‫פתרון תרגיל מספר ‪7‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪exp‬‬ ‫‪) , ‬‬ ‫‪ E ( X i )  1000‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪)  e 1 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪. Xi‬‬ ‫‪ . P( X i  1000)  1  (1  e‬כעת‪ ,‬מספר הסוללות (בהנחה שהן בלתי תלויות)‬ ‫‪1‬‬ ‫ש"יחיו" מעבר לממוצע (נסמנו ב‪ )Y-‬מתפלג בינומית ) ‪Bin(10,‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ , Y‬ולכן‬ ‫‪10   1   1 ‬‬ ‫‪P(Y  7)     1    0.027‬‬ ‫‪ 7  e   e ‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.2‬האוטובוס עובר בתחנה אחת לשעה‪ ,‬בזמן קבוע‪ ,‬אתה מגיע לתחנה בזמן אקראי‪ ,‬כלומר לפי התפלגות‬ ‫אחידה ‪ ‬זמן ההמתנה‪ ,X ,‬מתפלג אחיד רציף על הקטע [‪( ]60,0‬אם בוחרים בסקאלה של דקות)‪.‬‬ ‫שימו לב –‬ ‫ראשית‪ ,‬זמן זה גודל רציף‪ ,‬לכן וודאי שזמן ההמתנה מקבל כל ערך אפשרי בין ‪ 0‬ו‪( 60 -‬או בין ‪ 0‬ו‪ 1 -‬אם‬ ‫בוחרים בסקאלה של שעות‪ ,‬וכך הלאה)‪.‬‬ ‫זמן ההמתנה תלוי כמובן בזמן ההגעה (או ליתר דיוק‪ ,‬במרחק של זמן ההגעה משעת הגעת האוטובוס)‪,‬‬ ‫ולכן מתפלג אף הוא ]‪.U[0,60‬‬ ‫קל להבין זאת אם מציירים את מרחב המדגם בצורה ‪-‬‬ ‫זמן הגעת‬ ‫האוטובוס‬ ‫זמן ההמתנה‬ ‫לאוטובוס‪X ,‬‬ ‫זמן‬ ‫הגעה‬ ‫לתחנה‬ ‫היקף המעגל = ‪60‬‬ ‫זמן ההגעה – זמן אקראי על המעגל‪,‬‬ ‫לכן ‪ X‬זמן ההמתנה לאוטובוס מתפלג‬ ‫]‪( U[0,60‬אם בוחרים בסקאלה של דקות)‪.‬‬ ‫ולכן –‬ ‫פונקצית הצפיפות ‪-‬‬ ‫‪f(x) = 1/60, 0 < x < 60‬‬ ‫אחרת‬ ‫‪0‬‬ ‫פונקצית ההתפלגות המצטברת ‪-‬‬ ‫= )‪F(x‬‬ ‫‪x<0‬‬ ‫‪0,‬‬ ‫‪0 <= x < 60‬‬ ‫‪x/60‬‬ ‫‪x >= 60‬‬ ‫‪1‬‬ ‫½ = )‪P(X>30) = 1 – P(X<=30) = 1 – F(30‬‬ ‫= )‪For t < 30: P(X>t+30|X>t) = P(X>t+30 and X>t) / P(X>t‬‬ ‫]‪P(X>t+30) / P(X>t) = [1 – (t+30)/60] / [1 – t/60] = [30-t]/[60-t‬‬ ‫מחוסר זכרון של משתנה מקרי מעריכי – אם )‪:Y ~ exp(1/30‬‬ ‫‪P(Y  t  30 | Y  t )  P(Y  30 )  1  FY (30 )  1  (1  e 30 / 30 )  1 / e‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪1 40.25 9 40.125 1 1 9  12‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪ e  e  0.58‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪(1  e100.25 )  (1  e100.125 )  0.73‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪P( x  4) ‬‬ ‫‪P( x  10) ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫) ‪(1  et 0.25 )  (1  et 0.125 )  1  ( et 0.25  et 0.125‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪, FX (t ) ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪f X (t )  (1  ( et 0.25  et 0.125 )) '  et 0.25  et0.125‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪1 100.25 9 100.125‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪P( x  5, x  10) P( x  10) 1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10 | x  5) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (1  et 0.25 )  (1  et0.125 )  10‬‬ ‫)‪ 0.52  P( x  5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9 50.125‬‬ ‫)‪P( x  5‬‬ ‫‪P( x  5) 10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪50.25‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫תכונת חוסר הזיכרון אינה נשמרת – ההתפלגות "המשולבת" אינה מעריכית‪ .‬אורך זקן של תיש מעיד על‬ ‫צבעו‪( .‬ככל שהזקן ארוך יותר‪ ,‬כך יש יותר סיכוי שצבעו שחור)‬ ‫‪.4‬מהתיאור עולה שמדובר בתהליך פואסון‪.‬‬ ‫א‪ .‬כפי שראינו הזמן עד התקלה הראשונה מתפלג מעריכית עם ‪.   0.5‬‬ ‫כמו שראיתם בשיעור‪ T 2 ,‬מתפלג גמא עם פרמטרים ‪ 2‬ו‪.0.5 -‬‬ ‫לכן ‪-‬‬ ‫‪(1  0.5  2)  2e 1‬‬ ‫‪0.52‬‬ ‫‪P(T2  2)  1  FT 2 (2)  e‬‬ ‫או לחלופין להיעזר בעובדה ש‪ -‬האירוע השני קרה אחרי זמן ‪" = "T=2‬עד זמן ‪ T=2‬קרו פחות מ‪2 -‬‬ ‫אירועים"‬ ‫) ‪2 sec onds 0 events or 1 event‬‬ ‫)‪2 sec onds‬‬ ‫‪after‬‬ ‫‪happened‬‬ ‫‪event‬‬ ‫‪P(until‬‬ ‫‪ P(sec ond‬‬ ‫ולקבל אותה תוצאה‪.‬‬ ‫‪P (T  5) 3.5e 2.5‬‬ ‫‪P (T2  3  2 | T2  3) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1.4e 1‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪P (T  3) 2.5e‬‬ ‫ורואים שעבור מ"מ גמא כנ"ל לא מתקיים חוסר זיכרון‪.‬‬ ‫גם כפי שראיתם בשיעור‪ ,‬זמנים בין מאורעות סמוכים מתפלגים מעריכית‪ ,‬עם פרמטר ‪ .0.5‬נסמן ‪ T‬הזמן‬ ‫בין פליטת החלקיק השני לפליטת החלקיק השלישי‪ .‬מקבלים‬ ‫‪ P(T  2)  1  FX (2)  e 0.52  e 1‬ומחוסר זיכרון זו גם ההסתברות השניה המבוקשת‪.‬‬ ‫כדי לחשב את ההסתברות נזכור שבתהליך פואסון מספר האירועים עד זמן ‪ t‬מתפלג פואסונית עם פרמטר‬ ‫‪ . t‬המאורע "האירוע השלישי קרה אחרי זמן ‪ "2‬שקול למאורע "עד זמן ‪ 2‬קרו פחות משלושה אירועים"‪,‬‬ ‫ולכן נוכל לחשב את ההסתברות המבוקשת באמצעות הסתברות המאורע השקול‪ ,‬תוך שימוש בכך שמספר‬ ‫האירועים עד זמן ‪ ,2‬שנסמן ב‪ ,X -‬מתפלג פואסונית עם פרמטר ‪ .1=2* 0.5‬כלומר ‪-‬‬ ‫‪ P (T3  2)  P ( X  3)  P ( X  0)  P ( X  1)  P ( X  2)  e 1 (1  1  12 / 2!)  2.5e 1‬ו‬ ‫באופן כללי‪ ,‬תוך שימוש באותה שיטה – נסמן ‪ Y‬מספר האירועים עד זמן ‪ ,t>0‬ונקבל ‪-‬‬ ‫)!‪ ,t>0( P (T3  t )  P (Y  3)  e 0.5t (1  (0.5t )  (0.5t ) 2 / 2‬אחרת ההסתברות ‪)1‬‬ ‫עבור ‪ , T k‬באופן דומה‪ ,‬כאשר ‪ Z‬מספר האירועים עד זמן ‪- t>0‬‬ ‫‪P(Tk  t )  P(Z  k )  P(Z  0)  ... P(Z  k  1) ‬‬ ‫]!)‪e 0.5t [1  (0.5t )  (0.5t ) 2 / 2!... (0.5t ) k 1 /(k  1‬‬ ‫(עבור ‪ ,t>0‬אחרת ההסתברות ‪)1‬‬ ‫‪P(Tk  t )  1  P(Tk  t ) ‬‬ ‫]!)‪1  e0.5t [1  (0.5t )  (0.5t )2 / 2! ...  (0.5t ) k 1 /(k 1‬‬ ‫ע"י גזירה פונקצית הצפיפות שנקבל היא }‪t K 1 exp{t‬‬ ‫‪K‬‬ ‫!)‪( K  1‬‬ ‫‪ fTK (t ) ‬שזו צפיפות של מ"מ גמא‪.‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫נסמן ‪ X‬משקל התינוק שנבחר‪ .‬נתון – )‪.X~N(10,1.5^2‬‬ ‫‪P(9.5  X  10 .5)  2 P(10  X  10 .5)  2[ FX (10 .5)  FX (10 )]  2 FX (10 .5)  1‬‬ ‫כאשר השיוויון הראשון נובע מכך שאנחנו מחפשים הסתברות קטע סימטרי סביב התוחלת (‪ )10‬ומ"מ‬ ‫נורמלי הוא סימטרי סביב תוחלתו‪ ,‬והשוויון האחרון נובע גם כן מהסימטריה סביב התוחלת – היא גוררת‬ ‫שההסתברות שמ"מ נורמלי יהיה קטן מהתוחלת שלו היא ‪.0.5‬‬ ‫כעת כדי למצוא )‪ FX (10 .5‬נתקנן ונעבור למ"מ נורמלי סטנדרטי‪ ,‬כך שנוכל להיעזר בטבלת ההתפלגות‬ ‫‪X  10‬‬ ‫הנורמלית‪ .‬נסמן ‪-‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪ Z ‬מ"מ נורמלי סטנדרטי‪  ,‬פונקצית ההתפלגות המצטברת של מ"מ‬ ‫נורמלי סטנדרטי (זה הסימון המקובל)‪ ,‬ואז ‪-‬‬ ‫‪X  10 0.5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪)  P( Z  )   ( )  0.6293 ‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪P (9.5  X  10 .5)  0.2586‬‬ ‫( ‪P ( X  10 .5)  P‬‬ ‫(כאמור‪ ,‬ע"י שימוש בטבלת ההתפלגות הנורמלית)‪.‬‬ ‫שימו לב כי מטעמי הסימטריה נובע ‪.P(9.5 < X < 10) = P(10 < X < 10.5) -‬‬ ‫מחפשים ‪ a‬כך ש ‪ . P( X  a)  0.05 -‬נתקנן כנ"ל ונקבל ‪-‬‬ ‫‪a  10‬‬ ‫)‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪ . 0.05  P( X  a)  P( Z ‬אם ננסה כעת להשתמש בטבלה‪ ,‬לא נמצא את ההסתברות‬ ‫‪ ,0.05‬כי הטבלה נותנת ערכים מ‪ 0.5 -‬ומעלה‪ .‬אבל זה מספיק‪ ,‬כי אפשר להשתמש בסימטריה של ‪ Z‬סביב‬ ‫אפס (=התוחלת שלו)‪ ,‬כלומר בכך ש‪ , P( Z  t )  P( Z  t ) -‬ולקבל‬ ‫‪a  10‬‬ ‫‪10  a‬‬ ‫‪10  a‬‬ ‫‪10  a‬‬ ‫‪)  P( Z ‬‬ ‫(‪)  1  ‬‬ ‫(‪)  ‬‬ ‫‪)  0.95‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪ 0.05  P( Z ‬כעת‬ ‫מסתכלים בטבלה ורואים שערך ‪ t‬עבורו ‪ (t )  0.95‬הוא ‪ t=1.645‬ומכאן‬ ‫‪10  a‬‬ ‫‪ 1.645  a  7.5325‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫בהינתן שמשקל התינוק הוא בקטע )‪ (9.5,10.5‬אזי הסיכוי שהוא גדול מ‪ 10‬זה בדיוק ‪ 0.5‬כיוון‬ ‫שההתפלגות סימטרית סביב ‪.10‬‬ ‫‪10.5  10 X  10 10.2  10‬‬ ‫(‪P‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0.2586‬‬ ‫)‪P(10.5  X  10.2‬‬ ‫‪P( X  10.2 9.5  X  10.5) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪P(9.5  X  10.5‬‬ ‫‪P(0.3  Z  0.133)  (0.3)   (0.133) 0.6179  0.5517‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.255‬‬ ‫‪0.2586‬‬ ‫‪0.2586‬‬ ‫‪0.2586‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X  10 9.5  10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪)  P( Z  0.3)   (0.3)  1   (0.3)  1  0.6915  0.3085‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫נסמן ב ‪ Y‬את מס' הבחירות שנעשה עד שנקבל תינוק ששוקל מתחת ל‪.9.5 -‬‬ ‫)‪Y ~ G (0.3085‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 3.24‬‬ ‫‪0.3085‬‬ ‫‪E (Y ) ‬‬ ‫‪1  0.3085‬‬ ‫‪ 7.26‬‬ ‫‪0.39852‬‬ ‫‪V (Y ) ‬‬ ‫ז‪.‬‬ ‫ח‪.‬‬ ‫נסמן ב‪ W‬את מס' הבחירות עד שנקבל ‪ 5‬תינוקות ששוקלים מתחת ל‪ 9.5‬אזי ‪:‬‬ ‫)‪W ~ NB (5, 0.3085‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 16.2‬‬ ‫‪0.3085‬‬ ‫)‪5(1  0.3085‬‬ ‫‪ 36.32‬‬ ‫‪0.30852‬‬ ‫ט‪.‬נחפש ‪ ‬כך ש‪-‬‬ ‫)‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪)  1 ‬‬ ‫כלאמר ‪)  0.8‬‬ ‫‪E (W ) ‬‬ ‫‪V (W ) ‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪)  P( Z ‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫( ‪ ‬לפי הטבלה רואים ‪ Z 0.8  0.845 :‬ולכן נקבל ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪X  10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‪0.2  P( X  10.5)  P‬‬ ‫כלאמר ‪.   0.59‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪ 1.43)  0.9236‬‬ ‫‪ 1.67)  0.9525‬‬ ‫‪ 2.82)  1  P( Z  2.82)  1  0.9976  0.0024‬‬ ‫‪ 0.55)  1  P( Z  0.55)  1  0.7088  0.2912‬‬ ‫‪P( Z‬‬ ‫‪P( Z‬‬ ‫‪P( Z‬‬ ‫‪P( Z‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0.845 ‬‬ ‫(‪P( X  9.5)  P‬‬ P( Z  0.98)  1  P( Z  0.98)  1  (1  P( Z  0.98))  P( Z  0.98)  0.8365 P( Z  2.46)  1  P( Z  2.46)  1  0.9931  0.0069 P(0.52  Z  1.52)  P( Z  1.52)  P( Z  0.52)  0.9357  0.6985  0.2372 P(2.34  Z  0.75)  P( Z  0.75)  P( Z  2.34)  1  P( Z  0.75)  1  P( Z  2.34)  0.9904  0.7734  0.217 P(0.52  Z  2.59)  P( Z  2.59)  P( Z  0.52)  P( Z  2.59)  1  P( Z  0.52)   0.9952  1  0.6985  0.6937 .7 Z 0.999  3.09 Z 0.99  2.326 Z 0.95  1.645 Z 0.9  1.282 Z 0.8  0.84 Z 0.3  Z 0.7  0.52 Z 0.05  Z 0.95  1.645