Opgave 8.2:
er betegnet den halve enhedscirkel og er givet ved
)
Yderligere er en funktion
givet ved (
{(
)
|
}.
Argumentering for at har ekstrema på , samt bestemmelse af de globale ekstremum, og
angivelse i hvilke punktet af disse værdier antages:
Ekstremalværdisætning siger at en funktion har globale ekstrema såfremt funktionen er defineret på
en lukket og begrænset mængde, smart funktionen er opbygget af kontinuerte funktioner.
Vi kan se på mængden at den er lukket og begrænset idet vi kan omslutte en cirkel med centrum i
origo således hele mængden bliver dækket og lukket fordi mængden kun består af ≥ og ≤.
Funktionen består af kontinuerte funktioner vi kan derfor konkludere at har ekstrema på
Vi ser på de nødvendige betingelser og starter med randpunkterne:
Brug af Lagranges metode:
(
)
(
(
(
)
)
(
)
(
Ligningssystemet der skal løses er altså:
(
)
Udregninger:
(
)
)
)
(
√
)
√
√
√
( )
√
√
( )
√
{
√
√
√
√
√
√
√
Ser for
(
√
)
√
1
Af andre nødvendige betingelser ser vi på de stationære punkter:
(
)
(
)
(
Bestemmelse af
)
Af denne test kan vi se at (
- testen.
(
)
(
)
(
(
) er et kritisk punkt. For at bestemme hvilket slags punkt bruger vi
(
)
(
)
(
)
)
(
)
-testen giver altså ikke konklusion.
Ud fra ovenstående beregninger og de opstillede betingelser må de globale ekstrema findes i de
kritiske punkter som er:
1
Kun -1 er en faktisk løsning i vores tilfælde da vi er givet
som anden betingelse.
)
√
(
) (
√
) (
)
(
)
Beregner vi funktionsværdien for dem ser vi:
√
(
(
√
(
)
(
)
)
(
√
√
( )
)
)
( )
( )
Der må altså gælde at:
(
)
(
)
(
)
(
)