1. No category

Pulserende Stjerner 2010
Analysis of frequencies of solar-like oscillations
Søren Frimann
1. maj 2010
AFSNIT 1. INDLEDNING
1
1
Indledning
Satellitmissioner såsom Corot og Kepler sætter i disse år nye standarder for potentialet
i brugen af seismisk data til at udlede informationer om stjernernes indre. Kun overgået
af data fra Solen, er der især knyttet mange forventninger til NASAs Kepler mission, der
med en forventet levetid på missionen på 3.5 år, forhåbentlig vil kunne hjælpe os til at
forstå de indre mekanismer i stjernerne, meget bedre end vi kan idag [4].
Nærværende projekt har til formål at diskutere og vurdere værdien af seismiske analyser udført på syntetisk data, specielt med fokus på sollignende stjerner. Sådanne analyser
har til formål at vurdere potentialet i forskellige analysemetoder, således at man en ide
om hvilke værktøjer man kan bruge, og hvad man kan forvente af dem, når de rigtige data
bliver tilgængelige. Vi vil i Afsnit 2 og 3 gennemgå artiklerne Basu et al. 2002 (ref [2]) og
Monteiro et al. 2002 (ref [6]), som begge beskæftiger sig med asteroseismiske analyser på
syntetisk data. Afsnit 4 indeholder diskussion og konklusion over problemstillingen.
2
Gennemgang af Basu et al. 2002
Formålet med artiklen er at undersøge potentialet i brugen af SOLA inversion til at udlede
information om den indre struktur i sollignende stjerner. Da SOLA inversion bygger på
brugen af en referencemodel, der pertuberes til at fitte til de rigtige data, vælger artiklen
en standardmodel for Solen som reference og konstruerer datasættet ud fra en anden model
som opfører sig markant anderledes. I Tabel 1 er oplistet de tre sæt svingningsmodes, der
benyttes i artiklen. Det bemærkes, at desto flere modes, der antages at kunne observeres,
desto bedre vil inversionen blive – omvendt er det også vigtigt at benytte realistiske mode
sæt, hvis øvelsen skal have nogen værdi i forhold til rigtige data.
Tabel 1: De tre sæt af modes, der benyttes i artiklen. Navnene på de tre sæt svarer til dem, der
benyttes i artiklen.
2.1
Paper
Mode set
Gough & Kosovichev
(GK set)
l = 0, 1, n = 10 − 30
l = 2, n = 9 − 29
Basu et al.
Set 1
l = 0, n = 11 − 27
l = 1, n = 12 − 28
l = 2, n = 15 − 27
Basu et al.
Set 1
l = 0,
l = 1,
l = 2,
l = 3,
n = 14 − 32
n = 13 − 29
n = 15 − 30
n = 16 − 28
SOLA inversion
Artiklen beskæftiger sig med SOLA inversion af kernestruktur for sollignende stjerner, og
det er derfor naturligt som det første at gennemgå de vigtigste hovedpunkter bag SOLA
inversion. Gennemgangen baserer sig på afsnit 3.6 og 7.1 i [1], samt i mindre grad på [7].
Subtractive optimally localized averaged (SOLA) er en inversionsmetode, der baserer
sig på linearisation af ligningerne for stjernesvingnigner omkring en kendt referencemodel
AFSNIT 2. GENNEMGANG AF BASU ET AL. 2002
2
(for sollignende stjerner vil det ofte være oplagt at vælge en model for Solen). Svingningerne antages normalt at være adiabatiske hvorved, som diskuteret i afsnit 3.3.3 i [1], der kun
kommer til at indgå to uafhængige parametre i inversionen (mere præcist tætheden ρ og
den adiabatiske eksponent Γ1 ). Ofte benyttes i stedet for Γ1 den adiabatiske lydhastighed
i stjernen, som kan skrives: c2 = Γ1 p/ρ (p er ikke en uafhængig variabel i adiabatiske
modeller men afhænger af ρ gennem ligningen for hydrostatisk ligevægt).
Fra afsnit 3.6.2 i [1], har vi givet således givet, at afvigelser fra referencemodellen kan
beskrives vha. de to parametre c2 og ρ:
δωi
=
ωi
R
Z
0
δc2
Kci2 ,ρ 2
δρ
i
Kρ,c
2
+
c
ρ
!
dr +
Fsurf (ωi )
+ ǫi ,
Qi
(1)
hvor i løber fra 1 til M og angiver de forskellige svingningsmodes (n og l). δωi /ωi , δc2 /c2
i
og δρ/ρ, angiver de relative afvigelser fra referencemodellen. Kci2 ,ρ og Kρ,c
2 er kerner
(engelsk: kernels), der afhænger af referencemodellens egenfunktioner for forskellige modes.
Kernerne kan forstås som vægtfunktioner, der angiver de forskellige modes følsomhed i
forskellige regioner af stjernen.
Leddet Fsurf (ωi )/Qi angiver usikkerhederne stammende fra stjernens øvre lag, der opstår fordi de adiabatiske ligninger er en dårlig approksimation i dette område (se afsnit 3.1.2 i [1]). Leddet ǫi er et udtryk for den observationelle usikkerhed, som antages at
være normalfordelt.
Ofte benyttes i stedet for c2 og ρ to andre variable u (den isotermiske lydhastighed i
anden u = p/ρ) og Y (helium abduktansen). Disse variable fremkommer idet Γ1 gennem
tilstandsligningen kan skrives som funktion af p, ρ, Y og Z, hvor Z er abduktansen af
de tungere elementer. Abduktansen af tunge elementer antages at være kendt gennem
spektroskopi af stjernens overflade, således at det led der ellers ville være kommet i δZ
udgår. (1) kan således skrives om så den afhænger af de to andre parametre:
δωi
=
ωi
Z
0
R
i
Ku,Y
δu
i
+ KY,u
δY
u
dr +
Fsurf (ωi )
+ ǫi .
Qi
(2)
i
kun afviger markant fra
Brugen af u og Y som inversionsvariable har den fordel at Ku,Y
nul i hydrogen og heliums ionisations zoner (se Figur 3.27 i [1]). Dette vil, som vi skal se
senere, være en stor fordel ved inversion mht. u.
For lineære inversions metoder såsom SOLA, bestemmes løsningen i et givent punkt
r0 af en række inversionskoefficienter, ci (r0 ), sådan at den udledte værdi af inversionsparameteren (eksempelvis δu/u) er givet ved
X
δωi
δu
ci (r0 )
(r0 ) =
.
u
ωi
i
(3)
Udfordringen er altså at finde de optimale inversionskoefficienter, således at den udledte
værdi i (3) bliver så god som mulig. For at få en fornemmelse for de enkelte leds betydning
indsættes (2) i (3):
X
δu
δωi
ci (r0 )
(r0 ) =
=
u
ωi
i
+
Z
R
0
X
δu
Ku,Y (r0 , r) dr +
u
ci (r0 )
i
Z
0
R
CY,u (r0 , r)δY dr
Fsurf (ωi ) X
ci (r0 )ǫi ,
+
Qi
i
(4)
hvor
Ku,Y (r0 , r) =
X
i
i
ci (r0 )Ku,Y
(r)
(5)
AFSNIT 2. GENNEMGANG AF BASU ET AL. 2002
3
er den midlede kerne (engelsk: averaging kernel) og
CY,u (r0 , r) =
X
i
ci (r0 )KY,u
(r)
(6)
i
er krydsterms kernen (engelsk: cross-term kernel), som måler indflydelsen fra δY på den
inverterede parameter δu/u. Målet er dels at vælge inversionskoefficienterne således, at
kun det første led i (4) giver et bidrag, dels sådan at den midlede kerne i (5), er så
skarpt peaket omkring r0 som muligt for bedre opløsning af stjernens indre (husk på, at
vi kan betragte kerner som vægtfunktioner – ved at sørge for at den midlede kernel kun
er forskellige fra nul omkring r0 sikrer vi, at vi også kun henter information fra dette
område). Overfladeleddet kan fjernes ved at antage, at Fsurf (ωi ) kan ekspanderes til en
række polynomier. Vi kan således kræve at inversionskoefficienterne skal overholde:
X
ci (r0 )Q−1
i ψλ (ωi ) = 0 ,
λ = 0, 1, . . . , Λ.
(7)
i
Ved SOLA inversion findes inversionskoefficienterne gennem minimering af udtrykket:
Z
0
R
(Ku,Y (r0 , r) − T (r0 , r))2 dr + β
Z
0
R
CY,u (r0 , r)2 dr + µ
X
ci (r0 )2 σi2 .
(8)
i
β og µ er såkaldte trade off parametre, mens T (r0 , r) er en targetfunktion. Målet er at få
Ku,Y (r0 , r) til at ligne T (r0 , r) så meget som muligt (typiske valg for targetfunktioner er
gausskurver centreret omkring r0 , men andre former kan også overvejes, se eksempelvis
[7]). Minimering af (8) vil få den midlede kerne til forsøge at ligne targetfunktionen så
meget som muligt. Sættes β 6= 0, vil bidraget fra krydsterms kernen CY,u (r0 , r), samtidig
forsøges elimineret. Sættes µ 6= 0 vil også usikkerheden på resultatet forsøges minimeret.
Inversionen kan således karakteriseres gennem valget af parametrene Λ, β og µ. Forklaring
på hvad de enkelte parametre betyder for inversionen ligger udenfor rammerne af dette
projekt, og der henvises i stedet til til [7]. Yderligere restriktioner kan indlægges i inversionen alt efter hvilket problem man arbejder med. Eksempelvis kræves for det meste at
integralet over den midlede kerne mht. r skal have værdi 1, så det første led på højresiden
i (4) definerer en sand matematisk midling af δu/u.
2.2
Resultater
Resultaterne for SOLA inversionen er opsummeret i Figur 1, 2 og 3. Figur 1 viser midlede
og krydsterm kerner for henholdsvis u og c2 inversion. Som nævnt i forrige delafsnit, ses
c2 inversion at være en mere besværlig affære end u inversion, formentlig pga. problemer
med at undertrykke krydsterms kernen, som for c2 inversion afhænger af tætheden ρ og
fordeler sig ud over hele stjernen.
Figur 2 viser midlede kerner for alle tre sæt nævnt i Tabel 1. Alle tre kerner ser
umiddelbart tilforladelige ud, omend sæt 1, viser mere overfladestruktur end de to andre.
Dette tilskrives, at dette sæt indeholder færre modes end de andre to, og derfor er sværere
at kontrollere.
Figur 3 viser inversionsresultaterne for de tre sæt, samt indvirkningen af forskellige
usikkerheder på inversionsresultaterne for sæt 2. Det ses tydeligt af sæt 1, at få observable svingningsmodes giver problemer med såvel opløsning som usikkerheder. De bedste
resultater ses at være givet for sæt 2, hvilket er konsistent med at dette sæt er det mest
“liberale” af de tre. For sæt 2 er også vist effekten af at variere de observationelle usikkerheder. Man kan gennem (8) vælge at lade denne effekt virke primært til en forbedring af
AFSNIT 2. GENNEMGANG AF BASU ET AL. 2002
(a)
4
(b)
Figur 1: (a) viser midlede kerner for inversion i forhold til henholdsvis u og c2 , for forskellige
værdier af r0 . Bemærk hvordan u kernen i alle tre vinduer er pænt lokaliseret omkring r0 , med
meget lidt struktur andre steder. Omvendt er c2 kernen i de to nederste vinduer meget dårligt
lokaliseret og har meget struktur andre steder – specielt ved overfladen. (b) Viser krydsterms
kerner for de samme parametre. For u inversion ses undertrykkelsen af kernen at være meget
effektiv, mens der for c2 inversion stadig er både overflade og dybereliggende strukturer tilbage.
Kernerne er beregnet ud fra Sæt 2, med en uniform usikkerhed på 0.3 µHz.
Figur 2: Midlede kerner for de tre sæt fra Tabel 1. Sæt 1 (prikkede linier), sæt 2 (optrukne linier)
og GK sæt (stiplede linier). Alle tre sæt ses at være ganske vellokaliserede omkring r0 (som har
samme værdier som i Figur 1a). Alle tre kerner ses dog også at udvise struktur andre steder end
omkring r0 . Specielt sæt 1 udviser meget overfladestruktur konsistent med at dette er det mest
“konservative” sæt af de tre, og derfor også det sæt hvor vi må forvente den dårligste inversion.
opløsningen, af usikkerhederne eller en kombination af de to. I Figur 3b, ser det primært
ud til, at reduktionen af de observationelle usikkerheder er blevet brugt til at formindske
usikkerhederne ved inversionen.
Artiklen ender med at konkludere, at det i fremtiden vil være muligt i nogen grad
at udføre inversion af sollignende stjerners kerner for den isotermiske lydhastighed, u. c2
inversion konkluderes fortsat at ville være for besværlig pga. de begrænsede muligheder for
observation af svingningsmodes, hvilket gør det svært at undertrykke krydsterms kerner.
Ikke overraskende konkluderes det også at resultaterne afhænger kraftigt af hvor mange
modes, der kan observeres, samt af den observationelle usikkerhed, omend det ikke står
AFSNIT 3. GENNEMGANG AF MONTEIRO ET AL. 2002
(a)
5
(b)
Figur 3: (a) viser inversionsresultaterne for de tre betragtede sæt. Vandrette errorbars angiver
opløsningen (den midlede kernes bredde), mens lodrette errorbars angiver 1σ usikkerheder. Sæt 1
ses generelt at have både dårlig opløsning og store usikkerheder mens resultaterne for sæt 2 og
GK er betydeligt bedre. Det bedste sæt er imidlertid sæt 2, der også er det mest “liberale” af de
tre. I alle tre tilfælde antages en uniform usikkerhed på 0.3 µHz. (b) Viser inversionen for sæt 2,
men med forskellige usikkerheds distributioner. Vindue (c) viser en usikkerhedsdistribution, som
emulerer de usikkerheder der vil være på rigtige data. Vi henviser til Figur 6 i artiklen for denne
usikkerhedsdistribution. Den optrukne linie viser i begge tilfælde den egentlige forskel mellem
referencemodellen og datamodellen.
klart præcist hvordan mode sættet indvirker på resultaterne.
En ekstra konklusion at hive ud af denne artikel, er at det opløsningen af inversionen ser
ud til at blive dårligere desto længere man bevæger sig væk fra centrum (se Figur 3). Dette
er naturligvis ingen stor overraskelse da kun svingningsmodes med lave l kan observeres
(pga. kancelering ved integration over stjernens overflade). Svingningsmodes med lave l
er primært følsomme overfor forhold i stjernens centrum, og det kommer derfor ikke som
nogen overraskelse hvis det bliver svært at konstuerer midlede kerner med god opløsning
længere ude i stjernen.
3
Gennemgang af Monteiro et al. 2002
Formålet med artiklen er at finde ud af i hvor høj grad seismologisk data af høj kvalitet vil
kunne hjælpe os til at udlede forskellige informationer om stjerners indre – specielt med
fokus på sollignende stjerner. Problemet angribes på samme måde som i ref [2]: Syntetiske
datasæt, med en kvalitet svarende til hvad der forventes at blive muligt i fremtiden, konstrueres udfra stjernemodeller med forskellige egenskaber. I alt konstrueres tre datasæt,
som analyseres (denne gang i en blindtest) for herigennem at afgøre hvor godt man er i
stand til at bestemme stjernens parametre. Egenskaber for de tre datasæt kan ses i Tabel 2
– for yderligere information henvises til artiklen.
3.1
Asymptotisk analyse
Analysen i artiklen er i høj grad baseret på asymptotisk analyse gennem bestemmelse af
den store og den lille opsplitning (∆ν og δν). Vi vil derfor kort gennemgå nogle aspekter
ved asymtotisk analyse. Gennemgangen baserer sig primært på afsnit 3.4 og 7.2 i [1].
AFSNIT 3. GENNEMGANG AF MONTEIRO ET AL. 2002
6
En af følgerne af den asymptotiske teori for stjernesvingninger er at frekvensen for
svingningsmodes med lave l kan skrives:
νnl
l
∼
= n + + ǫ0 ∆ν − l(l + 1)D0 ,
2
(9)
hvor δνnl ≡ (4l+6)D0 , ǫ0 afhænger af forhold ved stjernens overflade, og n og l er kvantetal,
der karakteriserer svingningsmoden. ∆ν og δνnl betegnes henholdsvis den store og den
lille frekvensopsplitning. Asymptotisk analyse giver, at den store frekvensopsplitning (som
måles mellem modes med samme l men forskellig n) i virkeligheden siger noget om lydens
udbredelse i stjernen, mere præcist gælder:
" Z
∆ν = 2
0
R
dr
c
#−1
,
(10)
svarende til den inverse af to gange lydens hastighed fra centrum og op til stjernens overflade. Den lille frekvensopsplitning ses at splitte det sammenfald i frekvens, der ellers ville
have ført til at νnl = νn−1,l+2 . Den lille frekvensopsplitning afhænger af lydhastighedens
gradient i kernen, mere præcist:
∆ν
δνnl ∼
= −(4l + 6) 2
4π νnl
Z
0
R
dr dr
.
dc r
(11)
Lydhastigheden er særdeles følsom overfor ændringer i stofsammensætningen (for en ideel
gas gælder c2 = (Γ1 kB T ) /(µmu ). Efterhånden som brint laves om til helium stiger middelmolekylevægten µ og dermed falder c2 ), og den lille frekvensopsplitning bliver dermed et
udtryk for stjernens alder. Selvom den asymptotiske analyse antyder, at ∆ν og δν er konstante værdier er begge i virkeligheden funktioner af frekvensen (se Figur 1 og 2 i artiklen).
Ofte finder man en repræsentativ værdi for hver af de to opsplitninger og bruger denne
i analysen. Denne værdi kan enten findes som værdien ved en given frekvens, men mest
normalt er nok at regne en middelværdi for opsplitningerne baseret på mange målinger.
For data af høj kvalitet kan man bruge denne frekvensafhængighed til at udlede yderligere
parametre for stjernen (se eksempelvis Figur 7.57 i [1]). Det er dog ikke en analysemetode,
som benyttes i denne artikel.
Skarpe variationer i stjernens indre struktur (såsom grænsen mellem den radiative og
den konvektive zone) forårsager en pertubation i frekvensen, proportional med svingningsmodens amplitude på det punkt (kan ses ved at indse, at man ikke kan ændre egenskaber
ved en svingning ved dennes knudepunkt). Denne pertubation giver således anledning til
et periodisk signal ovenpå frekvenserne, som kan udtrykkes:
A(ω) cos (2(ωτd + φ0 )) ,
(12)
hvor ω = 2πν, A(ω) er signalets amplitude (som er proportional med overgangens skarphed), τd den akustiske dybde for den konvektive zones bund og φ0 er en fase. Fremkomsten
af (12) er diskuteret mere udførligt i [5], hvor det også er vist at tilstedeværelsen af overshoot (som effektivt udvider den konvektive zone ind i den radiative zone) forhøjer A. Den
periodiske frekvenspertubation, (12), kan ses plottet i Figur 3 i artiklen.
3.2
Modeller
Modeller af stjerner med forskellig masse og alder, kan bruges til at konstruere (∆ν, δν)diagrammer (også kendt som C-D diagrammer, se Figur 4), der viser hvordan massen og
AFSNIT 3. GENNEMGANG AF MONTEIRO ET AL. 2002
7
Figur 4: C-D diagrammer for fire forskellige modeller med parametre Z (abduktans af tunge
elementer), X0 (oprindelig abduktans af hydrogen) og α (Mixing-length parameter). (a) viser
standardmodellen med parametre som angivet, mens (b), (c) og (d) viser effekten ved at variere
disse parametre én af gangen. Standardmodellen er i (b), (c) og (d) vist som prikkede linier. Det
er tydeligt, at variation af parametrene rykker rundt på diagrammets placering og dermed også
ændrer estimaterne af stjernernes masse og alder (de tre teststjerner er også vist plottet).
den centrale hydrogen abduktans Xc afhænger af den store og den lille opsplitning. Den
store og den lille frekvensopsplitning afhænger imidlertid også af andre parametre end blot
stjernens masse og alder, og flere parametre for stjernen skal gerne være kendt for bedre
at kunne låse C-D digrammet fast og herigennem nå mere sikre estimater for stjernens
masse og alder.
Parametrene for amplitude og akustisk dybde, som beskriver forholdene ved den konvektive zones bund, afhænger også af stjernens masse og alder, og igen kan man udfra en
række forskellige modeller opstille et diagram der´, givet den akustiske dybde og amplitude, kan fastlåse stjernens masse og alder (se Figur 5a) – overshoot er ikke medregnet i disse
modeller. En del af den variation, der ses i den akustiske dybde og amplitude forpforskellige modeller skyldes i virkeligheden ændringer i den dynamiske tidsskala tdyn ∝ R3 /M
(se afsnit 3.3.3 i [1]). Ændringer i den dynamiske tidsskala vil naturligvis også medføre
ændringer i målinger af tider og
kan imidlertid divideres ud
p
pfrekvenser – denne ændring
ved at skalere frekvenser med M/R3 og tider med R3 /M . Dette er vist i Figur 5b,
hvor det ses, at det meste af den ændring der ses i den akustiske dybde i Figur 5a skyldes
ændringer i den dynamiske tidsskala, mens faldet i amplituden A efterhånden som stjernen
ældes skyldes reelle ændringer af forholdene ved den konvektive zones bund.
AFSNIT 3. GENNEMGANG AF MONTEIRO ET AL. 2002
(a)
8
(b)
Figur 5: (a) viser hvordan amplituden og den akustiske dybde for signalet fra den konvektive
zones bund afhænger af stjernens masse og alder. (b) viser hvordan denne afhængighed ser ud når
variationer fra ændringer i den dynamiske tidsskala tages ud. De viste kurver svarer til konstante
masser. De prikkede kurver svarer til dem i (a).
3.3
Resultater
Som førnævnt konstrueres tre datasæt udfra tre forskellige modeller. Tabel 2 lister dels
de parametre, der antages at kunne observeres for de tre stjerner, dels de analytiske resultater og dels de input, der blev brugt til at konstruere modellerne. Ikke al tilgængelig
information er lagt ind i tabellen, og vi henviser til artiklen for det fulde billede. For hver
stjerne antages det at man kan observere et antal modes (og derigennem bestemme den
store og lille opsplitning). Desuden observeres stjernens luminositet, effektive temperatur
og metalicitet på overfladen. Specielt luminositet og temperatur benyttes til at bestemme
afvigelser mellem observationerne og de fire referencemodeller vist i Figur 4. Pertubationerne i egenfrekvenserne fittes desuden til (12) for at bestemme Ad og τd .
Tabel 2: Resultater for de tre datasæt. Første række angiver de observationelle parametre for hver
stjerne. Anden række angiver de resultater der bliver fundet i analysen, mens tredje række angiver
de modelparametre, der blev brugt til at konstruere datasættene. Bemærk, at kun S1 fitter til en
af de fire referencemodeller, og vi derfor kun har et tal for den beregnede luminositet og effektive
temperatur for denne stjerne. Overshoot ℓov angives i forhold til trykskalahøjden Hp , i stjernen.
Star
M/M⊙
Xc
L/L⊙
Teff (K)
ℓov /Hp
S1
–
1.035 ± 0.009
1.033
–
0.330 ± 0.018
0.333
1.186 ± 0.036
1.166
–
5810.6 ± 50.0
5859
–
–
0.1
0.0
S2
–
1.05 ± 0.01
1.000
–
< 0.1
0.017
1.355 ± 0.041
–
–
5725.0 ± 50.0
–
–
–
0.0
0.0
S3
–
1.10 ± 0.02
1.100
–
0.55 ± 0.02
0.521
1.259 ± 0.038
–
–
5947.9 ± 50.0
–
–
–
0.2
0.2
I Figur 6a er vist et diagram der sammenligner den observerede luminositet og effektive
temperatur for de tre stjerner, samt de samme udledt for de fire referencemodeller. Det
ses, at resultaterne for modellen plottet i Figur 4a stemmer overens med observationerne,
AFSNIT 4. DISKUSSION & KONKLUSION
9
og det konkluderes derfor, at resultaterne for S1 kan beskrives med denne model. For de to
andre stjerner fitter ingen af referencemodellerne tilfredsstillende og det diskuteres hvordan
man kan skrue på parametrene Z, α og X0 , for at skabe overensstemmelse mellem dataene
og modellerne i Figur 6a. De endelige resultater for masse og alder kan ses i Tabel 2
Figur 6b viser hvordan de målte resultater for Ad og τd stemmer overens med modellernes resultater (som er markeret med O’er i figuren). S1 og S3 har umiddelbart en højere
amplitude end forudsagt ud fra modellerne, hvilket konkluderes at skyldes ikke medregnet
overshoot fra den konvektive zone (se Tabel 2. S2 observeres at afvige fra modellens forudsigelser i den akustiske dybde, denne variation tilskrives i artiklen til overfladeeffekter.
(a)
(b)
Figur 6: (a) Viser de tre stjerner i et (L, T ) diagram. Boksene angiver de observationelle placeringer
og usikkerheder, mens resultaterne for de fire referencemodeller er vist med errorbars. De tre linier
angiver konstant radius. S1 og dens modeller er angivet med optrukne linier, S2 med stiplede linier
og S3 med prikkede. (b) viser de tre stjerner i et (τd , A) diagram. Modelresultaterne er markeret
med O’er.
I Tabel 2 ses det at der generelt er god overensstemmelse mellem resultaterne fra analysen, og de stjernemodellernes inputparametre. S1 er konstrueret med fysik og parametre
svarende til standardmodellen i Figur 4a, og det var da også denne model der blev fundet
til at fitte bedst. Det blev konkluderet at der i stjernen også var et overshoot på 0.1Hp ,
hvilket viser sig at være en overfortolkning af dataene, da der ikke indgår overshoot i
modellen.
S2 er konstrueret udfra en anden fysik end referencemodellerne (anden tilstandligning
og medregning af diffusion og settling af elementer). Alligevel lykkedes det at bestemme
en masse og alder af stjernen, der er konsistent med modellen. Afvigelsen i den akustiske
dybde, som blev tilskrevet overfladeeffekter skyldes i stedet effekter fra diffusion og den
anden tilstandsligning.
S3 er konstrueret med fysik og parametre svarende til standardmodellen, men inklusive
overshoot. Resultaterne mellem data og model var konsistente, og der var ikke noget
problem med at detektere tilstedeværelsen af overshoot og størrelsen på denne.
4
Diskussion & konklusion
På baggrund af de to diskuterede artikler konkluderes det, at de to væsentligste krav der
stilles til asteroseismiske dataserier er høj præcision og god opløsning, så man bliver i
LITTERATUR
10
stand til at observere så mange svingningsmodes som muligt, med så høj præcision som
muligt. I [2] er det specielt tydeligt, at mange modes er en forudsætning for god inversion
af kernestrukturer.
I [6] ser antallet af observerede modes ud til at spille en sekundær rolle i forhold
til andre observationelle parametre, der kan hjælpe til at begrænse rummet af mulige
løsninger i C-D diagrammerne. For bestemmelse af Ad og τd i (12) forventes antallet af
modes imidlertid at spille en vigtig rolle i bestemmelsen af disse koefficienter.
Det er i tidsserieanalyse generelt givet, at de vigtigste kvalitetskrav til en tidsserie, er
dens længde (helst uden huller i tidsserien) og observationelle præcision. Desto længere tid
man observerer desto bedre opløsning kan man få i sit powerspektrum, og desto nemmere bliver det også at begrænse støjen. Kepler satellitten er naturligvis perleeksemplet på
disse idealer, da den vil observere det samme felt på himlen uafbrudt i mindst 3.5 år. For
sollignende stjerner (der er karakteriseret ved at svingningerne er stokastisk eksiterede)
er det imidlertid ikke hele historien. Som diskuteret i [3] er Full Width Half Maximum
(FWHM) af linierne i powerspektret givet ved udtrykket Γ = η/π hvor η er dæmpningsgraden. Store stjerner har en højere dæmpningsgrad end små stjerner, og der kan derfor
opstå problemer med at opløse tætliggende frekvenser, et problem der ikke kan løses ved
at forlænge tidsserien da liniebredden er dikteret af de stokastisk eksiterede svingningers
natur. Små stjerner har en lavere dæmpningsgrad, men er også mere lyssvage end de større
stjerner, hvilket går ud over S/N-forholdet. Det vurderes i [3], at Kepler vil have svært
ved at observere mange svingningsmodes i stjerner svagere end Solen, men relativt nemt
ved at observere mange modes i stjerner med tilsvarende eller højere lysstyrke end Solen.
Alt dette afhænger naturligvis også af afstanden til objekterne.
Det er i [3] også vist, at stokastisk eksiterede svingninger er ligger i en såkaldt “Lorentzian envelope” (se Figur 7.3 i [1], der tydeligt viser denne effekt for Solen). Det betyder på
den ene side at mode identifikationen gøres lettere, men det sætter også en øvre grænse
for hvor mange modes man i det hele taget vil kunne observere for sollignende stjerner
da mange modes vil have meget lav power (i forvejen kan man kun observere modes med
lave l da vi ikke kan opløse stjernernes overflade).
Slutteligt er det værd at overveje de faldgrupper der uundgåeligt opstår ved analyser
foretaget på syntetiske data. Syntetisk data konstrueret med modeller giver kun mening
i det omfang, vi forventer virkeligheden stemmer overens med modellerne. Formålet med
bedre data er i høj grad at finde ud af hvor vi tager fejl, og hvordan vi kan forbedre
de modeller vi allerede har. At læne sig for meget op af resultater foretaget på syntetisk
data vil være en fejl, netop af den grund, da vi efterhånden som dataene bliver bedre
nødvendigvis må reevaluere den fysik som modellerne bygger på ... og i sidste ende er det
jo også målet med det hele.
Litteratur
[1] C. Aerts, J. Christensen-Dalsgaard, and D. W. Kurtz. Asteroseismology (Astronomy
and Astrophysics Library). Springer, 2010.
[2] S. Basu, J. Christensen-Dalsgaard, and M. J. Thompson. SOLA inversions for the core
structure of solar-type stars. In B. Battrick, F. Favata, I. W. Roxburgh, & D. Galadi,
editor, Stellar Structure and Habitable Planet Finding, volume 485 of ESA Special
Publication, pages 249–252, January 2002.
[3] W. J. Chaplin, G. Houdek, T. Appourchaux, Y. Elsworth, R. New, and T. Toutain.
Challenges for asteroseismic analysis of Sun-like stars. , 485:813–822, July 2008.
LITTERATUR
11
[4] J. Christensen-Dalsgaard, T. Arentoft, T. M. Brown, R. L. Gilliland, H. Kjeldsen,
W. J. Borucki, and D. Koch. The Kepler asteroseismic investigation. Journal of
Physics Conference Series, 118(1):012039–+, October 2008.
[5] M. J. P. F. G. Monteiro, J. Christensen-Dalsgaard, and M. J. Thompson. Seismic
study of stellar convective regions: the base of the convective envelope in low-mass
stars. , 316:165–172, July 2000.
[6] M. J. P. F. G. Monteiro, J. Christensen-Dalsgaard, and M. J. Thompson. Asteroseismic
inference for solar-type stars. In B. Battrick, F. Favata, I. W. Roxburgh, & D. Galadi,
editor, Stellar Structure and Habitable Planet Finding, volume 485 of ESA Special
Publication, pages 291–298, January 2002.
[7] M. C. Rabello-Soares, S. Basu, and J. Christensen-Dalsgaard. On the choice of parameters in solar-structure inversion. Mon. Not. R. Astron. Soc., 309:35–47, October
1999.