מכניקה סטטיסטית: תרגול 1 ־ הסתברות
מכניקה סטטיסטית :תרגול 1־ הסתברות
26.3.15
1
הגדרות
משתנה מקרי הוא משתנה שמקבל ערכים שונים על פי פונקצית הסתברות כלשהי.
משתנה מקרי בדיד מקבל ערכים מתוך קבוצה בדידה ,למשל{0, 1, 2, 3...} ,{0, 1} :
משתנה מקרי רציף מקבל ערכים מתוך רצף ,למשל(0, ∞) ,[0, 1] :
משתנה בדיד n
ההתפלגות
) =P (nההסתברות למדוד ערך n
P (x)dx
´b
משתנה רציף x
) =P (xפונקצית צפיפות הסתברות
= ) = P(a ≤ x ≤ bההסתברות למדוד ערך בקטע ][a, b
a
P (n) = 1
נרמול
P
P (x)dx = 1
n
תוחלת
)nP (n
P
= hni
xP (x)dx
n
תוחלת של פונקציה f
)f (n)P (n
P
= hf (n)i
f (x)P (x)dx
n
שונות
סטיית תקן
1.1
∞´
∞−
∞´
∞´
∞−
= hxi
= hf (x)i
∞−
V ar(x) = h(x − hxi)2 i = hx2 i − hxi2
p
)σx = V ar(x
V ar(n) = hn2 i − hni2
p
)σn = V ar(n
דוגמא :הטלת קוביה
מהי ההתפלגות ) ?P (nמהן התוחלת ,השונות וסטיית התקן של ?n
מטילים קוביה הוגנת = n .תוצאת ההטלה.
1
n = 1, 2, ..., 6
6
= )P (n
ההתפלגות:
0
otherwise
התוחלת:
6
1X
21
=n
= 3.5
6 n=1
6
= )nP (n
6
X
= hni
n=1
השונות:
6
1X 2
1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36
91
= n
=
6 n=1
6
6
1
= )n2 P (n
6
X
n=1
= hn2 i
91
105
= − 3.52
= 2.9167
6
36
סטיית התקןV ar(n) ≈ 1.7 :
1.2
p
= V ar(n) = hn2 i − hni2
= σn
דוגמא :התפלגות נורמלית )גאוסית(
משתנה מקרי xהמתפלג נורמלית הוא משתנה רציף המקבל ערכים בקטע )∞ (−∞,לפי פונקצית צפיפות ההסתברות:
(x−µ)2
2σ 2
√ 1
e−
2πσ 2
= )P (x
נראה שההתפלגות מנורמלת ,ונחשב את התוחלת והשונות שלה.
נרמול:
dx = 1
(x−µ)2
2σ 2
∞ˆ
1
e−
∞−
)תזכורת :חישוב אינטגרל גאוסי ־
pπ
a
∞´
2
= e−a(x+b) dx
∞ˆ
2πσ 2
√ = P (x)dx
∞−
(
∞−
תוחלת:
y2
∞ˆ
1
(y + µ)e− 2σ2 dy
∞−
2πσ 2
√
y=x−µ
=
dx
(x−µ)2
2σ 2
∞ˆ
−
xe
∞−
2πσ 2
∞ˆ
y2
i
1
∞ˆ
√ = xP (x)dx
∞−
y2
e− 2σ2 dy = µ
ye− 2σ2 dy +µ
∞−
}
|
{z
√
= 2πσ 2
= hxi
∞ˆ h
∞−
{z
}
=0
1
2πσ 2
√
=
|
שונות:
y2
∞ˆ
(y + µ)2 e− 2σ2 dy
∞−
1
2πσ 2
√
i
y2
e− 2σ2 dy = σ 2 + µ2
y=x−µ
=
dx
(x−µ)2
2σ 2
∞ˆ
2 −
y2
ye− 2σ2 dy +µ2
}
√
= 2πσ 2
|
2πσ 2
∞ˆ
2
√ = x P (x)dx
y2
y 2 e− 2σ2 dy +2µ
}
|
{z
=0
2
∞ˆ h
∞−
}
= hx i
∞−
∞−
∞−
{z
x e
∞−
∞ˆ
1
∞ˆ
2
{z
|
√
= 21 π(2σ 2 )3/2
1
2πσ 2
√
=
כאשר באינטגרל הראשון השתמשנו בנוסחה:
pπ
a
n
2
d
x2n e−ax dx = (−1)n dx
n
∞´
∞−
⇒ V ar(x) = hx2 i − hxi2 = σ 2
2
משפט הגבול המרכזי
תהי X1 , X2 , ..., XNסדרת משתנים מקריים בלתי תלויים בעלי אותה התפלגות ) P (Xiעם תוחלת hXi i = µושונות .V ar(Xi ) = σ 2
נסמן :ממוצע ה־ ¯ N = X1 +X2 +...+XN :Xi
X
N
אז:
)(1
ds
כאשר:
√σ
N
(s−µ)2
˜2
σ2
e−
1
˜2π
σ2
ˆx
→¯ N ≤ x) −
P (X
√
∞→ N
∞−
˜.
=σ
ניתן לגזור לפי xולקבל:
(x−µ)2
¯ N = x) −→ √ 1 e− 2˜σ2
P (X
2
∞→ N
˜2π
σ
)(2
משמעות תוצאה זו היא שכאשר מספר המשתנים Nגדול ,ההתפלגות של הממוצע ¯ N
Xשואפת להתפלגות נורמלית עם ממוצע µ
וסטיית תקן
√σ
N
˜ .שימו לב שככל ש־ Nיותר גדול ,ההתפלגות יותר צרה.
=σ
3
אך כאן צריך להיות מעט זהירים ,ולשים לב שכאשר המשתנים ,Xiולכן גם ¯ N
,Xבדידים ,הביטוי בצד שמאל של ) (1הוא סכום
ולא אינטגרל ולכן התוצאה ) (2אינה מדויקת.
כאשר ¯ N
Xבדיד והמרווח בין הערכים שהוא יכול לקבל קבוע ,נסמנו ב־ ,∆xאז מתקיים:
2
)(x−µ
)¯ N =x
P (X
˜− 2
1
σ2
−→ √2π
e
2
∆x
σ
˜
∞→ N
3
חלקיקים במיכל
במיכל יש Nחלקיקים .נסמן ב־ Qאת מספר החלקיקים שנמצאים בשליש המיכל השמאלי ,ונגדיר גם את
Q
N
= q־ יחס החלקיקים
בשליש המיכל השמאלי .מתקיים .N, Q 1
בכיתה חישבתם במדויק את ההתפלגות ) P (qוראיתם שבגבול של Nגדול ההתפלגות המתקבלת היא התפלגות נורמלית .עכשיו
נגיע לתוצאה זו באמצעות שימוש במשפט הגבול המרכזי.
חישוב ) P (qבאמצעות משפט הגבול המרכזי
3.1
נגדיר:
particle i is in the left third of the box
1,
otherwise
0,
מתקייםXi :
N
P
i=1
1
N
= Xi
=q
נרצה להשתמש במשפט הגבול המרכזי עבור .qנשים לב ש:
Xi = 1
1,
Xi = 0
2,
3
= ) P (Xi
3
ולכן:
1
2
1
=·1+ ·0
3
3
3
= µ = hXi i
1 2 2 2
1
= ·1 + ·0
3
3
3
1 1
2
= −
3 9
9
על פי משפט הגבול המרכזי,
9N (q− 1 )2
3
4
e−
π
= σ 2 =Var(Xi ) = hXi2 i − hXi i2
= √ 14
9N
= hXi2 i
(q−µ)2
˜2
σ2
√ 1
e−
2π σ
˜2
∞→ N
≈
4
).P (q
3.2
ההסתברות לסטיה מהממוצע
עבור מיכל של ליטר אוויר ,מה ההסתברות למדוד בשליש מיכל כמות חלקיקים שרחוקה מהממוצע ביותר מ־?1%
NA ≈ 6.022 · 1023מספר אבוגדרו = מספר האטומים של פחמן־ 12הנמצאים ב־ 12גרם של חומר זה .מספר זה מאפיין את
כמות החלקיקים בסמ"ק של חומר עבור חומרים מוצקים רבים.
מספר החלקיקים בליטר של אוויר.N ∼ NA ∼ 1023 :
יחס החלקיקים הממוצע בשליש מיכל הוא
1
3
= .µמדידת סטיה מהממוצע ביותר מ־ 1%משמעותה מדידת ערך של qשאינו
בתחום ].[0.33, 0.3367
∼ 2 · 109 σ
אחוז מהממוצע הוא ˜
1
300
=
1
3
· 0.01
17
הסיכוי למדוד משתנה המתפלג נורמלית במרחק של יותר ממיליארד סטיות תקן מהממוצע שלו קטן מ־ .(!) 10−10
17
1
1
P (|q − | > 0.01 · ) = P (|q − µ| > 109 σ) < 10−10
3
3
5
© Copyright 2024