Knud Erik Sørensen
Månen
og andre uægte måner
Indledning 2
Tidekræfter 2
En simpel model af tidekraften 3
Eksempler på virkningen af tidekræfter
Rochegrænser 4
Simpel model for Rochegrænser 4
Eksempler på Roche-grænser
Planetariske ringe
Rochegrænser og kometer
Rochegrænsen i stellarfysik
Tovtrækkeriet 5
f-forholdet 5
Data
Overblik over ydre måner
Kriteriet på en ægte måne 8
Bælternes udstrækning 8
Jorden og dens måne 8
Potentialbrønde 9
Kilder og litteratur 10
Månen og andre uægte måner
2
Indledning
Artiklens titel er naturligvis valgt for at tiltrække læserens opmærksomhed og er bestemt ikke uden problemer,
for hvad er en uægte måne? Og hvad er i det hele taget en måne? Den Store Danske Encyklopædi fortæller, at
en måne er et større himmellegeme, der kredser om en planet, og vi får her også at vide, at
Måner kan enten være indfangne asteroider som Mars’ måner Phobos og Deimos og de yderste af Jupiters
måner, eller de kan være dannet i samme proces som moderplaneten som fx Jupiters store galileiske måner.
Her forklares imidlertid ikke, hvordan man kan afgøre, om en måne er uægte, dvs. indfanget, eller ej. For mange år siden læste jeg en overraskende artikel om, hvor fast bundne solsystemets måner er til deres moderplaneter. Desværre kan jeg hverken huske artiklens forfatter eller tidsskriftet, hvori den forekom. Det eneste, jeg
husker klart er, at der omkring hver planet skulle være et bælte, hvor måner kunne eksistere “fredeligt” uden
at blive revet bort af Solen, og uden at blive revet i stykker af tidekraften. Forfatterens kriterium for ægthed
var, at tiltrækningskraften fra moderplaneten skulle overstige Solens tiltrækningskraft med en bestemt faktor.
I denne artikel regner jeg på disse forhold og har valgt at sætte den nævnte faktor til 34. Denne værdi er ikke så arbitrær, som den måtte se ud til. Som baggrundsstof opstiller jeg kort modeller for tidekræfter og for
Rochegrænser, før jeg ved hjælp af et regneark beregner bredden af de nævnte bælter. Jeg sammenholder naturligvis også med månernes faktiske afstande og vover at drage en konklusion om månernes ægthed.
Den valgte beregningsmetode kan naturligvis ikke føre til en indiskutabel konklusion om månernes ægthed,
og f.eks. bliver konklusionen for Phobos og Deimos ud fra min beregning en anden end Encyklopædiens. Min
metode er baseret alene på dynamik, hvilket må siges at være mangelfuldt, men jeg finder, at den alligevel bringer interessante forhold for dagen!
Som enhver god historie indeholder også denne en stor overraskelse, som her vedrører vor egen måne, Månen..
Tidekræfter
Navnet tidekraft – eller tidevandskraft – bruges om en bestemt fiktiv kraft i et tyngdefelt. Med et legemes massemidtpunkt som reference kan kraften populært beskrives som “en kraft, der synes at ville splitte et legeme
ad”. Af gravitationsloven
m ·m2
F = G _____
  1 2 
 
 
r
fremgår, at gravitationsvekselvirkningen F mellem to legemer med masse m1 og m2 aftager med kvadratet på
afstanden r mellem dem. I konsekvens heraf vil det ene legeme på grund af dets udstrækning befinde sig i et
inhomogent tyngdefelt fra det andet legeme, hvorfor dets massedele bliver udsat for en forskellig acceleration.
Hvis dette legemes dele ikke blev holdt sammen af egen gravitation og intermolekylære kræfter, ville det derfor blive revet i stykker.
Månen og andre uægte måner
3
En simpel model af tidekraften
Betragt følgende situation:
mp
m
m
d
r
To partikler L1 og L2 begge med massen m, befinder sig i afstandene r - _ 2 , henholdsvis r +  _2 fra et legeme med
massen mp.Vi antager, at d<<r, samt at legemerne er homogene, og at deres centre ligger på linje.
d
d
Gravitationskræfterne fra mp på de to partikler er
mp·m
mp·m
F1 = G ·  ______
  
henholdsvis F2 = G ·  _______
.
 
   
d 2
d 2
_
r -  2  
r + _ 2  
(  )
Vi definerer nu tidekraften til at være
og får
( 
)
Ftide = F1 - F2
mp·m
mp·m
_______
Ftide = G ·  ______
 
G
· 
.
 
 
   
2
d
d 2
r -  _2  
r + _ 2  
(  )
( 
)
Medtages højst 2. orden i en rækkeudvikling, har vi følgende approximative udtryk for tidekraften
2·mp·m·d
Ftide = G ·  ________
  
 
r3
Denne kraft giver anledning til følgende acceleration i den relative bevægelse af L1 og L2.
2·mp·d
  
atide = G ·  ______
 
r3
Eksempler på virkningen af tidekræfter
Tyngdefeltet fra Solen og fra Månen giver anledning til markante tidekræfter på Jorden. Virkningen heraf i form af et
par “tidevandsbjerge”, der ruller rundt om Jorden, er velkendt. Den gnidning, som bølgen giver anledning til, omsætter langsomt Jordens rotationsenergi til indre kinetiske energi. I konsekvens heraf daler Jordens rotationstid med ca. 1
ms pr. århundrede, og Månens afstand fra Jorden vokser med ca. 38 mm pr. år. Synlige beviser for denne nedbremsning
har geologerne fundet i visse kalklag fra Devontiden, hvor der spores 400 daglag pr. år.
Tidekræfter giver naturligvis også anledning til en bølge på landjorden, men på grund af dennes stivhed bliver effekten højst 30 cm her.
For Månens vedkommende har tidevandskræfter bevirket, at Månens rotationshastighed er nedbremset, så der nu er
en 1:1 resonans med omløbstiden om Jorden, kort sagt har Månen bunden rotation.
Virkningen af tidekræfterne kan være enormt store. Fx bevirker tidefeltet på Jupiters måne Io, at dennes overflade
periodisk hæves over hundrede meter, en bevægelse der opvarmer Ios indre. En konsekvens heraf er, at Io er dækket af
aktive vulkaner og i øvrigt regnes som solsystemets mest “geologisk”-aktive objekt.
Månen og andre uægte måner
4
Rochegrænser
Tidekraften aftager med afstanden til centrallegemet i tredje potens, altså med r3. En måne, der kredser for tæt
på sin moderplanet, risikerer at blive trukket i stykker af tidekræfter, hvis gravitationkraften og de intermolekylære kræfter mellem månens dele ikke er store nok. Jeg ser nu nærmere på dette forhold.
Simpel model for Rochegrænser
Lad os hertil betragte to små minimåner hver med med masse mm, radius rm og densitet ρm. Vi tænker os, at de
to minimåner rører hinanden, medens de kredser i en cirkelbane med radius r omkring en planet med masse
mp, radius rp og densitet ρp.
mp
mm m m
2rm
r
Tidekraften mellem de to minimåner er:
2·mp·mm·2·rm
  
Ftide = G  ___________
 
r3
medens gravitationskraften mellem dem er:
mm·mm
Fgrav = G  ______
  
(2·rm)2
Minimånerne forbliver sammen, hvis
Fgrav > Ftide
Vi tænker os, at de involverede legemer er homogene og kugleformede, hvorfor
mp = _ 43  πrp3 ρp og mm = _ 43  πrm3 ρm
Uligheden Fgrav > Ftide kan så løses med hensyn til r:
eller
___
____
ρp
r > √  16  ·   ___
 ρm     
· rp
√
ρ
r > 2,52· √ ___
 ρ     · r
3
3
____
3
 
p
m
 
p
Antager vi yderligere, at planeten og minimånerne er lavet af samme materiale, kan dette reduceres til
r > 2,52· rp
De omhandlede minimåner kan være bestanddele af en større måne, og denne må i så fald befinde sig mindst i
2,52 planetradiers afstand fra planeten, hvis tidekræfterne ikke skal rive månen i stykker.
Approximationen bygger på, at planet og måne har samme densitet. Denne approximation er acceptabel til de
Månen og andre uægte måner
5
fleste forhold, for selv om månens og planetens densiteter afviger noget fra hinanden, influerer det ikke så voldsomt på resultatet, idet kun den tredje rod af densitetsforholdet indgår.
Den her viste teori er i en lidt mere avanceret udgave fremsat af den franske fysiker Éduoard Roche (18201883), som minimumsafstanden – Rochegrænsen – nu er opkaldt efter.
Eksempler på Roche-grænser
Rochegrænser og kometer
I 1992 passerede kometen Schumacher-Levy 9 forbi Jupiter inden for dennes Rochegrænse og blev brudt op i
mindst 21 separate stykker, som efterfølgende blev spredt ud for til sidst at ende på Jupiter i juli 1992.
Rochegrænsen i stellarfysik
Rochegrænse-begrebet spiller også en væsentlig rolle i forbindelse med dobbeltstjerners deformation på grund
af den gensidige tyngdepåvirkning. Her bliver der dog tale om en ækvipotentialflade af form som et et rumligt
ottetal. Et stor stjerne i et dobbeltstjernepar kan i sit livsforløb udvide sig så voldsomt, at den overskrider sin
egen Roche-grænse, hvorved materiale fra den overføres til den mindre stjerne i parret.
Tovtrækkeriet
Vi skal i det følgende betragte planetsystemets måner én for en. De er naturligvis udsat for kraftpåvirkninger
fra mange sider: fra moderplaneten, fra andre planeter, fra andre måner, fra Solen, fra andre stjerner, og hvad
der ellers findes af massehavende objekter i universet. Dette indebærer et sandt tovtrækkeri.
Af udtrykket for gravitationskraften
m1·m2
F = G  _____
  
 
d2
ser vi, at kraften bliver stor, hvis det trækkende legeme ligger i kort afstand d og/eller, hvis det trækkende legeme har en stor masse. Med den begrundelse vil vi i det følgende koncentrere os om trækket i en måne fra dennes moderplanet og fra Solen. Forholdet mellem disse to træk betegnes i det følgende med f.
f-forholdet
(  )
Det ses let, at
Fp mp __
ds 2
f = __
 F   = ___
 m   ·      
dp
s
s
Her refererer index p til moderplaneten og s til Solen. Vi bemærker straks, at månens masse ikke indgår i forholdet. Kraftforholdet har to faktorer: et masseforhold og kvadratet på et afstandsforhold.
Data
Solen
Merkur
Venus
Jorden
Mars
m/kg
1,989·1030
3,285·1023
4,867·1024
5,972·1024
6,390·1023
2·r/km
1.391.600
4.879
12.104
12.756
6.794
d/AU
0,387
0,723
1,000
1,524
d/km
5,789·107
1,082·108
1,496·108
2,280·108
m/mJ
3,331·105
0,055
0,815
1,000
0,107
m/mS
1,000
1,652·10-7
2,447·10-6
3,003·10-6
3,213·10-7
Månen og andre uægte måner
Jupiter
Saturn
Uranus
Neptun
1,898·1027
5,683·1026
8,681·1025
1,024·1026
142.984
120.536
51.118
48.528
5,203
9,555
19,218
30,110
7,784·108
1,429·109
2,875·109
4,504·109
6
317,816
95,161
14,536
17,147
9,542·10-4
2,857·10-4
4,365·10-5
5,148·10-5
hvor r = objektets radius, m = objektets masse, d = objektets afstand til Solen, mJ = Jordens masse og mS =
Solens masse. AU betegner en astronomisk enhed = 1.49597.870,7 km.
f-forholdet for de ydre planeters måner
Jeg betragter nu planeterne og deres største måner efter tur, men gemmer dog Jordens måne til senere. For hver
planet giver jeg en vurdering af antallet af “uægte” måner. I det følgende er
• d = Planetens afstand til Solen. Denne afstand bruges også om månens afstand til Solen
• dm = Månens afstand til moderplaneten
• f = Forholdet mellem moderplanetens og Solens gravitationstræk i månen
Neptun
1
2
3
4
5
6
7
8
Måne
Triton
Nereid
Naiad
Thalassa
Despina
Galatea
Larissa
Proteus
dm/km
354.760
5.513.400
48.230
50.070
52.530
61.950
73.550
117.650
(d/dm)2
1,612·108
6,675·105
8,722·109
8,093·109
7,353·109
5,287·109
3,751·109
1,466·109
f
8.300
34
449.059
416.660
378.550
272.179
193.096
75.466
Bemærk, hvor svagt Nereid er bundet til Neptun! – i hvert fald sammenlignet med de øvrige måner.
Nereids bane er meget excentrisk med en mindste afstand på blot 1.353.600 km og største afstand på 9.623.700
km. I sidstnævnte afstand er f-forholdet nede på 10. På den baggrund vil jeg antage, at Nereid er en indfanget
måne! I 2002-03 har man fundet yderliger 5 måner omkring Neptun. Disse har alle f-værdier under 5!
Uranus
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Måne
Ariel
Umbriel
Titania
Oberon
Miranda
Cordelia
Orphelia
Bianca
Cressida
Desdemona
Juliet
Portia
Rosalind
Belinda
Puck
dm/km
191.020
266.300
435.910
583.520
129.390
49.770
53.790
59.170
61.780
62.680
64.350
66.090
69.940
75.260
86.010
(d/dm)2
2,265·10 1,166·108
4,350·107
2,427·107
4,937·108
3,337·109
2,857·109
2,361·109
2,166·109
2,104·109
1,996·109
1,892·109
1,690·109
1,459·109
1,117·109
8
f
9.887
5.087
1.898
1.059
21.548
145.635
124.681
103.038
94.516
91.821
87.117
82.591
73.748
63.690
48.765
Vi ser, at alle måner er overbevisende bundet til Uranus og derfor er ægte måner!
Saturn
Måne
1 Mimas
2 Enceladus
3 Tethys
dm/km
185.520
238.020
294.660
(d/dm)2
5,937·10 3,606·107
2,353·107
7
f
16.962
10.305
6.724
Månen og andre uægte måner
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Dione
377.400
Rhea
527.040
Titan
1.221.830
Hyperon
1.481.100
Iapetus
3.561.300
Phoebe
12.952.000
Janus
151.472
Epimetheus
151.422
Helene
377.400
Telesto
294.660
Calypso
294.660
Atlas
137.670
Prometheus
139.353
Pandora
141.700
Pan
133.583
1,435·107
7,356·106
1,369·106
9,314·105
1,611·105
1,218·104
8,905·107
8,911·107
1,435·107
2,353·107
2,353·107
1,078·108
1,052·108
1,018·108
1,145·108
7
4.099
2.102
391
266
46,0
3,48
25.444
25.461
4.099
6.724
6.724
30.802
30.062
29.075
32.715
Bemærk den lave f-værdi for Phoebe! Det er rimeligt at anse den for at være indfanget!
Jupiter
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
dm/km
Måne
Io
Europa
Ganymede
Callisto
Amalthea
Himalia
Elara
Pasiphae
Sinope
Lysithea
Carme
Ananke
Leda
Thebe
Adrastea
Metis
422.000
671.000
1.070.000
1.883.000
181.000
11.480.000
11.737.000
23.500.000
23.700.000
11.720.000
22.600.000
21.200.000
11.094.000
222.000
129.000
128.000
(d/dm)2
3,402·106
1,346·106
5,292·105
1,709·105
1,849·107
4,597·103
4,398·103
1,097·103
1,079·103
4,411·103
1,186·103
1,348·103
4,922·103
1,229·107
3,641·107
3,698·107
f
3.246
1.284
505
163
17.647
4,39
4,20
1,05
1,03
4,21
1,13
1,29
4,70
11.730
34.741
35.286
Alle fastbundne måner svæver i Jupiters ækvatorplan – og der er ikke tvivl om ejerforholdet! Men der er altså
også en række svagtbundne, som må anses for at være indfangne.
Mars
dm/km
Måne
1 Phobos
2 Deimos
9.378
23.459
(d/dm)2
5,910·10 9,445·107
8
f
190
30
f-forholdet for Deimos er betænkelig lavt!
Overblik over ydre måner
Planet
Neptun
Uranus
Saturn
Jupiter
Mars
Antal måner Heraf indfangne
8
15
18
16
2
1
0
1
8
1
Betegnelsen “indfangen” er usikker i den forstand, at den er baseret på et kriterium, som nu vil blive defineret.
Månen og andre uægte måner
8
Kriteriet på en ægte måne
Tidligere omtalte jeg Neptuns Nereid, hvor f-forholdet er 34, som en indfanget måne. Det inspirerer mig til at
opstille følgende hypotese:
Styrkeforholdet 34 er skilleværdien mellem ægte og indfangne måner!
Sammen med Roche-grænsen giver dette kriterium, at der omkring enhver planet er et bælte, som en ægte måne må befinde sig i.
Den maximale afstand er bestemt ved, at styrkeforholdet skal være mindst 34, medens den minimale afstand
er Roche-grænsen, som her sættes til 2,5 gange planetens radius uden skelen til densiteter.
Bælternes udstrækning
Jeg kan nu lave en tabel over et tilladt bælte for måner omkring enhver af planeterne. Bæltets ydre grænser er
bestemt ved f-forholdet 34, den indre grænse er bestemt som Roche-grænsen.
Solen
Merkur
Venus
Jorden
Mars
Jupiter
Saturn
Uranus
Neptun
Diameter/km
Solafstand/km Indre grænse/km Ydre grænse/km
1.391.600
4.879
12.104
12.756
6.794
142.984
120.536
51.118
48.528
-
5,789·107
1,082·108
1,496·108
2,280·108
7,784·108
1,429·109
2,875·109
4,504·109
-
6.099
15.130
15.945
8.493
178.730
150.670
63.898
60.660
4.035
29.016
44.456
22.162
4.123.543
4.143.698
3.257.329
5.542.801
Selv om tallene taler for sig selv, kan der dog knyttes nogle få kommentarer til
Jupiter: Amalthea ligger bare 6.000 km fra Roche-grænsen!
Mars: Det tilladte område er for Mars’ vedkommende meget smalt. Der kan vel ikke samles materiale nok i
dette rum til måner! Mars måner er da også kun klippestykker!
Venus: Det tilladte område er meget, meget smalt, og Venus har jo heller ikke har nogen måne.
Merkur: Merkur kan slet ikke have nogen måne, idet den ydre grænse er mindre end den indre!
Jorden og dens måne
Endelig er vi kommet til vor egen klodes måne. Og her kommer overraskelsen!
Jorden
Måne
dm/km
(d/dm)2
f
Månen
384.400
151.455
0,45
Rochegrænsen for Jorden ligger 15.945 km fra Jordens Centrum, medens Fp/Fs = 34 opnås i afstanden 44.456
km fra Jordens centrum – og vores måne ligger i afstanden 384.000 km!
Det faktiske styrkeforhold er 0,45, så Månens bevægelse er bestemt af Solen og i mindre høj grad af Jorden.
Det rejser nogle spørgsmål:
Månen og andre uægte måner
9
• Hvorfor befinder Månen sig i denne store afstand?
• Har Månen engang været inden for den tilladte grænse? Har tidekræfter drevet den derud, hvor den nu er?
• Hvorfor cirkulerer Månen ikke i ækvatorplanet, men i ekliptikaplanet?
Af ovenstående kunne man forledes til at tro følgende
• Månen kan ikke være en ægte måne! Faktisk må det være rigtigst at sige, at Månen bevæger sig i en bane
om Solen, idet Solens gravitationskraft dominerer.
• Månen er for stor til, at Jorden kan have indfanget den, og derfor må det være en selvstændig planet.
Dermed er Jorden-Månen en dobbeltplanet!
• Jorden/Månen kan være et eksempel på, at der kan være to tætliggende kondensationskerner! – en slags
mellemting mellem små planeter dannet uden måner og store planeter dannet med mange måner.
Og hermed slutter denne historie – næsten!
Potentialbrønde
En asteroide, som passerer en planet, kan naturligvis havne endog særdeles stabilt i en potentialbrønd omkring planeten – blot forudsættes, at asteroiden på en eller anden måde kan slippe af med tilstrækkelig energi.
Betragtningerne i denne fortælling udsiger intet om, at endog solidt forankrede måner ikke kan være indfangne. Det skulle lige nævnes!
Månen og andre uægte måner
10
Kilder og litteratur
The New Solar System, J. Kelly Beatty, Carlyn Collins Petersen og Andrew Chaikin, Sky Publishing Corporation
& Cambridge University Press. 1999.ISBN 0-521-64587-5.
Opslag i Den Store Danske Encyklopædi.
Alle beregninger er udført i et regnearksprogram.
-oOoEgebjerg, december 2000. Lettere revideret juni 2014.
K.E. Sørensen