Matematik og arkitektur
Jesus bruger en passer til at genopføre skabelsen af Universet fra
dets oprindelige kaotiske formløse tilstand. Billedet stammer fra
'Skaberen': Bible moralisée, Frankrig ca. 1250. Bodleian Library, Oxford.
Baggrundsmateriale til AT-1 uge 39, 2008
Foreløbige noter ved Bjørn Felsager og Brian Olesen
Haslev Gymnasium og HF
1. Euklids elementer
Den Vesteuropæiske kultur bygger på to hovedværker: Biblen og Euklids elementer. Næst efter biblen er Euklids elementer det værk, der er udkommet i
flest oplag. I over 2000 år har Euklids elementer udgjort idealstandarden ikke
blot inden for matematik, men også inden for videnskab og filosofi: Elementerne var det fuldkomne værk som viste vejen til at samle og præsentere sikker
viden. Euklids elementer har også været brugt som standardlærebog indenfor
geometri i over 2000 år; Så alle, der har haft en højere uddannelse, har måttet
prøve kræfter med Euklid; Og selvom ikke alle er sluppet lige heldigt igennem
den, har Euklids elementer derfor udøvet en enestående indflydelse på vores
opfattelse af former. Det er således ikke muligt at nå en dybtgående forståelse
af den Vesteuropæiske kultur uden i det mindste at have et rudimentært kendskab til Euklids elementer.
Undervisning i geometri. Fra en middelalderudgave af Euklids elementer (1310)
1
Luca Pacioli med elev
Maleriet fra 1495 tilskrives traditionelt Jacopo de Barari (1440-1515): Capodimonte museet i Napoli, Italien.
Luca Pacioli demonstrerer en sætning
af Euklid. På bordet ses en model af et
dodekaeder (regulært polyeder omkranset af 12 regulære femkanter). I
luften hænger et gennemsigtigt semiregulært polyeder halvt fyldt med
vand. Det vides ikke med sikkerhed
hvem eleven forestiller. Luca Pacioli
(1445-1514) var franciskanermunk og
matematiker. I dag er han mest kendt
for sit samarbejde med Leonardo Da
Vinci, der illustrerede hans bog om De
guddommelige snit, hvor i man bl.a.
finder Da Vincis berømte træsnit af de
regulære polyedre.
Pacioli skrev også en indflydelsesrig
bog Summa, der sammenfattede den
kendte viden om matematik. Her i
finder man bl.a. den første samlede
fremstilling af principperne bag dobbeltbogholderi.
Dodekaedret i DaVincis udførelse
Euklids elementer består af 13 bøger, der starter med at præsentere den mest
basale viden om trekanter og firkanter og kulminerer med teorien om de regulære polyedre. Her vil vi primært se på opbygningen af bog 1, der handler om
trekanter og firkanter, idet den i løbet af 48 sætninger starter med at konstruere en ligesidet trekant og slutter med at vise Pythagoras sætning for den retvinklede trekant forfra (sætning 47) og bagfra (sætning 48). Undervejs bevises
det bl.a. at vinkelsummen i en trekant er 180°, ligesom man lige før man når
frem til Pythagoras sætning endelig i sætning 46 er klædt på til at kunne konstruere et kvadrat.
2
Her vil vi nu se nærmere på starten af Euklid gengivet i en moderne dansk
oversættelse1.
Euklids elementer starter med 23 definitioner, 5 postulater og 9 aksiomer (almindelige begreber), hvoraf vi kun vil se på nogle få udvalgte:
Definitioner
1.
2.
3.
4.
...
15.
Et punkt er det som ikke har nogen del.
En linje er en længde uden bredde.
En linjes grænser er punkter.
En ret linje er en linje som 'ligger lige' mellem sine punkter.
En cirkel er en plan figur der indesluttes at én linje (som kaldes periferien) med den egenskab, at hvis der fra et bestemt punkt inde i cirklen
trækkes rette linjer til periferien, er alle disse linjer lige lange.
16. Dette punkt kaldes cirklens centrum.
17. En diameter i en cirkel er en ret linje der går gennem centrum og begrænses i begge ender af periferien. Den halverer cirklen.
...
19. Retlinede figurer er sådanne som indesluttes af rette linjer: tresidede som
indesluttes af tre, firesidede som indesluttes af fire, mangesidede som
indesluttes af flere end fire rette linjer.
20. Af de tresidede figurer er en ligesidet trekant en der har tre lige lange sider, en ligebenet trekant er en der har to lige lange sider, og en skæv
trekant har alle tre sider ulige lange.
...
Postulater
Det forudsættes
1. At der kan trækkes en ret linje fra et hvilket som helst punkt til et hvilket
som helst punkt.
2. At en begrænset ret linje kan forlænges i ret linje uden afbrydelse.
3. At der kan tegnes en cirkel med et hvilket som helst centrum og en hvilken som helst afstand som radius.
...
Almene begreber
1. Størrelser som er lig en og samme tredje, er indbyrdes lige store.
...
Derefter går Euklid uden yderligere kommentarer i gang med at vise den første sætning,
som er en konstruktionssætning, der handler om hvordan det er muligt at konstruere en
ligesidet trekant. Der er mange konstruktionssætninger i første bog, fx hvordan man
oprejser en vinkelret, hvordan man halverer en vinkel osv. Andre sætninger omhandler
vigtige egenskaber ved trekanter og firkanter, fx sætningen om vinkelsummen i en trekant eller Pythagoras sætning om den retvinklede trekant. Sætningerne, der omhandler
konstruktioner kaldes også for Problemer, mens sætningerne der handler om egenskaber også kaldes for Teoremer.
1 Claus Glunk, Hanne E. Strand, Chr. Marinus Taisbak og Chr. Gorm Tortzen: Q.E.D. Platon
og Euklid tegner og fortæller, Gyldendal 2006.
3
Bog 1, sætning 1:
At konstruere en ligesidet trekant på en begrænset ret linje.
Lad AB være den givne rette linje.
Der skal nu konstrueres en ligesidet trekant på AB.
Lad cirkel BCD være tegnet med A som centrum og AB som radius [Postulat
3], og endvidere cirkel ACE med B som centrum og BA som radius, og lad de
rette linjer CA og CB være trukket fra punktet C hvor cirklerne skærer hinanden, til punkterne A og B [Postulat 1].
Da punktet A er centrum i cirklen CDB, er AC lig AB [Definition 15]; og da
punktet B er centrum i cirklen CAE, er BC lig BA. Og det blev også bevist at
CA er lig AB; Både CA og CB er altså lig AB. Men de (størrelser) som er lig
samme tredje (størrelse), er lig hinanden [Aksiom 1]. Altså er CA lig CB. De
tre linjer CA, AB og BC er altså lige store.
Derfor er trekant ABC ligesidet [Definition 20]. Og den er konstrueret på den
rette linje AB. Hvilket skulle gøres.
Det var så sætning 1. Læg mærke til at sætningen inkluderer en figur (til bl.a.
at klargøre betegnelserne) og at hvis man selv skal tegne denne figur må man
bruge en passer og lineal. Euklids geometri bygger på punkter, linjer og cirkler
og til at trække de rette linjer må man i praksis benytte sig af en lineal, ligesom
man til at frembringe en cirkel i praksis må benytte sig af en passer. Euklid
nævner ikke selv sådanne instrumenter, men nøjes med at forudsætte at man
altid kan forbinde to punkter med en ret linje (ifølge postulat 1) og at man altid
kan tegne en cirkel med et givet centrum og en given afstand som radius (ifølge
postulat 3).
Når vi i dag skal udføre en sådan konstruktion vil vi i stedet benytte et elektronisk program til at udføre konstruktionen, her det dynamiske geometriprogram
i TI-Nspire. Det rummer en værktøjslinje der indeholder de klassiske Euklidiske værktøjer til at afsætte punkter, trække linjer og slå cirkler.
4
Markør til at udpege og flytte figurer.
Tekstværktøj
navne.
til at tildele punkter mm.
Punktværktøjer til at afsætte punkter
punkter på
og skæringspunkter .
Linjeværktøj til at trække linjer
og linjestykker
.
,
, halvlinjer
Cirkelværktøj til at slå cirkler ud fra centrum
og et randpunkt .
Med disse redskaber dækker vi hele plangeometrien i Euklids elementer, dvs.
de første seks bøger. Her ser vi igen på den første sætning, men nu i detaljer
udført med TI-Nspire:
Lad AB være den givne rette linje.
Der skal nu konstrueres en ligesidet trekant på AB.
Kommentar: Linjestykket AB er
altså afsat tilfældigt.
og lad de rette linjer CA og CB
være trukket fra punktet C hvor
cirklerne skærer hinanden, til punkterne A og B [Postulat 1]
Kommentar: Først til allersidst røbes det at C er et skæringspunkt
mellem de to cirkler, hvilket selvfølgelig fremgår af den færdige
figur .
Lad cirkel BCD være tegnet
med A som centrum og AB
som radius [Postulat 3],
og endvidere cirkel ACE med B
som centrum og BA som radius,
Kommentar: Punktet B er
altså et randpunkt. Punktet C
er slet ikke konstrueret endnu
og punktet D indføres kun for
at kunne referere til cirklen
som cirklen BCD!
Kommentar: Punktet B er altså et
randpunkt for cirklen. Punktet C er
stadigvæk ikke indført og punktet
E indføres kun for at kunne referere til cirklen ACE!
Da punktet A er centrum i cirklen
CDB, er AC lig AB [Definition 15];
og da punktet B er centrum i
cirklen CAE, er BC lig BA. Og det
blev også bevist at CA er lig AB;
Både CA og CB er altså lig AB.
Men de (størrelser) som er lig
samme tredje (størrelse), er lig
hinanden [Aksiom 1]. Altså er CA
lig CB. De tre linjer CA, AB og BC
er altså lige store.
Kommentar: Derefter kan vi
trække linjestykkerne CA og
CB fra C til henholdsvis A og
B. Herefter er den ligesidede
trekant ABC færdigkonstrueret.
Derfor er trekant ABC ligesidet
[Definition 20]. Og den er konstrueret på den rette linje AB.
Hvilket skulle gøres.
Kommentar: Resten er en minutiøs godtgørelse af at trekanten
som påstået vitterligt er ligesidet.
5
Læg mærke til hvor knudret Euklids konstruktionsforklaring i grunden er! I
stedet for at give en ordentlig konstruktionsforklaring, hvor konstruktionen
bygges op skridt for skridt, gør han det baglæns ud fra en allerede færdigkonstrueret figur, som han analyserer aldeles uden at tage praktiske eller pædagogiske hensyn. Euklids elementer er et videnskabeligt dokument, der skal dokumentere geometriens indre sammenhængskraft – ikke en vejledning i praktisk geometri for håndværkere, ingeniører, arkitekter og lignende. Euklids elementer er skrevet for fagfolk – ikke for at formidle et interessant emne for en
undrende befolkning. Ikke desto mindre er det billederne fra Euklids elementer, der har domineret geometriundervisningen i årtusinder – først hos grækerne, siden hos araberne og til sidst hos vesteuropæerne. Det er disse billeder
mere end noget andet, der har givet anledning til vores opfattelse af ideale figurer.
Kig igen på konstruktionen af den ligesidede trekant. I stedet for at hæfte os
ved linjestykkerne CA og CB kan vi denne gang hæfte os ved de to cirkelbuer
CA og CB. I TI-Nspire sker det ved at konstruere cirkelbuerne på cirklerne BCD
og ACE. Med værktøjet cirkelbue
skal der klikkes tre gange for at konstruere
cirkelbuerne. For at konstruere buestykket BC klikkes først på punktet B efterfulgt af et klik på cirklen BCD mellem B og C (giver et punkt F1) og afslutningsvis klikkes på punktet C. Tilsvarende gælder for buestykket AC. Når
buestykkerne er konstrueret skjules cirkler og punkter:
Resultatet er den gotiske ligesidede spidsbue,
som er et dominerende stiltræk i gotikken.
Den gotiske katedral (domkirke) i Køln: Porten
mod syd.
6
Men vi kan også hæfte os ved at der i virkeligheden er to ligesidede trekanter,
idet cirklerne jo både skærer hinanden foroven i punktet C og forneden i punktet F:
Vi kan så ydermere hæfte os ved cirkelbuerne BCF og AFC. Konstruerer vi cirkelbuerne på cirklerne og skjuler vi herefter cirklerne og de ligesidede trekanter
ser det således ud:
Resultatet er en mandellignende figur udspændt af de to ligesidede trekanter.
På italiensk kaldes den derfor en mandorla. Men den er mere kendt under
navnet Vesica Piscis (fiskeblæren). Det
hænger sammen med den kristne symbolik, hvor Jesus symboliseres af en fisk. I
religiøse billeder er der derfor tradition for
at indeslutte Jesus (eller Jomfru Maria) i
en Vesica Piscis, som repræsenterer glorien
omkring Jesus (eller Jomfru Maria).
Detalje fra hovedporten i den nordlige indgang til Domkirken i Lübeck: Englene understøtter mandorlaen.
7
Udsnit af detalje fra detalje i alteret i St.
Mariekirkens højkor, Lübeck.
Inden vi forlader mandorla-figuren vil vi analysere den for nogle af dens matematiske egenskaber. Den har tydeligvis to symmetriakser: En vandret lilleakse
AB og en lodret storakse CF. Vi kan som vist nemt udmåle længderne af disse
to akser og finde deres forhold:
Først konstrueres symmetriakserne AB og CF. Længderne af
symmetriakserne måles ved at
klikke på dem med længdeværktøjet .
skriver vi
Med tekstværktøjet
et passende sted det indre forhold CF/AB.
Endelig kan vi med beregningsværktøjet
bestemme det indre
forhold ved at udvælge målingerne på skift.
Det er forholdet der er interessant, idet figuren jo kan forstørres og formindskes vilkårligt, så den absolutte størrelse af lilleaksen og storeaksen varierer
fra mandorla til mandorla, men forholdet er fælles.
Men vi kan faktisk udregne dette forhold eksakt ved hjælp af en lille karakteristisk regning (som ikke var mulig på Euklids tid, da talsystemet ikke var nok
udviklet til at håndtere regning med fx kvadratrødder):
Da lilleaksen og storeaksen står vinkelret på hinanden udspænder centrum M
og hjørnerne B og C en retvinklet trekant. Da trekanten ABC er ligesidet er MB
netop halvdelen af BC. Vi sætter siden i den ligesidede trekant til 2 og finder:
Den lodrette katete har altså længden 3 . Heraf følger at lilleaksen har længden 2 og storeaksen længden 2 3 , hvorfor ligedannethedsforholdet for mandorlaen netop er givet ved
CF 2 3
=
= 3 i overensstemmelse med figuren.
AB
2
8
Øvelse 1.1: Ofte udvides mandorlakonstruktionen til at omfatte kvadrater som
vist på figuren:
Find såvel ved udmåling som beregning forholdene
AI
GI
og
.
AB
AB
Bemærkning: Det sidste af disse forhold er faktisk knyttet til den regulære fem1+ 5
.
kant via det gyldne snit Φ =
2
I TI-Nspire er flere konstruktioner indbygget
som værktøjer og findes i menulinjen under
Former
Det gør det trivielt for os at konstruere en regulær femkant i modsætning til Euklid, der er
nødt til at bygge det op i alle detaljer, og derfor
først kan konstruere en regulær femkant i bog
4.
for at konstrueVælg værktøjet Reg. Polygon
re den regulære femkant. Klik et passende sted
i tegnefladen for at vælge et centrum. Klik herefter et nyt sted for at vælge placeringen af et af
hjørnerne. Roter musen i negativ omløbsretning
(med uret) indtil der står { 5 } ud for centrummet. Endelig klikker vi for at færdiggøre konstruktionen.
Øvelse 1.2: Find ved udmåling forholdet
samme som det gyldne snit.
diagonal AD
=
. Eftervis at det er det
side
AB
Udfordring 1.3: Hvordan kan man udbygge mandorlakonstruktionen til en konstruktion af en regulær femkant?
9
Øvelse 1.4: Gitterkonstruktioner
Når man skal konstruere en grundplan for en kirke tog man oprindeligt udgangspunkt i et gitterværk af punkter, der enten var udspændt af ligesidede
trekanter – ad triangulum - eller af kvadrater – ad kvadratum:
Trekantgitteret hænger naturligt sammen med konstruktionen af den ligesidede trekant, henholdsvis den regulære sekskant. En regulær sekskant indskrevet i en cirkel fremkommer ved at afsætte en cirkel med samme radius rundt
langs periferien af den oprindelige cirkel:
Det gør det nemt at konstruere trekantgitteret med passer og lineal. Men der
findes en endnu nemmere geometrisk konstruktion som bygger på spejlinger.
Har man først konstrueret en ligesidet trekant, fx ved hjælp af værktøjet for
regulære polygoner, kan man spejle den i de tre sider og så fremdeles. Det sker
ved at vælge menupunktet for spejling på transformationsmenuen og så klikke
to gange på en trekantside: Første gang for at vælge spejlingsaksen, anden
gang for at spejle trekanten.
Konstruer nu selv et trekantgitter henholdsvis et kvadratisk gitter ved
at spejle en ligesidet trekant, henholdsvis et kvadrat.
Øvelse 1.5: Flisedækninger
I den foregående øvelse så vi på konstruktionen af et regulært gitter, konstrueret ud fra ligesidede trekanter henholdsvis kvadrater. Man kunne da med god
ret spørge: Hvorfor konstruerer man ikke gitre ud fra andre regulære polygoner?
Men det kan vi jo så bare forsøge:
Prøv at konstruere et regulært gitter/flisedækning ud fra en regulær
femkant? Sekskant? ottekant? Hvis man ikke kan overdække planen
med disse regulære polygoner, dukker der så i det mindste regulære
huller op?
10
Øvelse 1.6: Eksempel på en ottekantet grundplan:
Figur 282. Grundplan for S. Vitale, Ravenna
Figur 284. Lodret snit gennem S. Vitale, Ravenna
2
Figur 283. S. Vitale, Ravenna. 526-547 A.D.
Figur 285. Det indre (set fra apsis ), S. Vitale, Ravenna
San Vitale kirken i Ravenna er et berømt eksempel på en oldkirke fra den byzantinske periode (den er færdigbygget år 547). Det er et eksempel på en centralkirke, dvs. bygget over en symmetrisk figur med punktsymmetri (i modsætning til korskirkerne med aksesymmetri).
2 Apsis: I grundplanen en halvcirkelformet eller polygonal bygningsdel anbragt i forlængelse af
koret.
11
C
B
D
E
A
H
F
G
Giv et bud på den geometriske struktur af grundplanen. Hvordan hænger fx
den indre regulære oktagon (ottekant) sammen med den ydre regulære oktagon. Udfør en konstruktion af en skitse over grundplanen i TI-Nspire.
Bestem ∠ ABC, ∠ ABD og ∠ ABE.
Det oplyses at diameteren for kuplen (dvs. den inderste regulære oktagon) er
17m.
Bestem arealet og omkredsen af såvel den inderste regulære oktagon som den
yderste regulære oktagon.
Rummet mellem de to oktagoner er som vist på figuren opdelt i 5 lige store trapezer (samt en indgang til kuplen, der dækker over de resterende 3 trapezer).
Bestem arealet af hvert af disse trapezer.
I hvert af disse trapezer er der afskåret et halvcirkelformet siderum. Hvor stort
et areal spænder et sådant siderum over?
12
Øvelse 1.7: En sekskantet grundplan.
I 1642 påbegyndte Borromini kirken S.
Ivo alla Sapienza. Til grund for sin plan
har Borromini her atter taget den ligesidede trekant – her i virkeligheden to
trekanter, der overlapper hinanden, så
de danner en davidsstjerne, hvis skæringspunkter ABCDEF danner spidserne i en regulær sekskant. De nicher,
q , DE
q , FA
p ), har udder buer udad ( BC
gangspunkt i cirkler med en radius på
halvdelen af en side af sekskanten; de
nicher, der buer indad er dannet ud fra
cirkler med samme radius, men med
centrer i tre af davidstjernens spidser.
Det oplyses at AD = 15.0 m.
a) Bestem ∠ ABC og ∠ ABD
b) Bestem omkredsen af såvel davidstjernen som grundplanen
(den fedt optrukne kurve)
c) Bestem arealet af såvel davidstjernen som grundplanen.
13
2. Buer og hvælv
Når man skal konstruere en åbning, fx døråbning eller en åbning for et vindue,
er den simpleste form selvfølgelig et rektangel. Men ofte vil man sætte en bue
på åbningen i form af en halvcirkel som en dekoration af åbningen. Denne form
for åbning kulminerer med triumfbuen, der både kan stå i det fri eller benyttes
som adskillelse i fx et kirkerum mellem skib og kor.
Kejser Titus triumfbue i Rom til minde
om sejren over jøderne 70 e.Kr.
Marien Dom i HildesHeim
Tidlig romansk stil.
Paradis-portal (narthex).
Domkirken i Paderborn (12.-13. århundrede)
14
Når buen bygges i sten konstruerer man først et træskelet til at understøtte
buen, hvorefter buen opbygges af kileformede sten. Til sidst sættes der i toppen
af halvbuen en sidste sten, der sikrer at buen understøtter sig selv. Denne særlige sten kaldes keystone eller på dansk slutsten (eller kronen). For at understrege dens betydning er den ofte dekoreret.
Den klassiske halvbue konstrueres blot som en halvcirkel. Den er typisk for
antikken og fortsætter op i den romanske periode. Men i gotikken erstattes
halvcirklen af to cirkelbuer, der mødes i en spids. Centrene for disse to cirkelbuer ligger symmetrisk på basislinjen. Den gotiske bue kan være ligesidet med
de to centre beliggende på den modsatte bue. Men den kan også være forhøjet
med centrene liggende udenfor den modsatte bue:
15
Man kan også konstruere kombinationsbuer ved at sammensætte flere buer på
snedig vis. Derved kan den romanske rundbue fx peppes op til en kløverbladsbue, ligesom den gotiske spidsbue fx kan peppes op til en kølbue (idet den ligner kølen på et skib, der er lagt omvendt på land):
Konstruktion af kløverbladsbue
Konstruktion af kølbue.
Når man på denne måde vil kombinere
flere cirkelbuer, skal man passe på at
der ikke kommer et ufrivilligt knæk, hvor
buerne støder sammen. Dertil kræves at
de to cirkelbuer skal have en fælles tangent i sammenstødspunktet. Men da
tangenten står vinkelret på radius, viser
det også at de to centre må ligge på en
fælles normal (linje vinkelret på tangenten) i sammenstødspunktet. Røringspunktet og de to centre ligger altså på en
fæles ret linje (normalen).
Øvelse 2.1 Konstruer såvel en kløverbladsbue og en kølbue i TI-Nspire.
Det er ikke alle buer, der har en
vandret grundlinje. Hvis man fx skal
lade buen følge en trappe, bliver det
nødvendigt med en skæv grundlinje
og dermed med en skæv bue.
En anden kombinationsbue er kurvehanksbuen (til højre), der også konstrueres med cirkelbuer. Den minder
om den fladtrykte romerske cirkelbue,
men er nem at konstruere, fordi den
netop er opbygget af cirkelbuer. Den
blev populær i renæssancen, hvor
man vendte tilbage til de klassiske
kurveformer, der var kendt fra antikken.
16
Her ses netop en smukt udført renæssancetrappe fra Lübeck, hvor det har været nødvendigt at støtte sig på skæve buer.
Øvelse 2.2 Konstruer et billede af en trappe med skæve buer!
Også domkirken i Lübeck har et paradis, dvs. en smukt dekoreret forhal, gennem hvilken man kan træde ind i domkirken. Her kan man finde alle slags eksempler på udsøgte kombinationsbuer og roser med fem og otte pas (se det efterfølgende afsnit). Det er bestemt også en geometers paradis!
17
Indgangen til Paradis.
Paradiset fra den ene side.
Et skævt kig ind i Paradis.
Øvelse 2.3 Konstruer udvalgte elementer fra paradisets facade. Har du mod på
kan du prøve at rekonstruere hele facaden i TI-Nspire!
18
Også runde vinduer kan dekoreres med cirkelbuer i form af pas- og kløverbladskurver, såkaldte gotiske stavværksfigurer:
Også her er der oplagte muligheder for simple geometriske konstruktioner
Øvelse 2.4: Konstruer udvalgte vinduer med fx tre, fire og fem pas.
Øvelse 2.5: Konstruer med udgangspunkt i en ligesidet trekant en triskele.
Prøv også om du kan få trukket knudestrukturen klart frem!
19
3. Spiraler
Spiraler dukker op i antikken i forbindelse
med den ene af de klassiske søjletyper,
den ioniske søjle, der prydes af en kapitæl
bestående af en dobbeltspiral, også kaldet
en volut, med en cirkel i centrum, det såkaldte øje, og en 'pude' oven på volutten,
den såkaldte abakus.
Den romerske arkitekt Vitruv var mildest
talt ikke særlig klar i sin beskrivelse af
udformningen af denne kapitæl:
'Hele kapitælens højde deles nu i ni en halv
dele, hvoraf halvanden del svarer til højden af
abakussen og de resterende otte dele svarer til
voluttens omfang.
Trækkes en linje lodret fra et hjørne i abakussen kan man i en afstand af halvanden dele
lægge et lodret linjestykke. Dette linjestykke
deles nu med et punkt beliggende fire en halv
dele under abakussen; dette svarer til centrum
for voluttens øje; Det resterende udgør tre en
halv del. Hvis der trækkes en cirkel med en
radius svarende til halvdelen af en af disse
dele, vil den netop udgøre en sjettedel3 af volutten. Gennem dennes centrum trækkes en
vandret linje, og med udgangspunkt i det øverste punkt af den lodrette diameter for volutten
frembringes en kvartcirkelbue der netop rører
undersiden af abakussen. Skift så centrum og
lad successive radier blive formindsket med
halvdelen af øjets diameter hver gang4, så den
sidste cirkelbue falder i selve øjet på den lodrette linje vinkelret under det punkt vi startede
med.'
Så i renæssancen blev Vitruvs beskrivelse
strammet betydeligt op og forskellige mulige konstruktioner blev forslået. Den første kommentar kommer fra Alberti i 1483.
Han forenklede konstruktionen ved at slå
kvartcirkelbuerne sammen to og to til
halvcirkelbuer med centre skiftevis i øjets
øverste og nederste punkt. Derved fås en
spiral med netop to omdrejninger, før spiralen slutter sig til øjet. Da den første radius er 4 enheder svarer det netop til at
diameteren formindskes med øjets diameter hver gang, hvilket er i overensstemmelse med Vitruv, idet en halvcirkelbue
svarer til to kvartcirkelbuer.
Her må Vitruv mene en ottendedel, jfr. figuren.
Også denne del er ret så uklar! Det fremgår fx ikke hvordan centrene for de successive kvartcirkelbuer skal placeres i forhold til øjet.
3
4
20
Men i den virkelige verden har spiralen
typisk tre omdrejninger før den slutter sig
til øjet. Den simpleste tolkning af Vitruv
stammer fra den italienske arkitekt Serlio
i 1537. Han benyttede som Alberti halvcirkler, men har en lidt mere kompliceret
fordeling af centrene, idet han først deler
den lodrette diameter i voluttens pupil i 6
lige store dele, som han nummererer som
vist udefra og indefter. Med centrum i delepunkt 1 trækker han først en halvcirkel
fra det øverste punkt på den lodrette diameter for volutten (dvs. abakussens nederste kant). Derefter skifter han centrum
til delepunkt 2, ligesom Alberti, men herefter flyttes delepunkterne langsomt indad
mod øjets centrum indtil han kommer til
delepunkt 6, som er centrum for den sidste halvcirkel. På denne måde får spiralen
netop tre fulde omdrejninger og slutter sig
som den skal til øjet. I detaljer ser det således ud:
Så tegnes den første og yderste halvcirkelbue med den lodrette linje som
diameter, dvs. det øverste delepunkt i
øjet som centrum. Denne halvcirkelbue slutter altså tættere på øjet i sit
nederste punkt.
Først deles en lodret linje i otte lige
store dele, hvor den fjerde del fra neden netop svarer til diameteren for voluttens øje. Dernæst deles diameteren
for øjet i seks lige store dele.
21
Så tegnes den næste halvcirkelbue
som en fortsættelse af den forrige men
denne gang med centrum i det nederste delepunkt i øjet. Den spænder altså over de seks nederste delepunkter.
Den næste halvcirkelbue er igen en
fortsættelse af den forrige, men denne
gang med det næstøverste delepunkt i
øjet som centrum.
Den næste halvcirkelbue er igen en
fortsættelse af den forrige, men denne
gang med det næstnederste delepunkt
i øjet som centrum.
Således fortsætter vi med at indsnævre halvcirkelbuen, idet vi skifter med
at vælge centrene for oven og for neden og successivt tættere på øjet.
22
I det næste skridt lukker spiralen sig
netop om øjet og vi er færdig med selve
spiralen.
Vi kan nu skjule hjælpelinjerne og
evolutten fremstår som en spiral med
et øje.
Serlios spiralkonstruktion er nok den simplest mulige, men den er ikke så elegant, for ved at bruge halvcirkelbuer kommer den til at virke lidt skæv.
Her har vi ved hjælp af en spejling fået frembragt den fulde dobbeltspiral efter
Serlios konstruktion.
Det blev derfor også foreslået at man som i Vitruvs tekst skulle forsøge sig med
kvartcirkelbuer og måske endda ottedelsbuer i konstruktionen. Prisen er imidlertid en mere kompliceret fordeling af centrene for cirkelbuerne, som jo i Serlios konstruktion altid ligger på den lodrette diameter for centercirklen. Ønsker
vi fx tre omdrejninger med kvartcirkelbuer kræver det således 12 centre, der
skiftevis ligger på lodrette og vandrette linjer. Centrene bliver da i stedet spredt
ud på et kvadratisk net med 6×6 = 36 gitterpunkter, hvilket selvfølgelig betyder
at man skal holde tungen lige i munden for at slippe frelst gennem alle 12
kvartcirkelbuer.
23
Spiraler har som sagt været kendt siden antikken som udsmykning af de ioniske søjlehoveder. I renæssancen og barokken slippes de for alvor løs som et
alment dekorativt element. Her ses fx en klassisk facade fra Rom, de sydlige
byport Pota Pia, designet af Michelangelo:
Men Lübeck kan skam også fremvise facader med volutter:
24
Øvelse 3.1: I 1552 offentliggør Salviati en simpel regel for hvordan centrene
skal placeres, hvis man ønsker at bruge kvartcirkelbuer. Da han skal bruge
dobbelt så mange buer er udgangspunktet denne gang et kvadrat med den halve diameter som side. Dette finder han indskrevet i centercirklen ved at halvere
et kvadrat indskrevet i centercirklen som vist på den følgende figur:
De 12 centre findes nu ved at starte i øverste venstre hjørne og følge pilene
rundt. Den første radius fås af Vitruvs regel om at abakussen skal ligge fire diametre oven over centercirklen. Resten af radierne følger nu ved at lave kvartcirkelbuer og fortsætte indtil man når indtil centercirklen. Efterprøv Salviatis
konstruktion og forklar hvor han snyder på vægten! Selvom han rent faktisk
snyder blev konstruktionen uhyre populær og findes på mange afbildninger af
ioniske søjler.
25
Øvelse 3.25:
Faktisk er det ikke så svært at undgå
Salviatis snyd med spiralkonstruktionen. Her er en moderne udgave, hvor vi
som før lægger et kvadrat med den halve
diameter som side inde i centercirklen og
udbygger det til et kvadratisk gitter med
6×6 = 36 delepunkter. De 12 centre findes nu ved at starte i øverste venstre
hjørne og følge pilene rundt. Den første
radius fås af Vitruvs regel om at abakussen skal ligge fire diametre oven over
centercirklen. Resten af radierne følger
nu ved at lave kvartcirkelbuer og fortsætte indtil man når centercirklen. Efterprøv konstruktionen.
Øvelse 3.3: Albertis spiral kan nemt generaliseres til en fin approksimation af
en Arkimedesspiral, hvor radien for hver bue formindskes med det samme
stykke hver gang. Skal der være et centralt øje, som spiralen lukker, skal dimensionerne blot vælges med omhu. Lad os som et eksempel se på ottendedelsbuer. Udgangspunktet er da det centrale øje og det øverste punkt som ligger 16 øjeradier over øjet, hvis spiralen skal gennemføre to fulde omdrejninger
hvor radien for hver omdrejning mindskes med en øjeradius. Vi starter da med
at konstruere en regulær ottekant over øjets lodrette radius:
P
5
Fra Sacred geometry af Miranda Lundy, Wooden books Ltd, 1998.
26
Spiralen starter da med at have centrum i P og gå gennem det øverste delepunkt på aksen. I næste skridt flytter vi til den næste stråle på ottekanten og
bruger hjørnet i ottekanten som centrum og lader cirklen gå gennem skæringspunktet med den første bue:
P
Fortsæt således og eftervis at spiralen lukker sig om øjet og at den ender i
punktet P.
Øvelse 3.4: Den gyldne spiral
I naturen er det ofte logaritmiske spiraler, der er de fremherskende spiralformer. De kan også tilnærmes med cirkelbuespiraler efter det foregående mønster. Særligt berømt er den gyldne spiral bygget over det gyldne snit. Udgangspunktet er denne gang et gyldent rektangel, hvor siderne forholder sig som det
gyldne snit, der som vist bør defineres helt præcist:
C
1+ 5
2
= 1.61803
B
A
27
Pointen ved det gyldne snit er nu at hvis man som vist skærer et kvadrat ud er
resten selv et gyldent rektangel, men nu drejet 90° i forhold til det oprindelige.
Men så kan vi jo igen skære et kvadrat ud osv.
1+ 5
2
= 1.61803
Men hvert af kvadraterne spænder jo over en kvartcirkelbue, hvorfor vi kan
trække en spiral igennem delepunkterne på rektanglernes sider:
1+ 5
2
= 1.61803
Gennemfør konstruktionen. Hvor ligger centrum for spiralen i forhold til siderne i det gyldne rektangel? Er nautilusskallen et eksempel på en gylden spiral?
28
4. Ovaler og ellipser
Ellipsen er et godt eksempel på en oval. En oval er en lukket krum kurve med
to vinkelrette symmetriakser, storeaksen og lilleaksen, og dermed også et symmetricentrum. Der findes mange forskellige slags ovaler, her er vist en superellipse:
I vores sammenhænge vil vi ydermere antage at ovalen er konveks, dvs. at kurven som vist hele tiden krummer til den samme side. Godt nok findes der
mange forskellige former for ovaler, men langt den vigtigste er ellipsen, der kan
defineres på to forskellige måder:
1) Ellipsen er en fladtrykt cirkel, dvs. hvis den store radius er a og den lille
radius er b, kan ellipsen opfattes som en fladtrykning af den omskrevne
cirkel med radius a. Forholdet mellem den vinkelrette afstand fra et ellipsepunkt P1 ind til storeaksen, dvs. P1P2, og det tilsvarende forhold for
den vinkelrette afstand fra cirkelpunktet Q ind til storeaksen, dvs. QP2,
er da altid givet ved b/a. Dette forhold kaldes ellipsens fladtrykthed.
29
2) Ellipsen er karakteriseret ved to brændpunkter F1 og F2, der begge ligger på storeaksen. Linjestykket, der forbinder et punkt P på ellipsens
periferi med et brændpunkt kaldes en brændstråle. Ellipsen er nu karakteriseret ved at summen af de to brændstråler F1P og F2P er konstant: F1P + F2P = 2a . Vi viser nedenunder, hvorfor konstanten nødvendigvis er 2a.
Vi vil ikke her forsøge at vise at de to definitioner er ækvivalente, men vi vil vise, hvordan de kan udnyttes til at finde brændpunkterne for en ellipse. Da en
ellipse er en fladtrykt cirkel kan den indskrives i et rektangel med siderne parallel med akserne. Siderne i rektanglet er da 2a henholdsvis 2b. Midtpunkterne for rektanglets sider er da netop de fire toppunkter R, S, T og U for ellipsen.
Vælger vi enten R eller S som punktet på periferien gælder da
F1R + F2R = F1S + F2S = 2a ,
idet der på grund af symmetrien må gælde at RF1 = F2S . Heraf ses bl.a. summen af brændstrålerne netop er det samme som ellipsens storakse 2a (den store diameter).
30
Vælger vi dernæst enten T eller U som punktet på periferien fås denne gang på
grund af symmetrien den følgende sammenhæng
F1T + F2T = F1S + F2S = 2a
idet summen af brændstrålerne jo er uforandret, men heraf følger igen på
grund af symmetrien at der må gælde
F1T = F2T = a
Vi kan derfor finde brændpunkterne for ellipsen ved at trække en cirkel med
radius a og centrum i et af toppunkterne S og T.
Men ved at udnytte den retvinklede trekant F1CT ses det også at vi nemt kan
beregne afstanden fra centrum til et brændpunkt ved hjælp af Pythagoras:
F1C = a 2 − b 2 .
Blandt alle ovalerne blev det nu ellipserne, der fik den dominerende rolle i
1500-tallet. Det skyldes først og fremmest et kunstnerisk gennembrud, idet det
lykkedes at konstruere en klassisk smuk oval, som tilnærmede en ellipse.
31
Gennembruddet skyldtes malere fra Rafaels skole, hvor vi har fået overleveret
en skitse af Peruzzi, der viser konstruktionen af to typiske ellipselignende ovaler:
Peruzzis overleverede sin viden til Serlio, der beskrev ellipsekonstruktionerne i
detaljer i et stort værk om arkitekturens principper fra 1545. Her vil vi se på en
særlig simpel og smuk konstruktion af den såkaldte 'ovato tondo' (den afrundede oval). Udgangspunktet er endnu engang konstruktionen af en ligesidet
trekant fra Euklids første bog!
32
Vi lægger mærke til at centrene A henholdsvis B for de to cirkler netop ligger på
den anden cirkels periferi.
Forlænger vi trekanternes skrå sider fås skrå diametre, fx CG, i cirklerne. Men
en diameter (eller en radius) står vinkelret på cirklen i endepunktet. Hvis vi
derfor trækker cirkelbuer med centre i toppunkterne C og D og radier CG henholdsvis DE vil disse cirkelbuer netop føje sig glat til de oprindelige cirkelbuer
Skjuler vi nu hjælpelinjerne har vi konstrueret den ellipselignende oval ovato
tondo. Den har adskillige bemærkelsesværdige egenskaber:
1) De fire cirkelbuer HF, FE, EG og GH er lige lange: Centervinklerne er
nemlig 60° og 120°, mens radierne i enheder af centerstykket AB er 1
henholdsvis 2: Når vi går fra buen HF til buen FE halverer vi altså centervinklen, men til gengæld fordobles radius, hvorfor buelængden er
uforandret.
2) Hele ovalens omkreds er derfor fire gange buen HF, som selv udgør 1/3
af den oprindelige cirkel med omkredsen 2π i enheder af centerstykket
AB. Ovalens omkreds er altså 83 π = 8.37758... . På samme måde indses
det at arealet af cirkeludsnittet DFE er dobbelt stort som cirkeludsnittet
BHF, fordi arealet vokser med kvadratet på radius. Men arealet af det
lille cirkeludsnittet er 1/3 af hele cirklen, dvs. 13 π . Arealet af hele ovalen
er derfor summen af de fire cirkeludsnit minus romben ADBC, der jo
ikke skal tælles med to gange, dvs. arealet er givet ved
33
2π − 23 = 5.41715... . Med lidt snilde kan vi også finde dette ved udmåling på en figur.
3) Storeaksen 2a har længden 3 (i enheder af centerstykket AB). Lilleaksen
derimod er en anelse mere kompliceret. Det lodrette stykke fra D til ovalens toppunkt er 2 (radius i den store cirkel). Det lodrette stykke fra D
til C er i følge pythagoras sætning (se fx tidligere udregning side xx) 3 .
Det overskydende stykke er derfor 2 − 3 . Lilleaksen 2b får derfor
længden 3 + 2 ⋅ (2 − 3) = 4 − 3 . Ellipsens fladtrykthed er derfor givet
ved
b 2b 4 − 3
=
=
= 0.75598...
3
a 2a
Den kan vi også finde ved udmåling på en figur! Dette tal ligger så tæt
ved 3/4, idet fejlen er under 1%, at det i praksis blev sat til 3/4. En så
simpel brøk viser at ovalen er visuelt velproportioneret.
4) Endelig kan vi finde brændpunkterne for ellipsen med samme storeakse
og lilleakse. Vi ved da fra pythagoras sætning at brændpunktsafstanden
8 3 − 10
= 0.981886...
2
Den kan vi også finde ved udmåling på en figur! Men dette tal ligger så
tæt ved 1, idet fejlen denne gang er under 2%, at det i praksis bliver afrundet til 1. Brændpunkterne ligger altså endog meget tæt på midtpunkterne for linjestykkerne TA og BU. Deles storeaksen i 6 lige store
stykker er de yderste delepunkter altså med rigtig god tilnærmelse
brændpunkterne, mens de inderste delestykker er centrene for de to
cirkler, der udspænder de yderste buer (og det midterste delestykker er
ovalens centrum). Igen viser det, at den ellipselignende oval er velproportioneret og nøje knyttet til et gitter af ligesidede trekanter.
er givet ved
a 2 − b2 =
( 32 )
2
−
(
4− 3
2
)
34
2
=
Peterspladsen i Rom
Hovedanvendelsen af ovato tondo i arkitekturhistorien er Berninis udformning
af Peterspladsen i Rom (1556-67). Her ses den fra oven
Ellipseformen er tydelig med den store obelisk i midten og de to springvand,
fontæner, i ellipsens brændpunkter. Hvad der ikke ses på billedet er de to runde sten på storeaksen, der markerer centrene for de to cirkler, der udspænder
den ellipselignende oval. De er markeret med teksten 'Centro del colonnato'.
Peterspladsen er altså netop opbygget som en ovato tondo.
35
Her ses pladsen i fugleperspektiv, hvor fontænerne og kolonnaderne er tydeligere, ligesom man kan se de fire små søjler, beregnet til belysning af pladsen
om aftenen. Dette belysningsanlæg er selvfølgelig ikke originalt, hvad man kan
se på det efterfølgende billede af Piranesi fra 1700-tallet
36
Ved at overføre et udsnit at Peterspladsen til fx TI-Nspire kan vi genskabe konstruktionen af pladsen som en ovato tondo
Men denne oval er ikke den eneste ellipselignende kurver. De to store overdækkede kolonnader (søjlerækker) i siden afgrænser også tydelige ovale ellipselignende kurver.
De er konstrueret med de samme centre som den inderste oval, og er derfor
ikke ægte ovato tondoer, men løser det vigtige problem at få afsat 'parallelle'
ovaler rundt om den inderste plads. Specielt er de to kolonnader altså afsat
langs koncentriske cirkler med de inderste cirkler fra Peterspladsen. De to kolonnader dækker over fire søjlerækker afsat langs radierne fra det fælles centrum. Når man står på Peterspladsen på et af de to centre dækker søjlerækkerne i den tilsvarende kolonnade altså lige præcis for hinanden
37
Det er altså muligt visuelt at finde centrene for cirklerne helt uden stenpladernes hjælp – men Bernini har ikke kunnet nære sig for at røbe denne lille fiffige
detalje i hans design.
Bernini har også ønsket at markere verdenshjørnerne på Peterspladsen, der
naturligvis er orienteret så kirken åbner sig ud mod pladsen mod øst. På granitbasen rundt om obelisken har han derfor konstrueret små ovale relieffer, der
viser de 16 kompasretninger. Vestenvinden (West Ponente) som peger væk fra
kirken er berømt fra Dan Browns 'Angels and Demons'
38
Øvelse 4.1: Ellipser med TI-Nspire
TI-Nspire har ikke specialværktøjer til at tegne keglesnit såsom ellipser. De må
derfor i stedet konstrueres som geometriske steder. Der findes flere forskellige
standardkonstruktioner. Her skal vi blot se på en enkelt, der tager udgangspunkt i ellipsen omskrevne og indskrevne cirkel. Vi skal altså typisk kende ellipsens centrum og dens halvakser.
Herefter vælges et tilfældigt punkt P på den yderste cirkel. Radien CP konstrueres. Den skærer den inderste cirkel i Q. Der trækkes nu en lodret linje gennem
P og en vandret linje gennem Q, der skærer hinanden i ellipsepunktet E.
Hvis du sporer ellipsepunktet E og trækker cirkelpunktet P rundt om cirklen
kan du netop se at E gennemløber en ellipse. Denne ellipse kan du nu konstrure i ét hug ved at bælge menupunktet Geometrisk sted på Konstruktionsmenuen. Du skal da først udpege punktet P som det drivende punkt (det markeres med en lille vandret dobbeltpil). Derefter skal du markere ellipsepunktet
E og du får tegnet ellipsen:
39
Til sidst kan du passende skjule cirkler og hjælpelinjer!
Prøv nu at tegne en ellipse ud fra dens centrum og de to halvakser. Konstruer
også de to brændpunkter ud fra det omskrevne rektangel.
Når du har konstrueret ellipsen i TI-Nspire kan du ved udmåling kontrollere
dens karakteristiske egenskaber:
1) Konstruér et frit punkt på ellipsen. Kontrollér ved passende målinger, at
forholdet mellem den vinkelrette afstand fra ellipsepunktet til storeaksen
og den vinkelrette afstand fra det tilsvarende cirkelpunkt til storeaksen
er konstant (= fladtryktheden b/a).
2) Konstruér et frit punkt på ellipsen og kontroller ved passende målinger,
at summen af afstandene fra ellipsepunktet til brændpunkterne er den
samme som længden af storeaksen.
Øvelse 4.2: Ovato Tondo
Gennemfør selv konstruktionen af Ovato Tondo i TI-Nspire og sammenlign ovalen med den tilsvarende ellipse som har den samme store- og lilleakse.
Konstruer ovalens omskrevne cirkel. Afsæt et vilkårligt punkt P på ovalen (dvs.
i praksis to frie punkter svarende til de to slags cirkelbuer). Undersøg ved måling i hvilket omfang forholdet mellem den vinkelrette afstand fra ovalpunktet P
til storeaksen og den vinkelrette afstand fra det tilsvarende cirkelpunkt Q til
storeaksen er det samme som forholdet mellem storeaksen og lilleaksen.
Konstruer ovalens to brændpunkter F1 og F2 (på samme måde som hvis det var
en ellipse). Afsæt et vilkårligt punkt P på ovalen (dvs. i praksis to frie punkter
svarende til de to slags cirkelbuer). Undersøg ved måling i hvilket omfang
summen af afstandene fra ovalpunktet P til de to brændpunkter er det samme
som længden af storeaksen.
40
Øvelse 4.3: Colosseum som en ellipse/oval
Det var romerne der i antikken introducerede ovalen/ellipsen i arkitekturen i
forbindelse med opbygning af amfiteatre. Her vil vi se på det berømte amfiteater
Colosseum fra Rom som et typisk eksempel. Som det klassiske billede af Piranesi fra 1700-tallet viser, har det en overgang haft en obelisk i centrum af scenerummet.
Undersøg om der er tale om ellipser. Kunne der endda rent faktisk være tale
om Ovato tondo?
Vink: Overfør billedet af grundplanen på næste side til Paint. Det kan ske ved
hjælp af et skærmfangerprogram, fx skærmklip (MWSnap), eller det kan ske
ved at åbne for en fil, der indeholder billedet, jfr. øvelsesvejledningen. I Paint
går du ind i Billede-menuen og fjerner hakket i det sidste menupunkt: Tegn
uigennemsigtigt! Mål længden af storeaksen og længden af lilleaksen på billedet.
Benyt nu tilsvarende dit skærmfanger program til at overføre dit TI-Nspire billede af en ellipse med de samme halvakser. Skalér billedet af ellipsen til det
passer i størrelse med 'originalen' i Paint. Det sker ved at trække i et hjørne,
mens du holder SHIFT nede, så du ikke ændrer på proportionerne!
Endelig overfører du dit TI-Nspire billede af en Ovato Tondo. Skalér billedet af
ovalen til det passer i størrelse med 'originalen' i Paint. Det sker ved at trække i
et hjørne, mens du holder SHIFT nede, så du ikke ændrer på proportionerne!
41
Øvelse 4.4: Rafael som ovato tondos fader?
Peruzzi, fra hvem vi har de første skitser af ovato tondo, var elev af Rafael. Der
har derfor været spekulationer om hvorvidt Rafael selv kendte til konstruktionen af ovato tondo. Som indicium nævner man ofte Rafaels berømte billede i
Villa Farnesia af havnymfen Galathea. Hendes skønhed gjorde et stort indtryk
på samtidens unge adelsmænd, der udfrittede Rafael for at få ham til at røbe,
hvilken renæssance-babe, der havde stået model til billedet. Men Rafael fastholdt, at hun var udsprunget af hans hoved og således udelukkende repræsenterede hans egen forestilling om den ideelle skønhed.
42
Billedet er et eksempel på Rafales elliptiske design. Undersøg selv om rammen
passer med målene for en ovato tondo og om billedet kan tænkes struktureret
efter denne ovato tondo? Hvilken rolle spiller kvadratet som billedet er indfældet i?
Vink: Overfør billedet til Paint. Det kan ske ved hjælp af et skærmfangerprogram, fx skærmklip (MWSnap), eller det kan ske ved at åbne for en fil, der indeholder billedet, jfr. øvelsesvejledningen. I Paint går du ind i Billede-menuen
og fjerner hakket i det sidste menupunkt: Tegn uigennemsigtigt!
Overfør derefter dit TI-Nspire billede af en Ovato Tondo. Skalér billedet af ovalen til det passer i størrelse med 'originalen' i Paint. Det sker ved at trække i et
hjørne, mens du holder SHIFT nede, så du ikke ændrer på proportionerne!
43
Øvelse 4.5: Peruzzis ovaler
På billedet af Peruzzis skitse ser man også en oval frembragt af et kvadratisk
gitter:
Prøv nu selv at konstruere denne oval ud fra de to kvadrater og find ved opmåling og/eller beregning dens omkreds og areal, såvel som dens fladtrykthed og
brændpunkternes placering.
Øvelse 4.6: Michelangelos ellipse
Ellipsens første indtog i renæssancens arkitektur kom med Michelangelos udformning af Capitolpladsen i Rom fra 1536-46, der først blev endeligt realiseret
efter mesterens død i 1564. På næste side er vist hvordan pladsen så ud i 1568
på et kobberstuk af Dupérac, ligesom der er vedlagt en plantegning fra 1667 af
Capitolpladsen. Pladsen ligger på en forhøjning, hvortil der er adgang tre steder. Læg mærke til at Michelangelo på denne måde bryder symmetrien omkring
lilleaksen! I pladsens centrum befinder der sig en rytterstatue af Kejser Marcus
Aurelius.
Undersøg om der er tale om en ellipse. Kunne der endda rent faktisk være tale
om en Ovato tondo?
44
45
Øvelse 4.7: Berninis ellipser
I romanen 'Engle og Dæmoner' af Dan Brown spiller vindreliefferne fra Peterspladsen, der er udformet af Bernini, en særlig rolle:
Er der tale om en ellipse? Er de to stjerner placeret i brændpunkterne?
Øvelse 4.8: Storm over Dan Brown
Dan Brown har været udsat for hård kritik, ikke mindst på internettet, hvor
specielle hjemmesider har specialiseret sig i at finde fejl i hans bøger. Her er to
anonyme kritikpunkter af Dan Browns brug af Peters-pladsen og vejrguderne:
'The four stone disks surrounding the obelisk in Piazza San Pietro
are not bas-reliefs; they are simply flat stones, parts of the
compass rose around the obelisk. They depict winds from north,
south, east and west and how Langdon decides upon the West wind
as the important one is unexplained: the angel in Santa Maria del
Popolo can't have pointed with that exactness.'
'Art historians knew the fountains marked the exact geometric focal
points of Bernini's elliptical piazza. Not true: the focal points are
marked by two red stone disks roughly halfway between the
obelisk and the fountains. Standing on one of the disks you have
the illusion that the nearest colonnade has only one row of columns
instead of four.'
Kommenter kritikpunkterne!
46
Øvelse 4.9 Borrominis oval
S. Carlo alle Quattro Fontane er en af barokkens mest berømte kirker. Den ligger i Rom og er bygget af Borromini. S. Carlo alle Quattro Fontane fastslog Borromini's lokale og internationale berømmelse. "Noget tilsvarende", skrev overhovedet for den religiøse orden der stod bag byggeriet, " kan ikke findes nogen
andet sted i verden. Det er bekræftet af alle de fremmede besøgende, som ...
prøver at fremskaffe kopier af grundplanen. Vi er blevet spurgt om kopier af
Tyskere, Flamlændere, Franskmænd, Italienere, Spaniere, ja selv Indere ..."
15.17 E: Omtegning af Borrominis tidlige skitse til planens proportionering
47
En bevaret skitse viser, hvordan Borromini ønskede at proportionere planen.
Grundfiguren er en rombe dannet af to ligesidede trekanter. I trekanterne er
indskrevet cirkler, der sammen med to større bueslag med centrum i rombens
hjørner danner en oval. Denne oval svarer til kuplens projektion i gulvplanet.
Rektanglet, der omskriver ovalen, bestemmer hjørneafskæringerne af 'det græske kors', og over de tilbageværende sidelængder spændes buerne, som danner
korsets arme.
Tegning af Francesco Borromini (1599-1667). Naredi-Rainer (1995),
Fig.114, S. 213.
Grundplan for klostret og kirken San Carlino alle quatro fontane i Rom.
Originalen findes i Wien (Albertina n. 173)
Efter Ivan Tafteberg: Ovale_kilder (Noter til matematik og arkitektur)
Gennemfør konstruktionen i TI-Nspire.
Undersøg om der er tale om en af de ovaler, som vi kender fra Peruccis skitser
(øvelse 4.5).
48