1. No category

Forbrugerteori: Optimale valg og efterspørgsel
Jesper Breinbjerg
Department of Business and Economics
University of Southern Denmark
Akademiet for Talentfulde Unge, 20. marts 2014
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
1 / 18
Agenda
16.00 - 17.00: Præsentation af Jesper Breinbjerg, SDU
17.00 - 17.30: Frokost
17.30 - 19.15: Workshop
19.15 - 20.00: Opsamling p˚
a opgaver
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
2 / 18
Introduktion
Pris
Udbud
p∗
Efterspørgsel
q∗
Jesper Breinbjerg
Mængde
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
3 / 18
Introduktion
Workshop: Hvordan bestemmes efterspørgslen?
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
4 / 18
Introduktion
Workshop: Hvordan bestemmes efterspørgslen?
Hvad bestemmer en forbrugers efterspurgte mængde af varer:
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
4 / 18
Introduktion
Workshop: Hvordan bestemmes efterspørgslen?
Hvad bestemmer en forbrugers efterspurgte mængde af varer:
Præferencer (hvad foretrækker forbrugeren)
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
4 / 18
Introduktion
Workshop: Hvordan bestemmes efterspørgslen?
Hvad bestemmer en forbrugers efterspurgte mængde af varer:
Præferencer (hvad foretrækker forbrugeren)
Budgetrestriktioner (hvilke ressourcer har forbrugeren til at f˚
a det
hun foretrækker)
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
4 / 18
Introduktion
Workshop: Hvordan bestemmes efterspørgslen?
Hvad bestemmer en forbrugers efterspurgte mængde af varer:
Præferencer (hvad foretrækker forbrugeren)
Budgetrestriktioner (hvilke ressourcer har forbrugeren til at f˚
a det
hun foretrækker)
⇒Givet præferencer og underlagt budget, hvad efterspørger forbrugeren?
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
4 / 18
Introduktion
Workshop: Hvordan bestemmes efterspørgslen?
Hvad bestemmer en forbrugers efterspurgte mængde af varer:
Præferencer (hvad foretrækker forbrugeren)
Budgetrestriktioner (hvilke ressourcer har forbrugeren til at f˚
a det
hun foretrækker)
⇒Givet præferencer og underlagt budget, hvad efterspørger forbrugeren?
Plan of attack for at besvare dette:
1
Hvad er præferencer og hvad antager vi?
2
Nyttefunktioner
3
Budgetbetingelser
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
4 / 18
Forbrugerpræferencer
En forbruger efterspørger et varebundt som best˚
ar af to varer:
x1 angiver mængden af den ene vare og x2 mængden af den anden
Det ’komplete’ varebundt er angivet ved (x1 , x2 )
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
5 / 18
Forbrugerpræferencer
En forbruger efterspørger et varebundt som best˚
ar af to varer:
x1 angiver mængden af den ene vare og x2 mængden af den anden
Det ’komplete’ varebundt er angivet ved (x1 , x2 )
For ethvert af to varebundter (x1 , x2 ) og (y1 , y2 ), forestil jer at en
forbruger har præferencer ift. hvilken hun foretrækker
Hvis (x1 , x2 ) (y1 , y2 ) ⇒ (x1 , x2 ) er strengt fortrukket ift. (y1 , y2 )
Hvis (x1 , x2 ) (y1 , y2 ) ⇒ (x1 , x2 ) er svagt fortrukket ift. (y1 , y2 )
Hvis (x1 , x2 ) ∼ (y1 , y2 ) ⇒ indifferent imellem (x1 , x2 ) og (y1 , y2 )
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
5 / 18
Antagelser om præferencer
Økonomer antager 3 nødvendige betingelser for at sikre ’konsistente’
præferencer (forbrugerteoretiske axiomer)
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
6 / 18
Antagelser om præferencer
Økonomer antager 3 nødvendige betingelser for at sikre ’konsistente’
præferencer (forbrugerteoretiske axiomer)
Komplete.
Jesper Breinbjerg
Ethvert varebundt kan sammenlignes
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
6 / 18
Antagelser om præferencer
Økonomer antager 3 nødvendige betingelser for at sikre ’konsistente’
præferencer (forbrugerteoretiske axiomer)
Komplete.
Ethvert varebundt kan sammenlignes
Reflektive.
Ethvert varebundt er mindst ligs˚
a foretrukket som sig
selv, dvs. (x1 , x2 ) (x1 , x2 )
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
6 / 18
Antagelser om præferencer
Økonomer antager 3 nødvendige betingelser for at sikre ’konsistente’
præferencer (forbrugerteoretiske axiomer)
Komplete.
Ethvert varebundt kan sammenlignes
Reflektive.
Ethvert varebundt er mindst ligs˚
a foretrukket som sig
selv, dvs. (x1 , x2 ) (x1 , x2 )
Transitive.
Hvis (x1 , x2 ) (y1 , y2 ) og (y1 , y2 ) (z1 , z2 ), ⇒
(x1 , x2 ) (z1 , z2 )
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
6 / 18
Antagelser om præferencer
Økonomer antager 3 nødvendige betingelser for at sikre ’konsistente’
præferencer (forbrugerteoretiske axiomer)
Komplete.
Ethvert varebundt kan sammenlignes
Reflektive.
Ethvert varebundt er mindst ligs˚
a foretrukket som sig
selv, dvs. (x1 , x2 ) (x1 , x2 )
Transitive.
Hvis (x1 , x2 ) (y1 , y2 ) og (y1 , y2 ) (z1 , z2 ), ⇒
(x1 , x2 ) (z1 , z2 )
Derudover antager vi ofte ’pæne’ præferencer
Monotonicitet. Mere er bedre, f.eks. antag x1 > x10 s˚
a følger
(x1 , x2 ) (x10 , x2 )
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
6 / 18
Antagelser om præferencer
Økonomer antager 3 nødvendige betingelser for at sikre ’konsistente’
præferencer (forbrugerteoretiske axiomer)
Komplete.
Ethvert varebundt kan sammenlignes
Reflektive.
Ethvert varebundt er mindst ligs˚
a foretrukket som sig
selv, dvs. (x1 , x2 ) (x1 , x2 )
Transitive.
Hvis (x1 , x2 ) (y1 , y2 ) og (y1 , y2 ) (z1 , z2 ), ⇒
(x1 , x2 ) (z1 , z2 )
Derudover antager vi ofte ’pæne’ præferencer
Monotonicitet. Mere er bedre, f.eks. antag x1 > x10 s˚
a følger
(x1 , x2 ) (x10 , x2 )
Konveksitet.
Jesper Breinbjerg
Kombinationer er bedre end ekstremer
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
6 / 18
Antagelser om præferencer
Økonomer antager 3 nødvendige betingelser for at sikre ’konsistente’
præferencer (forbrugerteoretiske axiomer)
Komplete.
Ethvert varebundt kan sammenlignes
Reflektive.
Ethvert varebundt er mindst ligs˚
a foretrukket som sig
selv, dvs. (x1 , x2 ) (x1 , x2 )
Transitive.
Hvis (x1 , x2 ) (y1 , y2 ) og (y1 , y2 ) (z1 , z2 ), ⇒
(x1 , x2 ) (z1 , z2 )
Denne
antagelseantager
er merevi problematisk.
Derudover
ofte ’pæne’ præferencer
Følger ikke rent logisk, men en hypotese
0
Monotonicitet.
er bedre,
a følger
om valgadfærd.
Er det enMere
rimelig
an- f.eks. antag x1 > x1 s˚
0
(x
,
x
)
(x
,
x
)
1
2
2
1
tagelse?
Konveksitet.
Jesper Breinbjerg
Kombinationer er bedre end ekstremer
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
6 / 18
Antagelser om præferencer
Økonomer antager 3 nødvendige betingelser for at sikre ’konsistente’
præferencer (forbrugerteoretiske axiomer)
Komplete.
Ethvert varebundt kan sammenlignes
Reflektive.
Ethvert varebundt er mindst ligs˚
a foretrukket som sig
selv, dvs. (x1 , x2 ) (x1 , x2 )
Transitive.
Hvis (x1 , x2 ) (y1 , y2 ) og (y1 , y2 ) (z1 , z2 ), ⇒
(x1 , x2 ) (z1 , z2 )
Derudover antager vi ofte ’pæne’ præferencer
Monotonicitet. Mere er bedre, f.eks. antag x1 > x10 s˚
a følger
(x1 , x2 ) (x10 , x2 )
Konveksitet.
Kombinationer er bedre end ekstremer
Hvorfor? Fordi vi ofte forbruger mere end en vare. Der eksisterer et
trade-off hvor vi opgiver noget af vare 1 for at f˚
a mere af vare 2
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
6 / 18
(Pæne) indifferenskurver
Indifferenskurven er en grafisk repræsentation af underliggende
præferencer
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
7 / 18
(Pæne) indifferenskurver
Indifferenskurven er en grafisk repræsentation af underliggende
præferencer
I
EXAMPLES
OF PREFERENCES
37 er
Viser alle kombinationer af varebundter
for hvilke
forbrugeren
indifferent
x2
Weakly preferred set:
bundles weakly
preferred to (x1, x2 )
x2
Indifference
curve:
bundles
indifferent
to (x1, x2 )
x1
Jesper Breinbjerg
x1
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
7 / 18
(Pæne) indifferenskurver
Indifferenskurven er en grafisk repræsentation af underliggende
Egenskaber giver antagelser:
præferencer
I Viser alle kombinationer af varebundter
Højere
EXAMPLES
OF PREFERENCES
37ererbedre og
forindifferenskurver
hvilke
forbrugeren
vice versa (pga. monotonicitet)
indifferent
Indifferenskurve altid nedadg˚
aende
(pga.
monotonicitet)
Weakly preferred set:
x2
bundles weakly
Ikke
preferred to
(x1, x2krydsende
)
eller tangerende
(pga. monotonicitet og transivitet)
Konveks (pga. konveksitet)
x2
Indifference
curve:
bundles
indifferent
to (x1, x2 )
x1
Jesper Breinbjerg
x1
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
7 / 18
Marginale substitutionsforhold –
Marginal Rate of Substitution (MRS)
MRS er hældningen p˚
a indifferenskurve i et givent punkt
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
8 / 18
Marginale substitutionsforhold –
Marginal Rate of Substitution (MRS)
MRS er hældningen p˚
a indifferenskurve i et givent punkt
Fortolkning: Raten for hvilken
forbruger
er OF
villig
til at opgive49en
THEen
MARGINAL
RATE
SUBSTITUTION
vare for en anden.
x2
Indifference
curve
Slope =
∆x2
∆x2
= marginal rate
∆x1 of substitution
∆x1
x1
Marginale substitutionsforhold –
Marginal Rate of Substitution (MRS)
MRS er hældningen p˚
a indifferenskurve i et givent punkt
Fortolkning: Raten for hvilken
forbruger
er OF
villig
til at opgive49en
THEen
MARGINAL
RATE
SUBSTITUTION
Observationer:
vare for en anden.
Monotonicitet medfører negativ
hældning af MRS, dvs. vi
opgiver noget for at f˚
a noget
andet
x2
Indifference
curve
Slope =
∆x2
Konveksitet medfører aftagende
marginal substitutionsforhold,
∆x2
dvs. jo mere du har af en vare,
= marginal rate
∆x1 of substitution
desto mere er du villig til at
opgive for en anden vare
∆x1
x1
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
8 / 18
Nyttefunktionen
En nyttefunktion er en matematisk repræsentation af en forbrugers
underligende præferencer
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
9 / 18
Nyttefunktionen
En nyttefunktion er en matematisk repræsentation af en forbrugers
underligende præferencer
En nyttefunktion u tildeler en numerisk værdi til alle mulige
varebundter s˚
adan at foretrukne bundter har en højere værdi end de
mindre foretrukne bundter.
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
9 / 18
Nyttefunktionen
En nyttefunktion er en matematisk repræsentation af en forbrugers
underligende præferencer
En nyttefunktion u tildeler en numerisk værdi til alle mulige
varebundter s˚
adan at foretrukne bundter har en højere værdi end de
mindre foretrukne bundter.
I
Dvs. m˚
aler den ordinale værdi af en forbrugers ’glæde’
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
9 / 18
Nyttefunktionen
En nyttefunktion er en matematisk repræsentation af en forbrugers
underligende præferencer
En nyttefunktion u tildeler en numerisk værdi til alle mulige
varebundter s˚
adan at foretrukne bundter har en højere værdi end de
mindre foretrukne bundter.
I
Dvs. m˚
aler den ordinale værdi af en forbrugers ’glæde’
Matematisk:
I
I
I
u(x1 , x2 ) > u(y1 , y2 ) iff. (x1 , x2 ) (y1 , y2 )
u(x1 , x2 ) < u(y1 , y2 ) iff. (x1 , x2 ) ≺ (y1 , y2 )
u(x1 , x2 ) = u(y1 , y2 ) iff. (x1 , x2 ) ∼ (y1 , y2 )
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
9 / 18
Nyttefunktionen
En nyttefunktion er en matematisk repræsentation af en forbrugers
underligende præferencer
En nyttefunktion u tildeler en numerisk værdi til alle mulige
varebundter s˚
adan at foretrukne bundter har en højere værdi end de
mindre foretrukne bundter.
I
Dvs. m˚
aler den ordinale værdi af en forbrugers ’glæde’
Matematisk:
I
I
I
u(x1 , x2 ) > u(y1 , y2 ) iff. (x1 , x2 ) (y1 , y2 )
u(x1 , x2 ) < u(y1 , y2 ) iff. (x1 , x2 ) ≺ (y1 , y2 )
u(x1 , x2 ) = u(y1 , y2 ) iff. (x1 , x2 ) ∼ (y1 , y2 )
Vi kan derfor forudsige det optimale valg af varebundt (x1∗ , x2∗ ) som
maksimerer nyttefunktionen for alle mulige varebundter:
arg max u(x1 , x2 ) := {(x1∗ , x2∗ ) | ∀(x1 , x2 ) : u(x1∗ , x2∗ ) ≥ u(x1 , x2 )}
(x1 ,x2 )
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
9 / 18
Nyttefunktionen – eksempler
Eksempler p˚
a ’pæne’ nyttefunktioner som opfylder monotonicitet og
konveksitet af præferencer:
hvor a, b > 0
Kvadratrodsnytte:
u(x1 , x2 ) = ax1 + bx2
√
u(x1 , x2 ) = x1 x2
Cobb-Douglas nytte:
u(x1 , x2 ) = x1c x2d
hvor c, d > 0
Lineær nytte:
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
10 / 18
Nyttefunktionen – Marginal nytte
Interessant at undersøge hvor meget nytten ændrer sig ved en lille
ændring af mængden af en vare.
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
11 / 18
Nyttefunktionen – Marginal nytte
Interessant at undersøge hvor meget nytten ændrer sig ved en lille
ændring af mængden af en vare.
Denne ændring kaldes for den marginale nytte mht. en vare.
MU1 =
Jesper Breinbjerg
∆U
u(x1 + ∆x1 , x2 ) − u(x1 , x2 )
=
∆x1
∆x1
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
11 / 18
Nyttefunktionen – Marginal nytte
Interessant at undersøge hvor meget nytten ændrer sig ved en lille
ændring af mængden af en vare.
Denne ændring kaldes for den marginale nytte mht. en vare.
MU1 =
∆U
u(x1 + ∆x1 , x2 ) − u(x1 , x2 )
=
∆x1
∆x1
Hvis x1 , x2 ∈ R+ er kontinuere, s˚
a er nyttefunktionen u(x1 , x2 )
kontinuert differentiabel, dvs.
MUi =
Jesper Breinbjerg
δU
for alle i ∈ {1, 2}
δxi
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
11 / 18
Nyttefunktionen – Marginal nytte
Interessant at undersøge hvor meget nytten ændrer sig ved en lille
ændring af mængden af en vare.
Denne ændring kaldes for den marginale nytte mht. en vare.
MU1 =
∆U
u(x1 + ∆x1 , x2 ) − u(x1 , x2 )
=
∆x1
∆x1
Hvis x1 , x2 ∈ R+ er kontinuere, s˚
a er nyttefunktionen u(x1 , x2 )
kontinuert differentiabel, dvs.
MUi =
δU
for alle i ∈ {1, 2}
δxi
Hvis en nyttefunktion u skal opfylde kravet om monotonicitet af de
underliggende præferencer, s˚
a skal det gælde at
MUi > 0 for alle i ∈ {1, 2}
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
11 / 18
Marginal nytte og MRS
En nyttefunktion kan beregne MRS gennem marginal nytte.
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
12 / 18
Marginal nytte og MRS
En nyttefunktion kan beregne MRS gennem marginal nytte.
I
Betragt en ændring i varebundt (∆x1 , ∆x2 ) som holder nytten
konstant (indifferent)
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
12 / 18
Marginal nytte og MRS
En nyttefunktion kan beregne MRS gennem marginal nytte.
I
Betragt en ændring i varebundt (∆x1 , ∆x2 ) som holder nytten
konstant (indifferent)
I
Dvs. MU1 ∆x1 + MU2 ∆x2 = ∆U = 0
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
12 / 18
Marginal nytte og MRS
En nyttefunktion kan beregne MRS gennem marginal nytte.
I
Betragt en ændring i varebundt (∆x1 , ∆x2 ) som holder nytten
konstant (indifferent)
I
Dvs. MU1 ∆x1 + MU2 ∆x2 = ∆U = 0
I
Rearranger udtrykket:
MRS =
Jesper Breinbjerg
MU1
∆x2
=−
∆x1
MU2
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
12 / 18
Marginal nytte og MRS
En nyttefunktion kan beregne MRS gennem marginal nytte.
I
Betragt en ændring i varebundt (∆x1 , ∆x2 ) som holder nytten
konstant (indifferent)
I
Dvs. MU1 ∆x1 + MU2 ∆x2 = ∆U = 0
I
Rearranger udtrykket:
MRS =
MU1
∆x2
=−
∆x1
MU2
Negativt fortegn: hvis du f˚
ar mere af en vare, opgiver du noget af
den anden.
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
12 / 18
Marginal nytte og MRS
En nyttefunktion kan beregne MRS gennem marginal nytte.
I
Betragt en ændring i varebundt (∆x1 , ∆x2 ) som holder nytten
konstant (indifferent)
I
Dvs. MU1 ∆x1 + MU2 ∆x2 = ∆U = 0
I
Rearranger udtrykket:
MRS =
MU1
∆x2
=−
∆x1
MU2
Negativt fortegn: hvis du f˚
ar mere af en vare, opgiver du noget af
den anden.
HUSK: Konveksitet er gældende for de underliggende præferencer hvis
|MRS| er aftagende over x1 (aftagende marginal subsitutionsforhold)
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
12 / 18
Budgetrestriktioner
I den virkelige verden er forbrugeren begænset af hans budget
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
13 / 18
Budgetrestriktioner
I den virkelige verden er forbrugeren begænset af hans budget
En forbruger har en indkomst m > 0
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
13 / 18
Budgetrestriktioner
I den virkelige verden er forbrugeren begænset af hans budget
En forbruger har en indkomst m > 0
Varene (x1 , x2 ) koster (p1 , p2 ) for hver enhed
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
13 / 18
Budgetrestriktioner
I den virkelige verden er forbrugeren begænset af hans budget
En forbruger har en indkomst m > 0
Varene (x1 , x2 ) koster (p1 , p2 ) for hver enhed
Forbrugerens budget:
p1 x1 + p2 x2 ≤ m
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
13 / 18
Budgetrestriktioner
I den virkelige verden er forbrugeren begænset af hans budget
En forbruger har en indkomst m > 0
Varene (x1 , x2 ) koster (p1 , p2 ) for hver enhed
Forbrugerens budget:
p1 x1 + p2 x2 ≤ m
Budgetrestriktionen kan repræsenteres grafisk ved rearrangering:
x2 ≤
Jesper Breinbjerg
m
p1
− x1
p2
p2
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
13 / 18
line—the bundles that cost exactly m—and the bundles below this line are
those that cost strictly less than m.
Budgetrestriktioner – egenskaber
Figure
.1
x2
Vertical
intercept
= m/p 2
Budget line;
slope = – p1 /p2
Budget set
Horizontal intercept = m/p1
x1
The budget set. The budget set consists of all bundles that
are affordable at the given prices and income.
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
14 / 18
line—the bundles that cost exactly m—and the bundles below this line are
those that cost strictly less than m.
Budgetrestriktioner – egenskaber
Figure
.1
x2
Vertical
intercept
= m/p 2
Budget line;
slope = – p1 /p2
Budgetlinien hvor alle rescourcer
bliver udnyttet p1 x1 + p2 x2 = m
Budget set
Horizontal intercept = m/p1
x1
The budget set. The budget set consists of all bundles that
are affordable at the given prices and income.
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
14 / 18
Optimale valg – nyttemaksimering
Forbrugerens problem: hvad er det optimale valg af varebundt?
max u(x1 , x2 )
(x1 ,x2 )
Jesper Breinbjerg
u.b.b p1 x1 + p2 x2 ≤ m
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
15 / 18
Optimale valg – nyttemaksimering
Forbrugerens problem: hvad er det optimale valg af varebundt?
max u(x1 , x2 )
(x1 ,x2 )
u.b.b p1 x1 + p2 x2 ≤ m
(Et Kuhn-Tucker maksimeringsproblem – det har i ikke lært endnu)
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
15 / 18
Optimale valg – nyttemaksimering
Forbrugerens problem: hvad er det optimale valg af varebundt?
max u(x1 , x2 )
(x1 ,x2 )
u.b.b p1 x1 + p2 x2 ≤ m
(Et Kuhn-Tucker maksimeringsproblem – det har i ikke lært endnu)
Men, men, men... givet monotonicitet i forbrugerens præferencer vil hun
udnytte hele sit budget, dvs.
max u(x1 , x2 )
(x1 ,x2 )
Jesper Breinbjerg
u.b.b p1 x1 + p2 x2 = m
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
15 / 18
Optimale valg – nyttemaksimering
Forbrugerens problem: hvad er det optimale valg af varebundt?
max u(x1 , x2 )
(x1 ,x2 )
u.b.b p1 x1 + p2 x2 ≤ m
(Et Kuhn-Tucker maksimeringsproblem – det har i ikke lært endnu)
Men, men, men... givet monotonicitet i forbrugerens præferencer vil hun
udnytte hele sit budget, dvs.
max u(x1 , x2 )
(x1 ,x2 )
u.b.b p1 x1 + p2 x2 = m
(Et Lagrange maksimeringsproblem – det har i lært!!)
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
15 / 18
Nyttemaksimering – illustration
gure
x2
Indifference
curves
Optimal
choice
x*2
x*1
x1
Jesper Breinbjerg choice. The optimal consumption
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
Optimal
position is where16 / 18
Nyttemaksimering – illustration
gure
x2
Indifference
curves
Optimal
choice
(x1∗ , x2∗ ) er forbrugerens optimale
valg. Optimum hvor budgetlinen
tangerer den højest beliggende
indifferenskurve, dvs. MRS =
− pp12
x*2
x*1
x1
Jesper Breinbjerg choice. The optimal consumption
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
Optimal
position is where16 / 18
Nyttemaksimering – illustration
gure
x2
Men men men... dette er ikke altid tilfældet!
Indifference
ikke-monotone
præferencer ⇒ Lagrange duer
curves
ikke nødvendigvis
ikke-konvekse præferencer
⇒ m˚
aske problemer
Optimal
choice
med anden-ordensbetingelser
x*2
ikke-strengt konvekse præferencer ⇒ der kan
være flere løsninger
ikke-differentiable præferencer ⇒ MRS er ikke
altid veldefineret
HUSK disse overvejser – ikke noget hjernedød FOC.
x*1
x1
Jesper Breinbjerg choice. The optimal consumption
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
Optimal
position is where16 / 18
Nyttemaksimering – Lagrange
Givet maksimeringsproblemet
max u(x1 , x2 )
(x1 ,x2 )
u.b.b p1 x1 + p2 x2 = m
Kan Lagrange multiplikatorfunktionen skrives som
L(x1 , x2 , λ) = u(x1 , x2 ) − λ(p1 x1 + p2 x2 − m)
hvor λ er en konstant (fortolkning: skyggeprisen)
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
17 / 18
Nyttemaksimering – Lagrange
Givet maksimeringsproblemet
max u(x1 , x2 )
(x1 ,x2 )
u.b.b p1 x1 + p2 x2 = m
Kan Lagrange multiplikatorfunktionen skrives som
L(x1 , x2 , λ) = u(x1 , x2 ) − λ(p1 x1 + p2 x2 − m)
hvor λ er en konstant (fortolkning: skyggeprisen)
Differentier L partielt mht. x1 , x2 , λ sæt alle lig med 0 (første
ordensbetingelsen for maksimering)
δL
δL
δL
=
=
=0
δx1
δx2
δλ
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
17 / 18
Nyttemaksimering – Lagrange
Givet maksimeringsproblemet
max u(x1 , x2 )
(x1 ,x2 )
u.b.b p1 x1 + p2 x2 = m
Kan Lagrange multiplikatorfunktionen skrives som
L(x1 , x2 , λ) = u(x1 , x2 ) − λ(p1 x1 + p2 x2 − m)
hvor λ er en konstant (fortolkning: skyggeprisen)
Differentier L partielt mht. x1 , x2 , λ sæt alle lig med 0 (første
ordensbetingelsen for maksimering)
δL
δL
δL
=
=
=0
δx1
δx2
δλ
Løs herefter de tre ligninger med tre ubekendte.
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
17 / 18
Nyttemaksimering – Lagrange
Givet maksimeringsproblemet
max u(x1 , x2 )
(x1 ,x2 )
u.b.b p1 x1 + p2 x2 = m
Kan Lagrange multiplikatorfunktionen skrives som
L(x1 , x2 , λ) = u(x1 , x2 ) − λ(p1 x1 + p2 x2 − m)
hvor λ er en konstant (fortolkning: skyggeprisen)
Differentier L partielt mht. x1 , x2 , λ sæt alle lig med 0 (første
ordensbetingelsen for maksimering)
δL
δL
δL
=
=
=0
δx1
δx2
δλ
Løs herefter de tre ligninger med tre ubekendte.
I
Hvis præferencer er monotone, strengt konvekse og kontinuert
differentiable, s˚
a eksisterer der en unik indre løsning.
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
17 / 18
Reference
For interesserede kan jeg anbefale Varians bog:
Hal R. Varian
Intermediate Microeconomics: A Modern Approach (8th ed.)
W. W. Norton & Company, 2010.
(Præsenterede figurer i slides er fra denne)
Jesper Breinbjerg
Optimale valg og forbrugerefterspørgsel
18 / 18