1. No category

Geometri/
Trigonometri
Emneopgave- Matematik A 2011
Skrevet af: Neelam, Mujtaba, Farid & Venotha
25-7-2011
Indhold
Oversigt over de trignomiske formler:...................................................................................................... 2
Formler:................................................................................................................................................. 2
Bevis af sinus og cosinus relationer.......................................................................................................... 3
Enhedscirkel (stumpe vinkler) .............................................................................................................. 3
Sinus, cosinus og tangens .................................................................................................................... 3
Areal .................................................................................................................................................. 5
Afstandsformlen ................................................................................................................................. 5
Oversigt over relationerne ...................................................................................................................... 5
Ligningen for linjer:................................................................................................................................. 7
Midtpunkter....................................................................................................................................... 8
Midtnormalers hældning..................................................................................................................... 8
Centrum for cirkel:.............................................................................................................................10
Oversigt over de trignomiske formler:
Formler:
Pythagoras
Sinus
( )
( )
( )
Cosinus
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Trekantens Areal
( )
( )
( )
Afstandsformlen
|
|
√(
)
(
)
Bevis af sinus og cosinus relationer
Pythagoras
BEVIS
Arealet af det store kvadrat:
(
)
.
Summen af arealerne af de fire trekanter og arealet af det lille kvadrat:
(
)
.
Disse udtryk sættes lig med hinanden:
Ligningen reduceres:
.
.
Pythagoras’ sætning siger, at HVIS en trekant er retvinklet, SÅ opfylder den
ligningen:
.
Enhedscirkel (stumpe vinkler)
Et koordinatsystem og en cirkel med centrum i (0,0) og radius 1,
en såkaldt enhedscirkel.
En vinkel v, der er mellem 0˚ og 90˚, placeres i (0,0) med højre
ben ud af første aksen. Det venstre ben på vinkel v skærer
enhedscirklen i et punkt P, som kaldes vinklens retningspunkt.
Når vinklen v vokser fra 0˚ til 180˚, starter retningspunktet i (0,1)
og bevæger sig en halv omgang på enhedscirklen.
( ) er liv med 1. koordinaten til P og
( ) er lig med 2. koordinaten til P.
To punkter, der ligger symmetrisk om 2. aksen, har sammen 2. koordinat, mens 1. koordinaterne har
samme værdi med modsat fortegn. Det gælder derfor formlerne:
)
(
)
( ) og
(
( ). Vi kan altså konkludere, at 3 vinkler, der er lagt sammen giver 180˚, har samme sinusværdi,
mens deres cosinusværdi er ens, men med modsat fortegn.
Sinus, cosinus og tangens
Sinus-relationen: Sinus-relationerne er nyttige, men kan dog ikke bruges til alt. Sinus-relationerne
kræver nemlig at man kender en vinkel og dens modstående side.
( )
( )
BEVIS
Vinkel A kan udregnes ved hjælp af:
( )
Vinkel B kan udregnes ved hjælp af:
( )
( )
Når man så isolerer h i ligningerne, får man:
De ovenstående ligninger kan man nu sætte lig med hinanden, så:
Dette omskrives til:
( )
( )
( )
og
( )
.
.
.
( )
Cosinus-relationen
Cosinus-relationerne skal man bruge når man kender en vinkel, men ikke dens modstående side (som man
normalt gør ved brug af sinus-relationen) eller hvis man kender 3 sider.
( )
BEVIS
Pythagoras på trekant :
Pythagoras på trekant : (
(
(
)
)
⇔
)
.
⇔
(
) .
Fra trekant  fås:
( )
( )
x og dette indsættes i stedet for x:
(
( ))
( )
Areal
Arealet af en vilkårlig trekant:
( )
( )
( )
( )
gælder
⇔
( )
( )
gælder
⇔
( )
( )
gælder
⇔
( )
Afstandsformlen
|
|
√(
)
(
)
BEVIS
Vi benytter os af Pythagoras’ sætning:
|
(
)
(
)|
|
√(
|
|
|
)
(
)
|
|
|
|
(
)
(
)
Til dette afsnit har vi brugt Matematik A-bogen, plus formler fra formelsamling og egne noter.
Oversigt over relationerne
De 3 Siderne og vinkler i en trekant kan beregnes ved hjælp af sinus og cosinus relationer, dermed også ved
hjælp af tangent formlen. Her ses en oversigt over hvordan de resterne sider og vinkler beregner, hvis
tilfældet er at der er givet 3 informationer om en vilkårlig trekant.
Der er 5 følgende mulige kombinationer af oplysninger som karakteriserer en trekant:





2 sider + mellemliggende vinkel
2 sider + ikke mellemliggende vinkel
3 sider
2 vinkler + mellemliggende side
2 vinkler + ikke mellemliggende side
Ved hjælp af disse informationer kan de restende sider og vinker beregnes:
Relevante regler:
Kombination af oplysninger i en trekant, .
Vinkel C+a+b
Her bruges cosinus relationen
( ) til at beregne den sidste side. Derefter kan de sidste to
vinkler findes ved at bruge sinus relationen
og
( )
( )
den sidste side kan findes ved at trække de 2 vinkler fra
vinkelsummen.
1 vinkel + 2 af siderne i en
a+ b +
er givet f.eks
Her bruges
til at beregne vinkel nummer 2.
( )
( )
Derefter kan de to vinkler blive lagt sammen og trukket fra
. Den sidste side kan
beregnes ved brug af
( )
3 Sider a, b, c
( )
( )
Den sidste vinkel findes ved brug af vinkelsummen.
Vinkel A og B + c
( )
Først, bruges
for at finde den sidste vinkel.
Kan dog også findes ved hjælp af vinkelsummen. De to
givende vinkler lægges sammen og trækkes fra 180 .
Derefter kan man ved brug af sinus relationen
( )
( )
( )
( )
beregne de 2 restende sider.
Vinkel A+B+a
( )
Først, bruges
for at finde den sidste vinkel.
Kan dog også findes ved hjælp af vinkelsummen. De to
givende vinkler lægges sammen og trækkes fra 180 .
Derefter kan man ved brug af sinus relationerne
for at beregne de 2
( )
( )
( )
( )
restende sider.
Til dette afsnit har vi brugt kapitallet om trekanter og trigonometri i A-bogen plus formler fra formelsamling.
Ligningen for linjer:
Vi vil gerne bestemme ligning for de tre linjer som afgrænser trekant.
Y= ax+b
a = y2-y1 / x2-x1
midtpunkt for linje AB.
a = 4-2 / 2-1 = 2
b = y1-ax1 <=> 2-2 = 0
y = 2x+0
Nu har vi fundet ud af at vores linje skærer y-aksen i 0 og vores hældningskoefficient er 2. På
samme måde finder vi linjens ligning for de andre to linjer.
a = 2-3 / 6-4 = -0,5
b = 3-(-0,5) ∙ 4 = 5
y = -0,5x+5
Vi vil gerne vise midt punkter samt midtnormalerne i trekanten. Vi starter med at tegne en trekant
ABC, hvor hjørnerne er bestemt ved A(0,0), B(2,4) og C(6,2).
Vi finder midtnormalen for punkterne AB og AC som svar AB= 1 og AC = 3
Skæringen af de to midtnormaler
a = 3-1 / 4-3 = 2
b = 1+2 ∙3 = 7
y = 2x+7
Midtpunkter
Punkterne som linjen går igennem er midt punktet på linje AC, AB og BC.
Vi finder midtpunkter ved at bruge midtpunktsformlen. Først MAB som er 1,2 osv.
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
Midtnormalers hældning
Vi sætter vores hældning af linjer ind på formlen. a ∙ c = -1 <=> c = -1/a. Vores første midtnormal
går gennem linjen AB, så derfor tage vi hældningen af denne linjen sætter på a`s plads i formlen.
På samme måde gør vi det også for de andre linjer.
a ∙ c = -1 <=> c = -1/a
for AB: c = -1/2 = -0,5
for BC: c = -1/0,5 = -2
for AC: c = -1 / 2 = -0,5
Nu bestemmer vi skæring med y aksen for midtnormalen, der vi kender et punkt hvor linjerne går i
gennem.
Vi vælger tangent hældning for linjer AC = -0,5 og sætter i linjes formlen.
Y= -1/2 ∙3+ b
1 = -½∙3+b
-B = -½∙3-1
B = 2,5
Vi sætter 1 og 3 i formlen og finder ligningen for en ret linje.
(
Isoler y:
)
(
)
Y= -3x+10
Centrum for cirkel:
Vi bestemmer de to skærings punkter ved at sætte ligningerne lig hinanden.
- ½x + = -3x+10
2½x = 10-(5/2)
2½x= 7½
X=3
Y-koordinaten bestemmes ved at sætte den fundne x-værdi ind i en af ligningerne.
Y = -3x+10
Y = -3 ∙ 3 + 10 = 1
Nu har vi fundet vores centrum for den omskrevne cirkel.
P= (3,1)
Nu skal vi bestemme radius for den omskrevne cirkel og det kan man gør ved at tage afstanden fra
centrum til et af punkterne.
r= √( )
( ) = 3,2
Nu kan vi opskrive ligningen for den omskrevne cirkel.
(x-3)2 + (y-1)2 = 3,22
Til dette afsnit har vi brugt kapital 2,2 og 2,3 i A-bogen plus formler fra formelsamling.