1. No category

SEMIELASTICITET
Goutham Jørgen Surendran
Elasticiteter og logaritmisk dierentiation
Denition af elasticitet1
Når x og y begge antager positive værdier, og y er en dierentiabel funktion mht. x, gælder det, at
Elasticitet =
x dy
dlny
=
y dx
dlnx
(1)
Det 1. led er den matematiske denition af elasticitet, som tidligere er givet i Mat A & B.
Det 2. led er det vi nu vil bevise:
Hvad angår det andet lighedstegn, så husk at ln y er en dierentiabel funktion mht. y, hvor y antages at være en dierentiabel funktion mht. x, og x = elnx er en dierentiabel funktion af ln x:
Vi benytter os af kædereglen og ganger det 2. led i (1) med dy/dy ∗ dx/dx = 1:
dlny dy dx
dlny dy dx
dlny
=
∗
=
dlnx
dlnx dy dx
dy dx dlnx
Bemærk
dlny
dy
og
dx
dlnx
(2)
, hvor for dem gælder:
dlny 1
=
dy
y
dx
delnx
=
= elnx = x
dlnx dlnx
(3)
(4)
(3) & (4) indsættes i (2), hvorefter (1) er bevist:
dlny
1 dy
x dy
=
x=
= Elasticitet
dlnx
y dx
y dx
Semielasticitet
Ved elasticitet, bestemmes den procentvise ændring i y når x ændres en procentdel.
Ved semielastictet, bestemmes den procentvise ændring i y når x ændres med én enhed.
(F.eks. den relative ændring i BNP, når renten øges med ét procentppoint
Når x og y begge antager positive værdier, og y er en dierentiabel funktion mht. x, gælder det, at
Semi − elasticitet =
1 dy
y dx
(5)
Under samme betingelse som i beviset for elasticitetet gælder det at:
Semi − elasticitet =
1 dy
dlny
=
y dx
dx
(6)
Dette bevises således:
dlny
dlny dy
dlny dy
=
∗
=
dx
dx
dy
dy dx
1 Se
desuden en grask illustration af substitutionselasticitet i Sydsæter bind 1, 7.udgave, side 459
1
(7)
SEMIELASTICITET
Goutham Jørgen Surendran
(3) indsættes i (7), hvorefter (5) er bevist:
1 dy
dlny
=
= Semi-elasticitet
dx
y dx
Udnyt semielasticitet til at bestemme FOC
FOC (Første ordensbetingelse) er den betingelse, der bruges til at bestemme for hvilke x funktionen y er
et minimum/minimum:
F OC :
dy
=0
dx
(8)
I ligninger med mange produktled vil det være en fordel at bruge semielasticitet til at bestemme hvilke
x, der opfylder FOC.
Så længe y 6= 0 vil udtrykket for semielasticitet have samme nulpunkter mht. x som dierentering
(Overbevis jer selv, ved at sammenligne ligning (8) med (5).)
2