1. No category

‫‪1‬‬
‫סטודנטים יקרים‬
‫לפניכם ספר תרגילים בקורס מתמטיקה בדידה‪ .‬הספר הוא חלק מקורס‬
‫חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה‪ ,‬המועבר ברשת האינטרנט ‪.On-line‬‬
‫הקורס באתר כולל פתרונות מלאים לספר התרגילים‪ ,‬וכן את התיאוריה‬
‫הרלוונטית לכל נושא ונושא‪.‬‬
‫הקורס כולו מוגש בסרטוני וידאו המלווים בהסבר קולי‪ ,‬כך שאתם רואים את‬
‫התהליכים בצורה מובנית‪ ,‬שיטתית ופשוטה‪ ,‬ממש כפי‬
‫שנעשה בשיעור פרטי‪ ,‬לדוגמה לחצו כאן‪.‬‬
‫את הקורס בנה מר טל פלדמן‪ ,‬מרצה מבוקש במוסדות אקדמיים שונים ובעל‬
‫ניסיון עתיר בהוראת המקצוע‪.‬‬
‫אז אם אתם עסוקים מידי בעבודה‪ ,‬סובלים מלקויות למידה‪ ,‬רוצים להצטיין‬
‫או פשוט אוהבים ללמוד בשקט בבית‪ ,‬אנחנו מזמינים אתכם‬
‫לחוויית לימודים יוצאת דופן וחדשה לחלוטין‪ ,‬היכנסו עכשיו לאתר‬
‫‪.www.gool.co.il‬‬
‫אנו מאחלים לכם הצלחה מלאה בבחינות‬
‫צוות האתר ‪GooL‬‬
‫גוּל זה בּוּל‪ .‬בשבילך!‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬
‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬
‫‪2‬‬
‫תוכן‬
‫תרגילים בנושא פונקציות ‪3 .................................................................................................................‬‬
‫תרגילים בנושא עוצמות ‪7 ...................................................................................................................‬‬
‫תרגילים בקומבינטוריקה בסיסית ‪9 ........................................................................................................‬‬
‫תרגילים בנושא זהויות קומבינטוריות והבינום של ניוטון ‪13 ........................................................................‬‬
‫תרגילים בנושא רקורסיה ‪15 ................................................................................................................‬‬
‫תרגילים בנושא שובך היונים ‪18 ...........................................................................................................‬‬
‫תרגילים בנושא גרפים ‪19 ...................................................................................................................‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬
‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬
‫‪3‬‬
‫תרגילים בנושא פונקציות‬
‫‪ ) (1‬חימום (‬
‫יהיו‬
‫‪ f‬ו‪ g -‬הפונקציות מ‪  -‬ל‪  -‬המוגדרות כך‪:‬‬
‫אם ‪ n‬אי זוגי‬
‫אם ‪ n‬זוגי‬
‫לכל‬
‫‪n N‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ n 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪f ( n)   2‬‬
‫‪ n  1‬‬
‫‪g(n)  2n  1‬‬
‫הוכח או הפרך כל אחת מן הטענות הבאות‪:‬‬
‫‪ f .I‬היא חד‪-‬חד‪-‬ערכית‬
‫‪ g .II‬היא חד‪-‬חד‪-‬ערכית‬
‫‪ f .III‬היא על ‪‬‬
‫‪ g .IV‬היא על ‪‬‬
‫‪ f  g .V‬היא פונקצית הזהות על ‪‬‬
‫‪ g  f .VI‬היא פונקצית הזהות על ‪‬‬
‫‪ (2‬לגבי כל אחת מהפונק' הבאות קבע האם היא חח"ע והאם היא על‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪2x‬‬
‫א‪, f1 :  0,     0, 2  .‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪f1  x  ‬‬
‫ב‪f 2 :  0,     0,   .‬‬
‫‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f2  x   x ‬‬
‫ג‪f 3 :  0,     .‬‬
‫‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f3  x   x ‬‬
‫ד‪f 4 : P     P    .‬‬
‫‪f4  X   X   ,‬‬
‫ה‪f 5 : P     P    .‬‬
‫‪f5  X   X   ,‬‬
‫ו‪f 7 : P     P    .‬‬
‫‪f 7  X   X  ,‬‬
‫ז‪f 8 :    .‬‬
‫‪f8  n   the sum of the digits of n ,‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬
‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ (3‬יהי ‪ g : A  B , f : B  C‬שתי פונקציות ) כמובן שבתנאים אלו ‪ ( f  g : A  C‬הוכח או הפרך כל‬
‫אחת מהטענות הבאות ) במקרה של הפרכה בחר ‪( A  B  C  ‬‬
‫א‪.‬‬
‫אם ‪ f‬חח"ע וגם ‪ g‬חח"ע אז ‪ f  g‬חח"ע‪_.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫אם ‪ f  g‬חח"ע אז ‪ f‬חח"ע‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫אם ‪ f  g‬חח"ע אז ‪ g‬חח"ע‬
‫ד‪.‬‬
‫אם ‪ f‬על וגם ‪ g‬על אז ‪ f  g‬על‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫אם ‪ f  g‬על אז ‪ f‬על‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫אם ‪ f  g‬על אז ‪ g‬על‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫אם ‪ f  g‬חח"ע וגם ‪ g‬על אז ‪ f‬חח"ע‪.‬‬
‫ח‪.‬‬
‫אם ‪ f  g‬על וגם ‪ f‬חח"ע אז ‪ g‬על‪.‬‬
‫ט‪.‬‬
‫אם ‪ f‬לא חח"ע וגם ‪ g‬לא על אז ‪ f  g‬לא חח"ע או ‪ f  g‬לא על‪.‬‬
‫‪ (4‬תהי ‪ A‬קבוצה כלשהי ותהיינה ‪ f , g , h : A  A‬הוכח או הפרך כ"א מהטענות הבאות‪.‬‬
‫א‪ .‬אם‬
‫‪g f  h f‬‬
‫ב‪ .‬אם‬
‫‪g f  h f‬‬
‫ג‪ .‬אם‬
‫‪g f  h f‬‬
‫אז‬
‫‪.g  h‬‬
‫וגם ‪ f‬על אז‬
‫‪.g  h‬‬
‫וגם ‪ f‬חח"ע אז‬
‫ד‪ .‬אם ‪ f  g  f  h‬אז‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪.g‬‬
‫‪.g‬‬
‫ה‪ .‬אם ‪ f  g  f  h‬וגם ‪ f‬חח"ע אז‬
‫‪h‬‬
‫‪.g‬‬
‫ו‪ .‬אם ‪ f  g  f  h‬וגם ‪ f‬על אז ‪. g  h‬‬
‫‪ (5‬נתונות פונקציה‬
‫א‪ .‬הוכח כי‬
‫ב‪.‬‬
‫‪f: A  B‬‬
‫וקבוצות ‪. C, D  A‬‬
‫) ‪f (C  D )  f (C )  f ( D‬‬
‫‪.‬‬
‫הוכח שאם ‪ f‬היא חד‪-‬חד‪-‬ערכית אז‬
‫) ‪f ( C)  f ( D‬‬
‫‪. f (C  D ) ‬‬
‫ג‪ .‬הדגם קבוצות ‪ C , D  ‬ופונקציה ‪ f :   ‬כך ש‪ f -‬על וגם )‪. f (C  D)  f (C )  f ( D‬‬
‫ד‪ .‬הוכח כי ) ‪f (C  D)  f (C )  f ( D‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬
‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ (6‬תהי ‪ A‬קבוצה ותהי ‪ f : A  A‬פונקציה הוכח או הפרך כל אחת מהטענות הבאות‪.‬‬
‫א‪ .‬אם ‪ f  f  f‬אז ‪. f  I‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ f  f  f‬אז ‪ f  I‬או ש‪ f -‬היא פונקציה קבועה‪.‬‬
‫ג‪ .‬אם ‪ f  f  f‬וגם ‪ f‬חח"ע אז ‪f  I‬‬
‫ד‪ .‬אם ‪ f  f  f‬וגם ‪ f‬על אז ‪f  I‬‬
‫‪ (7‬יהיו ‪ f , g , h :   ‬הפרך כל אחת מהטענות הבאות‪ ) .‬שאלה קשה מאוד (‬
‫א‪ .‬אם ‪ f  g  f  h‬וגם ‪ f‬על וגם ‪ g , h‬חח"ע וגם אז‬
‫ב‪ .‬אם ‪ g  f  h  f‬וגם ‪ f‬חח"ע וגם ‪ g , h‬על אז‬
‫‪gh‬‬
‫‪h‬‬
‫‪.g‬‬
‫ג‪ .‬אם ‪ f  f  f  I‬אז ‪f  f  I‬‬
‫ד‪ .‬אם ‪ f  f  f  f  f‬אז ‪. f  f  f‬‬
‫‪ (8‬תהי ‪ A‬קבוצה ו‪ B -‬תת קבוצה החלקית ממש ל‪ . A -‬נתונות הפונקציות ‪f , g : P  A  P  A ‬‬
‫המוגדרות באופן הבא‪:‬‬
‫‪gX   X  B‬‬
‫‪f X  A X‬‬
‫הוכח או הפרך‪ f  g :‬על‪.‬‬
‫‪ (9‬הוכח או הפרך את הטענה הבאה‪ :‬הפונקציה ‪ f ;       ‬המוגדרת על‪-‬ידי‬
‫‪  x, y     3 x  4 y , 4 x  5 y ‬‬
‫‪ f‬היא פונקציה הפיכה‪.‬‬
‫‪ (10‬תהי ‪ Peven   ‬קבוצת כל התת קבוצות של ‪ ‬שעוצמתן זוגית‪ .‬ותהי ‪ Podd   ‬קבוצת כל התת‬
‫קבוצות של ‪ ‬שעוצמתן אי זוגית‪ .‬לדוגמה ‪ 1, 3  Peven    ,1, 3  Podd   ‬ולעומת זאת‬
‫‪ . 2, 4, 6  Peven    ,2, 4, 6  Podd   ‬לכל קבוצה ‪ A‬סופית של טבעיים נסמן ב‪max  A  -‬‬
‫את המספר הגדול ביותר ב‪ A -‬וב‪ max     0 -‬הוכיחו כי הפונקציה ‪f : Peven     Podd   ‬‬
‫המוגדרת‬
‫על ידי ‪ f  A   A  max  A ‬היא חח"ע אך אינה על‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬
‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (11‬נגדיר פונקציה ‪ F : 0,1  P 0,1  0,1‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪ g  n  , g  n  1 n  ‬‬
‫‪ F  g  ‬הוכי כי ‪ F‬אינה על‪.‬‬
‫‪ (12‬נגדיר פונקציה ‪ h :   ‬כך‪ h  x   2 x :‬הוכח כי‬
‫‪‬‬
‫‪ f  h f    ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (13‬נגדיר את היחס ‪ R‬מעל ‪ P   ‬באופן הבא‪ARB  b  B  a  A  a  b   :‬‬
‫בנה פונקציה ‪ f :   P   ‬שמקיימת‪x, y    x  y  f  x  R f  y   :‬‬
‫‪ (14‬נתונות שלוש פונקציות ‪f , g , h :   ‬‬
‫הוכח כי אם ‪ f  g‬חח"ע וגם ‪ g  h‬חח"ע וגם ‪ h  g  f‬על אז ‪ f , g , h‬שלושתן הפיכות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (15‬בנה באופן מפורש תת קבוצה של ‪ 0,1‬ששקולה ל‪ -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (16‬נגדיר ‪ F :    P   ‬באופן הבא‪ F  f   n   f  x   1 :‬הוכח כי ‪ F‬אינה חח"ע‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (17‬נגדיר פ ונקציה ‪ F : 0,1, 2  P   ‬באופן הבא‪F  f   n   f  n   0 :‬‬
‫קבע האם ‪ F‬חח"ע ועל‪.‬‬
‫‪ (18‬תהי ‪ ‬הטבעיים ותהי ‪ B  ‬תת קבוצה סופית לא ריקה נתונה‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬עבור ‪ B  1, 2‬מתקיים‪2, 3  3 , f 3, 4  1, 2, 3, 4 :‬‬
‫‪f‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי אם ‪ X  B  ‬אז ‪. f  f  X    X‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי אם ‪ B  X‬אז ‪. f  f  X    X‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי אם ‪ X‬שייכת לתמונה של הפונקציה אז ‪. f  f  X    X‬‬
‫ד‪ .‬האם הפונקציה חח"ע?‬
‫ה‪ .‬האם הפונקציה על?‬
‫ו‪ .‬מה העוצמה של התמונה של הפונקציה?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬
‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬
‫‪7‬‬
‫תרגילים בנושא עוצמות‬
‫‪ (1‬הוכח את השקילויות הבאות באמצעות פונקציות חח"ע ועל בין הקבוצות‪ ) .‬פונקציית שקילות‪( .‬‬
‫א‪   .‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ב‪  0,1   .‬‬
‫‪1,3    4,8   0,1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (2‬הוכח כי ‪ y 2  4‬‬
‫‪2‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪ odd‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ 0,1‬‬
‫‪  x , y  x‬‬
‫‪ y2  1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1,1  ‬‬
‫‪ even‬‬
‫‪ 0,1‬‬
‫‪‬‬
‫ד‪   0,1    0,   .‬‬
‫‪0,1‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪ 0,1   0,1‬‬
‫‪ x, y  x‬‬
‫‪ (3‬הוכח ) ישירות ע"י מציאת פונקציה מתאימה ( כי הקטע ‪  0, 2010 ‬שקול ל‪  0,  -‬ורישמו עוצמתם‪.‬‬
‫‪ (4‬הוכח כי אם ‪ A  B‬וגם ‪ C  D‬וגם ‪ A  C  ‬וגם ‪ B  D  ‬אז‬
‫‪ A  C    B  D‬‬
‫‪ (5‬הוכח כי אם ‪ A  B , C  D‬אז ‪A  C  B  D‬‬
‫‪ (6‬הוכח כי ‪ 0  n  0‬כאשר ‪. n  ‬‬
‫‪ (7‬הוכח את הטענה הבאה‪ :‬הקבוצה ‪ A  ‬קבוצת המספרי הרציונלים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ו‪ B  f  x   ax 2  bx  c : a , b , c   -‬הן שוות עוצמה‪.‬‬
‫‪ (8‬מעגל במישור ברדיוס ‪ r  0 ) r‬ממשי ( שמרכזו בראשית הצירים הוא קבוצת כל הנקודות‬
‫‪ x, y ‬‬
‫במישור המקיימות את המשוואה ‪ x 2  y 2  r 2‬כמודגם בציור‪.‬‬
‫הוכיחו שלכל ‪ r  0‬עוצמת מעגל ברדיוס ‪r‬‬
‫שמרכזו בראשית הצירים היא ‪‬‬
‫‪ (9‬הוכח או הפרך‪ :‬תהיינה ‪ A, B‬שתי קבוצות כלשהן‪ .‬אם ‪ A  B‬היא קבוצה מעוצמה ‪ 0‬וגם ‪ A  B‬היא‬
‫קבוצה מעוצמה ‪ 0‬אז ‪ A  B‬היא קבוצה מעוצמה ‪. 0‬‬
‫‪(10‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫תהי ‪ A   x   n    x   n    x    ‬מה עוצמת ‪? A‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪(11‬‬
‫תהי ‪ A   a , b  a   , b   , a  b‬כלומר ‪ A‬היא קבוצת כל הקטעים הפתוחים ב‪  -‬מהיא‬
‫עוצמת ‪? A‬‬
‫הוכיחו טענתכם‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬
‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ (12‬נסמן ע"י ‪ ‬את קבוצת המספרים הטבעיים ‪   1, 2, 3,‬וב‪  + -‬את הממשיים החיוביים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬מה העוצמה של הקבוצה‪ ? A4  a   a 4   :‬למשל ‪1, 5 , 2, 4 7  A4‬‬
‫ב‪ .‬מה העוצמה של‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ? A  a    k   , a k  ‬למשל ‪1, 5 , 2, 4 7 , 100 3 , 3 4  A‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (13‬נגדיר ‪ P2     A   A  2‬כלומר ‪ P2   ‬היא קבוצת כל התת קבוצות בנות שני אברים של‬
‫טבעיים‪ .‬מהי עוצמת ‪ P2   ‬הוכיחו טענתכם‪.‬‬
‫‪ (14‬נגדיר יחס ‪ S‬מעל ‪   ‬באופן הבא‪ S .  x1 x2  S  y1 y2    x1    y1  :‬יחס שקילות‪.‬‬
‫) אין צורך להוכיח ( הוכח כי קבוצת המנה‬
‫‪   ‬‬
‫‪s‬‬
‫היא מעוצמה ‪. 0‬‬
‫‪ (15‬הוכח או הפרך‪ :‬לכל קבוצה ‪ A‬מתקיים‪A    A     1 :‬‬
‫‪ (16‬הוכח כי עוצמת הקבוצה ‪ 1, 2    2, 3   3, 4       n, n  1‬היא ‪. ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ (17‬תהי ‪ A‬קבוצה מעוצמה ‪ 0‬ויהי ‪ E‬יחס שקילות מעל ‪ A‬הוכח כי ‪E  0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (18‬הוכח או הפרך את הטענה הבאה‪ :‬לכל זוג קבוצות ‪ A, B‬מתקיים‪ AC  B  A  BC :‬‬
‫‪ (19‬פונקצית‬
‫הסינוס‬
‫‪sin :   ‬‬
‫היא‬
‫פונקציה‬
‫מחזורית‬
‫בעלת‬
‫מחזור‬
‫של‬
‫‪C‬‬
‫‪ A  B‬‬
‫‪. 2‬‬
‫כלומר‬
‫‪sin  x  2   sin  x ‬‬
‫לכל ‪ . x  ‬עבור ‪ 0  x  2‬מתקיים‪sin x  0  x  0, , 2  :‬‬
‫מצא את עוצמת הקבוצה ‪ 0sin   x   sin x  0‬הוכח טענותיך‪.‬‬
‫‪ (20‬האם קיימת קבוצה ‪ A‬כך ש‪ ? P  A   0 -‬הוכח טענותיך‪.‬‬
‫‪ (21‬תהיינה ‪ k1, k2‬עוצמות ויהיו ‪ A, B‬קבוצות כך ש‪ . A  k1 , B  k 2 -‬נגדיר פעולת הפרש בין עוצמות באופן‬
‫הבא‪ . k1  k2  A  B :‬פעולה זו אינה מוגדרת היטב‪ ,‬כלומר תוצאות של ההפרש משתנות בהתאם‬
‫לקבוצה ולא בהתאם למחלקה‪ .‬הציגו ‪ 2‬דוגמאות לקבוצות שעוצמתן ‪ 0‬אך עוצמת ההפרש שונה בכל‬
‫אחת מהדוגמאות‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬
‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬
‫‪9‬‬
‫תרגילים בקומבינטוריקה בסיסית‬
‫‪ (1‬בכמה אופנים ניתן לסדר ‪ 10‬אנשים בשורה כך ש‪-‬‬
‫א‪ .‬ללא הגבלה‪.‬‬
‫ב‪ .‬אבי ובני סמוכים‪.‬‬
‫ג‪ .‬אבי‪ ,‬בני וגדי סמוכים‪.‬‬
‫ד‪ .‬אבי ובני לא סמוכים‪.‬‬
‫ה‪ .‬אבי ובני סמוכים וגם גדי ודני סמוכים‪.‬‬
‫ו‪ .‬אבי ובני סמוכים וגדי ודני לא סמוכים‪.‬‬
‫‪ (2‬בכיתה בה יש ‪ 10‬בנים ו‪ 15-‬בנות יש להרכיב נבחרת כדורסל בה יש לפחות ‪ 2‬בנים ולפחות ‪ 2‬בנות בכמה דרכים ניתן לעשות זאת?‬
‫‪ (3‬בכמה אופנים שונים ניתן להניח ‪ 8‬צריחים על לוח ‪ 8  8‬בלי שאף צריח יאיים על חברו כך ש‪-‬‬
‫א‪ .‬כל הצריחים הם לבנים‪.‬‬
‫ב‪ .‬שלושה צריחים הם לבנים וחמישה הם שחורים‪.‬‬
‫ג‪ .‬הצריחים נלקחים מתוך שקית ובה מלאי בלתי מוגבל של צריחים לבנים ומלאי בלתי מוגבל של צריחים שחורים‪.‬‬
‫‪ (4‬בכמה מספרים ‪ 6‬ספרתיים מופיעה הספרה‬
‫א‪ 0 .‬פעם אחת בדיוק‪.‬‬
‫ב‪ 0 .‬פעם אחת לפחות‪.‬‬
‫ג‪ 7 .‬פעם אחת לפחות‪.‬‬
‫ד‪ 7 .‬פעם אחת בדיוק‪.‬‬
‫יש לזכור שמספר לא יכול להתחיל בספרה ‪.0‬‬
‫‪ (5‬א‪ .‬יהי ‪ n‬טבעי בכמה תת קבוצות של ‪ 1, 2, 3, 2n‬יש אי זוגי אחד לפחות?‬
‫ב‪ .‬בכמה תת קבוצות של ‪ 1, 2, 3, 2n‬יש לפחות ‪ n  1‬איברים‪.‬‬
‫‪ (6‬בכמה אופנים שונים ניתן לחלק ‪ 10‬לימונדות זהות ‪ 1‬כוס קולה ו‪ 1-‬כוס קינלי ל‪ 4-‬תלמידים צמאים כך שכל תלמיד מקבל‬
‫לפחות משקה אחד והקולה והקינלי ניתנים לתמידים שונים?‬
‫‪ (7‬בכמה דרכים ניתן לחלק ‪ 400‬כדורים זהים ל‪ 3-‬תאים כך ש‪-‬‬
‫א‪ .‬יש תא ובו יותר מ‪ 200-‬כדורים‪.‬‬
‫ב‪ .‬בכל תא מספר זוגי של כדורים‪.‬‬
‫ג‪ .‬בשני תאים מתוך השלוש מספר אי זוגי של כדורים ובתא אחד מספר זוגי של כדורים‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬
‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ 7 (8‬אנשים נכנסים למעלית בבניין בן ‪ 13‬קומות בכמה אופנים הם יכולים ללחוץ על כפתורי המעלית כך ש‪-‬‬
‫א‪ .‬המעלית תעצור בקומה החמישית? ) יתכן ותמשיך הלאה משם (‬
‫ב‪ .‬המעלית תעצור בקומה החמישית לכל היותר‪.‬‬
‫ג‪ .‬המעלית תגיע לפחות עד הקומה החמישית‪.‬‬
‫ד‪ .‬המעלית תעצור בקומה החמישית‪ ) .‬ולא תמשיך משם הלאה (‬
‫‪ (9‬בכמה דרכים ניתן לחלק ‪ n‬כדורים לבנים זהים ו‪ n -‬כדורים צבעוניים ) שונים ( ל‪ 2n -‬כך שבכל תא יהיה‬
‫א‪ .‬לכל היותר כדור אחד‪.‬‬
‫ב‪ .‬לכל היותר כדור לבן אחד ואין מגבלה על מספר הצבעוניים‪.‬‬
‫ג‪ .‬לכל היותר כדור צבעוני אחד ואין הגבלה על מסםר הלבנים‪.‬‬
‫ד‪ .‬מספר שווה של לבנים וצבעוניים‪.‬‬
‫‪ (10‬במלבן בן ‪ k‬שורות ו‪ m -‬עמודות יש לסמן ‪ ‬או ‪ ‬בכל משבצת‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫א‪ .‬הראו כי כי יש‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2  1‬דרכים לעשות זאת כך שבכל שורה יופיע ‪ ‬אחד לפחות‪.‬‬
‫ב‪ .‬בכמה דרכים ניתן לעשות זאת כך שיופיע ‪ ‬אחד לפחות בכל עמודה‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫‪m‬‬
‫ג‪ .‬הסיקו כי ‪2 mk   2m  1    2 k  1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ (11‬חרגול נמצא בנקודה ‪ A‬בשריג המתואר להלן‪ .‬בכל שלב יכול החרגול‬
‫להתקדם צעד אחד ימינה או צעד אחד למעלה‪.‬‬
‫א‪ .‬בכמה אופנים שונים יכול החרגול להגיע מנקודה ‪ A‬לנקודה ‪? B‬‬
‫ב‪ .‬בכמה אופנים הוא יכול לעשות זאת מבלי לעבור דרך‬
‫‪A‬‬
‫נקודה המסומנת להלן?‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ (12‬א‪ .‬בכמה אופנים שונים ניתן לחלק ‪ 12‬אנשים לשלושה זוגות ושתי שלשות?‬
‫ב‪ .‬כמו א‪ .‬אך בנוסף דני ודנה לא נמצאים באותה קבוצה‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬
‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ (13‬כמה פתרונות בשלמים אי שליליים יש לכל אחת מהמשואות הבאות?‬
‫א‪x1  x2   x7  20 .‬‬
‫ב‪x1  x2  5 x3  x4  14 .‬‬
‫ג‪ x1  x2  x3  x4  x5  x6   18 .‬‬
‫‪ (14‬בכמה דרכים ניתן לבחור ועדה בת ‪ n‬אנשים מתוך ‪ n‬זוגות נשואים כך ש‪-‬‬
‫א‪ .‬בועדה לא ישתתף אף זוג נשוי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מספר הגברים יהיה שווה למספר הנשים‪.‬‬
‫ג‪ .‬מספר הגברים יהיה קטן ממש ממספר הנשים‪.‬‬
‫‪ (15‬מצאו בכמה פונקציות }‪ f :{1, 2,3,...,3n  1,3n}  {1, 2,3,..., n  1, n‬מקיימות את התנאי הבא‪ :‬לכל אבר בתמונה‬
‫יש בדיוק ‪ 3‬מקורות‪.‬‬
‫‪ (16‬מה מספר הדרכים לפזר ‪ 50‬כדורים אדומים ו ‪ 20‬כדורים כחולים ל ‪ 10‬תאים‪ ,‬כך שבכל תא מספר הכדורים האדומים יהיה לפחות‬
‫כמספר הכדורים הכחולים?‬
‫‪ (17‬בכמה דרכים ניתן לחלק קבוצה בגודל ‪ 2n‬לקבוצה בגודל ‪ n‬ולזוגות‪ ) .‬ניתן להניח כי ‪ n‬זוגי (‬
‫‪ (18‬בכמה דרכים ניתן לסדר בשורה ‪ 8‬פילים שונים‪ 2 ,‬שועלים זהים ושתי תרנגולות זהות‪ ,‬כך שהפילים מסודרים משמאל לימין על פי‬
‫משקלם בסדר עולה‪ ,‬ואף שועל לא יהיה צמוד לתרנגולת?‬
‫‪ (19‬בכמה דרכים ניתן לחלק ‪ 100‬כדורים לבנים ו‪ 50-‬כדורים צבעוניים )כל אחד בצבע שונה( ל‪ 250-‬תאים באופן שיתקיימו שני‬
‫התנאים הבאים‪ :‬יהיה לפחות תא אחד שמכיל יותר מכדור לבן אחד‪ ,‬וכמו‪-‬כן יהיה לפחות תא אחד שמכיל יותר מכדור צבעוני אחד?‬
‫‪ (20‬בכמה דרכים ניתן לסדר ‪ n‬גברים ו‪ n -‬נשים במעגל כך שבני אותו מין לא ישבו זה לצד זה? כנ"ל לגבי שורה‪.‬‬
‫‪ (21‬יש לבחור קבוצה של ששה ילדים מבין תלמידי כיתות א‪ 1‬ו‪-‬א‪ ,2‬באופן ששלושה מהם יהיו מ‪-‬א‪ 1‬ושלושה מ‪-‬א‪ .2‬מספר הבנים‬
‫בקבוצה צריך להיות שווה למספר הבנות בקבוצה )‪ 3‬ו‪ .(3-‬ב‪-‬א‪ 1‬יש ‪ 10‬בנים ו‪ 15-‬בנות וב‪-‬א‪ 2‬יש ‪ 15‬בנים ו‪ 10-‬בנות‪ .‬בכמה‬
‫אופנים ניתן לבחור את הקבוצה?‬
‫‪ (22‬בכמה קבוצות של ‪ n‬כדורים ב‪ 10 -‬צבעים יש לפחות כדור אחד מכל צבע?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬
‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ (23‬כמה פונקציות ‪ ( n  1 ) f : 1,2,..., n 1,2,..., n‬מקיימות את התנאי ‪ f k   f k  1‬לכל ‪? 1  k  n  1‬‬
‫‪ (24‬כמה פונקציות ‪ f : 1,2,3, , n  1, 2,3, , n‬חח"ע ועל יש המקיימות ‪ f  k   k‬זוגי לכל‬
‫‪k  1,2, 3, , n‬‬
‫‪ (25‬כמה סדרות בינריות באורך ‪ n‬יש המורכבות מ‪ k -‬אחדים ו‪ n  k -‬אפסים שאין בהם שני אחדים רצופים?‬
‫‪ (26‬בכמה דרכים ניתן לחלק ‪ 60‬כדורים צבעוניים ) כל אחד בצבע שונה ( ו‪ 90-‬כדורים לבנים זהים ל‪ 100-‬תאים כך שיתקיימו שני‬
‫התנאים הבאים גם יחד‪ .‬יהיה לפחות תא אחד שמכיל יותר מכדור צבעוני אחד וכמו כן בכל תא יהיו לכל היותר ‪ 50‬כדורים לבנים‪.‬‬
‫‪ (27‬בכמה דרכים ניתן לחלק ‪ 4‬בננות‪ 2 ,‬תפוזים‪ ,‬ו‪ 4-‬תפוחים ל‪ 10-‬אנשים כך שכל אחד יקבל בדיוק פרי אחד ? שימו לב שפירות‬
‫מאותו סוג נחשבים זהים‪.‬‬
‫‪ (28‬בכמה דרכים ניתן לבנות שורה מ‪ k  0 -‬כדורים לבנים זהים ו‪ m  0 -‬כדורים צבעוניים שונים‪ ) .‬ושונים מלבן (?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬
‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬
13
‫תרגילים בנושא זהויות קומבינטוריות והבינום של ניוטון‬
n
 n
  k  2
k
 3n ‫( הוכח אלגברית וקומבינטורית את הזהות‬1
k 0
n
n
6 

k 0
 n  2 nk
 2
k
‫ את הזהות‬n  0 ‫( הוכיחו לכל‬2
 n
 n
 n
2n  3 n  n3n 1    3n 2  ...  ( 1)k   3n  k  ...  ( 1)n   30 :‫( הוכח את השוויון הבא‬3
 2
k
 n
n

k 0
 2n  1 
2n

  2 :‫ טבעי מתקיים‬n ‫( הוכיחו שלכל‬4
 k 
 m  n  n  m 
.
        mn :‫( הוכח בדרך אלגברית ובדרך קומבינטורית את הזהות הבאה‬5
 2   2  2 
 2n 
.‫ הוא זוגי‬  ‫ המספר‬n   ‫( הוכח כי לכל‬6
 n
n
 n
 k  k  2
k 1
k 1
 x  y
. x , y , n   , 

 n 

n
 n n n
  
k j k
k , j 0     

n
 x

n n
 3 ‫( הוכח כי‬7
3
y 
  k   n  k 
:‫( הוכיחו כי‬8
k 0
  3n 
    ‫( הוכח את השוויון הבא‬9
j  n 
 r  m  r  r  k 
     
 ‫( הוכח בדרך אלגברית ובדרך קומבינטורית את הזהות הבאה‬10
 m k   k  m  k 
 n
 n   n   n  2
.   2


 ‫ מתקיים‬0  k  n ‫ ולכל‬0  n ‫( הוכח כי לכל‬11
k
 k  1  k  2  k  2
 2 n  1    2n  3   1 
n
.
 2 n   2n 2   2 
 
 
 2   2   2
n!
‫( הוכח אלגברית וקומבינטורית את הזהות הבאה‬12
 2n   3n 
 5n  2 
 k  n  k   k   n  k   6n  n  2  ‫( הוכח את הזהות הבאה‬13
2
k 1
N
 k 1 n  k  N 

 ‫( הוכיח את השוויון הבא‬14
n
  N 
 
n0
 n
. 2n   n  ‫ מספר זוגי אז‬n  0 ‫ כי אם‬,‫( הוכיחו‬15
2
www.GooL.co.il -‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‬
© ‫ טל פלדמן‬- ‫כתב ופתר‬
054-7599493 ‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות‬
‫‪14‬‬
‫‪80‬‬
‫‪ (16‬כמה מבין המספרים בפיתוח הבינום‬
‫‪‬‬
‫‪247‬‬
‫‪‬‬
‫הם שלמים?‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n i‬‬
‫‪ (17‬הוכיחו כי לכל ‪ n‬טבעי מתקיים‪n n  n  1    n  1 :‬‬
‫‪i 1  i ‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬
‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬
‫‪15‬‬
‫תרגילים בנושא רקורסיה‬
‫‪ (1‬לכל ‪ n‬שלם אי‪-‬שלילי נגדיר את ‪ a n‬להיות מספר הסדרות היורדות הלא ריקות‪ ,‬שמורכבות ממספרים טבעיים בין ‪ 1‬ל ‪ ,n‬כך‬
‫שההפרש בין כל שני מספרים עוקבים בסדרה הוא לפחות ‪ .3‬כתבו נוסחת נסיגה ותנאי התחלה ל ‪. a n‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ o‬הסדרה )‪ (12,9,5,1‬נספרת בחישוב של ‪ , a14‬מכיוון שהיא יורדת‪ ,‬כל הספרות שבה הן בין ‪ 1‬ל ‪ ,14‬וההפרשים בין כל שתי‬
‫ספרות עוקבות בסדרה הם ‪ 3‬או יותר‪.‬‬
‫‪ o‬הסדרה )‪ (14‬נספרת בחישוב של ‪ , a14‬מכיוון שהיא יורדת‪ ,‬כל הספרות שבה הן בין ‪ 1‬ל ‪ ,14‬וההפרשים בין כל שתי ספרות‬
‫עוקבות בסדרה הם ‪ 3‬או יותר )בגלל שאין ספרות עוקבות(‪.‬‬
‫‪ o‬הסדרה )‪ (12,9,7,1‬אינה נספרת בחישוב של ‪ , a14‬מכיוון שההפרש בין הספרה השנייה והשלישית בסדרה הוא ‪.2‬‬
‫‪ (2‬א( מצא נוסחת נסיגה ותנאי התחלה עבור מספר האפשרויות לחלק קבוצה בת ‪ n‬אנשים לזוגות ולבודדים‪.‬‬
‫ב( מצאי נוסחת נסיגה ותנאי התחלה למספר הדרכים לחלק קבוצה של ‪ n‬אנשים לזוגות ולשלשות‪ ,‬כאשר הסדר בין הזוגות‬
‫והשלשות ובתוך הזוגות והשלשות איננו משנה‪.‬‬
‫‪ (3‬בחפיסת קלפי טאקי יש מספר לא מוגבל של קלפים בצבעים צהוב‪ ,‬אדום‪ ,‬כחול וירוק‪ ,‬ואיננו מבחינים בין קלפים שונים מאותו‬
‫צבע‪ .‬יהי ‪ an‬מספר ערימות קלפי טאקי בגודל ‪ n‬שבהם מעל קלף אדום או כחול אסור לשים קלף צהוב או ירוק‪ .‬מצאי נוסחת‬
‫נסיגה ותנאי התחלה ל ‪.an‬‬
‫‪ (4‬מצא יחס רקורסיבי ותנאי התחלה עבור מספר המילים באורך ‪ n‬מעל ‪  A, B , C ‬ללא הרצפים הבאים‪ ) .‬כל סעיף שאלה בפני עצמה (‬
‫א( ‪CC‬‬
‫ב( ‪AB‬‬
‫ג( ‪AA , AB‬‬
‫פתרון בשתי דרכים ז( ‪BA , CA‬‬
‫ד(‬
‫ח( ‪AA, BB‬‬
‫‪AA , BA‬‬
‫ה( ‪AA , AB , AC‬‬
‫ט( ‪AA , BB , CC‬‬
‫ו( ‪ AB , BC‬באתר מצורף‬
‫י( ‪BC , CB‬‬
‫‪ (5‬מצא יחס רקורסיבי ותנאי התחלה עבור מספר הדרכים לרצף שביל באורך ‪ n‬במרצפות אדומות באורך ‪ ,2‬מרצפות צהובות באורך ‪2‬‬
‫מרצפות ירוקות באורך ‪ ,2‬ומרצפות שחורות ומרצפות לבנות באורך ‪ 1‬כל אחת‪ .‬ולאחר פתור את יחס הנסיגה שקיבלת‪ ,‬קבל נוסחה‬
‫מפורשת‪ ,‬וחשב את ארבעת האיברים הראשונים בשתי דרכים‪ .‬אחת לפי היחס הרקורסיבי ושתים ע"י הצבה בנוסחה המפורשת שמצאת‪.‬‬
‫‪ (6‬עבור ‪ n‬טבעי מהו מספר הסדרות הפלינדרומיות באורך ‪ n‬מעל קבוצת הספרות העשרוניות ‪) 0,1,2,...,9‬סידרה ‪ x1 ,..., x n‬היא‬
‫פלינדרומית אם ‪ xi  xn  i 1‬לכל ‪ 1  i  n‬ובעברית יותר קלה אם בקריאתה מהסוף להתחלה או מההתחלה לסוף מתקבלת‬
‫אותה סדרה למשל כמו ‪.( 1, 7, 2, 2, 2, 7,1‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬
‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ (7‬נתבונן בסדרות סופיות של סימנים‪ ,‬הלקוחים מתוך ‪ 6‬סימנים אלה‪ :‬הספַרות ‪ 0,1‬וארבעה סימני פעולה‪:‬‬
‫‪./ , ,  , ‬‬
‫ובכפוף לתנאים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬הסדרה נפתחת ומסתיימת בסִפרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬אין הופעות צמודות של סימני פעולה‪.‬‬
‫דוגמאות של סדרות העונות על התנאים‪:‬‬
‫דוגמאות של סדרות שאינן עונות על התנאים‪:‬‬
‫‪0100 /101  11  1010‬‬
‫‪, 00‬‬
‫‪, 00  10‬‬
‫‪,‬‬
‫‪. 001‬‬
‫‪. 101  / 00‬‬
‫נסמן ב‪ an -‬את מספר הסדרות הללו שבהן בדיוק ‪ n‬סימנים‪.‬‬
‫א( מצא יחס נסיגה עבור ‪. an‬‬
‫ב( מצא אופן ישיר את ‪ . a0 , a1 , a2 , a3‬בדוק בעזרת הערכים שקיבלת את יחס הנסיגה שרשמת ‪.‬‬
‫ג( פתור את יחס הנסיגה וקבל נוסחה מפורשת עבור ‪ . a n‬ובדוק בעזרת הנוסחה הנ"ל את תוצאות סעיף ב'‪.‬‬
‫‪ (8‬בידינו מספר בלתי‪-‬מוגבל של בלוקים זהים בגודל ‪: 2  1‬‬
‫ומספר בלתי‪-‬מוגבל של בלוקים זהים בגודל ‪2  2‬‬
‫‪:‬‬
‫עלינו לרצף מלבן שממדיו ‪: n  2‬‬
‫)בציור ‪.( n  7‬‬
‫אסור לחרוג מגבולות המלבן‪ .‬בלוק של ‪ 2  1‬אפשר להניח כרצוננו "שוכב" או "עומד"‪.‬‬
‫יהי ‪ a n‬מספר הריצופים השונים האפשריים‪.‬‬
‫א‪ .‬רשום יחס נסיגה עבור ‪) a n‬הסבר אותו( ותנאי התחלה מספיקים‪.‬‬
‫ב‪ .‬פתור את יחס הנסיגה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את ‪ a 4‬בשתי דרכים‪ :‬מתוך יחס הנסיגה שבסעיף א'‬
‫‪ (9‬תנו ביטוי מפורש ל‪ an -‬בנוסחאות הנסיגה הבאות וחשבו את ‪ a3 , a4 , a5‬בשתי דרכים‪ ,‬אחת בעזרת יחס הנסיגה ושתיים‬
‫בעזרת הנוסחה המפורשת‪.‬‬
‫כאשר ‪a0  3 , a1  7‬‬
‫א( ‪an  5an1  6an  2‬‬
‫כאשר ‪a0  1 , a1  1‬‬
‫ב( ‪an 1  5an  4an1‬‬
‫כאשר ‪a0  1 , a1  4‬‬
‫ג( ‪an  4an1  4an  2‬‬
‫כאשר ‪a0  1 , a1  0 , a2  7‬‬
‫ד( ‪an 1  7an 1  6an  2‬‬
‫כאשר ‪a0  1 , a1  4 , a2  11‬‬
‫ה( ‪an 1  4an  5an 1  2an  2‬‬
‫כאשר ‪a1  19 , a0  14‬‬
‫ו( ‪an  7an 1  10an  2  16n‬‬
‫כאשר ‪a0  1 , a1  9‬‬
‫ז( ‪an  6an1  8an  2  3‬‬
‫ח( ‪an  6an 1  8an  2  3n‬‬
‫כאשר ‪a0  1 , a1  9‬‬
‫ט( ‪an  6an 1  8an  2  2n‬‬
‫כאשר ‪a0  1 , a1  10‬‬
‫י( ‪an  10an 1  25an  2  5n‬‬
‫יא( ‪an  3an 1  2an  2  2n  n‬‬
‫כאשר ‪a0  1 , a1  7 12‬‬
‫כאשר ‪a0  1 , a1  2‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬
‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬
‫‪17‬‬
‫‪ (10‬מצא נוסחת נסיגה ותנאי התחלה עבור הסידרה ‪ a n‬המקיימת‪. a n  2 2n 1  3 n n  1  1 :‬‬
‫‪ (11‬כתוב נוסחת נסיגה ‪ , a n ,‬למספר הסדרות באורך ‪ n‬בספרות ‪ 0,1,2‬ללא ‪ 00‬ו‪. 12 -‬‬
‫‪ (12‬איש ציבור נורמטיבי לוקח שוחד כל שנה בסכום ‪ 2‬מיליון דולר‪ 4,‬מיליון דולר או ‪ 6‬מיליון דולר‪ .‬כדי לא למשוך תשומת לב‬
‫הוא לא לוקח שנתיים ברצף שוחד על סך ‪ 6‬מיליון דולר‪ .‬נסמן ב ‪ an‬את מספר סדרות השוחד השונות שיכול לצבור איש ציבור‬
‫בשירות נורמטיבי בן ‪ n‬שנים‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬במשך ‪ 4‬שנים ניתן לצבור את סדרת השוחד ‪ ;2,2,2,2‬את סדרת השוחד ‪ ;2,4,2,6‬את סדרת השוחד‬
‫‪ ;4,2,2,6‬ועוד כהנה וכהנה‪ .‬שימי לב ששתי הסדרות האחרונות נספרות כשתי סדרות שוחד שונות‪.‬‬
‫רשמי נוסחת נסיגה ותנאי התחלה ל ‪.an‬‬
‫‪ (13‬לכל ‪ n  ‬נסמן ע"י ‪ an‬את מספר המילים מעל ‪  A, B , C , D , E‬שלא מכילות אף אחד מהרצפים ‪AA, BA, CA‬‬
‫מצא נוסחה מפורשת עבור ‪. an‬‬
‫‪ (14‬יהי ‪ a n‬מספר הסדרות באורך ‪ , n‬שאבריהן שייכים לקבוצה }‪ {1,2,3…,8‬ומקיימות את התנאי‬
‫הבא‪ :‬לא מופיעים בסדרה מספרים זוגיים זה בסמוך לזה‪.‬‬
‫א( מצאו יחס נסיגה עבור ‪ , a n‬רשמו את ‪. a0 , a1‬‬
‫ב( פתרו את יחס הנסיגה וקבלו ביטוי מפורש עבור ‪. a n‬‬
‫ג( חשבו את ‪ a2‬מנוסחת הרקורסיה ומהביטוי המפורש‪ ,‬ובדקו שהתקבל אותו ערך‪.‬‬
‫‪ (15‬לקינוח שאלה קשה‪.‬‬
‫כמה טיולים באורך ‪ n‬המתחילים בקודקוד ‪ 1‬ומסתיימים בקודקוד ‪ 1‬יש בגרף‬
‫ו‪1, 6,1 -‬‬
‫לדוגמה עבור ‪ n  2‬יש שני טיולים כאלה והם ‪1, 2,1‬‬
‫לדוגמה עבור ‪ n  4‬יש שישה טיולים כאלה והם‬
‫‪ 1, 2,1, 6,1 , 1, 6,1, 2,1 , 1, 6,1, 6,1 , 1, 6, 5, 6,1 ,  1, 2,1, 2,1 .  1, 2, 3, 2,1‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬
‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬
‫‪18‬‬
‫תרגילים בנושא שובך היונים‬
‫‪ (1‬תהי ‪ A  1, 2, 3,  , 49‬הוכח כי לכל בחירה של קבוצה ‪ B  A‬כך ש‪ B  26 -‬יהיו ב‪ B -‬לפחות שני איברים שסכומם ‪.49‬‬
‫‪ (2‬תהי ‪ A‬קבוצה של שישה מספרים מתוך ‪ 1,11‬הוכח כי קיימות שתי תתי קבוצות של ‪ A‬שסכום אבריהן שווה‪.‬‬
‫‪(3‬‬
‫מה הגודל המירבי של קבוצה של מספרים טבעיים שבה אין שני מספרים שסכומם או הפרשם מתחלק ב‪ ?3009-‬נמקו!!!‬
‫‪ (4‬תהי ‪ A‬קבוצה של ‪ n‬מספרים טבעיים כלשהם‪ .‬הוכח שקיימת קבוצה חלקית לא‪-‬ריקה של ‪ ,A‬שסכום איבריה מתחלק ב‪n -‬‬
‫‪ (5‬הוכח כי בכל צביעה של המישור בשני צבעים כחול ואדום יש שתי נקודות שמרחקן‪ ,‬אחד והן צבועות באותו צבע‪.‬‬
‫‪ (6‬יהי ‪ n  ‬הוכח כי קיים ‪ k  ‬כך שבמספר הטבעי ‪ k  n‬מופעיות הספרות ‪ 7‬ו‪ 0-‬בלבד‪.‬‬
‫‪ (7‬הוכח כי מבין כל ‪ 12‬מספרים דו ספרתיים יש שניים שהפרשם בעל שתי ספרות זהות‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ (8‬הוכח כי מבין כל בחירת ‪ 26‬נקודות בתוך משולש שווה צלעות שאורך צלעו הוא אחד יש שתי נקודות שהמרחק בינהן קטן מ‪-‬‬
‫‪5‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ (9‬הוכח כי בכל בחירה של ‪ n  1‬מספרים מתוך הקבוצה ‪ 1, 2,3, ,2n‬יש שני מספרים ‪ x , y‬כך ש‪-‬‬
‫א‪ x , y .‬זרים‪ ) .‬כלומר המחלק המשותף המקסימלי שלהם הוא ‪( .1‬‬
‫ב‪ x .‬מתחלק ב‪ y -‬ללא שארית‪.‬‬
‫ג‪ .‬הראה כי החסם הנ"ל הדוק‪ ,‬כלומר אפשר לבחור ‪ n‬מספרים מבלי שיתקיימו תנאי א' ו‪-‬ב'‪.‬‬
‫‪ (10‬בוחרים ‪ 46‬מספרים מתוך הקבוצה ‪ 1,2,3, ,81‬הוכח כי יש שני מספרים שהפרשם הוא בדיוק ‪( .9‬‬
‫הוכח גם כי המספר הנ"ל הדוק‪ ) .‬כלומר מצא ‪ 45‬מספרים מתוך ‪ 1,2,3, ,81‬שאין בהם שניים שהפרשם הוא בדיוק ‪( .9‬‬
‫‪ (11‬תהי ‪ A‬קבוצה בת ‪ 20‬מספרים שנבחרו במתוך הסדרה החשבונית ‪ 1,4,7,10, ,100‬הוכח כי יש שני מספרים שסכומם ‪.104‬‬
‫‪ n (12‬אנשים נפגשו במסיבה ולחצו ידיים‪ .‬הוכח כי יש שני אנשים שלחצו בדיוק אותו מספר ידיים‪.‬‬
‫‪ (13‬הוכח כי בכל צביעה של קשתות הגרף השלם ‪ K 6‬בשני צבעים יש משולש מונוכרומטי‪.‬‬
‫‪ (14‬הוכח כי בכל גרף יש שני קודקודים בעלי אותה דרגה‪.‬‬
‫‪ (15‬לפוליטיקאי נותרו ‪ 50‬ימים עד לבחירות‪ .‬הוא מתכנן נאומי בחירות‪ .‬לפחות אח ביום אך לא יותר מ‪ 75-‬נאומים בס"ה‪ .‬הוכח כי‬
‫קיימת סדרת ימים שבהם הוא נואם בס"ה ‪ 24‬מאומים‪.‬‬
‫‪ (16‬יהי ‪ n  ‬הוכח כי קיים ‪ m  ‬כך ש‪ n -‬מחלק את ‪ . 2 m  1‬הדרכה‪ :‬התבונן ב‪ 1-‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪. 2  1, 2  1, 2  1, 2‬‬
‫‪3‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬
‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪19‬‬
‫תרגילים בנושא גרפים‬
‫הערה‪ :‬השאלות באדום אינן מיועדות ללומדים במכללת אפקה‪.‬‬
‫‪ (1‬יהי ‪ G‬גרף פשוט בעל ‪ n‬קודקודים‪ .‬הוכח כי אם לכל שני קודקודים ‪ x , y  V‬מתקיים ‪ d  x   d  y   n  1‬אז ‪ G‬קשיר‪.‬‬
‫‪ (2‬יהי ‪ G‬גרף פשוט בעל ‪ n  100‬קודקודים הוכח כי אם לכל קודקוד ‪ x  V‬מתקיים ‪ d  x   50‬אז יש ב‪ G -‬מעגל באורך ‪. 4‬‬
‫‪ (3‬הוכח כי בכל גרף פשוט על ‪ 100‬קודקודים שבו כל הדרגות הן לפחות ‪ 10‬יש מעגל באורך ‪. 4 ‬‬
‫‪ (4‬יהי ‪ G‬גרף דו צדדי ‪ V1  V2   , V  V1  V2‬נתון כי ‪ G‬הוא ‪ d‬רגולרי‪ , d  1 .‬הוכח כי ‪. V1  V2‬‬
‫‪ (5‬יהי ‪ G‬גרף פשוט הוכח כי לפחות אחד מבין הגרפים ‪ G , G‬הוא קשיר‪ .‬ובניסוח שקול‪ :‬הוכח כי בכל צביעת קשתות הגרף השלם‬
‫‪ K n‬בשני צבעים לפחות אחד הגרפים החד צבעיים הוא קשיר‪.‬‬
‫‪ n  1‬‬
‫‪  ★  E  ‬אז ‪ G‬קשיר‪ .‬כאשר‬
‫‪ (6‬יהי ‪ G‬גרף פשוט בעל ‪ n‬קודקודים‪ .‬הוכח כי אם ‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ E‬זה מספר הקשתות‪.‬‬
‫‪ n  1‬‬
‫‪ E  ‬כך ש‪ G -‬אינו קשיר‪ .‬זה מראה שלא ניתן לשפר את אי‬
‫הראה כי חסם זה הדוק‪ .‬כלומר הראה גרף פשוט ‪ G‬עבורו ‪‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫השוויון ‪.  ★ ‬‬
‫‪ (7‬יהי ‪ T‬עץ בעל ‪ n‬קודקודים‪ .‬נתון כי דרגותיו הן ‪ 1, 3, 5‬בלבד‪ .‬יש ‪ 7‬קודקודים מדרגה ‪ 3‬ו‪ 10 -‬מדרגה ‪ . 5‬כמה עלים יש בעץ?‬
‫‪ (8‬יהי ) ‪ T  (V , E‬עץ שבו‪ . V  n :‬דרגות צמתי ‪ T‬הן‪ 1,3,5 :‬בלבד‪ .‬מס' הצמתים שלהם דרגה ‪ 3‬הוא ‪ 10‬ומס' הצמתים שלהם‬
‫דרגה ‪ 5‬הוא ‪ .12‬כמה עלים )צמתים מדרגה ‪ (1‬יש לעץ ?‬
‫‪ (9‬יהיו ‪ T1  V , E1  , T2  V , E 2 ‬שני עצים על אותה קבוצת קודקודים‪ .‬נגדיר גרף ‪ G‬על אותה קבוצת קודקודים וקשתותיו‬
‫‪ E  E1  E2‬הוכח כי קיים ‪ x  V‬כך ש‪ ) . d  x   3 -‬דרגתו של ‪ x‬ב‪( G -‬‬
‫‪ (10‬צובעים ב‪ n  2 -‬צבעים את קשתות הגרף השלם ‪ K n‬כך שכל צבע מופיע לפחות פעם אחת הוכח כי קיים מעגל שכל קשתותיו‬
‫צבועות בצבעים שונים‪.‬‬
‫‪ (11‬הוכיחו בכל גרף שכל דרגותיו ‪ 4‬ניתן לצבוע את קשתותיו כך מכל קודקוד יצאו בדיוק שתי קשתות מכל צבע‪.‬‬
‫‪ (12‬יהי ‪ G  V , E ‬גרף פשוט הוכח כי אם ‪ V  E‬אז ב‪ G -‬יש מעגל ואם ‪ G‬קשיר אז המעגל יחיד‪.‬‬
‫‪ (13‬יהי ‪ G  V , E ‬גרף פשוט ויהיו ‪ x , y  V‬שני קודקודים לא שכנים הוכח כי אם ‪ d  x   d  y   n‬אז יש ל‪ x -‬ול‪y -‬‬
‫לפחות שני שכנים משותפים‪.‬‬
‫‪ (14‬הוכח כי בכל צביעת קשתות הגרף השלם ‪ K n‬בשני צבעים קיים עץ פורש מונוכרומטי‪.‬‬
‫הערה‪ :‬עץ פורש הוא עץ שקודקודיו הם כל קודקודי ‪ G‬וקשתותיו הן חלק מקשתות ‪. G‬‬
‫‪ (15‬יהי ) ‪ , V  n, G  (V , E‬גרף פשוט וחסר מעגלים שבו ‪ k‬רכיבי קשירות‪ ,‬הוכיחו כי‪. E  n  k :‬‬
‫‪ (16‬מהי העוצמה הגדולה ביותר האפשרית לקבוצה של עצים על קבוצת הקודקודים‪ V  1, 2,3, 4,5, 6 :‬שאף שניים מהם אינם‬
‫איזומורפיים?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬
‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬
‫‪20‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪ d  u  , d  v  ‬אז יש ל‪-‬‬
‫‪ (17‬יהי ‪ G‬גרף פשוט על ‪ n  2‬צמתים ויהיו ‪ u, v  V‬קודקודים שאינם שכנים‪ .‬הוכח כי אם‬
‫‪2‬‬
‫‪ u, v‬לפחות שלושה שכנים משותפים‪.‬‬
‫‪ (18‬בכמה עצים על קבוצת הצמתים ‪ 1, 2, 3, 4, 5, 6‬אין שום צומת מדרגה זוגית?‬
‫‪ (19‬יהי ‪ K m ,n‬גרף דו צדדי שלם‪ .‬הוכח כי ‪ K m ,n‬המילטוני ‪. m  n ‬‬
‫‪ (20‬יהיו ‪G1  V1 , E1  , G2  V2 , E 2 ‬‬
‫‪ E1  E1   , V2  V2  ‬שני גרפים אוילריים פשוטים‪ .‬נגדיר ‪G  V , E ‬‬
‫באופן הבא‪ V  V1  V2 , E  E1  E 2 :‬ומלכדים צומת ‪ u1  V1‬עם צומת ‪ . u2  V2‬האם ‪ G‬אוילרי? ואם נחבר את ‪ u1‬עם‬
‫‪ u2‬במקום ללכד אותם האם כעת ם ‪ G‬אוילרי?‬
‫‪ (21‬יהיו ‪ G1 , G2‬שני גרפים איזומורפיים‪ .‬הוכח כי ‪ G1‬חסר מעגלים ‪ G2 ‬חסר מעגלים‪ .‬הסק כי ‪ G1‬עץ ‪ G2 ‬עץ‪.‬‬
‫‪ (22‬הוכח כי בכל צביעה של קשתות ‪ K 2t 1‬ב‪ t -‬צבעים נקבל מעגל חד צבעי‪.‬‬
‫‪ (23‬יהי ) ‪ T  (V , E‬עץ‪ .‬הוכיחו שאם כל דרגותיו אי‪-‬זוגיות אזי גם ‪ E‬הוא מספר אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ (24‬יהי ) ‪ G  (V , E‬גרף דו‪-‬צדדי פשוט‪ . V  n .‬הוכיחו כי‪:‬‬
‫‪E  n4‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ (25‬יהי ) ‪ G  (V , E‬גרף כך ש‪V  P2 1, 2, .., n  ,  n  2  :-‬‬
‫‪A, B  V‬‬
‫‪A B  ,‬‬
‫‪‬‬
‫‪e E‬‬
‫)‪ (i‬חשבו את ‪. V‬‬
‫)‪ (ii‬מהי דרגת כל צומת ?‬
‫)‪ (iii‬הוכיחו כי אם ‪ n  5‬אזי ‪ G‬קשיר )רמז‪ :‬דרך השלילה(‪.‬‬
‫‪ (26‬כמה גרפים שונים על קבוצת הקודקודים ‪ V  1, 2, ..., n‬איזומורפיים לגרף הבא‪:‬‬
‫‪n-2‬‬
‫‪k+1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪... k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n-1‬‬
‫תנו תשובה לכל ‪ k , n‬טבעיים המקיימים ‪ 2  k  n  3‬הפרידו בין המקרים ‪. n  2k  2 , n  2k  2‬‬
‫‪ (27‬מהו האורך המירבי של מסלול ב‪ ? K 2 n 1 -‬נמקו‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬
‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬
‫‪21‬‬
‫‪ (28‬נתונים שלושה גרפים בעלי אותה קבוצת קודקודים‪ G2  (V , E 2 ) , G1  (V , E1 ) :‬ו‪ . G3  (V , E 3 ) -‬נגדיר‪:‬‬
‫) ‪ G  (V , E1  E 2  E 3‬איחוד שלושת הגרפים‪ ,‬ונניח כי לכל קודקוד ב‪ V-‬דרגתו ב‪ G-‬היא לפחות ‪ .6‬הוכיחו כי לפחות אחד‬
‫מהגרפים ‪ G2 , G1‬ו‪ G3 -‬אינו חסר‪-‬מעגלים‪.‬‬
‫‪ (29‬יהי ‪ T‬עץ על ‪ n  3‬קודקודים ויהי ‪ v‬קדקוד ב‪ T-‬מדרגה ‪ .2‬יה י ‪ k‬מספר רכיבי הקשירות של ‪) T  v‬שהוא תת הגרף של ‪ T‬המתקבל‬
‫ממחיקת ‪) v‬והקשתות ש‪ v -‬קצה שלהן(‪ .‬מה הם הערכים האפשריים עבור ‪ ? k‬הוכיחו טענתכם‬
‫‪ (30‬יהי ‪ G‬גרף פשוט על ‪ 10‬קודקודים שיש בו ‪ 41‬קשתות‪ .‬הוכיחו‪ (i) :‬יש לפחות שני קודקודים ב‪ G-‬שדרגתם היא ‪ G (ii) .9‬קשיר‪.‬‬
‫‪ (31‬כמה מעגלים פשוטים באורך ‪ 3  k  n‬יש בגרף השלם ‪ K n‬על קבוצת הקודקדוים ‪ ? 1, 2, 3, 4, , n‬שני מעגלים המתקבלים‬
‫אחד מין השני ע"י סיבוב נחשבים זהים‪ .‬למשל עבור ‪ n  5‬שני המעגלים הבאים ‪1, 2, 3, 4, 5,1‬‬
‫ואילו המעגלים ‪1, 2, 3,1‬‬
‫ו‪ 3, 4,5,1, 2, 3 -‬נחשבים זהים‬
‫ו‪ 1, 3, 2,1 -‬אינם זהים‪.‬‬
‫‪ (32‬יהי ‪ Gn‬גרף פשוט שקודקודיו הם כל התת קבוצות של ‪ 1, 2, 3, 4, , n‬למעט ‪ ‬ו‪ 1, 2, 3, 4, , n -‬עצמה‪ .‬שני קודקודים‬
‫הם שכנים אם ורק אם אף אחד אינו מוכל במשנהו‪.‬‬
‫‪ .a‬הוכח כי לכל ‪ Gn n  2‬קשיר‪.‬‬
‫‪ .b‬הוכח כי אם ‪ v‬תת קבוצה בת ‪ k‬אברים של ‪ 1, 2, 3, 4, , n‬אז דרגתה כקודקוד ב‪ Gn -‬היא ‪ 2  1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ .c‬הוכח כי לכל ‪ n  3‬קיים מעגל המילטון ב‪ . Gn -‬מותר להסתמך על סעיפים קודמים ועל העובדה ש‪ 2 -‬‬
‫‪nk‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪.2 2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪ (33‬בכמה עצים על קבוצת הקודקודים ‪ 1, 2, 3, 4, ,10‬כל העלים הם מספרים זוגיים?‬
‫‪ (34‬מיהו העץ הממוספר המותאם למילה‪?( 1,1,3, 4,3, 6,10,1 :‬‬
‫‪ (35‬יהיו ‪ T2  V2 , E2 , T1  V1 , E1‬עצים‪.‬‬
‫נגדיר גרף ‪ G‬באופן הבא‪G  V1  V2 , E1  E2 :‬‬
‫‪ .d‬נתון כי‪ . V1  V2  v :‬האם ‪ G‬בהכרח עץ ? נמקו‪.‬‬
‫‪ .e‬נתון כי‪ . E1  E2  e :‬האם ‪ G‬בהכרח עץ ? נמקו‪.‬‬
‫‪ .f‬יהי ‪ T  V , E ‬עץ שדרגות כל צמתיו אי‪-‬זוגיות‪ .‬הוכיחו כי ‪ E‬הוא מספר אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬
‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪22‬‬
‫‪ (36‬יהי ‪ T‬עץ על ‪ n  4‬קודקודים‪ .‬אורך המסלול הפשוט הארוך ביותר ב‪ T-‬הוא ‪) n  2‬יש מסלול פשוט באורך ‪ n  2‬ואין מסלול‬
‫ארוך יותר(‪ .‬מהן דרגות קודקודי ‪ ? T‬רשמו אותן בסדר עולה משמאל לימין )סדרת הדרגות(‪ .‬יהי ‪ G‬גרף פשוט ‪-3‬רגולארי על‬
‫‪ n  4‬קודקודים‪ .‬נתון שב‪ G-‬יש מעגל המילטון‪ .‬הוכיחו שתת הגרף של ‪ G‬המתקבל ממחיקת כל הקשתות ששייכות למעגל‬
‫‪n‬‬
‫המילטון הוא בעל‬
‫‪2‬‬
‫רכיבי קשירות )בפרט‪ ,‬עליכם להוכיח ש‪ n-‬זוגי!(‪.‬‬
‫‪ (37‬יהי ‪ G‬גרף בעל שני רכיבי קשירות‪ T1 ,‬ו‪ , T2 -‬שכל אחד מהם עץ‪ .‬מוסיפים שתי קשתות חדשות ל‪) G-‬קבוצת הקודקודים נשארת‬
‫~‬
‫ללא שינוי( ומתקבל גרף חדש ‪. G‬‬
‫~‬
‫)‪ (i‬הוכיחו שב‪ G -‬בהכרח יש מעגל‬
‫~‬
‫)‪ (ii‬בנו דוגמה שבה ב ‪ G -‬יש מעגל המילטון‬
‫‪ (39‬נתונה קבוצה של ‪ 10‬קודקודים‪ ,‬ואוסף שקפים שעליהם מצויירים עצים על אותם עשרה קודקודים‪ .‬גיורא מניח מספר כלשהו של‬
‫שקפים זה על זה‪ ,‬ומקפיד שאף קשת משקף אחד לא תכסה על אותה קשת בשקף אחר )כלומר אין אף קשת משותפת לשני עצים‬
‫שונים(‪ .‬הוכיחו שהגרף שגיורא מקבל מאיחוד העצים שמצויירים על השקפים לא יכול להיות גרף שכל דרגותיו שוות ל ‪.5‬‬
‫רמז‪ :‬חשבו את מספר הקשתות בגרף‪.‬‬
‫‪ (40‬יהי ‪ G‬גרף פשוט על ‪ n  3‬קודקודים‪ .‬נתון‪ n (i) :‬מספר זוגי‪ (ii) .‬כל הדרגות ב‪ G-‬שוות )כלומר ‪ G‬גרף רגולרי(‪ (iii) .‬גם ‪ G‬וגם‬
‫‪ G‬קשירים‪ .‬הוכיחו שלפחות באחד מבין ‪ G‬ו‪ G -‬יש מעגל המילטון‪.‬‬
‫‪ (41‬מחקו ‪ n  1‬קשתות מן הגרף הדו‪-‬צדדי השלם ‪ ( n  1 ) K 2,n‬והתקבל גרף ‪ G‬שאין בו קודקודים מבודדים )כלומר אין בו קודקודים‬
‫שדרגתם אפס(‪ .‬הוכיחו ש‪ G-‬הוא עץ‪.‬‬
‫‪ (42‬כמה גרפים שונים על קבוצת הקודקודים ‪ V  v1 , v2 ,..., v12 ‬איזומורפים לגרף הבא‪:‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬
‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬
‫‪23‬‬
‫‪ (43‬יהיו ) ‪ G2  (V , E 2 ) , G1  (V , E1‬שני גרפים על אותה קבוצת קודקודים ‪ . V‬מגדירים את הגרף‬
‫‪G  V , E1  E 2 ‬‬
‫כאשר כאשר ‪ E1  E 2‬הוא ההפרש הסימטרי של שתי קבוצות הקשתות‪ ) .‬כל הקשתות שנמצאות ב‪ E1 -‬או ב‪ E 2 -‬אבל לא‬
‫בשתיהן ( הוכח כי אם ב‪ G1 , G2 -‬יש מעגל אוילר ואם ‪ G‬קשיר אז גם בו יש מעגל אוילר‪.‬‬
‫‪ (44‬יהי ‪ G‬גרף שקודקודיו הן תתי קבוצות בנות ‪ 4‬איברים של ‪ 1, 2, 3, , 8‬כאשר שני קודקוים הם מחוברים אם ורק אם בחיתוך‬
‫שתי הקבוצות יש ‪ 2‬איברים בדיוק‪ .‬האם ב‪ G -‬יש מעגל המילטון?‬
‫‪ (45‬הוכיחי‪ ,‬או תני דוגמה נגדית והסבירי מדוע היא דוגמה נגדית‪ :‬אם לשני גרפים אותה רשימת דרגות )כלומר אם נסדר את דרגות‬
‫קודקודי כל אחד מהגרפים בסדר עולה‪ ,‬נקבל אותה סדרה(‪ ,‬אז הגרפים איזומורפיים‪.‬‬
‫‪ (46‬יהי ‪ G‬גרף‪ ,‬לאו דווקא קשיר‪ ,‬שכל דרגותיו איזוגיות‪ .‬נבנה גרף ‪ H‬שקודקודיו הם קודקודי ‪ G‬ועוד קודקוד חדש ‪ ,v‬וקשתותיו הם‬
‫קשתות ‪ G‬וכל הקשתות האפשריות בין ‪ v‬לקודקודי ‪ .G‬הוכיחי שב ‪ H‬יש מעגל אוילר‪.‬‬
‫‪ (47‬יהי ‪ G‬גרף קשיר על ‪ 13‬קודקודים‪ ,‬שניתן לצבוע בשלושה צבעים )כלומר אפשר לצבוע את הקודקודים בשלושה צבעים‪ ,‬כך שאין‬
‫שני קודקודים מאותו צבע שמחוברים בקשת(‪ .‬הוכיחי שיש בגרף ‪ 5‬קודקודים שאף אחד מהם לא מחובר לאף אחד אחר‪.‬‬
‫‪ (48‬כמה גרפים שונים זה מזה ואיזומורפיים לגרף שמצויר להלן‪,‬‬
‫אפשר לבנות על קבוצת הקודקודים }‪?{a,b,c,d,e,f‬‬
‫‪ (49‬כמה עצים יש על הקודקודים ‪ 1, n‬שלהם בדיוק שני עלים?‬
‫‪ (50‬הוכח כי בכל צביעת קשתות הגרף השלם ‪ K 6‬בשני צבעים יש משולש מונוכרומטי‪.‬‬
‫‪ (51‬הוכיחו כי בכל קבוצה של ‪ 9‬אנשים יש בהכרח לפחות ‪ 4‬המכירים זה את זה או לפחות ‪ 3‬שאף שניים מהם אינם מכירים זה את זה‪.‬‬
‫‪ (52‬יהי ‪ G‬גרף שקודקודיו הם תתי קבוצות בנות ‪ 4‬אברים של הקבוצה }‪ n) {1,2,…,n‬גדול מ ‪ .(6‬שני קודקודים מחוברים בקשת בגרף‬
‫אם בחיתוך שלהם יש שני אברים בדיוק‪ .‬לדוגמה‪ ,‬הקודקוד }‪ {1,2,3,4‬שכן של }‪ {1,2,7,8‬אך לא של }‪.{1,2,3,7‬‬
‫כמה קודקודים בגרף סה"כ הם שכנים של }‪ {1,2,3,5} ,{1,2,3,4‬או }‪?{1,2,4,5‬‬
‫‪ (53‬יהי ‪ T‬עץ‪ .‬נוסיף ל ‪ T‬קודקוד שנקרא לו ‪ ,v‬וקשתות מ ‪ v‬לחלק מקודקודי ‪ .T‬מה צריכה להיות דרגת ‪ v‬כדי שבגרף המתקבל יהיה‬
‫בדיוק מעגל פשוט אחד? הוכיחי שאם דרגת ‪ v‬תהיה גדולה יותר‪ ,‬בגרף יהיה יותר ממעגל פשוט אחד‪.‬‬
‫‪ (54‬הוכיחי את הטענה הבאה‪ ,‬או תני דוגמה נגדית והסבר שמראה שאכן מדובר בדוגמה נגדית‪ :‬אם בגרף יש מעגל המילטון‪ ,‬אז יש בו‬
‫מעגל אוילר‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬
‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬
‫‪24‬‬
‫‪ G (55‬גרף עם ‪ 20‬קודקודים ו‪ 15-‬קשתות ללא מעגלים‪ .‬כמה רכיבי קשירות בגרף?‬
‫‪ (56‬יהי ‪ G‬גרף פשוט קשיר בן ‪ 7‬קודקודים שסדרת דרגותיו היא ‪ .3,2,2,2,1,1,1‬כמה מעגלים פשוטים יש בגרף?‬
‫‪ (57‬יהי ‪ T‬עץ על ‪ n  2‬קודקודים שלו בדיוק שני עלים‪ .‬מהן דרגות קודקודי ‪ ? T‬רשמו אותן‪ ,‬לכל ‪ , n  2‬בסדר עולה משמאל לימין‬
‫)סדרת הדרגות( והוכיחו נכונות תשובתכם‪.‬‬
‫‪ (58‬יהי ‪ G‬גרף פשוט על ‪ n‬קודקודים המכיל מעגל המילטון‪ .‬נתון כי על ידי השמטת קשתות המעגל מתקבל תת גרף של ‪ G‬שהוא עץ‪.‬‬
‫האם ניתן על סמך הנתונים לקבוע כמה קשתות בגרף ‪ ? G‬אם כן מהו מספר הקשתות?‬
‫‪ (59‬נתונים שני גרפים ‪ G1 , G2‬על ‪ 5‬קודקודים סדרת דרגותיו של ‪ G1‬היא‪2,2,3,4,5,5,6 :‬‬
‫וסדרת דרגותיו של ‪ G2‬היא‪ 1,2,3,4,4 :‬לגבי כל אחד משני הגרפים קבע איזו מן הטענות הבאות נכונה‪.‬‬
‫א‪ .‬יש גרף פשוט וקשיר כזה‪.‬‬
‫ב‪ .‬יש גרף קשיר כזה אבל הוא לא פשוט‪.‬‬
‫ג‪ .‬יש גרף פשוט כזה אבל הוא לא קשיר‪.‬‬
‫ד‪ .‬יש גרף כזה אבל הוא חייב להיות לא פשוט ולא קשיר‪.‬‬
‫ה‪ .‬לא קיים גרף כזה‪.‬‬
‫‪ (60‬עבור ‪ n  ‬נגדיר גרף פשוט ‪ Gn‬באופן הבא‪ :‬צמתיו הם ‪ 2‬הסדרות הבניאריות באורך ‪ . n‬ושני קודקודים מחוברים בינהם‬
‫‪n‬‬
‫בקשת אם ורק אם הם נבדלים בקורדינטה אחת‪ .‬מה מספר הקשתות של ‪ ? G5‬של ‪? Gn‬‬
‫‪ (61‬נגדיר ‪ Cn‬להיות מעגל על ‪ n‬קודקודים‪ .‬לאלו ערכים של ‪ n‬מתקיים ש‪ Cn -‬איזומורפי ל‪? Cn -‬‬
‫כאשר ‪ Cn‬הוא הגרף המשלים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (62‬נגדיר גרף ‪ G‬באופן הבא‪ V  A  P 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 A  3 :‬למשל ‪ v  2, 5, 6‬היא צומת של ‪ G‬שכן זו‬
‫תת קבוצה של ‪ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7‬בת שלושה איברים‪ .‬כמו כן נגדיר את קבוצת קשתות ‪ G‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪A  B  1  A, B  E‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪ G‬קשיר וחשב את מספר קודקודיו‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את דרגת כל צומת ואת מספר קשתותיו‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם ‪ G‬אוילרי? המילטוני?‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬
‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪25‬‬
‫‪ (63‬א‪ .‬הוכח כי בגרף הבא אין זווג מושלם? ‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא זווג מקסימום‪.‬‬
‫ג‪ .‬מהו המספר המינמלי של קשתות‬
‫שיש להוסיף לגרף כך שיהיה זווג‬
‫‪h‬‬
‫מושלם‬
‫‪g‬‬
‫‪e‬‬
‫‪f‬‬
‫‪d‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ (64‬יהי ‪ G‬גרף מישורי על ‪ 11‬קודקודים‪ .‬הוכח כי ‪ G‬אינו מישורי‪.‬‬
‫‪ (65‬יהי ‪ G‬גרף מישורי על ‪ n‬קודקודים‪ .‬הוכח כי אם ‪ n  11‬אז ‪ G‬אינו מישורי‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (66‬יהי ‪ G  V , E ‬גרף ותהינה ‪ A, B‬קבוצות צבעים‪ .‬נסמן את הגרף המשלים ב‪. G  V , E -‬‬
‫תהינה ‪ f : V  A , g : V  B‬שתי צביעות חוקיות של ‪ G‬ושל ‪ G‬בהתאמה‪.‬‬
‫הערה‪ :‬כזכור צביעת קודקודים היא פונקציה המתאימה לכל קודקוד צבע‪.‬‬
‫נגדיר ‪ h : V  A  B‬באופן הבא‪ h  v   f  v  , g  v  :‬כלומר ‪ h‬מתאימה לכל ‪ v V‬זוג סדור של צבעים‪.‬‬
‫הימני בזוג הוא הצבע של ‪ v‬לפי הצביעה החוקית של ‪ G‬והשמאלי בזוג הוא הצבע של ‪ v‬לפי הצביעה החוקית של ‪ . G‬הוכח‬
‫כי אין שני קודקודים שמותאם להם אותו זוג סדור של צבעים והסק כי ‪ h‬היא פונקצייה חח"ע‪ .‬כמו כן כן הסק כי‬
‫‪ ‬‬
‫‪.  G   G  n‬‬
‫‪ (67‬עבור ‪ A  1, 2, 3‬נגדיר ‪ G  V , E ‬כאשר ‪ 9) V  A  A‬צמתים ( ואת ‪ E‬קבוצת הצמתים נגדיר באופן הבא‪:‬‬
‫‪  a , b  ,  c, d   E‬אם ורק אם ‪a  b  c  d‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪ G‬קשיר‪.‬‬
‫ב‪ .‬מה דרגת הצומת ‪ 1,1‬ומה דרגת הצומת ‪ ?  2, 3‬כמה קשתות יש ב‪? G -‬‬
‫ג‪ .‬הוכח כי באין ב‪ G -‬מסלול אוילר‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬
‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬
‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬
‫‪a‬‬