Introduktion til dynamisk analyse
John Wægter
Sigte med kurset
• En bred introduktion til dynamiske
problemstillinger
• Hovedvægt på simplest mulig mekanisk
forståelig fremstilling
• Udstrakt brug af eksempler
• Laboratoriearbejde i forbindelse med
miniprojekt
Indhold
• 10 teorimoduler
– Analytiske og numeriske øvelser samt miniprojekt
understøttet af Mathcad
• 2 teoritimer med forelæsning
– Kort repetition af forrige modul
– Forelæsning over nyt teorimodul
• 2 øvelsestimer/miniprojekt med vejledning
– De studerende regner udleverede opgaver/arbejder
med miniprojektet i grupper.
– Der gives vejledning til opgaveløsningen/miniprojektet
– Der udleveres løsning til opgaverne efter
øvelsestimerne
Forventede resultater
• Når du er færdig med dette kursus har du
opnået en god grundlæggende forståelse af
dynamiske problemstillinger
– Forudsat du har læst og forstået det udleverede
materiale
• Miniprojektet og tilhørende labaratoriearbejde
understøtter forståelsen
• Eksempler og øvelser samt miniprojektet
understøttes gennem brugen af Mathcad
• Du får en ny god arbejdskammerat som du vil få
meget glæde af i fremtiden: Mathcad ☺.
Lektioner
1) Introduktion til det dynamiske problem
2) Den frie svingning
3) Måling af dynamisk respons i laboratoriet
4) Tvungne svingninger med harmonisk last
5) Tvungne svingninger med generel belastning
6) Generaliseret ét-frihedsgrads-system
7) Systemer med mange frihedsgrader
8) Egenværdier og egenvektorer
9) Modal analyse
10) Tidsintegration
Lektion 1
• Hvornår har jeg et dynamisk problem
– Tidsvarierende last
– Tilstedeværelse af inertikræfter
• Newtons love
• Opstilling af de dynamiske ligevægtsligninger
–
–
–
–
Dynamiske frihedsgrader
Newtons anden lov
D’Alemberts princip
Eksempler
• Øvelser
Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning
Tegning: Leif H. Jensen
Høje slanke bygninger er udsat for svingninger og dynamisk
påvirkning på grund af vind
Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning
Tegning: Leif H. Jensen
Konstruktioner sættes i svingninger på grund af mennesker i
bevægelse
Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning
Tegning: Leif H. Jensen
Resonans kan opstå i konstruktioner fra mennesker i taktfast
bevægelse
Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning
Tegning: Leif H. Jensen
Vibrationer fra byggearbejde kan overføres gennem jorden
Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning
Tegning: Leif H. Jensen
Rystelser fra trafiklast kan også overføres gennem jorden
Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning
Tegning: Leif H. Jensen
Broer udsættes for dynamisk påvirkning fra trafiklast
Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning
Tegning: Leif H. Jensen
Specielle tunge transporter giver dynamisk påvirkning
Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning
Tegning: Leif H. Jensen
Stød mod bropiller kræver specielle konstruktive deltaljer
Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning
Tegning: Leif H. Jensen
Konsekvensen af ulykkeslaster som skibsstød mod bropiller skal
begrænses til en lokal skade, progressivt kollaps skal forhindres
Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning
Tegning: Leif H. Jensen
Konstruktioner skal sikres mod uventede dynamiske påvirkninger i
byggefasen
Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning
Tegning: Leif H. Jensen
Faldende genstande giver stødpåvirkning
Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning
Tegning: Leif H. Jensen
Makinelt udstyr kan forårsage svingninger specielt skal
resonansfænomener undgåes
Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning
Tegning: Leif H. Jensen
Eksplosionslaster er en speciel dynamisk belastning
Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning
Tegning: Leif H. Jensen
Kajkonstruktioner skal kunne tåle stød fra skibe
Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning
Tegning: Leif H. Jensen
Marine konstruktioner får dynamisk påvirkning fra bølger og vind
Dynamisk problem
• Et dynamisk problem adskiller sig fra et
statisk problem ved at have
– En tidsafhængig løsning
– Fremkalde inertikræfter i konstruktionen
• Hvis bevægelsen er så langsom at inertikræfterne
kan negligeres kan man på ethvert tidspunkt finde
responsen i konstruktionen ved statisk analyse
selv om belastningen varierer med tiden. Dette
kaldes kvasi-statisk analyse
Tidsvarierende laster
Inertikræfter
• Når en masse udsættes for tidsvarierende
flytninger og dermed accelerationer opstår
der inertikræfter som søger at modvirke
bevægelsen
Newtons love (1)
• 1. lov
Et legeme, der ikke er påvirket af nogen
resulterende kraft er enten i hvile eller
bevæger sig i en jævn retlinet bevægelse
• 2. lov
Et legeme med massen m, der påvirkes af en
resulterende kraft F, vil have en acceleration
som opfylder:
d
F = (mv ) = ma
dt
• 3. lov
Påvirker et legeme et andet med kraften F, så
vil dette påvirke førstnævnte legeme med den
modsatrettede kraft -F. Denne lov kaldes
loven om aktion og reaktion.
Newtons love (2)
• Gælder kun i inertialsystemer
– Et referencesystem i hvile eller i en jævn retlinet
bevægelse
• Nedskrevet på grundlag af eksperimenter
– Kan ikke udledes
• Gyldighedsområde
– Så længe hastighederne er væsentlig mindre end
lysets hastighed og dimensionerne er væsentlig
større end atomare størrelser
• I lille skala erstattes de af kvantemekanik
• For hutig bevægelse erstattes de af relativitetsteori
Dynamiske frihedsgrader
• Det antal flytnings-og rotationsfrihedsgrader som er nødvendige for fuldstændigt
at kunne beskrive virkningen af inertikræfterne
– Må kende flytning og rotation af alle
massepunkter
• En kontinuert konstruktion har uendelig
mange frihedsgrader
Idealisering/diskretisering (1)
• Tilnærmer kontinuerlige konstruktion med en
beregningsmodel som har et begrænset antal
frihedsgrader
– Lumped masses
• Konstruktionens masser er koncentreret i diskrete punkter
forbundet med vægtløse elementer med fordelt elasticitet
– Generaliserede flytninger
• Konstruktionens flytningsfelt udtrykkes ved hjælp af antagede
formfunktioner og et begrænset antal generaliserede flytningsparametre
• FE diskretisering er et specielt tilfælde, som vi dog ikke vil
forfølge videre i dette kursus
Idealisering/diskretisering (2)
Idealisering/diskretisering (3)
• Starter med at se på simple systemer som
kan beskrives ved hjælp af kun én
frihedsgrad
– Lineært system
– Foreskrevne dynamiske laster
x
k
c
m
F (t )
Idealisering/diskretisering (4)
• Konstruktioner som forenklet kan
betragtes som et-frihedsgrad-systemer
Kraftdiagram
• En tegning som viser alle ydre kræfter
som virker på et givet objekt (her masse)
– På engelsk Free-body-diagram (FBD)
Dynamisk ligevægtsligning (1)
• Direkte ud fra Newtons anden lov
F(t ) = Mx(t )
– Eksempel: symmetrisk stift, plant legeme
∑F
x
∑M
= m ( aG ) x
G
= I Gα
∑F
y
= m ( aG ) y
Dynamisk ligevægtsligning (2)
• Ved at bruges d’Alembert’s princip
– Der tilføjes en fiktiv kraft lig med masse gange
acceleration modsat rettet accelerationen
– Den dynamiske ligevægtsligning reduceres til
en ligning som ydtrykker statisk ligevægt
Fid (t ) = − Mx(t )
F (t ) + Fid (t ) = 0
1-dof udæmpet, fri svingning
• Free-body diagram
– Viser alle ydre kræfter som virker på massen
mg
mg
x
k
m
kx
kx
N
(a)
(b)
− kx = mx
mx
N
(c)
mx + kx = 0
1-dof generelt system
• Free body diagram
– Viser alle ydre kræfter som virker på massen
mg
mg
x
k
m
c
F (t )
kx
F (t )
cx
cx
N
(a)
kx
(b)
mx
F (t )
N
(c)
– Hvem kan opskrive den dynamiske
ligevægtsligning
Dynamisk ligevægtsligning (3)
• 1-dof generelt system
mx + cx + kx = F (t )
• Komponenter i den dynamiske ligevægtsligning
Fi (t ) + Fd (t ) + Fs (t ) = F (t )
– De ydre kræfter balanceres ikke udelukkende af elastiske
kræfter som i en statisk analyse, men derimod også af
inertikræfter og dæmpningskræfter. Det enkelte konstruktionselement skal dimensioneres for dets elastiske kræfter.
Dynamisk ligevægtsligning (4)
•
Generelt n-dof system
Mx(t ) + Cx (t ) + Kx (t ) = F (t )
•
De tre skridt I en dynamisk analyse
– Vælg en passende diskret beregningsmodel
– Opstil den dynamiske ligevægtsligning for
den valgte beregningsmodel
– Løs den dynamiske ligevægtsligning med de
foreliggende initialbetingelser
Eksempler
• Eksempel 1
– Simpelt understøttet bjælke med koncentreret masse
på midten
• Eksempel 2
– Udkraget bjælke med koncentreret masse i enden
• Eksempel 3
– Portalramme
• Eksempel 4
– Parallelle fjedre
– Fjedre i serie
Øvelse 1
• Opstil den dynamiske ligevægtsligning for
det viste spil
Øvelse 1 grundlag