Svingninger og Bølger
Introduktion til dynamisk analyse John Wægter Sigte med kurset • En bred introduktion til dynamiske problemstillinger • Hovedvægt på simplest mulig mekanisk forståelig fremstilling • Udstrakt brug af eksempler • Laboratoriearbejde i forbindelse med miniprojekt Indhold • 10 teorimoduler – Analytiske og numeriske øvelser samt miniprojekt understøttet af Mathcad • 2 teoritimer med forelæsning – Kort repetition af forrige modul – Forelæsning over nyt teorimodul • 2 øvelsestimer/miniprojekt med vejledning – De studerende regner udleverede opgaver/arbejder med miniprojektet i grupper. – Der gives vejledning til opgaveløsningen/miniprojektet – Der udleveres løsning til opgaverne efter øvelsestimerne Forventede resultater • Når du er færdig med dette kursus har du opnået en god grundlæggende forståelse af dynamiske problemstillinger – Forudsat du har læst og forstået det udleverede materiale • Miniprojektet og tilhørende labaratoriearbejde understøtter forståelsen • Eksempler og øvelser samt miniprojektet understøttes gennem brugen af Mathcad • Du får en ny god arbejdskammerat som du vil få meget glæde af i fremtiden: Mathcad ☺. Lektioner 1) Introduktion til det dynamiske problem 2) Den frie svingning 3) Måling af dynamisk respons i laboratoriet 4) Tvungne svingninger med harmonisk last 5) Tvungne svingninger med generel belastning 6) Generaliseret ét-frihedsgrads-system 7) Systemer med mange frihedsgrader 8) Egenværdier og egenvektorer 9) Modal analyse 10) Tidsintegration Lektion 1 • Hvornår har jeg et dynamisk problem – Tidsvarierende last – Tilstedeværelse af inertikræfter • Newtons love • Opstilling af de dynamiske ligevægtsligninger – – – – Dynamiske frihedsgrader Newtons anden lov D’Alemberts princip Eksempler • Øvelser Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning Tegning: Leif H. Jensen Høje slanke bygninger er udsat for svingninger og dynamisk påvirkning på grund af vind Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning Tegning: Leif H. Jensen Konstruktioner sættes i svingninger på grund af mennesker i bevægelse Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning Tegning: Leif H. Jensen Resonans kan opstå i konstruktioner fra mennesker i taktfast bevægelse Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning Tegning: Leif H. Jensen Vibrationer fra byggearbejde kan overføres gennem jorden Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning Tegning: Leif H. Jensen Rystelser fra trafiklast kan også overføres gennem jorden Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning Tegning: Leif H. Jensen Broer udsættes for dynamisk påvirkning fra trafiklast Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning Tegning: Leif H. Jensen Specielle tunge transporter giver dynamisk påvirkning Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning Tegning: Leif H. Jensen Stød mod bropiller kræver specielle konstruktive deltaljer Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning Tegning: Leif H. Jensen Konsekvensen af ulykkeslaster som skibsstød mod bropiller skal begrænses til en lokal skade, progressivt kollaps skal forhindres Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning Tegning: Leif H. Jensen Konstruktioner skal sikres mod uventede dynamiske påvirkninger i byggefasen Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning Tegning: Leif H. Jensen Faldende genstande giver stødpåvirkning Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning Tegning: Leif H. Jensen Makinelt udstyr kan forårsage svingninger specielt skal resonansfænomener undgåes Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning Tegning: Leif H. Jensen Eksplosionslaster er en speciel dynamisk belastning Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning Tegning: Leif H. Jensen Kajkonstruktioner skal kunne tåle stød fra skibe Konstruktioner udsat for svingninger og dynamisk påvirkning Tegning: Leif H. Jensen Marine konstruktioner får dynamisk påvirkning fra bølger og vind Dynamisk problem • Et dynamisk problem adskiller sig fra et statisk problem ved at have – En tidsafhængig løsning – Fremkalde inertikræfter i konstruktionen • Hvis bevægelsen er så langsom at inertikræfterne kan negligeres kan man på ethvert tidspunkt finde responsen i konstruktionen ved statisk analyse selv om belastningen varierer med tiden. Dette kaldes kvasi-statisk analyse Tidsvarierende laster Inertikræfter • Når en masse udsættes for tidsvarierende flytninger og dermed accelerationer opstår der inertikræfter som søger at modvirke bevægelsen Newtons love (1) • 1. lov Et legeme, der ikke er påvirket af nogen resulterende kraft er enten i hvile eller bevæger sig i en jævn retlinet bevægelse • 2. lov Et legeme med massen m, der påvirkes af en resulterende kraft F, vil have en acceleration som opfylder: d F = (mv ) = ma dt • 3. lov Påvirker et legeme et andet med kraften F, så vil dette påvirke førstnævnte legeme med den modsatrettede kraft -F. Denne lov kaldes loven om aktion og reaktion. Newtons love (2) • Gælder kun i inertialsystemer – Et referencesystem i hvile eller i en jævn retlinet bevægelse • Nedskrevet på grundlag af eksperimenter – Kan ikke udledes • Gyldighedsområde – Så længe hastighederne er væsentlig mindre end lysets hastighed og dimensionerne er væsentlig større end atomare størrelser • I lille skala erstattes de af kvantemekanik • For hutig bevægelse erstattes de af relativitetsteori Dynamiske frihedsgrader • Det antal flytnings-og rotationsfrihedsgrader som er nødvendige for fuldstændigt at kunne beskrive virkningen af inertikræfterne – Må kende flytning og rotation af alle massepunkter • En kontinuert konstruktion har uendelig mange frihedsgrader Idealisering/diskretisering (1) • Tilnærmer kontinuerlige konstruktion med en beregningsmodel som har et begrænset antal frihedsgrader – Lumped masses • Konstruktionens masser er koncentreret i diskrete punkter forbundet med vægtløse elementer med fordelt elasticitet – Generaliserede flytninger • Konstruktionens flytningsfelt udtrykkes ved hjælp af antagede formfunktioner og et begrænset antal generaliserede flytningsparametre • FE diskretisering er et specielt tilfælde, som vi dog ikke vil forfølge videre i dette kursus Idealisering/diskretisering (2) Idealisering/diskretisering (3) • Starter med at se på simple systemer som kan beskrives ved hjælp af kun én frihedsgrad – Lineært system – Foreskrevne dynamiske laster x k c m F (t ) Idealisering/diskretisering (4) • Konstruktioner som forenklet kan betragtes som et-frihedsgrad-systemer Kraftdiagram • En tegning som viser alle ydre kræfter som virker på et givet objekt (her masse) – På engelsk Free-body-diagram (FBD) Dynamisk ligevægtsligning (1) • Direkte ud fra Newtons anden lov F(t ) = Mx(t ) – Eksempel: symmetrisk stift, plant legeme ∑F x ∑M = m ( aG ) x G = I Gα ∑F y = m ( aG ) y Dynamisk ligevægtsligning (2) • Ved at bruges d’Alembert’s princip – Der tilføjes en fiktiv kraft lig med masse gange acceleration modsat rettet accelerationen – Den dynamiske ligevægtsligning reduceres til en ligning som ydtrykker statisk ligevægt Fid (t ) = − Mx(t ) F (t ) + Fid (t ) = 0 1-dof udæmpet, fri svingning • Free-body diagram – Viser alle ydre kræfter som virker på massen mg mg x k m kx kx N (a) (b) − kx = mx mx N (c) mx + kx = 0 1-dof generelt system • Free body diagram – Viser alle ydre kræfter som virker på massen mg mg x k m c F (t ) kx F (t ) cx cx N (a) kx (b) mx F (t ) N (c) – Hvem kan opskrive den dynamiske ligevægtsligning Dynamisk ligevægtsligning (3) • 1-dof generelt system mx + cx + kx = F (t ) • Komponenter i den dynamiske ligevægtsligning Fi (t ) + Fd (t ) + Fs (t ) = F (t ) – De ydre kræfter balanceres ikke udelukkende af elastiske kræfter som i en statisk analyse, men derimod også af inertikræfter og dæmpningskræfter. Det enkelte konstruktionselement skal dimensioneres for dets elastiske kræfter. Dynamisk ligevægtsligning (4) • Generelt n-dof system Mx(t ) + Cx (t ) + Kx (t ) = F (t ) • De tre skridt I en dynamisk analyse – Vælg en passende diskret beregningsmodel – Opstil den dynamiske ligevægtsligning for den valgte beregningsmodel – Løs den dynamiske ligevægtsligning med de foreliggende initialbetingelser Eksempler • Eksempel 1 – Simpelt understøttet bjælke med koncentreret masse på midten • Eksempel 2 – Udkraget bjælke med koncentreret masse i enden • Eksempel 3 – Portalramme • Eksempel 4 – Parallelle fjedre – Fjedre i serie Øvelse 1 • Opstil den dynamiske ligevægtsligning for det viste spil Øvelse 1 grundlag
© Copyright 2024