1. No category

Funktionsterminologi
Frank Nasser
12. april 2011
c 2008-2011.
Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som
abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis
ikke er den nyeste tilgængelige.
Indhold
1 Introduktion
1
2 Værdimængde
2.1 Bemærkninger og eksempler . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Begrænsede funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
4
3 Ekstremalværdier
3.1 Globale ekstremer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Lokale ekstremer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
7
4 Monotoni
4.1 Lidt indledende logik
4.2 Monotone funktioner
4.3 Monotoniintervaller .
4.4 Uligheder i et nyt lys
.
.
.
.
11
11
12
15
16
5 Injektivitet
5.1 Injektive funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
17
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Resumé
I dette dokument indfører vi nogle egenskaber som en
funktion kan have. Vi skal tale om funktioners værdimængder, deres monotoniforhold og eventuelle ekstremalværdier.
Til sidst møder vi begrebet injektivitet som leder direkte videre til teorien om inverse funktioner og sektioner.
1
Introduktion
Når man lærer om funktioner er det vigtigt at man ikke udelukkende tænker i praktiske anvendelser, fordi funktionsbegrebet først og
fremmest er et sprog som skal læres inden man overhovedet kan forstå hvad det skal bruges til.
Ikke desto mindre kan vi allerede i dette kapitel begynde at se
anvendelsesmuligheder: Funktioner bruges jo til at udtrykke hvordan
størrelser kan afhænge af hinanden. Forestil dig f.eks. en fabrik som
producerer mobiltelefoner. Deres fortjeneste afhænger af hvilken pris
de vælger at sælge deres telefon til. —Hvis prisen er for høj vil de
ikke sælge særligt mange telefoner, og hvis prisen er for lav tjener de
måske ikke engang produktionsomkostningerne hjem. Tricket består
naturligvis i at vælge præcis den pris som gør deres fortjeneste størst
muligt.
Til dette formål ville det være smart, hvis man kunne beskrive
nøjagtigt hvordan den samlede fortjeneste afhænger af prisen ved
hjælp af en funktion 1 , og derefter undersøge hvilken pris (x) som bevirker at fortjenesten (f (x)) bliver størst muligt. Det kunne også være
interessant at undersøge hvorvidt en lille ændring i den nuværende
pris ville øge eller sænke den samlede fortjeneste.
Det er præcis den slags egenskaber ved en funktion som vi skal
give navne til i dette dokument.
1
At vælge den rigtige funktion er naturligvis en vanskelig opgave i sig selv.
Kunsten at gøre dette kaldes modellering, og det kan du læse om her
side 1
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Forudsætninger
Dokumentet er en direkte fortsættelse af „‘Funktioner“2 , og det forudsættes selvfølgelig at man har læst dette dokument først.
Eftersom alting skal handle om funktioner med primær– og sekundærmængde R, vil vi indføre en generel regel:
Når ordet „funktion“ optræder i dette dokument, så skal det læses
som: „En funktion med primærmængde R og sekundærmængde R“.
2
Værdimængde
Som udgangspunkt består en funktion af en primærmængde (hvor de
elementer som funktionen kan tages på kommer fra), en sekundærmængde (hvor funktionsværdierne „havner“) og en regel for hvordan
elementer i primærmængden bliver lavet om til elementer i sekundærmængden. Sammen med reglen kommer der en definitionsmængde som består af de elementer fra primærmængden som reglen må
anvendes på.
Vi definerer nu en anden vigtig mængde som er knyttet til enhver
funktion.
Definition 1
Hvis f er en funktion, så defineres værdimængden af f som:
V m(f ) = {f (x) | x ∈ Dm(f )}.
2.1
Bemærkninger og eksempler
Værdimængden er altså en mængde der består af alle de funktionsværdier, f (x), som man kan opnå ved at tage f på et element, x, i
2
Læs om funktioner her
side 2
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
definitionsmængden.
Dermed bliver V m(f ) en delmængde af sekundærmængden. Den
består af de elementer som rent faktisk „rammes“ af funktionen. Man
kan passende udvide sit abstrakte billede af funktionen til det på figur
1.
Pr
i
mær
mæng
de
S
e
k
undær
mæng
de
De
fini
t
i
o
ns
mæng
de
x
Re
g
e
l
Vær
di
mæng
de
f
(
x
)
a
f
(
a
)
Figur 1: Et abstrakt billede af en funktion med indtegning af værdimængden
Eksempel 1
Betragt funktionen f givet ved forskriften
f (x) = x2 .
Da det er underforstået at definitionsmængden og sekundærmængden begge er R, vil værdimængden for f bestå af de reelle
tal, som kan opstå ved at man opløfter et reelt tal i anden potens.
Med andre ord:
V m(f ) = R+ ∪ {0}
side 3
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Det er meget nemt at få et overblik over en funktions værdimængde ved at kigge på dens graf. Husk på at grafen består af punkter
(x; y) hvor y = f (x). Hvis man vil vide hvad værdimængden er, skal
man altså bare undersøge hvilke y-værdier som optræder på grafen.
Øvelse 1
Bestem værdimængden for følgende funktioner:
• f1 (x) = 3 · x
• f2 (x) = x−1 (Tænk over definitionsmængden!)
• f3 (x) = sin(x)
• f4 (x) = tan x
√
• f5 (x) = x
(
• f6 (x) =
1−x , x>0
17
, ellers
Bemærk at grafen sagtens kan „springe nogle y-værdier over“. Det
betyder at værdimængden til tider kan være ret kompliceret at skrive
ned. Men for de fleste „pæne“3 funktioner bliver værdimængden et
interval (enten med åbne eller lukkede endepunkter).
2.2
Begrænsede funktioner
Et fænomen som nu skal have sit eget navn er når en funktions værdimængde ligger inden for en afgrænset del af den reelle akse. Det
gør vi mere præcist med følgende definition:
3
Vi skal se hvad ordet „pæn“ helt præcist betyder når vi skal snakke om
begrebet kontinuitet. Det kan du læse om her
side 4
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Definition 2
En funktion, f , kaldes begrænset hvis der findes to tal, m og M
med den egenskab at:
f (x) ≥ m
og
f (x) ≤ M
for alle elementer x i definitionsmængden for f .
Det svarer til at værdimængden for f er en delmængde af
intervallet [m; M ]
Øvelse 2
Hvilke af funktionerne fra opgave 1 er begrænsede?
3
Ekstremalværdier
Med en ekstremalværdi for en funktion mener man enten en maksimal
(størst mulig) eller en minimal (mindst mulig) værdi for funktionen.
Begrebet er dog en smule mere kompliceret end dette. Dels fordi
en funktion ikke altid har ekstremalværdier, og dels fordi man både
ønsker at tale om såkaldt globale og lokale ekstremalværdier.
Derfor gør vi klogt i at indføre alle disse ord omhyggeligt med
nogle definitioner:
3.1
Globale ekstremer
side 5
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Definition 3
Hvis f er en funktion, så kaldes et element x ∈ Dm(f ) for et
globalt minimumssted hvis funktionsværdien f (x) er mindre end
eller lig med alle andre funktionsværdier.
Selve denne funktionsværdi kaldes en global minimumsværdi
for f .
Definition 4
Hvis f er en funktion, så kaldes et punkt x ∈ Dm(f ) for et globalt
maksimumssted hvis funktionsværdien f (x) er større end eller lig
med alle andre funktionsværdier.
Selve funktionsværdien f (x) kaldes for en global maksimumsværdi.
Bemærkninger:
• Globale minimumssteder og maksimumssteder kaldes under et
for globale ekstremumssteder, og tilsvarende kaldes globale minimumsværdier og maksimumsværdier under et for globale ekstremumsværdier.
• Bemærk at vi skriver „mindre end eller lig med“ og „større
end eller lig med“ i ovenstående definitioner. Dermed kan en
funktion sagtens have mange globale miniumssteder og maksimumssteder. (Prøv at give et eksempel!). Den kan dog højst
have en global minimumsværdi, og højst en global maksimumsværdi. (Prøv at forklare hvorfor!)
• Det kan nemt forekomme at en funktion overhovedet ikke har
nogen ekstremumssteder, og dermed heller ingen ekstremumsværdier. (Prøv at give nogle eksempler!)
side 6
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
• Når man oplyser globale ekstremumssteder og ekstremumsværdier for en funktion, oplyser man som regel en ekstremumsværdi sammen med det sted hvor den antages. Ofte giver man
lige ekstremumsstedet et navn i forbifarten. Man skriver f.eks:
„Funktionen f har et globalt maksimumssted i x = 14 med
global maksimumsværdi f (x) = 117.“
Eksempel 2
Betragt funktionen g, hvis graf er angivet på figur 2. Denne funktion har tilsyneladende et globalt minimumssted i
x1 = 2
og den tilhørende globale minimumsværdi er
g(x1 ) = −3
Den har tilsyneladende et globalt maksimumssted i
x2 = 3,5
med global maksimumsværdi
g(x2 ) ≈ 7,3
3.2
Lokale ekstremer
Et lokalt ekstremumsted er præcis det som man tror det er: Et punkt,
som ligner et globalt ekstremumspunkt hvis man kun kigger på et lille
udsnit af grafen, men som eventuelt kan blive „overgået“ et andet sted
på grafen. Vi må dog hellere lave en mere præcis definition:
side 7
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
10
5
y=g(x)
-1
0
1
2
3
4
5
-5
Figur 2: Grafen for funktionen i eksempel 2
Definition 5
Hvis f er en funktion, så kaldes et element x ∈ Dm(f ) for et lokalt
minimumssted hvis der findes et (eventuelt meget lille) interval
]a; b[ på den reelle akse med egenskaberne:
• intervallet omslutter x.
• funktionsværdien f (x) er mindre end eller lig med alle andre
funktionsværdier som f antager på intervallet ]a; b[.
Selve funktionsværdien f (x) kaldes en lokal minimumsværdi for
f.
Definition 6
Hvis f er en funktion, så kaldes et element x ∈ Dm(f ) for et lokalt
maksimumssted hvis der findes et (eventuelt meget lille) interval
]a; b[ på den reelle akse med egenskaberne:
side 8
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
• intervallet omslutter x.
• funktionsværdien f (x) er større end eller lig med alle andre
funktionsværdier som f antager på intervallet ]a; b[.
Selve funktionsværdien f (x) kaldes en lokal maksimumsværdi for
f.
Bemærkninger:
• Lokale minimumssteder og maksimumssteder kaldes under et
for lokale ekstremumssteder, og tilsvarende kaldes lokale minimumsværdier og maksimumsværdier under et for lokale ekstremumsværdier.
• En funktion kan have masser af lokale ekstremumssteder, og også masser af lokale ekstremumsværdier. (Prøv at give eksempler!)
• Et globalt ekstremumssted er automatisk også et lokalt ekstremumssted, idet det omtalte interval bare kan sættes til at
være hele den reelle akse: ] − ∞; ∞[.
• Det kan nemt forekomme at en funktion overhovedet ikke har
nogen lokale ekstremumssteder, og dermed heller ingen lokale
ekstremumsværdier. (Prøv at give nogle eksempler!)
• Man oplyser lokale ekstremumssteder og ekstremumsværdier
for en funktion på samme måde som de globale. Man skriver
f.eks: „Funktionen f har et lokalt maksimumssted i x = 14 med
lokal maksimumsværdi f (x) = 117.“
• Lokale ekstremumssteder er meget nemme at finde ved at kigge på grafen for en funktion: Man leder ganske enkelt efter
x-koordinater til punkter, hvor grafen har en „top“ eller en
side 9
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
„bakkedal“. Bemærk dog at intervalendepunkter, hvor grafen
enten stopper eller laver et „spring“ meget ofte vil være lokale
ekstremumspunkter også!4
Eksempel 3
Betragt igen funktionen g, hvis graf er vist på figur 2. Udover de
globale ekstremer, har denne funktion et lokalt maksimumssted i
x3 = 0
med lokal maksimumsværdi
f (x3 ) = 1
Den har også et lokalt minimumssted i
x4 ≈ −2,5
med lokal mimimumsværdi
f (x4 ) = 0
Øvelse 3
Tegn grafer for funktioner som har følgende egenskaber. (Du behøver ikke at finde en funktionsregel for dem!)
1. En funktion f1 som har et globalt minimumssted i −3 og et
lokalt maksimumssted som ikke er globalt i 2.
4
Man skal være lidt kreativ for at opfinde en funktion som er defineret på
et lukket interval, f.eks. [0; 1], og hvor intervalendepunkterne ikke er lokale ekstremumssteder. Prøv selv!
side 10
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
2. En funktion f2 som ikke har nogen globale ekstremumssteder, men som har mindst et lokalt ekstremumssted.
3. En funktion f3 som har global minimumsværdi 5 og global
maksimumsværdi 7 og som er defineret i alle de reelle tal.
4. En funktion f4 som har globale ekstremumssteder i 1, 2, 3,
4 og 5, og som ikke er konstant.
(Der er mange rigtige besvarelser til hvert spørgsmål.)
Øvelse 4
Find lokale ekstremumssteder og lokale ekstremumsværdier for
følgende funktioner:
1. f1 (x) = x3 − 3x
2. f3 (x) =



x−1 , x<0
x − x2 , x ∈ [0; 2]


3−x , x>2
3. f2 (x) = 2 · sin x + x
4
4.1
Monotoni
Lidt indledende logik
Ordet „monoton“ betyder noget i stil med „det samme hele tiden“.
Her skal man dog være lidt forsigtig når man bruger sin sproglige
intuition, fordi sådan som vi vil definere at en funktion er monoton,
så viser det sig at de mest „kedelige“ funktioner, nemlig de konstante,
ikke må kaldes monotone.
side 11
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Forestil dig grafen for en funktion f . Når man skal „læse“ grafen
skal man gå en tur på x-aksen (fra venstre mod højre, naturligvis)
og holde øje med funktionsværdierne. En funktion kaldes monoton
hvis dens funktionsværdier enten vokser hele tiden eller aftager hele
tiden.
Vil vil nu lave nogle helt præcise definitioner. Dertil vil vi bruge
et meget kompliceret logisk tegn, nemlig implikationspilen:
=⇒
Når man skriver denne pil mellem to udsagn, så betyder det samlede
udsagn at hvis udsagnet til venstre er sandt så er udsagnet til højre
også sandt. Man siger intet om hvorvidt nogen af udsagnene er sande
eller ej! Man kan f.eks. sige, at for ethvert reelt tal x gælder at:
x > 0 =⇒ x + 1 > 0
Udsagn af typen:
A =⇒ B
(hvor A og B er to udsagn) læses enten som „Hvis A så B“ eller
ganske enkelt som „A medfører B“.
4.2
Monotone funktioner
En funktion kaldes voksende hvis to forskellige punkter i definitionsmængden altid vil opføre sig sådan at funktionsværdien i det mindste
af dem er mindre end funktionsværdien i det største. —Med andre
ord: Funktionsværdierne blive større jo længere man kommer ud af
x-aksen.
Man kan sige dette meget kort og præcis som:
Definition 7
En funktion f kaldes voksende hvis der for alle elementpar, x1 og
x2 i Dm(f ) gælder:
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 )
side 12
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Helt tilsvarende kaldes en funktion aftagende hvis to forskellige
punkter i definitionsmængden altid vil opføre sig sådan at funktionsværdien i det mindste af dem er større end funktionsværdien i det
største. —Med andre ord: Funktionsværdierne blive mindre, jo længere man kommer ud af x-aksen.
Igen kan dette siges meget kort og præcis som:
Definition 8
En funktion f kaldes aftagende hvis der for alle elementpar, x1 og
x2 i Dm(f ) gælder:
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) > f (x2 )
Desuden indrammer vi lige fællesbetegnelsen for voksende og aftagende funktioner:
Definition 9
Voksende funktioner og aftagende funktioner kaldes under et for
monotone funktioner.
Til sidst skal det understreges en ekstra gang at funktioner som
tager den samme værdi hele tiden ikke kaldes monotone, selvom de
er kedelige.
Definition 10
En funktion f kaldes konstant hvis der for alle elementpar, x1 og
x2 i Dm(f ) gælder:
f (x1 ) = f (x2 )
side 13
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Øvelse 5
Afgør om følgende funktioner er monotone:
• f1 (x) = sin x
• f2 (x) = 10
• f3 (x) = 3x + 1
• f4 (x) =
1
x
• f5 (x) = x2 med Dm(f5 ) = {10}
Bemærkninger:
• Læg mærke til at en funktion skal være voksende hele tiden
eller aftagende hele tiden før vi kalder den monoton. Hvis den
„skifter“ mellem at vokse og aftage, har vi et andet begreb,
nemlig monotoniintervaller. (Se næste afsnit.)
• Hvis man skal vise at en funktion er f.eks. voksende er man
nødt til at vise implikationen
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 )
for alle elementpar x1 og x2 i definitionsmængden. Da definitionsmængden som regel er uendeligt stor, bliver man naturligvis aldrig færdig med dette. Man må i stedet finde et overbevisende argument for at implikationen gælder uanset hvilket
elementpar man finder frem.
• Hvis man skal vise at en funktion ikke er f.eks. voksende, skal
man i stedet fremvise et elementpar x1 og x2 fra definitions-
side 14
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
mængden, hvor implikationen ikke gælder. Altså hvor x1 < x2
men hvor f (x1 ) ≥ f (x2 ).5
• Funktionen f5 fra opgave 5 ovenfor har en ekstremt lille definitionsmængde. Faktisk kan det aldrig lade sig gøre at fremvise
et elementpar fra definitionsmængden overhovedet. Derfor er f5
automatisk voksende (og aftagende og konstant!).
4.3
Monotoniintervaller
Mange funktioner er hverken voksende eller aftagende. Derfor indfører
vi et nyt begreb:
Definition 11
Lad f være en funktion. Et interval, som ligger inde i Dm(f )
kaldes et monotoniinterval for f , hvis f er monoton, når man
kun betragter elementpar x1 og x2 fra dette interval.
Bemærkninger
• Man siger at en funktion er voksende eller aftagende på sine
monotoniintervaller. F.eks. er funktionen g, hvis graf er vist på
figur 2 voksende på [(−2,5); 0], den er aftagende på [0; 2], og
den er voksende på [2; (3,5)].
• Når man angiver monotoniintervaller for en funktion, skal man
oplyse så store intervaller som muligt. F.eks. er det korrekt at
funktionen g fra figur 2 er aftagende på ]0; 1[, men dette er ikke
så informativt som informationerne ovenover.
5
Dette er en logisk negation af definitionen på at være voksende. Du kan læse
mere om udsagnslogik og negationer af sammensatte udsagn her
side 15
c
MatBog.dk
4.4
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Uligheder i et nyt lys
I afsnittet om uligheder i ULULU-dokumentet6 opstillede vi nogle
meget simple regler for hvordan man måtte omskrive på uligheder.
Nogle af omskrivningerne indebar at man skulle vende ulighedstegnet
om.
Med terminologien fra dette afsnit kan vi pludselig se præcis hvorfor disse regler gælder, og endda udtrykke dem meget mere generelt:
Sætning 1
En ulighed gælder fortsat hvis man tager en voksende funktion på
begge sider af ulighedstegnet.
Sætning 2
En ulighed gælder omvendt hvis man tager en aftagende funktion
på begge sider af ulighedstegnet.
Generelt er den bedste måde at løse en ulighed på dog fortsat den
samme:
Man løser en ulighed ved først at løse den tilsvarende ligning, og
derefter danne sig et overblik over løsningsintervallerne
Til at danne det nævnte overblik er funktionsbegrebet også en stor
hjælp, sådan som vi så i afsnittet om „grafisk overblik over ligninger
og uligheder“ i dokumentet „Funktioner“.
6
Læs om uligheder her
side 16
c
MatBog.dk
5
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Injektivitet
5.1
Injektive funktioner
Vi kaster os direkte ud i en definition mere:
Definition 12
En funktion f kaldes injektiv hvis der for alle elementpar, x1 og
x2 i Dm(f ) gælder:
x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )
Den bedste måde at tænke på injektivitet på, er ved at have det
abstrakte billede af funktionen inde i hovedet: En funktion er injektiv
hvis to forskellige elementer i definitionsmængden aldrig bliver til det
samme når man tager funktionen på dem. Dette er forsøgt illustreret
på figur 3
Figur 3: Injektivitet af en funktion
side 17
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Figur 3 forklarer også valget af ordet „injektiv“: Det kommer af
det samme som det engelske ord „to inject“ — „At sprøjte ind“. Og
det er jo lige netop hvad en injektiv funktion gør: Den „sprøjter“
elementerne fra definitionsmængden ind i sekundærmængden, uden
af nogen elementer kommer til at ligge præcis det samme sted.
Det er nemt at se på en funktions graf om funktionen er injektiv
eller ej. At funktionen er injektiv betyder at grafen aldrig „besøger“
den samme y-koordinat mere end én gang. (Se figur 4.)
x1
x2
Figur 4: Injektivitet af en funktion
Øvelse 6
Hvilke af følgende funktioner er injektive?
• f1 (x) =
1
x
• f2 (x) = 5x + 1
• f3 (x) = x2
• f4 (x) = x3
• f5 (x) = sin x
side 18
c
MatBog.dk
Registreret til: MatBog Versionsarkiv
Begreberne „monoton“ og „injektiv“ er beslægtede. Det viser følgende sætning:
Sætning 3
Hvis f er en monoton funktion, så er f injektiv.
De to begreber er dog ikke præcis det samme. (Det ville også være
fjollet.) En injektiv funktion behøver ikke at være monoton.
Øvelse 7
Undersøg sammenhængen mellem injektivitet og monotoni:
Lav et formelt bevis for sætning 3. —Altså: Antag at f er
en monoton funktion, og bevis at hver eneste gang x1 og x2
er forskellige elementer i definitionsmængden, så er f (x1 ) og
f (x2 ) nødvendigvis forskellige.
2.
1. Giv et eksempel på at sætning 3 ikke gælder omvendt. —
Altså at der findes funktioner som er injektive, men som
ikke er monotone.
Begrebet injektivitet bliver meget vigtigt når vi skal lave omvendte funktioner — altså „baglæns“ udgaver af givne funktioner7 . Det
viser sig nemlig at de funktioner som kan „vendes om“ præcis er dem
som er injektive.
7
Læs om inverse funktioner her
side 19