1. No category

OPGAVER
1
Opgaver til
Uge 3 – Store Dag
Opgave 1
Dagens wetware-opgave
Opgave 2
Løs ligningen (z − 3)(z2 + 1) = 0 .
Førstegradpolynomier
Et polynomium P : C 7→ C er givet ved
P ( z ) = (2 − i ) z + i .
Løs ligningerne P(z) = 0, P(z) = 2 og P(z) = −2 + 2i .
Opgave 3
Vigtige binome 2. gradsligninger
a) Lad r være et positivt reelt tal. Gør rede for at ligningen
z2 = −r
har netop to løsninger som er givet ved z0 = −i
√
r og z1 = i
√
r.
b) Løs ligningerne z2 = 16 og z2 = −16 .
c) Løs ligningerne z2 = 17 og z2 = −17 .
d) Løs ligningerne z2 = 625 og z2 = −625 .
e) Lad b være et reelt tal. Vis at løsningerne for z2 = ib ligger p˚a linjen y = x n˚ar
b > 0 og p˚a linjen y = − x n˚ar b < 0 .
OPGAVER
Opgave 4
2
2. gradsligninger med reelle koefficienter
a) Løs nedenst˚aende ligninger dels inden for R og dels inden for C .
1. 2x2 + 9x − 5 = 0
2. x2 − 4x = 0
3. x2 − 4x + 13 = 0
b) Løs ligningen
2( x + 1 − i )( x + 1 + i ) = 0
og vis at den er af typen andengradsligning med reelle koefficienter.
Opgave 5
2. gradsligninger med komplekse koefficienter
a) Find løsningerne for ligningen
z2 − (1 + 5i )z = 0 .
b) Find løsningerne for ligningen
z2 + (2 + 2i )z − 2i = 0 .
Opgave 6
Polynomier
a) Vigtige afklaringer ang˚aende polynomier:
1. Hvis et n’te gradspolynomium og en n’te gradsligning har ens koefficienter,
hvad er s˚a egentlig forskellen mellem dem?
2. Hvor mange reelle rødder har et komplekst polynomium af grad n?
3. Hvor mange reelle rødder har et reelt polynomium af grad n?
4. Hvor mange reelle og komplekse rødder tilsammen har et reelt polynomium
af grad n?
5. Hvad mener man med en rods multiplicitet?
b) Vis (uden brug af løsningsformel!) at −1 + 2i er rod i andengradspolynomiet
P(z) = z2 + 2z + 5 .
Bestem polynomiets anden rod og opskriv P(z) p˚a faktoriseret form.
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006
2.2
2
Definition
Et polynomium q(x) siges at g˚
a op i p(x) (begge med koefficienter i L) hvis der findes at
OPGAVER
3
polynomium d(x) s˚
a
p(x) = q(x)d(x).
c) skriver
Vis at iatogq(x)
1 + ip(x).
er rødder i polynomiet
Man
2.3
Q(z) = z2 − z − 2iz − 1 + i .
Sætning
Forkort brøken
z2 −
z − 2iz − 1 i+Li af grad henholdsvis n og m med
Lad p(x) og q(x) være polynomier med
koefficienter
.
z−1−i
n > m ≥ 0. Antag at koefficienten til m’tegradsleddet
i q(x) er ±1.
Da findes entydigt bestemte polynomier d(x) af grad n − m og r(x) af grad mindre end m
Opgave
7
Polynomiers
division
med
koefficienter
iL
s˚
a
p(x) = q(x)d(x) + r(x).
Introduktion:
Polynomiet
kaldes resten afPp(x)
ved division
med
q(x).
Hvis
et n’te r(x)
gradspolynomium
har roden
z0 , kan
P omskrives
s˚aledes:
P(ztal
) =der
(z −siger
z0 ) ·at
Q(hvis
z) n og m er hele tal, m 6= 0, da
Dette svarer til sætningen om hele
findes to entydigt bestemte hele tal d og r, 0 ≤ r < m, s˚
aledes at n = dm + r. Her er
hvor
Q er et entydigt bestemt (n − 1)’te gradspolynomium.
Men hvordan finder man
r resten ved division af n med m. At et polynomium g˚
ar op i et andet polynomium vil
Q ? Det gør man ved en divisionsalgoritme kaldet polynomiers division hvor P divideres
ligesom for hele tal sige at resten ved division er 0.
med førstegradspolynomiet z − z0 . Divisionen g˚ar op, netop fordi z0 er rod i polynomiet.
2.4
Eksempel p˚
a polynomiumsdivision
Eksempel: Tredjegradspolynomiet
P( x ) = x3 − 2x2 + 2x − 15 har roden 3 . Vi dividerer
3
2
Man dividerer p(x) = x − 2x + 2x − 15 med q(x) = x − 3 p˚
a følgende m˚
ade:
roden ud s˚aledes:
x − 3| x3 − 2x2 + 2x
x3 − 3x2
x2 + 2x
x2 − 3x
5x
5x
− 15 |x2 + x + 5
− 15
− 15
− 15
0
2 + skrives
Konklusionen
faktoriseret
s˚aledes:
Dvs. at p(x) =er
x3at−P2xkan
2x − 15p˚
=a (x
− 3)(x2 +form
x + 5).
2.5
P ( z ) = ( z − 3) · ( z2 + z + 5) .
Eksempel p˚
a polynomiumsdivision med rest
a) Vis at x0 = 1 er rod i polynomiet
Man dividerer p(x) = x3 + 3x2 − 2x + 7 med q(x) = x2 + 1 p˚
a følgende m˚
ade:
P( x ) = x3 − x2 + x − 1
x2 + 1| x3 + 3x2 − 2x + 7 |x + 3
og bestem et andengradspolynomium
Q s˚aledes at
x3 + 0x2 + x
P( x )3x=2 ( x−− 13x
) · Q+( x )7.
3x2 + 0x + 3
b) Bestem samtlige komplekse rødder for −
7. gradspolynomiet
3x + 4
P(z) = (2z6 − z5 + z4 − z3 )(z − 1)
Dvs. at p(x) =
+
− 2x + 7 = (x + 1)(x + 3) − 3x + 4.
og angiv røddernes multipliciteter. Vink: Udnyt resultatet i a).
Hvis du ikke er fortrolig med polynomiumsdivision, s˚
a lav følgende øvelse.
x3
3x2
OPGAVER
Opgave 8
4
En andengradslignings geometri
Givet det komplekse tal α = 3 − 4 i og den komplekse talmængde
S = { z ∈ C | |z| = 5 } .
a) Vis at α ∈ S . Illustr´er.
Det oplyses at polynomiet P(z) = z2 + a z + b har reelle koefficienter, og at α er rod i
P(z) .
b) Angiv samtlige rødder i P(z) , og bestem a og b .
c) Lad c være et vilk˚arligt reelt tal som opfylder c ∈ [−10 ; 10 ] . Vis at rødderne i
polynomiet Q(z) = z2 + c z + 25 tilhører S .
Opgave 9
Polynomium med komplekse koefficienter (advanced)
a) Løs den binome andengradsligning z2 = 3 − 4i . Vink: Benyt metoden i eksempel
29.58 i eNote 29.
b) Givet polynomiet
P(z) = z2 − (1 + 2i )z −
Bestem polynomiets rødder.
3
+ 2i .
2