‫‪1‬‬ ‫סטודנטים יקרים‬ ‫לפניכם ספר תרגילים בקורס מתמטיקה בדידה‪ .‬הספר הוא חלק מקורס‬ ‫חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה‪ ,‬המועבר ברשת האינטרנט ‪.On-line‬‬ ‫הקורס באתר כולל פתרונות מלאים לספר התרגילים‪ ,‬וכן את התיאוריה‬ ‫הרלוונטית לכל נושא ונושא‪.‬‬ ‫הקורס כולו מוגש בסרטוני וידאו המלווים בהסבר קולי‪ ,‬כך שאתם רואים את‬ ‫התהליכים בצורה מובנית‪ ,‬שיטתית ופשוטה‪ ,‬ממש כפי‬ ‫שנעשה בשיעור פרטי‪ ,‬לדוגמה לחצו כאן‪.‬‬ ‫את הקורס בנה מר טל פלדמן‪ ,‬מרצה מבוקש במוסדות אקדמיים שונים ובעל‬ ‫ניסיון עתיר בהוראת המקצוע‪.‬‬ ‫אז אם אתם עסוקים מידי בעבודה‪ ,‬סובלים מלקויות למידה‪ ,‬רוצים להצטיין‬ ‫או פשוט אוהבים ללמוד בשקט בבית‪ ,‬אנחנו מזמינים אתכם‬ ‫לחוויית לימודים יוצאת דופן וחדשה לחלוטין‪ ,‬היכנסו עכשיו לאתר‬ ‫‪.www.gool.co.il‬‬ ‫אנו מאחלים לכם הצלחה מלאה בבחינות‬ ‫צוות האתר ‪GooL‬‬ ‫גוּל זה בּוּל‪ .‬בשבילך!‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬ ‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬ ‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬ ‫‪2‬‬ ‫תוכן‬ ‫תרגילים בקומבינטוריקה בסיסית ‪3 ........................................................................................................‬‬ ‫תרגילים בנושא זהויות קומבינטוריות והבינום של ניוטון ‪7 ..........................................................................‬‬ ‫תרגילים בנושא הכלה והדחה ‪9 .............................................................................................................‬‬ ‫תרגילים בנושא פונקציות יוצרות‪12 ......................................................................................................‬‬ ‫תרגילים בנושא רקורסיה ‪14 ................................................................................................................‬‬ ‫תרגילים בנושא שובך היונים ‪17 ...........................................................................................................‬‬ ‫תרגילים בנושא גרפים ‪18 ...................................................................................................................‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬ ‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬ ‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬ ‫‪3‬‬ ‫תרגילים בקומבינטוריקה בסיסית‬ ‫‪ (1‬בכמה אופנים ניתן לסדר ‪ 10‬אנשים בשורה כך ש‪-‬‬ ‫א‪ .‬ללא הגבלה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אבי ובני סמוכים‪.‬‬ ‫ג‪ .‬אבי‪ ,‬בני וגדי סמוכים‪.‬‬ ‫ד‪ .‬אבי ובני לא סמוכים‪.‬‬ ‫ה‪ .‬אבי ובני סמוכים וגם גדי ודני סמוכים‪.‬‬ ‫ו‪ .‬אבי ובני סמוכים וגדי ודני לא סמוכים‪.‬‬ ‫‪ (2‬בכיתה בה יש ‪ 10‬בנים ו‪ 15-‬בנות יש להרכיב נבחרת כדורסל בה יש לפחות ‪ 2‬בנים ולפחות ‪ 2‬בנות בכמה דרכים ניתן לעשות זאת?‬ ‫‪ (3‬בכמה אופנים שונים ניתן להניח ‪ 8‬צריחים על לוח ‪ 8 × 8‬בלי שאף צריח יאיים על חברו כך ש‪-‬‬ ‫א‪ .‬כל הצריחים הם לבנים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬שלושה צריחים הם לבנים וחמישה הם שחורים‪.‬‬ ‫ג‪ .‬הצריחים נלקחים מתוך שקית ובה מלאי בלתי מוגבל של צריחים לבנים ומלאי בלתי מוגבל של צריחים שחורים‪.‬‬ ‫‪ (4‬בכמה מספרים ‪ 6‬ספרתיים מופיעה הספרה‬ ‫א‪ 0 .‬פעם אחת בדיוק‪.‬‬ ‫ב‪ 0 .‬פעם אחת לפחות‪.‬‬ ‫ג‪ 7 .‬פעם אחת לפחות‪.‬‬ ‫ד‪ 7 .‬פעם אחת בדיוק‪.‬‬ ‫יש לזכור שמספר לא יכול להתחיל בספרה ‪.0‬‬ ‫‪ (5‬א‪ .‬יהי ‪ n‬טבעי בכמה תת קבוצות של }‪ {1, 2, 3,⋯ 2n‬יש אי זוגי אחד לפחות?‬ ‫ב‪ .‬בכמה תת קבוצות של }‪ {1, 2, 3,⋯ 2n‬יש לפחות ‪ n + 1‬איברים‪.‬‬ ‫‪ (6‬בכמה אופנים שונים ניתן לחלק ‪ 10‬לימונדות זהות ‪ 1‬כוס קולה ו‪ 1-‬כוס קינלי ל‪ 4-‬תלמידים צמאים כך שכל תלמיד מקבל‬ ‫לפחות משקה אחד והקולה והקינלי ניתנים לתמידים שונים?‬ ‫‪ (7‬בכמה דרכים ניתן לחלק ‪ 400‬כדורים זהים ל‪ 3-‬תאים כך ש‪-‬‬ ‫א‪ .‬יש תא ובו יותר מ‪ 200-‬כדורים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬בכל תא מספר זוגי של כדורים‪.‬‬ ‫ג‪ .‬בשני תאים מתוך השלוש מספר אי זוגי של כדורים ובתא אחד מספר זוגי של כדורים‪.‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬ ‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬ ‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 7 (8‬אנשים נכנסים למעלית בבניין בן ‪ 13‬קומות בכמה אופנים הם יכולים ללחוץ על כפתורי המעלית כך ש‪-‬‬ ‫א‪ .‬המעלית תעצור בקומה החמישית? ) יתכן ותמשיך הלאה משם (‬ ‫ב‪ .‬המעלית תעצור בקומה החמישית לכל היותר‪.‬‬ ‫ג‪ .‬המעלית תגיע לפחות עד הקומה החמישית‪.‬‬ ‫ד‪ .‬המעלית תעצור בקומה החמישית‪ ) .‬ולא תמשיך משם הלאה (‬ ‫‪ (9‬בכמה דרכים ניתן לחלק ‪ n‬כדורים לבנים זהים ו‪ n -‬כדורים צבעוניים ) שונים ( ל‪ 2n -‬כך שבכל תא יהיה‬ ‫א‪ .‬לכל היותר כדור אחד‪.‬‬ ‫ב‪ .‬לכל היותר כדור לבן אחד ואין מגבלה על מספר הצבעוניים‪.‬‬ ‫ג‪ .‬לכל היותר כדור צבעוני אחד ואין הגבלה על מסםר הלבנים‪.‬‬ ‫ד‪ .‬מספר שווה של לבנים וצבעוניים‪.‬‬ ‫‪ (10‬במלבן בן ‪ k‬שורות ו‪ m -‬עמודות יש לסמן × או ○ בכל משבצת‪.‬‬ ‫א‪ .‬הראו כי כי יש‬ ‫‪k‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪ 2 m − 1‬דרכים לעשות זאת כך שבכל שורה יופיע × אחד לפחות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬בכמה דרכים ניתן לעשות זאת כך שיופיע ○ אחד לפחות בכל עמודה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬הסיקו כי )‪2mk ≤ ( 2m − 1) + ( 2k − 1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ (11‬חרגול נמצא בנקודה ‪ A‬בשריג המתואר להלן‪ .‬בכל שלב יכול החרגול‬ ‫להתקדם צעד אחד ימינה או צעד אחד למעלה‪.‬‬ ‫א‪ .‬בכמה אופנים שונים יכול החרגול להגיע מנקודה ‪ A‬לנקודה ‪? B‬‬ ‫ב‪ .‬בכמה אופנים הוא יכול לעשות זאת מבלי לעבור דרך‬ ‫‪A‬‬ ‫נקודה המסומנת להלן?‬ ‫‪B‬‬ ‫○‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ (12‬א‪ .‬בכמה אופנים שונים ניתן לחלק ‪ 12‬אנשים לשלושה זוגות ושתי שלשות?‬ ‫ב‪ .‬כמו א‪ .‬אך בנוסף דני ודנה לא נמצאים באותה קבוצה‪.‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬ ‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬ ‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ (13‬כמה פתרונות בשלמים אי שליליים יש לכל אחת מהמשואות הבאות?‬ ‫א‪x1 + x2 + ⋯ x7 = 20 .‬‬ ‫ב‪x1 + x 2 + 5 x3 + x4 = 14 .‬‬ ‫ג‪( x1 + x2 + x3 )( x4 + x5 + x6 ) = 18 .‬‬ ‫‪ (14‬בכמה דרכים ניתן לבחור ועדה בת ‪ n‬אנשים מתוך ‪ n‬זוגות נשואים כך ש‪-‬‬ ‫א‪ .‬בועדה לא ישתתף אף זוג נשוי‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מספר הגברים יהיה שווה למספר הנשים‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מספר הגברים יהיה קטן ממש ממספר הנשים‪.‬‬ ‫‪ (15‬מצאו בכמה פונקציות }‪ f :{1, 2, 3,...,3n − 1, 3n} → {1, 2, 3,..., n − 1, n‬מקיימות את התנאי הבא‪ :‬לכל אבר בתמונה‬ ‫יש בדיוק ‪ 3‬מקורות‪.‬‬ ‫‪ (16‬מה מספר הדרכים לפזר ‪ 50‬כדורים אדומים ו ‪ 20‬כדורים כחולים ל ‪ 10‬תאים‪ ,‬כך שבכל תא מספר הכדורים האדומים יהיה לפחות‬ ‫כמספר הכדורים הכחולים?‬ ‫‪ (17‬בכמה דרכים ניתן לחלק קבוצה בגודל ‪ 2 n‬לקבוצה בגודל ‪ n‬ולזוגות‪ ) .‬ניתן להניח כי ‪ n‬זוגי (‬ ‫‪ (18‬בכמה דרכים ניתן לסדר בשורה ‪ 8‬פילים שונים‪ 2 ,‬שועלים זהים ושתי תרנגולות זהות‪ ,‬כך שהפילים מסודרים משמאל לימין על פי‬ ‫משקלם בסדר עולה‪ ,‬ואף שועל לא יהיה צמוד לתרנגולת?‬ ‫‪ (19‬בכמה דרכים ניתן לחלק ‪ 100‬כדורים לבנים ו‪ 50-‬כדורים צבעוניים )כל אחד בצבע שונה( ל‪ 250-‬תאים באופן שיתקיימו שני‬ ‫התנאים הבאים‪ :‬יהיה לפחות תא אחד שמכיל יותר מכדור לבן אחד‪ ,‬וכמו‪-‬כן יהיה לפחות תא אחד שמכיל יותר מכדור צבעוני אחד?‬ ‫‪ (20‬בכמה דרכים ניתן לסדר ‪ n‬גברים ו‪ n -‬נשים במעגל כך שבני אותו מין לא ישבו זה לצד זה? כנ"ל לגבי שורה‪.‬‬ ‫‪ (21‬יש לבחור קבוצה של ששה ילדים מבין תלמידי כיתות א ‪ 1‬ו‪-‬א‪ ,2‬באופן ששלושה מהם יהיו מ‪-‬א‪ 1‬ושלושה מ‪-‬א‪ .2‬מספר הבנים‬ ‫בקבוצה צריך להיות שווה למספר הבנות בקבוצה )‪ 3‬ו‪ .(3-‬ב‪-‬א‪ 1‬יש ‪ 10‬בנים ו‪ 15-‬בנות וב‪-‬א ‪ 2‬יש ‪ 15‬בנים ו‪ 10-‬בנות‪ .‬בכמה‬ ‫אופנים ניתן לבחור את הקבוצה?‬ ‫‪ (22‬בכמה קבוצות של ‪ n‬כדורים ב‪ 10 -‬צבעים יש לפחות כדור אחד מכל צבע?‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬ ‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬ ‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ (23‬כמה פונקציות }‪ ( n ≥ 1 ) f : {1,2,..., n} → {1,2,..., n‬מקיימות את התנאי )‪ f (k ) ≠ f (k + 1‬לכל ‪? 1 ≤ k ≤ n − 1‬‬ ‫‪ (24‬כמה פונקציות }‪ f : {1,2,3,⋯ , n} → {1,2,3,⋯ , n‬חח"ע ועל יש המקיימות ‪ f ( k ) − k‬זוגי לכל‬ ‫}‪k ∈ {1, 2,3,⋯ , n‬‬ ‫‪ (25‬כמה סדרות בינריות באורך ‪ n‬יש המורכבות מ‪ k -‬אחדים ו‪ n − k -‬אפסים שאין בהם שני אחדים רצופים?‬ ‫‪ (26‬בכמה דרכים ניתן לחלק ‪ 60‬כדורים צבעוניים ) כל אחד בצבע שונה ( ו‪ 90-‬כדורים לבנים זהים ל‪ 100-‬תאים כך שיתקיימו שני‬ ‫התנאים הבאים גם יחד‪ .‬יהיה לפחות תא אחד שמכיל יותר מכדור צבעוני אחד וכמו כן בכל תא יהיו לכל היותר ‪ 50‬כדורים לבנים‪.‬‬ ‫‪ (27‬בכמה דרכים ניתן לחלק ‪ 4‬בננות‪ 2 ,‬תפוזים‪ ,‬ו‪ 4-‬תפוחים ל‪ 10-‬אנשים כך שכל אחד יקבל בדיוק פרי אחד ? שימו לב שפירות‬ ‫מאותו סוג נחשבים זהים‪.‬‬ ‫‪ (28‬בכמה דרכים ניתן לבנות שורה מ‪ k ≥ 0 -‬כדורים לבנים זהים ו‪ m ≥ 0 -‬כדורים צבעוניים שונים‪ ) .‬ושונים מלבן (?‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬ ‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬ ‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬ ‫‪7‬‬ ‫תרגילים בנושא זהויות קומבינטוריות והבינום של ניוטון‬ ‫‪ n k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ (1‬הוכח אלגברית וקומבינטורית את הזהות ‪  2 = 3‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ (2‬הוכיחו לכל ‪ n ≥ 0‬את הזהות‬ ‫‪ n  2 n− k‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫∑‬ ‫‪k =0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫∑‬ ‫= ‪6‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k =0‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪ (3‬הוכח את השוויון הבא‪2 n = 3n − n3 n−1 +   3 n− 2 − ... + ( −1)k   3n − k + ... + (−1)n   30 :‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪ 2n + 1 ‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪ (4‬הוכיחו שלכל ‪ n‬טבעי מתקיים‪ = 2 :‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪∑ ‬‬ ‫‪k =0‬‬ ‫‪ m + n  n  m ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ (5‬הוכח בדרך אלגברית ובדרך קומבינטורית את הזהות הבאה‪ =   +   + mn :‬‬ ‫‪ 2   2  2 ‬‬ ‫‪ 2n ‬‬ ‫‪ (6‬הוכח כי לכל ‪ n ∈ ℕ‬המספר ‪  ‬הוא זוגי‪.‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪n n‬‬ ‫‪ (7‬הוכח כי ‪⋅ 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪k −1‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪∑ k  k  2‬‬ ‫‪k =1‬‬ ‫‪ x  y ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ (8‬הוכיחו כי‪ :‬‬ ‫‪ k  n − k ‬‬ ‫‪ (9‬הוכח את השוויון הבא‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫∑‬ ‫‪k =0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫‪. ∀x , y , n ∈ ℕ , ‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ n   n   n   3n ‬‬ ‫‪∑  k   j   k + j  =  n ‬‬ ‫‪k , j=0‬‬ ‫‪ r  m  r  r − k ‬‬ ‫‪   =  ‬‬ ‫‪ (10‬הוכח בדרך אלגברית ובדרך קומבינטורית את הזהות הבאה ‪‬‬ ‫‪ m k   k  m − k ‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪ n   n   n + 2‬‬ ‫‪.   + 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪ (11‬הוכח כי לכל ‪ 0 ≤ n‬ולכל ‪ 0 ≤ k ≤ n‬מתקיים ‪‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ k + 1  k + 2  k + 2 ‬‬ ‫‪ 2n   2n − 2   2 ‬‬ ‫‪ ⋅ ‬‬ ‫‪⋯ ‬‬ ‫‪ 2   2   2‬‬ ‫!‪n‬‬ ‫‪ (12‬הוכח אלגברית וקומבינטורית את הזהות הבאה‬ ‫‪ 5n − 2 ‬‬ ‫‪ 2n   3 n ‬‬ ‫= ‪( 2n − 1) ⋅ ( 2n − 3 ) ⋯ 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ (13‬הוכח את הזהות הבאה ‪∑ k ( n − k )  k   n − k  = 6n  n − 2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪k =1‬‬ ‫‪ k − 1+ n  k + N ‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪ (14‬הוכיח את השוויון הבא ‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪  N ‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪∑ ‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪ (15‬הוכיחו‪ ,‬כי אם ‪ n > 0‬מספר זוגי אז ‪. 2 n >  n ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬ ‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬ ‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ (16‬כמה מבין המספרים בפיתוח הבינום‬ ‫‪80‬‬ ‫)‬ ‫‪2+47‬‬ ‫(‬ ‫הם שלמים?‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n −i‬‬ ‫‪ (17‬הוכיחו כי לכל ‪ n‬טבעי מתקיים‪n n − (n − 1) = ∑  (n − 1) :‬‬ ‫‪i =1  i ‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬ ‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬ ‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬ ‫‪9‬‬ ‫תרגילים בנושא הכלה והדחה‬ ‫‪ (1‬כמה מילים באורך ‪ n‬יש מעל הא"ב }‪ { A, B , C , D‬כך שהאותיות ‪ A, B‬חייבות להופיע?‬ ‫‪ (2‬לארוחת ערב הוזמנו חמישה אנשים‪ .‬המארח קנה ‪ 10‬מתנות שונות‪ .‬בכמה דרכים ניתן לחלק את המתנות בין האורחים כך שכל אורח‬ ‫יקבל לפחות פרס אחד?‬ ‫‪ (3‬בכמה דרכים יכול שירות בתי הסוהר לפזר ‪ 300‬פליטים מאריתראה בחמישה תאי כלא כך שבשום תא לא יהיו יותר מ ‪ 100‬פליטים?‬ ‫שימי לב‪ :‬שירות בתי הסוהר לא מבדיל בין הפליטים השונים‬ ‫‪ (4‬בקייטנת ההשקעות הלא‪-‬הגיוניות יש חמישה קורסים‪ .‬בכל אחד מחמשת הקורסים רשומים בדיוק ‪ 55‬ילדים‪ .‬לכל זוג קורסים יש‬ ‫בדיוק ‪ 44‬ילדים שרשומים לשניהם‪ .‬לכל שלושה מהקורסים יש בדיוק ‪ 33‬ילדים שרשומים לשלושתם‪ .‬לכל ארבעה מהקורסים יש‬ ‫בדיוק ‪ 22‬ילדים שרשומים לארבעתם‪ .‬הוכיחו כי יש לפחות ילד אחד שרשום לכל חמשת הקורסים בו זמנית‪.‬‬ ‫‪ (5‬א‪ .‬בכמה מספרים קטנים ממליון סכום הספרות הוא ‪ 23‬בדיוק? ) שאלה זו מופיעה גם בפרק על פונקציות יוצרות (‬ ‫ב‪ .‬בכמה מספרים קטנים ממליון סכום הספרות הוא ‪ 31‬בדיוק?‬ ‫ג‪ .‬בכמה מספרים קטנים ממליון סכום הספרות הוא ‪ 23‬לכל היותר?‬ ‫‪ (6‬מטילים קוביה ‪ 8‬פעמים ורושמים את התוצאות כסדרה של ‪ 8‬מספרים‪ .‬מה מספר האפשרויות לסדרות באורך ‪ 8‬של הטלות‪ ,‬שבהן כל‬ ‫ששת המספרים מ‪ 1-‬עד ‪ 6‬יופיעו )כל מספר לפחות פעם אחת(?‬ ‫‪ (7‬במערכת שנה א של התוכנית למדעי המחשב באקדמיה המכללתית של תל‪-‬יפו‪-‬אביב יש חמישה קורסים‪ .‬בכל אחד מחמשת הקורסים‬ ‫רשומים בדיוק ‪ 40‬תלמידים‪ .‬לכל זוג קורסים יש בדיוק ‪ 32‬תלמידים שרשומים לשניהם‪ .‬לכל שלושה מהקורסים יש בדיוק ‪24‬‬ ‫תלמידים שרשומים לשלושתם‪ .‬לכל ארבעה מהקורסים יש בדיוק ‪ 16‬תלמידים שרשומים לארבעתם‪ .‬הוכיחי שיש לפחות תלמיד אחד‬ ‫שרשום לכל חמשת הקורסים בו זמנית‪.‬‬ ‫הדרכה‪ :‬על סמך הנתונים כתבי ביטוי שמתאר כמה תלמידים יש בכל חמשת הקורסים יחד‪.‬‬ ‫‪ (8‬לארוחת ערב הוזמנו חמישה אנשים‪ .‬המארח קנה ‪ 10‬מתנות שונות‪ .‬בכמה דרכים ניתן לחלק את המתנות בין האורחים כך שכל אורח‬ ‫יקבל לפחות פרס אחד?‬ ‫‪ (9‬איש ציבור מושחת לוקח כל שנה שוחד בסך ‪ 4 ,2‬או ‪ 6‬מליון דולר )שלא כמו איש ציבור נורמטיבי בסעיף ‪1‬א‪ ,‬איש ציבור מושחת‬ ‫יכול לקחת שוחד של ‪ 6‬מליון דולר מספר שנים ברציפות(‪ .‬סדרת שוחד היא סדרת סכומים שקיבל איש ציבור מושחת במשך כמה‬ ‫שנים‪ ,‬למשל ‪ .6,6,2,4,2‬כמה סדרות שוחד יניבו עבור איש ציבור מושחת סך של ‪ 20‬מיליון דולר במשך ‪ 6‬שנים?‬ ‫‪ (10‬כמה מילים באורך ‪ n‬יש מעל ה‪-‬א"ב }‪ { A, B , C , D‬כאשר ‪ A, B‬חייבות להופיע?‬ ‫‪ (11‬עבור }‪ A = {1, 2, 3.⋯ ,10‬כמה פונקציות ‪ f‬חח"ע על ישנן ‪ f : A → A‬כך ש‪ f ( k ) ≠ k -‬עבור ‪k = 1, 2, 3‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬ ‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬ ‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ (12‬בכמה תמורות של המספרים }‪ {1, 2, 3,4,⋯ ,18‬כל המספרים שמתחלקים ב‪ 3-‬במקומות של מספרים שמתחלקים בשלוש ואף זוגי‬ ‫לא במקומו?‬ ‫‪ (13‬ברשותך שלושה כדורים לבנים זהים‪ ,‬שלושה כדורים שחורים זהים‪ ,‬ומאגר בלתי מוגבל של כדורים אדומים זהים ‪ .‬בכמה אופנים ניתן‬ ‫להרכיב מהם קבוצה ) סדר הכדורים לא משנה ( בת ‪ n‬כדורים‪ .‬פתור הן בעזרת פונקציות יוצרות והן בעזרת הכלה והדחה והשווה‬ ‫את התוצאות‪.‬‬ ‫‪ 7 (14‬משפחות בנות שלוש נפשות כל אחת ) אבא‪ ,‬אמא וילד ( מגיעות למפגש חברתי‪ .‬בכמה אופנים ניתן לסדר אותם בשלשות כך ש‪-‬‬ ‫א‪ .‬ללא הגבלה?‬ ‫ב‪ .‬כל שלשה תהיה מורכבת מאבא‪ ,‬אמא וילד אבל אף שלשה לא תרכיב משפחה שלמה?‬ ‫ג‪ .‬אף שלשה לא תרכיב משפחה שלמה ) כלומר יתכן שלשה המורכבת משלושה אבות או שני אבות וילד (‬ ‫‪ (15‬בכמה דרכים ניתן לחלק ‪ 40‬כדורים לארבעה תאים כך שאף תא לא יהיה ריק‪.‬‬ ‫א‪ .‬הכדורים זהים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הכדורים שונים‪.‬‬ ‫‪ (16‬ארבעה אנשים שונים )ששמותיהם ‪ (1,2,3,4‬אחראים יחד על ביצוע של ‪ 5‬משימות שונות )משימות א‪,‬ב‪,‬ג‪,‬ד‪,‬ה(‪.‬‬ ‫לביצוע כל משימה נדרשים בדיוק שני אנשים‪ .‬אין הבדל בין תפקידי שני האנשים בצוות המבצע משימה נתונה‪.‬‬ ‫א‪ .‬בכמה דרכים ניתן להקצות את ‪ 5‬המשימות לצוותים של שני אנשים ? הנה כמה דוגמאות לדרכים לגיטימיות לעשות זאת‪:‬‬ ‫דוגמא ‪ :1‬הצוות }‪ {1,2‬יבצע את כל ‪ 5‬המשימות !‬ ‫דוגמא ‪ :2‬הצוות }‪ {1,2‬יבצע את משימות א‪,‬ב ‪ ,‬הצוות }‪ {1,3‬את משימות ג‪,‬ד והצוות }‪ {2,3‬את משימה ה‪.‬‬ ‫דוגמא ‪ :3‬הצוות }‪ {1,2‬יבצע את משימות א‪,‬ב ‪ ,‬הצוות }‪ {3,4‬את משימות ג‪,‬ד והצוות }‪ {2,3‬את משימה ה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬בכמה דרכים ניתן להקצות את ‪ 5‬המשימות לצוותים של שני אנשים‪ ,‬אם אסור שמישהו יתחמק לגמרי מעבודה‪:‬‬ ‫כל אחד מ‪ 4 -‬האנשים חייב לקחת חלק במשימה אחת לפחות )דוגמאות ‪ 2 ,1‬בסעיף א אינן חוקיות כעת‪ .‬דוגמא ‪ - 3‬חוקית(‪.‬‬ ‫‪ (17‬דנה‪ ,‬תלמידה בכיתה א' ‪ ,‬קראה בספר את המשפט המעניין‪ :‬דנה קמה דנה נמה‪ .‬אחרי שקראה בהצלחה את המשפט‪,‬‬ ‫עלו בדעתה של דנה כמה שאלות מעניינות לא פחות‪:‬‬ ‫א‪ .‬בכמה דרכים אפשר לסדר את כל ‪ 12‬האותיות שבמשפט הזה במחרוזת אחת ללא רווחים‪ ,‬כגון דנהקמהדנהנמה ‪.‬‬ ‫ב‪ .‬בכמה מהדרכים הללו מופיע בתוך המחרוזת הרצף דמקה ?‬ ‫ג‪ .‬מה מספר הדרכים לסדר את ‪ 12‬האותיות כך שלא תופיע בתוך המחרוזת אף אחת מארבע המחרוזות הבאות‪ :‬דמקה‪,‬‬ ‫קהה‪ ,‬ממד ‪ ,‬נננהה‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬ ‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬ ‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ (18‬בבחינה מתמטיקה בדידה בקורס זה יש ‪ 11‬שאלות בארבעה נושאים כדלהלן‪ 2 :‬שאלות בקומבינטוריקה בסיסית‪ 3 ,‬שאלות בפונקציות‬ ‫יוצרות‪ 2 ,‬שאלות בגרפים ו‪ 4-‬שאלות בהכלה והדחה‪ .‬צריך לענות על ‪ 6‬שאלות לפחות ) אפשר יותר ( וחייבים לענות על לפחות‬ ‫שאלה אחת מכל נושא‪ .‬בכמה אופנים ניתן לעשות זאת‪.‬‬ ‫‪ (19‬בכמה דרכים ניתן להרכיב מילה מהמספרים }‪ {1, 2, 3,⋯ n‬כך שכל מספר יופיע ‪ k‬פעמים אל אף מספר לא יופיע ‪ k‬פעמים ברצף?‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬ ‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬ ‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬ ‫‪12‬‬ ‫תרגילים בנושא פונקציות יוצרות‬ ‫‪30‬‬ ‫‪ (1‬מה המקדם של ‪ x 10‬בביטוי‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪?  x 2 − x + 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ (2‬בנה פונקציה יוצרת למספר האפשרויות של דני לקנות בסופר ‪ 50‬מוצרי חלב לבית מסוג שוקו‪ ,‬מוקה ובננה‪ .‬כאשר משקה בננה‬ ‫מגיע רק באריזות של שלוש ‪,‬משקה שוקו בזוגות )משקה מוקה אפשר לקנות ביחידים( ואחותו של דני אוהבת רק מוקה‪) .‬שימו לב‬ ‫שעליו לחזור הביתה עם משקאות לכל בני המשפחה(‪.‬‬ ‫‪ (3‬איש ציבור מושחת לוקח כל שנה שוחד בסך ‪ 4 ,2‬או ‪ 6‬מליון דולר )שלא כמו איש ציבור נורמטיבי בסעיף ‪1‬א‪ ,‬איש ציבור מושחת‬ ‫יכול לקחת שוחד של ‪ 6‬מליון דולר מספר שנים ברציפות(‪ .‬סדרת שוחד היא סדרת סכומים שקיבל איש ציבור מושחת במשך כמה‬ ‫שנים‪ ,‬למשל ‪ .6,6,2,4,2‬כמה סדרות שוחד יניבו עבור איש ציבור מושחת סך של ‪ 20‬מיליון דולר במשך ‪ 6‬שנים?‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⋅‬ ‫‪ (4‬יהי ‪ an‬המקדם של ‪ xn‬בפיתוח של הפונקציה הבאה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(1 − 2 x) (1 − x‬‬ ‫‪.‬‬ ‫יהי ‪ bn‬פתרון נוסחת הנסיגה ‪ bn = bn−1 + (n + 1)2 n‬עם תנאי ההתחלה ‪.b0=1‬‬ ‫הוכיחי ש ‪.an=bn‬‬ ‫הערה‪ :‬אפשר לפתור את השאלה ע"י חישוב מפורש של ‪ an‬ו ‪ ,bn‬אבל ניתן גם למצוא קיצור דרך משמעותי בעזרת ביטוי מהצורה‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪. ∑ (...‬‬ ‫‪k =0‬‬ ‫‪ (5‬יהי ‪ an‬מספר הדרכים לכתוב את ‪ n‬כסכום של מספר אי‪-‬שלילי של ‪-2‬ים‪ ,‬מספר חיובי של ‪-3‬ים‪ ,‬ולכל היותר שני ‪-1‬ים‪ ,‬כאשר סדר‬ ‫המחוברים איננו משנה‪.‬‬ ‫יהי ‪ bn‬מספר הדרכים לפזר ‪ n‬כדורים זהים לשני תאים‪ ,‬כך שבתא הראשון לפחות שלושה כדורים‪ ,‬ובתא השני מספר זוגי של‬ ‫כדורים‪.‬‬ ‫הוכיחי ש ‪.an= bn‬‬ ‫‪ (6‬א‪ .‬רונית יוצאת לטייל בשכונה בלווית ‪ n‬חיות מחמד היא מזמינה לטיול ‪ 3‬או ‪ 4‬או ‪ 5‬חתולים מפח האשפה ) זה נקרא חתול פ"ז =‬ ‫פח זבל ( אז בקיצר היא יוצאת עם ‪ 3‬או ‪ 4‬או ‪ 5‬חתולי פז מספר כלשהוא של זוגות עורבים ) עורבים באים בזוגות ( כמו כן אם‬ ‫התחזית לאזרחים הסטרים לאורך המסלול רגועה יתכן שרונית תזמין גם את תנין מצריים‪ .‬נסמן ב‪ an -‬את מספר האפשרויות‬ ‫לבחירת ‪ n‬חיות מחמד לטיול של רונית‪ ) .‬חיות מאותו מין ביולוגי נחשבות זהות ( חשבו את הפונקציה היוצרת של ‪. a n‬‬ ‫) תשובה סופית כמנה של פולינומים (‬ ‫ב‪ .‬גם נורית יוצאת לטיול עם ‪ n‬חיות מחמד משלה מספר האפשרויות של נורית לבחור את החיות שלה הוא ‪ bn‬נתון ש‪-‬‬ ‫‪x + x2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫) ‪(1 − x‬‬ ‫∞‬ ‫= ‪bn x n‬‬ ‫∑‬ ‫כמה אופנים יכולה נורית לבחור לעצמה ‪ 23‬חיות מחמד לטיול פסטורלי?‬ ‫‪n=0‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬ ‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬ ‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪6 − 10 x‬‬ ‫‪ (7‬חשבו את ‪ a 22‬בסדרה הנוצרת על ידי‬ ‫‪1 − 7 x + 12 x 2‬‬ ‫∑‬ ‫‪ (8‬בנה פונקציה יוצרת ) ללא‬ ‫= )‪F ( x‬‬ ‫( עבור מספר הדרכים לפזר ‪ n‬כדורים זהים ב‪ 7-‬תאים כך שמספרי הכדורים בתא הראשון‬ ‫ובתא השביעי שווים‪ ,‬בתא השני והשישי יש מספר שווה של כדורים‪ ,‬ובתא הרביעי מספר גדול מאשר בתא הראשון והשני יחד‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ (9‬מצא נוסחה סגורה לסכום‬ ‫‪k‬‬ ‫‪∑k ⋅5‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪k =0‬‬ ‫‪ (10‬נסמן ב‪ an -‬את מספר הדרכים לפזר ‪ n‬כדורים זהים ב‪ 5 -‬תאים כך שלכל ‪ 1 ≤ k ≤ 5‬מספר הכדורים בתא ה‪ k -‬שווה למספר‬ ‫הכדורים בתא ה‪ ,5-k+1 -‬וכך שמספר הכדורים בתא האמצעי גדול מסכום מספרי הכדורים בתא הראשון והשני יחד‪ .‬מצאו ביטוי‬ ‫אלגברי סגור )ללא‬ ‫∑‬ ‫∞‬ ‫( לפונקציה היוצרת ‪. f (x ) = ∑ an x n‬‬ ‫‪n =0‬‬ ‫‪ (11‬ברשותך שלושה כדורים לבנים זהים‪ ,‬שלושה כדורים שחורים זהים‪ ,‬ומאגר בלתי מוגבל של כדורים אדומים וירוקים זהים‪ .‬בכמה‬ ‫אופנים ניתן להרכיב מהם קבוצה ) סדר הכדורים לא משנה ‪ 9‬בת ‪ n‬כדורים‪ .‬פתור הן בעזרת פונקציות יוצרות והן בעזרת הכלה‬ ‫והדחה והשווה את התוצאות‪.‬‬ ‫‪ (12‬יהי ‪ an‬מספר הדרכים לכתוב את ‪ n‬כסכום של מספר אי‪-‬שלילי של ‪-2‬ים‪ ,‬מספר חיובי של ‪-3‬ים‪ ,‬ולכל היותר שני ‪-1‬ים‪ ,‬כאשר סדר‬ ‫המחוברים איננו משנה‪ .‬יהי ‪ bn‬מספר הדרכים לפזר ‪ n‬כדורים זהים לשני תאים‪ ,‬כך שבתא הראשון לפחות שלושה כדורים‬ ‫ובתא השני מספר זוגי של כדורים‪ .‬הוכיחי ש ‪.an= bn‬‬ ‫‪ (13‬א‪ .‬בכמה מספרים קטנים ממליון סכום הספרות הוא ‪ 23‬בדיוק? ) שאלה זו מופיעה גם בפרק על הכלה הדחה (‬ ‫ב‪ .‬בכמה מספרים קטנים ממליון סכום הספרות הוא ‪ 31‬בדיוק?‬ ‫ג‪ .‬בכמה מספרים קטנים ממליון סכום הספרות הוא ‪ 23‬לכל היותר?‬ ‫‪ (14‬הוכיחו כי מספר הפתרונות בשלמים אי‪-‬שליליים למשוואה ‪ x + y + z = n‬כאשר ‪ y‬זוגי‪ 3 ≤ x ≤ 5 ,‬ו‪0 ≤ z ≤ 1-‬‬ ‫שווה למספר הפתרונות בשלמים אי‪-‬שליליים למשוואה ‪ x + y = n‬כאשר ‪ 3 ≤ x‬ו‪. 0 ≤ y ≤ 2 -‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ (15‬נתונות סדרות ‪ (an )n≥0 , (bn )n≥0‬כלשהן‪ ,‬ונתון שאברי הסדרה ‪ (cn )n≥0‬מקיימים ‪ c n = ∑ ai bn−i‬לכל ‪ . n ≥ 0‬נסמן ב‪-‬‬ ‫‪i =0‬‬ ‫‪ (da )n , (db)n , (dc )n‬את סדרות ההפרשים של הסדרות ‪ (an )n ≥0 , (bn )n≥0 , (cn )n≥0‬בהתאמה‪ .‬הוכיחו באמצעות פונקציות יוצרות‬ ‫כי לכל ‪ n ≥ 0‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i =0‬‬ ‫‪i =0‬‬ ‫‪(dc )n = ∑ (da )i bn −i = ∑ a i (db)n −i‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬ ‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬ ‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬ ‫‪14‬‬ ‫תרגילים בנושא רקורסיה‬ ‫‪ (1‬לכל ‪ n‬שלם אי‪-‬שלילי נגדיר את ‪ an‬להיות מספר הסדרות היורדות הלא ריקות‪ ,‬שמורכבות ממספרים טבעיים בין ‪ 1‬ל ‪ ,n‬כך‬ ‫שההפרש בין כל שני מספרים עוקבים בסדרה הוא לפחות ‪ .3‬כתבו נוסחת נסיגה ותנאי התחלה ל ‪. an‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪ o‬הסדרה )‪ (12,9,5,1‬נספרת בחישוב של ‪ , a14‬מכיוון שהיא יורדת‪ ,‬כל הספרות שבה הן בין ‪ 1‬ל ‪ ,14‬וההפרשים בין כל שתי‬ ‫ספרות עוקבות בסדרה הם ‪ 3‬או יותר‪.‬‬ ‫‪ o‬הסדרה )‪ (14‬נספרת בחישוב של ‪ , a14‬מכיוון שהיא יורדת‪ ,‬כל הספרות שבה הן בין ‪ 1‬ל ‪ ,14‬וההפרשים בין כל שתי ספרות‬ ‫עוקבות בסדרה הם ‪ 3‬או יותר )בגלל שאין ספרות עוקבות(‪.‬‬ ‫‪ o‬הסדרה )‪ (12,9,7,1‬אינה נספרת בחישוב של ‪ , a14‬מכיוון שההפרש בין הספרה השנייה והשלישית בסדרה הוא ‪.2‬‬ ‫‪ (2‬א( מצא נוסחת נסיגה ותנאי התחלה עבור מספר האפשרויות לחלק קבוצה בת ‪ n‬אנשים לזוגות ולבודדים‪.‬‬ ‫ב( מצאי נוסחת נסיגה ותנאי התחלה למספר הדרכים לחלק קבוצה של ‪ n‬אנשים לזוגות ולשלשות‪ ,‬כאשר הסדר בין הזוגות‬ ‫והשלשות ובתוך הזוגות והשלשות איננו משנה‪.‬‬ ‫‪ (3‬בחפיסת קלפי טאקי יש מספר לא מוגבל של קלפים בצבעים צהוב‪ ,‬אדום‪ ,‬כחול וירוק‪ ,‬ואיננו מבחינים בין קלפים שונים מאותו‬ ‫צבע‪ .‬יהי ‪ an‬מספר ערימות קלפי טאקי בגודל ‪ n‬שבהם מעל קלף אדום או כחול אסור לשים קלף צהוב או ירוק‪ .‬מצאי נוסחת‬ ‫נסיגה ותנאי התחלה ל ‪.an‬‬ ‫‪ (4‬מצא יחס רקורסיבי ותנאי התחלה עבור מספר המילים באורך ‪ n‬מעל } ‪ { A, B , C‬ללא הרצפים הבאים‪ ) .‬כל סעיף שאלה בפני עצמה (‬ ‫א( ‪CC‬‬ ‫ב( ‪AB‬‬ ‫ג( ‪AA , AB‬‬ ‫פתרון בשתי דרכים ז( ‪BA , CA‬‬ ‫ד(‬ ‫ח( ‪AA, BB‬‬ ‫‪AA , BA‬‬ ‫ה( ‪AA , AB , AC‬‬ ‫ט( ‪AA , BB , CC‬‬ ‫ו( ‪ AB , BC‬באתר מצורף‬ ‫י( ‪BC , CB‬‬ ‫‪ (5‬מצא יחס רקורסיבי ותנאי התחלה עבור מספר הדרכים לרצף שביל באורך ‪ n‬במרצפות אדומות באורך ‪ ,2‬מרצפות צהובות באורך ‪2‬‬ ‫מרצפות ירוקות באורך ‪ ,2‬ומרצפות שחורות ומרצפות לבנות באורך ‪ 1‬כל אחת‪ .‬ולאחר פתור את יחס הנסיגה שקיבלת‪ ,‬קבל נוסחה‬ ‫מפורשת‪ ,‬וחשב את ארבעת האיברים הראשונים בשתי דרכים‪ .‬אחת לפי היחס הרקורסיבי ושתים ע"י הצבה בנוסחה המפורשת שמצאת‪.‬‬ ‫‪ (6‬עבור ‪ n‬טבעי מהו מספר הסדרות הפלינדרומיות באורך ‪ n‬מעל קבוצת הספרות העשרוניות }‪) {0,1,2,...,9‬סידרה ‪ x1 ,..., x n‬היא‬ ‫פלינדרומית אם ‪ xi = xn −i +1‬לכל ‪ 1 ≤ i ≤ n‬ובעברית יותר קלה אם בקריאתה מהסוף להתחלה או מההתחלה לסוף מתקבלת‬ ‫אותה סדרה למשל כמו ‪.( 1, 7, 2, 2, 2, 7,1‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬ ‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬ ‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪ (7‬נתבונן בסדרות סופיות של סימנים‪ ,‬הלקוחים מתוך ‪ 6‬סימנים אלה‪ :‬הספַרות ‪ 0,1‬וארבעה סימני פעולה‪:‬‬ ‫‪./ ,∗, − , +‬‬ ‫ובכפוף לתנאים הבאים‪:‬‬ ‫א‪ .‬הסדרה נפתחת ומסתיימת בסִפרה ‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אין הופעות צמודות של סימני פעולה‪.‬‬ ‫דוגמאות של סדרות העונות על התנאים‪:‬‬ ‫דוגמאות של סדרות שאינן עונות על ה תנאים‪:‬‬ ‫‪0100 /101 − 11 + 1010‬‬ ‫‪, −00‬‬ ‫‪, +00 + 10‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪. 001‬‬ ‫‪. 101 + / 00‬‬ ‫נסמן ב‪ a n -‬את מספר הסדרות הללו שבהן בדיוק ‪ n‬סימנים‪.‬‬ ‫א( מצא יחס נסיגה עבור ‪. an‬‬ ‫ב( מצא אופן ישיר את ‪ . a0 , a1 , a2 , a3‬בדוק בעזרת הערכים שקיבלת את יחס הנסיגה שרשמת ‪.‬‬ ‫ג( פתור את יחס הנסיגה וקבל נוסחה מפורשת עבור ‪ . an‬ובדוק בעזרת הנוסחה הנ"ל את תוצאות סעיף ב'‪.‬‬ ‫‪ (8‬בידינו מספר בלתי‪-‬מוגבל של בלוקים זהים בגודל ‪: 2 × 1‬‬ ‫ומספר בלתי‪-‬מוגבל של בלוקים זהים בגודל ‪2 × 2‬‬ ‫‪:‬‬ ‫עלינו לרצף מלבן שממדיו ‪: n × 2‬‬ ‫)בציור ‪.( n = 7‬‬ ‫אסור לחרוג מגבולות המלבן‪ .‬בלוק של ‪ 2 × 1‬אפשר להניח כרצוננו "שוכב" או "עומד"‪.‬‬ ‫יהי ‪ a n‬מספר הריצופים השונים האפשריים‪.‬‬ ‫א‪ .‬רשום יחס נסיגה עבור ‪) a n‬הסבר אותו( ותנאי התחלה מספיקים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬פתור את יחס הנסיגה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬חשב את ‪ a 4‬בשתי דרכים‪ :‬מתוך יחס הנסיגה שבסעיף א'‬ ‫‪ (9‬תנו ביטוי מפורש ל‪ an -‬בנוסחאות הנסיגה הבאות וחשבו את ‪ a 3 , a4 , a5‬בשתי דרכים‪ ,‬אחת בעזרת יחס הנסיגה ושתיים‬ ‫בעזרת הנוסחה המפורשת‪.‬‬ ‫כאשר ‪a0 = 3 , a1 = 7‬‬ ‫א( ‪a n = 5an −1 − 6a n− 2‬‬ ‫ב( ‪a n+ 1 = 5a n − 4an −1‬‬ ‫ג( ‪a n = 4an −1 − 4a n− 2‬‬ ‫ד( ‪a n + 1 = 7 a n − 1 + 6 a n − 2‬‬ ‫ה( ‪= 4a n − 5an −1 + 2a n− 2‬‬ ‫‪a n+ 1‬‬ ‫כאשר ‪a0 = 1 , a1 = 1‬‬ ‫כאשר ‪a0 = −1 , a1 = 4‬‬ ‫כאשר ‪a0 = 1 , a1 = 0 , a 2 = 7‬‬ ‫כאשר ‪a0 = 1 , a1 = 4 , a2 = 11‬‬ ‫ו( ‪a n = 7a n −1 − 10a n− 2 + 16n‬‬ ‫ז ( ‪a n = 6 a n −1 − 8 a n − 2 − 3‬‬ ‫כאשר ‪a1 = 19 , a0 = 14‬‬ ‫כאשר ‪a0 = 1 , a1 = 9‬‬ ‫ח( ‪a n = 6an −1 − 8an − 2 − 3 n‬‬ ‫כאשר ‪a0 = 1 , a1 = 9‬‬ ‫ט( ‪an = 6an −1 − 8an − 2 − 2n‬‬ ‫כאשר ‪a0 = 1 , a1 = 10‬‬ ‫י( ‪a n = 10an −1 − 25an − 2 + 5n‬‬ ‫יא( ‪a n = 3a n−1 − 2a n− 2 + 2 n + n‬‬ ‫כאשר ‪a0 = −1 , a1 = 7 12‬‬ ‫כאשר ‪a0 = 1 , a1 = 2‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬ ‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬ ‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪ (10‬מצא נוסחת נסיגה ותנאי התחלה עבור הסידרה ‪ a n‬המקיימת‪. a n = 2 2n +1 − 3 n (n − 1) + 1 :‬‬ ‫‪ (11‬כתוב נוסחת נסיגה ‪ , an ,‬למספר הסדרות באורך ‪ n‬בספרות ‪ 0,1,2‬ללא ‪ 00‬ו‪. 12 -‬‬ ‫‪ (12‬איש ציבור נורמטיבי לוקח שוחד כל שנה בסכום ‪ 2‬מיליון דולר‪ 4,‬מיליון דולר או ‪ 6‬מיליון דולר‪ .‬כדי לא למשוך תשומת לב‬ ‫הוא לא לוקח שנתיים ברצף שוחד על סך ‪ 6‬מיליון דולר‪ .‬נסמן ב ‪ an‬את מספר סדרות השוחד השונות שיכול לצבור איש ציבור‬ ‫בשירות נורמטיבי בן ‪ n‬שנים‪.‬‬ ‫דוגמה‪ :‬במשך ‪ 4‬שנים ניתן לצבור את סדרת השוחד ‪ ;2,2,2,2‬את סדרת השוחד ‪ ;2,4,2,6‬את סדרת השוחד‬ ‫‪ ;4,2,2,6‬ועוד כהנה וכהנה‪ .‬שימי לב ששתי הסדרות האחרונות נספרות כשתי סדרות שוחד שונות‪.‬‬ ‫רשמי נוסחת נסיגה ותנאי התחלה ל ‪.an‬‬ ‫‪ (13‬לכל ‪ n ∈ ℕ‬נסמן ע"י ‪ an‬את מספר המילים מעל }‪ { A, B, C , D , E‬שלא מכילות אף אחד מהרצפים ‪AA, BA, CA‬‬ ‫מצא נוסחה מפורשת עבור ‪. a n‬‬ ‫‪ (14‬יהי ‪ an‬מספר הסדרות באורך ‪ , n‬שאבריהן שייכים לקבוצה }‪ {1,2,3…,8‬ומקיימות את התנאי‬ ‫הבא‪ :‬לא מופיעים בסדרה מספרים זוגיים זה בסמוך לזה‪.‬‬ ‫א( מצאו יחס נסיגה עבור ‪ , a n‬רשמו את ‪. a0 , a1‬‬ ‫ב( פתרו את יחס הנסיגה וקבלו ביטוי מפורש עבור ‪. a n‬‬ ‫ג( חשבו את ‪ a2‬מנוסחת הרקורסיה ומהביטוי המפורש‪ ,‬ובדקו שהתקבל אותו ערך‪.‬‬ ‫‪ (15‬לקינוח שאלה קשה‪.‬‬ ‫כמה טיולים באורך ‪ n‬המתחילים בקודקוד ‪ 1‬ומסתיימים בקודקוד ‪ 1‬יש בגרף‬ ‫לדוגמה עבור ‪ n = 2‬יש שני טיולים כאלה והם ‪1, 2,1‬‬ ‫לדוגמה עבור ‪ n = 4‬יש שישה טיולים כאלה והם‬ ‫)‪( 1, 2,1, 6,1) , ( 1, 6,1, 2,1) , ( 1,6,1, 6,1) , ( 1, 6, 5, 6,1) , ( 1, 2,1, 2,1) . ( 1, 2, 3, 2,1‬‬ ‫ו‪1, 6,1 -‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬ ‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬ ‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬ ‫‪17‬‬ ‫תרגילים בנושא שובך היונים‬ ‫‪ (1‬תהי }‪ A = {1, 2, 3,⋯ , 49‬הוכח כי לכל בחירה של קבוצה ‪ B ⊆ A‬כך ש‪ B = 26 -‬יהיו ב‪ B -‬לפחות שני איברים שסכומם ‪.49‬‬ ‫‪ (2‬תהי ‪ A‬קבוצה של שישה מספרים מתוך }‪ {1, …11‬הוכח כי קיימות שתי תתי קבוצות של ‪ A‬שסכום אבריהן שווה‪.‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫מה הגודל המירבי של קבוצה של מספרים טבעיים שבה אין שני מספרים שסכומם או הפרשם מתחלק ב‪ ?3009-‬נמקו!!!‬ ‫‪ (4‬תהי ‪ A‬קבוצה של ‪ n‬מספרים טבעיים כלשהם‪ .‬הוכח שקיימת קבוצה חלקית לא‪-‬ריקה של ‪ ,A‬שסכום איבריה מתחלק ב‪n -‬‬ ‫‪ (5‬הוכח כי בכל צביעה של המישור בשני צבעים כחול ואדום יש שתי נקודות שמרחקן‪ ,‬אחד והן צבועות באותו צבע‪.‬‬ ‫‪ (6‬יהי ‪ n ∈ ℕ‬הוכח כי קיים ‪ k ∈ ℕ‬כך שבמספר הטבעי ‪ k ⋅ n‬מופעיות הספרות ‪ 7‬ו‪ 0-‬בלבד‪.‬‬ ‫‪ (7‬הוכח כי מבין כל ‪ 12‬מספרים דו ספרתיים יש שניים שהפרשם בעל שתי ספרות זהות‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ (8‬הוכח כי מבין כל בחירת ‪ 26‬נקודות בתוך משולש שווה צלעות שאורך צלעו הוא אחד יש שתי נקודות שהמרחק בינהן קטן מ‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ (9‬הוכח כי בכל בחירה של ‪ n + 1‬מספרים מתוך הקבוצה }‪ {1,2,3,⋯ ,2n‬יש שני מספרים ‪ x , y‬כך ש‪-‬‬ ‫א‪ x , y .‬זרים‪ ) .‬כלומר המחלק המשותף המקסימלי שלהם הוא ‪( .1‬‬ ‫ב‪ x .‬מתחלק ב‪ y -‬ללא שארית‪.‬‬ ‫ג‪ .‬הראה כי החסם הנ"ל הדוק‪ ,‬כלומר אפשר לבחור ‪ n‬מספרים מבלי שיתקיימו תנאי א' ו‪-‬ב'‪.‬‬ ‫‪ (10‬בוחרים ‪ 46‬מספרים מתוך הקבוצה }‪ {1,2,3,⋯ ,81‬הוכח כי יש שני מספרים שהפרשם הוא בדיוק ‪( .9‬‬ ‫הוכח גם כי המספר הנ"ל הדוק‪ ) .‬כלומר מצא ‪ 45‬מספרים מתוך }‪ {1,2,3,⋯ ,81‬שאין בהם שניים שהפרשם הוא בדיוק ‪( .9‬‬ ‫‪ (11‬תהי ‪ A‬קבוצה בת ‪ 20‬מספרים שנבחרו במתוך הסדרה החשבונית ‪ 1,4,7,10,⋯ ,100‬הוכח כי יש שני מספרים שסכומם ‪.104‬‬ ‫‪ n (12‬אנשים נפגשו במסיבה ולחצו ידיים‪ .‬הוכח כי יש שני אנשים שלחצו בדיוק אותו מספר ידיים‪.‬‬ ‫‪ (13‬הוכח כי בכל צביעה של קשתות הגרף השלם ‪ K 6‬בשני צבעים יש משולש מונוכרומטי‪.‬‬ ‫‪ (14‬הוכח כי בכל גרף יש שני קודקודים בעלי אותה דרגה‪.‬‬ ‫‪ (15‬לפוליטיקאי נותרו ‪ 50‬ימים עד לבחירות‪ .‬הוא מתכנן נאומי בחירות‪ .‬לפחות אח ביום אך לא יותר מ‪ 75-‬נאומים בס"ה‪ .‬הוכח כי‬ ‫קיימת סדרת ימים שבהם הוא נואם בס"ה ‪ 24‬מאומים‪.‬‬ ‫‪ (16‬יהי ‪ n ∈ ℕ‬הוכח כי קיים ‪ m ∈ ℕ‬כך ש‪ n -‬מחלק את ‪ . 2m − 1‬הדרכה‪ :‬התבונן ב‪− 1-‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪. 2 − 1, 2 − 1, 2 − 1,⋯ 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬ ‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬ ‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪18‬‬ ‫תרגילים בנושא גרפים‬ ‫הערה‪ :‬השאלות באדום אינן מיועדות ללומדים במכללת אפקה‪.‬‬ ‫‪ (1‬יהי ‪ G‬גרף פשוט בעל ‪ n‬קודקודים‪ .‬הוכח כי אם לכל שני קודקודים ‪ x, y ∈ V‬מתקיים ‪ d ( x ) + d ( y ) ≥ n − 1‬אז ‪ G‬קשיר‪.‬‬ ‫‪ (2‬יהי ‪ G‬גרף פשוט בעל ‪ n = 100‬קודקודים הוכח כי אם לכל קודקוד ‪ x ∈V‬מתקיים ‪ d ( x ) ≥ 50‬אז יש ב‪ G -‬מעגל באורך ‪. 4‬‬ ‫‪ (3‬הוכח כי בכל גרף פשוט על ‪ 100‬קודקודים שבו כל הדרגות הן לפחות ‪ 10‬יש מעגל באורך ≥ ‪. 4‬‬ ‫‪ (4‬יהי ‪ G‬גרף דו צדדי ‪ V1 ∩ V2 = ∅ , V = V1 ∪ V2‬נתון כי ‪ G‬הוא ‪ d‬רגולרי‪ , d ≥ 1 .‬הוכח כי ‪. V1 = V2‬‬ ‫‪ (5‬יהי ‪ G‬גרף פשוט הוכח כי לפחות אחד מבין הגרפים ‪ G , G‬הוא קשיר‪ .‬ובניסוח שקול‪ :‬הוכח כי בכל צביעת קשתות הגרף השלם‬ ‫‪ K n‬בשני צבעים לפחות אחד הגרפים החד צבעיים הוא קשיר‪.‬‬ ‫‪ n − 1‬‬ ‫‪ ( ★ ) E > ‬אז ‪ G‬קשיר‪ .‬כאשר‬ ‫‪ (6‬יהי ‪ G‬גרף פשוט בעל ‪ n‬קודקודים‪ .‬הוכח כי אם ‪‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪ E‬זה מספר הקשתות‪.‬‬ ‫‪ n − 1‬‬ ‫‪ E = ‬כך ש‪ G -‬אינו קשיר‪ .‬זה מראה שלא ניתן לשפר את אי‬ ‫הראה כי חסם זה הדוק‪ .‬כלומר הראה גרף פשוט ‪ G‬עבורו ‪‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫השוויון ) ★ ( ‪.‬‬ ‫‪ (7‬יהי ‪ T‬עץ בעל ‪ n‬קודקודים‪ .‬נתון כי דרגותיו הן ‪ 1, 3, 5‬בלבד‪ .‬יש ‪ 7‬קודקודים מדרגה ‪ 3‬ו‪ 10 -‬מדרגה ‪ . 5‬כמה עלים יש בעץ?‬ ‫‪ (8‬יהי ) ‪ T = (V , E‬עץ שבו‪ . V = n :‬דרגות צמתי ‪ T‬הן‪ 1,3,5 :‬בלבד‪ .‬מס' הצמתים שלהם דרגה ‪ 3‬הוא ‪ 10‬ומס' הצמתים שלהם‬ ‫דרגה ‪ 5‬הוא ‪ .12‬כמה עלים )צמתים מדרגה ‪ (1‬יש לעץ ?‬ ‫‪ (9‬יהיו ) ‪ T1 = (V , E1 ) , T2 = (V , E 2‬שני עצים על אותה קבוצת קודקודים‪ .‬נגדיר גרף ‪ G‬על אותה קבוצת קודקודים וקשתותיו‬ ‫‪ E = E1 ∪ E 2‬הוכח כי קיים ‪ x ∈ V‬כך ש‪ ) . d ( x ) ≤ 3 -‬דרגתו של ‪ x‬ב‪( G -‬‬ ‫‪ (10‬צובעים ב‪ n ≥ 2 -‬צבעים את קשתות הגרף השלם ‪ K n‬כך שכל צבע מופיע לפחות פעם אחת הוכח כי קיים מעגל שכל קשתותיו‬ ‫צבועות בצבעים שונים‪.‬‬ ‫‪ (11‬הוכיחו בכל גרף שכל דרגותיו ‪ 4‬ניתן לצבוע את קשתותיו כך מכל קודקוד יצאו בדיוק שתי קשתות מכל צבע‪.‬‬ ‫‪ (12‬יהי ) ‪ G = (V , E‬גרף פשוט הוכח כי אם ‪ V = E‬אז ב‪ G -‬יש מעגל ואם ‪ G‬קשיר אז המעגל יחיד‪.‬‬ ‫‪ (13‬יהי ) ‪ G = (V , E‬גרף פשוט ויהיו ‪ x, y ∈ V‬שני קודקודים לא שכנים הוכח כי אם ‪ d ( x ) + d ( y ) ≥ n‬אז יש ל‪ x -‬ול‪y -‬‬ ‫לפחות שני שכנים משותפים‪.‬‬ ‫‪ (14‬הוכח כי בכל צביעת קשתות הגרף השלם ‪ K n‬בשני צבעים קיים עץ פורש מונוכרומטי‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬עץ פורש הוא עץ שקודקודיו הם כל קודקודי ‪ G‬וקשתותיו הן חלק מקשתות ‪. G‬‬ ‫‪ (15‬יהי ) ‪ , V = n, G = (V , E‬גרף פשוט וחסר מעגלים שבו ‪ k‬רכיבי קשירות‪ ,‬הוכיחו כי‪. E = n − k :‬‬ ‫‪ (16‬מהי העוצמה הגדולה ביותר האפשרית לקבוצה של עצים על קבוצת הקודקודים‪ V = {1, 2,3, 4,5, 6} :‬שאף שניים מהם אינם‬ ‫איזומורפיים?‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬ ‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬ ‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪ (17‬יהי ‪ G‬גרף פשוט על ‪ n ≥ 2‬צמתים ויהיו ‪ u, v ∈ V‬קודקודים שא ינם שכנים‪ .‬הוכח כי אם‬ ‫‪2‬‬ ‫≥ ) ‪ d ( u ) , d ( v‬אז יש ל‪-‬‬ ‫‪ u, v‬לפחות שלושה שכנים משותפים‪.‬‬ ‫‪ (18‬בכמה עצים על קבוצת הצמתים }‪ {1, 2, 3,4, 5, 6‬אין שום צומת מדרגה זוגית?‬ ‫‪ (19‬יהי ‪ K m ,n‬גרף דו צדדי שלם‪ .‬הוכח כי ‪ K m ,n‬המילטוני ⇔ ‪. m = n‬‬ ‫‪ (20‬יהיו ) ‪G1 = (V1 , E1 ) , G2 = (V2 , E2‬‬ ‫∅ = ‪ E1 ∩ E1 = ∅ , V2 ∩ V2‬שני גרפים אוילריים פשוטים‪ .‬נגדיר ) ‪G = (V , E‬‬ ‫באופן הבא‪ V = V1 ∪ V2 , E = E1 ∪ E 2 :‬ומלכדים צומת ‪ u1 ∈ V1‬עם צומת ‪ . u2 ∈ V2‬האם ‪ G‬אוילרי? ואם נחבר את ‪ u1‬עם‬ ‫‪ u2‬במקום ללכד אותם האם כעת ם ‪ G‬אוילרי?‬ ‫‪ (21‬יהיו ‪ G1 , G2‬שני גרפים איזומורפיים‪ .‬הוכח כי ‪ G1‬חסר מעגלים ⇔ ‪ G2‬חסר מעגלים‪ .‬הסק כי ‪ G1‬עץ ⇔ ‪ G2‬עץ‪.‬‬ ‫‪ (22‬הוכח כי בכל צביעה של קשתות ‪ K 2t +1‬ב‪ t -‬צבעים נקבל מעגל חד צבעי‪.‬‬ ‫‪ (23‬יהי ) ‪ T = (V , E‬עץ‪ .‬הוכיחו שאם כל דרגותיו אי‪-‬זוגיות אזי גם ‪ E‬הוא מספר אי‪-‬זוגי‪.‬‬ ‫‪E ≤ n4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (24‬יהי ) ‪ G = (V , E‬גרף דו‪-‬צדדי פשוט‪ . V = n .‬הוכיחו כי‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ (25‬יהי ) ‪ G = (V , E‬גרף כך ש‪V = P2 ({1, 2, .., n} ) , ( n ≥ 2 ) :-‬‬ ‫‪A, B ∈ V‬‬ ‫‪A ∩ B = φ,‬‬ ‫⇔‬ ‫‪e∈ E‬‬ ‫)‪ (i‬חשבו את ‪. V‬‬ ‫)‪ (ii‬מהי דרגת כל צומת ?‬ ‫)‪ (iii‬הוכיחו כי אם ‪ n ≥ 5‬אזי ‪ G‬קשיר )רמז‪ :‬דרך השלילה(‪.‬‬ ‫‪ (26‬כמה גרפים שונים על קבוצת הקודקודים }‪ V = {1, 2, ..., n‬איזומורפיים לגרף הבא‪:‬‬ ‫‪n-2‬‬ ‫‪k+1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪... k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n-1‬‬ ‫תנו תשובה לכל ‪ k , n‬טבעיים המקיימים ‪ 2 ≤ k ≤ n − 3‬הפרידו בין המקרים ‪. n ≠ 2k + 2 , n = 2k + 2‬‬ ‫‪ (27‬מהו האורך המירבי של מסלול ב‪ ? K 2 n+1 -‬נמקו‪.‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬ ‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬ ‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪ (28‬נתונים שלושה גרפים בעלי אותה קבוצת קודקודים‪ G2 = (V , E 2 ) , G1 = (V , E1 ) :‬ו‪ . G3 = (V , E 3 ) -‬נגדיר‪:‬‬ ‫) ‪ G = (V , E1 ∪ E 2 ∪ E 3‬איחוד שלושת הגרפים‪ ,‬ונניח כי לכל קודקוד ב‪ V-‬דרגתו ב‪ G-‬היא לפחות ‪ .6‬הוכיחו כי לפחות אחד‬ ‫מהגרפים ‪ G2 , G1‬ו‪ G3 -‬אינו חסר‪-‬מעגלים‪.‬‬ ‫‪ (29‬יהי ‪ T‬עץ על ‪ n ≥ 3‬קודקודים ויהי ‪ v‬קדקוד ב‪ T-‬מדרגה ‪ .2‬יה י ‪ k‬מספר רכיבי הקשירות של ‪) T − v‬שהוא תת הגרף של ‪ T‬המתקבל‬ ‫ממחיקת ‪) v‬והקשתות ש‪ v -‬קצה שלהן(‪ .‬מה הם הערכים האפשריים עבור ‪ ? k‬הוכיחו טענתכם‬ ‫‪ (30‬יהי ‪ G‬גרף פשוט על ‪ 10‬קודקודים שיש בו ‪ 41‬קשתות‪ .‬הוכיחו‪ (i) :‬יש לפחות שני קודקודים ב‪ G-‬שדרגתם היא ‪ G (ii) .9‬קשיר‪.‬‬ ‫‪ (31‬כמה מעגלים פשוטים באורך ‪ 3 ≤ k ≤ n‬יש בגרף השלם ‪ K n‬על קבוצת הקודקדוים }‪ ? {1, 2, 3, 4,⋯ , n‬שני מעגלים המתקבלים‬ ‫אחד מין השני ע"י סיבוב נחשבים זהים‪ .‬למשל עבור ‪ n = 5‬שני המעגלים הבאים ‪1, 2, 3, 4, 5,1‬‬ ‫ואילו המעגלים ‪1, 2, 3,1‬‬ ‫ו‪ 3,4, 5,1, 2, 3 -‬נחשבים זהים‬ ‫ו‪ 1, 3, 2,1 -‬אינם זהים‪.‬‬ ‫‪ (32‬יהי ‪ Gn‬גרף פשוט שקודקודיו הם כל התת קבוצות של }‪ {1, 2, 3, 4,⋯ , n‬למעט ∅ ו‪ {1, 2, 3, 4,⋯ , n} -‬עצמה‪ .‬שני קודקודים‬ ‫הם שכנים אם ורק אם אף אחד אינו מוכל במשנהו‪.‬‬ ‫‪ .a‬הוכח כי לכל ‪ Gn n ≥ 2‬קשיר‪.‬‬ ‫‪ .b‬הוכח כי אם ‪ v‬תת קבוצה בת ‪ k‬אברים של }‪ {1, 2, 3, 4,⋯ , n‬אז דרגתה כקודקוד ב‪ Gn -‬היא ‪− 2 + 1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪n− k‬‬ ‫‪.2 −2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ .c‬הוכח כי לכל ‪ n ≥ 3‬קיים מעגל המילטון ב‪ . Gn -‬מותר להסתמך על סעיפים קודמים ועל העובדה ש‪2n− k + 2k ≤ 2n−1 + 2 -‬‬ ‫‪ (33‬בכמה עצים על קבוצת הקודקודים }‪ {1, 2, 3, 4,⋯ ,10‬כל העלים הם מספרים זוגיים?‬ ‫‪ (34‬מיהו העץ הממוספר המותאם למילה‪?( (1,1,3, 4,3, 6,10,1) :‬‬ ‫‪ (35‬יהיו ‪ T2 = V2 , E2 , T1 = V1 , E1‬עצים‪.‬‬ ‫נגדיר גרף ‪ G‬באופן הבא‪G = V1 ∪ V2 , E1 ∪ E2 :‬‬ ‫‪ .d‬נתון כי‪ . V1 ∩ V2 = {v} :‬האם ‪ G‬בהכרח עץ ? נמקו‪.‬‬ ‫‪ .e‬נתון כי‪ . E1 ∩ E2 = {e} :‬האם ‪ G‬בהכרח עץ ? נמקו‪.‬‬ ‫‪ .f‬יהי ) ‪ T = (V , E‬עץ שדרגות כל צמתיו אי‪-‬זוגיות‪ .‬הוכיחו כי ‪ E‬הוא מספר אי‪-‬זוגי‪.‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬ ‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬ ‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪ (36‬יהי ‪ T‬עץ על ‪ n ≥ 4‬קודקודים‪ .‬אורך המסלול הפשוט הארוך ביותר ב‪ T-‬הוא ‪) n − 2‬יש מסלול פשוט באורך ‪ n − 2‬ואין מסלול‬ ‫ארוך יותר(‪ .‬מהן דרגות קודקודי ‪ ? T‬רשמו או תן בסדר עולה משמאל לימין )סדרת הדרגות(‪ .‬יהי ‪ G‬גרף פשוט ‪-3‬רגולארי על‬ ‫‪ n ≥ 4‬קודקודים‪ .‬נתון שב‪ G-‬יש מעגל המילטון‪ .‬הוכיחו שתת הגרף של ‪ G‬המתקבל ממחיקת כל הקשתות ששייכות למעגל‬ ‫‪n‬‬ ‫המילטון הוא בעל‬ ‫‪2‬‬ ‫רכיבי קשירות )בפרט‪ ,‬עליכם להוכיח ש‪ n-‬זוגי!(‪.‬‬ ‫‪ (37‬יהי ‪ G‬גרף בעל שני רכיבי קשירות‪ T1 ,‬ו‪ , T2 -‬שכל אחד מהם עץ‪ .‬מוסיפים שתי קשתות חדשות ל‪) G-‬קבוצת הקודקודים נשארת‬ ‫~‬ ‫ללא שינוי( ומתקבל גרף חדש ‪. G‬‬ ‫~‬ ‫)‪ (i‬הוכיחו שב‪ G -‬בהכרח יש מעגל‬ ‫~‬ ‫)‪ (ii‬בנו דוגמה שבה ב ‪ G -‬יש מעגל המילטון‬ ‫‪ (39‬נתונה קבוצה של ‪ 10‬קודקודים‪ ,‬ואוסף שקפים שעליהם מצויירים עצים על אותם עשרה קודקודים‪ .‬גיורא מניח מספר כלשהו של‬ ‫שקפים זה על זה‪ ,‬ומקפיד שאף קשת משקף אחד לא תכסה על אותה קשת בשקף אחר )כלומר אין אף קשת משותפת לשני עצים‬ ‫שונים(‪ .‬הוכיחו שהגרף שגיורא מקבל מאיחוד העצים שמצויירים על השקפים לא יכול להיות גרף שכל דרגותיו שוות ל ‪.5‬‬ ‫רמז‪ :‬חשבו את מספר הקשתות בגרף‪.‬‬ ‫‪ (40‬יהי ‪ G‬גרף פשוט על ‪ n ≥ 3‬קודקודים‪ .‬נתון‪ n (i) :‬מספר זוגי‪ (ii) .‬כל הדרגות ב‪ G-‬שוות )כלומר ‪ G‬גרף רגולרי(‪ (iii) .‬גם ‪ G‬וגם‬ ‫‪ G‬קשירים‪ .‬הוכיחו שלפחות באחד מבין ‪ G‬ו‪ G -‬יש מעגל המילטון‪.‬‬ ‫‪ (41‬מחקו ‪ n − 1‬קשתות מן הגרף הדו‪-‬צדדי השלם ‪ ( n ≥ 1 ) K 2,n‬והתקבל גרף ‪ G‬שאין בו קודקודים מבודדים )כלומר אין בו קודקודים‬ ‫שדרגתם אפס(‪ .‬הוכיחו ש‪ G-‬הוא עץ‪.‬‬ ‫‪ (42‬כמה גרפים שונים על קבוצת הקודקודים } ‪ V = {v1 , v2 ,..., v12‬איזומורפים לגרף הבא‪:‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬ ‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬ ‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪ (43‬יהיו ) ‪ G2 = (V , E 2 ) , G1 = (V , E1‬שני גרפים על אותה קבוצת קודקודים ‪ . V‬מגדירים את הגרף‬ ‫) ‪G = (V , E 1 ⊕ E 2‬‬ ‫כאשר כאשר ‪ E1 ⊕ E 2‬הוא ההפרש הסימטרי של שתי קבוצות הקשתות‪ ) .‬כל הקשתות שנמצאות ב‪ E1 -‬או ב‪ E 2 -‬אבל לא‬ ‫בשתיהן ( הוכח כי אם ב‪ G1 , G2 -‬יש מעגל אוילר ואם ‪ G‬קשיר אז גם בו יש מעגל אוילר‪.‬‬ ‫‪ (44‬יהי ‪ G‬גרף שקודקודיו הן תתי קבוצות בנות ‪ 4‬איברים של }‪ {1, 2, 3,⋯ , 8‬כאשר שני קודקוים הם מחוברים אם ורק אם בחיתוך‬ ‫שתי הקבוצות יש ‪ 2‬איברים בדיוק‪ .‬האם ב‪ G -‬יש מעגל המילטון?‬ ‫‪ (45‬הוכיחי‪ ,‬או תני דוגמה נגדית והסבירי מדוע היא דוגמה נגדית‪ :‬אם לשני גרפים אותה רשימת דרגות )כלומר אם נסדר את דרגות‬ ‫קודקודי כל אחד מהגרפים בסדר עולה‪ ,‬נקבל אותה סדרה(‪ ,‬אז הגרפים איזומורפיים‪.‬‬ ‫‪ (46‬יהי ‪ G‬גרף‪ ,‬לאו דווקא קשיר‪ ,‬שכל דרגותיו איזוגיות‪ .‬נבנה גרף ‪ H‬שקודקודיו הם קודקודי ‪ G‬ועוד קודקוד חדש ‪ ,v‬וקשתותיו הם‬ ‫קשתות ‪ G‬וכל הקשתות האפשריות בין ‪ v‬לקודקודי ‪ .G‬הוכיחי שב ‪ H‬יש מעגל אוילר‪.‬‬ ‫‪ (47‬יהי ‪ G‬גרף קשיר על ‪ 13‬קודקודים‪ ,‬שניתן לצבוע בשלושה צבעים )כלומר אפשר לצבוע את הקודקודים בשלושה צבעים‪ ,‬כך שאין‬ ‫שני קודקודים מאותו צבע שמחוברים בקשת(‪ .‬הוכיחי שיש בגרף ‪ 5‬קודקודים שאף אחד מהם לא מחובר לאף אחד אחר‪.‬‬ ‫‪ (48‬כמה גרפים שונים זה מזה ואיזומורפיים לגרף שמצויר להלן‪,‬‬ ‫אפשר לבנות על קבוצת הקודקודים }‪?{a,b,c,d,e,f‬‬ ‫‪ (49‬כמה עצים יש על הקודקודים }‪ {1,… n‬שלהם בדיוק שני עלים?‬ ‫‪ (50‬הוכח כי בכל צביעת קשתות הגרף השלם ‪ K 6‬בשני צבעים יש משולש מונוכרומטי‪.‬‬ ‫‪ (51‬הוכיחו כי בכל קבוצה של ‪ 9‬אנשים יש בהכרח לפחות ‪ 4‬המכירים זה את זה או לפחות ‪ 3‬שאף שניים מהם אינם מכירים זה את זה‪.‬‬ ‫‪ (52‬יהי ‪ G‬גרף שקודקודיו הם תתי קבוצות בנות ‪ 4‬אברים של הקבוצה }‪ n) {1,2,…,n‬גדול מ ‪ .(6‬שני קודקודים מחוברים בקשת בגרף‬ ‫אם בחיתוך שלהם יש שני אברים בדיוק‪ .‬לדוגמה‪ ,‬הקודקוד }‪ {1,2,3,4‬שכן של }‪ {1,2,7,8‬אך לא של }‪.{1,2,3,7‬‬ ‫כמה קודקודים בגרף סה"כ הם שכנים של }‪ {1,2,3,5} ,{1,2,3,4‬או }‪?{1,2,4,5‬‬ ‫‪ (53‬יהי ‪ T‬עץ‪ .‬נוסיף ל ‪ T‬קודקוד שנקרא לו ‪ ,v‬וקשתות מ ‪ v‬לחלק מקודקודי ‪ .T‬מה צריכה להיות דרגת ‪ v‬כדי שבגרף המתקבל יהיה‬ ‫בדיוק מעגל פשוט אחד? הוכיחי שאם דרגת ‪ v‬תהיה גדולה יותר‪ ,‬בגרף יהיה יותר ממעגל פשוט אחד‪.‬‬ ‫‪ (54‬הוכיחי את הטענה הבאה‪ ,‬או תני דוגמה נגדית והסבר שמראה שאכן מדובר בדוגמה נגדית‪ :‬אם בגרף יש מעגל המילטון‪ ,‬אז יש בו‬ ‫מעגל אוילר‪.‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬ ‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬ ‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪ G (55‬גרף עם ‪ 20‬קודקודים ו‪ 15-‬קשתות ללא מעגלים‪ .‬כמה רכיבי קשירות בגרף?‬ ‫‪ (56‬יהי ‪ G‬גרף פשוט קשיר בן ‪ 7‬קודקודים שסדרת דרגותיו היא ‪ .3,2,2,2,1,1,1‬כמה מעגלים פשוטים יש בגרף?‬ ‫‪ (57‬יהי ‪ T‬עץ על ‪ n ≥ 2‬קודקודים שלו בדיוק שני עלים‪ .‬מהן דרגות קודקודי ‪ ? T‬רשמו אותן‪ ,‬לכל ‪ , n ≥ 2‬בסדר עולה משמאל לימין‬ ‫)סדרת הדרגות( והוכיחו נכונות תשובתכם‪.‬‬ ‫‪ (58‬יהי ‪ G‬גרף פשוט על ‪ n‬קודקודים המכיל מעגל המילטון‪ .‬נתון כי על ידי השמטת קשתות המעגל מתקבל תת גרף של ‪ G‬שהוא עץ‪.‬‬ ‫האם ניתן על סמך הנתונים לקבוע כמה קשתות בגרף ‪ ? G‬אם כן מהו מספר הקשתות?‬ ‫‪ (59‬נתונים שני גרפים ‪ G1 , G2‬על ‪ 5‬קודקודים סדרת דרגותיו של ‪ G1‬היא‪2,2,3,4,5,5,6 :‬‬ ‫וסדרת דרגותיו של ‪ G2‬היא‪ 1,2,3,4,4 :‬לגבי כל אחד משני הגרפים קבע איזו מן הטענות הבאות נכונה‪.‬‬ ‫א‪ .‬יש גרף פשוט וקשיר כזה ‪.‬‬ ‫ב‪ .‬יש גרף קשיר כזה אבל הוא לא פשוט‪.‬‬ ‫ג‪ .‬יש גרף פשוט כזה אבל הוא לא קשיר‪.‬‬ ‫ד‪ .‬יש גרף כזה אבל הוא חייב להיות לא פשוט ולא קשיר‪.‬‬ ‫ה‪ .‬לא קיים גרף כזה‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ (60‬עבור ‪ n∈ ℕ‬נגדיר גרף פשוט ‪ Gn‬באופן הבא‪ :‬צמתיו הם ‪ 2‬הסדרות הבניאריות באורך ‪ . n‬ושני קודקודים מחוברים בינהם‬ ‫בקשת אם ורק אם הם נבדלים בקורדינטה אחת‪ .‬מה מספר הקשתות של ‪ ? G5‬של ‪? Gn‬‬ ‫‪ (61‬נגדיר ‪ Cn‬להיות מעגל על ‪ n‬קודקודים‪ .‬לאלו ערכים של ‪ n‬מתקיים ש‪ Cn -‬איזומורפי ל‪? Cn -‬‬ ‫כאשר ‪ Cn‬הוא הגרף המשלים‪.‬‬ ‫}‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫{‬ ‫‪ (62‬נגדיר גרף ‪ G‬באופן הבא‪ V = A ∈ P {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A = 3 :‬למשל }‪ v = {2, 5, 6‬היא צומת של ‪ G‬שכן זו‬ ‫תת קבוצה של }‪ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7‬בת שלושה איברים‪ .‬כמו כן נגדיר את קבוצת קשתות ‪ G‬באופן הבא‪:‬‬ ‫‪A ∩ B = 1⇔ { A, B} ∈ E‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי ‪ G‬קשיר וחשב את מספר קודקודיו‪.‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את דרגת כל צומת ואת מספר קשתותיו‪.‬‬ ‫ג‪ .‬האם ‪ G‬אוילרי? המילטוני?‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬ ‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬ ‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪ (63‬א‪ .‬הוכח כי בגרף הבא אין זווג מושלם?‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא זווג מקסימום‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מהו המספר המינמלי של קשתות‬ ‫שיש להוסיף לגרף כך שיהיה זווג‬ ‫מושלם‬ ‫‪h‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ (64‬יהי ‪ G‬גרף מישורי על ‪ 11‬קודקודים‪ .‬הוכח כי ‪ G‬אינו מישורי‪.‬‬ ‫‪ (65‬יהי ‪ G‬גרף מישורי על ‪ n‬קודקודים‪ .‬הוכח כי אם ‪ n ≥ 11‬אז ‪ G‬אינו מישורי‪.‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪ (66‬יהי ) ‪ G = (V , E‬גרף ותהינה ‪ A, B‬קבוצות צבעים‪ .‬נסמן את הגרף המשלים ב‪. G = V , E -‬‬ ‫תהינה ‪ f : V → A , g : V → B‬שתי צביעות חוקיות של ‪ G‬ושל ‪ G‬בהתאמה‪.‬‬ ‫הערה‪ :‬כזכור צביעת קודקודים היא פונקציה המתאימה לכל קודקוד צבע‪.‬‬ ‫נגדיר ‪ h : V → A × B‬באופן הבא‪ h ( v ) = f ( v ) , g ( v ) :‬כלומר ‪ h‬מתאימה לכל ‪ v ∈V‬זוג סדור של צבעים‪.‬‬ ‫הימני בזוג הוא הצבע של ‪ v‬לפי הצביעה החוקית של ‪ G‬והשמאלי בזוג הוא הצבע של ‪ v‬לפי הצביעה החוקית של ‪ . G‬הוכח‬ ‫כי אין שני קודקודים שמותאם להם אותו זוג סדור של צבעים והסק כי ‪ h‬היא פונקצייה חח"ע‪ .‬כמו כן כן הסק כי‬ ‫) (‬ ‫‪. χ (G ) ⋅ χ G ≥ n‬‬ ‫‪ (67‬עבור }‪ A = {1, 2, 3‬נגדיר ) ‪ G = (V , E‬כאשר ‪ 9) V = A × A‬צמתים ( ואת ‪ E‬קבוצת הצמתים נגדיר באופן הבא‪:‬‬ ‫‪ {( a , b ) , ( c, d )} ∈ E‬אם ורק אם ‪a + b ≠ c + d‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי ‪ G‬קשיר‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מה דרגת הצומת )‪ (1,1‬ומה דרגת הצומת )‪ ? ( 2, 3‬כמה קשתות יש ב‪? G -‬‬ ‫ג‪ .‬הוכח כי באין ב‪ G -‬מסלול אוילר‪.‬‬ ‫לפתרון מלא בסרטון וידאו היכנסו ל‪www.GooL.co.il -‬‬ ‫כתב ופתר ‪ -‬טל פלדמן ©‬ ‫שיעורים פרטיים לבודדים ולקבוצות ‪054-7599493‬‬ ‫‪a‬‬