1. No category

Nekatere najpomembnejše formule in sklepi v snovi predmeta
MATEMATIKA ZA INŽENIRJE 1
Kompozicija funkcij f in g (tudi sestavljena funkcija , posredna funkcija)
f
x  A 
g
 g ( f ( x ))  C .
f ( x)  B
(pre)slika elemente množice A v množico C :
x  A  ( g  f )( x )  g ( f ( x ))  C
Inverzni funkciji – funkcija f in njej inverzna funkcija f 1 :
f
x

f ( y)  x

1
f 1
f
y  f ( x)
x
x( y )  x
ali tudi
y


f 1
y  y( x)
y
Karakteristični lastnosti para inverznih funkcij f in f 1 :
f 1 ( f ( x ))  x za vsak x  D f
in
f ( f 1 ( y ))  y za vsak y  D f 1
.
Realni funkciji f in g z realno spremenljivko x sta druga drugi inverzni, če in samo če
velja:
g ( f ( x))  x za vsak x  D f
in
f ( g ( x))  x za vsak x  D g
.
Različne oblike analitičnega zapisa realne funkcije f z realno spremenljivko x .
 Eksplicitni zapis: y  f ( x ) oz. y  y ( x ) .
Odvisna spremenljivka je osamljena na eni strani enačbe, na drugi strani pa sploh ne
nastopa.
 Implicitni zapis:
konstanta.
 Parametrični zapis:
F ( x, y )  0
oz.
F ( x, y )  c , v slednjem je c primerna realna
x  x (t )
, kjer parameter t preteče nek interval na realni osi.
y  y (t )
Neodvisna spremenljivka x in odvisna spremenljivka y nista povezani v eni enačbi, ampak
sta vsaka zase podani v odvisnosti od neke tretje realne spremenljivke t.

 Vektorski zapis: r (t )  ( x (t ), y (t )) , kjer parameter t preteče nek interval na realni
 
osi. Krajevni vektor r  r (t ) točke (x, y) na grafu funkcije je podan v odvisnosti od
parametra t.
1
Računanje z limitami funkcij.
lim  f ( x )  g ( x )   lim f ( x )  lim g ( x )  a  b
x  x0
x  x0
lim  f ( x ) g ( x )    lim f ( x )   lim g ( x )   a b
 x  x0
  x  x0

x  x0
lim c f ( x )   c  lim f ( x )  c a
x  x0
,
x  x0
x  x0
,
, kjer je c poljubna realna konstanta.
lim f ( x )
f ( x)
a
x  x0
lim


x  x0 g ( x )
b
lim g ( x )
x  x0
Elementarne funkcije:
konstantna funkcija s predpisom f ( x )  c
za vsak xR, kjer je c polj. realna konst.,
identična funkcija s predpisom
f ( x)  x
za vsak xR,
potenčna funkcija s predpisom
f ( x)  x n
za vsak xR, pri tem je n N ,
polinom stopnje n s predpisom P ( x )  a n x n  a n 1 x n 1  ...  a 1 x  a 0 za vsak xR,
pri tem so a n , a n 1 ,..., a1 , a 0 realna števila, ki jih tu imenujemo koeficienti polinoma P ;
a n je vodilni koeficient; da je polinom P res stopnje n, mora biti a n  0 ,
P( x) a n x n  a n 1 x n 1  ...  a1 x  a 0
=
,
Q ( x) bm x m  bm 1 x m 1  ...  b1 x  b0
kjer sta P in Q polinoma stopenj m in n (m, n N),
racionalna funkcija s predpisom R( x) 
trigonometrične funkcije
sinus, kosinus, tangens in kotangens s predpisi sin(x), cos(x), tan(x) in cot(x)
(starejši oznaki za tangens in kotangens sta tg(x) in ctg(x) ),
ciklometrične funkcije (obrati trigonometričnih funkcij)
arkus sinus, arkus kosinus, arkus tangens in arkus kotangens
s predpisi arcsin(x), arccos(x), arctan(x) in arccot(x)
(starejši oznaki za arkus tangens in arkus kotangens sta arctg(x) in arcctg(x) ),
eksponentna funkcija z osnovo a in predpisom f ( x)  a x za vsak xR (aR + in a  1 ),
eksponentna funkcija z osnovo e in predpisom f ( x)  e x za vsak xR,
logaritemska funkcija z osnovo a in predpisom f ( x)  log a x xR + (aR + in a  1 ),
naravni logaritem s predpisom f ( x)  ln( x)  log e x xR + ,
korenska funkcija s predpisom f ( x)  n x m  x m n , kjer sta m, n  N ,
splošna potenčna funkcija s predpisom f ( x)  x r : e ln( x )  e r ln( x ) x R +, pri tem je rR
r
Nadalje so elementarne tudi vse funkcije, ki jih iz navedenih dobimo z zožitvijo definicijskih
območij, algebrskimi operacijami +, –,  , / in s kompozicijo.
2
Odvod funkcije f v točki x0
f ' ( x 0 )  lim
x  0
f ( x0  h)  f ( x0 )
f
 lim
h

0
h
x
Smerni koeficient (tangens naklonskega kota) tangente na sliko funkcije v točki ( x 0 , f ( x0 )) :
f ' ( x 0 )  k t  tan
,
Enačba tangente na sliko funkcije f (z dotikališčem) v točki ( x 0 , f ( x0 )) :
y  f ( x0 )  f ' ( x 0 )( x  x0 ) .
Splošna pravila za odvajanje funkcij
c '  0 , kjer je c katerakoli realna konstanta (odvod konstantne funkcije je funkcija »nič«)
 f ( x)  g ( x) ' 
 f ( x)  g ( x) ' 
 f ( x)  g ( x) ' 
f ' ( x)  g ' ( x)
za odvod sestavljene funkcije:
1
y ' ( x)
, če je tudi g ( x )  0 .
 f (u( x ))  ' 
f ' ( x )  f ' (u )  u' ( x ) ali tudi:
x ' ( y) 
c  f ( x )  '  c f ' ( x )
f ' ( x)  g ( x)  f ( x)  g ' ( x)
'
 f ( x) 
f ' ( x) g ( x)  f ( x) g ' ( x)

 
g 2 ( x)
 g ( x) 
f ' ( x)  g ' ( x)
f u ' (u( x ))  u' ( x )
f
u
x  u( x )  f (u( x ))
za odvod funkcije x  f 1 ( y ) , ki je inverzna k funkciji y  f ( x ) , ali tudi
f
x ' ( y)  y ' ( x)  1
za odvoda funkcij , ki sta druga drugi inverzni:
x  y  f ( x)
f 1 ( y )  x 1 y
f
Formule za odvode osnovnih elementarnih funkcij
x '  r x
a '  a ln a
r 1
r
x
e '  e
x
log a x  ' 
x
1
x ln a
sin x  '  cos x
arcsin x  ' 
x
ln x  '  1
x
tan x  ' 
cos x  '   sin x
1
1  x2
arccos x  '  
1
1  x2
3
1
cos 2 x
arctan x  ' 
1
1  x2
cot x  '  
1
sin 2 x
arccot x '  
1
1  x2
Diferencial funkcije f , ko vrednost neodvisne spremenljivke povečamo z x0 na x0  h , je:
df  f ' ( x0 ) h
ali
df  f ' ( x0 ) dx , kjer je h  x  x  x0 in dx  x
Geometrijski pomen. Diferencial funkcije ( df ) je enak spremembi koordinate y na tangenti z
dotikališčem  x0 , f ( x0 )  , ko se neodvisen x spremeni z vrednosti x0 na x0  h .
Če je funkcija f odvedljiva in če je h  x (sprememba neodv. spremenljivke) dovolj majhna,
potem je diferencial funkcije dober približek za njeno spremembo: f  df .
Še približna formula: f ( x0  h )  f ( x0 )  df (ali tudi:
Diferencialni količnik
f ( x0  h )  f ( x0 )  f ' ( x0 ) h ).
df
je odvod funkcije f v točki x0 :
dx
df
 f ' ( x0 ) .
dx
d
označuje operacijo »odvajanje na spremenljivko x«, ki funkciji f priredi
dx
njen odvod, funkcijo f ' :
Simbol
d
dx
f  f'
Diferencialne oblike pravil za odvajanje
dc  0
(diferencial konstantne funkcije je enak 0),
d ( f  g )  df  dg
(diferencial vsote funkcij je enak vsoti njunih diferencialov),
d ( f  g )  df  dg
(diferencial razlike funkcij je enak razliki njunih diferencialov),
d ( f  g )  g  df  f  dg
in še
d ( c  f )  c  df , kjer je c poljubna realna konstanta,
 f   g  df  f  dg 
d    
 , kjer je g ( x )  0 .
g2
g 

Diferencialna oblika pravila za »posredno« odvajanje kompozicije f  u je:
df df du


dx du dx
Diferencialna oblika pravila za odvod inverzne funkcije x  f 1 ( y ) k funkciji y  f ( x ) :
dx

dy
1
dy
dx
.
Višji odvodi funkcije f so definirani rekurzivno:
f n  
d n 1
f
dx
ali širše:
f (n) ( x) 
d
'

f ( n 1) ( x )    f ( n 1) ( x ) 
dx
4
za vsak n  2, 3, ...
Formuli iz Lagrangeovega izreka
f (b)  f ( a )  f ' ( )  (b  a )
(sprememba funkcije na intervalu je enaka produktu dolžine intervala in vrednosti odvoda
funkcije v primerni notranji točki intervala)
Ali še drugače:
f ' ( ) 
f ( b)  f ( a )
ba
(odvod funkcije f je v vsaj eni notranji točki intervala enak smernemu
koeficientu sekante skozi skrajni točki ( a , f ( a )) in (b, f (b)) krivulje).
Posledica Lagrangeovega izreka. Za funkcijo f , odvedljivo na intervalu J , veljata naslednja
sklepa.
 Če je odvod funkcije f na vsem intervalu pozitiven ( f ' ( x )  0 za vsak x  J ),
potem funkcija f na intervalu J strogo narašča,
 Če je odvod funkcije f na vsem intervalu negativen ( f ' ( x )  0 za vsak x  J ),
potem funkcija f na intervalu J strogo pada.
Dogovor. Ničli prvega odvoda funkcije f rečemo tudi stacionarna točka funkcije f .
Če je torej f ' ( x0 )  0 , je število x0 stacionarna točka funkcije f .
Kako lahko z menjavo znaka prvega odvoda preverimo morebiten obstoj in vrsto
ekstrema funkcije f v stacionarni točki x0 :
 če pri prehodu skozi kritično točko x0 prvi odvod f ' menja znak s pozitivnih na
negativne vrednosti, potem je f ( x0 ) lokalni maksimum funkcije f ,
 če pri prehodu skozi kritično točko x0 prvi odvod f ' menja znak z negativnih
vrednosti na pozitivne, potem je f ( x0 ) lokalni minimum funkcije f ,
 če pa pri prehodu skozi kritično točko x0 prvi odvod f ' ne menja znaka, potem
funkcija v točki x0 zagotovo nima ekstrema.
Kako lahko z višjimi odvodi preverimo morebiten obstoj in vrsto ekstrema (vsaj dvakrat
zvezno odvedljive) funkcije f v stacionarni točki x0 :
– Če je v stacionarni točki x0 drugi odvod f ' ' ( x0 )  0 , potem je f ( x0 ) lokalni
minimum funkcije f .
– Če je v stacionarni točki x0 drugi odvod f ' ' ( x0 )  0 , potem je f ( x0 ) lokalni
maksimum funkcije f .
Kako lahko z višjimi odvodi ugotovimo ali je (vsaj dvakrat zvezno odvedljiva) funkcija
f na izbranem intervalu strogo konveksna ali strogo konkavna:


Če je f ' ' ( x)  0 za vsak x  J , potem je funkcija f na intervalu J strogo konveksna.
Če je f ' ' ( x)  0 za vsak x  J , potem je funkcija f na intervalu J strogo konkavna.
5
Kako lahko z odvodi ugotovimo ali ima (vsaj dvakrat zvezno odvedljiva) funkcija f v
točki x0 prevoj:
Če je f ' ' ( x 0 )  0 in če drugi odvod f ' ' pri prehodu skozi točko x0 menja znak, potem ima
funkcija f v točki x0 prevoj.
Kako še lahko z odvodi ugotovimo ali ima (vsaj trikrat zvezno odvedljiva) funkcija f v
točki x0 prevoj:
Če je f ' ' ( x0 )  0 in f ' ' ' ( x0 )  0 , potem ima funkcija f v točki x0 prevoj.
L'Hospitalova formula za računaje limite kvocienta funkcij
lim
x  x0
u ( x)
u ' ( x)
 lim
x

x
0 v ' ( x)
v ( x)
Velja, če obstaja limita na desni strani enačbe.
Nedoločeni integral funkcije f (na intervalu J ) je vsaka takšna realna funkcija F , katere
odvod F ' je (na vsem intervalu J ) enak funkciji f (pod integralskim znakom):
 f ( x) dx  F ( x ) :
F ' ( x )  f ( x ) za vsak x  J
oz. krajše:
f
 F : F '  f
.
Tabela elementarnih nedoločenih integralov
x
1.
r

4.
 e dx
  cos x  C
6.
 cos x dx
dx  tan x  C
8.
 sin
10.
 1 x
1
r 1
x r 1  C (za r  1 )
ax
3.  a dx 
 C
ln a
x
5.
 sin x dx
7.
 cos
9.

11.

dx
2
x
dx
dx  arcsin x  C
1  x2
dx
x a
2
dx
dx  ln x  C
x
2.
dx 

 ex  C
x
dx
2
x
dx
2
 sin x  C
dx   cot x  C
dx  arctan x  C

dx  ln x  x 2  a  C
Osnovne metode nedoločenega integriranja
 
f ( x )   g ( x )  dx    f ( x ) dx    g ( x ) dx
 f ( x ) dx

 f ( x(t )) x' (t ) dt
.
… za uvedbo nove spremenljivke v nedoločeni integral
6
f ' ( x)
dx  ln f ( x )  C
f ( x)
Koristen vzorec:

Koristen vzorec:
  f ( x)
f ' ( x ) dx 
n
1
 f ( x ) n 1  C
n 1
Formula za integracijo po delih:
 u ( x ) v' ( x ) dx
 u ( x ) v ( x )   v ( x ) u' ( x ) dx
oz. krajše:
 u dv
 uv 
 v du
.
Določeni integral funkcije f na intervalu a, b
(ali tudi: določeni integral funkcije f v mejah od a do b )
je število, ki je definirano kot limita Riemannovih integralskih vsot, ko gredo dolžine vseh
podintervalov proti nič:
b

b
f 
a

f ( x ) dx :
a
n
 f ( )x
lim
 max x   0
k 1
 1 k  n k 
k
Lastnosti določenega integrala
1.
b
b
b
a
a
a
 ( f ( x )   g ( x )) dx    f ( x ) dx    g ( x ) dx
Formula velja, če obstajata določena integrala na desni in če sta  in  poljubni realni
konstanti. Trditev je mogoče posplošiti na določeni integral vsote končno mnogih funkcij.
a
2.
 f ( x ) dx
b
   f ( x ) dx
b
a
Če v določenem integralu med seboj zamenjamo meji, se spremeni samo (pred)znak,
absolutna vrednost določenega integrala pa ostane enaka (če seveda določeni integral sploh
obstaja).
a
3.
 f ( x ) dx  0
Določeni integral v enakih mejah je enak nič.
a
b
4.

a
c
f ( x ) dx 

a
b
f ( x ) dx 

c
f ( x ) dx
Formula zagotovo velja, če je funkcija f na
intervalu a, b vsaj odsekoma zvezna, število c pa
katerakoli točka na intervalu a, b .
7
5. Če obstaja določeni integral
b
b
a
a
 f ( x ) dx , potem obstaja tudi določeni integral 
b

Če je še a  b , velja ocena:
f ( x ) dx .
b
f ( x ) dx 
a

f ( x ) dx .
a
6. Če sta funkciji f in g na intervalu a, b zvezni, če je a < b, in
če za vsak x  a , b velja f ( x )  g ( x ) ,
b
potem velja ocena:

b
f ( x ) dx 
a
 g ( x ) dx
.
a
O mejah za vrednost določenega integrala omejene funkcije f
~ (b  a ) 
m
b
 f ( x ) dx
~
 M (b  a )
,
a
~
~  inf f ( x ) in M
kjer sta m
 sup f ( x ) natančni meji funkcije f na končnem zaprtem
a  x b
a  x b
intervalu a, b .
O povprečni (srednji) vrednosti določenega integrala omejene funkcije f
Število
p :  b 1 a

b
a
f ( x ) dx
je srednja vrednost funkcije f na intervalu a, b .
~
~ in M
Povprečna vrednost funkcije, število p , je vedno med natančnima mejama m
~
~ pM
(m
)
Če je funkcija f na intervalu a, b tudi zvezna, potem na intervalu a, b obstaja vsaj ena
takšna točka  , da je f ( )  p . Takrat je torej:
b
 f ( x ) dx
 f ( ) (b  a ) .
a
Če je dana funkcija f integrand, potem je določeni integral s spremenljivo zgornjo mejo
funkcija:
x
x 
 f (t ) dt
a
x
Ta nova funkcija vsakemu x  [a, b] priredi funkcijsko vrednost
F ( x ) :
 f (t ) dt
a
Opazite še, da smo v določenem integralu s spremenljivo zgornjo mejo integracijsko
spremenljivko označili s t , da jo ločimo od spremenljive zgornje meje x .
8
.
O odvodu določenega integrala s spremenljivo zgornjo mejo
Če je funkcija f zvezna na zaprtem intervalu a, b , potem je njen določeni integral s
spremenljivo zgornjo mejo odvedljiva funkcija te zgornje meje in velja:
x
d
f (t ) dt  f ( x )
dx a
Še drugače: odvod določenega integrala s spremenljivo zgornjo
mejo na to spremenljivo zgornjo mejo je v teh okoliščinah kar
vrednost integranda f na tej (spremenljivi) zgornji meji.
Newtonova formula (tudi: Newton-Leibnizova)
b

f ( x ) dx  F (b)  F ( a )
a
zagotovo velja, če je nedoločeni integral F ( x )   f ( x ) dx
še zvezen na končnem zaprtem intervalu a, b .
Formula za uvedbo nove spremenljivke v določeni integral
b
 f ( x ) dx

t2
 f ( x(t )) x' (t ) dt
.
t1
a
Zadostni pogoji za veljavnost:
1. funkcija f na intervalu a, b zvezna,
2. x(t1 )  a in x(t 2 )  b ,
3. funkcija x  x (t ) odvedljiva in strogo monotona na vsem intervalu t1 , t 2  .
Trapezna metoda za približno računanje določenega integrala
b
 f ( x ) dx

a
h
( y 0  2 y1  2 y 2  ...  2 y n 1  y n )
2
Trapezna formula:
b
 f ( x ) dx
a

h
( y0  2 y1  2 y 2  ...  2 y n 1  y n )  Rn
2
,
Ocena (zgornje meje) za napako Rn v trapezni formuli.
Rn 
(b  a ) 3
max f " ( x )
12n 2 a  x b
zagotovo velja, če je drugi odvod ( f " ) funkcije f na intervalu a, b še zvezen.
9
Izračun dolžine loka krivulje z uporabo določenega integrala za primer, ko je krivulja
podana z eksplicitno enačbo v kartezičnih koordinatah.
Naj bo krivulja K podana z eksplicitno enačbo v kartezičnih koordinatah:
K : y  f ( x ) pri vsakem x  [a, b] ( a  b )
f
in naj bo odvod f ' ( x) zvezen pri vsakem x  a, b .
Potem krivulja K ima ločno dolžino ( s ) in velja:
b
s 

ds
dy
dx
b

1  ( f ' ( x )) 2 dx 
a
1  ( y ' ( x )) 2 dx
.
a
Pri tem je diferencial ločne dolžine:
ds 
1  ( f ' ( x )) 2 dx
a
x x+dx
b
.
Velja tudi: ds 2  dx 2  dy 2 .
Računanje volumna geometrijskega telesa z uporabo določenega integrala.
Naj bo G geometrijsko telo v prostoru. Skozi telo G ali ob njem naj poteka številska os.
Naj bo pri vsakem x znana ploščina S (x) presečnega lika telesa G z ravnino, pravokotno na
številsko os v točki x .
Naj bo funkcija S  S (x) zvezna za vsak x intervala a, b ( a  b) ,
zunaj intervala a, b pa naj bo S ( x)  0 .
Potem zagotovo obstaja volumen telesa G in velja formula
b
V (G ) 
 S ( x) dx
.
a
Pri tem je majhen prostorninski element, diferencial volumna:
dV  S ( x) dx
,
kar predstavlja volumen pokončnega valja z osnovno ploskvijo S  S (x) in višino dx .
10
Računanje volumna rotacijskega telesa (vrtenine) z uporabo določenega integrala.
Skicirajte.
Naj bo: krivulja K podana z enačbo: y  f (x ) x  a, b ( a  b ), in
naj bo funkcija f (x ) nenegativna ( f ( x )  0 ) in zvezna pri vsakem x  a, b .
Krivuljo K zavrtimo za cel obrat okoli osi x .
Tako dobimo rotacijsko ploskev Prot , ki skupaj z ravninama, pravokotnima na os x v točkah
a in b , omejuje rotacijsko telo Grot .
Pri vsakem x  a, b je presečni lik telesa Grot in ravnine, pravokotne na abscisno os v točki
x , krog s polmerom f (x ) . Zato je njegova ploščina:
S ( x)   f 2 ( x)   y 2 ( x) .
Potem je majhen prostorninski element, diferencial volumna:
dV  S ( x ) dx   f 2 ( x ) dx ,
kar predstavlja volumen pokončnega krožnega valja z osnovno ploskvijo S  S ( x )   f 2 ( x )
in višino dx .
V opisanih okoliščinah prostornina (volumen) rotacijskega telesa Grot obstaja in velja
formula:
V (Grot ) 
 dV
Grot
b
   f 2 ( x ) dx
.
a
f
f(x)
a
b
x
dx
11
Uporaba določenega integrala za računanje površine rotacijske ploskve, ki nastane, ko
okoli abscisne osi zasučemo krivuljo K : y  f ( x) x  a, b a  b . Skicirajte.
Naj bo: krivulja K podana z enačbo: y  f (x ) pri vsakem x  a , b ( a  b ),
funkcija f (x ) pri vsakem x  a, b nenegativna ( f ( x )  0 ),
njen odvod f ' ( x) pa zvezen pri vsakem x  a , b .
Krivuljo K zavrtimo za cel obrat okoli osi x , krivulja pri tem opiše rotacijsko ploskev Prot .
Za majhen ploskovni element na tej rotacijski ploskvi Prot vzamemo plašč prisekanega stožca
polmeroma f (x ) in f ( x  dx ) ter višino dx . Izkaže se, da je dovolj dober približek za
površino tega plašča prisekanega stožca kar površina obroča s polmerom f (x ) in
širino ds  1  ( f ' ( x )) 2 dx (kar je enako ploščini pravokotnika z stranicama 2 f ( x ) in
ds  1  ( f ' ( x )) 2 dx ), kjer je ds diferencial dolžine loka krivulje).
Tako lahko za diferencial površine na rotacijski ploskvi Prot vzamemo:
dS  2 f ( x ) ds  2 f ( x ) 1  ( f ' ( x )) 2 dx
.
V opisanih okoliščinah površina rotacijske ploskve Prot obstaja in velja formula:
S ( Prot ) 
 dS
Prot
 2
b
 f ( x)
1  ( f ' ( x )) 2 dx
.
a
ds
f
f(x)
a
b
x
dx
12