תרגיל בית 3 ־ מבוא לחוגים ושדות הגשה עד יום שלישי
תרגיל בית 3־ מבוא לחוגים ושדות
הגשה עד יום חמישי ,17.12.15בשעה 23:55
שאלות המסומנות ב )∗( הן לא להגשה אך מומלץ לפתור אותן בכל זאת )כי הן יחסית קלות ו/או קשורות
לחומר(.
שאלות המסומנות ב ) (,הן שאלות העשרה לכל מי שרוצה )הן לא בהכרח קשורות מיידית לחומר של הקורס(.
(*) .1נתון חוג Rושני אידיאלים .I, J E R
Pn
)א( הראו ש } I + J = {a + b | a ∈ I, b ∈ Jו } IJ = { 1 ak bk | ak ∈ I, bk ∈ Jהם אידיאלים
ב .R
)ב( הראו שתמיד מתקיים IJ ⊆ I ∩ Jאך לא בהכרח .I ∩ J ⊆ IJ
)ג( במקרה של ,R = Zאנחנו יודעים שכל האידיאלים הם מהצורה .nZנסמן I = aZו .J = bZמה
הקשר בין a, bליוצר של כל אחד מהאידיאלים ?I + J, IJ, I ∩ J
.2נתון חוג Rקומוטטיבי עם יחידה ושני אידיאלים .I, J E Rנסמן ב π : R → R/I × R/Jאת ההעתקה
).π(r) = (r + I, r + J
)א( מצאו את הגרעין של .π
∼
R
R
)ב( הניחו עתה ש I, Jזרים והוכיחו ש = /I × /J
או לחלופין .(1 ∈ I + J
R/IJ
)אידיאלים I, Jנקראים זרים אם I + J = R
∼
)ג( הסיקו את משפט השאריות הסיני :יהיו I1 , ..., Inאידיאלים ב Rזרים בזוגות ,אז =
.R/I1 × · · · × R/In
R/I1 I2 ···In
.3השתמשו בתרגיל הקודם כדי לפתור את הסעיפים הבאים:
)א( יהיו α1 , ..., αn ∈ Fאיברים שונים בשדה Fו ]− αi ) ∈ F [x
.F × · · · × F
Qn
1 (x
∼
= ) .f (xהראו ש =
))F[x]/(f (x
)ב( יהיו p1 , ..., pr ∈ Nראשוניים שונים ו k1 , ..., kr ≥ 1ונסמן .n = pk11 pk22 · · · pkr r ∈ Nהראו ש
∼ .Z/nZ
= Z/pk1 1 Z × · · · × Z/pkr r Z
×
)ג( פונקצית אוילר ϕ : N → Nמוגדרת להיות ) ϕ(n) = (Z/nZ־ כלומר ) ϕ(nשווה למספר ההפיכים
≤ .({m | 1 ≤ mנניח
ב ) Z/nZאו בצורה שקולה ,היא שווה לגודל של הקבוצה }gcd(n, m) = 1
Qn
r
k1 k2
kr
.ϕ(n) = n 1 (1 − p−1
ש n = p1 p2 · · · prכאשר piראשוניים שונים ב .Zהראו ש ) i
יחידה .עבור אידיאל Iנגדיר את הרדיקל של Iע"י
(,) .4יהא Rחוג קומוטטיבי עם
√
√∈ ) . I = {x ∈ R | ∃n ∈ N, xnשימו לב שהנילרדיקל של Rמתרגיל בית קודם הוא = )N il(R
}I
.( 0
√
)א( הוכיחו שלכל אידיאל ,Iהרדיקל Iהוא גם אידיאל ב .R
√p
√
.
)ב( הראו ש I = I
√
)ג( נסמן ב πאת ההטלה הטבעית .π : R → R/Iהוכיחו ש )) . I = π −1 (nil(R/Iהסיקו ש
}.nil(R/nil(R)) = {0
√
√
)ד( הראו ש Iמוכל בחיתוך כל האידיאלים הראשוניים שמכילים את .Iבפרט 0מוכל בחיתוך כל
האידיאלים הראשוניים.
1
.5יהיו R, Sחוגים קומו' עם יחידה ו ϕ : R → Sהומומורפיזם עם יחידה .בנוסף ,יהא J E Sאידיאל ב Sו
I E Rאידיאל ב Rשמכיל את ).ker(ϕ
)א( )*( הראו שאם Jראשוני אז ) ϕ−1 (Jהוא אידיאל ראשוני ב .R
)ב( הראו שאם Iראשוני אז זה לא גורר בהכרח ש ) ϕ(Iהוא ראשוני ב .S
)ג( הראו שאם Jמקסימלי אז זה לא גורר בהכרח ש ) ϕ−1 (Jמקסימלי ב .R
)ד( הראו שאם בנוסף ϕהוא הומו' על אז Jמקסימלי אמ"מ ) ϕ−1 (Jמקסימלי ו Iראשוני אמ"מ )ϕ(I
ראשוני.
.6יהא Fשדה.
)א( )* נפתר בתרגולים הכתובים עם (c = 1יהא .c ∈ Fהראו ש
.c 6= 0
)ב( הראו ש
C[x,y]/hx2 +y 2 +1i
F[s,t]/hst+ci
הוא תחום שלמות אמ"מ
הוא תחום שלמות )רמז ־ העזרו בסעיף הקודם(.
R[x,y]/hx2 +y 2 +1i
הוא תחום שלמות )רמז ־ העזרו בסעיף הקודם(.
)ג( הראו ש
2
2
)ד( הערה :שימו לב שבסעיף ב' האידיאל הוא C [x, y] · x + y + 1ואילו בסעיף ג' הוא · ]R [x, y
. x2 + y 2 + 1
.7עבור
)א(
)ב(
)ג(
,q1 , ..., qn ∈ Qנסמן ב ] Z [q1 , ..., qnאת התת חוג של Qהנוצר ע"י Zו .q1 , ..., qn
הראו שלכל q1 , q2 ∈ Qקיים 0 6= n ∈ Nכך ש .Z [q1 , q2 ] = Z n1
מצאו את כל האידיאלים הראשוניים ב Z n1כאשר .0 6= n ∈ Nהסיקו שאם q1 , ..., qn ∈ Qאז ב
] Z [q1 , ..., qnיש אינסוף אידיאלים ראשוניים.
a
יהא p ∈ Zראשוני ונגדיר .R = b ∈ Q | a, b ∈ Z, p - bהראו ש P = p · Rהוא האידיאל
הראשוני היחיד השונה מאפס שנמצא ב Rוהוכיחו ש R/Pאיזומורפי ל .Z/pZ
(*) .8הראו ש P E Rהוא אידיאל ראשוני )בחוג קומוטטיבי עם יחידה( אמ"מ לכל זוג אידיאלים ,I, J E R
אם I · J ⊆ Pאז I ⊆ Pאו .J ⊆ P
נניח ש P1 , ..., Pnאידיאלים ראשוניים בחוג קומוטטיבי עם יחידה .R
Sn :(Prime Avoidance Lemma)(,) .9
הראו שאם Iאידיאל ב Rכך ש I ⊆ 1 Piאז קיים } j ∈ {1, ..., nכך ש .I ⊆ Pj
(*) .10יהא Fשדה .עבור כל אחד מהחוגים הבאים ,החליטו האם הוא תחום שלמות או לא .אם התשובה תלויה
בשדה ,תנו דוגמא לשדה עבורו החוג מנה הוא תחום שלמות ושדה עבורו החוג מנה אינו תחום שלמות.
)א( .Fhx,y,zi/hxyz−1i
)ב( .Fhs,ti/hs3 −t3 i
)ג( .F[x]/hx2 +1i
)ד( .F[x,y]/hx2 +y2 i
2
© Copyright 2024