P vs. NP Niels Grønbæk Matematisk Institut Københavns Universitet 3. feb. 2012 Den handelsrejsendes problem ⁫ Kan det lade sig gøre at besøge n byer forbundet ved et vejnet, G, inden for budget, B? ⁫ Hvad er den korteste rute mellem samtlige byer i Sverige? Sudokuproblemet ⁫ Har et givet Sudoku problem en løsning? ⁫ ⁫ - for 9x9 tavler? - for n2 x n2 tavler? ⁫ (for 9x9 tavler er der ca. 6.67 1021 Sudoku udfyldninger) Bordplansproblemet ⁫ Til en banket er indbudt 500 gæster. Der er plads til 100 ved bordet. ⁫ Ceremonimesteren har en liste over hvilke af de 500 gæster, som ikke må sidde ved siden af hinanden. ⁫ Kan han lægge en bordplan? ⁫ (Der er ca. 10300 mulige bordplaner; der er ca. 1087 partikler i det kendte univers) Primtalsproblemet ⁫ Har et givet (meget stort) tal en ikke triviel divisor? Hvis ja, find en faktorisering. ⁫ Det største kendte primtal, P=243.112.609 -1, har 12.978.189 cifre. ⁫ (Iflg. primtalssætningen er der ca. 1012.978.180 primtal mindre end P.) Fælles for problemerne • Det er overkommeligt at checke om en forelagt mulighed giver svaret ja. • For store problemer – – – – mange byer store sudokutavler store gæstebud store tal er løsningsstrategien *prøv dig frem* umulig at gennemføre inden for realistiske beregningstider. • Men det er i det store hele den bedste generelle algoritme vi kender. Lidt præcisering • En algoritme er polynomiel, hvis der findes naturligt tal k så beregningstiden for et tilladt input af størrelse n er højst af størrelsesorden nk. – Eksempel: Addition af to n-cifrede tal kræver maksimalt 2n basisoperationer (n additioner af 1cifrede tal + regnskab med maks n menter), så vi kan bruge k=1. Multiplikation af to n-cifrede tal kan beregnes i ca. n2 trin. • Overkommelig (feasible) betyder polynomiel (og typisk for k=1,2,3,4 - sammenlign fx k=100 og antallet af partikler i det kendte univers.) P vs. NP • Et decision problem er et problem med 2 svarmuligheder {ja,nej}. • Et decision problem er af klasse P, hvis der findes en polynomiel algoritme der beregner et svar. • Et decision problem er af klasse NP, hvis der er en polynomiel *bevis* algoritme for ja input. • Det er oplagt at P NP – ik’? Om primtalsproblemet • ’Sammensatte tal’ er i NP. – Inputstørrelse af n = antal cifre – For (d,n) skal checkes, 1<d<n og d | n. divisionsalgoritmen er polynomiel i antal cifre. • I 2004 blev det vist faktisk at være i P. • Men primtalsfaktorisering kræver (stadig) ca. n½ divisioner, altså eksponentielt i antallet af cifre. 1.000.000 $ spørgsmål Gælder P=NP? • Formuleret af Stephen Cook & Leonid Levyn (uafhængigt) i tidlige 1970’er. • Cook har forudsagt at inden 2020 bliver det bevist at svaret er nej. • I svøb længe. Hænger sammen med problemet om automatisering af matematiske beviser – et problem som Gödel og von Neumann diskuterede i 50’erne, og som har stadigt voksende opmærksomhed • Leibnitz’ (1646-1716) tro på formallogikken: ”Meine Herren, rechen wir!” hviler jo også på at alt (væsentligt) kan beregnes inden for rimelig tid. Strategi? • Udvalgte NP-problemer: Hvis Handelsrejseproblemet kan løses i polynomiel tid, så er P=NP. Dette problem er nemlig NP-fuldstændigt. • Mange andre typisk kombinatoriske: Sudoku-, bordplans-, minestryger-… og grafteoretiske: grafisomorfi, Hamiltonkreds, 3-farvning,… er NPfuldstændige. NP-fuldstændighed • Et NP-problem P er NP-fuldstændigt dersom ethvert NP-problem kan reduceres til P i polynomiel tid, dvs. hvis Q er et NPproblem så findes der en polynomiel algoritme A fra Q-input, til P-input, således at A(q) giver P-svaret ”ja” hvis og kun hvis q giver Q-svaret ”ja”. P>Q Input q A Input p AQ AP ja, nej ja, nej SAT-problemet • AND/OR udtryk, fx (w  n  m)  (w m  l)  (w n   l) • Findes der værdier som giver sandhedsværdi True? • Dette er det første NP-problem som blev vist at være NP-fuldstændigt (Cook, 1971) Der er i dag titusindvis af kendte NPfuldstændige problemer. Minesweeper • Er en given udfyldning af minestrygerfeltet logisk konsistent med reglerne. Konsekvenser af P=NP • Mange betydningsfulde problemer vil få langt hurtigere beregningsalgoritmer. • Public-key kryptering truet: At bryde koden er et NP problem, så det bliver vanskeligere at holde sig foran den teknologiske (computerhastighed) udvikling ved blot at gøre nøglen større. – En algoritme som løser SAT i n2 trin kan bruges til at faktorisere 200-cifrede tal på få minutter. • Automatiseret bevisførelse. – Formulér Riemann-hypotesen som formelt logisk udsagn og brug SAT-algoritmen. • Kunstig intelligens Konsekvenser af PNP • Public key ikke truet (i sin grundvold) – Men måske alligevel, i stedet for med sikkerhed at kunne bryde alle koder, kan man jo være tilfreds med at kunne bryde koden med en vis sandsynlighed. • Hvis et problem er NP-fuldstændigt, skal man ikke spilde tid på at finde en hurtig algoritme. – Et relevant delproblem (interessante input) kan være P – Led efter approksimative løsninger Links • Primes is in P http://www.ams.org/notices/200305/feabornemann.pdf • Millenium problems http://www.claymath.org/millennium/ • Travelling salesman problem http://www.tsp.gatech.edu/ • Minesweeper http://gameswizard.com/j_jvmine.html