1. No category

Elektrodynamik
Christian Andersen
15. juni 2010
Indhold
Indhold
1
1 Indledning
3
2 Elektrostatik
2.1 Det elektriske felt . . . . . . . . .
2.2 Divergens og Curl af E-felter . .
2.3 Elektrisk potential . . . . . . . .
2.4 Randbetingelser . . . . . . . . . .
2.5 Arbejde og Energi i elektrostatik
2.6 Ledere . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Kapacitor . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
3
4
4
5
5
6
3 Specielle teknikker
3.1 Laplaces Ligning . . . .
3.2 Billede-metoden . . . . .
3.3 Separation af de variable
3.4 Multipol ekspansion . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
6
6
7
7
4 Elektriske felter i stof
4.1 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Det elektriske felt af et polariseret objekt
4.3 Den elektriske forskydning . . . . . . . . .
4.4 Lineær Dielektricitet . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8
8
9
9
9
5 Magnetostatik
5.1 Lorentz Kraften . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Biot-Savarts lov . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Divergens og Curl af B . . . . . . . . . .
5.4 Magnetisk vektorpotentiale . . . . . . .
5.5 Randbetingelser . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Multipol ekspansion af Vektorpotentiale
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
10
10
11
11
12
12
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
INDHOLD
2
6 Magnetiske Felter i Stof
6.1 Magnetisering . . . . . . . . . . . . .
6.2 Det magnetiske felt i et magnetiseret
6.3 Hjælpefeltet H . . . . . . . . . . . .
6.4 Lineære magnetiske materialer . . .
.
.
.
.
12
12
13
13
14
7 Elektrodynamik
7.1 Den elektromotoriske kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Elektromagnetisk Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Maxwells ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
14
15
15
8 Bevarelseslove
8.1 Ladning og energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
16
9 Elektromagnetiske bølger bølger
9.1 Bølger i en dimension . . . . . . .
9.2 Polarisation . . . . . . . . . . . . .
9.3 Elektromagnetiske bølger i vakuum
9.4 Elektromagnetiske bølger i stof . .
9.5 Refleksion og transmission af lys .
9.6 Elektromagnetiske bølger i ledere .
9.7 Guidede bølger . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
17
17
17
18
18
19
20
21
10 Potentialer og felter
10.1 Gauge Transformationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Kontinuerte fordelinger og retarderede potentialer . . . . . . . . . .
10.3 Punktladninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
21
22
23
11 Str˚
aling
11.1 Dipolstr˚
aling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
objekt
. . . .
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1. Indledning
1
3
Indledning
Lang og kedelig indledning du alligevel ikke læser.
2
2.1
Elektrostatik
Det elektriske felt
I elektrostatik er det fundamentale postulat Coulomb’s lov, der giver kræften p˚
a
ladningen Q fra ladningen q med afstanden mellem sig p˚
ar
F=
1 qQ
ˆr
4π0 r2
(2.1)
Herudfra kan man finde det elektriske felt da
F = QE
(2.2)
s˚
a hvis man har en mænge af n punktladninger bliver det samlede elektriske felt
E(r) =
n
1 X qi
ˆri
4π0
r2i
(2.3)
i=1
Har man i stedet kontinuerte ladninger bliver E-feltet udtryk ved et integral i stedet.
For en ladningsfordeling λ langs en linje
Z
1
λ(r0 ) 0
ˆrdl
E(r) =
(2.4)
4π0 P r2
og for en overfladeladning
E(r) =
1
4π0
σ(r0 )
Z
S
r2
ˆrda0
(2.5)
og VIGTIGST for en volumenladning ρ har vi
Z
1
ρ(r0 )
ˆrdτ 0
E(r) =
4π0 V r2
2.2
(2.6)
Divergens og Curl af E-felter
Her har vi gauss lov der siger at den elektriske flux ΦE =
indesluttede ladning, dvs den ladning der ligger inde i S
Z
Qencl
E · da =
0
S
R
S
E · da afhænger af den
(2.7)
Dette kan ofte bruges til at finde E-feltet, specielt hvis der er smarte symmetrier
der kan bruges. Dette medfører ogs˚
a Gauss lov i differentialform
∇·E=
1
ρ
0
(2.8)
2.3. Elektrisk potential
4
Kigger man p˚
a et lukket linje-integral i E-feltet ser man at
I
E · dl = 0
(2.9)
hvilket medfører at
∇×E=0
2.3
(2.10)
Elektrisk potential
N˚
ar det elektriske felt er rotationsfrit kan man skrive det som gradienten af en
potentialefunktion
E = −∇V
(2.11)
og man kan udregne det elektriske potentiale
Z r
V (r) = −
E · dl
(2.12)
O
hvor O er et valgt nulpunkt for potentialet. Vælges typisk til at være uendeligt.
Sammensætter man nu curl og divergensligningen for E-feltet f˚
ar man Poissons
ligning
∇2 V = −
ρ
0
(2.13)
og n˚
ar ρ = 0 har man Laplaces ligning
∇2 V = 0
(2.14)
hvilket giver gode m˚
ader at regne potentialet p˚
a. Mere om dette senere. Kigger man
nu blot p˚
a en enkelt ladning ser man at
V (r) =
1 q
4π0 r
(2.15)
og hvis man har en volumenladning
1
V (r) =
4π0
2.4
ρ(r0 )
Z
V
r
dτ 0
(2.16)
Randbetingelser
Har man en overfladeladning med ladningen σ vil E-feltet p˚
avirkes af denne. Forskellen p˚
a feltet over og under er givet ved
1
σ
0
(2.17)
Eabove − Ebelow = 0
(2.18)
⊥
⊥
Eabove
− Ebelow
=
k
k
2.5. Arbejde og Energi i elektrostatik
5
Potentialet ændres dog ikke ved en overfladeladning dvs
Vabove = Vbelow
(2.19)
∂Vabove ∂Vbelow
1
−
=− σ
∂n
∂n
0
(2.20)
men da E = −∇V f˚
ar vi
hvor
2.5
∂V
∂n
ˆ
= ∇V · n
Arbejde og Energi i elektrostatik
For en samling punktpartikler er ind i en konfiguration skal der bruges følgende
energi (hvis V = 0 i uendelig)
n
1X
W =
qi V (ri )
2
(2.21)
i=1
Har man en kontinuert distribution i stedet har man at energien af hele systemet er
Z
1
ρV dτ
(2.22)
W =
2 V
R
R
og for en linje- og overfladeladning har man 21 λV dl og 12 σV da. Man kan ogs˚
a
omskrive dette til
Z
0
W =
E 2 dτ
(2.23)
2 all space
hvor E 2 = E · E. Bemærk desuden at man ved den sidste formel regner HELE
energien i et system, men man i ligning (2.21), kun regner energien der bruges p˚
a
at samle systemet.
Har man nu to systemer med energi W1 og W2 og med elektrisk felt E1 og E2
har man at den samlede energi er
Z
Wtot = W1 + W2 + 0
E1 · E2 dτ
(2.24)
all space
2.6
Ledere
Inde i en elektrisk leder er E = 0 og ρ = 0. Det betyder at enhver ladning ser p˚
a
overfladen. Desuden er en leder et equipotential. Dvs at V er konstant ind i lederen.
Kigger man lige uden for en leder er E-feltet vinkelret p˚
a overfladen.
Har man en overfladeladning p˚
a en tynd leder kan man snakke om elektrisk kraft
herp˚
a fra et E-felt der bliver lagt over. Dvs at det elektrisk tryk p˚
a overfladen er
f=
1 2
ˆ
σ n
20
eller udtryk ved feltet lige uden for overfladen
0
P = E2
2
(2.25)
(2.26)
2.7. Kapacitor
2.7
6
Kapacitor
Snakker man ledere m˚
a kan ogs˚
a snakke om kapacitorer. Har man to leder med
ladningerne +Q og −Q med potetialeforskellen V vil kapaciteten af systemet være
givet ved
C=
Q
V
(2.27)
Man kan s˚
a oplade en kapacitor med ladningen Q = CV og energien dette kræver
er
1
W = CV 2
2
3
3.1
(2.28)
Specielle teknikker
Laplaces Ligning
Det gælder her om at løse Laplaces ligning for at finde potentialet V , da ρ = 0
næsten overalt. S˚
a vi har
∇2 V = 0
(3.1)
V (x) = mx + b
(3.2)
I ´en dimension giver dette os
hvor konstanterne m og b bestemmes ud fra randbetingelserne. Har vi to dimensioner
ikke lige til men vi har at i et punkt (x, y) er potentialet middelværdien af det
omkringliggende potentiale
V (x, y) =
1
2πR
I
V dl
(3.3)
circle
og i tre dimensioner gælder det samme
V (x, y, z) =
3.2
1
4πR2
I
V da
(3.4)
sphere
Billede-metoden
Da V er entydigt, betyder det at hvis man kan finde et V der opfylder grænsebetingelserne og som opfylder laplace-lov, s˚
a er det et gyldigt potentiale. Det kan
bruges hvis man har ladning overfor en ledende overflade, hvor der s˚
a vil induceret overfladeladning. Ved at spejle ladningen i overfladen og kan problemet løses
nemmere.
3.3. Separation af de variable
3.3
7
Separation af de variable
I cartetiske koordinater kan man kigge efter løsning p˚
a formen
V (x, y) = X(x)Y (y)
(3.5)
hvilket ved løsning af Laplace-ligning medfører at
X(x) = Aekx + Be−kx
Y (y) = C sin ky + D cos ky
(3.6)
s˚
a man f˚
ar
V (x, y) = (Aekx + Be−kx )(C sin ky + D cos ky)
(3.7)
Konstanterne A, B, C og D bestemmes nu ud fra grænsebetingelserne. Det skal sige
at man her ofte f˚
ar noget med k = nπ
a , pga cos og sin. Den generelle vil være en
linear kombination af disse, hvis man ikke vha. grænsebetingelserne kan udelukke
nogle af disse.
Man kan lave det samme trick for sfæriske koordinater, hvis der er φ-symmetri,
hvor man finder den generelle løsning
V (r, θ) =
∞ X
Al r l +
l=0
Bl Pl (cos θ)
rl+1
(3.8)
Hvor Pl er Legendre polynomierne og konstanterne Al og Bl bestemmes ud fra
grænsebetingelserne. Man kan se at ofte forsvinder Al eller Bl , da potentiallet ellers
ville blive uendeligt i nogle af grænserne, hvilket ofte ikke ønskes.
Husk i begge tilfælde at b˚
ade sin, cos og legendre polynomier er fuldstændige
ortonormalsæt, hvilket betyder at man kan bruge Fouriers Trick til at finde koefficienter.
3.4
Multipol ekspansion
Kigger man p˚
a en ladningsfordeling V kan man opskrives potentialet som
Z
∞
1 X 1
V (r) =
(r0 )n Pn (cos θ0 )ρ(r0 ) dτ 0
4π0
rn+1 V
(3.9)
n=0
Dette kaldes multipolekspansionen for V , hvor n = 0-leddet er monopolleddet, n = 2
er dipol, n = 3 er quadropol osv.
N˚
ar man er langt væk kan man negligere led af højere orden. Ofte er det laveste
ikke-nul led en meget god approksimation. Man ser at monopoledet bliver
Vmon (r) =
1 Q
4π0 r
(3.10)
4. Elektriske felter i stof
8
hvilket blot er det samme som en punktladning. Det sker dog at den samlede ladning
er 0. Her vil det være dipol-leddet der dominere
Vdip (r) =
1 1
4π0 r2
Z
r0 cos θ0 ρ(r0 ) dτ 0
(3.11)
V
Dipolmomentet for en ladningsfordeling er givet ved
Z
p=
r0 ρ(r0 ) dτ 0
(3.12)
V
s˚
a man kan skrive potentialet som
Vdip (r) =
1 p · ˆr
4π0 r2
Dipolmomentet for en fordeling af ladninger kan skrives som p =
den fysisk dipol har man
(3.13)
P∞
0
i=1 qi ri
p = qd
og for
(3.14)
hvor d er afstandsvektoren mellem de to ladninger g˚
aende fra den negative til den
positive. Man kan ogs˚
a regne E-feltet af en dipol
Edip (r, θ) =
4
4.1
p
ˆ
(2 cos θ ˆr + sin θ θ)
4π0 r3
(3.15)
Elektriske felter i stof
Polarisation
Lægger man et elektrisk felt over et atom vil den have et dipolmoment
p = αE
(4.1)
Det kan opfattes som en masse sm˚
a dipoler. Har man en elektrisk dipol p = qd vil
denne i et elektrisk felt blive
N=p×E
(4.2)
F = (p · ∇)E
(4.3)
og kræften p˚
a dipolerne vil blive
Man definerer nu polarisationen af et materiale som
P = elektrisk dipolmoment per volumen enhed
(4.4)
4.2. Det elektriske felt af et polariseret objekt
4.2
9
Det elektriske felt af et polariseret objekt
Man kan finde potentialet for et objekt med polarisationen P
I
Z
1
σb 0
ρb 0
1
V =
da +
dτ
4π0 S r
4π0 V r
(4.5)
med den bundne overfladeladningstæthed
ˆ
σb = P · n
(4.6)
ρb = −∇ · P
(4.7)
og den bundne ladningstæthed
4.3
Den elektriske forskydning
Inde i et dielektrikum er den totale ladningtæthed
ρ = ρb + ρf
(4.8)
Vi kan nu definere den elektriske forskydning
D = 0 E + P
(4.9)
∇ · D = ρf
(4.10)
og f˚
ar gauss lov for stof
eller p˚
a integralform
I
D · da = Qf,encl
Vi kan nu finde randbetingelserne i tilfælde af en overfladeladning. S˚
a er
⊥
⊥
Dabove
− Dbelow
= σf
k
k
k
(4.11)
k
Dabove − Dbelow = Pabove − Pbelow
(4.12)
mens randbetingelserne for E-feltet er præcist det samme som tidligere nævnt.
4.4
Lineær Dielektricitet
Et materiale kan være lineær dielektrisk, hvis man ligger et E-felt over f˚
ar man
polarisationen
P = 0 χe E
(4.13)
Hvilket betyder at
D = E
(4.14)
med = 0 (1 + χe ). Man bruger ogs˚
a nogle gange den relative permabilitet r = 0 .
Vi kan ogs˚
a finde energien i et dielektrisk system
Z
1
W =
D · E dτ
(4.15)
2 all space
5. Magnetostatik
5
5.1
10
Magnetostatik
Lorentz Kraften
Hvis vi har en ladning Q der bevæger sig med hastigheden v i et magnetisk felt B
vil det p˚
avirkes af Lorentz Kraften
Fmag = Q(v × B)
(5.1)
Hvis man ogs˚
a har et E-felt er kraften
F = Q(E + v × B)
(5.2)
En vigtig ting at bemærke er at den magnetiske kraft udfører intet arbejde.
Har man nu en strøm, dvs. bevægende ladninger, langs en linje P, I = λv bliver
den magnetiske kraft
Z
I(dI × B)
Fmag =
(5.3)
P
Man snakker ogs˚
a ofte om strømtætheder J =
dI
da⊥ ,
og s˚
a bliver
Z
J × B dτ
Fmag =
(5.4)
P
En ting man ser er at ligger man en flade S vil strømmen igennem denne være
Z
I=
J · da
(5.5)
∂ρ
∂t
(5.6)
S
og man ser at
∇·J=−
5.2
Biot-Savarts lov
N˚
ar man har en konstant strøm er ∇ · J = 0 og s˚
a fælder Biot-Savarts lov
µ0
B(r) =
4π
I × ˆr
Z
r2
P
µ0
dl =
I
4π
0
Z
dl0 × ˆr
P
(5.7)
r2
og hvis man har en volumen- eller overfladestrøm har man
µ0
B(r) =
4π
Z
V
J(r)0 × ˆr
r2
dτ
0
µ0
B(r) =
4π
Z
S
K(r)0 × ˆr
r2
da0
(5.8)
5.3. Divergens og Curl af B
5.3
11
Divergens og Curl af B
Hvis man har en lang lige leder med strøm I kan man finde at B-feltet for denne er
B=
µ0 I ˆ
φ
2sπ
(5.9)
Man kan s˚
a betragte en strømtæthed J, gennem en flade S med kanten P, som en
bunke lige lederer og finde
I
B · dl = µ0 Iencl
P
hvilket gælder helt generelt og vha. stokes sætning
∇ × B = µ0 J
(5.10)
hvilket kendes som Amperes lov. Man kan ogs˚
a finde at
∇·B=0
(5.11)
Hvilket i praksis medfører at der ikke findes nogle magnetiske monopoler.
5.4
Magnetisk vektorpotentiale
N˚
ar divergensen af B feltet er nul, kan man skrive B feltet som
B=∇×A
(5.12)
hvor A kaldes for vektorpotentialet. Vi kan nu vælge divergensen af A som vi har
lyst og det er en fordel at vælge
∇·A=0
(5.13)
og s˚
a f˚
ar man
∇2 A = −µ0 J
hvilket giver
µ0
A(r) =
4π
Z
V
J(r0 )
r
dτ 0
(5.14)
Dette kan ogs˚
a findes for en line og overfladestrøm
µ0
A=
4π
Z
P
I
µ0
dl =
I
r
4π
0
Z
dl0
P r
µ0
A=
4π
Z
K
S r
da0
(5.15)
5.5. Randbetingelser
5.5
12
Randbetingelser
Hvis man har et tyndt stykke film, hvor der løber en overfladestrøm K kan man
kigger p˚
a B over og under filmem. Det vinkelrette B-felt ændrer sig ikke
⊥
⊥
Babove
= Bbelow
(5.16)
men det parallelle felt ændrer sig
k
k
Babove − Bbelow = µ0 K
(5.17)
ˆ)
Babove − Bbelow = µ0 (K × n
(5.18)
hvilket kan samles til
Vektorpotentialet p˚
avirker ikke af overfladestrømmen
Aabove = Abelow
5.6
(5.19)
Multipol ekspansion af Vektorpotentiale
man kan opskrive vektorpotentialet for et strømloop som
I
∞
µ0 X 1
A(r) =
I
(r0 )n Pn (cos θ0 ) dl
(5.20)
4π
rn+1
n=0
H
Man ser dog at første led g˚
ar væk da dl’ = 0, s˚
a der er ikke magnetiske monopoler.
S˚
a det dominerende led bliver dipol-leddet
I
I
µ0 I
µ0 I
0
0 0
Adip (r) =
r cos θ dl =
(ˆr · r0 )dl0
(5.21)
4πr2
4πr2
eller skrevet med det magnetiske dipolmoment
Z
m = I da = Ia
(5.22)
f˚
ar man
µ0 m × ˆr
(5.23)
4π r2
Betragter man nu en ren magnetisk dipol der peger i z-retningen f˚
ar man at
Adip (r) =
µ0 m sin θ ˆ
φ
4π r2
og man f˚
ar s˚
a det magnetiske felt til at blive
µ0 m
ˆ
Bdip =
(2 cos θ ˆr + sin θ θ
4πr3
Adip (r) =
6
6.1
(5.24)
(5.25)
Magnetiske Felter i Stof
Magnetisering
Et stof kan magnetiseres paramagnetisk, diamagnetisk og ferromagnetisk. Para retter sig ind i samme retning som et B-felt og dia retter sig modsat. Ferro beholder
6.2. Det magnetiske felt i et magnetiseret objekt
13
magnetisering hele tiden. For en kreds med dipolmoment m vil den p˚
avirkes af et
kraftmoment
N=m×B
(6.1)
og har man et infinitesimal-loop vil kraften den bliver p˚
avirker med
F = ∇(m · B)
(6.2)
Hvilket f.eks. kunne være et atom, som har dipolmomentet
1
z
m = − evRˆ
2
(6.3)
Som n˚
ar der bliver lagt et magnetfelt over vil ændre sig
∆m = −
e2 R2
B
4me
(6.4)
Man kan nu betragete et stof af en hel masse sm˚
a dipoler. Man definerer derfor
magnetiseringen som
M = magnetisk dipolmoment per volumen enhed
6.2
(6.5)
Det magnetiske felt i et magnetiseret objekt
I et objekt med magnetiseringen M vil vektorpotentialet være
Z
µ0
M(r0 ) × ˆr 0
B(r) =
dτ
4π V
r2
(6.6)
eller skrevet op som
µ0
A(r) =
4π
Jb (r0 )
Z
V
r
µ0
dτ +
4π
0
I
S
K(r0 )
r
da0
(6.7)
med den bundne volumenstrøm
Jb = ∇ × M
(6.8)
ˆ
Kb = M × n
(6.9)
og den bundne overfladestrøm
6.3
Hjælpefeltet H
Man kan definerer hjælpefeltet H som
H=
1
B−M
µ0
(6.10)
og s˚
a bliver amperes lov
∇ × H = Jf
(6.11)
6.4. Lineære magnetiske materialer
14
hvor Jf er den frie strømtæthed. Denne kan ogs˚
a skrives p˚
a integralform
I
H · dl = If,encl
(6.12)
P
husk ogs˚
a at
∇ · H = −∇ · M
(6.13)
ˆ
Habove − Hbelow = Kf × n
(6.14)
Randbetingelserne for H siger
6.4
Lineære magnetiske materialer
Har man et lineært magnetiske materiale gælder
M = χm H
(6.15)
B = µ0 (H + M) = µ0 (1 + χm )H = µH
(6.16)
og
hvilket medfører at inde i et homogent lineært materiale er
Jb = ∇ × M = ∇ × (χm H) = χm Jf
7
7.1
(6.17)
Elektrodynamik
Den elektromotoriske kraft
Vi har Ohm’s lov
J = σE
(7.1)
V = IR
(7.2)
hvilket medfører at
hvor R ∝ σ. For konstante strømme og uniform konduktivitet gælder
∇·E=
1
∇·J=0
σ
(7.3)
Der gælder ogs˚
a Joules varme lov, som er den effekt der g˚
ar tabt n˚
ar strømmen I
løber gennem modstanden R
P = V I = I 2R
(7.4)
Har vi nu et batteri sluttet til en strømkreds P, vil den elektriske motoriske kraft,
være integralet af kraften, fs , som batteriet yder hele vejen rundt
I
E=
fs · dl
(7.5)
P
7.2. Elektromagnetisk Induktion
15
Har man nu f.eks. et perfekt batteri (spændingsforskel V ) vil den elektromotoriske
kraft fra batteriet ene ende til den anden, dvs fra a til b, er
Z b
Z b
E · dl
(7.6)
fs · dl = −
V =E =
a
a
Man kan s˚
a finde at den elektrimotoriske kraft for en strømkreds i et B-felt blive
E =−
7.2
dΦB
dt
(7.7)
Elektromagnetisk Induktion
Faradays lov siger at
∂B
(7.8)
∂t
Induktansen mellem to strømloop (1 og 2) betegnes M21 og er givet ved Neumann’s
formel
I I
dl1 · dl2
µ0
(7.9)
M=
4π 2 1
r
∇×E=−
ændrer man s˚
a strømmen i loop 1 vil den elektrimotoriske kraft i 2 være
E = −M
dI1
dt
(7.10)
Ændrer man strømmen i et loop vil der ogs˚
a blive induceret en emf i loopet selv
bestemt af selvinduktansen L, s˚
aledes at
E = −L
dI
dt
(7.11)
Man kan nu finde den energi der tager at opbygge en strøm I i en strømkreds
1
W = LI 2
2
(7.12)
Løber strømmen I i volumen V med strømtætheden J vil der være et B-felt med
vektorpotentialet A og man kan finde energi fra før ud fra dette
Z
Z
1
1
W =
(A · J)dτ =
B 2 dτ
(7.13)
2 V
2µ0 all space
7.3
Maxwells ligninger
1
ρ
0
∇·B=0
∂B
∇×E=−
∂t
∇·E=
∇ × B = µ0 J + µ0 0
(7.14)
(7.15)
(7.16)
∂E
∂t
(7.17)
8. Bevarelseslove
16
Dette er maxwell ligninger, hvor der i amperes lov (7.17) er tilføjet maxwells egen
rettelse s˚
a de passer. Denne tilføjelse kaldes flytningsstrømmen
Jd = ∂E
∂t
(7.18)
P˚
a integralform bliver amperes lov s˚
a
I
Z ∂E B · dl = µ0 Iencl + µ0 0
· da
∂t
(7.19)
Har man stof gælder Maxwells ligning i stof
∇ · D = ρf
(7.20)
∇·B=0
(7.21)
∇×E=−
∂B
∂t
∇ × H = Jf +
(7.22)
∂D
∂t
(7.23)
og p˚
a integralform
I
D · da = Qf,encl
(7.24)
B · da = 0
(7.25)
IS
S
I
E · dl = −
P
d
ΦB
dt
I
H · dl = If,encl +
P
8
8.1
(7.26)
d
ΦD
dt
(7.27)
Bevarelseslove
Ladning og energi
Da ladning skal bevares gælder for et lukket omr˚
ade med overflade S at
I
dQ
= − J · da
dt
S
(8.1)
og helt generelt gælder det at
dρ
= −∇ · J
dt
Vi ved at energien i et elektromagnetisk system er
Z
1
1
Uem =
0 E 2 + B 2 dτ
2 All Space
µ0
(8.2)
(8.3)
Poyntings sætning siger nu: ”arbejdet fra de elektromagnetiske kræfter er lig med
faldet af energi i systemet minus energiflowet fra overfalden”. Dvs
I
dW
dUem
=−
−
S · da
(8.4)
dt
dt
S
9. Elektromagnetiske bølger bølger
17
hvor S er Poyntingvektoren givet ved
S=
Lad nu
uem =
1
(E × B)
µ0
1
1
0 E 2 + B 2
2
µ0
(8.5)
(8.6)
betegne den elektromagnetiske energitæthed og umech den mekaniske energitætheden
s˚
a gælder relationen
∂
(umech + uem ) = −∇ · S
(8.7)
∂t
sammenligninger man denne med (8.2) ser man at formen er præcist det samme og
ligesom (8.2) udtrykker ladningsbevarelse s˚
a udtrykker denne energibevarelse.
9
9.1
Elektromagnetiske bølger bølger
Bølger i en dimension
Bølger i en dimension kan beskrives ved bølgeligningen
∂2f
1 ∂2f
=
∂z 2
v 2 ∂t2
(9.1)
og den beskriver alle funktioner p˚
a formen
f (z, t) = g(z − vt) + h(z + vt)
(9.2)
hvor g er en bølger der bevæger sig i +z-retningen og h bevæger sig i −z-retningen.
Det kunne f.eks. være en sinus kurve p˚
a formen
f (z, t) = A cos(kz ± ωt + δ)
(9.3)
Dette kan med fordel omskrives til en kompleks funktion
˜ i(kz−ωt)
f˜(z, t) = Ae
(9.4)
hvor A˜ = Aeiδ . Den ”rigtige”bølgefunktion bliver s˚
a
f (z, t) = Re(f˜(z, t))
9.2
(9.5)
Polarisation
Kan man skrive en bølge p˚
a formen
˜f(z, t) = Ae
˜ i(kz−ωt) n
ˆ
ˆ ·z
ˆ = 0 siges bølgen at være lineært polariseret i n
ˆ -retningen.
med n
(9.6)
9.3. Elektromagnetiske bølger i vakuum
9.3
18
Elektromagnetiske bølger i vakuum
Ud fra Maxwells ligninger kan man udlede
∇2 E = µ0 0
∂2E
∂t2
∇2 B = µ0 0
∂2B
∂t2
(9.7)
hvilket svarer til en bølgeligning med hastighed
v=√
1
0 µ0
(9.8)
som er lig med c, s˚
a man ser at elektromagnetiske bølger er lys. Bevæger de elektromagnetiske bølger sig i ´en retning med fast vinkelfrekvens og ingen xy-afhængighed
er de monokromatiske planbølger og kan skrives
˜ t) = E
˜ 0 ei(kz−ωt)
E(z,
˜
˜ 0 ei(kz−ωt)
B(z,
t) = B
(9.9)
Det gælder ogs˚
a, ud fra Maxwells ligninger, at
˜ 0 = 1 (ˆ
˜ 0)
B
z×E
c
(9.10)
med andre ord s˚
a er B vinkelret p˚
a E og begge ligger i xy-planen. I en elektromagnetiske bølge gælder der at energitætheden er
u = 0 E 2 = 0 E02 cos2 (kz − ωt + δ)
(9.11)
og energi flux densiteten er givet ved poyntingventoren
S=
1
ˆ
cu z
µ0
(9.12)
impulsen af bølgen bliver
1
1
ˆ
S = uz
2
c
c
og midler man s˚
a over tid bliver middelværdierne
P=
1
hui = 0 E02
2
1
ˆ
hSi = c0 E02 z
2
(9.13)
hPi =
1
ˆ
0 E02 z
2c
(9.14)
Intensiteten af lys defineres nu til middelværdien af poyntingvektorens værdi, dvs
gennemsnitlig energi per areal
1
I = hSi = c0 E02
2
9.4
(9.15)
Elektromagnetiske bølger i stof
Laver man udledning fra Maxwellslininger i stof f˚
ar man at ogs˚
a her vil elektriske
og magnetiske felter udbrede sig som bølger men nu med hastighed
1
c
v=√ =
µ
n
(9.16)
9.5. Refleksion og transmission af lys
19
med
r
n=
µ
0 µ0
(9.17)
√
hvilket kaldes brydningsindex. I de fleste materialer er µ ≈ µ0 og s˚
a bliver n ≈ r .
Intensiteten for bølgen bliver
1
I = vE02
(9.18)
2
og ved overgang fra et stof til et andet gælder selvfølgelig
k
1 E1⊥ = 2 E2⊥
B1⊥ = B2⊥
9.5
k
E1 = E2
1 k
1 k
B =
B
µ1 1 µ 2 2
(9.19)
(9.20)
Refleksion og transmission af lys
Der gælder 3 love for refleksion og transmission.
Første lov: Den indg˚
aende, den reflekterede og den transmitterede
bølgevektor dannet et plan, kaldet indfaldsplanen, hvori normalvektoren til overfladen ogs˚
a ligger
Anden lov: (ogs˚
a kaldet refleksionsloven) Den indg˚
aende vinkel er lig
med refleksionsvinklen
θI = θR
(9.21)
Tredje lov: (ogs˚
a kaldet Snells lov)
sin θT
n1
=
sin θI
n2
(9.22)
hvor n1 er brydningsindexet for det materiale lyset kommer fra og n2 er
det transmitteres ind i.
Dette er alt man skal bruge til at finde retningen af det reflekterede lys og det
transmitterede lys. Størrelserne finder man ud fra Fresnels ligninger. Har man lys
polariseret i indfaldsplanen gælder
2 ˜0 = α − β E
˜0
˜0 =
˜0
E
E
E
(9.23)
R
I
T
I
α+β
α+β
Transmissionkoefficienterne er givet ved
IR α − β 2
=
II
α+β
IT
2 2
T =
= αβ
II
α+β
Vi kan ogs˚
a have lyset polariseret vinkelret p˚
a indfaldsplanen. S˚
a gælder
2 ˜0 = 1 − αβ E
˜0
˜0 =
˜0
E
E
E
R
I
T
I
1 + αβ
1 + αβ
2 2
IR 1 − αβ 2
IT
R=
=
T =
= αβ
II
1 + αβ
II
1 + αβ
R=
(9.24)
(9.25)
(9.26)
(9.27)
9.6. Elektromagnetiske bølger i ledere
20
Vi kan ogs˚
a kigge p˚
a specialtilfældet hvor θI = θR = θT = 0 og µ1 = µ2 = µ0 . S˚
a
gælder at
2n 1
˜0
˜0 =
˜0
˜ 0 = n1 − n2 E
E
E
(9.28)
E
I
T
I
R
n1 + n2
n2 + n1
IR n1 − n2 2
IT
4n1 n2
R=
=
T =
=
(9.29)
II
n1 + n2
II
(n1 + n2 )2
9.6
Elektromagnetiske bølger i ledere
I en elektrisk leder gælder Ohms lov Jf = σE hvilket vil medføre at n˚
ar man lyser
p˚
a lederen vil ladningerne flytte sig s˚
a ρf (t) → 0. Man kan s˚
a antage at ρf = 0 og
s˚
a bølgeligningerne
∇2 E = µ
∂2E
∂E
+ µσ
2
∂t
∂t
∇2 B = µ
∂B
∂2B
+ µσ
2
∂t
∂t
(9.30)
der har løsningerne
˜ t) = E
˜ 0 e−κz ei(kz−ωt)
E(z,
˜
˜ 0 e−κz ei(kz−ωt)
B(z,
t) = B
(9.31)
med
r
k=ω
µ
2
r
1/2
σ 2
1+
+1
ω
r
κ=ω
µ
2
r
1/2
σ 2
1+
−1
ω
(9.32)
Disse to samles undertiden til k˜ = k + iκ. Man kan nu definerer skin dybden af et
materiale til at være
1
(9.33)
d=
κ
og man kan finde brydningsindex ved hjælp af k
n=
ck
ω
(9.34)
Maxwells ligninger medfører ogs˚
a at det elektriske felt og det magnetiske felt bliver
faseforskudt s˚
a
κ
δB − δE = φ = tan−1
(9.35)
k
mens amplituderne mellem det elektriske og det magnetiske er givet ved
s r
σ 2
B0
= µ 1 +
(9.36)
E0
ω
Sender man lys ind p˚
a en ledende overflade vil der igen være noget der blev reflekteret
og n˚
ar der blev transmitteret. Det vil opfylde
˜
˜0 = 1 − β E
˜0
E
R
I
1 + β˜
hvor
˜0 =
E
T
µ1 v1 ˜
β˜ =
k2
µ2 ω
2 ˜
E0I
1 + β˜
(9.37)
(9.38)
9.7. Guidede bølger
21
˜0 = −E
˜0 og E˜0 = 0,
hvilket vil medføre at i en perfekt leder bliver k2 = ∞ og s˚
aE
R
I
T
◦
dvs at lyset bliver 100% reflekteret med en faseforskydning p˚
a 180 . Tilslut skal vi
lige have 2 koncepter p˚
a plads. En bølges hastighed er givet ved
ω
(9.39)
v=
k
Men hvis man sender en bølgepakke ind, s˚
a vil den ikke nødvendigvis bevæge sig
med samme hastighed. Her har vi gruppe hastigheden givet ved
vh =
9.7
dω
dk
(9.40)
Guidede bølger
Hvis man har en hul perfekt leder kan denne betragtes som en bølgeguide. Vi er
interesseret i bølger der bevæger sig inde i lederen i lederens retning (z-retningen),
dvs bølger p˚
a formen
˜
˜ 0 (x, y)ei(kz−ωt)
E(x,
y, z, t) = E
˜
˜ 0 (x, y)ei(kz−ωt)
B(x,
y, z, t) = B
(9.41)
˜ 0 = Ex (x, y)ˆ
˜ Det nye er her at
med E
x + Ey (x, y)ˆ
y + Ez (x, y)ˆ
z og lige ledes for B.
vi ikke nødvendigvis har transversale bølger (dvs z-komponenterne er lig med 0).
Generelt skal bølger i en bølgeguide opfylde
∂E
i
∂Bz z
Ex =
k
+
ω
(9.42a)
(ω/c)2 − k 2
∂x
∂y
∂E
∂Bz i
z
k
−
ω
(9.42b)
Ey =
(ω/c)2 − k 2
∂y
∂x
∂B
i
ω ∂Ez z
Bx =
−
(9.42c)
k
(ω/c)2 − k 2
∂x
c2 ∂y
∂B
ω ∂Ez i
z
k
+
(9.42d)
By =
(ω/c)2 − k 2
∂y
c2 ∂x
∂2
∂2
2
2
+
+
(ω/c)
−
k
Ez = 0
(9.42e)
∂x2 ∂y 2
∂2
∂2
2
2
Bz = 0
(9.42f)
+
+
(ω/c)
−
k
∂x2 ∂y 2
Ligningerne bliver væsentlig pænere hvis vi har transversale bølger. Hvis Bz = 0 har
vi TM (transversale magnetiske) bølger, er Ez = 0 har vi TE (transversale elektriske)
bølger og n˚
ar b˚
ade Ez = 0 og Bz = 0 har vi TEM (transversale elektromagnetiske)
bølger. Det viser sig dog at TEM bølger ikke kan eksistere i en hul bølgeguide.
10
10.1
Potentialer og felter
Gauge Transformationer
I elektrodynamik er den generele løsning til Maxwellsligninger
B=∇×A
E = −∇V −
∂A
∂t
(10.1)
10.2. Kontinuerte fordelinger og retarderede potentialer
22
hvilket minder en smule om dem i elektrostatik. Vektor potentialet og potentialet
kan findes ud fra den dynamiske Poisson ligning
∇2 V +
∂
1
(∇ · A) = − ρ
∂t
0
(10.2)
og en ligning uden navn
∇ 2 A − µ0 0
∂2A ∂V −
∇
∇
·
A
+
µ
= −µ0 J
0 0
∂t2
∂t
(10.3)
hvilket egentlig er en lidt grim ligning med løser man de to ligninger kan kan finde
alle felter til enhver situation. Man vi kan vælge A som vi har lyst s˚
a længe V vælges
tilsvarende.
I Coulomb Gauge vælges
∇·A=0
(10.4)
hvilket betyder at man f˚
ar
∇2 V = −
1
ρ
0
⇒
V (r, t) =
1
4π0
Z
ρ(r0 , t)
V
r
dτ 0
(10.5)
S˚
a her kan man nemt finde V . Ligningen for A bliver dog tilsvarende sværre at løse
∇2 A − µ0 0
∂V ∂2A
=
−µ
J
+
µ
∇
0
0 0
∂t2
∂t
(10.6)
Coulomb Gauge bruges ofte i forbindelse med partikelfysik
Man kan ogs˚
a vælge Lorentz Gauge. Her vælger man
∇ · A = −µ0 0
∂V
∂t
(10.7)
hvilket medfører
∇2 A − µ0 0
∂2A
= −µ0 J
∂t2
∇2 V − µ0 0
∂2V
1
=− ρ
2
∂t
0
(10.8)
1
ρ
0
(10.9)
eller blot
2 A = −µ0 J
2 V = −
2
∂
med d’Alembertian 2 = ∇2 − µ0 0 ∂t
2 . Lorentz gauge bruges ofte i relativistiske
sammenhænge.
10.2
Kontinuerte fordelinger og retarderede
potentialer
Man kan nu indføre den retarderede tid
tr = t −
r
c
(10.10)
10.3. Punktladninger
23
og s˚
a f˚
ar man vha. Lorentz gauge at man kan skrive potentialerne som
1
V (r, t) =
4π0
Z
V
ρ(r0 , tr )
dτ
r
µ0
A(r, t) =
4π
0
Z
J(r0 , tr )
dτ 0
(10.11)
˙ 0 , tr ) ρ(r
˙ 0 , tr )
J(r
ˆr +
ˆr −
dτ 0
cr
c2 r
(10.12)
˙ 0 , tr ) J(r
× ˆr dτ 0
+
cr
(10.13)
V
r
og herudfra kan man udlede Jefimenkos ligninger
1
E(r, t) =
4π0
Z ρ(r0 , tr )
V
r2
og
µ0
B(r, t) =
4π
10.3
Z J(r0 , tr )
V
r2
Punktladninger
Hvis en punktladning bevæger sig med konstant hastighed bliver felterne
E(r, t) =
ˆ
q
R
1 − v 2 /c2
3/2
4π0 1 − v 2 sin2 θ/c2
R2
1
1
B = (ˆr × E) = 2 (v × E)
c
c
(10.14)
(10.15)
med R = r − vt. Disse reduceres nemt til det elektrostatiske tilfælde hvis v c.
11
11.1
Str˚
aling
Dipolstr˚
aling
Str˚
aling er den energi der bliver sendt ud fra et elektromagnetisk system. Energien
der løber ud gennem en kugle med radius er er givet ved
I
P (r) = S · da
(11.1)
og defineres str˚
alingsenergien til at være
Prad = lim R(r)
r→∞
(11.2)
Hvis man har en oscillerende elektrisk dipol med to ladningen q(t) = ±q0 cos(ωt)
ˆ med p0 = q0 d. Laver man nu approksivil de have et dipolmoment p = p0 cos(ωt) z
mationen d ωc r bliver potentialerne
p0 ω cos θ sin(ω(t − r/c))
4π0 c
r
µ 0 p0 ω
ˆ
A(r, θ, φ) = −
sin(ω(t − r/c)) z
4πr
V (r, θ, φ) = −
(11.3)
(11.4)
11.1. Dipolstr˚
aling
24
og felterne bliver
µ0 p0 ω 2 sin θ ˆ
cos(ω(t − r/c))θ
4π
r
µ0 p0 ω 2 sin θ ˆ
B=−
cos(ω(t − r/c))φ
4πc
r
E=−
(11.5)
(11.6)
Denne gennemsnitlige intensitet og str˚
aling bliver s˚
a
hSi =
µ p2 ω 4 sin2 θ
0 0
ˆr
32π 2 c
r2
hP i =
µ0 p20 ω 4
12πc
(11.7)
Har man nu en AC strøm I(t) = I0 cos(ωt) i et lille loop med radius b vil det
ˆ. Laver man igen antagelserne
have magnetisk dipolmoment m(t) = m0 cos(ωt) z
c
b ω r f˚
ar man at skalar potentialet forsvinder og
A(r, θ, φ) = −
µ0 m0 ω sin θ
ˆ
sin(ω(t − r(c))φ
4πc
r
(11.8)
hvilket giver felterne
µ0 m0 ω 2 sin θ ˆ
cos(ω(t − r/c))φ
4πc
r
µ0 m0 ω 2 sin θ ˆ
cos(ω(t − r/c))θ
B=−
4π
r
E=
(11.9)
(11.10)
Man f˚
ar s˚
a middelenergien og str˚
alingen til at være
hSi =
µ m2 ω 4 sin2 θ
0 0
ˆr
32π 2 c3
r2
hP i =
µ0 m20 ω 4
12πc3
(11.11)