פיסיקה 2 ־ חשמל ומגנטיות אייל לוי

‫פיסיקה ‪ 2‬־ חשמל ומגנטיות‬
‫‪R‬‬
‫‪L‬‬
‫‪C‬‬
‫‪V‬‬
‫אייל לוי‬
‫סטודנטים יקרים‬
‫ספר תרגילים זה הינו פרי שנות נסיון רבות של המחבר בהוראת פיסיקה באוניברסיטת תל אביב‪,‬‬
‫במכללת אפקה‪ ,‬ועוד‪.‬‬
‫שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את הדרך הנכונה לעומדים‬
‫בפני קורס חשוב זה‪.‬‬
‫הספר עוסק בפיסיקה ‪ 2‬־ חשמל ומגנטיות‪ ,‬והוא מתאים לתלמידים במוסדות להשכלה גבוהה ־‬
‫אוניברסיטאות או מכללות‪.‬‬
‫הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד‪ ,‬בהתאם לתכניות הלימוד השונות‪ .‬הנסיון‬
‫מלמד כי לתרגול בקורס זה חשיבות יוצאת דופן‪ ,‬ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים‬
‫המופיעים בו‪.‬‬
‫לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר ‪www.GooL.c o.il‬‬
‫הפתרונות מוגשים בסרטוני פלאש המלווים בהסבר קולי‪ ,‬כך שאתם רואים את התהליכים בצורה‬
‫מובנית‪ ,‬שיטתית ופשוטה‪ ,‬ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי‪ .‬הפתרון המלא של השאלה מכוון‬
‫ומוביל לדרך חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה‪.‬‬
‫תקוותי היא שספר זה ישמש כמורה־דרך לכם הסטודנטים ויוביל אתכם להצלחה!‬
‫אייל לוי‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪1‬‬
‫חוק‬
‫‪1.1‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1.3‬‬
‫קולומב והשדה החשמלי‬
‫מערכת מטענים נקודתיים ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫תנועת חלקיק בשדה חשמלי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫התפלגויות מטענים רציפות ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫חוק גאוס‬
‫‪ 2.1‬שטף חשמלי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.2‬חוק גאוס )האינטגרלי( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 2.3‬חוק גאוס )הדיפרנציאלי( ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪13‬‬
‫‪13‬‬
‫‪17‬‬
‫‪22‬‬
‫‪3‬‬
‫אנרגיה ופוטנציאל חשמליים‬
‫‪ 3.1‬אנרגיה פוטנציאלית חשמלית ופוטנציאל חשמלי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪24‬‬
‫‪24‬‬
‫‪4‬‬
‫קיבול‬
‫‪4.1‬‬
‫‪4.2‬‬
‫‪4.3‬‬
‫‪4.4‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪35‬‬
‫‪35‬‬
‫‪41‬‬
‫‪44‬‬
‫‪46‬‬
‫חשמלי והתנגדות חשמלית‬
‫קיבול וחומרים דיאלקטרים‬
‫התנגדות ‪. . . . . . . . .‬‬
‫מעגלי זרם ישר ‪. . . . . .‬‬
‫מעגלי ‪) RC‬נגד וקבל( ‪. . .‬‬
‫‪5‬‬
‫השדה המגנטי‬
‫‪ 5.1‬כח ומומנט כח בשדה מגנטי ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 5.2‬חוק ביו־סבר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪ 5.3‬חוק אמפר ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪49‬‬
‫‪49‬‬
‫‪54‬‬
‫‪57‬‬
‫‪6‬‬
‫השראה אלקטרומגנטית‬
‫‪ 6.1‬חוק פאראדיי־לנץ ‪. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫‪61‬‬
‫‪61‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫פרק ‪1‬‬
‫חוק קולומב והשדה החשמלי‬
‫‪ 1.1‬מערכת מטענים נקודתיים‬
‫‪1.1.1‬‬
‫מטען ‪ q1 = 1 C‬נמצא במנוחה על הקרקע‪.‬‬
‫באיזה גובה ניתן לשים מסה ‪ m = 1 ton‬בעלת מטען זהה ‪ q2 = 1 C‬שתרחף באויר כנגד כח הכובד?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪h = 958.3 m‬‬
‫‪1.1.2‬‬
‫ארבעה מטענים נקודתיים ‪ q1 , q2 , q3 , q4‬נמצאים במיקומים‪:‬‬
‫‪~r1 = (1, 1) m ; ~r2 = (−1, 1) m ; ~r3 = (−1, −1) m ; ~r4 = (1, −1) m‬‬
‫בהתאמה‪ .‬המטענים ‪ q1 = q2 = −200 µC‬והמטענים ‪ .q3 = q4 = 200 µC‬מטען נקודתי ‪ Q = 100 µC‬נמצא‬
‫בראשית הצירים‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪q1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪q4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪q2‬‬
‫‪q3‬‬
‫)א( מהו הכח שמרגיש המטען ‪?Q‬‬
‫)ב( מהו הכח שמרגיש המטען ‪?q3‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪F~ = (0, 254.56) N‬‬
‫‪X‬‬
‫)ב( ‪F~ = (−121.82, 58.18) N‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1.1.3‬‬
‫ארבעה מטענים נקודתיים ‪ q1 = q2 = q3 = q4 = 300 nC‬נמצאים במיקומים‪:‬‬
‫‪~r1 = (1, 0, 0) m ; ~r2 = (0, 1, 0) m ; ~r3 = (0, −1, 0) m ; ~r4 = (−1, 0, 0) m‬‬
‫בהתאמה‪ .‬מטען נקודתי ‪ Q = 500 nC‬נמצא על ציר ‪ z‬במיקום ‪~ = (0, 0, 3) m‬‬
‫‪.R‬‬
‫‪z‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪y‬‬
‫‪q4‬‬
‫‪q3‬‬
‫‪q2‬‬
‫‪q1‬‬
‫‪x‬‬
‫מה צריכה להיות מסתו של המטען ‪ Q‬כדי שהוא ירחף באוויר כנגד כח הכובד?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪m = 52.27 kg‬‬
‫‪1.1.4‬‬
‫שני מטענים נקודתיים זהים ‪ Q‬מצאים במנוחה על ציר ‪ x‬במרחק ‪ d‬זה מזה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪Q‬‬
‫)א( היכן על ציר ‪ y‬מתקבל הערך המקסימלי של השדה החשמלי?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪3‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Q‬‬
‫)ב( הראו כי במרחק רב )‪ ,(y >> d‬השדה מתנהג כמו שדה חשמלי של מטען נקודתי בעל גודל ‪) 2Q‬המטען הכולל‬
‫של המערכת(!‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫)א( √ ‪y = ±‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪1.1.5‬‬
‫נתונה מערכת של שני מטענים נקודתיים בעלי גודל ‪ q‬וסימן הפוך )דיפול(‪ ,‬הנמצאים על ציר ‪ x‬במיקומים‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪~r1 = ( , 0) m ; ~r2 = (− , 0) m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪q‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−q‬‬
‫)א( מצאו את השדה החשמלי בכל מקום לאורך ציר ‪ ,x‬כפונקציה של המרחק ‪ x‬מהראשית‪ .‬יש לבטא בעזרת‬
‫‪!k, q, d, x‬‬
‫)ב( מהו השדה החשמלי במרחק רב מהדיפול )‪?(x >> d‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫"‬
‫‪#‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪x‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2kqd‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪~ >> d‬‬
‫~‬
‫‪E(x‬‬
‫‪) E(x,‬ב( )‪· (1, 0, 0‬‬
‫ ‪0, 0) = kq‬‬
‫‪ −‬‬
‫)א( )‪ · (1, 0, 0‬‬
‫‪x − d 3 x + d 3‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.1.6‬‬
‫נתונה מערכת של ארבעה מטענים נקודתיים בעלי גודל ‪ q‬כל אחד‪ ,‬הנמצאים בקודקודיו של ריבוע בעל צלע ‪2a‬‬
‫שמרכזו בראשית‪ .‬לכל זוג מטענים סמוכים יש מטען הפוך )קוואדרופול(‪:‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪−q‬‬
‫‪x‬‬
‫‪q‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪−q‬‬
‫)א( מצאו את הכח שפועל על מטען נקודתי ‪ Q‬שמונח על ציר ‪ x‬כפונקציה של המרחק ‪ x‬מראשית הצירים! יש‬
‫לבטא באמצעות ‪.k, Q, q, a, x‬‬
‫)ב( מהו הכח שיפעל על ‪ Q‬אילו הוא היה ממוקם במרחק רב מהראשית )‪?(x >> a‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪#‬‬
‫‪1‬‬
‫)א( )‪· (1, 0, 0‬‬
‫‪[(x + a)2 + a2 ]3/2‬‬
‫‪2kqQa2‬‬
‫= )‪F~ (x >> a‬‬
‫)ב( )‪· (1, 0, 0‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪[(x − a)2 + a2 ]3/2‬‬
‫"‬
‫· ‪F~ (x, 0, 0) = 2kqQa‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪5‬‬
‫‪1.2‬‬
‫תנועת חלקיק בשדה חשמלי‬
‫‪1.2.1‬‬
‫פרוטון )מטענו ‪ qp = 1.602 · 10−19 C‬ומסתו ‪ (mp = 1.67 · 10−27 kg‬מוכנס בין שני לוחות שהמרחק ביניהם‬
‫‪ .d = 0.8 cm‬הלוחות טעונים כך שנוצר ביניהם השדה החשמלי אחיד המכוון אנכית מטה וגודלו ‪.E = 3 · 104 NC‬‬
‫הפרוטון מוכנס בצמוד ללוח העליון עם מהירות אופקית ‪.v0 = 5 · 106 ms‬‬
‫~‬
‫‪E‬‬
‫‪d‬‬
‫)א( תוך כמה זמן יפגע הפרוטון בלוח התחתון?‬
‫)ב( מהו המרחק האופקי אותו יעבור הפרוטון עד שיפגע בלוח התחתון?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) t = 7.47 · 10−8 s‬ב( ‪x = 37.4 cm‬‬
‫‪1.2.2‬‬
‫נתונים שני לוחות אינסופיים‪ .‬מזריקים גוף שמסתו ‪ M = 5 gr‬ומטענו ‪ Q = −10 µC‬אל בין הלוחות‪ .‬מהו גודלו‬
‫וכיוונו של שדה חשמלי שיש ליצר בין הלוחות כדי שהמטען יתמיד במגמת תנועתו‪ ,‬כלומר ימשיך לנוע בקו ישר‪,‬‬
‫אם נתון שתאוצת הגרביטציה פועלת אנכית מטה?‬
‫‪v0‬‬
‫‪g‬‬
‫‪M, Q‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ E = 4900‬במגמה אנכית מטה‪.‬‬
‫‪1.2.3‬‬
‫נתונים שני לוחות טעונים שהמרחק ביניהם ‪ d = 0.7 cm‬ושאורך כל אחד מהם הוא ‪ .L = 10 cm‬הלוחות‬
‫טעונים כך שנוצר ביניהם שדה חשמלי אחיד המכוון אנכית מעלה וגודלו ‪ .E = 2500 NC‬אלקטרון )מטענו‬
‫‪ qe = −1.602 · 10−19 C‬ומסתו ‪ (me = 9.11 · 10−31 kg‬מוזרק אל בין שני לוחות בצמוד לקצה השמאלי של הלוח‬
‫התחתון במהירות שגודלה ‪.v0 = 1 · 107 ms‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪6‬‬
‫‪L‬‬
‫‪d‬‬
‫~‬
‫‪E‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪θ‬‬
‫מהו תחום הזוויות ‪ θ‬עבורו ניתן להזריק את האלקטרון‪ ,‬כדי שהוא לא יפגע באף אחד מהלוחות?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫◦‪14.36◦ > θ > 13.04‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪7‬‬
‫‪1.3‬‬
‫התפלגויות מטענים רציפות‬
‫‪1.3.1‬‬
‫נתונה קשת מעגלית בעלת רדיוס ‪ ,R‬הנשענת על זווית ‪ θ‬וטעונה בצפיפות מטען קווית ) ‪ ,λ(θ′‬כאשר ‪ θ′‬הזווית מציר‬
‫‪ .x‬מרכזה של הקשת בנקודה ‪.O‬‬
‫‪y‬‬
‫) ‪λ(θ′‬‬
‫‪R‬‬
‫‪x‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪O‬‬
‫)א( חשבו את המטען הכולל לאורך הקשת אם נתון כי צפיפות המטען‬
‫‪ (1‬אחידה‪λ(θ′ ) = λ0 :‬‬
‫‪ (2‬משתנה‪λ(θ′ ) = λ0 sin θ′ :‬‬
‫)ב( חשבו את השדה החשמלי שמפעילה הקשת בנקודה ‪ O‬עבור שתי צפיפויות המטען שנתונות ב־)א(‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪~ 0, 0) = (2 E(0,‬‬
‫)א( ‪) λ0 R(1 − cos θ) (2 q = λ0 Rθ (1‬ב( ‪~ 0, 0) = kλ0 (− sin θ, cos θ − 1, 0) N (1‬‬
‫‪E(0,‬‬
‫‪R‬‬
‫‪C‬‬
‫‬
‫‬
‫‪kλ0‬‬
‫‪sin2 θ θ sin 2θ‬‬
‫‪N‬‬
‫‪−‬‬
‫‪,− +‬‬
‫‪,0‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪C‬‬
‫‪1.3.2‬‬
‫נתון מוט דק אינסופי טעון בצפיפות מטען קווית אחידה‬
‫‪C‬‬
‫‪m‬‬
‫‪.λ = 5 · 10−6‬‬
‫‪λ‬‬
‫)א( חשבו את השדה החשמלי שיוצר המוט בכל נקודה במרחב‪ ,‬כלומר כפונקציה של המרחק האנכי מציר התיל‪r ,‬‬
‫)רדיוס גלילי(!‬
‫)ב( מניחים מטען נקודתי ‪ Q = 10 µC‬במרחק ‪ r = 10 cm‬מהתיל‪ .‬מהו הכח החשמלי שמרגיש המטען?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪9 · 104 N‬‬
‫)א(‬
‫‪r‬‬
‫‪C‬‬
‫= )‪) E(r‬ב( ‪F = 9 N‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪8‬‬
‫‪1.3.3‬‬
‫תיל אינסופי הטעון בצפיפות מטען קווית אחידה ‪ λ‬מכופף באמצעו כך שהוא יוצר קשת שצורתה חצי מעגל שרדיוסו‬
‫‪.R‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪O‬‬
‫מהו השדה החשמלי שיוצר התיל בנקודה ‪ ,O‬מרכז הקשת המעגלית?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪~ 0, 0) = 0‬‬
‫‪E(0,‬‬
‫‪1.3.4‬‬
‫מוט דק בעל אורך ‪ L‬שוכב לאורך ציר ‪ x‬כשמרכזו בראשית‪ .‬המוט טעון באופן אחיד במטען כולל ‪.Q‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(0, y, 0‬‬
‫‪x‬‬
‫הראו כי השדה החשמלי שיוצר המוט בנקודה )‪ (0, y, 0‬הוא‪:‬‬
‫‪L‬‬
‫‪~ y, 0) = p 2kQ‬‬
‫‪E(0,‬‬
‫)‪(0, 1, 0‬‬
‫‪y L2 + 4y 2‬‬
‫‪1.3.5‬‬
‫חשבו את הכח ההדדי שפועל בין מטען נקודתי ‪ q = 1 µC‬שמיקומו ראשית הצירים‪ ,‬ובין מוט דק שאורכו‬
‫‪ ,L = 0.2 cm‬הטעון בצפיפות מטען קווית ‪ λ(x) = 100x2 mC‬כאשר נתון כי המוט שוכב לאורך ציר ‪ x‬כך שקצהו‬
‫השמאלי נמצא במרחק ‪ x = L‬מהראשית‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪9‬‬
‫‪y‬‬
‫‪q‬‬
‫)‪λ(x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2L‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪F = 1800 N‬‬
‫‪1.3.6‬‬
‫חשבו את הכח ההדדי שפועל בין שני מוטות דקים שאורכו של כל אחד מהם הוא ‪ .L‬כל מוט טעון בצפיפות מטען‬
‫אחידה ‪ .λ‬מוט אחד שוכב לאורך ציר ‪ x‬כך שקצהו השמאלי בראשית‪ ,‬והמוט השני שוכב לאורך ציר ‪ x‬כך שקצהו‬
‫השמאלי במרחק ‪ 2L‬מהראשית‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3L‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪2L‬‬
‫‪0‬‬
‫‪L‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫ ‬
‫‪4‬‬
‫‪kλ2‬‬
‫‪F = ln‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1.3.7‬‬
‫נתונה טבעת מעגלית שרדיוסה ‪ R‬הטעונה בצפיפות מטען קווית )‪ λ(θ‬כאשר ‪ θ‬הזווית שנמדדת על מישור ‪ xy‬מציר‬
‫ה־ ‪.x‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪R‬‬
‫)‪λ(θ‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪x‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪10‬‬
‫)א( חשבו את השדה החשמלי שיוצרת הטבעת לאורך הציר האנכי מרכזי שלה )ציר ‪ (z‬עבור‪:‬‬
‫‪λ(θ) = λ0 (1‬‬
‫‪λ(θ) = λ0 sin θ (2‬‬
‫)ב( במקרה של צפיפות מטען אחידה‪ ,‬הראו כי במרחק רב )‪ (z >> R‬מתקבל שדה של מטען נקודתי!‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪zˆ (1‬‬
‫‪2πkλ0 Rz‬‬
‫‪(R2 + z 2 )3/2‬‬
‫= )‪~ 0, z‬‬
‫‪yˆ (2 E(0,‬‬
‫‪πkλ0 R2‬‬
‫‪z 2 )3/2‬‬
‫‪(R2 +‬‬
‫‪~ 0, z) = −‬‬
‫‪E(0,‬‬
‫‪1.3.8‬‬
‫נתונה דיסקה מעגלית שרדיוסה ‪ R‬הטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה ‪.σ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪R‬‬
‫‪x‬‬
‫)א( חשבו את השדה החשמלי שיוצרת הדיסקה לאורך הציר האנכי מרכזי שלה )ציר ‪!(z‬‬
‫)ב( הראו כי במרחק רב )‪ (z >> R‬מתקבל שדה של מטען נקודתי!‬
‫)ג( בעזרת הפתרון לסעיף )א(‪ ,‬חשבו את השדה החשמלי שיוצר מישור אינסופי )הטעון בצפיפות משטחית אחידה(‬
‫בכל מקום במרחב‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ˆ‪z‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫√‪−‬‬
‫|‪|z‬‬
‫‪R2 + z 2‬‬
‫חיובי מתאר דחייה(‪.‬‬
‫‬
‫‪σ‬‬
‫‪~ 0, z) = 2πkσz‬‬
‫‪) E(0,‬ג(‬
‫‪2ε0‬‬
‫= ‪ E = 2πkσ‬בכיוון מאונך למישור בכל נקודה )סימן‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪11‬‬
‫‪1.3.9‬‬
‫נתון גליל מלא שרדיוסו ‪ R‬וגובהו ‪ H‬הטעון בצפיפות מטען נפחית אחידה ‪.ρ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪R‬‬
‫‪H‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫חשבו את השדה החשמלי שיוצר הגליל לאורך הציר האנכי מרכזי שלו )ציר ‪!(z‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‬
‫‪p‬‬
‫√‬
‫ˆ‪R2 + (z − H)2 − R2 + z 2 z‬‬
‫‬
‫‪~ 0, z) = 2πkρ 2z − H +‬‬
‫‪E(0,‬‬
‫‪1.3.10‬‬
‫חשבו את השדה החשמלי במרכזה של קליפה חצי כדורית הטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה ‪.σ‬‬
‫‪σ‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪4ε0‬‬
‫= ‪E = πkσ‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪12‬‬
‫פרק ‪2‬‬
‫חוק גאוס‬
‫‪ 2.1‬שטף חשמלי‬
‫‪2.1.1‬‬
‫חשבו ישירות מההגדרה את השטף החשמלי של שדה חשמלי אחיד ~‪ E‬דרך מנסרה משולשת )חתך שהוא משולש‬
‫שווה שוקיים בעל אורך שוק ‪ a‬ואורך בסיס ‪ .b‬עומקה של המנסרה ‪ .(c‬השדה מאונך לבסיס‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫~‬
‫‪E‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪φE = 0‬‬
‫‪13‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2.1.2‬‬
‫נתון קוואדרופול חשמלי )מערך של שני דיפולים חשמליים( כמשורטט‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪−q‬‬
‫‪−q‬‬
‫‪q‬‬
‫חשבו בעזרת חוק גאוס מהו השטף החשמלי דרך כל אחד מהמשטחים הצבעוניים‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪2q‬‬
‫= )אפורה( ‪; φE‬‬
‫‪) = −‬ירוקה( ‪) = 0 ; φE‬אדומה( ‪; φE‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫= )כחולה( ‪φE‬‬
‫‪2.1.3‬‬
‫נתון מלבן שנמצא על מישור ‪ x − y‬בעל צלעות ‪) a = 1 m‬לאורך ציר ‪ (x‬ו־‪) b = 2 m‬לאורך ציר ‪ .(y‬המלבן נמצא‬
‫ברביע הראשון כך שקצה אחד שלו בראשית‪ .‬כמו כן נתון כי בכל המרחב קיים שדה חשמלי‪:‬‬
‫‪~ = (3x2 y, 3xy 2, x2 y + y 2z + z 2 x) N‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪z‬‬
‫‪b‬‬
‫‪y‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫)א( מהו השטף של השדה החשמלי דרך המלבן?‬
‫)ב( מהו השטף דרך המלבן אם נתון כי מרימים את המלבן ‪ 2‬מטרים כך שהוא נמצא על המישור ‪?z = 2 m‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪a3 b2 2 3‬‬
‫‪N · m2‬‬
‫‪a3 b2‬‬
‫‪2 N · m2‬‬
‫‪+ ab + 2a2 b = 10‬‬
‫= ‪) φE‬ב(‬
‫=‬
‫)א(‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪C‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪C‬‬
‫= ‪φE‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪14‬‬
‫‪2.1.4‬‬
‫מטען נקודתי ‪ q‬נמצא בגובה ‪ h‬מעל מרכזה של דיסקה שרדיוסה ‪.R‬‬
‫‪q‬‬
‫‪h‬‬
‫‪R‬‬
‫)א( מהו השטף החשמלי דרך הדיסקה?‬
‫)ב( השתמשו בפתרון ל־)א( כדי לחשב את השטף החשמלי דרך מישור אינסופי‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪q‬‬
‫‪h‬‬
‫= ‪φE = 2πkq‬‬
‫‪) φE = 2πkq 1 − √ 2‬ב(‬
‫)א(‬
‫‪2ε0‬‬
‫‪R + h2‬‬
‫‪2.1.5‬‬
‫חשבו את שטף השדה החשמלי שיוצר המטען הנקודתי דרך הצורות בשרטוטים הבאים‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪q‬‬
‫‪a‬‬
‫‪q‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪2a‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫= ‪ ; φE‬משמאל‬
‫שורה ראשונה‪ :‬מימין‬
‫‪8ε0‬‬
‫‪2ε0‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫= ‪ ; φE‬משמאל‬
‫שורה שניה‪ :‬מימין‬
‫= ‪φE‬‬
‫‪4ε0‬‬
‫‪6ε0‬‬
‫= ‪φE‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪15‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2.1.6‬‬
‫מוט דק שאורכו ‪ h‬טעון בצפיפות מטען קווית אחידה ‪ .λ‬המוט שוכב לאורך הציר האנכי־מרכזי של דיסקה שרדיוסה‬
‫‪ R‬כך שקצהו התחתון נמצא בגובה ‪ h‬מעל מרכזה של הדיסקה‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪h‬‬
‫‪R‬‬
‫מהו השטף החשמלי דרך הדיסקה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫√‬
‫√‬
‫‪φE = 2πkλ h − R2 + 4h2 + R2 + h2‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪16‬‬
‫‪ 2.2‬חוק גאוס )האינטגרלי(‬
‫‪2.2.1‬‬
‫חשבו את השדה החשמלי שיוצר מטען נקודתי ‪ Q‬בעזרת חוק גאוס‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪r2‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪2.2.2‬‬
‫נתון כדור מלא בעל רדיוס ‪ .R‬חשבו את השדה החשמלי שיוצר הכדור בכל מקום במרחב‪ ,‬בעזרת חוק גאוס‪ ,‬אם‬
‫נתון כי צפיפות המטען הנפחית בכדור היא‪:‬‬
‫)א( קבועה ‪ρ(r) = ρ0‬‬
‫‪r2‬‬
‫)ב( תלויה במרחק מהמרכז ‪:r‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪ρ(r) = ρ0‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪r≤R‬‬
‫‪r≥R‬‬
‫‪2.2.3‬‬
‫‪ ρr‬‬
‫‪‬‬
‫‪r≤R‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪) E(r) = 3ε‬ב(‬
‫‪ρR3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r≥R‬‬
‫‪3ε0 r 2‬‬
‫‪ρ0 3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪5ε0 R2‬‬
‫= )‪E(r‬‬
‫‪ρ R3 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0‬‬
‫·‬
‫‪5ε0 r 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתונה קליפה כדורית בעלת רדיוס ‪ R‬הטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה ‪.σ‬‬
‫)א( חשבו את השדה החשמלי שיוצרת הקליפה בכל מקום במרחב‪ ,‬בעזרת חוק גאוס‪.‬‬
‫)ב( הראו כי הקפיצה בשדה החשמלי במעבר דרך צפיפות מטען משטחית ‪ σ‬שווה ל־‬
‫‪σ‬‬
‫‪ε0‬‬
‫= ‪∆E‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪r<R‬‬
‫)א(‬
‫=‪E‬‬
‫‪σR2‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫>‬
‫‪R‬‬
‫‪ε0 r 2‬‬
‫‪2.2.4‬‬
‫קליפה כדורית עבה‪ ,‬בעלת רדיוסים פנימי ‪ a‬וחיצוני ‪ b‬טעונה בצפיפות מטען נפחית‬
‫נמצא מטען נקודתי ‪.Q‬‬
‫)א( מה צריך להיות הקבוע ‪ A‬כדי שהשדה החשמלי בכל מקום בתחום ‪ a ≤ r ≤ b‬יהיה קבוע?‬
‫)ב( עבור הקבוע שמצאתם ב־)א(‪ ,‬מצאו את השדה החשמלי בכל מקום במרחב‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪r‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪17‬‬
‫= )‪ .ρ(r‬במרכז המערכת‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪r≤a‬‬
‫)א( ‪) A = Q‬ב( ‪a ≤ r ≤ b‬‬
‫‪πa2‬‬
‫‪r≥a‬‬
‫‪2.2.5‬‬
‫‪‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4πε0r 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Q‬‬
‫= )‪E(r‬‬
‫‪4πε0a2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Q 2 a2 − 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4πε0 r 2‬‬
‫נתונה קליפה כדורית בעלת עובי‪ ,‬שרדיוסה הפנימי ‪ R‬והחיצוני ‪ .2R‬הקליפה טעונה בצפיפות מטען נפחית‬
‫‪ .ρ(r) = ρ0 Rr‬במרחק ‪ 3R‬ממרכז הקליפה נמצא קצהו השמאלי של מוט דק שאורכו ‪ 2R‬הטעון צפיפות מטען‬
‫‪.λ(r) = λ0 r‬‬
‫)‪ρ(r‬‬
‫)‪λ(r‬‬
‫ˆ‪r‬‬
‫‪2R‬‬
‫)א( מהו השדה החשמלי בכל מקום לאורך הציר הרדיאלי ˆ‪ r‬בתחום ‪?0 < r < 3R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫)ב( מהו הכח שמפעיל הכדור על המוט?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‬
‫‪r − 5R‬‬
‫‪2Rr‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪−kλ0 · ln‬‬
‫‪+‬‬
‫ˆ‪r‬‬
‫‪r≤R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r − 3R‬‬
‫)‪(r − 5R)(r − 3R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2Rr‬‬
‫‪‬‬
‫‪r − 5R‬‬
‫) ‪ρ0 R(r 2 − R2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪+‬‬
‫ˆ‪r‬‬
‫‪R ≤ r ≤ 2R‬‬
‫‪− kλ0 · ln‬‬
‫‪‬‬
‫‪2ε0 r 2‬‬
‫‪r − 3R‬‬
‫)‪(r − 5R)(r − 3R‬‬
‫~‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫= )‪E(r‬‬
‫)א(‬
‫‪‬‬
‫‪2Rr‬‬
‫‪r − 5R‬‬
‫‪3ρ0 R3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪+‬‬
‫ˆ‪r‬‬
‫‪2R ≤ r < 3R‬‬
‫‪− kλ0 · ln‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2ε0 r 2‬‬
‫‪r − 3R‬‬
‫)‪(r − 5R)(r − 3R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪3ρ‬‬
‫‪2Rr‬‬
‫‪r‬‬
‫‪−‬‬
‫‪5R‬‬
‫‪0R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪+‬‬
‫ˆ‪r‬‬
‫‪r > 5R‬‬
‫‪+ kλ0 · ln‬‬
‫‪‬‬
‫‪2ε0 r 2‬‬
‫‪r − 3R‬‬
‫)‪(r − 5R)(r − 3R‬‬
‫ ‬
‫‪ρ0 λ0 R3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫~‬
‫·‬
‫)ב( ˆ‪r‬‬
‫‪F = ln‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ε0‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪18‬‬
‫‪2.2.6‬‬
‫נתון כדור מלא בעל רדיוס ‪ R‬הטעון בצפיפות מטען נפחית אחידה ‪ .ρ‬יוצרים בכדור חלל כדורי בעל בעל רדיוס ‪r‬‬
‫כך שמרכזו נמצא בוקטור מיקום ‪ ~a‬ביחס למרכז הכדור‪ .‬נתון ‪.R > r + a‬‬
‫‪R‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫מהו השדה החשמלי בכל נקודה בחלל הכדורי?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪~ = ρ~a‬‬
‫‪E‬‬
‫‪3ε0‬‬
‫‪2.2.7‬‬
‫נתון מוט דק אינסופי טעון בצפיפות מטען קווית אחידה ‪.λ‬‬
‫‪λ‬‬
‫חשבו את השדה החשמלי שיוצר המוט בכל נקודה במרחב‪ ,‬בעזרת חוק גאוס‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2kλ‬‬
‫‪λ‬‬
‫=‬
‫‪2πε0 r‬‬
‫‪r‬‬
‫= )‪E(r‬‬
‫‪2.2.8‬‬
‫נתון גליל אינסופי בעל רדיוס ‪ R‬הטעון בצפיפות מטען נפחית‬
‫‬
‫‪2πr‬‬
‫‪R‬‬
‫‬
‫‪ρ0 R‬‬
‫= )‪ρ(r‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪r‬‬
‫לחלק החיצוני של הגליל צמודה קליפה גלילית אינסופית הטעונה בצפיפות מטען אחידה ‪.σ‬‬
‫מצאו את השדה החשמלי בכל מקום במרחב‪ ,‬כתלות במרחק האנכי מציר הגליל )‪ ,r‬הרדיוס הגלילי(‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪19‬‬
‫‪R‬‬
‫‪σ‬‬
‫)‪ρ(r‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪r<R‬‬
‫‬
‫‪r>R‬‬
‫‪2.2.9‬‬
‫‪2πr‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪ρ0 R2 · 1 − cos‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2πε0 r‬‬
‫= )‪E(r‬‬
‫‪σR‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ε0 r‬‬
‫שני לוחות אינסופיים מקבילים טעונים בצפיפויות מטען ‪ +σ‬ו־ ‪ .−σ‬המרחק בין הלוחות הוא ‪.d‬‬
‫)א( מהו השדה החשמלי בכל נקודה במרחב?‬
‫)ב( ממלאים את המרחב שבין הלוחות בחומר בעל צפיפות מטען נפחית אחידה ‪ .ρ‬מהו השדה החשמלי בכל נקודה‬
‫במרחב במצב החדש?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫< |‪|z‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫> |‪|z‬‬
‫‪‬‬
‫‪ σ‬‬
‫‪ E(z) = ε0‬כאשר ‪ z‬המרחק האנכי מהמרכז‪) .‬ב(‬
‫‪ 0‬‬
‫‪z < − d2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫<‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪− d2 z‬‬
‫>‪z‬‬
‫‪ z‬המרחק האנכי מהמרכז‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ρd‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪−‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2ε‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ρz 0 σ‬‬
‫‪ E(z) = ε − ε‬כאשר‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ρd‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2ε0‬‬
‫‪2.2.10‬‬
‫לוח אינסופי בעל עובי ‪ d = 8 cm‬טעון בצפיפות מטען נפחית‬
‫הלוח )כלומר‪ ,‬ראשית הצירים ממוקמת במרכז הלוח(‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪m3‬‬
‫‪ ,ρ(z) = 5 · 10−5 z 2‬כאשר ‪ z‬המרחק האנכי ממרכז‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪20‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫)א( מהו השדה החשמלי בכל נקודה המרחב?‬
‫)ב( מוט דק בעל אורך ‪ L = d‬מונח לאורך ציר ‪ z‬כשקצהו התחתון בראשית‪ .‬המוט טעון באופן אחיד במטען כולל‬
‫‪ .Q‬מהו הכח שמרגיש המוט?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫)א(‬
‫‪C‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫≤ |‪|z‬‬
‫≥ |‪|z‬‬
‫‪1884955.6 · z 3‬‬
‫‪120.6‬‬
‫(‬
‫= )‪) E(z‬ב( ‪ F = Q · 75.4 N‬בכיוון דחייה מהלוח‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪21‬‬
‫‪ 2.3‬חוק גאוס )הדיפרנציאלי(‬
‫‪2.3.1‬‬
‫נתון במרחב שדה חשמלי רדיאלי בעל סימטריה כדורית‪:‬‬
‫‪α‬‬
‫~‬
‫)‪E(r‬‬
‫ˆ‪= r‬‬
‫‪r‬‬
‫מצאו את התפלגות המטען )‪ ρ(r‬שיוצרת את השדה‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪ε0 α‬‬
‫‪r2‬‬
‫= )‪ρ(r‬‬
‫‪2.3.2‬‬
‫שדה אלקטרוסטטי ~‪ E‬מקיים‪:‬‬
‫‪r<R‬‬
‫ˆ‪E0 r‬‬
‫‪r>R‬‬
‫‪0‬‬
‫(‬
‫= ~‬
‫‪E‬‬
‫כאשר ‪ r‬הוא המרחק מהראשית )קואורדינטות כדוריות( ו־ ‪ E0‬ו־ ‪ R‬קבועים חיוביים‪.‬‬
‫)א( האם יש מטענים נקודתיים במרחב? אם לא ־ נמקו! אם כן־ מהו גודלם והיכן הם נמצאים?‬
‫)ב( האם יש צפיפות מטען משטחית ‪ σ‬במרחב? אם לא ־ נמקו! אם כן ־ מהי ומהו מיקומה?‬
‫)ג( האם יש צפיפות מטען נפחית ‪ ρ‬במרחב? אם לא ־ נמקו! אם כן ־ מהי ומהו מיקומה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)א( לא! נוכחות מטען נקודתי יוצרת שדה חשמלי שתלוי במרחב באופן‬
‫‪r2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2ε0E0‬‬
‫‪r<R‬‬
‫= )‪ρ(r‬‬
‫)ב( ‪) σ = −ε0 E0‬ג(‬
‫‪r‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪r>R‬‬
‫∝ ‪.E‬‬
‫‪2.3.3‬‬
‫נתון שדה חשמלי בכל המרחב בעל סימטריה כדורית‪:‬‬
‫‪r<R‬‬
‫‪R < r ≤ 2R‬‬
‫‪r ≥ 2R‬‬
‫‪‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪4πε‬‬
‫‪r‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‪ Q r 4‬‬
‫~‬
‫ˆ‪− 1 r‬‬
‫= )‪E(r‬‬
‫‪‬‬
‫‪4ε0 r 2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪ 15Q r‬‬
‫‪4ε0 r 2‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪22‬‬
‫כאשר ‪ Q‬קבוע בעל יחידות של מטען‪ ,‬ו־ ‪ R‬קבוע בעל יחידות של מרחק‪.‬‬
‫איזה מערך מטענים יוצר שדה זה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪Qr‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ σ = −‬ברדיוס ‪ R‬וצפיפות מטען נפחית‬
‫מטען נקודתי ‪ Q‬במרכז )‪ ,(r = 0‬צפיפות מטען משטחית‬
‫‪4‬‬
‫‪R‬‬
‫‪4πR2‬‬
‫בתחום ‪.R < r ≤ 2R‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪23‬‬
‫= )‪ρ(r‬‬
‫פרק ‪3‬‬
‫אנרגיה ופוטנציאל חשמליים‬
‫‪ 3.1‬אנרגיה פוטנציאלית חשמלית ופוטנציאל חשמלי‬
‫‪3.1.1‬‬
‫חשבו את האנרגיה האלקטרוסטטית של מערך של זוג מטענים ‪ q1‬ו־ ‪ q2‬שנמצאים במרחק ‪ r‬זה מזה‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪kq1 q2‬‬
‫‪r‬‬
‫=‪U‬‬
‫‪3.1.2‬‬
‫ארבעה מטענים מסודרים בארבע פינותיו של ריבוע שצלעו ‪ ,a‬כמשורטט‪ .‬המטענים מוחזקים במקומם ואינם יכולים‬
‫לנוע‪.‬‬
‫‪−q‬‬
‫‪2q‬‬
‫‪v‬‬
‫‪a‬‬
‫‪q‬‬
‫‪−q‬‬
‫‪a‬‬
‫)א( חשבו את האנרגיה האלקטרוסטטית של המערך )כלומר את העבודה שיש להשקיע כדי לבנות אותו(‪.‬‬
‫)ב( המטען ‪ 2q‬משוחרר ויכול לנוע במרחב‪ .‬ברגע מסוים הוא מגיע למרכז הריבוע‪ .‬מהי מהירותו שם‪ ,v ,‬אם נתון‬
‫כי מסתו היא ‪?m‬‬
‫‪24‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪kq 2‬‬
‫)א(‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫‪kq 2‬‬
‫‪) U = −3.88‬ב(‬
‫‪ma‬‬
‫‪r‬‬
‫‪v = 0.7‬‬
‫‪3.1.3‬‬
‫זוג מטענים זהים ‪ q‬המרוחקים זה מזה מרחק ‪ d‬נמצא על ציר ה־‪ x‬כמשורטט‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫)א( חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצר זוג המטענים בכל נקודה במרחב‪ ,‬ביחס לאינסוף‪.‬‬
‫)ב( הראו כי במרחק רב מתקבל פוטנציאל של מטען נקודתי!‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫)א( ‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪+ xd +‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪+q‬‬
‫‪1‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪− xd +‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ϕ(~r) = kq  q‬‬
‫‪3.1.4‬‬
‫דיפול חשמלי נמצא על ציר ה־‪ x‬כמשורטט‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫)א( חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצר הדיפול בכל נקודה במרחב‪ ,‬ביחס לאינסוף‪.‬‬
‫)ב( מהו הפוטנציאל במרחק רב מהדיפול?‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪q‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−q‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫)א( ‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪+ xd +‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪−q‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪kqxd‬‬
‫‪) ϕ(~r) = kq  q‬ב(‬
‫‪3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r 2 − xd +‬‬
‫= )‪ϕ(r ≫ d‬‬
‫‪3.1.5‬‬
‫בשמונת קודקודי קוביה שצלעה ‪ a‬נמצאים שמונה מטענים זהים בגודלם ‪ ,q‬אך סימנם של כל זוג שכנים קרובים הוא‬
‫הפוך‪.‬‬
‫)א( מהי האנרגיה האלקטרוסטטית של המערך?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪25‬‬
‫)ב( מהו הפוטנציאל החשמלי במרכז הקוביה‪ ,‬ביחס לאינסוף?‬
‫)ג( מהי העבודה הדרושה בהבאת מטען נקודתי ‪ Q‬מאינסוף למרכז הקוביה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪kq 2‬‬
‫)א(‬
‫‪a‬‬
‫‪) U = −5.82‬ב( ‪) = 0‬מרכז(‪) ϕ‬ג( ‪W = 0‬‬
‫‪3.1.6‬‬
‫נתונה טבעת מעגלית שרדיוסה ‪ R‬הטעונה בצפיפות מטען קווית אחידה ‪.λ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪x‬‬
‫)א( חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצרת הטבעת לאורך הציר האנכי מרכזי שלה )ציר ‪ ,(z‬ביחס לאינסוף‪.‬‬
‫)ב( הראו כי במרחק רב )‪ (z ≫ R‬מתקבל פוטנציאל של מטען נקודתי!‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2πkλR‬‬
‫√ = )‪ϕ(0, 0, z‬‬
‫)א(‬
‫‪R2 + z 2‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪26‬‬
‫‪3.1.7‬‬
‫נתונה דיסקה מעגלית שרדיוסה ‪ R‬הטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה ‪.σ‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪R‬‬
‫‪x‬‬
‫)א( חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצרת הדיסקה לאורך הציר האנכי מרכזי שלה )ציר ‪ ,(z‬ביחס לאינסוף‪.‬‬
‫)ב( הראו כי במרחק רב )‪ (z ≫ R‬מתקבל פוטנציאל של מטען נקודתי!‬
‫)ג( נתון‪ R = 20 cm :‬ו־ ‪ .σ = 3 · 10−8 mC2‬מטען נקודתי ‪ q = −10 µC‬שמסתו ‪ m = 2 gr‬נעזב ממנוחה בגובה‬
‫‪ z = 30 cm‬מעל מרכז הדיסקה‪ .‬באיזו מהירות הוא יפגע בדיסקה? )הזניחו גרביטציה(‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‬
‫)א( |‪− |z‬‬
‫‪z2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪R2‬‬
‫√‬
‫‪m‬‬
‫· ‪) ϕ(0, 0, z) = 2πkσ‬ג(‬
‫‪v = 1.54‬‬
‫‪s‬‬
‫‪3.1.8‬‬
‫מוט דק בעל אורך ‪ L‬שוכב לאורך ציר ‪ x‬כשמרכזו בראשית‪ .‬המוט טעון באופן אחיד במטען כולל ‪.Q‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪(0, y, 0‬‬
‫‪x‬‬
‫חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצר המוט בנקודה )‪ ,(0, y, 0‬ביחס לאינסוף‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫√‬
‫‪dx‬‬
‫ניתן להשתמש באינטגרל‪= ln x + x2 + a2 :‬‬
‫‪x2 + a2‬‬
‫√‬
‫‪Z‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪+ y2‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪+‬‬
‫‬
‫‪L 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪L 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2‬‬
‫‪− L2‬‬
‫‪‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪· ln ‬‬
‫‪L‬‬
‫= )‪ϕ(0, y, 0‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪27‬‬
‫‪L‬‬
‫‪3.1.9‬‬
‫חשבו את הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב שיוצר כדור מלא שרדיוסו ‪ R‬הטעון בצפיפות מטען נפחית‪:‬‬
‫)א( אחידה ‪ ,ρ‬בשני מקרים‪:‬‬
‫‪ (1‬ביחס לאינסוף )כלומר ‪.(ϕ(∞) = 0‬‬
‫)כלומר ‪.(ϕ(R) = 0‬‬
‫‪ (2‬ביחס לשפת‬
‫הכדור ‬
‫‪r‬‬
‫)ב( תלויה ברדיוס‬
‫‪ ,ρ(r) = ρ0 · 1 +‬בשני המקרים הנתונים ב־)א(‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪r≤R‬‬
‫)א( ‪(1‬‬
‫‪r≥R‬‬
‫)ב( ‪(1‬‬
‫‪r≤R‬‬
‫‪r≥R‬‬
‫‪3.1.10‬‬
‫‪‬‬
‫‪ρR2 ρr 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪−‬‬
‫‪‬‬
‫‪2ε0‬‬
‫‪6ε0‬‬
‫= )‪(2 ϕ(r‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ρR‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3ε0 r‬‬
‫‬
‫‪ 2‬‬
‫‪5ρ0 R2‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪r3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪−‬‬
‫·‬
‫‪+‬‬
‫‪6ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪6‬‬
‫‪12R‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7ρ0 R‬‬
‫‪12ε0 r‬‬
‫‪‬‬
‫‪ρR2 ρr 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪−‬‬
‫‪r≤R‬‬
‫‪‬‬
‫‪6ε0‬‬
‫‪6ε0‬‬
‫= )‪ϕ(r‬‬
‫‪‬‬
‫‪ρR2‬‬
‫‪ρR3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r≥R‬‬
‫‪−‬‬
‫‪3ε0 r‬‬
‫‪3ε0‬‬
‫‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ρ0 R2‬‬
‫‪ρ‬‬
‫‪r3‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r≤R‬‬
‫‪−‬‬
‫·‬
‫‪+‬‬
‫‪‬‬
‫‪4ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪6‬‬
‫‪12R‬‬
‫‬
‫‬
‫‪(2‬‬
‫)‪ϕ(r‬‬
‫=‬
‫‪‬‬
‫‪7ρ0 R2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫·‬
‫‪−1‬‬
‫‪r≥R‬‬
‫‪12ε0‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫= )‪ϕ(r‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כדור מוליך בעל רדיוס ‪ R‬טעון באופן אחיד במטען כולל ‪.Q‬‬
‫)א( חשבו את הפוטנציאל החשמלי שיוצר המוליך בכל המרחב‪.‬‬
‫)ב( יוצרים בכדור חלל כדורי קונצנטרי )שמרכזו במרכז הכדור( בעל רדיוס ‪ .0.3R‬חשבו מחדש את הפוטנציאל‬
‫החשמלי בכל המרחב‪.‬‬
‫)ג( במצב של )ב(‪ ,‬חשבו מחדש את הפוטנציאל החשמלי בכל המרחב אם נתון כי במרכז נמצא מטען נקודתי ‪.−Q‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪r≤R‬‬
‫‪r≤R‬‬
‫לאינסוף!‬
‫‪‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r ≤ 0.3R‬‬
‫‪R‬‬
‫= )‪ ϕ(r‬ביחס לאינסוף! )ב( זהה ל־)א(‪) .‬ג(‬
‫‪kQ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r ≤ 0.3R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪ kQ − kQ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ ϕ(r) = 0.3R‬ביחס‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3.1.11‬‬
‫שתי קליפות מוליכות עבות בעלות מרכז משותף נמצאות אחת בתוך השניה‪ .‬לקליפה הפנימית רדיוס פנימי ‪R1‬‬
‫וחיצוני ‪ .R2‬לקליפה החיצונית רדיוס פנימי ‪ R3‬ורדיוס חיצוני ‪ .R4‬נתון כי הקליפה הפנימית נייטרלית‪ ,‬והחיצונית‬
‫טעונה במטען כולל ‪ .Q‬כמו כן‪ ,‬במרכז המערכת נמצא מטען נקודתי ‪.Q‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪28‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪R4‬‬
‫‪R3‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫)א( מצאו את צפיפויות המטענים על דפנות המוליכים‪.‬‬
‫)ב( מהו השדה החשמלי בכל מקום?‬
‫)ג( מהו הפוטנציאל החשמלי בכל מקום‪ ,‬ביחס לאינסוף?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪r < R1‬‬
‫‪R1 < r < R2‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫= ‪; σ2‬‬
‫‪; σ3 = −‬‬
‫= ‪; σ4‬‬
‫)א(‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4πR1‬‬
‫‪4πR2‬‬
‫‪4πR3‬‬
‫‪2πR42‬‬
‫‪) σ1 = −‬ב( ‪R3 < r < R2‬‬
‫‪R3 < r < R4‬‬
‫‪r > R4‬‬
‫‪r ≤ R1‬‬
‫‪R1 ≤ r ≤ R2‬‬
‫)ג( ‪R2 ≤ r ≤ R3‬‬
‫‪R3 ≤ r ≤ R4‬‬
‫‪r ≥ R4‬‬
‫‪3.1.12‬‬
‫‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r R1 R2 R3 R4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪R2 R3 R4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫= )‪ϕ(r‬‬
‫‪+‬‬
‫‪−‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r R3 R4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2kQ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪R4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2kQ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4πε0 r 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Q‬‬
‫= )‪E(r‬‬
‫‪‬‬
‫‪4πε0 r 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2πε0 r 2‬‬
‫שני כדורים מוליכים‪ ,‬האחד בעל רדיוס ‪ R1 = R‬והשני בעל רדיוס ‪ R2 = 2R‬נמצאים במרחק רב זה מזה )כך שאינם‬
‫משפיעים זה על זה(‪ .‬כל אחד מהכדורים טעון במטען ‪ .q‬מחברים את הכדורים בעזרת חוט מוליך דק‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪29‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R1‬‬
‫מהו המטען על כל אחד מהכדורים לאחר זמן רב?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪q1 = q ; q2 = q‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3.1.13‬‬
‫כדור מוליך בעל רדיוס ‪ R1 = 0.1 m‬טעון במטען כולל ‪ .Q = 100 nC‬מסביב לכדור ישנה קליפה כדורית מוליכה‬
‫קונצנטרית בעלת רדיוס ‪ .R2 = 0.15 m‬נתון כי הקליפה מוארקת‪.‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫)א( מצאו את התפלגויות המטענים בכל המרחב‪.‬‬
‫)ב( מצאו את השדה החשמלי בכל נקודה במרחב‪.‬‬
‫)ג( מצאו את הפוטנציאל החשמלי בכל נקודה במרחב‪.‬‬
‫)ד( משחררים ממנוחה מטען נקודתי ‪ q = −1 nC‬שמסתו ‪kg‬‬
‫באיזו מהירות הוא יפגע בכדור המוליך?‬
‫‪ m = 3.2 · 10−6‬בצמוד לחלק הפנימי של הקליפה‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪.−Q = −100‬‬
‫)א( על שפת הכדור המוליך מטען‬
‫‪ Q = 100 nC ‬ועל הקליפה המוליכה מטען ‪ nC‬‬
‫‪r < R1‬‬
‫‪N‬‬
‫)ב(‬
‫‪C‬‬
‫‪R1 < r < R2‬‬
‫‪r > R2‬‬
‫‪3.1.14‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪900‬‬
‫= )‪) E(r‬ג( ‪V‬‬
‫‪‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪r < R1‬‬
‫‪R1 < r < R2‬‬
‫‪r > R2‬‬
‫‪‬‬
‫‪3000‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪900‬‬
‫= )‪) ϕ(r‬ד(‬
‫‪− 6000‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪m‬‬
‫‪s‬‬
‫‪v = 1.37‬‬
‫במערכת כדורית קונצנטרית‪ ,‬מטען נקודתי ‪ Q‬נמצא במרכז‪ .‬מסביבו ישנה קליפה כדורית עבה ומוליכה בעלת‬
‫רדיוסים פנימי ‪ a‬וחיצוני ‪ .b‬הקליפה העבה מוארקת‪ .‬מסביב לקליפה העבה ישנה קליפה דקה בעלת רדיוס ‪ c‬הטעונה‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪30‬‬
‫באופן אחיד בצפיפות מטען משטחית ‪.σ‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫)א( מהן צפיפויות המטען על הדפנות הפנימית והחיצונית של הקליפה המוליכה העבה?‬
‫)ב( מהו הפוטנציאל החשמלי בכל נקודה במרחב?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪r6a‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪) σa = − 4πa‬ב( ‪V‬‬
‫)א( ‪2 ; σb = −σc‬‬
‫‪a6r6b‬‬
‫‪b6r6c‬‬
‫‪r>c‬‬
‫‪3.1.15‬‬
‫‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪−‬‬
‫‪kQ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‬
‫‬
‫= )‪ϕ(r‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4πkσc 1 −‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ 4πkσc (c − b‬‬
‫‪r‬‬
‫חשבו את האנרגיה האלקטרוסטטית של כדור בעל רדיוס ‪ R‬הטעון בצפיפות מטען אחידה ‪.ρ‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪4πρ2 R5‬‬
‫‪15ε0‬‬
‫=‪U‬‬
‫‪3.1.16‬‬
‫גליל אינסופי מבודד שרדיוסו ‪ R1 = R‬טעון בצפיפות מטען נפחית ‪ ρ(r) = Ar‬כאשר ‪ r‬המרחק האנכי מציר הגליל‪.‬‬
‫הגליל מוקף בקליפה גלילית מוליכה קואקסיאלית )בעלות ציר משותף( שרדיוסה ‪ .R2 = 1.5R‬נתון כי הקליפה‬
‫נייטרלית‪ .‬נתון כי הפוטנציאל החשמלי במרחק ‪ r = 2R‬שווה לאפס )זהו ה־ ‪.(r ef‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪31‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫)א( מהו הפוטנציאל החשמלי בכל מקום במרחב )ביחס ל־ ‪?(r ef‬‬
‫)ב( מאריקים את הקליפה המוליכה‪ .‬מהי צפיפות המטען עליה לאחר זמן רב?‬
‫)ג( מהי האנרגיה החשמלית של המערכת ליחידת אורך במצב של סעיף )ב(?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪r6R‬‬
‫)א(‬
‫‪r>R‬‬
‫‪3.1.17‬‬
‫‪‬‬
‫‪Ar 3‬‬
‫‪AR3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪− 0.11‬‬
‫‪0.12‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 6‬‬
‫‪AR‬‬
‫‪πA R‬‬
‫‪U‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪ε0‬‬
‫‪) σ = −‬ג(‬
‫· ‪= 0.572‬‬
‫= )‪) ϕ(r‬ב(‬
‫‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪L‬‬
‫‪9ε0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪AR‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪ −‬‬
‫‪ln‬‬
‫‪3ε0‬‬
‫‪2R‬‬
‫שדה אלקטרוסטטי ~‪ E‬מקיים‪:‬‬
‫‪r<R‬‬
‫‪r>R‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪ E0 r‬‬
‫~‬
‫=‪E‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ 0‬‬
‫כאשר ‪ r‬הוא המרחק מהראשית )קואורדינטות כדוריות( ו־ ‪ E0‬ו־ ‪ R‬קבועים חיוביים‪.‬‬
‫)א( מהו מערך המטענים שנמצא במרחב?‬
‫)ב( מהו הפוטנציאל החשמלי בכל נקודה במרחב?‬
‫)ג( מהי האנרגיה האלקטרוסטטית של המערכת?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪ε0 E0‬‬
‫‪ε E‬‬
‫)א( צפיפות מטען נפחית ‪ ρ(r) = 0 2 0‬בתחום ‪ r < R‬וכן צפיפות מטען משטחית‬
‫‪r‬‬
‫‪ r‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪r<R‬‬
‫‪r‬‬
‫)ב(‬
‫= )‪) ϕ(r‬ג( ‪U = 2πε0E0 R‬‬
‫‪ −E0 ln‬‬
‫‪r>R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪3.1.18‬‬
‫נתון פוטנציאל חשמלי בקואורדינטות כדוריות‪:‬‬
‫‪A cos θ‬‬
‫‪r2‬‬
‫= )‪ϕ(r, θ‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪32‬‬
‫‪ σ = −‬ברדיוס ‪.r = R‬‬
‫כאשר ‪ A‬קבוע כלשהו‪ θ ,‬הזווית ביחס לציר ‪ z‬ו־‪ r‬המרחק מהראשית‪.‬‬
‫)א( מהו השדה החשמלי בכל מקום במרחב?‬
‫)ב( מהי התפלגות המטענים בכל נקודה במרחב?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪A sin θ‬‬
‫‪2A cos θ‬‬
‫· ˆ‪~ θ, φ) = r‬‬
‫‪) E(r,‬ב( דיפול חשמלי שנמצא על ציר ‪ .z‬את הפוטנציאל הנתון יוצר דיפול‬
‫· ˆ‪+ θ‬‬
‫)א(‬
‫‪r3‬‬
‫‪r3‬‬
‫חשמלי כאשר המרחק בין המטענים הוא קטן מאד יחסית ל־ ‪.r‬‬
‫‪3.1.19‬‬
‫נתון גליל מלא אינסופי בעל רדיוס ‪ R‬שצפיפות המטען עליו )‪ ρ(r‬לא ידועה‪ ,‬כאשר ‪ r‬הוא המרחק מציר הגליל‪.‬‬
‫נתון כי הפוטנציאל החשמלי ביחס לשפת הגליל הוא‪:‬‬
‫‪r≤R‬‬
‫‪r≥R‬‬
‫כאשר ‪ ϕ0‬הוא פוטנציאל כלשהו‪.‬‬
‫)א( מהו הקבוע ‪?C‬‬
‫)ב( מהו השדה החשמלי בכל מקום?‬
‫)ג( מהי צפיפות המטען‪ ,ρ(r) ,‬בכל מקום במרחב?‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ − ϕ0 r + C‬‬
‫‪R2‬‬
‫= )‪ϕ(r‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ϕ0 ln r‬‬
‫‪R‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) C = ϕ0‬ב(‬
‫‪r<R‬‬
‫‪r>R‬‬
‫‪3.1.20‬‬
‫‪‬‬
‫‪2ϕ r‬‬
‫‪‬‬
‫‪ − 0‬‬
‫‪r<R‬‬
‫‪R2‬‬
‫~‬
‫)‪) E(r‬ג(‬
‫· ˆ‪= r‬‬
‫‪ϕ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r>R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪ − 4ε0 ϕ0‬‬
‫‪R2‬‬
‫= )‪ρ(r‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫בקואורדינטות כדוריות נתון כי הפוטנציאל בתחום ‪ r < R‬הוא‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ϕ(r < R) = A r −‬‬
‫‪2‬‬
‫וכן שהשדה החשמלי בתחום ‪ r > R‬הוא‬
‫ˆ‪~ > R) = B r‬‬
‫‪E(r‬‬
‫‪r2‬‬
‫כאשר ‪ A‬ו־ ‪ B‬קבועים חיוביים‪.‬‬
‫)א( מהו הפוטנציאל בכל מקום?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪33‬‬
‫)ב( מהו השדה בכל מקום?‬
‫)ג( מצאו את היחס ‪. BA‬‬
‫)ד( מצאו את התפלגות המטענים במרחב‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫ ‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r<R‬‬
‫‪ A r−‬‬
‫‪r<R‬‬
‫‪2‬‬
‫)א(‬
‫= )‪) ϕ(r‬ב(‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r>R‬‬
‫‪r>R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪5ε AR‬‬
‫)ד( צפיפות מטען משטחית‬
‫‪ σ = 0‬במיקום ‪ r = R‬וכן צפיפות מטען נפחית‬
‫‪4‬‬
‫‪r>R‬‬
‫‪‬‬
‫‬
‫‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪r‬‬
‫‪ −2A r −‬‬
‫‪B‬‬
‫‪R3‬‬
‫‪2‬‬
‫~‬
‫=‬
‫)‪) E(r‬ג(‬
‫=‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‪ B r‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2ε0 (R − 3r) r < R‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪34‬‬
‫‪ 0‬‬
‫= )‪ρ(r‬‬
‫פרק ‪4‬‬
‫קיבול חשמלי והתנגדות חשמלית‬
‫‪4.1‬‬
‫קיבול וחומרים דיאלקטרים‬
‫‪4.1.1‬‬
‫חשבו ישירות ממהגדרה את הקיבול של קבל לוחות‪ .‬הניחו כי ישנם שני לוחות מוליכים‪ ,‬ששטחם ‪ A‬והמרחק‬
‫ביניהם ‪ .d‬יש להניח כי ‪ ,A ≫ d2‬כלומר ניתן להתייחס ללוחות כאל אינסופיים‪ .‬מעבירים מטען ‪ Q‬מהלוח התחתון‬
‫לעליון‪ ,‬כך שהלוח העליון טעון במטען ‪ Q‬והתחתון במטען ‪ −Q‬וכן שהמרחב בין המוליכים מלא בחומר דיאלקטרי‬
‫עם מקדם ‪.εr‬‬
‫‪d‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪ε0 εr A‬‬
‫‪d‬‬
‫=‪C‬‬
‫‪4.1.2‬‬
‫חשבו ישירות מההגדרה את הקיבול של קבל כדורי‪ .‬הניחו כי ישנן שתי קליפות כדוריות מוליכות וקונצנטריות‬
‫בעלות רדיוסים ‪ R1‬ו־ ‪ ,R2‬ומעבירים מטען ‪ Q‬מהקליפה החיצונית לפנימית‪ ,‬כך שהקליפה הפנימית טעונה במטען ‪Q‬‬
‫והחיצונית במטען ‪ −Q‬וכן שהמרחב בין המוליכים מלא בחומר דיאלקטרי עם מקדם ‪.εr‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪35‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪4πε0 εr R1 R2‬‬
‫) ‪(R2 − R1‬‬
‫=‪C‬‬
‫‪4.1.3‬‬
‫חשבו ישירות ממהגדרה את הקיבול של קבל גלילי )ליחידת אורך(‪ .‬הניחו כי ישנן שתי קליפות גליליות בעלות‬
‫רדיוסים ‪ R1‬ו־ ‪ .R2‬יש להניח כי אורך הקליפות ‪ L‬הרבה יותר גדול מהרדיוסים שלהן‪ ,‬כך שניתן להתייחס אליהן‬
‫כאל אינסופיות‪ .‬מעבירים מטען ‪ Q‬מהקליפה החיצונית לפנימית‪ ,‬כך שהקליפה הפנימית טעונה במטען ‪ Q‬והחיצונית‬
‫במטען ‪ −Q‬וכן שהמרחב בין המוליכים מלא בחומר דיאלקטרי עם מקדם ‪.εr‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪L‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2πε0εr‬‬
‫‪C‬‬
‫=‬
‫‪L‬‬
‫) ‪ln (R2 /R1‬‬
‫‪4.1.4‬‬
‫מהו הקיבול השקול של‪:‬‬
‫)א( שני קבלים המחוברים במקביל?‬
‫)ב( שני קבלים המחוברים בטור?‬
‫)ג( שלושה קבלים‪ ,‬שניים בטור והשלישי במקביל אליהם?‬
‫)ד( שלושת הקבלים הנתונים בשרטוט?‬
‫‪C1‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪C3‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪C2‬‬
‫)א(‬
‫‪C1‬‬
‫‪C3‬‬
‫)ב(‬
‫)ג(‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪36‬‬
‫)ד(‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪C1 C2 + C1 C3 + C2 C3‬‬
‫‪CC‬‬
‫)א( ‪) Ctot = C1 + C2‬ב( ‪) Ctot = 1 2‬ג(‬
‫‪C1 + C2‬‬
‫‪C1 + C2‬‬
‫= ‪) Ctot‬ד( ‪Ctot = C1 + C2 + C3‬‬
‫‪4.1.5‬‬
‫קיבולו של קבל לוחות בריק הינו ‪ .C0‬ממלאים את חציו בחומר דיאלקטרי בעל קבוע ‪ ,εr‬בשני אופנים שונים‪,‬‬
‫כמשורטט‪ .‬מהו הקיבול החדש בכל מקרה?‬
‫‪εr‬‬
‫‪εr‬‬
‫)ב(‬
‫)א(‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2εr‬‬
‫‪1 + εr‬‬
‫= ‪) Ctot‬ב( ‪C0‬‬
‫)א( ‪C0‬‬
‫‪1 + εr‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪Ctot‬‬
‫‪4.1.6‬‬
‫קבל כדורי מורכב מרדיוס פנימי ‪ a‬ורדיוס חיצוני ‪ .3a‬אל תוך הקבל מכניסים חומר דיאלקטרי בעל מקדם ‪ εr‬כך‬
‫שהוא ממלא רק את חלק מנפחו‪ ,‬בשני אופנים שונים‪ ,‬כמשורטט‪ .‬מהו הקיבול החדש בכל מקרה?‬
‫‪εr‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫)א(‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪24πε0εr a‬‬
‫)א(‬
‫‪3 + εr‬‬
‫= ‪) Ctot‬ב( ‪Ctot = 3πε0 (1 + εr )a‬‬
‫‪4.1.7‬‬
‫קבל לוחות עשוי מלוח ריבועי ששטחו ‪ ,A = L × L‬ומרחק בין הלוחות ‪.d‬‬
‫מטים את אחד הלוחות בזווית קטנה ‪.θ ≃ sin θ ≃ tan θ‬‬
‫מהו קיבול הקבל?‬
‫‪x2‬‬
‫ניתן להשתמש בקירוב‬
‫‪2‬‬
‫‪ln (1 + x) ≃ x −‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪37‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2a‬‬
‫)ב(‬
‫‪εr‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪d‬‬
‫‪L‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪L‬‬
‫‪ε0 L2‬‬
‫‪1− θ‬‬
‫=‪C‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2d‬‬
‫‪4.1.8‬‬
‫במעגל המופיע בשרטוט מחוברים שני קבלים ‪ C1‬ו־ ‪ C2‬ומקור מתח ‪.V‬‬
‫)א( כאשר המפסק ‪ S‬נמצא במצב השמאלי‪ ,‬הקבל ‪ C1‬נטען‪ .‬לאחר גמר הטעינה‪ ,‬מה יהיה המתח עליו? המטען‬
‫עליו? והאנרגיה האגורה בו?‬
‫)ב( כאשר מעבירים את המפסק למצב הימני )לאחר ש־ ‪ C1‬נטען( חלק מהמטען יעבור לקבל ‪ .C2‬לאחר גמר המעבר‪,‬‬
‫מה יהיה המתח על כל אחד מהקבלים? המטען על כל אחד מהקבלים? והאנרגיה האגורה בכל אחד מהקבלים?‬
‫‪S‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪V‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)א( ‪V1 = V ; Q1 = C1 V ; U1 = C1 V 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪C1 C2‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫= ‪V1 = V2‬‬
‫= ‪V ; Q1‬‬
‫= ‪V ; Q2‬‬
‫)ב( ‪V‬‬
‫‪C1 + C2‬‬
‫‪C1 + C2‬‬
‫‪C1 + C2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 C12 C2‬‬
‫‪C13‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪U1‬‬
‫‪V‬‬
‫;‬
‫‪U‬‬
‫‪V2‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪2 (C1 + C2 )2‬‬
‫‪2 (C1 + C2 )2‬‬
‫‪4.1.9‬‬
‫שלוש קליפות כדוריות )דקות( מוליכות וקונצנטריות בעלות רדיוסים‪:‬‬
‫‪R1 = R ; R2 = 3R ; R3 = 5R‬‬
‫מחוברות לסוללה בת מתח ‪ ,V‬באופן הבא‪:‬‬
‫הקליפה הפנימית והקליפה החיצונית מחוברת להדק החיובי של הסוללה‪ ,‬והקליפה האמצעית מחוברת להדק השלילי‪.‬‬
‫כמו כן נתון כי הקליפה החיצונית מוארקת‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪38‬‬
‫‪V‬‬
‫)א( מהם המטענים על כל אחת מהקליפות?‬
‫)ב( מהו קיבול המערכת?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪3V R‬‬
‫‪9V R‬‬
‫‪15V R‬‬
‫‪; q2 = −‬‬
‫= ‪; q3‬‬
‫)א(‬
‫‪2k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2k‬‬
‫= ‪) q1‬ב( ‪C = 36πε0 R‬‬
‫‪4.1.10‬‬
‫שני קבלי לוחות זהים‪ ,‬בעלי שטח ‪ A‬ומרחק בין לוחות ‪ d‬מחוברים כמתואר בשרטוט‪ .‬כל אחד מהקבלים טעון‬
‫במטען זהה ‪) Q‬כלומר שלוח אחד של כל קבל טעון במטען חיובי והשני במטען שלילי(‪ .‬מכניסים חומר עם מקדם‬
‫דיאלקטרי ‪ εr‬לתוך הקבל הימני‪ ,‬כך שהוא ממלא את כל נפח הקבל‪.‬‬
‫‪εr‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪−Q‬‬
‫‪−Q‬‬
‫)א( מהו המטען על כל אחד מהקבלים זמן רב לאחר הכנסת הלוח?‬
‫)ב( מהי העבודה שהושקעה בעת הכנסת החומר הדיאלקטרי?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2εr‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪Q ; q2‬‬
‫)א( ‪Q‬‬
‫‪1 + εr‬‬
‫‪1 + εr‬‬
‫= ‪) q1‬ב(‬
‫‬
‫‪1 − εr‬‬
‫‪1 + εr‬‬
‫‬
‫‪Q2 d‬‬
‫‪ε0 A‬‬
‫= ‪W‬‬
‫‪4.1.11‬‬
‫קבל לוחות בעל לוח ריבועי ששטחו ‪ A = 0.25 m2‬ומרחק בין לוחות ‪ d = 5 mm‬מחובר לסוללה בת מתח‬
‫‪ .V = 250 V‬מכניסים לתוך הקבל לוח עשוי סיליקון )‪ (εr = 12‬ששטחו ‪ A‬ועוביו ‪ .p = 2 mm‬בכמה משתנים‬
‫הקיבול‪ ,‬המטען‪ ,‬והאנרגיה האגורה בקבל לאחר הכנסת הלוח‪ ,‬ביחס למצב המקורי?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪39‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪∆C = 256.3 pF ; ∆Q = 65 nC ; ∆U = 8 µJ‬‬
‫‪4.1.12‬‬
‫נתון המעגל הבא‪ ,‬ובו קבלים בעלי קיבול ‪ C‬וקבלים בעלי קיבול כפול ‪ .2C‬מקור המתח הוא בעל כא״מ ‪.ε‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪2C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪A‬‬
‫)א( מהם המטען והמתח על כל קבל?‬
‫)ב( מהו הפרש הפוטנציאלים בין הנקודות ‪ A‬ו־ ‪?B‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)ב( ‪VAB = − ε‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4.1.13‬‬
‫קבל שלוחותיו עגולים בעלי רדיוס ‪ R‬ומרוחקים זה מזה מרחק ‪ d‬ממולא בחומר דיאלקטרי התלוי במרחק ‪ r‬ממרכז‬
‫‪3‬‬
‫המערכת‪ εr = αr + 1 ,‬כאשר‬
‫‪ .α = 2R‬הקבל מחובר למקור מתח ‪.V‬‬
‫‪R‬‬
‫‪d‬‬
‫מהי האנרגיה האגורה בקבל?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪πε0 R2 V 2‬‬
‫‪d‬‬
‫=‪U‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪40‬‬
‫‪ 4.2‬התנגדות‬
‫‪4.2.1‬‬
‫מהו ההתנגדות השקולה של‪:‬‬
‫)א( שני נגדים המחוברים במקביל?‬
‫)ב( שני נגדים המחוברים בטור?‬
‫)ג( שלושה נגדים‪ ,‬שניים בטור והשלישי במקביל אליהם?‬
‫)ד( שלושת הנגדים הנתונים בשרטוט?‬
‫‪R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R3‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R3‬‬
‫)ב(‬
‫)א(‬
‫)ג(‬
‫)ד(‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪R1 R2 R3‬‬
‫‪(R + R2 )R3‬‬
‫‪RR‬‬
‫‪) Rtot = 1‬ד(‬
‫)א( ‪) Rtot = 1 2‬ב( ‪) Rtot = R1 + R2‬ג(‬
‫‪R1 R2 + R1 R3 + R2 R3‬‬
‫‪R1 + R2 + R3‬‬
‫‪R1 + R2‬‬
‫= ‪Rtot‬‬
‫‪4.2.2‬‬
‫נתון גליל בעל שטח חתך ‪ ,A‬אורך ‪ L‬ומוליכות ‪ ,σ(x) = σ0 Lx‬כאשר ‪ x‬המרחק מקצה הגליל‪.‬‬
‫)א( מהי התנגדות הגליל?‬
‫)ב( מה תהיה צפיפות הזרם בגליל אם נחבר את קצותיו להפרש פוטנציאלים ‪?V‬‬
‫)ג( מה יהיה השדה החשמלי במוליך כאשר יזרום בו זרם?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪2σ0 V‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2V‬‬
‫= ‪) j‬ג( ‪x‬‬
‫= ‪) R‬ב(‬
‫)א(‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2σ0 A‬‬
‫= )‪E(x‬‬
‫‪4.2.3‬‬
‫קליפה כדורית שרדיוסה הפנימי ‪ a‬והחיצוני ‪ b‬עשויה חומר שהתנגדותו הסגולית הינה ‪ .ρ0‬הדופן הפנימית של‬
‫הקליפה מוארקת והדופן החיצונית שלה מוחזקת בפוטנציאל ‪.V‬‬
‫)א( מהי התנגדות הקליפה בין הדופן הפנימית לחיצונית?‬
‫)ב( מהו הזרם הכללי הזורם בקליפה?‬
‫)ג( מצאו את צפיפות הזרם כפונקציה של המרחק ‪ r‬ממרכז הקליפה?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪41‬‬
‫)ד( מהו השדה החשמלי השורר בקליפה?‬
‫)ה( מהו הספק החום הנוצר בקליפה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ρ0 b − a‬‬
‫= ‪) R‬ב(‬
‫)א(‬
‫‪4π‬‬
‫‪ab‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ab‬‬
‫‪4πV 2‬‬
‫)ה(‬
‫= ‪P‬‬
‫‪ρ0‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‬
‫‪ab‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‬
‫‪4πV‬‬
‫= ‪) I‬ג(‬
‫‪ρ0‬‬
‫‬
‫‪ab‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‬
‫‪V‬‬
‫‪) j(r) = 2‬ד(‬
‫‪ρ0 r‬‬
‫‬
‫‪ab‬‬
‫‪b−a‬‬
‫‬
‫‪V‬‬
‫‪E(r) = 2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪4.2.4‬‬
‫נתון נגד בעל גיאומטריה קונית‪ ,‬בעל רדיוס קטן ‪ ,a‬רדיוס גדול ‪ ,b‬וגובה ‪ .h‬בהנחה כי ההתנגדות הסגולית של‬
‫החומר היא ‪ ,ρ‬מצאו את התנגדותו של הנגד‪.‬‬
‫כמו כן‪ ,‬בדקו כי התוצאה מתארת נכון את המצב ‪.a = b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪h‬‬
‫‪a‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪h‬‬
‫‪πab‬‬
‫‪R=ρ‬‬
‫‪4.2.5‬‬
‫בין שני לוחות בעלי שטח חתך ריבועי ‪ a × a‬ושהמרחק ביניהם ‪ ,d‬מצוי חומר דיאלקטרי בעל מוליכות שאינה קבועה‬
‫‪.σ‬‬
‫‪d‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫חשבו את ההתנגדות במקרים הבאים‪:‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪42‬‬
‫‪y‬‬
‫‪0‬‬
‫)א( ‪.σ = σ0 + βy‬‬
‫)ב( ‪.σ = σ0 + βx‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א(‬
‫‪βa‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪d‬‬
‫‪βa‬‬
‫‪R = 2 ln 1 +‬‬
‫‪) R = 2‬ב(‬
‫‪aβ‬‬
‫‪σ0‬‬
‫‪a (σ0 +‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪43‬‬
‫‪4.3‬‬
‫מעגלי זרם ישר‬
‫‪4.3.1‬‬
‫נתון מעגל חשמלי ובו סוללה ונגד‪ ,‬כמשורטט‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫‪ε‬‬
‫)א( היכן יש לחבר מד מתח למעגל כדי למדוד את המתח החשמלי על הנגד? מה יש לדרוש לגבי התנגדותו של מד‬
‫המתח?‬
‫)ב( היכן יש לחבר מד זרם למעגל כדי למדוד את הזרם הזורם בו? מה יש לדרוש לגבי התנגדותו של מד הזרם?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( יש לחבר מד מתח במקביל לנגד‪ .‬על התנגדות מד המתח להיות הרבה יותר גדולה מהתנגדותו של הנגד הנמדד‪.‬‬
‫)ב( יש לחבר מד זרם בטור למעגל‪ .‬על התנגדות מד הזרם להיות הרבה יותר קטנה מהתנגדות הנגד‪.‬‬
‫‪4.3.2‬‬
‫נתון המעגל הבא‪:‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪ε2‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪ε1‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪ε2‬‬
‫נתונים‪.R1 = 1.7 Ω ; R2 = 3.5 Ω ; ε1 = 2.1 V ; ε2 = 6.3 V :‬‬
‫)א( מצאו את הזרם והמתח על כל נגד‪.‬‬
‫)ב( חשבו את הספק המעגל‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)ב( ‪Ptot = 3.44 W‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪44‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪4.3.3‬‬
‫נתון המעגל החשמלי הבא‪ ,‬ובו נתונים הכא״מים ‪ ε1‬ו־ ‪ ε2‬וההתנגדויות ‪ R0‬ו־‪.R‬‬
‫‪ε1‬‬
‫‪ε2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R0‬‬
‫‪R0‬‬
‫מצאו עבור איזו התנגדות ‪ R‬הספק החום המתבזבז על נגד זה הוא המקסימלי‪ ,‬ואת ערכו של הספק זה‪ .‬את הפתרונות‬
‫יש לספק בעזרת הנתונים ‪ ε2 ,ε1‬ו־ ‪.R0‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪(ε1 + ε2 )2‬‬
‫‪R0‬‬
‫= ‪; Pmax‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8R0‬‬
‫=‪R‬‬
‫‪4.3.4‬‬
‫נתון המעגל החשמלי הבא‪:‬‬
‫‪ε1 = 2 V ; ε2 = 3 V ; ε3 = 6 V‬‬
‫‪R1 = 20 Ω ; R2 = 7 Ω ; R3 = 12 Ω‬‬
‫‪ε3‬‬
‫‪R3‬‬
‫‪ε2‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪ε1‬‬
‫)א( חשבו את הזרם בכל ענף‪.‬‬
‫)ב( מהו ההספק על הנגד ‪?R1‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) 0.069 A ; 0.517 A ; 0.448 A‬ב( ‪PR1 = 0.095 W‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪45‬‬
‫‪4.4‬‬
‫מעגלי ‪) RC‬נגד וקבל(‬
‫‪4.4.1‬‬
‫נתון מעגל ‪) RC‬פריקה(‪ .‬ברגע ‪ t = 0‬הקבל טעון במטען ‪ Q0‬ואז סוגרים את המפסק ‪.S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪C‬‬
‫‪R‬‬
‫)א( רשמו את משוואת המעגל‪.‬‬
‫)ב( מצאו את )‪ ,Q(t‬המטען על הקבל כפונקציה של הזמן‪.‬‬
‫)ג( מצאו את הזרם במעגל בכל רגע‪.I(t) ,‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪t‬‬
‫‪dQ Q‬‬
‫‪Q0 − t‬‬
‫‪) −R‬ב( ‪) Q(t) = Q0 e− RC‬ג( ‪e RC‬‬
‫)א( ‪− = 0‬‬
‫‪RC‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪C‬‬
‫= )‪I(t‬‬
‫‪4.4.2‬‬
‫קבל ‪ C1‬טעון במטען ‪ .Q0‬כאשר סוגרים את המפסק מתחבר קבל זה בטור לקבל ‪ C2‬ונגד ‪.R‬‬
‫‪S‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪R‬‬
‫)א( רשמו את משוואת המעגל‪.‬‬
‫)ב( מצאו את )‪ ,Q1 (t‬המטען על הקבל ‪ C1‬כפונקציה של הזמן‪.‬‬
‫)ג( מצאו את הזרם במעגל בכל רגע‪.I(t) ,‬‬
‫)ד( מהי האנרגיה האלקטרוסטטית במעגל לפני סגירת במפסק‪ ,‬וזמן רב לאחר סגירתו‪.‬‬
‫)ה( הראו כי הפרש האנרגיות שחושבו בסעיף הקודם שווה לאנרגיית החום שהתבזבזה על הנגד בעת הזרימה‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪dQ1‬‬
‫‪C2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Q0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+ C1 t‬‬
‫‪−R‬‬
‫‪C1‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪Q1 (t‬‬
‫‪) −R‬ב(‬
‫‪Q0 +‬‬
‫‪Q0 e‬‬
‫‪+‬‬
‫‪Q1 +‬‬
‫)א( ‪= 0‬‬
‫‪−‬‬
‫‪C1 + C2‬‬
‫‪C1 + C2‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪C1 C2‬‬
‫‪C2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Q20‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q2‬‬
‫)ג( ‪) I(t) = 0 e− R C1 + C2 t‬ד(‬
‫= )∞ → ‪U0 = 0 ; U(t‬‬
‫‪2C1‬‬
‫) ‪2(C1 + C2‬‬
‫‪RC1‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪46‬‬
‫‪4.4.3‬‬
‫נתון מעגל ‪) RC‬טעינה(‪ .‬ברגע ‪ t = 0‬הקבל אינו טעון ואז סוגרים את המפסק ‪.S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪C‬‬
‫‪R‬‬
‫‪V‬‬
‫)א( רשמו את משוואת המעגל‪.‬‬
‫)ב( מצאו את )‪ ,Q(t‬המטען על הקבל כפונקציה של הזמן‪.‬‬
‫)ג( מצאו את הזרם במעגל בכל רגע‪.I(t) ,‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪t‬‬
‫‪V − t‬‬
‫‪dQ Q‬‬
‫‪) R‬ב( ‪) Q(t) = CV 1 − e− RC‬ג( ‪e RC‬‬
‫)א( ‪+ − V = 0‬‬
‫‪R‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪C‬‬
‫= )‪I(t‬‬
‫‪4.4.4‬‬
‫נתון המעגל הבא‪ .‬ברגע ‪ t = 0‬המתח על הקבל הוא ‪ .V0‬מצאו את המתח על הקבל כפונקציה של הזמן!‬
‫‪R1‬‬
‫‪ε‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪C‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‬
‫‪t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+ R1‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪−C‬‬
‫‪+ V0 e‬‬
‫ ‬
‫‪t‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+ R1‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪R2‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪VC (t) = ε‬‬
‫‪1−e C‬‬
‫‪R1 + R2‬‬
‫‪4.4.5‬‬
‫סיליקון הוא בעל מקדם דיאלקטרי ‪ εr = 12‬והתנגדות סגולית ‪ ,ρ = 2.5 · 103 Ω · m‬בטמפרטורת החדר‪ .‬ממלאים‬
‫בסיליקון קבל לוחות בעל מימדים ששטח לוחותיו ‪ A = 0.25 m2‬ומרחק בין לוחות ‪.d = 0.2 mm‬‬
‫)א( מצאו את הקיבול‪ ,‬ההתנגדות‪ ,‬וזמן הפריקה האופייני של הקבל‪.‬‬
‫)ב( הראו כי האנרגיה שאובדת בזמן הפריקה שווה בדיוק לאנרגיית החום המתפתחת בנגד‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪47‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪C = 132.81 nF ; R = 2 Ω ; τ = 265.62 ns‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪48‬‬
‫פרק ‪5‬‬
‫השדה המגנטי‬
‫‪5.1‬‬
‫כח ומומנט כח בשדה מגנטי‬
‫‪5.1.1‬‬
‫פרוטון )‪ (mp = 1.67 · 10−27 kg ; qp = |e| = 1.6 · 10−19 c‬בעל אנרגיה קינטית ‪ Ek = 5.3 MeV‬נע בזווית ◦‪30‬‬
‫ביחס לציר ‪ .x‬באיזור שורר שדה מגנטי אחיד שגודלו ‪ B = 1.2 T‬וכיוונו ציר ‪.y‬‬
‫מהו הכח שפועל על הפרוטון?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪ F = 5.3 · 10−12 N‬בכיוון ציר ‪.z‬‬
‫‪5.1.2‬‬
‫חלקיקים זהים בעלי מטען ‪ q > 0‬ומסה ‪ m‬נכנסים במהירות ‪ v0‬בדיוק במרכז בין שני לוחות קבל שהמרחק ביניהם‬
‫‪.d‬‬
‫‪v0‬‬
‫‪d‬‬
‫‪L‬‬
‫)א( מהו שדה חשמלי אחיד ~‪) E‬ללא שדה מגנטי ~‪ (B‬שיש להפעיל כדי שהחלקיקים יפגעו בלוח העליון במרחק‬
‫אופקי ‪?L‬‬
‫)ב( מהו שדה מגנטי אחיד ~‪) B‬ללא שדה חשמלי ~‪ (E‬שיש להפעיל כדי שהחלקיקים יפגעו בלוח התחתון במרחק‬
‫אופקי ‪?L‬‬
‫)ג( מפעילים יחדיו את שני השדות שמצאתם בסעיפים הקודמים‪ .‬האם החלקיקים יתחילו לסטות לכיוון מסוים? אם‬
‫כן‪ ,‬באיזה לוח הם יפגעו במידה והלוחות ארוכים מספיק?‬
‫‪49‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪mdv02‬‬
‫‪4mdv0‬‬
‫)ב(‬
‫מעלה‪.‬‬
‫בכיוון‬
‫‪E‬‬
‫=‬
‫)א(‬
‫) ‪q(4L2 + d2‬‬
‫‪qL2‬‬
‫= ‪ B‬בכיוון החוצה מהדף‪) .‬ג( כן‪ ,‬הם יסטו כלפי מעלה ויפגעו‬
‫בלוח העליון‪.‬‬
‫‪5.1.3‬‬
‫חלקיק בעל מטען ‪ q = 1.6 · 10−19 c‬מואץ בהפרש פוטנציאלים ‪ .V = 800 V‬בתום שלב ההאצה הוא נכנס‬
‫לתוך ספקטרוגרף מסות‪ ,‬בו שורר שדה מגנטי אחיד ומאונך )פנימה לדף( ‪ ,B = 0.2 T‬ונתון כי הוא פוגע בשפת‬
‫הספקטרוגרף במרחק ‪.D = 2.76 m‬‬
‫‪D‬‬
‫‪V‬‬
‫מהי מסתו של החלקיק?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪m = 7.62 · 10−24 kg‬‬
‫‪5.1.4‬‬
‫אלקטרון )‪ (me = 9.11 · 10−31 kg ; qe = e = −1.6 · 10−19 c‬נע בהשפעת שדה מגנטי ‪ B~ = 0.5ˆi T‬ושדה חשמלי‬
‫‪ .E~ = −3 · 104ˆi mV‬ברגע ‪ t = 0‬לאלקטרון יש מהירות ‪.~v0 = (1.5 · 105 , 0, 2 · 105 ) m/s‬‬
‫)א( תארו את מסלולו של האלקטרון ומצאו את ‪ T‬־ זמן מחזור התנועה המעגלית‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫)ב( מצאו את המרחק שעובר האלקטרון לאורך ציר ‪ x‬מרגע ההתחלה ועד לרגע ‪.t = 2‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) T = 71.5 ps‬ב( ‪∆x = 8.73 µm‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪50‬‬
‫‪5.1.5‬‬
‫קשת מעגלית הנשענת על זווית ‪ θ‬נושאת זרם ‪ I‬עם כיוון השעון‪ .‬רדיוסה של הקשת הוא ‪ .R‬באיזור שורר שדה‬
‫מגנטי אחיד הניצב למישור הדף )‪ B~ = (0, 0, B0‬כאשר ‪ B0‬קבוע חיובי כלשהו‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪I‬‬
‫‪x‬‬
‫‪θ‬‬
‫מהו הכח הפועל על הקשת?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪F~ = IB0 R(− sin θ, cos θ − 1, 0) N‬‬
‫‪5.1.6‬‬
‫בקשת מעגלית שרדיוסה ‪ R‬הוחלף חלק הנשען על זווית ‪ α‬במיתר‪ .‬הקשת נושאת זרם ‪ I‬נגד כיוון השעון‪ .‬באיזור‬
‫~‬
‫)‪ B(r‬כאשר ‪ B0‬קבוע כלשהו ו־‪ r‬המרחק ממרכז הקשת‪ ϕˆ .‬הוא הכיוון המשיקי‪.‬‬
‫שורר שדה מגנטי ˆ‪= B0 Rr ϕ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪α‬‬
‫מהו הכח הפועל על הקשת?‬
‫‪I‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪F =0‬‬
‫‪5.1.7‬‬
‫מסדרת זרם מלבנית בעלת גיאומטריה ‪ a = 0.3 m ; b = 0.4 m‬נושאת זרם ‪ I = 3 A‬עם כיוון השעון‪ .‬המסגרת‬
‫נמצאת באיזור ובו שדה מגנטי לא אחיד ‪.B~ = (0, 0, −2xy 2) T‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪51‬‬
‫‪y‬‬
‫‪I‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪b‬‬
‫מצאו את הכח על המסגרת!‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪F~ = (0.0216, 0.0432, 0) N‬‬
‫‪5.1.8‬‬
‫נתון תיל המורכב מחצי קשת מעגלית בעלת רדיוס ‪ R‬וחלק ישר )לאורך הקוטר(‪ .‬התיל מונח כך שחלקו הישר על‬
‫ציר ה־‪ x‬ומרכז הקשת המעגלית בראשית‪ .‬בתיל זורם זרם ‪ I‬עם כיוון השעון‪ .‬באיזור שורר שדה מגנטי שאינו אחיד‬
‫‪ B~ = (0, 0, 6r2) T‬במערכת הצירים הנתונה‪ ,‬כאשר ‪ r‬המרחק מהראשית‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪I‬‬
‫מהו הכח על התיל?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪F~ = 8IR3ˆj‬‬
‫‪5.1.9‬‬
‫שדה מגנטי שגודלו ‪ B = 0.05 T‬שורר במרחב בכיוון החיובי של ציר ה־‪ .x‬זרם של ‪ 50 A‬זורם בתיל בעל צורה‬
‫מלבנית שקודקודיו בנקודות )‪ .A = (1, 1, 1) ; B = (1, 1, −1) ; C = (−1, −1, 1) ; D = (−1, −1, −1‬כיוון‬
‫הזרם הוא מ־‪ A‬ל־ ‪.B‬‬
‫)א( חשבו את המומנט המגנטי של התיל המלבני‪.‬‬
‫)ב( חשבו את הכח ואת מומנט הכח שפועלים על התיל המלבני‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪52‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪) µ‬ב( ‪~τ = (0, 0, −10) N · m‬‬
‫)א( ‪~ = (−200, 200, 0) A · m2‬‬
‫‪F~ = 0‬‬
‫;‬
‫‪5.1.10‬‬
‫נתונה טבעת נושאת זרם ‪ I‬שרדיוסה ‪ .R‬הטבעת שוכבת על מישור ‪ .xy‬מכופפים את הטבעת לאורך הקוטר ששוכב‬
‫על ציר ה־‪ x‬כך שנוצרת בין שני חצאיה זווית ‪ .α‬נתון שדה מגנטי אחיד שגודלו ‪ B‬וכיוונו ציר ‪.z‬‬
‫מבט מהצד‬
‫מבט בזווית‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪I‬‬
‫‪α‬‬
‫‪I‬‬
‫‪x‬‬
‫)א( מהו הכח ומהו מומנט הכח הפועלים על הטבעת?‬
‫)ב( כיצד יש לכוון את הטבעת כדי שתימצא בשווי משקל?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪πR2‬‬
‫)א( ‪sin α ˆi N · m‬‬
‫‪~τ = −IB‬‬
‫‪2‬‬
‫;‬
‫‪F~ = 0‬‬
‫‪5.1.11‬‬
‫טבעת עגולה בעלת שטח ‪ A = 4.45 cm2‬נושאת זרם ‪ .I = 5 A‬הטבעת חופשיה להסתובב סביב קוטרה‪ .‬ברגע ‪t = 0‬‬
‫המומנט המגנטי של הטבעת נתון בביטוי )‪ ~µ = µ0 (−0.8ˆi + 0.6ˆj‬כאשר ‪ µ0‬הוא גודלו של המומנט המגנטי‪ .‬ברגע‬
‫זה מפעילים שדה מגנטי ‪ˆ T‬‬
‫)‪ .B~ = 1.4 · 10−3 (ˆi + 2ˆj − 3k‬כתוצאה מכך הטבעת מסתובבת‪ ,‬כך שלאחר שהסתובבה‬
‫ב־ ◦‪ 90‬המומנט המגנטי שלה הוא ˆ‪.~µ = −µ0 k‬‬
‫חשבו את השינוי באנרגיה הפוטנציאלית‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪∆U = −8.1 · 10−6 J‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪53‬‬
‫‪ 5.2‬חוק ביו־סבר‬
‫‪5.2.1‬‬
‫קשת מעגלית הנשענת על זווית ‪ θ‬נושאת זרם ‪ I‬נגד כיוון השעון‪ .‬רדיוס הקשת הוא ‪.R‬‬
‫‪y‬‬
‫‪I‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪x‬‬
‫מהו השדה המגנטי במרכז הקשת?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪µ0 I‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪4πR‬‬
‫=‪B‬‬
‫‪5.2.2‬‬
‫בקשת מעגלית שרדיוסה ‪ R‬הוחלף חלק הנשען על זווית ‪ α‬במיתר‪ .‬הקשת נושאת זרם ‪ I‬נגד כיוון השעון‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪α‬‬
‫מהו השדה המגנטי בראשית )מרכז הקשת המעגלית(?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪µ0 I‬‬
‫)‪(2π − α + 2 tan α‬‬
‫‪4πR‬‬
‫=‪B‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪54‬‬
‫‪I‬‬
‫‪5.2.3‬‬
‫ארבעה תיילים אינסופיים נושאים זרם ‪ I‬ומקופלים בצורות הבאות‪:‬‬
‫‪R‬‬
‫‪a‬‬
‫•‬
‫‪P‬‬
‫‪I‬‬
‫‪I‬‬
‫‪R‬‬
‫•‬
‫‪P‬‬
‫)א(‬
‫מהו השדה המגנטי בנקודה ‪ P‬בכל אחד מהמקרים?‬
‫‪I‬‬
‫)ב(‬
‫‪R‬‬
‫◦‪P • 45‬‬
‫•‬
‫‪P‬‬
‫‪I‬‬
‫)ד(‬
‫)ג(‬
‫פתרון‪:‬‬
‫√‬
‫‪µ0 I‬‬
‫‪µI‬‬
‫‪µ0 I‬‬
‫‪µ0 I‬‬
‫= ‪) B‬ד( )‪(2 + 5π/4 − 2‬‬
‫= ‪) B‬ג( )‪(2 + π‬‬
‫)א( ‪) B = 0‬ב(‬
‫‪4πR‬‬
‫‪4πR‬‬
‫‪8R‬‬
‫‪4πR‬‬
‫=‪B‬‬
‫‪5.2.4‬‬
‫טבעת בעלת רדיוס ‪ R‬טעונה במטען ‪ Q‬המפולג לאורכה באופן אחיד‪ .‬הטבעת מסתובבת סביב מרכזה בתדירות ‪.f‬‬
‫)א( מצאו את השדה המגנטי שיוצרת הטבעת לאורך הציר האנכי מרכזי שלה‪.‬‬
‫)ב( בדקו כי השדה שמצאתם מקיים את חוק אמפר‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫ˆ ‪µ0 Qf R2‬‬
‫)א( ‪k‬‬
‫‪2(R2 + z 2 )3/2‬‬
‫= ~‬
‫‪B‬‬
‫‪5.2.5‬‬
‫תיל אינסופי שוכב על ציר ה־‪ x‬ונושא זרם ‪ .I1 = 1.3 A‬תיל נוסף‪ ,‬שאורכו סופי‪ ,‬נושא זרם ‪ I2 = 0.6 A‬כמשורטט‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪0.4 m‬‬
‫‪0.4 m‬‬
‫◦‪45‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0.3m‬‬
‫‪I1‬‬
‫מהו הכח שפועל על התיל נושא זרם ‪?I2‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪55‬‬
‫‪I2‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪F~ = (−1.32 · 10−7 , −3.4 · 10−7 ) N‬‬
‫‪5.2.6‬‬
‫נתונה דיסקה בעלת רדיוס ‪ R‬הטעונה בצפיפות מטען משטחית לא אחידה ‪ ,σ(r) = σ0 Rr‬כאשר ‪ r‬המרחק ממרכזה‪.‬‬
‫מסובבים את הדיסקה במהירות זוויתית קבועה ‪ ω‬סביב הציר האנכי־מרכזי שלה )ציר ‪.(z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪R‬‬
‫)א( חשבו את השדה המגנטי במרכז הדיסקה‪.‬‬
‫)ב( חשבו את המומנט המגנטי של הדיסקה‪.‬‬
‫)ג( נתון כי במרחב פועל שדה מגנטי חיצוני )‪ .B~ = B0 (ˆi − ˆj‬מהו מומנט הכח הפועל על הדיסקה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫ˆ ‪πσ0 ωR4 B0‬‬
‫ˆ ‪πσ0 ωR4‬‬
‫)א( ˆ‪~ = µ0 σ0 ωR k‬‬
‫= ‪) ~µ‬ג( ‪k‬‬
‫‪) B‬ב( ‪k‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪~τ‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪56‬‬
‫‪ 5.3‬חוק אמפר‬
‫‪5.3.1‬‬
‫בגליל אינסופי שרדיוסו ‪ R‬זורם זרם ‪ I‬לאורכו‪ .‬התפלגות הזרם אינה אחידה כך שצפיפות הזרם תלויה במרחק ‪r‬‬
‫מציר הגליל באופן הבא‪.j(r) = j0 Rr :‬‬
‫מצאו את השדה המגנטי בכל נקודה במרחב‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪µ j r2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0 0‬‬
‫‪r≤R‬‬
‫‪3R‬‬
‫= )‪B(r‬‬
‫‪‬‬
‫‪µ j R2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0 0‬‬
‫‪r≥R‬‬
‫‪3r‬‬
‫‪5.3.2‬‬
‫בגליל חלול וארוך מאד בעל רדיוס פנימי ‪ a‬וחיצוני ‪ b‬זורם זרם בצורה היקפית‪ ,‬עם כיוון השעון‪ .‬צפיפות הזרם‬
‫אינה אחידה ותלויה במרחק ‪ r‬מציר הגליל באופן הבא ˆ‪ ,~j(r) = αr2 ϕ‬כאשר ‪ α‬קבוע כלשהו‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫)א( מהן היחידות הפיסיקליות של הקבוע ‪?α‬‬
‫)ב( מהו השדה המגנטי בכל מקום במרחב?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪b3 − a3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪µ‬‬
‫‪α‬‬
‫‪r≤a‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪b3 − r 3‬‬
‫= )‪B(r‬‬
‫)ב(‬
‫]‪[α‬‬
‫=‬
‫)א(‬
‫‪4‬‬
‫‪a≤r≤b‬‬
‫‪µ0 α‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪b≤r‬‬
‫‪5.3.3‬‬
‫נתון סליל ארוך מאד‪ ,‬בעל רדיוס ‪ .R‬צפיפות הליפופים של הסליל היא ‪ 5000‬ליפופים למטר‪ .‬חשבו את השדה‬
‫המגנטי בכל נקודה בסליל‪ ,‬אם נתון כי זורם בו זרם ‪.I = 30 mA‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪57‬‬
‫‪R‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪B = 1.885 · 10−4 T‬‬
‫‪5.3.4‬‬
‫טורוס הוא טבעת עבה עם חתך מעגלי )צורה של בייגלה(‪ .‬על טורוס בעל רדיוס פנימי ‪ a‬ורדיוס חיצוני ‪ b‬מלפפים‬
‫חוט מוליך ‪ N‬פעמים כך שצפיפות הליפופים קבועה‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫מהו השדה המגנטי בכל מקום במרחב‪ ,‬אם נתון כי מזרימים זרם ‪ I‬בחוט המוליך?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪r≤a‬‬
‫‪a≤r≤b‬‬
‫‪b≤r‬‬
‫‪5.3.5‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪µ0 NI‬‬
‫= )‪B(r‬‬
‫‪‬‬
‫‪2πr‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫נתון גליל אינסופי בעל רדיוס ‪ a‬ובתוכו קדח גלילי אינסופי בעל רדיוס ‪ .b‬מרכז הקדח נמצא במרחק ‪ d‬ממרכז הגליל‪.‬‬
‫נתון כי לאורך הגליל זורם זרם ‪ I‬בצפיפות אחידה‪ .‬השרטוט מתאר מבט מלמעלה על המערכת‪.‬‬
‫‪d‬‬
‫‪b‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪58‬‬
‫‪a‬‬
‫מהו השדה המגנטי בכל נקודה בקדח הגלילי?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪µ0 Id‬‬
‫ˆ‪(−‬‬
‫)ˆ‪r × z‬‬
‫} ‪2π(a2 − b2 ) | {z‬‬
‫= ~‬
‫‪B‬‬
‫‪ϕ‬‬
‫ˆ‬
‫‪5.3.6‬‬
‫פס מבודד דק‪ ,‬שאורכו ‪ L‬גדול מאד ורוחבו ‪ ,a‬טעון בצפיפות מטען אחידה ‪ .σ‬הפס נמצא על מישור ‪ z = 0‬כך‬
‫שאחת מצלעותיו מתלכדת עם ציר ‪ .y‬הפס נע במהירות קבועה ‪ v‬בכיוון ˆ‪) y‬אורכו כה גדול כך שניתן להתייחס אליו‬
‫כאל אינסופי(‪.‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪σ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪L‬‬
‫‪x‬‬
‫)א( חשבו את וקטור השדה החשמלי לאורך ציר ‪.z‬‬
‫)ב( מהו הזרם ‪?I‬‬
‫לאורך ציר ‪.z‬‬
‫)ג( חשבו את וקטור השדה המגנטי‬
‫∞ ‪Z‬‬
‫)ד( חשבו את האינטגרל ‪~ · d~ℓ‬‬
‫לאורך ציר ‪ .z‬הסבירו את התוצאה שהתקבלה!‬
‫‪B‬‬
‫∞‪−‬‬
‫ניתן להשתמש בפתרון האינטגרלים הבאים‪:‬‬
‫‬
‫‪a2‬‬
‫‪ln 1 + 2 dx = 2πa‬‬
‫‪x‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‬
‫∞‬
‫‪Z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪xdx‬‬
‫=‬
‫; ) ‪ln (1 + x2‬‬
‫‪1 + x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪dx‬‬
‫; )‪= tan−1 (x‬‬
‫‪1 + x2‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‪σ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪−1 a‬‬
‫~‬
‫= ‪) E‬ב( ‪I = σva‬‬
‫‪− ln 1 + 2 , 0, tan‬‬
‫)א(‬
‫‪2πε0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‬
‫‬
‫∞ ‪Z‬‬
‫ ‪a 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪µ‬‬
‫‪σv‬‬
‫‪a‬‬
‫‪µ‬‬
‫‪σva‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1‬‬
‫= ‪~ · d~ℓ‬‬
‫‪tan‬‬
‫‪, 0, ln 1 + 2‬‬
‫= ~‪) B‬ד(‬
‫)ג(‬
‫‪B‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2π‬‬
‫‪z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z‬‬
‫∞‪−‬‬
‫‬
‫‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪59‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪5.3.7‬‬
‫שני לוחות קבל עגולים בעלי רדיוס ‪ R‬נמצאים במרחק ‪ d‬זה מזה )הניחו ‪ .(d ≪ R‬הקבל נטען בקצב אחיד כך‬
‫שהמטען עליו תלוי בזמן באופן ‪) Q(t) = αt‬הלוח העליון בעל המטען החיובי(‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫‪d‬‬
‫מצאו את השדות החשמלי והמגנטי בין לוחות הקבל!‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪µ0 α‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2πR2‬‬
‫= )‪B(r‬‬
‫‪αt‬‬
‫;‬
‫‪πR2 ε0‬‬
‫=‪E‬‬
‫‪5.3.8‬‬
‫שני מישורים אינסופיים מקבילים למישור ‪ .xz‬המישורים הם ‪ y = a‬ו־‪ .y = −a‬במישור הראשון יש צפיפות זרם‬
‫ליחידת אורך ˆ‪ ~k = k0 z‬ובמישור השני יש צפיפות זרם ליחידת אורך ˆ‪.~k = −k0 z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪~k‬‬
‫‪y‬‬
‫‪~k‬‬
‫‪x‬‬
‫)א( מהו השדה המגנטי בכל מקום במרחב?‬
‫)ב( מהי צפיפות האנרגיה המגנטית בכל מקום במרחב?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫ˆ‪ B~ = µ0 k0 x‬בין המישורים‪ .‬מחוץ למישורים השדה הוא אפס‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪60‬‬
‫פרק ‪6‬‬
‫השראה אלקטרומגנטית‬
‫‪ 6.1‬חוק פאראדיי־לנץ‬
‫‪6.1.1‬‬
‫מוט מוליך באורך ‪ L = 0.2 m‬מונח על מסילה מוליכה שצורתה ״ח״‪ ,‬כמשורטט‪ .‬למסילה מחובר נגד בעל התנגדות‬
‫‪ .R = 10 Ω‬באיזור שורר שדה מגנטי שכיוונו החוצה מהדף וגודלו ‪ .B = 10 mT‬מושכים את המוט ימינה כך שהוא‬
‫נע במהירות קבועה ‪.v = 2 m/s‬‬
‫‪L‬‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫‪v‬‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫‪R‬‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫)א( מהו גודלו וכיוונו של הזרם המושרה במעגל ברגע ‪?t = 4 s‬‬
‫)ב( מהו הכח שיש להפעיל על המוט כדי להניע אותו במהירות הנתונה?‬
‫)ג( ברגע מסוים מפסיקים להפעיל את הכח המניע‪ .‬מהו הזרם המושרה במעגל מרגע זה ואילך?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪BLv − B2 L2 t‬‬
‫)א( ‪ Iind = 4 · 10−4 A‬עם כיוון השעון‪) .‬ב( ‪) Find = 8 · 10−7 N‬ג( ‪e mR‬‬
‫‪R‬‬
‫= ‪ Iind‬כאשר ‪ m‬מסת המוט‪.‬‬
‫‪6.1.2‬‬
‫טבעת מוליכה בעלת רדיוס ‪ b = 50 cm‬נושאת זרם חילופין ‪) I(t) = 100 sin (2t)A‬כאשר הכיוון עם השעון נחשב‬
‫לחיובי(‪ .‬במרכז הטבעת נמצא סליל שטוח בעל ‪ 20‬ליפופים שהתנגדותו הכללית היא ‪ .R = 10−3 Ω‬רדיוס הסליל‬
‫‪.a = 0.1 cm‬‬
‫‪61‬‬
‫⋆ ניתן להתייחס למקרה ‪ a ≪ b‬כך שהשדה המגנטי בכל נקודה בסליל שווה בקירוב טוב לשדה במרכזו‪.‬‬
‫)‪I(t‬‬
‫מהו הזרם המושרה )גודל וכיוון( בסליל ברגע ‪?t = 1 s‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪ Iind = 6.66 · 10−7 A‬עם כיוון השעון‪.‬‬
‫‪6.1.3‬‬
‫לכריכה מעגלית בעלת ‪ N‬ליפופים ושהתנגדותה ‪ R‬יש שטח חתך ‪ .S‬הכריכה נמצאת בשדה מגנטי ‪ .B‬המאונך‬
‫למישור בו היא נמצאת‪ .‬מסובבים את הכריכה בזווית ‪ θ‬סביב קוטרה‪.‬‬
‫כמה מטען זרם בכריכה במהלך התהליך?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪NBS‬‬
‫)‪(1 − cos θ‬‬
‫‪R‬‬
‫=‪q‬‬
‫‪6.1.4‬‬
‫חוט מוליך מגולגל על טורוס בעל חתך מלבני כך שמספר הכריכות הוא ‪ .N‬רדיוסו הפנימי של הטורוס הוא ‪ ,a‬רדיוסו‬
‫החיצוני ‪ ,b‬וגובהו ‪ .h‬מזרימים זרם )‪ I(t) = I0 sin (ωt‬בחוט המוליך‪ .‬כמו כן נתון כי טבעת מוליכה שהתנגדותה ‪R‬‬
‫עוטפת את הטורוס‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫‪a‬‬
‫)א( מהו השדה המגנטי בטורוס?‬
‫)ב( מהו גודלו של הזרם המושרה בטבעת?‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪62‬‬
‫‪b‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪µ0 NI0‬‬
‫‪µ0 NI0 hω‬‬
‫= )‪) B(a ≤ r ≤ b‬ב( )‪cos (ωt‬‬
‫)א( )‪sin (ωt‬‬
‫‪2πR‬‬
‫‪2πr‬‬
‫= ‪Iind‬‬
‫‪6.1.5‬‬
‫בתיל אינסופי זורם זרם משתנה ‪ .I(t) = 10t A‬במרחק ‪ a = 0.2 m‬נמצאת כריכה מרובעת בעלת‬
‫‪ 50‬ליפופים שהתנגדותה הכוללת ‪ .R = 10 Ω‬צלע הכריכה היא ‪ .b = 0.15 m‬מניעים את הכריכה ימינה במהירות‬
‫קבועה ‪.v = 0.3 m/s‬‬
‫‪a‬‬
‫‪v‬‬
‫‪I‬‬
‫‪b‬‬
‫)א( מהו גודלו וכיוונו של הזרם המושרה בכריכה ברגע ‪?t = 1 s‬‬
‫)ב( מהו הכח שיש להשקיע בכדי להניע את הכריכה במהירות הנתונה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪ Iind = 1.86 · 10−7 A‬נגד כיוון השעון‪) .‬ב( למשל ברגע ‪ t = 1 s‬הכח שיש להשקיע הוא ‪F = 2.57 · 10−14 N‬‬
‫במגמה שמאלה‪.‬‬
‫‪6.1.6‬‬
‫טבעת מוליכה בעלת רדיוס ‪ a‬נמצאת על מישור ‪ x − y‬ונושאת זרם משתנה ‪ I(t) = αt2‬כמשורטט‪ .‬בגובה ‪ d‬מעליה‬
‫נמצא מרכזה של טבעת נוספת‪ ,‬בעלת רדיוס ‪ ,b‬אשר הציר האנכי־מרכזי שלה מוטה בזווית ‪ θ‬ביחס לציר ‪ .z‬טבעת‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪63‬‬
‫זו עשויה חומר בעל התנגדות ליחידת אורך ‪ .r‬נתון כי ‪ a ≫ b‬וכן ‪.d ≫ a, b‬‬
‫‪z‬‬
‫‪θ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪d‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪I(t‬‬
‫)א( מהו הזרם המושרה בטבעת בעלת רדיוס ‪?b‬‬
‫)ב( מהו מומנט הכח הפועל על הטבעת בעלת הרדיוס ‪?b‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪µ0 αa2 b2 cos θ‬‬
‫‪πµ20 α2 a4 b3 sin 2θ‬‬
‫‪t‬‬
‫)ב(‬
‫‪I‬‬
‫=‬
‫)א( ‪t‬‬
‫‪ind‬‬
‫‪8d6 r‬‬
‫‪2bd3 r‬‬
‫= ‪ τ‬בכיוון פנימה‪.‬‬
‫‪6.1.7‬‬
‫מוט מוליך באורך ‪ L‬מונח על מסילה מוליכה שצורתה ״ח״‪ ,‬כמשורטט‪ .‬למסילה מחובר נגד בעל התנגדות ‪ R‬וקבל‬
‫בעל קיבול ‪ .C‬באיזור שורר שדה מגנטי שכיוונו החוצה מהדף וגודלו ‪ .B‬מושכים את המוט ימינה כך שהוא נע‬
‫במהירות קבועה ‪.v‬‬
‫‪L‬‬
‫)א( מהו גודלו וכיוונו של הזרם המושרה במעגל בכל רגע?‬
‫)ב( מהו הכח שיש להפעיל על המוט כדי להניע אותו במהירות הנתונה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪B 2 L2 v −t/RC‬‬
‫‪BLv −t/RC‬‬
‫‪e‬‬
‫עם כיוון השעון‪) .‬ב(‬
‫‪e‬‬
‫)א(‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫במגמה ימינה‪.‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪64‬‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫· ‪· R‬‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫·‬
‫‪v‬‬
‫·‬
‫·‬
‫‪C‬‬
‫·‬
‫·‬
‫‪6.1.8‬‬
‫מוט מוליך בעל אורך ‪ L‬והתנגדות ‪ R‬נע על מסילה אנכית מוליכה שהתנגדותה זניחה )יש גרביטציה(‪ .‬באיזור שורר‬
‫שדה מגנטי אחיד שכיוונו מאונך למסילה )פנימה לדף(‪ .‬ברגע ‪ t = 0‬משחררים את המוט ממנוחה‪.‬‬
‫‪L‬‬
‫‪g‬‬
‫~‬
‫‪B‬‬
‫)א( מצאו את המהירות של המוט בכל רגע? לאיזו מהירות יגיע הגוף לאחר זמן ארוך מאד?‬
‫)ב( בנקודה כלשהי במסילה מחברים מקור מתח‪ ,‬והמוט מתחיל לנוע כלפי מעלה כך שלאחר זמן ארוך מספיק‬
‫מהירותו מתייצבת על ערך קבוע ‪ .u‬שרטטו את אופן החיבור של מקור המתח ומצאו את גודלו‪.‬‬
‫)ג( הראו כי מתקיים בבעיה חוק שימור האנרגיה‪ ,‬ע״י השוואת ההספקים המכני והחשמלי‪.‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‬
‫‪B 2 L2‬‬
‫‪mgR‬‬
‫ ‪mgR‬‬
‫‪mgR‬‬
‫)א( ‪ v(t) = 2 2 1 − e− mR t‬ומכאן שמהירותו הסופית ‪) v(t → ∞) = 2 2‬ב( ‪+ BLu‬‬
‫‪BL‬‬
‫‪B L‬‬
‫‪B L‬‬
‫= ‪V‬‬
‫‪6.1.9‬‬
‫תיל מוליך )בעל התנגדות זניחה( שצורתו פרבולה ) ‪ (y = Cx2‬מונח על שולחן אופקי חסר חיכוך‪ .‬באיזור שורר‬
‫שדה מגנטי אחיד שגודלו ‪ B‬וכיוונו אנכית מעלה )בציור החוצה מהדף(‪ .‬מוט מוליך דק וארוך מאד‪ ,‬בעל התנגדות‬
‫ליחידת אורך ‪ ,λ‬נמצא במנוחה לאורך ציר ‪ .x‬ברגע ‪ t = 0‬מתחיל לפעול על המוט כח )‪ F (t‬שכיוונו ˆ‪ y‬כך שהוא‬
‫נמשך במהירות קבועה ‪.v‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪65‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪F (t‬‬
‫‪x‬‬
‫)א( מצאו את השטף המגנטי דרך שטח המעגל המורכב מחלק המוט )בין שתי נקודות המגע שלו עם הפרבולה( וחלק‬
‫הפרבולה )בין שתי נקודות המגע שלה עם המוט( כפונקציה של הזמן!‬
‫)ב( מהו הכא״מ המושרה במעגל?‬
‫)ג( מהו הזרם המושרה במעגל )גודל וכיוון(?‬
‫)ד( מהו הכח )‪ F (t‬הדרוש כדי להניע את המוט במהירות קבועה?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫√ ‪2Bv 3/2‬‬
‫‪Bv‬‬
‫‪4Bv 3/2‬‬
‫√ ‪2B 2 v 3/2‬‬
‫√‬
‫= ‪) Iind‬ד( ‪t‬‬
‫)א( ‪) φB = √ t3/2‬ב( ‪t‬‬
‫√ = ‪) ε‬ג(‬
‫‪λ‬‬
‫‪λ C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪3 C‬‬
‫= )‪F (t‬‬
‫‪6.1.10‬‬
‫גליל אינסופי שרדיוסו ‪ R‬טעון בצפיפות מטען נפחית אחידה ‪ .ρ‬מסובבים את הגליל במהירות זוויתית קבועה ‪ω‬‬
‫סביב צירו‪.‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪R‬‬
‫‪V‬‬
‫)א( חשבו את צפיפות הזרם כפונקציה של המרחק מציר הגליל‪.J(r) ,‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪66‬‬
‫‪N‬‬
‫)ב( חשבו את השדה המגנטי בכל מקום במרחב כפונקציה של המרחק ממציר הגליל‪.B(r) ,‬‬
‫)ג( מלפפים סביב הגליל סליל בעל ‪ N‬ליפופים‪ ,‬ומחברים את קצותיו למד מתח‪ .‬מה תהיה קריאת מד המתח אם‬
‫מרגע מסוים )‪ (t = 0‬פועלת תאוטה זוויתית קבועה )תאוצה זוויתית שלילית( שגודלה ‪?α‬‬
‫פתרון‪:‬‬
‫)א( ‪) J(r) = ρωr‬ב(‬
‫‪r≤R‬‬
‫‪r≥R‬‬
‫‪( µ0 ρω‬‬
‫‬
‫‪R2 − r 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪πNµ0 ραR4‬‬
‫=‪ε‬‬
‫= )‪) B(r‬ג(‬
‫‪4‬‬
‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל־ ‪www.Go o L.c o .il‬‬
‫כתב ופתר ־ אייל לוי‬
‫‪67‬‬