Censorer søges til diplomuddannelser inden for det pædagogiske
talentcampdk Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 talentcampdk Talteori Indhold Anne Ryelund Anders Friis 1 Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur 2 Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber 3 Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler 4 Antal divisorer 5 Største fælles divisor Euklids algoritme Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 2/36 talentcampdk Talteori Indhold Anne Ryelund Anders Friis 1 Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur 2 Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber 3 Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler 4 Antal divisorer 5 Største fælles divisor Euklids algoritme Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 3/36 talentcampdk Talteori Introduktion Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Hvad er Talteori? 1) Hvad er Taleteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 4/36 talentcampdk Talteori Introduktion Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Hvad er Talteori? 1) Hvad er Taleteori? • Læren om de hele tal Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 4/36 talentcampdk Talteori Introduktion Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Hvad er Talteori? 1) Hvad er Taleteori? • Læren om de hele tal • Primtal Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 4/36 talentcampdk Talteori Introduktion Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Hvad er Talteori? 1) Hvad er Taleteori? • Læren om de hele tal • Primtal Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer 2) Formalistisk struktur Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 4/36 talentcampdk Talteori Introduktion Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Hvad er Talteori? 1) Hvad er Taleteori? • Læren om de hele tal • Primtal Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer 2) Formalistisk struktur Eksistens og entydighed • Definition Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 4/36 talentcampdk Talteori Introduktion Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Hvad er Talteori? 1) Hvad er Taleteori? • Læren om de hele tal • Primtal Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer 2) Formalistisk struktur Eksistens og entydighed • Definition • Sætning Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 4/36 talentcampdk Talteori Introduktion Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Hvad er Talteori? 1) Hvad er Taleteori? • Læren om de hele tal • Primtal Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer 2) Formalistisk struktur Eksistens og entydighed • Definition • Sætning • Lemma Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 4/36 talentcampdk Talteori Introduktion Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Hvad er Talteori? 1) Hvad er Taleteori? • Læren om de hele tal • Primtal Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer 2) Formalistisk struktur Eksistens og entydighed • • • • Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 4/36 Definition Sætning Lemma Korollar talentcampdk Talteori Indhold Anne Ryelund Anders Friis 1 Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur 2 Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber 3 Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler 4 Antal divisorer 5 Største fælles divisor Euklids algoritme Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 5/36 talentcampdk Talteori Divisorer og delelighed Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Definition 1 (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så Hvad er Talteori? Formalistisk struktur d·q =n Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal siger vi, at d går op i n, eller at d er divisor i n, og vi skriver d |n. Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 6/36 talentcampdk Talteori Divisorer og delelighed Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Definition 1 (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så Hvad er Talteori? Formalistisk struktur d·q =n Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal siger vi, at d går op i n, eller at d er divisor i n, og vi skriver d |n. Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Eksempel 1 Lad os betragte tallet 14. Tallet 7 er divisor i 14, og vi kan skrive 7|14, da Faktorisering af sum Kvadratsætningerne 7 · 2 = 14 Eksempler Antal divisorer Er der andre divisorer i tallet 14? Hvilke? Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 6/36 talentcampdk Talteori Divisorer og delelighed Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Sætning 1 (Delelighedsregler) Lad a, b, og c være hele tal. Da gælder følgende to udsagn: Hvad er Talteori? 1) Hvis a |b og b |c, da vil også a |c 2) Hvis a |b og a |c, da vil også a |b + c og a |b − c Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 7/36 talentcampdk Talteori Divisorer og delelighed Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Sætning 1 (Delelighedsregler) Lad a, b, og c være hele tal. Da gælder følgende to udsagn: Hvad er Talteori? 1) Hvis a |b og b |c, da vil også a |c 2) Hvis a |b og a |c, da vil også a |b + c og a |b − c Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Eksempel 2 Lad os betragte tallene 4, 12 og 24. Vi ser først at Omskrivning til produkt 4|12 Faktorisering af sum og 12|24 Kvadratsætningerne Eksempler Da siger 1) fra sætning 1, at så må det gælde at 4|24. Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 7/36 talentcampdk Talteori Divisorer og delelighed Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Sætning 1 (Delelighedsregler) Lad a, b, og c være hele tal. Da gælder følgende to udsagn: Hvad er Talteori? 1) Hvis a |b og b |c, da vil også a |c 2) Hvis a |b og a |c, da vil også a |b + c og a |b − c Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Bevis Primatallenes egenskaber 1) Vi ved at a |b og b |c. Det betyder, at der findes et hele tal q1 og q2 så Omskrivning til produkt Faktorisering af sum a · q1 = b Kvadratsætningerne Eksempler b · q2 = c Antal divisorer Det må betyde at Største fælles divisor Euklids algoritme c = b · q2 = a · q1 · q2 = a · (q1 · q2 ) Da produktet af to hele tal selv er et helt tal, viser dette at a |c. 16. juli 2014 Slide 8/36 talentcampdk Talteori Divisorer og delelighed Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Sætning 1 (Delelighedsregler) Lad a, b, og c være hele tal. Da gælder følgende to udsagn: Hvad er Talteori? 1) Hvis a |b og b |c, da vil også a |c 2) Hvis a |b og a |c, da vil også a |b + c og a |b − c Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Bevis Primatallenes egenskaber 1) Vi ved at a |b og b |c. Det betyder, at der findes et hele tal q1 og q2 så Omskrivning til produkt Faktorisering af sum a · q1 = b Kvadratsætningerne Eksempler b · q2 = c Antal divisorer Det må betyde at Største fælles divisor Euklids algoritme c = b · q2 = a · q1 · q2 = a · (q1 · q2 ) Da produktet af to hele tal selv er et helt tal, viser dette at a |c. 2) Det overlader vi til jer i en opgave... 16. juli 2014 Slide 8/36 talentcampdk Talteori Primtal Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Definition 2 (Trivielle og ægte divisorer) De trivielle divisorer i et helt tal n er 1, −1, n og −n. Alle andre divisorer i n kaldes ægte divisorer. Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 9/36 talentcampdk Talteori Primtal Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Definition 2 (Trivielle og ægte divisorer) De trivielle divisorer i et helt tal n er 1, −1, n og −n. Alle andre divisorer i n kaldes ægte divisorer. Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Definition 3 (Primtal) Et positivt helt tal n, som er større end 1, kaldes et primtal, hvis det kun har trivielle divisorer. Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 9/36 talentcampdk Talteori Primtal Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Definition 2 (Trivielle og ægte divisorer) De trivielle divisorer i et helt tal n er 1, −1, n og −n. Alle andre divisorer i n kaldes ægte divisorer. Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Definition 3 (Primtal) Et positivt helt tal n, som er større end 1, kaldes et primtal, hvis det kun har trivielle divisorer. Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Eksempel De første ti primtal er altså tallene: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 9/36 talentcampdk Talteori Primtal Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Definition 2 (Trivielle og ægte divisorer) De trivielle divisorer i et helt tal n er 1, −1, n og −n. Alle andre divisorer i n kaldes ægte divisorer. Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Definition 3 (Primtal) Et positivt helt tal n, som er større end 1, kaldes et primtal, hvis det kun har trivielle divisorer. Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Eksempel De første ti primtal er altså tallene: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 Største fælles divisor Euklids algoritme Definition 4 (Sammensatte tal) Et positivt helt tal n, som er større end 1, kaldes et sammensat tal, hvis det har en ægte divisor. 16. juli 2014 Slide 9/36 talentcampdk Talteori Primfaktorer Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Definition 5 (Primfaktorer) Et primtal der er divisor i et helt tal n, kaldes en primfaktor i n. Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 10/36 talentcampdk Talteori Primfaktorer Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Definition 5 (Primfaktorer) Et primtal der er divisor i et helt tal n, kaldes en primfaktor i n. Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksempel Primfaktorerne i 90 er 2, 3 og 5 Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 10/36 talentcampdk Talteori Primfaktorer Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Definition 5 (Primfaktorer) Et primtal der er divisor i et helt tal n, kaldes en primfaktor i n. Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksempel Primfaktorerne i 90 er 2, 3 og 5 Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Primtalsfaktorisering At primtalsfaktorisere et tal betyder at skrive tallet som et produkt af udelukkende primtal. Hvad er primtalsfaktoriseringen af 90? Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 10/36 talentcampdk Talteori Primfaktorer Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Definition 5 (Primfaktorer) Et primtal der er divisor i et helt tal n, kaldes en primfaktor i n. Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksempel Primfaktorerne i 90 er 2, 3 og 5 Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Primtalsfaktorisering At primtalsfaktorisere et tal betyder at skrive tallet som et produkt af udelukkende primtal. Hvad er primtalsfaktoriseringen af 90? SVAR: 90 = 2 · 3 · 3 · 5 = 2 · 32 · 5 Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 10/36 talentcampdk Talteori Primfaktorer Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Definition 5 (Primfaktorer) Et primtal der er divisor i et helt tal n, kaldes en primfaktor i n. Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksempel Primfaktorerne i 90 er 2, 3 og 5 Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Primtalsfaktorisering At primtalsfaktorisere et tal betyder at skrive tallet som et produkt af udelukkende primtal. Hvad er primtalsfaktoriseringen af 90? SVAR: 90 = 2 · 3 · 3 · 5 = 2 · 32 · 5 Største fælles divisor Euklids algoritme Generelt er primtalsfaktoriseringen af et naturligt tal n > 1 givet ved: α α αm n = p1 1 · p2 2 · ... · pm hvor pi ’erne er primfaktorer og αi ’erne er positive heltal. 16. juli 2014 Slide 10/36 talentcampdk Talteori Eksistens og entydighed Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Lemma 1 (Eksistens af primfator) Ethvert positivt heltal n større end 1 har en primfaktor. Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 11/36 talentcampdk Talteori Eksistens og entydighed Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Lemma 1 (Eksistens af primfator) Ethvert positivt heltal n større end 1 har en primfaktor. Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Bevis Lad n være et positivt heltal større end 1, og lad p betegne den mindste divisor i n. Vi vil nu vise med modstrid, at p er et primtal. Antag p ikke er et primtal (antag altså at p er et sammensat tal). Det betyder, at p har en divisor d, hvorom det gælder at 1 < d < p ifølge definitionen af et sammensat tal. Hvis d |p og p |n vil d |n ifølge sætning 1. Dermed er p ikke den mindste divisor i n, og vi har derfor en modstrid. p må altså være et primtal, og p er dermed en primfaktor i n. Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 11/36 talentcampdk Talteori Eksistens og entydighed Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Sætning 2 (Aritmetikkens fundamentalsætning) Ethvert positivt heltal n større end 1 kan primtalsfaktoriseres. Primtalsfaktoriseringen er entydig (på nær primfaktorernes rækkefølge). Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 12/36 talentcampdk Talteori Eksistens og entydighed Anne Ryelund Anders Friis Bevis Introduktion Del 1: Eksistens Lad n være et positivt helt tal. Vi ved da fra lemma 1, at n har en primfaktor. Lad os kalde denne primfaktor p1 . Vi har altså Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal n = p1 · q1 Primfaktorer Eksistens og entydighed Hvor q1 er et helt tal. Hvis q1 = 1 har vi fundet primtalsfaktoriseringen af n, og faktisk er n = p1 selv et primtal. Hvis q1 > 1 må q1 ifølge lemma 1 have en primfaktor, p2 , og vi har q1 = p2 · q2 Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler og derfor kan vi nu skrive, at Antal divisorer n = p1 · q1 = p1 · p2 · q2 Største fælles divisor Euklids algoritme Denne proces kan vi fortsætte, og da q1 , q2 , q3 , ... er en aftagende følge af positive heltal, vil vi før eller siden møde et tal qr = 1. Dermed har vi n = p1 · p2 · · · pr · 1 = p1 · p2 · · · pr hvor alle pi ’erne er primtal. Dermed har n altså en primtalsfaktorisering. 16. juli 2014 Slide 13/36 talentcampdk Talteori Eksistens og entydighed Anne Ryelund Anders Friis Bevis Introduktion Del 2: Entydighed Antag at der findes positive heltal med to (eller flere) primtalsfaktoriseringer. Lad n være det mindste af disse heltal. Vi har således Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal p1 · p2 · · · pr = n = q1 · q2 · · · qs Primfaktorer Eksistens og entydighed hvor pi ’erne og qj ’erne er primtal. Ingen af pi ’erne kan være lig et af qj ’erne, fordi da ville vi ved forkortning med dette tal få et tal mindre end n, der også havde to (eller flere) primtalsfaktoriseringer, og dette er i strid med antagelsen, om at n er det mindste tal af denne slags. Det må altså specielt gælde, at enten er p1 < q1 eller også er p1 > q1 . Lad os antage, uden tab af generalitet, at p1 < q1 , og lad os så betragte tallet Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor m = (q1 − p1 ) · q2 · q3 · · · qs Euklids algoritme Tallet m er oplagt mindre end tallet n. Dermed må m have en entydig primtalsfaktorisering. Vi ser at p1 ikke går op i m, og derfor kan p1 ikke være indeholdt i primtalfaktoriseringen af m. 16. juli 2014 Slide 14/36 talentcampdk Talteori Eksistens og entydighed Anne Ryelund Anders Friis Bevis Introduktion Del 2: Entydighed (fortsat) Men ved omskrivning får vi: Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering m = (q1 − p1 ) · q2 · q3 · · · qs Divisorer og delelighed Primtal = q1 · q2 · · · qs − p1 · q2 · q3 · · · qs Primfaktorer Eksistens og entydighed = n − p1 · q2 · q3 · · · qs Kvadrattal Primatallenes egenskaber = p1 · p2 · · · pr − p1 · q2 · q3 · · · qs Omskrivning til produkt = p1 · (p2 · p3 · · · pr − q2 · q3 · · · qs ) Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Den sidste linje viser, at der findes en primtalfaktorisering af m, hvor p1 indgår som primfaktor. Der må altså findes flere primtalsfaktoriseringer af m, hvilket er i strid med antagelsen om, at n er det mindste positive heltal med to (eller flere) primtalsfaktoriseringer. Dermed må alle positive heltal større end 1 have en entydig primtalsfaktorisering. Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 15/36 talentcampdk Talteori Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Kvadrattal Definition 6 (Kvadrattal) Alle tal der kan skrives på formen a 2 , hvor a er et helt positivt tal kaldes kvadrattal. Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 16/36 talentcampdk Talteori Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Kvadrattal Definition 6 (Kvadrattal) Alle tal der kan skrives på formen a 2 , hvor a er et helt positivt tal kaldes kvadrattal. Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Eksempel De første kvadrattal er altså: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 16/36 talentcampdk Talteori Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Kvadrattal Definition 6 (Kvadrattal) Alle tal der kan skrives på formen a 2 , hvor a er et helt positivt tal kaldes kvadrattal. Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Eksempel De første kvadrattal er altså: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 Primfaktorer Eksistens og entydighed Hvad er de næste? Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 16/36 talentcampdk Talteori Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Kvadrattal Definition 6 (Kvadrattal) Alle tal der kan skrives på formen a 2 , hvor a er et helt positivt tal kaldes kvadrattal. Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Eksempel De første kvadrattal er altså: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Hvad er de næste? Svar: 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289... Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 16/36 talentcampdk Talteori Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Kvadrattal Definition 6 (Kvadrattal) Alle tal der kan skrives på formen a 2 , hvor a er et helt positivt tal kaldes kvadrattal. Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Eksempel De første kvadrattal er altså: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Hvad er de næste? Svar: 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289... Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Bemærkning Kvadrattallene større end 1 er netop de positive heltal hvor alle primfaktorer indgår i en lige potens i primtalsfaktoriseringen. Vis dette! Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 16/36 talentcampdk Talteori Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Kvadrattal Definition 6 (Kvadrattal) Alle tal der kan skrives på formen a 2 , hvor a er et helt positivt tal kaldes kvadrattal. Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Eksempel De første kvadrattal er altså: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Hvad er de næste? Svar: 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289... Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Bemærkning Kvadrattallene større end 1 er netop de positive heltal hvor alle primfaktorer indgår i en lige potens i primtalsfaktoriseringen. Vis dette! Euklids algoritme Et kvadrattal n er givet ved: n = a2 = a · a α α αm Hvor a er et vilkårligt heltal med følgende primtalsfaktorisering a = p1 1 · p2 2 · · · pm α α α α 2α1 αm αm n = (p1 1 · p2 2 · · · pm ) · (p1 1 · p2 2 · · · pm ) = p1 16. juli 2014 Slide 16/36 2α2 · p2 2αm · · · pm talentcampdk Talteori Primatallenes egenskaber Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Sætning 3 Lad p være et primtal. Hvis p |ab, da vil p |a eller p |b. Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 17/36 talentcampdk Talteori Primatallenes egenskaber Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Sætning 3 Lad p være et primtal. Hvis p |ab, da vil p |a eller p |b. Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Bevis: overlades til jer i en opgave... Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 17/36 talentcampdk Talteori Primatallenes egenskaber Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Sætning 3 Lad p være et primtal. Hvis p |ab, da vil p |a eller p |b. Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Bevis: overlades til jer i en opgave... Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Sætning 4 Der findes uendeligt mange primtal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 17/36 talentcampdk Talteori Primatallenes egenskaber Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Sætning 3 Lad p være et primtal. Hvis p |ab, da vil p |a eller p |b. Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Bevis: overlades til jer i en opgave... Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Sætning 4 Der findes uendeligt mange primtal Bevis: Antag at der findes endeligt mange primtal og lad disse være givet ved: Faktorisering af sum p1 , p2 , ..., pm Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Vi betragter tallet n = p1 · p2 · · · pm + 1. Største fælles divisor Euklids algoritme Da n er et heltal større end 1 har n en primfaktor p. Denne primfaktor p må være en af de endeligt mange primtal p1 , p2 , ..., pm . dvs. at p går op i både n og p1 · p2 · · · pm og således også i n − p1 · p2 · · · pm = 1. Da alle primtal er større end 1 er dette en modstrid. Altså findes der uendeligt mange primtal. 16. juli 2014 Slide 17/36 talentcampdk Talteori Indhold Anne Ryelund Anders Friis 1 Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur 2 Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber 3 Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler 4 Antal divisorer 5 Største fælles divisor Euklids algoritme Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 18/36 talentcampdk Talteori Faktorisering af sum Anne Ryelund Anders Friis Introduktion I talteori er det ofte meget lettere at sige noget om et produkt end om en sum. Mange opgaver løses derfor ved at benytte faktorisering. Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed ´ led, som At faktorisere et udtryk betyder, at man omskriver udtrykket til at bestå af et udelukkende består af faktorer - dvs. tal, der er ganget sammen. (Bemærk: hver faktor kan godt bestå af flere led). Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 19/36 talentcampdk Talteori Faktorisering af sum Anne Ryelund Anders Friis Introduktion I talteori er det ofte meget lettere at sige noget om et produkt end om en sum. Mange opgaver løses derfor ved at benytte faktorisering. Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed ´ led, som At faktorisere et udtryk betyder, at man omskriver udtrykket til at bestå af et udelukkende består af faktorer - dvs. tal, der er ganget sammen. (Bemærk: hver faktor kan godt bestå af flere led). Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Mantra Hvis du går i stå i en opgave, så prøv at faktoriser! Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 19/36 talentcampdk Talteori Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Faktorisering af sum Eksempel Lad forsøge at finde alle positive heltalsløsninger i ligningen Hvad er Talteori? x · y + y = 11 Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne vi kan ikke umiddelbart løse ligningen, fordi der er mere end en variabel. Men venstresiden kan faktoriseres! y · (x + 1) = 11 Så nu står der ”et tal gange et andet tal skal give 11”. Men 11 er et primtal, så de eneste produkter der kan give 11 er 1 · 11 og 11 · 1. Der er altså to muligheder for at løse ligningen. Enten har vi y = 11 Eksempler x +1=1⇔x =0 Antal divisorer Største fælles divisor Eller også har vi Euklids algoritme x + 1 = 11 ⇔ x = 10 y=1 Der er altså to mulige heltalsløsninger af ligningen. 16. juli 2014 Slide 20/36 talentcampdk Talteori Kvadratsætninger Anne Ryelund Anders Friis 1. kvadratsætning: a 2 + b 2 + 2ab = (a + b )2 Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 21/36 talentcampdk Talteori Kvadratsætninger Anne Ryelund Anders Friis 1. kvadratsætning: a 2 + b 2 + 2ab = (a + b )2 Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed 2. kvadratsætning: a 2 + b 2 − 2ab = (a − b )2 Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 21/36 talentcampdk Talteori Kvadratsætninger Anne Ryelund Anders Friis 1. kvadratsætning: a 2 + b 2 + 2ab = (a + b )2 Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed 2. kvadratsætning: a 2 + b 2 − 2ab = (a − b )2 Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt 3. kvadratsætning: a 2 − b 2 = (a − b )(a + b ) Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 21/36 talentcampdk Talteori Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Eksempler Eksempel Lad os betragte ligningen x 2 + 9 + 6x = 0 Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Ligningen er et eksempel på en andengradsligning, men den ved vi ikke, hvordan vi skal løse! Men lad os bruge 1. kvadratsætning, på den måde kan vi omskrive til: Primtal x 2 + 9 + 6x = (x + 3)2 = 0 Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt så vi skal have et tal, som gang med sig selv giver 0. Det eneste tal, der opfylder dette er 0. Det må altså gælde at ”indmaden”i parentesen skal være 0: Faktorisering af sum x + 3 = 0 ⇔ x = −3 Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Eneste løsning til ligningen er altså x = −3. Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 22/36 talentcampdk Talteori Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Eksempler Eksempel Lad n og m være positive heltal, og lad os prøve at finde alle de positive heltallige løsninger til ligningen 4m2 − n2 = 7 Ved at bruge 3. kvadratsætning kan vi omskrive venstresiden Primtal (2m − n) · (2m + n) = 7 Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt og 7 er et primtal, så vi ved at de eneste produkter, der giver 7 er 1 · 7 og 7 · 1. Da 2m − n < 2m + n er eneste mulighed Faktorisering af sum 2m + n = 7 Kvadratsætningerne Eksempler 2m − n = 1 Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme Hvis man løser ligningssystemet finder man, at n = 3 og m = 2. 16. juli 2014 Slide 23/36 talentcampdk Talteori Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Eksempler Eksempel Lad os prøve at finde alle de heltallige løsninger til ligningen Hvad er Talteori? a 2 + 17 = b 2 Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Vi ser først, at man kan omskrive til Primtal 17 = b 2 − a 2 Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Men så kan vi jo bruge 3. kvadratsætning Omskrivning til produkt 17 = b 2 − a 2 = (b + a ) · (b − a ) Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Vi ser nu, at 17 er et primtal. Det må altså gælde at Antal divisorer b + a = 17 Største fælles divisor og b −a =1 Euklids algoritme som har løsningen a = 8 og b = 9 eller b +a =1 og b − a = 17 som har løsningen a = −8 og b = 9. Der er to løsninger mere. For vi skal huske, at to negative tal ganget sammen fås et positivt tal. Derfor gælder de to løsninger også med omvendt fortegn. Den samlede løsning er altså (a , b ) = (±8, ±9). 16. juli 2014 Slide 24/36 talentcampdk Talteori Indhold Anne Ryelund Anders Friis 1 Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur 2 Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber 3 Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler 4 Antal divisorer 5 Største fælles divisor Euklids algoritme Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 25/36 talentcampdk Talteori Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Antal divisorer Det kan være meget bekvemt at kunne tælle antallet af divisorer i et tal uden nødvendigvis at finde dem alle sammen. Hvis et tal fx har 7 primfaktorer har det jo frygtelig mange divisorer, og det ville tage meget lang tid at finde dem alle sammen og derefter tælle dem. Eksempel Lad os betragte tallet 60 og bestemme antallet af positive divisorer. Først finder vi primtalsfaktoriseringen af 60 Eksistens og entydighed 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 22 · 3 · 5 Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Hvis vi gerne vil finde divisorerne i 60, skal vi kombinere primtalsfaktorene i produkter. Først finder vi de divisorer, der består af et enkelt primtal Kvadratsætningerne 1, 2, 3, 5 Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Dernæst finder vi de divisorer, der består af to primtalsfaktorer 22 , 2 · 3, 2 · 5, 3 · 5 Euklids algoritme Nu finder vi de divisorer, der består af tre primtalsfaktorer 22 · 3, 22 · 5, 2 · 3 · 5 Og til sidst de divisorer, der består af fire primtalsfaktorer 22 · 3 · 5 16. juli 2014 Slide 26/36 talentcampdk Talteori Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Antal divisorer Men hvad var det egentlig, der skete i eksemplet? Alle divisorerne kunne skrives på formen Hvad er Talteori? 2a · 3b · 5c Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Hvor a = 0, 1, 2, b = 0, 1 og c = 0, 1. Når der skal konstrueres et en divisor har skal vi altså beslutte hvilke værdier, vi vil sætte a, b og c til. Vi har tre muligheder fo a, to muligheder for b og ligeledes to muligheder for c. Hvor mange forskellige måde kan vi kombinere dem på? det må være 3 · 2 · 2 = 12 Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Hvilket er præcis det antal positive divisorer vi fandt! Er det så nødvendigt at finde alle divisorer og tælle hver gang? Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 27/36 talentcampdk Talteori Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Antal divisorer Sætning 5 (Antal divisorer) Lad n være et positivt heltal større end en med primtalsfaktoriseringen α Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed (1 + α1 ) · (1 + α2 ) · (1 + α3 ) · · · (1 + αm ) Primfaktorer Kvadrattal α hvor pi ’erne er forskellige primtal. Så har n Primtal Eksistens og entydighed α αm n = p1 1 · p2 2 · p3 3 · · · pm Hvad er Talteori? forskellige positive divisorer. Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 28/36 talentcampdk Talteori Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Antal divisorer Sætning 5 (Antal divisorer) Lad n være et positivt heltal større end en med primtalsfaktoriseringen α Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed (1 + α1 ) · (1 + α2 ) · (1 + α3 ) · · · (1 + αm ) Primfaktorer Kvadrattal α hvor pi ’erne er forskellige primtal. Så har n Primtal Eksistens og entydighed α αm n = p1 1 · p2 2 · p3 3 · · · pm Hvad er Talteori? forskellige positive divisorer. Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Bevis Lad n være et positivt heltal med primtalsfaktoriseringen α α α αm n = p1 1 · p2 2 · p3 3 · · · pm Største fælles divisor Euklids algoritme Som følge af entydigheden af primtalsfaktoriseringen af et heltal, må enhver divisor i n være på formen β β β β n = p1 1 · p2 2 · p3 3 · · · pmm Hvor 0 ≤ βi ≤ αi . Ifølge multiplikationsprincippet (eller tælletræer) har n dermed i alt (1 + α1 ) · (1 + α2 ) · (1 + α3 ) · · · (1 + αm ) forskellige positive divisorer. 16. juli 2014 Slide 28/36 talentcampdk Talteori Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Antal divisorer Eksempel Betragt tallet 300, som har primtalsfaktoriseringen Hvad er Talteori? 100 = 22 · 52 · 3 Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Ifølge sætning 5 er der Primtal Primfaktorer (1 + 2) · (1 + 2) · (1 + 1) = 3 · 3 · 2 = 18 Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber divisorer i 300 Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 29/36 talentcampdk Talteori Indhold Anne Ryelund Anders Friis 1 Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur 2 Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber 3 Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler 4 Antal divisorer 5 Største fælles divisor Euklids algoritme Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 30/36 talentcampdk Talteori Største fælles divisor Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Definition 7 Den største fælles divisor mellem to hele tal m og n er den største divisor d, hvorom der gælder at d |n og d |m. Den største fælles divisor skrives som gcd(n, m) (Greatest Common Divisor) Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 31/36 talentcampdk Talteori Største fælles divisor Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Definition 7 Den største fælles divisor mellem to hele tal m og n er den største divisor d, hvorom der gælder at d |n og d |m. Den største fælles divisor skrives som gcd(n, m) (Greatest Common Divisor) Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Eksempler Bestem den største fælles divisor i følgende tilfælde Faktorisering af sum a) b) c) d) e) f) Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 31/36 gcd(12, 18) = gcd(15, 25) = gcd(38, 14) = gcd(48, 224) = gcd(56, 24) = gcd(18564, 2604) = talentcampdk Talteori Største fælles divisor Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Definition 7 Den største fælles divisor mellem to hele tal m og n er den største divisor d, hvorom der gælder at d |n og d |m. Den største fælles divisor skrives som gcd(n, m) (Greatest Common Divisor) Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Eksempler Bestem den største fælles divisor i følgende tilfælde Faktorisering af sum a) b) c) d) e) f) Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 31/36 gcd(12, 18) = 6 gcd(15, 25) = 5 gcd(38, 14) = 2 gcd(48, 224) =16 gcd(56, 24) = 8 gcd(18564, 2604) = gcd(22 · 3 · 7 · 13 · 17, 22 · 3 · 7 · 31) = 84 talentcampdk Talteori Største fælles divisor Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Definition 7 Den største fælles divisor mellem to hele tal m og n er den største divisor d, hvorom der gælder at d |n og d |m. Den største fælles divisor skrives som gcd(n, m) (Greatest Common Divisor) Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Eksempler Bestem den største fælles divisor i følgende tilfælde Faktorisering af sum a) b) c) d) e) f) Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme gcd(12, 18) = 6 gcd(15, 25) = 5 gcd(38, 14) = 2 gcd(48, 224) =16 gcd(56, 24) = 8 gcd(18564, 2604) = gcd(22 · 3 · 7 · 13 · 17, 22 · 3 · 7 · 31) = 84 For store tal tager det tid at bestemme primtalsfaktoriseringen!. 16. juli 2014 Slide 31/36 talentcampdk Talteori Eukilds algoritme Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Sætning 6 (Egenskab for største fælles divisor) Lad n, m og q være hele tal. Da er gcd(n, m) = gcd(m, n − qm) Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 32/36 talentcampdk Talteori Eukilds algoritme Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Sætning 6 (Egenskab for største fælles divisor) Lad n, m og q være hele tal. Da er gcd(n, m) = gcd(m, n − qm) Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme Bevis Lad d1 være en vilkårlig fælles divisor i n og m. Det betyder at d1 |m og d1 |n. Lad q være et helt tal. Da må det også gælde, at d1 |qm. Ifølge sætning 1 del 2 gælder det da, at d1 |n − qm Det betyder at alle fælles divisorer i n og m også er fælles divisorer i m og n − qm. Lad nu d2 være en vilkårlig fælles divisor i m og n − qm. Vi har altså at d2 |m og d2 |n − qm. Da må det også gælde, at d2 |qm. Ifølge sætning 1 del 2 gælder det da, at d2 |(n − qm) + qm ⇔ d2 |n Det betyder at alle fælles divisorer i m og n − qm også er fælles divisorer i m og n. Heraf slutter vi at m og n har nøjagtig de samme fælles divisorer som m og n − qm. Dermed har de også samme største fælles divisor. 16. juli 2014 Slide 32/36 talentcampdk Talteori Anne Ryelund Anders Friis Eukilds algoritme Division med rest: Lad n, m ∈ Z+ . Da findes q, r ∈ Z+ , så Introduktion n = q · m + r, Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 33/36 0≤r <m talentcampdk Talteori Anne Ryelund Anders Friis Eukilds algoritme Division med rest: Lad n, m ∈ Z+ . Da findes q, r ∈ Z+ , så Introduktion n = q · m + r, Hvad er Talteori? 0≤r <m Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Eksempel: Lad os udføre division med rest på 38 og 3. Vi får Primfaktorer 38 = 12 · 3 + 2, Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt dvs. vi får kvotient q = 12 og rest r = 2. Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 33/36 0≤2<3 talentcampdk Talteori Eukilds algoritme Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Hvad er Talteori? Euklids algoritme Lad n, m ∈ Z+ , da kan Euklids algoritme benyttes til at bestemme gcd(n, m). Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed n = q1 m + r1 , 0 ≤ r1 < m m = q2 r1 + r2 , 0 ≤ r2 < r1 r1 = q3 r2 + r3 , 0 ≤ r3 < r2 .. . Kvadrattal Primatallenes egenskaber rk −2 = qk rk −1 + rk , Omskrivning til produkt Faktorisering af sum rk −1 = qk +1 rk + 0, Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 34/36 0 ≤ rk < rk −1 talentcampdk Talteori Eukilds algoritme Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Hvad er Talteori? Euklids algoritme Lad n, m ∈ Z+ , da kan Euklids algoritme benyttes til at bestemme gcd(n, m). Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed n = q1 m + r1 , 0 ≤ r1 < m m = q2 r1 + r2 , 0 ≤ r2 < r1 r1 = q3 r2 + r3 , 0 ≤ r3 < r2 .. . Kvadrattal Primatallenes egenskaber rk −2 = qk rk −1 + rk , Omskrivning til produkt Faktorisering af sum rk −1 = qk +1 rk + 0, Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme Ifølge sætning 6 gælder at: gcd(n, m) = gcd(m, n − q1 m) = gcd(m, r1 ) gcd(m, r1 ) = gcd(r1 , m − q2 r1 ) = gcd(r1 , r2 ) gcd(r1 , r2 ) = gcd(r2 , r1 − q2 r2 ) = gcd(r2 , r3 ) 16. juli 2014 Slide 34/36 0 ≤ rk < rk −1 talentcampdk Talteori Eukilds algoritme Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Hvad er Talteori? Euklids algoritme Lad n, m ∈ Z+ , da kan Euklids algoritme benyttes til at bestemme gcd(n, m). Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed n = q1 m + r1 , 0 ≤ r1 < m m = q2 r1 + r2 , 0 ≤ r2 < r1 r1 = q3 r2 + r3 , 0 ≤ r3 < r2 .. . Kvadrattal Primatallenes egenskaber rk −2 = qk rk −1 + rk , Omskrivning til produkt Faktorisering af sum 0 ≤ rk < rk −1 rk −1 = qk +1 rk + 0, Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme Ifølge sætning 6 gælder at: gcd(n, m) = gcd(m, n − q1 m) = gcd(m, r1 ) gcd(m, r1 ) = gcd(r1 , m − q2 r1 ) = gcd(r1 , r2 ) gcd(r1 , r2 ) = gcd(r2 , r1 − q2 r2 ) = gcd(r2 , r3 ) Altså gælder det at: gcd(n, m) = gcd(m, r1 ) = gcd(r1 , r2 ) = · · · = gcd(rk , 0) = rk 16. juli 2014 Slide 34/36 talentcampdk Talteori Eukilds algoritme Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Hvad er Talteori? Euklids algoritme Lad n, m ∈ Z+ , da kan Euklids algoritme benyttes til at bestemme gcd(n, m). Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal n = q1 m + r1 , 0 ≤ r1 < m m = q2 r1 + r2 , 0 ≤ r2 < r1 .. . Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal rk −2 = qk rk −1 + rk , Primatallenes egenskaber 0 ≤ rk < rk −1 rk −1 = qk +1 rk + 0, Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Eksempel: Sæt n = 18564 og m = 2604. Vi anvender Euklids algoritme på n og m Største fælles divisor Euklids algoritme 18564 = 7 · 2604 + 336, 0 ≤ 336 < 2604 2604 = 7 · 336 + 252, 0 ≤ 252 < 336 336 = 1 · 252 + 84, 0 ≤ 84 < 252 252 = 3 · 84 16. juli 2014 Slide 35/36 talentcampdk Talteori Eukilds algoritme Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Hvad er Talteori? Euklids algoritme Lad n, m ∈ Z+ , da kan Euklids algoritme benyttes til at bestemme gcd(n, m). Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed Primtal n = q1 m + r1 , 0 ≤ r1 < m m = q2 r1 + r2 , 0 ≤ r2 < r1 .. . Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal rk −2 = qk rk −1 + rk , Primatallenes egenskaber 0 ≤ rk < rk −1 rk −1 = qk +1 rk + 0, Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Eksempel: Sæt n = 18564 og m = 2604. Vi anvender Euklids algoritme på n og m Største fælles divisor Euklids algoritme 18564 = 7 · 2604 + 336, 0 ≤ 336 < 2604 2604 = 7 · 336 + 252, 0 ≤ 252 < 336 336 = 1 · 252 + 84, 0 ≤ 84 < 252 252 = 3 · 84 Den største fælles divisor i n og m er altså 84. 16. juli 2014 Slide 35/36 talentcampdk Talteori Eukilds algoritme Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Eksempel Vis at brøken Hvad er Talteori? Formalistisk struktur Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed n3 + 1 +n+1 n4 er uforkortelig for alle n ∈ N Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme 16. juli 2014 Slide 36/36 talentcampdk Talteori Eukilds algoritme Anne Ryelund Anders Friis Introduktion Eksempel Vis at brøken n3 + 1 +n+1 Hvad er Talteori? Formalistisk struktur n4 Primtalsfaktorisering Divisorer og delelighed er uforkortelig for alle n ∈ N Primtal Primfaktorer Eksistens og entydighed Kvadrattal Primatallenes egenskaber Omskrivning til produkt Det skal altså vises at gcd(n3 + 1, n4 + n + 1) = 1 Faktorisering af sum Kvadratsætningerne Eksempler Antal divisorer Største fælles divisor Euklids algoritme gcd(n3 + 1, n4 + n + 1) = gcd(n3 + 1, n4 + n + 1 − n(n3 + 1)) = gcd(n3 + 1, n4 + n + 1 − n4 − n) = gcd(n3 + 1, 1) =1 16. juli 2014 Slide 36/36
© Copyright 2024