‫פיסיקה ‪ 2‬־ חשמל ומגנטיות‬ ‫‪R‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪V‬‬ ‫אייל לוי‬ ‫סטודנטים יקרים‬ ‫ספר תרגילים זה הינו פרי שנות נסיון רבות של המחבר בהוראת פיסיקה באוניברסיטת תל אביב‪,‬‬ ‫במכללת אפקה‪ ,‬ועוד‪.‬‬ ‫שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את הדרך הנכונה לעומדים‬ ‫בפני קורס חשוב זה‪.‬‬ ‫הספר עוסק בפיסיקה ‪ 2‬־ חשמל ומגנטיות‪ ,‬והוא מתאים לתלמידים במוסדות להשכלה גבוהה ־‬ ‫אוניברסיטאות או מכללות‪.‬‬ ‫הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד‪ ,‬בהתאם לתכניות הלימוד השונות‪ .‬הנסיון‬ ‫מלמד כי לתרגול בקורס זה חשיבות יוצאת דופן‪ ,‬ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים‬ ‫המופיעים בו‪.‬‬ ‫לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר ‪www.GooL.c o.il‬‬ ‫הפתרונות מוגשים בסרטוני פלאש המלווים בהסבר קולי‪ ,‬כך שאתם רואים את התהליכים בצורה‬ ‫מובנית‪ ,‬שיטתית ופשוטה‪ ,‬ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי‪ .‬הפתרון המלא של השאלה מכוון‬ ‫ומוביל לדרך חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה‪.‬‬ ‫תקוותי היא שספר זה ישמש כמורה־דרך לכם הסטודנטים ויוביל אתכם להצלחה!‬ ‫אייל לוי‬ ‫תוכן עניינים‬ ‫‪1‬‬ ‫חוק‬ ‫‪1.1‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1.3‬‬ ‫קולומב והשדה החשמלי‬ ‫מערכת מטענים נקודתיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫תנועת חלקיק בשדה חשמלי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫התפלגויות מטענים רציפות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫חוק גאוס‬ ‫‪ 2.1‬שטף חשמלי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 2.2‬חוק גאוס )האינטגרלי( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 2.3‬חוק גאוס )הדיפרנציאלי( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪3‬‬ ‫אנרגיה ופוטנציאל חשמליים‬ ‫‪ 3.1‬אנרגיה פוטנציאלית חשמלית ופוטנציאל חשמלי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪4‬‬ ‫קיבול‬ ‫‪4.1‬‬ ‫‪4.2‬‬ ‫‪4.3‬‬ ‫‪4.4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪46‬‬ ‫חשמלי והתנגדות חשמלית‬ ‫קיבול וחומרים דיאלקטרים‬ ‫התנגדות ‪. . . . . . . . .‬‬ ‫מעגלי זרם ישר ‪. . . . . .‬‬ ‫מעגלי ‪) RC‬נגד וקבל( ‪. . .‬‬ ‫‪5‬‬ ‫השדה המגנטי‬ ‫‪ 5.1‬כח ומומנט כח בשדה מגנטי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 5.2‬חוק ביו־סבר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪ 5.3‬חוק אמפר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪57‬‬ ‫‪6‬‬ ‫השראה אלקטרומגנטית‬ ‫‪ 6.1‬חוק פאראדיי־לנץ ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪61‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫פרק ‪1‬‬ ‫חוק קולומב והשדה החשמלי‬ ‫‪ 1.1‬מערכת מטענים נקודתיים‬ ‫‪1.1.1‬‬ ‫מטען ‪ q1 = 1 C‬נמצא במנוחה על הקרקע‪.‬‬ ‫באיזה גובה ניתן לשים מסה ‪ m = 1 ton‬בעלת מטען זהה ‪ q2 = 1 C‬שתרחף באויר כנגד כח הכובד?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪h = 958.3 m‬‬ ‫‪1.1.2‬‬ ‫ארבעה מטענים נקודתיים ‪ q1 , q2 , q3 , q4‬נמצאים במיקומים‪:‬‬ ‫‪~r1 = (1, 1) m ; ~r2 = (−1, 1) m ; ~r3 = (−1, −1) m ; ~r4 = (1, −1) m‬‬ ‫בהתאמה‪ .‬המטענים ‪ q1 = q2 = −200 µC‬והמטענים ‪ .q3 = q4 = 200 µC‬מטען נקודתי ‪ Q = 100 µC‬נמצא‬ ‫בראשית הצירים‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪q1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪q4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪q2‬‬ ‫‪q3‬‬ ‫)א( מהו הכח שמרגיש המטען ‪?Q‬‬ ‫)ב( מהו הכח שמרגיש המטען ‪?q3‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫)א( ‪F~ = (0, 254.56) N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫)ב( ‪F~ = (−121.82, 58.18) N‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪1.1.3‬‬ ‫ארבעה מטענים נקודתיים ‪ q1 = q2 = q3 = q4 = 300 nC‬נמצאים במיקומים‪:‬‬ ‫‪~r1 = (1, 0, 0) m ; ~r2 = (0, 1, 0) m ; ~r3 = (0, −1, 0) m ; ~r4 = (−1, 0, 0) m‬‬ ‫בהתאמה‪ .‬מטען נקודתי ‪ Q = 500 nC‬נמצא על ציר ‪ z‬במיקום ‪~ = (0, 0, 3) m‬‬ ‫‪.R‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪q4‬‬ ‫‪q3‬‬ ‫‪q2‬‬ ‫‪q1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫מה צריכה להיות מסתו של המטען ‪ Q‬כדי שהוא ירחף באוויר כנגד כח הכובד?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪m = 52.27 kg‬‬ ‫‪1.1.4‬‬ ‫שני מטענים נקודתיים זהים ‪ Q‬מצאים במנוחה על ציר ‪ x‬במרחק ‪ d‬זה מזה‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫)א( היכן על ציר ‪ y‬מתקבל הערך המקסימלי של השדה החשמלי?‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪3‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫)ב( הראו כי במרחק רב )‪ ,(y >> d‬השדה מתנהג כמו שדה חשמלי של מטען נקודתי בעל גודל ‪) 2Q‬המטען הכולל‬ ‫של המערכת(!‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫)א( √ ‪y = ±‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪1.1.5‬‬ ‫נתונה מערכת של שני מטענים נקודתיים בעלי גודל ‪ q‬וסימן הפוך )דיפול(‪ ,‬הנמצאים על ציר ‪ x‬במיקומים‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪~r1 = ( , 0) m ; ~r2 = (− , 0) m‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−q‬‬ ‫)א( מצאו את השדה החשמלי בכל מקום לאורך ציר ‪ ,x‬כפונקציה של המרחק ‪ x‬מהראשית‪ .‬יש לבטא בעזרת‬ ‫‪!k, q, d, x‬‬ ‫)ב( מהו השדה החשמלי במרחק רב מהדיפול )‪?(x >> d‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫"‬ ‫‪#‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2kqd‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪~ >> d‬‬ ‫~‬ ‫‪E(x‬‬ ‫‪) E(x,‬ב( )‪· (1, 0, 0‬‬ ‫ ‪0, 0) = kq‬‬ ‫‪ −‬‬ ‫)א( )‪ · (1, 0, 0‬‬ ‫‪x − d 3 x + d 3‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1.1.6‬‬ ‫נתונה מערכת של ארבעה מטענים נקודתיים בעלי גודל ‪ q‬כל אחד‪ ,‬הנמצאים בקודקודיו של ריבוע בעל צלע ‪2a‬‬ ‫שמרכזו בראשית‪ .‬לכל זוג מטענים סמוכים יש מטען הפוך )קוואדרופול(‪:‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪4‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪−q‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪−q‬‬ ‫)א( מצאו את הכח שפועל על מטען נקודתי ‪ Q‬שמונח על ציר ‪ x‬כפונקציה של המרחק ‪ x‬מראשית הצירים! יש‬ ‫לבטא באמצעות ‪.k, Q, q, a, x‬‬ ‫)ב( מהו הכח שיפעל על ‪ Q‬אילו הוא היה ממוקם במרחק רב מהראשית )‪?(x >> a‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)א( )‪· (1, 0, 0‬‬ ‫‪[(x + a)2 + a2 ]3/2‬‬ ‫‪2kqQa2‬‬ ‫= )‪F~ (x >> a‬‬ ‫)ב( )‪· (1, 0, 0‬‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪[(x − a)2 + a2 ]3/2‬‬ ‫"‬ ‫· ‪F~ (x, 0, 0) = 2kqQa‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫תנועת חלקיק בשדה חשמלי‬ ‫‪1.2.1‬‬ ‫פרוטון )מטענו ‪ qp = 1.602 · 10−19 C‬ומסתו ‪ (mp = 1.67 · 10−27 kg‬מוכנס בין שני לוחות שהמרחק ביניהם‬ ‫‪ .d = 0.8 cm‬הלוחות טעונים כך שנוצר ביניהם השדה החשמלי אחיד המכוון אנכית מטה וגודלו ‪.E = 3 · 104 NC‬‬ ‫הפרוטון מוכנס בצמוד ללוח העליון עם מהירות אופקית ‪.v0 = 5 · 106 ms‬‬ ‫~‬ ‫‪E‬‬ ‫‪d‬‬ ‫)א( תוך כמה זמן יפגע הפרוטון בלוח התחתון?‬ ‫)ב( מהו המרחק האופקי אותו יעבור הפרוטון עד שיפגע בלוח התחתון?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫)א( ‪) t = 7.47 · 10−8 s‬ב( ‪x = 37.4 cm‬‬ ‫‪1.2.2‬‬ ‫נתונים שני לוחות אינסופיים‪ .‬מזריקים גוף שמסתו ‪ M = 5 gr‬ומטענו ‪ Q = −10 µC‬אל בין הלוחות‪ .‬מהו גודלו‬ ‫וכיוונו של שדה חשמלי שיש ליצר בין הלוחות כדי שהמטען יתמיד במגמת תנועתו‪ ,‬כלומר ימשיך לנוע בקו ישר‪,‬‬ ‫אם נתון שתאוצת הגרביטציה פועלת אנכית מטה?‬ ‫‪v0‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪M, Q‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ E = 4900‬במגמה אנכית מטה‪.‬‬ ‫‪1.2.3‬‬ ‫נתונים שני לוחות טעונים שהמרחק ביניהם ‪ d = 0.7 cm‬ושאורך כל אחד מהם הוא ‪ .L = 10 cm‬הלוחות‬ ‫טעונים כך שנוצר ביניהם שדה חשמלי אחיד המכוון אנכית מעלה וגודלו ‪ .E = 2500 NC‬אלקטרון )מטענו‬ ‫‪ qe = −1.602 · 10−19 C‬ומסתו ‪ (me = 9.11 · 10−31 kg‬מוזרק אל בין שני לוחות בצמוד לקצה השמאלי של הלוח‬ ‫התחתון במהירות שגודלה ‪.v0 = 1 · 107 ms‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪6‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪d‬‬ ‫~‬ ‫‪E‬‬ ‫‪v0‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫מהו תחום הזוויות ‪ θ‬עבורו ניתן להזריק את האלקטרון‪ ,‬כדי שהוא לא יפגע באף אחד מהלוחות?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫◦‪14.36◦ > θ > 13.04‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1.3‬‬ ‫התפלגויות מטענים רציפות‬ ‫‪1.3.1‬‬ ‫נתונה קשת מעגלית בעלת רדיוס ‪ ,R‬הנשענת על זווית ‪ θ‬וטעונה בצפיפות מטען קווית ) ‪ ,λ(θ′‬כאשר ‪ θ′‬הזווית מציר‬ ‫‪ .x‬מרכזה של הקשת בנקודה ‪.O‬‬ ‫‪y‬‬ ‫) ‪λ(θ′‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪O‬‬ ‫)א( חשבו את המטען הכולל לאורך הקשת אם נתון כי צפיפות המטען‬ ‫‪ (1‬אחידה‪λ(θ′ ) = λ0 :‬‬ ‫‪ (2‬משתנה‪λ(θ′ ) = λ0 sin θ′ :‬‬ ‫)ב( חשבו את השדה החשמלי שמפעילה הקשת בנקודה ‪ O‬עבור שתי צפיפויות המטען שנתונות ב־)א(‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪~ 0, 0) = (2 E(0,‬‬ ‫)א( ‪) λ0 R(1 − cos θ) (2 q = λ0 Rθ (1‬ב( ‪~ 0, 0) = kλ0 (− sin θ, cos θ − 1, 0) N (1‬‬ ‫‪E(0,‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪kλ0‬‬ ‫‪sin2 θ θ sin 2θ‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪,− +‬‬ ‫‪,0‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪1.3.2‬‬ ‫נתון מוט דק אינסופי טעון בצפיפות מטען קווית אחידה‬ ‫‪C‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪.λ = 5 · 10−6‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫)א( חשבו את השדה החשמלי שיוצר המוט בכל נקודה במרחב‪ ,‬כלומר כפונקציה של המרחק האנכי מציר התיל‪r ,‬‬ ‫)רדיוס גלילי(!‬ ‫)ב( מניחים מטען נקודתי ‪ Q = 10 µC‬במרחק ‪ r = 10 cm‬מהתיל‪ .‬מהו הכח החשמלי שמרגיש המטען?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪9 · 104 N‬‬ ‫)א(‬ ‫‪r‬‬ ‫‪C‬‬ ‫= )‪) E(r‬ב( ‪F = 9 N‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1.3.3‬‬ ‫תיל אינסופי הטעון בצפיפות מטען קווית אחידה ‪ λ‬מכופף באמצעו כך שהוא יוצר קשת שצורתה חצי מעגל שרדיוסו‬ ‫‪.R‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪O‬‬ ‫מהו השדה החשמלי שיוצר התיל בנקודה ‪ ,O‬מרכז הקשת המעגלית?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪~ 0, 0) = 0‬‬ ‫‪E(0,‬‬ ‫‪1.3.4‬‬ ‫מוט דק בעל אורך ‪ L‬שוכב לאורך ציר ‪ x‬כשמרכזו בראשית‪ .‬המוט טעון באופן אחיד במטען כולל ‪.Q‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(0, y, 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫הראו כי השדה החשמלי שיוצר המוט בנקודה )‪ (0, y, 0‬הוא‪:‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪~ y, 0) = p 2kQ‬‬ ‫‪E(0,‬‬ ‫)‪(0, 1, 0‬‬ ‫‪y L2 + 4y 2‬‬ ‫‪1.3.5‬‬ ‫חשבו את הכח ההדדי שפועל בין מטען נקודתי ‪ q = 1 µC‬שמיקומו ראשית הצירים‪ ,‬ובין מוט דק שאורכו‬ ‫‪ ,L = 0.2 cm‬הטעון בצפיפות מטען קווית ‪ λ(x) = 100x2 mC‬כאשר נתון כי המוט שוכב לאורך ציר ‪ x‬כך שקצהו‬ ‫השמאלי נמצא במרחק ‪ x = L‬מהראשית‪.‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪9‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪q‬‬ ‫)‪λ(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪2L‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪F = 1800 N‬‬ ‫‪1.3.6‬‬ ‫חשבו את הכח ההדדי שפועל בין שני מוטות דקים שאורכו של כל אחד מהם הוא ‪ .L‬כל מוט טעון בצפיפות מטען‬ ‫אחידה ‪ .λ‬מוט אחד שוכב לאורך ציר ‪ x‬כך שקצהו השמאלי בראשית‪ ,‬והמוט השני שוכב לאורך ציר ‪ x‬כך שקצהו‬ ‫השמאלי במרחק ‪ 2L‬מהראשית‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3L‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪2L‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪L‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫ ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪kλ2‬‬ ‫‪F = ln‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1.3.7‬‬ ‫נתונה טבעת מעגלית שרדיוסה ‪ R‬הטעונה בצפיפות מטען קווית )‪ λ(θ‬כאשר ‪ θ‬הזווית שנמדדת על מישור ‪ xy‬מציר‬ ‫ה־ ‪.x‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪R‬‬ ‫)‪λ(θ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪10‬‬ ‫)א( חשבו את השדה החשמלי שיוצרת הטבעת לאורך הציר האנכי מרכזי שלה )ציר ‪ (z‬עבור‪:‬‬ ‫‪λ(θ) = λ0 (1‬‬ ‫‪λ(θ) = λ0 sin θ (2‬‬ ‫)ב( במקרה של צפיפות מטען אחידה‪ ,‬הראו כי במרחק רב )‪ (z >> R‬מתקבל שדה של מטען נקודתי!‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫)א( ‪zˆ (1‬‬ ‫‪2πkλ0 Rz‬‬ ‫‪(R2 + z 2 )3/2‬‬ ‫= )‪~ 0, z‬‬ ‫‪yˆ (2 E(0,‬‬ ‫‪πkλ0 R2‬‬ ‫‪z 2 )3/2‬‬ ‫‪(R2 +‬‬ ‫‪~ 0, z) = −‬‬ ‫‪E(0,‬‬ ‫‪1.3.8‬‬ ‫נתונה דיסקה מעגלית שרדיוסה ‪ R‬הטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה ‪.σ‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)א( חשבו את השדה החשמלי שיוצרת הדיסקה לאורך הציר האנכי מרכזי שלה )ציר ‪!(z‬‬ ‫)ב( הראו כי במרחק רב )‪ (z >> R‬מתקבל שדה של מטען נקודתי!‬ ‫)ג( בעזרת הפתרון לסעיף )א(‪ ,‬חשבו את השדה החשמלי שיוצר מישור אינסופי )הטעון בצפיפות משטחית אחידה(‬ ‫בכל מקום במרחב‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫)א( ˆ‪z‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫√‪−‬‬ ‫|‪|z‬‬ ‫‪R2 + z 2‬‬ ‫חיובי מתאר דחייה(‪.‬‬ ‫‬ ‫‪σ‬‬ ‫‪~ 0, z) = 2πkσz‬‬ ‫‪) E(0,‬ג(‬ ‫‪2ε0‬‬ ‫= ‪ E = 2πkσ‬בכיוון מאונך למישור בכל נקודה )סימן‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1.3.9‬‬ ‫נתון גליל מלא שרדיוסו ‪ R‬וגובהו ‪ H‬הטעון בצפיפות מטען נפחית אחידה ‪.ρ‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪ρ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫חשבו את השדה החשמלי שיוצר הגליל לאורך הציר האנכי מרכזי שלו )ציר ‪!(z‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‬ ‫‪p‬‬ ‫√‬ ‫ˆ‪R2 + (z − H)2 − R2 + z 2 z‬‬ ‫‬ ‫‪~ 0, z) = 2πkρ 2z − H +‬‬ ‫‪E(0,‬‬ ‫‪1.3.10‬‬ ‫חשבו את השדה החשמלי במרכזה של קליפה חצי כדורית הטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה ‪.σ‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫‪4ε0‬‬ ‫= ‪E = πkσ‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪12‬‬ ‫פרק ‪2‬‬ ‫חוק גאוס‬ ‫‪ 2.1‬שטף חשמלי‬ ‫‪2.1.1‬‬ ‫חשבו ישירות מההגדרה את השטף החשמלי של שדה חשמלי אחיד ~‪ E‬דרך מנסרה משולשת )חתך שהוא משולש‬ ‫שווה שוקיים בעל אורך שוק ‪ a‬ואורך בסיס ‪ .b‬עומקה של המנסרה ‪ .(c‬השדה מאונך לבסיס‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫~‬ ‫‪E‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪φE = 0‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2.1.2‬‬ ‫נתון קוואדרופול חשמלי )מערך של שני דיפולים חשמליים( כמשורטט‪:‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪−q‬‬ ‫‪−q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫חשבו בעזרת חוק גאוס מהו השטף החשמלי דרך כל אחד מהמשטחים הצבעוניים‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪2q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪2q‬‬ ‫= )אפורה( ‪; φE‬‬ ‫‪) = −‬ירוקה( ‪) = 0 ; φE‬אדומה( ‪; φE‬‬ ‫‪ε0‬‬ ‫‪ε0‬‬ ‫‪ε0‬‬ ‫= )כחולה( ‪φE‬‬ ‫‪2.1.3‬‬ ‫נתון מלבן שנמצא על מישור ‪ x − y‬בעל צלעות ‪) a = 1 m‬לאורך ציר ‪ (x‬ו־‪) b = 2 m‬לאורך ציר ‪ .(y‬המלבן נמצא‬ ‫ברביע הראשון כך שקצה אחד שלו בראשית‪ .‬כמו כן נתון כי בכל המרחב קיים שדה חשמלי‪:‬‬ ‫‪~ = (3x2 y, 3xy 2, x2 y + y 2z + z 2 x) N‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)א( מהו השטף של השדה החשמלי דרך המלבן?‬ ‫)ב( מהו השטף דרך המלבן אם נתון כי מרימים את המלבן ‪ 2‬מטרים כך שהוא נמצא על המישור ‪?z = 2 m‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪a3 b2 2 3‬‬ ‫‪N · m2‬‬ ‫‪a3 b2‬‬ ‫‪2 N · m2‬‬ ‫‪+ ab + 2a2 b = 10‬‬ ‫= ‪) φE‬ב(‬ ‫=‬ ‫)א(‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪C‬‬ ‫= ‪φE‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪14‬‬ ‫‪2.1.4‬‬ ‫מטען נקודתי ‪ q‬נמצא בגובה ‪ h‬מעל מרכזה של דיסקה שרדיוסה ‪.R‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪R‬‬ ‫)א( מהו השטף החשמלי דרך הדיסקה?‬ ‫)ב( השתמשו בפתרון ל־)א( כדי לחשב את השטף החשמלי דרך מישור אינסופי‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪q‬‬ ‫‪h‬‬ ‫= ‪φE = 2πkq‬‬ ‫‪) φE = 2πkq 1 − √ 2‬ב(‬ ‫)א(‬ ‫‪2ε0‬‬ ‫‪R + h2‬‬ ‫‪2.1.5‬‬ ‫חשבו את שטף השדה החשמלי שיוצר המטען הנקודתי דרך הצורות בשרטוטים הבאים‪:‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫= ‪ ; φE‬משמאל‬ ‫שורה ראשונה‪ :‬מימין‬ ‫‪8ε0‬‬ ‫‪2ε0‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫= ‪ ; φE‬משמאל‬ ‫שורה שניה‪ :‬מימין‬ ‫= ‪φE‬‬ ‫‪4ε0‬‬ ‫‪6ε0‬‬ ‫= ‪φE‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪15‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2.1.6‬‬ ‫מוט דק שאורכו ‪ h‬טעון בצפיפות מטען קווית אחידה ‪ .λ‬המוט שוכב לאורך הציר האנכי־מרכזי של דיסקה שרדיוסה‬ ‫‪ R‬כך שקצהו התחתון נמצא בגובה ‪ h‬מעל מרכזה של הדיסקה‪.‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪R‬‬ ‫מהו השטף החשמלי דרך הדיסקה?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫‪φE = 2πkλ h − R2 + 4h2 + R2 + h2‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪16‬‬ ‫‪ 2.2‬חוק גאוס )האינטגרלי(‬ ‫‪2.2.1‬‬ ‫חשבו את השדה החשמלי שיוצר מטען נקודתי ‪ Q‬בעזרת חוק גאוס‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪kQ‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫=‪E‬‬ ‫‪2.2.2‬‬ ‫נתון כדור מלא בעל רדיוס ‪ .R‬חשבו את השדה החשמלי שיוצר הכדור בכל מקום במרחב‪ ,‬בעזרת חוק גאוס‪ ,‬אם‬ ‫נתון כי צפיפות המטען הנפחית בכדור היא‪:‬‬ ‫)א( קבועה ‪ρ(r) = ρ0‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫)ב( תלויה במרחק מהמרכז ‪:r‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪ρ(r) = ρ0‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫)א(‬ ‫‪r≤R‬‬ ‫‪r≥R‬‬ ‫‪2.2.3‬‬ ‫‪ ρr‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r≤R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪) E(r) = 3ε‬ב(‬ ‫‪ρR3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r≥R‬‬ ‫‪3ε0 r 2‬‬ ‫‪ρ0 3‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪5ε0 R2‬‬ ‫= )‪E(r‬‬ ‫‪ρ R3 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫·‬ ‫‪5ε0 r 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫נתונה קליפה כדורית בעלת רדיוס ‪ R‬הטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה ‪.σ‬‬ ‫)א( חשבו את השדה החשמלי שיוצרת הקליפה בכל מקום במרחב‪ ,‬בעזרת חוק גאוס‪.‬‬ ‫)ב( הראו כי הקפיצה בשדה החשמלי במעבר דרך צפיפות מטען משטחית ‪ σ‬שווה ל־‬ ‫‪σ‬‬ ‫‪ε0‬‬ ‫= ‪∆E‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪r<R‬‬ ‫)א(‬ ‫=‪E‬‬ ‫‪σR2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫>‬ ‫‪R‬‬ ‫‪ε0 r 2‬‬ ‫‪2.2.4‬‬ ‫קליפה כדורית עבה‪ ,‬בעלת רדיוסים פנימי ‪ a‬וחיצוני ‪ b‬טעונה בצפיפות מטען נפחית‬ ‫נמצא מטען נקודתי ‪.Q‬‬ ‫)א( מה צריך להיות הקבוע ‪ A‬כדי שהשדה החשמלי בכל מקום בתחום ‪ a ≤ r ≤ b‬יהיה קבוע?‬ ‫)ב( עבור הקבוע שמצאתם ב־)א(‪ ,‬מצאו את השדה החשמלי בכל מקום במרחב‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪r‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪17‬‬ ‫= )‪ .ρ(r‬במרכז המערכת‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪r≤a‬‬ ‫)א( ‪) A = Q‬ב( ‪a ≤ r ≤ b‬‬ ‫‪πa2‬‬ ‫‪r≥a‬‬ ‫‪2.2.5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4πε0r 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫= )‪E(r‬‬ ‫‪4πε0a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ Q 2 a2 − 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4πε0 r 2‬‬ ‫נתונה קליפה כדורית בעלת עובי‪ ,‬שרדיוסה הפנימי ‪ R‬והחיצוני ‪ .2R‬הקליפה טעונה בצפיפות מטען נפחית‬ ‫‪ .ρ(r) = ρ0 Rr‬במרחק ‪ 3R‬ממרכז הקליפה נמצא קצהו השמאלי של מוט דק שאורכו ‪ 2R‬הטעון צפיפות מטען‬ ‫‪.λ(r) = λ0 r‬‬ ‫)‪ρ(r‬‬ ‫)‪λ(r‬‬ ‫ˆ‪r‬‬ ‫‪2R‬‬ ‫)א( מהו השדה החשמלי בכל מקום לאורך הציר הרדיאלי ˆ‪ r‬בתחום ‪?0 < r < 3R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫)ב( מהו הכח שמפעיל הכדור על המוט?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪r − 5R‬‬ ‫‪2Rr‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−kλ0 · ln‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ˆ‪r‬‬ ‫‪r≤R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r − 3R‬‬ ‫)‪(r − 5R)(r − 3R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2Rr‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r − 5R‬‬ ‫) ‪ρ0 R(r 2 − R2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ˆ‪r‬‬ ‫‪R ≤ r ≤ 2R‬‬ ‫‪− kλ0 · ln‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2ε0 r 2‬‬ ‫‪r − 3R‬‬ ‫)‪(r − 5R)(r − 3R‬‬ ‫~‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫= )‪E(r‬‬ ‫)א(‬ ‫‪‬‬ ‫‪2Rr‬‬ ‫‪r − 5R‬‬ ‫‪3ρ0 R3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ˆ‪r‬‬ ‫‪2R ≤ r < 3R‬‬ ‫‪− kλ0 · ln‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2ε0 r 2‬‬ ‫‪r − 3R‬‬ ‫)‪(r − 5R)(r − 3R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3ρ‬‬ ‫‪2Rr‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5R‬‬ ‫‪0R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ˆ‪r‬‬ ‫‪r > 5R‬‬ ‫‪+ kλ0 · ln‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2ε0 r 2‬‬ ‫‪r − 3R‬‬ ‫)‪(r − 5R)(r − 3R‬‬ ‫ ‬ ‫‪ρ0 λ0 R3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫~‬ ‫·‬ ‫)ב( ˆ‪r‬‬ ‫‪F = ln‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ε0‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪18‬‬ ‫‪2.2.6‬‬ ‫נתון כדור מלא בעל רדיוס ‪ R‬הטעון בצפיפות מטען נפחית אחידה ‪ .ρ‬יוצרים בכדור חלל כדורי בעל בעל רדיוס ‪r‬‬ ‫כך שמרכזו נמצא בוקטור מיקום ‪ ~a‬ביחס למרכז הכדור‪ .‬נתון ‪.R > r + a‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪r‬‬ ‫מהו השדה החשמלי בכל נקודה בחלל הכדורי?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪~ = ρ~a‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪3ε0‬‬ ‫‪2.2.7‬‬ ‫נתון מוט דק אינסופי טעון בצפיפות מטען קווית אחידה ‪.λ‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫חשבו את השדה החשמלי שיוצר המוט בכל נקודה במרחב‪ ,‬בעזרת חוק גאוס‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪2kλ‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫=‬ ‫‪2πε0 r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫= )‪E(r‬‬ ‫‪2.2.8‬‬ ‫נתון גליל אינסופי בעל רדיוס ‪ R‬הטעון בצפיפות מטען נפחית‬ ‫‬ ‫‪2πr‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‬ ‫‪ρ0 R‬‬ ‫= )‪ρ(r‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪r‬‬ ‫לחלק החיצוני של הגליל צמודה קליפה גלילית אינסופית הטעונה בצפיפות מטען אחידה ‪.σ‬‬ ‫מצאו את השדה החשמלי בכל מקום במרחב‪ ,‬כתלות במרחק האנכי מציר הגליל )‪ ,r‬הרדיוס הגלילי(‪.‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪19‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫)‪ρ(r‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪r<R‬‬ ‫‬ ‫‪r>R‬‬ ‫‪2.2.9‬‬ ‫‪2πr‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‬ ‫‪‬‬ ‫‪ρ0 R2 · 1 − cos‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2πε0 r‬‬ ‫= )‪E(r‬‬ ‫‪σR‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ε0 r‬‬ ‫שני לוחות אינסופיים מקבילים טעונים בצפיפויות מטען ‪ +σ‬ו־ ‪ .−σ‬המרחק בין הלוחות הוא ‪.d‬‬ ‫)א( מהו השדה החשמלי בכל נקודה במרחב?‬ ‫)ב( ממלאים את המרחב שבין הלוחות בחומר בעל צפיפות מטען נפחית אחידה ‪ .ρ‬מהו השדה החשמלי בכל נקודה‬ ‫במרחב במצב החדש?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫)א(‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫< |‪|z‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫> |‪|z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ σ‬‬ ‫‪ E(z) = ε0‬כאשר ‪ z‬המרחק האנכי מהמרכז‪) .‬ב(‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪z < − d2‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫<‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪− d2 z‬‬ ‫>‪z‬‬ ‫‪ z‬המרחק האנכי מהמרכז‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ρd‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2ε‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ρz 0 σ‬‬ ‫‪ E(z) = ε − ε‬כאשר‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ρd‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2ε0‬‬ ‫‪2.2.10‬‬ ‫לוח אינסופי בעל עובי ‪ d = 8 cm‬טעון בצפיפות מטען נפחית‬ ‫הלוח )כלומר‪ ,‬ראשית הצירים ממוקמת במרכז הלוח(‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪m3‬‬ ‫‪ ,ρ(z) = 5 · 10−5 z 2‬כאשר ‪ z‬המרחק האנכי ממרכז‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪20‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)א( מהו השדה החשמלי בכל נקודה המרחב?‬ ‫)ב( מוט דק בעל אורך ‪ L = d‬מונח לאורך ציר ‪ z‬כשקצהו התחתון בראשית‪ .‬המוט טעון באופן אחיד במטען כולל‬ ‫‪ .Q‬מהו הכח שמרגיש המוט?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪N‬‬ ‫)א(‬ ‫‪C‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫≤ |‪|z‬‬ ‫≥ |‪|z‬‬ ‫‪1884955.6 · z 3‬‬ ‫‪120.6‬‬ ‫(‬ ‫= )‪) E(z‬ב( ‪ F = Q · 75.4 N‬בכיוון דחייה מהלוח‪.‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪21‬‬ ‫‪ 2.3‬חוק גאוס )הדיפרנציאלי(‬ ‫‪2.3.1‬‬ ‫נתון במרחב שדה חשמלי רדיאלי בעל סימטריה כדורית‪:‬‬ ‫‪α‬‬ ‫~‬ ‫)‪E(r‬‬ ‫ˆ‪= r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫מצאו את התפלגות המטען )‪ ρ(r‬שיוצרת את השדה‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪ε0 α‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫= )‪ρ(r‬‬ ‫‪2.3.2‬‬ ‫שדה אלקטרוסטטי ~‪ E‬מקיים‪:‬‬ ‫‪r<R‬‬ ‫ˆ‪E0 r‬‬ ‫‪r>R‬‬ ‫‪0‬‬ ‫(‬ ‫= ~‬ ‫‪E‬‬ ‫כאשר ‪ r‬הוא המרחק מהראשית )קואורדינטות כדוריות( ו־ ‪ E0‬ו־ ‪ R‬קבועים חיוביים‪.‬‬ ‫)א( האם יש מטענים נקודתיים במרחב? אם לא ־ נמקו! אם כן־ מהו גודלם והיכן הם נמצאים?‬ ‫)ב( האם יש צפיפות מטען משטחית ‪ σ‬במרחב? אם לא ־ נמקו! אם כן ־ מהי ומהו מיקומה?‬ ‫)ג( האם יש צפיפות מטען נפחית ‪ ρ‬במרחב? אם לא ־ נמקו! אם כן ־ מהי ומהו מיקומה?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)א( לא! נוכחות מטען נקודתי יוצרת שדה חשמלי שתלוי במרחב באופן‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2ε0E0‬‬ ‫‪r<R‬‬ ‫= )‪ρ(r‬‬ ‫)ב( ‪) σ = −ε0 E0‬ג(‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪r>R‬‬ ‫∝ ‪.E‬‬ ‫‪2.3.3‬‬ ‫נתון שדה חשמלי בכל המרחב בעל סימטריה כדורית‪:‬‬ ‫‪r<R‬‬ ‫‪R < r ≤ 2R‬‬ ‫‪r ≥ 2R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4πε‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‬ ‫‪ Q r 4‬‬ ‫~‬ ‫ˆ‪− 1 r‬‬ ‫= )‪E(r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4ε0 r 2‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪ 15Q r‬‬ ‫‪4ε0 r 2‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪22‬‬ ‫כאשר ‪ Q‬קבוע בעל יחידות של מטען‪ ,‬ו־ ‪ R‬קבוע בעל יחידות של מרחק‪.‬‬ ‫איזה מערך מטענים יוצר שדה זה?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪Qr‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪ σ = −‬ברדיוס ‪ R‬וצפיפות מטען נפחית‬ ‫מטען נקודתי ‪ Q‬במרכז )‪ ,(r = 0‬צפיפות מטען משטחית‬ ‫‪4‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪4πR2‬‬ ‫בתחום ‪.R < r ≤ 2R‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪23‬‬ ‫= )‪ρ(r‬‬ ‫פרק ‪3‬‬ ‫אנרגיה ופוטנציאל חשמליים‬ ‫‪ 3.1‬אנרגיה פוטנציאלית חשמלית ופוטנציאל חשמלי‬ ‫‪3.1.1‬‬ ‫חשבו את האנרגיה האלקטרוסטטית של מערך של זוג מטענים ‪ q1‬ו־ ‪ q2‬שנמצאים במרחק ‪ r‬זה מזה‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪kq1 q2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫=‪U‬‬ ‫‪3.1.2‬‬ ‫ארבעה מטענים מסודרים בארבע פינותיו של ריבוע שצלעו ‪ ,a‬כמשורטט‪ .‬המטענים מוחזקים במקומם ואינם יכולים‬ ‫לנוע‪.‬‬ ‫‪−q‬‬ ‫‪2q‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪−q‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)א( חשבו את האנרגיה האלקטרוסטטית של המערך )כלומר את העבודה שיש להשקיע כדי לבנות אותו(‪.‬‬ ‫)ב( המטען ‪ 2q‬משוחרר ויכול לנוע במרחב‪ .‬ברגע מסוים הוא מגיע למרכז הריבוע‪ .‬מהי מהירותו שם‪ ,v ,‬אם נתון‬ ‫כי מסתו היא ‪?m‬‬ ‫‪24‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪kq 2‬‬ ‫)א(‬ ‫‪a‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪kq 2‬‬ ‫‪) U = −3.88‬ב(‬ ‫‪ma‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪v = 0.7‬‬ ‫‪3.1.3‬‬ ‫זוג מטענים זהים ‪ q‬המרוחקים זה מזה מרחק ‪ d‬נמצא על ציר ה־‪ x‬כמשורטט‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)א( חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצר זוג המטענים בכל נקודה במרחב‪ ,‬ביחס לאינסוף‪.‬‬ ‫)ב( הראו כי במרחק רב מתקבל פוטנציאל של מטען נקודתי!‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫)א( ‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+ xd +‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪+q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪− xd +‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ϕ(~r) = kq  q‬‬ ‫‪3.1.4‬‬ ‫דיפול חשמלי נמצא על ציר ה־‪ x‬כמשורטט‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)א( חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצר הדיפול בכל נקודה במרחב‪ ,‬ביחס לאינסוף‪.‬‬ ‫)ב( מהו הפוטנציאל במרחק רב מהדיפול?‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−q‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫)א( ‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+ xd +‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪−q‬‬ ‫‪d2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪kqxd‬‬ ‫‪) ϕ(~r) = kq  q‬ב(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r 2 − xd +‬‬ ‫= )‪ϕ(r ≫ d‬‬ ‫‪3.1.5‬‬ ‫בשמונת קודקודי קוביה שצלעה ‪ a‬נמצאים שמונה מטענים זהים בגודלם ‪ ,q‬אך סימנם של כל זוג שכנים קרובים הוא‬ ‫הפוך‪.‬‬ ‫)א( מהי האנרגיה האלקטרוסטטית של המערך?‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪25‬‬ ‫)ב( מהו הפוטנציאל החשמלי במרכז הקוביה‪ ,‬ביחס לאינסוף?‬ ‫)ג( מהי העבודה הדרושה בהבאת מטען נקודתי ‪ Q‬מאינסוף למרכז הקוביה?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪kq 2‬‬ ‫)א(‬ ‫‪a‬‬ ‫‪) U = −5.82‬ב( ‪) = 0‬מרכז(‪) ϕ‬ג( ‪W = 0‬‬ ‫‪3.1.6‬‬ ‫נתונה טבעת מעגלית שרדיוסה ‪ R‬הטעונה בצפיפות מטען קווית אחידה ‪.λ‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)א( חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצרת הטבעת לאורך הציר האנכי מרכזי שלה )ציר ‪ ,(z‬ביחס לאינסוף‪.‬‬ ‫)ב( הראו כי במרחק רב )‪ (z ≫ R‬מתקבל פוטנציאל של מטען נקודתי!‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪2πkλR‬‬ ‫√ = )‪ϕ(0, 0, z‬‬ ‫)א(‬ ‫‪R2 + z 2‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪26‬‬ ‫‪3.1.7‬‬ ‫נתונה דיסקה מעגלית שרדיוסה ‪ R‬הטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה ‪.σ‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)א( חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצרת הדיסקה לאורך הציר האנכי מרכזי שלה )ציר ‪ ,(z‬ביחס לאינסוף‪.‬‬ ‫)ב( הראו כי במרחק רב )‪ (z ≫ R‬מתקבל פוטנציאל של מטען נקודתי!‬ ‫)ג( נתון‪ R = 20 cm :‬ו־ ‪ .σ = 3 · 10−8 mC2‬מטען נקודתי ‪ q = −10 µC‬שמסתו ‪ m = 2 gr‬נעזב ממנוחה בגובה‬ ‫‪ z = 30 cm‬מעל מרכז הדיסקה‪ .‬באיזו מהירות הוא יפגע בדיסקה? )הזניחו גרביטציה(‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‬ ‫)א( |‪− |z‬‬ ‫‪z2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫√‬ ‫‪m‬‬ ‫· ‪) ϕ(0, 0, z) = 2πkσ‬ג(‬ ‫‪v = 1.54‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪3.1.8‬‬ ‫מוט דק בעל אורך ‪ L‬שוכב לאורך ציר ‪ x‬כשמרכזו בראשית‪ .‬המוט טעון באופן אחיד במטען כולל ‪.Q‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪(0, y, 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצר המוט בנקודה )‪ ,(0, y, 0‬ביחס לאינסוף‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫√‬ ‫‪dx‬‬ ‫ניתן להשתמש באינטגרל‪= ln x + x2 + a2 :‬‬ ‫‪x2 + a2‬‬ ‫√‬ ‫‪Z‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+ y2‬‬ ‫‪y2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‬ ‫‪L 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪L 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪− L2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪kQ‬‬ ‫‪· ln ‬‬ ‫‪L‬‬ ‫= )‪ϕ(0, y, 0‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪27‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪3.1.9‬‬ ‫חשבו את הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב שיוצר כדור מלא שרדיוסו ‪ R‬הטעון בצפיפות מטען נפחית‪:‬‬ ‫)א( אחידה ‪ ,ρ‬בשני מקרים‪:‬‬ ‫‪ (1‬ביחס לאינסוף )כלומר ‪.(ϕ(∞) = 0‬‬ ‫)כלומר ‪.(ϕ(R) = 0‬‬ ‫‪ (2‬ביחס לשפת‬ ‫הכדור ‬ ‫‪r‬‬ ‫)ב( תלויה ברדיוס‬ ‫‪ ,ρ(r) = ρ0 · 1 +‬בשני המקרים הנתונים ב־)א(‪.‬‬ ‫‪R‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪r≤R‬‬ ‫)א( ‪(1‬‬ ‫‪r≥R‬‬ ‫)ב( ‪(1‬‬ ‫‪r≤R‬‬ ‫‪r≥R‬‬ ‫‪3.1.10‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ρR2 ρr 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2ε0‬‬ ‫‪6ε0‬‬ ‫= )‪(2 ϕ(r‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ρR‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3ε0 r‬‬ ‫‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪5ρ0 R2‬‬ ‫‪ρ‬‬ ‫‪r3‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪−‬‬ ‫·‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6ε0‬‬ ‫‪ε0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪12R‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7ρ0 R‬‬ ‫‪12ε0 r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ρR2 ρr 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪r≤R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6ε0‬‬ ‫‪6ε0‬‬ ‫= )‪ϕ(r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ρR2‬‬ ‫‪ρR3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r≥R‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3ε0 r‬‬ ‫‪3ε0‬‬ ‫‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ρ0 R2‬‬ ‫‪ρ‬‬ ‫‪r3‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r≤R‬‬ ‫‪−‬‬ ‫·‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4ε0‬‬ ‫‪ε0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪12R‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪(2‬‬ ‫)‪ϕ(r‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪7ρ0 R2‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫·‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪r≥R‬‬ ‫‪12ε0‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫= )‪ϕ(r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫כדור מוליך בעל רדיוס ‪ R‬טעון באופן אחיד במטען כולל ‪.Q‬‬ ‫)א( חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצר המוליך בכל המרחב‪.‬‬ ‫)ב( יוצרים בכדור חלל כדורי קונצנטרי )שמרכזו במרכז הכדור( בעל רדיוס ‪ .0.3R‬חשבו מחדש את הפוטנציאל‬ ‫החשמלי בכל המרחב‪.‬‬ ‫)ג( במצב של )ב(‪ ,‬חשבו מחדש את הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב אם נתון כי במרכז נמצא מטען נקודתי ‪.−Q‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫)א(‬ ‫‪r≤R‬‬ ‫‪r≤R‬‬ ‫לאינסוף!‬ ‫‪‬‬ ‫‪kQ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r ≤ 0.3R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫= )‪ ϕ(r‬ביחס לאינסוף! )ב( זהה ל־)א(‪) .‬ג(‬ ‫‪kQ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r ≤ 0.3R‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ kQ − kQ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ ϕ(r) = 0.3R‬ביחס‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3.1.11‬‬ ‫שתי קליפות מוליכות עבות בעלות מרכז משותף נמצאות אחת בתוך השניה‪ .‬לקליפה הפנימית רדיוס פנימי ‪R1‬‬ ‫וחיצוני ‪ .R2‬לקליפה החיצונית רדיוס פנימי ‪ R3‬ורדיוס חיצוני ‪ .R4‬נתון כי הקליפה הפנימית נייטרלית‪ ,‬והחיצונית‬ ‫טעונה במטען כולל ‪ .Q‬כמו כן‪ ,‬במרכז המערכת נמצא מטען נקודתי ‪.Q‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪28‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪R4‬‬ ‫‪R3‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫)א( מצאו את צפיפויות המטענים על דפנות המוליכים‪.‬‬ ‫)ב( מהו השדה החשמלי בכל מקום?‬ ‫)ג( מהו הפוטנציאל החשמלי בכל מקום‪ ,‬ביחס לאינסוף?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪r < R1‬‬ ‫‪R1 < r < R2‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫= ‪; σ2‬‬ ‫‪; σ3 = −‬‬ ‫= ‪; σ4‬‬ ‫)א(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4πR1‬‬ ‫‪4πR2‬‬ ‫‪4πR3‬‬ ‫‪2πR42‬‬ ‫‪) σ1 = −‬ב( ‪R3 < r < R2‬‬ ‫‪R3 < r < R4‬‬ ‫‪r > R4‬‬ ‫‪r ≤ R1‬‬ ‫‪R1 ≤ r ≤ R2‬‬ ‫)ג( ‪R2 ≤ r ≤ R3‬‬ ‫‪R3 ≤ r ≤ R4‬‬ ‫‪r ≥ R4‬‬ ‫‪3.1.12‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪kQ‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r R1 R2 R3 R4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪kQ‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R2 R3 R4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= )‪ϕ(r‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪kQ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r R3 R4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2kQ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪R4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2kQ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4πε0 r 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫= )‪E(r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4πε0 r 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2πε0 r 2‬‬ ‫שני כדורים מוליכים‪ ,‬האחד בעל רדיוס ‪ R1 = R‬והשני בעל רדיוס ‪ R2 = 2R‬נמצאים במרחק רב זה מזה )כך שאינם‬ ‫משפיעים זה על זה(‪ .‬כל אחד מהכדורים טעון במטען ‪ .q‬מחברים את הכדורים בעזרת חוט מוליך דק‪.‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪29‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫מהו המטען על כל אחד מהכדורים לאחר זמן רב?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪q1 = q ; q2 = q‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3.1.13‬‬ ‫כדור מוליך בעל רדיוס ‪ R1 = 0.1 m‬טעון במטען כולל ‪ .Q = 100 nC‬מסביב לכדור ישנה קליפה כדורית מוליכה‬ ‫קונצנטרית בעלת רדיוס ‪ .R2 = 0.15 m‬נתון כי הקליפה מוארקת‪.‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫)א( מצאו את התפלגויות המטענים בכל המרחב‪.‬‬ ‫)ב( מצאו את השדה החשמלי בכל נקודה במרחב‪.‬‬ ‫)ג( מצאו את הפוטנציאל החשמלי בכל נקודה במרחב‪.‬‬ ‫)ד( משחררים ממנוחה מטען נקודתי ‪ q = −1 nC‬שמסתו ‪kg‬‬ ‫באיזו מהירות הוא יפגע בכדור המוליך?‬ ‫‪ m = 3.2 · 10−6‬בצמוד לחלק הפנימי של הקליפה‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪.−Q = −100‬‬ ‫)א( על שפת הכדור המוליך מטען‬ ‫‪ Q = 100 nC ‬ועל הקליפה המוליכה מטען ‪ nC‬‬ ‫‪r < R1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫)ב(‬ ‫‪C‬‬ ‫‪R1 < r < R2‬‬ ‫‪r > R2‬‬ ‫‪3.1.14‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪900‬‬ ‫= )‪) E(r‬ג( ‪V‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪r < R1‬‬ ‫‪R1 < r < R2‬‬ ‫‪r > R2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3000‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪900‬‬ ‫= )‪) ϕ(r‬ד(‬ ‫‪− 6000‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪v = 1.37‬‬ ‫במערכת כדורית קונצנטרית‪ ,‬מטען נקודתי ‪ Q‬נמצא במרכז‪ .‬מסביבו ישנה קליפה כדורית עבה ומוליכה בעלת‬ ‫רדיוסים פנימי ‪ a‬וחיצוני ‪ .b‬הקליפה העבה מוארקת‪ .‬מסביב לקליפה העבה ישנה קליפה דקה בעלת רדיוס ‪ c‬הטעונה‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪30‬‬ ‫באופן אחיד בצפיפות מטען משטחית ‪.σ‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫)א( מהן צפיפויות המטען על הדפנות הפנימית והחיצונית של הקליפה המוליכה העבה?‬ ‫)ב( מהו הפוטנציאל החשמלי בכל נקודה במרחב?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪r6a‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪) σa = − 4πa‬ב( ‪V‬‬ ‫)א( ‪2 ; σb = −σc‬‬ ‫‪a6r6b‬‬ ‫‪b6r6c‬‬ ‫‪r>c‬‬ ‫‪3.1.15‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪kQ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫= )‪ϕ(r‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4πkσc 1 −‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ 4πkσc (c − b‬‬ ‫‪r‬‬ ‫חשבו את האנרגיה האלקטרוסטטית של כדור בעל רדיוס ‪ R‬הטעון בצפיפות מטען אחידה ‪.ρ‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪4πρ2 R5‬‬ ‫‪15ε0‬‬ ‫=‪U‬‬ ‫‪3.1.16‬‬ ‫גליל אינסופי מבודד שרדיוסו ‪ R1 = R‬טעון בצפיפות מטען נפחית ‪ ρ(r) = Ar‬כאשר ‪ r‬המרחק האנכי מציר הגליל‪.‬‬ ‫הגליל מוקף בקליפה גלילית מוליכה קואקסיאלית )בעלות ציר משותף( שרדיוסה ‪ .R2 = 1.5R‬נתון כי הקליפה‬ ‫נייטרלית‪ .‬נתון כי הפוטנציאל החשמלי במרחק ‪ r = 2R‬שווה לאפס )זהו ה־ ‪.(r ef‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪31‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫)א( מהו הפוטנציאל החשמלי בכל מקום במרחב )ביחס ל־ ‪?(r ef‬‬ ‫)ב( מאריקים את הקליפה המוליכה‪ .‬מהי צפיפות המטען עליה לאחר זמן רב?‬ ‫)ג( מהי האנרגיה החשמלית של המערכת ליחידת אורך במצב של סעיף )ב(?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪r6R‬‬ ‫)א(‬ ‫‪r>R‬‬ ‫‪3.1.17‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Ar 3‬‬ ‫‪AR3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪− 0.11‬‬ ‫‪0.12‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 6‬‬ ‫‪AR‬‬ ‫‪πA R‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪ε0‬‬ ‫‪ε0‬‬ ‫‪) σ = −‬ג(‬ ‫· ‪= 0.572‬‬ ‫= )‪) ϕ(r‬ב(‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪9ε0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪AR‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ −‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪3ε0‬‬ ‫‪2R‬‬ ‫שדה אלקטרוסטטי ~‪ E‬מקיים‪:‬‬ ‫‪r<R‬‬ ‫‪r>R‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪ E0 r‬‬ ‫~‬ ‫=‪E‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫כאשר ‪ r‬הוא המרחק מהראשית )קואורדינטות כדוריות( ו־ ‪ E0‬ו־ ‪ R‬קבועים חיוביים‪.‬‬ ‫)א( מהו מערך המטענים שנמצא במרחב?‬ ‫)ב( מהו הפוטנציאל החשמלי בכל נקודה במרחב?‬ ‫)ג( מהי האנרגיה האלקטרוסטטית של המערכת?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪ε0 E0‬‬ ‫‪ε E‬‬ ‫)א( צפיפות מטען נפחית ‪ ρ(r) = 0 2 0‬בתחום ‪ r < R‬וכן צפיפות מטען משטחית‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ r‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪r<R‬‬ ‫‪r‬‬ ‫)ב(‬ ‫= )‪) ϕ(r‬ג( ‪U = 2πε0E0 R‬‬ ‫‪ −E0 ln‬‬ ‫‪r>R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪3.1.18‬‬ ‫נתון פוטנציאל חשמלי בקואורדינטות כדוריות‪:‬‬ ‫‪A cos θ‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫= )‪ϕ(r, θ‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪32‬‬ ‫‪ σ = −‬ברדיוס ‪.r = R‬‬ ‫כאשר ‪ A‬קבוע כלשהו‪ θ ,‬הזווית ביחס לציר ‪ z‬ו־‪ r‬המרחק מהראשית‪.‬‬ ‫)א( מהו השדה החשמלי בכל מקום במרחב?‬ ‫)ב( מהי התפלגות המטענים בכל נקודה במרחב?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪A sin θ‬‬ ‫‪2A cos θ‬‬ ‫· ˆ‪~ θ, φ) = r‬‬ ‫‪) E(r,‬ב( דיפול חשמלי שנמצא על ציר ‪ .z‬את הפוטנציאל הנתון יוצר דיפול‬ ‫· ˆ‪+ θ‬‬ ‫)א(‬ ‫‪r3‬‬ ‫‪r3‬‬ ‫חשמלי כאשר המרחק בין המטענים הוא קטן מאד יחסית ל־ ‪.r‬‬ ‫‪3.1.19‬‬ ‫נתון גליל מלא אינסופי בעל רדיוס ‪ R‬שצפיפות המטען עליו )‪ ρ(r‬לא ידועה‪ ,‬כאשר ‪ r‬הוא המרחק מציר הגליל‪.‬‬ ‫נתון כי הפוטנציאל החשמלי ביחס לשפת הגליל הוא‪:‬‬ ‫‪r≤R‬‬ ‫‪r≥R‬‬ ‫כאשר ‪ ϕ0‬הוא פוטנציאל כלשהו‪.‬‬ ‫)א( מהו הקבוע ‪?C‬‬ ‫)ב( מהו השדה החשמלי בכל מקום?‬ ‫)ג( מהי צפיפות המטען‪ ,ρ(r) ,‬בכל מקום במרחב?‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ − ϕ0 r + C‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫= )‪ϕ(r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ϕ0 ln r‬‬ ‫‪R‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫)א( ‪) C = ϕ0‬ב(‬ ‫‪r<R‬‬ ‫‪r>R‬‬ ‫‪3.1.20‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2ϕ r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ − 0‬‬ ‫‪r<R‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫~‬ ‫)‪) E(r‬ג(‬ ‫· ˆ‪= r‬‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r>R‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ − 4ε0 ϕ0‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫= )‪ρ(r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫בקואורדינטות כדוריות נתון כי הפוטנציאל בתחום ‪ r < R‬הוא‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪ϕ(r < R) = A r −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫וכן שהשדה החשמלי בתחום ‪ r > R‬הוא‬ ‫ˆ‪~ > R) = B r‬‬ ‫‪E(r‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫כאשר ‪ A‬ו־ ‪ B‬קבועים חיוביים‪.‬‬ ‫)א( מהו הפוטנציאל בכל מקום?‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪33‬‬ ‫)ב( מהו השדה בכל מקום?‬ ‫)ג( מצאו את היחס ‪. BA‬‬ ‫)ד( מצאו את התפלגות המטענים במרחב‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫ ‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r<R‬‬ ‫‪ A r−‬‬ ‫‪r<R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)א(‬ ‫= )‪) ϕ(r‬ב(‬ ‫‪‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r>R‬‬ ‫‪r>R‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪5ε AR‬‬ ‫)ד( צפיפות מטען משטחית‬ ‫‪ σ = 0‬במיקום ‪ r = R‬וכן צפיפות מטען נפחית‬ ‫‪4‬‬ ‫‪r>R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪r‬‬ ‫‪ −2A r −‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪R3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫~‬ ‫=‬ ‫)‪) E(r‬ג(‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪ B r‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2ε0 (R − 3r) r < R‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪34‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫= )‪ρ(r‬‬ ‫פרק ‪4‬‬ ‫קיבול חשמלי והתנגדות חשמלית‬ ‫‪4.1‬‬ ‫קיבול וחומרים דיאלקטרים‬ ‫‪4.1.1‬‬ ‫חשבו ישירות ממהגדרה את הקיבול של קבל לוחות‪ .‬הניחו כי ישנם שני לוחות מוליכים‪ ,‬ששטחם ‪ A‬והמרחק‬ ‫ביניהם ‪ .d‬יש להניח כי ‪ ,A ≫ d2‬כלומר ניתן להתייחס ללוחות כאל אינסופיים‪ .‬מעבירים מטען ‪ Q‬מהלוח התחתון‬ ‫לעליון‪ ,‬כך שהלוח העליון טעון במטען ‪ Q‬והתחתון במטען ‪ −Q‬וכן שהמרחב בין המוליכים מלא בחומר דיאלקטרי‬ ‫עם מקדם ‪.εr‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪ε0 εr A‬‬ ‫‪d‬‬ ‫=‪C‬‬ ‫‪4.1.2‬‬ ‫חשבו ישירות מההגדרה את הקיבול של קבל כדורי‪ .‬הניחו כי ישנן שתי קליפות כדוריות מוליכות וקונצנטריות‬ ‫בעלות רדיוסים ‪ R1‬ו־ ‪ ,R2‬ומעבירים מטען ‪ Q‬מהקליפה החיצונית לפנימית‪ ,‬כך שהקליפה הפנימית טעונה במטען ‪Q‬‬ ‫והחיצונית במטען ‪ −Q‬וכן שהמרחב בין המוליכים מלא בחומר דיאלקטרי עם מקדם ‪.εr‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪35‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪4πε0 εr R1 R2‬‬ ‫) ‪(R2 − R1‬‬ ‫=‪C‬‬ ‫‪4.1.3‬‬ ‫חשבו ישירות ממהגדרה את הקיבול של קבל גלילי )ליחידת אורך(‪ .‬הניחו כי ישנן שתי קליפות גליליות בעלות‬ ‫רדיוסים ‪ R1‬ו־ ‪ .R2‬יש להניח כי אורך הקליפות ‪ L‬הרבה יותר גדול מהרדיוסים שלהן‪ ,‬כך שניתן להתייחס אליהן‬ ‫כאל אינסופיות‪ .‬מעבירים מטען ‪ Q‬מהקליפה החיצונית לפנימית‪ ,‬כך שהקליפה הפנימית טעונה במטען ‪ Q‬והחיצונית‬ ‫במטען ‪ −Q‬וכן שהמרחב בין המוליכים מלא בחומר דיאלקטרי עם מקדם ‪.εr‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪L‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪2πε0εr‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪L‬‬ ‫) ‪ln (R2 /R1‬‬ ‫‪4.1.4‬‬ ‫מהו הקיבול השקול של‪:‬‬ ‫)א( שני קבלים המחוברים במקביל?‬ ‫)ב( שני קבלים המחוברים בטור?‬ ‫)ג( שלושה קבלים‪ ,‬שניים בטור והשלישי במקביל אליהם?‬ ‫)ד( שלושת הקבלים הנתונים בשרטוט?‬ ‫‪C1‬‬ ‫‪C2‬‬ ‫‪C2‬‬ ‫‪C1‬‬ ‫‪C1‬‬ ‫‪C3‬‬ ‫‪C2‬‬ ‫‪C2‬‬ ‫)א(‬ ‫‪C1‬‬ ‫‪C3‬‬ ‫)ב(‬ ‫)ג(‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪36‬‬ ‫)ד(‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪C1 C2 + C1 C3 + C2 C3‬‬ ‫‪CC‬‬ ‫)א( ‪) Ctot = C1 + C2‬ב( ‪) Ctot = 1 2‬ג(‬ ‫‪C1 + C2‬‬ ‫‪C1 + C2‬‬ ‫= ‪) Ctot‬ד( ‪Ctot = C1 + C2 + C3‬‬ ‫‪4.1.5‬‬ ‫קיבולו של קבל לוחות בריק הינו ‪ .C0‬ממלאים את חציו בחומר דיאלקטרי בעל קבוע ‪ ,εr‬בשני אופנים שונים‪,‬‬ ‫כמשורטט‪ .‬מהו הקיבול החדש בכל מקרה?‬ ‫‪εr‬‬ ‫‪εr‬‬ ‫)ב(‬ ‫)א(‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪2εr‬‬ ‫‪1 + εr‬‬ ‫= ‪) Ctot‬ב( ‪C0‬‬ ‫)א( ‪C0‬‬ ‫‪1 + εr‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪Ctot‬‬ ‫‪4.1.6‬‬ ‫קבל כדורי מורכב מרדיוס פנימי ‪ a‬ורדיוס חיצוני ‪ .3a‬אל תוך הקבל מכניסים חומר דיאלקטרי בעל מקדם ‪ εr‬כך‬ ‫שהוא ממלא רק את חלק מנפחו‪ ,‬בשני אופנים שונים‪ ,‬כמשורטט‪ .‬מהו הקיבול החדש בכל מקרה?‬ ‫‪εr‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)א(‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪24πε0εr a‬‬ ‫)א(‬ ‫‪3 + εr‬‬ ‫= ‪) Ctot‬ב( ‪Ctot = 3πε0 (1 + εr )a‬‬ ‫‪4.1.7‬‬ ‫קבל לוחות עשוי מלוח ריבועי ששטחו ‪ ,A = L × L‬ומרחק בין הלוחות ‪.d‬‬ ‫מטים את אחד הלוחות בזווית קטנה ‪.θ ≃ sin θ ≃ tan θ‬‬ ‫מהו קיבול הקבל?‬ ‫‪x2‬‬ ‫ניתן להשתמש בקירוב‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ln (1 + x) ≃ x −‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪37‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫)ב(‬ ‫‪εr‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪L‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪L‬‬ ‫‪ε0 L2‬‬ ‫‪1− θ‬‬ ‫=‪C‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2d‬‬ ‫‪4.1.8‬‬ ‫במעגל המופיע בשרטוט מחוברים שני קבלים ‪ C1‬ו־ ‪ C2‬ומקור מתח ‪.V‬‬ ‫)א( כאשר המפסק ‪ S‬נמצא במצב השמאלי‪ ,‬הקבל ‪ C1‬נטען‪ .‬לאחר גמר הטעינה‪ ,‬מה יהיה המתח עליו? המטען‬ ‫עליו? והאנרגיה האגורה בו?‬ ‫)ב( כאשר מעבירים את המפסק למצב הימני )לאחר ש־ ‪ C1‬נטען( חלק מהמטען יעבור לקבל ‪ .C2‬לאחר גמר המעבר‪,‬‬ ‫מה יהיה המתח על כל אחד מהקבלים? המטען על כל אחד מהקבלים? והאנרגיה האגורה בכל אחד מהקבלים?‬ ‫‪S‬‬ ‫‪C2‬‬ ‫‪C1‬‬ ‫‪V‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)א( ‪V1 = V ; Q1 = C1 V ; U1 = C1 V 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪C1‬‬ ‫‪C1‬‬ ‫‪C1 C2‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫= ‪V1 = V2‬‬ ‫= ‪V ; Q1‬‬ ‫= ‪V ; Q2‬‬ ‫)ב( ‪V‬‬ ‫‪C1 + C2‬‬ ‫‪C1 + C2‬‬ ‫‪C1 + C2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 C12 C2‬‬ ‫‪C13‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪U1‬‬ ‫‪V‬‬ ‫;‬ ‫‪U‬‬ ‫‪V2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 (C1 + C2 )2‬‬ ‫‪2 (C1 + C2 )2‬‬ ‫‪4.1.9‬‬ ‫שלוש קליפות כדוריות )דקות( מוליכות וקונצנטריות בעלות רדיוסים‪:‬‬ ‫‪R1 = R ; R2 = 3R ; R3 = 5R‬‬ ‫מחוברות לסוללה בת מתח ‪ ,V‬באופן הבא‪:‬‬ ‫הקליפה הפנימית והקליפה החיצונית מחוברת להדק החיובי של הסוללה‪ ,‬והקליפה האמצעית מחוברת להדק השלילי‪.‬‬ ‫כמו כן נתון כי הקליפה החיצונית מוארקת‪.‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪38‬‬ ‫‪V‬‬ ‫)א( מהם המטענים על כל אחת מהקליפות?‬ ‫)ב( מהו קיבול המערכת?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪3V R‬‬ ‫‪9V R‬‬ ‫‪15V R‬‬ ‫‪; q2 = −‬‬ ‫= ‪; q3‬‬ ‫)א(‬ ‫‪2k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪2k‬‬ ‫= ‪) q1‬ב( ‪C = 36πε0 R‬‬ ‫‪4.1.10‬‬ ‫שני קבלי לוחות זהים‪ ,‬בעלי שטח ‪ A‬ומרחק בין לוחות ‪ d‬מחוברים כמתואר בשרטוט‪ .‬כל אחד מהקבלים טעון‬ ‫במטען זהה ‪) Q‬כלומר שלוח אחד של כל קבל טעון במטען חיובי והשני במטען שלילי(‪ .‬מכניסים חומר עם מקדם‬ ‫דיאלקטרי ‪ εr‬לתוך הקבל הימני‪ ,‬כך שהוא ממלא את כל נפח הקבל‪.‬‬ ‫‪εr‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪−Q‬‬ ‫‪−Q‬‬ ‫)א( מהו המטען על כל אחד מהקבלים זמן רב לאחר הכנסת הלוח?‬ ‫)ב( מהי העבודה שהושקעה בעת הכנסת החומר הדיאלקטרי?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪2εr‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪Q ; q2‬‬ ‫)א( ‪Q‬‬ ‫‪1 + εr‬‬ ‫‪1 + εr‬‬ ‫= ‪) q1‬ב(‬ ‫‬ ‫‪1 − εr‬‬ ‫‪1 + εr‬‬ ‫‬ ‫‪Q2 d‬‬ ‫‪ε0 A‬‬ ‫= ‪W‬‬ ‫‪4.1.11‬‬ ‫קבל לוחות בעל לוח ריבועי ששטחו ‪ A = 0.25 m2‬ומרחק בין לוחות ‪ d = 5 mm‬מחובר לסוללה בת מתח‬ ‫‪ .V = 250 V‬מכניסים לתוך הקבל לוח עשוי סיליקון )‪ (εr = 12‬ששטחו ‪ A‬ועוביו ‪ .p = 2 mm‬בכמה משתנים‬ ‫הקיבול‪ ,‬המטען‪ ,‬והאנרגיה האגורה בקבל לאחר הכנסת הלוח‪ ,‬ביחס למצב המקורי?‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪39‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪∆C = 256.3 pF ; ∆Q = 65 nC ; ∆U = 8 µJ‬‬ ‫‪4.1.12‬‬ ‫נתון המעגל הבא‪ ,‬ובו קבלים בעלי קיבול ‪ C‬וקבלים בעלי קיבול כפול ‪ .2C‬מקור המתח הוא בעל כא״מ ‪.ε‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪2C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪2C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫‪A‬‬ ‫)א( מהם המטען והמתח על כל קבל?‬ ‫)ב( מהו הפרש הפוטנציאלים בין הנקודות ‪ A‬ו־ ‪?B‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)ב( ‪VAB = − ε‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4.1.13‬‬ ‫קבל שלוחותיו עגולים בעלי רדיוס ‪ R‬ומרוחקים זה מזה מרחק ‪ d‬ממולא בחומר דיאלקטרי התלוי במרחק ‪ r‬ממרכז‬ ‫‪3‬‬ ‫המערכת‪ εr = αr + 1 ,‬כאשר‬ ‫‪ .α = 2R‬הקבל מחובר למקור מתח ‪.V‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪d‬‬ ‫מהי האנרגיה האגורה בקבל?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪πε0 R2 V 2‬‬ ‫‪d‬‬ ‫=‪U‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪40‬‬ ‫‪ 4.2‬התנגדות‬ ‫‪4.2.1‬‬ ‫מהו ההתנגדות השקולה של‪:‬‬ ‫)א( שני נגדים המחוברים במקביל?‬ ‫)ב( שני נגדים המחוברים בטור?‬ ‫)ג( שלושה נגדים‪ ,‬שניים בטור והשלישי במקביל אליהם?‬ ‫)ד( שלושת הנגדים הנתונים בשרטוט?‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪R3‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪R3‬‬ ‫)ב(‬ ‫)א(‬ ‫)ג(‬ ‫)ד(‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪R1 R2 R3‬‬ ‫‪(R + R2 )R3‬‬ ‫‪RR‬‬ ‫‪) Rtot = 1‬ד(‬ ‫)א( ‪) Rtot = 1 2‬ב( ‪) Rtot = R1 + R2‬ג(‬ ‫‪R1 R2 + R1 R3 + R2 R3‬‬ ‫‪R1 + R2 + R3‬‬ ‫‪R1 + R2‬‬ ‫= ‪Rtot‬‬ ‫‪4.2.2‬‬ ‫נתון גליל בעל שטח חתך ‪ ,A‬אורך ‪ L‬ומוליכות ‪ ,σ(x) = σ0 Lx‬כאשר ‪ x‬המרחק מקצה הגליל‪.‬‬ ‫)א( מהי התנגדות הגליל?‬ ‫)ב( מה תהיה צפיפות הזרם בגליל אם נחבר את קצותיו להפרש פוטנציאלים ‪?V‬‬ ‫)ג( מה יהיה השדה החשמלי במוליך כאשר יזרום בו זרם?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪2σ0 V‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪2V‬‬ ‫= ‪) j‬ג( ‪x‬‬ ‫= ‪) R‬ב(‬ ‫)א(‬ ‫‪L‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪2σ0 A‬‬ ‫= )‪E(x‬‬ ‫‪4.2.3‬‬ ‫קליפה כדורית שרדיוסה הפנימי ‪ a‬והחיצוני ‪ b‬עשויה חומר שהתנגדותו הסגולית הינה ‪ .ρ0‬הדופן הפנימית של‬ ‫הקליפה מוארקת והדופן החיצונית שלה מוחזקת בפוטנציאל ‪.V‬‬ ‫)א( מהי התנגדות הקליפה בין הדופן הפנימית לחיצונית?‬ ‫)ב( מהו הזרם הכללי הזורם בקליפה?‬ ‫)ג( מצאו את צפיפות הזרם כפונקציה של המרחק ‪ r‬ממרכז הקליפה?‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪41‬‬ ‫)ד( מהו השדה החשמלי השורר בקליפה?‬ ‫)ה( מהו הספק החום הנוצר בקליפה?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ρ0 b − a‬‬ ‫= ‪) R‬ב(‬ ‫)א(‬ ‫‪4π‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪4πV 2‬‬ ‫)ה(‬ ‫= ‪P‬‬ ‫‪ρ0‬‬ ‫‪b−a‬‬ ‫‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪b−a‬‬ ‫‬ ‫‪4πV‬‬ ‫= ‪) I‬ג(‬ ‫‪ρ0‬‬ ‫‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪b−a‬‬ ‫‬ ‫‪V‬‬ ‫‪) j(r) = 2‬ד(‬ ‫‪ρ0 r‬‬ ‫‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪b−a‬‬ ‫‬ ‫‪V‬‬ ‫‪E(r) = 2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪4.2.4‬‬ ‫נתון נגד בעל גיאומטריה קונית‪ ,‬בעל רדיוס קטן ‪ ,a‬רדיוס גדול ‪ ,b‬וגובה ‪ .h‬בהנחה כי ההתנגדות הסגולית של‬ ‫החומר היא ‪ ,ρ‬מצאו את התנגדותו של הנגד‪.‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬בדקו כי התוצאה מתארת נכון את המצב ‪.a = b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪a‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪πab‬‬ ‫‪R=ρ‬‬ ‫‪4.2.5‬‬ ‫בין שני לוחות בעלי שטח חתך ריבועי ‪ a × a‬ושהמרחק ביניהם ‪ ,d‬מצוי חומר דיאלקטרי בעל מוליכות שאינה קבועה‬ ‫‪.σ‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫חשבו את ההתנגדות במקרים הבאים‪:‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪42‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)א( ‪.σ = σ0 + βy‬‬ ‫)ב( ‪.σ = σ0 + βx‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫)א(‬ ‫‪βa‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪βa‬‬ ‫‪R = 2 ln 1 +‬‬ ‫‪) R = 2‬ב(‬ ‫‪aβ‬‬ ‫‪σ0‬‬ ‫‪a (σ0 +‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪43‬‬ ‫‪4.3‬‬ ‫מעגלי זרם ישר‬ ‫‪4.3.1‬‬ ‫נתון מעגל חשמלי ובו סוללה ונגד‪ ,‬כמשורטט‪.‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫)א( היכן יש לחבר מד מתח למעגל כדי למדוד את המתח החשמלי על הנגד? מה יש לדרוש לגבי התנגדותו של מד‬ ‫המתח?‬ ‫)ב( היכן יש לחבר מד זרם למעגל כדי למדוד את הזרם הזורם בו? מה יש לדרוש לגבי התנגדותו של מד הזרם?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫)א( יש לחבר מד מתח במקביל לנגד‪ .‬על התנגדות מד המתח להיות הרבה יותר גדולה מהתנגדותו של הנגד הנמדד‪.‬‬ ‫)ב( יש לחבר מד זרם בטור למעגל‪ .‬על התנגדות מד הזרם להיות הרבה יותר קטנה מהתנגדות הנגד‪.‬‬ ‫‪4.3.2‬‬ ‫נתון המעגל הבא‪:‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪ε2‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪ε1‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪ε2‬‬ ‫נתונים‪.R1 = 1.7 Ω ; R2 = 3.5 Ω ; ε1 = 2.1 V ; ε2 = 6.3 V :‬‬ ‫)א( מצאו את הזרם והמתח על כל נגד‪.‬‬ ‫)ב( חשבו את הספק המעגל‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫)ב( ‪Ptot = 3.44 W‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪44‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪4.3.3‬‬ ‫נתון המעגל החשמלי הבא‪ ,‬ובו נתונים הכא״מים ‪ ε1‬ו־ ‪ ε2‬וההתנגדויות ‪ R0‬ו־‪.R‬‬ ‫‪ε1‬‬ ‫‪ε2‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R0‬‬ ‫‪R0‬‬ ‫מצאו עבור איזו התנגדות ‪ R‬הספק החום המתבזבז על נגד זה הוא המקסימלי‪ ,‬ואת ערכו של הספק זה‪ .‬את הפתרונות‬ ‫יש לספק בעזרת הנתונים ‪ ε2 ,ε1‬ו־ ‪.R0‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪(ε1 + ε2 )2‬‬ ‫‪R0‬‬ ‫= ‪; Pmax‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8R0‬‬ ‫=‪R‬‬ ‫‪4.3.4‬‬ ‫נתון המעגל החשמלי הבא‪:‬‬ ‫‪ε1 = 2 V ; ε2 = 3 V ; ε3 = 6 V‬‬ ‫‪R1 = 20 Ω ; R2 = 7 Ω ; R3 = 12 Ω‬‬ ‫‪ε3‬‬ ‫‪R3‬‬ ‫‪ε2‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪ε1‬‬ ‫)א( חשבו את הזרם בכל ענף‪.‬‬ ‫)ב( מהו ההספק על הנגד ‪?R1‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫)א( ‪) 0.069 A ; 0.517 A ; 0.448 A‬ב( ‪PR1 = 0.095 W‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪45‬‬ ‫‪4.4‬‬ ‫מעגלי ‪) RC‬נגד וקבל(‬ ‫‪4.4.1‬‬ ‫נתון מעגל ‪) RC‬פריקה(‪ .‬ברגע ‪ t = 0‬הקבל טעון במטען ‪ Q0‬ואז סוגרים את המפסק ‪.S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪R‬‬ ‫)א( רשמו את משוואת המעגל‪.‬‬ ‫)ב( מצאו את )‪ ,Q(t‬המטען על הקבל כפונקציה של הזמן‪.‬‬ ‫)ג( מצאו את הזרם במעגל בכל רגע‪.I(t) ,‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪dQ Q‬‬ ‫‪Q0 − t‬‬ ‫‪) −R‬ב( ‪) Q(t) = Q0 e− RC‬ג( ‪e RC‬‬ ‫)א( ‪− = 0‬‬ ‫‪RC‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪C‬‬ ‫= )‪I(t‬‬ ‫‪4.4.2‬‬ ‫קבל ‪ C1‬טעון במטען ‪ .Q0‬כאשר סוגרים את המפסק מתחבר קבל זה בטור לקבל ‪ C2‬ונגד ‪.R‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪C2‬‬ ‫‪C1‬‬ ‫‪R‬‬ ‫)א( רשמו את משוואת המעגל‪.‬‬ ‫)ב( מצאו את )‪ ,Q1 (t‬המטען על הקבל ‪ C1‬כפונקציה של הזמן‪.‬‬ ‫)ג( מצאו את הזרם במעגל בכל רגע‪.I(t) ,‬‬ ‫)ד( מהי האנרגיה האלקטרוסטטית במעגל לפני סגירת במפסק‪ ,‬וזמן רב לאחר סגירתו‪.‬‬ ‫)ה( הראו כי הפרש האנרגיות שחושבו בסעיף הקודם שווה לאנרגיית החום שהתבזבזה על הנגד בעת הזרימה‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪C1‬‬ ‫‪dQ1‬‬ ‫‪C2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Q0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ C1 t‬‬ ‫‪−R‬‬ ‫‪C1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪Q1 (t‬‬ ‫‪) −R‬ב(‬ ‫‪Q0 +‬‬ ‫‪Q0 e‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪Q1 +‬‬ ‫)א( ‪= 0‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪C1 + C2‬‬ ‫‪C1 + C2‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪C1 C2‬‬ ‫‪C2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Q20‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪Q2‬‬ ‫)ג( ‪) I(t) = 0 e− R C1 + C2 t‬ד(‬ ‫= )∞ → ‪U0 = 0 ; U(t‬‬ ‫‪2C1‬‬ ‫) ‪2(C1 + C2‬‬ ‫‪RC1‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪46‬‬ ‫‪4.4.3‬‬ ‫נתון מעגל ‪) RC‬טעינה(‪ .‬ברגע ‪ t = 0‬הקבל אינו טעון ואז סוגרים את המפסק ‪.S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪V‬‬ ‫)א( רשמו את משוואת המעגל‪.‬‬ ‫)ב( מצאו את )‪ ,Q(t‬המטען על הקבל כפונקציה של הזמן‪.‬‬ ‫)ג( מצאו את הזרם במעגל בכל רגע‪.I(t) ,‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪t‬‬ ‫‪V − t‬‬ ‫‪dQ Q‬‬ ‫‪) R‬ב( ‪) Q(t) = CV 1 − e− RC‬ג( ‪e RC‬‬ ‫)א( ‪+ − V = 0‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪C‬‬ ‫= )‪I(t‬‬ ‫‪4.4.4‬‬ ‫נתון המעגל הבא‪ .‬ברגע ‪ t = 0‬המתח על הקבל הוא ‪ .V0‬מצאו את המתח על הקבל כפונקציה של הזמן!‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‬ ‫‪t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ R1‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−C‬‬ ‫‪+ V0 e‬‬ ‫ ‬ ‫‪t‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ R1‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪VC (t) = ε‬‬ ‫‪1−e C‬‬ ‫‪R1 + R2‬‬ ‫‪4.4.5‬‬ ‫סיליקון הוא בעל מקדם דיאלקטרי ‪ εr = 12‬והתנגדות סגולית ‪ ,ρ = 2.5 · 103 Ω · m‬בטמפרטורת החדר‪ .‬ממלאים‬ ‫בסיליקון קבל לוחות בעל מימדים ששטח לוחותיו ‪ A = 0.25 m2‬ומרחק בין לוחות ‪.d = 0.2 mm‬‬ ‫)א( מצאו את הקיבול‪ ,‬ההתנגדות‪ ,‬וזמן הפריקה האופייני של הקבל‪.‬‬ ‫)ב( הראו כי האנרגיה שאובדת בזמן הפריקה שווה בדיוק לאנרגיית החום המתפתחת בנגד‪.‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪47‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫)א( ‪C = 132.81 nF ; R = 2 Ω ; τ = 265.62 ns‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪48‬‬ ‫פרק ‪5‬‬ ‫השדה המגנטי‬ ‫‪5.1‬‬ ‫כח ומומנט כח בשדה מגנטי‬ ‫‪5.1.1‬‬ ‫פרוטון )‪ (mp = 1.67 · 10−27 kg ; qp = |e| = 1.6 · 10−19 c‬בעל אנרגיה קינטית ‪ Ek = 5.3 MeV‬נע בזווית ◦‪30‬‬ ‫ביחס לציר ‪ .x‬באיזור שורר שדה מגנטי אחיד שגודלו ‪ B = 1.2 T‬וכיוונו ציר ‪.y‬‬ ‫מהו הכח שפועל על הפרוטון?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪ F = 5.3 · 10−12 N‬בכיוון ציר ‪.z‬‬ ‫‪5.1.2‬‬ ‫חלקיקים זהים בעלי מטען ‪ q > 0‬ומסה ‪ m‬נכנסים במהירות ‪ v0‬בדיוק במרכז בין שני לוחות קבל שהמרחק ביניהם‬ ‫‪.d‬‬ ‫‪v0‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪L‬‬ ‫)א( מהו שדה חשמלי אחיד ~‪) E‬ללא שדה מגנטי ~‪ (B‬שיש להפעיל כדי שהחלקיקים יפגעו בלוח העליון במרחק‬ ‫אופקי ‪?L‬‬ ‫)ב( מהו שדה מגנטי אחיד ~‪) B‬ללא שדה חשמלי ~‪ (E‬שיש להפעיל כדי שהחלקיקים יפגעו בלוח התחתון במרחק‬ ‫אופקי ‪?L‬‬ ‫)ג( מפעילים יחדיו את שני השדות שמצאתם בסעיפים הקודמים‪ .‬האם החלקיקים יתחילו לסטות לכיוון מסוים? אם‬ ‫כן‪ ,‬באיזה לוח הם יפגעו במידה והלוחות ארוכים מספיק?‬ ‫‪49‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪mdv02‬‬ ‫‪4mdv0‬‬ ‫)ב(‬ ‫מעלה‪.‬‬ ‫בכיוון‬ ‫‪E‬‬ ‫=‬ ‫)א(‬ ‫) ‪q(4L2 + d2‬‬ ‫‪qL2‬‬ ‫= ‪ B‬בכיוון החוצה מהדף‪) .‬ג( כן‪ ,‬הם יסטו כלפי מעלה ויפגעו‬ ‫בלוח העליון‪.‬‬ ‫‪5.1.3‬‬ ‫חלקיק בעל מטען ‪ q = 1.6 · 10−19 c‬מואץ בהפרש פוטנציאלים ‪ .V = 800 V‬בתום שלב ההאצה הוא נכנס‬ ‫לתוך ספקטרוגרף מסות‪ ,‬בו שורר שדה מגנטי אחיד ומאונך )פנימה לדף( ‪ ,B = 0.2 T‬ונתון כי הוא פוגע בשפת‬ ‫הספקטרוגרף במרחק ‪.D = 2.76 m‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪V‬‬ ‫מהי מסתו של החלקיק?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪m = 7.62 · 10−24 kg‬‬ ‫‪5.1.4‬‬ ‫אלקטרון )‪ (me = 9.11 · 10−31 kg ; qe = e = −1.6 · 10−19 c‬נע בהשפעת שדה מגנטי ‪ B~ = 0.5ˆi T‬ושדה חשמלי‬ ‫‪ .E~ = −3 · 104ˆi mV‬ברגע ‪ t = 0‬לאלקטרון יש מהירות ‪.~v0 = (1.5 · 105 , 0, 2 · 105 ) m/s‬‬ ‫)א( תארו את מסלולו של האלקטרון ומצאו את ‪ T‬־ זמן מחזור התנועה המעגלית‪.‬‬ ‫‪T‬‬ ‫)ב( מצאו את המרחק שעובר האלקטרון לאורך ציר ‪ x‬מרגע ההתחלה ועד לרגע ‪.t = 2‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫)א( ‪) T = 71.5 ps‬ב( ‪∆x = 8.73 µm‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪50‬‬ ‫‪5.1.5‬‬ ‫קשת מעגלית הנשענת על זווית ‪ θ‬נושאת זרם ‪ I‬עם כיוון השעון‪ .‬רדיוסה של הקשת הוא ‪ .R‬באיזור שורר שדה‬ ‫מגנטי אחיד הניצב למישור הדף )‪ B~ = (0, 0, B0‬כאשר ‪ B0‬קבוע חיובי כלשהו‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫מהו הכח הפועל על הקשת?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪F~ = IB0 R(− sin θ, cos θ − 1, 0) N‬‬ ‫‪5.1.6‬‬ ‫בקשת מעגלית שרדיוסה ‪ R‬הוחלף חלק הנשען על זווית ‪ α‬במיתר‪ .‬הקשת נושאת זרם ‪ I‬נגד כיוון השעון‪ .‬באיזור‬ ‫~‬ ‫)‪ B(r‬כאשר ‪ B0‬קבוע כלשהו ו־‪ r‬המרחק ממרכז הקשת‪ ϕˆ .‬הוא הכיוון המשיקי‪.‬‬ ‫שורר שדה מגנטי ˆ‪= B0 Rr ϕ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪α‬‬ ‫מהו הכח הפועל על הקשת?‬ ‫‪I‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪F =0‬‬ ‫‪5.1.7‬‬ ‫מסדרת זרם מלבנית בעלת גיאומטריה ‪ a = 0.3 m ; b = 0.4 m‬נושאת זרם ‪ I = 3 A‬עם כיוון השעון‪ .‬המסגרת‬ ‫נמצאת באיזור ובו שדה מגנטי לא אחיד ‪.B~ = (0, 0, −2xy 2) T‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪51‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫מצאו את הכח על המסגרת!‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪F~ = (0.0216, 0.0432, 0) N‬‬ ‫‪5.1.8‬‬ ‫נתון תיל המורכב מחצי קשת מעגלית בעלת רדיוס ‪ R‬וחלק ישר )לאורך הקוטר(‪ .‬התיל מונח כך שחלקו הישר על‬ ‫ציר ה־‪ x‬ומרכז הקשת המעגלית בראשית‪ .‬בתיל זורם זרם ‪ I‬עם כיוון השעון‪ .‬באיזור שורר שדה מגנטי שאינו אחיד‬ ‫‪ B~ = (0, 0, 6r2) T‬במערכת הצירים הנתונה‪ ,‬כאשר ‪ r‬המרחק מהראשית‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪I‬‬ ‫מהו הכח על התיל?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪F~ = 8IR3ˆj‬‬ ‫‪5.1.9‬‬ ‫שדה מגנטי שגודלו ‪ B = 0.05 T‬שורר במרחב בכיוון החיובי של ציר ה־‪ .x‬זרם של ‪ 50 A‬זורם בתיל בעל צורה‬ ‫מלבנית שקודקודיו בנקודות )‪ .A = (1, 1, 1) ; B = (1, 1, −1) ; C = (−1, −1, 1) ; D = (−1, −1, −1‬כיוון‬ ‫הזרם הוא מ־‪ A‬ל־ ‪.B‬‬ ‫)א( חשבו את המומנט המגנטי של התיל המלבני‪.‬‬ ‫)ב( חשבו את הכח ואת מומנט הכח שפועלים על התיל המלבני‪.‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪52‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪) µ‬ב( ‪~τ = (0, 0, −10) N · m‬‬ ‫)א( ‪~ = (−200, 200, 0) A · m2‬‬ ‫‪F~ = 0‬‬ ‫;‬ ‫‪5.1.10‬‬ ‫נתונה טבעת נושאת זרם ‪ I‬שרדיוסה ‪ .R‬הטבעת שוכבת על מישור ‪ .xy‬מכופפים את הטבעת לאורך הקוטר ששוכב‬ ‫על ציר ה־‪ x‬כך שנוצרת בין שני חצאיה זווית ‪ .α‬נתון שדה מגנטי אחיד שגודלו ‪ B‬וכיוונו ציר ‪.z‬‬ ‫מבט מהצד‬ ‫מבט בזווית‬ ‫‪z‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)א( מהו הכח ומהו מומנט הכח הפועלים על הטבעת?‬ ‫)ב( כיצד יש לכוון את הטבעת כדי שתימצא בשווי משקל?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪πR2‬‬ ‫)א( ‪sin α ˆi N · m‬‬ ‫‪~τ = −IB‬‬ ‫‪2‬‬ ‫;‬ ‫‪F~ = 0‬‬ ‫‪5.1.11‬‬ ‫טבעת עגולה בעלת שטח ‪ A = 4.45 cm2‬נושאת זרם ‪ .I = 5 A‬הטבעת חופשיה להסתובב סביב קוטרה‪ .‬ברגע ‪t = 0‬‬ ‫המומנט המגנטי של הטבעת נתון בביטוי )‪ ~µ = µ0 (−0.8ˆi + 0.6ˆj‬כאשר ‪ µ0‬הוא גודלו של המומנט המגנטי‪ .‬ברגע‬ ‫זה מפעילים שדה מגנטי ‪ˆ T‬‬ ‫)‪ .B~ = 1.4 · 10−3 (ˆi + 2ˆj − 3k‬כתוצאה מכך הטבעת מסתובבת‪ ,‬כך שלאחר שהסתובבה‬ ‫ב־ ◦‪ 90‬המומנט המגנטי שלה הוא ˆ‪.~µ = −µ0 k‬‬ ‫חשבו את השינוי באנרגיה הפוטנציאלית‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪∆U = −8.1 · 10−6 J‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪53‬‬ ‫‪ 5.2‬חוק ביו־סבר‬ ‫‪5.2.1‬‬ ‫קשת מעגלית הנשענת על זווית ‪ θ‬נושאת זרם ‪ I‬נגד כיוון השעון‪ .‬רדיוס הקשת הוא ‪.R‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫מהו השדה המגנטי במרכז הקשת?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪µ0 I‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪4πR‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫‪5.2.2‬‬ ‫בקשת מעגלית שרדיוסה ‪ R‬הוחלף חלק הנשען על זווית ‪ α‬במיתר‪ .‬הקשת נושאת זרם ‪ I‬נגד כיוון השעון‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪α‬‬ ‫מהו השדה המגנטי בראשית )מרכז הקשת המעגלית(?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪µ0 I‬‬ ‫)‪(2π − α + 2 tan α‬‬ ‫‪4πR‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪54‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪5.2.3‬‬ ‫ארבעה תיילים אינסופיים נושאים זרם ‪ I‬ומקופלים בצורות הבאות‪:‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪a‬‬ ‫•‬ ‫‪P‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪R‬‬ ‫•‬ ‫‪P‬‬ ‫)א(‬ ‫מהו השדה המגנטי בנקודה ‪ P‬בכל אחד מהמקרים?‬ ‫‪I‬‬ ‫)ב(‬ ‫‪R‬‬ ‫◦‪P • 45‬‬ ‫•‬ ‫‪P‬‬ ‫‪I‬‬ ‫)ד(‬ ‫)ג(‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫√‬ ‫‪µ0 I‬‬ ‫‪µI‬‬ ‫‪µ0 I‬‬ ‫‪µ0 I‬‬ ‫= ‪) B‬ד( )‪(2 + 5π/4 − 2‬‬ ‫= ‪) B‬ג( )‪(2 + π‬‬ ‫)א( ‪) B = 0‬ב(‬ ‫‪4πR‬‬ ‫‪4πR‬‬ ‫‪8R‬‬ ‫‪4πR‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫‪5.2.4‬‬ ‫טבעת בעלת רדיוס ‪ R‬טעונה במטען ‪ Q‬המפולג לאורכה באופן אחיד‪ .‬הטבעת מסתובבת סביב מרכזה בתדירות ‪.f‬‬ ‫)א( מצאו את השדה המגנטי שיוצרת הטבעת לאורך הציר האנכי מרכזי שלה‪.‬‬ ‫)ב( בדקו כי השדה שמצאתם מקיים את חוק אמפר‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫ˆ ‪µ0 Qf R2‬‬ ‫)א( ‪k‬‬ ‫‪2(R2 + z 2 )3/2‬‬ ‫= ~‬ ‫‪B‬‬ ‫‪5.2.5‬‬ ‫תיל אינסופי שוכב על ציר ה־‪ x‬ונושא זרם ‪ .I1 = 1.3 A‬תיל נוסף‪ ,‬שאורכו סופי‪ ,‬נושא זרם ‪ I2 = 0.6 A‬כמשורטט‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪0.4 m‬‬ ‫‪0.4 m‬‬ ‫◦‪45‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0.3m‬‬ ‫‪I1‬‬ ‫מהו הכח שפועל על התיל נושא זרם ‪?I2‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪55‬‬ ‫‪I2‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪F~ = (−1.32 · 10−7 , −3.4 · 10−7 ) N‬‬ ‫‪5.2.6‬‬ ‫נתונה דיסקה בעלת רדיוס ‪ R‬הטעונה בצפיפות מטען משטחית לא אחידה ‪ ,σ(r) = σ0 Rr‬כאשר ‪ r‬המרחק ממרכזה‪.‬‬ ‫מסובבים את הדיסקה במהירות זוויתית קבועה ‪ ω‬סביב הציר האנכי־מרכזי שלה )ציר ‪.(z‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪R‬‬ ‫)א( חשבו את השדה המגנטי במרכז הדיסקה‪.‬‬ ‫)ב( חשבו את המומנט המגנטי של הדיסקה‪.‬‬ ‫)ג( נתון כי במרחב פועל שדה מגנטי חיצוני )‪ .B~ = B0 (ˆi − ˆj‬מהו מומנט הכח הפועל על הדיסקה?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫ˆ ‪πσ0 ωR4 B0‬‬ ‫ˆ ‪πσ0 ωR4‬‬ ‫)א( ˆ‪~ = µ0 σ0 ωR k‬‬ ‫= ‪) ~µ‬ג( ‪k‬‬ ‫‪) B‬ב( ‪k‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪~τ‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪56‬‬ ‫‪ 5.3‬חוק אמפר‬ ‫‪5.3.1‬‬ ‫בגליל אינסופי שרדיוסו ‪ R‬זורם זרם ‪ I‬לאורכו‪ .‬התפלגות הזרם אינה אחידה כך שצפיפות הזרם תלויה במרחק ‪r‬‬ ‫מציר הגליל באופן הבא‪.j(r) = j0 Rr :‬‬ ‫מצאו את השדה המגנטי בכל נקודה במרחב‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪µ j r2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0‬‬ ‫‪r≤R‬‬ ‫‪3R‬‬ ‫= )‪B(r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪µ j R2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0 0‬‬ ‫‪r≥R‬‬ ‫‪3r‬‬ ‫‪5.3.2‬‬ ‫בגליל חלול וארוך מאד בעל רדיוס פנימי ‪ a‬וחיצוני ‪ b‬זורם זרם בצורה היקפית‪ ,‬עם כיוון השעון‪ .‬צפיפות הזרם‬ ‫אינה אחידה ותלויה במרחק ‪ r‬מציר הגליל באופן הבא ˆ‪ ,~j(r) = αr2 ϕ‬כאשר ‪ α‬קבוע כלשהו‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫)א( מהן היחידות הפיסיקליות של הקבוע ‪?α‬‬ ‫)ב( מהו השדה המגנטי בכל מקום במרחב?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪b3 − a3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪µ‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪r≤a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪b3 − r 3‬‬ ‫= )‪B(r‬‬ ‫)ב(‬ ‫]‪[α‬‬ ‫=‬ ‫)א(‬ ‫‪4‬‬ ‫‪a≤r≤b‬‬ ‫‪µ0 α‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪b≤r‬‬ ‫‪5.3.3‬‬ ‫נתון סליל ארוך מאד‪ ,‬בעל רדיוס ‪ .R‬צפיפות הליפופים של הסליל היא ‪ 5000‬ליפופים למטר‪ .‬חשבו את השדה‬ ‫המגנטי בכל נקודה בסליל‪ ,‬אם נתון כי זורם בו זרם ‪.I = 30 mA‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪57‬‬ ‫‪R‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪B = 1.885 · 10−4 T‬‬ ‫‪5.3.4‬‬ ‫טורוס הוא טבעת עבה עם חתך מעגלי )צורה של בייגלה(‪ .‬על טורוס בעל רדיוס פנימי ‪ a‬ורדיוס חיצוני ‪ b‬מלפפים‬ ‫חוט מוליך ‪ N‬פעמים כך שצפיפות הליפופים קבועה‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫מהו השדה המגנטי בכל מקום במרחב‪ ,‬אם נתון כי מזרימים זרם ‪ I‬בחוט המוליך?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪r≤a‬‬ ‫‪a≤r≤b‬‬ ‫‪b≤r‬‬ ‫‪5.3.5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪µ0 NI‬‬ ‫= )‪B(r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2πr‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נתון גליל אינסופי בעל רדיוס ‪ a‬ובתוכו קדח גלילי אינסופי בעל רדיוס ‪ .b‬מרכז הקדח נמצא במרחק ‪ d‬ממרכז הגליל‪.‬‬ ‫נתון כי לאורך הגליל זורם זרם ‪ I‬בצפיפות אחידה‪ .‬השרטוט מתאר מבט מלמעלה על המערכת‪.‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪b‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪58‬‬ ‫‪a‬‬ ‫מהו השדה המגנטי בכל נקודה בקדח הגלילי?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪µ0 Id‬‬ ‫ˆ‪(−‬‬ ‫)ˆ‪r × z‬‬ ‫} ‪2π(a2 − b2 ) | {z‬‬ ‫= ~‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫ˆ‬ ‫‪5.3.6‬‬ ‫פס מבודד דק‪ ,‬שאורכו ‪ L‬גדול מאד ורוחבו ‪ ,a‬טעון בצפיפות מטען אחידה ‪ .σ‬הפס נמצא על מישור ‪ z = 0‬כך‬ ‫שאחת מצלעותיו מתלכדת עם ציר ‪ .y‬הפס נע במהירות קבועה ‪ v‬בכיוון ˆ‪) y‬אורכו כה גדול כך שניתן להתייחס אליו‬ ‫כאל אינסופי(‪.‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪σ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)א( חשבו את וקטור השדה החשמלי לאורך ציר ‪.z‬‬ ‫)ב( מהו הזרם ‪?I‬‬ ‫לאורך ציר ‪.z‬‬ ‫)ג( חשבו את וקטור השדה המגנטי‬ ‫∞ ‪Z‬‬ ‫)ד( חשבו את האינטגרל ‪~ · d~ℓ‬‬ ‫לאורך ציר ‪ .z‬הסבירו את התוצאה שהתקבלה!‬ ‫‪B‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫ניתן להשתמש בפתרון האינטגרלים הבאים‪:‬‬ ‫‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪ln 1 + 2 dx = 2πa‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‬ ‫∞‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪xdx‬‬ ‫=‬ ‫; ) ‪ln (1 + x2‬‬ ‫‪1 + x2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫; )‪= tan−1 (x‬‬ ‫‪1 + x2‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‪σ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪−1 a‬‬ ‫~‬ ‫= ‪) E‬ב( ‪I = σva‬‬ ‫‪− ln 1 + 2 , 0, tan‬‬ ‫)א(‬ ‫‪2πε0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫∞ ‪Z‬‬ ‫ ‪a 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪µ‬‬ ‫‪σv‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪µ‬‬ ‫‪σva‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫= ‪~ · d~ℓ‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫‪, 0, ln 1 + 2‬‬ ‫= ~‪) B‬ד(‬ ‫)ג(‬ ‫‪B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪59‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪5.3.7‬‬ ‫שני לוחות קבל עגולים בעלי רדיוס ‪ R‬נמצאים במרחק ‪ d‬זה מזה )הניחו ‪ .(d ≪ R‬הקבל נטען בקצב אחיד כך‬ ‫שהמטען עליו תלוי בזמן באופן ‪) Q(t) = αt‬הלוח העליון בעל המטען החיובי(‪.‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪d‬‬ ‫מצאו את השדות החשמלי והמגנטי בין לוחות הקבל!‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪µ0 α‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2πR2‬‬ ‫= )‪B(r‬‬ ‫‪αt‬‬ ‫;‬ ‫‪πR2 ε0‬‬ ‫=‪E‬‬ ‫‪5.3.8‬‬ ‫שני מישורים אינסופיים מקבילים למישור ‪ .xz‬המישורים הם ‪ y = a‬ו־‪ .y = −a‬במישור הראשון יש צפיפות זרם‬ ‫ליחידת אורך ˆ‪ ~k = k0 z‬ובמישור השני יש צפיפות זרם ליחידת אורך ˆ‪.~k = −k0 z‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪~k‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪~k‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)א( מהו השדה המגנטי בכל מקום במרחב?‬ ‫)ב( מהי צפיפות האנרגיה המגנטית בכל מקום במרחב?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫ˆ‪ B~ = µ0 k0 x‬בין המישורים‪ .‬מחוץ למישורים השדה הוא אפס‪.‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪60‬‬ ‫פרק ‪6‬‬ ‫השראה אלקטרומגנטית‬ ‫‪ 6.1‬חוק פאראדיי־לנץ‬ ‫‪6.1.1‬‬ ‫מוט מוליך באורך ‪ L = 0.2 m‬מונח על מסילה מוליכה שצורתה ״ח״‪ ,‬כמשורטט‪ .‬למסילה מחובר נגד בעל התנגדות‬ ‫‪ .R = 10 Ω‬באיזור שורר שדה מגנטי שכיוונו החוצה מהדף וגודלו ‪ .B = 10 mT‬מושכים את המוט ימינה כך שהוא‬ ‫נע במהירות קבועה ‪.v = 2 m/s‬‬ ‫‪L‬‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫‪v‬‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫‪R‬‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫)א( מהו גודלו וכיוונו של הזרם המושרה במעגל ברגע ‪?t = 4 s‬‬ ‫)ב( מהו הכח שיש להפעיל על המוט כדי להניע אותו במהירות הנתונה?‬ ‫)ג( ברגע מסוים מפסיקים להפעיל את הכח המניע‪ .‬מהו הזרם המושרה במעגל מרגע זה ואילך?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪BLv − B2 L2 t‬‬ ‫)א( ‪ Iind = 4 · 10−4 A‬עם כיוון השעון‪) .‬ב( ‪) Find = 8 · 10−7 N‬ג( ‪e mR‬‬ ‫‪R‬‬ ‫= ‪ Iind‬כאשר ‪ m‬מסת המוט‪.‬‬ ‫‪6.1.2‬‬ ‫טבעת מוליכה בעלת רדיוס ‪ b = 50 cm‬נושאת זרם חילופין ‪) I(t) = 100 sin (2t)A‬כאשר הכיוון עם השעון נחשב‬ ‫לחיובי(‪ .‬במרכז הטבעת נמצא סליל שטוח בעל ‪ 20‬ליפופים שהתנגדותו הכללית היא ‪ .R = 10−3 Ω‬רדיוס הסליל‬ ‫‪.a = 0.1 cm‬‬ ‫‪61‬‬ ‫⋆ ניתן להתייחס למקרה ‪ a ≪ b‬כך שהשדה המגנטי בכל נקודה בסליל שווה בקירוב טוב לשדה במרכזו‪.‬‬ ‫)‪I(t‬‬ ‫מהו הזרם המושרה )גודל וכיוון( בסליל ברגע ‪?t = 1 s‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪ Iind = 6.66 · 10−7 A‬עם כיוון השעון‪.‬‬ ‫‪6.1.3‬‬ ‫לכריכה מעגלית בעלת ‪ N‬ליפופים ושהתנגדותה ‪ R‬יש שטח חתך ‪ .S‬הכריכה נמצאת בשדה מגנטי ‪ .B‬המאונך‬ ‫למישור בו היא נמצאת‪ .‬מסובבים את הכריכה בזווית ‪ θ‬סביב קוטרה‪.‬‬ ‫כמה מטען זרם בכריכה במהלך התהליך?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪NBS‬‬ ‫)‪(1 − cos θ‬‬ ‫‪R‬‬ ‫=‪q‬‬ ‫‪6.1.4‬‬ ‫חוט מוליך מגולגל על טורוס בעל חתך מלבני כך שמספר הכריכות הוא ‪ .N‬רדיוסו הפנימי של הטורוס הוא ‪ ,a‬רדיוסו‬ ‫החיצוני ‪ ,b‬וגובהו ‪ .h‬מזרימים זרם )‪ I(t) = I0 sin (ωt‬בחוט המוליך‪ .‬כמו כן נתון כי טבעת מוליכה שהתנגדותה ‪R‬‬ ‫עוטפת את הטורוס‪.‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)א( מהו השדה המגנטי בטורוס?‬ ‫)ב( מהו גודלו של הזרם המושרה בטבעת?‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪62‬‬ ‫‪b‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪µ0 NI0‬‬ ‫‪µ0 NI0 hω‬‬ ‫= )‪) B(a ≤ r ≤ b‬ב( )‪cos (ωt‬‬ ‫)א( )‪sin (ωt‬‬ ‫‪2πR‬‬ ‫‪2πr‬‬ ‫= ‪Iind‬‬ ‫‪6.1.5‬‬ ‫בתיל אינסופי זורם זרם משתנה ‪ .I(t) = 10t A‬במרחק ‪ a = 0.2 m‬נמצאת כריכה מרובעת בעלת‬ ‫‪ 50‬ליפופים שהתנגדותה הכוללת ‪ .R = 10 Ω‬צלע הכריכה היא ‪ .b = 0.15 m‬מניעים את הכריכה ימינה במהירות‬ ‫קבועה ‪.v = 0.3 m/s‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪b‬‬ ‫)א( מהו גודלו וכיוונו של הזרם המושרה בכריכה ברגע ‪?t = 1 s‬‬ ‫)ב( מהו הכח שיש להשקיע בכדי להניע את הכריכה במהירות הנתונה?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫)א( ‪ Iind = 1.86 · 10−7 A‬נגד כיוון השעון‪) .‬ב( למשל ברגע ‪ t = 1 s‬הכח שיש להשקיע הוא ‪F = 2.57 · 10−14 N‬‬ ‫במגמה שמאלה‪.‬‬ ‫‪6.1.6‬‬ ‫טבעת מוליכה בעלת רדיוס ‪ a‬נמצאת על מישור ‪ x − y‬ונושאת זרם משתנה ‪ I(t) = αt2‬כמשורטט‪ .‬בגובה ‪ d‬מעליה‬ ‫נמצא מרכזה של טבעת נוספת‪ ,‬בעלת רדיוס ‪ ,b‬אשר הציר האנכי־מרכזי שלה מוטה בזווית ‪ θ‬ביחס לציר ‪ .z‬טבעת‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪63‬‬ ‫זו עשויה חומר בעל התנגדות ליחידת אורך ‪ .r‬נתון כי ‪ a ≫ b‬וכן ‪.d ≫ a, b‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪a‬‬ ‫)‪I(t‬‬ ‫)א( מהו הזרם המושרה בטבעת בעלת רדיוס ‪?b‬‬ ‫)ב( מהו מומנט הכח הפועל על הטבעת בעלת הרדיוס ‪?b‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪µ0 αa2 b2 cos θ‬‬ ‫‪πµ20 α2 a4 b3 sin 2θ‬‬ ‫‪t‬‬ ‫)ב(‬ ‫‪I‬‬ ‫=‬ ‫)א( ‪t‬‬ ‫‪ind‬‬ ‫‪8d6 r‬‬ ‫‪2bd3 r‬‬ ‫= ‪ τ‬בכיוון פנימה‪.‬‬ ‫‪6.1.7‬‬ ‫מוט מוליך באורך ‪ L‬מונח על מסילה מוליכה שצורתה ״ח״‪ ,‬כמשורטט‪ .‬למסילה מחובר נגד בעל התנגדות ‪ R‬וקבל‬ ‫בעל קיבול ‪ .C‬באיזור שורר שדה מגנטי שכיוונו החוצה מהדף וגודלו ‪ .B‬מושכים את המוט ימינה כך שהוא נע‬ ‫במהירות קבועה ‪.v‬‬ ‫‪L‬‬ ‫)א( מהו גודלו וכיוונו של הזרם המושרה במעגל בכל רגע?‬ ‫)ב( מהו הכח שיש להפעיל על המוט כדי להניע אותו במהירות הנתונה?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪B 2 L2 v −t/RC‬‬ ‫‪BLv −t/RC‬‬ ‫‪e‬‬ ‫עם כיוון השעון‪) .‬ב(‬ ‫‪e‬‬ ‫)א(‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫במגמה ימינה‪.‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪64‬‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫· ‪· R‬‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫‪v‬‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫‪C‬‬ ‫·‬ ‫·‬ ‫‪6.1.8‬‬ ‫מוט מוליך בעל אורך ‪ L‬והתנגדות ‪ R‬נע על מסילה אנכית מוליכה שהתנגדותה זניחה )יש גרביטציה(‪ .‬באיזור שורר‬ ‫שדה מגנטי אחיד שכיוונו מאונך למסילה )פנימה לדף(‪ .‬ברגע ‪ t = 0‬משחררים את המוט ממנוחה‪.‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪g‬‬ ‫~‬ ‫‪B‬‬ ‫)א( מצאו את המהירות של המוט בכל רגע? לאיזו מהירות יגיע הגוף לאחר זמן ארוך מאד?‬ ‫)ב( בנקודה כלשהי במסילה מחברים מקור מתח‪ ,‬והמוט מתחיל לנוע כלפי מעלה כך שלאחר זמן ארוך מספיק‬ ‫מהירותו מתייצבת על ערך קבוע ‪ .u‬שרטטו את אופן החיבור של מקור המתח ומצאו את גודלו‪.‬‬ ‫)ג( הראו כי מתקיים בבעיה חוק שימור האנרגיה‪ ,‬ע״י השוואת ההספקים המכני והחשמלי‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‬ ‫‪B 2 L2‬‬ ‫‪mgR‬‬ ‫ ‪mgR‬‬ ‫‪mgR‬‬ ‫)א( ‪ v(t) = 2 2 1 − e− mR t‬ומכאן שמהירותו הסופית ‪) v(t → ∞) = 2 2‬ב( ‪+ BLu‬‬ ‫‪BL‬‬ ‫‪B L‬‬ ‫‪B L‬‬ ‫= ‪V‬‬ ‫‪6.1.9‬‬ ‫תיל מוליך )בעל התנגדות זניחה( שצורתו פרבולה ) ‪ (y = Cx2‬מונח על שולחן אופקי חסר חיכוך‪ .‬באיזור שורר‬ ‫שדה מגנטי אחיד שגודלו ‪ B‬וכיוונו אנכית מעלה )בציור החוצה מהדף(‪ .‬מוט מוליך דק וארוך מאד‪ ,‬בעל התנגדות‬ ‫ליחידת אורך ‪ ,λ‬נמצא במנוחה לאורך ציר ‪ .x‬ברגע ‪ t = 0‬מתחיל לפעול על המוט כח )‪ F (t‬שכיוונו ˆ‪ y‬כך שהוא‬ ‫נמשך במהירות קבועה ‪.v‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪65‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪F (t‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)א( מצאו את השטף המגנטי דרך שטח המעגל המורכב מחלק המוט )בין שתי נקודות המגע שלו עם הפרבולה( וחלק‬ ‫הפרבולה )בין שתי נקודות המגע שלה עם המוט( כפונקציה של הזמן!‬ ‫)ב( מהו הכא״מ המושרה במעגל?‬ ‫)ג( מהו הזרם המושרה במעגל )גודל וכיוון(?‬ ‫)ד( מהו הכח )‪ F (t‬הדרוש כדי להניע את המוט במהירות קבועה?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫√ ‪2Bv 3/2‬‬ ‫‪Bv‬‬ ‫‪4Bv 3/2‬‬ ‫√ ‪2B 2 v 3/2‬‬ ‫√‬ ‫= ‪) Iind‬ד( ‪t‬‬ ‫)א( ‪) φB = √ t3/2‬ב( ‪t‬‬ ‫√ = ‪) ε‬ג(‬ ‫‪λ‬‬ ‫‪λ C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪3 C‬‬ ‫= )‪F (t‬‬ ‫‪6.1.10‬‬ ‫גליל אינסופי שרדיוסו ‪ R‬טעון בצפיפות מטען נפחית אחידה ‪ .ρ‬מסובבים את הגליל במהירות זוויתית קבועה ‪ω‬‬ ‫סביב צירו‪.‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪V‬‬ ‫)א( חשבו את צפיפות הזרם כפונקציה של המרחק מציר הגליל‪.J(r) ,‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪66‬‬ ‫‪N‬‬ ‫)ב( חשבו את השדה המגנטי בכל מקום במרחב כפונקציה של המרחק ממציר הגליל‪.B(r) ,‬‬ ‫)ג( מלפפים סביב הגליל סליל בעל ‪ N‬ליפופים‪ ,‬ומחברים את קצותיו למד מתח‪ .‬מה תהיה קריאת מד המתח אם‬ ‫מרגע מסוים )‪ (t = 0‬פועלת תאוטה זוויתית קבועה )תאוצה זוויתית שלילית( שגודלה ‪?α‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫)א( ‪) J(r) = ρωr‬ב(‬ ‫‪r≤R‬‬ ‫‪r≥R‬‬ ‫‪( µ0 ρω‬‬ ‫‬ ‫‪R2 − r 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪πNµ0 ραR4‬‬ ‫=‪ε‬‬ ‫= )‪) B(r‬ג(‬ ‫‪4‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬ ‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬ ‫‪67‬‬