1. No category

1
eNote 30
eNote 30
Polynomier af én variabel
I denne eNote introduceres komplekse polynomier af e´n variabel. Der forudsættes elementært
kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af e´n reel variabel er en fordel. Dette
er (final) version 18.09.14 . Karsten Schmidt.
30.1 Indledning
Polynomier forekommer overalt i den tekniske litteratur som matematiske modeller for
fysiske problemer. En stor fordel ved polynomier er at de er uhyre simple i beregninger,
da de kun forudsætter addition, multiplikation og potensopløftning. Derfor er polynomier ogs˚a meget populære ved approksimation af mere komplicerede funktionstyper.
Kendskab til polynomiers rødder er en kongevej til forst˚aelsen af deres egenskaber og
effektive brug og vil derfor være et hovedemne i det følgende. Men først introducerer
vi nogle generelle egenskaber.
Definition 30.1
Ved et polynomium af grad n forst˚as en funktion af formen
P ( z ) = a n z n + a n −1 z n −1 + · · · + a 1 z + a 0
hvor a0 , a1 , . . . an er konstanter med an 6= 0 , og z er en kompleks variabel.
ak kaldes koefficienten for zk , k = 0, 1, . . . n .
Et reelt polynomium er et polynomium hvori alle koefficienterne er reelle.
eNote 30
2
30.1 INDLEDNING
Eksempel 30.2
Eksempler på polynomier
P(z) = 2 z3 + (1 + i ) z + 5 er et 3-grads polynomium.
Q(z) = z2 + 1 er et reelt 2-grads polynomium.
R(z) = 17 er et 0-grads polynomium.
S(z) = 0 kaldes 0-polynomiet.
√
T (z) = 2 z3 + 5 z − 4 er ikke et polynomium.
N˚ar man adderer, subtraherer og multiplicerer polynomier med hinanden, f˚ar man et
nyt polynomium som reduceres ved at man samler led med samme grad.
Eksempel 30.3
Addition og multiplikation af polynomier
To polynomier P og Q er givet ved P(z) = z2 − 1 og Q(z) = 2 z2 − z + 2 . Polynomierne
R = P + Q og S = P · Q bestemmes s˚aledes:
R(z) = (z2 − 1) + (2 z2 − z + 2) = (z2 + 2 z2 ) + (−z) + (−1 + 2) = 3 z2 − z + 1 .
S(z) = (z2 − 1) · (2 z2 − z + 2) = (2 z4 − z3 + 2 z2 ) + (−2 z2 + 2 − 2)
aaaa = 2 z4 − z3 + (2 z2 − 2 z2 ) + z − 2 = 2 z4 − z3 + z − 2 .
To polynomier kaldes identiske hvis de er ens for alle variable. Hvad skal der til for at
de er ens? Kunne man for eksempel tænke sig at et 4-grads og et 5-grads polynomium
er identiske i alle variable hvis man blot vælger koefficenterne for de to polynomier
med tilstrækkelig omhu? Dette er ikke tilfældet idet der gælder følgende sætning (som
anføres uden bevis i denne edition).
Sætning 30.4
Identitetssætning for polynomier
To polynomier er ens hvis og kun hvis de er af samme grad, og alle koefficienter for
led af samme grad fra de to polynomier er ens.
Eksempel 30.5
To identiske polynomier
Ligningen
3 z2 − z + 4 = a z2 + b z + c
er opfyldt for alle z netop n˚ar a = 3, b = −1 og c = 4 .
Opgave 30.6
To identiske polynomier
Bestem tallene a, b og c s˚aledes at
(z − 2)( a z2 + b z + c) = z3 − 5 z + 2 for alle z .
eNote 30
30.2 POLYNOMIERS RØDDER
3
30.2 Polynomiers rødder
Definition 30.7
Rod i polynomium
Ved en rod i et polynomium P forst˚as et tal z0 for hvilket P(z0 ) = 0 .
Eksempel 30.8
Om et givet tal er rod i et polynomium
Vis at 3 er rod i P(z) = z3 − 5 z − 12 , og at 1 ikke er rod.
Svar:
Da P(3) = 33 − 5 · 3 − 12 = 27 − 15 − 12 = 0 , er 3 rod i P .
Da P(1) = 13 − 5 · 1 − 12 = −11 6= 0 , er 1 ikke rod i P .
En helt afgørende motivation for indføringen af komplekse tal er at ethvert polynomium har rødder inden for de komplekse tal. Dette resultat blev vist af matematikeren
Gauss i hans ph.d.-afhandling fra 1799 . Beviset for sætningen er meget omfattende, og
Gauss arbejdede videre p˚a det hele sit liv for at gøre det endnu mere elegant. Hele fire
versioner foreligger der fra hans h˚and. Her tillader vi os at angive Gauss’ resultat uden
bevis:
Sætning 30.9
Algebraens fundamentalsætning
Ethvert polynomium af grad n ≥ 1 har inden for de komplekse tal mindst e´ n rod.
Polynomiet P(z) = z2 + 1 har ingen rødder inden for de reelle tal. Men inden
for de komplekse tal har det hele to rødder i og −i fordi
P(i ) = i2 + 1 = −1 + 1 = 0 og P(−i ) = (−i )2 + 1 = i2 + 1 = 0 .
Vejen fra Algebraens fundamentalsætning til fuldt kendskab til antallet af polynomiers
rødder er ikke lang! Den kræver blot den følgende hjælpesætning (som anføres uden
bevis i denne edition).
eNote 30
4
30.2 POLYNOMIERS RØDDER
Hjælpesætning 30.10
Nedstigningssætningen
Hvis n0 te-gradspolynomiet P
gradspolynomium Q s˚aledes at
har roden
z0 , s˚a findes et
P ( z ) = ( z − z0 ) Q ( z ) .
(n − 1)0 te(30-1)
Vi videreudvikler nu ideen i Nedstigningssætningen, idet vi betragter polynomiet
P ( z ) = a n z n + a n −1 z n −1 + · · · + a 1 z + a 0
Hvis n ≥ 1 , har P i følge fundamentalsætningen en rod z1 , og kan derfor skrives som
P ( z ) = ( z − z1 ) Q1 ( z )
(30-2)
hvor Q1 er et polynomium af grad n − 1 . Hvis n ≥ 2 , s˚a har Q1 en rod z2 og kan
skrives som
Q1 ( z ) = ( z − z2 ) Q2 ( z )
hvor Q2 er et polynomium af grad n − 2 . S˚aledes fortsættes nedstigningen indtil vi n˚ar
til polynomiet Qn hvis grad er n − n = 0 . Det vil sige Qn (z) = k hvor k er en konstant.
Ved successivt at indsætte det fundne udtryk for Qk i udtrykket for Qk−1 , k = n..2 , og
afslutningsvist indsætte det opn˚aede udtryk for Q1 i 30-2, f˚ar vi
P(z) = k (z − z1 )(z − z2 ) · · · (z − zn ) .
Forestiller vi os nu at vi udganger paranteserne p˚a højresiden, ser vi at højestegradsleddet
m˚a være k zn , og dermed k = an . Herefter er P skrevet p˚a fuldstændig faktoriseret form:
P(z) = an (z − z1 )(z − z2 ) · · · (z − zn ) .
(30-3)
I dette udtryk skal vi bemærke to ting. Den første er at vi i (30-3) har oplistet samtlige
rødder z1 , z2 . . . , zn i P . At der ikke kan være flere, ses nemt s˚aledes. Hvis et vilk˚arligt
tal α 6= zk , k = 1 . . . n , indsættes p˚a z0 s plads i (30-3), vil samtlige faktorer p˚a højresiden
af (30-3) være forskellige fra nul. Dermed vil ogs˚a deres produkt være forskelligt fra nul.
Derfor er P(α) 6= 0 og α ikke en rod i P .
Den anden ting vi skal bemærke i (30-3) at rødderne ikke nødvendigvis er forskellige.
Det antal gange en rod optræder i polynomiets fuldstændigt faktoriserede form, kaldes
rodens algebraiske muliplicitet (eller blot multiplicitet). Efter de ovenst˚aende betragtninger kan vi præsentere følgende udvidede udgave af Algebraens Fundamentalsætning.
eNote 30
30.3 POLYNOMIERS DIVISION
Sætning 30.11
5
Algebraens fundamentalsætning ver. 2
Ethvert polynomium af grad n ≥ 1 har inden for de komplekse tal netop n rødder
n˚ar rødderne regnes med multiplicitet.
Eksempel 30.12
Andengradspolynomier på fuldstændig faktoriset form
Et vilk˚arligt andengradspolynomium P(z) = az2 + bz + c kan skrives p˚a formen
P(z) = a(z − α)(z − β)
hvor α og β er rødder i P . Hvis α 6= β , har P to forskellige rødder, hver med algebraisk
multiplicitet 1 . Hvis α = β , har P e´ n rod med algebraisk multiplicitet 2 . Roden kaldes da
en dobbeltrod.
Eksempel 30.13
Algebraisk multiplicitet
Et polymomium P er angivet p˚a fuldstændig faktoriseret form s˚aledes:
P(z) = 7(z − 1)(z − 1)(z + 4)(z + 4)(z + 4)(z − 5) = 7(z − 1)2 (z + 4)3 (z − 5) .
Vi ser at P har tre forskellige rødder, 1, −4 og 5 med de algebraiske multipliciteter 2 henholdvis 3 og 1 .
Det bemærkes at summen af de algebraiske multipliciteter er 6 som er lig med graden af P .
I overenstemmelse med Algebraens fundamentalsætning ver. 2.
Eksempel 30.14
Algebraisk multiplicitet
Angiv antallet af rødder i P(z) = z4 .
Svar: P har kun e´ n rod z = 0 . Rodens algbraiske multiplicitet er 4. Man siger at 0 er en
fjerde-dobbeltrod.
30.3 Polynomiers division
Nedstigningssætningen siger at et polynium som har en rod, kan faktoriseres p˚a formen
(30-1). Men den siger ikke noget om hvordan faktoriseringen kan udføres. Det tager
vi op i dette afsnit hvor vi introducerer en simpel variant af algoritmen polynomiers
division, som populært kaldes at dividere en rod ud af et polynium“. Den forløber helt
”
analog med den sædvanlige divisionsalgoritme som vi her mindes med et passende
eksempel hvori divisionen g˚ar op.
eNote 30
30.3 POLYNOMIERS DIVISION
Eksempel 30.15
Divisionsalgoritmen
5773 : 23 = 251
4600
1173
1150
. 23
. 23
aa 0
NB: Divisionen viser at 5773 = 23 · 251 .
Metode 30.16
At dividere en rod ud af et polynomium
Tredjegradspolynomiet P(z) = z3 − 2z2 + 2z − 15 har roden 3 . Vi benytter algoritmen polynomiers division til at dividere P med førstegradspolynomiet z − 3 .
z3 − 2z2 + 2z − 15 : z − 3 = z2 + z + 5
z3 − 3z2
aaaaa z2 + 2z − 15
aaaaa z2 − 3z
aaaaaa
5z − 15
aaaaaa
5z − 15
a
0
Konklusionen er at P kan skrives som produktet af førstegradspolynomiet z − 3 og
et polynomium Q(z) = z2 + z + 5 hvis grad er e´ n lavere end P0 s:
P ( z ) = ( z − 3) · ( z2 + z + 5)
NB: Kravet til det første led i Q er, at det bliver lig med det første led i P , n˚ar det
ganges med z . Derfor er de første led i Q lig z2 . Anden linje fremkommer ved at
dette led ganges med divisoren z − 3 . Tredje linje fremkommer ved at polynomiet
i anden linje trækkes fra polynomiet i første linje. Derved bliver tredje linje et polynomium af lavere grad end P . Algoritmen starter nu forfra med tredje linje som
dividend og (z − 3) som divisor, og der forsættes indtil fratrækningen giver 0 .
Vi tager nu et sidste eksempel p˚a divisionsalgoritmen.
6
eNote 30
30.4 POLYNOMIUMSLIGNINGER
Eksempel 30.17
7
At dividere en rod ud
Ved indsættelse ses at 2 er rod i polynomiet 2z3 − 16 . Vi dividerer roden ud:
2z3 − 16 : z − 2 = 2z2 + 4z + 8
2z3 − 4z2
4z2 − 16
4z2 − 8z
8z − 16
8z − 16
0
I det følgende afsnit behandler vi metoder til at finde rødder for visse typer af polynomier.
30.4 Polynomiumsligninger
Fra Algebraens fundamentalsætning ved vi at ethvert polynomium af grad større end
eller lig med 1 har rødder. I dens udvidede version sl˚as det endog fast at for ethvert
polynoium er dets grad lig med antallet af dets rødder, hvis rødderne regnes med multiplicitet. Men sætningen er en teoretisk eksistenssætning, som ikke hjælper os med at
bestemme polynomiers faktiske rødder.
I det følgende introduceres metoder til at finde rødderne for simple polynomier. Men
lad os holde amitionsniveauet p˚a et rimeligt niveau, for i begyndelsen af 18-hundredtallet
beviste den norske algebraiker Abel at der ikke kan opstilles generelle metoder til at finde rødderne i polynomier af grad større end eller lig med fire!
For polynomier af højere grad end fire findes der en række smarte tricks hvorved man
kan være heldig at finde en enkelt rod som man kan dividere ud af polynomiet. Herefter arbejder man videre med det resterende polynomium af e´ n grad lavere - og m˚aske
gradvist kan n˚a ned til et polynoium hvortil der findes en eksakt metode for at finde de
resterende rødder.
Lad os indledningsvist sl˚a fast at n˚ar man ønsker at finde rødderne for et polynomium P(z) skal man løse den tilsvarende polynomiumsligning P(z) = 0 . Som en simpel
illustration kan vi se p˚a roden for et vilk˚arligt førstegradspolynomium
P(z) = az + b .
For at finde den skal vi løse ligningen
az + b = 0 .
eNote 30
8
30.4 POLYNOMIUMSLIGNINGER
Det er ikke svært, den har løsningen z0 = −
b
som derfor er rod i P(z) .
a
N˚ar man skal finde rødderne for et polynoimium P , finder man løsningerne p˚a
polynomiumsligningen P(z) = 0 .
Eksempel 30.18
Roden i et førstegradspolynomium
Vi vil finde roden til førstegradspolynomiet P givet ved
P(z) = (1 − i ) z − (5 + 2i ) .
Vi skal løse ligningen
(1 − i ) z − (5 + 2i ) = 0 ⇔ (1 − i ) z = (5 + 2i ) .
Vi isolerer z p˚a venstre side
z=
5 + 2i
(5 + 2i )(1 + i )
3 + 7i
3 7
=
=
= + i.
1−i
(1 − i )(1 + i )
2
2 2
Det ses heraf at ligningen har løsningen z0 =
rod.
3 7
+ i hvorved vi samtidigt har fundet P0 s
2 2
30.4.1 Binome ligninger
En binom ligning er en særlig n0 -te gradsligning hvor kun koefficienterne an og a0 er
forskellige fra 0 . En given binom ligning kan reduceres til den følgende form:
Definition 30.19
Binom ligning
En binom ligning har formen zn = w , hvor w ∈ C og n ∈ N .
For binome ligninger findes en eksplicit løsningsformel som vi præsenterer i den følgende
sætning.
eNote 30
9
30.4 POLYNOMIUMSLIGNINGER
Sætning 30.20
Binom ligning løst vha. eksponentiel form
Lad w 6= 0 være et komplekst tal med den eksponentielle form
w = |w| eiv .
Den binome ligning
zn = w
(30-4)
har n forskellige løsninger givet ved formlen
q
v
2π
z p = n |w| ei( n + p n ) hvor p = 0 , 1 , ... , n − 1 .
(30-5)
Bevis
For ethvert p ∈ {0, 1, . . . n − 1} er z p =
p
n
v
2π
|w| ei( n + p n ) en løsning til (30-4) idet
q
2π
v
(z p )n = ( n |w|ei( n + p n ) )n = |w| ei(v+k 2π ) = |w| eiv .
Det ses p
at de n løsninger ligger p˚a en cirkel i den komplekse talplan med centrum i Origo,
radius n |w| og en fortløbende vinkelafstand p˚a 2π
n . Forbindelseslinjerne mellem Origo og
løsningerne deler med andre ord cirklen i n lige store vinkler.
Det følger heraf at de n løsninger er indbyrdes forskellige. At der ikke er flere løsninger, er
en følge af Algebraens fundamentalsætning ver. 2, 30.11. Hermed er sætningen bevist.
Vi skal i de næste eksempler betragte nogle vigtige særtilfælde af binome ligninger.
Eksempel 30.21
Binom andengradsligning
Vi betragter et komplekst tal p˚a eksponentiel form w = |w| eiv . Det følger af (30-5) at andengradsligningen
z2 = w
har to løsninger
z0 =
q
v
|w| ei 2 . og z1 = −
q
v
| w | ei 2 .
eNote 30
10
30.4 POLYNOMIUMSLIGNINGER
Eksempel 30.22
Binom andengradsligning med negativ højreside
Lad r være et vilk˚arligt positivt reelt tal. Ved i eksempel 30.21 at sætte v = Arg(−r ) = π ses
at den binome andengradsligning
z2 = −r
har to løsninger
z0 = i
√
r og z1 = −i
√
r.
Med et konkret eksempel har ligningen z2 = −9 løsningerne z = ± i
√
3.
Den benyttede metode i eksempel 30.21 kan i mange tilfælde være vanskelig at gennemføre. I det følgende eksempel vises en alternativ metode.
Eksempel 30.23
Binom andengradsligning, metode 2
Vi vil løse ligningen
z2 = 8 − 6i .
(30-6)
Vi sætter z = x + iy, hvorved z2 = ( x + iy)2 = x2 − y2 + 2xyi . Dermed kan (30-6) omskrives
til
x2 − y2 + 2xyi = 8 − 6i .
Da realdelene henholdvis imaginærværdierne p˚a ligningens to sider skal være identiske, m˚a
(30-6) være ækvivalent med
x2 − y2 = 8 og 2xy = −6 .
Indsættes y =
(30-7)
−6
3
= − i x2 − y2 = 8 og sættes x2 = u opn˚as andengradsligningen
2x
x
u2 − 8u − 9 = 0 ⇔ u = 9 eller u = −1 .
Mens ligningen x2 = u = 9 har løsningerne x1 = 3 og x2 = −3, har ligningen x2 = u = −1
ingen løsninger. Indsættes x1 = 3 henholdsvis x2 = −3 i (30-7), f˚as de tilsvarende y-værdier
y1 = −1 og xy = 1 .
Hermed konkluderes at den givne ligning (30-6) har rødderne
z1 = x1 + iy1 = 3 − i og z2 = x2 + iy2 = −3 + i .
30.4.2 Andengradsligninger
Til løsning af andengradsligninger opstiller vi nedenfor den formel der svarer til den
velkendte løsningsformel for reelle andengradsligninger p˚anær en enkelt detalje. Vi
eNote 30
11
30.4 POLYNOMIUMSLIGNINGER
tager ikke kvadratroden af diskriminanten. Afvigelsen skyldes at vi ikke forudsætter
kendskab til kvadratrødder af komplekse tal.
Sætning 30.24
Løsningsformel for andengradsligning
For andengradsligningen
az2 + bz + c = 0 , a 6= 0
(30-8)
indføres diskriminanten D ved D = b2 − 4ac . Ligningen har to løsninger
z1 =
− b − w0
− b + w0
og z2 =
2a
2a
hvor w0 er en løsning til den binome andengradsligning w2 = D .
Hvis specielt D = 0 , gælder der z1 = z2 =
−b
.
2a
Bevis
Lad w0 være en vilk˚arlig løsning til den binome ligning w2 = D . Der gælder da:
b
c
2
2
az + bz + c = a z + z +
a
a
!
2
c
b
b2
=a
z+
− 2+
2a
4a
a
!
b 2 b2 − 4ac
z+
=a
−
2a
4a2
!
b 2
D
=a
z+
− 2
2a
4a
!
2
w02
b
=a
z+
− 2
2a
4a
b
w0
b
w0
=a
z+
+
z+
−
2a
2a
2a
2a
b + w0
b + w0
= a z+
z−
=0
2a
2a
− b − w0
− b + w0
eller z =
.
⇔z=
2a
2a
(30-9)
eNote 30
30.4 POLYNOMIUMSLIGNINGER
12
Hermed er løsningsformlen (30-8) udledt.
Eksempel 30.25
Reel andengradsligning med positiv diskriminant
Vi betragter en andengradsligning med reelle koefficienter
2z2 + 5z − 3 = 0 .
Vi identificerer koefficienterne: a = 2, b = 5, c = −3 . Diskriminanten findes: D = 52 − 4 · 2 ·
(−3) = 49 . Det ses at w0 = 7 er en løsning til den binome andengradsligning w2 = D = 49 .
Nu kan løsningerne udregnes:
z1 =
Eksempel 30.26
1
−5 − 7
−5 + 7
= og z2 =
= −3 .
2·2
2
2·2
(30-10)
Reel andengradsligning med negativ diskriminant
Vi betragter en andengradsligning med reelle koefficienter
z2 − 2z + 5 = 0 .
Vi identificerer koefficienterne: a = 1, b = −2, c = 5 . Diskriminanten findes: D = (−2)2 −
4 · 1 · (5) = −16 . I følge eksempel
√ 30.22 er en løsning for den binome andengradsligning
2
w = D = −16 givet ved w0 = i 16 = 4i . Nu kan løsningerne udregnes:
z1 =
Eksempel 30.27
−(−2) + 4i
−(−2) − 4i
= 1 + 2i og z2 =
= 1 − 2i .
2·1
2·1
(30-11)
Andengradsligning med komplekse koefficienter
Vi løser andengradsligningen
z2 − (1 + i )z − 2 + 2i = 0 .
(30-12)
Lad os først identificere koefficienterne: a = 1, b = −1 − i, c = −2 + 2i . Diskriminanten
findes: D = (−(1 + i ))2 − 4 · 1 · (−2 + 2i ) = 8 − 6i . Fra eksempel 30.23 ved vi at den binome
ligning w2 = 8 − 6i har løsningen w0 = 3 − i . Herefter findes løsningerne for (30-12) ved
z1 =
(1 + i ) − (3 − i )
(1 + i ) + (3 − i )
= 2 og z2 =
= −1 + i .
2·1
2·1
(30-13)
eNote 30
30.4 POLYNOMIUMSLIGNINGER
13
30.4.3 Tredje- og fjerdegradsligninger
Fra antikken kendes geometriske metoder til løsning af (reelle) andengradsligninger.
Men først omkring 800 e.Kr. blev algebraiske løsningsformler kendt via den persiske
(arabisk skrivende) matematiker Muhammad ibn Musa al-Khwarismes berømte bog alJabr. Navnet Khwarisme blev i vesten til det velkendte ord algoritme, mens bogens titel
blev til algebra.
Tre hundrede a˚ r senere gentog historien sig. Omkring a˚ r 1100 e.Kr. angav en anden persisk matematiker (og digter) Omar Khayy´am eksakte metoder til hvordan man finder
løsninger til reelle tredje- og fjerdegradsligninger ved hjælp af mere avancerede geometriske konstruktioner. For eksempel løste han ligningen x3 + 200x = 20x2 + 2000
ved skæring mellem en cirkel og en hyperbel hvis ligninger han kunne udlede af tredjegradsligningen.
Omar Khayy´am mente ikke det ville være muligt at opstille algebraiske formler for
løsninger til ligninger af grad større end med to. Her tog han dog fejl, idet italieneren
Gerolamo Cardano i 1500-tallet offentliggjorde formler til løsning af tredje- og fjerdegradsligninger.
Khayy´ams og Cardonos formler ligger ikke inden for rammerne af denne eNote. Her
angiver vi blot et enkelt eksempel p˚a hvordan kan man ved hjælp af nedstigningsme”
toden“ kan finde alle løsninger til ligninger af grad større en to, hvis man i forvejen
kender eller kan gætte et tilstrækkeligt antal af løsningerne.
Eksempel 30.28
En tredjegradsligning med et indledende gæt
Vi skal løse tredjegradsligningen
z3 − 3z2 + 7z − 5 = 0 .
Det gættes nemt at 1 er en løsning. Ved at dividere venstresiden med z − 1 (polynomiers
division) f˚as faktoriseringen:
z3 − 3z2 + 7z − 5 = (z − 1)(z2 − 2z + 5) = 0 .
De resterende løsninger f˚as derfor ved løsning af andengradsligningen
z2 − 2z + 5 = 0 ,
som i følge eksempel (30.26) har løsningerne 1 + 2i og 1 − 2i .
Samlet ses at tredjegradsligningen har løsningerne {1, 1 + 2i, 1 − 2i } .
eNote 30
30.5 REELLE POLYNOMIER
14
30.5 Reelle polynomier
Teorien som har været udfoldet i de forrige afsnit, gælder for alle polynomier med komplekse koefficienter. I dette afnit skal vi præsentere to sætninger der kun gælder for
polynomier med reelle koefficienter, det vil sige den delmængde som kaldes de reelle
polynomier. Den første sætning viser at ikke-reelle rødder altid optræder i par.
Sætning 30.29
Rødder i reelle polynomier
Hvis tallet a + ib er rod i et polynomium som kun har reelle koefficienter, s˚a er ogs˚a
det konjugerede tal a − ib rod i polynomiet.
Bevis
Lad
P ( z ) = a n z n + a n −1 z n −1 + · · · + a 1 z + a 0
være et reelt polynomium. Ved brug af regneregler for konjugering af sum og produkt af
komplekse tal (se eNote 29 om komplekse tal) samt forudsætningen at alle koefficienterne er
reelle, f˚as
P ( z ) = a n z n + a n −1 z n −1 + · · · + a 1 z + a 0
= a n z n + a n −1 z n −1 + · · · + a 1 z + a 0
= P(z) .
Hvis z0 er rod i P , f˚ar vi da
P ( z0 ) = 0 = 0 = P ( z0 )
hvoraf ses at ogs˚a z0 er rod.
Eksempel 30.30
Konjugerede rødder
Det oplyses at polynomiet
P(z) = 3z2 − 12z + 39
(30-14)
har roden 2 − 3i . Bestem alle rødder i P , og opskriv P p˚a fuldstændig faktoriseret form.
Svar: Vi ser at alle tre koefficienter for P er reelle. Derfor er ogs˚a den oplyste rods konjugerede 2 + 3i rod i P . Da P er et andengradspolynomium er der ikke flere rødder.
Ved brug af (30-3) f˚ar vi
P(z) = a2 (z − (2 − 3i ))(z − (2 + 3i )) = a2 (z2 − 4z + 13) .
eNote 30
15
30.5 REELLE POLYNOMIER
Ved sammenligning med (30-14) f˚as a2 = 3 og den fuldstændigt faktoriserede form for P er
P(z) = 3 (z − (2 − 3i ))(z − (2 + 3i )) .
Fra sætning 30.29 ved vi at komplekse rødder i et reelt polynomium altid optræder i
konjugerede par. I polynomiets fuldstændigt faktoriserede form vil et par af konjugerede rødder derfor give anledning til to faktorer som kan ganges sammen til et reelt
andengradspolynomium s˚aledes
(z − ( a + ib))(z − ( a − ib)) = ((z − a) + ib))((z − a) − ib)
= (z − a)2 − (ib)2
= z2 − 2az + ( a2 + b2 ) .
Heraf udspringer følgende sætning:
Sætning 30.31
Reel faktorisering
Et reelt polynomium kan skrives som et produkt af reelle førstegradspolynomier og
reelle andengradspolynomier som ikke har reelle rødder.
Eksempel 30.32
Reel faktorisering
Om et reelt syvendegradspolynomium P oplyses at det har rødderne 1, i, 1 + 2i samt dobbeltroden −2 , og at koefficienten til dets højestegradsled er a7 = 5 . Skriv P som et et produkt af reelle førstegradspolynomier og reelle andengradspolynomier som ikke har reelle
rødder.
Svar: Vi kan sætte P p˚a fuldstændig faktoriseret form:
P(z) = 5 (z − 1)(z − i )(z + i )(z − (1 + 2i ))((z − (1 − 2i ))(z − 2)2
Der er to par af faktorer der svarer til konjugerede rødder. N˚ar de ganges sammen, f˚as den
ønskede form:
P(z) = 5 (z − 1)(z2 + 1)(z2 − 2z + 5)(z − 2)2 .
Hermed afsluttes behandlingen af polynomier af e´ n variabel.