Udledning af den barometriske højdeformel.
- Beregning af højde vha. trykmåling.
af Jens Lindballe, Silkeborg Gymnasium
s.1/5
For at kunne bestemme cansatsondens højde må vi se på, hvorledes tryk og højde hænger sammen, når vi bevæger
os opad i vores atmosfære. I flere fysikbøger kan man læse om den Barometriske højdeformel, som udtrykker at der
i den nedre del af atmosfæren er en eksponentiel sammenhæng mellem højde h og lufttryk P.
1013 ,
For at finde højden ud fra trykket får man:
7874,016 ln 1013
Δ h Højde
P Tryk
h1=0
P1=1013hPa
Et umiddelbart problem ved den version af den barometriske højdeformel, som vi her har skrevet op, er, at den ikke
tager højde for at trykket ved jordhøjde, kan variere fra 1013hPa og at andre størrelser så som lufttemperaturen ved
jordhøjde også har betydning for sammenhængen mellem lufttryk og højde.
Spørgsmål:
-
Vis vha. udregning enten med Wordmat eller Ti-nspire at formlen for beregning af højden er rigtig.
Hvorfor kan man ikke bare regne sammenhængen mellem tryk og højde ud fra den lineære sammenhæng vi
udledte for trykket i en væskesøjle? !"# $ % & ? (Det minus der er sat ind skyldes at vi går
opad i luftsøjlen og ikke ned når højden stiger.)
Udvidelse af Den Barometriske højdeformel.
For at tage højde for en ændret Jordhøjde , en ændret lufttemperatur ' (i kelvin) samt tryk ved jordhøjde, skal
vi benytte en formel der se ud som følger:
h Højde
P Tryk
Δ h1 , T1 , P1
() *+
,
,1
/ . 2 0
-. 0
/+
K
,hvor 0,0065 m, $ 9,82
9: +3
<
, ; 287,06 =>?
Formlen gælder i højder op til 11km og i tør luft.
Udledning af den barometriske højdeformel.
- Beregning af højde vha. trykmåling.
af Jens Lindballe, Silkeborg Gymnasium
s.2/5
Spørgsmål:
-
Indsæt værdier i formlen fra før. Antag at temperaturen ved jordhøjde er ' 291,15AB18CD og trykket
ved jordhøjde 101,3E. Beregn nu højden, når trykket er faldet til 99E.
I fly benyttes denne formel udover GPS-målinger til at bestemme flyets højde. Forklar hvorfor det er
afgørende at piloten hele tiden kender præcise målinger af temperaturen og trykket ved jordhøjde i det
område der overflyves.
Udledning af den barometriske højdeformlen.
For at komme frem til formlen skal vi se på forledes temperaturen hænger sammen med højden i den nedre del af
atmosfæren (Troposfæren på engelsk Troposphere). Som det ses falder temperaturen lineært med højden, fra ca.
-56C i 11km højde og til 15C ved havoverfladen (0 km’s højde).
GH
Regner vi den såkaldte temperaturgradient ud G kan vi finde ud af, hvilken ændring der sker i temperaturen
I
Δ', når vi ændrer højden Δ med 1 meter. Ifølge højdeformlen er denne 0,0065 . Omskriver man formlen
kan man også finde ændringen i højden Δ , hvis vi kender ændringen i temperatur Δ' ' ' :
Δ 1
1
Δ' B' ' DB0D
Spørgsmål:
-
Benyt oplysningerne om højde og temperatur i troposfæren og tjek om det er rimeligt at antage at
I
0,0065 . Forklar også hvorfor det må være rigtigt at sige at formlen kun gælder de første 11km opad
i atmosfæren. Udregn også hvor meget temperaturen falder ved 100 meters opstigen.
Udledning af den barometriske højdeformel.
- Beregning af højde vha. trykmåling.
af Jens Lindballe, Silkeborg Gymnasium
s.3/5
Vha. formel (0) kan vi udlede den barometriske højdeformel. Vi skal blot finde en måde at bestemme
sammenhængen mellem trykket og temperaturen ', så formlen kan omskrives til blot at indeholde den målte
Jordhøjdetemperatur ' og trykket ved jordhøjde , samt trykket i den højde vi ønsker at beregne .
H
Man kan omskrive formel (0) til at indeholde den relative temperatur 'JK H , som blot måler, hvad temperaturen
er målt i forhold til jordhøjdetemperaturen. Dvs. er temperaturen i kelvin halvt så stor, som jordhøjdetemperaturen i
kelvin er 'JK 0,5. Bemærk at den relative temperatur er uden enhed.
1
1
Δ' B' ' D⇔
' '
Δ 1 ⇔
'
'
Δ B'JK 1DB1D
Δ Spørgsmål:
- Tjeck omskrivningerne og kontroller at de er korrekte?
- Cansatsonden kan også måle temperatur, så ud fra formel (1) kunne man principielt godt beregne højden fra
cansatsondens temperaturmålinger. Dette er dog i praksis ikke en god løsning, men hvorfor? Forklar hvad
der er årsag til at sondens temperaturmålinger ikke kan benyttes til højde bestemmelse.
Udledning af hvorledes den relative temperatur *LMN afhænger at trykket.
For at finde sammenhængen mellem tryk og temperatur i en gas må vi tilbage idealgasligningen:
O P;'
hvor V er rumfanget af den gas vi ser på og n er antal mol vi har af gassen i rumfanget og ; 287,06
Q
<
=>?
er
gaskonstanten udregnet for tør luft. Normalt udtrykkes R stofuafhængigt, som ; 8,314472 R I , men da vi
arbejder med atmosfærisk luft vil vi fremover benytte ; 287,06
<
, hvor massen af ét mol atmosfærisk luft er
=>?
brugt til at tilpasse gaskonstanten. Idealgasligningen udtrykker, at for fastholdt stofmængde og rumfang (Dvs. vi
holder gassen indespærret i en beholder med fast rumfang) er tryk og temperatur ligefrem proprotionale P E ' .
S
Proportionalitets konstanten bliver så E ; idet:
T
P
;'
O
S
R er den føromtalte gaskonstant, og T udtrykker densiteten af gassen i mol/m3, dvs., hvor ”tynd” luften er. Vi kunne
S
derfor benytte symbolet T til at betegne densiteten.Vores problem er at vores atmosfære bliver tyndere og
S
tyndere jo højere vi bevæger os op i den, så det ville være forkert at antage, at ρ T var konstant. Vi kan derfor ikke
antage at tryk og temperatur er ligefrem proportionale. Vi ser derfor nu på trykket, temperaturen og densiteten målt
i højden og jordhøjde UøWXP:, ', ;'
UøWXP : , ' , ; '
Udledning af den barometriske højdeformel.
- Beregning af højde vha. trykmåling.
af Jens Lindballe, Silkeborg Gymnasium
s.4/5
Idealgasligningen gælder både i højden og , så der må gælde at både: ; ' og ; '
Dividerer vi de to udtryk med hinanden får vi:
Eller ved at bruge relative størrelser:JK
;'
⇔
; '
'
'
/ , JK / og 'JK '/'
JK
B2)
JK
JK JK 'JK eller'JK For at komme videre skal vi se på, hvorledes den relative densitet JK ændrer sig med det relative tryk JK . Det
viser sig at sammenhængen mellem disse størrelser kan beskrives ved en potenssammenhæng:
(]
^_
)
`
JK = JK
(3)
, hvor og$ er de allerede kendte størrelser fra den barometriske højdeformel.
Spørgsmål:
- Udregn JK , dvs. hvor meget tyndere luften bliver, når man går op i en højde så det relative tryk er
JK 0,5?
-
.]
Hvis nu formlen JK = JK
de
0
f
opfattes som en alm. potens sammenhæng: g = h i , hvor hvor B=1. Er der
^_
så tale om en voksende eller en aftagende funktion? (Hint: Udnyt at 1+ ` = 0,8099908 er positiv)
Udregn hvor meget tyndere luften bliver i %, når man ændrer det relative tryk med en faktor 0.75 (-25%).
(Hint husk at der for potenssammenhænge g = & · h i gælder gange-gange-regler:
Ganges h med E, så skal y-ganges med E i . Sagt på en anden måde .
Ændres x med (E − 1) · 100% så ændres y med (E i − 1) · 100%
Ved at sætte formel (2) ind i formel (3) kan man vise at:
'JK =
JK
=
JK
JK
.]
JK
^_
0
`
'JK Indsættes formel (4) i formel (1)
Δℎ =
k
.]
= JK
^_
`
JK
^_
^_
`
= JK ⇔
B4)
'
'
`
· ('JK − 1) = · -JK − 13 ⇔
^_
'
`
Δℎ = · -JK − 13
^_
Indsættes det at JK = k kan man nu få den endelige formel frem.
^_
0
`
'
`
'
,nn
Δℎ = · l − 1m eller Δℎ =
· -1 − 3
A
0,0065 Udledning af den barometriske højdeformel.
- Beregning af højde vha. trykmåling.
af Jens Lindballe, Silkeborg Gymnasium
Spørgsmål: (Svært)
-
Man kan vise at formel Δℎ =
H
q
,op
r
k ,nn
kan
k
· 1 − . 0
gøres lidt mere simpel.
ved at antage at vi ikke går så højt op i luften at trykket ændrer sig meget fra . Dvs.
for tangenten i x=1 til funktionen t(h) = ,op · (1 − h ,nn ) og vis at den bliver
-
s.5/5
k
k
≈ 1. Find en forskrift
g = −29,2322h + 29,2322. Benyt dette til at vise at en lineær approksimation til den barometriske højde
formel bliver:
I
k
k
I
Δℎ = ' .29,2322 · . 0 + 29,2322 0 eller
-
k
Δℎ = 29,2322 I · ' · .1 − k 0 approksimativhøjdeformel
Vis ved beregning, at selv hvis det relative tryk falder til JK = / =0,99, så vil højden der beregnes med
den approksimative barometriske højdeformel, kun afvige meget lidt fra den præcise barometriske formel.
Da vi nu har en formel, der kan hjælpe os til at beregne højden ud fra det målte tryk, skal denne formel nu
implementeres i vores excelark som skal benyttes til dataopsamling fra Cansat-enheden.