1. No category

SEKTION 4.1
4.1
LINEÆRE TRANSFORMATIONER
Lineære Transformationer
Definition 4.1.1 ([L], s. 175)
Lad V, W være F-vektorrum.
En lineær transformation L : V → W er en afbildning, som respekterer lineær struktur, dvs.
∀ v1 , v2 ∈ V, L(v1 + v2 ) = L(v1 ) + L(v2 )
∀ α ∈ F, v ∈ V, L(αv) = αL(v)
(1)
(2)
Det er ækvivalent, at
∀ α1 , α2 ∈ F, v1 , v2 ∈ V, L(α1 v1 + α2 v2 ) = α1 L(v1 ) + α2 L(v2 )
(3)
(Hvis (1), (2) gælder, så er
(2)
(1)
α1 L(v1 ) + α2 L(v2 ) = L(α1 v1 ) + L(α2 v2 ) = L(α1 v1 + α2 v2 ),
mens hvis (3) gælder, så gælder (1) (tag α1 = 1, α2 = 1) og (2) (tag α1 = α1 , α2 = 0, v1 = v).
En lineær transformation L : V → W kaldes også undertiden for en lineærtransformation, en
lineær afbildning, og, men for det meste kun når V = W , en lineær operator .
Inspireret af den kortere formulering i (3), og til senere brug:
Lemma 4.1.2
Lad V være et F-vektorrum, lad S ⊂ V, S %= ∅.
S er et underrum ⇔ ∀ α1 , α2 ∈ F, s1 , s2 ∈ S, α1 s1 + α2 s2 ∈ S
(∗)
Bevis
Hvis S er et underrum, og α1 , α2 ∈ F, s1 , s2 ∈ S så er α1 s1 , α2 s2 ∈ S (C1) og derfor er
α1 s1 + α2 s2 ∈ S (C2); så (∗) gælder.
Omvendt, hvis (∗) gælder, så gælder (C1) (tag α2 = 0) og (C2) (tag α1 = 1, α2 = 1), og S er
et underrum.
59
SEKTION 4.1
LINEÆRE TRANSFORMATIONER
Eksempler 4.1.3
1. Lad A ∈ Matm,n (F). Afbildningen LA : Fn → Fm induceret af A er defineret ved
LA (x) = Ax ∀x ∈ Fn .
LA er en lineær transformation, fordi, for alle x, y ∈ Fn og alle α, β ∈ F,
LA (αx + βy) = A(αx + βy) = αA(x) + βA(y) = αLA (x) + βLA (y).
2. Lad V være et F-vektorrum. Identitetsafbildningen IV : V → V givet ved
IV (v) = v ∀v ∈ V
er en lineær transformation.
3. Lad U ⊂ R være et interval. D : C r (U, R) → C r−1 (U ; R)
givet ved D(f ) = f er en lineær transformation:
"
(r ≥ 1)
for f, g ∈ C r (U, R) og α, β ∈ R,
D(αf + βg) = (αf + βg)" = αf " + βg "
= αD(f ) + βD(g).
4. Definer L : C([a, b], R) → R ved L(f ) =
!b
a
f (x) dx.
L er en lineær transformation.
" b
(L(αf + βg) =
(αf + βg)(x) dx
a
=
"
b
(αf (x) + βg(x)) dx
a
=α
"
b
f (x) dx + β
a
"
b
g(x) dx
a
= αL(f ) + βL(g) ∀ α, β ∈ R, f, g ∈ C([a, b], R)).
5. Lad V være et F-vektorrum med ordnet basis V = {v1 , . . . , vn }. Koordinatiseringsafbildningen θV : V → Fn givet ved θV (v) = [v]V er en lineær transformation:
vi så i 3.3.2, at
dvs.
[v + w]V = [v]V + [w]V og [αv]V = α[v]V ,
ΘV (v + w) = ΘV (v) + ΘV (w) og ΘV (αv) = αΘV (v).
60
SEKTION 4.1
LINEÆRE TRANSFORMATIONER
Eksempler 4.1.3, fortsat
6. Betragt en rotation i R2 omkring 0 gennem vinklen θ; kald den inducerede afbildning
R θ : R2 → R2 .
Lad
Rθ
#$ %& $ " %
x1
x
= 1" .
x2
x2
!
x!1
x!2
"
!
x1
x2
"
θ
x2
α
x1
Hvis x1 = r cos α, x2 = r sin α, så er x"1 = r cos(α + θ), x"2 = r sin(α + θ).
Når sum-formlerne for sin, cos anvendes, fås
x"1 = r cos(α + θ) = r(cos α cos θ − sin α sin θ)
x"2
= x1 cos θ − x2 sin θ,
= r sin(α + θ) = r(sin α cos θ + cos α sin θ)
= x2 cos θ + x1 sin θ.
Vi har derfor
Rθ
#$ %& $
% $
x1
cos θx1 − sin θx2
cos θ
=
=
x2
sin θx2 + cos θx2
sin θ
så ifølge Eksempel 1 er Rθ en lineær transformation.
61
− sin θ
cos θ
%$ %
x1
;
x2
SEKTION 4.1
LINEÆRE TRANSFORMATIONER
Proposition 4.1.4 ([L], s. 179,180)
Lad V, W være F-vektorrum, lad L : V → W være en lineær transformation. Der gælder:
1. L(0V ) = 0W ;
2. L respekterer lineære kombinationer, dvs. hvis α1 , . . . , αn ∈ F og v1 , . . . , vn ∈ V , så
gælder
L(α1 v1 + · · · + αn vn ) = α1 L(v1 ) + · · · + αn L(vn );
3. L(−v) = −L(v) ∀v ∈ V .
Bevis
1. L(0V ) = L(00) = 0L(0) = 0W .
2. Ved induktion. Udsagnet er sandt for n = 2. Antag, at det er sandt for n = k.
L(α1 v1 + · · · + αk vk + αk+1 vk+1 )
(1)
=
(2)
=
induktionsantagelsen
=
L(α1 v1 + · · · + αk vk ) + L(αk+1 vk+1 )
L(α1 v1 + · · · + αk vk ) + αk+1 L(vk+1 )
α1 L(v1 ) + · · · + αk L(vk ) + αk+1 L(vk+1 ).
Så udsagnet er sandt for n = k + 1, induktionsskridtet er taget, og udsagnet gælder for
alle n ∈ N.
3. For alle v ∈ V har vi L(−v) = L((−1)v) = (−1)L(v) = −L(v).
Lemma 4.1.5
Lad V, W være F-vektorrum; lad {v1 , . . . , vn } være en basis for V . Lad L : V → W være en
lineær transformation. L er da entydigt bestemt af L(v1 ), . . . , L(vn ).
Bevis
Lad L" : V → W være en lineær transformation, således at L" (v1 ) = L(v1 ), . . . , L" (vn ) =
L(vn ). Vi må vise, at L" = L.
Lad v ∈ V ; vi kan skrive v = c1 v1 + · · · + cn vn .
Vi har
L" (v) = L" (c1 v1 + · · · + cn vn ) = c1 L" (v1 ) + · · · + cn L" (vn )
= c1 L(v1 ) + · · · + cn L(vn ) = L(c1 v1 + · · · + cn vn )
= L(v).
62
SEKTION 4.1
LINEÆRE TRANSFORMATIONER
Notation 4.1.6
Lad X, Y være mængder, f : X → Y en afbildning. X er domænen af f , Y er billedmængden eller codomænen af f .
1. Lad A ⊂ X.
Billedet af A under f er f (A) = {y ∈ Y | ∃x ∈ X med f (x) = y}.
2. Lad B ⊂ Y .
Det inverse billede eller urbilledet af B under f er f −1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B}
Bemærk, at f −1 (f (A)) ⊃ A, f (f −1 (B)) ⊂ B, og at disse inklusioner kan være ægte:
Lad f : R → R være givet ved f (x) = x2 ∀ x ∈ R. Så er
f ({1}) = {1}, f −1 f ({1}) = f −1 {1} = {−1, 1},
og
f (f −1 ({−1})) = f (∅) = ∅.
Sætning 4.1.7 ([L], 4.1.1)
Lad V, W være F-vektorrum, lad L : V → W være en lineær transformation.
1. Lad S ⊂ V være et underrum. Da er L(S) et underrum af W .
2. Lad T ⊂ W være et underrum. Da er L−1 (T ) et underrum af V .
Bevis
Vi anvender Lemma 4.1.2.
1. Lad w1 , w2 ∈ L(S), α1 α2 ∈ F. Der findes s1 , s2 ∈ S med L(s1 ) = w1 , L(s2 ) = w2 . Vi
har α1 s1 + α2 s2 ∈ S (Lemma 4.1.2), så
α1 w1 + α2 w2 = α1 L(s1 ) + α2 L(s2 ) = L(α1 s1 + α2 s2 ) ∈ L(S).
2. Lad v1 , v2 ∈ L−1 (T ), α1 , α2 ∈ F. Vi har L(α1 v1 + α2 v2 ) = α1 L(v1 ) + α2 L(v2 ).
Da L(v1 ), L(v2 ) ∈ T er α1 L(v1 ) + α2 L(v2 ) ∈ T , så α1 v1 + α2 v2 ∈ L−1 (T ).
Notation 4.1.8
Hvis L : V → W er en lineær transformation mellem F-vektorrum, så kaldes L−1 ({0W }) ofte
for kernen (eller nulrummet) for L, og vi skriver
Ker(L) = L−1 ({0W }) = {v ∈ V | L(v) = 0W }.
63
SEKTION 4.1
LINEÆRE TRANSFORMATIONER
Eksempler 4.1.9
1. Definer D : P3 (R) → P3 (R) ved differentiation, D(p) = p" for p ∈ P3 (R). Så er
Ker(D) = {p ∈ P3 (R) | p" = 0} = {de konstante polynomier}.
Dp har grad < 2, så D(P3 (R)) ⊂ P2 (R). Vi har faktisk lighed,
D(P3 (R)) = P2 (R),
fordi D(a0 x + 21 a1 x2 ) = a0 + a1 x for alle a0 , a1 ∈ R.
 
$
%
x1
x1 + x2
3
2




x2
=
.
2. ([L], Ex. 12, s. 182) Lad F → F være givet ved L
x2 + x3
x3
 

 x1

Vi har Ker(L) = x2  ∈ F3 | x1 + x2 = 0, x2 + x3 = 0 ; vi ser, at x3 kan vælges


x3
frit, kald den a, og så er x2 = −a, x3 = a; altså er
  

1


Ker(L) = a −1 | a ∈ F .


1
 

   
 
$ %
a
1
0
 a

a
3












0 , 0
0 | a, b ∈ F . Da L
0
Lad S = Span
∈F =
=
for a, b ∈
b


0
1
b
b
F er L(S) = F2 .
Proposition 4.1.10
Lad A ∈ Matn,m (F), og lad LA : Fn → Fm være den lineære transformation givet ved
LA (x) = Ax. Vi har
1. Ker(LA ) = N (A);
2. LA (Fn ) = Sø(A).
Bevis
1. Ker(LA ) = {x ∈ Fn | LA (x) = 0} = {x ∈ Fn | Ax = 0} = N (A).
 
x1
 .. 
2. Skriv A = [a1 , . . . , an ] i søjleform,og lad x =  .  ∈ Fn . Så er
xn
LA (x) = Ax = x1 a1 + · · · + xn an .
Så y ∈ LA (Fn ) ⇔ y ∈ Span(a1 , . . . , an ) = Sø(A).
64
SEKTION 4.2
4.2
MATRIXREPRÆSENTATIONER AF LINEÆRE TRANSFORMATIONER
Matrixrepræsentationer af Lineære Transformationer
Sætning 4.2.1 5 ([L], 4.2.1)
Lad L : Fn → Fm være en lineær transformation. Definer M (L) ∈ Matm,n (F) ved
M (L) = [L(e1 ), . . . , L(en )].
Så er L(x) = M (L)x for alle x ∈ Fn , og at M (L) er den entydige matrix med denne
egenskab.
Bevis


x1
 
Lad x =  ...  ∈ Fn , så x = x1 e1 + · · · + xn en . Vi har da
xn
L(x) = L(x1 e1 + · · · + xn en )
= x1 L(e1 ) + · · · + xn L(en )
 
x1
 .. 
= [L(e1 ), . . . , L(en )]  . 
xn
= M (L)x.
Hvis A ∈ Matm,n (F) tilfredsstiller, at L(x) = Ax for alle x ∈ Fn , så gælder dette specielt
for x = ei , i = 1, . . . , n, så L(ei ) = Aei = {i’te søjle i A}. Så søjlerne i M (L), A er ens, og
A = M (L).
Notation 4.2.2
M(L) kaldes standard-matrix-repræsentationen (SMR) af L.
Læg mærke til, at
LM (L) = L for en lineær transformation L : Fn → Fm ,
og at
M (LA ) = A for en matrix A ∈ Matm,n (F).
Eksempel 4.2.3
$
cos θ
M (Rθ ) =
sin θ
65
%
− sin θ
.
cos θ
SEKTION 4.2
MATRIXREPRÆSENTATIONER AF LINEÆRE TRANSFORMATIONER
Sætning 4.2.4 ([L], 4.2.2)
Lad V, W være F-vektorrum, og lad V = {v1 , . . . , vn }, W = {w1 , . . . , wm } være ordnede
baser for V, W .
Lad L : V → W være en lineær transformation; definer MW,V (L) ∈ Matm,n (F) ved
MW,V (L) = [[L(v1 )]W , . . . , [L(vn )]W ].
Der gælder, at [L(v)]W = MW,V (L)[v]V for alle v ∈ V , og at MW,V er den entydige matrix
med denne egenskab.
Bevis (se [L], s. 187)

x1
 
Lad v ∈ V . Vi kan skrive v = x1 v1 + · · · + xn vn , hvor  ...  = [v]V .
Vi har
så

xn
L(v) = L(x1 v1 + · · · + xn vn ) = x1 L(v1 ) + · · · + xn L(vn )
[L(v)]W = [x1 L(v1 ) + · · · + xn L(vn )]W
= x1 [L(v1 )]W + · · · + xn [L(vn )]W
(fordi [ ]W respekterer lineær struktur)
 
x1
 .. 
= [[L(v1 )]W , . . . , [L(vn )]W ]  . 
xn
= MW,V (L)[v]V .
Hvis A ∈ Matm,n (F) tilfredsstiller, at
[L(v)]W = A[v]V for alle v ∈ V
så gælder dette specielt for v = vi , i = 1, . . . , n, så
[L(vi )]W = A[vi ]V = Aei = {i’te søjle i A}.
Så MW,V (L), A har de samme søjler, og er ens.
Notation 4.2.5
MW,V (L) kaldes matrixrepræsentationen (MR) for L mht. W, V.
Bemærk, at hvis L : Fn → Fm er en lineær transformation, så er M (L) = MEm ,En (L), hvor
Em , En er standardbaserne i Fm , Fn .
66
SEKTION 4.2
MATRIXREPRÆSENTATIONER AF LINEÆRE TRANSFORMATIONER
Sætning 4.2.4 kan måske bedst forstås vha. et kommutativt diagram:
L
V
−−−−→

θ
8V
LMW,V (L)
W

θ
8W
Fn −−−−−−−→ Fm
Diagrammet kommuterer, fordi, for alle v ∈ V ,
θW (L(v)) = [L(v)]W = MW,V (L)[v]V = MW,V (L)θV (v) = LMW,V (L)(θV (v)).
Sætning 4.2.6 ([L], 4.2.3)
Lad U = {u1 , . . . , un }, V = {v1 , . . . , vm } være ordnede baser for Fn , Fm .
Skriv V = [v1 , . . . , vm ] ∈ Matm,m (F).
Lad L : Fn → Fm være en lineær transformation.
Så er
MV,U (L) = V −1 [L(u1 ), . . . , L(un )].
Bevis
Skriv MV,U (L) = A; så for alle x ∈ Fn , [L(x)]V = A[x]U . Specielt, når x = ui (i = 1, . . . , n),
fås
[L(ui )]V = Aei = ai , den i’te søjle i A.
Så, for i = 1, . . . , n, L(ui ) = a1i v1 + · · · + ami vm = V ai ; og ai = V −1 L(ui ). Altså
A = [a1 , . . . , an ] = [V −1 L(u1 ), . . . , V −1 L(un )] = V −1 [L(u1 ), . . . , L(un )].
Korollar 4.2.7 ([L], 4.2.4)
Lad L : Fn → Fm være en lineær transformation. Lad U = {u1 , . . . , un }, V = {v1 , . . . , vm }
være ordnede baser for Fn , Fm . Vi har da
[v1 , . . . , vm | L(u1 ), . . . , L(un )] ∼ [
m
| MV,U (L)].
Bevis
Lad V = [v1 , . . . , vn ] i søjleform.
V −1 [v1 , . . . , vm | L(u1 ), . . . , L(un )] = V −1 [V | L(u1 ), . . . , L(un )]
= [I | V −1 [L(u1 ), . . . , L(un )]]
= [I | MV,U (L)].
Da V −1 er et produkt af elementære matricer (det er alle invertible matricer, ifølge 1.4.13) er
[v1 , . . . , vm | L(u1 ), . . . , L(un )] ∼ [I | MV,U (L)].
67
SEKTION 4.2
MATRIXREPRÆSENTATIONER AF LINEÆRE TRANSFORMATIONER
Proposition 4.2.8
Lad V, V " være ordnede baser for F-vektorrummet V ; og lad W, W " være ordnede baser for
F-vektorrumet W .
Lad L : V → W være en lineær transformation. Der gælder
MW,V (L) = KW,W ! MW ! ,V ! KV ! ,V .
Bevis
For v ∈ V gælder [v]V ! = KV ! ,V [v]V og MW ! ,V ! (L)[v]V ! = [L(v)]W ! ; og for w ∈ W gælder
[w]W = KW,W ! [w]W ! . Vi har derfor
[L(v)]W = KW,W ! [L(v)]W ! = KW,W ! MW ! ,V ! (L)[v]V !
= KW,W ! MW ! ,V ! (L)KV ! ,V [v]V .
Så KW,W ! MW ! ,V ! (L)KV ! ,V er MR for L mht. W, V.
Når vi arbejder med lineære operatorer, dvs. lineære transformationer L fra et vektorrum V til
sig selv, er det mest naturligt kun at bruge én ordnet basis V = {v1 , . . . , vn } for V for matrixrepræsentationer.
Korollar 4.2.9 ([L], Sætning 4.3.1)
Lad V være et F-vektorrum, og lad V, V " være ordnede baser for V .
Lad L : V → V være en lineær transformation.Der gælder
MV,V (L) = KV,V ! MV ! ,V ! KV ! ,V
= (KV ! ,V )−1 MV ! ,V ! KV ! ,V .
Bevis
Den første linie i udsagnet er et specielt tilfælde af Proposition A; den anden linie følger af,
at KV,V ! = (KV ! ,V )−1 .
Vi siger, at A, B ∈ Matn,n (F) er similære, hvis der findes en invertibel matrix S, så B = S −1 AS
(og SBS −1 = A).
68
SEKTION 4.2
MATRIXREPRÆSENTATIONER AF LINEÆRE TRANSFORMATIONER
Korollar 4.2.10 (se [L], s. 202)
A, B ∈ Matn,n (F) er similære hvis, og kun hvis, der findes ordnede baser V, W for Fn og en
lineær transformation L : Fn → Fn så A = MV,V (L), B = MW,W (L).
Bevis
⇐: Dette følger af Korollar 4.2.9 ovenfor.
⇒: Lad E være standardbasen i Fn . Da [x]E = x for alle x ∈ Fn er
ME,E (LA ) = [[LA (e1 )]E , . . . , [LA (en )]E ]
= [LA (e1 ), . . . , LA (en )]
= [Ae1 , . . . , Aen ] = A.
Antag, at B = S −1 AS. Lad S = {s1 , . . . , sn }, hvor S = [s1 , . . . , sn ] i søjleform.
Da S er invertibel, er S en ordnet basis for Fn .
Der gælder, ifølge Lemma 3.3.5, at
S[x]S = x, og [x]S = S −1 x for alle x ∈ Fn .
For i = 1, . . . , n er den i’te søjle i MS,S (LA )
[LA (si )]S = [Asi ]S = S −1 Asi = S −1 ASei = Bei , den i’te søjle i B.
Så MS,S (LA ) = B.
Så A er MR for LA mht. E, E, B er MR for LA mht. S, S.
Eksempel 4.2.11
Lad L : P4 (C) → P4 (C) være den lineære transformation givet ved
L(p)(x) = (x + 1)2 p"" (x) − 4(x + 1)p" (x) + 6p(x);
Lad os finde Ker L, dvs. vi finder polynomiale løsninger af grad højst tre til differentialligningen
(x + 1)2 f "" (x) − 4(x + 1)f " (x) + 6f (x) = 0.
Vi finder MR af L mht. U = {1, x, x2 , x3 } i både domæne og billedmængden. Vi beregner
derfor
L(1) = 6,
L(x) = −4(x + 1) + 6x = 2x − 4,
L(x2 ) = 2(x + 1)2 − 8(x + 1)x + 6x2 = −4 + 2,
L(x3 ) = 6(x + 1)2 x − 12(x + 1)x2 + 6x3 = 6x.
69
SEKTION 4.2
MATRIXREPRÆSENTATIONER AF LINEÆRE TRANSFORMATIONER
Eksempel 4.2.11, fortsat
Vi har da

6
0
MU ,U (L) = [[L(u1 )]U , . . . , [L(u4 )]U ] = 
0
0
−4
2
0
0
2
−4
0
0

 
0
1
0
6
∼
0 0
0
0
0
1
0
0
−1
−2
0
0

x3 − 2x4
2x3 − 3x4 
, så
Den generelle løsning til MU ,U (L)x = 0 er da 


x3
x4
NMU ,U (L)
   
1
−2
2 −3
   
= Span 
1 ,  0  = Span([p1 ]U , [p2 ]U ),
0
1

2
3
.
0
0
hvor p1 (x) = 1 + 2x + x2 , p2 (x) = −2 − 3x + x3 . Så Ker L = Span(p1 , p2 )
(fordi p ∈ Ker L ⇔ L(p) = 0 ⇔ [L(p)]U = [0]U ; = 0 ⇔ MU ,U (L)[p]U = 0 ⇔ [p]U ∈ NMU ,U (L) .)
Læg mærke til, at
p1 (x) = (1 + x)2 , p2 (x) + 3p1 (x) = 1 + 3x + 3x2 + x3 = (1 + x)3 ,
så
Ker L = Span((1 + x)2 , (1 + x)3 ).
Det havde nok været bedre at arbejde med den ordnede basis
V = {1, 1 + x, (1 + x)2 , (1 + x)3 };
vi har da
vi ser L(1) = 6, L(1 + x) = 2(x + 1), L((1 + x)2 ) = 0, L((1 + x)3 ) = 0,


6 0 0 0
0 2 0 0

så MV,V (L) = 
0 0 0 0 ;
0 0 0 0
NMV,V (L) = Span(e3 , e4 ) = Span([v3 ]V , [v4 ]V );
så
Ker L = Span(v3 , v4 ) = Span((1 + x)2 , (1 + x)3 ).
Læg mærke til, at, som teorien foreskriver,
MV,V (L) = KV,U MU ,U (L)KU ,V ,
idet

1
0
0
0
−1
1
0
0
1
−2
1
0

−1 6
3 0
−3 0
1
0
−4
2
0
0
2
−4
0
0

0 1
60
00
0 0
70
1
1
0
0
1
2
1
0
 
1
6
3 0
=
3 0
1
0
0
2
0
0
0
0
0
0

0
0
.
0
0
SEKTION 4.3
4.3
MERE OM LINEÆRE TRANSFORMATIONER
Mere om Lineære Transformationer
Lad f : X → Y, g : Y → Z være afbildninger. Sammensætningen g ◦ f : X → Z er afbildningen
givet ved g ◦ f (x) = g(f (x)) ∀x ∈ X.
X
f
!Y
g
!" Z
g◦f
Lemma 4.3.1
Lad L : U → V, M : V → W være lineære transformationer mellem F-vektorrum. Da er
M ◦ L : U → W en lineær transformation.
Bevis
Lad α1 , α2 ∈ F, u1 , u2 ∈ U .
M ◦ L(α1 u1 + α2 u2 ) = M (L(α1 u1 + α2 u2 ))
= M (α1 L(u1 ) + α2 L(u2 ))
= α1 M (L(u1 )) + α2 M (L(u2 ))
= α1 M ◦ L(u1 ) + α2 M ◦ L(u2 )
Sammensætning af lineære transformationer af Euklidiske rum svarer til matrixmultiplikation:
Lemma 4.3.2
1. Lad A ∈ Matm,n (F), B ∈ Matn,p (F). Så er LA ◦ LB = LAB .
2. Lad K : Fp → Fn , L : Fn → Fm være lineære transformationer. Så er
M (L ◦ K) = M (L)M (K).
Bevis
1. For y ∈ Fp er LA ◦ LB (y) = LA (LB (y)) = LA (By) = A(By) = (AB)y.
2. For y ∈ Fp er M (L ◦ K)y = L ◦ K(y) = L(K(y)) = L(M (K)y) = M (L)M (K)y.
71
SEKTION 4.3
MERE OM LINEÆRE TRANSFORMATIONER
Eksempel 4.3.3: Spejling
Lad Lθ være linien igennem 0 i R2 , som danner en vinkel θ med x-aksen; og lad Sθ : R2 → R2
være givet ved spejling i denne linie.
S0 , som er givet ved spejling i x-aksen, er nem at sætte på formel:
#$ %& $ %
x
x
S0
=
,
y
−y
så S0 er lineær, med SMR
$
1
0
%
0
.
−1
Spejling i Lθ kan opnås ved at rotere R2 gennem −θ, spejle i x-aksen, og rotere R2 gennem
θ; så Sθ = Rθ ◦ S0 ◦ R−θ er en sammensætning af lineære transformationer, så lineær. Vi
har:
M (Sθ ) = M (Rθ ◦ S0 ◦ R−θ ) = M (Rθ )M (S0 )M (R−θ )
$
%$
%$
%
cos θ − sin θ 1 0
cos θ
sin θ
=
sin θ
cos θ
0 −1 − sin θ cos θ
$
%$
%
cos θ − sin θ cos θ
sin θ
=
sin θ
cos θ
sin θ − cos θ
$ 2
%
2
cos θ − sin θ
2 sin θ cos θ
=
2 sin θ cos θ
sin2 θ − cos2 θ
$
% $
%$
cos 2θ
sin 2θ
cos 2θ − sin 2θ 1
=
=
sin 2θ − cos 2θ
− sin 2θ cos 2θ
0
= M (R2θ )M (S0 ) = M (R2θ ◦ S0 );
0
−1
%
så Sθ = R2θ ◦ S0 . Spejlingen i Lθ kan altså også realiseres ved først at spejle i x-aksen, så
roter 2θ mod uret.
72
SEKTION 4.3
MERE OM LINEÆRE TRANSFORMATIONER
Sammenhængen mellem sammensætning af lineære transformationer og matrixmultiplikation
gælder mere generelt:
Proposition 4.3.4
Lad U, V, W være vektorrum med ordnede baser
U = [u1 , . . . , up ], V = [v1 , . . . , vn ], W = [w1 , . . . , wm ],
og lad L : U → V, M : V → W være lineære transformationer.
Så gælder
MW,U (M ◦ L) = MW,V (M ) · MV,U (L).
Bevis
Vi har et kommutativt diagram
U
L
M
!V
θU
!W
θV
#
Fp
LA
#
! Fn
θW
LB
#
! Fm
hvor A = MV,U (L), B = MW,V (M ).
Det første kommutative kvadrat udtrykker, at A = MV,U (L) tilfredsstiller
[L(u)]V = A[u]U for alle u ∈ U,
(1)
mens det andet udtrykker, at B = MW,V (M ) tilfredsstiller
[M (v)]W = B[v]V for alle v ∈ V.
Vi har da, for vilkårlig u ∈ U ,
[M ◦ L(u)]W = [M (L(u))]W
= B[L(u)]V ((2) anvendt med v = L(u))
= B(A[u]U ) ((1))
= (BA)[u]U .
Så BA er matrixrepræsentation for M ◦ L mht. W, U.
73
(2)
SEKTION 4.3
og
MERE OM LINEÆRE TRANSFORMATIONER
En afbildning f : X → Y er invertibel hvis der findes en afbildning g : Y → X,
så
g ◦ f = IX , dvs. g(f (x)) = x for alle x ∈ X,
f ◦ g = IY , dvs. f (g(y)) = y for alle y ∈ Y ;
g kaldes en invers afbildning til f .
En invers til f er faktisk entydigt bestemt: for antag, at g, h : Y → X er således, at
g ◦ f = IX , f ◦ h = IY .
Så er
g = g ◦ IY = g ◦ (f ◦ h) = (g ◦ f ) ◦ h = IX ◦ h = h.
Hvis den findes, så kaldes inversen for f : X → Y for f −1 : Y → X.
Proposition 4.3.5
Lad L : V → W være en lineær tranformation,og antag, at L er invertibel. Så er L−1 lineær.
Bevis
Lad α1 , α2 ∈ F, w1 , w2 ∈ W . Så er
;
<
L−1 (α1 w1 + α2 w2 ) =L−1 α1 L(L−1 (w1 )) + α2 L(L−1 (w2 ))
(fordi L ◦ L−1 = IW )
=L−1 (L(α1 L−1 (w1 ) + α2 L−1 (w2 ))
(fordi L er lineær)
=α1 L−1 (w1 ) + α2 L−1 (w2 )
(fordi L−1 ◦ L = IV .)
Notation 4.3.6
En invertibel lineær transformation kaldes ofte en lineær isomorfi.
Eksempel 4.3.7
Rotationen Rθ : R2 → R2 er invertibel, med invers R−θ .
74
SEKTION 4.3
MERE OM LINEÆRE TRANSFORMATIONER
Lad V være et F-vektorrum med ordnet basis V = [v1 , . . . , vn ].
Afbildningen θV : V → Fn givet ved
θV (v) = [v]V for alle v ∈ V
er invertibel; dens invers θV−1 : Fn → V er givet ved
 
 
x1
x1


−1  . 
θV  ..  = x1 v1 + · · · + xn vn for alle  ...  ∈ Fn .
xn
xn
Lad nu V, W være F-vektorrum med ordnede baser V, W, og lad
L:V →W
være en lineær transformation. Skriv
A = MW,V (L).
Vi har et kommutativt diagram
V
L
θV
θW
#
Fn
Da θV , θW er invertible, er
og
!W
LA
#
! Fn
−1
L = θW
◦ LA ◦ θV ,
LA = θW ◦ L ◦ θV−1 .
75
SEKTION 4.3
MERE OM LINEÆRE TRANSFORMATIONER
Proposition 4.3.8
Lad V, W være F-vektorrum,og lad V = {v1 , . . . , vn }, W = {w1 , . . . , wm } være ordnede
baser for V, W .
Lad L : V → W være lineær.
1. L er invertibel ⇔ n = m og MW,V (L) er invertibel.
2. Hvis L er invertibel, MV,W (L−1 ) = (MW,V (L))−1
Bevis
Skriv A = MW,V (L), matrix-repræsentationen for L mht. W, V.
Antag, at A er invertibel. Så er m = n.
Definer M : W → V ved M = θV−1 ◦ LA−1 ◦ θW .
Vi ser, at [M (w)]V = θV (M (w)) = LA−1 (θW (v)) = A−1 [w]W for alle w ∈ W , så M er den
entydige lineære transformation W → V med matrixrepræsentation A−1 mht. W, V.
Ifølge Proposition 4.3.4 er [M ◦ L(v)]V = A−1 A[v]V = [v]V for alle v ∈ V . Anvendes (θV )−1 ,
fås M ◦ L(v) = v ∀v ∈ V .
På samme måde er [L ◦ M (w)]W = AA−1 [w]W = [w]W for alle w ∈ W ; og anvendes
(θW )−1 , fås L ◦ M (w) = w for alle w ∈ W .
Så L er invertibel, med L−1 = M .
−1
Antag, at L er invertibel. LA er invertibel med invers θV ◦ L−1 ◦ θW
, fordi LA = θW ◦ L ◦ θV−1
−1
−1
−1
−1
−1
og (θW ◦ L ◦ θV )(θV ◦ L ◦ θW ) = IFm , (θV ◦ L ◦ θW )(θW ◦ L ◦ θV−1 ) = IFn .
−1
Hvis x ∈ Ker(L), så er x = L−1
A (LA (x)) = LA (0) = 0, så N (A) = Ker LA = {0}.
−1
m
m
Hvis y ∈ F , så er y = LA (LA (y)) ∈ LA (F ) = Sø(A), så Sø(A) = Fm .
Rangligningen giver
antallet af søjler i A = rang(A) + N(A),
altså
n = m + 0;
= m.
Så A er en kvadratisk matrix. Vi har lige set, at N (A) = {0}, så A er invertibel.
76