומורפי ל־‪.L‬‬
‫‪ .13‬הגדר חוג ראשוני למחצה‪ .‬הגדר אינוולוציה‪ .‬הוכח שאם ‪ R‬חוג ארטיני עם אינוולוציה‬
‫אנאיזוטרופית )כלומר ‪ aa∗ ̸= 0‬לכל ‪ ,(a ̸= 0‬אז ‪ R‬ראשוני למחצה‪.‬‬
‫∼ ]‪.F [G × H‬‬
‫‪ .14‬תהיינה ‪ G, H‬חבורות סופיות‪ .‬הוכח ש־]‪= F [G]⊗F [H‬‬
‫‪ .15‬תן דוגמא לאלגברות פשוטות ‪ A, B‬מעל שדה ‪ ,F‬כך ש־‪ A⊗F B‬אינו פשוטה‪.‬‬
‫‪ .16‬הוכח‪ :‬אם ‪ M‬מודול בעל משלימים‪ ,‬אז הוא פשוט למחצה‪.‬‬
‫‪ .17‬הוכח‪ :‬חוג פרימיטיבי קומוטטיבי הוא שדה‪.‬‬
‫‪111‬‬
‫פרק ‪ .11‬שאלות חזרה‬
‫‪ .18‬בנה את טבלת הקרקטרים של ‪.S4‬‬
‫‪ .19‬יהי ) ‪ .R = M2 (Z4 ) ⊕ M2 (Z6‬חשב את )‪.J(R‬‬
‫‪ .20‬יהי ‪ R‬חוג‪ .‬הוכח ש־)‪ J(J(R)) = J(R‬וש־‪.J(R/J(R)) = 0‬‬
‫‪ .21‬יהי ‪ R‬חוג קומוטטיבי ארטיני בלי אברים נילפוטנטיים‪ .‬הוכח ש־‪ R‬הוא סכום ישר‬
‫של שדות‪.‬‬
‫‪ .22‬הראה שאלגברת החבורה ]‪ R[Z‬אינה ארטינית‪.‬‬
‫‪ .23‬תאר את האידיאלים הראשוניים־למחצה של ‪.Z‬‬
‫‪ .24‬הגדר חוג ראשוני; חוג פרימיטיבי‪ .‬הוכח שכל חוג פרימיטיבי הוא ראשוני‪ .‬תן דוגמא‬
‫לחוג ראשוני שאינו פרימיטיבי‪.‬‬
‫‪ .25‬הגדר ) ‪ ,soc(M‬והוכח ש־) ‪ soc(M‬שווה לחיתוך כל תת־המודולים הגדולים של ‪.M‬‬
‫‪ .26‬הוכח שחבורת התמורות הזוגיות ‪ A4‬בעל ‪ 4‬מחלקות צמידות‪ .‬בנה את לוח הקרקטרים‬
‫של ‪.A4‬‬
‫‪ .27‬הוכח‪ :‬אם ‪ G‬חבורה סופית‪ ,‬אז יש ל־]‪ C[G‬מספר סופי של מודולים פשוטים‪ ,‬עד כדי‬
‫איזומורפיזם‪.‬‬
‫‪ .28‬הוכח‪ :‬אם ‪ R‬פשוט למחצה ארטיני‪ ,‬אז )‪ M2 (R‬פשוט למחצה ארטיני‪.‬‬
‫‪112‬‬