תרגיל בית 3 ־ מבוא לחוגים ושדות הגשה עד יום שלישי

‫תרגיל בית ‪ 3‬־ מבוא לחוגים ושדות‬
‫הגשה עד יום חמישי ‪ ,17.12.15‬בשעה ‪23:55‬‬
‫שאלות המסומנות ב )∗( הן לא להגשה אך מומלץ לפתור אותן בכל זאת )כי הן יחסית קלות ו‪/‬או קשורות‬
‫לחומר(‪.‬‬
‫שאלות המסומנות ב )‪ (,‬הן שאלות העשרה לכל מי שרוצה )הן לא בהכרח קשורות מיידית לחומר של הקורס(‪.‬‬
‫‪ (*) .1‬נתון חוג ‪ R‬ושני אידיאלים ‪.I, J E R‬‬
‫‪Pn‬‬
‫)א( הראו ש }‪ I + J = {a + b | a ∈ I, b ∈ J‬ו }‪ IJ = { 1 ak bk | ak ∈ I, bk ∈ J‬הם אידיאלים‬
‫ב ‪.R‬‬
‫)ב( הראו שתמיד מתקיים ‪ IJ ⊆ I ∩ J‬אך לא בהכרח ‪.I ∩ J ⊆ IJ‬‬
‫)ג( במקרה של ‪ ,R = Z‬אנחנו יודעים שכל האידיאלים הם מהצורה ‪ .nZ‬נסמן ‪ I = aZ‬ו ‪ .J = bZ‬מה‬
‫הקשר בין ‪ a, b‬ליוצר של כל אחד מהאידיאלים ‪?I + J, IJ, I ∩ J‬‬
‫‪ .2‬נתון חוג ‪ R‬קומוטטיבי עם יחידה ושני אידיאלים ‪ .I, J E R‬נסמן ב ‪ π : R → R/I × R/J‬את ההעתקה‬
‫)‪.π(r) = (r + I, r + J‬‬
‫)א( מצאו את הגרעין של ‪.π‬‬
‫∼‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫)ב( הניחו עתה ש ‪ I, J‬זרים והוכיחו ש ‪= /I × /J‬‬
‫או לחלופין ‪.(1 ∈ I + J‬‬
‫‪R/IJ‬‬
‫)אידיאלים ‪ I, J‬נקראים זרים אם ‪I + J = R‬‬
‫∼‬
‫)ג( הסיקו את משפט השאריות הסיני‪ :‬יהיו ‪ I1 , ..., In‬אידיאלים ב ‪ R‬זרים בזוגות‪ ,‬אז =‬
‫‪.R/I1 × · · · × R/In‬‬
‫‪R/I1 I2 ···In‬‬
‫‪ .3‬השתמשו בתרגיל הקודם כדי לפתור את הסעיפים הבאים‪:‬‬
‫)א( יהיו ‪ α1 , ..., αn ∈ F‬איברים שונים בשדה ‪ F‬ו ]‪− αi ) ∈ F [x‬‬
‫‪.F × · · · × F‬‬
‫‪Qn‬‬
‫‪1 (x‬‬
‫∼‬
‫= )‪ .f (x‬הראו ש =‬
‫))‪F[x]/(f (x‬‬
‫)ב( יהיו ‪ p1 , ..., pr ∈ N‬ראשוניים שונים ו ‪ k1 , ..., kr ≥ 1‬ונסמן ‪ .n = pk11 pk22 · · · pkr r ∈ N‬הראו ש‬
‫∼ ‪.Z/nZ‬‬
‫‪= Z/pk1 1 Z × · · · × Z/pkr r Z‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫×‬
‫)ג( פונקצית אוילר ‪ ϕ : N → N‬מוגדרת להיות )‪ ϕ(n) = (Z/nZ‬־ כלומר )‪ ϕ(n‬שווה למספר ההפיכים‬
‫≤ ‪ .({m | 1 ≤ m‬נניח‬
‫ב ‪) Z/nZ‬או בצורה שקולה‪ ,‬היא שווה לגודל של הקבוצה }‪gcd(n, m) = 1‬‬
‫‪Qn‬‬
‫‪r‬‬
‫‪k1 k2‬‬
‫‪kr‬‬
‫‪.ϕ(n) = n 1 (1 − p−1‬‬
‫ש ‪ n = p1 p2 · · · pr‬כאשר ‪ pi‬ראשוניים שונים ב ‪ .Z‬הראו ש ) ‪i‬‬
‫יחידה‪ .‬עבור אידיאל ‪ I‬נגדיר את הרדיקל של ‪ I‬ע"י‬
‫‪ (,) .4‬יהא ‪ R‬חוג קומוטטיבי עם‬
‫√‬
‫√∈ ‪) . I = {x ∈ R | ∃n ∈ N, xn‬שימו לב שהנילרדיקל של ‪ R‬מתרגיל בית קודם הוא = )‪N il(R‬‬
‫}‪I‬‬
‫‪.( 0‬‬
‫√‬
‫)א( הוכיחו שלכל אידיאל ‪ ,I‬הרדיקל ‪ I‬הוא גם אידיאל ב ‪.R‬‬
‫√‪p‬‬
‫√‬
‫‪.‬‬
‫)ב( הראו ש ‪I = I‬‬
‫√‬
‫)ג( נסמן ב ‪ π‬את ההטלה הטבעית ‪ .π : R → R/I‬הוכיחו ש )) ‪ . I = π −1 (nil(R/I‬הסיקו ש‬
‫}‪.nil(R/nil(R)) = {0‬‬
‫√‬
‫√‬
‫)ד( הראו ש ‪ I‬מוכל בחיתוך כל האידיאלים הראשוניים שמכילים את ‪ .I‬בפרט ‪ 0‬מוכל בחיתוך כל‬
‫האידיאלים הראשוניים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .5‬יהיו ‪ R, S‬חוגים קומו' עם יחידה ו ‪ ϕ : R → S‬הומומורפיזם עם יחידה‪ .‬בנוסף‪ ,‬יהא ‪ J E S‬אידיאל ב ‪ S‬ו‬
‫‪ I E R‬אידיאל ב ‪ R‬שמכיל את )‪.ker(ϕ‬‬
‫)א( )*( הראו שאם ‪ J‬ראשוני אז )‪ ϕ−1 (J‬הוא אידיאל ראשוני ב ‪.R‬‬
‫)ב( הראו שאם ‪ I‬ראשוני אז זה לא גורר בהכרח ש )‪ ϕ(I‬הוא ראשוני ב ‪.S‬‬
‫)ג( הראו שאם ‪ J‬מקסימלי אז זה לא גורר בהכרח ש )‪ ϕ−1 (J‬מקסימלי ב ‪.R‬‬
‫)ד( הראו שאם בנוסף ‪ ϕ‬הוא הומו' על אז ‪ J‬מקסימלי אמ"מ )‪ ϕ−1 (J‬מקסימלי ו ‪ I‬ראשוני אמ"מ )‪ϕ(I‬‬
‫ראשוני‪.‬‬
‫‪ .6‬יהא ‪ F‬שדה‪.‬‬
‫)א( )* נפתר בתרגולים הכתובים עם ‪ (c = 1‬יהא ‪ .c ∈ F‬הראו ש‬
‫‪.c 6= 0‬‬
‫)ב( הראו ש‬
‫‪C[x,y]/hx2 +y 2 +1i‬‬
‫‪F[s,t]/hst+ci‬‬
‫הוא תחום שלמות אמ"מ‬
‫הוא תחום שלמות )רמז ־ העזרו בסעיף הקודם(‪.‬‬
‫‪R[x,y]/hx2 +y 2 +1i‬‬
‫הוא תחום שלמות )רמז ־ העזרו בסעיף הקודם(‪.‬‬
‫)ג( הראו ש‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)ד( הערה‪ :‬שימו לב שבסעיף ב' האידיאל הוא ‪ C [x, y] · x + y + 1‬ואילו בסעיף ג' הוא · ]‪R [x, y‬‬
‫‪. x2 + y 2 + 1‬‬
‫‪ .7‬עבור‬
‫)א(‬
‫)ב(‬
‫)ג(‬
‫‪ ,q1 , ..., qn ∈ Q‬נסמן ב ] ‪ Z [q1 , ..., qn‬את התת חוג של ‪ Q‬הנוצר ע"י ‪ Z‬ו ‪.q1 , ..., qn‬‬
‫ ‬
‫הראו שלכל ‪ q1 , q2 ∈ Q‬קיים ‪ 0 6= n ∈ N‬כך ש ‪.Z [q1 , q2 ] = Z n1‬‬
‫ ‬
‫מצאו את כל האידיאלים הראשוניים ב ‪ Z n1‬כאשר ‪ .0 6= n ∈ N‬הסיקו שאם ‪ q1 , ..., qn ∈ Q‬אז ב‬
‫] ‪ Z [q1 , ..., qn‬יש אינסוף אידיאלים ראשוניים‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‬
‫יהא ‪ p ∈ Z‬ראשוני ונגדיר ‪ .R = b ∈ Q | a, b ∈ Z, p - b‬הראו ש ‪ P = p · R‬הוא האידיאל‬
‫הראשוני היחיד השונה מאפס שנמצא ב ‪ R‬והוכיחו ש ‪ R/P‬איזומורפי ל ‪.Z/pZ‬‬
‫‪(*) .8‬הראו ש ‪ P E R‬הוא אידיאל ראשוני )בחוג קומוטטיבי עם יחידה( אמ"מ לכל זוג אידיאלים ‪,I, J E R‬‬
‫אם ‪ I · J ⊆ P‬אז ‪ I ⊆ P‬או ‪.J ⊆ P‬‬
‫נניח ש ‪ P1 , ..., Pn‬אידיאלים ראשוניים בחוג קומוטטיבי עם יחידה ‪.R‬‬
‫‪Sn :(Prime Avoidance Lemma)(,) .9‬‬
‫הראו שאם ‪ I‬אידיאל ב ‪ R‬כך ש ‪ I ⊆ 1 Pi‬אז קיים }‪ j ∈ {1, ..., n‬כך ש ‪.I ⊆ Pj‬‬
‫‪ (*) .10‬יהא ‪ F‬שדה‪ .‬עבור כל אחד מהחוגים הבאים‪ ,‬החליטו האם הוא תחום שלמות או לא‪ .‬אם התשובה תלויה‬
‫בשדה‪ ,‬תנו דוגמא לשדה עבורו החוג מנה הוא תחום שלמות ושדה עבורו החוג מנה אינו תחום שלמות‪.‬‬
‫)א( ‪.Fhx,y,zi/hxyz−1i‬‬
‫)ב( ‪.Fhs,ti/hs3 −t3 i‬‬
‫)ג( ‪.F[x]/hx2 +1i‬‬
‫)ד( ‪.F[x,y]/hx2 +y2 i‬‬
‫‪2‬‬