1. No category

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6
Preben Alsholm
Efterår 2010
1
1.1
Symmetriske og ortogonale matricer
Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz’ ulighed
Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz’ ulighed
Det sædvanlige skalarprodukt mellem vektorerne x, y 2 Rn er givet ved
h x, yi = x y = x1 y1 + x2 y2 +
+ xn yn
Når x og y opfattes som søjlevektorer har vi h x, yi = x T y = y T x.
q
p
Den euklidiske norm af vektoren x er k x k = k x k2 = h x, x i = x12 + x22 +
Der gælder: h x, yi = hy, x i ,
s h x, yi, når s 2 R.
h x + z, yi = h x, yi + hz, yi ,
Cauchy-Schwarz’ ulighed: jh x, yij
hsx, yi =
k x k k y k.
Bevis. k x + syk2 = hsx + y, sx + yi = s2 h x, x i + 2s h x, yi + hy, yi = s2 k x k2 +
2s h x, yi + kyk2 .
Dette polynomium i s er åbenbart ikke-negativ for alle s 2 R.
Diskriminanten er derfor ikke-positiv: 4 h x, yi2
uligheden.
1.2
4 k x k2 k y k2
0. Heraf
Ortogonalsystem lineært uafhængigt
Ortogonalsystem lineært uafhængigt
Sætning 8.15. Hvis v1 , v2 , . . . , v p er indbyrdes ortogonale egentlige vektorer i Rn , så er de lineært uafhængige.
Bevis. Antag c1 v1 + c2 v2 +
0
=
+ c p v p = 0. Så fås for ethvert j:
c1 v1 + c2 v2 +
+ c p v p, vj
= c1 v1 , v j + c2 v2 , v j +
= cj vj, vj = cj vj
Men v j
2
+ c p v p, vj
2
> 0, så c j = 0. Dette gælder for alle j = 1, . . . , p.
1
+ xn2 .
1.3
Gram-Schmidt’s ortogonaliseringsmetode
Gram-Schmidt’s ortogonaliseringsmetode
Lad u1 , u2 , . . . , u p være lineært uafhængige vektorer i Rn . Vi bestemmer p ortogonale enhedsvektorer v1 , v2 , . . . , v p så span v1 , v2 , . . . , v p =
span u1 , u2 , . . . , u p .
Sæt v1 =
u1
.
k u1 k
Sæt w2 = u2
Så har vi span(v1 ) = span(u1 ).
hu2 , v1 i v1 og dernæst v2 =
w2
.
k w2 k
Så har vi span(v1 , v2 ) = span(u1 , u2 ) og hv2 , v1 i = 0.
Sæt w3 = u3
h u3 , v1 i v1
hu3 , v2 i v2 og dernæst v3 =
w3
.
k w3 k
Så har vi span(v1 , v2 , v3 ) = span(u1 , u2 , u3 ) og hv3 , v1 i = hv3 , v2 i = 0.
Fortsæt således.
Eksempel 1 i Maple-worksheet.
1.4
Ortogonale matricer
Ortogonale matricer
En kvadratisk matrix Q kaldes ortogonal, hvis Q T Q = I.
Udsagnet Q T Q = I udtrykker, at søjlerne i Q er indbyrdes ortogonale
enhedsvektorer.
En matrix Q er ortogonal, hvis og kun hvis den er regulær med invers
Q 1 = QT .
Produktet af to ortogonale matricer Q1 og Q2 er en ortogonal matrix.
Bevis. ( Q1 Q2 ) T Q1 Q2 = Q2T Q1T Q1 Q2 = Q2T IQ2 = Q2T Q2 = I.
En ortogonal matrix Q opfylder også QQ T = I.
Bevis. Følger af at Q T = Q
1
og QQ
1
= I.
Rækkerne i en ortogonal matrix er altså også indbyrdes ortogonale enhedsvektorer!
1.5
Egenværdier for symmetriske matricer I
Egenværdier for symmetriske matricer I
En kvadratisk matrix A = aij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i
og j. Altså hvis A T = A.
Lad A være en reel og symmetrisk n
terpolynomiet reelle.
2
n-matrix. Så er rødderne i karak-
Bevis. Lad λ 2 C være rod i karakterpolynomiet og lad v 2 Cn opfylde
Av = λv og v 6= 0.
Lad v = [ x1 , x2 , . . . , xn ] T og v = [ x1 , x2 , . . . , xn ] T (kompleks konjugation).
Så fås
v T Av
= v T λv = λv T v = λ ( x1 x1 + x2 x2 +
2
2
= λ j x1 j + j x2 j +
+ j xn j
+ xn xn )
2
Venstre side er reel, da
v T Av = v T Av = ( Av) T v = v T Av
+ j xn j2 reel. Da j x1 j2 + j x2 j2 +
Derfor er også λ j x1 j2 + j x2 j2 +
2
j xn j er reel og positiv, er λ reel.
1.6
+
Egenværdier for symmetriske matricer II
Egenværdier for symmetriske matricer II
Egenvektorer hørende til forskellige egenværdier for en reel symmetrisk
matrix er ortogonale.
Bevis. Hvis Av1 = λ1 v1 og Av2 = λ2 v2 , så fås
λ2 h v2 , v1 i
Altså (λ2
1.7
= λ2 v2T v1 = ( Av2 )T v1
= v2T Av1 = λ1 v2T v1 = λ1 hv2 , v1 i
λ1 ) hv2 , v1 i = 0. Men λ2
λ1 6= 0, så hv2 , v1 i = 0.
Spektralsætningen for symmetriske matricer
Spektralsætningen for symmetriske matricer
Lad A være en reel og symmetrisk n n-matrix. Så findes der en ortonormal basis for Rn bestående af egenvektorer for A.
A kan dermed diagonaliseres vha. en ortogonal matrix Q, altså
Q T AQ = Λ = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn )
Bevis. I det tilfælde, at alle egenværdier er forskellige, følger resultatet af
de foregående resultater.
Det generelle tilfælde, hvor den algebraiske multiplicitet af en egenværdi
λ kan være større end 1, behandles i beviset for Sætning 8.33. Vi springer
det over.
Navnet spektralsætningen kommer fra betegnelsen spektrum for mængden
af egenværdier.
3
1.8
Positiv definit matrix
Positiv definit matrix
En kvadratisk matrix A kaldes positiv definit, hvis x T Ax > 0 for alle vektorer x 6= 0.
Lad A være en reel og symmetrisk n n-matrix. Så er A positiv definit
hvis og kun hvis alle egenværdier er positive.
Bevis. Lad Q være en diagonaliserende ortogonal matrix. Så gælder
Q T AQ = Λ = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ) og QΛQ T = A.
Så med w = Q T u fås u T Au = u T QΛQ T u = w T Λw = λ1 w12 + λ2 w22 +
+ λn w2n .
Hvis alle egenværdierne er positive, er dette positivt, når u 6= 0, idet da
også w 6= 0.
Hvis omvendt λ1 w12 + λ2 w22 +
+ λn w2n > 0 for alle u 6= 0 (altså dermed
for alle w 6= 0) må alle egenværdier være positive.
1.9
Kvadratisk form I
Kvadratisk form I
Et udtryk af formen
n
K ( x1 , x2 , . . . , x n ) =
j
∑ ∑ kij xi x j
j =1 i =1
hvor x = ( x1 , x2 , . . . , xn ) 2 Rn , kaldes en kvadratisk form.
Navnet indikerer, at hvert led har total grad 2. Udtrykket er et homogent
polynomium i x1 , x2 , . . . , xn af grad 2.
Eksempel 2. K ( x1 , x2 ) = 3x12 + 4x1 x2 + 7x22 .
Eksempel 3. K ( x1 , x2 , x3 ) = 4x12
2x1 x2 + 6x2 x3 + 8x22 + 11x32 .
Eksempel 4. K ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = 4x12
1.10
2x1 x2 + 6x2 x3 + 8x22 + 11x32
8x4 x1
Kvadratisk form II
Kvadratisk form II
En kvadratisk form K ( x1 , x2 , . . . , xn ) = K ( x ) kan skrives entydigt på formen
K ( x ) = x T Ax
hvor A er en symmetrisk n
n-matrix.
A er givet ved A = aij hvor aii = k ii og aij = a ji = 12 k ij for i < j.
4
2
4
3 2
Eksempel 2: A =
. Eksempel 3: A = 4 1
2 7
0
2
3
4
1 0
4
6 1 8
3
0 7
7.
sempel 4: A = 6
4 0
3 11 0 5
4 0
0
0
1.11
1
8
3
3
0
3 5. Ek11
Kvadratisk form III
Kvadratisk form III
En kvadratisk form K ( x1 , x2 , . . . , xn ) = K ( x ) kan vha. en ortogonal substitution x = Qy skrives på formen
e (y) = λ1 y2 + λ2 y22 +
K (x) = K
1
+ λn y2n
Bevis. Lad A være symmetrisk og K ( x ) = x T Ax. Lad Q være en diagonaliserende ortogonal matrix: Q T AQ = Λ = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ).
Så fås, når x = Qy at
= x T Ax = ( Qy)T AQy = y T Q T AQy
K (x)
= y T Λy = λ1 y21 + λ2 y22 +
Eksempel 2: A =
3
2
2
7
. Egenværdier 5
+ λn y2n
p
2 2. Positiv definit.
Lettere at finde sporet og determinanten: det A = 17 og spor A = 10, så
begge egenværdier er positive.
1.12
Kvadratisk form IV
Kvadratisk form IV
2
4
Eksempel 3: A = 4 1
0
Positiv definit.
1
8
3
3
0
3 5. Egenværdier ca. 3.68, 6.44, 12, 89.
11
Determinanten findes til
konklusion.
2
4
6 1
Eksempel 4: A = 6
4 0
4
Indefinit.
305 og sporet er 23, men dette er ikke nok til en
Determinanten findes til
værdier: A er indefinit.
1264, så der er både negative og positive egen-
1
8
3
0
0
3
11
0
5
3
4
0 7
7. Egenværdier ca.
0 5
0
2.50, 5.57, 7.04, 12.89.