Ventrac 4231 tD Knækstyret kompakttraktor i særklasse
Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm Funktion af ‡ere variable Funktion af ‡ere variable II Uge 9 Preben Alsholm Efterår 2010 Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm I f er di¤erentiabel i x, hvis grænseværdien f (x + h ) lim h !0 h f (x ) eksisterer. I bekræftende fald kaldes grænseværdien for di¤erentialkvotienten, og den betegnes med f 0 (x ). Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm I f er di¤erentiabel i x, hvis grænseværdien f (x + h ) lim h !0 h f (x ) eksisterer. I bekræftende fald kaldes grænseværdien for di¤erentialkvotienten, og den betegnes med f 0 (x ). I Anderledes sagt: f er di¤erentiabel i x med di¤erentialkvotient a, hvis f (x + h ) f (x ) = ah + ε (h ) jh j hvor ε (h ) ! 0 for h ! 0. Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm I f er di¤erentiabel i x, hvis grænseværdien f (x + h ) lim h !0 h f (x ) eksisterer. I bekræftende fald kaldes grænseværdien for di¤erentialkvotienten, og den betegnes med f 0 (x ). I Anderledes sagt: f er di¤erentiabel i x med di¤erentialkvotient a, hvis f (x + h ) I f (x ) = ah + ε (h ) jh j hvor ε (h ) ! 0 for h ! 0. At f er di¤erentiabel i x betyder altså, at f (x + h ) approksimeres godt ved f (x ) + ah, når jh j er lille. Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm I Lad A Rk og lad x 2 A være indre. Lad f : A ! R. Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm I I Lad A Rk og lad x 2 A være indre. Lad f : A ! R. f er di¤erentiabel i x hvis der …ndes a 2 f (x + h ) Rk så f (x ) = a h + ε (h ) kh k hvor ε (h ) ! 0 for h ! 0. (Her er a h skalarproduktet mellem a og h.) Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm I I Lad A Rk og lad x 2 A være indre. Lad f : A ! R. f er di¤erentiabel i x hvis der …ndes a 2 f (x + h ) Rk så f (x ) = a h + ε (h ) kh k hvor ε (h ) ! 0 for h ! 0. (Her er a h skalarproduktet mellem a og h.) I At f er di¤erentiabel i x betyder altså, at f (x + h ) approksimeres godt ved f (x ) + a h, når kh k er lille. Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm I I Lad A Rk og lad x 2 A være indre. Lad f : A ! R. f er di¤erentiabel i x hvis der …ndes a 2 f (x + h ) Rk så f (x ) = a h + ε (h ) kh k hvor ε (h ) ! 0 for h ! 0. (Her er a h skalarproduktet mellem a og h.) I I At f er di¤erentiabel i x betyder altså, at f (x + h ) approksimeres godt ved f (x ) + a h, når kh k er lille. Vektoren a kaldes gradienten af f i x og betegnes grad f (x ) eller rf (x ). Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm I I Lad A Rk og lad x 2 A være indre. Lad f : A ! R. f er di¤erentiabel i x hvis der …ndes a 2 f (x + h ) Rk så f (x ) = a h + ε (h ) kh k hvor ε (h ) ! 0 for h ! 0. (Her er a h skalarproduktet mellem a og h.) I I I At f er di¤erentiabel i x betyder altså, at f (x + h ) approksimeres godt ved f (x ) + a h, når kh k er lille. Vektoren a kaldes gradienten af f i x og betegnes grad f (x ) eller rf (x ). Udtrykket a h betegnes di¤erentialet af f i x. Betegnelse df (x, h ) = h rf (x ). Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm I I Lad A Rk og lad x 2 A være indre. Lad f : A ! R. f er di¤erentiabel i x hvis der …ndes a 2 f (x + h ) Rk så f (x ) = a h + ε (h ) kh k hvor ε (h ) ! 0 for h ! 0. (Her er a h skalarproduktet mellem a og h.) I I I I At f er di¤erentiabel i x betyder altså, at f (x + h ) approksimeres godt ved f (x ) + a h, når kh k er lille. Vektoren a kaldes gradienten af f i x og betegnes grad f (x ) eller rf (x ). Udtrykket a h betegnes di¤erentialet af f i x. Betegnelse df (x, h ) = h rf (x ). Vi har altså ∆f = f (x + h ) f (x ) = df (x, h ) + ε (h ) kh k ' df (x, h ) for små kh k. Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Partiel di¤erentiation Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm I Rk Lad A og lad x = (x1 , x2 , x3 , . . . , xk ) 2 A. Lad f : A ! R. Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Partiel di¤erentiation Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm I I Rk Lad A og lad x = (x1 , x2 , x3 , . . . , xk ) 2 A. Lad f : A ! R. Antag, at funktionen g (t ) = f (t, x2 , x3 , . . . , xk ) er de…neret i en omegn om x1 . Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Partiel di¤erentiation Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm I I I Rk Lad A og lad x = (x1 , x2 , x3 , . . . , xk ) 2 A. Lad f : A ! R. Antag, at funktionen g (t ) = f (t, x2 , x3 , . . . , xk ) er de…neret i en omegn om x1 . Hvis g er di¤erentiabel i x1 , siges f at have en partiel a‡edet i x mht. førstekoordinaten. Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Partiel di¤erentiation Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm I I Rk Lad A og lad x = (x1 , x2 , x3 , . . . , xk ) 2 A. Lad f : A ! R. Antag, at funktionen g (t ) = f (t, x2 , x3 , . . . , xk ) er de…neret i en omegn om x1 . I Hvis g er di¤erentiabel i x1 , siges f at have en partiel a‡edet i x mht. førstekoordinaten. I Den partielle a‡edede fx01 (x ) = g 0 (x1 ). Andre ∂f betegnelser: ∂x (x ) og D1 f (x ). 1 Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Partiel di¤erentiation Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm I I Rk Lad A og lad x = (x1 , x2 , x3 , . . . , xk ) 2 A. Lad f : A ! R. Antag, at funktionen g (t ) = f (t, x2 , x3 , . . . , xk ) er de…neret i en omegn om x1 . I Hvis g er di¤erentiabel i x1 , siges f at have en partiel a‡edet i x mht. førstekoordinaten. I Den partielle a‡edede fx01 (x ) = g 0 (x1 ). Andre ∂f betegnelser: ∂x (x ) og D1 f (x ). 1 I Sætning 1 (p.53). Hvis f : A Rk ! R er di¤erentiabel x 2 A, så eksisterer alle k partielle ∂f ∂f ∂f a‡edede og rf (x ) = ∂x (x ) , ∂x (x ) , . . . , ∂x (x ) . 1 2 k Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Partiel di¤erentiation Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm I I Rk Lad A og lad x = (x1 , x2 , x3 , . . . , xk ) 2 A. Lad f : A ! R. Antag, at funktionen g (t ) = f (t, x2 , x3 , . . . , xk ) er de…neret i en omegn om x1 . I Hvis g er di¤erentiabel i x1 , siges f at have en partiel a‡edet i x mht. førstekoordinaten. I Den partielle a‡edede fx01 (x ) = g 0 (x1 ). Andre ∂f betegnelser: ∂x (x ) og D1 f (x ). 1 I Sætning 1 (p.53). Hvis f : A Rk ! R er di¤erentiabel x 2 A, så eksisterer alle k partielle ∂f ∂f ∂f a‡edede og rf (x ) = ∂x (x ) , ∂x (x ) , . . . , ∂x (x ) . 1 2 k I Sætning 2 (p.53). Hvis f : A Rk ! R har partielle a‡edede i en omegn af x 2 A, og hvis disse er kontinuerte i x, så er f di¤erentiabel i x. Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm I f (x, y ) = sin (2x + 3y ). Vi har da fx0 fy0 (x, y ) = cos (2x + 3y ) 2 (x, y ) = cos (2x + 3y ) 3 Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm I fx0 fy0 I Funktion af ‡ere variable f (x, y ) = sin (2x + 3y ). Vi har da (x, y ) = cos (2x + 3y ) 2 (x, y ) = cos (2x + 3y ) 3 De nye funktioner fx0 og fy0 har selv partielle a‡edede: fxx00 (x, y ) = fx0 fxy00 (x, y ) = fx0 fyx00 (x, y ) = fy0 fyy00 (x, y ) = fy0 0 x 0 y 0 x 0 y (x, y ) = 4 sin (2x + 3y ) (x, y ) = 6 sin (2x + 3y ) (x, y ) = 6 sin (2x + 3y ) (x, y ) = 9 sin (2x + 3y ) Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Blandede a‡edede, Tangentplan I Mængden af funktioner med kontinuerte partielle a‡edede i A op til og med p’te orden betegnes med C p (A). Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Blandede a‡edede, Tangentplan I I Mængden af funktioner med kontinuerte partielle a‡edede i A op til og med p’te orden betegnes med C p (A). Sætning (p. 67). Lad A Rk være åben. Lad f : A ! R og f 2 C 2 (A). Så gælder for alle x 2 A og alle i, j at ∂2 f ∂2 f (x ) = (x ) ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Blandede a‡edede, Tangentplan I I Mængden af funktioner med kontinuerte partielle a‡edede i A op til og med p’te orden betegnes med C p (A). Sætning (p. 67). Lad A Rk være åben. Lad f : A ! R og f 2 C 2 (A). Så gælder for alle x 2 A og alle i, j at ∂2 f ∂2 f (x ) = (x ) ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi I Lad A Rk og lad f : A ! R. Hvis f er di¤erentiabel i a 2 A kaldes grafen for det lineære udtryk f (a) + rf (a) (x a) for tangentplanen for f i (a, f (a)). Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Blandede a‡edede, Tangentplan I I Mængden af funktioner med kontinuerte partielle a‡edede i A op til og med p’te orden betegnes med C p (A). Sætning (p. 67). Lad A Rk være åben. Lad f : A ! R og f 2 C 2 (A). Så gælder for alle x 2 A og alle i, j at ∂2 f ∂2 f (x ) = (x ) ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi I I Lad A Rk og lad f : A ! R. Hvis f er di¤erentiabel i a 2 A kaldes grafen for det lineære udtryk f (a) + rf (a) (x a) for tangentplanen for f i (a, f (a)). Når k = 2 er ligningen for tangentplanen i (a1 , a2 , f (a1 , a2 )) altså z = f (a1 , a2 ) + rf (a1 , a2 ) (x1 a1 , x2 a2 ) = f (a1 , a2 ) + fx01 (a1 , a2 ) (x1 a1 ) + fx02 (a1 , a2 ) (x2 Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve a2 ) Kædereglen Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm I Lad A R2 og f : A ! R og lad (x, y ) = (X (t ) , Y (t )) , t 2 I , være parameterfremstilling for en kurve, der forløber i A. Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Kædereglen Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm I I Lad A R2 og f : A ! R og lad (x, y ) = (X (t ) , Y (t )) , t 2 I , være parameterfremstilling for en kurve, der forløber i A. Lad g : I ! R være givet ved g (t ) = f (X (t ) , Y (t )) for alle t 2 I . Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Kædereglen Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm I I I Lad A R2 og f : A ! R og lad (x, y ) = (X (t ) , Y (t )) , t 2 I , være parameterfremstilling for en kurve, der forløber i A. Lad g : I ! R være givet ved g (t ) = f (X (t ) , Y (t )) for alle t 2 I . Antag, at X og Y er di¤erentiable i t0 2 I og at f er di¤erentiabel i (x0 , y0 ) = (X (t0 ) , Y (t0 )) (der antages at være et indre punkt i A). Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Kædereglen Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm I I Lad A R2 og f : A ! R og lad (x, y ) = (X (t ) , Y (t )) , t 2 I , være parameterfremstilling for en kurve, der forløber i A. Lad g : I ! R være givet ved g (t ) = f (X (t ) , Y (t )) for alle t 2 I . I Antag, at X og Y er di¤erentiable i t0 2 I og at f er di¤erentiabel i (x0 , y0 ) = (X (t0 ) , Y (t0 )) (der antages at være et indre punkt i A). I Så gælder: g er di¤erentiabel i t0 og g 0 (t0 ) = fx0 (x0 , y0 ) X 0 (t0 ) + fy0 (x0 , y0 ) Y 0 (t0 ). Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Kædereglen Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm I I Lad A R2 og f : A ! R og lad (x, y ) = (X (t ) , Y (t )) , t 2 I , være parameterfremstilling for en kurve, der forløber i A. Lad g : I ! R være givet ved g (t ) = f (X (t ) , Y (t )) for alle t 2 I . I Antag, at X og Y er di¤erentiable i t0 2 I og at f er di¤erentiabel i (x0 , y0 ) = (X (t0 ) , Y (t0 )) (der antages at være et indre punkt i A). I Så gælder: g er di¤erentiabel i t0 og g 0 (t0 ) = fx0 (x0 , y0 ) X 0 (t0 ) + fy0 (x0 , y0 ) Y 0 (t0 ). I Anderledes skrevet: g 0 (t0 ) = rf (x0 , y0 ) (X 0 (t0 ) , Y 0 (t0 )). Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Kædereglen Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm I I Lad A R2 og f : A ! R og lad (x, y ) = (X (t ) , Y (t )) , t 2 I , være parameterfremstilling for en kurve, der forløber i A. Lad g : I ! R være givet ved g (t ) = f (X (t ) , Y (t )) for alle t 2 I . I Antag, at X og Y er di¤erentiable i t0 2 I og at f er di¤erentiabel i (x0 , y0 ) = (X (t0 ) , Y (t0 )) (der antages at være et indre punkt i A). I Så gælder: g er di¤erentiabel i t0 og g 0 (t0 ) = fx0 (x0 , y0 ) X 0 (t0 ) + fy0 (x0 , y0 ) Y 0 (t0 ). I Anderledes skrevet: g 0 (t0 ) = rf (x0 , y0 ) (X 0 (t0 ) , Y 0 (t0 )). I ∂f dX ∂f dY Endnu en version: dg dt = ∂x dt + ∂y dt hvor det underforstås hvor de a‡edede skal evalueres. Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Eksempel på brugen af kædereglen Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm I + y2 Lad f (x, y ) = x ln x og X (t ) = cos t, Y (t ) = sin t. Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Funktion af ‡ere variable Eksempel på brugen af kædereglen Preben Alsholm I I + y2 Lad f (x, y ) = x ln x og X (t ) = cos t, Y (t ) = sin t. Lad g (t ) = f (X (t ) , Y (t )) for t 2 Funktion af ‡ere variable π π 2, 2 . Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Funktion af ‡ere variable Eksempel på brugen af kædereglen Preben Alsholm I I I + y2 Lad f (x, y ) = x ln x og X (t ) = cos t, Y (t ) = sin t. Lad g (t ) = f (X (t ) , Y (t )) for t 2 Funktion af ‡ere variable π π 2, 2 Da X og Y er di¤erentiable overalt og f er di¤erentiabel i R+ R, er g di¤erentiabel i . π π 2, 2 . Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Funktion af ‡ere variable Eksempel på brugen af kædereglen Preben Alsholm I I I I + y2 Lad f (x, y ) = x ln x og X (t ) = cos t, Y (t ) = sin t. Funktion af ‡ere variable Lad g (t ) = f (X (t ) , Y (t )) for t 2 π π 2, 2 Da X og Y er di¤erentiable overalt og f er di¤erentiabel i R+ R, er g di¤erentiabel i fx0 + y2 Vi har (x, y ) = ln x + x fy0 (x, y ) = 2y ln x, X 0 (t ) = 1 x, . π π 2, 2 . sin t og Y 0 (t ) = cos t. Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Funktion af ‡ere variable Eksempel på brugen af kædereglen Preben Alsholm I I I I I + y2 Lad f (x, y ) = x ln x og X (t ) = cos t, Y (t ) = sin t. Funktion af ‡ere variable Lad g (t ) = f (X (t ) , Y (t )) for t 2 π π 2, 2 Da X og Y er di¤erentiable overalt og f er di¤erentiabel i R+ R, er g di¤erentiabel i fx0 + y2 Vi har (x, y ) = ln x + x fy0 (x, y ) = 2y ln x, X 0 (t ) = . π π 2, 2 1 x, sin t og Y 0 (t ) = cos t. Så g 0 (t ) = fx0 (X (t ) , Y (t )) X 0 (t ) + fy0 (X (t ) , Y (t )) Y 0 (t ) = ln X (t ) + X (t ) + Y (t )2 2Y (t ) ln X (t ) Y 0 (t ) = ln cos t + cos t + sin2 t 2 sin t cos t ln cos t . 1 X (t ) 1 cos t X 0 (t ) + sin t + Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Funktion af ‡ere variable Eksempel på brugen af kædereglen Preben Alsholm I I I I I + y2 Lad f (x, y ) = x ln x og X (t ) = cos t, Y (t ) = sin t. Lad g (t ) = f (X (t ) , Y (t )) for t 2 π π 2, 2 Da X og Y er di¤erentiable overalt og f er di¤erentiabel i R+ R, er g di¤erentiabel i fx0 + y2 Vi har (x, y ) = ln x + x fy0 (x, y ) = 2y ln x, X 0 (t ) = . π π 2, 2 1 x, 2Y (t ) ln X (t ) Y 0 (t ) = ln cos t + cos t + sin2 t 2 sin t cos t ln cos t . sin t og Y 0 (t ) = cos t. Så g 0 (t ) = fx0 (X (t ) , Y (t )) X 0 (t ) + fy0 (X (t ) , Y (t )) Y 0 (t ) = ln X (t ) + X (t ) + Y (t )2 I Funktion af ‡ere variable 1 X (t ) 1 cos t Flere eksempler i Maple-worksheet. X 0 (t ) + sin t + Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Funktion af ‡ere variable Bevis for kædereglen I f er di¤erentiabel i (x0 , y0 ) så der …ndes en funktion ε de…neret i en cirkelskive K omkring (0, 0) og med ε (h1 , h2 ) ! 0 for h = (h1 , h2 ) ! (0, 0) så for h 2 K : f (x0 + h1 , y0 + h2 ) Preben Alsholm Funktion af ‡ere variable f (x0 , y0 ) = rf (x0 , y0 ) h + ε (h ) kh k Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Funktion af ‡ere variable Bevis for kædereglen I f er di¤erentiabel i (x0 , y0 ) så der …ndes en funktion ε de…neret i en cirkelskive K omkring (0, 0) og med ε (h1 , h2 ) ! 0 for h = (h1 , h2 ) ! (0, 0) så for h 2 K : f (x0 + h1 , y0 + h2 ) I Preben Alsholm Funktion af ‡ere variable f (x0 , y0 ) = rf (x0 , y0 ) h + ε (h ) kh k Med h = (X (t0 + ∆t ) X (t0 ) , Y (t0 + ∆t ) Y (t0 )) fås nu g (t0 + ∆t ) g (t0 ) = f (x0 + h1 , y0 + h2 ) f (x0 , y0 ) = rf (x0 , y0 ) h + ε (h ) kh k. Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Funktion af ‡ere variable Bevis for kædereglen I f er di¤erentiabel i (x0 , y0 ) så der …ndes en funktion ε de…neret i en cirkelskive K omkring (0, 0) og med ε (h1 , h2 ) ! 0 for h = (h1 , h2 ) ! (0, 0) så for h 2 K : f (x0 + h1 , y0 + h2 ) I I g (t0 ) Funktion af ‡ere variable f (x0 , y0 ) = rf (x0 , y0 ) h + ε (h ) kh k Med h = (X (t0 + ∆t ) X (t0 ) , Y (t0 + ∆t ) Y (t0 )) fås nu g (t0 + ∆t ) g (t0 ) = f (x0 + h1 , y0 + h2 ) f (x0 , y0 ) = rf (x0 , y0 ) h + ε (h ) kh k. Heraf følger g (t0 + ∆t ) ∆t Preben Alsholm = rf (x0 , y0 ) h h + ε (h ) ∆t ∆t j∆t j ∆t Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Funktion af ‡ere variable Bevis for kædereglen I f er di¤erentiabel i (x0 , y0 ) så der …ndes en funktion ε de…neret i en cirkelskive K omkring (0, 0) og med ε (h1 , h2 ) ! 0 for h = (h1 , h2 ) ! (0, 0) så for h 2 K : f (x0 + h1 , y0 + h2 ) I I I g (t0 ) Funktion af ‡ere variable f (x0 , y0 ) = rf (x0 , y0 ) h + ε (h ) kh k Med h = (X (t0 + ∆t ) X (t0 ) , Y (t0 + ∆t ) Y (t0 )) fås nu g (t0 + ∆t ) g (t0 ) = f (x0 + h1 , y0 + h2 ) f (x0 , y0 ) = rf (x0 , y0 ) h + ε (h ) kh k. Heraf følger g (t0 + ∆t ) ∆t Preben Alsholm = rf (x0 , y0 ) h h + ε (h ) ∆t ∆t (X (t +∆t ) X (t ),Y (t +∆t ) Y (t0 )) 0 0 0 h Men ∆t = ∆t (X 0 (t0 ) , Y 0 (t0 )) for ∆t ! 0. ! j∆t j ∆t Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Funktion af ‡ere variable Bevis for kædereglen I f er di¤erentiabel i (x0 , y0 ) så der …ndes en funktion ε de…neret i en cirkelskive K omkring (0, 0) og med ε (h1 , h2 ) ! 0 for h = (h1 , h2 ) ! (0, 0) så for h 2 K : f (x0 + h1 , y0 + h2 ) I I I I g (t0 ) Funktion af ‡ere variable f (x0 , y0 ) = rf (x0 , y0 ) h + ε (h ) kh k Med h = (X (t0 + ∆t ) X (t0 ) , Y (t0 + ∆t ) Y (t0 )) fås nu g (t0 + ∆t ) g (t0 ) = f (x0 + h1 , y0 + h2 ) f (x0 , y0 ) = rf (x0 , y0 ) h + ε (h ) kh k. Heraf følger g (t0 + ∆t ) ∆t Preben Alsholm = rf (x0 , y0 ) h h + ε (h ) ∆t ∆t (X (t +∆t ) X (t ),Y (t +∆t ) Y (t )) j∆t j ∆t 0 0 0 0 h Men ∆t = ! ∆t 0 0 (X (t0 ) , Y (t0 )) for ∆t ! 0. Da ε (h ) = ε (X (t0 + ∆t ) X (t0 ) , Y (t0 + ∆t ) Y (t0 )) ! 0 for ∆t ! 0, fås, at g (t +∆t ) g (t0 ) lim∆t !0 0 ∆t = rf (x0 , y0 ) (X 0 (t0 ) , Y 0 (t0 )). Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Gradient og niveaukurve I Lad A R2 og lad f : A ! R være di¤erentiabel i det indre punkt (x0 , y0 ) 2 A. Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Gradient og niveaukurve I I Lad A R2 og lad f : A ! R være di¤erentiabel i det indre punkt (x0 , y0 ) 2 A. Antag, at rf (x0 , y0 ) 6= (0, 0). Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Gradient og niveaukurve I I I Lad A R2 og lad f : A ! R være di¤erentiabel i det indre punkt (x0 , y0 ) 2 A. Antag, at rf (x0 , y0 ) 6= (0, 0). Niveaukurven for f gennem (x0 , y0 ) er givet ved ligningen f (x, y ) = f (x0 , y0 ). Med k = f (x0 , y0 ) altså f (x, y ) = k. Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Gradient og niveaukurve I I I I Lad A R2 og lad f : A ! R være di¤erentiabel i det indre punkt (x0 , y0 ) 2 A. Antag, at rf (x0 , y0 ) 6= (0, 0). Niveaukurven for f gennem (x0 , y0 ) er givet ved ligningen f (x, y ) = f (x0 , y0 ). Med k = f (x0 , y0 ) altså f (x, y ) = k. Antag, at (X (t ) , Y (t )) , t 2 I , er en parameterfremstilling for f (x, y ) = k med (X (t0 ) , Y (t0 )) = (x0 , y0 ) og at X og Y er di¤erentiable i t0 med (X 0 (t0 ) , Y 0 (t0 )) 6= (0, 0). Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Gradient og niveaukurve I I I I I Lad A R2 og lad f : A ! R være di¤erentiabel i det indre punkt (x0 , y0 ) 2 A. Antag, at rf (x0 , y0 ) 6= (0, 0). Niveaukurven for f gennem (x0 , y0 ) er givet ved ligningen f (x, y ) = f (x0 , y0 ). Med k = f (x0 , y0 ) altså f (x, y ) = k. Antag, at (X (t ) , Y (t )) , t 2 I , er en parameterfremstilling for f (x, y ) = k med (X (t0 ) , Y (t0 )) = (x0 , y0 ) og at X og Y er di¤erentiable i t0 med (X 0 (t0 ) , Y 0 (t0 )) 6= (0, 0). Så gælder f (X (t ) , Y (t )) = k for alle t 2 I , og d dermed dt f (X (t ) , Y (t )) = 0 for alle t 2 I . Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Gradient og niveaukurve I I I I I I Lad A R2 og lad f : A ! R være di¤erentiabel i det indre punkt (x0 , y0 ) 2 A. Antag, at rf (x0 , y0 ) 6= (0, 0). Niveaukurven for f gennem (x0 , y0 ) er givet ved ligningen f (x, y ) = f (x0 , y0 ). Med k = f (x0 , y0 ) altså f (x, y ) = k. Antag, at (X (t ) , Y (t )) , t 2 I , er en parameterfremstilling for f (x, y ) = k med (X (t0 ) , Y (t0 )) = (x0 , y0 ) og at X og Y er di¤erentiable i t0 med (X 0 (t0 ) , Y 0 (t0 )) 6= (0, 0). Så gælder f (X (t ) , Y (t )) = k for alle t 2 I , og d dermed dt f (X (t ) , Y (t )) = 0 for alle t 2 I . d Kædereglen giver så 0 = dt f (X (t ) , Y (t )) t =t0 = 0 0 rf (x0 , y0 ) (X (t0 ) , Y (t0 )). Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Gradient og niveaukurve I I I I I I I Lad A R2 og lad f : A ! R være di¤erentiabel i det indre punkt (x0 , y0 ) 2 A. Antag, at rf (x0 , y0 ) 6= (0, 0). Niveaukurven for f gennem (x0 , y0 ) er givet ved ligningen f (x, y ) = f (x0 , y0 ). Med k = f (x0 , y0 ) altså f (x, y ) = k. Antag, at (X (t ) , Y (t )) , t 2 I , er en parameterfremstilling for f (x, y ) = k med (X (t0 ) , Y (t0 )) = (x0 , y0 ) og at X og Y er di¤erentiable i t0 med (X 0 (t0 ) , Y 0 (t0 )) 6= (0, 0). Så gælder f (X (t ) , Y (t )) = k for alle t 2 I , og d dermed dt f (X (t ) , Y (t )) = 0 for alle t 2 I . d Kædereglen giver så 0 = dt f (X (t ) , Y (t )) t =t0 = 0 0 rf (x0 , y0 ) (X (t0 ) , Y (t0 )). Dvs. at tangentvektoren (X 0 (t0 ) , Y 0 (t0 )) til niveaukurven er vinkelret på gradienten. Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve Gradient og niveaukurve I I I I I I I I Lad A R2 og lad f : A ! R være di¤erentiabel i det indre punkt (x0 , y0 ) 2 A. Antag, at rf (x0 , y0 ) 6= (0, 0). Niveaukurven for f gennem (x0 , y0 ) er givet ved ligningen f (x, y ) = f (x0 , y0 ). Med k = f (x0 , y0 ) altså f (x, y ) = k. Antag, at (X (t ) , Y (t )) , t 2 I , er en parameterfremstilling for f (x, y ) = k med (X (t0 ) , Y (t0 )) = (x0 , y0 ) og at X og Y er di¤erentiable i t0 med (X 0 (t0 ) , Y 0 (t0 )) 6= (0, 0). Så gælder f (X (t ) , Y (t )) = k for alle t 2 I , og d dermed dt f (X (t ) , Y (t )) = 0 for alle t 2 I . d Kædereglen giver så 0 = dt f (X (t ) , Y (t )) t =t0 = 0 0 rf (x0 , y0 ) (X (t0 ) , Y (t0 )). Dvs. at tangentvektoren (X 0 (t0 ) , Y 0 (t0 )) til niveaukurven er vinkelret på gradienten. Se illustration i Maple-worksheet. Funktion af ‡ere variable Preben Alsholm Funktion af ‡ere variable Di¤erentiabilitet for reel funktion af én variabel Di¤erentiabilitet for reel funktion af ‡ere variable Partiel di¤erentiation Partiel di¤erentiation, Eksempel, Højere a‡edede Blandede a‡edede, Tangentplan Kædereglen Eksempler på brugen af kædereglen Bevis for kædereglen Gradient og niveaukurve
© Copyright 2024