1. No category

Ekstremum
Preben Alsholm
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum Uge 12
Preben Alsholm
Efterår 2010
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Lokalt ekstremum for funktion af én variabel
Ekstremum
Preben Alsholm
I
Lad x0 være et stationært punkt for f . Antag, at
f 00 (x0 ) eksisterer. Så gælder:
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Lokalt ekstremum for funktion af én variabel
Ekstremum
Preben Alsholm
I
Lad x0 være et stationært punkt for f . Antag, at
f 00 (x0 ) eksisterer. Så gælder:
1. Hvis f 00 (x0 ) < 0, så er x0 et egentligt lokalt
maksimumspunkt for f .
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Lokalt ekstremum for funktion af én variabel
Ekstremum
Preben Alsholm
I
Lad x0 være et stationært punkt for f . Antag, at
f 00 (x0 ) eksisterer. Så gælder:
1. Hvis f 00 (x0 ) < 0, så er x0 et egentligt lokalt
maksimumspunkt for f .
2. Hvis f 00 (x0 ) > 0, så er x0 et egentligt lokalt
minimumspunkt for f .
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Lokalt ekstremum for funktion af én variabel
Ekstremum
Preben Alsholm
I
Lad x0 være et stationært punkt for f . Antag, at
f 00 (x0 ) eksisterer. Så gælder:
1. Hvis f 00 (x0 ) < 0, så er x0 et egentligt lokalt
maksimumspunkt for f .
2. Hvis f 00 (x0 ) > 0, så er x0 et egentligt lokalt
minimumspunkt for f .
I
Bevis:
f 0 (x0 + h )
h !0
h
f 00 (x0 ) = lim
f 0 ( x0 )
f 0 (x0 + h )
h !0
h
= lim
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Lokalt ekstremum for funktion af én variabel
Ekstremum
Preben Alsholm
I
Lad x0 være et stationært punkt for f . Antag, at
f 00 (x0 ) eksisterer. Så gælder:
1. Hvis f 00 (x0 ) < 0, så er x0 et egentligt lokalt
maksimumspunkt for f .
2. Hvis f 00 (x0 ) > 0, så er x0 et egentligt lokalt
minimumspunkt for f .
I
Bevis:
f 0 (x0 + h )
h !0
h
f 00 (x0 ) = lim
I
f 0 ( x0 )
f 0 (x0 + h )
h !0
h
= lim
Så f 00 (x0 ) < 0 betyder, at for jh j lille nok gælder
f 0 (x0 + h )
1
< f 00 (x0 ) < 0
h
2
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Lokalt ekstremum for funktion af én variabel
Ekstremum
Preben Alsholm
I
Lad x0 være et stationært punkt for f . Antag, at
f 00 (x0 ) eksisterer. Så gælder:
1. Hvis f 00 (x0 ) < 0, så er x0 et egentligt lokalt
maksimumspunkt for f .
2. Hvis f 00 (x0 ) > 0, så er x0 et egentligt lokalt
minimumspunkt for f .
I
Bevis:
f 0 (x0 + h )
h !0
h
f 00 (x0 ) = lim
I
f 0 ( x0 )
f 0 (x0 + h )
h !0
h
= lim
Så f 00 (x0 ) < 0 betyder, at for jh j lille nok gælder
f 0 (x0 + h )
1
< f 00 (x0 ) < 0
h
2
I
For h > 0 betyder dette, at f 0 (x0 + h ) < 0
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Lokalt ekstremum for funktion af én variabel
Ekstremum
Preben Alsholm
I
Lad x0 være et stationært punkt for f . Antag, at
f 00 (x0 ) eksisterer. Så gælder:
1. Hvis f 00 (x0 ) < 0, så er x0 et egentligt lokalt
maksimumspunkt for f .
2. Hvis f 00 (x0 ) > 0, så er x0 et egentligt lokalt
minimumspunkt for f .
I
Bevis:
f 0 (x0 + h )
h !0
h
f 00 (x0 ) = lim
I
f 0 ( x0 )
f 0 (x0 + h )
h !0
h
= lim
Så f 00 (x0 ) < 0 betyder, at for jh j lille nok gælder
f 0 (x0 + h )
1
< f 00 (x0 ) < 0
h
2
I
I
For h > 0 betyder dette, at f 0 (x0 + h ) < 0
og for h < 0 betyder det, at f 0 (x0 + h ) > 0.
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Lokalt ekstremum for funktion af én variabel
Ekstremum
Preben Alsholm
I
Lad x0 være et stationært punkt for f . Antag, at
f 00 (x0 ) eksisterer. Så gælder:
1. Hvis f 00 (x0 ) < 0, så er x0 et egentligt lokalt
maksimumspunkt for f .
2. Hvis f 00 (x0 ) > 0, så er x0 et egentligt lokalt
minimumspunkt for f .
I
Bevis:
f 0 (x0 + h )
h !0
h
f 00 (x0 ) = lim
I
f 0 ( x0 )
f 0 (x0 + h )
h !0
h
= lim
Så f 00 (x0 ) < 0 betyder, at for jh j lille nok gælder
f 0 (x0 + h )
1
< f 00 (x0 ) < 0
h
2
I
I
I
For h > 0 betyder dette, at f 0 (x0 + h ) < 0
og for h < 0 betyder det, at f 0 (x0 + h ) > 0.
Men så må x0 være et maksimumspunkt.
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Ekstremum
Hessematricen I
Preben Alsholm
Lokalt ekstremum
I
Lad f være en funktion af n variable. Antag, at f har
partielle a‡edede af anden orden i punktet
a = (a1 , a2 , . . . , an ). Hessematricen for f i punktet a er
den matrix H (a), hvis element (i, j ) er
fx00i xj (a) =
∂2 f
(a )
∂xi ∂xj
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Ekstremum
Hessematricen I
Preben Alsholm
Lokalt ekstremum
I
Lad f være en funktion af n variable. Antag, at f har
partielle a‡edede af anden orden i punktet
a = (a1 , a2 , . . . , an ). Hessematricen for f i punktet a er
den matrix H (a), hvis element (i, j ) er
fx00i xj (a) =
I
∂2 f
(a )
∂xi ∂xj
Er f en funktion af 2 variable er Hessematricen i
punktet a = (a1 , a2 ) altså givet ved
H ( a1 , a2 ) =
fx001 x1 (a1 , a2 ) fx001 x2 (a1 , a2 )
fx001 x2 (a1 , a2 ) fx002 x2 (a1 , a2 )
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Hessematricen II
Ekstremum
Preben Alsholm
I
Er f en funktion af 3 variable er Hessematricen i
punktet a = (a1 , a2 , a3 ) givet ved
3
2 00
fx1 x1 (a) fx001 x2 (a) fx001 x3 (a)
H (a) = 4 fx001 x2 (a) fx002 x2 (a) fx002 x3 (a) 5
fx001 x3 (a) fx002 x3 (a) fx003 x3 (a)
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Ekstremum
Hessematricen II
Preben Alsholm
I
I
Er f en funktion af 3 variable er Hessematricen i
punktet a = (a1 , a2 , a3 ) givet ved
3
2 00
fx1 x1 (a) fx001 x2 (a) fx001 x3 (a)
H (a) = 4 fx001 x2 (a) fx002 x2 (a) fx002 x3 (a) 5
fx001 x3 (a) fx002 x3 (a) fx003 x3 (a)
Eksempel. Funktionen f givet ved
f (x, y ) = x 2 x 2 y + 2y 2 har partielle a‡edede
fx0 (x, y ) = 2x
2xy og fy0 (x, y ) =
x 2 + 4y
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Ekstremum
Hessematricen II
Preben Alsholm
I
I
Er f en funktion af 3 variable er Hessematricen i
punktet a = (a1 , a2 , a3 ) givet ved
3
2 00
fx1 x1 (a) fx001 x2 (a) fx001 x3 (a)
H (a) = 4 fx001 x2 (a) fx002 x2 (a) fx002 x3 (a) 5
fx001 x3 (a) fx002 x3 (a) fx003 x3 (a)
Eksempel. Funktionen f givet ved
f (x, y ) = x 2 x 2 y + 2y 2 har partielle a‡edede
fx0 (x, y ) = 2x
I
2xy og fy0 (x, y ) =
Hessematricen i punktet (x, y ) er
2
2y
2x
2x
4
x 2 + 4y
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Hessematricen III
I
Ekstremum
Preben Alsholm
Lad f være en funktion af n variable med kontinuerte
partielle a‡edede op til og med 2. orden i en omegn om
punktet a = (a1 , a2 , . . . , an ) . Antag, at a er et
stationært punkt for f . Lad H (a) være Hessematricen
for f i a.
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Hessematricen III
I
I
Ekstremum
Preben Alsholm
Lad f være en funktion af n variable med kontinuerte
partielle a‡edede op til og med 2. orden i en omegn om
punktet a = (a1 , a2 , . . . , an ) . Antag, at a er et
stationært punkt for f . Lad H (a) være Hessematricen
for f i a.
Så gælder
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Hessematricen III
I
I
Ekstremum
Preben Alsholm
Lad f være en funktion af n variable med kontinuerte
partielle a‡edede op til og med 2. orden i en omegn om
punktet a = (a1 , a2 , . . . , an ) . Antag, at a er et
stationært punkt for f . Lad H (a) være Hessematricen
for f i a.
Så gælder
1. Hvis egenværdierne for H (a) alle er positive, så er a et
egentligt minimumspunkt.
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Hessematricen III
I
I
Ekstremum
Preben Alsholm
Lad f være en funktion af n variable med kontinuerte
partielle a‡edede op til og med 2. orden i en omegn om
punktet a = (a1 , a2 , . . . , an ) . Antag, at a er et
stationært punkt for f . Lad H (a) være Hessematricen
for f i a.
Så gælder
1. Hvis egenværdierne for H (a) alle er positive, så er a et
egentligt minimumspunkt.
2. Hvis egenværdierne alle er negative, er a et egentligt
maksimumspunkt.
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Hessematricen III
I
I
Ekstremum
Preben Alsholm
Lad f være en funktion af n variable med kontinuerte
partielle a‡edede op til og med 2. orden i en omegn om
punktet a = (a1 , a2 , . . . , an ) . Antag, at a er et
stationært punkt for f . Lad H (a) være Hessematricen
for f i a.
Så gælder
1. Hvis egenværdierne for H (a) alle er positive, så er a et
egentligt minimumspunkt.
2. Hvis egenværdierne alle er negative, er a et egentligt
maksimumspunkt.
3. Hvis to af egenværdierne har forskellige fortegn, så er a
et egentligt saddelpunkt.
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Hessematricen III
I
I
Ekstremum
Preben Alsholm
Lad f være en funktion af n variable med kontinuerte
partielle a‡edede op til og med 2. orden i en omegn om
punktet a = (a1 , a2 , . . . , an ) . Antag, at a er et
stationært punkt for f . Lad H (a) være Hessematricen
for f i a.
Så gælder
1. Hvis egenværdierne for H (a) alle er positive, så er a et
egentligt minimumspunkt.
2. Hvis egenværdierne alle er negative, er a et egentligt
maksimumspunkt.
3. Hvis to af egenværdierne har forskellige fortegn, så er a
et egentligt saddelpunkt.
4. Hvis mindst én af egenværdierne er lig med nul og
resten har samme fortegn, så må en nærmere
undersøgelse foretages.
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Hessematricen III
I
I
Preben Alsholm
Lad f være en funktion af n variable med kontinuerte
partielle a‡edede op til og med 2. orden i en omegn om
punktet a = (a1 , a2 , . . . , an ) . Antag, at a er et
stationært punkt for f . Lad H (a) være Hessematricen
for f i a.
Så gælder
1. Hvis egenværdierne for H (a) alle er positive, så er a et
egentligt minimumspunkt.
2. Hvis egenværdierne alle er negative, er a et egentligt
maksimumspunkt.
3. Hvis to af egenværdierne har forskellige fortegn, så er a
et egentligt saddelpunkt.
4. Hvis mindst én af egenværdierne er lig med nul og
resten har samme fortegn, så må en nærmere
undersøgelse foretages.
I
Ekstremum
a er et egentligt saddelpunkt, hvis der eksisterer en ret
linie gennem a langs hvilken f har egentligt maksimum
og en ret linie gennem a langs hvilken f har egentligt
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Hessematricen IV
I
Ekstremum
Preben Alsholm
Beviset bygger på Taylors formel for funktion af ‡ere
Lokalt ekstremum
variable (her 2):
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
1 2
II
f (a + h ) = f (a) + rf (a) h + Dh (f ) (α + ξh ) Hessematricen
Hessematricen III
2
Hessematricen IV
Hessematricen V
= f (a) + fx1 (a) h1 + fx2 (a) h2
Hessematricen VI
Eksempel
1 00
Spor og determinant
+ fx1 x1 (a + ξh) h12 + 2fx001 x2 (a + ξh) h1 h2 + fx002 x2 (a +
) h22
Sporξh
og determinant
II
2
1
= f (a) + fx1 (a) h1 + fx2 (a) h2 + hT H (a + ξh) h
2
Hessematricen IV
I
I
Ekstremum
Preben Alsholm
Beviset bygger på Taylors formel for funktion af ‡ere
Lokalt ekstremum
variable (her 2):
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
1 2
II
f (a + h ) = f (a) + rf (a) h + Dh (f ) (α + ξh ) Hessematricen
Hessematricen III
2
Hessematricen IV
Hessematricen V
= f (a) + fx1 (a) h1 + fx2 (a) h2
Hessematricen VI
Eksempel
1 00
Spor og determinant
+ fx1 x1 (a + ξh) h12 + 2fx001 x2 (a + ξh) h1 h2 + fx002 x2 (a +
) h22
Sporξh
og determinant
II
2
1
= f (a) + fx1 (a) h1 + fx2 (a) h2 + hT H (a + ξh) h
2
I et stationært punkt a fås dermed
1
f (a + h ) f (a) = hT H (a + ξh ) h
2
Hessematricen IV
I
I
I
Ekstremum
Preben Alsholm
Beviset bygger på Taylors formel for funktion af ‡ere
Lokalt ekstremum
variable (her 2):
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
1 2
II
f (a + h ) = f (a) + rf (a) h + Dh (f ) (α + ξh ) Hessematricen
Hessematricen III
2
Hessematricen IV
Hessematricen V
= f (a) + fx1 (a) h1 + fx2 (a) h2
Hessematricen VI
Eksempel
1 00
Spor og determinant
+ fx1 x1 (a + ξh) h12 + 2fx001 x2 (a + ξh) h1 h2 + fx002 x2 (a +
) h22
Sporξh
og determinant
II
2
1
= f (a) + fx1 (a) h1 + fx2 (a) h2 + hT H (a + ξh) h
2
I et stationært punkt a fås dermed
1
f (a + h ) f (a) = hT H (a + ξh ) h
2
Det afgørende er dermed fortegnet for 12 hT H (a + ξh ) h
for små h.
Hessematricen IV
I
I
I
I
Ekstremum
Preben Alsholm
Beviset bygger på Taylors formel for funktion af ‡ere
Lokalt ekstremum
variable (her 2):
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
1 2
II
f (a + h ) = f (a) + rf (a) h + Dh (f ) (α + ξh ) Hessematricen
Hessematricen III
2
Hessematricen IV
Hessematricen V
= f (a) + fx1 (a) h1 + fx2 (a) h2
Hessematricen VI
Eksempel
1 00
Spor og determinant
+ fx1 x1 (a + ξh) h12 + 2fx001 x2 (a + ξh) h1 h2 + fx002 x2 (a +
) h22
Sporξh
og determinant
II
2
1
= f (a) + fx1 (a) h1 + fx2 (a) h2 + hT H (a + ξh) h
2
I et stationært punkt a fås dermed
1
f (a + h ) f (a) = hT H (a + ξh ) h
2
Det afgørende er dermed fortegnet for 12 hT H (a + ξh ) h
for små h.
Hvis H (a) har udelukkende positive egenværdier, så er
hT H (a) h > 0 for alle h.
Hessematricen IV
I
I
I
I
I
Ekstremum
Preben Alsholm
Beviset bygger på Taylors formel for funktion af ‡ere
Lokalt ekstremum
variable (her 2):
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
1 2
II
f (a + h ) = f (a) + rf (a) h + Dh (f ) (α + ξh ) Hessematricen
Hessematricen III
2
Hessematricen IV
Hessematricen V
= f (a) + fx1 (a) h1 + fx2 (a) h2
Hessematricen VI
Eksempel
1 00
Spor og determinant
+ fx1 x1 (a + ξh) h12 + 2fx001 x2 (a + ξh) h1 h2 + fx002 x2 (a +
) h22
Sporξh
og determinant
II
2
1
= f (a) + fx1 (a) h1 + fx2 (a) h2 + hT H (a + ξh) h
2
I et stationært punkt a fås dermed
1
f (a + h ) f (a) = hT H (a + ξh ) h
2
Det afgørende er dermed fortegnet for 12 hT H (a + ξh ) h
for små h.
Hvis H (a) har udelukkende positive egenværdier, så er
hT H (a) h > 0 for alle h.
Vi har dog ikke H (a), men H (a + ξh ).
Ekstremum
Hessematricen V
Preben Alsholm
I
Med e =
f (a + h )
2
kh k
2
h
kh k
er ke k = 1 og vi …nder af
f (a) = 12 hT H (a + ξh ) h, at
(f (a + h )
f (a)) = e T H (a + ξh ) e
= e T H (a) e + e T (H (a + ξh)
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
H (a)) e
Ekstremum
Hessematricen V
Preben Alsholm
I
Med e =
f (a + h )
2
kh k
I
2
h
kh k
er ke k = 1 og vi …nder af
f (a) = 12 hT H (a + ξh ) h, at
(f (a + h )
f (a)) = e T H (a + ξh ) e
= e T H (a) e + e T (H (a + ξh)
Ved at vælge kh k lille nok kan sidste led gøres mindre
end et vilkårligt givet ε > 0.
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
H (a)) e
Ekstremum
Hessematricen V
Preben Alsholm
I
Med e =
f (a + h )
2
kh k
I
I
2
h
kh k
er ke k = 1 og vi …nder af
f (a) = 12 hT H (a + ξh ) h, at
(f (a + h )
f (a)) = e T H (a + ξh ) e
= e T H (a) e + e T (H (a + ξh)
Ved at vælge kh k lille nok kan sidste led gøres mindre
end et vilkårligt givet ε > 0.
Vælg Q ortogonal og så Q T H (a) Q = Λ er diagonal.
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
H (a)) e
Ekstremum
Hessematricen V
Preben Alsholm
I
Med e =
f (a + h )
2
kh k
I
I
I
2
h
kh k
er ke k = 1 og vi …nder af
f (a) = 12 hT H (a + ξh ) h, at
(f (a + h )
f (a)) = e T H (a + ξh ) e
= e T H (a) e + e T (H (a + ξh)
Ved at vælge kh k lille nok kan sidste led gøres mindre
end et vilkårligt givet ε > 0.
Vælg Q ortogonal og så Q T H (a) Q = Λ er diagonal.
Så fås med e = Qw at e T H (a) e = w T Q T H (a) Qw =
w T Λw = λ1 w12 + λ2 w22 .
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
H (a)) e
Ekstremum
Hessematricen V
Preben Alsholm
I
Med e =
f (a + h )
2
kh k
I
I
I
I
2
h
kh k
er ke k = 1 og vi …nder af
f (a) = 12 hT H (a + ξh ) h, at
(f (a + h )
f (a)) = e T H (a + ξh ) e
= e T H (a) e + e T (H (a + ξh)
Ved at vælge kh k lille nok kan sidste led gøres mindre
end et vilkårligt givet ε > 0.
Vælg Q ortogonal og så Q T H (a) Q = Λ er diagonal.
Så fås med e = Qw at e T H (a) e = w T Q T H (a) Qw =
w T Λw = λ1 w12 + λ2 w22 .
Hvis nu λ2 λ1 > 0 fås dermed
e T H (a) e λ1 w12 + w22 = λ1 kw k2 =
λ1 Q T e
2
= λ1 ke k2 = λ1 .
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
H (a)) e
Ekstremum
Hessematricen V
Preben Alsholm
I
Med e =
f (a + h )
2
kh k
I
I
I
I
2
h
kh k
f (a) = 12 hT H (a + ξh ) h, at
(f (a + h )
f (a)) = e T H (a + ξh ) e
= e T H (a) e + e T (H (a + ξh)
Ved at vælge kh k lille nok kan sidste led gøres mindre
end et vilkårligt givet ε > 0.
Vælg Q ortogonal og så Q T H (a) Q = Λ er diagonal.
Så fås med e = Qw at e T H (a) e = w T Q T H (a) Qw =
w T Λw = λ1 w12 + λ2 w22 .
Hvis nu λ2 λ1 > 0 fås dermed
e T H (a) e λ1 w12 + w22 = λ1 kw k2 =
2
I
er ke k = 1 og vi …nder af
λ1 Q T e = λ1 ke k2 = λ1 .
Derfor gælder for små h, at hT H (a + ξh ) h > 0. Så a
er et egentligt minimumspunkt.
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
H (a)) e
Hessematricen VI
Ekstremum
Preben Alsholm
I
Hvis i stedet λ1 λ2 < 0 fås tilsvarende e T H (a) e =
λ1 w12 + λ2 w22 λ2 w12 + w22 = λ2 kw k2 = λ2 .
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Hessematricen VI
Ekstremum
Preben Alsholm
I
I
Hvis i stedet λ1 λ2 < 0 fås tilsvarende e T H (a) e =
λ1 w12 + λ2 w22 λ2 w12 + w22 = λ2 kw k2 = λ2 .
Derfor gælder for små h, at hT H (a + ξh ) h < 0. Så a
er et egentligt maksimumspunkt.
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Hessematricen VI
Ekstremum
Preben Alsholm
I
I
I
Hvis i stedet λ1 λ2 < 0 fås tilsvarende e T H (a) e =
λ1 w12 + λ2 w22 λ2 w12 + w22 = λ2 kw k2 = λ2 .
Derfor gælder for små h, at hT H (a + ξh ) h < 0. Så a
er et egentligt maksimumspunkt.
Hvis λ1 < 0 < λ2 lader vi e være en egenvektor med
længde 1 hørende til egenværdien λ1 .
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Hessematricen VI
Ekstremum
Preben Alsholm
I
I
Hvis i stedet λ1 λ2 < 0 fås tilsvarende e T H (a) e =
λ1 w12 + λ2 w22 λ2 w12 + w22 = λ2 kw k2 = λ2 .
Derfor gælder for små h, at hT H (a + ξh ) h < 0. Så a
er et egentligt maksimumspunkt.
I
Hvis λ1 < 0 < λ2 lader vi e være en egenvektor med
længde 1 hørende til egenværdien λ1 .
I
Så fås e T H (a) e = λ1 . Langs linien x = a + se er
f (a + h ) f (a) dermed negativ for små værdier af s.
Altså antager f et egentligt maksimum i a langs denne
linie.
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Hessematricen VI
Ekstremum
Preben Alsholm
I
I
Hvis i stedet λ1 λ2 < 0 fås tilsvarende e T H (a) e =
λ1 w12 + λ2 w22 λ2 w12 + w22 = λ2 kw k2 = λ2 .
Derfor gælder for små h, at hT H (a + ξh ) h < 0. Så a
er et egentligt maksimumspunkt.
I
Hvis λ1 < 0 < λ2 lader vi e være en egenvektor med
længde 1 hørende til egenværdien λ1 .
I
Så fås e T H (a) e = λ1 . Langs linien x = a + se er
f (a + h ) f (a) dermed negativ for små værdier af s.
Altså antager f et egentligt maksimum i a langs denne
linie.
I
Vælges e i stedet som en egenvektor med længde 1
hørende til egenværdien λ2 , så ses at f langs linien
x = a + se antager et egentligt minimum.
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Hessematricen VI
Ekstremum
Preben Alsholm
I
I
Hvis i stedet λ1 λ2 < 0 fås tilsvarende e T H (a) e =
λ1 w12 + λ2 w22 λ2 w12 + w22 = λ2 kw k2 = λ2 .
Derfor gælder for små h, at hT H (a + ξh ) h < 0. Så a
er et egentligt maksimumspunkt.
I
Hvis λ1 < 0 < λ2 lader vi e være en egenvektor med
længde 1 hørende til egenværdien λ1 .
I
Så fås e T H (a) e = λ1 . Langs linien x = a + se er
f (a + h ) f (a) dermed negativ for små værdier af s.
Altså antager f et egentligt maksimum i a langs denne
linie.
I
Vælges e i stedet som en egenvektor med længde 1
hørende til egenværdien λ2 , så ses at f langs linien
x = a + se antager et egentligt minimum.
I
Konklusionen er, at a er et (egentligt) saddelpunkt.
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Eksempel
Ekstremum
Preben Alsholm
I
f (x, y ) = x 2 x 2 y + 2y 2 fra tidligere. Stationære
punkter er (0, 0) og ( 2, 1).
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Ekstremum
Eksempel
Preben Alsholm
I
I
f (x, y ) = x 2 x 2 y + 2y 2 fra tidligere. Stationære
punkter er (0, 0) og ( 2, 1).
Vi fandt tidligere H (x, y ) =
2
2y
2x
2x
4
.
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Ekstremum
Eksempel
Preben Alsholm
I
f (x, y ) = x 2 x 2 y + 2y 2 fra tidligere. Stationære
punkter er (0, 0) og ( 2, 1).
2y
2x
2x
4
.
H (2, 1) =
0
4
4
4
I
Vi fandt tidligere H (x, y ) =
I
Heraf fås
H (0, 0) =
2 0
0 4
,
H ( 2, 1) =
2
0 4
4 4
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Ekstremum
Eksempel
Preben Alsholm
I
f (x, y ) = x 2 x 2 y + 2y 2 fra tidligere. Stationære
punkter er (0, 0) og ( 2, 1).
2y
2x
2x
4
.
H (2, 1) =
0
4
4
4
I
Vi fandt tidligere H (x, y ) =
I
Heraf fås
H (0, 0) =
2 0
0 4
,
H ( 2, 1) =
I
2
0 4
4 4
Egenværdierne for H (0, 0) er åbenbart 2 og 4, altså
positive, så (0, 0) er et egentligt lokalt minimumspunkt.
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Ekstremum
Eksempel
Preben Alsholm
I
f (x, y ) = x 2 x 2 y + 2y 2 fra tidligere. Stationære
punkter er (0, 0) og ( 2, 1).
2y
2x
2x
4
.
H (2, 1) =
0
4
4
4
I
Vi fandt tidligere H (x, y ) =
I
Heraf fås
H (0, 0) =
2 0
0 4
,
H ( 2, 1) =
2
0 4
4 4
I
Egenværdierne for H (0, 0) er åbenbart 2 og 4, altså
positive, så (0, 0) er et egentligt lokalt minimumspunkt.
I
H (2, 1) og Hp( 2, 1) har de samme egenværdier,
nemlig 2 2 5.Den ene er dermed positiv,den anden er
negativ. Punkterne ( 2, 1) er egentlige saddelpunkter.
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Spor og determinant
Ekstremum
Preben Alsholm
I
Lad n n-matricen A have egenværdierne
λ1 , λ2 , . . . , λn . Så gælder, at
det (A) = λ1 λ2 . . . λn
Spor (A) = λ1 + λ2 + . . . + λn
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Ekstremum
Spor og determinant
Preben Alsholm
I
Lad n n-matricen A have egenværdierne
λ1 , λ2 , . . . , λn . Så gælder, at
Lokalt ekstremum
det (A) = λ1 λ2 . . . λn
Spor (A) = λ1 + λ2 + . . . + λn
I
Let bevist for n = 2:
det (A
λI ) = (λ1
λ ) ( λ2
λ ) = λ2
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
( λ1 + λ2 ) λ + λ1 λ2
Ekstremum
Spor og determinant
Preben Alsholm
I
Lad n n-matricen A have egenværdierne
λ1 , λ2 , . . . , λn . Så gælder, at
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
det (A) = λ1 λ2 . . . λn
Spor (A) = λ1 + λ2 + . . . + λn
I
Let bevist for n = 2:
det (A
I
λI ) = (λ1
λ ) ( λ2
λ ) = λ2
( λ1 + λ2 ) λ + λ1 λ2
Men også
det (A
λI ) =
a11 λ
a12
a21
a22 λ
= λ2
= λ2
(a11 + a22 ) λ + a11 a22
Spor (A) λ + det A
a12 a21
Ekstremum
Spor og determinant
Preben Alsholm
I
Lad n n-matricen A have egenværdierne
λ1 , λ2 , . . . , λn . Så gælder, at
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
det (A) = λ1 λ2 . . . λn
Spor (A) = λ1 + λ2 + . . . + λn
I
Let bevist for n = 2:
det (A
I
λI ) = (λ1
λ ) ( λ2
( λ1 + λ2 ) λ + λ1 λ2
Men også
det (A
λI ) =
a11 λ
a12
a21
a22 λ
= λ2
= λ2
I
λ ) = λ2
(a11 + a22 ) λ + a11 a22
Spor (A) λ + det A
Resultatet følger ved sammenligning.
a12 a21
Spor og determinant II
Ekstremum
Preben Alsholm
I
Lad f være en funktion af to variable med kontinuerte
partielle a‡edede op til og med 2. orden i en omegn om
punktet (a, b ). Antag, at (a, b ) er et stationært punkt
for f . Lad H (a, b ) være Hessematricen for f i (a, b ).
Så gælder
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Spor og determinant II
Ekstremum
Preben Alsholm
I
Lad f være en funktion af to variable med kontinuerte
partielle a‡edede op til og med 2. orden i en omegn om
punktet (a, b ). Antag, at (a, b ) er et stationært punkt
for f . Lad H (a, b ) være Hessematricen for f i (a, b ).
Så gælder
1. Hvis det H (a, b ) > 0, så er (a, b ) et egentligt
ekstremumspunkt.
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Spor og determinant II
Ekstremum
Preben Alsholm
I
Lad f være en funktion af to variable med kontinuerte
partielle a‡edede op til og med 2. orden i en omegn om
punktet (a, b ). Antag, at (a, b ) er et stationært punkt
for f . Lad H (a, b ) være Hessematricen for f i (a, b ).
Så gælder
1. Hvis det H (a, b ) > 0, så er (a, b ) et egentligt
ekstremumspunkt.
1.1 Hvis Spor (H (a, b )) > 0, så er (a, b ) et egentligt
minimumspunkt.
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Spor og determinant II
Ekstremum
Preben Alsholm
I
Lad f være en funktion af to variable med kontinuerte
partielle a‡edede op til og med 2. orden i en omegn om
punktet (a, b ). Antag, at (a, b ) er et stationært punkt
for f . Lad H (a, b ) være Hessematricen for f i (a, b ).
Så gælder
1. Hvis det H (a, b ) > 0, så er (a, b ) et egentligt
ekstremumspunkt.
1.1 Hvis Spor (H (a, b )) > 0, så er (a, b ) et egentligt
minimumspunkt.
1.2 Hvis Spor (H (a, b )) < 0, så er (a, b ) et egentligt
maksimumspunkt.
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Spor og determinant II
Ekstremum
Preben Alsholm
I
Lad f være en funktion af to variable med kontinuerte
partielle a‡edede op til og med 2. orden i en omegn om
punktet (a, b ). Antag, at (a, b ) er et stationært punkt
for f . Lad H (a, b ) være Hessematricen for f i (a, b ).
Så gælder
1. Hvis det H (a, b ) > 0, så er (a, b ) et egentligt
ekstremumspunkt.
1.1 Hvis Spor (H (a, b )) > 0, så er (a, b ) et egentligt
minimumspunkt.
1.2 Hvis Spor (H (a, b )) < 0, så er (a, b ) et egentligt
maksimumspunkt.
2. Hvis det H (a, b ) < 0, så er (a, b ) et egentligt
saddelpunkt.
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Spor og determinant II
Ekstremum
Preben Alsholm
I
Lad f være en funktion af to variable med kontinuerte
partielle a‡edede op til og med 2. orden i en omegn om
punktet (a, b ). Antag, at (a, b ) er et stationært punkt
for f . Lad H (a, b ) være Hessematricen for f i (a, b ).
Så gælder
1. Hvis det H (a, b ) > 0, så er (a, b ) et egentligt
ekstremumspunkt.
1.1 Hvis Spor (H (a, b )) > 0, så er (a, b ) et egentligt
minimumspunkt.
1.2 Hvis Spor (H (a, b )) < 0, så er (a, b ) et egentligt
maksimumspunkt.
2. Hvis det H (a, b ) < 0, så er (a, b ) et egentligt
saddelpunkt.
3. Hvis det H (a, b ) = 0 må en nærmere undersøgelse
foretages.
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II
Ekstremum
Spor og determinant II
Preben Alsholm
I
Lad f være en funktion af to variable med kontinuerte
partielle a‡edede op til og med 2. orden i en omegn om
punktet (a, b ). Antag, at (a, b ) er et stationært punkt
for f . Lad H (a, b ) være Hessematricen for f i (a, b ).
Så gælder
1. Hvis det H (a, b ) > 0, så er (a, b ) et egentligt
ekstremumspunkt.
1.1 Hvis Spor (H (a, b )) > 0, så er (a, b ) et egentligt
minimumspunkt.
1.2 Hvis Spor (H (a, b )) < 0, så er (a, b ) et egentligt
maksimumspunkt.
2. Hvis det H (a, b ) < 0, så er (a, b ) et egentligt
saddelpunkt.
3. Hvis det H (a, b ) = 0 må en nærmere undersøgelse
foretages.
I
Eksempel: H (2, 1) =
0
4
4
4
fra tidligere.
Lokalt ekstremum
Lokalt ekstremum for
funktion af én variabel
Hessematricen I
Hessematricen II
Hessematricen III
Hessematricen IV
Hessematricen V
Hessematricen VI
Eksempel
Spor og determinant
Spor og determinant
II