DesignMat Uge 2 Taylorpolynomier og Taylors formel
Taylors formel Preben Alsholm Taylorpolynomier DesignMat Uge 2 Taylorpolynomier og Taylors formel De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Preben Alsholm Forår 2010 Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen De…nition af Taylorpolynomium I Givet en funktion f : I R ! R og et udviklingspunkt x0 2 I . Find et polynomium Pn af grad højst n, så f og Pn har samme nulte, første, anden, tredie, . . . , n’te a‡edede i punktet x0 . Taylors formel Preben Alsholm Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen De…nition af Taylorpolynomium I I Givet en funktion f : I R ! R og et udviklingspunkt x0 2 I . Find et polynomium Pn af grad højst n, så f og Pn har samme nulte, første, anden, tredie, . . . , n’te a‡edede i punktet x0 . Pn skal så opfylde ligningerne Pn (x0 ) = f (x0 ) Pn0 (x0 ) = f 0 (x0 ) Pn00 00 (x0 ) = f (x0 ) .. . (n ) Pn (x0 ) = f (n ) (x0 ) Taylors formel Preben Alsholm Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Taylors formel De…nition af Taylorpolynomium I I Givet en funktion f : I R ! R og et udviklingspunkt x0 2 I . Find et polynomium Pn af grad højst n, så f og Pn har samme nulte, første, anden, tredie, . . . , n’te a‡edede i punktet x0 . Pn skal så opfylde ligningerne Pn (x0 ) = f (x0 ) Pn0 (x0 ) = f 0 (x0 ) Skriver vi Pn på formen P n ( x ) = a0 + a 1 ( x + a4 ( x x0 ) + a2 (x x0 )2 + a3 (x x0 )4 + . . . + an (x søger vi nu a0 , a1 , a2 , . . . , an . De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen (x0 ) = f (x0 ) .. . (n ) Pn (x0 ) = f (n ) (x0 ) I Taylorpolynomier Taylors formel 00 Pn00 Preben Alsholm x0 )n x0 ) 3 Taylors formel Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Preben Alsholm I Vi ser med det samme, at a0 = f (x0 ). Da Pn0 Taylorpolynomier 2 (x ) = a1 + 2a2 (x x0 ) + 3a3 (x x0 ) +4a4 (x x0 )3 + . . . + nan (x x0 )n 1 De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Taylors formel Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Preben Alsholm I Vi ser med det samme, at a0 = f (x0 ). Da Pn0 I Taylorpolynomier 2 (x ) = a1 + 2a2 (x x0 ) + 3a3 (x x0 ) +4a4 (x x0 )3 + . . . + nan (x x0 )n 1 fås, at a1 = f 0 (x0 ). Da Pn00 (x ) = 2a2 + 3 2 a3 (x + . . . + n (n x0 ) + 4 3 a4 (x 1 ) an ( x x0 ) n 2 x0 )2 De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Taylors formel Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Preben Alsholm I Vi ser med det samme, at a0 = f (x0 ). Da Pn0 I 2 (x ) = a1 + 2a2 (x x0 ) + 3a3 (x x0 ) +4a4 (x x0 )3 + . . . + nan (x x0 )n 1 fås, at a1 = f 0 (x0 ). Da Pn00 (x ) = 2a2 + 3 2 a3 (x + . . . + n (n I Taylorpolynomier x0 ) + 4 3 a4 (x 1 ) an ( x x0 ) x0 )2 n 2 fås a2 = 12 f 00 (x0 ). Da Pn000 (x ) = 3 2 a3 + 4 3 2 a4 (x + . . . + n (n fås, at a3 = 1 000 2 3f (x0 ). 1) (n x0 ) 2 ) an ( x x0 )n 3 De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Formlen for Taylorpolynomiet Taylors formel Preben Alsholm I Generelt fås altså Taylorpolynomier ak = 1 (k ) f ( x0 ) k! således at De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning 1 x0 ) + f 00 (x0 ) (x x0 )2 Taylors formel 2 Lineariseringen Taylors formel med 1 (n ) Lagrange’ 3 n s restled x0 ) + . . . + f (x0 ) (x xVurdering 0 ) af fejlen ved Taylors formel I n! Vurdering af fejlen Pn (x ) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x 1 + f 000 (x0 ) (x 3! ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Taylors formel Formlen for Taylorpolynomiet Preben Alsholm I Generelt fås altså Taylorpolynomier ak = De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning 1 (k ) f ( x0 ) k! således at 1 x0 ) + f 00 (x0 ) (x x0 )2 Taylors formel 2 Lineariseringen Taylors formel med 1 (n ) Lagrange’ 3 n s restled x0 ) + . . . + f (x0 ) (x xVurdering 0 ) af fejlen ved Taylors formel I n! Vurdering af fejlen Pn (x ) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x 1 + f 000 (x0 ) (x 3! I ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Dette kan også skrives n Pn ( x ) = 1 (k ) f (x0 ) (x k! k =0 ∑ idet vi de…nerer 0! = 1 og f (0 ) = f . x0 )k Eksempel: Exponentialfunktionen Taylors formel Preben Alsholm I f (x ) = e x med udviklingspunkt 0, orden n. Vi har jo f 0 (x ) = f 00 (x ) = f 000 (x ) = . . . = f (n ) (x ) = e x . Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Eksempel: Exponentialfunktionen Taylors formel Preben Alsholm I I f (x ) = e x med udviklingspunkt 0, orden n. Vi har jo f 0 (x ) = f 00 (x ) = f 000 (x ) = . . . = f (n ) (x ) = e x . Så f (k ) (0) = e 0 = 1 for alle k 0. Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Eksempel: Exponentialfunktionen Taylors formel Preben Alsholm I I I f (x ) = e x med udviklingspunkt 0, orden n. Vi har jo f 0 (x ) = f 00 (x ) = f 000 (x ) = . . . = f (n ) (x ) = e x . Så f (k ) (0) = e 0 = 1 for alle k 0. Hermed fås 1 1 Pn (x ) = f (0) + f 0 (0) x + f 00 (0) x 2 + f 000 (0) x 3 2 3! 1 (n ) n + . . . + f (0) x n! Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Eksempel: Exponentialfunktionen Taylors formel Preben Alsholm I I I f (x ) = e x med udviklingspunkt 0, orden n. Vi har jo f 0 (x ) = f 00 (x ) = f 000 (x ) = . . . = f (n ) (x ) = e x . Så f (k ) (0) = e 0 = 1 for alle k 0. Hermed fås 1 1 Pn (x ) = f (0) + f 0 (0) x + f 00 (0) x 2 + f 000 (0) x 3 2 3! 1 (n ) n + . . . + f (0) x n! I Altså 1 1 1 Pn ( x ) = 1 + x + x 2 + x 3 + . . . + x n 2 3! n! Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Eksempel: Exponentialfunktionen Taylors formel Preben Alsholm I I I f (x ) = e x med udviklingspunkt 0, orden n. Vi har jo f 0 (x ) = f 00 (x ) = f 000 (x ) = . . . = f (n ) (x ) = e x . Så f (k ) (0) = e 0 = 1 for alle k 0. Hermed fås 1 1 Pn (x ) = f (0) + f 0 (0) x + f 00 (0) x 2 + f 000 (0) x 3 2 3! 1 (n ) n + . . . + f (0) x n! I Altså 1 1 1 Pn ( x ) = 1 + x + x 2 + x 3 + . . . + x n 2 3! n! I Dette kan også skrives n Pn ( x ) = 1 k x k! k =0 ∑ Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Funktion givet ved simpel forskrift Taylors formel Preben Alsholm I f (x ) = x arctan x med udviklingspunkt 1, orden 2. Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Funktion givet ved simpel forskrift Taylors formel Preben Alsholm I I f (x ) = x arctan x med udviklingspunkt 1, orden 2. Vi har x f 0 (x ) = arctan x + 1 + x2 2 2x 2 f 00 (x ) = 1 + x2 (1 + x 2 )2 Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Funktion givet ved simpel forskrift Taylors formel Preben Alsholm I I I f (x ) = x arctan x med udviklingspunkt 1, orden 2. Vi har x f 0 (x ) = arctan x + 1 + x2 2 2x 2 f 00 (x ) = 1 + x2 (1 + x 2 )2 Så f (1) = π 0 4,f (1) = π 4 + 12 , f 00 (1) = 21 . Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Funktion givet ved simpel forskrift Taylors formel Preben Alsholm I I I I f (x ) = x arctan x med udviklingspunkt 1, orden 2. Vi har x f 0 (x ) = arctan x + 1 + x2 2 2x 2 f 00 (x ) = 1 + x2 (1 + x 2 )2 Så f (1) = π4 , f 0 (1) = Hermed fås π 4 + 12 , f 00 (1) = 21 . P2 ( x ) = f ( 1 ) + f 0 ( 1 ) ( x = = π + 4 π + 4 π 1 + 4 2 π 1 + 4 2 1 1) + f 00 (1) (x 1)2 2 1 1 (x 1) + (x 1)2 2 2 1 (x 1) + (x 1)2 4 Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Funktion givet ved simpel forskrift Taylors formel Preben Alsholm I I I I f (x ) = x arctan x med udviklingspunkt 1, orden 2. Vi har x f 0 (x ) = arctan x + 1 + x2 2 2x 2 f 00 (x ) = 1 + x2 (1 + x 2 )2 Så f (1) = π4 , f 0 (1) = Hermed fås π 4 + 12 , f 00 (1) = 21 . P2 ( x ) = f ( 1 ) + f 0 ( 1 ) ( x = = I Maple π + 4 π + 4 π 1 + 4 2 π 1 + 4 2 1 1) + f 00 (1) (x 1)2 2 1 1 (x 1) + (x 1)2 2 2 1 (x 1) + (x 1)2 4 Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Taylors formel Funktion givet ved di¤erentialligning I Preben Alsholm Find det 2. Taylorpolynomium med udviklingspunkt for løsningen til di¤erentialligningen π =0 x 0 (t ) = sin t + x (t )2 med x 2 π 2 Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Taylors formel Funktion givet ved di¤erentialligning I I Preben Alsholm Find det 2. Taylorpolynomium med udviklingspunkt for løsningen til di¤erentialligningen π =0 x 0 (t ) = sin t + x (t )2 med x 2 Vi skal …nde P2 (t ) = x π2 + x 0 π2 t π2 + 12 x 00 π2 t π2 π 2 2 Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Taylors formel Funktion givet ved di¤erentialligning I I I Preben Alsholm Find det 2. Taylorpolynomium med udviklingspunkt for løsningen til di¤erentialligningen π =0 x 0 (t ) = sin t + x (t )2 med x 2 Vi skal …nde P2 (t ) = x π2 + x 0 π2 t π2 + 12 x 00 π2 t π2 Ved indsættelse af t = π2 i di¤erentialligningen fås x0 π 2 = sin π 2 +x π 2 2 = sin π 2 = 1. π 2 2 Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Taylors formel Funktion givet ved di¤erentialligning I I I Preben Alsholm Find det 2. Taylorpolynomium med udviklingspunkt for løsningen til di¤erentialligningen π =0 x 0 (t ) = sin t + x (t )2 med x 2 Vi skal …nde P2 (t ) = x π2 + x 0 π2 t π2 + 12 x 00 π2 t π2 Ved indsættelse af t = π2 i di¤erentialligningen fås 2 I x 0 π2 = sin π2 + x π2 = sin π2 = 1. Ved di¤erentiation af di¤erentialligningen fås x 00 (t ) = cos t + x (t )2 (1 + 2x (t ) x 0 (t )). π 2 2 Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Taylors formel Funktion givet ved di¤erentialligning I I I Preben Alsholm Find det 2. Taylorpolynomium med udviklingspunkt for løsningen til di¤erentialligningen π =0 x 0 (t ) = sin t + x (t )2 med x 2 Vi skal …nde P2 (t ) = x π2 + x 0 π2 t π2 + 12 x 00 π2 t π2 Ved indsættelse af t = π2 i di¤erentialligningen fås π 2 2 2 I x 0 π2 = sin π2 + x π2 = sin π2 = 1. Ved di¤erentiation af di¤erentialligningen fås x 00 (t ) = cos t + x (t )2 (1 + 2x (t ) x 0 (t )). I Ved indsættelse af t = x 00 π 2 = cos π 2 +x π 2 heri π 2 2 π 2 x0 De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen fås 1 + 2x Taylorpolynomier π 2 = 0. Taylors formel Funktion givet ved di¤erentialligning I I I Preben Alsholm Find det 2. Taylorpolynomium med udviklingspunkt for løsningen til di¤erentialligningen π =0 x 0 (t ) = sin t + x (t )2 med x 2 Vi skal …nde P2 (t ) = x π2 + x 0 π2 t π2 + 12 x 00 π2 t π2 Ved indsættelse af t = π2 i di¤erentialligningen fås π 2 2 2 I x 0 π2 = sin π2 + x π2 = sin π2 = 1. Ved di¤erentiation af di¤erentialligningen fås x 00 (t ) = cos t + x (t )2 (1 + 2x (t ) x 0 (t )). I Ved indsættelse af t = x 00 I π 2 π 2 π 2 heri π 2 2 = cos +x Altså fås P2 (t ) = 0 + t π2 + 1 2 0 t π 2 2 π 2 x0 =t De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen fås 1 + 2x Taylorpolynomier π 2 π 2 = 0. Taylors formel Funktion givet ved di¤erentialligning I I I Preben Alsholm Find det 2. Taylorpolynomium med udviklingspunkt for løsningen til di¤erentialligningen π =0 x 0 (t ) = sin t + x (t )2 med x 2 Vi skal …nde P2 (t ) = x π2 + x 0 π2 t π2 + 12 x 00 π2 t π2 Ved indsættelse af t = π2 i di¤erentialligningen fås π 2 2 2 I x 0 π2 = sin π2 + x π2 = sin π2 = 1. Ved di¤erentiation af di¤erentialligningen fås x 00 (t ) = cos t + x (t )2 (1 + 2x (t ) x 0 (t )). I Ved indsættelse af t = x 00 I I π 2 heri π 2 2 fås = cos +x 1 + 2x π2 x 0 π2 = 0. Altså fås 2 P2 (t ) = 0 + t π2 + 12 0 t π2 = t π2 som jo er det samme som det første Taylorpolynomium P1 (t ). Se Maple for P3 (t ). π 2 π 2 Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Lineariseringen I Taylors formel Preben Alsholm De…nitionen på di¤erentiabilitet kan også formuleres således: Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Lineariseringen I I Taylors formel Preben Alsholm De…nitionen på di¤erentiabilitet kan også formuleres således: f er di¤erentiabel i x0 med di¤erentialkvotient a, hvis der …ndes en funktion ε de…neret i et interval omkring 0, så f (x0 + h ) f (x0 ) = ah + ε (h ) h og hvor ε (h ) ! 0 for h ! 0. Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Lineariseringen I I I Taylors formel Preben Alsholm De…nitionen på di¤erentiabilitet kan også formuleres således: f er di¤erentiabel i x0 med di¤erentialkvotient a, hvis der …ndes en funktion ε de…neret i et interval omkring 0, så f (x0 + h ) f (x0 ) = ah + ε (h ) h og hvor ε (h ) ! 0 for h ! 0. At f er di¤erentiabel i x0 betyder altså, at f (x ) approksimeres godt ved f (x0 ) + a (x x0 ), når jx x0 j er lille. Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Lineariseringen I I I I Taylors formel Preben Alsholm De…nitionen på di¤erentiabilitet kan også formuleres således: f er di¤erentiabel i x0 med di¤erentialkvotient a, hvis der …ndes en funktion ε de…neret i et interval omkring 0, så f (x0 + h ) f (x0 ) = ah + ε (h ) h og hvor ε (h ) ! 0 for h ! 0. At f er di¤erentiabel i x0 betyder altså, at f (x ) approksimeres godt ved f (x0 ) + a (x x0 ), når jx x0 j er lille. Funktionen P1 (x ) = f (x0 ) + a (x x0 ) kaldes for lineariseringen af f i x0 . Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Lineariseringen I I I I I Taylors formel Preben Alsholm De…nitionen på di¤erentiabilitet kan også formuleres således: f er di¤erentiabel i x0 med di¤erentialkvotient a, hvis der …ndes en funktion ε de…neret i et interval omkring 0, så f (x0 + h ) f (x0 ) = ah + ε (h ) h og hvor ε (h ) ! 0 for h ! 0. At f er di¤erentiabel i x0 betyder altså, at f (x ) approksimeres godt ved f (x0 ) + a (x x0 ), når jx x0 j er lille. Funktionen P1 (x ) = f (x0 ) + a (x x0 ) kaldes for lineariseringen af f i x0 . Lineariseringen P1 er det første Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x0 . Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Lineariseringen I I I I I I Taylors formel Preben Alsholm De…nitionen på di¤erentiabilitet kan også formuleres således: f er di¤erentiabel i x0 med di¤erentialkvotient a, hvis der …ndes en funktion ε de…neret i et interval omkring 0, så f (x0 + h ) f (x0 ) = ah + ε (h ) h og hvor ε (h ) ! 0 for h ! 0. At f er di¤erentiabel i x0 betyder altså, at f (x ) approksimeres godt ved f (x0 ) + a (x x0 ), når jx x0 j er lille. Funktionen P1 (x ) = f (x0 ) + a (x x0 ) kaldes for lineariseringen af f i x0 . Lineariseringen P1 er det første Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x0 . Grafen for P1 er tangenten til grafen for f i (x0 , f (x0 )). Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Lineariseringen I I I I I I I Taylors formel Preben Alsholm De…nitionen på di¤erentiabilitet kan også formuleres således: f er di¤erentiabel i x0 med di¤erentialkvotient a, hvis der …ndes en funktion ε de…neret i et interval omkring 0, så f (x0 + h ) f (x0 ) = ah + ε (h ) h og hvor ε (h ) ! 0 for h ! 0. At f er di¤erentiabel i x0 betyder altså, at f (x ) approksimeres godt ved f (x0 ) + a (x x0 ), når jx x0 j er lille. Funktionen P1 (x ) = f (x0 ) + a (x x0 ) kaldes for lineariseringen af f i x0 . Lineariseringen P1 er det første Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x0 . Grafen for P1 er tangenten til grafen for f i (x0 , f (x0 )). Hvor meget smider vi væk, når vi erstatter f (x ) med P1 ( x ) ? Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Taylors formel med Lagrange’s restled Taylors formel Preben Alsholm I Hvad er den fejl man begår ved at erstatte en funktion f med dens Taylorpolynomium Pn ? Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Taylors formel Taylors formel med Lagrange’s restled Preben Alsholm I I Hvad er den fejl man begår ved at erstatte en funktion f med dens Taylorpolynomium Pn ? Taylors formel: Lad f være n + 1 gange di¤erentiabel i intervallet I og lad x0 2 I . For givet x 2 I …ndes et tal ξ mellem x0 og x, så f (x ) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x 1 x0 ) + f 00 (x0 ) (x 2 1 . . . + f (n ) (x0 ) (x x0 )n n! 1 + f (n +1 ) (ξ ) (x x0 )n +1 (n + 1) ! Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning formel x0 )2 + Taylors Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Taylors formel Taylors formel med Lagrange’s restled Preben Alsholm I I Hvad er den fejl man begår ved at erstatte en funktion f med dens Taylorpolynomium Pn ? Taylors formel: Lad f være n + 1 gange di¤erentiabel i intervallet I og lad x0 2 I . For givet x 2 I …ndes et tal ξ mellem x0 og x, så f (x ) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x 1 x0 ) + f 00 (x0 ) (x 2 Altså f (x ) = Pn (x ) + Pn (x ) + Rn (x ) . 1 f (n +1 ) (n +1 ) ! ( ξ ) (x De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning formel x0 )2 + Taylors Lineariseringen 1 . . . + f (n ) (x0 ) (x x0 )n n! 1 + f (n +1 ) (ξ ) (x x0 )n +1 (n + 1) ! I Taylorpolynomier x0 )n +1 = Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Taylors formel Taylors formel med Lagrange’s restled Preben Alsholm I I Hvad er den fejl man begår ved at erstatte en funktion f med dens Taylorpolynomium Pn ? Taylors formel: Lad f være n + 1 gange di¤erentiabel i intervallet I og lad x0 2 I . For givet x 2 I …ndes et tal ξ mellem x0 og x, så f (x ) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x 1 x0 ) + f 00 (x0 ) (x 2 1 f (n +1 ) (n +1 ) ! Altså f (x ) = Pn (x ) + Pn (x ) + Rn (x ) . I Vi beviser ikke sætningen. ( ξ ) (x De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning formel x0 )2 + Taylors Lineariseringen 1 . . . + f (n ) (x0 ) (x x0 )n n! 1 + f (n +1 ) (ξ ) (x x0 )n +1 (n + 1) ! I Taylorpolynomier x0 )n +1 = Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Taylors formel Preben Alsholm I Eksempel. f (x ) = e x , udviklingspunkt 0. Vi har 1 n x . Pn (x ) = 1 + x + 12 x 2 + 3!1 x 3 + . . . + n! Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Taylors formel Preben Alsholm I I Eksempel. f (x ) = e x , udviklingspunkt 0. Vi har 1 n x . Pn (x ) = 1 + x + 12 x 2 + 3!1 x 3 + . . . + n! n + 1 x ( ) f (x ) = e . Så je x Pn (x )j = eξ 1 e ξ x n +1 = j x j n +1 (n + 1) ! (n + 1) ! Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Taylors formel Preben Alsholm I I Eksempel. f (x ) = e x , udviklingspunkt 0. Vi har 1 n x . Pn (x ) = 1 + x + 12 x 2 + 3!1 x 3 + . . . + n! n + 1 x ( ) f (x ) = e . Så je x I Pn (x )j = Bestem n, så je x x 2 [ 0.1, 0.1]. eξ 1 e ξ x n +1 = j x j n +1 (n + 1) ! (n + 1) ! Pn (x )j 10 5 for alle Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Taylors formel Preben Alsholm I I Eksempel. f (x ) = e x , udviklingspunkt 0. Vi har 1 n x . Pn (x ) = 1 + x + 12 x 2 + 3!1 x 3 + . . . + n! n + 1 x ( ) f (x ) = e . Så je x I I Pn (x )j = eξ 1 e ξ x n +1 = j x j n +1 (n + 1) ! (n + 1) ! Bestem n, så je x Pn (x )j 10 5 for alle x 2 [ 0.1, 0.1]. I Taylors formel gælder så jξ j 0.1 og dermed je x Pn (x )j = eξ e 0.1 (0.1)n +1 j x j n +1 (n + 1) ! (n + 1) ! 2 (0.1)n +1 (n + 1) ! Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Taylors formel Preben Alsholm I I Eksempel. f (x ) = e x , udviklingspunkt 0. Vi har 1 n x . Pn (x ) = 1 + x + 12 x 2 + 3!1 x 3 + . . . + n! n + 1 x ( ) f (x ) = e . Så je x I I eξ 1 e ξ x n +1 = j x j n +1 (n + 1) ! (n + 1) ! Bestem n, så je x Pn (x )j 10 5 for alle x 2 [ 0.1, 0.1]. I Taylors formel gælder så jξ j 0.1 og dermed je x I Pn (x )j = Pn (x )j = 2 0.1)n +1 (n +1 ) ! ( 4 = 1 10 4 < 10 5 . 12 Vi vælger nu n, så nok, idet 2 4! 10 eξ e 0.1 (0.1)n +1 j x j n +1 (n + 1) ! (n + 1) ! 2 (0.1)n +1 (n + 1) ! 10 5. n = 3 er Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Vurdering af fejlen ved Taylors formel II I Taylors formel Preben Alsholm Lad f (x ) for alle x være givet ved f (x ) = Z x 0 Taylorpolynomier (1 + t ) cos t 3 dt De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Vurdering af fejlen ved Taylors formel II I Preben Alsholm Lad f (x ) for alle x være givet ved f (x ) = Z x Taylorpolynomier (1 + t ) cos t 3 dt 0 I Taylors formel Vurdér den fejl, der begås ved at erstatte f (x ) med dets 2. Taylorpolynomium P2 (x ) med udviklingspunkt 1 1 0, når x 2 2, 2 . De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Vurdering af fejlen ved Taylors formel II I Preben Alsholm Lad f (x ) for alle x være givet ved f (x ) = Z x Taylorpolynomier (1 + t ) cos t 3 dt 0 I I Taylors formel Vurdér den fejl, der begås ved at erstatte f (x ) med dets 2. Taylorpolynomium P2 (x ) med udviklingspunkt 1 1 0, når x 2 2, 2 . Vi …nder 0 f (x ) = (1 + x ) cos x f 00 (x ) = cos x 3 f 000 (x ) = 3 (1 + x ) 3x 2 sin x 3 6x (1 + 2x ) sin x 3 9x 4 (1 + x ) cos x 3 De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Vurdering af fejlen ved Taylors formel II I Preben Alsholm Lad f (x ) for alle x være givet ved f (x ) = Z x Taylorpolynomier (1 + t ) cos t 3 dt 0 I I Vurdér den fejl, der begås ved at erstatte f (x ) med dets 2. Taylorpolynomium P2 (x ) med udviklingspunkt 1 1 0, når x 2 2, 2 . Vi …nder 0 f (x ) = (1 + x ) cos x 3 f 00 (x ) = cos x 3 f 000 (x ) = I Taylors formel (1 + x ) 3x 2 sin x 3 6x (1 + 2x ) sin x 3 9x 4 (1 + x ) cos x 3 Heraf …ndes P2 (x ) = x + 12 x 2 . De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Taylors formel Vurdering af fejlen ved Taylors formel II I Preben Alsholm Lad f (x ) for alle x være givet ved f (x ) = Z x Taylorpolynomier (1 + t ) cos t 3 De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning dt 0 I I Vurdér den fejl, der begås ved at erstatte f (x ) med dets 2. Taylorpolynomium P2 (x ) med udviklingspunkt 1 1 0, når x 2 2, 2 . Vi …nder 0 f (x ) = (1 + x ) cos x Taylors formel 3 f 00 (x ) = cos x 3 f 000 (x ) = I I (1 + x ) 3x 2 sin x 3 6x (1 + 2x ) sin x 3 9x 4 (1 + x ) cos x 3 Heraf …ndes P2 (x ) = x + 12 x 2 . Vha. Maple …ndes, at jf 000 (x )j Altså fås jf (x ) P2 (x )j 1.59 1 3 jx j 6 1 1 2, 2 1.59 for x 2 1.59 1 6 1 2 . 3 ' 0.03 3 Den faktiske maksimale fejl kan …ndes gra…sk til 0.0008. Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Store O-notationen Taylors formel Preben Alsholm I Når Maplekommandoen taylor(sin(x),x=0,4); som resultat giver x 16 x 3 + O x 4 , betyder der følgende: Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Taylors formel Store O-notationen Preben Alsholm I I Når Maplekommandoen taylor(sin(x),x=0,4); som resultat giver x 16 x 3 + O x 4 , betyder der følgende: Der …ndes en konstant K , så sin x x 1 3 x 6 Kx 4 for alle x i et interval med 0 som indre punkt. Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Taylors formel Store O-notationen Preben Alsholm I I Når Maplekommandoen taylor(sin(x),x=0,4); som resultat giver x 16 x 3 + O x 4 , betyder der følgende: Der …ndes en konstant K , så sin x I x 1 3 x 6 Kx 4 for alle x i et interval med 0 som indre punkt. Generelt betyder f (x ) = O (u (x )) for x ! a, at der …ndes en konstant K , så jf (x )j K ju (x )j for alle x i et interval med a som indre punkt. Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Taylors formel Store O-notationen Preben Alsholm I I Når Maplekommandoen taylor(sin(x),x=0,4); som resultat giver x 16 x 3 + O x 4 , betyder der følgende: Der …ndes en konstant K , så sin x I x Kx 4 for alle x i et interval med 0 som indre punkt. Generelt betyder f (x ) = O (u (x )) for x ! a, at der …ndes en konstant K , så jf (x )j I 1 3 x 6 K ju (x )j for alle x i et interval med a som indre punkt. Vi har eksempelvis: sin x = O (x ) , sin x = x + O x 2 , men også sin x = x + O x 3 og den allerede viste. Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Taylors formel Store O-notationen Preben Alsholm I I Når Maplekommandoen taylor(sin(x),x=0,4); som resultat giver x 16 x 3 + O x 4 , betyder der følgende: Der …ndes en konstant K , så sin x I x I Kx 4 for alle x i et interval med 0 som indre punkt. Generelt betyder f (x ) = O (u (x )) for x ! a, at der …ndes en konstant K , så jf (x )j I 1 3 x 6 K ju (x )j for alle x i et interval med a som indre punkt. Vi har eksempelvis: sin x = O (x ) , sin x = x + O x 2 , men også sin x = x + O x 3 og den allerede viste. I Taylor-sammenhæng kan O ((x x0 )n ) tolkes som led af orden n og højere. Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Taylors formel Lille o-notationen Preben Alsholm I Udsagnet sin x = x sin x for x ! 0. 1 3 6x + o x 3 betyder, at x x3 1 3 6x !0 Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Taylors formel Lille o-notationen Preben Alsholm I Udsagnet sin x = x sin x I 1 3 6x + o x 3 betyder, at x x3 1 3 6x for x ! 0. !0 Generelt betyder f (x ) = o (u (x )) for x ! a, at f (x ) !0 u (x ) for x ! a. Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Taylors formel Lille o-notationen Preben Alsholm I Udsagnet sin x = x sin x I 1 3 6x + o x 3 betyder, at x x3 1 3 6x !0 for x ! 0. Generelt betyder f (x ) = o (u (x )) for x ! a, at f (x ) !0 u (x ) I for x ! a. Hvis f (x ) = O x 4 for x ! 0 så gælder også f (x ) = o x 3 . Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen Taylors formel Lille o-notationen Preben Alsholm I Udsagnet sin x = x sin x I 1 3 6x + o x 3 betyder, at x x3 1 3 6x !0 for x ! 0. Generelt betyder f (x ) = o (u (x )) for x ! a, at f (x ) !0 u (x ) for x ! a. I Hvis f (x ) = O x 4 for x ! 0 så gælder også f (x ) = o x 3 . I Den omvendte gælder ikke. Taylorpolynomier De…nition af Taylorpolynomium Udledning af formlen for Taylorpolynomiet Formlen for Taylorpolynomiet Eksempel: Eksponenentialfunktionen Funktion givet ved simpel forskrift Funktion givet ved di¤erentialligning Taylors formel Lineariseringen Taylors formel med Lagrange’s restled Vurdering af fejlen ved Taylors formel I Vurdering af fejlen ved Taylors formel II Store O-notationen Lille o-notationen
© Copyright 2024