1. No category

‫הסתברות‪ ­ ‬תרגיל‪ 6 ‬‬
‫משתנה‪ ‬בינומיאלי‪ ,‬פואסון‪ ‬ודיסקרטי‪ ‬‬
‫הגשה‪ 09/12 :‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪.1‬בעיר‪ ‬מסוימת‪ ‬יש‪ n ‬תחנות‪ ‬כוח‪ ‬אשר‪ ‬מספקות‪ ‬חשמל‪ ‬לעיר‪ .‬בכל‪ ‬זמן‪ ‬נתון‪ ‬ההסתברות‪ ‬שבתחנה‪ ‬מסוימת‪ ‬תהיה‪ ‬‬
‫תקלה‪ ‬היא‪ .p ‬כמו‪ ‬כן‪ ‬ההסתברות‪ ‬לתקלות‪ ‬בתחנות‪ ‬השונות‪ ‬הן‪ ‬ב"ת‪ .‬‬
‫א‪ .‬אם‪ ‬תחנה‪ ‬אחת‪ ‬יכולה‪ ‬לספק‪ ‬חשמל‪ ‬לכל‪ ‬העיר‪ ,‬מה‪ ‬ההסתברות‪ ‬שבזמן‪ ‬נתון‪ ‬יהיה‪ ‬מחסור‪ ‬באספקת‪ ‬החשמל ‪ ‬‬
‫לעיר?‪ ‬‬
‫ב‪ .‬אם‪ ‬כל‪ ‬התחנות‪ ‬נחוצות‪ ‬כדי‪ ‬לספק‪ ‬חשמל‪ ‬לעיר‪ ,‬מהי‪ ‬ההסתברות‪ ‬שבזמן‪ ‬נתון‪ ‬יהיה‪ ‬מחסור‪ ‬באספקת‪ ‬החשמל‪ ‬‬
‫לעיר?‪ ‬‬
‫ג‪ .‬אם‪ k ‬תחנות‪ k) ‬בין‪ 1 ‬ל‪ (n‬נחוצות‪ ‬כדי‪ ‬לספק‪ ‬חשמל‪ ‬לעיר‪ ,‬מה‪ ‬ההסתברות‪ ‬שבזמן‪ ‬נתון‪ ‬יהיה‪ ‬מחסור‪ ‬באספקת‪ ‬‬
‫החשמל‪ ‬לעיר?‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫שאלה‪ 2 ‬בוטלה‪ .‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ .3‬ספקית‪ ‬אינטרנט‪ ‬משתמשת‪ ‬ב‪ 50‬מודמים‪ ‬כדי‪ ‬לתת‪ ‬שירות‪ ‬ל‪ 1000‬לקוחות‪ .‬החברה‪ ‬מעריכה‪ ‬כי‪ ‬בכל‪ ‬זמן‪ ‬נתון‪ ‬‬
‫ההסתברות‪ ‬שלקוח‪ ‬כלשהו‪ ‬ינסה‪ ‬להתחבר‪ ‬היא‪ 0.01 ‬באופן‪ ‬בלתי‪ ‬תלוי‪ ‬למצב‪ ‬שאר‪ ‬הלקוחות‪ .‬הניחו‪ ‬כי‪ ‬מודם‪ ‬אחד‪ ‬‬
‫יכול‪ ‬לשמש‪ ‬רק‪ ‬לקוח‪ ‬אחד‪ ‬בזמן‪ ‬נתון‪ ,‬ואם‪ ‬מנסים‪ ‬להתחבר‪ ‬יותר‪ ‬מ‪ 50‬לקוחות‪ ‬אז‪ 50 ‬מהם‪ ‬מקבלים‪ ‬מודם‪ ‬והשאר‪ ‬‬
‫נשארים‪ ‬בלי‪ ‬אינטרנט‪ .‬‬
‫א‪ .‬נגדיר‪ ­ X ‬מספר‪ ‬המודמים‪ ‬הנמצאים‪ ‬בשימוש‪ ‬בכל‪ ‬זמן‪ ‬נתון‪ .‬כתבו‪ ‬את‪ ‬פונקציית‪ ‬ההתפלגות‪ ‬של‪) .X ‬פונקציית‪ ‬‬
‫ההתפלגות‪ ‬היא‪ ‬הפונקציה‪ ‬שמחזירה‪ ‬לכל‪ ‬ערך‪ ‬של‪ ‬המשתנה‪ ‬את‪ ‬ההסתברות‪ ‬שלו‪ .‬או‪ ‬במילים‪ ‬אחרות‪ .( p(X = i) ‬‬
‫ב‪ .‬חזרו‪ ‬על‪ ‬סעיף‪ ‬א'‪ ‬תחת‪ ‬הנחה‪ ‬שההתפלגות‪ ‬של‪ ‬מספר‪ ‬הלקוחות‪ ‬שמנסים‪ ‬להתחבר‪ ‬בכל‪ ‬רגע‪ ‬נתון‪ ‬ניתנת‪ ‬לקירוב‪ ‬‬
‫להתפלגות‪ ‬פואסונית‪ .‬מהו‪ ? λ ‬‬
‫ג‪ .‬הראו‪ ‬מהי‪ ‬ההסתברות‪ ‬לכך‪ ‬שיהיו‪ ‬לקוחות‪ ‬שישארו‪ ‬בלי‪ ‬אינטרנט‪ ‬לפי‪ ‬סעיף‪ ‬א'‪ ‬ולפי‪ ‬סעיף‪ ‬ב'‪) .‬לא‪ ‬צריך‪ ‬לפתוח‪ ‬את ‪ ‬‬
‫הביטוי‪ ‬הבסיסי‪ ‬שקיבלתם(‪ .‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ .4‬חברת‪ ‬הקלדה‪ ‬מעסיקה‪ ‬שני‪ ‬קלדנים‪ .‬מספר‪ ‬הטעויות‪ ‬שעושה‪ ‬הקלדן‪ ‬הראשון‪ ‬בעמוד‪ ‬אחד‪ ‬מתפלג‪ ‬פואסונית‪ ‬עם‪ ‬‬
‫‪ . λ = 2‬מספר‪ ‬הטעויות‪ ‬שעושה‪ ‬השני‪ ‬מתפלג‪ ‬פואסונית‪ ‬עם‪ . λ = 3 ‬ההסתברות‪ ‬שהקלדן‪ ‬הראשון‪ ‬יטפל‪ ‬בעבודה‪ ‬‬
‫היא‪ 0.25 ‬וההסתברות‪ ‬שהקלדן‪ ‬השני‪ ‬יטפל‪ ‬בעבודה‪ ‬היא‪ .0.75 ‬אם‪ ‬מסרתם‪ ‬עמוד‪ ‬להקלדה‪ ‬לחברת‪ ‬ההקלדה‪ ­ ‬‬
‫מה‪ ‬ההסתברות‪ ‬שהוא‪ ‬יוקלד‪ ‬ללא‪ ‬טעות?‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ .5‬כמות‪ ‬הבאובבים‪ ‬שצומחים‪ ‬בשנה‪ ‬על‪ ‬הכוכב‪ ‬של‪ ‬הנסיך‪ ‬הקטן‪ ‬מתפלגת‪ ‬פואסונית‪ ‬עם‪ . λ = 4 ‬הנסיך‪ ‬הקטן‪ ‬‬
‫והכבשה‪ ‬שלו‪ ‬מתערבים‪ ‬כמה‪ ‬באובבים‪ ‬יצמחו‪ ‬על‪ ‬הכוכב‪ ‬בשנה‪ ‬הקרובה‪ .‬הנסיך‪ ‬הקטן‪ ‬אומר‪ ‬ש‪ 3‬והכבשה‪ ‬אומרת‪ ‬ש‬
‫‪ .5‬‬
‫)אם‪ ‬אף‪ ‬אחד‪ ‬מהם‪ ‬אינו‪ ‬צודק‪ ,‬זה‪ ‬נחשב‪ ‬תיקו‪ (.‬‬
‫א‪ .‬למי‪ ‬מהם‪ ‬הסתברות‪ ‬גבוהה‪ ‬יותר‪ ‬להיות‪ ‬צודק?‪ ‬‬
‫ב‪ .‬אם‪ ‬הם‪ ‬מחליטים‪ ‬שהמפסיד‪ ‬בהתערבות‪ ‬ישלם‪ ‬למנצח‪ m ‬שקלים‪ ,‬מהי‪ ‬תוחלת‪ ‬הרווח‪ ‬של‪ ‬הנסיך‪ ‬הקטן‪ ‬‬
‫בהתערבות‪ ‬כזו?‪ ‬אם‪ ‬ההתערבות‪ ‬מסתיימת‪ ‬בתיקו‪ ‬אף‪ ‬אחד‪ ‬לא‪ ‬משלם‪ ‬לשני‪ .‬‬
‫ג‪ .‬שאלת‪ ‬בונוס‪ 10) ‬נקודות‪ .‬תיבדק‪ ‬גם‪ ‬אם‪ ‬כל‪ ‬שאר‪ ‬השאלה‪ ‬לא‪ ‬תיבדק(‪ ­ ‬אם‪ ‬הם‪ ‬מחליטים‪ ‬שאם‪ ‬הנסיך‪ ‬יפסיד‪ ‬‬
‫הוא‪ ‬ישלם‪ ‬לכבשה‪ m ‬שקלים‪ ,‬ואם‪ ‬הכבשה‪ ‬תפסיד‪ ‬היא‪ ‬תשלם‪ ‬לנסיך‪ k ‬שקלים‪ ,‬מה‪ ‬צריך‪ ‬להיות‪ ‬היחס‪ ‬בין‪ m ‬ל‪ k‬‬
‫כדי‪ ‬שההתערבות‪ ‬תהיה‪ ‬הוגנת‪) ‬כלומר‪ ,‬שתוחלת‪ ‬הרווח‪ ‬של‪ ‬הנסיך‪ ‬והכבשה‪ ‬יהיו‪ ?(0 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ .6‬משתנה‪ ‬בינומיאלי‪ ‬שלילי‪ ­ ‬משתנה‪ ‬בינומיאלי‪ ‬שלילי‪ ‬מוגדר‪ ‬באופן‪ ‬הבא‪ :‬עבור‪ ‬סדרה‪ ‬של‪ ‬ניסויי‪ ‬ברנולי‪ ‬‬
‫שההסתברות‪ ‬להצליח‪ ‬בכל‪ ‬אחד‪ ‬מהם‪ ‬היא‪ ,p ‬משתנה‪ ‬בינומיאלי‪ ‬שלילי‪ X ‬מתאר‪ ‬את‪ ‬מספר‪ ‬הניסויים‪ ‬שנעשו‪ ‬עד‪ ‬‬
‫שהגענו‪ ‬בסה"כ‪ ‬ל‪ r‬הצלחות‪ .‬‬
‫‪ .1‬מצאו‪ ‬את‪ ‬פונקציית‪ ‬ההתפלגות‪ ‬של‪ ‬משתנה‪ ‬זה‪, p(X = n) ‬עם‪ ‬הפרמטרים‪ p ‬ו‪) r ‬וכמובן‪ ‬גם‪ .(n ‬יש‪ ‬‬
‫להסביר‪ ‬איך‪ ‬הגעתם‪ ‬לפונקציה‪ ‬זו‪ .‬‬
‫‪ .2‬איזו‪ ‬התפלגות‪ ‬מקבלים‪ ‬כשמציבים‪ ?r=1 ‬‬
‫‪ .3‬חישבו‪ ‬את‪ ‬התוחלת‪ ‬של‪ .X ‬‬
‫הדרכה‪ :‬היעזרו‪ ‬בדרך‪ ‬שבה‪ ‬חישבתם‪ ‬בשיעור‪ ‬את‪ ‬התוחלת‪ ‬של‪ ‬המשתנה‪ ‬הבינומיאלי‪ .‬‬
‫‪ .4‬המדד‪ ‬הסטטיסטי‪ ‬צידוד‪ ‬מודד‪ ‬את‪ ‬הערך‪ ‬של‪ E((X − μ)3) ‬כאשר‪ X ‬הוא‪ ‬המשתנה‪ ‬המקרי‪ ,‬ו ‪ μ‬הוא‪ ‬תוחלת ‪ ‬‬
‫המשתנה‪ ‬המקרי‪ .X ‬חשבו‪ ‬למה‪ ‬שוה‪ ‬הצידוד‪ ‬של‪ ‬המשתנה‪ ‬הבינומיאלי‪ ‬השלילי‪ .‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬