1. No category

KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Oversigt
Forelæsning B2:
Lineære og affine afbildninger
Ligevægte
Matematik og databehandling 2012
1
Lineære afbildninger i planen, arealforhold
2
Ligevægt
3
Affine afbildninger
Henrik L. Pedersen
Institut for Matematiske Fag
[email protected]
16
14
12
10
10
8
6
x5
4
2
0
2
4
6
t
8
10
12
19. september 2012 — Dias 1/28
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Lineære afbildninger i planen
Eksempel – videre
Definition B.4.1 (Lineær afbildning f hørende til en
matrix M)
x
f
=
y
x
a
M
=
b
y
Dias 2/28
c
d
Y′
Y
9+
8+
7+
6+
5+
4+
3 + (1,2) (3,2)
2+
A
1+
′
x
ax + cy
x
=
=
y
bx + dy
y′
Afbildningen f afbilder punkter i planen over i punkter i planen:
′
x
x
eller f : (x , y ) 7→ (x ′ , y ′ )
7→
f :
y
y′
b
Eksempel B.4.3
x
x
x
2 1
f
=M
=
;
1 3
y
y
y
1
3
=
,
f
1
4
0
3
7
f
=
1
6
f
b
b
b
(1,1)
(3,1)
+
+
+
+
1 2 3 4
(8,9)
9+
8+
7+
6+
5+
4+
3+
2+
1+
X
0
b
(4,7)
A′
b
b
(7,6)
b
(3,4)
+
+
+
+
+
+
+
+
1 2 3 4 5 6 7 8
X′
Afbildningen f afbilder det lille rektangel med areal A på den store
firkant med areal A′ – Hvor stort er forholdet mellem de to arealer?
f (linjen mellem (1, 1) og (3, 1)) = linjen mellem (3, 4) og (7, 6)
Dias 3/28
Dias 4/28
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Arealforhold generelt
Opgaver 1
Sætning B.4.1
−1 −2
. Trekanten T med hjørner i (0, 0), (2, 0) og
−3 1
(1, 1) afbildes ved den lineære afbildning hørende til matricen M
i en figur T ′ . Bestem arealet af T ′ .
Lad M =
Der gælder
2
A′ = |det M| · A
0
for alle matricer M hvis tilhørende lineære afbildning afbilder et
område med areal A på et andet område med areal A′
−3
−2
−1
0
1
2
3
−2
−4
−4
Eksempel – videre
−6
2 1 · 2 = 5 · 2 = 10
A′ = |det M| · A = det
1 3 2
En blækklat B med areal 7 afbildes ved en lineær afbildning i en
anden brækklat B ′ med areal 21. Hvad kan man sige om
determinanten af den tilhørende matrix?
Dias 5/28
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Dias 6/28
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Ekstra: Hvordan er grafen lavet?
Andre eksempler på lineære afbildninger:
Drejning
R-kode
Y
x′
y′
b
plot(NA,xlim=c(-4,3),ylim=c(-7,2),axes=FALSE)
axis(1,pos=0)
axis(2,pos=0)
polygon(c(0,2,1,0),c(0,0,1,0), col="red")
polygon(c(0,-2,-3,0),c(0,-6,-2,0), col="blue")
θ
b
x
y
X
Koordinatudtryk og matrix:
′
x
cos θ · x − sin θ · y
x
cos θ
=
=
=f
sin θ
sin θ · x + cos θ · y
y′
y
Dias 7/28
− sin θ
cos θ
x
y
Dias 8/28
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Andre eksempler på lineære afbildninger:
Spejling
Ligevægt for matrix
Definition B.3.1
Y
En vektor v∗ er en ligevægt for en matrix M hvis der gælder
x
y
b
Mv∗ = v∗
Betingelsen udtrykt i koordinater:
∗ ∗
x
x
a c
=
b d
y∗
y∗
X
b
Betingelsen udtrykt ved lineær afbildning:
∗ ∗
x
x
f ∗ =
y
y∗
x
−y
Bemærkning B.3.1
Koordinatudtryk og matrix:
′
x
x
x
x
1
0
=f
=
=
′
0
−1
y
y
−y
y
0
0
• Hvis det(M − E) 6= 0 da er
den eneste ligevægt for M
• Hvis det(M − E) = 0 da er der masser af ligevægte for M
Dias 9/28
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Dias 10/28
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Opgave
Overgangsmatrix
Definition B.3.2
a c
er en overgangsmatrix hvis
b d
• a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 og d ≥ 0
En matrix M =
Lad
2 2
M=
3 7
2
−1
−1
1
1
Er
2
Er
3
Bestem samtlige ligevægte for M!
• a + b = 1 og c + d = 1
Sætning B.3.1
en ligevægt for M?
Lad
en ligevægt for M?
M=
a
b
c
d
6= E
være en overgangsmatrix. Da kan samtlige ligevægte for M skrives
på formen
c
v=k
,
b
hvor k er et vilkårligt tal.
Dias 11/28
Dias 12/28
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Anvendelseseksempel B.3:
Svampesygdom
Svampesygdom:
• Oplysninger:
bestemmelse af ligevægt
• En ligevægt for modellen skal opfylde
26000 træer i alt
94% af de raske træer er raske året efter (og 6% er syge)
72% af de syge træer er raske året efter (og 28% er syge)
• rt = antallet af raske træer i år t
st = antallet af syge træer i år t
• Model
0.94
0.06
∗ ∗
r
r
0.72
=
0.28
s∗
s∗
samt r ∗ + s ∗ = 26000
• M er en overgangsmatrix og har ligevægtene
∗
0.72
r
=k
s∗
0.06
rt+1 = 0.94rt + 0.72st
st+1 = 0.06rt + 0.28st
for enhver værdi af k
• Tallet k bestemmes ved at udnytte at der er 26000 træer i alt:
• Model på matrixform
samt
rt+1
st+1
rt
0.94
=M
=
0.06
st
26000 = r ∗ + s ∗ = 0.72 k + 0.06 k = 0.78 k
rt
0.72
0.28
st
dvs k = 26000/0.78 = 33333.33 . . .
rt + st = 26000
Dias 13/28
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Dias 14/28
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Svampesygdom:
Svampesygdom:
udvikling i det lange løb?
Startfordeling med 26000 raske og 0 syge:
og udregn v1 , v2 , . . . vha formlen vt+1 = Mvt :
Sæt v0 = 26000
0
bestemmelse af ligevægt
t
rt
st
• Vektoren
∗
0.72
r
24000
=
33333.33
=
s∗
0.06
2000
0
26000
0
1
24440
1560
2
24097
1903
...
...
...
10
24000
2000
Startfordeling med 13000 raske og 13000 syge:
Sæt v0 = 13000
13000 og gør det samme. . .
er en ligevægt for modellen, og angiver et samhørende antal af
raske og syge træer, som ikke ændrer sig til de(t) følgende år
t
rt
st
0
13000
13000
1
21580
4420
2
23468
2532
...
...
...
10
24000
2000
Mere om dette i næste uge!
Dias 15/28
Dias 16/28
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Affin afbildning
Opgave
Definition B.5.1 (affin afbildning)
Afgør for hver af afbildningerne
2
x
x
3+x
3 +x
f
=
, g
,
=
4x + y
4x + y 2
y
y
En affin afbildning er en afbildning f som kan skrives på formen
x
x
r
ax + cy + r
a c
f
=
+
=
b d
y
y
s
bx + dy + s
om den er
Eksempel
Servicemeddelelse
I: lineær,
Affin afbildning:
x
x
2
2x + y + 2
2 1
f
=
+
=
1 3
y
y
−1
x + 3y − 1
• Affin afbildning
Løsning af ligningen
• Lineær afbildning
f
f
ved brug af invers matrix. . .
x
y +x
=
4x + y
y
II: affin, men ikke lineær eller
x
a
f
=
b
y
x
7
=
y
4
h
c
d
x
r
ax + cy + r
+
=
.
y
s
bx + dy + s
x
a
=
b
y
c
d
x
ax + cy
=
.
y
bx + dy
Dias 17/28
KØBENHAVNS UNIVERSITET
III: ikke affin
Dias 18/28
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Ligevægt for affin afbildning
Anvendelseseksempel B.4:
Definition B.5.2
∗
En vektor v =
x∗
y∗
f (v∗ ) = v∗
To klasser får
• I: får med høj uldproduktion
er en ligevægt for en affin afbildning f hvis
dvs
x∗
f ∗
y
=
a
b
c
d
• II: får med normal uldproduktion
∗ ∗
r
x
x
+
=
y∗
s
y∗
Årlig udvikling
• oprykning fra II til I: 20 %
Sætning B.5.1
• nedrykning fra I til II: 15 %
Lad f (v) = Mv + q være en affin afbildning og antag, at M − E har en
invers matrix. Da har f netop en ligevægt og den er givet ved
∗
Fårebestand
−1
v
= −(M − E)
−1 r
a−1
c
= −
b
d −1
s
x∗
y∗
q
• udtagning fra I: 15 %
• udtagning fra II: 35 %
dvs
• tillæg 900 klasse II får
Mål
• Beskriv den årlige udvikling i klasserne
Dias 19/28
Dias 21/28
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Fårebestand
Fårebestand
• Fremskrivning fra 1992 til 1993.
Matematisk beskrivelse af modellen
• xn = antal klasse I får i år n
500
x1993
x1992
= ?
=
⇒
y1993
1400
y1992
500
x1993
0
630
0.7
0.2
=
+
=
0.15 0.45
y1993
1400
900
1605
• yn = antal klasse II får i år n
• Sammenhæng på matrixform
xn+1
0.7
=
0.15
yn+1
0
xn
0.2
+
0.45
yn
900
. . . det var der ikke mange ben i!
• Tilbageskrivning fra 1992 til 1991.
Analyse af modellen
x1992
=
y1992
500
=
1400
• Fremskrivning af bestanden fra et år til det næste
• Tilbageskrivning af bestanden fra et år til det foregående
• Bestemmelse af ligevægt for bestanden
• Fremskrivninger over mange år
500
x1991
= ?
⇒
y1991
1400
0
x1991
0.7
0.2
+
0.15 0.45
y1991
900
Vi vil bestemme x1991 og y1991 Hvordan?
Dias 22/28
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Dias 23/28
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Fårebestand
Fårebestand:
Hvordan bestemmes x1991 og y1991 ?
•
Løsning af ligningen
0.7
0.15
Omskriv ligningen til to ligninger med to ubekendte x1991 og y1991 og løs dem vha. lige store koefficienters metode
• Løs ligningen vha invers matrix
0.7
0.15
0
500
x1991
0.2
+
=
0.45
900
y1991
1400
500
0
x1991
0.7
0.2
=
−
0.15 0.45
1400
y1991
900
500
x1991
0.7
0.2
=
0.15 0.45
y1991
500
−1 500
x1991
0.7
0.2
=
0.15 0.45
y1991
500
500
1
0.45 −0.2
=
0.285 −0.15 0.7
500
≃
Bestemmelse af ligevægt
∗ ∗
0
x
x
0.2
+
=
∗
0.45
900
y
y∗
vha sætningen
∗
x
−1 r
=
−(M
−
E)
=
y∗
s
≃
0.7 − 1
−
0.15
1333
2000
−1 0
0.2
0.45 − 1
900
Fortolkning af ligevægt
Ligevægten for modellen er et antal får i klasse I og klasse II som
ikke ændrer sig til de(t) følgende år
439
965
Dias 24/28
Dias 25/28
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Fårebestand
Fårebestand:
Udvikling i fårebestand over lang tid med tre forskellige startværdier
Konklusion
• For alle tre startbesætninger nærmer fordelingen sig ligevægten
1333
2000
• Gælder der at fordelingen på klasse I og II får uanset
startbesætning nærmer sig denne ligevægt?
1600
• Ja, men begrundelsen må vente til mandag. . .
Fårebestand:
1400
Klasse II får
1800
2000
start=(500,1400)
start=(1400,1800)
start=(1100,1200)
R-kode
1200
Ville det ikke være FANTASTISK ;-) om vi kunne lave noget R-halløj
som giver os en graf over udviklingen i det lange løb, hvergang vi
giver R en startværdi for fårene i de to klasser?
500
1000
1500
2000
Klasse I får
Dias 26/28
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Anvendelseseksempel B.5:
Nationaløkonomi
Notation
• Yt = nationalprodukt i år t
• Ct = forbrug i år t
• It = investering i år t
Antagelser
• Yt = Ct + It
• Ct+1 = 0.8Yt + 4.0
• It+1 = 0.5(Ct+1 − Ct )
Model
4.0
Ct
Ct+1
0.8 0.8
+
=
−0.1 0.4
It
2.0
It+1
Ligevægt for modellen
−1 ∗
4.0
C
20.0
0.8 − 1
0.8
=−
=
−0.1 0.4 − 1
I∗
2.0
0.0
Dias 28/28
Dias 27/28