1. No category

MaB
Sct. Knud Gymnasium,
Henrik S. Hansen
%
√
[FUNKTIONER]
Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald.
Vers. 2.0
Indhold
Funktioner.......................................................................................................................................................... 2
Entydighed ..................................................................................................................................................... 2
Injektiv ........................................................................................................................................................... 3
Definitionsmængde ....................................................................................................................................... 4
Værdimængde................................................................................................................................................ 5
Egenskaber ved funktioner ............................................................................................................................ 6
Monotoni ................................................................................................................................................... 6
Monotoniforhold........................................................................................................................................ 7
Ekstremaer ................................................................................................................................................. 7
Sammensatte funktioner .................................................................................................................................... 8
Inverse funktioner .............................................................................................................................................. 9
Kontinuert........................................................................................................................................................ 10
Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
1
Funktioner
Vi har tidligere arbejdet med sammenhæng mellem en variabel x (den uafhængige variabel) og y
(den afhængige variabel). Vi kunne tegne sammenhængen ind i et koordinatsystem som punkter
(x,y). Nu skal vi kigge nærmere på sammenhængen mellem x og y. (video)
Entydighed
Hvis sammenhængen er entydig, så siges y at være en funktion af x.
Definition: Entydighed.
Til et hvert x i definitionsmængden* hører en og kun en y-værdi
* En definitionsmængde for f er mængden af de værdier, som den uafhængige variable (oftest x) kan antage.
Funktioner kan have mange navne, oftest benyttes f(x), g(x) og h(x). Symbolet f(x) læses ”f af x”.
Koblingen fra tidligere bliver altså at y kan erstattes med f(x), hvis sammenhængen er entydig.
Ligning for cirklen (x - 0)² + (y - 0)² = 4²
%
( )
%√
For et punkt på en funktion gælder der nu, at koordinatet ikke længere ”bare” er (x,y) men nu
(x,f(x)). Vi har dermed indført begrebet ”f af x” også skrevet som f(x). Når vi indsætter en værdi på
x-plads, så kommer der en funktionsværdi ud.
Lav opgave 142 side 178, opgave 144 side 178 og opgave 145 side 178
Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
2
Injektiv
Vi har lige set at en sammenhæng må kaldes en funktion, hvis sammenhængen mellem den
uafhængige variabel og den afhængige variabel er entydig. Denne ”entydighed” kan også gælde fra
y til x og så kan vi kalde funktionen for injektiv. (video)
Definition: Injektiv
Til et hvert x i definitionsmængden hører én og kun én y værdi fra værdimængden, men ligeledes
gælder der, at til et hvert y i værdimængden hører én og kun én x-værdi fra definitionsmængden.
y
f(x)
y
f(x)
4
4
3
f(2)=3.125
3
2
f(2)
1
2
-3
√
-2
-1
x=-1.41
x=0
-1
f(-2)=1.28
1
-4
-3
-2 -1
x=-2
1
2
x=2
3
4
-2
-3
x
-4
1
2
x=1.41
3
x
%
Hvis vi ser på nedenstående billede, kan vi se, at der kun er f2 der er injektiv, og vi kan også se, at
det der den eneste, der er monoton. Alle monotone funktioner er nemlig altid injektive.
Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
3
Definitionsmængde
Nu skal vi kigge lidt på hvilke x-værdier der egentlig er med til at ”tegne” vores graf/funktion.
(video)
En definitionsmængde for f er mængden af de værdier, som den uafhængige variable (oftest x) kan
antage. Definitionsmængden for f skrives som Dm(f).
( )
√
( )
x kan ikke antage negative værdier, da
vi ikke kan tage kvadratroden af et
negativt tal, når vi befinder os i de
reelle tal.
( )
x kan ikke antage værdien 0, da det
ikke er tilladt at dividere med 0.
( )
Eksempel
Bestem definitionsmængden for f, når det oplyses at ( )
Nævneren må ikke give nul, så x = -2 er ikke en del af definitionsmængden.
Ses grafisk her.
( )
Lav øvelse 2.7 side 161 (læs og forstå øvelse), opgave 146 side 178 og opgave 151 side 179
Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
4
Værdimængde
Nu skal vi kigge lidt nærmere på de y-værdier/funktionsværdier som en funktion/graf kan antage.
(video)
Værdimængden af f er mængden af alle de funktionsværdier som kan forekomme når x gennemløber definitionsmængden. Værdimængden af f skrives som Vm(f).
( )
( )
( )
( )
√
( )
( )
I nedenstående graf er ( )
( )
og Dm(f) = [-2;4].
Vi kan bestemme værdimængden til Vm(f) = [1;17]
Lav øvelse 2.10 side 162, opgave 147 side 178 og opgave 152
Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
5
Egenskaber ved funktioner
Nedenfor benyttes symbolet ∀. Det læses ”for alle” og kaldes al-kvantoren.
Monotoni
Som vi har set ovenover, så gælder der for en injektiv funktion, at den enten er konstant voksende eller
konstant aftagende. En sådan injektiv funktion siges også at være monoton. (video)
En funktion f kaldes monotont voksende, hvis det for alle x1 og x2 i definitionsmængden gælder, at
hvis x1 < x2, så er f(x1) < f(x2)
∀x1, x2
Dm(f) : x1 <x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
Løst formuleret: større x-værdier giver større funktionsværdier.
En funktion f kaldes monotont aftagende, hvis det for alle x1 og x2 i definitionsmængden gælder, at
hvis x1 < x2, så er f(x1) > f(x2)
∀x1, x2
Dm(f) : x1 <x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
Løst formuleret: større x-værdier giver mindre funktionsværdier.
(x1,f(x1)
(x2,f(x2))
(x2,f(x2))
(x1,f(x1))
Figur 1: Grafen for en voksende funktion
Figur 2: Grafen for en aftagende funktion
Det vigtige er, at der i definitionerne står ”for alle x1 og
x2” osv. Denne figur (til venstre) viser hvorfor.
Man observerer følgende på figuren:
x1 < x2 og f(x1) > f(x2)
x1 < x3 og f(x1) < f(x3)
Grafen er altså hverken voksende eller aftagende.
Oplysninger om i hvilke intervaller en given funktion er
hhv. voksende og aftagende kaldes almindeligvis for
funktionens monotoniforhold.
Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
6
Monotoniforhold
En funktion som ikke er monoton eller konstant, kan opdeles i monotone intervaller
(monotoniintervaller). Intervallerne betegnes med I og nummereres 1,2,3....
Definitionsmængden opdeles med andre ord i små sektioner, hvor i funktionen er monoton. Disse
intervaller angives således:
f er voksende i I1=[-1;0]
f er aftagende i I2=[0;2]
f er voksende i I3=[2;3.5]
Ekstremaer
Når en funktion skifter fra at være voksende/aftagende til aftagende/voksende funktionsværdien i
punktet at være en maksimum-værdi eller en minimum-værdi. Disse værdier betegnes som
ekstremaer, og kan enten være lokale eller globale. (video)
(3.5, 6.125)
6
D
5
4
3
2
Dm(f) = [-1;3.5]
1
(0., 0.) B
-1
1
2
3
-1
Vm(f) = [-4;6.125]
(her vil der eksistere et max f(x) og et min f(x))
-2
-3
(-1., -4.)
-4
A
-5
(2., -4.)
C
f har et globalt minimum i punktet A(-1,-4)
f har et lokalt maksimum i punktet B(0,0)
f har et globalt minimum i punktet C(2,-4)
f har et globalt maksimum i punktet D(3.5,6.125)
(min f(x) = f(-1) = -4 )
(maksimumsværdien er 0)
(min f(x) = f(2) = -4 )
(max f(x) = f(3.5) = 6.125)
Under differentialregning skal vi se på en metode til let at finde samtlige ekstremaer.
Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
7
I første omgang kunne vi bruge TI Nspire ved at (video):
Indsæt en graf. Vælg funktion under graf type. Indtast funktionen. Tilpas vindue så ekstremaerne er
synlige. Undersøg nu grafen for min/maks.
Lav øvelse 3.1 side 164, opgave 148 side 178, opgave 149 side 178 og opgave 150 side 179
Sammensatte funktioner
Vi ved godt hvordan vi bestemmer en funktionsværdi f(x) udfra en given x-værdi. Men vi kan også
indsætte en funktion i en anden funktion. Resultatet af dette kaldes en sammensat funktion. (video)
Funktionen h siges at være sammensat af funktionerne f og g (i nævnte rækkefølge), hvis
h(x) = f(g(x))
Matematikere bruger en særlig notation for sammensatte funktioner. Med denne notation skrives
)( ) – det der står efter sidste lighedstegn,
ovenstående eksempel som ( )
( ( )) (
læses som f bolle g af x. Ved sammensætning af funktioner er rækkefølgen vigtig.
Hvis vi har ( )
( )
( ( ))
( )
og ( )
(
( ( ))
)
så kan vi prøve at bestemme ( ( )) og ( ( ))
(
(
)
)
(
(
)
)
Ved inverse funktioner at rækkefølgen er underordnet. Her giver resultatet nemlig altid x.
Lav opgave 162 side 180. Opdigt 3 funktioner og sammensæt dem på forskelligvis.
Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
8
Inverse funktioner
Kort fortalt er den inverse funktion en funktion, som bringer dig hjem til udgangspunktet igen. Med
andre ord, så vil konstruktionen af den sammensatte funktion resultere i x. For at have en invers
funktion, så skal hovedfunktionen være injektiv. (video)
Matematisk kan man definere den inverse funktion f − 1 af funktionen f på følgende måde:
( ( ))
( ))
samt (
y
y=2x
y=x
10
9 (1)
8
(Den hævede tekst "-1" er ikke en eksponent.)
7
6
Grafen til højre viser ovenstående på to inverse funktion.
5
4
y=x/2
(2)
3
2
1
Når vi skal bestemme den inverse funktion, så isoleres den
uafhængigevariable, og herefter ”byttes rundt” på x og y.
I eksemplet har vi funktionen
. Lad os finde den inverse:
-1
(1)
1
2
3
4
5
(2)
6
7
8
9 10 x
-1
, vi bytter så om på x og y, hvilket giver os
som er den inverse funktion.
Grafisk kan vi illustrere det ved at tegne en funktion. Derefter indlægges linjen y = x og grafen
spejles i denne. Den fremkomne graf er den invers til den oprindelige og omvendt. Eksempelvis:
f(x) = 2x
10
y=x
f(x) = 10^x
y=x
4
8
3
6
g(x) = x / 2
2
4
1
2
-10 -8 -6 -4 -2
2
4
6
8 10
-2
-4
-4
-3
-2
-1
log(x)
1
2
3
4
-1
-2
-6
-8
-10
Figur 1: Den sammensatte funktion vil give
f(g(x)) = f(x/2) = 2(x/2) = x
g(f(x)) = g(2x) = 2x/2 = x
-3
-4
Figur 2: Den sammensatte funktion vil give
f(g(x)) = f(log(x)) = 10^(log(x)) = x
g(f(x)) = g(10^x) = log(10^x) = x
Find den inverse funktion til følgende og tegn begge i TII omkring spejlingslinjen:
f(x) = 3x, g(x) = 4x + 2, h(x) = x2, i(x) = 1/x og j(x) = 9x
Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
9
Kontinuert
En funktion kaldes kontinuert, hvis dens graf er sammenhængende. Hvis grafen kan tegnes uden at
løfte blyanten, så er den kontinuert. Når vi kender mere til grænseværdier, så er en mere præcis
definition af kontinuitet denne. (video)
En funktion f siges at være kontinuert (sammenhængende) i et punkt
grænseværdi for x gående mod , og denne grænseværdi er ( ).
( )
, hvis den har en
( )
En funktion siges at være kontinuert i et interval, hvis den er kontinuert i et hvert punkt i intervallet.
Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
10